Masarykova univerzita
Pedagogická fakulta
Katedra matematiky
Nadaní žáci v matematice na 2. stupni ZŠ
Bakalářská práce
Brno 2016
Vedoucí bakalářské práce: PhDr. Jiřina Novotná, Ph.D. Vypracovala: Petra Vocílková
Bibliografický záznam VOCÍLKOVÁ, Petra. Nadaní žáci v matematice na 2. stupni ZŠ: bakalářská práce. Brno: Masarykova univerzita, Fakulta pedagogická, Katedra matematiky, 2016. 69 s. Vedoucí bakalářské práce: PhDr. Jiřina Novotná, Ph.D.
Anotace Bakalářská práce Nadaní žáci v matematice na 2. stupni ZŠ se zaměřuje na některé oblastí týkajících se nadaných dětí, jako je vymezení pojmu nadání, identifikace nadaných dětí, výčet institucí, na které je možno se s nadaným žákem obrátit, a v neposlední řadě i přehled, jaký typ výuky je možno těmto dětem poskytnout. Vymezuje taktéž matematické nadání a možnosti, jak ho dále rozvíjet. Zaměřuje se i na učebnice matematiky pro základní školy a hodnotí, do jaké míry tyto učebnice poskytují prostor pro vzdělávání nadaných. Poskytuje i přehled matematických soutěží s příklady a některé aktivity z oblasti rekreační matematiky.
Annotation The bachelor thesis Nadaní žáci v matematice na 2. stupni ZŠ focuses on some sections about gifted children such as the definition of the term ‚gift‘, identification of gifted children, the list of institutions which the gifted pupil can contact, and, not least, the overview of education types that can be provided to these children. It also defines mathematical talent and ways to develop it. It further focuses on mathematics textbooks for elementary schools and evaluates how much opportunities these textbooks provide for the education of gifted. It also provides an overview of mathematical competitions with examples and some activities of recreational mathematics.
Klíčová slova žák, nadané dítě, druhý stupeň ZŠ, matematika, vzdělávání nadaných, matematické soutěže
Keywords pupil, gifted child, secondary school, mathematics, education of gifted, mathematical competitions
2
„Prohlašuji, že jsem závěrečnou bakalářskou práci vypracovala samostatně, s využitím pouze citovaných pramenů, dalších informací a zdrojů v souladu s Disciplinárním řádem pro studenty Pedagogické fakulty Masarykovy univerzity a se zákonem č. 121/2000 Sb., o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o změně některých zákonů (autorský zákon), ve znění pozdějších předpisů.“
V Brně dne 20. března 2016 _______________________ Petra Vocílková 3
Poděkování Na tomto místě bych ráda poděkovala PhDr. Jiřině Novotné, Ph.D., za odborné vedení mé bakalářské práce, za vždy milé a vstřícné jednání.
4
Obsah Úvod..................................................................................................................................6 Právní zakotvení..............................................................................................................7 Definice nadání................................................................................................................8 Matematicky nadané dítě .............................................................................................10 Organizace pečující o nadané ......................................................................................12 Mensa ČR ....................................................................................................................12 Střediska volného času................................................................................................13 Centrum nadání...........................................................................................................14 Jihomoravské centrum pro mezinárodní mobilitu (JCMM)........................................14 Národní ústav pro vzdělávání .....................................................................................15 Pedagogicko – psychologické poradny.......................................................................15 Věda nás baví ..............................................................................................................16 Talnet ..........................................................................................................................16 Rozdělení populace .......................................................................................................17 Identifikace nadaných dětí ...........................................................................................19 Objektivní metody identifikace....................................................................................21 Subjektivní metody identifikace...................................................................................22 Vzdělávání nadaných žáků ve škole ............................................................................25 Typy výuky...................................................................................................................25 Úprava obsahu výuky..................................................................................................27 Vhodné přístupy ke vzdělávání nadaných dětí ............................................................29 Metody ve výuce nadaných žáků .................................................................................31 Školy spolupracující s Mensou ČR..............................................................................33 Mensa gymnázium.......................................................................................................34 Typy úloh.....................................................................................................................36 Náročnější úlohy v učebnicích matematiky ................................................................39 Aritmetika: učebnice pro 7. ročník..............................................................................39 Matematika 7 pro základní školy – aritmetika............................................................40 Geometrie pro 7. ročník ..............................................................................................41 Sbírka úloh z matematiky pro 7. a 8. ročník základních škol......................................43 Shrnutí výskytu náročnějších úloh v učebnicích matematiky......................................44 Matematické soutěže.....................................................................................................45 Matematická olympiáda (kategorie A)........................................................................45 Matematický klokan (kategorie A) ..............................................................................48 Pythagoriáda (kategorie A).........................................................................................51 Matematická soutěž Pangea (kategorie B) .................................................................53 Logická olympiáda (kategorie B)................................................................................55 Moravskoslezský matematický šampionát...................................................................56 Úlohy z rekreační matematiky.....................................................................................57 Einsteinova hádanka ...................................................................................................57 Slitherlink ....................................................................................................................58 Hlavolamy ...................................................................................................................59 Závěr...............................................................................................................................65 Použitá literatura ..........................................................................................................66
5
Úvod Bakalářská práce se zaměřuje na v současnosti hodně diskutované téma, kterým jsou nadané děti a možnosti, jak s nimi pracovat a jak dále rozvíjet jejich talent. V této práci se zaměřujeme především na problematiku identifikace nadaného jedince jakožto složitého procesu, zmiňujeme nejčastější metody, kterými lze stanovit nadání. Důležitou roli v problematice nadaných jedinců hrají jednotlivé organizace a instituce, proto jsou v bakalářské práci zmíněny i s jejich kompetencemi a možnostmi, jak dokáží nadanému dítěti pomoci. Z velké množiny nejrůznějších typů nadání se zaměřujeme na matematické nadání, které bývá považováno pro nutnost schopnosti logického uvažování za to, které nejlépe odpovídá celkové inteligenci. V souvislosti s tímto hlediskem uvádíme v práci přehled nejznámějších matematických soutěží i s ukázkami příkladů, které se v nich objevují, aby si čtenář mohl vytvořit představu o náročnosti podobných úloh. Zmíněny jsou také některé příklady z oblasti rekreační matematiky. Vedle matematických soutěží, které nejsou součástí běžného vyučování, jsou možnosti vzdělávání nadaných dětí určeny školským zařízením, do kterého dítě dochází. Jelikož zde je vliv na nadané děti největší, věnujeme se jednak rozboru typů výuky, které dělíme na základě odděleného a společného vzdělávání nadaných dětí, jednak se zaměřujeme i na uvedení znaků vhodných matematických úloh. V souvislosti se zmiňovanými matematickými úlohami pro nadané děti se věnujeme také krátké exkurzi do matematických učebnic pro základní školy a poukazujeme na to, zda je v nich nadaným věnován dostatek prostoru, čímž máme především na mysli, jestli se v nich vyskytují takové typy příkladů, které by odpovídaly jejich požadavkům. Bakalářská práce si neklade za cíl zcela postihnout veškerou problematiku vztahující se k nadání, jejím smyslem je nástin těch oblastí, které se ve vztahu k dítěti na 2. stupni základní školy jeví jako nejdůležitější.
6
Právní zakotvení Vzdělávání nadaných dětí není dáno pouze domluvou či územ, ale je přesně vytyčeno v některých zákonech a vyhláškách, má tedy obecnou platnost, z čehož plyne, že škola je povinna žákovi poskytovat speciální vzdělání v případě, že je nadaný. Co se týče zákona, jedná se především o č. 561/2004 Sb. zákon o předškolním, základním, středním, vyšším odborném a jiném vzdělávání (školský zákon), kde nalezneme pod § 17 Vzdělávání nadaných dětí, žáků a studentů, další informace pak ještě v § 18 a § 19. Je zde definováno, že škola musí vytvářet podmínky pro rozvoj nadání, a to například rozšířenou výukou nebo volitelnými předměty. Existuje i možnost upravit žákovi organizaci vzdělávání, vytvořit individuální vzdělávací plán, který přesně odpovídá jeho potřebám. Prostřednictvím tohoto zákona existuje i možnost, aby žák v případě potřeby vynechal některé ročníky, pokud by jejich náplň pro něj nebyla přínosná, protože žák toto učivo již ovládá, a byl zařazen ihned do vyššího ročníku bez absolvování předchozího. V tom případě je povinný vykonat zkoušku před komisí, která rozhodne, zda je žák způsobilý pro vynechání ročníku na základě prokázaných znalostí. Dalším významným dokumentem pro vzdělávání nadaných dětí je Vyhláška č. 73/2005 Sb. o vzdělávání dětí, žáků a studentů se speciálními vzdělávacími potřebami a dětí, žáků a studentů mimořádně nadaných, kde je nadaným studentům vymezena třetí část této vyhlášky. Právě zde bychom mohli najít také definici mimořádně nadaného dítěte, žáka či studenta: „Mimořádně nadaným žákem se pro účely této vyhlášky rozumí jedinec, jehož rozložení schopností dosahuje mimořádné úrovně při vysoké tvořivosti v celém okruhu činností nebo v jednotlivých rozumových oblastech, pohybových, uměleckých a sociálních dovednostech.“1 Za zmínku stojí dále Vyhláška č. 116/2011 Sb. o poskytování poradenských služeb ve školách a školských poradenských zařízeních (nahrazující dřívější Vyhlášku č. 72/2005 Sb. stejného názvu). Ta definuje účel poradenských služeb, které by měly vytvářet vhodné prostředí pro péči o nadané děti a poskytovat mimo jiné informační zázemí. Jejím úkolem je také na základě podnětů od učitelů či rodičů identifikovat nadané děti.
1
Vyhláška č. 73/2005 Sb. ze dne 9. února 2005 o vzdělávání dětí, žáků a studentů se speciálními vzdělávacími potřebami a dětí, žáků a studentů mimořádně nadaných. In Sbírka zákonů České republiky. 2005, částka 20, s. 507. Dostupné z: http://www.msmt.cz/dokumenty/vyhlaska-c-73-2005-sb-1
7
Definice nadání Pokud bychom chtěli definovat nadání, není to určitě jednoduchým úkolem, jak se na první pohled může zdát. Souvisí to už s tím, že nadání se může projevovat v různých oblastech a také různou měrou. Další okolností, která definici nadání značně ztěžuje, je jeho velká různorodost zapříčiněná individualitou každého jedince, kdy se každý může vyznačovat odlišnými vlastnostmi a také úrovní nadání. Obecně platnou definici je proto velmi těžké stanovit. Nadání je nejčastěji spojováno s vysokou mírou inteligence, proto se zdá být logické, že definice nadání se bude zakládat právě na její míře. Tu lze změřit podle testů inteligence, kdy výslednou hodnotou je výše IQ. Na základě toho bylo definováno, že za nadaného jedince se považuje takový člověk, jehož IQ dosahuje hodnoty 130 a vyšší. Jak však moudře podotýká Laznibatová2, vzniká potom otázka, zda IQ 129 bude znamenat, že dítě nadané není, a IQ 132 bude představovat hodnotu nadaného jedince. Další možností, jak přistupovat k definici nadání, je tzv. procentuální definice. Gaussova křivka (viz kapitola Rozložení populace) ukazuje, že nadaní jedinci tvoří přibližně 2 % celkové populace. Třetí definice akcentuje především tvořivost dítěte. Jedná se o tzv. definici zdůrazňující kreativitu – „nadané dítě je každé dítě, které má přirozený potenciál rozvíjet svou tvořivost.“3 Poslední definici, kterou na tomto místě zmíníme, je tzv. sociální definice, podle které „je nadané dítě takové, které má potenciál podávat nadprůměrné výkony v jakékoli hodnotné oblasti.“4 V přístupu k nadaným dětem se nejčastěji objevuje hledisko jejich rozdělení podle oblasti, ve které vynikají. Protože se nadání objevuje často v prostředí školy, lze nadané rozdělit podle toho, ve kterém předmětu vynikají. Jedná se o nejčastější dělení, podle kterého „je nadaný žák takový, který má v daném předmětu velmi dobré studijní výsledky“5 – nadání se tedy projevuje většinou prostřednictvím známek. Nelze však tuto teorii aplikovat všeobecně (existuje mnoho dětí, které ač jsou nadané, nemají z daného
2
LAZNIBATOVÁ, Jolana. Nadané dieta: jeho vývin, vzdelávanie a podporovanie. 1. vyd. Bratislava: Iris, 2001, s. 63. 3 HAVINGEROVÁ, Jana Marie. Pět pohledů na nadání. 1. vyd. České Budějovice: Grada Publishing, 2011, s. 20. 4 Tamtéž, s. 20. 5 Tamtéž, s. 30.
8
předmětu dobré známky). Na základě tohoto kritéria potom Havingerová6 uvádí tyto oblasti druhů nadání: -
jazykové a literární nadání (rodný jazyk)
-
nadání pro cizí jazyky
-
matematické nadání
-
nadání pro přírodní vědy
-
sportovní nadání
-
hudební nadání
-
výtvarné nadání atd.
Z uvedených oblastí převyšuje ostatní nadání matematické, které bývá někdy označováno jako jediné „opravdové“ nadání, protože matematicky nadaní jedinci mají vysokou hodnotu inteligence a schopnost logicky uvažovat. Nejlépe tedy odpovídá úrovni celkové inteligence. Nelze však říct, že by celkové nadání bylo tvořenou jen touto složkou – při posuzování nadání musí být akcentovány všechny oblasti lidské inteligence. Často se objevují diskuze, jestli je nadání výsledkem „poctivé práce“, nebo ho má jedinec dáno do vínku již při narození, z čehož plynou zajímavé úvahy, zda lze nadání nějakým způsobem formovat a pěstovat. Na základě toho jsou definovány vnitřní a vnější faktory nadání tak, jak je rozděluje Havingerová7. K vnitřním faktorům bychom mohli zařadit genetické a osobnostní dispozice. Protože se velikost inteligenčního kvocientu během života jedince nemění, lze tedy říci, že genetické dispozice jsou pro nadání nutným základem, bez něj může dítě nadprůměrných výsledků dosahovat jen velmi obtížně, ani dostatečná píle z žákovy strany nepomůže dosažení úrovně dítěte, které má pro rozvoj nadání genetické předpoklady. K vnějším faktorům bychom mohli zařadit především fyzické a sociální prostředí. Tím je myšleno především to, že dítě potřebuje pro svůj rozvoj dostatečně podnětné prostředí, jinak jeho nadání zůstává nevyužito, popř. nedosahuje takové úrovně, jaké by při správné stimulaci dosahovat mohlo. Problémem je, že dítě podvědomě vnímá svoji odlišnost, a proto při nenaplnění jeho očekávání a vhodného přístupu může pociťovat deprese, neporozumění, odcizení.
6 7
Tamtéž, s. 30-31. Tamtéž, s. 34.
9
Matematicky nadané dítě Jak již bylo zmíněno výše, úroveň matematicko – logické inteligence tvoří největší část celkové inteligence jedince. Předností těchto lidí je především skutečnost, že dokáží na základě uvedení jednoduchých poznatků ze školního vyučování vytvářet řešení složitých problémů. Odlišnost těchto jedinců tedy spočívá v tom, že neaplikují pouze naučené algoritmy, ale dokáží přijít s řešením složitého problému, který vyžaduje logické uvažování. Jak říká Havingerová, „lidé s vysoce vyvinutou matematicko – logickou inteligencí jako kdyby doslova „cítili“ řešení nebo cíl dávno předtím, než začnou s detailním řešením jednotlivých kroků. Matematická schopnost zahrnuje schopnost objevovat, usuzovat a rozumět na základě logiky, řešit „nerutinní“ problémy.“8 S matematikou se setkáváme každodenně v běžném životě – přepočítáváme hmotnost surovin v receptu, zjišťujeme, kolik je hodin, nebo počítáme, kolik metrů čtverečních koberce je potřeba na pokrytí podlahy v pokoji. Lidé s matematicko – logickým nadáním nacházejí uplatnění v povoláních, které vyžadují vysokou míru inteligence,
řešit
zmiňované
nerutinní
problémy,
hledat
nové
postupy
v
řešení problému. Jako taková povolání uvádí Havingerová „například učitele matematiky,
vědce,
lékaře,
výzkumného
pracovníka,
inženýra,
architekta,
programátora, konstruktéra, matematiky, analytika, policejního vyšetřovatele atd.“9 Matematicky nadané dítě se vyznačuje několika nápadnými znaky, které při výuce matematiky může učitel relativně snadno odhalit10: -
rádo počítá
-
rádo je organizováno
-
je velmi přesné
-
je dobré v řešení problémů
-
rozpoznává vzorce
-
líbí se mu matematické hry
-
rádo experimentuje v oblasti logiky (kdyby se toto změnilo, co by z toho vyplynulo za změny, jak by se změnil výsledek)
-
má vždy po svém uspořádané poznámky
8
Tamtéž, s. 93. Tamtéž, s. 94. 10 Tamtéž, s. 94. 9
10
-
má rádo počítače.
Opět je nutné na tomto místě zdůraznit, že individualita dítěte způsobuje, že většinou nenaplňuje všechny uvedené charakteristiky, může se vyznačovat i charakteristikami zcela odlišnými. Nelze proto brát uvedený seznam jako nástroj pro určení nadání dítěte – slouží spíše jako vodítko. Nadání jako takové musí vždy stanovit odborník. Havingerová11 dále uvádí možnosti, jakými je možno pracovat na rozvoji matematicko – logického nadání dítěte:
11
-
skládání puzzle
-
hry s modely (Merkur apod.)
-
hlavolamy (třeba Rubikovy)
-
šachy
-
logické hry (deskové i počítačové)
-
hry na deduktivní myšlení jako Sherlock Holmes
-
předpovídání (když se děje tohle, co musí následovat?)
-
logické hádanky (např. níže zmiňovaná Einsteinova hádanka)
-
používání rovnic, odvozování důkazů
-
vizualizace číselných výsledků (tvorba grafů)
-
šifry a kódy.
Tamtéž, s. 95.
11
Organizace pečující o nadané Tato kapitola si neklade za cíl postihnout veškeré instituce pečující o nadané děti, žáky a studenty, ale nastínit alespoň některé z nich, aby se čtenář o existenci podobných organizací dozvěděl a získal přehled o těch nejznámějších. V dřívější době nebylo nadaným dětem věnováno příliš pozornosti, proto většina těchto organizací je relativně mladá a také publikace a odborné články pocházejí z doby nedávno minulé. V minulosti byla věnována pozornost spíše dětem se speciálními vzdělávacími potřebami, nadané děti byly vnímány jako šikovné, bezproblémové, které nevyžadují speciální péči, protože si se vším poradí samy. Až později začaly vznikat organizace, které se na nadané děti specializují a snaží se jim vytvořit zázemí, které by odpovídalo jejich potřebám.
Mensa ČR K nejstarším organizacím patří Mensa International, která vznikla v Oxfordu v roce 1946. Je nadnárodní nezávislou organizací, pod jejíž hlavičkou existují i jednotlivé národní Mensy, kam bychom mohli zařadit i Mensu České republiky. Nejprve v roce 1989 vznikla Mensa Československo, po rozpadu federace se ihned v roce 1993 k Mense International připojily obě země samostatně. Členem Mensy se může stát každý občan, který dosáhl 14ti let věku a jehož IQ měřené specializovanými testy dosahuje hodnoty alespoň 130. V současné době jsou v Mense ČR zaregistrovány necelé 4 000 lidí, z čehož více než tisícovka je tvořena členy Dětské mensy (jejímiž členy jsou děti od 5 do 16 let včetně). Pokud bychom se na situaci podívali v mezinárodním měřítku, členů je v Mense International zaregistrováno na 115 000 a tito pocházejí z více než stovky zemí. Jejím základním posláním je sdružování lidí s vysokou hodnotou inteligence, která by měla sloužit lidstvu pro zajištění lepších životních podmínek. Členové Mensy ČR pořádají nejrůznější soutěže, přednášky, dvakrát ročně se scházejí a vydávají časopis nazvaný Mensa. Pod hlavičkou Dětské Mensy fungují tzv. Kluby nadaných dětí (KND), jejichž pobočky můžeme nalézt po celé České republice. Jejich smyslem je identifikace nadaných dětí školního věku, které jsou talentované a chtějí na sobě dále pracovat.
12
Zpravidla se konají schůzky jednou za 14 dní. Z brněnských KDN bychom mohli jmenovat například12: -
Klub dětí a rodičů ZŠ Křídlovická,
-
Klub nadaných dětí při Gymnáziu Matyáše Lercha,
-
Klub nadaných dětí při ZŠ a MŠ Didaktis s.r.o.,
-
Klub nadaných dětí při ZŠ Hudcova,
-
Kluby nadaných dětí při ZŠ Sirotkova,
-
Klub nadaných dětí Všeználek,
-
Klub šikovných dětí Masarka, ZŠ Masarova,
-
Klub Zvídálek, ZŠ Křídlovická.
Z aktivit KND bychom mohli jmenovat nepřeberné množství her, exkurzí, přednášek, soutěží jako jsou třeba (vybíráno z aktivit KND Křídlovická a Didaktis): -
návštěva Českého meteorologického institutu Brno
-
logické úlohy, matematické a deskové hry
-
piškvorkový turnaj
-
o životě starých Vikingů
-
brněnské podzemí
-
hlavolamové odpoledne s detektivní zápletkou
-
putování po Číně.
Rozptyl těchto aktivit je obrovský, kluby se snaží vyhovět rozličným zájmům nadaných dětí v souvislosti s jejich možnostmi.
Střediska volného času Středisko volného času, někdy také pod názvem Dům dětí a mládeže, je tradiční institucí pro práci nejen s nadanými dětmi. Nabízí nepřeberné množství kroužků a zajišťuje tak volnočasové vyžití dětí, které tráví odpoledne smysluplným způsobem. Tato střediska se nezaměřují výlučně na práci s nadanými dětmi, své kroužky nabízejí všem dětem bez rozdílu. Na druhé straně, pokud se mezi dětmi objeví nadaný jedinec, snaží se mu poskytnout odpovídající přístup. Střediska volného času lze najít po celé České republice, nacházejí se ve většině větších měst, mají velkou tradici. Podle informací MŠMT13 bylo ve školním roce
12
Kluby nadaných dětí. Mensa ČR: pro nadané děti [online]. 2016 [cit. 2016-03-22]. Dostupné z: http://deti.mensa.cz/index.php?pg=knd
13
2014/2015 ve 312 střediscích volného času zaregistrováno 272 744 účastníků, z čehož největší podíl tvořili žáci (74,1 %) a děti (13,5 %). Přímo v Brně se v současné době nachází celkem 5 středisek volného času/ domů dětí a mládeže: -
Dům dětí a mládeže Brno, Helceletova,
-
Dům dětí a mládeže Junior Brno, Dornych,
-
Lužánky – středisko volného času, Brno,
-
Lipka – školské zařízení pro environmentální vzdělávání, Brno,
-
Salesiánské středisko mládeže Brno.
Centrum nadání Centrum nadání vzniklo nejprve pod hlavičkou Mensy ČR, později se stalo nezávislou organizací. Jejími zakladateli se stali odborníci z oblasti péče o nadané – psychologové, učitelé a další. Jednou z aktivit Centra je i diagnostika a poradenské služby, které se konají v tzv. diagnosticko-poradenské dny. Zaměřují se na podporu rozvoje rozumových dovedností nadaných dětí, což se děje prostřednictvím kroužků, jako je například nově Kroužek zábavné logiky, který „si klade za cíl především představit dětem netradiční logické hry, hádanky, rébusy a pracovní listy, které rozvíjejí a podporují nadání v oblasti logického myšlení. Aktivity na rozvoj logiky mohou probíhat buď na matematickém nebo verbálním základě.“14
Jihomoravské centrum pro mezinárodní mobilitu (JCMM) Tato organizace se zaměřuje na podporu nadaných dětí a studentů v různých oblastech, které by mohly přispět k celkovému rozvoji Jihomoravského kraje, jedná se především o vědu. JCMM je zájmové sdružení právnických osob, jehož součástí je i Masarykova univerzita či VUT. Zaměřují se však spíše na střední a vysoké školy než na školy základní, proto jej zmíníme jen ve zkratce. Jedním z organizovaných projektů jsou tzv. T – exkurze, jejich nabídka pokrývá především přírodní vědy. Probíhají v několika krocích: nejprve se žáci s vybraným tématem seznamují online, aby získali teoretické poznatky; při návštěvě konkrétního
13
Střediska volného času. MŠMT [online]. 2013-2016 [cit. 2016-03-04]. Dostupné z: http://www.msmt.cz/mladez/strediska-volneho-casu 14 Kroužek zábavné logiky. Centrum nadání [online]. 2016 [cit. 2016-03-04]. Dostupné z: http://www.centrumnadani.cz/krouzek-zabavne-logiky.html
14
pracoviště si mohou ověřit, jak daná teorie funguje v praxi; posledním krokem je vytvoření prezentace, která shrnuje průběh a výsledky celé T – exkurze. Pro ilustraci můžeme uvést několik uskutečněných T – exkurzí15: -
barevný svět mikroorganismů v potravinách,
-
ornitologie: sčítání vodního ptactva,
-
fotovoltaika: výroba slunečního článku,
-
morfologie ptáků a savců zblízka.
Národní ústav pro vzdělávání V souvislosti s Koncepcí podpory rozvoje nadání a péče o nadané pro období let 2014–2020 byla utvořena Skupina krajských metodiků péče o nadané – z každého ze 14 krajů byli vybráni dva specialisté na problematiku vzdělávání nadaných, kteří se potom v této skupině sdružují. Koncepce16 se zaměřuje na několik hlavních sfér: -
oblast identifikace, rozvoje a uplatnění nadání (aktivní vyhledávání nadaných dětí, podpora identifikace a dalšího vzdělávání),
-
oblast odborných kompetencí a vzájemné spolupráce aktérů,
-
oblast právních předpisů,
-
oblast zveřejňování relevantních informací, mezinárodní spolupráce a realizace výzkumů,
-
oblast monitorování a evaluace,
-
oblast koordinace.
Pedagogicko – psychologické poradny Jednou z hlavních úloh pedagogicko-psychologických poraden17 je samotná identifikace nadaného žáka, dále pomáhá s jeho dalším rozvojem prostřednictvím konzultací, sestavování individuálního vzdělávacího plánu atd. Zpravidla dá podnět k vyšetření v pedagogiko–psychologické poradně rodič, učitel či vedoucí kroužku, kam dítě dochází. Na základě výsledků vystaví poradna zprávu o případném nadání dítěte, na jejímž základě je potom vypracováván v případě potřeby individuální vzdělávací plán. 15
T–exkurze. Talnet: online k přírodním vědám [online]. 2016 [cit. 2016-03-22]. Dostupné z: http://www.talnet.cz/t-exkurze 16 Koncepce podpory rozvoje nadání a péče o nadané pro období let 2014–2020. MŠMT [online]. 2013 [cit. 2016-03-04]. Dostupné z: www.msmt.cz/file/35232_1_1/ 17 např. Pedagogicko-psychologická poradna Brno: http://www.pppbrno.cz/
15
Do poradny zasílá příslušná škola zprávy o průběhu vzdělávání nadaného dítěte a poradna jim doporučí případné změny. Pomáhá školám v případě, kdy jim není například jasný postup, přístupy k dítěti atd., tvoří tedy mimo jiné informační základnu pro učitele, ale i rodiče.
Věda nás baví Tato organizace sdružuje školy, které pro své žáky poskytují zajímavé kroužky. Jedná se o specializaci na přírodní vědy. Žáci se seznamují s teorií, která se váže k danému tématu, a poté se pokusí ji aplikovat formou jednoduchých pokusů. Důraz je přitom kladen na využití v praktickém životě, lektoři se snaží dětem ukázat, jak je možno propojit teoretické poznatky s praxí, což je pro děti důležité. Věkové rozpětí je zde opravdu široké, kroužky jsou nabízeny dětem od mateřské školy až po školu střední. Jako příklad můžeme uvést kroužky18 Věda nás baví, Hejbni mozkem, Kostky nás baví nebo School press club.
Talnet Tento projekt vznikl na matematiko-fyzikální fakultě Univerzity Karlovy v Praze a zaměřuje se především na témata z oblasti přírodních věd. Tyto kurzy probíhají online, žák má tedy možnost se ke kurzu připojit právě tehdy, kdy má zrovna čas. Po souboru šesti lekcí vypracovává žák seminární práci na téma, které si sám zvolí a poté ho před ostatními spolužáky obhajuje. Po celou dobu je žákům k dispozici instruktor, na kterého se mohou obrátit se svými dotazy, popř. pokud si chtějí blíže prokonzultovat nějaké téma, které je zaujalo. Z programů probíhajících v online T– kurzech Talnetu výběrem uvádíme19: -
antropologie,
-
matematika,
-
entomologie,
-
vybrané kapitoly z teorie relativity,
-
astro a modelování.
18
Chytré kroužky pro děti, které zajímá svět. Věda nás baví: interaktivní a zábavné kroužky pro děti [online]. 2016 [cit. 2016-03-22]. Dostupné z: http://www.vedanasbavi.cz/upload/files/GeneralFlyer_hires.jpg 19 T–kurzy. Talnet: online k přírodním vědám [online]. 2011 [cit. 2016-03-22]. Dostupné z: http://www.talnet.cz/t-kurzy
16
Rozdělení populace Pokud bychom hledali kritérium nadaného dítěte, zpravidla narazíme na pojem vysokého intelektu. Základem pro rozvoj všech typů nadání je tedy vysoká úroveň rozumových schopností. Na druhé straně, odborníci se již odvracejí od názoru, který převažoval v dřívější době, že nadání je definováno pouze jako vysoká míra inteligence. Začali se zajímat i o další oblasti, určující nadání dítěte a zhodnotili, že existuje mnoho dalších faktorů, které nadání určují – jednotlivé sféry však nepůsobí izolovaně. Výsledné nadání je tedy syntézou několika dílčích vlivů, přičemž má inteligence dominantní roli. Za nadané jedince se většinou označují lidé s IQ větším než 120-130 (v závislosti na publikaci). Právě na základě velikosti inteligence Jurášková20 rozděluje nadanou populaci podle studie F. Gagného do pěti skupin: -
mírně nadaní: IQ vyšší než 120 (10 % celkové populace),
-
středně nadaní: IQ vyšší než 135 (1 % celkové populace),
-
vysoce nadaní: IQ vyšší než 145 (0,1 % celkové populace),
-
výjimečně nadaní: IQ vyšší než 155 (0,01 % celkové populace),
-
extrémně nadaní: IQ vyšší než 164 (0,001 % celkové populace).
Jiný přístup k třídění nadání se uplatňuje v teorii S. M. Nordbyho, uvedený v knize Juráškové21, který do svého přehledu zahrnuje i bystrého jedince a zároveň posouvá hranice pro výjimečně nadaného: -
bystrý jedinec: IQ vyšší 115,
-
nadaný jedinec: IQ vyšší než 130,
-
vysoce nadaný jedinec: IQ vyšší než 145,
-
výjimečně nadaný jedinec: IQ vyšší než 160,
-
velmi vysoce nadaný jedinec: IQ vyšší než 175.
Uvedené rozdělení však postihuje pouze jedince nadané, pokud bychom se měli blíže podívat na jejich podíl na celkové populaci, můžeme k tomu využít tzv. Gaussovu křivku rozložení intelektu, které v sobě zahrnuje veškerou populaci na základě IQ (hodnoty IQ všech lidí sice nebyly změřeny, jedná se o odhad skutečnosti na základě vybraného vzorku lidí). Za hodnotu IQ, která se označuje jako průměr, tj. hodnota IQ
20
JURÁŠKOVÁ, Jana. Základy pedagogiky nadaných. 1. vyd. Praha: Institut pedagogickopsychologického poradenství ČR, 2006, s. 22. 21 Tamtéž, s. 22.
17
nejčastěji dosahovaná, bylo stanoveno IQ 100. Následující graf22 podává názorný obraz rozložení IQ v populaci:
Z grafu je na první pohled patrné, že většina populace dosahuje zmiňované hodnoty IQ 100. Více než dvě třetiny spadají do intervalu IQ od 90 do 110, což jsou hodnoty průměrně inteligentního člověka. Jak bylo zmíněno výše, za nadaného jedince bývá považována osoba, která dosáhla IQ 120-130 a vyšší. V souvislosti s inteligencí celé populace jsou tyto hodnoty považovány již jako vysoké. Dále lze z obrázku vyčíst, že pojmem nadaný jedinec je v populaci označováno přibližně 15,9 %, což není vůbec nízké číslo. Nutno však podotknout, že hodnota IQ 120 ještě nepředstavuje natolik výrazné projevy nadání. Stejně velkou část populace tvoří podle autora grafu osoby s nízkým IQ, které začíná na hodnotě 90 a směřuje níže. Jedinci s takto nízkou inteligencí jsou označováni jako mentálně slabí, jednotlivé skupiny se dále člení podle snižujícího se IQ.
22
PRAUS, Petr. Inteligence a její měření. Časopis Mensy České republiky [online]. 2008 [cit. 2016-0304]. Dostupné z: http://casopis.mensa.cz/veda/inteligence_a_jeji_mereni.html
18
Identifikace nadaných dětí Pro většinu učitelů představuje samotná identifikace nadaného dítěte největší problém, což je do značné míry determinováno tím, že učitel má ve třídě mnohdy až 30 žáků či studentů a prostor na bližší zkoumání toho, zda v lavici nesedí nadané dítě, je opravdu malý. Při rozhovoru s jednou paní učitelkou učící na 2. stupni základní školy bylo zjištěno, že je tato situace způsobená především faktem, že učitel má mnoho práce se zvládáním „neposedných“ dětí, ukazňovat je, aby nerušili svoje spolužáky, a do toho ještě musí vést výklad. Paradoxně tedy nastává situace, kdy problémové děti berou prostor dětem nadaným, kterých by si paní učitelka mohla všimnout a dále s nimi pracovat. Další z možných příčin, proč nadané dítě není často identifikováno, je skutečnost, že učitelé tyto děti vnímají jako bezproblémové jedince, kteří nepotřebují jejich pomoc, že učivo zvládnou sami. Opak je však pravdou – tyto děti jsou do značné míry závislé na učiteli a na jeho stimulaci pro další činnost. Bez jejich pomoci si ve třídě připadají často nepatřičně, většinou jim jde učení samo (není to však pravda vždy – jsou i případy, kdy nadané děti mají problémy se zvládáním látky). V poslední době se však situace začíná obracet k lepšímu – učitelé se blíže seznamují s problematikou nadaných dětí, se způsoby, jakými je lze identifikovat a dále vzdělávat. Dřívější studie se pokoušely nalézt souvislost mezi nadáním a osobnostními vlastnostmi nadaného jedince. Ukázalo se však, že nadání není určeno osobnostními rysy, což souvisí i s faktem, že nadání nabývá různých podob a každá z nich je charakterizována jinými vlastnostmi. Místo konkrétních znaků jedince bylo definováno několik obecných charakteristik nadaných dětí. V literatuře psané anglicky se pro takové výčty vlastností užívá pojmu checklist, který má podobu seznamu daných vlastností očekávaných u nadaných dětí a lze u něj rovnou „odškrtávat“ nalezené shody. Takovéto „dotazníky“ jsou k dispozici rodičům, učitelům, ale třeba i spolužákům a dalším kamarádům nadaného dítěte – důležitý je pohled ze všech stran osobnosti nadaného jedince tak, aby se vytvořil co nejcelistvější přehled – je logické, že učitel a na druhé straně spolužák bude nadaného jedince vnímat trochu jiným způsobem.
19
Je nutné si však uvědomit, že uvedené charakteristiky nadaných dětí jsou jenom informačního charakteru, slouží jako předstupeň pro další identifikaci. Dítě splňující tyto požadavky nemusí být automaticky nadané. Naopak, opravdu nadané dítě nemusí nutně naplňovat tyto vlastnosti, může se vykazovat charakteristikami zcela odlišnými, které nejsou v „soupisu“ uvedeny. Souvisí to především s velkou individualitou každého dítěte, nelze je nijak plošně roztřídit na základě nějakých kritérií do striktně vymezených skupin. Identifikace je tedy proces, který souvisí s velkou všímavostí rodičů a učitelů, nelze dát přesný návod, na základě čeho bychom mohli dítě identifikovat. Zmíněné charakteristiky však mohou být dobrým prvním krokem, zpravidla nadané děti některé z nich splňují. Dalším postupem, který by naši domněnku potvrdil, jsou testy inteligence, o kterých se budeme zmiňovat dále. Pro ilustraci uvádím část jednoho z checklistů, které ve své práci uvádí manželé Fořtíkovi23: uvedený dotazník je určený především pro rodiče. Autoři uvádějí, že pokud dítě v 80% dosáhne odpovědi 1 nebo 2, má velké předpoklady pro to, aby bylo definováno jako nadané.
Část A: Charakteristika
1
1.
Má široký slovník, vyjadřuje se jasně a plynule.
2.
Rychle myslí.
3.
Snadno si vybavuje fakta.
4.
Chce znát, jak věci fungují.
5.
Je vášnivý čtenář.
6.
Na první pohled nesouvisející fakta spojuje novým
2
3
4
a originálním způsobem. 7.
Snadno se začne nudit.
8.
Chce znát zdůvodnění „proč“ – klade otázky téměř na cokoliv.
9.
Má rádo věci pro dospělé a chce být se staršími lidmi.
10.
Je velice zvědavé.
23
FOŘTÍK, Václav. FOŘTÍKOVÁ, Jitka. Nadané dítě a rozvoj jeho schopností. 1. vyd. Praha: Portál, 2007, s. 18–19.
20
Část B: Charakteristika 1.
Ano
Ne
Začalo vaše dítě číst ještě před vstupem do školy? Pokud ano, naučilo se to samo?
2.
Hraje vaše dítě na nějaký hudební nástroj? Jestli ani, na jaký?
3.
Jakých mimoškolních aktivit se vaše dítě účastní?
4.
Jaké má vaše dítě specifické koníčky nebo zájmy?
5.
Jaké knihy v poslední době rádo četlo?
Objektivní metody identifikace Objektivní identifikace spočívá v diagnostice odborníkem, který pro stanovení nadání využívá různé testy (tento přístup je označován za objektivní z toho důvodu, že odborník nemůže nijak zohledňovat přístup k vybranému jedinci, testy jsou jasně dané a odborník je těžko může ovlivnit – zde mluvíme především o testu inteligence, tj. testu IQ). Podle manželů Fořtíkových bychom mohli rozdělit přístupy k objektivní identifikaci nadání dítěte do čtyř skupin24: 1) IQ testy Tyto testy bývají již od počátku považovány za nejprůkaznější způsob identifikace nadání, protože ačkoliv je nadání určováno mnoha faktory, tento je z nich dominantní, bez něj nelze považovat jedince za nadaného. Test inteligence provádí nezávislá společnost Mensa ČR, k testu se může přihlásit každý a pokud dosáhne hodnoty IQ 130 a vyšší, stává se (pokud bude chtít) členem Mensy ČR. Otázky se zaměřují na logiku, není třeba k němu mít teoretické znalosti. V současné době nabízí Mensa tři kategorie testování, jedná se o testy pro děti od 5 do 7 let, dále pro děti od 8 do 13 let a do třetice test od 14 let výše. 2) Standardizované testy výkonu Jak již bylo zmíněno, nadání není determinováno pouze intelektem, ale i jinými proměnnými. Proto byly zavedeny testy výkonu, které mají nejčastěji podobu testů nebo dotazníků. Jsou zaměřeny na určitou dovednost nebo schopnost 24
Tamtéž, s. 28–29.
21
jedince, kterou nelze změřit prostřednictvím IQ testu. Je nutné provést například testy pozornosti, motivace k učení nebo styl, jakým se dítě učí a získává vědomosti. 3) Didaktické testy Jedná se o testy shrnující znalosti dítěte v konkrétní oblasti – může se tak jednat například o test pro 7. třídu z českého jazyka, kterou učitel využije po skončení školního roku, popř. na začátku 8. třídy, aby bylo možno provést národní srovnání. V České republice se však s podobnými testy příliš často nesetkáme. Pokusem o podobný didaktický test se stal projekt státní maturity, jejímž cílem je, aby měl pojem maturity všeobecnou platnost, tj. aby lidé s maturitou dosáhli stejné úrovně vzdělání, ač z jiného oboru. 4) Testy kreativity Ne každé nadání lze objevit při běžném procesu školního vyučování. Nevylučuje se možnost, že je dítě nadané i přesto, že tomu známky neodpovídají (viz známý příklad geniálního fyzika Alberta Einsteina, který údajně propadal z matematiky a fyziky). Variantou, jak zjistit nadání dítěte, jsou zmiňované testy kreativity, někdy nazývané testy tvořivosti, které se mohou týkat oborů jako jsou výtvarná nebo hudební výchova.
Subjektivní metody identifikace Subjektivní přístup nelze považovat za průkazný způsob určení nadání, protože je velkou měrou ovlivněn nejbližším okolím dítěte, jednotlivé subjekty ho mohou zvýhodňovat (jedná se například o výše zmiňované checklisty vyplňované rodiči, učiteli, spolužáky atd.) – proto tento způsob slouží jako předstupeň k objektivní identifikaci. Má dozajista nespornou důležitost, protože díky němu jsou často nadaní lidé objevováni. Samotné by je nejspíš nenapadlo nechat si udělat IQ testy, popř. zajít do poradny, proto tyto metody pomáhají osobám, aby v sobě tento talent objevily. Fořtíkovi25 rozdělili tyto subjektivní přístupy do několika kategorií v závislosti na tom, kdo nadanou osobu identifikuje: 1) Nominace učitelem, skupinou učitelů Tato metoda je založena především na základě studijních výsledků, protože právě tak se učitelé o nadaném žákovi
25
Tamtéž, s. 29.
22
nejčastěji dozvídají. Bývá
upřednostňována nominace ze strany několika učitelů, protože pohled jediného může být zaujatý. Nejlepší možností je rozdání dotazníku několika učitelům, kteří učí žáka v různých předmětech – tak se dosáhne jednak nestrannosti nominace, jednak se také zjistí, zda žák není jen „zapálený“ pro jeden předmět, ale zda se dokáže orientovat dobře i v ostatních předmětech. 2) Nominace spolužáky I v tomto případě je nutné být obezřetný pro případ zaujatosti ze strany kamarádů dítěte. Metoda nominace spolužáky je metodou cennou, protože na dítě nahlíží ze zcela jiné perspektivy, než jak je to umožněno učiteli prostřednictvím školního vyučování a rodiči při výchově dítěte. Spolužáci tak mohou objevit nadání dítěte tam, kde ho rodiče ani učitelé neviděli. 3) Rodičovská nominace Na první pohled se může zdát, že tato metoda nemůže fungovat, protože rodiče budou automaticky zvýhodňovat svoje dítě, aby dosáhlo statutu „nadané“. Opak je však pravdou. Podle odborníků jsou to právě rodiče, kteří dokážou talent svého dítěte posoudit mnohem objektivněji, než učitelé. Je to dáno především tím, že učitel si všímá především studijních výsledků žáka, rodič
je však
s dítětem i v jiných situacích, které nevyžadují školní znalosti, a mohou ho tak posoudit např. i ze sociálního hlediska. Jinými slovy, rodiče mají o svém dítěti komplexnější přehled a mohou si lépe všimnout talentu. 4) Autonominace Tato metoda je založena na hodnocení sebe sama. Není to však tak, že by dítě na své nadání přišlo samo. Většinou dostane od někoho dalšího (rodič, učitel..) dotazník, kde má dítě shrnout, jak se vlastně takové nadání projevuje a zda by některé tyto vlastnosti našlo i u sebe. Pro úplnost lze zmínit ještě dvě možnosti, jak zjistit nadání dítěte, tak jak ho uvádějí opět Fořtíkovi: -
hodnocení výsledků činnosti: tímto se má na mysli hodnocení vlastní práce daného dítěte, především těch činností, které vykonávalo zcela samo, kde se mohly uplatnit jeho schopnosti a talent (jedná se například o různé školní projekty, individuální práce žáků atd.),
-
soutěže: zpravidla žáky do soutěží či olympiád nominují učitelé na základě jejich studijních výsledků, zřídkakdy dochází k samostatnému přihlášení dítěte, které se o danou oblast zajímá. Dlouhodobě byly 23
soutěže a olympiády považovány za nejlepší možný způsob péče o nadané děti, ukazuje se však, že tomu tak není – systém nebere ohledy na nadané děti, které do soutěže nejsou nominovány (třeba na základě průměrného prospěchu ve škole, i když jsou schopny vynikat jinak).
24
Vzdělávání nadaných žáků ve škole Pro nadané děti v matematice (ale nejen v ní) existují v podstatě dvě možnosti, jak mohou dále rozvíjet svůj talent. První, a podle mého názoru nejdůležitější, institucí v tomto ohledu je škola, do které žák dochází. Samozřejmě se to týká jak základních, tak i středních a vysokých škol. Pomoc nadaným touto formou by měla být tou nejzákladnější, protože školní docházka je pro děti povinná, a tím pádem učitel může organizovat vzdělávání nadaného žáka. Alternativní, tj. mimoškolní, aktivitou pro vzdělávání nadaných jsou různé matematické soutěže a instituce pečující o nadané.
Typy výuky Výuka nadaných dětí se může odehrávat podle Machů26 dvěma způsoby – jedná se formu integrace a formu segregace. Jak bychom mohli odvodit již z názvu, integrovaná forma se zaměřuje na vzdělávání dětí v běžné třídě základní školy, segregovaná forma potom vyjadřuje vzdělávání ve speciálních třídách/školách pro nadané děti. Logicky se v průběhu let vytvořily i přechodné formy. Objevují se odlišné názory na vhodnost jednotlivých variant tohoto vzdělávání. Segregované formě vzdělávání „je vytýkána izolovanost nadprůměrných žáků od jejich vrstevníků, kteří svým různorodým složením odpovídají obrazu lidské populace. Nadané děti bývají poté vyčleňovány z jejich kolektivu a i v budoucnu mohou mít potíže se zařazením do běžných společenských vztahů.“27 Na druhé straně jsou však patrné i nesporné výhody segregovaného vzdělávání, při kterých se mohou nadané děti navzájem pozitivně ovlivňovat, pomáhat si navzájem v oblastech, které jednomu žákovi jdou a druhému ne. I škola je na takové žáky lépe připravena než škola běžná – jedná se především o větší odbornost učitelů a také odlišnou strukturu výuky a skladbu vyučovaných předmětů – mluvíme zde o rozsáhlejším obsahu učiva a náročnějších úlohách. Naopak integrované vzdělávání sice splňuje požadavek společného vzdělávání dětí s odlišnými rozumovými schopnost z hlediska sociálního (tím je myšleno především to, že dítě se tak již ve třídě učí žít i s jedinci, kteří nejsou stejně nadaní jako on, což ho ostatně čeká i v následujícím životě), negativní hledisko zde zastupuje fakt, že učitelé v běžné třídě nejsou na vzdělávání nadaných dětí zatím tolik připraveni – 26
MACHŮ, Eva. Rozpoznávání a vzdělávání rozumově nadaných dětí v běžné třídě základní školy. 1. vyd. Brno: Pedagogická fakulta Masarykovy univerzity, 2006, s. 33–34. 27 Tamtéž, s. 33.
25
situace se již v průběhu let sice výrazně zlepšila, pořád se však jedná o ne zcela probádanou oblast, která učitelům při práci s nadanými dětmi působí potíže. Zpravidla je největším problémem nedostatečná odbornost učitele, jednoduše se pak ve třídě může stát, že nadaný žák zná dané učivo mnohem lépe, než pedagog, což by se rozhodně vzhledem k autoritě učitele stávat nemělo. Jak udává Vladimír Dočkal28, integrované vzdělávání se realizuje v běžné třídě, doplněné o podpůrného učitele pro nadané děti, který poskytuje možnost odborných konzultací v případě nejasností rozšiřujícího a prohlubujícího učiva, nebo v takové běžné třídě, ve které se péči o nadané děti věnuje pouze kmenový učitel. V souvislosti s nedostatečnou obeznámeností učitelů s problematikou vzdělávání nadaných dětí provedla Eva Machů průzkum, který se zaměřoval na otázky, popisující nějaký předsudek ohledně nadaných dětí. Nutno podotknout, že výzkum proběhl v roce 2003, je tedy 13 let starý a situace se již v současnosti výrazně zlepšila. Pro ilustraci však přikládám několik otázek a procentuální odpovědí učitelů, které Machů29 ve svém průzkumu zmiňuje: -
Mimořádně nadaný má velmi dobrý prospěch. – ANO 59 %
-
Intelektově nadaní musí excelovat ve všech školních akademických předmětech. Jinak nejsou nadaní. – ANO 73 %
-
Učitel zaregistruje mimořádně nadaného žáka již během prvních vyučovacích hodin. – ANO 62 %
-
Mimořádně nadaní by se neměli učit číst, psát a počítat v předškolním věku, jinak se budou ve škole nudit. – NE 61 %
-
Aby se nadaný ve třídě nenudil, dáváme mu další úkoly, až do doby, kdy je s úlohou hotova většina třídy. – ANO 88 %
V každém případě bychom si měli uvědomit, že „nic není nespravedlivějšího než jednat s nestejnými dětmi jako se stejnými a shodně je vychovávat.“30
28
DOČKAL, Vladimír. Zaměřeno na talenty aneb nadání má každý. 1. vyd. Praha: Nakladatelství Lidové noviny, 2005, s. 160. 29 MACHŮ, Eva. Rozpoznávání a vzdělávání rozumově nadaných dětí v běžné třídě základní školy. 1. vyd. Brno: Pedagogická fakulta Masarykovy univerzity, 2006, s. 35–39. 30 HAVINGEROVÁ, Jana Marie. Pět pohledů na nadání. 1. vyd. České Budějovice: Grada Publishing, 2011, s. 36.
26
Úprava obsahu výuky Jako jeden z nejdůležitějších přístupů ke vzdělávání nadaných dětí je podle Machů31 vhodná úprava obsahu výuky. Konkrétně zmiňuje dvě možnosti, jak lze k této problematice přistupovat: jedná se o akceleraci a obohacení vzdělávacího procesu. Akcelerace znamená, že je nadanému žákovi umožněno, aby ve vzdělávacím procesu postupoval rychleji, než jeho spolužáci a spíše se potom zaměřil na prohlubování poznatků a rozšiřující učivo. Z konkrétních aplikací akcelerace ve vzdělávání bychom mohli uvést „snížení opakování, vynechání příliš jednoduchých úloh či přeskočením známých částí učiva. Dítě se v takto ušetřeném čase věnuje pro něj přínosnějším činnostem.“32 Akcelerace se projevuje i v celkové struktuře vzdělávání, konkrétně Machů ve své publikaci uvádí příklady33, kde vychází z práce Gallaghera a Kirka Educating exceptional children (1989): -
předčasný vstup do školy (objevuje se však otázka, jestli je vhodné dávat dítě do školy před 6. rokem života),
-
přeskakování ročníku (např. pokud je žák ve 3. třídě a učební obsah 4. třídy by mu nepřinesl žádné nové poznatky, je zbytečné, aby dítě trávilo celý rok nevyužitím svého potenciálu, a tak je mu umožněn nástup rovnou do 5. třídy),
-
přeskakování předmětu, jehož obsah by neobohatil nijak poznatky žáka, s tím souvisí i možnost navštěvovat některé předměty společně s vyššími ročníky),
-
zhuštění ročníků (na tomto místě mluvíme o absolvování obvykle dvou ročníků během jednoho školního roku – využívá se toho např. v momentě, kdy žák sice některé poznatky z daného ročníku má, ale ne zcela, a není mu proto umožněno tento ročník přeskočit).
Druhou možností pro vzdělávání nadaných dětí je forma obohacování učiva, neboli enrichment. Jedná se o „rozšíření, prohloubení učiva nad rámec běžně aplikovaných učebních osnov. [...] Žáci nepřekračují svůj ročník, zůstávají se svými vrstevníky. Tyto programy jsou ve světě hojně rozšířeny zejména v segregovaných formách, ale mohou být uplatněny i v běžných třídách. [...] Základní podstatou 31
MACHŮ, Eva. Rozpoznávání a vzdělávání rozumově nadaných dětí v běžné třídě základní školy. 1. vyd. Brno: Pedagogická fakulta Masarykovy univerzity, 2006, s. 41–42. 32 Tamtéž, s. 41. 33 Tamtéž, s. 41.
27
obohacení je práce s úkoly na vyšší úrovni, jež mají být žákem vnímány jak odměna.“34 V žádném případě však není vhodné zadat žákovi mnoho dalších příkladů, založených na stejném principu, nebo mu říci, aby si nastudoval látku, kterou bude třída probírat později. Stejně tak nevhodný je přístup, kdy žákovi pedagog sdělí, že má volno, dokud i ostatní děti nesplní zadané úlohy a nedohoní ho. Všechny zmíněné postupy vedou jen a pouze k demotivaci žáka. Obohacení obsahu učiva pro nadané děti se může uplatňovat ve dvou podobách tak, jak je uvádí Jurášková (s. 50). Prvních z nich je realizace tohoto rozšíření v podobě doplnění obsahu výuky v běžné vyučovací hodině, druhá možnost je realizována buď v podobě samostatného předmětu, nebo výukového bloku, případně jako odpolední volnočasová aktivita dětí, která je většinou v podobě kroužků. Obě možnosti vystupují v korespondenci s uvedenými typy výuky, kdy doplnění učiva během vyučovací hodiny představuje integrovanou formu výuky; výukové bloky nebo volnočasové aktivity jsou pak příkladem segregované formy, protože se těmto blokům a kroužkům věnují pouze ty děti, které to opravdu zajímá, vyšší náročnost také způsobuje, že se spíše přihlásí děti s vyšším intelektem. Jak je uvedeno dále, „fakta a informace jsou přitom jen prostředkem, ne cílem obohacení. Nejde o to, aby se žáci naučili nové poznatky (i když to je vedlejším produktem obohacení), ale aby rozvíjeli svoji osobnost“35. Eva Vondráková36 k akceleraci a enrichmentu přidává ještě grouping, jinými slovy sdružování žáků se stejnými rozumovými schopnostmi. To v podstatě koresponduje s principem segregace nadaných dětí. Určení správného postupu rozvíjení talentu v prostředí základní školy není jednoduchým úkolem. Na první pohled by se mohlo zdát, že stačí žákům zadávat pouze nějaké obtížnější úkoly navíc, nechávat je vypracovávat nadrámcové seminární práce a tak podobně – což se ostatně objevuje ve výše zmíněném průzkumu Evy Machů jako vhodné řešení od 88 % učitelů. Měli bychom si ale uvědomit, že právě tento přístup v sobě skrývá nevědomé odrazování talentovaných. Když si tito totiž uvědomí, že jejich nadání pro ně představuje „přítěž“ v podobě úkolů navíc, raději budou úkoly vyplňovat průměrně, nebudou se příliš projevovat.
34
Tamtéž, s. 42. JURÁŠKOVÁ, Jana. Základy pedagogiky nadaných. 1. vyd. Praha: Institut pedagogickopsychologického poradenství ČR, 2006, s. 50. 36 VONDÁRKOVÁ Eva. Péče o nadané děti jako znak dobré školy. Společnost pro talent a nadání ECHA [online]. 30.11.2006 [cit. 2016-03-16]. Dostupné z: http://www.talent-nadani.cz/ 35
28
Takové úkoly by měly být zadávány pouze v případě, že se dítě samo bude o prohloubení znalostí zajímat nebo že bude z jeho chování a práce v hodině jasné, že se nudí a „obyčejné“ učebnicové příklady mu nepostačují. Možností, jak se pak k takovému problému postavit, je zadávat nadaným žákům přímo obtížnější úkol místo těch, co dělají ostatní děti. I k tomuto by se však mělo přistupovat s mírou – žák si musí nejprve zcela osvojit učivo, které je pro daný ročník základní a pro všechny společné, až poté se může věnovat speciálním úlohám. Tato fáze osvojování si učiva z učebnic pro nadané nepředstavuje většinou velký problém, je však nutno dohlédnout na to, aby tato fáze proběhla.
Vhodné přístupy ke vzdělávání nadaných dětí Nadané děti se nespokojí s takovým učebním přístupem, který je na základní škole běžný, vyžadují ve svém vzdělávání specifický přístup. Spíše než o konkrétních způsobech výuky na tomto místě akcentujeme zásady37, které by v přístupu k nadaným dětem měly být uplatňovány. − potřeba výrazné stimulace S tímto souvisí problematika volby správného typu úloh (viz níže), které by odpovídaly intelektové úrovni žáka. Je již téměř notoricky známo, že nadaní žáci špatně snášejí jakékoli učení se nazpaměť, počítání příkladů, kde je jasný postup, nebo kde je jen třeba uplatňovat naučené algoritmy. Smyslem správné stimulace je v tomto případě nabídnout žákovi takové úlohy, při kterých je nucen využívat souvislosti mezi pojmy, hledat nové cesty k řešení. Správně zvolená úloha by měla být o něco málo těžší, než odpovídá úrovni žáka – je tomu tak z toho důvodu, že takto zvolená úloha bude pro žáka dostatečně náročná, na druhé straně však existuje víceméně jistota, že žák zadání vyřeší a získává tak jeden z nejcennějších stimulů pro další práci – úspěch. − potřeba individuálního přístupu, potřeba kontaktu s vrstevníky podobného zaměření Jurášková tyto dvě potřeby chápe odděleně, my je však pro naše účely pojímáme jako potřebu jednu. Pokud jsme výše zmiňovaly odlišné typy vzdělávání nadaných dětí, jako jednu z možností jsme uvedli segregovanou formu výuky. Právě tady se tento přístup uplatňuje. V segregované formě 37
JURÁŠKOVÁ, Jana. Základy pedagogiky nadaných. 1. vyd. Praha: Institut pedagogickopsychologického poradenství ČR, 2006, s. 44.
29
vzdělávání jsou uspokojovány obě zmiňované potřeby žáka. Získává zde do značné míry individuální přístup, protože třídy jsou většinou kapacitně omezené, v souvislosti s tím se také dostává do kontaktu se „sobě rovnými“. Může vidět, že podobně nadaných dětí je více, že „v tom není sám“. Tyto děti se pak lépe snášejí v tom smyslu, že najednou nejsou těmi, kdo v běžné třídě základní školy vyčnívají. Je to velice důležité pro jejich psychiku, která je mezi dětmi s obecně vyšším intelektem mnohdy vystavena velkému stresu. Na druhé straně se pak objevuje zmiňovaný problém s pozdějším začleněním těchto dětí do běžného života, kde se budou s těmito lidmi běžně setkávat. − potřeba modifikovaného kurikula Posledním námi uvedeným přístupem je potřeba změny ve vzdělávání v tom smyslu, že dětem bude poskytován jiný typ výuky, speciálně její obsah. Týká se to především jeho rozšíření, zaměření na odlišná témata, než jakým se věnují jeho spolužáci, ale také zaměření na témata stejná s akcentem na využití úvahy, specifických přístupů k řešení problémů. Nadaní budou řešit stejné zadání, jako ostatní děti, bude však po nich vyžadováno nějaké originální řešení, případně uvedení alespoň dvou řešení daného příkladu, což má za cíl naučit žáka využívat různé přístupy k řešení problémů. Jurášková konkrétně zmiňuje požadavek pestrosti výuky, kdy podle ní „má obsah zahrnovat i témata, která nejsou součástí učiva běžných škol. Témata mají být široká, multidisciplinární a mají umožňovat jejich zkoumání z rozličných hledisek“38. Mimo obsahovou změnu je nutno se zaměřit i na určitou volnost ve vzdělávání nadaných, čímž je myšleno především volné tempo a postup jejich práce. Nadané děti ještě více než ty ostatní špatně snášejí, je-li jim něco vnucováno. Mnohem efektivněji budou pracovat, pokud budou mít pro svou práci dostatek prostoru a budou řešit ty úlohy, které jim budou připadat zajímavé. Ještě horším přístupem, než časový nátlak, je pro nadané nucení do určitého postupu. Nedovedou pracovat, pokud je učitel nutí do řešení na základě nějakého algoritmu, protože „takto by se daná úloha měla řešit“. Je to dáno už jednou z charakteristik nadaných, kteří se v řešení úloh snaží hledat nové cesty.
38
Tamtéž, s. 57.
30
Metody ve výuce nadaných žáků Jedním z nejcennějších poznatků jsou (nejen pro nadané děti) takové poznatky, které žáci získají na základě vlastní činnosti, pozorování, vnímání. Takové znalosti si potom budou pamatovat mnohem lépe než látku, kterou slyší vysvětlenou od učitele a nemají tedy motivaci toto téma zkoumat. Proto by měla výuka směřovat děti k tomu, aby co nejvíce znalostí získávaly na základě vlastního úsudku a názorů. Na této myšlence závisí rozdělení metod do tří skupin tak, jak je uvádí a specifikuje Jurášková39: − metody objevující (více objevující než vysvětlující) Tato metoda nejvíce zdůrazňuje zmiňovaný charakter výuky. Říká, že dítěti by neměly být pouze předkládány znalosti v podobě definic, pravidel a dokázaných tvrzení. Právě naopak by mělo být dané téma žákovi sděleno jako problém, který se společně s učitelem pokusí vyřešit. Problémem zde máme na mysli „takovou úlohu, na jejíž vyřešení žákům nepostačuje doposud získaný arzenál vědomostí a pravidel, ale na základě kterých si dítě utváří vlastní postup řešení“40. Měli bychom tedy předložit žákovi takovou úlohu, která je mírně nad rámec jeho dovedností – je tedy dostatečně těžká, na druhé straně ji však s odpovídající námahou dokáže vyřešit. Zajímavé je, že můžeme dítěti předložit přiměřeně obtížnou úlohu, která se běžně probírá kupříkladu o tři ročníky výš, dítě je však schopno na základě vlastního postupu vyřešit i bez znalostí, prostřednictvím kterých se pak daná úloha řeší jako rutinní. „Písemné násobení se dá naučit jednoduchou formou – ukázáním a procvičením algoritmu. Nadané děti jsou však schopné vytvářet a vymýšlet svoje postupy […]. Jestliže jim zadáme úlohy, ve kterých mají vynásobit větší čísla (ale algoritmus ještě ovládat nebudou), budou ho hledat a navrhovat samy (nejprve sčítáním, později násobením rozloženého čísla – až se přiblíží k zažívanému postupu – s tím rozdílem, že mu budou přesně rozumět (nenaučí se ho mechanicky).”41 V této souvislosti lze zmínit nejmenovaného žáka jedné základní školy, který měl problém s naučením vzorců pro výpočet. Úlohy však vždy spočítal,
39
Tamtéž, s. 60. Tamtéž, s. 60. 41 Tamtéž, s. 61. 40
31
protože si uměl buď najít cestu, jak příklad vyřešit bez vzorce, nebo si pomocí náčrtků a úvahy dokázal vzorce odvodit. Cílem objevovací metody je, aby žáci na základě svého řešení dokázali daný jev nejprve teoreticky specifikovat a následně ho zobecnit; aby sami vytvořili pravidlo, algoritmus řešení. − metody vícepodnětné Tady bychom jako jednu z možností mohli uvést požadavek, aby učitel formuloval úlohy nějak zajímavě, tak, aby vybízely k diskuzi, k přemýšlení. Jedná se například42 o využití nejednoznačných zadání, výjimek z pravidel, rébusy, hádanky, přesmyčky, hlavolamy, nutnost užití kombinace několika pravidel atp. Jako příklad můžeme uvést: Obyčejné zadání: Spočítejte, kolik je pět krát devět. Vícepodnětné zadání: Určete všechny možnosti, kterými lze při násobení dvou kladných čísel dosáhnout výsledku 45. Jak je již patrné ze zadání, obyčejné zadání vyžaduje pouze rutinní řešení, konkrétně si dítě musí vzpomenout na malou násobilku a na násobky pěti. Druhé zadání se jeví jako mnohem zajímavější, protože vyžaduje více kroků. Například uvědomění si, která čísla můžeme vůbec při násobení užít, abychom měli šanci daného výsledku dosáhnout, dále hledat správné kombinace pro násobení těchto čísel. Tato úloha již vyžaduje určitou jistotu v ovládání malé násobilky, ukazuje dítěti prostřednictvím tohoto jednoduchého příkladu, že k jednomu výsledku se můžeme dostat různými cestami. V praktické rovině dítě může tohoto poznatku použít třeba v případě, kdy bude muset rozdělit určitý počet bonbonů mezi měnící se počet dětí. − metody samostatné práce Zde nemáme na mysli akcentování samostatné činnosti jako zdroj procvičování, popř. řešení nadrámcových úloh pro ty „šikovnější“ děti. Naopak. Děti nejprve dostanou několik příkladů k samostatnému vyřešení, aby se pokusili o dobrání se výsledků vlastním postupem. Po určitém čase může učitel načrtnout několik způsobů řešení, žáci k nim uvádějí ty svoje, diskutuje se o nich, což žákům jako vedlejší produkt poskytuje přehled o jiných možnostech řešení, které může využít ve své další práci. Tím, že každý má řešit zadání
42
Tamtéž, s. 62.
32
samostatně, jsou děti odrazovány od toho, aby jen opisovaly výsledky z tabule místo vlastního přemýšlení. Samostatné práce se dá využít i pro skupinové účely – jednotliví žáci mohou řešit jim zadané dílčí části obtížného úkolu; když potom dají všichni dohromady své výsledky, mohou tuto úlohu společně vyřešit.
Školy spolupracující s Mensou ČR V souvislosti s potřebou poskytovat nadaným dětem nadrámcové příklady, které se v učebnicích spíše nevyskytují, a přistupovat ke stylu výuky jinou cestou, než je tomu v běžné třídě základní školy, začaly vznikat různé školy, které se zaměřují na vzdělávání nadaných dětí. Tyto školy, které poskytují nadstandardní možnosti v přístupu ke vzdělávání nadaných, získávají označení „školy spolupracující s Mensou“. Aby se daná škola mohla pyšnit tímto přízviskem, musí splňovat několik požadavků43: -
vytvářet podmínky pro vzdělávání nadaných dětí,
-
každé 2 roky musí škola provádět testování IQ prostřednictvím testů Mensy ČR (pro žáky není povinné),
-
každoroční účast na logické olympiádě,
-
informovat žáky o aktivitách Mensy, které by jim mohly být nápomocné při rozvoji nadání.
Z dalších aktivit44, které sice nejsou pro „školu spolupracující s Mensou“ povinné, ale doporučují se na školách zavést, jsou například: -
organizovat Klub nadaných dětí a Klub deskových her,
-
pomoci identifikovat nadané děti a vytvořit podmínky, které by vedly k jeho dalšímu rozvoji,
-
zaměřit se také na vzdělávání pedagogických pracovníků v oblasti práce s nadanými dětmi, aby byli neustále v obraze, jak k nadaným žákům přistupovat a jak utvářet učivo a program hodin tak, aby odpovídal náročnějším požadavkům, než se kterými se mohli setkat na běžné základní škole,
43
Školy spolupracující s Mensou. Mensa ČR: Pro nadané děti [online]. 2016 [cit. 2016-03-16]. Dostupné z: http://deti.mensa.cz/index.php?pg=spolupracujici-skoly 44 Tamtéž.
33
-
uskutečňovat další akce podle vlastního uvážení, které směřují k dalšímu rozvoji nadání dítěte.
Jednou z hlavních předností, které se na těchto školách uplatňují, je malý počet žáků ve třídách, který umožňuje individuálnější výuku, podporuje přístup k jednotlivci, učitel se může lépe zaměřit na každé dítě a pomáhat mu při řešení jeho specifických problémů, pomoci mu s úkoly, které pro něj
představují obtíže – jak již bylo
zmiňováno, (nadané) děti se vyznačují velkou rozličností v jejich dovednostech. Každý je nadaný jiným způsobem, úlohy, které jednomu nadanému dítěti nebudou dělat žádný problém, mohou být pro dalšího neřešitelné – právě proto je akcentována výuka ve třídách s malým počtem dětí. Školy spolupracující s Mensou tvoří jednak gymnázia, jednak základní školy. Můžeme je nalézt po celé České republice, velká koncentrace těchto škol se vyskytuje v hlavním městě Praze. Pokud bychom se podívali na některé školy v Jihomoravském kraji (zaměříme se na základní školy a odpovídající ročníky víceletých gymnázií, což koresponduje se zaměřením bakalářské práce na 2. stupeň základní školy), nacházíme zde například45: -
ZŠ a MŠ Břežany,
-
ZŠ a MŠ Didaktis s.r.o., Brno,
-
ZŠ Horácké náměstí, Brno,
-
ZŠ JuDr. Josefa Mareše, Znojmo,
-
ZŠ Křídlovická, Brno,
-
ZŠ Mládeže, Znojmo,
-
ZŠ Sirotkova, Brno,
-
ZŠ Úvoz, Brno,
-
Gymnázium Velké Pavlovice,
-
Purkyňovo gymnázium, Strážnice,
-
Gymnázium Matyáše Lercha, Brno.
Mensa gymnázium Specifické postavení mezi školami zaměřující se na nadané děti má Mensa gymnázium. Jedná se o osmileté gymnázium, vzdělává tedy žáky od 6. třídy základní školy až po 4. ročník střední školy.
45
Tamtéž.
34
Jak již plyne z názvu gymnázia, jeho zřizovatelem je Mensa ČR. Aby mohlo být dítě přijato na tuto školu, musí absolvovat IQ testy, u kterých musí dosáhnout hodnoty alespoň 130, což je obecně hodnota, počínaje kterou je dítě považováno za nadané. Je to jediná škola v České republice, které se věnuje výhradně práci s nadanými dětmi. „Studentům je od prvního ročníku umožněna vysoká profilace pomocí volitelných předmětů (škola jich nabízí každý rok okolo 70) a ročníkových a seminárních prací. Výuka některých předmětů (matematiky, cizích jazyků, volitelných seminářů) probíhá ve smíšených skupinách podle vyspělosti studentů tak, aby student vždy pracoval ve skupině, jejíž tempo a úroveň nejlépe odpovídá jeho schopnostem.“46 Ze zmíněných volitelných předmětů47 bychom mohli zmínit různé rozšiřující semináře k povinným předmětům (matematika, fyzika, angličtina atd.), potom i nabídku specifických předmětů, jako jsou například fyzikální experimenty, stres a zátěžové situace, památky Prahy, moderní dějiny, aplikovaná etika, seminář z latiny atd. V rámci ŠVP48 se můžeme dočíst, že škola si je vědoma odlišností v nadání dětí, které se může projevovat i tak, že dítě je nadáno výrazně pro jednu oblast, což má za následek buď nezájem o ostatní předměty nebo jejich nezvládání. Mezi způsoby, jak škola přistupuje k individualitě žáků, patří především: -
dělení předmětů na pokročilejší a méně pokročilé skupiny (uplatňuje se v ročnících, kde je více než jedna třída a dále u těch předmětů, jejich charakter to vyžaduje, jedná se především o matematiku a cizí jazyky),
-
věkově smíšené skupiny (například u volitelných předmětů jsou ve třídě žáci různých věkových skupin, rozhodující je pouze úroveň jejich znalostí z daného předmětu),
-
individuální přeřazení do vyššího ročníku (je zřejmé, že mentální vyspělost dítěte ne vždy odpovídá jeho fyzickému věku – na to škola reaguje tím způsobem, že takového žáka přeřadí do vyššího ročníku, aby zbytečně neplýtval svým časem pobytem v nižší třídě, kde se věnuje pozornost učivu, které daný jedinec již ovládá – souvisí to s filozofií školy, která se snaží ke všem žákům přistupovat individuálně a zaměřit se na co nejefektivnější nakládání s jejich nadáním),
46
Mensa gymnázium, o.p.s.. Mensa ČR: Pro nadané děti [online]. 2016 [cit. 2016-03-16]. Dostupné z: http://deti.mensa.cz/index.php?pg=spolupracujici-skoly 47 Volitelné předměty ŠR 2015/16 – příloha ŠVP. Mensa gymnázium, o.p.s. [online]. 2015 [cit. 2016-0316]. Dostupné z: http://www.mensagymnazium.cz/pdf/volitelne-predmety-15-16-priloha-svp.pdf 48 Vzdělávací program Mensa gymnázia, o.p.s.. Mensa gymnázium, o.p.s. [online]. 2.9.2013 [cit. 2016-0316]. Dostupné z: http://www.mensagymnazium.cz/pdf/SVP-nizsi_stupen-od_primy_2013-2014.pdf
35
-
diferencování náročnosti zadávaných úloh (učitel nezadává všem žákům tytéž úlohy, ale snaží se pro každého žáka vybírat takové, které nejlépe odpovídají úrovni jeho znalostí – zbytečně jednoduché úlohy by žáky demotivovaly stejně tak jako úlohy příliš náročné, na které žák zatím se svými schopnostmi nestačí).
Typy úloh Členění zadávaných úloh může být prováděno podle různých kritérií. Pro tuto práci bylo zvoleno hledisko jejich náročnosti pro žáka, které nejlépe koresponduje s obsahem bakalářské práce. Toto členění uvádí Jaromír Šimša49, který vycházel z dělení podle Františka Kuřiny a jeho knihy Matematika a řešení úloh z roku 2011. Na tomto základě lze úlohy rozdělit podle náročnosti do tří skupin: -
cvičení (nejzákladnější úlohy zaměřující se na uplatnění jednoho algoritmu, zpravidla se jedná o dosazení do vzorce, jinými slovy lze tyto typy úloh nazvat jako úlohy mechanické, nevyžadující téměř žádné logické uvažování),
-
úlohy v užším slova smyslu (opět se jedná o aplikaci jednoduchých algoritmů, kterých je zapotřebí sice více, opět se ale nejedná o hledání nového, originálního způsobu řešení úloh, ale o mechanické užití několika vzorců a postupů),
-
problémy („Matematickým problémem rozumíme matematickou úlohu, k jejímuž řešení nestačí pouze naučené početní algoritmy a myšlenkové stereotypy, ale je třeba též určitá míra matematické tvořivosti. Každou problémovou situaci je nutno analyzovat, zvážit všechny možnosti, určit a zdůvodnit jednotlivé postupy řešení problémů.“50 Je tedy kladen důraz na hledání nové, neobvyklé cesty k řešení, žák pracuje s naučenými poznatky, musí je však aplikovat originálním způsobem, v těchto cvičeních je akcentováno především logické myšlení a úvahy).
49
ŠIMŠA, Jaromír. Motivační role nestandartních matematických úloh. In NOVOTNÁ, Jiřina (ed.). Motivace nadaných žáků a studentů v matematice a přírodních vědách. 1. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 2012, s.117. 50 BERÁNEK, Jaroslav. Problémové vyučování v matematice – goniometrické funkce a geometrická představivost. In NOVOTNÁ, Jiřina (ed.). Motivace nadaných žáků a studentů v matematice a přírodních vědách. Brno: Masarykova univerzita, 2012, s. 128.
36
Jak je již asi zřejmé, do centra pozornosti se při vzdělávání nadaných žáků a studentů dostávají především úlohy třetího typu. Zpravidla je najdeme (pokud vůbec) v učebnicích pod označením „náročnější, netypické, zajímavé, s hvězdičkou, nerutinní, obtížnější, nealgoritmické, netradiční, nestandardní“51. Jak dále Šimša uvádí, tento typ úloh je pro vzdělávání nadaných dětí důležitým prostředkem k prohlubování jejich dovedností, přináší jim mimo jiné52: -
Zvyšuje v jejich myslích atraktivitu matematiky.
-
Rozvíjí jejich dovednost symbolických výpočtů.
-
Tříbí jejich uvažování při hledání možných postupů řešení.
-
Učí je vyjadřovat a zapisovat vlastní matematické myšlenky.
-
Rozvíjí jejich kombinační schopnosti.
-
Prohlubuje jejich znalosti o základních matematických strukturách.
Řešení těchto neobvyklých úloh má mimo jiné ještě jednu důležitou vlastnost, jak ji uvádí Beránek: „Znalosti, na které studenti sami přijdou vlastní aktivní činností, mají trvalý charakter. Současně při objevení vlastní hypotézy s jejím následným důkazem pociťují radost z úspěchu a jsou motivováni k hledání a řešení problémů podobných.“53 Radost z vlastní dovednosti dokáže být pro každé dítě tím nejlepším stimulem pro další činnost. To je také jeden z důvodů, proč musíme správně zvolit náročnost zadávané úlohy – pokud žákovi zadáme úlohu, kterou není (se svými dosavadním zkušenostmi) schopen vyřešit, zcela jistě ho odradíme od dalšího snažení. Stejně tak tomu bude i s jednoduchými příklady – žák zkusí jeden, dva vyřešit, zjistí, že k jeho vyřešení nepotřebuje žádnou zvláštní námahu, ani tvůrčí myšlení, a proto ho podobná zadání velice brzy omrzí, bude je vnímat pod svou úroveň. Cílem pedagoga by tedy měla být snaha o nalezení té správné úrovně náročnosti, což je však v případě silně různorodé třídy na základní škole dosti náročným úkolem. Jako jeden z přístupů se nabízí možnost, že učitel může zadávat vytipovaným (šikovnějším) žákům rovnou náročnější zadání, aniž by tito museli řešit „cvičebnicové“ příklady společně se svými spolužáky. Pokud zjistí, že žák již tuto náročnost příkladů
51
ŠIMŠA, Jaromír. Motivační role nestandartních matematických úloh. In NOVOTNÁ, Jiřina (ed.). Motivace nadaných žáků a studentů v matematice a přírodních vědách. 1. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 2012, s. 117 52 Tamtéž, s.118. 53 BERÁNEK, Jaroslav. Problémové vyučování v matematice – goniometrické funkce a geometrická představivost. In NOVOTNÁ, Jiřina (ed.). Motivace nadaných žáků a studentů v matematice a přírodních vědách. Brno: Masarykova univerzita, 2012, s. 128.
37
zvládá, nemusí se již vracet k předchozím (jednodušším) zadáním a rovnou může pokračovat k zajímavějším úlohám. Ideálním místem, kde se žáci mohou setkávat s výše zmiňovanými náročnějšími příklady, jsou různé matematické soutěže. Ve školním vyučování se pozornost obtížnějším příkladům většinou nevěnuje, učitel se snaží během vyučovací hodiny zvládnout alespoň základ z probírané tematiky, typy příkladů většinou uzpůsobí tak, aby je zvládli všichni žáci ve třídě. Náročnější úlohy jsou řešeny jen nárazově, často jsou zadány dětem pro zajímavost k domácími vypracování, které si k podobné úloze dobrovolně, bez stimulu, jen zřídkakdy sednou. Matematické soutěže, jako jsou třeba Matematická olympiáda, Matematický klokan nebo Pythagoriáda, jsou tak dobrou příležitostí, kde si mohou nadané děti vyzkoušet příklady, se kterými se ve školách setkávají nedostatečně. V následujících kapitolách se proto zaměříme jednak na přehled matematických soutěží a ukázkové příklady, které se v nich vyskytují, jednak se budeme věnovat i jednoduchému přehledu několika vybraných učebnic matematiky, ve kterých se pokusíme najít, jestli obsahují podobné náročnější příklady, které byly zmiňovány výše.
38
Náročnější úlohy v učebnicích matematiky V předchozí kapitole „Matematické soutěže“ jsme poukázali na možnosti, kde se může nadaný žák setkat s obtížnějšími, nadstandardními příklady. Soutěže by však neměly být jediným místem, kde si žák může vyzkoušet řešení obtížnějších úloh. To, že mu budou podobně náročnější zadání poskytována i v procesu školního vyučování, by mělo být samozřejmostí. Učitel matematiky by se měl v této oblasti angažovat jako ten, který bude nadanému dítěti vhodné příklady vyhledávat a poskytovat. V současných učebnicích matematiky pro základní školu se s příklady určenými pro nadané děti nesetkáme, rozhodující role tedy zůstává na kantorovi. Co se učebnic týče, některé typy náročnějších příkladů bychom v nich mohli najít většinou pod označením „příklady s hvězdičkou, obtížné příklady, k zamyšlení, pro chytré hlavy“ a tak podobně. V této kapitole se zaměříme pouze na ty učebnice, které podobné příklady obsahují a blíže se podíváme na jejich typ. Učebnice, které obtížnější úlohy vůbec neobsahují, budeme opomíjet. Pro přehlednost a ucelenost jsme pro naše účely vybrali učebnice matematiky pro 7. ročník základních škol, aby bylo možno náročnost sledovat i z hlediska věku dítěte.
Aritmetika: učebnice pro 7. ročník První ze zvolených učebnice je Aritmetika: učebnice pro 7. ročník54 schválená Ministerstvem školství, mládeže a tělovýchovy ČR. V této učebnici autoři pro označeních náročnějších zadání zvolili symbol „* - obtížný příklad“. Takto označené úlohy většinou vyžadují náročnější logické úvahy, žák si nevystačí s rutinním postupem, musí sám hledat možné způsoby řešení. Tento typ příkladů však spíše než v této učebnici najdeme v pracovním sešitě55, který k ní patří. Většinou je příslušná sada otázek tvořena pěti příklady, přičemž poslední z nich je „hvězdičkovým“ příkladem – jako motivaci pro jeho řešení za něj žáci dostávají jeden bonusový bod. Složité na těchto příkladech je, že dítě musí pro získání výsledku uplatnit několik za sebou logicky jdoucích kroků, musí od začátku vědět, které hodnoty
54
ROSECKÁ, Zdena. ČUHAJOVÁ, Vladimíra. Aritmetika: učebnice pro 7. ročník. 1. vyd. Brno: Nová škola, 1998. 86 s. ISBN 80-85607-74-3. 55 ROSECKÁ, Zdena. Aritmetika 7: pracovní sešit: přímá a nepřímá úměrnost, trojčlenka, slovní úlohy. 1. vyd. Brno: Nová škola, 1998. 40 s. ISBN 80-85607-80-8.
39
si ze zadání musí dopočítat, aby se dostalo ke kýženému výsledku. K typickým příkladům tohoto druhu můžeme zařadit: -
Pekař uplete 450 housek za 1 hodinu. Moderní stroj pracuje 20krát rychleji. Kolik housek uplete moderní stroj za jednu hodinu, kolik za 3,5 hodiny? (s. 2)
-
Hodiny se zpožďují za 3 hodiny o ½ minuty. Kolik budou ukazovat ve 24 hodin, jestliže byly nařízeny v 6 hodin ráno? (s. 3)
-
Nádoba s vodou má hmotnost 6,5 kg. Po odlití třetiny objemu vody z nádoby váží nádoba s vodou 4,5 kg. Urči hmotnost prázdné nádoby. (s. 8)
Matematika 7 pro základní školy – aritmetika Tato učebnice56 je zpracována v souladu s Rámcovým vzdělávacím plánem pro základní vzdělávání, jak se pyšní na přebalu. I tady se setkáváme s označením „*“, které symbolizuje náročnější úlohy. V jedné z kapitol můžeme zmínit příklady věnující se racionálním číslům. Zde bychom našli zadání, jako jsou třeba tato:
-
Zapište záporné zlomky jako desetinná čísla s přesností na miliontiny: (s. 74) −1 3
-
−5 6
− 19 6
Zapište záporné zlomky jako periodická čísla: (s. 74) −2 3
−5 9
− 22 15
Kapitola věnovaná přímé a nepřímé úměrnosti obsahuje typy příkladů, kde je typické zadání57 obohaceno nějakou okolností, která vyžaduje spojení několika kroků, abychom dosáhli správného výsledku. Žák tedy musí znát postup pro použití přímé a nepřímé úměrnosti, musí si však dát pozor, že tento krok není tím posledním.
-
Čtyři dělníci položí podlahu tělocvičny za šest hodin. Po hodině společné práce odešel jeden z dělníků k lékaři. Za jak dlouho dokončí práci zbývající tři dělníci? (s. 112)
56
PŮLPÁN, Zdeněk. ČIHÁK, Michal. MÜLLEROVÁ, Šárka. Matematika 7 pro základní školy. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, a.s., 2008. 152 s. ISBN 978-80-7235-398-9. 57 např. Dvě ženy nanosí vodu ze studny do nádoby za 4 hodiny, jak dlouho bude tato činnost trvat jedné ženě? apod.
40
-
Dva brigádníci očešou jablka z 15 jabloní za 5 hodin a 20 minut. Po dvou hodinách jim přišli pomoci další tři brigádníci. Za jak dlouho byla očesána jablka z těchto 15 stromů? (s. 112)
-
Petr často navštěvuje babičku. Jde-li rychlostí 4 km/h, dojde k babičce za 25 minut. Dnes vyšel v 15 hodin a 10 minut. Po deseti minutách chůze potkal kamaráda, se kterým si povídal 5 minut. o V kolik hodin dorazil k babičce, jestliže zbytek cesty šel rychlostí 6 km/h? o Jakou rychlostí by musel jít zbytek cesty, aby k babičce došel v 15 hodin a 45 minut? (s. 112)
Jak můžeme z ilustrovaných zadání vidět, jednoduchý algoritmický postup je komplikován skutečností, že v průběhu zadané činnosti došlo k nějaké změně. Žák si tedy musí uvědomit, že je příklad potřeba rozdělit na několik částí, spočítat dílčí výsledky, které je ještě v závislosti na zadání například potřeba sečíst nebo s nimi provést jinou operaci. Jednou z velmi problémových oblastí pro děti na základní škole jsou procenta. Jako náročnější typ zadání příkladů o procentech můžeme uvést pro ilustraci následující:
-
Plastový obal 1,5 l láhve minerální vody má hmotnost 37 g. Kolik procent z celkové hmotnosti naplněné lahve to je? Kolik litrů minerální vody bychom museli vypít, abychom získali 1 kg prázdných plastových obalů? (Předpokládáme, že 1 litr této vody má hmotnost přibližně 1 kg.) (s. 126)
-
Jestliže stranu čtverce zvětšíme o 40 %, o kolik procent se zvětší jeho obsah? Návod: Řešení nezávisí na konkrétní délce strany čtverce, proto můžete její délku volit libovolně. (s. 128)
Geometrie pro 7. ročník Pro zajímavost jsme pro naše účely hledání nadrámcových příkladů v učebnicích matematiky zvolili učebnici geometrie58. V této publikaci se setkáváme s trojím typem značení hledaných úloh – jedná se o hvězdičku, symbolizující obtížnější příklad nebo rozšiřující učivo. Symbol dýně, který je pojmenován jako rébus a učí děti myslet a 58
ROSECKÁ, Zdena. Geometrie: učebnice pro 7. ročník. 1. vyd. Brno: Nová škola, 1998. 86 s. ISBN 8085607-75-1.
41
nalézat a využívat různé vědomosti o úhlech. Do třetice je to potom symbol velkého Ú, který zastupuje úvahy nad problémy někdy spojené s důkazy, popř. geometrické lahůdky, jak autorka vtipně podotýká. Uvedeme si od každého typu jeden příklad.
Hvězdička: Vypočítej obsah pozemku, jehož rozměry jsou na plánu uvedeny v metrech (s. 47).
Dýně: V úlohách máš vypočítat, jak velké jsou úhly EAC, BAD, BDA, ADX. (upraveno, s. 25)
42
Ú: Z trojúhelníkové desky o straně 60 cm a příslušné výšce 48 cm jsme vyřízli trojúhelník, který má stranu a k ní příslušnou výšku 3krát menší. Jakou část z původní desky jsme vyřízli? (s. 59)
Sbírka úloh z matematiky pro 7. a 8. ročník základních škol Jako poslední publikaci si uvedeme sbírku matematických úloh59 určenou pro 7. a 8. ročník základní školy. Zde bychom mohli nalézt příklady se symbolem ∆, zaměřující se na různé typy úloh o posloupnosti, a symbol □, označující příklady s nějakou specifickou algebraickou operací, kde se žák musí naučit nějakou novou „operaci“ a aplikovat ji na zadání. Oba typy si v krátkosti opět nastíníme: Úloha s ∆60: V matematice je velmi známá tzv. Fibonacciho posloupnost: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... a) Uhodnete, jak vznikají členy této posloupnosti počínaje jejím 3. členem? b) Určete 13. člen Fibonacciho posloupnosti. Úloha s □61: Podivné sčítání. Dvě čísla „sečteme“ podle vzorce x ⊕ y = x + 2y, např. 3 ⊕ 4 = 3 + 2 ⋅ 4 = 11. a) Vypočítejte 3 ⊕ 5 -1 ⊕ 8
4 ⊕ (3 ⊕ 6)
(-2 ⊕ 1) ⊕ 4
(7 ⊕ 0) ⊕ (-3 ⊕ -2)
b) Ukažte, že pro tuto operaci nemusí platit a ⊕ b = b ⊕ a ... komutativnost, ani (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c) ... asociativnost.
59
HOUSKA, Jan. Sbírka úloh z matematiky pro 7. a 8. ročník základních škol. Praha: Fortuna, 1994. 243 s. ISBN 80-7168-131-8. 60 Tamtéž, s. 86. 61 Tamtéž, s. 106.
43
Shrnutí výskytu náročnějších úloh v učebnicích matematiky Po bližším prozkoumání vybraných učebnice matematiky lze konstatovat, že v nich sice úlohy obtížnější charakteru můžeme nalézt, přesto však většinou dostatečně nevyhovují požadavkům nadaného dítěte. Nelze to samozřejmě tvrdit plošně, protože jsme jako příklad vybrali jen velice malý vzorek čtyř učebnic. Přesto si však dovolujeme tvrdit, že podobná situace bude i v dalších publikacích. Mnohá zde uvedená složitější zadání po dítěti většinou nevyžadují žádný originální postup, autoři se spíše zaměřují na ztížení zadání v tom smyslu, že do něj vpraví nějakou okolnost, která požaduje individuální přístup k danému příkladu. Přesto je však tyto úlohy schopno dítě zvládnout užitím algoritmu, jen si musí promyslet, jak v příkladě postupovat, příp. na jaké kroky je nutno si výpočet rozdělit a podobně. Nelze tedy říci, že by tento typ náročnějších příkladů v učebnicích byl dostatečným pro nadané děti. Důležitou roli zde proto hraje učitel matematiky, který by měl pro takto nadané dítě sám vyhledávat odpovídající příklady – dítě jednak nemá dostatek zkušeností, aby si vhodná zadání hledalo samo, jednak by to ve většině případů neudělalo. Role učitele v této části vzdělávacího procesu nadaného žáka má tedy nespornou důležitost. Nejlepším řešením pro nadané děti by bylo vydání takové publikace/učebnice s příklady, která by jejich náročnosti vyhovovala. Takovou knihu by pedagogové mohli využívat velmi dobře v procesu školního vyučování, kdy by v nich pro žáka vyhledali příklady vztahující se k probírané tematice a, jak jsme již zmiňovali, mohli by nadaní řešit rovnou tyto úlohy místo těch učebnicových, kterým by se věnovali jejich spolužáci. Opět na tomto místě podotýkáme, že i zde by role učitele byla velice důležitá – souvisí to s rozmanitostí nadání žáků, každému z nich bude vyhovovat jiný typ rozšiřujících příkladů.
44
Matematické soutěže Pro chytré děti v matematice jsou každoročně pořádány nejrůznější soutěže, které slouží jako doplňková činnost ke školnímu vyučování. Její první kola se odehrávají sice na půdě školy, ta však není jejím vyhlašovatelem. Matematické soutěže představují dobrou příležitost, aby se dítě porovnalo s ostatními šikovnými dětmi z jiných škol a zjistilo tak, jestli nevyniká pouze v rámci svojí třídy, ale jestli by uspělo i mezi náročnější konkurencí. Tyto soutěže také představují místo, kde se chytré (nadané) dítě může setkat se sobě rovnými a uvědomit si, že podobných dětí je mnohem víc. Na druhé straně matematické soutěže omezují děti v tom smyslu, že často mají nezdravé sebevědomí získané právě docházkou do běžného ročníku základní školy, kde většinou výrazně vynikají. Soutěže vznikají i s tím úmyslem, aby přivedli nejen nadané, ale i ostatní žáky k matematice, aby ji přestali vnímat jako svého nepřítele, aby se jim zalíbila. Autoři se snaží vymýšlet originální zadání příkladů, kterých je v učebnicích nedostatek, a oslovit tímto žáky. Většina soutěží je vyhlašována ve spolupráci s MŠMT, kde jsou soutěže rozděleny62 do kategorií A (kde MŠMT je jediným vyhlašovatelem a zároveň jako jediné tyto soutěže financuje) a B (ty vyhlašuje MŠMT společně s dalšími vyhlašovateli, kteří se na financování soutěže podílejí). Třetím typem soutěží jsou soutěže typu C, na kterých se MŠMT finančně nepodílí. Protože cílem této práce není vytvoření „cvičebnice“ příkladů pro nadané žáky, ale jen poskytnout přehled o typech zadávaných úloh, nepovažujeme za nutné uvádět ani výsledky, ani postup řešení. Tyto nechť si čtenář v případě zájmu vyhledá na uvedených webových stránkách jednotlivých soutěží.
Matematická olympiáda (kategorie A) Vyhlašovatelem matematické olympiády je Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy (MŠMT), odborné zajištění spadá do působnosti Matematického ústavu Akademie věd ČR, na ústřední úrovni ho zajišťuje Jednota českých matematiků a fyziků. Ve školním roce 2015/2016 je vyhlášen již její 65. ročník. 62
Vyhlášení soutěží a přehlídek ve školním roce 2015/2016. Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy [online]. 2015 [cit. 2016-03-14]. Dostupné z: http://www.msmt.cz/mladez/vyhlaseni-soutezia-prehlidek-ve-skolnim-roce-2015-2016
45
Je určena pro základní i střední školy, jednotlivé ročníky jsou potom zařazeny do specifických kategorií. Na úrovni základní školy jsou to kategorie Z5, Z6, Z7, Z8 a Z9, číselné označení se vždy vztahuje k danému ročníku na ZŠ a odpovídajícímu ročníku na víceletých gymnáziích. Všechny kategorie mají školní a okresní kolo, kategorie Z9 je rozšířena ještě o kolo krajské. Ve vyšších ročnících gymnázia mají studenti možnost soutěžit i v kole ústředním, které je určeno pro úspěšné studenty krajských kol z celé České republiky. Vítězové z jednotlivých států potom mohou postoupit ve vyšších kategoriích až do mezinárodního kola. Matematická olympiáda je nejstarší z podobných oborových soutěží, dále na ni navázaly například fyzikální nebo chemické olympiády. Jejím smyslem je odhalování talentovaných dětí v matematice a na základě jejich úspěchů další péče o jejich vzdělávání. Úlohy nejsou typickými příklady ze školního vyučování, naopak se snaží nabyté vědomosti uplatňovat zcela jiným způsobem – ověřují, zda žáci rozumí naučeným poznatkům natolik, aby je byli schopni použít i v jiném kontextu. Typické je, že nestačí uvést pouze správný výsledek, ale soutěžící jsou povinní uvést slovně také postup, který při řešení použili – klade se tak důraz i na schopnost odůvodnění postupu, kterým dítě dospěje k výsledku. Soutěž začíná u školního kola, které řeší žáci doma. Dostanou zadání celkem šesti úloh, kdy úspěšným řešitelem je ten žák, který vyřeší alespoň čtyři úlohy. Odpovědi opravuje učitel matematiky, který s žákem může probrat postup, navrhnout jiné přístupy v řešení. Na základě správně vyřešeného školního kola přihlásí učitel daného žáka do okresního kola. V okresním kole, které se koná zpravidla v okresní městě se řeší několik úloh ve vymezeném časovém intervalu: řešitelé -
Z5 dostanou tři úlohy, které řeší 90 minut,
-
Z6, Z7 a Z8 dostanou tři úlohy, které řeší dvě hodiny,
-
Z9 dostanou čtyři úlohy, které řeší čtyři hodiny.
Za úspěšné řešitele se považují žáci, kteří dosáhnou alespoň poloviny možných bodů. Nejlepší z nich potom postupují dále do krajského kola, které probíhá podobně jako kolo okresní. Skladba úloh v každé kategorii zahrnuje příklady nejrůznějšího typu, proto v případě bližšího zájmu nechť čtenář nahlédne na stránky matematické olympiády. Pro 46
ilustraci uvedeme po jednom příkladu z jednotlivých kategorií matematické olympiády ze školního roku 2014/201563:
Kategorie Z5: Na obrázku je čtverec rozdělený na 25 čtverečků. Vybarvěte čtverečky pěti barvami tak, aby platilo: -
každý čtvereček je vybarven jednou barvou,
-
v žádném řádku ani v sloupci nejsou dva čtverečky stejné barvy,
-
na žádné z obou úhlopříček nejsou dva čtverečky stejné barvy,
-
žádné dva stejně barevné čtverečky se nedotýkají stranou ani vrcholem. (M. Petrová)
Kategorie Z6: Katka, Barča a Adélka se dohadovaly, které dvojmístné číslo je nejkrásnější. Katka říkala, že to je to její, protože je dělitelné čtyřmi, a když ho napíše pozpátku, dostane jiné dvojmístné číslo, které je také dělitelné čtyřmi. Barča tvrdila, že je to určitě to její, protože jedna z jeho číslic je násobkem druhé. Adélka o svém oblíbeném čísle prozradila, že jej lze rozložit na součin čtyř prvočísel. Nakonec kamarádky zjistily, že mluví všechny o témž čísle. Určete, které číslo to bylo. (L. Dedková)
Kategorie Z7: Na starém hradě bydlí drak a vězní tam princeznu. Honza šel princeznu osvobodit, na hradě objevil troje vrata s následujícími nápisy. I.
„Sluj za vraty III je prázdná.“
63
64. ročník. Matematická olympiáda [online]. 2015 [cit. 2016-03-22]. Dostupné z: http://mo.webcentrum.muni.cz/cs/olympiada-pro-zakladni-skoly/64-rocnik-14-15
47
II.
„Princezna je v prostoru za vraty I.“
III.
„Pozor! Drak je ve sluji za vraty II.“
Dobrá víla Honzovi poradila, že na vratech, za kterými je princezna, je nápis pravdivý, u draka nepravdivý a na vratech prázdné sluje může být napsána pravda i lež. Honza má na osvobození princezny pouze jeden pokus. Která vrata má otevřít? (M. Volfová)
Kategorie Z8: V lichoběžníku KLMN platí, že -
strany KL a MN jsou rovnoběžné,
-
úsečky KL a KM jsou shodné,
-
úsečky KN, NM a ML jsou navzájem shodné.
Určete velikost úhlu KNM. (L. Hozová)
Kategorie Z9: Milena nasbírala do košíku poslední spadlé ořechy a zavolala na partu kluků, ať se o ně podělí. Dala si ale podmínku: První si vezme 1 ořech a desetinu zbytku, druhý si vezme 2 ořechy a desetinu nového zbytku, třetí si vezme 3 ořechy a desetinu dalšího zbytku a tak dále. Takto se podařilo rozebrat všechny ořechy a přitom každý dostal stejně. Určete, kolik Milena nasbírala ořechů a kolik se o ně dělilo chlapců. (M. Volfová)
Matematický klokan (kategorie A) „Mezinárodní soutěž Matematický klokan vznikla přibližně v roce 1980 v Austrálii a od roku 1991 se rozšířila do zemí Evropy. Dnes se již této soutěže účastní na dva a tři čtvrtě milionu soutěžících ze 30 zemí našeho kontinentu sdružených v asociaci Klokan bez hranic, jejíž koordinační centrum je v Paříži.“64 Poprvé se matematický klokan pořádal v České republice v roce 1995, ve školním roce 2015/2016 probíhá jíž 22. ročník této matematické soutěže ve více než 60 zemích. 64
Informace o soutěži. Matematický z: http://matematickyklokan.net/info.php
klokan [online].
48
2004
[cit.
2016-03-04].
Dostupné
V posledním roce, o kterém již existují souhrnné statistiky, tedy v roce 2015, se soutěže celosvětově zúčastnilo přes 7 milionů soutěžících, v České republice to bylo 357 756 účastníků. Je rozdělena do celkem 6 kategorií, které odpovídají jednotlivým ročníkům základní a střední školy a odpovídajícím ročníkům na víceletém gymnáziu. Pro základní školy jsou určeny tato kategorie: -
Cvrček: 2. a 3. ročník
-
Klokánek: 4. a 5. ročník
-
Benjamín: 6. a 7. ročník
-
Kadet: 8. a 9. ročník
Otázky jsou rozděleny do tří částí, které se liší svou náročností – v závislosti na tom za ně žáci získávají 3, 4 nebo 5 bodů. Zároveň pokud však odpoví špatně, jeden bod se jim strhává – je to tak především proto, aby se předešlo tipování. Otázky jsou totiž uzavřené, každé obsahuje možnosti A – E, přičemž vždy jen jedna odpověď je správná. Žáci kategorie Cvrček dostávají 18 úloh, které řeší v časovém intervalu 60 minut, ostatní kategorie ZŠ mají 24 úloh, které řeší ve stejném čase. Aby se neobjevovaly záporné výsledky, je na začátku žákovi přiděleno 18 bodů (v kategorii Cvrček) nebo 24 bodů (v kategoriích Klokánek, Benjamín a Kadet). Celkové výsledky posledního 21. ročníku jsou shrnuty ve sborníku65, který vydává Univerzita Palackého v Olomouci: -
Cvrček: 102 346 účastníků 79 žáků dosáhlo plného počtu (90 bodů) průměrně: 40,7 bodu
-
Klokánek: 96 763 účastníků 2 žáci dosáhli plného počtu (120 bodů) průměrně: 48,2 bodu
-
Benjamín: 71 120 účastníků 18 žáků dosáhlo plného počtu (120 bodů) průměrně 43,2 bodu
65
DVOŘÁK, Zdeněk. KREISELOVÁ, Jana. Matematický klokan 2015. 1. vyd. Olomouc: Univerzita Palackého, 2015, s. 7.
49
-
Kadet: 64 074 účastníků 0 žáků dosáhlo plného počtu průměrně 38,4 bodu
V následujícím přehledu uvedeme několik příkladů ze školního roku 2014/2015 ze všech kategoriích vztahujících se k 2. stupni na základní škole66:
Benjamín 3 body: Kolik váží Dita?
(A) 2 kg
(B) 3 kg
(C) 4 kg
(D) 5 kg
(E) 6 kg
4 body: Anička si každý den zapisuje datum. Ze zapsaných čísel si dělá „ciferný součet“ dle následujícího vzoru: 19. březen si zapíše jako 19. 3. a sečte 1 + 9 + 3 = 13. Kolik je největší součet zapsaný během roku? (A) 14
(B) 43
(C) 16
(D) 23
(E) 20
5 bodů: Ve vlaku z Olomouce do Prahy je zařazeno 8 vagónů. V každém vagónu je stejný počet kupé. Michal sedí ve třetím vagónu v 18. kupé za lokomotivou. Jana sedí v sedmém vagónu v 50. kupé za lokomotivou. Kolik kupé je v každém z vagónů? (A) 7
(B) 8
(C) 9
(D) 10
(E) 12
Kadet 3 body: Je dán trojúhelník se stranami délek 6 cm, 10 cm a 11 cm a rovnostranný trojúhelník, jehož obvod je roven obvodu prvního trojúhelníku. Určete délku strany tohoto rovnostranného trojúhelníku.
66
DVOŘÁK, Zdeněk. KREISELOVÁ, Jana. Matematický klokan 2015. 1. vyd. Olomouc: Univerzita Palackého, 2015, s. 8–41.
50
(A) 18 cm
(B) 11 cm
(C) 10 cm
(D) 9 cm (E) 6 cm
4 body: Na obrázku jsou tři čtverce, přičemž přímka procházející společnými vrcholy spodních čtverců protíná střed horního čtverce. Délky stran všech čtverců jsou 1 cm. Vypočtěte obsah tmavé oblasti. (A) ¾ cm2
(B) 7/8 cm2
(C) 1 cm2
(D) 1 a ¼ cm2
(E) 1 a ½ cm2
5 bodů: Včera jsem si zapsal telefonní číslo svého přítele Emila. Telefonní číslo na mém lístečku má šest číslic, ale vzpomínám si, že Emilovo číslo má číslic sedm. Vůbec si nevzpomínám, kterou z číslic jsem zapomněl napsat ani kde se v telefonním čísle nacházela. Najděte nejmenší možný počet různých telefonních čísel, které budu muset zkusit, abych měl jistotu, že mezi nimi je správné telefonní číslo. (Telefonní číslo může začínat jakoukoli číslicí včetně 0.) (A) 55
(B) 60
(C) 64
(D) 70
(E) 80
Pythagoriáda (kategorie A) Pythagoriáda se koná od roku 1977, v roce 2016 se tedy bude konat již 39. ročník této soutěže. Soutěž je rozdělena do čtyř kategorií pro žáky od 5. do 8. třídy a odpovídajících ročníků víceletých gymnázií, kteří soutěží ve školním a okresním kole, od roku 2011 bylo zavedeno i krajské kolo pro žáky od 6. do 8. třídy. Žáci se mohou zúčastnit příslušné kategorie, případně kategorie vyššího ročníku. Soutěž trvá 60 minut, během této doby musí vyřešit 15 úloh, toto množství je pro žáky 8. ročníku sníženo na 12 úloh z důvodu vyšší (časové) náročnosti příkladů. Úspěšným řešitelem školního kola je ten žák, který dosáhne alespoň 9 bodů, resp. 8 bodů (platí pro žáky 8. ročníku), pro okresní kolo je hranice zvýšena na 10 bodů, resp. 9 bodů. Úlohy rozsahem zadání nejsou vůbec dlouhé, často jsou k řešení potřeba i znalosti ze školy, žák si nevystačí pouze s logickým uvažováním. Pro ilustraci opět uvádím několik příkladů ze školního kola v roce 2014/201567: 67
Pythagoriáda – 38. ročník. Základní školy Milady Horákové, Hradec Králové [online]. 2015 [cit. 201603-22]. Dostupné z: http://www.zshorakhk.cz/files/tinymce/matematika/souteze/14_15/Pythagoriada_2015_skolni_kola.pdf
51
6. ročník: 1) Dvě auta vyjela z jednoho místa opačným směrem. Jedno auto ujelo 900 m/min, druhé jelo rychlostí 60 km/h. Jak daleko budou obě auta od sebe vzdálena za 10 minut po startu, jestliže se jejich rychlost nezměnila? 2) V hotelu je 157 pokojů a jejich dveře jsou očíslovány od 1 do 157. Kolikrát se na dveřích všech pokojů objevuje číslice 5? 3) Nástěnné ručičkové hodiny po prababičce se pravidelně předcházejí o 5 minut denně. Za kolik dnů od seřízení budou opět ukazovat správný čas, jestliže je po celou dobu nebudeme seřizovat?
7. ročník: 1) Adéla prodává natrhané borůvky za 50 Kč/litr, Zdeněk prodává 1 kg borůvek za 75 Kč. Kdo z nich prodává dráž, jestliže 1 litr borůvek má hmotnost 650 g? 2) Je dán čtverec. Jestliže délku jedné jeho strany zmenšíme o 5 dm a druhou stranu o 5 dm zvětšíme, dostaneme obdélník, jehož obsah se rovná 75 % obsahu daného čtverce. Jaká je délka strany čtverce? 3) Znázorněte na číselné ose číslo ½.
8. ročník: 1) Letos se koná v Praze a Ostravě 79. mistrovství světa v hokeji. První se konalo v roce MCMXX. Zapište římskými číslicemi rozdíl obou čísel uvedených v zadání této úlohy. Rozdíl čísel je: ………………… 2) V letech 2007–2011 se konalo mistrovství světa v pěti zemích (Kanada, Německo, Rusko, Slovensko, Švýcarsko). Víme, že ve Švýcarsku se konalo dříve než v Německu. Na Slovensku se konalo později než v Německu. V Kanadě se konalo bezprostředně mezi Švýcarskem a Ruskem a v Rusku nebylo mistrovství v roce 2009. Ve kterém roce se konalo mistrovství světa v Kanadě? 3) Hokej se objevuje v mnoha filmech. Ve filmu Ledové ostří se kvůli úrazu stane ze známého hokejisty krasobruslař. Mimo jiné se naučí skákat tzv. trojitý axel,
52
což je skok, při kterém se sportovec ve vzduchu otočí třiapůlkrát kolem své osy. O kolik stupňů se otočí? Sportovec se otočí o ……………. stupňů.
Matematická soutěž Pangea (kategorie B) Dříve, než došlo k oddělení zemského povrchu na jednotlivé světadíly, existoval jeden jediný – Pangea. Tato myšlenka „sjednocení“ všech kontinentů se stala základní filozofií této matematické soutěže. Jejím smyslem je „sjednocení a propojení milovníků matematiky, kteří v ní našli nejen užitek, ale především potěšení ze zkoumání a řešení různých matematických problémů. Pangea si dává za úkol propojit a porovnat znalosti žáků a studentů v různých zemích celého světa“68. Sídlem se stalo Německo, kde tato soutěž vznikla již v roce 2007, v současné době je počet účastníků přibližně půl milionu. Česká republika se zapojila do soutěže v roce 2014, v roce 2016 se tedy koná její 3. ročník. Organizátorem a generálním partnerem soutěže je Meridian International School Prague. Soutěž je podobně jako Pythagoriáda založena nejen na logickém uvažování, jehož ovládání je pro zvládnutí soutěže nezbytné, ale i na znalostech ze školy, na jehož základě pak žák může teprve úlohu pomocí logiky vyřešit. Pangea je určena pro žáky od 4. do 9. třídy základní školy a odpovídající ročníky víceletých gymnázií. Ve školním kole řeší 15 úloh po dobu 45 minut, finálové kolo obsahuje 25 úloh s vyměřeným časem 65 minut. Pangea se stala velice oblíbenou soutěží, do které se v roce 2016 zapojilo již 18 zemí, což je o jednu více než v minulém roce. Počet69 účastníků z jednotlivých zemích se dost liší – od nejvíce zastoupeného Německa, kde se do soutěže zapojilo 147 000 soutěžících po nejmenší počet dětí z Litvy, kterých bylo jen 420. Česká republika se nachází v počtu účastníků na 6. místě, jednalo se o 23 655 dětí. Na ukázku uvádím několik příkladů pro různé věkové kategorie, které se objevily v zadání70 v roce 2016 ve školním kole:
68
Pangea matematická soutěž [online]. [cit. 2016-03-14]. Dostupné z: http://www.pangeasoutez.cz/soutez/pangea/ 69 Soubor otázek pro 4. ročník. Pangea matematická soutěž [online]. 2016 [cit. 2016-03-14]. Dostupné z: http://www.pangeasoutez.cz/wp-content/uploads/2016/03/Grade-4.pdf 70 Otázky 2016. Pangea matematická soutěž [online]. 2016 [cit. 2016-03-14]. Dostupné z: http://www.pangeasoutez.cz/2016/03/09/otazky-2016/
53
6. ročník: Maminka koupila ½ kg margarinu za 21 Kč, ¾ kg brambor za 9 Kč a ½ l mléka za 12 Kč. Kolik Kč by zaplatila za celý nákup, kdyby koupila 2 litry mléka, 1 kg margarinu a 2 kg brambor? a) 90 Kč
b) 114 Kč
c) 42 Kč
d) 84 Kč
e) 104 Kč
7. ročník: Pavlík řeší číselný rébus, kde A značí nějakou číslici a B značí nějakou jinou číslici, ani jedna z nich není 1. Jaká je hodnota B?
a) 0
b) 1
c) 5
d) 8
e) 9
8. ročník: Farmář Skočdopole vlastní pole zobrazené na obrázku. Pokud zmenší své pole ze čtyř stran (vodorovných i svislých směrů) o 5 metrů, o kolik procent bude přibližně menší jeho rozloha?
a) o 20 %
b) o 30 %
c) o 40 %
54
d) o 50 %
e) o 60 %
9. ročník: Urči obvod tmavé části vyobrazeného obdélníku. (upraveno)
Logická olympiáda (kategorie B) Logická olympiáda je soutěží vyhlašovanou Mensou České republiky. Je „založená na logických úlohách, jejichž řešení vyžaduje samostatný a kreativní přístup. Nerozhodují zde naučené znalosti, ale schopnost samostatného uvažování a pohotového rozhodování“71. Jak již napovídá samotný název, tato soutěž se zaměřuje především na logické uvažování, nikoliv na zkoušení naučených poznatků. Sice žáci pro řešení úloh potřebují mít určité znalostní základy, důraz je však kladen na to, jak s těmito poznatky dokáží manipulovat, jak je dovedou uplatnit v neobvyklých úlohách. Soutěž vznikla v roce 2008, letos se tak koná její 9. ročník. V roce 2016 se bude soutěžit v pěti kategoriích72: -
mateřské školy
-
1. třída
-
2. – 5. třída
-
druhý stupeň ZŠ a odpovídající ročníky víceletých gymnázií
-
střední školy.
71
Logická olympiáda 2016. Logická olympiáda [online]. 2011 [cit. 2016-03-14]. Dostupné z: http://www.logickaolympiada.cz/o_soutezi/ 72 Logická olympiáda 2016. Logická olympiáda [online]. 2011 [cit. 2016-03-14]. Dostupné z: http://www.logickaolympiada.cz/o_soutezi/
55
Soutěž probíhá ve třech kolech – nominačním, krajském a finále (vyjma mateřských škol, které se účastní pouze nominačního kola a jen ve vybraných kolech se postupuje do kol okresních). První kolo plní účastníci online – doma, ve škole, v knihovně – kdekoliv mají přístup k internetu, toto kolo se odehrává bez dozoru. Nejlepší řešitelé postupují do krajských kol, které se konají v příslušných krajských městech, a z nich nejlepší dále až do finále. Ukázkové příklady nemohou být uvedeny, protože se na internetu nezveřejňují. Navíc i soutěžící jsou povinni dodržet mlčenlivost o podobě zadávaných úloh.
Moravskoslezský matematický šampionát Pro žáky 9. ročníku základních škol a studenty 3. ročníku středních škol je každoročně pořádána soutěž Moravskoslezský matematický šampionát, který pořádá Wichterlovo gymnázium v Ostravě – Porubě. Obě věkové kategorie řeší celkem 5 příkladů, každý je ohodnocen 10 body. V obou kategoriích se každoročně účastní přibližně stovka studentů. Řešení jednotlivých příkladů je časově náročnější, podobají se spíše příkladům matematické olympiády než Pythagoriádě. Pro ilustrace uvádím příklady73 z kategorie určené pro ZŠ – tj. z 9. ročníku:
1) Martin na letním táboře pomáhal kuchaři s přípravou jahodových knedlíků. Zjistil, že jejich počet představuje čtyřciferné číslo končící číslicí 9 a zároveň je toto číslo dělitelné každou svou číslicí. Kolik jahodových knedlíků se tedy mohlo uvařit v táborové kuchyni? Najděte všechna možná řešení.
2) O prázdninách dva kamarádi Lada a Libor vycestovali do zahraničí. Lada do Minneapolis a Libor do Sydney. Města leží v různých časových pásmech a let z Minneapolis do Sydney trvá stejně jako let zpět. Z letového řádu jisté letecké společnosti víme, že jestliže máme odlet z Minneapolis v pondělí v 6 h ráno místního času, přílet do Sydney bude v úterý ve 14 h (času v Sydney). Odlétáme-li ze Sydney ve čtvrtek ve 13 h místního času, máme přílet do Minneapolis tentýž den v 15 h (času v Minneapolis). Jaký je čas u Libora, jestliže si Lada dává v Minneapolis sobotní odpolední čaj o páté? 73
Sborník řešených příkladů 2014. Moravskoslezský matematický šampionát [online]. 2014 [cit. 2016-0314]. Dostupné z: http://www.sampionat.cz/wp-content/uploads/sbornik_15.pdf
56
Úlohy z rekreační matematiky Vedle rozvoje nadaného žáka v průběhu školního vyučování a prostřednictvím účasti na matematických soutěží bychom mohli jako třetí (ale určitě zdaleka ne poslední) možnost zmínit úlohy z rekreační matematiky. Tyto úlohy mohou děti řešit jednak doma, kde se nad nimi zamýšlí společně se svými rodiči, jednak ve škole, kde jim je učitel pro „zábavu“ může nabízet ve chvíli, kdy je žák s prací zadanou všem již hotov a nudil by se. Důležité je, aby pedagog následně s žákem diskutoval o problému, nechal si vysvětlit, jak by žák daný postup odůvodnil, mohou zavést řeč i na problém začínající slovy: A co by se stalo s výsledkem, kdybychom v zadání změnili....? Za nejpřínosnější pro žáka totiž není výsledek jako takový, ale postup – ten tříbí uvažování dítěte a umožňuje mu získávat nová a nová „spojení“ mezi jednotlivými vědomostmi. V následujících subkapitolách uvádíme příklady některých rekreačních matematických úloh.
Einsteinova hádanka Jedná o jednorázovou hádanku, jejímž autorem má být údajně sám Albert Einstein. Podle něj je tuto hádanku schopno vyřešit „z hlavy“ pouze 2 % z celkové populace, kteří jsou na základě toho řazeni k nejinteligentnějším. Einsteinovo autorství ani zmiňovaná 2 % nejsou nijak podložená, jedná se pouze o spekulace. I přesto se však jedná o velice zajímavou logickou úlohu, která je jednou z těch, které jsou vhodné pro „zabavení“ velmi chytrých dětí. Zde uvádíme její zadání74:
Fakta: 1) Pět domů má pět různých barev. 2) V každém domě žije příslušník jiné národnosti. 3) Těchto 5 majitelů domů pije svůj nápoj, kouří svou značku cigaret a chová zvíře. 4) Nikdo nemá stejné zvířátko, nekouří stejnou značku cigaret a nepije stejný nápoj jako ostatní.
74
Hádanka Alberta Einsteina. Mensa Slovensko [online]. 2016 [cit. 2016-03-16]. Dostupné z: https://www.mensa.sk/zabava-hry/hadanka-alberta-einsteina (vlastní překlad, upraveno)
57
Rady: 1) Angličan žije v červeném domě. 2) Švéd chová psa. 3) Dán pije čaj. 4) Zelený dům je nalevo od bílého. 5) Majitel zeleného domu pije kávu. 6) Ten, kdo kouří cigarety značky Pall Mall, chová ptáky. 7) Majitel žlutého domu kouří cigarety značky Dunhill. 8) Muž, který bydlí v prostředním domě, pije mléko. 9) Nor žije v prvním domě. 10) Muž, kteří kouří Blend, žije vedle toho, kdo chová kočky. 11) Muž, který chová koně, žije vedle muže, který kouří cigarety značky Dunhill. 12) Ten, který kouří cigarety značky BlueMaster, pije pivo. 13) Němec kouří cigarety Prince. 14) Nor žije vedle modrého domu. 15) Ten, kdo kouří Blend, má souseda, který pije vodu. Otázka: Kdo vlastní ryby? [správná odpověď: Němec]
Slitherlink Mimo příklady určené k soutěži lze na stránkách soutěže Pangea75 nalézt tzv. „extra úlohy“, které nejsou určeny pro specifickou věkovou kategorii, ale slouží pro všechny k procvičování logického uvažování. Jednou z těchto her je například Slitherlink, jehož smyslem je propojit jediným tahem očíslované čtverečky ve čtvercové síti. Některé z nich obsahují číslo, které udává počet čar, které mají ohraničovat daný čtvereček.
75
http://www.pangeasoutez.cz/ke-stazeni/extra-ulohy/
58
Obr.: Návod k řešení hry Shitherlink.76
Dalšími příklady, které se na stránkách soutěže Pangea objevují, jsou různé hry se sirkami, jejichž úkolem bývá nejčastěji přeskládat sirky tak, aby z jednoho obrazce vznikl obrazec jiný apod. Často jsou úlohy zaměřeny také na úkoly s hodinami – pozicemi hodinových ručiček nebo na čtení římských číslic a práci s nimi.
Hlavolamy Mnoho zajímavých příkladů, hádanek a rébusů bychom mohli najít v knize vydané přímo Mensou s názvem IQ trénink pro děti. Jedná se o různorodé hlavolamy, které autorka rozdělila podle jejich náročnosti na úlohy jednoduché, středně obtížné a obtížné. Pro účely naší práce se nám jako nejvhodnější jeví úlohy posledního typu, proto na tomto místě uvádíme některé příklady. První z uvedených úloh je jistě zajímavou, nutno však upozornit na úskalí, že děti nebudou uvedené názvy nápojů znát, i když je to v dnešní době málo pravděpodobné. V případě, že bychom chtěli podobný typ hlavolamu dítěti zadat, bylo by vhodnější nahradit názvy nápojů slovy z jiné oblasti (domácí zvířata, domácí spotřebiče atd.). Hlavolam 177: 1) Jestliže se Fanta v určitém kódu píše CXKQX, jaké nápoje pak označují následující šifry? a) PMOFQB b) PLALSHX 76
Převzato z webové stránky Puzzle Loop. Dostupné z: http://cz.puzzle-loop.com/faq.php SKITT, Carolyn. Mensa: IQ trénink pro děti: téměř 200 náročných hlavolamů pro vaše mozkové buňky. České 1. vyd. Praha: Svojtka & Co., 2000, s. 81.
77
59
c) JXQQLKF d) KBXIHL e) MBMPF Řešení: a) SPRITE b) SODOVKA c) MATTONI d) NEALKO e) PEPSI
Hlavolam 278: Hodiny A ukazovaly správný čas o půlnoci (tj. 00:00), ale od tohoto okamžiku se začaly zpožďovat za hodinu o 3 a půl minuty. Zastavily se před 1 a půl hodinou, kdy ukazovaly stav 16:57. Kolik je teď hodin?
Řešení: 19:30 Hlavolam 379: Předpokládej, že používáš kalkulačku a zapisuješ do ní čísla v uvedeném pořadí. Každý otazník nahraď matematickým znaménkem. Plus, minus, krát a děleno můžeš použít vždy jen jednou. Jaký je nejvyšší a nejnižší výsledek? a) 3 ? 5 ? 5 ? 1 ? 1 = b) 5 ? 4 ? 6 ? 9 ? 9 = c) 8 ? 1 ? 3 ? 7 ? 2 = d) 9 ? 3 ? 6 ? 7 ? 1 = Řešení: a) 39 (+ x - :) a -9 (- x : + nebo – x + :) b) 82,5 (- : + x) a -67,5 (+ : - x) c) 75 (: + x :) a -8 (+ : - x) d) 84 (- + x :) a -20 (: - x +)
78 79
Tamtéž, s. 84. Tamtéž, s. 84.
60
Další ze zajímavých knížek, které jsou vhodným místem pro trénink logického uvažování, je publikace Lámejte si hlavu. Najdeme zde úlohy rozčleněné pro změnu podle tématu, resp. druhu. Můžeme zde řešit třeba algebrogramy, číselné doplňovačky, úlohy o číslech nebo úlohy logické. Hlavolam 480: Smyslem tohoto algebrogramu je správně dosadit za písmena taková čísla, aby byl naznačený součet správný. Různá písmena odpovídají různým číslům, stejná písmena odpovídají stejným číslům.
U LESA SE PASE ----------------SRNEC
Řešení: 3 + 2 415 + 14 + 8 514 = 10 946
TEN VLAK DO KLATOV -----------------NEJEDE Řešení: 504 + 7 923 + 86 + 392 567 = 401 080 Hlavolam 581: Z číslic 0–9 sestavte nejmenší a největší číslo, aby obě čísla byla mocninou celých čísel.
80 81
PĚNČÍK, Jindřich. PĚNČÍKOVÁ, Jarmila. Lámejte si hlavu. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1995, s. 18. Tamtéž, s. 28. (upraveno)
61
Řešení: nejmenší = 1 026 753 849 = 32 0432 největší = 9 814 072 356 = 99 0662 Hlavolam 682: Ředitelství průmyslového podniku mělo vybrat z osmi pracovníků čtyři pro montáže do zahraničí. Zaměstnanci měla však svá přání. Kdo byl nakonec vybrán, když a) Bábek chtěl jet s Kavkou, b) Chovanec nechtěl jet ani se Sedlářem, ani s Lacinou, c) Kavka nechtěl pracovat s Lacinou, d) Lacina prohlásil, že bude pracovat s každým, e) Štolfa odmítl pracovat bez Chovance, f) Konopásek nechtěl pracovat se Štolfou bez Kouby, g) Kouba nechtěl jet ani se Sedlářem, ani s Lacinou, h) Chovanec chtěl jet buď s Bábkem nebo s Konopáskem, i) Konopásek nechtěl pracovat s Kavkou bez Štolfy, j) Kouba odmítl jet, pojede-li Bábek a Kavka, k) Chovanec odmítl jet s Kavkou, nepojede-li Kouba, l) Sedlář neměl žádné přání.
Řešení: Štolfa, Chovanec, Konopásek, Kouba Hlavolam 783: V pokoji byla shromážděna početná rodina: 2 otcové, 2 matky, 2 synové, 2 dcery, 2 ženatí muži, 2 vdané ženy, 2 sestry, 1 bratr, 1 tchán, 1 tchyně, 1 dědeček, 1 babička, 1 snacha a 3 vnoučata. Kolik tam bylo lidí?
Řešení: Celkem 7 lidí (dědeček, babička, jejich ženatý syn s manželkou a třemi dětmi (dvěma děvčaty a jedním chlapcem).
82 83
Tamtéž, s. 141. Tamtéž, s. 166.
62
Z dalších publikací bychom mohli poukázat na knížku s vtipným názvem Jak se jmenuje tahle knížka. Je plná humoru, často se v ní objevují na první pohled jednoduché úlohy, které však v sobě skrývají nějaký chyták. Jsou to kupříkladu tato zadání. Hlavolam 884: Jak známo, blízcí příbuzní nesmějí spolu uzavírat manželství. Smí se muž oženit se sestrou své vdovy?
Řešení: Jak by se asi ženil nebožtík? Hlavolam 985: Dva muži stáli před soudem obžalováni pro vraždu. Soud jednoho z nich uznal vinným a druhého prohlásil za nevinného. Soudce se obrátil k tomu, co byl shledán vinným, a pravil: „Přestože o vaší vině není sebemenších pochyb, zákon mi ukládá, abych vás propustil na svobodu.“ Jak je to možné?
Řešení: Ti dva obžalovaní byli siamská dvojčata. Hlavolam 1086: Dejme tomu, že jsou pravdivé výroky: (1) Miluji Bětku, nebo miluji Janu. (2) Pokud miluji Bětku, pak miluji Janu. Vyplývá z nich, že miluji Bětku? Vyplývá z nich, že miluji Janu?
Řešení: „Nevyplývá z nich, že miluji Bětku, a vyplývá z nich, že miluji Janu. Abychom si dokázali, že miluji Janu, uvažujme takto: Buď miluji Bětku, nebo ji nemiluji. Pokud nemiluji Bětku, pak podle podmínky (1) miluji Janu (je dáno, že miluji aspoň jednu z nich). Na druhé straně pokud miluji Bětku, pak podle podmínky (2) miluji i Janu. Takže ať už miluji Bětku, nebo ne, miluji Janu.
84
SMULLYAN, Raymond M. Jak se jmenuje tahle knížka?. Vydání 2., upravené, v Portále 1. Praha: Portál, 2015, s. 18. 85 Tamtéž, s.19. 86 Tamtéž, s. 90.
63
Čtenářky, které se jmenují Bětka, nemusí truchlit. I když z daných podmínek nevyplývá, že miluji Bětku, ještě to neznamená, že z nich vyplývá, že Bětku nemiluji. Je docela dobře možné, že miluji Bětku taky – možná ještě víc než Janu.“ 87
Jako poslední publikaci, kterou lze využít pro rekreační matematiku, jsme zvolili knihu Briliantové mozky od Mensy. Najdeme zde zkušební test IQ, úlohy o bludištích, magických obrazcích, matematických doplňovačkách a další. Hlavolam 1188: Určete, co nejvíc nepatří mezi ostatní: a) 9875 b) 368363 c) 88562 d) 20999 e) 8867 f) 36987 Řešení: f) – při součtu cifer toto číslo jako jediné nedává součet 29 Hlavolam 1289: Objevíte zákonitost, podle které jsou uspořádány trojice čísel? Které číslo tedy doplníte do druhého řádku?
a) 315627 / 8956 / 408951 183910 / ? / 231366
Řešení: 1339 – číslo utvořené z druhých dvojčíslí druhého a prvního čísla
b) 15732 / 70297 / 86029 33999 / ? / 71206
Řešení: 37207 – rozdíl druhého a prvního čísla
87
Tamtéž, s. 96. FOŘTÍK, Václav. IQ mensa 1: Briliantové mozky. 1. vyd. Praha: Ivo Železný, 2000, s. 8. 89 Tamtéž, s. 87. 88
64
Závěr V bakalářské práci jsme se pokusili o obecný náhled do problematiky nadaných dětí. V první části práce jsme nastínili informace z různých sfér této problematiky, pokusili jsme se definovat nadání, způsoby, jakými lze nadané dítě identifikovat, vymezili jsme i některé instituce věnující se práci s nadanými a v neposlední řadě jsme poukázali na možnosti, jakými lze pracovat na dalším rozvoji matematicky nadaného jedince. Jedna z kapitol se věnovala i přístupům ke vzdělávání nadaných dětí, konkrétně jsme se zabývali otázkou, zda by měly být nadané děti vzdělávány segregovaně od ostatních, nebo by měly být zapojeny do běžného vzdělávacího procesu. Definitivní odpovědi jsme se nedobrali, což odpovídá i současné situaci v této problematice. Každá z variant má svá pro i proti, proto nelze o vhodnějším přístupu jednoznačně rozhodnout. Dále jsme nastínili, jak by měly vypadat vhodné příklady zadávané nadaným dětem v běžné třídě základní školy, poukázali jsme také na možnosti mimoškolního rozvoje dětí – jednak v části organizací věnujících se nadaným dětem, jednak v kapitole o matematických soutěžích, které jsou dobrým místem nejen pro objevování talentů, ale i způsobem, kde se nadané děti setkávají se sobě rovnými a mají možnost si vyzkoušet řešení náročnějších logických příkladů vyžadujících již velkou porci matematického umu. Mimo rozvoje talentu na půdě školy a prostřednictvím matematických soutěžích jsme poukázali i na oblast rekreační matematiky, která je nepochybně velmi dobrou doplňkovou činností k procvičování a utužování logického uvažování. Uvedené příklady náš názor jednoznačně potvrzují. Tato práce nechť je východiskem pro prvotní utřídění některých důležitých pojmů vztahujících se k problematice nadaného dítěte na 2. stupni základní školy.
65
Použitá literatura Knižní zdroje 1) BERÁNEK, Jaroslav. Problémové vyučování v matematice – goniometrické funkce a geometrická představivost. In NOVOTNÁ, Jiřina (ed.). Motivace nadaných žáků a studentů v matematice a přírodních vědách. Brno: Masarykova univerzita, 2012, s. 127–128. ISBN 978-80-210-6144-6. 2) DOČKAL, Vladimír. Zaměřeno na talenty aneb nadání má každý. 1. vyd. Praha: Nakladatelství Lidové noviny, 2005. 248 s. ISBN 80-7106-840-3. 3) FOŘTÍK, Václav. FOŘTÍKOVÁ, Jitka. Nadané dítě a rozvoj jeho schopností. 1. vyd. Praha: Portál, 2007. 126 s. ISBN 978-80-7367-297-3. 4) FOŘTÍK, Václav. IQ mensa 1: Briliantové mozky. 1. vyd. Praha: Ivo Železný, 2000. 126 s. ISBN 80-2401711-3. 5) HAVINGEROVÁ, Jana Marie. Pět pohledů na nadání. 1. vyd. České Budějovice: Grada Publishing, 2011. 144 s. ISBN 978-80-247-3857-4. 6) HOUSKA, Jan. Sbírka úloh z matematiky pro 7. a 8. ročník základních škol. Praha: Fortuna, 1994. 243 s. ISBN 80-7168-131-8. 7) JURÁŠKOVÁ, Jana. Základy pedagogiky nadaných. 1. vyd. Praha: Institut pedagogicko-psychologického poradenství ČR, 2006. 131 s. ISBN 80-86856-19-4. 8) LAZNIBATOVÁ, Jolana. Nadané dieta: jeho vývin, vzdelávanie a podporovanie. 1. vyd. Bratislava: Iris, 2001. 394 s. ISBN 80-88778-32-8. 9) MACHŮ, Eva. Rozpoznávání a vzdělávání rozumově nadaných dětí v běžné třídě základní školy. 1. vyd. Brno: Pedagogická fakulta Masarykovy univerzity, 2006, 64 s. ISBN 80-210-3979-5. 10) PĚNČÍK, Jindřich. PĚNČÍKOVÁ, Jarmila. Lámejte si hlavu. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1995. 383 s. ISBN 80-7196-011-X. 11) PŮLPÁN, Zdeněk. ČIHÁK, Michal. MÜLLEROVÁ, Šárka. Matematika 7 pro základní školy. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, a.s., 2008. 152 s. ISBN 978-80-7235-398-9. 12) ROSECKÁ, Zdena. ČUHAJOVÁ, Vladimíra. Aritmetika: učebnice pro 7. ročník. 1. vyd. Brno: Nová škola, 1998. 86 s. ISBN 80-85607-74-3. 13) ROSECKÁ, Zdena. Geometrie: učebnice pro 7. ročník. 1. vyd. Brno: Nová škola, 1998. 86 s. ISBN 80-85607-75-1. 66
14) ROSECKÁ, Zdena. Aritmetika 7: pracovní sešit: přímá a nepřímá úměrnost, trojčlenka, slovní úlohy. 1. vyd. Brno: Nová škola, 1998. 40 s. ISBN 80-85607-808. 15) SKITT, Carolyn. Mensa: IQ trénink pro děti: téměř 200 náročných hlavolamů pro vaše mozkové buňky. České 1. vyd. Praha: Svojtka & Co., 2000, 112 s. ISBN 807237-230-0. 16) SMULLYAN, Raymond M. Jak se jmenuje tahle knížka?. Vydání 2., upravené, v Portále 1. Praha: Portál, 2015. 198 s. ISBN 978-80-262-0822-8. 17) ŠIMŠA, Jaromír. Motivační role nestandardních matematických úloh. In NOVOTNÁ, Jiřina (ed.). Motivace nadaných žáků a studentů v matematice a přírodních vědách. 1. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 2012, s. 115–118. ISBN 978-80-210-6144-6. 18) VOŘÁK, Zdeněk. KREISELOVÁ, Jana. Matematický klokan 2015. 1. vyd. Olomouc: Univerzita Palackého, 2015. 64 s. ISBN 978-80-244-4870-1.
Internetové zdroje 1) 64. ročník. Matematická olympiáda [online]. 2015 [cit. 2016-03-22]. Dostupné z: http://mo.webcentrum.muni.cz/cs/olympiada-pro-zakladni-skoly/64-rocnik-14-15 2) Hádanka Alberta Einsteina. Mensa Slovensko [online]. 2016 [cit. 2016-03-16]. Dostupné z: https://www.mensa.sk/zabava-hry/hadanka-alberta-einsteina 3) Chytré kroužky pro děti, které zajímá svět. Věda nás baví: interaktivní a zábavné kroužky
pro
děti
[online].
2016
[cit.
2016-03-22].
Dostupné
z:
http://www.vedanasbavi.cz/upload/files/GeneralFlyer_hires.jpg 4) Informace o soutěži. Matematický klokan [online]. 2004 [cit. 2016-03-04]. Dostupné z: http://matematickyklokan.net/info.php 5) Kluby nadaných dětí. Mensa ČR: pro nadané děti [online]. 2016 [cit. 2016-0322]. Dostupné z: http://deti.mensa.cz/index.php?pg=knd 6) Koncepce podpory rozvoje nadání a péče o nadané pro období let 2014– 2020. MŠMT [online].
2013
[cit.
2016-03-04].
Dostupné
z:
www.msmt.cz/file/35232_1_1/ 7) Kroužek zábavné logiky. Centrum nadání [online]. 2016 [cit. 2016-03-04]. Dostupné z: http://www.centrumnadani.cz/krouzek-zabavne-logiky.html 8) Logická olympiáda 2016. Logická olympiáda [online]. 2011 [cit. 2016-03-14]. Dostupné z: http://www.logickaolympiada.cz/o_soutezi/ 67
9) Mensa gymnázium, o.p.s.. Mensa ČR: Pro nadané děti [online]. 2016 [cit. 201603-16]. Dostupné z: http://deti.mensa.cz/index.php?pg=spolupracujici-skoly 10) Otázky 2016. Pangea matematická soutěž [online]. 2016 [cit. 2016-03-14]. Dostupné z: http://www.pangeasoutez.cz/2016/03/09/otazky-2016/ 11) Pangea
matematická
soutěž [online].
[cit.
2016-03-14].
Dostupné
z:
http://www.pangeasoutez.cz/soutez/pangea/ 12) PRAUS, Petr. Inteligence a její měření. Časopis Mensy České republiky [online]. 2008 [cit. 2016-03-04]. Dostupné z: http://casopis.mensa.cz/veda/inteligence_a_jeji_mereni.html 13) Pythagoriáda – 38. ročník. Základní školy Milady Horákové, Hradec Králové [online]. 2015 [cit. 2016-03-22]. Dostupné z: http://www.zshorakhk.cz/files/tinymce/matematika/souteze/14_15/Pythagoriada_2 015_skolni_kola.pdf řešených
14) Sborník
příkladů
2014. Moravskoslezský
matematický
šampionát [online]. 2014 [cit. 2016-03-14]. Dostupné z: http://www.sampionat.cz/wp-content/uploads/sbornik_15.pdf 15) Soubor otázek pro 4. ročník. Pangea matematická soutěž [online]. 2016 [cit. 201603-14]. Dostupné z: http://www.pangeasoutez.cz/wp-content/uploads/2016/03/Grade-4.pdf 16) Střediska volného času. MŠMT
[online]. 2013-2016 [cit. 2016-03-04].
Dostupné z: http://www.msmt.cz/mladez/strediska-volneho-casu 17) Školy spolupracující s Mensou. Mensa ČR: Pro nadané děti [online]. 2016 [cit. 2016-03-16]. Dostupné z: http://deti.mensa.cz/index.php?pg=spolupracujici-skoly 18) T–exkurze. Talnet: online k přírodním vědám [online]. 2016 [cit. 2016-03-22]. Dostupné z: http://www.talnet.cz/t-exkurze 19) Volitelné předměty ŠR 2015/16 – příloha ŠVP. Mensa gymnázium, o.p.s. [online]. 2015 [cit. 2016-03-16]. Dostupné z: http://www.mensagymnazium.cz/pdf/volitelne-predmety-15-16-priloha-svp.pdf 20) VONDÁRKOVÁ Eva. Péče o nadané děti jako znak dobré školy. Společnost pro talent a nadání ECHA [online]. 30.11.2006 [cit. 2016-03-16]. Dostupné z: http://www.talent-nadani.cz/ 21) Vyhlášení soutěží a přehlídek ve školním roce 2015/2016. Ministerstvo školství, mládeže
a
tělovýchovy [online].
2015
68
[cit.
2016-03-14].
Dostupné
z:
http://www.msmt.cz/mladez/vyhlaseni-soutezi-a-prehlidek-ve-skolnim-roce-20152016 22) Vyhláška č. 73/2005 Sb. ze dne 9. února 2005 o vzdělávání dětí, žáků a studentů se speciálními vzdělávacími potřebami a dětí, žáků a studentů mimořádně nadaných. In Sbírka zákonů
České republiky. 2005, částka 20, s. 507. Dostupné
z: http://www.msmt.cz/dokumenty/vyhlaska-c-73-2005-sb-1 23) Vzdělávací program Mensa gymnázia, o.p.s.. Mensa gymnázium, o.p.s. [online]. 2.9.2013 [cit. 2016-03-16]. Dostupné z: http://www.mensagymnazium.cz/pdf/SVP-nizsi_stupen-od_primy_2013-2014.pdf
69
