MASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY

MASARYKOVA UNIVERZITA PRˇI´RODOVEˇDECKA´ FAKULTA U´STAV MATEMATIKY A STATISTIKY

Bakala´rˇska´ praće

BRNO 2012

JANA ZUZA´KOVA´

MASARYKOVA UNIVERZITA PRˇI´RODOVEˇDECKA´ FAKULTA U´STAV MATEMATIKY A STATISTIKY

Aritmeticke´ a geometricke´ posloupnosti v matematice pro gymna´zia Bakala´rˇska´ praće

Jana Zuza´kova´

Vedoucı´ praće: doc. RNDr. Jaromı´r Sˇimsˇa, CSc.

Brno 2012

Bibliograficky´ za´znam Autor:

Jana Zuza´kova´ Prˇ´ırodoveˇdecka´ fakulta, Masarykova univerzita ´ stav matematiky a statistiky U

Na´zev praće:

Aritmeticke´ a geometricke´ posloupnosti v matematice pro gymna´zia

Studijnı´ program:

Fyzika

Studijnı´ obor:

Matematika se zameˇrˇenı´m na vzdeˇla´vańı´

Vedoucı´ praće:

doc. RNDr. Jaromı´r Sˇimsˇa, CSc.

Akademicky´ rok:

2011/2012

Pocˇet stran:

vii + 37

Klıćˇova´ slova:

Posloupnost; Aritmeticka´ posloupnost; Geometricka´ posloupnost; Financˇnı´ matematika

Bibliographic Entry Author:

Jana Zuza´kova´ Faculty of Science, Masaryk University Department of Mathematics and Statistics

Title of Thesis:

Arithmetic and geometric progressions in high school Mathematics

Degree Programme:

Physics

Field of Study:

Mathematics with a view to Education

Supervisor:

doc. RNDr. Jaromı´r Sˇimsˇa, CSc.

Academic Year:

2011/2012

Number of Pages:

vii + 37

Keywords:

Progression; Arithmetic progression; Geometric progression; Financial Mathematics

Abstrakt V te´to bakala´rˇske´ praći se veˇnujeme te´matu aritmetickyćh a geometrickyćh posloupnostı´ v rozsahu gymnazia´lnı´ matematiky. Praće je rozdeˇlena do cˇtyrˇ kapitol, prvnı´ dveˇ kapitoly se zaby´vajı´ teoriı´ posloupnostı´ a rˇesˇenı´m standardnıćh u´loh. Trˇetı´ kapitola sesta´va´ z vy´kladu neˇkolika nestandardnıćh u´loh, se ktery´mi se zˇaći v beˇzˇne´ vyúce nesetkajı´, a poslednı´ kapitolu jsme veˇnovali financˇnı´ matematice.

Abstract In this thesis we study arithmetic and geometric progressions as a topic of high school mathematics. The thesis is divided into four chapters, the first two chapters deal with theory of progressions and solving standard problems. The third one consists of solution of several non-standard problems, which the students in regular classes do not meet and in the last chapter we study financial mathematics.

Podeˇkovańı´ Ra´da bych podeˇkovala doc. RNDr. Jaromı´ru Sˇimsˇovi, CSc., za vedenı´ me´ bakala´rˇske´ praće, odborne´ rady i cˇas stra´veny´ prˇi konzultacıćh.

Prohla´sˇenı´ Prohlasˇuji, zˇe jsem svoji bakala´rˇskou praći vypracovala samostatneˇ s vyuzˇitı´m informacˇnıćh zdroju˚, ktere´ jsou v praći citovańy.

Brno 3. kveˇtna 2012

.......................... Jana Zuza´kova´

Obsah ´ vod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U

1

Kapitola 1. Vy´klad teorie v ucˇebnici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Kapitola 2. Standardnı´ u´lohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Aritmeticka´ posloupnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Geometricka´ posloupnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 8 12

Kapitola 3. Nestandardnı´ u´lohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Kapitola 4. Financˇnı´ matematika 4.1 Pouzˇite´ symboly . . . . . . . ´ rokova´ mı´ra a u´rok . . . . 4.2 U 4.3 Jednoduche´ u´rocˇenı´ . . . . . ´ rokova´ doba . . . . . . . . . 4.4 U 4.5 Slozˇene´ u´rocˇenı´ . . . . . . . . ´ rokovacı´ obdobı´ . . . . . . 4.6 U 4.7 Sporˇenı´ . . . . . . . . . . . . . 4.8 Splaćenı´ dluhu˚ . . . . . . . . .

............................................ ................................. ................................. ................................. ................................. ................................. ................................. ................................. .................................

27 27 28 29 30 31 31 32 33

Za´veˇr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Seznam pouzˇite´ literatury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

– vii –

´ vod U Teorie mnozˇin, teorie cˇ´ısel, algebraicke´ vy´razy nebo planimetrie, to jsou jen neˇktera´ te´mata, do nichzˇ je vyúka matematiky na gymna´ziıćh rozdeˇlena. Jedno z poslednıćh te´mat, jı´m se zˇaći zaby´vajı´ ve 4. rocˇnı´ku studia, je nazvańo Posloupnosti a rˇady. Te´ma velice obsa´hle´ a pro zˇa´ky cˇasto velmi na´rocˇne´, vybı´ra´me proto jenom cˇa´st te´to problematiky – aritmeticke´ a geometricke´ posloupnosti, a pra´veˇ jim veˇnujeme pozornost v te´to bakala´rˇske´ praći. Zameˇrˇ´ıme se nejen na ucˇebnicovou la´tku, ale take´ na u´lohy, se ktery´mi se zˇaći prˇi vyúce v beˇzˇnyćh hodinaćh nesetkajı´. Samotny´ text praće je rozdeˇlen do cˇtyrˇ kapitol. V prvnı´ kapitole se zaby´va´me zpu˚sob vyúky te´matu o posloupnostech, vy´beˇr ucˇebnic a za´kladnı´ teorii ty´kajıćı´ se pojmu˚ posloupnost, aritmeticka´ posloupnost, geometricka´ posloupnost a jejich vlastnosti. V za´veˇru kapitoly pak shrnujeme zı´skane´ poznatky a porovna´me vztahy ty´kajıćı´ se obou typu˚ posloupnostı´. Druha´ kapitola popisuje typy standardnıćh u´loh, ktere´ jsou soucˇa´stı´ beˇzˇne´ho vy´kladu la´tky o aritmetickyćh a geometrickyćh posloupnostech. Jedna´ se o soubor 13 vzorovyćh prˇ´ıkladu˚ rozdeˇleny´ do dvou cˇa´stı´ podle typu posloupnosti, prˇicˇemzˇ kazˇdy´ z prˇ´ıkladu˚ je vyrˇesˇen a okomentovań. V porˇadı´ trˇetı´ kapitola – Nestandardnı´ u´lohy, je steˇzˇejnı´ cˇa´stı´ te´to praće. Obsahuje soubor 11 u´loh, ktery´mi se zˇaći v hodinaćh matematiky obvykle nezaby´vajı´. Prˇi rˇesˇenı´ teˇchto u´loh musı´ zˇaći cˇasto vyuzˇ´ıvat znalosti z jinyćh odveˇtvı´ matematiky, sami uda´vat prˇ´ıklady danyćh posloupnostı´ nebo dokazovat urcˇity´ vztah ty´kajıćı´ se aritmeticke´ nebo geometricke´ posloupnosti. Tato kapitola jizˇ nenı´ rozdeˇlena do dvou cˇa´stı´, avsˇak stejneˇ jako v kapitole prˇedchozı´ je kazˇdy´ z prˇ´ıkladu˚ podrobneˇ vyrˇesˇen a doplneˇn o prˇ´ıslusˇny´ komenta´rˇ. Za´veˇr kapitoly je pak veˇnovań souhrnu mozˇnyćh vzorcu˚ uzˇ´ıvanyćh prˇi pocˇ´ıtańı´ u´loh ty´kajıćıćh se aritmetickyćh a geometrickyćh posloupnostı´. Tyto vzorce jsou usporˇa´dańy do dvou prˇehlednyćh tabulek, ktere´ usnadnı´ praći prˇi odvozovańı´ slozˇiteˇjsˇ´ıch vztahu˚. Poslednı´ z kapitol je veˇnovańa financˇnı´ matematice, ktera´ s problematikou posloupnostı´ a obzvla´sˇteˇ geometrickyćh posloupnostı´ u´zce souvisı´. Opeˇt je zde uvedeno neˇkolik rˇesˇenyćh prˇ´ıkladu˚, z nichzˇ se kazˇdy´ zaby´va´ jistou partiı´ financˇnı´ matematiky (jednoduche´ u´rocˇenı´, sporˇenı´, splaćenı´ dluhu˚, apod.). Cı´lem te´to bakala´rˇske´ praće je vytvorˇit uceleny´ pohled na strˇedosˇkolskou vyúku aritmetickyćh a geometrickyćh posloupnostı´, usnadnit rˇesˇenı´ standardnıćh a obzvla´sˇteˇ nestandardnıćh u´loh. Meˇla by by´t vhodnou pomu˚ckou pro zˇa´ka ta´pajıćı´ho prˇi rˇesˇenı´ u´loh, stejneˇ jako pro ucˇitele hledajıćı´ho inspiraci pro zada´vańı´ obtı´zˇneˇjsˇ´ıch prˇ´ıkladu˚ nebo kazˇde´ho, kdo ma´ o te´ma aritmetickyćh a geometrickyćh posloupnostı´ za´jem. 1

Kapitola 1 Vy´klad teorie v ucˇebnici Dobry´, zˇivy´ a promysˇleny´ vy´klad teoretickyćh poznatku˚ v hodinaćh matematiky by´va´ za´kladnı´m prˇedpokladem toho, aby zˇaći dane´ te´ma dobrˇe pochopili. Prˇi plneˇnı´ tohoto nelehke´ho u´kolu se ucˇitel veˇtsˇinou opı´ra´ o postup, ktery´ najde ve vhodne´ ucˇebnici. Podle nı´ si mohou poznatky opakovat cˇi doplnˇovat i zˇaći sami, majı´-li ucˇebnici k dispozici. Proto jsou kvalitneˇ a prˇimeˇrˇeneˇ napsane´ ucˇebnice vy´znamnou pomu˚ckou prˇi vyúce matematiky. Toto vsˇeobecne´ konstatovańı´ platı´ i pro problematiku aritmetickyćh a geometrickyćh posloupnostı´, ktera´ ma´ v gymnazia´lnı´ matematice tradicˇnı´ a pevne´ postavenı´ a ktere´ se budeme v prˇedlozˇene´ praći veˇnovat. V te´to kapitole popı´sˇeme, jak je dane´ te´ma zpracovańo v soucˇasne´ ucˇebnici [Odv1]. Zmıńeˇna´ ucˇebnice [Odv1] s na´zvem Posloupnosti a rˇady je soucˇa´stı´ rˇady ucˇebnic Matematika pro gymna´zia vydane´ nakladatelstvı´m Prometheus. Autorem ucˇebnice je doc. RNDr. Oldrˇich Odva´rko, DrSc. z MFF UK v Praze, ktery´ rovneˇzˇ napsal svazky Funkce a Goniometrie te´zˇe rˇady ucˇebnic (a samostatne´ doprovodne´ sbı´rky u´loh). Na´mi posuzovana´ ucˇebnice je tvorˇena trˇemi vy´kladovy´mi kapitolami: 1. Posloupnosti a jejich vlastnosti 2. Aritmeticke´ a geometricke´ posloupnosti 3. Limity posloupnostı´ a nekonecˇne´ rˇady Drˇ´ıve nezˇ se budeme zaby´vat podrobny´m komenta´rˇem toho, jak je pojata a sestavena kapitola 2, na´meˇtoveˇ totozˇna´ s nasˇ´ı pracı´, popı´sˇeme strucˇneˇji kapitolu 1, na kterou kapitola 2 obsahoveˇ navazuje, zejmeńa v ota´zce pojmu (obecne´) posloupnosti. Kapitolu 3 v nasˇ´ı (u´zˇeji zameˇrˇene´) praći hodnotit nebudeme. Kapitola 1 ucˇebnice [Odv1] je slozˇena z teˇchto podkapitol: 1.1 Pojem posloupnost 1.2 Rekurentnı´ urcˇenı´ posloupnosti 2

Kapitola 1. Vy´klad teorie v ucˇebnici

3

1.3 Neˇktere´ vlastnosti posloupnostı´ 1.4 Matematicka´ indukce Pro nasˇi praći ma´ za´sadnı´ vy´znam samotny´ pojem posloupnosti zavedeny´ v podkapitole 1.1. Vycha´zı´ se prˇitom z pojmu funkce (zˇaći ucˇivo o funkcıćh jizˇ majı´ osvojeno) a rozlisˇujı´ se posloupnosti konecˇne´ a nekonecˇne´. Prˇ´ıslusˇna´ definice je na str. 9 uvedena takto: Kazˇda´ funkce, jejı´mzˇ definicˇnı´m oborem je mnozˇina N vsˇech prˇirozenyćh cˇ´ısel, se nazy´va´ nekonecˇna´ posloupnost. Kazˇda´ funkce, jejı´mzˇ definicˇnı´m oborem je mnozˇina vsˇech prˇirozenyćh cˇ´ısel n ≤ n0 , kde n0 je pevneˇ dane´ cˇ´ıslo z N, se nazy´va´ konecˇna´ posloupnost.

Kra´tce pote´ se autor dosta´va´ k tradicˇneˇjsˇ´ımu vyjadrˇovańı´ „n-ty´ cˇlen posloupnosti“ namı´sto „hodnota posloupnosti v bodeˇ n“. Zatı´mco konecˇne´ posloupnosti je mozˇne´ urcˇovat vyćˇtem cˇlenu˚ nebo tabulkou, u nekonecˇnyćh posloupnostı´ popisuje autor dva vy´znamne´ zpu˚soby: prˇ´ımy´m vzorcem pro n-ty´ cˇlen nebo rekurentnı´ urcˇenı´. V na´sledne´ podkapitole 1.3 je vysveˇtleno, jake´ vlastnosti mohou obecne´ posloupnosti mı´t – ru˚st, klesańı´ a omezenost (shora cˇi zdola). Zvla´sˇtnı´ postavenı´ ma´ podkapitola 1.4, ktera´ je jakousi vsuvkou cˇi odbocˇkou od vy´kladu posloupnostı´, veˇnovanou matematicke´ indukci, vy´znamne´ du˚kazove´ technice, jezˇ nutı´ studenty k hlubsˇ´ımu zamysˇlenı´ o podstateˇ prˇirozenyćh cˇ´ısel. Jedna´ se o te´ma na´rocˇneˇjsˇ´ı a pro mnohe´ zˇa´ky hu˚rˇe pochopitelne´, prˇesto vy´znamne´ a potrˇebne´, jak se da´le uka´zˇe i prˇi odvozovańı´ obecnyćh poznatku˚ o aritmetickyćh a geometrickyćh posloupnostech. Dosta´va´me se k hlavnı´mu prˇedmeˇtu nasˇeho za´jmu o ucˇebnici [Odv1]. Je jı´m kapitola 2, ktera´ je rozcˇleneˇna na tyto cˇa´sti: 2.1 Aritmeticka´ posloupnost 2.2 Uzˇitı´ aritmetickyćh posloupnostı´ 2.3 Geometricka´ posloupnost 2.4 Uzˇitı´ geometrickyćh posloupnostı´ 2.5 Vlastnosti aritmetickyćh a geometrickyćh posloupnostı´ Z tohoto cˇleneˇnı´ je zrˇejme´, zˇe vy´klad o obou druzıćh posloupnostı´ je veden vpodstateˇ oddeˇleneˇ, prˇitom „prvnı´ na rˇadeˇ“ jsou aritmeticke´ posloupnosti, ktere´ jsou nepochybneˇ jednodusˇsˇ´ım objektem nezˇli posloupnosti geometricke´. Takove´ rozdeˇlenı´ a porˇadı´ vy´kladu lze jisteˇ povazˇovat za zˇa´doucı´ a rozumne´. Pochybnosti mu˚zˇe vyvolat spı´sˇe dalsˇ´ı deˇlenı´ vy´kladu kazˇde´ho druhu posloupnosti na teoretickou a praktickou cˇa´st. Soucˇasny´ vy´klad „teorie a praxe“ by sice mohl prˇine´st neˇktere´ vy´hody, avsˇak provedene´ rozdeˇlenı´ jisteˇ napoma´ha´ prˇehlednosti jednotlivyćh cˇa´stı´, jejichzˇ spojenı´m by vznikly prˇ´ılisˇ rozsa´hle´


4

celky. K tomu je jesˇteˇ nutne´ dodat, zˇe i „teoreticke´“ podkapitoly 2.2 a 2.4 zahrnujı´ prˇ´ıklady konkre´tnıćh posloupnostı´, jezˇ majı´ motivacˇnı´ nebo ilustrativnı´ vy´znam. Na´plnı´ podkapitoly 2.1 jsou teoreticke´ poznatky o aritmetickyćh posloupnostech. Jejich definice je motivovańa prˇ´ıkladem zaby´vajıćı´m se rychlostı´ sˇ´ırˇenı´ zvuku v za´vislosti na teploteˇ, konkre´tneˇ v rozmezı´ 5 stupnˇu˚ Celsia. Pro zˇa´ky je jisteˇ snadne´ rozepsat hodnoty rychlosti pro jednotlive´ stupneˇ Celsia, ktere´ vytva´rˇejı´ posloupnost. Ihned pote´ na´sleduje v textu na str. 37 tato definice: Posloupnost (an )∞ ´va´ aritmeticka´, pra´veˇ kdyzˇ existuje takove´ rea´lne´ cˇ´ıslo d, n=1 se nazy zˇe pro kazˇde´ prˇirozene´ cˇ´ıslo n je an+1 = an + d. Cˇ´ıslo d se nazy´va´ diference aritmeticke´ posloupnosti.

Tato definice je vza´peˇtı´ ilustrovańa prˇ´ıkladem – studenti v neˇm majı´ rozhodnout, zda posloupnost s obecny´m cˇlenem an = 2n − 4 je aritmeticka´. Na´sledujıćı´ na´vrat k prˇ´ıkladu s rychlostı´ zvuku ma´ pak zˇa´ky prˇive´st k odhalenı´ vztahu mezi n-ty´m a prvnı´m cˇlenem aritmeticke´ posloupnosti (str. 38): • V aritmeticke´ posloupnosti (an )∞ ˇ de´ n ∈ N n=1 s diferencı´ d platı´ pro kaz an = a1 + (n − 1)d. Ota´zkou zu˚sta´va´, jak moc se ucˇitele´ matematiky na strˇednıćh sˇkolaćh tomuto postupu veˇnujı´ a jestli nedocha´zı´ kvu˚li cˇaste´ cˇasove´ tı´sni k vynechańı´ tohoto „objevovańı´“, stejneˇ jako k vynechańı´ du˚kazu dotycˇne´ho vzorce, ktery´ je v ucˇebnici metodou matematicke´ indukce proveden. Du˚sledkem doka´zane´ho vzorce je vztah mezi libovolny´mi dveˇma cˇleny te´zˇe aritmeticke´ posloupnosti, ktery´ je na str. 39 uveden jako na´sledujıćı´ veˇta: • V aritmeticke´ posloupnosti (an )∞ n=1 s diferencı´ d platı´ pro vsˇechna r, s ∈ N as = ar + (s − r)d. Po jednoduche´m prˇ´ıkladu na uzˇitı´ tohoto vztahu prˇecha´zı´ autor ucˇebnice k du˚lezˇite´ problematice scˇ´ıtańı´ cˇlenu˚ aritmeticke´ posloupnosti, a to popisem postupu, ktery´m mlady´ K. F. Gauss rychle vypocˇ´ıtal soucˇet prvnıćh 100 prˇirozenyćh cˇ´ısel. Zˇaći jsou pote´ autorem opeˇt vyzvańi, aby se pokusili vyslovit hypote´zu o soucˇtu prvnıćh n cˇlenu˚ obecne´ aritmeticke´ posloupnosti. Vy´sledny´ soucˇtovy´ vzorec je na str. 42 uveden v podobeˇ na´sledujıćı´ veˇty: • Pro soucˇet sn prvnıćh n cˇlenu˚ aritmeticke´ posloupnosti (an )∞ n=1 , tj. pro a1 + a2 + + · · · + an , platı´:


5

sn = n2 · (a1 + an ). Tento soucˇtovy´ vzorec je podlozˇen pomeˇrneˇ dlouhy´m du˚kazem, ktery´ ale nenı´ obtı´zˇne´ pochopit. Soucˇtovy´ vzorec je pak ilustrovań jesˇteˇ jednı´m rˇesˇeny´m prˇ´ıkladem. Podkapitola 2.1 je ukoncˇena souborem nerˇesˇenyćh u´loh, jejichzˇ obtı´zˇnost se stupnˇuje. Je jisteˇ vhodne´ nechat zˇa´ky veˇtsˇinu teˇchto u´loh propocˇ´ıtat. Prvnı´ cˇa´st podkapitoly 2.2 o uzˇitı´ aritmetickyćh posloupnostı´ tvorˇ´ı dva rˇesˇene´ prˇ´ıklady, prˇicˇemzˇ druhy´ z nich je opatrˇen naćˇrtkem dane´ho proble´mu. Na rˇesˇene´ prˇ´ıklady v druhe´ cˇa´sti 2.2 pak navazuje 6 u´loh nerˇesˇenyćh. Neˇkolik z nich je opeˇt opatrˇeno ilustracı´, ktera´ se tu jevı´ jako dobry´ pomocnı´k. Tyto u´lohy jsou sice zadańy poneˇkud delsˇ´ım textem popisujıćı´m konkre´tnı´ „rea´lie“. To ma´ vsˇak velky´ vy´znam – zˇaći jednak vidı´ uplatneˇnı´ abstraktnı´ho matematicke´ho pojmu, jednak se ucˇ´ı v popisu teˇchto situacı´ hledat matematicky´ obsah. ´ kolem podkapitoly 2.3 je sezna´mit zˇa´ky s teoreticky´mi poznatky o druhe´m vy´znamU ne´m typu posloupnosti, tedy posloupnostech geometrickyćh. Tato podkapitola je svou vy´´ vodnı´ prˇ´ıklad stavbou velice podobna´ te´, ktera´ se veˇnuje posloupnostem aritmeticky´m. U se tentokra´t ty´ka´ polocˇasu prˇemeˇny radia C a meˇl by zˇa´ky opeˇt prˇive´st k definovańı´ pojmu geometricka´ posloupnost. Domnı´va´me se vsˇak, zˇe pro zˇa´ky by zvoleny´ motivacˇnı´ prˇ´ıklad mohl by´t spı´sˇe demotivacˇnı´m, je totizˇ zalozˇeny´ na pochopenı´ polocˇasu prˇemeˇny, cozˇ mu˚zˇe odrazovat od zamysˇlenı´ se nad dany´m proble´mem. Lepsˇ´ım motivacˇnı´m prˇ´ıkladem by mohl by´t naprˇ´ıklad tento: Bakterie se deˇlı´ na dveˇ vzˇdy na konci 12. minuty, prˇicˇemzˇ kazˇda´ noveˇ vznikla´ bakterie se opeˇt deˇlı´ na dveˇ na konci 12. minuty atd. Urcˇete pocˇet bakteriı´, ktere´ vzniknou z jedne´ bakterie po 1 hodineˇ. Deˇlenı´ bakteriı´ je v dnesˇnı´ dobeˇ vsˇeobecneˇ zna´my´ jev, tento prˇ´ıklad by tedy pro zˇa´ky mohl by´t srozumitelneˇjsˇ´ı nezˇ ten, co je uveden v ucˇebnici. Po neˇm na str. 50 na´sleduje jizˇ zminˇovana´ definice geometricke´ posloupnosti: Posloupnost (an )∞ ´va´ geometricka´, pra´veˇ kdyzˇ existuje takove´ rea´lne´ cˇ´ıslo n=1 se nazy q, zˇe pro kazˇde´ prˇirozene´ cˇ´ıslo n je an+1 = an · q. Cˇ´ıslo q se nazy´va´ kvocient geometricke´ posloupnosti.

Ihned pote´ je vyrˇesˇen prˇ´ıklad, ve ktere´m majı´ zˇaći urcˇit 5. a 6. cˇlen geometricke´ posloupnosti a jejı´ kvocient pomocı´ prvnıćh dvou cˇlenu˚. Narozdı´l od prˇ´ıpadu aritmetickyćh posloupnostı´ tady jizˇ bohuzˇel nenajdeme druhy´ motivacˇnı´ prˇ´ıklad, ktery´ by vedl k vyja´drˇenı´ vztahu mezi n-ty´m a prvnı´m cˇlenem uveneny´m na str. 51: • V geometricke´ posloupnosti (an )∞ ˇ de´ n ∈ N n=1 s kvocientem q 6= 0 platı´ pro kaz


6

an = a1 · qn−1 . Vztah mezi dveˇma libovolny´mi cˇleny geometricke´ posloupnosti uvedeny´ na str. 52 pak prˇ´ımo vyply´va´ z veˇty prˇedchozı´: • V geometricke´ posloupnosti (an )∞ n=1 s kvocientem q 6= 0 platı´ pro vsˇechna r, s ∈ N as = ar · qs−r . V tomto mı´steˇ opeˇt postra´da´me prˇ´ıklad, ktery´ by vedl k odvozenı´ soucˇtu n cˇlenu˚ geometricke´ posloupnosti. Du˚vodem mu˚zˇe by´t, zˇe se jedna´ o komplikovaneˇjsˇ´ı vztah, nezˇ jaky´ platı´ pro posloupnost aritmetickou. Uva´dı´ jej na´sledujıćı´ veˇta ze str. 52: • Pro soucˇet sn prvnıćh n cˇlenu˚ geometricke´ posloupnosti (an )∞ n=1 s kvocientem q platı´: a) je-li q = 1, pak sn = na1 ; b) je-li q 6= 1, pak sn = a1

qn − 1 . q−1

Du˚kaz tohoto tvrzenı´ je pak proveden velice pecˇliveˇ a srozumitelnou formou. Pro cˇa´st b) jsou uvedeny dva du˚kazy, jednak postup zalozˇeny´ na srovnańı´ soucˇtu˚ sn a q · sn , jednak forma´lneˇjsˇ´ı postup zalozˇeny´ na matematicke´ indukci. Pote´ na´sleduje prˇ´ıklad procvicˇujıćı´ vzorec pro soucˇet prvnıćh n cˇlenu˚ geometricke´ posloupnosti. Za´veˇrem podkapitoly je prˇehledna´ tabulka (str. 55), ktera´ porovna´va´ vzorce pro aritmetickou a geometrickou posloupnost: Aritmeticka´ posloupnost

Geometricka´ posloupnost

an = an−1 + d

an = an−1 q

an = a1 + (n − 1)d

an = a1 qn−1

as = ar + (s − r)d n sn = (a1 + an ) 2

as = ar qs−r n

−1 sn = a1 qq−1

(pro q 6= 1)

sn = na1

(pro q = 1)

Takove´ porovnańı´ obou posloupnostı´ je dozajista vy´borny´m na´padem, tabulka totizˇ pomu˚zˇe zˇa´ku˚m utrˇ´ıdit si jednotlive´ pojmy a vztahy, ktere´ jsou si velice podobne´. Po te´to tabulce je jesˇteˇ uvedeno neˇkolik nerˇesˇenyćh prˇ´ıkladu˚ urcˇenyćh k procvicˇenı´ zı´skanyćh poznatku˚. Uzˇitı´ geometrickyćh posloupnostı´ je prˇedposlednı´ (cˇtvrtou) cˇa´stı´ kapitoly 2 a nezahrnuje nic jine´ho nezˇ financˇnı´ matematiku – te´ma, ktere´ veˇtsˇinou zˇa´ky prˇ´ılisˇ nebavı´, je pro neˇ


7

komplikovane´ a nesrozumitelne´. Tato cˇa´st obsahuje samozrˇejmeˇ take´ teoreticky´ u´vod, jenzˇ je ovsˇem sestaven z dlouhyćh bloku˚ textu, ktere´ se zˇa´ku˚m nechce veˇtsˇinou cˇ´ıst, a v du˚sledku toho se pak neorientujı´ v pocˇtech financˇnı´ matematiky. Po cˇtyrˇech rˇesˇenyćh prˇ´ıkladech tu na´sleduje soubor prˇ´ıkladu˚ nerˇesˇenyćh. Te´matu financˇnı´ matematiky se budeme podrobneˇji veˇnovat v kapitole 4. Jak jsme jizˇ uvedli, za´veˇrecˇna´ (pa´ta´) cˇa´st kapitoly 2 ucˇebnice [Odv1] ma´ na´zev Vlastnosti aritmetickyćh a geometrickyćh posloupnostı´. Pomocı´ rˇesˇenyćh prˇ´ıkladu˚ (veˇtsˇinou doplneˇnyćh grafy) jsou tu rˇesˇeny ota´zky, kdy je zadana´ aritmeticka´ posloupnost rostoucı´ cˇi klesajıćı´, shora, zdola cˇi oboustranneˇ omezena´. Za´vislost teˇchto vlastnostı´ na diferenci dane´ aritmeticke´ posloupnosti je informativneˇ uvedena ve veˇteˇ na str. 69. Pote´ jsou obdobny´m zpu˚sobem posouzeny zmıńeˇne´ vlastnosti pro geometrickou posloupnost se shrnutı´m ve veˇteˇ na str. 72. Tato cˇa´st je dı´ky motivacˇnı´m prˇ´ıkladu˚m velice na´zorna´ a pro zˇa´ky snadno pochopitelna´, nedomnı´va´me se vsˇak, zˇe by si zˇaći meˇli obeˇ shrnujıćı´ veˇty zapamatovat (proto je zde ani necitujeme). Podkapitola koncˇ´ı peˇticı´ nerˇesˇenyćh u´loh, ktere´ veˇtsˇinou ukla´dajı´ zˇa´ku˚m, aby uva´deˇli prˇ´ıklady aritmetickyćh a geometrickyćh posloupnostı´ pozˇadovanyćh vlastnostı´. ´ plny´m za´veˇrem cele´ posuzovane´ kapitoly 2 je soubor 9 nerˇesˇenyćh u´loh nazvany´ U´lohy U k opakovańı´. Uvedeny´ pocˇet u´loh je podle nasˇeho na´zoru nedostacˇujıćı´, ale zajiste´ jej kompenzuje sbı´rka prˇ´ıkladu˚ [Odv2], jezˇ k ucˇebnici prˇ´ıslusˇ´ı. Spolecˇneˇ tedy tvorˇ´ı uceleny´ obraz problematiky aritmetickyćh a geometrickyćh posloupnostı´, ktery´ je vhodnou pomu˚ckou prˇi vy´kladu tohoto te´matu v hodinaćh matematiky na gymna´ziu.

Kapitola 2 Standardnı´ u´lohy Stejneˇ jako v jinyćh odveˇtvıćh strˇedosˇkolske´ matematiky, existuje i v prˇ´ıpadeˇ aritmetickyćh a geometrickyćh posloupnostı´ soubor takzvanyćh standardnıćh u´loh, ktere´ by meˇl by´t zˇa´k schopen v pru˚beˇhu vy´kladu tohoto te´matu vyrˇesˇit. V te´to kapitole se budeme tedy zaby´vat jednotlivy´mi typy standardnıćh u´loh uva´deˇnyćh k te´matu Aritmeticke´ a geometricke´ posloupnosti, nejprve podrobneˇ vyrˇesˇ´ıme prˇ´ıklady ty´kajıćı´ se posloupnostı´ aritmetickyćh a pote´ stejny´m zpu˚sobem posoudı´me prˇ´ıklady na posloupnosti geometricke´.

2.1

Aritmeticka´ posloupnost

Oddı´l kazˇde´ sbı´rky prˇ´ıkladu˚ ty´kajıćı´ se aritmetickyćh posloupnostı´ je zaha´jen u´lohami ´ loha mu˚zˇe by´t zadańa zada´vajıćı´mi zˇa´ku˚m vypsat jednotlive´ cˇleny dane´ posloupnosti. U naprˇ´ıklad na´sledujıćı´m zpu˚sobem: Prˇ´ıklad 1. Vypisˇte prvnıćh 6 cˇlenu˚ aritmeticke´ posloupnosti, je-li jejı´ prvnı´ cˇlen roven 3 a diference je 2. ˇ esˇenı´: R Ma´me zadań prvnı´ cˇlen a1 = 3 posloupnosti a jejı´ diferenci d = 2. Pomocı´ vztahu an+1 = = an + d mezi dveˇma po sobeˇ na´sledujıćı´mi cˇleny tedy mu˚zˇeme jednodusˇe pocˇ´ıtat dalsˇ´ı a dalsˇ´ı cˇleny, a to opakovany´m dosazovańı´m do zmıńeˇne´ho vztahu:

a2 = a1 + d = 3 + 2 = 5 a3 = a2 + 2 = 5 + 2 = 7 a4 = a3 + 2 = 7 + 2 = 9 a5 = a4 + 2 = 9 + 2 = 11 a6 = a5 + 2 = 11 + 2 = 13

8

Kapitola 2. Standardnı´ u´lohy

9

Uvedeny´ podrobny´ za´pis rˇesˇenı´ se jisteˇ vyplatı´ jen prˇi plneˇnı´ prvnı´ho u´kolu, ktery´m s zˇa´ky zacˇ´ına´me aritmeticke´ posloupnosti procvicˇovat. Varianty te´hozˇ u´kolu pak zˇaći mohou plnit rovnou zpameˇti zapisovańı´m cˇlenu˚ vyćˇtem, ktery´ by u rˇesˇene´ho prˇ´ıkladu vypadal takto: 3, 5, 7, 9, 11, 13, . . . Jedna´ se tedy o nejjednodusˇsˇ´ı typ vy´pocˇtu, ktery´ je pro pozdeˇjsˇ´ı prˇ´ıklady nezbytny´m, nebot’ vyja´drˇenı´ ru˚znyćh cˇlenu˚ posloupnosti je pozˇadovańo v kazˇde´m z dalsˇ´ıch typu˚ standardnıćh u´loh. Patrneˇ nejcˇasteˇjsˇ´ım z nich je u´loha, ve ktere´ je zadańo neˇkolik cˇlenu˚ posloupnosti (veˇtsˇinou dva) a u´kolem zˇa´ka je vyja´drˇit bud’jejı´ prvnı´ cˇlen, nebo diferenci, prˇ´ıpadneˇ obojı´. Uvedeme dveˇ uka´zky. Prˇ´ıklad 2. Urcˇete diferenci aritmeticke´ posloupnosti (an )∞ ´ platı´: a1 = 7, a8 = n=1 , ve ktere = 14. ˇ esˇenı´: R Vyuzˇijeme vzorec an = a1 + (n − 1)d pro hodnotu n = 7 a zı´ska´me tak na´sledujıćı´ rovnici s nezna´mou d, kterou snadno vyrˇesˇ´ıme: a8 = a1 + 7d 14 = 7 + 7d d=1 Prˇ´ıklad 3. Urcˇete prvnı´ cˇlen a diferenci aritmeticke´ posloupnosti, jejı´zˇ osmy´ cˇlen je roven 10 a desa´ty´ cˇlen je roven 8. ˇ esˇenı´: R Tentokra´t vyuzˇijeme vztahu mezi osmy´m a desa´ty´m cˇlenem, ktery´ by zˇaći meˇli zna´t v obecne´ podobeˇ: ar = as + (r − s)d. a10 = a8 + 2d, Tuto rovnici snadno vyrˇesˇ´ıme, protozˇe jedinou nezna´mou je tu diference d: a10 − a8 2 8 − 10 d= 2 d = −1

d=

Zı´skali jsme tedy diferenci d = −1 a ted’jizˇ stacˇ´ı vyja´drˇit pomocı´ vztahu an = a1 + (n − 1)d prvnı´ cˇlen: a8 = a1 + 7d a1 = a8 − 7d a1 = 10 + 7 a1 = 17


10

Po teˇchto dvou nejjednodusˇsˇ´ıch typech standardnıćh u´loh ve sbı´rkaćh veˇtsˇinou na´sledujı´ prˇ´ıklady na urcˇenı´ aritmeticke´ posloupnosti podle hodnot zadanyćh vy´razu˚ (veˇtsˇinou dvou) sestavenyćh z neˇkteryćh jejıćh cˇlenu˚. Uvedeme nynı´ dva takove´ prˇ´ıklady: Prˇ´ıklad 4. Urcˇete prvnı´ cˇlen aritmeticke´ posloupnosti (an )∞ n=1 , v nı´zˇ platı´: a2 + a4 = 6, a3 + a5 = 8. ˇ esˇenı´: R Nejprve je zapotrˇebı´ prˇeve´st vsˇechny zastoupene´ cˇleny na soucˇet cˇlenu prvnı´ho a prˇ´ıslusˇny´ na´sobek diference, pak jizˇ stacˇ´ı vyrˇesˇit soustavu dvou rovnic o dvou nezna´myćh: a2 + a4

=6

a3 + a5

=8

(a1 + d) + (a1 + 3d) = 6 (a1 + 2d) + (a1 + 4d) = 8 2a1 + 4d

=6

2a1 + 6d

=8

2d

=2

d

=1

Dosazenı´m hodnoty d do jedne´ z rovnic pak zı´ska´va´me hodnotu a1 = 1. Prˇ´ıklad 5. Udejte prˇ´ıklad dvou ru˚znyćh aritmetickyćh posloupnostı´ (an )∞ ˇ zˇ platı´ n=1 , pro ne a11 − a8 = 9. Co majı´ vsˇechny takove´ posloupnosti spolecˇne´? ˇ esˇenı´: R Ze vsˇeho nejdrˇ´ıve prˇevedeme v zadane´ rovnici cˇleny a11 a a8 na soucˇet cˇlenu prvnı´ho a prˇ´ıslusˇne´ho na´sobku diference d: (a1 + 10d) − (a1 + 7d) = 9 Po odstraneˇnı´ za´vorek se cˇleny a1 odecˇtou a zı´ska´me rovnost 3d = 9, z cˇehozˇ plyne, zˇe d = 3. Diference je tedy pro vsˇechny hledane´ posloupnosti rovna 3. K uvedenı´ prˇ´ıkladu dvou takovyćh posloupnostı´ jizˇ stacˇ´ı jen zadat cˇlen a1 , a to naprˇ´ıklad takto: 1. posloupnost: a1 = 5, d = 3 (a8 = 26, a1 1 = 35) 2. posloupnost: a1 = 7, d = 3 (a8 = 28, a1 1 = 37). Toto byl jeden ze zpu˚sobu˚ rˇesˇenı´, zdatneˇjsˇ´ı zˇaći by mohli take´ vyuzˇ´ıt vzorce ar − as = = (r − s)d, ktery´ nenı´ sice prˇ´ılisˇ frekventovany´, ale nemeˇl by zˇa´ku˚m cˇinit potı´zˇe.


11

Stejneˇ jako ve sbı´rkaćh jsme i my v te´to kapitole uvedli pouze jednoduchou u´lohu s dveˇma vy´razy, ve ktere´ se zastoupene´ cˇleny (dva a dva) scˇ´ıtajı´. Teprve pote´ prˇicha´zejı´ na rˇadu prˇ´ıklady, v nichzˇ se cˇleny aritmeticke´ posloupnosti odcˇ´ıtajı´ cˇi dokonce na´sobı´ (uka´zky uvedme v kapitole 3). Vza´jemne´ deˇlenı´ cˇlenu˚ se pak v zadańıćh u´loh ve strˇedosˇkolskyćh sbı´rkaćh neobjevuje vu˚bec. Zatı´m jsme uva´deˇli standardnı´ prˇ´ıklady k procvicˇenı´ vztahu˚ mezi dveˇma cˇleny aritmeticke´ posloupnosti. Kromeˇ nich je ve sˇkolske´ teorii uva´deˇn uzˇ je jediny´, zato vsˇak velice vy´znamny´ vzorec, je jı´m vzorec pro vy´pocˇet soucˇtu prvnıćh n cˇlenu˚ dane´ aritmeticke´ posloupnosti. K jeho uzˇitı´ uvedme v te´to kapitole dva prˇ´ıklady: Prˇ´ıklad 6. Vypocˇteˇte soucˇet prvnıćh 6 cˇlenu˚ aritmeticke´ posloupnosti (an )∞ n=1 , je-li a1 = 5, d = 3. ˇ esˇenı´: R n Pro vy´pocˇet uzˇijeme vzorce sn = (a1 + an ) pro n = 6. Jedine´, co nezna´me a co je tedy 2 zapotrˇebı´ zjistit, je hodnota cˇlenu a6 : a6 = a1 + 5d = 5 + 5 · 3 = 20. Nynı´ jizˇ stacˇ´ı dosadit vsˇechny zna´me´ hodnoty do soucˇtove´ho vzorce: 6 s6 = (5 + 20) = 3 · 25 = 75. 2 Jak jsme se pra´veˇ prˇesveˇdcˇili, i prˇi nejjednodusˇsˇ´ım uzˇitı´ soucˇtove´ho vzorce je obvykle zapotrˇebı´ vyuzˇ´ıt drˇ´ıve procvicˇenyćh vztahu˚. Aritmeticke´ posloupnosti, jejichzˇ cˇleny ma´me secˇ´ıst, mohou by´t zada´vańy nejen pomocı´ a1 a d, ale take´ pomocı´ dvou ru˚znyćh cˇlenu˚. Ve sbı´rkaćh se pak soucˇtovy´ vzorec vyuzˇ´ıva´ prˇi rˇesˇenı´ praktickyćh situacı´. Ty mohou by´t zadańy naprˇ´ıklad takto: Prˇ´ıklad 7. Plechovky s barvou jsou v obchodeˇ postaveny do vrstev tak, zˇe v kazˇde´ vysˇsˇ´ı vrstveˇ je o jednu plechovku s barvou meńeˇ nezˇ ve vrstveˇ pod nı´. Do kolika vrstev se takto slozˇ´ı 28 plechovek s barvou, je-li v nejvysˇsˇ´ı vrstveˇ jedna plechovka? ˇ esˇenı´: R Ze zadańı´ okamzˇiteˇ vyply´va´, zˇe pocˇty plechovek ve vrstvaćh shora dolu˚ tvorˇ´ı aritmetickou posloupnost, ve ktere´ a1 = 1 a d = 1. Zna´me tedy prvnı´ cˇlen posloupnosti, jejı´ diferenci a soucˇet n cˇlenu˚ pro n, ktere´ hleda´me.


12

n sn = (a1 + an ) 2 n sn = (a1 + a1 + (n − 1)d) 2 n 28 = (1 + n) 2 56 = n + n2 0 = n2 + n − 56 0 = (n − 7)(n + 8)

ˇ esˇenı´m kvadraticke´ rovnice jsme tak zı´skali 2 korˇeny: n1 = 7 a n2 = −8. Pocˇet vrstev R plechovek s barvou ale nemu˚zˇe by´t za´porny´, proto je jediny´m rˇesˇenı´m te´to u´lohy n = 7. Vsˇechny plechovky se tedy ulozˇ´ı do 7 vrstev.

2.2

Geometricka´ posloupnost

Posloupnost prˇ´ıkladu˚ veˇnujıćıćh se te´matu geometrickyćh posloupnostı´ je velice podobna´ te´ u posloupnostı´ aritmetickyćh. Opeˇt zacˇ´ına´me nejjednodusˇsˇ´ım prˇ´ıkladem, tedy vy´pisem neˇkolika prvnıćh cˇlenu˚ geometricke´ posloupnosti urcˇene´ svy´m prvnı´m cˇlenem a kvocientem. Prˇ´ıklad 8. Zapisˇte prvnıćh 7 cˇlenu˚ geometricke´ posloupnosti, jejı´zˇ prvnı´ cˇlen je 64 a kvocient 0,5. ˇ esˇenı´: R Vyuzˇitı´m vztahu an+1 = an ·q mezi dveˇma po sobeˇ jdoucı´mi cˇleny velice jednodusˇe zjistı´me hodnoty prvnıćh 7 cˇlenu˚ posloupnosti: a2 = a1 · q = 64 · 0,5 = 32 a3 = a2 · q = 32 · 0,5 = 16 a4 = a3 · q = 16 · 0,5 = 8 a5 = a4 · q = 8 · 0,5 = 4 a6 = a5 · q = 4 · 0,5 = 2 a7 = a6 · q = 2 · 0,5 = 1

Podstatou vy´pocˇtu˚ cˇlenu˚ geometrich posloupnostı´ je tedy na´sobenı´ nebo deˇlenı´ cˇ´ısel v za´vislosti na zadańı´ kvocientu. Na´sobenı´ by´va´ pro zˇa´ky veˇtsˇinou slozˇiteˇjsˇ´ı u´kon nezˇ


13

scˇ´ıtańı´ nebo odecˇ´ıtańı´ cˇ´ısel – dvou operacı´, jezˇ uplatnˇovali v prˇ´ıpadeˇ posloupnostı´ aritmetickyćh. Docha´zı´ tu k cˇasteˇjsˇ´ım numericky´m chyba´m, obzvla´sˇt’v prˇ´ıpadech, je-li kvocient zadań ve tvaru zlomku nebo desetinny´m cˇ´ıslem. Dalsˇ´ı prˇeka´zˇkou, kterou by meˇli by´t zˇaći schopni prˇekonat, je pak vyja´drˇenı´ prvnı´ho cˇlenu nebo kvocientu geometricke´ posloupnosti urcˇene´ neˇktery´mi dveˇma jejı´mi cˇleny s dany´mi porˇadovy´mi cˇ´ısly: Prˇ´ıklad 9. Urcˇete kvocient geometricke´ posloupnosti (an )∞ ´ ny cˇleny n=1 , jestlizˇe jsou da a2 = 3 a a6 = 48. ˇ esˇenı´: R Ze vztahu ar = as · qs−r mezi r-ty´m a s-ty´m cˇlenem posloupnosti r=6as=4 q q pro indexy

vyply´va´: a6 = a2 · q4 , takzˇe pro hledany´ kvocient q platı´: q =

4

a6 a2

=

4

48 3

= 2.

Jak je videˇt v prˇedchozı´m prˇ´ıkladu, v u´lohaćh o geometrickyćh posloupnostech prˇecha´zı´me k pocˇtu˚m s mocninami a odmocninami vysˇsˇ´ıch rˇa´du˚, cozˇ mu˚zˇe cˇinit mnohy´m zˇa´ku˚m potı´zˇe. Stejneˇ jako u posloupnostı´ aritmetickyćh, dosta´va´me se k u´loha´m, v nichzˇ majı´ zˇaći za u´kol urcˇit geometrickou posloupnost podle zadanyćh vztahu˚ mezi jejı´mi (zpravidla dveˇma) cˇleny. Jejich rˇesˇenı´ pak vede na soustavy rovnic. V tomto prˇ´ıpadeˇ se ale veˇtsˇinou nejedna´ o soustavy rovnic pouze linea´rnıćh, ny´brzˇ take´ kvadratickyćh. Prˇ´ıklad 10. Urcˇete prvnı´ cˇlen a kvocient geometricke´ posloupnosti (an )∞ n=1 , v nı´zˇ platı´: a2 + a3 = 12, a4 − a2 = 12. ˇ esˇenı´: R a2 + a3

= 12

a4 − a2

= 12

a1 q + a1 q2

= 12

a1 q3 − a1 q

= 12

a1 q(1 + q) = 12 a1 q(q2 − 1) = 12 1+q (q−1)(q+1)

=1

q

=2

Dosadı´me-li hodnotu q = 2 do jake´koliv z druhe´ dvojice rovnic, zı´ska´me a1 = 2. V takovyćhto u´lohaćh se musı´ zˇa´k poty´kat nejen s rˇesˇenı´m kvadraticke´ rovnice, ale take´ s u´pravou algebraickyćh vy´razu˚. I kdyzˇ stojı´ tento prˇ´ıklad na stejne´ u´rovni jako u posloupnostı´ aritmetickyćh, jedna´ se proto o typ u´lohy s na´rocˇneˇjsˇ´ım rˇesˇenı´m. Nynı´ prˇejdeme k u´loha´m na procvicˇenı´ vy´znamne´ho vzorce pro soucˇet prvnıćh neˇkolika cˇlenu˚ geometricke´ posloupnosti. I ten je slozˇiteˇjsˇ´ı nezˇ obdobny´ soucˇtovy´ vzorec pro aritmetickou posloupnost.


14

Prˇ´ıklad 11. Vypocˇ´ıtejte soucˇet prvnıćh peˇti cˇlenu˚ geometricke´ posloupnosti, zna´te-li a1 = 3 a q = −1. ˇ esˇenı´: R n

−1 Dosadı´me-li zadane´ hodnoty do soucˇtove´ho vzorce sn = a1 qq−1 pro n = 5, obdrzˇ´ıme ihned rˇesˇenı´: 5

−1 s5 = a1 qq−1 = 3 −1−1 −1−1 = 3.

K poneˇkud prˇekvapive´ odpoveˇdi s5 = a1 by mohlo by´t vhodne´ zˇa´ku˚m zdu˚raznit, zˇe jsme vlastneˇ pocˇ´ıtali soucˇet 3 − 3 + 3 − 3 + 3. Zˇaći by pak sami mohli odvodit, zˇe sn = 3 nebo sn = 0 podle toho, zda je n liche´ nebo sude´ cˇ´ıslo. Prakticke´ u´lohy vyuzˇ´ıvajıćı´ geometrickyćh posloupnostı´ se veˇtsˇinou zaby´vajı´ proble´my z oblasti financˇnı´ matematiky. Jak jsme jizˇ zmıńili v prˇedchozı´ kapitole, jedna´ se prˇeva´zˇneˇ o te´ma mezi zˇa´ky neoblı´bene´ a hu˚rˇe pochopitelne´. Budeme se mu veˇnovat v kapitole 4. My zde vsˇak uvedeme jesˇteˇ jeden prˇ´ıklad vyuzˇ´ıvajıćı´ soucˇtovy´ vzorec, ktery´ do financˇnı´ matematiky nepatrˇ´ı. Prˇ´ıklad 12. Urcˇete pocˇet prvnıćh cˇlenu˚ geometricke´ posloupnosti, jejichzˇ soucˇet je roven 45, vı´te-li, zˇe a1 = 3 a q = 2. ˇ esˇenı´: R n

−1 Nejdrˇ´ıve vyja´drˇ´ıme ze soucˇtove´ho vzorce sn = a1 qq−1 mocninu qn :

qn =

sn ·(q−1) a1

+1

a dosadı´me zadane´ hodnoty: 45 · (2 − 1) +1 3 2n = 16. 2n =

Odtud jizˇ jednodusˇe urcˇ´ıme hledane´ n = 4. V za´veˇru kazˇde´ sbı´rky standardnıćh u´loh nesmı´ chybeˇt prˇ´ıklady, v nichzˇ zˇaći zkoumajı´ vlastnosti aritmetickyćh a geometrickyćh posloupnostı´, tedy zda jsou tyto posloupnosti rostoucı´, klesajıćı´, ani rostoucı´ ani klesajıćı´, omezene´, nebo shora, cˇi zdola omezene´: Prˇ´ıklad 13. Rozhodneˇte, zda je geometricka´ posloupnost (3n )∞ n=1 rostoucı´, klesajıćı´, omezena´.


15

ˇ esˇenı´: R Ze vsˇeho nejdrˇ´ıve se budeme zaby´vat tı´m, zda je posloupnost rostoucı´. Zˇaći by si sice mohli vypsat neˇkolik prvnıćh cˇlenu˚ posloupnosti a podle nich tuto vlastnost urcˇit, ale meˇli by by´t spı´sˇe vedeni oveˇrˇovańı´ te´to vlastnosti pro obecne´ n. Ma´-li tedy by´t posloupnost rostoucı´, musı´ by´t an+1 > an pro libovolne´ n. V nasˇem prˇ´ıpadeˇ tedy musı´ platit 3n+1 > 3n . Pokud nynı´ tuto nerovnost podeˇlı´me vy´razem 3n , dostaneme ekvivalentnı´ nerovnost 3 > 1, ktera´ zrˇejmeˇ platı´. Posloupnost je tedy rostoucı´ (nenı´ klesajıćı´) a take´ je zdola omezena´ cˇlenem a1 = 31 = 3. Shora tato posloupnost omezena´ nenı´, z cˇehozˇ vyply´va´, zˇe nenı´ ani omezena´. V prˇ´ıkladech podobnyćh tomu prˇedchozı´mu je veˇtsˇinou zada´vańo vıće posloupnostı´ najednou a u´kolem zˇa´ku˚ by´va´ urcˇit ru˚zne´ vlastnosti zadanyćh posloupnostı´, avsˇak veˇtsˇinou jsou vsˇechny zadane´ posloupnosti pouze aritmeticke´ nebo geometricke´. I kdyzˇ se tyto u´lohy objevujı´ v kapitole veˇnujıćı´ se vlastnostem obou zmıńeˇnyćh posloupnostı´, nevyskytujı´ se prˇ´ıklady smı´sˇene´. Rozpoznat typ posloupnosti a pote´ jesˇteˇ urcˇit jejı´ vlastnosti by sice mohlo by´t pro zˇa´ky na´rocˇneˇjsˇ´ı, ale prˇesto by se meˇli umeˇt i s tı´mto komplexneˇjsˇ´ım u´kolem vyrovnat. Za´veˇrem te´to kapitoly je jesˇteˇ nutno podotknout, zˇe sbı´rka standardnıćh u´loh tvorˇ´ı jaky´si za´klad prˇi vyúce aritmetickyćh a geometrickyćh posloupnostı´, samozrˇejmeˇ se vsˇak ve sbı´rkaćh objevujı´ take´ u´lohy slozˇiteˇjsˇ´ı. Ty se mohou zˇa´ku˚m zprvu jevit jako velice na´rocˇne´, ale prˇi blizˇsˇ´ım pohledu brzy zjistı´, zˇe jsou pouze poskla´dańy z u´loh standardnı´ho typu a obcˇas jsou k jejich vyrˇesˇenı´ potrˇeba take´ znalosti z jinyćh te´mat strˇedosˇkolske´ matematiky. A pra´veˇ teˇmito na´rocˇny´mi a nestandardnı´mi u´lohami se budeme zaby´vat v na´sledujıćı´ kapitole.

Kapitola 3 Nestandardnı´ u´lohy Vy´klad problematiky aritmetickyćh a geometrickyćh posloupnostı´ je kromeˇ jizˇ uvedenyćh typu˚ standardnıćh u´loh podporˇen take´ u´lohami, ktere´ mohou by´t pro mnohe´ zˇa´ky obtı´zˇneˇ rˇesˇitelne´. Jedna´ se o u´lohy nestandardnı´, ktere´ mohou by´t zˇa´ku˚m zada´vańy formou dobrovolnyćh domaćıćh u´kolu˚, jako u´lohy k zamysˇlenı´ nebo se mohou vyskytovat v zadańı´ matematickyćh olympia´d. Podobneˇ jako v prˇedchozı´ kapitole uvedeme neˇkolik za´stupcu˚ teˇchto nestandardnıćh u´loh vcˇetneˇ jejich rˇesˇenı´. Prvnı´ prˇ´ıklad, ktery´ v te´to kapitole uvedeme, je zadań ve sbı´rce prˇ´ıkladu˚ [Vej] na str. 251. Zˇaći prˇi neˇm musı´ uplatnit nejen znalosti posloupnostı´, ale take´ rˇesˇenı´ soustav rovnic s parametrem. Prˇ´ıklad 1. Najdeˇte trˇi po sobeˇ jdoucı´ cˇleny aritmeticke´ posloupnosti, vı´te-li, zˇe jejich soucˇet je 3x a jejich soucˇin je x3 − 4, prˇicˇemzˇ x > 0. ˇ esˇenı´: R Oznacˇme si hledane´ cˇleny aritmeticke´ posloupnosti jako an−1 , an , an+1 , prˇicˇemzˇ cˇleny an−1 a an+1 mu˚zˇeme vyja´drˇit pomocı´ an a diference takto: an−1 = an − d, an+1 = an + d. Ze zadańı´ prˇitom vı´me na´sledujıćı´: an−1 + an + an+1 = 3x an−1 · an · an+1 = x3 − 4 Dosadı´me-li sem za an−1 a an+1 uvedena´ vyja´drˇenı´, zı´ska´me soustavu dvou rovnic o dvou nezna´myćh an a d: (an − d) + an + (an + d) = 3x (an − d) · an · (an + d) = x3 − 4 16

Kapitola 3. Nestandardnı´ u´lohy

17

Z prvnı´ rovnice ma´me prˇ´ımo an = x, po dosazenı´ do druhe´ rovnice dostaneme (x − − d)x(x + d) = x3 − 4 neboli x3 − xd 2 = x3 − 4, odkud vzhledem k prˇedpokladu x > 0 √ ma´me d = ± 2 x x . Trˇi po sobeˇ jdoucı´ cˇleny aritmeticke´ posloupnosti, ktere´ splnˇujı´ zadane´ rovnosti: √

√

x ∓ 2 x x , x, x ± 2 x x , jsou tedy azˇ na porˇadı´ prvnı´ho a trˇetı´ho cˇlenu urcˇeny jednoznacˇneˇ. Mezi nestandardnı´ u´lohy patrˇ´ı take´ ty, v nichzˇ je u´kolem zˇa´ku˚ doka´zat neˇjake´ tvrzenı´, proto zde uva´dı´me prˇ´ıklad, ktery´ je opeˇt ze sbı´rky [Vej], tentokra´t uvedeny´ na straneˇ 253: 1 1 1 Prˇ´ıklad 2. Jestlizˇe vy´razy b+c , c+a , a+b , v nichzˇ cˇ´ısla a, b, c naby´vajı´ prˇ´ıpustnyćh hodnot, tvorˇ´ı trˇi po sobeˇ jdoucı´ cˇleny aritmeticke´ posloupnosti, pak take´ cˇ´ısla a2 , b2 , c2 tvorˇ´ı trˇi po sobeˇ jdoucı´ cˇleny aritmeticke´ posloupnosti. Dokazˇte.

ˇ esˇenı´: R Jsou-li uvedene´ vy´razy trˇemi po sobeˇ jdoucı´mi cˇleny aritmeticke´ posloupnosti s diferencı´ d1 , pak musı´ platit na´sledujıćı´ rovnosti: 1 1 1 1 − = − = d1 c+a b+c a+b c+a Nynı´ budeme postupneˇ upravovat obeˇ strany rovnice tak, bychom zı´skali pozˇadovanou rovnost, tedy b2 − a2 = c2 − b2 : b−a c−b = (c + a)(b + c) (a + b)(c + a) Tuto rovnici vyna´sobı´me soucˇinem vy´razu˚ (c + a), (b + c) a (a + b): (b − a)(a + b) = (c − b)(b + c), pote´ jesˇteˇ na kazˇdou stranu rovnosti aplikujeme (A − B)(B − A) = A2 − B2 : b2 − a2 = c2 − b2 = d2 Z te´to rovnice jizˇ vyply´va´, zˇe cˇ´ısla a2 , b2 , c2 jsou trˇi po sobeˇ jdoucı´ cˇleny aritmeticke´ posloupnosti s diferencı´ d2 . Na´sledujıćı´ prˇ´ıklad (sestaveny´ vedoucı´m praće) spojuje problematiku aritmetickyćh posloupnostı´, pravou´hlyćh troju´helnı´ku˚ a take´ pomeˇru˚, mohlo by tedy by´t vhodne´ zarˇadit jej do souhrnne´ pı´semne´ praće naprˇ´ıklad prˇi opakovańı´ la´tky v maturitnıćh rocˇnıćıćh. Prˇ´ıklad 3. Dokazˇte, zˇe vsˇechny pravou´hle´ troju´helnı´ky se stranami, jejichzˇ de´lky tvorˇ´ı aritmetickou posloupnost, jsou navza´jem podobne´. V jake´m pomeˇru jsou trˇi zmıńeˇne´ de´lky?


18

ˇ esˇenı´: R Oznacˇme si strany dane´ho pravou´hle´ho troju´helnı´ku takto:

B

c a

C

b

A

a
a+c 2 .

(a + c)2 4 4c2 = 4a2 + a2 + 2ac + c2 c2 = a2 +

0 = 5a2 + 2ac − 3c2 √ −2c ± 4c2 + 4 · 5 · 3c2 −2c ± 8c a1,2 = = 10 10 ˇ esˇenı´m kvadraticke´ rovnice jsou dva korˇeny: a1 = −c a a2 = 3c . Velikost stany a ale R 5 nemu˚zˇe by´t za´porny´m na´sobkem velikosti strany c, jediny´m rˇesˇenı´m je tedy v nasˇem a+c ´ me b = 4c prˇ´ıpadeˇ a = 3c 5 . Po dosazenı´ do b = 2 zı´ska 5.


19

Podobnost vsˇech pravou´hlyćh troju´helnı´ku˚, jejichzˇ strany tvorˇ´ı aritmetickou posloupnost je doka´zańa tı´m, zˇe strany a i b jsou urcˇeny´mi na´sobky strany c, prˇicˇemzˇ jejich pomeˇr je na´sledujıćı´: a:b:c=

3 4 : : 1 = 3 : 4 : 5. 5 5

Jak jsme zmıńili jizˇ v prˇedchozı´ kapitole, cˇasto jsou zada´vańy vztahy mezi jednotlivy´mi cˇleny naprˇ´ıklad aritmeticke´ posloupnosti soucˇtem nebo rozdı´lem jejıćh cˇlenu˚, zada´me-li vsˇak vztah mezi dveˇma cˇleny aritmeticke´ posloupnosti jejich pomeˇrem (jako je tomu v na´sledujıćı´m prˇ´ıkladu ze sbı´rky [Kri] – str. 286), mu˚zˇe by´t zˇa´k zaskocˇen, proto jej zarˇazujeme mezi u´lohy nestandardnı´ho typu: Prˇ´ıklad 4. Ve ktere´ aritmeticke´ posloupnosti je

a2 a7

=

4 19 ;

a4 + a5 = 46?

ˇ esˇenı´: R Tato u´loha mu˚zˇe by´t rˇesˇena prˇevedenı´m jednotlivyćh zastoupenyćh cˇlenu˚ posloupnosti na soucˇet a1 a prˇ´ıslusˇne´ho na´sobku diference d: 4 a1 + d = , a1 + 6d 19

(a1 + 3d) + (a1 + 4d) = 46,

ˇ esˇenı´m upravene´ soustavy dvou linea´rnıćh rovnic R 19(a1 + d) = 4(a1 + 6d),

2a1 + 7d = 46,

je dvojice: a1 = 2 a d = 6. Prˇ´ıklad 5. Jestlizˇe cˇ´ısla logk x, logm x, logn x (x 6= 1) tvorˇ´ı aritmetickou posloupnost, pak je n2 = (kn)logk m ; dokazˇte. ˇ esˇenı´: R Jestlizˇe uvedene´ vy´razy tvorˇ´ı aritmetickou posloupnost s diferencı´ d, pak musı´ splnˇovat na´sledujıćı´ rovnost: logm x − logk x = logn x − logm x = d Nynı´ prˇevedeme oba vy´razy logm x na jednu stranu rovnice a uzˇijeme vztah loga b =

1 logb a :


20

2 1 1 = + . logx m logx n logx k Na tomto mı´steˇ prˇedchozı´ rovnost vyna´sobı´me vy´razem logx m a prˇevedeme podı´ly logalog b ritmu˚ na jeden logaritmus, a to dı´ky vzorci: loga c = logc b. a

2 = logn m + logk m, prˇicˇemzˇ cˇ´ıslo 2 mu˚zˇeme prˇepsat na logn n2 a logk m na logn nlogk m . Takto zı´ska´me rovnost obsahujıćı´ pouze logaritmy stejne´ho za´kladu: logn n2 = logn m + logn nlogk m , odkud po odlogaritmovańı´ dostaneme: n2 = m · nlogk m = klogk m · nlogk m = (kn)logk m , cozˇ jsme chteˇli doka´zat. Prˇedchozı´ prˇ´ıklad (sbı´rka [Lid], str. 10) patrˇ´ı mezi prˇ´ıklady du˚kazove´. Jeho rˇesˇenı´ by pro zˇa´ky strˇednıćh sˇkol mohlo by´t obtı´zˇne´, protozˇe je zde vyuzˇ´ıvańo vztahu˚ mezi logaritmy, ktere´ nejsou standardneˇ ve vyúce uva´deˇny. Naopak prˇi rˇesˇenı´ prˇ´ıkladu na´sledujıćı´ho (sbı´rka [Kri], str. 290) stacˇ´ı zˇa´ku˚m k vyrˇesˇenı´ znalost Pythagorovy veˇty a vzorcu˚ pro vy´pocˇet obsahu a objemu koule. Prˇ´ıklad 6. Do koule o polomeˇru 1 m je vepsańa krychle; do nı´ opeˇt koule atd. Vypocˇteˇte polomeˇr desa´te´ koule a povrch a objem desa´te´ krychle. ˇ esˇenı´: R Polomeˇry koulı´ r1 , r2 , r3 , . . . budou zrˇejmeˇ cˇleny geometricke´ posloupnosti, nasˇ´ım u´kolem je tedy vyja´drˇit cˇlen r10 pomocı´ cˇlenu r1 .

H

G

E

F S D C

A

B


21

Nejveˇtsˇ´ı koule ma´ polomeˇr r1 = 1 m, prˇicˇemzˇ tento rozmeˇr je v nasˇem obra´zku roven naprˇ´ıklad velikosti teˇlesove´ u´hloprˇ´ıcˇky DF. Pomocı´ pravou´hle´ho troju´helnı´ku BFD jsme proto schopni dopocˇ´ıtat vztah mezi polomeˇrem prvnı´ koule r1 a stranou a1 nejveˇtsˇ´ı vepsane´ krychle: 4r12 = a21 + b2 , √ kde b je u´hloprˇ´ıcˇkou cˇtverce ABCD, tedy b = a1 2, takzˇe 4r12 = a21 + 2a21 ,

odkud

a1 =

q

4 3 r1 .

Zna´me tedy polomeˇr nejveˇtsˇ´ı koule a stranu do nı´ vepsane´ krychle. Do te´to krychle nynı´ vepı´sˇeme qdalsˇ´ı kouli, jejı´ polomeˇr bude zrˇejmeˇ roven polovineˇ de´lky strany krychle: r2 = 12 a1 = 12 chozı´ u´vahy

4 ´ to koule je pak vepsańa dalsˇ´ı krychle, jejı´zˇ strana bude podle prˇed3 r1 . Do te q 2 q 4 · 12 r1 , do nı´ opeˇt vepı´sˇeme kouli s porˇadovy´m rovna a2 = 43 r2 = 3 1 2 a2

1 2 2

q 2

q

4 3

cˇ´ıslem 3: r3 = = r1 , prˇicˇemzˇ strana trˇetı´ krychle bude a3 = 43 r3 = q 3 4 1 2 = · ćˇtu jizˇ snadno odvodı´me vztahy pro polomeˇr kazˇde´ na´sle3 2 r1 . Z tohoto vy dujıćı´ koule a stranu dalsˇ´ı krychle:

rn =

1 n−1 2

q n−1 4 3

a an =

r1

q n 4 3

·

1 n−1 r1 . 2

·

1 9 2

Pro desa´tou kouli a desa´tou krychli tedy bude platit:

r10 =

1 9 2

q 9 4 3

=

√ 3 243

a a10 =

q 10 4 3

=

2 243 .

Nasˇ´ım u´kolem vsˇak bylo urcˇit objem a povrch desa´te´ koule: V10 = a310 =

8 2433

m3 ;

S10 = 6a210 =

24 2432

m2 .

Meńeˇ cˇasto jsou posloupnosti spojovańy take´ s rˇesˇenı´m kvadratickyćh rovnic, konkre´tneˇ v dalsˇ´ım prˇ´ıkladu je zapotrˇebı´ zna´t podmıńku, kdy ma´ takova´ rovnice dvojna´sobny´ korˇen, tedy podmıńku vztahujıćı´ se k diskriminantu prˇ´ıslusˇne´ rovnice. Prˇ´ıklad byl prˇevzat ze sbı´rky [Vej] ze strany 255. Prˇ´ıklad 7. Jestlizˇe v rovnici ax2 + 2bx + c = 0 tvorˇ´ı nenulova´ cˇ´ısla a, b, c trˇi po sobeˇ jdoucı´ cˇleny geometricke´ posloupnosti, ma´ rovnice dvojna´sobny´ korˇen. Dokazˇte.


22

ˇ esˇenı´: R Jelikozˇ cˇ´ısla a, b a c tvorˇ´ı trˇi po sobeˇ jdoucı´ cˇleny geometricke´ posloupnosti, mu˚zˇeme si cˇ´ısla a a c prˇeznacˇit takto: a = bq a c = bq, kde q je kvocientem posloupnosti, prˇitom podle zadańı´ b 6= 0 i q 6= 0. Kvadratickou rovnici je tak mozˇne´ prˇepsat: bq x2 + 2bx + bq = 0. Nynı´ obvykly´m zpu˚sobem vyja´drˇ´ıme korˇeny rovnice x1 a x2 : s − 2b ± x1,2 =

(2b)2 − 4bq b 2· q

b q

.

´ pravou diskriminantu zjistı´me, zˇe je roven 0, cozˇ je podmıńkou toho, zˇe ma´ uvedena´ U kvadraticka´ rovnice dvojna´sobny´ korˇen, jak jsme meˇli doka´zat. Dalsˇ´ı dva prˇ´ıklady, v nichzˇ majı´ zˇaći udat prˇ´ıklad posloupnosti nebo rozhodnout o existenci neˇjake´ posloupnosti, opeˇt navrhnul vedoucı´ praće. Prˇ´ıklad 8. Udejte prˇ´ıklad nekonecˇne´ geometricke´ posloupnosti, mezi jejı´mizˇ cˇleny je pra´veˇ 2012 celyćh cˇ´ısel. ˇ esˇenı´: R Ma´me-li udat prˇ´ıklad nekonecˇne´ geometricke´ posloupnosti, ktera´ ovsˇem obsahuje konecˇny´ pocˇet celyćh cˇ´ısel, musı´me neˇjaky´m zpu˚sobem zajistit, aby s dalsˇ´ımi a dalsˇ´ımi cˇleny posloupnosti k jejı´m cˇlenu˚m jizˇ neprˇiby´vala cela´ cˇ´ısla. Toho lze docı´lit v prˇ´ıpadeˇ, zˇe bude kvocient te´to posloupnosti v absolutnı´ hodnoteˇ mensˇ´ı nezˇ 1. Zvolme si jej tedy naprˇ´ıklad roven 21 a za prvnı´ cˇlen posloupnosti zvolı´me sude´ cˇ´ıslo, ota´zkou ale zu˚sta´va´, jak velke´, aby vy´sledny´ pocˇet celocˇ´ıselnyćh cˇlenu˚ posloupnosti byl roven cˇ´ıslu 2012. Zkusme prvnı´ cˇlen polozˇit roven 8, kazˇdy´ dalsˇ´ı cˇlen tedy bude roven polovineˇ cˇlenu prˇedcha´zejıćı´ho: a1 = 8, a2 = 4, a3 = 2, a4 = 1, a5 = 21 , a6 = 14 , . . . Tato posloupnost tedy obsahuje 4 cela´ cˇ´ısla. Zvolı´me-li prvnı´ cˇlen dvakra´t veˇtsˇ´ı, tedy roven cˇ´ıslu 16, bude posloupnost obsahovat o 1 cele´ cˇ´ıslo vıće, celkem tedy 5. Souvislost pocˇtu celocˇ´ıselnyćh cˇlenu˚ geometricke´ posloupnosti s volbou prvnı´ho cˇlenu vyjde najevo, prˇevedeme-li si zvolene´ prvnı´ cˇleny na mocniny cˇ´ısla 2, tedy 23 a 24 . Pocˇet celocˇ´ıselnyćh cˇlenu˚ je tak pokazˇde´ o 1 veˇtsˇ´ı, nezˇ je mocnina cˇ´ısla 2 v prvnı´m cˇlenu. Chceme-li tedy zı´skat celkem 2012 celyćh cˇ´ısel v posloupnosti s kvocientem q = 12 , musı´me prvnı´ cˇlen zadat takto: a1 = 22011 . Prˇ´ıklad 9. Rozhodneˇte, zda existuje geometricka´ posloupnost, ktera´ ma´ za cˇleny nekonecˇneˇ mnoho raciona´lnıćh cˇ´ısel i nekonecˇneˇ mnoho iraciona´lnıćh cˇ´ısel. ˇ esˇenı´: R Hleda´me tedy geometrickou posloupnost, jejı´mizˇ cˇleny budou √ strˇ´ıdave √ˇ raciona´lnı´ a iraciona´lnı´ cˇ´ısla. Takove´ho strˇ´ıdańı´ lze dosa´hnout volbou a1 = 2 a q = 2.


a1 =

23

√ √ 3 √ 5 2, a2 = 2, a3 = 2 , a4 = 4, a5 = 2 , a6 = 8, . . .

Uvedeny´ prˇ´ıklad tedy dokazuje existenci geometricke´ posloupnosti, ktera´ ma´ za cˇleny nekonecˇneˇ mnoho raciona´lnıćh cˇ´ısel i nekonecˇneˇ mnoho iraciona´lnıćh cˇ´ısel. Desa´ty´ prˇ´ıklad je uveden ve sbı´rce [Lid] na straneˇ 11, jeho rˇesˇenı´ sesta´va´ veˇtsˇinou z algebraickyćh u´prav, ktery´m ale prˇedcha´zı´ vyuzˇitı´ vztahu˚ mezi jednotlivy´mi cˇleny geometricke´ posloupnosti: Prˇ´ıklad 10. V geometricke´ posloupnosti s kladny´mi cˇleny a1 , a2 , a3 , . . . jsou dańy cˇleny am+n = A, am−n = B (kde o prˇirozenyćh cˇ´ıslech m, n platı´ m > n). Najdeˇte am a an . ˇ esˇenı´: R Jelikozˇ jsou am+n a am−n cˇleny geometricke´ posloupnosti, musı´ podle vzorce pro obecny´ cˇlen ak = a1 qk−1 platit: am+n = a1 qm+n−1 = A,

am−n = a1 qm−n−1 = B.

Protozˇe podle zadańı´ platı´ A > 0 a B > 0, mu˚zˇeme da´t oba vy´razy do pomeˇru: A B

=

am+n am−n

= qm+n−1−m+n+1 = q2n . q

A Odtud jizˇ snadno vyja´drˇ´ıme kladny´ kvocient nasˇ´ı posloupnosti: q = ˇ stacˇ´ı B . Nynı´ jiz r−s vyja´drˇit cˇleny am a an pomocı´ vztahu ar = as q a dosadit za kvocient pra´veˇ nalezenou hodnotu: 2n

1 2 12 √ AB A 2 am = am−n q = B · = = AB, B B −m 2n −m 2n1 2n−m m A 2n A A an = am+n q−m = A · = = A 2n · B 2n . −m B B n

Take´ jedenaćty´ prˇ´ıklad pocha´zı´ ze sbı´rky [Lid], tentokra´t ze strany 12: Prˇ´ıklad 11. Dokazˇte, zˇe cˇ´ısla 49, 4489, 444889, . . . , ktera´ dostaneme postupneˇ tak, zˇe „do strˇedu“ za´pisu prˇedchozı´ho cˇ´ısla vsuneme 48, jsou vesmeˇs druhe´ mocniny prˇirozenyćh cˇ´ısel. ˇ esˇenı´: R Kazˇde´ z uvazˇovanyćh cˇ´ısel mu˚zˇeme v dekadicke´ soustaveˇ zapsat takto: n cifer n−1 cifer

n cifer

n cifer

z }| { z }| { z }| { z }| { 44 . . . 4 88 . . . 8 9 = 4 · 11 . . . 1 ×10n + 8 · 11 . . . 1 +1,


24

n cifer

z }| { n −1 prˇicˇemzˇ cˇ´ıslo 11 . . . 1 lze napsat pomocı´ vztahu sn = a1 qq−1 jako soucˇet cˇlenu˚ geometricke´ posloupnosti s prvnı´m cˇlenem a1 = 1 a kvocientem q = 10: n cifer

z }| { 11 . . . 1 = 1 + 10 + 102 + · · · + 10n−1 = 19 (10n − 1). Pu˚vodnı´ za´pis uvazˇovanyćh cˇ´ısel mu˚zˇeme tedy nynı´ prˇepsat: 4·

1 4 1 n n n 9 (10 − 1)10 + 8 · 9 (10 − 1) + 1 = 9

· 102n + 49

· 10n + 19

=

2·10n +1 3

2

.

Zlomek v poslednı´m vy´razu je cele´ cˇ´ıslo, nebot’ jeho cˇitatel ma´ ciferny´ soucˇet rovny´ 3, takzˇe je deˇlitelny´ trˇemi. Doka´zali jsme tedy, zˇe uvedena´ cˇ´ısla jsou druhy´mi mocninami prˇirozenyćh cˇ´ısel. Jak mu˚zˇeme videˇt z prˇedchozıćh prˇ´ıkladu˚, nenı´ vzˇdy jednoduche´ rˇesˇit nestandardnı´ u´lohy ty´kajıćı´ se aritmetickyćh a geometrickyćh posloupnostı´, proto by na´sledujıćı´ tabulky netradicˇnıćh vztahu˚ uvedene´ v publikaci [Hor] na stranaćh 2-28 a 2-29 mohly by´t pro rˇesˇitele takovyćh u´loh velmi uzˇitecˇne´.


25

Vzorce pro aritmetickou posloupnost a = prvnı´ cˇlen posloupnosti l = poslednı´ cˇlen posloupnosti n = pocˇet cˇlenu˚ posloupnosti d = diference S = soucˇet vsˇech n cˇlenu˚

Hledany´ prvek

a

d

l

n

S

Zadane´ prvky

Vztah

d

l

n

a = l − (n − 1)d

d

n

S

d

l

S

a = Sn − n−1 2qd a = d2 ± 12 (2l + d)2 − 8dS

l

n

S

a=

a

l

n

d=

a

n

S

d=

a

l

S

d=

l

n

S

d=

a

d

n

a

d

S

l = a + (n − 1)d √ 8dS+(2a−d)2 d l = −2 ± 2

a

n

S

d

n

S

a

d

l

a

d

S

a

l

S

d

l

S

a

d

n

a

d

l

a

l

n

d

l

n

2S n −l l−a n−1 2S−2an n(n−1) l 2 −a2 2S−l−a 2nl−2S n(n−1)

2S n −a l = Sn + n−1 2 d n = 1 + l−a d √ 8dS+(2a−d)2 d−2a n = 2d ± 2d 2S n = a+l √ (2l+d)2 −8dS 2l+d n = 2d ± 2d n S = 2 [2a + (n − 1)d] l 2 −a2 a+l S = a+l 2 + 2d = 2d (l + d − a) S = n2 (a + l) S = n2 [2l − (n − 1)d]

l=


26

Vzorce pro geometrickou posloupnost a = prvnı´ cˇlen posloupnosti l = poslednı´ cˇlen posloupnosti n = pocˇet cˇlenu˚ posloupnosti r = kvocient S = soucˇet vsˇech n cˇlenu˚

Hledany´ prvek

a

l

n

r

S

Zadane´ prvky

Vztah l rn−1 (r−1)S rn −1

l

n

r

a=

n

r

S

a=

l

r

S

a = lr − (r − 1)S

l

n

S

a

n

r

l = arn−1

a

r

S

l = 1r [a + (r − 1)S]

a

n

S

n

r

S

l=

a

l

r

n=

a

r

S

n=

a

l

S

n=

l

r

S

n=

a

l

n

r=

a

n

S

rn =

a

l

S

r=

l

n

S

rn =

a

n

r

S=

a

l

r

S=

a

l

n

S=

l

n

r

S=

a(S − a)n−1 = l(S − l)n−1

l(S − l)n−1 = a(S − a)n−1 S(r−1)rn−1 rn −1 log l−log a +1 log r log [a+(r−1)S]−log a log r log l−log a log (S−a)−log(S−l) + 1 log l−log [lr−(r−1)S] +1 q log r n−1 l a Sr a−S a + a S−a S−l Srn−1 l S−l − S−l a(rn −1) r−1 lr−a r−1 √ √ n−1 l n − n−1 an √ √ n−1 l− n−1 a l(rn −1) (r−1)rn−1

Kapitola 4 Financˇnı´ matematika Financˇnı´ matematika je odveˇtvı´m prakticke´ matematiky, ktere´ je velmi rozsa´hle´, pomeˇrneˇ na´rocˇne´ a pro zˇa´ky veˇtsˇinou obtı´zˇne´ z hlediska orientovańı´ se v neˇm. By´va´ sice soucˇa´stı´ kapitol zaby´vajıćıćh se geometricky´mi posloupnostmi, avsˇak jako by vzˇdy meˇla vy´jimecˇne´ postavenı´ vu˚cˇi ostatnı´m podkapitola´m. A procˇ take´ ne, vzˇdyt’ s financemi prˇicha´zı´me do kontaktu te´meˇrˇ denneˇ, at’ uzˇ prˇi ukla´dańı´ peneˇz na ućˇet, splaćenı´ pu˚jcˇek a u´veˇru˚ nebo na´kupu akciı´. Toto te´ma je v ucˇebnici matematiky pro gymna´zia [Odv1] soucˇa´stı´ kapitoly o posloupnostech. Vy´znamny´ cˇesky´ autor strˇedosˇkolskyćh ucˇebnic matematiky Oldrˇich Odva´rko ´ lohy z financˇnı´ matematiky zpracoval te´ma financˇnı´ matematiky take´ v publikacıćh: U pro strˇednı´ sˇkoly [Odv4], v nı´zˇ je toto te´ma vylozˇeno velmi podrobneˇ, doplneˇno mnoha na´zorny´mi ilustracemi a rejstrˇ´ıkem du˚lezˇityćh vzorcu˚, a Matematika pro strˇednı´ odborne´ sˇkoly a studijnı´ obory strˇednıćh odbornyćh ucˇilisˇt’ [Odv3]. V te´to ucˇebnici je naopak financˇnı´ matematice veˇnovańa strucˇna´ kapitola obsahujıćı´ pouze za´kladnı´ u´daje. Z obou publikacı´ jsme prˇi sestavovańı´ te´to kapitoly cˇerpali a uvedeme v nı´ za´kladnı´ pojmy financˇnı´ matematiky doplneˇne´ standardnı´mi prˇ´ıklady.

4.1

Pouzˇite´ symboly

Pro zjednodusˇenı´ jsou ve financˇnı´ matematice cˇasto vyuzˇ´ıvańy symboly oznacˇujıćı´ ru˚zne´ pojmy, ktery´m je veˇnovańa u´vodnı´ podkapitola. Ve vsˇech dalsˇ´ıch podkapitolaćh je aplikovań standard 30E/360, neˇmecka´ metoda, podle nı´zˇ ma´ kazˇdy´ meˇsıć 30 dnı´ a kazˇdy´ rok

27

Kapitola 4. Financˇnı´ matematika

28

ma´ tedy dnı´ 360. Nynı´ uvedeme symboly, jezˇ budou v na´sledujıćı´m textu vyuzˇ´ıvańy: n je pocˇet let, po ktery´ se kapita´l u´rocˇ´ı (u´rocˇ´ı se jednou rocˇneˇ), t je pocˇet dnı´, ktere´ tvorˇ´ı u´rokovou dobu, i je u´rokova´ mı´ra vyja´drˇena´ desetinny´m cˇ´ıslem, u k je zdanˇovacı´ koeficient : k = 1 − , kde u % je danˇ z u´roku zı´skane´ho 100 z vlozˇene´ho kapita´lu, K0 je pocˇa´tecˇnı´ vklad (kapita´l), Un je u´rok po zdaneˇnı´ na konci n-te´ho u´rokovacı´ho obdobı´, Kn je vy´sledny´ kapita´l na konci n-te´ho u´rokovacı´ho obdobı´, U je u´rok po zdaneˇnı´ za u´rokovou dobu, K je kapita´l na konci u´rokove´ doby, m je celkovy´ pocˇet u´rokovacıćh obdobı´, Sm je kapita´l dosazˇeny´ prˇi pravidelne´m sporˇenı´ stejnyćh cˇa´stek na konci m-te´ho u´rokovacı´ho obdobı´, K je cˇa´stka nasporˇena´ v jednom u´rokovacı´m obdobı´ a na konci tohoto u´rokovacı´ho obdobı´ zu´rocˇena´, t q = 1+ · ki, 360 s je spla´tka prˇi pravidelne´m splaćenı´ dluhu steny´mi cˇa´stkami, D je pocˇa´tecˇnı´ vy´sˇe dluhu.

4.2

´ rokova´ mı´ra a u´rok U

Za´kladnı´m pojmem financˇnı´ matematiky je pojem u´rok a s nı´m spojena´ u´rokova´ mı´ra, definici teˇchto pojmu˚ jsme prˇevzali z ucˇebnice [Odv3], str. 41. ´ rok je cˇa´stka, kterou zı´ska´ veˇˇritel od dluzˇnı´ka jako odmeˇnu za pu˚jcˇenı´ peneˇz. U Rocˇnı´ u´rokova´ mı´ra (u´rokova´ sazba) je podı´l u´roku zı´skane´ho za rok a zapu˚jcˇene´ cˇa´stky vyja´drˇeny´ v procentech. Kazˇdou takto uvedenou definici neˇjake´ho pojmu podporˇ´ıme v na´sledujıćı´m textu rˇesˇeny´m prˇ´ıkladem, poprˇ´ıpadeˇ vzorcem usnadnˇujıćı´m vy´pocˇet hledane´ hodnoty. Prˇ´ıklad 1. Pan Nova´k si ulozˇil do banky 25 000 Kcˇ s rocˇnı´ u´rokovou mı´rou 3,8 %. Banka zu´rocˇila jeho vklad v den splatnosti a odecˇetla od u´roku danˇ 15 %. a) Vypocˇ´ıtejte u´rok prˇed zdaneˇnı´m.


29

b) Vypocˇ´ıtejte u´rok po zdaneˇnı´. c) Vypocˇ´ıtejte celkovou cˇa´stku, kterou pan Nova´k od banky obdrzˇel. ˇ esˇenı´: R a) Prˇed zdaneˇnı´m je u´rok 3,8 % z 25 000 Kcˇ, tedy: 0,038 · 25 000 Kcˇ = 950 Kcˇ. b) Danˇ z u´roku je 15 %, u´rok po zdaneˇnı´ je tedy 85 % z cˇa´stky 950 Kcˇ: 0,85 · 950 Kcˇ = = 807,50 Kcˇ. c) Celkova´ cˇa´stka, kterou pan Nova´k od banky obdrzˇel je soucˇtem vkladu a u´roku po zdaneˇnı´: 25 000 Kcˇ +807,50 Kcˇ = 25 807,50 Kcˇ.

4.3

Jednoduche´ u´rocˇenı´

Dalsˇ´ım z pojmu˚ je jednoduche´ u´rocˇenı´, ktere´ spocˇ´ıva´ v prˇicˇ´ıtańı´ sta´le stejne´ho u´roku vypocˇ´ıtane´ho z pocˇa´tecˇnı´ho kapita´lu k vlozˇene´ cˇa´stce. Definice je opeˇt prˇevzata z publikace [Odv3], tentokra´t ze strany 46. Prˇi jednoduche´m u´rocˇenı´ se u´roky pocˇ´ıtajı´ sta´le z pocˇa´tecˇnı´ho kapita´lu (z poskytovane´ho u´veˇru, z pocˇa´tecˇnı´ho vkladu).

Pro vy´pocˇet u´roku Un po zdaneˇnı´ na konci n-te´ho roku a vy´sledne´ho kapita´lu Kn se prˇitom vyuzˇ´ıva´ na´sledujıćıćh dvou vzorcu˚, jejich pouzˇitı´ uka´zˇeme na prˇ´ıkladeˇ: t Un = K0 · ki · ·n 360 t Kn = K0 · 1 + ki · ·n , 360

Prˇ´ıklad 2. Pan Dvorˇa´k zakoupil depozitnı´ certifika´t na 4 roky za 37 000 Kcˇ s u´rokovou mı´rou 4,9 % prˇi jednoduche´m u´rocˇenı´. U´rocˇ´ı se jednou rocˇneˇ a danˇ z u´roku je 15 %. Vypocˇ´ıtejte, kolik korun dostane pan Dvorˇa´k po cˇtyrˇech letech. ˇ esˇenı´: R Rˇesˇenı´ provedeme u´vodnı´ analy´zou zadanyćh informacı´ a na´sledny´m dosazenı´m do jednoho z prˇedchozıćh vzorcu˚:


30

K0 = 37 000 Kcˇ

t ·n Kn = K0 · 1 + ki · 360

n = 4 roky

K4 = 37 000 · (1 + 0,85 · 0,049 · 4) = 43 164,20 Kcˇ

i = 0, 049 15 k = 1 − 100 = 0,85

t = 360 dnı´ Kn =?

4.4

´ rokova´ doba U

V te´to podkapitole se budeme zaby´vat vklady na dobu kratsˇ´ı, nezˇ je u´rokovacı´ obdobı´ (rok): meˇsıće, ty´dny nebo dokonce dny. Doba, kterou takto vymezı´me, se nazy´va´ u´rokova´: Vy´sˇe u´roku za´visı´ na dobeˇ, po kterou je kapita´l u´rocˇen. Pro tuto dobu se uzˇ´ıva´ na´zev u´rokova´ doba.

Definice pocha´zı´ z [Odv3], str. 51. Vy´pocˇet vy´sledne´ho kapita´lu na konci u´rokove´ doby se prova´dı´ pomocı´ uvedenyćh vzorcu˚:

U = ki ·

t · K0 , 360

t K = K0 1 + ki · , 360

prˇicˇemzˇ kapita´l se u´rocˇ´ı jen jednou, a to vzˇdy v den jeho splatnosti. Prˇ´ıklad 3. Panı´ Novotna´ si 3. 5. ulozˇila na termıńovany´ vklad na pu˚l roku s u´rokovou mı´rou 4,9 % financˇnı´ obnos v hodnoteˇ 15 000 Kcˇ. Banka u´rocˇ´ı v den splatnosti vkladu, tj. 3. 11. (danˇ z u´roku je 15 %). Kolik korun obdrzˇ´ı panı´ Novotna´ 3. 11. celkem? ˇ esˇenı´: R V tomto prˇ´ıpadeˇ je zdanˇovacı´ koeficient opeˇt roven 0,85, u´rokova´ mı´ra je i = 0,049, pocˇa´tecˇnı´ vklad je 15 000 Kcˇ a jelikozˇ byl obnos ulozˇen na pu˚l roku, uvazˇujeme 180 dnu˚. Tyto hodnoty nynı´ opeˇt dosadı´me do vzorce: t K = K0 1 + ki · 360 180 K = 15 000 1 + 0,85 · 0,049 · = 15 312,30 Kcˇ. 360


4.5

31

Slozˇene´ u´rocˇenı´

Do te´to doby jsme vzˇdy pocˇ´ıtali s u´rocˇenı´m jednoduchy´m, tedy s prˇ´ıpadem, kdy je k pocˇa´tecˇnı´mu vkladu na konci jednotlivyćh u´rokovacıćh obdobı´ prˇicˇ´ıtańa sta´le stejna´ cˇa´stka. Nynı´ se ovsˇem zameˇrˇme na u´rocˇenı´ slozˇene´: Prˇi slozˇene´m u´rocˇenı´ se u´roky prˇicˇ´ıtajı´ k pocˇa´tecˇnı´mu kapita´lu (k poskytnute´mu u´veˇru, k ulozˇene´mu vkladu) a spolu s nı´m se da´le u´rocˇ´ı.

Uvedena´ definice opeˇt pocha´zı´ z [Odv3], str. 56 a vy´pocˇet spojeny´ se slozˇeny´m u´rocˇenı´m se prova´dı´ podle vzorcu˚:

Kn = K0 (1 + ki)n ,

Un = K0 [(1 + ki)n − 1] .

Prˇ´ıklad 4. Ma´m 23 000 Kcˇ. Na kolik let bych si tuto cˇa´stku musel ulozˇit do banky, aby vzrostla na 25 000 Kcˇ, prˇedpokla´da´m-li, zˇe u´rokova´ mı´ra by po celou dobu byla 4,9 % a danˇ z u´roku 15 % prˇi slozˇene´m u´rocˇenı´ jednou rocˇneˇ? ˇ esˇenı´: R Tentokra´t ma´me prˇi hodnotaćh i = 0,049, k = 0,85 tedy zadań kromeˇ pocˇa´tecˇnı´ho vkladu K0 = 23 000 Kcˇ take´ vy´sledny´ obnos Kn = 25 000 Kcˇ a zajı´ma´ na´s doba potrˇebna´ k navy´sˇenı´ vkladu. Opeˇt tedy vyjdeme ze zadane´ho vztahu a vyja´drˇ´ıme z neˇj hledany´ pocˇet n let logaritmovańı´m a uzˇitı´m vztahu˚ ty´kajıćıćh se logaritmu˚:

Kn = K0 (1 + ki)n log Kn = log K0 + n log (1 + ki) n log K K0

000 log 25 . 23 000 n= = = 2,04 log (1 + ki) log (1 + 0,85 · 0,049)

Abychom docı´lili pozˇadovane´ cˇa´stky, je tedy zapotrˇebı´ ulozˇit penı´ze na dobu minima´lneˇ 3 let.

4.6

´ rokovacı´ obdobı´ U

Zatı´m jsme vzˇdy uvazˇovali prˇ´ıpady, kdy banky u´rocˇ´ı jednou rocˇneˇ a v den splatnosti vkladu, veˇtsˇinou ale banky u´rocˇ´ı vıćekra´t za rok. Cˇetnost takove´ho u´rocˇenı´ uda´va´ u´rokovacı´ doba, jejı´zˇ definice je uvedena v [Odv3] na str. 61:


32

Cˇasovy´ u´sek, na jehozˇ konci vzroste kapita´l o u´rok, se nazy´va´ u´rokovacı´ obdobı´.

Pro usnadneˇnı´ vy´pocˇtu˚ kapita´lu Km na konci m-te´ho u´rokovacı´ho obdobı´ prˇi slozˇene´m u´rocˇenı´ je mozˇne´ vyuzˇ´ıt na´sledujıćıćh vztahu˚:

m t Km = K0 1 + · ki , 360

m t · ki − 1 . Um = K0 1 + 360

Prˇ´ıklad 5. Panı´ Janousˇkova´ si ulozˇila na vkladnı´ knı´zˇku na zacˇa´tku roku cˇa´stku 50 000 Kcˇ s u´rokovou mı´rou 3 %. Vypocˇ´ıtejte vy´sˇi kapita´lu na vkladnı´ knı´zˇce na konci roku za prˇedpokladu, zˇe u´rokovacı´ obdobı´ je 1 meˇsıć. ˇ esˇenı´: R Uvazˇujme tedy slozˇene´ u´rocˇenı´ prˇi hodnotaćh i = 0,03 a k = 0,85 (s takovou hodnotou k pocˇ´ıta´me vzˇdy, nenı´-li uvedeno jinak) pocˇa´tecˇnı´ho kapita´lu 50 000 Kcˇ, u´rokovacı´ obdobı´ je 1 meˇsıć (t = 30 dnı´) po dobu jednoho roku, celkem bude tedy pocˇet m u´rokovacıćh obdobı´ roven 12:

m t · ki Km = K0 1 + 360 12 30 K12 = 50 000 1 + · 0,85 · 0,03 = 51 290 Kcˇ. 360

4.7

Sporˇenı´

Ukla´dat penı´ze do banky mu˚zˇeme dveˇma zpu˚soby, bud’jednora´zoveˇ (viz prˇedchozı´ prˇ´ıpady) nebo opakovaneˇ – sporˇenı´m, prˇicˇemzˇ financˇnı´ obnos ulozˇeny´ na takove´m sporˇ´ıcı´m ućˇtu opeˇt s cˇasem naru˚sta´. Pro vy´pocˇet nasporˇene´ cˇa´stky Sm zı´skane´ ukla´dańı´m stejnyćh cˇa´stek mu˚zˇeme vyuzˇ´ıt tento vztah:

qm − 1 t Sm = K , kde q = 1 + · ki. q−1 360 Prˇ´ıklad 6. Chteˇl bych si zacˇ´ıt od ledna prˇ´ısˇtı´ho roku sporˇit meˇsıćˇneˇ 700 Kcˇ. Mu˚j zameˇstnavatel by prˇeva´deˇl tuto cˇa´stku bance, a to vzˇdy tak, aby jejı´ u´rocˇenı´ zacˇalo 3. dne kalenda´rˇnı´ho meˇsıće, prˇicˇemzˇ u´rocˇenı´ probı´ha´ na konci kazˇde´ho kalenda´rˇnı´ho cˇtvrtletı´, danˇ z u´roku je 15 % a u´rokova´ mı´ra je 4,5 %. Kolik korun bych meˇl usporˇeno za 4 roky?


33

ˇ esˇenı´: R V tomto prˇ´ıpadeˇ nebude stacˇit k vyrˇesˇenı´ zadane´ho prˇ´ıkladu pouhe´ dosazenı´ do vzorce, nebot’trˇi vklady za jedno cˇtvrtletı´ bodou u´rocˇeny po ru˚zne´ pocˇty dnı´. Abychom mohli pouzˇ´ıt vztah pro vy´pocˇet celkove´ nasporˇene´ cˇa´stky Sm , musı´me nejdrˇ´ıve vypocˇ´ıtat nasporˇenou cˇa´stku K za jedno cˇtvrtletı´. K tomu na´m pomu˚zˇe na´sledujıćı´ sche´ma, na neˇmzˇ mu˚zˇeme videˇt cˇasove´ obdobı´, ktere´ na´s zajı´ma´, tedy 2. 1. – 30. 3., rozdeˇlene´ na jednotlive´ cˇasove´ u´seky podle toho, jaka´ cˇa´stka je na ućˇtu ulozˇena:

Konec cˇtvrtletı´ 2. 1.

2. 2.

2. 3.

88 dnı´ 58 dnı´ 28 dnı´

Na obra´zku mu˚zˇeme videˇt, zˇe prvnıćh 700 Kcˇ bude u´rocˇeno po 88 dnech, druhyćh 700 Kcˇ ulozˇenyćh na ućˇet po 58 dnech a poslednıćh 700 Kcˇ po pouhyćh 28 dnech. Celkovy´ obnos na konci prvnı´ho cˇtvrtletı´ bude soucˇtem teˇchto 3 cˇa´stek:

58 88 · 0,85 · 0,045 + 700 1 + · 0,85 · 0,045 + K =700 1 + 360 360 28 29 +700 1 + · 0,85 · 0,045 = 700 3 + · 0,85 · 0,045 360 30 Tento vy´sledek pouzˇijeme ve vzorci pro vy´pocˇet Sm , q = 1 + 14 · 0,85 · 0,045 a celkovy´ pocˇet u´rokovacıćh obdobı´ bude 16, nebot’u´rocˇenı´ probı´ha´ kazˇde´ cˇtvrtletı´ po dobu 4 let: (1+ 14 ·0,85·0,045)16 −1 m −1 29 = 700 3 + 30 · 0,85 · 0,045 · Sm = K qq−1 = 36 565,80 Kcˇ. 1 ·0,85·0,045 4

4.8

Splaćenı´ dluhu˚

Splaćenı´ dluhu˚ je v dnesˇnı´ dobeˇ velice aktua´lnı´, proto jej uva´dı´me i zde. Velice uzˇitecˇny´m se mu˚zˇe uka´zat na´sledujıćı´ vztah, ktery´ uda´va´ souvislost mezi velikostı´ pocˇa´tecˇnı´ho dluhu a jednotlivy´mi spla´tkami:

s=

Dqm (q − 1) qm − 1


34

Prˇ´ıklad 7. Pan Kolarˇ´ık zı´skal dne 7. 6. od banky u´veˇr ve vy´sˇi 80 000 Kcˇ na dobu 3 let s u´rokovou mı´rou 15 %, prˇicˇemzˇ u´rokovacı´ obdobı´ je 1 meˇsıć. Pan Kolarˇ´ık bude u´veˇr splaćet stejny´mi spla´tkami, vzˇdy na konci meˇsıće, poprve´ dne 30. 6. Banka zaokrouhluje spla´tky na cele´ koruny. Vypocˇ´ıtejte vy´sˇi jedne´ spla´tky a jakou cˇa´stku uhradı´ pan Kolarˇ´ık celkem. ˇ esˇenı´: R Dluh D = 80 000 Kcˇ bude pan Kolarˇ´ık splaćet 3 roky, prˇicˇemzˇ u´roky mu budou prˇiby´vat kazˇdy´ meˇsıće, celkovy´ pocˇet u´rokovacıćh obdobı´ tedy bude m = 3 · 12 = 36, i = 0,15 a t = 30 dnı´: Dqm (q − 1) s= qm − 1 36 30 30 80 000 · 1 + 360 · 0,15 · 360 · 0,15 s= = 2 774 Kcˇ. 36 30 1 + 360 · 0, 15 − 1 Vypocˇ´ıtali jsme tedy vy´sˇi jedne´ spla´tky, kolik ale pan Kolarˇ´ık zaplatı´ celkem? Splatı´ bance dohromady 36 spla´tek, tedy 36 · 2 774 = 99 864 Kcˇ. Na za´veˇr te´to kapitoly je nutno podotknout, zˇe vesˇkere´ vzorce zde uvedene´ jsme cˇerpali z [Odv3] a [Odv4]. Meˇly by zˇa´ku˚m pocˇty financˇnı´ matematiky velice usnadnit, avsˇak vesˇkere´ prˇ´ıklady, ktere´ jsme zde uvedli, je mozˇne´ pocˇ´ıtat bez prˇevzetı´ teˇchto vztahu˚. Jedna´ se vsˇak o pomeˇrneˇ zdlouhave´ postupne´ odvozovańı´, ktere´ vzˇdy nakonec vede k uvedeny´m vzorcu˚m. Toto odvozovańı´ ma´ vztah veˇtsˇinou k problematice geometrickyćh posloupnostı´, mohlo by tedy by´t vhodne´ zˇa´ku˚m na neˇjake´m jednodusˇsˇ´ım prˇ´ıkladu tento postup uka´zat, aby videˇli souvislost mezi geometricky´mi posloupnostmi a vzorci financˇnı´ matematiky, i kdyzˇ pro neˇ pote´ bude snazsˇ´ı tyto vztahy vyuzˇ´ıvat bez jake´hokoliv odvozovańı´. Ukazˇme si nynı´ oba zpu˚soby rˇesˇenı´ na na´sledujıćı´m prˇ´ıkladu: Prˇ´ıklad 8. Slecˇna Kra´sna´ si ulozˇila na termıńovany´ ućˇet na 3 roky 15 000 Kcˇ s rocˇnı´ u´rokovou mı´rou 3,5 %. Jde o slozˇene´ u´rocˇenı´, banka prˇipisuje u´roky jednou rocˇneˇ a danˇ z u´roku je 15 %. Kolik korun vyplatı´ banka slecˇneˇ Kra´sne´ po 3 letech? ˇ esˇenı´: R a) Zameˇrˇme se nejdrˇ´ıve na sestavenı´ geometricke´ posloupnosti a vypisˇme postupneˇ financˇnı´ obnosy ulozˇene´ na ućˇtu v jednotlivyćh rocıćh: pocˇa´tecˇnı´ kapita´l . . . 15 000 Kcˇ kapita´l po 1. roce . . . 15 000 Kcˇ +0,85 · 0,035 · 15 000 Kcˇ = = [15 000(1 + 0,85 · 0,035)] Kcˇ kapita´l po 2. roce . . . [15 000(1 + 0,85 · 0,035)] Kcˇ + +0,85 · 0,035 · [15 000(1 + 0,85 · 0,035)] Kcˇ = [15 000(1 + 0,85 · 0,035)2 ] Kcˇ kapita´l po 3. roce . . . [15 000(1 + 0,85 · 0,035)2 ] Kcˇ + +0,85 · 0,035 · [15 000(1 + 0,85 · 0,035)2 ] Kcˇ = [15 000(1 + 0,85 · 0,035)3 ] Kcˇ Banka tedy slecˇneˇ Kra´sne´ po trˇech vyplatı´ celkem 16 378,90 Kcˇ.

Za´veˇr

35

b) Druhy´ zpu˚sob rˇesˇenı´ zadane´ u´lohy spocˇ´ıva´ v pocˇa´tecˇnı´ analy´ze zna´myćh u´daju˚ a na´sledne´m dosazenı´ do vztahu uvedene´ho v podkapitole Slozˇene´ u´rocˇenı´: Pocˇa´tecˇnı´ vklad K0 = 15 000 Kcˇ, i = 0,035 a q = 0,85, termıńovany´ ućˇet je na 3 roky, tedy n = 3:

Kn = K0 (1 + ki)n K3 = 15 000(1 + 0,85 · 0,035)3 = 16 378,90 Kcˇ.

Jak mu˚zˇeme videˇt, prvnı´ zpu˚sob rˇesˇenı´ je poneˇkud cˇasoveˇ na´rocˇneˇjsˇ´ı, avsˇak umozˇnı´ zˇa´ku˚m uveˇdomit si, zˇe financˇnı´ matematika se zaby´va´ problematikou geometrickyćh posloupnostı´, i kdyzˇ to tak na prvnı´ pohled nevypada´. Financˇnı´ matematika, jako cˇa´st te´matu o posloupnostech, mu˚zˇe tedy obcˇas zˇa´ky zaskocˇit mnozˇstvı´m novyćh pojmu˚ a vzorcu˚, pokud je vsˇak vy´klad te´to la´tky zˇa´ku˚m poda´vań v jiste´m sledu a dostatecˇneˇ prˇehledneˇ, nemeˇli by mı´t s rˇesˇenı´m financˇnıćh u´loh zˇa´dny´ proble´m, cozˇ jim mu˚zˇe usnadnit take´ pozdeˇjsˇ´ı manipulovańı´ s peneˇzi, ktere´ budou mı´t k dispozici. Ty jsou v dnesˇnı´ dobeˇ nedı´lnou soucˇa´stı´ lidskyćh zˇivotu˚, prˇina´sˇ´ı na´m radost i proble´my, jak ale prohla´sil Prosper Me´riemeé (1803 – 1870): Jsou du˚lezˇiteˇjsˇ´ı veˇci nezˇ penı´ze, jenom je trˇeba mı´t penı´ze, abyste si je mohli koupit.

Za´veˇr Samotne´mu sepsańı´ te´to bakala´rˇske´ praće prˇedcha´zely ty´dny prˇ´ıprav, v nichzˇ bylo nezbytne´ vyrˇesˇit velke´ mnozˇstvı´ prˇ´ıkladu˚ ty´kajıćıćh se te´matu aritmetickyćh a geometrickyćh posloupnostı´ a roztrˇ´ıdit je do dvou kategoriı´ podle obtı´zˇnosti jejich rˇesˇenı´ – na u´lohy standardnı´ a nestandardnı´. Dalsˇ´ım u´kolem pak bylo dobrˇe porozumeˇt teorii uva´deˇne´ v ru˚znyćh ucˇebnicıćh a spra´vneˇ ji interpetovat. V neposlednı´ rˇadeˇ pak bylo my´m u´kolem naucˇit se pracovat se softwarem LATEX, a to prostrˇednictvı´m semestra´lnı´ho prˇedmeˇtu M5751 Elektronicka´ sazba a publikovańı´ v TEXu. Tento zpu˚sob sazby praće se uka´zal jako velmi na´rocˇny´, avsˇak postupem cˇasu se mi stal velky´m pomocnı´kem prˇi sa´zenı´ slozˇityćh matematickyćh vy´razu˚. Po absolvovańı´ teˇchto prˇ´ıpravnyćh u´kolu˚ stacˇilo tedy vsˇechny zı´skane´ poznatky sepsat a upravit praći do konecˇne´ podoby. Vznikla tak bakala´rˇska´ praće, ktera´ by meˇla by´t alesponˇ malou oporou pro vsˇechny za´jemce o te´ma aritmetickyćh a geometrickyćh posloupnostı´.

36

Seznam pouzˇite´ literatury [Odv1]

´ RKO, Oldrˇich. Matematika pro gymna´zia: Posloupnosti a rˇady. 2. vydańı´. ODVA Praha: Prometheus, 2007. ISBN 978-80-7196-195-6.

[Odv2]

´ RKO, Oldrˇich. Sbı´rka u´loh z matematiky pro gymna´zia: Posloupnosti ODVA a rˇady. 2. vydańı´. Praha: Prometheus, 2005. ISBN 80-7196-314-3.

[Hor]

HORTON, Holbrook L. Mathematics at work. 4. ed. New York: Industrial Press, 1999. ISBN 0-8311-3083-0.

[Kri]

´ LEK, KRIEGELSTEIN, Eduard, Antonıń POSPI´SˇIL, Frantisˇek VENCA Vladimı´r KUCˇERA, Josef HUKA, Jań GEDEI, Karel VICOVSKY´ a Josef SˇILHAVY´. Sbı´rka u´loh z matematiky pro strˇednı´ pru˚myslove´ sˇkoly a strˇednı´ zemeˇdeˇlske´ technicke´ sˇkoly. 10. vyd. Praha: Sta´tnı´ pedagogicke´ nakladatelstvı´, 1965. ISBN 14-348-82.

[Vej]

VEJSADA, Frantisˇek a Frantisˇek TALAFOUS. Sbı´rka u´loh z matematiky pro gymnasia. 1. vyd. Praha: Sta´tnı´ pedagogicke´ nakladatelstvı´, 1969. ISBN 15-534-69.

[Lid]

LIDSKIJ, V. B. a kol. U´lohy z elementa´rnı´ matematiky. 1. vyd. Praha: Sta´tnı´ pedagogicke´ nakladatelstvı´, 1965. ISBN 14-903-65.

[Odv3]

´ RKO, Oldrˇich. Matematika pro strˇednı´ odborne´ sˇkoly a studijnı´ obory ODVA strˇednıćh odbornyćh ucˇilisˇt’: Posloupnosti a financˇnı´ matematika. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2002. ISBN 80-7196-239-2.

[Odv4]

´ RKO, Oldrˇich. U´lohy z financˇnı´ matematiky pro strˇednı´ sˇkoly. 1. vyd. ODVA Praha: Prometheus, 2005. ISBN 80-7196-303-8.

37

MASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY

Recommend Documents