MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA
Katedra matematiky
Historie matematiky ve vztahu k vyu ování matematiky na 2. stupni ZŠ Diplomová práce
Brno 2009
Autor práce: Bc. Eva Sklá ová Vedoucí práce: doc. RNDr. Jaroslav Beránek, CSc.
Prohlášení Prohlašuji, že jsem celou diplomovou práci vypracovala samostatn . Všechny zdroje, prameny a literaturu, z nichž jsem p i zpracování diplomové práce erpala, ádn cituji a uvádím v seznamu použité literatury. Souhlasím, aby práce byla uložena na Masarykov univerzit v knihovn Pedagogické fakulty a zp ístupn na ke studijním ú el m.
V Brn dne 7. dubna 2009
……………………. podpis
Pod kování D kuji doc. RNDr. Jaroslavu Beránkovi, CSc. za vedení diplomové práce a velmi cenné rady.
Anotace Cílem diplomové práce „Historie matematiky ve vztahu k vyu ování matematiky na 2. stupni ZŠ“ je rozvíjet zájem žák na základní škole o matematiku prost ednictvím historie matematiky. V diplomové práci se autor zabývá historií matematiky a ešením historických úloh. V první ásti popisuje autor historii matematiky. Druhá ást diplomové práce je zam ena na ešení historických úloh.
Annotation The aim of master’s project “The History of Math in the Upper-Level Primary School Math teaching” is to encourage the interests of pupils about mathematics through the history of math. In this master’s project the author looks at the history of math and at solving of historical exercises. In the first part the author deals with the history of math. The second part of the master’s work concentrates on the solving historical exercises.
Obsah 1
Úvod.......................................................................................................................... 6
2
Historie matematiky.................................................................................................. 7 2.1
Období vzniku a formulace základních abstraktních matematických pojm ... 8
2.1.1
Po átky...................................................................................................... 8
2.1.2
Starý Orient............................................................................................... 9
2.1.2.1
Egyptská matematika.......................................................................... 10
2.1.2.2
Matematika Mezopotámie .................................................................. 12
2.1.2.3
ínská matematika.............................................................................. 14
2.1.2.4
Indická matematika............................................................................. 14
2.2
Období matematiky konstantních veli in ....................................................... 16
2.2.1
Období vytvo ení matematiky jako v dy v ecku ................................. 16
2.2.1.1
Antické ecko..................................................................................... 17
2.2.1.2
Helénistické období ............................................................................ 18
2.2.1.3
Období ímské nadvlády..................................................................... 20
2.2.2
Období elementární matematiky ve st edov ku ..................................... 21
2.2.2.1
2.2.2.1.1
Indická matematika....................................................................... 21
2.2.2.1.2
Arabská matematika ..................................................................... 22
2.2.2.2 2.3
Po átky rozvoje matematiky v západní Evrop .................................. 24
Období matematiky prom nných veli in........................................................ 27
2.3.1
17. století................................................................................................. 27
2.3.2
18. století................................................................................................. 29
2.4
3
Orient po úpadku ecké spole nosti.................................................... 21
Období matematiky zobecn ných kvantitativních a prostorových vztah ..... 32
2.4.1
19. století................................................................................................. 32
2.4.2
20. století................................................................................................. 35
Praktická ást .......................................................................................................... 37 3.1
Vybrané historické slovní úlohy vztahující se k u ivu základní školy........... 38
3.2
ešené úlohy................................................................................................... 49
3.3
Úlohy ešené ve výuce, dotazník .................................................................... 74
4
Záv r ....................................................................................................................... 76
5
Literatura................................................................................................................. 77
5
1 Úvod Matematika je jednou z nejstarších v d, jelikož matematické poznatky vznikaly od nejran jších dob lidstva. Matematika pat í k mén
oblíbeným p edm t m vyu ovaných na 2. stupni
základní školy. Žáky je proto nutné lépe motivovat k práci. Historie matematiky a ešení historických úloh m že posloužit jako dobrá motivace pro žáky. Cílem práce je motivovat žáky pomocí historických úloh. Diplomová práce má dv
ásti – teoretickou a praktickou. V teoretické ásti je zpracován stru ný p ehled d jin matematiky ve ty ech
hlavních
etapách.
Tyto
období
zahrnují
vývoj
matematiky
od
neolitu
až
po „sou asnost“. V práci jsou zahrnuty pouze významné události z historie matematiky. Praktická ást obsahuje zásobník historických úloh, které se vztahují k výuce matematiky na 2. stupni základní školy. Úlohy jsou azeny dle procvi ovaného u iva. Historické úlohy, které zastupují dané u ivo, jsou dále podrobn
ešeny.
S vybranými historickými úlohami bylo pracováno s žáky 6. ro níku základní školy. Sv j postoj k ešení historických úloh sd lili v krátkém dotazníku.
6
2 Historie matematiky Matematika se vyvíjela ve ty ech hlavních obdobích. 1. Období vzniku a formulace základních abstraktních matematických pojm , - od doby prehistorické až do 6. století p . n. l. 2. Období matematiky konstantních veli in, a. období vytvo ení matematiky jako v dy v ecku, - od 6. století p ed n. l. do 4. století n. l. b. období elementární matematiky ve st edov ku, - v Evrop trvající až do konce 16. století. 3. Období matematiky prom nných veli in, - 17., 18. a za átek 19. století. 4. Období matematiky zobecn ných kvantitativních a prostorových vztah , - od první poloviny 19. století do sou asné doby.
7
2.1 Období vzniku a formulace základních abstraktních matematických pojm První vývojové období matematiky zahrnuje dobu vzniku matematiky, kdy se za aly pozvolna objevovat a používat matematické pojmy a epochu matematiky starého orientu. Hlavními podn ty rozvoje matematiky, té doby, byly pot eby spole nosti. Nutná byla nap íklad znalost velikosti pozemk k rozpis m dodávek zem d lských plodin. Geometrické poznatky se uplat ovaly p i stavbách pyramid. Zdrojem prvních aritmetických algoritm byla výroba potravin, obchod, ú etnictví a astronomie.
2.1.1 Po átky První p edstavy o ísle a tvaru pochází ze starší doby kamenné – paleolitu. lov k tehdy žil v jeskyních a jeho hlavní inností bylo obstarávání potravy. Za al vyráb t zbran
pro lov a rybolov. Postupn
se za ala vyvíjet i e
jako nástroj
k vzájemnému dorozumívání. V pozd jším paleolitu si za ali lidé projevovat i um lecky. V mladší dob kamenné (neolitu) se zm nil postoj lov ka k p írod . Tento postoj již nebyl pouze pasivní. Od pouhého sb ru potravy se p ešlo k její výrob , od lovení a ryba ení k zem d lství. Tato zm na se uskute nila asi p ed 10 000 lety. Za al tát ledový povlak, který pokrýval Evropu a Asii a uvolnil tak místo pro lesy a poušt . Pomalu kon ilo ko ovné putování lidstva za hledáním obživy. Rolníci se usazovali na místech s úrodnou p dou, za ali si stav t obydlí. Za ala se také rozvíjet první jednoduchá emesla (hrn í ství, tesa ství a tkalcovství). V pozdním neolitu lidé tavili a upravovali m
a bronz.
Mezi jednotlivými sídlišti byl navazován obchod, ímž se dále utvá ela e . Názvy ísel – íslovky m ly zpo átku kvalitativní než kvantitativní charakter. Rozlišovalo se pouze mezi jedním, dv ma a více. Nap íklad výraz „jeden muž“ ozna oval spíše „n jakého, ur itého muže“. P i rozši ování pojmu íslo se za ala vytvá et spojováním ísla v tší. Nap íklad íslo 3 vznikalo se tením 2 a 1, 4 se tením 2 a 2,… íselné zprávy se uchovávaly nap . uzlíky, zá ezy na holi, lasturami nebo oblázky. Za nejstarší p ímý doklad matematické innosti lidí bývá n kdy považována tzv. V stonická vrubovka, která byla nalezena profesorem Karlem Absolonem dne 8
19. srpna 1936. Jedná se o 18 cm dlouhou v etenní kost mladého vlka s 55 vyrytými zá ezy. Prvních 25 zá ez je uspo ádáno do skupin po p ti, po nich následuje dvakrát tak dlouhý zá ez, jímž ada kon í. Poté za íná nová ada op t dvojnásobn dlouhým zá ezem. Tato ada dosahuje po tu t iceti vrub . Vznik operace násobení spadá do doby, kdy se nap íklad
íslo 20 za alo
vyjad ovat nejen jako 10 +10, ale také jako 2 x 10. Za átky d lení pak do doby, kdy se íslo 10 za alo vyjad ovat jako „polovina t la“. Zlomky se však vytvá ely velmi z ídka. Mezi d ležité innosti lov ka pat ilo m ení délek a zjiš ování objem r zných t les. M rné jednotky se
asto odvozovaly z ástí lidského t la. Tímto zp sobem
vznikly nap íklad jednotky, jako jsou palce, stopy a hrsti. P i stavbách dom se za aly nalézat zp soby jak stav t podle p ímky a jak vyty ovat pravé úhly. P i lidských
innostech se v neolitu za alo objevovat a rozvíjet cít ní
pro geometrickou ornamentiku. P i zdobení výrobk využívali výrobci vztahy útvar v rovin a v prostoru. Ornamenty, které pocházejí z této doby, obsahují velké množství shodností, symetrií a podobností. Mnohé matematické poznatky vycházely z astronomie. Již velmi primitivní kmeny dokázaly ur itým zp sobem d lit
as. Setkáváme se u nich i s poznatky
o pohybu Slunce, M síce a hv zd. S rozší ením zem d lství a obchodu dosáhly tyto znalosti v de t jšího charakteru. Spojováním vegeta ních zm n s periodickými zm nami M síce se za íná užívat lunární kalendá . Primitivní národy pozorovaly také slunovraty, východy souhv zdí p i stmívání a používaly souhv zdí jako vodítek p i mo eplavb .
2.1.2 Starý Orient Mezi státy Starého Orientu pat í Egypt, Mezopotámie, Indie a ína. Na b ezích velkých ek v Africe a v Asii se b hem 5. až 3. tisíciletí rozvinuly z neolitických spole enství nové a pokrokové státní formy. Jakmile byly p erušeny záplavy a vysušeny mok iny v povodí t chto
ek, staly se z nich pole s velmi bohatou úrodou.
Zdokonalovalo se zem d lství a nastal p echod od kamenných nástroj k m d ným, bronzovým a pozd ji železným. Za alo se objevovat soukromé vlastnictví výrobních prost edk ; za ala se vytvá et t ídní spole nost. Nov
vzniklé státy v Egypt , Mezopotámii,
ín
a Indii byly otroká ské.
S rozvojem obchodu a emesel vznikala m sta. Stav ly se paláce, chrámy i opevn ní a 9
zna n se rozvíjela stavební technika. Z d vodu etných válek byla vytvo ena také vojenská technika. Výrobní ekonomická a technická innost vyžadovala velké množství znalostí. Ty byly soust ed ny v rukou zvláštní skupiny ú edník , mezi které pat ili také kn ží a písa i. Orientální matematika vznikala jako praktická v da, aby usnadnila výpo et kalendá e, ízení sklizní, organizaci ve ejných staveb a vybírání daní. Zpo átku byla v nována pozornost praktické aritmetice a zem m ictví. ([15], str. 19) S povinností platit dan
a clo se zvýšily požadavky na p esnost výpo t .
Matematika se za ala rozvíjet sm rem k abstrakci. Aritmetika se rozvinula v algebru. Znalosti orientální matematiky jsou velmi útržkovité. Pro staletí p ed rozvojem ecké v dy jsme odkázání skoro výlu n na materiál z Mezopotámie nebo Egypta. To souvisí i s materiálem užívaným k zaznamenávání. V Mezopotámii to byly hlin né tabulky, které byly po vypálení prakticky nezni itelné. V Egypt používali papyru. Zna ná ást egyptského písemnictví se dochovala díky suchému klimatu. Indové používali mén odolný materiál – k ru a bambus. Pozd ji však za ali
í ané a í ané
používat papír.
2.1.2.1 Egyptská matematika Mezi základní památky egyptské matematiky pat í Moskevský a Rhid v papyrus. Moskevský papyrus pochází z doby kolem roku 1850 p ed n. l. Získal jej ruský sb ratel Goleniš ev v roce 1893. V roce 1912 p ešel do majetku moskevského Musea krásných um ní. Tento papyrus je dlouhý 544 cm a široký 8 cm. Je dosti poškozen a itelných je pouze 25 úloh s ešeními. Moskevský papyrus p edstavoval sbírku s nevýrazným systémem uspo ádání, ale s jednotnou formou zápisu textu a ešení. Úlohy se týkají výpo tu neznámé veli iny „aha“, obsah n kterých obrazc a množství obilí pot ebného k upe ení požadovaného množství chleb , resp. k uva ení požadovaného množství piva. ([7], str. 45) Rhid v papyrus pochází z doby kolem roku 1700 p ed n. l. Je nazván podle jména egyptologa, který ho nalezl a získal v roce 1858. Dnes je uložen v Britském muzeu v Londýn ,
ást se však nachází v New Yorku. Jedná se o svitek dlouhý
p es 5 metr a široký 33 centimetr . Obsahuje 84 úloh. Úlohy jsou pestrého nám tu, ale jsou ešeny mén pe liv než na p edcházejícím papyru. Mezi nové okruhy témat pat í
10
nap íklad rozd lování chleb na stejné dávky pro daný po et osob, výpo ty objemu sýpek a sklonu pyramid. Mezi další egyptské písemné památky pat í kožený svitek, který pochází asi z roku 1650 p ed. n. l. a zakoupil ho rovn ž A. H. Rhind v roce 1858 n. l. Pro špatný stav byl rozbalen až v roce 1912. Historici byli velmi zklamáni, jelikož obsahoval pouze 26 rovností pro zlomky tvaru 1 : n. Ve starém Egypt
používali k psaní i po ítání znaky, dnes známé jako
hieroglyfy. Numerace byla desítková, ale ne pozi ní.
íslice od 1 do 9 se zapisovaly
árkami. Pro ísla tvaru 10n, od 10 do 107, m li starov cí Egyp ané zvláštní znaky. P i rychlém zapisování vznikaly znaky zkrácených a zjednodušených forem. Vzniklo tak písmo hieratické, užívané p edevším kn žími. Egyp ané rozvinuli matematiku aditivního charakteru - p evedení všechno násobení na opakované s ítání. Po etní výkony s ítání a od ítání se provád ly na po ítadlech. Násobení se p evád lo, jak už bylo zmín no, na násobení. Nej ast ji se jednalo o násobení pomocí „zdvojování“. Podle zdatnosti po tá p tinásobk ,
desetinásobk
i
dvacetinásobk
initele.
se užívalo nap íklad i D lení
se
p evád lo
na zdvojnásobování a p lení. Egyp ané znali tzv. kmenné (alikvotní) zlomky tvaru
1 . Pro n které zlomky n
m li zvláštní hieroglyfy. Všechny zlomky se p evád ly na sou ty kmenných zlomk . Pro toto p evád ní existovaly tabulky. Druhé mocniny se ur ovaly aproximativn . K odmocn nci n se našlo p irozené íslo a, jehož druhá mocnina je k n mu nejblíže nižší:
n = a2 + b = a +
b . Podíl se 2a
dále vyjad oval pomocí kmenných zlomk . Rovnice, které se objevují ve slovních úlohách o majetku „aha“, byly v tšinou lineární typu. Tyto rovnice se ne ešily vždy d lením. Již ve starov kém Egypt využívali metodu falešného p edpokladu. Nejprve bylo odhadnuto ešení, poté se dosadilo do zadání. Správný výsledek se získal úm rným zv tšením nebo zmenšením odhadu.
ada úloh se omezovala na výpo et sou tu aritmetické nebo geometrické
posloupnosti. Geometrické úlohy vznikaly z praxe. B žn
se provád ly výpo ty vým r
trojúhelníkových, obdélníkových, lichob žníkových i kruhových pozemk . Názvy pro tvary pozemk
však ješt
neznali. Hovo í se tedy jen o p ímém, šikmém
11
i
okrouhlém pozemku s mezí, ší kou a délkou. Egyptští písa i znali vzorec pro výpo et
v komolého ty bokého jehlanu (pyramidy): V = (a 2 + ab + b 2 ) . Kde a, b jsou strany 3 tverc základen a v je výška. Sklon pyramid udával seked - kolik dlaní vodorovn p ipadá na jeden loket svisle. Normou p i stavbách pyramid byl seked mezi 5 dlan mi a 5 dlan mi a 2 palci. Obdivuhodná je také p esná orientace egyptských pyramid podle sv tových stran. Egyp ané se také zabývali astronomií, která vycházela z dlouhodobých pozorování oblohy, pohyb
míst východu Slunce a fází M síce. Pevným bodem
kalendá e bylo vyno ení Siria nad obzor p ed východem Slunce; zpravidla za al stoupat Nil.
2.1.2.2 Matematika Mezopotámie Nejstarší písemné památky z území Mezopotámie pocházejí už z poloviny 4. tisíciletí p ed n. l. Zachovalo se n kolik set tisíc hlin ných tabulek, ale jen n kolik set z nich má n jaký vztah k matematice. ([7], str. 51) Texty a ešení úloh obsahuje 150 tabulek. íselných tabulek se dochovalo 200. Na v tšin
tabulek se nachází 18 až 100 úloh, jedna však obsahuje úloh 148.
Matematické texty byly ur eny p evážn jako p íru ky pro žáky písa ských škol. Základy kultury starov ké Mezopotámie položili Sumerové, kte í užívali klínové písmo. Znaky, ze kterých se skládala písmena a ísla, m ly v tšinou tvar klín . íselné soustavy se vyvíjely od desítkové nepozi ní, která byla obdobná egyptské, p es smíšenou, k šedesátkové pozi ní soustav . P í innou vývoje šedesátkové soustavy byly nepochybn hospodá ské d vody, jelikož na sousedních územích existovaly dv m ny. (1 sumerská mina se rovnala 60 akkadským šekel m a 1 talent se rovnal 60 minám.) K zápisu ísel se používaly dva typy klín – svislý pro jednotky a vodorovný pro desítky.
ísla 1, 2,…, 58, 59 byla jednotkami prvního ádu, 60 jednotek prvního
ádu dávalo jednotku ádu druhého. 60 jednotek druhého ádu dávalo jednotku t etího ádu atd. V mezích každého ádu se íslo vyjad ovalo v desítkové nepozi ní soustav . P i p echodu do vyššího ádu se však uplat ovala šedesátková pozi ní soustava. S pot ebami astronomie se v 5. století p . n. l. objevil zvláštní znak, který plnil roli nuly. Tímto znakem byly dva vodorovné klíny nad sebou. Znak pro nulu se
12
používal tehdy, když uprost ed
ísla chyb ly jednotky n jakého ádu. P edtím se
chyb jící jednotky n jakého ádu vyjad ovaly mezerami mezi klínopisnými znaky. Nulu však Babyló ané používali jen uprost ed ísla. Zápis ísel, která nemají jednotky jednoho, nebo n kolika nejnižších z podmínek úlohy a z výsledk
ád
výpo t
zp soboval vícezna nost zápis . Pouze bylo možné ur it íslo, které daný zápis
ozna uje. Mezopotamská šedesátková soustava numerace byla tudíž pozi ní jen ned sledn . P esto to byl ohromný krok vp ed; dodnes m íme as a úhly v šedesátkové soustav , kterou nalezli Sumerové p ed 5000 lety. ([13], str. 25) Postupy p i s ítání a od ítání se nedochovaly, pravd podobn se používala po ítadla. Pro násobení si sestavovali tabulky násobk jednotlivých ísel, pro d lení užívali tabulky p evrácených hodnot. Existovaly také matematické tabulky, které obsahovaly druhé a t etí mocniny a odmocniny z ísel, sou iny n x m a výpo ty sou t tvaru m2 + n2 . V Mezopotámii byla rozvinuta p edstava o aritmetické a geometrické posloupnosti. Znali již vzorec S n =
a1 + a n ⋅n. 2
Již ve 2. tisíciletí se v Mezopotámii, narozdíl od Egypta,
ešily n které
kvadratické i kubické rovnice s jednou neznámou. Neznámá se nazývala „strana“ a její druhá mocnina „ tverec“; pro dv neznámé volili termíny „délka, ší ka“ a jejich sou in „obsah, vým ra“; pro t i neznámé „délka, ší ka, výška“ a „objem“. Dále také ešili soustavy lineárních rovnic. Jelikož Babyló ané znali jen kladná racionální ísla, volili koeficienty rovnic tak, aby byly kladné. Na základ
jednoduchých praktických úloh se též rozvíjela geometrie.
Babyló ané znali vzorce pro výpo et obsahu jednoduchých pravoúhelník a objem jednoduchých t les. Známá také byla Pythagorova v ta nejen ve speciálních p ípadech, ale také v plné obecnosti. Ke zdokonalování matematických metod p ispívala stejn jako ve starov kém Egypt
astronomie. V mezopotamských astronomických spisech se objevovaly
„schodové“ funkce, periodické funkce a aritmetické posloupnosti. Do Mezopotámie se jezdili u it p íslušníci st edomo ských národ . Mezopotamská matematika dosáhla vyšší úrovn než matematika egyptská.
13
2.1.2.3
ínská matematika
Nejstarší dochované ínské matematické texty pocházejí z 1. tisíciletí p ed n. l. Mezi tyto texty pat í Matematický traktát o ou pi a Matematika v devíti knihách. Traktát o ou pi (Traktát o m ící ty i) má 3 ásti. První dv z dialog
ásti se skládají
a pocházejí ze 3. století p ed n. l. Rozmlouvá se zde o pravoúhlých
trojúhelnících, slune ních hodinách a o m ení pr m ru Slunce. T etí ást traktátu se zabývá astronomií. V traktátu se užívá podobnosti trojúhelník , Pythagorovy v ty a operací se zlomky. P i aplikaci Pythagorovy v ty jsou zapot ebí druhé mocniny a odmocniny. Druhé odmocniny se nevypo ítávají, vyjad ují se jen p ibližn . (Nap .
5
se vyjad uje jako „2 a kousek“.) Matematika v devíti knihách byla vytvo ena ve 3. století n. l. z nedochovaných ran jších pramen , pocházejících snad z doby 1. tisíciletí p ed n. l. Obsahuje 246 úloh s odpov
mi a návody k ešení. Úlohy jsou rozt ízeny podle v cné tématiky, nap .
vym ování polí, oce ování prací, pom rné rozd lování. Obsah této sbírky odpovídá praktickým pot ebám ínské spole nosti. Nacházejí se zde typového úlohy d ležité pro práci obchodník ,
emeslník , státních ú edník , stavitel , zem m i
i
vojenských velitel . Texty úloh však nemají žádné vysv tlivky, za textem úlohy se nachází pouze výsledek a nazna ený postup ešení. V Matematice v devíti knihách se objevil desítkový pozi ní systém jako základ numerace, po ítání se zápornými ísly (záporná ísla se barevn odlišovala od kladných), metoda výpo tu druhých a t etích odmocnin, Pythagorova v ta a výpo ty objem a obsah . Lineární rovnice o jedné neznámé byly ešeny metodou p ebytku a nedostatku. Pro soustavu lineárních rovnic s více neznámými se uplat ovala metoda fang cheng (maticová metoda). ešily se zde také kvadratické rovnice.
2.1.2.4 Indická matematika Nejstarší indické texty pocházejí snad z 1. století našeho letopo tu. Matematické poznatky se objevují ve spisech s jiným ur ením. Sta í Indové znali desítkovou íselnou soustavu bez pozi ního zápisu. Tento systém byl vytvo en z takzvaných
ísel Bráhmí, kde byl zvláštní znak pro každé
z následujících ísel: 1, 2, 3, ... , 9, 10; 30, ... , 100, 200, 300, ... , 1000; 2000 ... atd. ([15], str. 29)
14
Z mnoha dochovaných (ne p ímo matematických) spis má k matematice blízko spis Súlvasútra (Pravidla provazce, 500 let p . n. l.). Poskytoval pravidla pro vym ování a stavbu ob tních oltá . Nejstarší dochovaná verze tohoto spisu má 525 verš , 116 verš je v nováno matematice. Jedná se o výpo ty obsah obrazc (podstav oltá ) a objem t les. P i výpo tech se b žn pracovalo s iracionálními ísly. Dále se zde nacházejí návody pro konstrukci tverc a pravoúhelník , výrazy pro pom r úhlop í ky ke stran
tverce a pro porovnání velikostí kruh a tverc . N které úlohy
z Súlvasútry vedou k lineárním a kvadratickým rovnicím i k soustavám lineárních rovnic o více neznámých. N které typy rovnic vyžadovaly výpo et druhé mocniny. Itera ní
3 = 1+
metodou
dosáhli
Indové
hodnot:
2 = 1+
1 1 1 + − , 3 3 ⋅ 4 3 ⋅ 4 ⋅ 34
2 1 1 + − . 3 3 ⋅ 5 3 ⋅ 5 ⋅ 52
Ve stereometrických úlohách se „unikalo“ k problematice rovinných obrazc , zejména pravoúhlých trojúhelník . Bylo to možné díky tomu, že oltá e m ly tvar hranol a válc , takže roz ešením úlohy o mnohoúhelníku podstavy byla vystižena problematika hranol a válc . tverec o obsahu a2 se má nap íklad zv tšit na tverec o obsahu n⋅a2. To znamená, že strana nového tverce je výškou rovnoramenného trojúhelníku se základnou (n − 1)a , ramenem
1 (n + 1)a . ([7], str. 68) 2
V Súlvasút e se objevují také pravoúhlé trojúhelníky o rozm rech: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17; 7, 24, 25; 12, 35, 37; 15, 36, 39. Mezi další dochované úlohy pat í prom ny obrazc , nap . obdélník na
tverec o stejném obsahu. Z konstruk ních,
sestrojení tverce, který má obsah rovný sou tu (rozdílu) obsah daných tverc . Stavitelské um ní, které vyžadovalo skládání
tverc , trojúhelník
nebo
mnohoúhelník , dalo pravd podobn podn t k vypracování nauky o trojúhelníkových, tvercových a všeobecn mnohoúhelníkových íslech. Mezi trojúhelníková ísla pat ila nap íklad: 1, 3, 6, 10, 15; tvercová: 1, 4, 9, 16, 25.
15
2.2 Období matematiky konstantních veli in Období matematiky konstantních veli in je d leno na dv odlišující se epochy – období vytvo ení matematiky jako v dy v ecku a období elementární matematiky ve st edov ku.
2.2.1 Období vytvo ení matematiky jako v dy v ecku Matematika jako v da vznikla v ecku v 6. - 5. století p ed n. l. P edpoklady pro vznik matematické v dy existovaly již v Babylónii a Egypt . Na tyto tradice ekové navázali ve svých poznatcích. Pro rozvoj v dy byly však rozhodujícími odlišné a daleko podn tn jší ekonomické, filosofické, kulturní a technické podmínky spole nosti. ecká matematika se od 6. století p . n. l. za ala rychle obohacovat novými základními fakty. P edm tem studia matematiky se stávají matematické objekty. Matematika se stává deduktivní v dou. P i zkoumání matematických objekt se za íná logicky odvozovat. Logické odvozování je založeno na systému axiom a na již d íve dokázaných v tách.
ekové došli jako první k ideji d kazu a d kaz m dali logickou
formu. e tí matematikové inili rozdíl mezi „aritmetikou“ neboli v dou o íslech a „logistikou“ neboli praktickým po ítáním. ([15], str. 61) P vodní
ecká numerace vycházela z aditivního desítkového systému jako
u Egyp an nebo
íman . V alexandrijském období, a možná že již d íve, se objevil
zp sob zápisu ísel, který byl užíván až do 15. století nejen v dci, ale též obchodníky a správnými ú edníky. K vyjád ení našich symbol 1, 2, 3,…, 9, desítek od 10 do 90 a posléze stovek od 100 do 900 se postupn užívalo symbol
ecké abecedy (α = 1,
=2
atd.) K 24 písmen m ecké abecedy se p idala t i zvláštní archaická písmena, aby bylo dosaženo pot ebných 27 symbol . ([15], str. 62) Tento desítkový systém avšak nebyl pozi ní. S tímto systémem lze již snadno provád t ty i základní operace. Snadno se také po ítalo se zlomky, které m ly vlastní symboliku. Systém
ek však postrádal jednotu; užívali egyptské kmenné zlomky i
babylónské šedesátinné zlomky.
16
2.2.1.1 Antické ecko O po átek rozvoje v dy v antickém
ecku se zasloužil kupec, Thales z Milétu
(638/637 – 548/547 p . n. l.), který v první polovin 6. století p ed n. l. navštívil Babylónii a Egypt. Díky jemu možná zapo alo p etvá ení babylónské a egyptské praktické po etní matematiky v deduktivní v du. Thales uvažoval nad geometrickými poznatky a po ídil seznam jednoduchých tvrzení o vlastnostech základních geometrických útvar
jako nap . shodnost vrcholových úhl
a shodnost úhl
p i základn rovnoramenných trojúhelník . Thales se snažil „p ijít v cem na kloub“ a nespokojil se z nezd vodn nými tvrzeními. Rozumovou úvahou se snažil p ejít od z ejmých tvrzení k tvrzením mén z ejmým. O slávu zakladatele ecké matematiky se s Thaletem d lí Pythagoras ze Samu (571/570 – 497/496 p . n. l.), který byl mystikem, v dcem a aristokratickým politikem. Pythagoras se stal zakladatelem pythagorejské školy, v níž se zrodila teorie ísel a studium pravidelných mnohoúhelník . Každou prostorovou formu nebo jev se snažili pythagorejci vyjád it jednozna n ur eným kvantitativním modelem, íslem. Roli ísla však zveli ili; ísla prohlásili za všemocné vládce a za prvotní základ v cí a jev obklopující nás reality. Objev Pythagorovy v ty p ipisovali pythagorejci svému mistrovi, i když byla známa již Babyló an m. Možné však je, že první d kaz Pythagorovy v ty pocházel z pythagorejské školy. Nejzávažn jším objevem p ipisovaným pythagorejc m bylo odhalení iracionality jako nesoum itelnosti úse ek. Tento objev byl možná výsledkem jejich zájmu o st ední geometrickou úm rnou a : b = b : c , která byla symbolem aristokrati nosti. Co bylo st ední geometrickou úm rnou dvou posvátných ísel 1 a 2? Tato otázka vedla ke studiu vztahu strany a úhlop í ky tverce a pythagorejci došli k výsledku, že pom r t chto dvou úse ek nelze vyjád it „ íslem“, tj. tím co dnes nazýváme racionálním íslem, které bylo tehdy jedinou uznávanou íselnou hodnotou. ([15], str. 39) Objev nesoum itelnosti se stal skute nou katastrofou pythagorejské filosofie a stal se tak podn tem k p echodu od aritmetického základu matematiky ke geometrizaci matematických pojm
a k posílení „geometrické algebry“. Tento objev spadá
pravd podobn do posledních desetiletí 5. století p ed n. l. Zárove s nesoum itelností úse ek se objevila ješt další obtíž, která pramenila ze spor týkajících se reality zm ny. Formulace t chto nesnází se p ipisuje filosofovi, Zenonovi z Elea (p ibližn
490 – 430 p . n. l.), který p edložil 45 aporií. Mezi
17
nejznám jší dochované aporie jsou: Achilles, šíp, dichotomie a stadion. V Zenonových aporiích vyniká rozpor mezi pojmy pohyb a as. V 5. století p . n. l. byly také zformulovány „t i proslulé matematické problémy starov ku“ mezi které pat í: trisekce úhlu (tj. d lení daného úhlu na t i stejné ásti), zdvojení krychle (tj. nalezení hrany krychle, jejíž objem je dvojnásobkem dané krychle) a kvadratura kruhu (tj. nalezení tverce o ploše rovné ploše danému kruhu). Tyto problémy vzbudily všeobecný zájem a sehrály v historii matematiky významnou roli. Pokusy roz ešit je prost edky klasické geometrické algebry i neklasickými zp soby
ešení p isp ly k zavedení nových matematických pojm
r zných metod ešení úloh. Odpov
a rozpracování
na otázky, které v t chto úlohách položili starov cí
e tí u enci, dali matematici až ve druhé polovin 19. století. ([13], str. 35) Atomistickou teorii matematiky vypracoval významný v dec-materialista Démokritos z Abdéb (kolem 460 – 380 p . n. l.). Ve své teorii uplatnil sv j filosofický názor; body považoval za ned litelné atomy prostoru, které mají kone ný objem. Úse ku, plochu i objem vytvá el zna ný, ale kone ný po et ned litelných atom . Hippokrates z Chiu (2. polovina 5. století p . n. l.) objevil jako první útvary omezené oblouky kružnic zvané „m sí ky“. Obsah t chto útvar se rovná obsahu pravoúhlého trojúhelníku sestrojitelného pravítkem a kružítkem. S teorií proporcí a „exhaustivní“ metodou je spojován Eudoxos z Knidu (kolem 406 – 365 p . n. l.). Teorie proporcí platila jen pro soum itelné veli iny a odstranila tak aritmetickou teorii pythagorejc . Eudoxova teorie byla
ist
geometrická. Exhaustivní metoda byla prvním u ením
o limitách, umož ovala p esné výpo ty obsah a objem . To, že iracionality nejsou nijak výjime nými jevy ukázal Thaitetos z Atén (kolem 410 – 368 p . n.l.), který provedl i jejich klasifikaci. Na matematiku m la vliv také filosofie. Mezi nejvýznamn jší antické filosofy, kte í ovlivnili vývoj matematiky pat í Sókratés (469 – 399 p . n. l.), Platón (427 – 347 p . n. l.) a Aristotelés (384 – 322 p . n. l.). Aristotelés je považován za zakladatele logiky.
2.2.1.2 Helénistické období Epocha helénismu za ala v dob pochod Alexandra Makedonského za hranice ecka (332 – 323 p . n. l). Po Alexandrov smrti se jím vytvo ená íše rozpadla na jednotlivé zem . Nejv tšího úsp chu dosáhly v dy v Egypt . Vzniklo v decké
18
centrum – Múseion s knihovnou. Nejv tší v dci té doby pracovali práv v tomto centru a matematika dosáhla mimo ádného rozkv tu. Mezi významné u ence antického sv ta helénistického období pat í Euklides (kolem 340 – 287 p . n. l.), Archimédes ze Syrakus (kolem 250 – 170 p . n. l.), Apollónios z Pergy (kolem 250 – 170 p . n. l.). O život Euklida není známo nic ur it jšího. Tehdejšímu vládci nazna il, že neexistuje žádná královská cesta k pochopení geometrie. Nejznám jším a v decky nejvýznamn jším dílem Euklida je t ináct knih Základ . První
ty i knihy jsou
planimetrické, pátá a šestá kniha jsou v novány teorii proporcí. Další t i knihy bývají nazývány jako knihy aritmetické. Desátá kniha obsahuje teorii iracionalit a poslední t i knihy jsou stereometrické. Základy jsou prvním pokusem o axiomatickou výstavbu matematiky. Originální text se však nedochoval. Euklidovy základy lze považovat za jeden z vrchol
ecké matematiky. Výrazn
p ekonaly starší u ební texty, staly se vzorem a autoritou na více než dva tisíce let. Snad ješt
významn jší než obsah Základ
je jejich struktura a forma, dodnes je lze
považovat za u ebnici deduktivního myšlení. Metoda, která byla v Základech prezentována, postupn
pronikala do všech oblastí matematiky. Metodický p ínos
Základ byl obrovský. ([3], str. 21) Nejvýznamn jším
matematikem
helénistického
období
byl
Archimédes
ze Syrakus. Mezi nejvýznamn jší Archimédovy matematické práce pat í rozpracování metod
výpo tu
ploch
a
objem .
Archimédes
aproximoval
íslo
1 ( 3 ). 7
Mezi Archimédovi práce pat í: O rovnováze ploch, O kouli a válci, O plovoucích t lesech, O spirálách, O konoidech a sféroidech, Kvadratura paraboly, M ení kruhu, O po ítání písku. Archimédes p isp l také k rozvoji fyziky, mechaniky a astronomie. Apollónios
z Pergy
byl
autorem
mnoha
matematických
prací.
Mezi nejvýznamn jší pat í 8 knih O kuželose kách, z nichž se zachovalo jen 7. V t chto knihách je vyložena Apollóniova teorie o kuželose kách 2. stupn . V Apollóniových knihách nalezneme problém konstrukce kružnice dotýkající se t í daných kružnic, p i emž tyto kružnice mohou být zam n ny p ímkami nebo body. U Apollónia se poprvé setkáváme s výslovným požadavkem, kdy se p i geometrických konstrukcích m že použít pouze kružítko a pravítko.
19
2.2.1.3 Období ímské nadvlády Období ímské nadvlády za alo ímskými výboji (konec 3. století p . n. l.). ímští legioná i získali
etná území. Zpustošeno bylo tém
Roku 31. p . n. l. byla dobyta také Alexandrie (sho ela i
celé
ecko.
ást knihovny Músea).
Alexandrie však z stala i nadále st ediskem st edov ké matematiky. Podmínky pro v deckou práci byly ale nep íznivé. Mezi první alexandrijské matematiky tohoto období pat í Nikomachos z Gerasy (kolem roku 100 n. l.), díky kterému se dochoval výklad pythagorejské matematiky (Úvod do aritmetiky). Heron z Alexandrie (1. století n. l.) byl talentovaným inženýrem a vynálezcem; vyu oval v Múseu. O Heronovi je známo, že p esn
popsal zatm ní
M síce roku 62 n. l. V jeho díle Metrika je uveden známý vzorec pro výpo et obsahu trojúhelníku – „Heron v vzorec“. Asi v téže dob jako Heron z Alexandrie žil také Meneláos z Alexandrie, který podal systematický výklad sférické geometrie (Sférika). Významným dílem helénistického období byla Velká sbírka (kolem roku 150 n. l.), jejíž autorem je astronom Klaudios Ptolemaios (kolem 100 – 170 n. l.). Tato sbírka je znám jší pod arabským názvem Almagest. Obsahovala matematický model viditelného pohybu nebeských t les. Vliv Orientu je patrný v díle Diofanta z Alexandrie – Aritmetice. Tato kniha pochází z doby kolem roku 250 n. l., z originálu se dochovalo jen šest knih a p vodní rozsah není znám. V knize se objevuje velké množství nových idejí, zajímavých úloh a také záhad, které nebyly doposud vy ešeny. V knize se nachází nap . ešení neur itých rovnic, kdy autor p ipouští pouze kladná a racionální ešení; iracionální ešení nazývá „nemožná“. Diofantos zde také vyslovil n kolik v t z teorie ísel. Diofantos poprvé užívá systematicky algebraické symboly, zvláštní znaky m l pro „minus“, pro neznámou a pro p evrácenou hodnotu. Znaky byly formou
zkratek,
vytvá el
tzv.
„rétorickou“
algebru.
Posledním
významným
matematikem alexandrijského období byl Pappos (2. polovina 3. století). Pappos napsal Matematickou sbírku, ve které shromáždil n které výsledky antické matematiky (d ležité elementární v ty a projektivní geometrie) a p inesl sv dectví o jejich autorech. S úpadkem antické spole nosti odumírala i alexandrijská škola. Za alo se ší it k es anství. Rozpadlo se otroká ství a byla narušena ekonomika spole nosti. V roce 529 byla uzav ena aténská Akademie a u enci opustili Atény. P estala tedy existovat v decká centra antického sv ta.
20
2.2.2 Období elementární matematiky ve st edov ku Druhá etapa období konstantních veli in byla zam ena k rozpracování elementární matematiky. Oživila po tá ský charakter matematiky; z orientu erpala tzv. indicko-arabský pozi ní íselný záznam a hlavní aritmetické algoritmy. Od 11. až do 15. století se Evropa seznamovala s výsledky jak antické matematiky, tak i arabských komentá evropským
matematik m
poda ilo
a rozpracování. Na konci této etapy se
dosp t
k samotným
výsledk m
v oblastech
souvisejících práv s výpo tá skou praxí (trigonometrické výpo ty a tabulky nezbytné pro rozvoj astronomie, logaritmy, e ení rovnic 3. a 4. stupn apod.). ([7], str. 14)
2.2.2.1 Orient po úpadku ecké spole nosti I p es helénistický vliv nikdy nezmizela starov ká civilizace Blízkého východu. Politická nadvláda ek nad celým Blízkým východem zmizela skoro úpln s rychlým vzestupem islámu. Na územích dobytých Araby se stala oficiální e í arabština. Nahradila tak e tinu a latinu.
2.2.2.1.1 Indická matematika S úpadkem ímského impéria se p esunula st ediska matematického bádání do Indie. Ze 4. století pochází významný soubor v deckých d l - Siddhántás. Jedná se p evážn o astronomická díla, kde je patrný vliv ecké astronomie. Výklad v nich je bez ná rtk , vzorc i d kaz . Jsou zde formulovány algoritmy pro ur ité operace s ísly a pravidla pro ešení úloh. Od 5. století n. l. se zachovala knihy konkrétních indických matematik . Nejznám jší z nich byli Árjabhata (zvaný „první“, kolem roku 500 n. l.) a Brahmagupta (kolem roku 625 n. l.). Charakteristické pro jejich dílo jsou aritmeticko-algebraické ásti a obliba neur itých rovnic. Árjabhata aproximoval hodnotu
(3,1416); jeho traktát
se stal východiskem rozvoje exaktních v d. U Brahmagupty se objevují první obecná ešení neur itých rovnic prvního stupn . Na rozdíl od Diofanta Indové p ijímali jen celo íselné ešení t chto rovnic, p ipoušt li však i záporné ko eny. Brahmagupta nazýval kladná ísla jako majetek a záporná ísla jako dluh. Komentátorem idejí Árjabhata byl Bháskara I, který v 7. století rozpracoval teorii diofantovských rovnic a astronomické problémy. Do poloviny 9. století spadá tvorba Mahávíra, autora Krátkého 21
kursu matematiky. Toto dílo je první indické pojednání, které je pln
v nováno
matematice. Velký význam pro rozvoj fyzikáln -matematických v d, v Indii, m la tvorba významného indického matematika a astronoma Bhánskary II. (1115 – asi 1183). Za jeho života byly organizovány školy, kde se vyu ovala jeho díla. Bhánskarova pojednání Lílávátí a Bídžaganíta jsou v nována matematice. Dílo Lílávátí se na dlouhou dobu standardním orientálním aritmetickým a m ickým dílem. Nejznám jším výsledkem indické matematiky je náš dnešní desítkový pozi ní systém. Desítkový i pozi ní systém jsou velmi staré, avšak jejich spojení vzniklo asi v Indii, kde b hem doby postupn nahradilo starší nepozi ní systémy. Jeho první známý výskyt je na desce z roku 595 n. l., kde je napsán v desítkovém pozi ním záznamu letopo et 346. ([15], str. 66) Již dlouho p ed tímto písemným dokladem m li Indové systém, který velká ísla vyjad oval metodou pozi ních hodnot. V rukopise Bakhšálí, který se skládá ze sedmnácti proužk
b ezové k ry neznámého data a p vodu se objevuje slovo
„súnya“, které vyjad uje nulu. Vznik tohoto textu se datuje do doby od 3. do 12. století n. l. Text obsahuje tradi ní indický materiál o neur itých rovnicích, kvadratických rovnicích a aproximacích; te kou vyjad uje nulu. Nejstarší písemný doklad symbolu nuly pochází z 9. století. Je to tedy mnohem pozd ji než v babylónských textech. Symbol 0 pro nulu mohl vzniknout eckým vlivem („ouden“ je ecký výraz pro nic); zatímco babylónská te ka se psala jen mezi ciframi, objevuje se indická nula též ne konci, a tím se cifry 0, 1, 2,…, 9 staly rovnocennými ([15], str. 67)
2.2.2.1.2 Arabská matematika Arabové p ejímali a dále rozvíjeli v decké a kulturní výsledky porobených národ . Pomocí obchodních a diplomatických styk získávali další poznatky i z oblasti matematiky. Pronásledovaní u enci nacházeli azyl v Byzanci. Prvním v deckým centrem arabské (islámské) matematiky se stal Bagdád, kde se koncem 8. a po átkem 9. století soust edilo mnoho u enc . V decká
innost v tomto období byla velmi
podporována, v Bagdádu vznikl „D m moudrosti“ s knihovnou a observato í.
22
Islámské práce v exaktních v dách za aly al-Fazáriho p ekladem Siddhántás. Prvního vrcholu však dosáhl kolem roku 825 Muhammad ibn Músá al-Chvárizmí, který napsal n kolik knih o matematice a astronomii. Název p ekladu Algorithmi de numero Indorum zavedl do naší matematické e i termín „algoritmus“, který je latinizovaným jménem autora. Obdobná v c se stala s Muhammadovou algebrou, která m la název Hisab al-džebr val-muquaba (doslova „v da o redukci a vzájemném rušení“, což asi znamenalo „v da o rovnicích“). Tato algebra, jejíž arabský text se zachoval, se stal známou na Západ díky latinskému p ekladu a slovo „al-džebr“ se stal synonymem celé matematické disciplíny „algebry“. ([15], str. 69) Dílo al-Chvarízmího hraje v d jinách matematiky d ležitou roli, jelikož bylo jedním z hlavních pramen , jimiž do západní Evropy pronikly indické íslice a arabská algebra. Trigonometrii se v noval al-Battání (asi 858 – 929), který znal kosinovu v tu pro sférický trojúhelník a sestavil tabulku kotangent s intervalem jednoho stupn . AbuI-Vafá (940 – 9997/8) odvodil sinovou v tu sférické trigonometrie a vypo ítal tabulky sin s intervalem 15'(hodnoty mají správných 8 desetinných míst). Po átkem 11. století al-Karchí rozpracoval algebru, která navazovala na Diofanta. Na základ antické teorie kuželose ek vytvo il arabský matematik Omar Chajjám (asi 1038/48 – 1123/24) rozsáhlou geometrickou teorii rovnic t etího stupn . Po roce 1256, kdy Bagdád vyplenili Mongolové, vzniklo nové st edisko u enosti, observato Marágha. Toto st edisko bylo vybudované tehdejším vládcem pro Násiruddína Túsího (1201 – 1274) a stalo se institucí, která okolo sebe soust edila celou orientální v du. Násir vyd lil trigonometrii z astronomie jako samostatnou v du. Velmi obratný p i výpo tech byl v první polovin 15. století perský matematik, al-Kaší. Al-Kaší znal správn hodnotu
na 17 desetinných míst.
ešil kubické rovnice iteracemi a trigonometrickými metodami a znal zp sob ešení ur itých algebraických rovnic vyšších ád , který zobec uje po ítání odmocnin vyšších stup
z oby ejných ísel. Tato metoda, dnes zvaná Hornerovo schéma, vznikla
pravd podobn vlivem ínské matematiky. ([15], str. 72) V Egypt byl významnou osobností Ibn-Hajtham (Alhazen, kolem 965 – 1039), který vy ešil „Alhazen v problém“, ve kterém se požaduje ze dvou bod
ležících
v rovin dané kružnice vést p ímky protínající se v bod kružnice tak, aby svírali s normálou tohoto bodu shodné úhly. Tento problém vede k bikvadratické rovnici a byl 23
ešen v duchu ecké tradice pr se íkem hyperboly a kružnice. Sto let p ed Alhazenem žil v Egypt Abú Kámil, který rozši oval dílo al-Chvárázmího.
2.2.2.2 Po átky rozvoje matematiky v západní Evrop Hospodá sky i kulturn nejvysp lejší z stávala stále východní ást ímského impéria. Hospodá ství západní ásti se nikdy neopíralo o zavod ování a zem d lství neposkytovalo žádné popudy pro studium astronomie. Západ si vysta il s minimem astronomie, trochou praktické aritmetiky a m ictví. Základem hospodá ského života bylo zem d lství, ve kterém otroky postupn nahrazovali svobodní sedláci a nájemci. Prvky
ecko- ímské vzd lanosti, po pádu
ímského impéria v roce 476,
udržovaly kláštery a vzd laní laici. Jedním z t chto laik
byl diplomat a filosof
Anicius Manilius Severinus Boetius (asi 480 – 524). Boetius napsal matematické spisy, které byly v západním sv t
považovány za sm rodatné více než tisíc let. Spisy
odrážely tehdejší kulturní podmínky, a proto byly velmi chudé na v decký obsah. V roce 800 byl odtržen Východ od Západu. Západní spole nost se stala feudální a církevní a pomalu se rozši ovala k severu. B hem prvních století západního feudalismu nacházíme jen nepatrné ocen ní matematiky. Klášterní matematika obsahovala
trochu
církevní
aritmetiky
používané
k výpo tu
dat
Velikonoc;
s primitivním zem d lstvím nebyla v bec podporována matematika praktická. Nejvyšším zdrojem autority byl Boetius. Významné místo mezi církevními matematiky zaujímal Alcuin. Mezi jeho dílo pat í latinsky psaná sbírka úloh - Úlohy k ost ení rozumu, která ovlivnila po dlouhá staletí autory u ebnic. Dalším církevním matematikem byl francouzský mnich Gerbert (pozd ji papež Silvestr II.), který jako první západní u enec studoval ve Špan lsku matematiku arabského sv ta. Ve 12. a 13. století vznikla první mocná obchodní m sta v Itálii (Janov, Pisa, Benátky, Milán a Florencie), která úsp šn
obchodovala s arabským i evropským
severem. Obchodníci navšt vovali Orient a studovali jeho kulturu. Jedním z obchodník , byl i Leonard Pisanský, nazývaný také Fibonacci (asi 1170 – po 1240). Po návratu z cest napsal Liber Abaci (Kniha o Abaku, 1202), která obsahuje aritmetické a algebraické znalosti posbírané z cest. Podobn
sepsal znalosti z geometrie a
trigonometrie (Geometrická praktika, 1220). Abakus pro Leonarda Pisanského nebyl pouze po etní p ístroj, ale po ítání v bec. (Abakus je jednou z pom cek, kterou byl 24
do západní Evropy p enesen indicko-arabský zp sob psaní íslic. Tento zápis íslic však narážel na velký odpor ve ejnosti.) V matematice známe Fibonacciova ísla leny posloupnosti 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,… S rozši ováním obchodu se ší il do severn jších m st i zájem o matematiku. Tento zájem byl p edevším praktický. Algebru a aritmetiku u ili emeslní po tá i. Teoretickou
matematiku
studovali
scholasti tí
filosofové.
Nejvýznamn jším
st edov kým církevním matematikem byl Mikuláš Oresme (asi 1323 – 1382), který se zabýval lomenými mocninami a zavedl závisle prom nnou (ší ku) v i nezávisle prom nné (délce), kterou lze m nit. Matematický pokrok závisel na r stu obchodních m st. Velmi ho ovliv oval obchod, navigace, astronomie a zem m ictví. M stské obyvatelstvo za alo mít zájem o matematiku, hlavn
ve spojení s ú etnictvím a praktickými výpo ty. St ediskem
života se v 15. a 16. století stala italská a st edoevropská m sta (Norimberk, Víde a Praha). Po zániku byzantské
íše (1453) se mnoho
eckých u enc
uchýlilo
do západních m st. Vzrostl zájem o p vodní ecké texty. V d ím matematikem 15. století byl Johannes M ller, zvaný Regiomontanus (1436 – 1476). Tento u enec byl nejen pozoruhodným po tá em, ale i tv rcem p ístroj a tiska em. Regiomontanus se podílen na p ekladech a vydáních klasických matematických rukopis . Hlavním dílem tohoto matematika bylo De triangulius omnimodus libri quinque (1464, vytišt no až 1533), které obsahuje sinovou v tu pro sférické trojúhelníky. Mnoho úsilí také v noval sestavování trigonometrických tabulek. V 15. století italští po tá i spolehliv
ovládali aritmetické výpo ty v etn
výpo t s iracionálními ísly a italští malí i byli dobrými geometry. Jedna z prvních tišt ných knih je Summa Arithmetica (1494). V této knize shrnul františkánský mnich Luca Pacioli výsledky vývoje aritmetiky.
ešením kubických
rovnic se v 16. století zabývali matematikové: Scipio Del Ferro (asi 1465 – 1526), Niccolo Tartaglia (asi 1499 – 1557), Hieronymus Cardano (1501 – 1576) a Ludovico Ferrari (1522 – 1565). Roku 1545 uve ejnil Cardano svou knihu o algeb e Ars magna, která obsahovalo ukradené myšlenky Tartaglia. Kniha obsahuje vynikající výsledky, jako nap íklad Ferrariho metodu ešení obecné bikvadratické rovnice, která spo ívala v p evedení této rovnice na kubickou. Cardano uvažoval také o záporných (tzv. fiktivních) íslech.
25
D slednou teorii ryze imaginárních ísel zavedl bolognský matematik Raffael Bommbelli (asi 1530 – po 1572) v knize Algebra (1572) a rukopise Geometrie (1550). Komplexní ísla byla zavedena v teorii kubických rovnic. D ležitou oblastí matematického úsilí z stávala i nadále astronomie. Vznikaly velké astronomické teorie Koperníka, Tychona Brahe a Keplera a vytvá elo se nové pojetí vesmíru. Vznikaly trigonometrické a astronomické tabulky, u kterých stoupala p esnost. V roce 1593 u inil belgický matematik Adriaen van Roomer ve ejnou výzvu, která požadovala ešení rovnice 45. stupn .
x 45 − 45 x 43 + 945 x 41 − 12300 x 39 +
− 3795 x 3 + 45 x = A
ešením této rovnice se také zabýval Francois Viéte (1540 – 1603), který hledal ešení pomocí tabulek vyjád ením sin
jako pravé strany rovnice. Viétovy hlavní
myšlenky tkví ve zdokonalení teorie rovnic; jako jeden z prvních vyjad oval ísla písmeny. Zdokonalovala se i po etní technika. Ludolph van Ceulen (1540 - 1610) vypo etl
na 35 míst. Užil vepsaných a opsaných mnohoúhelník se stále rostoucím
po tem vrchol . V 17. století zavedl Simon Stevin (1548 – 1620) desetinné zlomky jako sou ást návrhu na sjednocení systému m r na desetinném základ a umožnil tedy všeobecné zavedení indicko-arabského
íselného zápisu. Stevin spojoval praktický
smysl s teoretickým pohledem a originalitou. Dalším podstatným zlepšením po tá ských metod byl objev logaritm . Skotský zeman John Neper (1550 – 1617) uve ejnil v roce 1614 svou práci Mirifici logarithmorum canonis descriptio. V této práci se zabýval myšlenkou jak konstruovat dv vzájemn svázané íselné posloupnosti, z nichž jedna byla rostoucí aritmetická, druhá klesající geometrická. Tímto tématem se zabýval spole n s profesorem Henrim Briggsem (1561 – 1631). Po smrti Nepera uve ejnil Briggs roku 1624 trnáctimístné logaritmy celých ísel od 1 do 20000 a od 90000 do 100000. Mezeru vyplnil roku 1627 holandský zem m i Ezechiel de Decker (kolem roku 1630). Nový objev byl uvítán nejen matematiky, ale i astronomy.
26
2.3 Období matematiky prom nných veli in Již na za átku 17. století se velmi d razn projevila podstatná zm na v celé tvá nosti matematiky. Týkala se hlavn samého p edm tu matematiky. Zatímco do té doby matematika zkoumala vlastn jen konstantní veli iny i tvary a jejím obsahem byla p evážn „elementární matematika“, která byla jen nahodile dopln na výsledky jiného charakteru, za ínají matematikové 17. a 18. století obracet svou pozornost stále více k otázkám funk ních závislostí, nekone ných proces , limit, nekone n malých veli in, derivací, projektivních transformací apod. Od 17. století se staly p edm tem matematiky také prom nné veli iny a geometrické transformace. ([15], str. 210) V 17. a 18. století získává matematika vahou svých výsledk
všeobecnou
podporu. Vznikly r zné matematické instituce a první matematické asopisy.
2.3.1 17. století Rozvoj obchodu a vzestup výroby zboží nebyl možný beze zm n v ekonomice a bez rozvoje emesel, techniky a v dy. Vznikaly první manufaktury a v nich první stroje. Systematické užívání stroj p ineslo adu poznatk mechanice, která se snažila tyto poznatky zvládnout matematicky. Na p ímé popudy z kartografie a hodiná ství vzniká „matematická p írodov da“, která se snaží objasnit jednotlivé p írodní jevy pomocí matematicky formulovaných obecných p írodních zákon . Matematických prost edk k formulaci zákon využívala zejména mechanika a optika. První systematický výklad výsledk dosažených v oboru, který dnes nazýváme infinitesimálním po tem, podal Bonaventura Cavalieri (asi 1598 – 1647) v knize Geometrie (1635). Opíral se o teorii „indivisibilií“, podle které pohybem bodu vznikne p ímka a pohybem p ímky roviny. Své výsledky shrnul v tzv. „Cavalieriho principu“, tj. dv t lesa o stejné výšce mají stejný objem, jestliže rovinné ezy, vedené ve stejných výškách, mají vždy stejnou plochu. Postupný vývoj infinitesimálního po tu zna n urychlilo vydání Geometrie René Descarta (1596 – 1650). Descartova Geometrie (1937) podrobila klasickou geometrii metodám algebraik
a vznikla p vodn jako
dodatek k práci Discours de la méthode (Rozprava o metod ). Je to první tišt ná práce, která obsahuje prvky analytické geometrie. Velkou
27
ást knihy zabírá teorie
algebraických rovnic. Obsahuje „Descartovo pravidlo“, ur ující po et kladných a záporných ko en . A koliv údajn
nestudoval díla F. Viéty, dosp l k analogické algebraické
symbolice. Zvolil symboly a, b, c, . . . pro ozna ovaní koeficient , x, y, z, . . . pro ozna ení neznámých. Pro ozna ovaní mocnin se až do té doby užívalo r zných zkratek slov „ tverec“, „krychle“, apod. Descartes zavedl dnešní ozna ení x2, x3 atd. Jeho zápisy rovnic — až na rovnítko — jsou tedy zcela moderní. ([8], str. 88) P i ešení jednoho z Pappových problém využil metody sou adnic. Sm ry os však nevolil kolmé; zakreslil jen jednu z os a od jejích bod vynášel na p ímky druhého sm ru úse ky požadované velikosti. Tato soustava sou adnic však nebyla v dnešním slova smyslu kartézská (podle latinské podoby Descartova jména). Základy analytické geometrie položil spole n
s Descartem Pierre Fermat
(1601 – 1665). Základy sou adnicové metody zpracovával ješt d íve než Descartes. Fermat odvodil, že p ímky lze popsat rovnicemi 1. stupn a kuželose ky rovnicemi 2. stupn . Významných výsledk dosáhl v teorii ísel, známá je malá a velká Fermatova v ta. V roce 1638 objevil Fermat metodu ur ování maxim a minim. V jednoduché algebraické rovnici zm nil prom nnou o malou diferenci a pak za tuto diferenci dosadil nulu. Diferencování využil také k hledání te ny. Fermat pat í také mezi zakladatele teorie pravd podobnosti.
ada Fermatových výsledk vešla ve známost až po jeho
smrti, kdy byl publikován sborník jeho prací. Spole n s Fermatem se na vytvo ení teorie pravd podobnosti podílel i Blaise Pascal (1623 – 1662). První výsledky z teorie pravd podobnosti a z kombinatoriky lze nalézt v jejich vzájemné korespondenci. Svou první práci uve ejnil již v roce 1640. Jedná se o práci o kuželose kách, ve které je obsažena jedna ze základních v t projektivní geometrie, tzn. velká Pascalova v ta. Pascal se obsáhle v noval íselným adám a binomickým koeficient m. V práci Traktát o aritmetických trojúhelnících zavedl známý tzv. Pascal v trojúhelník. V roce 1642 zkonstruoval první mechanický po ítací stroj. Tento stroj dokázal s ítat a od ítat. V 60. – 70. letech 17. století vybudovali nezávisle na sob Isaac Newton (1642 – 1727) a Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) diferenciální a integrální po et. Koncepce obou matematik však byla zcela odlišná. Leibniz, vycházeje z abstraktních koncepcí a budoval tak „ istou“ matematickou analýzu, Newton chápal matematiku jako nástroj fyzikálního poznávání sv ta.
28
Newton vybudoval v algeb e také metodu numerického ešení kvadratických rovnic a odvodil d ležité v ty o symetrických funkcích ko en algebraických rovnic. V práci
Philosophiae
naturalis
principia
mathematica
(Matematiské
základy
p írodov dy, 1687) pospal rozvinutou teorii kuželose ek. Svými pracemi p isp l také k rozvoji analytické a projektivní geometrie. Jeho práce zcela zm nily koncem 17. století nazírání na sv t a postavení lov ka v n m. Leibniz definoval derivaci a integrál, zavedl symboly dx a R, odvodil základní vzorce pro derivování, popsal vzájemný pom r diferencování a integrování. Vybudoval základy teorie nekone ných ad a teorie diferenciálních rovnic. Od n ho pocházejí dnes tak b žn používané pojmy jako nap íklad funkce, diferenciál, diferenciální rovnice, algoritmus aj. ([8], str. 225) Leibnitz významn p isp l i k rozvoji logiky. Dále také vynalezl vlastní po ítací stroj, na kterém již bylo možné násobit i d lit.
2.3.2 18. století Toto století je p edevším stoletím rozvinutí a využití metod infinitesimálního po tu. Tento kalkul aplikovala
ada matematik
na jiné oblasti matematiky a
mechanické problémy. V matematice se objevují i nové obory jako nap íklad po et pravd podobnosti, diferenciální geometrie a na konci 18. století deskriptivní geometrie. Díky stále rostoucí vým n informací se od 18. století vytvá í celosv tový proud vývoje matematiky. Matematikové se za ínají výhradn
v novat matematice.
Matematika již není p stována jen vedle jiného hlavního zam ení, nap íklad fyzikálního. Vývoj nejen matematiky velmi ovlivnila švýcarská rodina Bernoulli . Jakob Bernoulli (1654 – 1705) se zabýval matematickou analýzou, teorií pravd podobnosti a mechanikou. Poprvé ve sv tové literatu e použil slovo „integrál“. Dokázal divergenci harmonické ady a ešil n které kombinatorické úlohy. Jméno Jakoba Bernouliho je spojeno s Bernoulliovými ísly, Bernoulliovou v tou a Bernoulliovým schématem. Spole n s bratrem Johannem Bernoulliem (1667 – 1748) položil Jacob základy varia ního po tu a vy ešil úlohu o brachystron . Dalším z rodu Bernoulli byl Daniel Bernoulli (1700 – 1782), syn Johanna. Daniel je považován za jednoho z nejslavn jších Bernoulli . Výborných výsledk dosáhl v hydromechanice – odvodil tzv. Bernoulliho 29
rovnici. V matematice se nejvíce zabýval algebrou, teorií pravd podobností, teorií ad a diferenciálními rovnice. Definoval íslo e jako lim n→∞ 1 +
1 n
n
. Jako první využil k ešení parciálních
derivací diferenciálních rovnic trigonometrických ad, které byly pozd ji nazvány Fourierovými adami. ([8], str. 35) Stejn
jako Bernoulliové pocházel z Basileje také další velmi významný
matematik a fyzik Leohnard Euler (1707 – 1783). V decké zájmy Eulera se týkaly prakticky všech p írodních v d. Zvlášt významné jsou práce z matematické analýzy, kterou systematicky rozpracovával po celý sv j život. Desítky jeho prací byly shrnuty do díla Introductio in analysin infinittorum (Úvod do analýzy nekone n veli in, 1748). Poté vydal
malých
ty dílný traktát z analýzy. První díl byl v nován
diferenciálnímu po tu, zbylé t i po tu integrálnímu. V posledním díle je též vybudován varia ní po et, jehož je Euler spole n s Lagrangem zakladatelem. Jako první zavedl funkce komplexní prom nné, objevil neo ekávané vztahy mezi goniometrickými a exponenciálními funkcemi, prakticky do dnešní podoby vybudoval trigonometrii. Vybudoval analytickou teorii diferenciální
geometrie,
p isp l
ísel. Byl jedním z tv rc
k vybudování
základ
diskrétní
moderní
matematiky
(kombinatoriky a teorie graf ). Zavedl adu pojm , které se po staletích objevily v algebraické topologii. S jeho jménem se dnes setkáváme prakticky ve všech oblastech matematiky. ([8], str. 111) Euler publikoval 685 v deckých prací. Poslední léta svého života byl slepý, což mu nebránilo v tvorb . Tém
polovinu svých prací vytvo il v posledních 10 letech
života. Základní matematické práce Jeana Baptisty d'Alemberta (1771 – 1783) se týkají diferenciálních rovnic. Spole n
s Eulerem a Danielem Bernoullim je považován
za zakladatele matematické fyziky. Významných výsledk dosáhl v hydrodynamice a mechanice, v roce 1743 zformuloval d' Alembert v princip. Teorií ad, teorií pravd podobnosti a komplexními ísly se p evážn zabýval anglický matematik Abraham de Moivre (1667 - 1754). Moivre objevil souvislosti mezi rekurentními formulemi a diferen ními rovnicemi a zformuloval pravidla pro po ítání s komplexními ísly – Moivreova v ta. Matematik a mechanik italského p vodu Joseph Louis Lagrange (1736-1813) se zabýval matematickou analýzou a organizoval v deckou spole nost. Spole n 30
s Eulerem vydal roku 1774 práci, kterou se datuje vznik varia ního po tu. Výsledky své práce z oblasti mechaniky shrnul v díle Analytická mechanika (1788); vybudoval jednotnou teorii - klasickou analytickou mechaniku jako teorii o obecných diferenciálních pohybových rovnicích. Ve dvou dílech vydal kurs analýzy (Teorie analytických funkcí, 1797; Kapitoly z teorie funkcí, 1801 – 1806). V teorii diferenciálních rovnic zavedl Lagrange metodu variace konstant. Posledním z v d ích matematik 18. století byl Peirre Simon Laplace (1749 – 1827). V decká innost Laplace byla velmi rozmanitá. Významných výsledk dosáhl nejen v matematice (teorie parciálních diferenciálních rovnic, teorie pravd podobnosti aj.), ale i v nebeské matematice (teorie vzniku slune ní soustavy) a experimentální a teoretické fyzice. Podrobn studoval rovnici u xx + u yy + u zz = 0 , která hraje významnou roli v teorii potenciálu a je dnes nazývána Laplaceovou rovnicí. Laplace systematicky rozvíjel výsledky z teorie pravd podobnosti, p evážn
Pascalovy, Fermatovy a
Bernoulli . Zdokonalil d kazové metody a odvodil limitní v tu – Laplace-Moivreovu v tu. Dále také zavedl vytvo ující funkce a studoval integrální transformaci.
31
2.4 Období matematiky zobecn ných kvantitativních a prostorových vztah Poslední období vývoje matematiky je spjato s rostoucím využitím matematiky v r zných oblastech života. Matematika se stává nepostradatelným prost edkem nejen celé fyziky, ale i jiných v deckých a technických oblastí. Vzr stá v domí, že p edm tem matematiky nejsou jen p írodní jevy, ale i jevy spole enské.
2.4.1 19. století V první polovin 19. století se za al m nit vztah matematiky a jejích aplikací. Matematika již nahromadila tolik poznatk , že jakýkoliv p edložený problém mohla ešit známými metodami. Nahromad né výsledky a jejich uplatn ní v aplikacích si vynutily pro další vývoj novou abstrakci p edm tu matematiky. Aby mohla matematika proniknout hloub ji do problematiky reálného sv ta, p ešla na vyšší úrove abstrakce. Matematika se již nesoust edila na zodpovídání podn t z jiných oblastí, za ala se soust edit více na své problémy. Matematika se rozvíjela nejsiln ji ve Francii a pozd ji v N mecku. Matematikové 19. století již nežili kolem královských dvor
i v aristokratických
salónech. Jejich hlavním zam stnáním již nebyla innost v u ených spole nostech; byli obvykle zam stnáni na univerzitách nebo technických školách a byli stejn u iteli jako badateli. ([8], str. 145) Jedním z nejv tších matematik
nejen 19. století je Karl Friedrich Gauss
(1777 – 1855). V decká práce Gausse byla neoby ejn výsledk
dosáhl v algeb e, teorii
mnohostranná. Prvo adých
ísel, diferenciální geometrii, geodézii, nebeské
mechanice, teoretické astronomii, teorii elekt iny a magnetismu. V mnoha t chto sm rech p edznamenal jejich další vývoj. Ve své diserta ní práci (1799) podal první d kaz základní v ty algebry. V práci Aritmetické výpo ty (1801) odvodil n které základní výsledky z teorie
ísel a moderní algebry. Uvedena je zde také teorie
kvadratických zbytk a zkoumání d lení kruhu – hledání ko en rovnice x n − 1 = 0 . To vedlo ke zjišt ní, že stranu pravidelného sedmnáctiúhelníku (obecn ji pravidelného n –
32
úhelníku, n = 2 p + 1 , p = 2 k , n je prvo íslo, k = 0, 1, 2…) lze konstruovat pouze pomocí kružítka a pravítka. Gauss dosahoval neuv itelné zru nosti i ve výpo tové technice. Pro základní v tu algebry našel celkem šest rozdílných d kaz . (Základní v tu algebry poprvé zformuloval v 17. století Albert Girand.) V letech 1821 – 1823 publikoval metodu nejmenších tverc , která se užívá v numerické matematice dodnes. P isp l také k rozvoji geometrie. Jako první dosp l k princip m neeuklidovské geometrie, i když své výsledky z této oblasti nikdy nepublikoval. Matematickou analýzou a teorií ísel se zabýval francouzský matematik AdrienMarie Legendre (1752 – 1833). Mezi jeho nejd ležit jší práce pat í ty, které se týkají trigonometrie na kulové ploše. K tomuto ú elu zavedl Legendreovy polynomy a také vybudoval jejich teorii. Nezávisle na Gaussovi vybudoval teorii nejmenších tverc . Popsal vlastnosti prvo ísel a p isp l k rozvoji teorie
ísel. Napsal také u ebnici
geometrie. Dalším významným matematikem je zakladatel deskriptivní geometrie – Gaspard Monge (1746 – 1818). Monge se zabýval také matematickou analýzou, chemií, metrologií a mechanikou. Je jedním ze zakladatel pa ížské Polytechniky. Monge je také autorem dodnes užívaného zna ení parciálních derivací v diferenciální geometrii. Mongeovým žákem byl Victor Poncelet (1788 – 1867), který je zakladatelem projektivní geometrie. S prvními léty pa ížské polytechniky byli spjati mimo Lagrange a Monge i další významní matematici – Simeón Poisson, Joseph Fourier a Augustin Cauchy. Všichni t i se zajímali o užití matematiky ve fyzice; tímto zájmem byli vedeni k objev m v „ isté“ matematice. Jméno Simeóna Denise Poissona (1781 – 1840) je známo ve spojení s Poissonovými závorkami v diferenciálních rovnicích, Poissonovou konstantou v teorii elasticity, Poissonovým integrálem, Poissonovou rovnicí v teorii potenciálu a zákonem z teorie pravd podobnosti. Jedním ze zakladatel matematické fyziky byl Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830). Hlavním oborem tohoto francouzského matematika byla matematická analýza, i když jeho první matematické výsledky se týkaly algebry (v roce 1796 dokázal tvrzení o po tu reálných ko en
algebraické rovnice ležící v zadaném intervalu –
tzv. Fourierova v ta). V roce 1822 zve ejnil své výsledky o studiu vedení tepla v pevných látkách (Analytická teorie tepla). Zde uve ejnil Fourierovu metodu ešení
33
parciálních
diferenciálních
rovnic
a
rozvoj
funkcí
v trigonometrické
ady,
tzv. Fourierovy ady. Fourier také vypracoval teorie tzv. Fourierova integrálu. Velmi plodná byla tvorba Augustina Louise Cauchyho (1789 – 1857), který napsal p es 800 prácí z matematické analýzy, matematické fyziky, teorie ísel, algebry a teoretické a nebeské mechaniky. Na vyšší úrove povznesl p esnost matematických d kaz . Teorii matematické analýzy budoval s využitím pojmu limity. Nap íklad definoval spojitost funkce, vybudoval teorii konvergentních ad, stanovil podmínky konvergence Taylorovy ady k dané funkci, rozvíjel teorii determinant , zavedl n které integra ní metody v teorii parciálních diferenciálních rovnic a také pojmy: komplexn sdružená ísla, modul komplexního ísla, polom r konvergence a ur itý integrál jako limitu vhodných sou t . Dále m žeme znát Cauchyho integrál a Cauchyho úlohu. Mezi významné matematiky 19. století pat í i pražský matematik Bernard Bolzano (1781 – 1848), který se zabýval matematickou analýzou, logikou, mechanikou a fyzikou. I když celý život prožil v echách, své práce psal n mecky. Bolzano udal jako první p íklad spojité funkce, která nemá v žádném bod derivaci. Tohoto objevu si však nebyl v dom. Významn p isp l k up esn ní pojmu limita a ke vzniku teorie množin. R zné partie matematiky obohatil i norský matematik Niels Henrik Abel (1802 – 1829). Abel podal d kazy mnoha závažných v t. Nejznám jší je d kaz, že v obecných p ípadech nejsou algebraické rovnice n-tého stupn
p i n≥5
ešitelné pomocí
odmocnin. Dále se zabýval matematickou analýzou a teorií funkcí. Za zakladatele moderní algebry je považován francouzský matematik Éveriste Galois (1811 – 1832). Galois na základ kone ných grup permutací vyložil teorii ešitelnosti algebraických rovnic pomocí odmocnin. Tato práce, která byla vydaná až v roce 1845, p isp la ke vzniku teorie grup kolem roku 1870. Galois zavedl do matematiky pojmy grupa, pologrupa, normální d litel, aj. Teorii eliptických funkcí se
ty mi základními funkcemi definovanými
nekone nými adami vybudoval Carl Gustav Jacob Jacobi (1804 – 1851). Tento n mecký matematik dosáhl významným výsledk v teorii funkcí, teorii ísel, teorii diferenciálních rovnic, lineární algeb e a mechanice. Za den „zrození“ neeuklidovské geometrie bývá považován 23. únor 1826, kdy ruský matematik Nikolaj Ivanovi Loba evskij (1792 – 1856) p edložil svou práci Zkrácený výklad základ geometrie a poreferoval o ní na kaza ské univerzit . Úplný
34
výklad své geometrie podal v práci Nové základy geometrie s úplnou teorií rovnob žek (1835 – 1838). B hem svého života se však jeho práce nedo kaly všeobecného uznání. O rozvoj geometrie se významn zasloužil také n mecký matematik Bernard Georg Friedrich Riemann (1826 – 1866). Riemann dosáhl mimo ádných výsledk v teorii funkcí, v diferenciálních rovnicích, v matematické a teoretické fyzice. Zavedl tzv. Riemannovu geometrii (1854). Rozvíjel teorii matematického prostoru, do kterého zahrnoval funkcionální a topografické prostory. Formáln
zavedl p esnou definici
integrálu a zárove dokázal jeho existenci. Jeho jméno nese ada tvrzení z r zných oblastí matematiky (Riemannov v integrál, k ivka, plocha, prostor aj.). Dalším krokem k zp es ování základ matematiky byla teorie množin vytvo ená n meckým matematikem, Georgem Ferdinandem Ludwigem Philippem Cantorem (1845 – 1918). Základy teorie množin položil v letech 1873 – 1884. V roce 1974 publikoval d kaz o nespo etnosti množiny reálných ísel. Teorii množin vybudoval prakticky do dnešní podoby. Zabýval se také problémy teorie
ísel, algebry a
matematické analýzy.
2.4.2 20. století Matematika 20. století se obohatila ohromným množstvím teorií, jejichž p edm tem studia jsou abstraktní objekty. P es vysokou úrove abstrakce sou asné matematiky je t eba vždy pamatovat, že jejími zdroji a ko eny byla objektivní realita. ([13], str. 165) Velkému rozmachu se ve 20. století t šily teorie pravd podobnosti a matematická statistika, které vyrostly z problematiky zpracování dat a statistických šet ení. Rozvíjela se teorie množin a vznikly také nové teorie jako nap íklad teorie her a matematická informatika. Do matematiky za ala zasahovat výpo etní technika. Na p elomu 19. a 20. století ovlivnil vývoj matematiky David Hilbert (1862 – 1943). Hilbert se zajímal prakticky o všechny oblasti matematiky a mnoha dosáhl mimo ádných výsledk . V roce 1899 podal, v monografii Základy geometrie, úplný systém axióm
euklidovské geometrie. Ve 20. letech 20. století formuloval
tzv. Hilbert v program, který byl pokusem o vybudování formální matematiky a prokázání její bezespornosti. Zformuloval také 23 Hilbertových problém , které považoval za významné pro další vývoj matematiky. Hilbert v program zhroutil 35
americko-rakouský matematik a logik Kurt Gödel (1906 – 1978) svou v tou o neúplnosti (1930). Funkcionální analýzou a teorií množin se nap íklad zabývali: polský matematik Stefan Banach (1892 – 1945) britský fyzik a matematik Paul Adrien Maurice Dirac (1902 – 1984). Za nejv tšího odborníka v teorii ísel první poloviny 20. století je považován anglický matematik Godfrey Harold Hardy (1877 – 1947). První monografie z teorie množin pochází od n meckého matematika Felixe Hausdorffa (1868 – 1942). Základy teorie množin napsal v roce 1910. Hausdorffa lze považovat za zakladatele obecné topologie a teorie metrických prostor . Teorií množin a základy matematiky se také zabýval izraelský matematik Abraham Adolf Frankel (1891 – 1965). Dalším významným matematikem 20. století byl John von Neumann (1903 – 1957). Oblast zájmu Neumanna v matematice byla velmi široká, zabýval se nap íklad logikou, teorií množin, algebrou, teorií pravd podobnosti a vývojem elektronických po íta . Od t icátých let se zásluhou Neumanna za ala rozvíjet teorie her. Spole n s Oscarem Morgensternem (1902 – 1977) zve ejnil roku 1944 práci – Teorie her a ekonomické chování, ve které aplikovali teorii her na ekonomii. Vynikajících výsledk
v matematice dosáhl také
eský matematik Otakar
Bor vka (1899 – 1995), který se zabýval projektivní geometrií, matematickou analýzou, teorií diferenciálních rovnic a algebrou. Bor vka vybudoval teorii rozklad , která má sv tový význam.
36
3 Praktická ást Praktická
ást diplomové práce obsahuje 54 historických slovních úloh
s výsledky. Úlohy, které zastupují možné procvi ované u ivo 2. stupn základní školy, jsou dále podrobn
ešeny.
ešených úloh je celkem 23. K p ti historickým úlohám
vznikly také pracovní listy (viz P íloha 4).
ešení pracovních list je z ejmé z ešení
úloh uvedených v kapitole 3.2. Zpracované historické úlohy mohou pomáhat u itel m základních škol p i výuce matematiky. V práci jsou zahrnuty úlohy pro všechny ro níky 2. stupn základní školy. N které úlohy se vztahují k p ímo probíranému u ivu, jiné mohou sloužit jako zpest ení ve výuce í rozvoji logického myšlení. Se t emi historickými úlohami bylo pracováno v kroužku zájmové matematiky na Základní škole v Morkovicích. Vztah k historii matematiky a ešení historických úloh vyjád ili žáci v dotazníku.
37
3.1 Vybrané historické slovní úlohy vztahující se k u ivu základní školy Klasifikace vybraných historických úloh dle procvi ovaného u iva a za azení v ro níku základní školy:
íslo úlohy
procvi ované u ivo
1. - 4.
operace s p irozenými ísly
5. - 6.
posloupnosti (operace s p irozenými ísly)
7. - 22.
úsudek (základní po etní operace)
možné za azení v ro níku ZŠ 6. (6.) 6.
23. - 36. jedna lineární rovnice o jedné neznámé
7.
soustava dvou lineárních rovnic o dvou neznámých
9.
46.
kvadratická rovnice
8.
47.
pom r
7.
37. - 45.
48. - 51. geometrické úlohy
6.
52. - 54. Pythagorova v ta
8.
Texty úloh: 1. Sedm lidí má po sedmi ko kách, každá ko ka sežere sedm myší, každá myš sežere sedm klas , z každého klasu m že vyr st sedm m ic je mene. Jak velké jsou jednotlivé po ty a jejich celkový sou et? ([13], str. 17) (7, 79, 343, 2401 a 16807; 19607) 2. Homér Hesiodovi na otázku, jak velký byl po et Helén , kte í táhli do pole proti Tróji. Bylo tam sedm ohniš , mocný žár, ohništ pak obsahovalo padesát rož
a
na každém rožni byl kus masa. Ale každý ten kus obklopilo dev t set Achaj . ([14], str. 56) (315 000)
38
3. Rozd lte íslo 100 do dvou ástí, jejichž rozdíl je 40. ([14], str. 94) (30 a 70) 4. Myslete si ty i jednociferná ísla. První vynásobte dv ma a p i t te 5, sou et vynásobte p ti, p i tete 10 a druhé íslo. Získaný sou et vynásobte deseti a p i t te t etí íslo, nový výsledek vynásobte deseti a p idejte tvrté íslo. Od získaného ísla ode t te 3500. ([13], str. 137) (Rozdíl bude ty ciferným íslem zapsaným p vodn myšlenými ísly) 5. N jaký král na ídil svému sluhovi sebrat ze t iceti vesnic vojsko takovým zp sobem, že z každé vesnice vezme tolik muž , kolik do ní vstoupilo. Šel tedy sám do první vesnice, do druhé šel s dalším, tedy do t etí šli ty i.
ekni, kdo
m žeš, kolik muž bylo sebráno z on ch t iceti vesnic. ([14], str. 22) (230 = 1073741824) 6. Jeden žeb ík m l sto p í lí. Na prvním sed l jeden holub, na druhém dva, na t etím t i, na tvrtém ty i, na pátém p t, a tak na všech p í lích až do stého. ekni, kdo m žeš, kolik bylo celkem holub . ([14], str. 22) (5050) 7. Hádanka Jednou šel po cest mul s oslicí, oba obtíženi vínem. Oslice pod nákladem zasténala, tehdy se mul, Kterého on as kon m jako syna m la, zeptal: „Mámo, pro jsi zavzdychala jako mladá dív ina?“ Oslice odpov d la, že se jen t žko pohybuje. „Oho, cht la bys jako dív ina poskakovat! Já nesu víc, a není mi to zat žko: Kdybych od tebe vzal jeden m ch, m l bych dvakrát víc než ty, a kdybys mi ty jeden odebrala, m li bychom oba stejn .“ Kdo chce ta ísla uhádnout, nemusí spo ítat ani prsty obou rukou. ([13], str. 75) (mul 7 a oslice 5)
39
8. 12 osob, muži a ženy, utratili p i hostin 82 zlatých. Každý muž utratil 8 zlatých, žena 6 zlatých. Kolik bylo muž a kolik žen? ([14], str. 100) (5 muž a 7 žen) 9. Pes se žene za králíkem, který je 150 stop p ed ním. Pes urazí každým skokem dev t stop, zatímco králík urazí sedm stop. Kolik skok musí ud lat pes, aby dohonil králíka? ([13], str. 111) (75) 10. Lovec poštval psa na lišku, která má p ed psem náskok 60 skok . Zatímco liška ud lá 9 skok , pes ud lá 6 skok , ale t i skoky psí jsou rovny sedmi skok m liš ím. Kolik skok ud lá pes, než dožene lišku? ([14], str. 98) (pes 72, liška 108) 11. Kdosi má 24 liber vzácného oleje. Má k dispozici nádoby, které pojmou 13, 11 a 5 liber. Jak m že pomocí t chto nádob rozd lit olej na t i stejná množství? ([13], str. 128) (po ad nádoby o objemu 24, 13, 11 a 5 liber, výsledky p elévání: 24, 0, 0, 0; 0, 8, 11, 5; 16, 0, 8, 0; 3, 13, 8, 0; 3, 8, 8, 5; 8, 8, 8, 0) 12. Kdosi m l 12 pint vína. Dále m l dv nádoby, jednu na 8 pint, druhou na 5 pint. Jak lze nalít 6 pint vína do nádoby, který má objem 8 pint? ([13], str. 168) (po ad nádoby o objemu 12, 8 a 5 pint, výsledky p elévání: 12, 0, 0; 4, 8, 0; 4, 3, 5; 9, 3, 0; 9, 0, 3; 1, 8, 3; 1, 6, 5; 6, 6, 0) 13. Jedním tahem tužky nakreslete obrazec a) a potom obrazec b) na obrázku. Jak lze vysv tlit výsledky ešení t chto dvou úloh? ([13], str. 178)
(a) lze, b) nelze)
40
14. Deset mincí je rozmíst no v rovin po ádcích (viz obr.). Mají se p emístit nejvýše ty i mince, a to do takových poloh, aby se na p ti r zných p ímkách objevilo po ty ech mincích. ([13], str. 179)
(Sta í p emístit jednu minci jedné ady a t i mince druhé ady) 15. N jaký muž m l p evézt p es eku vlka a kozu a hlávku zelí a nemohl najít jinou lo ku než takovou, která byla schopna uvézt jen dva z nich. Bylo mu však na ízeno, že má všechny p evézt úpln nepoškozené.
ekni, kdo m žeš, jak je
mohl nepoškozené p evézt. ([14], str. 11) 16. Muž a žena, z nichž každý vážil jeden centné , mající dv d ti, které dohromady váží také jeden centné , se m li p epravit p es eku. Nalezli lo ku, která nem že uvést více než jeden centné . Nech uskute ní p epravu, kdo m že, aniž by se lo ka potopila. ([14], str. 11) 17. Hlemýž Hlemýž
byl od vlaštovky pozván na sva inu ve vzdálenosti jedné galské míle. však nemohl za den ujít více než jednu unci stopy. A
ekne, kdo by
cht l, za kolik dní by hlemýž dorazil na onu sva inu. ([14], str. 29) (v zadání úlohy: 1 galská míle = 1500 dvojkrok = 2,25 km, 1 dvojkrok = 5 stop, 1 stopa = 12 uncí) (90 000) 18. N jaký lov k jdoucí po cest nalezl m šec se dv ma talenty. Vid li to n jací jiní (lidé) a ekli mu: „Brat e, dej nám ást svého nálezu.“ On odmítl a necht l jim nic dát. Oni ho však napadli, roztrhli mu m šec a každý si vzal 50 zlatých. A když (on) potom vid l, že se nem že ubránit, vztáhl ruku a uchvátil 50 zlatých. A chce, kolik bylo lidí. ([14], str. 30) (216)
41
ekne, kdo
19. N jaký umírající otec rodiny zanechal svým ty em syn m ty i nádobky s vínem. V jedné nádob bylo 40 m ic, ve druhé 30, ve t etí 20 a tvrté 10 (m ic). Zavolal správce svého domu a ekl: „Tyto ty i nádobky s vínem zanechaným uvnit , rozd l mezi mé ty i syny a to tak, aby každý z nich m l stejný díl jak vína, tak nádob.“ A
ekne, kdo chápe, jakým zp sobem je t eba rozd lit, aby všichni z toho
mohli dostat stejn . ([14], str. 35) (každý dostane 25 litr , nádoby s 10 a 40 m icemi se slijí a rozd lí na p l, totéž nádoby s 20 a 30 m icemi) 20. N jaký zem elý otec zanechal jako d dictví t em syn m t icet sklen ných lahvi ek, z nichž deset bylo plných oleje, dalších deset do poloviny, t etích deset bylo prázdných. A rozd lí, kdo m že, olej i lahvi ky, aby každému ze t í syn p ipadlo stejn jak lahvi ek, tak oleje. ([14], str. 31)
(jeden 10 zapln ných do poloviny, druhý a t etí 5 prázdných a 5 plných) 21. Žádám t , abys mi ekl, kolik brázd má na svém poli vyoraných muž, když na obou koncích pole ud lal t i obraty. ([14], str. 31)
(7) 22. Sedm kolá
ud lalo po sedmi kolech. A
ekne, kdo chce, kolik voz postavili.
([14], str. 32) (4) 23. Zem elý manžel zanechal d dictví 2625 zlatých s podmínkou, že syn dostane dvakrát víc než matka a matka dvakrát víc než dcera. Kolik každý dostal? ([14], str. 99) (dcera 375, matka 750, syn 1500) 24. Pastý e, který hnal 70 býk , se zeptali: „Jak velkou ást svého po etného stáda býk ženeš?“ Odpov d l: „Ženu dv t etiny z t etiny dobytka.“ Kolik býk bylo v celém stádu? ([13], str. 16) (315)
42
25. Ze ty lidí, kte í ob tovali v chrámu, druhý dal dvakrát více než první, t etí t ikrát více než druhý a tvrtý ty ikrát více než t etí, a všichni dohromady dali 132. Kolik dal první? ([13], str. 69) (4) 26. Holubice sedící na strom vid la jiné letící (holubice) a ekla jim: „Kdybych vid la ješt tolik a pot etí tolik, pak by jich spole n se mnou bylo sto.“ A
ekne kdo
m že, kolik holubic let lo na za átku. ([14], str. 29) (33) 27. Kde z stala jablka, mé dít ? Dv šestiny má Ino, osminu mi však vzala Semele, Autonoe mi ukradla tvrtinu, Aqaue mi zase p tinu vybrala z klína, pak hbit zmizela. Pro tebe je zde ješt deset jablek, pro sebe však vskutku – p i Kypris p ísahám – mámen jedno. ([14], str. 48) (120) 28. Denní doby „Ó p emoudrý znal e asu, jaký díl dne prošel již?“ „Z toho, co už prošlo dnes, vezmi dv t etiny, pro sv j volný as budeš mít ješt dvakrát tolik.“ ([13], str. 78) (ze zadání úlohy: 1 den = 12 hodin)
1 (5 ) 7 29.
ekni, jak dlouho žil Demochares, který byl chlapcem tvrtinu, mladíkem p tinu a mužem t etinu života. A když se potom stal starcem s šedými vlasy, tu žil ješt t ináct let a byla dosažena hranice vezdejšího života. ([14], str. 51) (60)
30. N jaký chlapec pozdravil otce: „Bu pozdraven,“ pravil, „ot e.“ Na to otec: „Bu zdráv, synu. A žiješ, kolik jsi žil, a tento dvojnásobek rok ztrojnásobíš a p idej jeden z mých rok budeš mít sto let.“ A chlapec. ([14], str. 28) (16 let a 6 m síc )
43
ekne, kdo m že, kolik tenkrát m l onen
31. Prolejte slzy, než p jdete dále. Zde jsme poh beni my, které ubil ítící se Antioch v d m. Hodující sed li jsme zde, když b h nám hodovní sí prom nil v hrob.
ty i
Tegeaté to jsou, kte í zde leží, dvanáct Messea an a p t ješt z Agru, ale polovina host
byla z m sta Sparty. Též Antiochie sám zahynul, p tina z p tiny byly
Athé ané. Korint plá e nad jediným Hylasem. ([14], str. 54) (Máme ur it celkový po et ob tí.) (50) 32. Polovinu cesty jsem vykonal na koni, tvrtinu p šky a ob tyto ásti dohromady inily 48 mílí. Jak dlouhá byla celá cesta? ([13], str. 99) (64) 33. V Aténách byl vodojem s t emi rourami. První mohla naplnit vodojem za hodinu, druhá za dv hodiny, t etí za t i hodiny. Za jakou ást hodiny mohly naplnit vodojem všechny t i roury spole n ? ([13], str. 196) (
6 ) 11
34. Vodní nádrž má p t p ívodních struh. Jestliže otev eme jen první z nich, nádrž se naplní za t etinu dne, když jen druhou, naplní se za den, když jen t etí – za dva a p l dne, když jen tvrtou – za t i dny, když jen pátou – za p t dní. Za kolik dní se nádrž naplní, když otev eme všechny p ívodní strouhy? ([13], str. 93) (
15 ) 74
35. Jsem bronzový lev. Z chodidla pravé nohy, z obou o í a z úst proudí ven voda. Za dva dny naplní nádrž pravé oko, levé pak za t i, ale noha za ty i. Už šest hodin sta í úst m. Jakpak dlouho to trvá, jsou-li sou asn otev eny o i a noha a ústa? ([14], str. 57) (3+
33 ) 37
44
36. Jsou ty i fontány. První naplní nádrž za den, druhá za dva, t etí za t i a tvrtá za ty i dny. Jakpak dlouho trvá, jsou-li všechny otev ené? ([14], str. 52) (
12 ) 25
37. Poslové dvou m st, nap . z Lyonu a Pa íže se ve stejné dob vydali na cestu proti sob . Pa ížský posle urazil každý den o dv míle více než lyonský a za ty i dny se setkali. Ob m sta jsou od sebe vzdálena 104 mil. Má být stanoveno, kolik mil každý z nich urazil za den a kolik celkem. ([14], str. 98) (lyonský 12 mil za den, pa ížský 14; za 4 dny: 48 a 56) 38. Pán se dohodl se sluhou takto: „Budeš-li pracovat, dám ti za den krom stravy 12 groš . Když budeš odpo ívat, zaplatíš za stravu 8 groš .“ Za rok, tedy za 365 dní, pán nedlužil nic sluhovi ani sluha pánovi. Kolik dní sluha pracoval a kolik odpo íval? ([14], str. 100) (pracoval 146 dní, odpo íval 219 dní) 39. B hem souboje kohout se jeden z divák dohodl s jejich majiteli. Prvnímu ekl: „Když zvít zí tv j kohout, dáš mi svou výhru, když prohraješ, zaplatím ti dv t etiny možné výhry.“ Druhému soupe i ekl: „Když zvít zí tv j kohout, dáš mi svou výhru, když prohraješ, zaplatím ti t i
tvrtiny možné výhry.“ V obou
p ípadech získá divák 12 peníz . Jakou výhru mohl získat každý ú astník (majitel kohouta)? ([13], str. 84) (42 a 40) 40. N kolik lidí spole n kupuje berana. Když každý p isp je p ti penízi, bude chyb t 45 peníz do ceny berana. Když každý p isp je sedmi penízi, budou chyb t t i peníze. Kolik je lidí a jakou cenu má beran? ([13], str. 93) (21 lidí, 150 peníz ) 41. N jaký u itel m l tolik žák , že kdyby každý p inesl 5 zlatých na zakoupení domu, chyb lo by ješt 30 zlatých, kdyby však každý p inesl 6 zlatých, p ebývalo by 40 zlatých. Kolik bylo žák a jaká byla cena domu? ([14], str. 95) (70 žák , 380 zlatých) 45
42. Jeden bohá daroval chu as m almužnu; každý chu as dostal 7 groš a 24 groš zbylo. Kdyby každý chu as dostal 9 groš , nedostávalo by se 32 groš . Kolik bylo chu as a kolik bylo groš . ([14], str. 100) (28 chu as a 220 groš ) 43. Dva lidé A, B obdrželi ur itý po et mincí, který se má mezi n rozd lit tak, že když k mincím A p idáme polovinu mincí B nebo k mincím B p idáme dv t etiny mincí A, v obou p ípadech dostaneme 48. Kolik mincí obdržel každý z lidí A, B? ([13], str. 95) (36 a 24) 44. T em sochám: Zethovi, Amphionovi a jejich matce. My dva jsme dohromady t žcí dvacet min, já Ethos a bratr. Když mi vezmeš t etinu a Amphionovi tvrtinu, vyjde práv mat ina váha, šest min. ([14], str. 58) (12 a 8) 45. 4 lokty
erveného plátna a 3 lokty
erveného plátna a 5 lokt
erného plátna stojí 29 zlatých, 2 lokty
erného plátna stojí 25 zlatých. Kolik stojí loket
erveného a kolik loket erného? ([14], str. 100) ( ervený 5, erný 3) 46. Stádo opic bavících se v háji se rozd lilo na dv
ásti. tverec osminy jejich po tu
se bavil skákáním ve v tvích. Dvanáct opic vítalo radostným k ikem tichý rozb esk dne. A te
ekni, jinochu, kolik opic bylo v háji. ([13], str. 90)
(48, 16) 47. Staro ímská úloha (2. století). Jeden umírající lov k ekl: „Jestliže se mé žen narodí syn, a mu pat í dv t etiny jm ní a zbytek mé žen . Jestliže se narodí dcera, a jí pat í t etina a žen dv t etiny.“ Narodila se dvoj ata – syn a dcera. Jak se má rozd lit jm ní, aby se splnila záv t nebožtíka? ([13], str. 70) (syn : dcera : manželka - 4:1:2)
46
48. Jednotkový tverec se má rozd lit na 12 shodných trojúhelník a ty i shodné tverce. Je t eba vypo ítat obsah trojúhelníku a tverce.
([13], str. 91) (
1 ) 16
49. Jednotkový tverec se má rozd lit 8 shodných trojúhelník . Jaká jsou jejich plochy?
([2], str. 366)
1 ( ) 8 50. Mám ln né plátno dlouhé 60 lokt , široké 40 lokt . Chci je rozd lit na ásti tak, aby každá ást m la na délku 6 lokt a na ší ku 4, a sta í na obvyklou tuniku. A
ekne, kdo chce, kolik tunik z n j lze zhotovit. ([14], str. 23)
(100) 51. Mám sukno, které má na délku 100 lokt a na ší ku 80 lokt . Chci z n j d lením zhotovit plášt tak, aby každý díl m l na délku 5 lokt a na ší ku 4 lokty. žádám mudrci, kolik pláš
z n j lze zhotovit. ([14], str. 23)
(400) 47
ekni,
52. Ošt p stojí svisle ve vod a nad její hladinou vy nívá o t i lokty. Vítr ho nachýlil tak, že jeho vrchol je na hladin , ale spodní hrot nezm nil svou polohu. Ur ete délku ošt pu, jestliže vzdálenost nové polohy vrcholu od p vodního místa vno ení ošt pu do vody se rovná 5 lok m. ([13], str. 106)
2 (5 ) 3 53. Rákos ní nad vodou o jeden aršin. Máme ur it hloubku í ky, kde rákos roste, ale nesmíme rákos vytrhnout ani m it hloubku veslem
i jiným p edm tem.
([13], str. 203) (4) 54. Dv v že stojí ve vzdálenosti 50 stop, jedna je vysoká 40 stop a druhá 30 stop. Ke kašn umíst né mezi nimi slétávají sou asn ptáci, kte í sed li na vrcholcích v ží. Protože letí stejnou rychlostí, doletí na kašnu sou asn . Ur ete vzdálenost kašny od v ží. ([13], str. 115) (18 a 32)
48
3.2
ešené úlohy
íslo úlohy: 1 Text úlohy: Sedm lidí má po sedmi ko kách, každá ko ka sežere sedm myší, každá myš sežere sedm klas , z každého klasu m že vyr st sedm m ic je mene. Jak velké jsou jednotlivé po ty a jejich celkový sou et? Rozbor úlohy: Úlohy m že být ešena úsudkem, ešení zvládnou žáci i bez znalosti mocnin. Postupn zjiš ujeme jednotlivé po ty. ešení úlohy: Máme 7 lidí, sedm lidí má po sedmi ko kách – každý lov k má 7 ko ek
ko ek je celkem
49 (7⋅7 = 72), každá ko ka sežere sedm myší – každá ze 49 ko ek sežere 7 myší
myší celkem
sežerou 343 (7⋅7⋅7 = 73), každá myš sežere sedm klas – každá z 343 myší sežere 7 klas
klas sežerou myši
celkem 2401 (7⋅7⋅7⋅7 = 74), z každého klasu m že vyr st sedm m ic je mene – z každého z 2401 klasu m že vyr st 7 m ic je mene
celkem m ic je mene 16807 (7⋅7⋅7⋅7⋅7 = 75).
Jednotlivé po ty jsou: 7, 79, 343, 2401 a 16807. Celkový sou et: 7 + 79 + 343 + 2401 + 16807 = 19607. Jednotlivé po ty jsou: 7, 79, 343, 2401 a 16807. Celkový sou et jednotlivých po t je 19607.
49
íslo úlohy: 6 Text úlohy: Jeden žeb ík m l sto p í lí. Na prvním sed l jeden holub, na druhém dva, na t etím t i, na tvrtém ty i, na pátém p t, a tak na všech p í lích až do stého. ekni, kdo m žeš, kolik bylo celkem holub . Rozbor úlohy: Žeb ík má celkem 100 p í lí. Na poslední p í li bude tedy sed t 100 holub . Musíme zjistit sou et 1 + 2 + 3 + 4 + …+ 96 + 97 + 98 + 99 +100. Pokud si uv domíme, že po et holub sedících na první p í li a po et holub sedících na 99. p í li nám dá sou et 100, je pro nás výpo et mnohem jednodušší. Na druhé p í li sedí 2 holubi a na 98. p í li sedí 98 holub , jejich sou et je také 100 holub . Takto získáme 49 pár , jako poslední se teme 49 + 51. Padesátá a stá p í le nám z stanou samostatn (nemají žádnou p í li do páru), tyto p í le poté p i teme k výsledku. ešení úlohy: Po et holub sedících na p í lích, kte í jsou do páru (sou et je 100):
(1 + 99 ) + (2 + 98 ) + (3 + 97 ) +
+ (48 + 52 ) + (49 + 51) =
= 49 ⋅ 100 = 4900 Po et holub sedících na p í lích, kte í nejsou do páru: 100 + 50 = 150 Celkem holub : 4900 + 150 = 5050 Celkem bylo 5050 holub .
50
íslo úlohy: 7 Text úlohy:
Hádanka Jednou šel po cest mul s oslicí, oba obtíženi vínem. Oslice pod nákladem zasténala, tehdy se mul, Kterého ona s kon m jako syna m la, zeptal: „Mámo, pro jsi zavzdychala jako mladá dív ina?“ Oslice odpov d la, že se jen t žko pohybuje. „Oho, cht la bys jako dív ina poskakovat! Já nesu víc, a není mi to zat žko: Kdybych od tebe vzal jeden m ch, m l bych dvakrát víc než ty, a kdybys mi ty jeden odebrala, m li bychom oba stejn .“ Kdo chce ta ísla uhádnout, nemusí spo ítat ani prsty obou rukou. Rozbor úlohy: Úloha m že být ešena úsudkem nebo pomocí rovnic. ešení úlohy: Hledaná ísla jsou menší než 10. Mul nesl více m ch než oslice. Nejprve se budeme snažit vy ešit druhý úkol: …kdybys mi ty jeden odebrala, m li bychom oba stejn . Vyplníme tabulku, jaký náklad mohli mul a oslice vést. Dále víme, že hledaná ísla jsou menší než 10. Mul
3
4
5
6
7
8
9
10
Oslice
1
2
3
4
5
6
7
8
Nakonec otestujeme získané hodnoty v tabulce podle první informace: „Kdybych od tebe vzal jeden m ch, m l bych dvakrát víc než ty.“ Zjistíme, že jediné ešení, které vyhovuje zadání je ešení [7,5]. Mul nesl 7 m ch obilí a oslice nesla 5 m ch obilí. 51
íslo úlohy: 9 Text úlohy:
Pes se žene za králíkem, který je 150 stop p ed ním. Pes urazí každým skokem dev t stop, zatímco králík urazí sedm stop. Kolik skok musí ud lat pes, aby dohonil králíka? Rozbor úlohy: Úloha m že být ešena úsudkem nebo pomocí lineární rovnice o jedné neznámé. ešení úlohy: králík má náskok
150 stop
pes urazí jedním skokem
9 stop
králík urazí jedním skokem 7 stop kolik skok musí ud lat pes, aby dohonil králíka?
Pes se každým svým skokem p iblíží ke králíkovi o dv stopy. Ud lá-li jeden skok, králík má náskok 148 stop p ed psem, ud lá-li dva skoky, náskok je 146 stop. Aby pes králíka dohonil, musí ud lat (150 : 2) skok . (150 : 2) = 75 Pes musí ud lat 75 skok , aby dohonil králíka.
52
íslo úlohy: 11 Text úlohy:
Kdosi má 24 liber vzácného oleje. Má k dispozici nádoby, které pojmou 13, 11 a 5 liber. Jak m že pomocí t chto nádob rozd lit olej na t i stejná množství? Rozbor úlohy: Úloha je ešena úsudkem. Postupn budeme „p elévat“ olej do nádob, až dojdeme k požadovanému rozd lení oleje. ešení úlohy: ešení m žeme zapsat do následující tabulky. V prvním ádku je uveden objem nádob, které máme k dispozici. Na dalších ádcích je již uvedeno, kolik oleje se práv nachází v jednotlivých nádobách. Na za átku máme olej pouze v nádob , která pojme 24 liber oleje, poté již za neme olej „p elévat“. 24 13
11
5
24 0
0
0
0
11
5
16 0
8
0
3
13
8
0
3
8
8
5
8
8
8
0
8
Olej se nám poda ilo rozd lit na požadované množství po 5 p elitích.
53
íslo úlohy: 13 Text úlohy:
Jedním tahem tužky nakreslete obrazec a) a potom obrazec b) na obrázku. Jak lze vysv tlit výsledky ešení t chto dvou úloh?
Rozbor úlohy: Nejprve se budeme snažit jednotlivé obrazce na rtnout jedním tahem, poté zjistíme, kdy obrazec jde a kdy nejde nakreslit jedním tahem. ešení úlohy: Obrazec a) nelze nakreslit jedním tahem tužky. Obrazec b) lze nakreslit jedním tahem tužky. Pro rozhodování, zda uvedený obrazec jde nebo nejde nakreslit jedním tahem tužky, jsou d ležité body, ve kterých se stýkají jednotlivé áry. Jedním tahem nakreslíme obrazec: - který má samé takové body, ve kterých se setkává sudý po et ar, - který má práv dva body, ve kterých se setkává lichý po et ar.
54
íslo úlohy: 16 Text úlohy:
Muž a žena, z nichž každý vážil jeden centné , mající dv d ti, které dohromady váží také jeden centné , se m li p epravit p es eku. Nalezli lo ku, která nem že uvést více než jeden centné . Nech uskute ní p epravu, kdo m že, aniž by se lo ka potopila. Rozbor úlohy: Tato úloha je tzv. P evoznická úloha. Úlohu ešíme úsudkem, jednotlivé kroky p evozu je vhodné si rozkreslit nebo rozepsat. Dít m že samo veslovat a na lo ce se vždy musí n kdo p epravovat. Pro zajímavost: 1 centné = 61,65 kg. ešení úlohy: Lo uveze 1 centné . Na lo ce se tedy m že p epravovat: žena (Ž), muž (M), první dít (D1), druhé dít (D2) nebo ob d ti spole n . Jedno z možných ešení (rozpis na jednotlivých b ezích): Ž, M, D1, D2
-
Ž, M
D1, D2
Ž, M, D1
D2
M, D1
Ž, D2
M, D1, D2
Ž
M
Ž, D1, D2
M, D1
Ž, D2
D1
M, Ž, D2
D1, D2
M, Ž
-
M, Ž, D1, D2
Nejprve se p epraví ob d ti a jedno se vrátí s lo kou nazp t. Poté se p epraví žena a druhé dít se vrátí nazp t. Op t se p epraví ob d ti na druhý b eh a jedno se vrátí nazp t. P epraví se muž a druhé dít se vrátí na první b eh. Nyní se na druhý b eh p epraví ob d ti a všichni jsou již p epraveni. 55
íslo úlohy: 17 Text úlohy:
Hlemýž byl od vlaštovky pozván na sva inu ve vzdálenosti jedné galské míle. Hlemýž však nemohl za den ujít více než jednu unci stopy. A
ekne, kdo by cht l, za kolik dní by
hlemýž dorazil na onu sva inu. Rozbor úlohy: Úloha se zabývá p evád ním jednotek. P evedeme-li galskou míli na unce a vyd líme takto získanou vzdálenost rychlostí hlemýžd , získáme po et dn , které stráví hlemýž na cest na sva inu. Vztah mezi jednotkami je z p vodního zadání této úlohy. ešení úlohy: Vzdálenost hlemýžd od vlaštovky
1 galská míle
Hlemýž ujde za den
1 unci
Kolik dní mu bude trvat cesta?
1 galská míle = 1500 dvojkrok = 75000 stop = 90000 uncí Za jeden den urazí hlemýž 1 unci
cesta bude hlemýždi trvat (90000 : 1) dní, tedy
90000 dní Hlemýž by na sva inu dorazil za 90000 dní.
56
íslo úlohy: 19 Text úlohy:
N jaký umírající otec rodiny zanechal svým ty em syn m ty i nádobky s vínem. V jedné nádob bylo 40 m ic, ve druhé 30, ve t etí 20 a tvrté 10 (m ic). Zavolal správce svého domu a ekl: „Tyto ty i nádobky s vínem zanechaným uvnit , rozd l mezi mé ty i syny a to tak, aby každý z nich m l stejný díl jak vína, tak nádob.“ A
ekne, kdo chápe, jakým zp sobem je t eba rozd lit, aby všichni z toho mohli dostat
stejn . Rozbor úlohy: K dispozici máme celkem 100 m ic vína ve ty ech nádobách. Každý ze syn musí dostat stejný díl vína i nádob. Víno m žeme slévat a p elévat. Každý ze syn dostane jednu nádobu s 25 m icemi ešení úlohy: 40 m ic
30 m ic
20 m ic
10 m ic
Celkem máme: (40 + 30 + 20 + 10 ) = 100 m ic vína. Každý ze syn dostane: (100 : 4) = 25 m ic vína v jedné nádob . Rozd lení m ic vína (víno m žeme slévat a rozlévat): Víno v první a poslední nádob slijeme
získáme 50 m ic vína a rozlijeme nap l
získáme dvakrát 25 m ic vína. Víno v druhé a t etí nádob také slijeme, získáme 50 m ic vína a znovu rozlijeme nap l a získáme op t dvakrát 25 m ic vína. Každý ze syn získá v jedné nádob 25 m ic vína.
57
íslo úlohy: 24 Text úlohy:
Pastý e, který hnal 70 býk , se zeptali: „Jak velkou ást svého po etného stáda býk ženeš?“ Odpov d l: „Ženu dv t etiny z t etiny dobytka.“ Kolik býk bylo v celém stádu? Rozbor úlohy: Pastý žene 70 býk . Tento po et býk se rovná dvou t etinám z t etiny dobytka. Úlohu budeme ešit pomocí lineární rovnice o jedné neznámé. ešení úlohy: Pastý hnal
70 býk
Pastý hnal
2 1 z dobytka (býk ) 3 3
Býk v celém stádu
x
2 1 2 1 z dobytka (býk ) = ⋅ x 3 3 3 3 Zápis a ešení rovnice:
2 1 ⋅ x = 70 3 3 2 x = 70 ⋅ 9 9 2 x = 630 : 2 x = 315 V celém stádu bylo celkem 315 býk .
58
íslo úlohy: 25 Text úlohy:
Ze ty lidí, kte í ob tovali v chrámu, druhý dal dvakrát více než první, t etí t ikrát více než druhý a tvrtý ty ikrát více než t etí, a všichni dohromady dali 132. Kolik dal první? Rozbor úlohy: Úlohu ešíme pomocí jedné lineární rovnice o jedné neznámé. ešení úlohy: první dal
x
druhý
2krát více než první (2 ⋅ x)
t etí
3krát více než druhý (3 ⋅ 2 ⋅ x)
tvrtý celkem dali
4krát víc než t etí
(4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ x)
132
Zápis a ešení rovnice:
x + 2 x + 6 x + 24 x = 132 33 x = 132 x=4 První dal v chrámu 4.
59
íslo úlohy: 28 Text úlohy:
Denní doby „Ó p emoudrý znal e asu, jaký díl dne prošel již?“ „Z toho, co už prošlo dnes, vezmi dv t etiny, pro sv j volný as budeš mít ješt dvakrát tolik.“ Rozbor úlohy: Pokud budeme ešit úlohu jak byla ešena v originále, musíme si uv domit, že denní a no ní doby byly rozd leny. Každá m la tedy 12 hodin. 1 den = 12 hodin. Dnes bychom úlohu ešili: 1 den = 24 hodin. Úlohu ešíme pomocí jedné lineární rovnice o jedné neznámé. ešení úlohy: Prošlo
x hodin
2 Pro volný as 2 ⋅ ⋅ x hodin 3 Den
12 hodin
Zápis a ešení rovnice:
4 x + x = 12 3 7 x = 12 3 7 x = 36 36 7 1 x = 5 hodin 7 x=
Dnes prošlo p ibližn 5 hodin 9 minut.
60
íslo úlohy: 33 Text úlohy: V Aténách byl vodojem s t emi rourami. První mohla naplnit vodojem za hodinu, druhá za dv hodiny, t etí za t i hodiny. Za jakou ást hodiny mohly naplnit vodojem všechny t i roury spole n ? Rozbor úlohy: Úlohu ešíme pomocí jedné lineární rovnice o jedné neznámé. Nejd íve zjistíme, jakou ást vodojemu naplní každá roura za dobu napl ování. Všechny t i roury naplní jeden vodojem. Tedy sou et jednotlivých ástí, které naplní roury je roven jedné. ešení úlohy: 1. roura 2. roura
3. roura
za za
za
všechny t i roury:
1h
1 vodojem
xh
x vodojemu
2h
1 vodojem
1h
1 vodojemu 2
xh
x vodojemu 2
3h
1 vodojem
1h
1 vodojemu 3
xh
x vodojemu 3
za x hodin za x hodin
x+
x x + vodojemu 2 3
1 vodojem
Zápis a ešení rovnice: x x + =1 ⋅6 2 3 6 x + 3x + 2 x = 6 x+
11x = 6 : 11 x=
Vodojem se naplní t emi rourami p ibližn za
6 hodiny. 11
6 11 61
íslo úlohy: 37 Text úlohy: Poslové dvou m st, nap . z Lyonu a Pa íže se ve stejné dob vydali na cestu proti sob . Pa ížský posel urazil každý den o dv míle více než lyonský a za ty i dny se setkali. Ob m sta jsou od sebe vzdálena 104 mil. Má být stanoveno, kolik mil každý z nich urazil za den a kolik celkem. Rozbor úlohy: Každý z posl m l jinou rychlost po ítanou v jednotkách míle za den. Každý tedy urazil jinou dráhu, kterou vypo ítáme ze vzorce s = v ⋅ t . Sou et jednotlivých drah, nám dá 104 míle, vzdálenost m st. Máme ur it rychlost obou posl (kolik mil urazili za den) a kolik mil urazil každý za 4 dny. ešení úlohy: v (míle/den)
t (den)
s (míle)
Lyonský posel
x
4
4 ⋅ 4x
Pa ížský posel
x+2
4
4 ⋅ (x + 2)
Zápis a ešení rovnice:
4 x + 4( x + 2 ) = 104 4 x + 4 x + 8 = 104 8 x = 96 x = 12 lyonský posel urazil 12 mil za jeden den, pa ížský posel urazil (12+2) = 14 mil za den Za 4 dny urazili:
lyonský posel (4 ⋅ 12) = 48 mil pa ížský posel (4 ⋅ 14) = 56 mil
Lyonský posel urazil za jeden den 12 mil a pa ížský 14 mil. Za 4 dny urazili 48 a 56 mil. 62
íslo úlohy: 38 Text úlohy: Pán se dohodl se sluhou takto: „Budeš-li pracovat, dám ti za den krom stravy 12 groš . Když budeš odpo ívat, zaplatíš za stravu 8 groš .“ Za rok, tedy za 365 dní, pán nedlužil nic sluhovi ani sluha pánovi. Kolik dní sluha pracoval a kolik odpo íval? Rozbor úlohy: Po et odpracovaných a odpo inkových dn nám dá dohromady 365 dní, tedy jeden rok. Za neznámou nám sta í dát po et odpracovaných dn a dny odpo inkové vyjád íme pomocí dn odpracovaných, nebo naopak. Za rok nedluží pán sluhovi nic, tedy rozdíl p íjmu a toho, co sluha musí dát panovi, je roven nule. Groše, které sluha dostane, vrátí všechny zp t pánovi. ešení úlohy: Mohl pracovat
365 dní
Pracoval
x dní
Nepracoval
(365 – x) dní
Za odpracovaný den dostal
12 groš
Za odpo inkový den vrátil
8 groš
Za jeden rok m l
0 groš
Zápis a ešení rovnice: 12 ⋅ x − 8(365 − x ) = 0 12 x − 2920 + 8 x = 0 20 x = 2920 x = 146 Sluha pracoval: 146 dní Sluha odpo íval: 365 − 146 = 219 dní Sluha pracoval 146 dní a odpo íval 219 dní.
63
íslo úlohy: 39 Text úlohy: B hem souboje kohout se jeden z divák dohodl s jejich majiteli. Prvnímu ekl: „Když zvít zí tv j kohout, dáš mi svou výhru, když prohraješ, zaplatím ti dv t etiny možné výhry.“ Druhému soupe i ekl: „Když zvít zí tv j kohout, dáš mi svou výhru, když prohraješ, zaplatím ti t i tvrtiny možné výhry.“ V obou p ípadech získá divák 12 peníz . Jakou výhru mohl získat každý ú astník (majitel kohouta)? Rozbor úlohy: ešitel si musí uv domit, že jeden kohout vždy zvít zí a druhý prohraje. Tato úloha se dá ešit soustavou dvou lineárních rovnic o dvou neznámých. Do rovnice zapíšeme vždy jednu z možností, vyhraje ur itý po et peníz a musí zaplatit ur itou ást pen z z jiné možné výhry. V obou p ípadech divák získal 12 peníz . ešení úlohy: Prvnímu ekl: zvít zí tv j kohout
dáš mi výhru x peníz
prohraje tv j kohout
zaplatím ti
2 x 3
Druhému ekl: zvít zí tv j kohout
dáš mi výhru y peníz
prohraje tv j kout
zaplatím ti
V obou p ípadech získal divák 12 peníz Jakou výhru mohl získat každý z ú astník ?
64
3 y 4
Zápis a ešení rovnic:
3 y = 12 4 2 y − x = 12 3
x−
4 x − 3 y = 48 3 y − 2 x = 36 4 x − 3 y = 48 − 4 x + 6 y = 72 3 y = 120
3 ⋅ 40 − 2 x = 36 − 2 x = 84
y = 40
x = 42
První majitel kohouta mohl získat výhru 42 peníz , druhý 40 peníz .
65
íslo úlohy: 40 Text úlohy: N kolik lidí spole n kupuje berana. Když každý p isp je p ti penízi, bude chyb t 45 peníz do ceny berana. Když každý p isp je sedmi penízi, budou chyb t t i peníze. Kolik je lidí a jakou cenu má beran? Rozbor úlohy: Úlohu m žeme ešit úsudkem nebo pomocí dvou lineárních rovnic o dvou neznámých. Jedna neznámá pro nás bude po et kupujících, druhá cena berana. ešení úlohy: Berana kupuje
x lidí
Cena berana
y peníz
Každý zaplatí
5 peníz
bude chyb t 45 peníz
Každý zaplatí
7 peníz
budou chyb t 3 peníze
Zápis a ešení rovnic:
5 x = y − 45 7x = y − 3 5 x − y = −45
5 ⋅ 21 = y − 45 105 = y − 45 y = 150
7 x − y = −3 − 5 x = 45 7 x = −3 2 x = 42 x = 21
Lidí kupujících berana bylo 21, cena berana byla 150 peníz .
66
íslo úlohy: 46 Text úlohy: Stádo opic bavících se v háji se rozd lilo na dv
ásti.
tverec osminy jejich po tu se
bavil skákáním ve v tvích. Dvanáct opic vítalo radostným k ikem tichý rozb esk dne. A te
ekni, jinochu, kolik opic bylo v háji.
Rozbor úlohy: V úloze máme za úkol zjistit, kolik opic bylo v háji. Opice se rozd lily na dv nestejné ásti. V první ásti jich byl tverec osminy, tedy
1 z celkového po tu opic na druhou. 8
V druhé ásti jich bylo 12. ešení úlohy: celkem opic
x
po et opic v první ásti
x 8
po et opic v druhé ásti
12
2
Zápis a ešení rovnice: x 8
2
x1, 2 =
+ 12 = x
− b ± b 2 − 4ac 2a
− ( −64) ± ( −64) 2 − 4 ⋅ 768 x1, 2 = 2 64 ± ( 4096 − 3072 x1, 2 = 2 64 ± 1024 x1, 2 = 2 64 ± 32 x1, 2 = 2 x1 = 16
x2 + 12 = x 64 x 2 + 768 = 64 x x 2 − 64 x + 768 = 0
x 2 = 48 V háji bylo 16 nebo 48 opic, ob
ešení kvadratické rovnice odpovídají zadání.
67
íslo úlohy: 47 Text úlohy: Staro ímská úloha (2. století). Jeden umírající lov k ekl: „Jestliže se mé žen narodí syn, a mu pat í dv t etiny jm ní a zbytek mé žen . Jestliže se narodí dcera, a jí pat í t etina a žen dv t etiny.“ Narodila se dvoj ata – syn a dcera. Jak se má rozd lit jm ní, aby se splnila záv t nebožtíka? Rozbor úlohy: Úlohu ešíme pomocí pom ru. Zapíšeme jednotlivé pom ry a rozší íme tak, abychom jsme z nich mohli vytvo it postupný pom r. ešení úlohy:
Narodí-li se syn, získá
2 jm ní, zbytek z stane žen 3
Narodí-li se dcera, získá
1 jm ní, žen pat í 3
(2 : 1)
2 jm ní 3
Narodila se dvoj ata, jak se rozd lí jm ní, aby se splnila záv Syn
Dcera
2 díly jm ní
(1 : 2)
nebožtíka?
Žena 1 díl jm ní
1 díl jm ní
2 díly jm ní
Získané pom ry dáme dohromady: Syn
Dcera
4 díly jm ní
Žena 2 díl jm ní
1 díl jm ní
2 díly jm ní
pom r majetku 4:1:2 P i narození dvoj at se majetek d lil mezi syna, dceru a matku v pom ru 4:1:2.
68
íslo úlohy: 48 Text úlohy: Jednotkový tverec se má rozd lit na 12 shodných trojúhelník a ty i shodné tverce (viz obr.). Je t eba vypo ítat obsah trojúhelníku a tverce.
Rozbor úlohy: Rozd lený tverec je jednotkový, jeho rozm r je tedy 1. Abychom získali rozm ry trojúhelníku, vypo ítáme nejprve obsah dvou trojúhelníku, které jsou u každého vrcholu tverce. Jedná se o rovnostranný trojúhelník, má dv strany stejn dlouhé (0,5), délku t etí strany (p epony) m žeme vypo ítat pomocí Pythagorovy v ty, ale pro výpo et obsahu dvou trojúhelníku tuto délku nebudeme pot ebovat. Pro výpo et obsahu pravoúhlého trojúhelníku platí: S =
a ⋅b , v našem p ípad 2
a = b. Obsah jednoho
trojúhelníku získáme, když vyd líme obsah dvou trojúhelník dv ma. Pokud se pozorn podíváme na obrázek, vidíme, že se nám opakují stále shodné trojúhelníky. Trojúhelník sestrojený nad stranou tverce má délku základy 0,5. Obsah ty
tverc je S = a ⋅ a ,
obsah jednoho tverce získáme tak, že vyd líme obsah ty
íslem 4.
69
tverc
ešení úlohy: Obsah dvou trojúhelník : délka ramen je rovna
1 , 2
a⋅a 2 1 1 ⋅ 2 2 S= 2 1 S= 8
S=
Obsah trojúhelníku:
Obsah ty
1 S=8 2 1 S= 16
tverc :
S = a⋅a 1 1 ⋅ 2 2 1 S= 4 S=
1 S=4 Obsah tverce: 4 1 S= 16
Obsah trojúhelníku i tverce je stejný,
1 jednotkového obsahu. 16
70
ešené úlohy íslo úlohy: 51 Text úlohy: Mám sukno, které má na délku 100 lokt a na ší ku 80 lokt . Chci z n j d lením zhotovit plášt tak, aby každý díl m l na délku 5 lokt a na ší ku 4 lokty. ekni, žádám mudrci, kolik pláš
z n j lze zhotovit.
Rozbor úlohy: Sukno se snažíme pokrýt díly plášt . ešení úlohy: Sukno má rozm ry 100 x 80 lokt
100 lokt
Díl plášt musí mít rozm r 5 x 4 lokty Kolik lze zhotovit pláš ?
80 lokt
Ze sukna o délce 100 lokt m žeme ust ihnout (100 : 5) = 20 pruh sukna o délce 5 lokt a ší ce 80 lokt . Z jednoho pruhu o ší ce 80 lokt
m žeme ust ihnout (80 : 4) = 20 díl
sukna
o rozm rech 5 x 4. Z 20 pruh sukna o ší ce 80 lokt vznikne tedy (20 ⋅ 20) = 400 díl na ušití plášt .
Ze sukna o velikosti 100 x 80 lokt lze ust ihnout 400 díl sukna na ušití plášt .
71
íslo úlohy: 52 Text úlohy: Ošt p stojí svisle ve vod a nad její hladinou vy nívá o t i lokty. Vítr ho nachýlil tak, že jeho vrchol je na hladin , ale spodní hrot nezm nil svou polohu. Ur ete délku ošt pu, jestliže vzdálenost nové polohy vrcholu od p vodního místa vno ení ošt pu do vody se rovná 5 lok m. Rozbor úlohy: Pro ešení úlohy je d ležitý ná rt situace. Úloha bude ešena pomocí Pythagorovy v ty (pro výpo et p epony v pravoúhlém trojúhelníku platí: c 2 = a 2 + b 2 ). ešení úlohy: P vodn :
Po odchýlení v trem:
Pythagorova v ta pro výpo et p epony v pravoúhlém trojúhelníku: (3 + x) 2 = x 2 + 5 2 9 + 6 x + x 2 = x 2 + 25 6 x = 25 − 9
Celková délka ošt pu = 3 + 2
6 x = 16 2 x = 2 lokt 3
Délka ošt pu je 5
2 lokt . 3
72
2 2 = 5 lokt 3 3
íslo úlohy: 54 Text úlohy: Dv v že stojí ve vzdálenosti 50 stop, jedna je vysoká 40 stop a druhá 30 stop. Ke kašn umíst né mezi nimi slétávají sou asn ptáci, kte í sed li na vrcholcích v ží. Protože letí stejnou rychlostí, doletí na kašnu sou asn . Ur ete vzdálenost kašny od v ží. Rozbor úlohy: Pro ešení této úlohy je d ležitý ná rt situace. Dále použijeme Pythagorovu v tu. Délka p epon v obou trojúhelnících je stejná. Kašna od jedné z v ží vzdálená x stop, od druhé (50 – x) stopy. ešení úlohy: Ná rt:
Zápis a ešení rovnice: x 2 + 40 2 = (50 − x) 2 + 30 2 x 2 + 1600 = 2500 − 100 x + x 2 + 900 100 x = 1800 x = 18 Vzdálenost kašny od v že, která m í 40 stop, je 18 stop, od v že, která m í 30 stop, je (50 – x) = 32 stop. Kašna se nachází 18 stop od 40ti stopové v že a 32 stop od 30ti stopové v že. 73
3.3 Úlohy ešené ve výuce, dotazník T i vybrané historické úlohy ešili žáci a žákyn 6. ro ník
základní školy
v kroužku zájmové matematiky. ešeny byly následující historické úlohy. A: N jaký umírající otec rodiny zanechal svým ty em syn m ty i nádobky s vínem. V jedné nádob bylo 40 m ic, ve druhé 30, ve t etí 20 a tvrté 10 (m ic). Zavolal správce svého domu a ekl: „Tyto ty i nádobky s vínem zanechaným uvnit , rozd l mezi mé ty i syny a to tak, aby každý z nich m l stejný díl jak vína, tak nádob.“ A
ekne, kdo chápe, jakým zp sobem je t eba rozd lit, aby všichni z toho mohli dostat
stejn . B: Mám sukno, které má na délku 100 lokt a na ší ku 80 lokt . Chci z n j d lením zhotovit plášt tak, aby každý díl m l na délku 5 lokt a na ší ku 4 lokty. ekni, žádám mudrci, kolik pláš
z n j lze zhotovit.
C: Muž a žena, z nichž každý vážil jeden centné , mající dv
d ti, které
dohromady váží také jeden centné , se m li p epravit p es eku. Nalezli lo ku, která nem že uvést více než jeden centné . Nech uskute ní p epravu, kdo m že, aniž by se lo ka potopila. Vybrané historické úlohy
ešilo celkem 17 d tí (9 chlapc
a 8 dívek).
P ed ešením každé úlohy prob hl krátký rozbor úlohy a byly zodpov zeny p ípadné dotazy. Poté ešili žáci úlohu samostatn . Se správným ešení každé z úloh byli žáci seznámeni vždy po samostatném ešení. ešení úloh, které byly zadané žák m, se nachází v kapitole 3.2. Úloha A odpovídá úloze íslo 19, B úloze 51 a C úloze 16. Po vy ešení úloh žáci vyplnili krátký dotazník vyjad ující jejich postoj k ešení historických úloh. Žák m byly položeny následující otázky: 1. Zaujalo t
ešení historických úloh? ANO / NE
2. Která úloha se ti nejvíce líbila? 3. Která úloha byla pro tebe nejjednodušší? 4. Která úloha byla pro tebe nejt žší? 5. Líbilo by se ti ešit historické úlohy v hodinách matematiky? 6.
ešíte historické úlohy v hodinách matematiky?
74
Z odpov dí na otázky z krátkého dotazníku vyplynulo: −
ešení vybraných historických úloh zaujalo všech 17 d tí,
− nejvíce se líbila úloha C (odpov di na 2. otázku: úloha A – 4 d ti, úloha B – 0, úloha C – 13), − úloha C byla zárove pro nejvíce d tí nejjednodušší (odpov di na 3. otázku: úloha A – 6 d tí, B – 2, C – 9), − nejt žší byla úloha B (odpov di na 4. otázku: úloha A – 2 d ti, B – 13, C – 2), − všem dotazovaným žák m a žákyním by se líbilo ešit historické úlohy v hodinách matematiky, − v tšina d tí historické úlohy v hodinách matematiky ne ešila (odpov di na 5. otázku: ne – 14 d tí, z ídka – 1, n kdy – 1, spíše ne – 1).
75
4 Záv r Historie matematiky a ešení historických úloh m že být vhodnou motivací pro práci žák v matematice na základní škole. Matematika se za azením vhodných historických prvk m že pro žáky stát zajímav jší a poutav jší. D jiny matematiky jsou, v první
ásti diplomové práce, pospány stru n
a
srozumiteln . Tento text mohou použít i p ípadní zájemci o historii matematiky z ad žák 2. stupn základní školy. Historické úlohy, které jsou za azeny v druhé ásti diplomové práce, mohou být za azeny p ímo ve výuce matematiky nebo i v zájmových kroužcích. Zásobník historických úloh m že sloužit u itel m matematiky k obohacení výuky matematiky o prvky historie. S historickými úlohami bylo pracováno v kroužku zájmové matematiky na Základní škole v Morkovicích. Žáci 6. ro ník byli seznámeni se t emi historickými slovními úlohami.
ešení historických úloh žáky velmi zaujalo. Z krátkého dotazníku
také vyplynulo, že historické úlohy v hodinách matematiky žáci ne eší, ale rádi by je ešili.
76
5 Literatura [1]
BE VÁ , J. a kol.: Matematika ve st edov ké Evrop . Praha: Prometheus, 2001. 445 s. ISBN 80-7196-232-5.
[2]
BE VÁ ,
J.,
BE VÁ OVÁ,
M.,
VYMAZALOVÁ,
H.:
Matematika
ve starov ku. Egypt a Mezopotámie. Praha: Prometheus, 2003. ISBN 80-7196255-4. [3]
BE VÁ OVÁ, M.: Euklidovy základy, jejich vydání a p eklady. Praha: Prometheus, 2002. 297 s. ISBN 80-7196-233-3.
[4]
BALADA, F.: Z d jin elementární matematiky. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1959. 238 s.
[5]
DEPMAN, I.: Besedy o matematice. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1957. 123 s.
[6]
FOLTA, J., ŠEDIVÝ, J.: D jiny matematiky a fyziky v obrazech. První soubor. Praha: Prometheus, 1982. 39 list .
[7]
FOLTA, J., ŠEDIVÝ, J.: Sv tonázorové problémy matematiky I. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1983. 200 s.
[8]
FUCHS, EDUARD. Diskrétní matematika a Teorie množin pro u itele (CDROM). Brno: Masarykova univerzita, 2000. 890 s. ISBN 80-210-2463-1.
[9]
HRUBEŠ, J.: Historie matematiky v p íkladech – 1. díl. Ostrava: Ateliér Milata, 1995. 30 s.
[10]
HRUBEŠ, J.: Historie matematiky v p íkladech – 2. díl. Ostrava: Ateliér Milata, 1995. 26 s.
[11]
JUŠKEVI , ADOLF P.: D jiny matematiky ve st edov ku. Praha: Academia, 1977. 446 s.
[12]
KOLMAN, A.: D jiny matematiky ve starov ku. Praha: Academia, 1969. 121s.
[13]
KONFOROVI , A. G.: Významné matematické úlohy. Praha: SPN, 1989. 208 s. ISBN 80-04-21848-2.
[14]
MA ÁK, K.: T i st edov ké sbírky matematických úloh. Praha: Prometheus, 2001. 102 s. ISBN 80-7196-215-5.
[15]
STRUIK, D., J.: D jiny matematiky, Praha: Orbis, 1963. 250 s.
77
Seznam p íloh P íloha 1 – V stonická vrubovka P íloha 2 – Zápis íslic P íloha 3 – Významní matematici P íloha 4 – Pracovní listy
P íloha 1 – V stonická vrubovka
Obr. 1 - V stonická vrubovka ([6], str. 34)
P íloha 2 – Zápis íslic
Obr. 2 – Egyptské hieroglyfické íslice ([4], str. 41)
Obr. 3 – Mezopotamské klínové íslice ([4], str. 43)
Obr.4 – Staro ecké íslice ([6], str. 35)
Obr. 5 – Indické íslice Bráhmí (po átek letopo tu – 9. století) ([6], str. 35)
Obr. 6 – Arabské íslice (10. století) ([6], str. 35)
P íloha 3 – Významní matematikové (p evzato z [8])
René Descartes
Daniel Bernoulli
Leonhard Euler
(1596–1650)
(1700–1782)
(1707–1783)
Bernard Bolzano
Augustin Louis Cauchy
Georg Ferdinand Ludwig
(1781–1848)
(1789–1857)
Philipp Cantor (1845–1918)
David Hilbert
John von Neumann
Otakar Bor vka
(1862–1943)
(1903–1957)
(1899–1995)
P íloha 4 - Pracovní listy
Jedním tahem Jedním tahem tužky nakreslete obrazec a) a potom obrazec b). Lze oba obrazce nakreslit jedním tahem? Vezmi si barevnou tužku a pokus o to. Pro nejdou všechny obrázky nakreslit jedním tahem tužky?
Obrázek
a) jsem nakreslil(a) / nenakreslil(a) jedním tahem tužky, b) jsem nakreslil(a) / nenakreslil(a) jedním tahem tužky.
Podívej se na obrázky a pokus se zjistit, pro lze n které obrázky nakreslit jedním tahem tužky. Znáš ješt n jaký obrázek, který lze nakreslit jedním tahem tužky? Pokus se ho na rtnout.
Jak musí obrázek vypadat, aby šel nakreslit jedním tahem tužky?
P emíst ní mincí Deset mincí je rozmíst no v rovin po ádcích (viz obr.). Mají se p emístit nejvýše ty i mince, a to do takových poloh, aby se na p ti r zných p ímkách objevilo po ty ech mincích.
Mince rozmísti podle obrázku a pokus se o spln ní úkolu. Výsledky svého snažení zaznamenej do následujícího obrázku. Mince, které z staly v ádcích vymaluj, p emíst né mince dokresli. Vyzna také p t p ímek na kterých se objeví práv
ty i mince.
Nápov da: Sta í p emístit jednu minci jedné ady a t i mince druhé ady.
St íhání sukna Mám sukno, které má na délku 100 lokt a na ší ku 80 lokt . Chci z n j d lením zhotovit plášt tak, aby každý díl m l na délku 5 lokt a na ší ku 4 lokty. ekni, žádám mudrci, kolik pláš
z n j lze zhotovit.
Rozm ry sukna: délka
, ší ka
.
Rozm ry jednoho dílu na ušití plášt : délka
, ší ka
.
Kolik lze ze sukna ust ihnout díl na ušití plášt ? Jak budeš postupovat p i d lení sukna? 1. Narýsuj sukno, jestliže 1 loket sukna odpovídá 0,1 cm ve skute nosti. 2. Do tohoto nákresu nazna , jak budeš postupovat p i st íhání. Zakresli jednotlivé st íhané díly.
3. Stru n popiš postup p i d lení sukna:
4. Kolik je možné ust ihnout ze sukna díl k ušití plášt ? Prove výpo et.
Ze sukna je možno ust ihnout
díl na ušití plášt .
Rozd lení d dictví N jaký umírající otec rodiny zanechal svým ty em syn m ty i nádobky s vínem. V jedné nádob bylo 40 m ic, ve druhé 30, ve t etí 20 a tvrté 10 (m ic). Zavolal správce svého domu a ekl: „Tyto ty i nádobky s vínem zanechaným uvnit , rozd l mezi mé ty i syny a to tak, aby každý z nich m l stejný díl jak vína, tak nádob.“ A ekne, kdo chápe, jakým zp sobem je t eba rozd lit, aby všichni z toho mohli dostat stejn . Otec m l
syny.
Svým syn m zanechal
nádoby s vínem.
V nádobách bylo celkem
m ic vína.
Zakresli množství vína v jednotlivých nádobách.
40 m ic
m ic
m ic
m ic
Kolik nádob a jaké množství vína dostane každý ze syn ? - výpo et množství nádob pro každého syna: - výpo et množství m ic vína pro každého syna:
Jakým zp sobem lze rozd lit zanechané víno mezi syny, aby každý dostal stejné množství? Navrhni postup, jakým lze víno rozd lit.
Každý ze syn dostane
nádob s vínem a
m ic vína.
P evoz rodiny p es eku Muž a žena, z nichž každý vážil jeden centné , mající dv d ti, které dohromady váží také jeden centné , se m li p epravit p es eku. Nalezli lo ku, která nem že uvést více než jeden centné . Nech uskute ní p epravu, kdo m že, aniž by se lo ka potopila. Muž a žena váží
centné . Každé dít váží
Lo uveze
centné .
centné e.
Na lodi se m že plavit: ,
,
,
nebo
.
Kdo se bude plavit p es eku jako první? Nezapome , že na lodi musí vždy n kdo být! Na prvním b ehu máme: M (muže), Ž (ženu), D1 (1. dít ) a D2 (2. dít ). Na lo jako první nasedne
. Na prvním b ehu z stane:
Po prvním p eplavení eky bude na druhém b ehu:
(∗).
(∗∗).
Nyní zaznamenávej pouze osoby na jednotlivých b ezích. Do eky zakresli šipku, kterým sm rem lo ka jela. (Stavy na jednotlivých b ezích po prvním p evozu již znáš, dopl tedy údaje za hv zdi ky.) PRVNÍ B EH
EKA
DRUHÝ B EH
→
(∗∗)
M, Ž, D1, D2 (∗)
←
Lo ka se p i p evezení celé rodiny na druhý b eh celkem dotkla
b ehu.
