MASARYKOVA UNIVERZITA Pedagogická fakulta Katedra matematiky
Posloupnosti a řady ve školské matematice Bakalářská práce
Brno 2015
Autor: Lucie Pospíšilová
vedoucí: Mgr. Irena Budínová, Ph.D.
Prohlášení Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci vypracovala samostatně a s použitím uvedené literatury.
V Brně dne 23.2.2015
……………………. Lucie Pospíšilová
Poděkování Ráda bych poděkovala Mgr. Ireně Budínové, Ph.D. za cenné rady, věcné připomínky a vstřícnost při konzultacích a vypracování bakalářské práce.
Název: Posloupnosti a řady ve školské matematice Abstrakt: Tento text je určen všem, kteří mají zájem dovědět se některé informace o posloupnostech a řadách, jež se učí na různých stupních škol. Práce zahrnuje teorii a konkrétní příklady, se kterými se žáci či studenti mohou setkat na základních, středních a vysokých školách. Dále ukazuje souvislosti a určitou návaznost učiva. Text je doplněn názornými obrázky. Klíčová slova: posloupnost, řada, konvergence, divergence
Title: Sequences and Series in School Matematics Abstract: This text is intended for all who are interested in finding out some information about the sequences and series, which are taught at various levels of education. The work includes the theory and specific examples which the pupils or students can encounter at elementary, secondary schools and universities. It also shows connection and a certain continuity of curriculum. The text is completed with illustrative pictures.
Keywords: sequence, series, convergence, divergence
Obsah
Úvod ........................................................................................................................................... 6 1. Zénon z Eleje......................................................................................................................... 7 2. Colin Maclaurin.................................................................................................................... 7 3. Posloupnosti a řady na vysoké škole................................................................................... 8 3.1. Posloupnosti ................................................................................................................ 8 3.2. Řady .......................................................................................................................... 13 4. Posloupnosti a řady na střední škole ................................................................................ 23 4.1. Posloupnosti .............................................................................................................. 23 4.2. Aritmetická posloupnost ........................................................................................... 29 4.2.1. Užití aritmetické posloupnosti ....................................................................... 30 4.3. Geometrická posloupnost .......................................................................................... 32 4.3.1. Užití geometrické posloupnosti ...................................................................... 34 4.4. Limita posloupností ................................................................................................... 37 4.5. Nekonečné řady ......................................................................................................... 39 4.5.1. Nekonečné geometrické řady – slovní úlohy ................................................. 40 5. Posloupnosti a řady na základní škole.............................................................................. 44 5.1. Příklady ..................................................................................................................... 48 Závěr ........................................................................................................................................ 50 Seznam použité literatury ...................................................................................................... 51
Úvod
Tématem bakalářské práce jsou posloupnosti a řady ve školské matematice. Tato oblast matematiky je pro mnohé součástí každodenní práce, ať už myslíme zaměstnání učitele, profesora či finančního poradce. Mnoho z nás se s ní setkává a mnohdy ani netušíme, že při své práci uplatňujeme právě ty metody, které jsou spojeny s tímto tématem. Řady a posloupnosti nejsou zajímavé nejen svou teorií, ale také užitím v praxi. Posloupnosti mají jistou souvislost s finanční matematikou, která se zabývá spořením, zúročením vkladu nebo splácením úvěru, je na ni založeno fungování firem. Téměř každý den přicházíme do kontaktu s financemi. Nezáleží na tom, jestli vybíráme peníze z účtu nebo je tam vkládáme, anebo jestli splácíme některou z našich půjček, všechny tyto naše činnosti spadají do finanční matematiky. Geometrická posloupnost má uplatnění třeba na úřadech, kde zjišťují roční přírůstek obyvatel. Využívá se také v obchodních sítích, když prodavači chtějí znát, jak se změní hodnota daného výrobku během několika let. S tématem posloupností a řad se můžeme setkat už na základní škole, ale mnoho informací je nám odhaleno až na střední a vysoké škole. Práce je rozdělena do dvou kapitol. V teoretické části se budu zabývat teorií a vzorovými příklady, se kterými jsem se setkala na vysoké škole. Pokusím se v ní objasnit jisté zákonitosti a souvislosti mezi jednotlivými pojmy. Druhá kapitola bude věnována učivu středních a základních škol. Poměrně široký prostor zde věnuji právě učivu středních škol, protože na základní škole se s ním setkáme jen zřídka. Cílem této práce je rozebrat jednotlivé učivo týkající se posloupností a řad na základních, středních a vysokých školách a ukázat, že mezi nimi existují jistá propojení. K tomu slouží názorné příklady. Záměrem práce je shrnout a porovnat rozsah učiva, ale také zamyslet se nad tím, že i když matematika nemusí být zrovna oblíbená mezi žáky, může být prospěšná v jejich budoucím povolání. Posloupnosti a řady jsou velmi zajímavým tématem, které poodhaluje další části matematiky, proto jsem si zvolila k bakalářské práci právě toto téma.
6
Teoretická část Úvodem bych chtěla zmínit některé historické souvislosti, které jsou spojeny s těmito významnými osobnostmi.
1. Zénon z Eleje Zénon z Eleje (495 př. n. l. – 430 př. n. l.) byl filosof, který pomohl založit Athény jako řecké centrum učení. Byl motivován konstruovat své paradoxy i přes filosofický spor s Parmenidem. Stejně jako jeho nejznámější paradox Achilles a želva, jsou i ostatní jeho paradoxy založeny na nemožnosti konečného popsání pohybu. Jeho paradoxy jsou nepřetržitě diskutovány po staletí.
http://antika.avonet.cz/article.php?ID=1937
2. Colin Maclaurin Colin Maclaurin (1698-1746) byl skotský matematik. Zabýval se především algebrou a geometrií. Maclaurinova řada, jakožto speciální případ Taylorovy řady, je pojmenována po něm. Nezávisle na Eulerovi objevil zákonitost dnes známou jako Eulerova-Maclaurinova věta, která popisuje vztah mezi sčítáním funkčních hodnot nějaké funkce a jejím integrálem.
http://www.electricscotland.com/history/nation/maclaurin.htm
7
3. Posloupnosti a řady na vysoké škole 3.1. Posloupnosti Nejdříve se budeme zabývat pojmem posloupnost. Ve většině skript, se kterými jsem se setkala, je posloupnost definována takto: Definice 1: Posloupnost je zobrazení :
→ , jehož hodnoty obvykle místo
( ) značíme
nazýváme n-tý člen posloupnosti a celou posloupnost pak zapisujeme , případně ( ).
. Hodnotu
nebo
Posloupnosti mohou být zadány několika způsoby, nejčastější jsou však posloupnosti zadané explicitním vzorcem pro n-tý člen, např. 1,1,2,2,3,3,4,4, … , nebo rekurentním vzorcem, např.
=
= , výčtem prvků, např. + ,
= 1.
Na následujícím příkladu si ukážeme hledání členů posloupností pomocí výčtu prvků. Příklad 1: Napište prvních pět členů posloupnosti: =
a) b)
=
c)
=
(
)
=2
d)
=
e)
,
Řešení: a) Jestliže = , pak prvních pět členů je {n} = {1,2,3,4,5,…} b) Jestliže
= 1,
= 2,
= 3,
= 4,
!
= 5, tudíž
= , pak # $ = #1, , , , ! , … $. Tato posloupnost se nazývá harmonická
posloupnost. c) #
(
)
$= #−1, , , − , , − ! , … $. Tato posloupnost se nazývá alternující harmonická
posloupnost. d) {2} = {2, 2, 2, 2, 2, …}. Toto je příklad konstantní posloupnosti. e) { } = { , , , , , … }. Tato posloupnost se nazývá geometrická (Garner, 1988) posloupnost. Jedna z prvních věcí, kterou se studenti učí o posloupnostech, jsou základní vlastnosti posloupností. Mezi ně patří: omezenost neboli ohraničenost a monotonie, tedy jestli daná posloupnost roste nebo naopak klesá. 8
Definice 2: Posloupnost • rostoucí, jesliže • klesající, jestliže •
nerostoucí, jestliže
•
neklesající, jesliže
se nazývá & pro každé , ' pro každé , (
)
pro každé ,
pro každé .
Dále rozlišujeme, zda je posloupnost: • • •
shora ohraničená, jestliže existuje * takové, že zdola ohraničená, jesliže existuje +
takové, že
) * pro každé ,
( + pro každé ,
ohraničená, jestliže je ohraničená shora i zdola.
Příklad 2: • %
posloupnost, která je omezená shora a není omezená zdola: % , protože %1, %2, %3, …
%1
,# $
•
posloupnost, která je omezená z obou stran: 1 ,
•
posloupnost, která je neklesající a zároveň nerostoucí: konstantní posloupnost,
např. 2,2,2,2,2, … Dalším důležitým pojmem, se kterým se studenti setkají je limita posloupnosti. Definice 3: Nechť je dána posloupnost
a číslo , . Řekneme, že posloupnost
má
limitu A, jestliže ke každému Ɛ ' 0 existuje / takové, že pro každé ( / platí, že | % ,| & Ɛ. Pokud má posloupnost limitu, říkáme, že konverguje, a značíme lim
→
,.
http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/posloupnosti/limita/limita.htm
9
Z obrázku vidíme, že všechny hodnoty napravo od indexu Definice 4: Řekneme, že posloupnost , existuje
/
takové, že pro každé
limitu % ∞. Značíme lim
→
má limitu (
/
/
se zobrazí v pásu ,
Ɛ, , % Ɛ .
∞ respektive %∞, jestliže ke každému
platí, že
' , pro limitu
5∞. Pokud má posloupnost
%∞, říkáme, že posloupnost diverguje.
limitu
∞,
& , pro
∞ , respektive
http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/posloupnosti/limita/limita.htm
Tento obrázek ukazuje případ, kde lim → ∞. Znovu je třeba si všimnout, co se děje s hodnotami za indexem / . V tomto neomezeně stoupají.
http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/posloupnosti/limita/limita.htm
Na tomto obrázku vidíme tedy poslední možnost, a to lim → pozornost hodnotám za indexem / . Nyní hodnoty neomezeně klesají.
%∞. Opět věnujeme
Místo termínu posloupnost konverguje nebo diverguje říkáme take, že posloupnost má vlatsní limitu nebo nevlastní limitu.
10
Věty o limitách • • •
Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Nechť lim → = 0 a posloupnost je ohraničená. Pak lim Nechť lim → = a lim → = , kde , . Pak platí: lim
lim
lim
→ → →
Pokud •
|
( (
|=| | + ∙
)=
)=
>
/,
a lim
→
= 0.
8
8 9
= 9.
, :
,
= + = lim
→
∙
+
≠ 0, pak lim
Nechť jsou dány posloupnosti pro všechna
∙
→
→
a číslo +
takové, že
: . Pak také lim
→
= +.
≤
≤:
Při učivu posloupností se take zmiňujě Eulerovo číslo. Toto číslo je iracionální a má několik alternativních ekvivalentních definic. Jedna z nich je: 1 ; = lim <1 + = . →
Dále je třeba zmínit hromadné body posloupnosti. ∗ se nazývá hromadný bod posloupnosti Definice 5: Číslo @( ) existuje nekonečně mnoho indexů , pro které platí, že
Věta 1: Číslo a je hromadným bodem posloupnosti podposloupnost A
B
C taková, že limD→
B
=
, jestliže pro každé okolí @( ).
právě tehdy, když existuje vybraná
.
Abychom dostatečně porozuměli definici hromadného bodu, musíme také znát definici vybrané podposloupnosti. Definice 6: Nechť
je posloupnost a nechť
přirozených čísel. Pak posloupnost A z posloupnosti
B
C
D
D D
je rostoucí posloupnost
se nazývá vybraná (pod) posloupnost
.
Uvedeme pár názorných příkladů: (−1) tato posloupnost má dva hromadné body, a to -1, 1 • •
•
3, 4, 5, 3, 4, 5, 3, 4, 5, … tato posloupnost má tři hromadné body, 3, 4 a 5 2, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 4, 6, 8, 2, 4, 6, 8, 10, …
toto je příklad posloupnosti s nekonečně
mnoha hromadnými body, každé sudé číslo bude hromadným bodem Nyní se podívejme na následující příklad.
11
Příklad 3: Najděte hromadné body posloupnosti 3 + 2 ∙ (−1) + $ Řešení: Vidíme, že posloupnost obsahuje zlomek a lim
→
= 0. Takže se tímto zlomkem
nebudeme dale zabývat, protože vidíme, že bude nulový. Dále si všimneme, že -1 je umocněno na n, to znamená, že mohou nastat dva případy, a to, že = 2G, G H: (−1) = 1 a nebo = 2G + 1, G H: (−1) = −1 se nezmění. Tato posloupnost tedy má dva hromadné body 1 a 5. 3 + 2 ∙ (−1) = 1
3+2∙1=5
12
3.2. Řady Nejdříve si objasníme pojem řada. Už na základní škole jsme se učili, že zlomek
je
0,333 …, kde tři tečky naznačují, že číslice tři se stále opakuje až do nekonečna. Tento
desetinný zápis ve skutečnosti vyjadřuje nekonečný součet, jímž je 0,333 = 0,3 + 0,03 + 0,003 + ⋯
Nekonečné součty byly navrhovány již v antice. Zénón z Eleje objevil následující paradox: Achilles, nejrychlejší běžec, nemůže dohonit ploužící se želvu, nejpomalejší stvoření. Předpokládá se, že želva má náskok. Ačkoli Achilles běží rychle, zabere mu nějaký čas dosáhnout místa, odkud vystartovala želva. A během tohoto času se želva opět o kousek posune. Závod tedy začíná od začátku, ale se závodníky v nových pozicích, avšak želva je stále napřed. Tento argument se znovu opakuje. Achilles se želvě bude přibližovat, ale nikdy ji nepředhoní. Tento předpoklad dává tomuto argumentu jeho paradoxní vlastnost a to, že součet nekonečné řady musí být nekonečný. Avšak nemusí to být pravda. Součet nekonečné řady může být konečný. Definice 7: ∑
=
+
+
+ ⋯ se nazývá nekonečná číselná řada.
Pak tedy můžeme číslo 0,333 … napsat ve tvaru ∑
/
.
Obecně jakékoli číslo s neukončeným desetinným rozvojem tvaru 0, 8 /
zapsáno ve tvaru ∑
je posloupnost reálných čísel. Nechť K = , K = + ,
Definice 8: Nechť
a obecně, K = K
.
+
+ ⋯+
K =
+
+
,
.
nazýváme posloupností částečných součtů.
Mezi důležité typy řad patří: Geometrická řada tvaru: ∑ L = + L + L + ⋯ + aL +⋯ Každý následující člen řady je konstantním násobkem předchozího členu. Harmonická řada tvaru: ∑
= 1 + + + ⋯+ + ⋯
Součet této řady je nekonečný. Při studiu řad se zajímáme o jejich součty. 13
může být
je řada. Jestliže posloupnost částečných součtů K
Definice 9: Nechť ∑
k K, nazýváme K součtem řady a zapisujeme ∑
konverguje
K.
Jesliže K diverguje, říkáme, že řada diverguje nebo že nemá součet. Součet řad využíváme i při řešení příkladů jako jsou zápisy periodických čísel, které chceme zapsat jako zlomek. Příklad 4: Zapište 0, 3N jako zlomek: 0,333 …
Řešení: nejdříve si číslo přepíšeme jako geometrickou řadu. 0,333 … = ∑
/
A nyní najdeme součet této řady. Použijeme vzorec pro výpočet součtu geometrické řady. K= ∑
/
∙ O /P
Q RS R RS
=
1−L
=
Tím jsme získali hledaný zlomek. Příklad 5: Nalezněte -Tý částečný součet a také součet řady V
1 ( + 1)
Řešení: Nejdříve si vypíšeme několik prvních částečných součtů řady. K =
.
K =
.
+
K =
.
.
+
.
+
K =
.
.
+
.
+ ⋯+
(
)
Nyní si zlomek ze zadání rozložíme na součet parciálních zlomků. , 1 = + ( + 1)
W +1
Zlomek vynásobíme společným jmenovatelem, upravíme a tím získáme hodnoty A a B. , = 1, W = −1 Dostáváme tedy
(
)
= −
. Určíme K .
K = 1 − + − + − + ⋯− + −
,všechny členy kromě prvního a posledního se po
dvojicích odečtou, dostáváme tedy K =1− 14
1 . +1
Součet řady: K
lim
K = lim
→ →
K
O1 −
P = lim
1 − lim
→
=1−0 = 1
→
Součet této řady je 1. Nyní si uvedeme některé zákony a operaci s číselnými řadami: • Distributivní zákon Jestliže ∑ konverguje, pak pro libovolné :
konverguje též ∑:
• Asociativní zákon Nechť ∑ je konvergentní řada a nechť
D
∑:
Položme
/
= 0 a pro G
označme
konverguje a platí
= :∑
D
=
∑D
D
.
a platí
je rostoucí posloupnost přirozených čísel.
BXR
+
=∑
BXYZY
+ ⋯+
B
. Potom řada ∑D
D
.
• Komutativní zákon Analogie komutativního zákona pro konvergentní řady obecně neplatí a k jeho platnosti je potřeba silnější vlastnost, absolutní konvergenci. • Součet Jestliže ∑ a ∑ konvergentní a platí
jsou konvergentní řady a ∑ ∑
+
= ,, ∑
= W, potom ∑
+
) je
) = , + W.
Existují i různé kombinace řad. Věta 2: Jestliže řady ∑ a∑ jsou konvergentní a platí, že ∑ =K a∑ = T, pak řada ∑ + ) je konvergentní a ∑ + ) = K + T. Jestliže právě jedna z řad ∑ a ∑ diverguje, pak i řada ∑ + ) diverguje. Tuto problematiku si ukážeme na příkladu.
Příklad 6: Vyčíslete: V
3 + 4 12
Řešení: Nejprve si uvědomíme, že zlomek můžeme rozdělit na dva a vykrátit.
15
∑
=∑
Na závěr je sečteme. ∑
O
P=
P. Nyní si vezmeme každou řadu zvlášť a uděláme její součet.
O R [
R [
+
R Q
R Q
!
!
= . Výsledek je tedy . \
\
Věta 3: Jestliže řada ∑ k :K. Jestliže řada ∑
konverguje k K a : je konstanta, pak řada ∑ : diverguje, pak ∑ : také diverguje, je-li : ≠ 0. Tento typ řad popisuje následující příklad.
konverguje
Příklad 7: Rozhodněte, zda řada ∑
konverguje.
Řešení: Řadu si můžeme upravit na tvar ∑
∑
. Nyní už vidíme, že jsme získali řadu
, což je harmonická řada. Pomocí integrálního kritéria, lze dokázat, že tato řada
diverguje. Tudíž i řada ∑ Věta 4: Jestliže nebo divergují.
diverguje. pro všechna
' G, pak řady ∑
Důkaz: Nechť K a T jsou částečné součty řad ∑ a∑ K ⋯ ⋯ a T ⋯ D D D a tak K % T ⋯ ⋯ KD % TD . D % D
a∑
D
obě buď konvergují
, pak pro ⋯ ,
' G máme
Tudíž, K KD % TD T a lim → K = KD − TD + lim → T . Takže limita částečných součtů existuje buď u obou, nebo u žádné. Kritéria konvergence: Tato kritéria používáme, abychom zjistili, zda daná řada konverguje nebo diverguje. • Srovnávací kritérium U toho kritéria předpokládáme, že řada ≤ pro skoro všechna jestliže ∑ konverguje, pak ∑ konverguje, jestliže ∑ diverguje, pak ∑ diverguje.
. Potom
U těchto typů příkladů nejdříve zjišťujeme nutnou podmínku konvergence. Věta 5: Jestliže řada ∑ konverguje, pak lim → = 0. Postup řešení si ukážeme na následujícím příkladu. 16
Příklad 8: Pomocí srovnávacího kritéria zjistěte, zda konverguje řada: 1 +
V
Řešení: Nejprve prověříme nutnou podmínku konvergence. lim
→
Y
= 0, nutná podmínka tedy platí.
Aši řadu nyní srovnáme s jinou řadou, o které lze dokázat, že konverguje. Y
<
Y
pro
.
Zkusíme si vypsat některé členy, abychom zjistili, zda nerovnost platí: 1 < 2, 4 < 5, 9 < 10,… Nyní si vše shrneme: ∑ •
1
2
konverguje a
<
+
pro každé
=> ∑
Y
konverguje.
Limitní srovnávací kritérium
Předpokládáme, že lim
→
8 9
=+
^0, ∞). Jestliže
L < ∞, ∑ konverguje, pak ∑ konverguje, L ' 0, ∑ diverguje, pak ∑ diverguje.
• Odmocninové kritérium – Cauchyovo Jestliže _ _
) L & 1 pro skoro všechna
, pak ∑
( 1 pro nekonečně mnoho
,pak ∑
konverguje, diverguje.
Toto kritérium si ukážeme na dalším příkladu. Příklad 9: Rozhodněte o konvergenci řady: V
2 [7 + −1) ]
Řešení: Když se podíváme na tuto řadu, všimneme si, že lze rozepsat: 2 ∙ [c vezmeme zlomek jako d[c
) ]
=c
)
, kde si
a použijeme odmocninové kritérium.
. Nyní musíme rozlišit, kdy n bude liché a kdy sudé.
Pro n liché je výsledek , pro n sudé . Oba výsledky splňují podmínku q < 1, tedy i
) ]
< 1.
17
<1
Tedy jestliže konverguje řada ∑ •
[c
]
, pak konverguje i řada
∑
ZR
[c
]
.
Limitní odmocninové kritérium
Nechť existuje lim
→
_
L < 1 , pak ∑ L ' 1, pak ∑
^0, ∞) U 0 . Jestliže
=L
konverguje,
diverguje.
• Podílové kritérium – d´Alembertovo Jestliže 8 8
•
8 8
) L & 1 pro skoro všechna ( 1 pro skoro všechna
, pak ∑ , pak ∑
konverguje,
diverguje.
Limitní podílové kritérium
Nechť existuje lim
e
8
8
L < 1, pak ∑
^0, ∞) U 0 . Jestliže
=L
konverguje, L ' 1, pak ∑ diverguje. Tento typ kritéria si ukážeme na příkladu.
Příklad 10: Rozhodněte, zda konverguje řada: V
/
2
!
Řešení: Zadání si upravíme podle vzorce pro limitní podílové kritérium: lim
e
Y ZR ZR)! Y !
,
upravíme a zjistíme, že lim
→
Y ZR ZR)! Y !
= lim
0 < 1 => ∑
/
!
→
= 0.
konverguje.
• Integrální kritérium Uvažujme funkci g definovanou na ^1, ∞), která je zde nezáporná a nerostoucí. Dále nechť
g
)=
pro
, potom ∑
konverguje právě tehdy, když h g i ji konverguje.
Toto kritérium znázorňuje následující příklad. 18
Příklad 11: Dokažte, že konverguje řada: V
Řešení: Uvažujme integrál h
kY
1
ji .
Zkontrolujeme podmínky: g i) = k Y je kladná, spojitá, klesající. h
kY
T 1
ji = limT→∞ h1
i2
l
ji = liml→ m n = liml→ O k
l
+ 1P = 1
Z toho vyplývá, že jestliže konverguje nevlastní integrál h
kY
ji, pak konverguje i ∑
Y
.
Další částí, kterou je důležité zmínit jsou alternující řady. Alternující řada je speciálním případem řady, kdy její členy střídají znaménka. Každý člen má tedy opačné znaménko než předchozí. Lze je psát ve tvaru: ∑
%1)
nebo ∑
%1)
, kde
> 0 pro všechna
.
Řekneme, že řada ∑ konverguje absolutně, jestliže konverguje ∑| |. Jestliže ∑ konverguje a ∑| | diverguje, říkáme, že řada ∑ konverguje neabsolutně. %1) Dále platí: jestliže lim → = 0, pak ∑ konverguje. • ∑ konverguje, pak ∑ %1) konverguje absolutně • lim → = 0 a zároveň ∑ diverguje, pak ∑ %1) (relativně) • lim → ≠ 0, pak ∑ %1) diverguje
konverguje neabsolutně
Jak již bylo zmíněno, součet řady se uvádí ve tvaru K=∑ . Tento součet však lze psát i ve tvaru K K , kde K + + ⋯+ je n-tý částečný součet řady a = + + ⋯ je zbytek po -tém členu. tedy udává velikost chyby. Při těchto příkladech se také zabýváme odhadem velikosti zbytku. Mezi jednodušší způsoby odhadu zbytku patří – odhad součtu alternující řady, odhad součtu pomocí geometrické řady a integrální odhad. Je vhodné vždy použít typ odhadu podle tvaru zadané řady. 19
• Nechť
Odhad součtu alternující řady
je nerostoucí posloupnost kladných čísel taková, že lim | |< .
→
= 0. Potom platí
•
Odhad součtu pomocí geometrické řady Nechť ∑ je číselná řada, pro kterou platí o
8 ZR o 8
Pak |
≤ L < 1 pro všechna
|≤|
|
p
p
.
.
• Integrální odhad Nechť ∑ je konvergentní řada s nezápornými členy a a nerostoucí funkce na intervalu ^1, ∞). Potom
=g
), kde g je nezáporná
≤ h g i)ji .
Nyní se budeme věnovat mocninným řadám, které jsou specifickým případem funkčních řad. Definice 10: Uvažujeme-li g i) definovanou na intervalu q , potom symbol V g i) = g i) + g i) + ⋯ + g i) + ⋯
nazveme funkční řadou. Mocninné řady mají tvar
∑
/
i − i/ ) .
Definice 11: Buď posloupnost reálných čísel, i/ libovolné reálné číslo. Mocninnou řadou se středem v bodě i/ a koeficienty rozumíme řadu funkcí tvaru ∑
/
i − i/ )
=
0
+
i − i/ ) +
i − i/ ) + ⋯ +
i − i/ ) + ⋯ .
Pro počítání s mocninnými řadami jsou velmi důležité následující dva pojmy. Poloměr konvergence: Obor konvergence:
= rstuvw
_8
− , ) nebo 〈− , 〉, rozlišujeme podle toho,
jestli řada v krajních bodech intervalu konverguje nebo diverguje Následující příklad nám tento typ více upřesní.
20
Příklad 12: Určete poloměr a obor konvergence řady: V
/
2
∙i
Řešení: Abychom zjistili interval konvergence a následně obor konvergence, potřebujeme nejdříve zjistit poloměr konvergence. Ten vypočítáme následujícím způsobem: lim
)Y
→
ZR
Y = lim
∙
+1)2
→∞
2
1
∙ = 2
1
=2
2
Interval konvergence je −2,2). Nyní musíme zjistit, zda v bodech -2 a 2, řada konverguje či diverguje. i = −2: ∑
i = 2: ∑
/ /
Y Y
∙ −2) = ∑∞=0 %1) ∙
∙ 2) = ∑∞=0
Obor konvergence řady ∑
/
2
2
Y
tato řada diverguje tato řada také diverguje
je −2,2).
∙i
Definice 12: Řekneme, že posloupnost funkcí g i) konverguje stejnoměrně k funkci g i) na intervalu q , jestliže pro každé z > 0 existuje / tak, že pro všechna , ≥ /, a všechna i q platí |g i % g i | & z . Tento specifický typ řad se vyznačuje take svými vlastnostmi. ' 0 je poloměr konvergence řady ∑ i , pak tato řada stejnoměrně konverguje na každém uzavřeném podintervalu 〈− , 〉 intervalu − , ). Věta 6: Jestliže •
•
Součet řady je spojitá funkce na intervalu − , ). Pro všechna i
−R, R) je možné zaměnit pořadí integrálu a sumy
k
h/ ∑
/
T
jT = ∑
k / h/
T jT = ∑
k ZR
/
,
kde mocninná řada na pravé straně má stejný poloměr konvergence . •
Pro všechna i
−R, R) je možné zaměnit pořadí derivace a sumy ∑
/
i ´
∑
/
i ji)´ = ∑
/
i
,
kde mocninná řada na pravé straně má stejný poloměr konvergence .
21
Taylorova řada Tento typ řady se využívá v úlohách, kdy chceme danou funkci rozvinout do mocninné řady. Taylorovou řadou funkce g v bodě i/ nazveme mocninnou řadu V
/
g
)
i/ ) i − i/ ) , !
kde funkce g má v bodě i/ derivace všech řádů. Jestliže i/ = 0, pak mocninnou řadu nazveme Maclaurinovou řadou, pojmenovanou po Colinu Maclaurinovi.
Známé jsou také Maclaurinovy rozvoje některých elementárních funkcí, jako jsou ; k ,
sin i a cos i, ln 1 + i). • • • •
;k = 1 + x +
kY
+
!
+
k•
sin i = x -
cos i = 1 -
kQ kY !
!
+
ln 1 + i) = i -
kQ
+
-
k‚
!!
!
k[
kY !
!
c!
-
+
k[ !
+…=∑
+…=∑
kƒ \!
kQ !
+…=∑ -
k[ !
/
/ /
+…=∑
k
!
) k Y ZR )! ) kY )!
) ZR k
Mocninné řady se v aplikacích používají k přibližnému výpočtu funkčních hodnot a integrálů.
22
Praktická část 4. Posloupnosti a řady na střední škole Na středních školách a gymnáziích se posloupnosti a řady běžně vyučují. Na gymnáziích a školách zaměřených na studium matematiky se s nimi žáci setkávají ve větším rozsahu než na středních školách bez tohoto zaměření. Na rozdíl od základních škol mají žáci učebnice týkající se tohoto učiva. Tato tématika se na gymnáziích probírá většinou ve čtvrtém ročníku po dobu asi 3 až 4 měsíců. Pro mnoho žáků je to velmi zajímavé učivo, ale pokaždé se najdou takoví, pro které je daná problematika náročná. Nyní si rozebereme jednotlivá témata, se kterými se žáci středních škol, respektive gymnázií, setkávají.
4.1. Posloupnosti Učitelé na středních školách ví, že nemá cenu studentům přepisovat jednotlivé definice a věty z učebnic, protože jsou pro žáky mnohdy těžké na pochopení. A tak se je učí nazpaměť bez toho, aby jim rozuměli. Učitelé se tedy snaží definice co nejvíce zjednodušit a vybrat jen to podstatné. Středoškolská matematika v úlohách II od Josefa Poláka a Matematika Příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy od Jindry Petákové patří k velmi oblíbeným učebnicím středoškolských učitelů. Čerpají z nich různé typy příkladů nejen do běžných hodin, ale i do volitelných seminářů z matematiky. Nyní se tedy podíváme, jak je posloupnost vymezena na střední škole. Každá funkce, jejíž definiční obor je množina přirozených čísel, se nazývá posloupnost. Posloupnosti se dělí na: •
nekonečné – definičním oborem je celá množina přirozených čísel,
•
konečné – definičním oborem je podmnožina přirozených čísel.
Příklad posloupnosti je 2 )
= 2,
= 4,
= 6,
= 8,
!
= 10 2, 4, 6, 8, 10, …
Poznámka: ve středoškolských učebnicích se setkáváme s jiným označením závorek, místo množinových závorek se používají kulaté. Grafem posloupnosti jsou izolované body. Mohou být znázorněné •
Na přímce
•
V rovině
23
http://www.karlin.mff.cuni.cz/~portal/posloupnosti_a_rady/zadani.php?kapitola=graf
Posloupnost může být zadaná • Vzorcem : =2 •
Rekurentně:
•
Tabulkou:
„
n
Kde „ •
1 1
1,
2 2
2, 4, 6, 8, … 3
1
3 2
1, 4, 13, 40, ….
4 3
5 2
6 4
7 2
8 4
9 3
je funkce, jejíž definiční obor je množina přirozených čísel a .
Grafem:
http://www.karlin.mff.cuni.cz/~portal/posloupnosti_a_rady/zadani.php?kapitola=graf
•
Ústně, slovně
Následující dva příklady ukazují postup při zjišťování některých členů posloupnosti. Příklad 1: Napište prvních pět členů posloupnosti dané vzorcem pro -Tý člen: 3
Řešení: Nejdříve si uvědomíme, jak je posloupnost zadaná. V našem případě je to vzorcem, kde 3 a vidíme, že hodnoty n budeme volit od 1 do nekonečna. První člen posloupnosti je 3 ∙ 1 3, za n jsme dosadili číslo 1. Při hledání dalších členů postupujeme stejně jako u prvního, za n dále volíme číslo 2, pak 3, 4, … . 24
Prvních pět členů posloupnosti je: 3, 6, 9, 12, 15.(Odvárko, 1995) Příklad 2: Najděte prvních pět členů posloupnosti určené rekurentně: = 2, 3 , Řešení: Nyní už ze zadání vidíme, že první člen posloupnosti je číslo 2. Opět začneme volit čísla 1, 2, … za hodnotu n. Zvolíme 1. Dostáváme 3 , a hodnotu 2 už známe, můžeme tedy jen dosadit. 3 ∙ 2 6. Druhý člen posloupnosti je číslo 6. Dále opět postupujeme podle stejného principu jako doposud. Prvních pět členů posloupnosti jsou čísla: 2, 6, 18, 54, 162.(Odvárko, 1995) Na středních školách se dále uvádějí některé vlastnosti posloupností, zda posloupnost roste, klesá, je nebo není omezená. •
Posloupnost
se nazývá: rostoucí, právě když pro všechna , K platí: r & s ' … & † klesající, právě když pro všechna , K platí: r & s ' … ' † rostoucí
klesající
http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/posloupnosti/vlastnosti/vlastnosti.htm
•
Posloupnost
je: neklesající, právě když pro všechna platí:
)
(
nerostoucí, právě když pro všechna platí:
25
neklesající
nerostoucí
http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/posloupnosti/vlastnosti/vlastnosti.htm
Žáci se také mohou setkat s pojmem monotónní posloupnost. Není to však nic nového, je to označení pro rostoucí a klesající, neklesající a nerostoucí posloupnosti. Klesající a rostoucí posloupnosti se nazývají ryze monotónní posloupnosti. •
Posloupnost ) se nazývá: shora omezená, právě když existuje reálné číslo h takové, že pro všechna je ) ‡, zdola omezená, právě když existuje reálné číslo d takové, že pro všechna je ( j, omezená, právě když je omezená zdola i shora.
shora omezená
zdola omezená
omezená
http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/posloupnosti/vlastnosti/vlastnosti.htm
Výpočet omezenosti posloupností nebývá pro žáky těžký. Následující příklad detailně popisuje, jak by se mělo u takových příkladů postupovat.
26
Příklad 3: Určete, zda je následující posloupnost omezená: )
,
=
Řešení: V tomto příkladu je vhodné si nejdříve vypsat pár prvních členů této posloupnosti: ! \ c
2, , , , !, \, …
Nyní vidíme, že největší hodnota, které posloupnost dosahuje je číslo 2, a proto ji omezíme ze shora tímto číslem. Toto číslo označíme písmenem h jako horní omezení. Dále si všimneme, že posloupnost stále klesá k číslu jedna. Omezíme ji ze zdola číslem 1. Toto omezení označíme písmenem d jako dolní omezení. ℎ = 2, j = 1
Nyní se snažíme dokázat, že to opravdu budou tato čísla. Omezíme posloupnost ze shora. ≤ℎ
≤2
+1 ≤ 2
1≤
to platí, proto je shora omezená (1. podmínka) Nyní omezíme posloupnost ze zdola. ≥j
≥1
+1 ≥
1≥0
to platí, proto je zdola omezená (2. podmínka)
Aby platila omezenost posloupnosti, musí být omezená z obou stran. Z podmínek 1 a 2 vyplývá, že posloupnost
je omezená.
(Odvárko, 1995)
Matematická indukce je další pojem, se kterým se žáci středních škol a gymnázií setkávají. Jedná se o typ důkazu, který používáme při řešení některých specifických úloh. Důkaz matematickou indukcí se provádí při důkazech vět typu: ,,Jestliže platí výrok ˆ ), potom platí i výrok ˆ + 1)“.
Důkazy mohou být typu: převod rekurentní posloupnosti na posloupnost danou vzorcem, součet n členů posloupnosti, dělitelnost a další typy úloh.
Důkaz matematickou indukcí spočívá ve dvou krocích • dokážeme, že výrok ˆ ) platí pro = 1, •
pro každé přirozené číslo k dokážeme: jestliže platí výrok ˆ G), potom platí výrok ˆ G + 1)
ˆ G) nazýváme indukčním předpokladem a ˆ G + 1) je indukční tvrzení. 27
Matematická indukce patří spíše mezi složitější příklady. Jak se takový typ příkladu řeší, ukazuje následující příklad. Příklad 4: Je ( + 5 ) dělitelné 6?
6|
3
+5 )
Řešení: Tyto typy příkladů se dokazují pomocí matematické indukce. Důkaz: 1) V prvním kroku ukážeme, že tvrzení platí pro nejmenší přirozené číslo v definičním oboru. To dokážeme dosazením. =1∶
1 +5∙1=6
2) V druhém, indukčním, kroku chceme ukázat implikaci, že pokud tvrzení platí pro = G, pak platí i pro
= G + 1.
indukční předpoklad: = G =› indukční tvrzení: = G + 1 6| (G 5G) =› 6| [ G 1) + 5 G + 1)] Po dosazení G + 1 za n, nyní musíme dokázat, že G + 1) + 5 G + 1) je dělitelné šesti. G + 1) + 5 G + 1) = G + 3G + 3G + 1 + 5G + 5 = G + 5G) + 3G + 3G + 6
G + 5G) je indukční předpoklad, dokážeme tedy, že 3G + 3G + 6 je dělitelné šesti.
6| 3G + 3G + 6
3G + 3G + 6 = 3G G + 1) + 6
Mohou nastat tyto možnosti: 3G ∙ 2i a 3 ∙ 2i G + 1) Dostáváme: 6Gi a 6i G + 1)
Dokázali jsme tvrzení pro = G + 1. Dokázali jsme tedy, že tvrzení je pravdivé, pokud je pravdivé tvrzení pro = G . (Odvárko, 1995)
28
4.2. Aritmetická posloupnost Aritmetická posloupnost je první ze dvou specifických druhů posloupnosti, který se vyučuje na středních školách. Definice tohoto typu posloupnosti není nijak složitá. Posloupnost ) se nazývá aritmetická, právě když existuje takové reálné číslo j, že pro každé přirozené číslo j. Číslo j se nazývá diference aritmetické posloupnosti.
je
Body v grafu leží na jedné přímce.
http://www.karlin.mff.cuni.cz/~portal/posloupnosti_a_rady/specialni.php?kapitola=aritmeticka
Určení, zda je posloupnost aritmetická nebo ne, ukazuje příklad. Příklad 5: Vyšetřete, zda je daná posloupnost
aritmetická 5
2
Řešení: Nejdříve si vypíšeme několik prvních členů této posloupnosti. A to tak, že za n budeme dosazovat hodnoty od 1. Obecně platí následující vztah: % j 7, 12, 17, 22, … % j …12 % 7 5 % j …17 % 12 5 % j …22 % 17 5 Nyní už vidíme, že posloupnost 5 2 je aritmetická, neboť pro každé je rozdíl % j.(Polák, 1999) Někdy je nutné nejdříve vypočítat Š-‹ý člen posloupnosti, abychom mohli počítat dál. V těchto případech se používá vzorec
% 1 ∙ j.
29
U počítání s aritmetickou posloupností se také setkáváme s výpočtem součtu n členů. Součet označujeme jako K a udává součet všech členů dané posloupnosti. Můžeme si to
představit jako K = + + ⋯+ . Abychom nemuseli vždy počítat všechny členy posloupnosti, existuje vzorec, kde stačí znát jen první a poslední člen. K =
+
2
)
Postup, jakým se součet vypočítá, ukazuje další příklad. Příklad 6: Určete součet prvních dvanácti členů aritmetické posloupnosti = 0, j = 1,5.
)
, pro kterou platí:
Řešení: Při výpočtu tohoto příkladu si musíme uvědomit, že počítáme součet dvanácti členů, tedy K . Abychom mohli určit součet, je nutné znát první a poslední člen, známe, ale poslední člen ne. Ten musíme vypočítat jako první. Použijeme vzorec pro výpočet
=
=
+
− 1) ∙ j a dosadíme:
-tého členu
+ 12 − 1) ∙ j
= 0 + 11j
Dosadíme za hodnotu d a dostáváme = 16,5
Nyní už známe všechny hodnoty potřebné pro výpočet součtu. K = K
K
+ ) 2 12 = 0 + 16,5) 2 = 99
Součet prvních dvanácti členů této posloupnosti je 99. (Odvárko, 1995)
4.2.1. Užití aritmetické posloupnosti Příklad 7: Prodejna potravin obdržela nejnovější druh nealkoholického nápoje v plechovkách. Za účelem jeho propagace bude z plechovek při volné stěně jednoho regálu sestaven ,,rovnoramenný trojúhelník“: do nejspodnější vrstvy tohoto ,,trojúhelníku“ se postaví vedle sebe 25 plechovek, do každé následující vyšší o 1 plechovku méně, v nejhořejší vrstvě bude jediná plechovka. Kolik plechovek musí učeň Karel pro tuto stavbu přivézt ze skladu?
30
Řešení: Když se zamyslíme nad tímto příkladem, je jasné, že naším úkolem je spočítat součet plechovek v trojúhelníku, což představuje aritmetickou posloupnost. Známe hodnoty prvního a posledního členu posloupnosti, dosadíme tedy jen do vzorce. =1
!
= 25
j=1
Vzorec pro výpočet součte je: K =
+ ) 2 25 K = 1 + 25) 2 K = 325
Karel musí ze skladu přivést 325 plechovek. (Odvárko, 1995)
31
4.3. Geometrická posloupnost Geometrická posloupnost je druhým specifickým typem posloupností, s kterým se žáci středních škol setkávají. Posloupnost ) se nazývá geometrická, právě když existuje takové reálné číslo L, že pro každé přirozené číslo je = ∙ L, kde L je kvocient geometrické posloupnosti. Kvocient L je podíl dvou po sobě jdoucích členů posloupnosti. L=
Stejně jako u aritmetické posloupnosti, i tady se setkáváme se vzorci pro výpočet n-tého členu a pro výpočet součtu Š členů geometrické posloupnosti. n- tý člen: = ∙L součet: zde rozlišujeme dva případy L = 1: K =
∙
L ≠ 1: K =
∙
p p
Jakým způsobem postupujeme při zjišťování členů geometrické posloupnosti, ukazuje následující příklad. Příklad 8: Napište prvých pět členů geometrické posloupnosti, je-li
= 1, L = .
Řešení: Hodnotu prvního členu vidíme hned ze zadání, = 1. Další členy této posloupnosti zjistíme tak, že známé hodnoty vždy dosadíme do vzorce pro výpočet dalšího členu, =
∙ L.
=
Druhý člen vypočítáme jako získáváme = = !
=
∙ L. Dosadíme konkrétní hodnoty:
= . Stejným způsobem postupujeme i u dalších tří členů.
∙ L , tedy
=
∙ L , tedy ∙ L , tedy
∙ ,
= !
=
=
∙ , Œ
∙ ,
= 1 ∙ , a odtud
= !
=
Π\
Prvních pět členů této posloupnosti tvoří: 1, , , Œ,
Vicovský, Šilhavý, 1982)
32
.
\
(Kriegelstein, Pospíšil, Vencálek, Kučera, Huka, Gedei,
Graf předcházející posloupnosti je množina bodů, které neleží na jedné přímce.
http://www.karlin.mff.cuni.cz/~portal/posloupnosti_a_rady/specialni.php?kapitola=geometricka
Příklad 9: Geometrická posloupnost o šesti členech má součet všech šesti členů roven 63, součet sudých členů je 42. Určete tuto posloupnost. Řešení: V prvním kroku si vypíšeme hodnoty, které známe. K
K
=6
63
†•Žé
,L = ?
42 …
42
\
Nyní si stačí uvědomit, že hodnota členu je člen zvětšený q krát. Člen má hodnotu stejnou jako člen , ale ještě dvakrát zvětšenou o hodnotu q. Po této úvaze nám vzniknou dvě rovnice. ∙L
∙L
∙L
Vyjádříme si
∙L
∙ L!
21
42
:
∙ L
L
L!
42
'
∙ 1
L
L
21
'
p
pQ p• p Y p[
Zlomky dáme do rovnosti: p p∙
pQ
21
p•
1 L2 L4
p Y p[
21
1 L2 L4
Vynásobíme společným jmenovatelem a dostáváme: 21
p
odtud L
2.
K určení geometrické posloupnosti ještě musíme znát hodnotu prvního členu,
pY p[
33
.
=
\
Zkouška: = 1,
=
=1
+
+
= 2,
= 4,
+
+
= 8,
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63
!
!
+
\
= 16,
= 63, \
= 32
=
.L
Tím jsme získali hledanou geometrickou posloupnost. Kvocient této posloupnosti je L = 2, první člen má hodnotu = 1. (Kriegelstein, Pospíšil, Vencálek, Kučera, Huka, Gedei, Vicovský, Šilhavý, 1982)
4.3.1. Užití geometrické posloupnosti Pokles, růst •/ … stav na počátku období n … úrokové období p … úroková sazba •Š … stav po n obdobích =
/
O1 +
‘ P //
Příklad 10: Ve městě dnes žije 95 400 obyvatel. Kolik lidí bude ve městě žít za 6 let, jestliže každoroční přírůstek obyvatelstva lze odhadnout na 1,8 %? Řešení: Nejdříve si vypíšeme hodnoty, které víme ze zadání. “ = 1,8 % /
= 95 400
=6
Nyní potřebujeme zjistit =
\ \
0
“
O1 + 100P
\,
což je stav po šesti obdobích. Dosadíme tedy do vzorce.
1,8 6
= 95 400 O1 + 100P
= 106 178,12 obyvatel
Za šest let bude ve městě žít 106 178 obyvatel. Finanční matematika – zúročení vkladu, spoření, splácení úvěru Toto téma bývá v učebnicích matematiky zmíněno v souvislosti s finanční matematikou, která bývá pro žáky často náročným učivem. Finanční matematika je velmi 34
rozsáhlá, proto je ve školách výběr úloh omezen jen na ty, se kterými se můžeme setkávat v běžném životě, a to spoření, zúročení vkladu ale také splácení úvěru. ”/ … finanční částka
p … výše úrokové míry n … počet úrokových období q = q/ O1 +
‘ P //
q = q/ O1 + 0,85 ∙
osob
‘ P //
… násobíme číslem 0,85, protože 15 % činí daň z příjmu fyzických
Finanční matematika bývá s geometrickou v některých vzorcích je skryta geometrická řada.
posloupností
spojována,
protože
Geometrická řada, je řada, ve které je poměr dvou následujících členů konstantní, značíme jej q. Řada je tvaru +
∙L+
∙ L + ⋯ = ∑D
/
∙ LD
Tuto skutečnost si ukážeme na vzorci pro výpočet zúročení vkladu. q = q/ O1 +
‘ P //
Obecný vzorec si přepíšeme a dále budeme zvyšovat počet úrokových období. “ P 100 “ = 1: q = q/ O1 + P 100 “ = 2: q = q/ O1 + P 100 “ = 3: q = q/ O1 + P 100 = 0: q = q/ O1 +
Nyní už vidíme, kde je geometrická řada ukryta. Příklad 11: Kolik peněz musí pan Dvořák uložit, aby při ročním úročení 8,5% měl za 5 let 25 000 Kč? (Daně z úroků jsou 15 %.)
35
Řešení: Opět si nejdříve vypíšeme hodnoty, které vidíme hned v zadání. “ = 8,5 % =5
q! = 25 000
Hledáme tedy finanční částku q/ . Dosadíme do vzorce.
q = q/ O1 + 0,85 ∙ q/ = q/ =
q
O1+0,85∙
“ P 100
O1+0,85∙
8,5 5 P 100
‘ P //
25 000
q/ = 17 638,40 Kč
Pan Dvořák musí uložit 17 638 Kč.
36
4.4. Limita posloupností Dalším typem příkladů, který žáci středních škol a gymnázií musí umět vyřešit je limita posloupností. Nejdříve si uvedeme, co znamenají některé pojmy. Polák ve své knize Středoškolská matematika v úlohách II uvádí tuto definici. )
Definice 13: Posloupnost
je konvergentní, právě když existuje číslo
že platí: ke každému Ɛ > 0 existuje + Ɛ) nebo | − | < Ɛ. Číslo
/
nazýváme limitou posloupnosti
takové, že pro všechna
lim
Je třeba zmínit některé důležité limity: lim →
‘
= 0 a pro “ > 0 lim
/
je
ϵ
− Ɛ,
a označujeme = .
→
“ < 0 lim
≥
takové,
→
→ ‘
= 0, lim
→
neexistuje. Obecně tedy pro
= ∄, daná posloupnost diverguje.
Postup, kterým se zjišťuje, zda je daná posloupnost konvergentní či ne, ukazuje příklad. Příklad 12: Rozhodněte, které z uvedených posloupností jsou konvergentní, v kladném případě vypočtěte jejich limity: a) O
b) O
Y Y
Q
! Y
P
P
Řešení: a) Daná posloupnost je konvergentní. Vypočítáme tedy limitu. lim
→
Y
= lim
Y
R YP R YP
YO
→
YO
=
/ /
= =1
Zjistili jsme, že daná posloupnost je konvergentní a hodnota její limity je 1. b) Ze zadání vidíme, že tato posloupnost je divergentní. Pro ověření správnosti zkusíme vypočítat limitu. lim
lim
→ →
Q
! Y !
= lim
→
!
−
! Y
= lim
je rovna nule a lim ! ∙ →
Y
→
!
− lim ! ∙ →
Y
je nulová
Zjistili jsme, že limita neexistuje. Tato posloupnost limitu nemá, je divergentní.
(Odvárko, 1995)
Nyní si uvedeme některé věty o limitách.
37
)
Jsou-li posloupnosti
)
a
konvergentní a lim
jsou konvergentní také posloupnosti +
)
− 8
∙
O9 P :∙
• • • • •
)
= , pak
→
,
)
, ≠ 0,
, kde )
= , lim
→
, kde :
, c je konstanta, pak platí:
lim
→
+
) = lim
lim
→
∙
) = lim
lim lim lim
−
→ → →
:∙ 8
) = lim
− lim
→
→
) = : ∙ lim
O9 P =
+ lim
→
rst →— 8 rst →— 9
∙ lim
→
→ →
→
Příklad 13 : Vypočtěte limitu posloupnosti: lim ˜ → 2
+1
−2 ™ +5
+
Řešení: lim
→
Y
O
Y
= +0=
+
Q
P = lim
!
→
˜
YO
Y
R YP
QO R Y
+
QO
Y QP • QP
™ = lim
→
˜
Limita posloupnosti je . (Polák, 1999) Příklad 14: Vypočtěte limitu posloupnosti
lim _
+2 − )
→
Řešení: lim
lim
→ →
+ 2 − ) = lim
√ √
Y
Y
Y
= lim
→
√
→
dO
Y
P
√ Y
+ 2 − ) ∙ <√
= lim
→
Limita této posloupnosti je 1. (Polák, 1999)
38
˜d
==
Y Y
™
=
=1
R Y
+
R Y
Y Q • Q
™=
4.5. Nekonečné řady Nekonečné řady jsou posledním učivem vztahujícím se k tomuto k tématu, se kterým jsou žáci středních škol seznámeni. Teorie a význam jednotlivých pojmů, které uvádí Polák, je totožný s tím, který jsem zmínila v první části, proto se tím nebudeme znovu dopodrobna zabývat. Důležitou částí budou příklady. Je-li dána posloupnost
)
, pak výraz
+
+ ⋯+
+ ⋯ neboli ∑ ,
se nazývá nekonečná řada, přičemž číslům řady. Čteme - ,,suma členů
,…,
,
, … se pak říká členy nekonečné
, n rovno od 1 po nekonečno“.
Důležité pojmy:
K se nazývá Š-tý částečný součet nekonečné řady K =
K =
K =
+
+
+ ∙∙∙ +
K se nazývá součtem nekonečné řady
Součet je limita posloupnosti částečných součtů.
K = lim K e
Určení součtu nekonečné řady popisuje příklad. Příklad 15: Určete součet nekonečné geometrické řady: 1 V − ) 2 Řešení: V prvním kroku si vypíšeme několik prvních členů této řady. 1− + −…
Nyní, když se na řadu podíváme, vidíme kvocient, ten je L = − .
Abychom určili součet geometrické řady, stačí znát první člen známe, stačí už jen dosadit do vzorce.
39
a kvocient L. Obě hodnoty
K= K K
1%L
R Y
Součet této geometrické řady je . ( Polák, 1999) Nekonečná geometrická řada Nekonečná řada přiřazená geometrické posloupnosti s kvocientem L, se nazývá nekonečná geometrická řada s kvocientem L.
∑
∑
Je-li
L
= 0, nekonečná geometrická řada je konvergentní pro každé L a má součet K
Je-li
0.
≠ 0, nekonečná geometrická řada je konvergentní právě tehdy, když pro její
kvocient |q|& 1 tedy L %1,1 a pro její součet K platí K
8R
p
, L %1,1 .
4.5.1. Nekonečné geometrické řady – slovní úlohy Příklad 16: Určete délku křivky spirálového tvaru, která je složena z nekonečně mnoha polokružnic takových, že poloměr první, největší, polokružnice je
(|,W|
) a poloměr každé
následující polokružnice je dvakrát menší než poloměr předcházející polokružnice (|W›| |›œ|
…
…
,
,… .
Řešení: Nejdříve se zamyslíme nad zadáním. Máme určit délku křivky, znamená to tedy určit obvody jednotlivých polokružnic a sečíst je. Ze zadání víme, že poloměr první, největší 40
polokružnice je
a také to, že poloměry dalších polokružnic jsou vždy poloviční než jejich
předchozí. Můžeme si to zapsat = ,
Poloměry:
…
,…
Stejně si můžeme vypsat vzorce pro obvody: •
ž ,•
Ÿ…
,…
Nyní potřebujeme zjistit kvocient. Při tomto výpočtu vyjdeme z toho, co už známe. L
Y R
=
Ÿ…
∙
Ÿ…
Nyní už známe první člen i kvocient, dosadíme tedy do vzorce. • ž K ž ∙ 2 2ž 1%L 1%1 2 Délka křivky je 2 ž , což je obvod kružnice o poloměru . (Polák, 1999) Příklad 17: Do rovnostranného trojúhelníku , W › o straně délky
je vepsán kruh ¡ , do něho
rovnostranný trojúhelník , W › , do toho opět kruh ¡ , až do nekonečna. Určete: a) součet obsahů všech těchto trojúhelníků, b) součet obsahů všech těchto kruhů.
Řešení: Opět je nutné uvědomit si některé vztahy. a) Protože máme vypočítat součet obsahů, musíme nejdříve vypočítat některé obsahy, abychom mohli zjistit kvocient L. strana trojúhelníka:
,
8R
8
,
8Y
Z obrázku vidíme, že: 8
¢
%O P
¢
%
8Y
41
8
¢
=
8√
¢ =
=>
Nyní si můžeme rozepsat i výšky jednotlivých trojúhelníků. výška trojúhelníka: ¢ =
8√
,¢ =
£R
=
8√
Známe vše potřebné pro výpočet obsahu trojúhelníka, dosadíme tedy do vzorce.
¤ =
8R ∙£R
¤ =
8Y ∙£Y
=
8∙8
√Q Y
¥ √Q ∙8 Y [
=
= =
8Y √
∙ =
8Y √
∙ =
Œ
8Y √ 8Y √ \
Můžeme vypočítat kvocient L. ¦Y
L=¦ = R
¥Y √Q Rƒ ¥Y √Q [
8Y √
=
∙¢ 2
¤=
\
∙ 8Y
√
=
¦R
Pro výpočet součtu obsahů dosadíme do vzorce K¦ = ¥Y √Q [ R [
¦R
Kl =
= p
=
8Y √
∙ =
p
8Y √
Součet obsahů všech těchto trojúhelníků je
8Y √
.
.
b) Postup bude stejný jako v části a), nyní pracujeme s kruhy. Obsah kruhu je ¤ = ž . Potřebujeme si vyjádřit poloměry. = ¢ = ∙
Poloměry kruhů:
8√
=
8√ \
Už můžeme vypočítat obsahy: ¤ =ž
=ž∙O
¤ =ž
8√
=ž∙O
\
8√
P =ž
P =ž
8Y \
8Y
=
=
¦
R
8Y Ÿ Œ
= ¢ = ∙
8Y Ÿ 8Y Ÿ
Nyní spočítáme kvocient. L = ¦Y =
,
Œ
∙ 8Y Ÿ =
Pro výpočet součtu obsahů použijeme vzorec KD =
KD =
¦R
= p
¥Y § RY R [
=
8Y Ÿ
∙ =
8Y Ÿ ¨
Součet obsahů všech těchto kruhů je
8Y Ÿ (Polák, 1999) . ¨
42
¦R
p
.
8√
=
8√
Příklad 18: Je dán rovnostranný trojúhelník ABC o straně délky . Nad jeho výškou CD sestrojíme druhý rovnostranný trojúhelník DEC, nad jeho výškou EF třetí rovnostranný trojúhelník FEG, až do nekonečna. Vypočtěte součet obsahů všech těchto trojúhelníků.
Řešení: Stejně jako u předchozích úloh si nejdříve vypíšeme vztahy, které víme ze zadání. Strany:
= ,
8
Výšky: ¢ ¢
¢
8√
¢ %O P
%
£R Y
% £R √
'¢
8Y 8√
8Y
∙
√
' ¢
8√
8
Nyní vypočítáme dva obsahy trojúhelníků, abychom mohli určit kvocient. ¤ ¤ ¤
8R £R 8∙
¥√Q Y
8Y √
¥√Q Q¥ ∙ Y [
8Y √
∙
8Y √ Œ
8Y √
∙
\
V dalším kroku určíme kvocient. L
¦Y ¦R
8Y √ \
∙ 8Y
√
Už známe všechny hodnoty potřebné pro výpočet součtu obsahů, dosadíme tedy do vzorce. K†
¥Y √Q [ Q [
¥Y √Q [ R [
8Y √
∙
√3
Součet obsahů všech těchto trojúhelníků je
√3.
43
(Polák, 1999)
5. Posloupnosti a řady na základní škole Posloupnosti a řady se nevyskytují ve školních vzdělávacích programech základních škol. Jsou ale uvedeny v Rámcovém vzdělávacím programu pro základní vzdělávání, kde se nachází pod názvem Nestandardní aplikační problémy. „Důležitou součástí matematického vzdělávání jsou Nestandardní aplikační úlohy a problémy, jejichž řešení může být do značné míry nezávislé na znalostech a dovednostech školské matematiky, ale při němž je nutné uplatnit logické myšlení. Tyto úlohy by měly prolínat všemi tematickými okruhy v průběhu celého základního vzdělávání. Žáci se učí řešit problémové situace a úlohy z běžného života, pochopit a analyzovat problém, utřídit údaje a podmínky, provádět situační náčrty, řešit optimalizační úlohy. Řešení logických úloh, jejichž obtížnost je závislá na míře rozumové vyspělosti žáků, posiluje vědomí žáka ve vlastní schopnosti logického uvažování a může podchytit i ty žáky, kteří jsou v matematice méně úspěšní.“ (RVPZV, 2007) Tyto úlohy se tedy běžně na školách nevyučují, žáci se s nimi mohou setkat na různých matematických soutěžích, jako jsou Matematický klokan, Pythagoriády nebo různé Matematické olympiády. Matematický klokan je mezinárodní soutěž, která vznikla v Austrálii. Dnes se této soutěže účastní téměř tři miliony soutěžících ze 30 zemí našeho kontinentu. Soutěžící jsou rozděleni podle věku do pěti kategorií: Klokánek (4.-5.třída ZŠ), Benjamín (6.-7. třída ZŠ), Kadet (8.-9. třída ZŠ), Junior (1.-2. Ročník SŠ) a Student (3.-4. Ročník SŠ). Soutěží se ve všech krajích naší republiky v jednom termínu, takže žáci a studenti absolvují školní, oblastní, republikové a mezinárodní kolo ve své škole. Ve všech kategoriích soutěžící řeší 24 testových úloh, přičemž vybírá jednu z pěti nabízených možností řešení. Úlohy jsou seřazeny ve třech skupinách podle obtížnosti, za správnou odpověď získává soutěžící 3,4 nebo 5 bodů, za špatnou odpověď se jeden bod strhává. Aby výsledky soutěžících nebyly záporné, každý začíná s 24 body, takže lze tedy získat maximálně 120 bodů. V kategoriích Klokánek, Benjamín a Kadet a mají řešitelé 60 minut čistého času, v kategoriích Junior a Student je doba řešení 75 minut. Na základních školách se můžeme setkat také s kategorií Cvrček (2.-3. třída ZŠ). Zde žáci mají za úkol vyřešit 18 úloh a začínají s 18 body. Další pravidla už jsou stejná jako v ostatních případech. V olomouckém centru se vyhodnocují statistické výsledky za celou Českou republiku, nejlepší řešitelé v každé kategorii jsou odměněni věcnou cenou. Statistické výsledky spolu se zadáním soutěžních úloh a správnými odpověďmi jsou uveřejněny ve sborníku každého ročníku. 44
Pythagoriáda patří mezi oblíbené matematické soutěže. Je určena žákům 5., 6., 7. a 8. ročníků základních škol a jim odpovídajících ročníků víceletých gymnázií, kteří mají zájem o matematiku. Zúčastnit se této soutěže může každý žák příslušného ročníku. Soutěž má dvě kola, školní a okresní. Soutěžící řeší 15 úloh, které jsou založeny hlavně na prostorové představivosti a logickém uvažování. Matematická olympiáda je matematická vědomostní soutěž pořádaná každoročně jednotlivými školami. Většinou jsou žáci vybráni na základě svých vědomostí a výsledků z hodin, avšak najdou se i takoví jedinci, kteří si chtějí vyzkoušet, zda by uspěli či nikoli. První a druhé kolo matematické olympiády se tedy odehrává přímo ve školách, což je pro žáky výhodou, protože prostředí jim není cizí. Jejich úkolem je vypočítat vždy trojici příkladů. Tyto úkoly avšak nebývají tak lehké jako příklady z hodin, ale je potřeba se nad nimi zamyslet. Z mé zkušenosti vím, že žáci nemají tyto olympiády příliš v oblibě, protože si musí najít čas, aby dané úlohy vypočítali. Po těchto dvou kolech škola vybere nejlepší řešitele a ti po té postupují do okresního, podle úspěšnosti popřípadě až do krajského kola. Cílem všech těchto soutěží je zvýšit zájem o matematiku u co nejširšího počtu žáků. Při většině matematických soutěží se také nesmí používat ani kalkulačky, ani tabulky. Nyní se podíváme na některá zadání těchto soutěží.
45
http://gymklob.info/old/sites/default/files/1_0.jpg
V Matematickém Klokanovi je myšlenka řady směřována k příkladu 6. Žák si po přečtení zadání musí uvědomit, že pokud se jedná o čtvercové dlaždice, některé délky čar v obrázku budou stejné, jiné dvojnásobkem a další až trojnásobkem uvedené délky. Potom už zbývá jen dobře si rozmyslet, kolik bude jakých stran a nakonec sečíst hodnoty. Výsledek bude za C, délka zvýrazněné lomené čáry je 420 cm.
46
http://www.fzsmeziskolami.cz/matematika.html
V zadání Pythagoriády u příkladu 5 si všimneme, že je napsáno, aby žáci doplnili další tři členy řady, ale přitom je to posloupnost, jejíž členy mají najít. Žák si uvědomí, že na 1., 4., 7. a 10. místě jsou sudá čísla, na 13. místě tedy bude číslo 10. Dále by si měl uvědomit, že je zde jisté pravidlo, podle kterého je posloupnost sestavena. Vždy trojice čísel se liší o danou hodnotu, první tři čísla se liší o jedna, další tři čísla o dvě, další trojice o tři, je tedy jasné, že nyní bude následovat číslo čtyři. Chybějící čísla jsou 12,16 a 10. Podobné typy úloh se také nachází v různých publikacích, se kterými se žáci mohou setkat, například během přípravy k přijímacím zkouškám z matematiky nebo v různých knihách s hlavolamy.
47
5.1. Příklady Příklad 1: Fibonacciho čísla: 1,1,2,3,5,8,13,21,… Tato čísla vznikají tak, že se sečtou vždy dvě čísla stojící v řadě za sebou. Dále by tedy následovala čísla 34,55,89,… (Spencer, 2000) Příklad 2: Lucasova čísla: 1,3,4,7,11,18,… U těchto čísel postupujeme stejně jako v případě Fibonacciho čísel - sčítáme tedy poslední dvě čísla, abychom získali další. Následují 29,47,76,…(Spencer, 2000) Příklad 3: Do číselné řady 1,2,3,4,5,6,7,8,9 vložte libovolná znaménka, aby výsledek byl 100. Tato úloha má několik řešení, uvedeme si tedy alespoň dvě. 100 = 1 + 23 - 4 + 56 + 7 + 8 + 9 100 = (1 x 2 x 3 x 4) + 5 + 6 + (7 x 8) + 9 (Pěnčík, Pěnčíková, 1995)
Příklad 4: Doplňte další čtyři členy v řadě čísel: a) 50, 2, 49, 4, 48, 6, x, x, x, x b) 3, 6, 9, 12, 15, x, x, x, x c) 2, 5, 9, 14, 20, x, x, x, x Řešení: V řadě čísel musíme najít určitou „zákonitost“, jak spolu souvisejí dvě sousední čísla, případně jiné dvojice čísel. a) Využijeme dvou „zákonitostí“: 50, 49, 48, 47, 46, … a 2, 4, 6, 8, 10, ….. proto dostáváme: 50, 2, 49, 4, 48, 6, 47, 8, 46, 10, … b) Sousední čísla se liší o 3, výsledná řada tedy bude vypadat: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, … c) V této řadě si musíme uvědomit, že následující číslo vzniká tak, že k předchozímu postupně přičítáme čísla 3, 4, 5, 6, …. Dostáváme tedy: 2, 5, 9, 14, 20, 27, 35, 44, 54, … (Kubát, Zhouf, 2000)
48
Příklad 5: Doplň na místo hvězdiček chybějící čísla podle určitého pravidla, které platí mezi následujícími čísly: 2, 4, 3, 9, 4, 16, *, *, 6, 36 Řešení: Nyní si opět všímáme souvislosti mezi jednotlivými čísly a znovu využijeme dvou zákonitostí: 2, 3, 4, 5, …. a 4, 9, 16, 25, 36. V tomto druhém případě si musíme všimnout, že jednotlivá čísla se liší o 5, 7, 9, 11, … Naše hledaná čísla jsou tedy 5 a 25. (Kubát, Zhouf,2000) Příklad 6: Čísla 1, 3, 6, 10, 15, 21, *, *, 45 jsou zapsána podle určitého pravidla. V řadě dvě čísla chybí. Která to jsou? B) 28, 36 C) 30, 40 D) 23, 42 E) 37, 38 A) 9, 19 Řešení: Znovu si všímáme jistých souvislostí mezi sousedními čísly. 1+2=3
15 + 6 = 21
6 + 4 = 10
28 + 8 = 36
3+3=6
10 + 5 = 15
Chybějícími čísly jsou čísla 28 a 36.
21 + 7 = 28
36 + 9 = 45
(Růžičková, Kopecký, Molnár, 2000)
Příklad 7: Napiš další dvě čísla v řadě: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, ... Řešení: Opět vidíme, že sousední čísla se liší o hodnotu 3. Hledanými čísly tedy jsou 22 a 25. (Pythagoriáda 2010/2011, 5.ročník-školní kolo)
Příklad 8: Doplňte 2 čísla v posloupnosti: 1 17 6 13 10 10 13 8 15 Řešení: Z jedné posloupnoti si vytvoříme posloupnosti dvě- 1 6 10 13 15 a 17 13 10 8 První posloupnost čísel roste o čísla 5, 4, 3, 2 nyní tedy bude 1, takže následuje 16. Druhá posloupnost klesá o 4, 3, 2, nyní tedy o 1, bude následovat číslo 7. Hledaná čísla jsou tedy 16 a 7. Posloupnost bude vypadat 1 17 6 13 10 10 13 8 15 16 7. (Pythagoriáda 2010/2011, okresní kolo pro 8. ročník)
49
Závěr V této práci jsem se zabývala posloupnostmi a řadami, se kterými se mohou setkat žáci základních, středních a vysokých škol. Zjistila jsem, že danou problematikou se nejvíce zabývají vysoké školy, avšak základní vědomosti si odnášíme ze středních škol. V první, teoretické části jsem se zabývala posloupnostmi a řadami na vysokých školách. Je to téma opravdu rozsáhlé a je známé už po mnoho staletí. V druhé, praktické části jsem se zabývala převážně učivem na středních školách. Největší využití a následné uplatnění v budoucí kariéře má právě učivo středních škol, kde se žáci setkávají s finanční matematikou, která má uplatnění v mnoha dalších odvětvích. Základní školy se posloupnostmi a řadami nezabývají. Žáci základních škol se mohou s danou problematikou potkat v různých matematických soutěžích, které se zaměřují nejen na znalosti žáků, ale také na jejich logické myšlení. S tímto učivem se žáci setkávají, aniž by věděli, že se v daný moment zabývají posloupnostmi a řadami. Teorie související s posloupnostmi a řadami je mnohem rozsáhlejší, ale vyžaduje hlubší znalost matematické analýzy, která ale není důležitá pro využití na základní a střední škole, proto jsem se jí nezabývala. Případní zájemci ji mohou nalézt v uvedené literatuře. Téma této bakalářské práce mě přimělo nastudovat různé publikace a zamyslet se nad rozsahem a rozmanitostí učiva na jednotlivých stupních škol.
50
Seznam použité literatury •
GARNER, Lynn E.. Calculus and analytic geometry. Brigham Young University, Dellen Publishing Company, San Francisco, California, Collier Macmillan Publishers, London, Divisions of Macmillan, Inc.: 1988. ISBN 0023405902
•
DOŠLÁ, Zuzana, Jaromír KUBEN. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta. 2. vyd. Brno: 2012. ISBN 9788021058149
•
SPENCER, Adam. Kniha čísel. Praha: Albatros, 2000. ISBN 8000016605
•
PĚNČÍK, Jindřich – Jarmila PĚNČÍKOVÁ. Lámejte si hlavu. Olomouc: Prometheus, 1995. ISBN 807196011X
•
ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro gymnázia: Posloupnosti a řady. Praha: Prometheus, 1995. ISBN 8085849917
•
ŘEHÁK, Pavel. Pár informací o nekonečných řadách (doplňkový text k předmětu Matematická analýza 3), 2013
•
RŮŽIČKOVÁ, Bronislava, Milan KOPECKÝ, Josef MOLNÁR. Počítejte s Klokanem, kategorie „Benjamín“, sbírka úloh s řešením pro 6. a 7. ročník ZŠ z mezinárodní soutěže Matematický klokan 1995-1999. Olomouc: PRODOS, 2000. ISBN 8072300687
•
Přednášky a cvičení z Matematické analýzy 1,3
•
KUBÁT, Josef, Jaroslav ZHOUF. Přijímací zkoušky z matematiky na víceletá gymnázia. 2. vyd. Praha: Prometheus, 2000. ISBN 8071961701
•
Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání, VÚP. Praha: 2007.
•
KRIEGELSTEIN, Eduard, Antonín POSPÍŠIL, František VENCÁLEK, Vladimír KUČERA, Josef HUKA, Ján GEDEI, Karel VICOVSKÝ a Josef ŠILHAVÝ. Sbírka úloh z matematiky pro střední průmyslové školy a střední zemědělské technické školy. 10. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1982. ISBN 1434882
•
POLÁK, Josef. Středoškolská matematika v úlohách II. Prometheus, 1999. ISBN 8071961663
•
Výpisky z hodin matematiky ze 4. ročníku Gymnázia Vyškov
51
On-line zdroje: •
MATEMATICKÝ KLOKAN. Matematický klokan.net [online]. Axe-design, ©20042006 [vid. 2015-2-14]. Dostupné z: http://matematickyklokan.net/info.php
•
ŠIBRAVOVÁ, Lucie. Posloupnosti a řady. In: msekce.karlin.mff.cuni.cz[online]. [vid. 2015-2-14]. Dostupné z: http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/posloupnosti/limita/limita.htm
•
ŠIBRAVOVÁ, Lucie. Posloupnosti a řady. In: msekce.karlin.mff.cuni.cz [online]. [vid. 2015-2-14]. Dostupné z: http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/posloupnosti/
•
CHLUBNÝ, Jiří, Lenka SVOBODOVÁ. Zénón z Eleje. In: Antika.avonet.cz[online]. Prosinec 9, 2014. [vid. 2015-2-14]. Dostupné z: http://antika.avonet.cz/article.php?ID=1937
•
ELECTRICSCOTLAND. ElectricScotland.com[online]. [vid. 2015-2-14]. Dostupný z: http://www.electricscotland.com/history/nation/maclaurin.htm
•
TALENTCENTRUM. Pythagoriáda. Talentcentrum[online]. [vid. 2015-2-14]. Dostupný z: http://www.nidm.cz/talentcentrum/souteze/pythagoriada
•
HÁJEK, Viktor. Matematický klokan. In: gymklob.info[online]. Duben 23, 2009, 11:40 [vid. 2015-2-14]. Dostupný z: http://gymklob.info/old/sites/default/files/1_0.jpg
•
FRIČ, Jaromír. Matematická olympiáda, soutěže. In: fzsmeziskolami.cz[online]. 2009 [vid. 2015-2-14]. Dostupný z: http://www.fzsmeziskolami.cz/predmety/matematika/pyth_skolni_6_cast1.jpg
52
