MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra MATEMATIKY
Nestandardní a aplikační úlohy v geometrii Diplomová práce
Brno 2007
Vedoucí práce: RNDr. Růžena Blažková, CSc.
Autor práce: Lydie Špaňhelová
Prohlášení Prohlašuji, že jsem diplomovou práci zpracoval/a samostatně a použil/a jen prameny uvedené v seznamu literatury. Souhlasím, aby práce byla uložena na Masarykově univerzitě v Brně v knihovně Pedagogické fakulty a zpřístupněna ke studijním účelům Brně dne 20.dubna 2007
Lydie Špaňhelová
Poděkování Na tomto místě bych ráda poděkovala paní Růženě Blažkové, vedoucí mé diplomové práce, za velmi dobrou spolupráci. Dále bych chtěla poděkovat svému příteli za pomoc při tvorbě obrázků.
Obsah ÚVOD ...............................................................................................................................4 ÚLOHY PRO ROZVOJ PROSTOROVÉ PŘEDSTAVIVOSTI....................................12 ÚLOHY Z PLANIMETRIE............................................................................................16 OBJEMY A POVRCHY MNOHOSTĚNŮ, PROSTOROVÉ ÚLOHY ........................26 PLATÓNOVA TĚLESA ................................................................................................33 PRAVIDELNÝ ČTYŘSTĚN ...............................................................................................36 ČTYŘSTĚN DUÁLNÍ SÁM SE SEBOU................................................................................37 PRAVIDELNÝ ČTYŘSTĚN V KRYCHLI .............................................................................39 KRYCHLE A OSMISTĚN .................................................................................................41 1. Osmistěn „b“ v krychli „a“ ................................................................................41 2. Krychle „c“ v osmistěnu „b“..............................................................................43 3. Osmistěn „d“ vepsaný do krychle „c“................................................................45 PRAVIDELNÝ DVACETISTĚN .........................................................................................46 PRAVIDELNÝ DVANÁCTISTĚN .......................................................................................46 ZÁVĚR ...........................................................................................................................52 POUŽITÁ LITERATURA .............................................................................................54 RESUME ........................................................................................................................56
Úvod Právě v tyto dny probíhají na našich školách důležité legislativní změny. Každá škola by od 1. 9. 2007 měla začít vyučovat podle vlastního školního programu, který měla vypracovat dle pravidel vymezených v Rámcovém vzdělávacím programu (dále jen RVP), což je dokument vydaný ministerstvem školství. Tento dává každé škole jistou míru volnosti v tom, kdy zařazovat které učivo, kolik hodin se mu věnovat, jak jej předávat dětem apod. Dominantní změnou je, že škola se mění směrem k žákovi. Dříve se kladl důraz na učivo a způsob jeho předávání, nyní je tím důležitým elementem každý jednotlivý žák. Jedním z požadavků RVP v oblasti matematika a její aplikace je zavádění nestandardních a aplikačních úloh ve vyučování. Proto chci vytvořit sbírku úloh, která vyhovuje současným požadavkům RVP a bude přínosem všem učitelům, protože materiálů, které by vyhovovaly RVP je zatím málo. Chtěla bych ve své práci uvést několik zajímavých, netradičních úloh které je možné v hodinách geometrie použít. Úlohy by neměly bezprostředně vycházet ze znalostí předcházejícího učiva a neměly by být založeny jen na strohém výpočtu veličin jako je obvod, objem, povrch atp., jak je známe z většiny sbírek. O úlohách je nutno přemýšlet a z výsledků je třeba odvodit patřičný závěr. Ve většině úloh je nutné znát základní vzorce pro obsahy a objemy. Tyto znalosti však považuji za tak nezbytné, zejména do budoucí praxe, že je zbytečné hovořit o tom, zda by je žáci měli umět zpaměti či nikoli. Platónova tělesa, jimiž se zabývám v části práce jsou dobrým podnětem k práci ve skupinkách a k projektovému vyučování. Tyto moderní formy výuky jsou také v požadavcích RVP. Jedním z důvodů, proč jsem si vybrala téma Nestandardní a aplikační úlohy v geometrii je také to, že mnozí učitelé se s geometrií neradi setkávají. Geometrie je zrádná především pro nutnou míru představivosti, kterou nejenže nemusí disponovat žáci ale také učitelé. Proto je potřeba, aby žákům byly předkládány úlohy zajímavé, netradiční a především praktické, aby i ti, kteří mají problémy s představivostí, geometrii neodsoudili ale vycítili její nezbytnou roli v životě každého člověka.
4
1. Rámcový vzdělávací program (RVP) Cíle a obsah výchovy a vzdělávání ve školách obsahují dokumenty vydané nebo schválené ministerstvem školství mládeže a tělovýchovy (MŠMT). V roce 2000 byl v ČR vydán Národní program rozvoje vzdělávání v České republice, tzv. Bílá kniha. Tento dokument vymezil nové směry vzdělávací politiky a na jeho základě se od roku vydání Bílé knihy připravují nové dokumenty, a to jak na úrovni státní, tak na úrovni školní. Státní program vzdělávání (SPV), který byl připravován na státní úrovni, vymezuje zásady pro tvorbu rámcových a školních vzdělávacích programů. Obsahuje obecné cíle vzdělávání, oblasti vzdělávání, zásady pro tvorbu rámcových a školních vzdělávacích programů a jiné legislativní a organizační podmínky. Dále byl na státní úrovni vypracován Rámcový vzdělávací program pro předškolní, základní, gymnasiální a střední odborné vzdělávání. Školní vzdělávací programy (ŠVP) jsou vypracovány samotnými školami a vycházejí z pokynů RVP.
Pojetí základního vzdělávání Podle RVP(16 ) je pojetí základního vzdělávání na 2. stupni budováno na širokém rozvoji zájmů žáků, na vyšších učebních možnostech žáků a na provázanosti vzdělávání a života školy se životem mimo školu. To umožňuje využít náročnější metody práce i nové zdroje a způsoby poznávání, zadávat komplexnější a dlouhodobější úkoly či projekty a přenášet na žáky větší odpovědnost ve vzdělávání i v organizaci života školy. Základní vzdělávání vyžaduje na 1. i na 2. stupni podnětné a tvůrčí školní prostředí, které stimuluje nejschopnější žáky, povzbuzuje méně nadané, chrání i podporuje žáky nejslabší a zajišťuje, aby se každé dítě prostřednictvím výuky přizpůsobené individuálním potřebám optimálně vyvíjelo v souladu s vlastními předpoklady pro vzdělávání. K tomu se vytvářejí i odpovídající podmínky pro vzdělávání žáků se speciálními vzdělávacími potřebami. Přátelská a vstřícná atmosféra vybízí žáky ke studiu, práci i činnostem podle jejich zájmu a poskytuje jim prostor a čas k aktivnímu učení a k plnému rozvinutí jejich osobnosti. Hodnocení výkonů a pracovních výsledků žáků by mělo být postaveno na plnění konkrétních a splnitelných úkolů, na posuzování individuálních změn žáka a pozitivně laděných hodnotících soudech. Žákům má být dána možnost zažívat úspěch, nebát se chyby a pracovat s ní. V průběhu základního 5
vzdělávání žáci postupně získávají takové kvality osobnosti, které jim umožní pokračovat ve studiu, zdokonalovat se ve zvolené profesi a během celého života se dále vzdělávat a podle svých možností aktivně podílet na životě společnosti.
Cíle základního vzdělávání Základní vzdělávání má žákům pomoci utvářet a postupně rozvíjet klíčové kompetence a poskytnout spolehlivý základ všeobecného vzdělání orientovaného zejména na situace blízké životu a na praktické jednání. V základním vzdělávání se proto usiluje o naplňování těchto cílů: • umožnit žákům osvojit si strategie učení a motivovat je pro celoživotní učení • podněcovat žáky k tvořivému myšlení, logickému uvažování a k řešení problémů • vést žáky k všestranné, účinné a otevřené komunikaci • rozvíjet u žáků schopnost spolupracovat a respektovat práci a úspěchy vlastní i druhých • připravovat žáky k tomu, aby se projevovali jako svébytné, svobodné a zodpovědné osobnosti, uplatňovali svá práva a naplňovali své povinnosti • vytvářet u žáků potřebu projevovat pozitivní city v chování, jednání a v prožívání životních situací; rozvíjet vnímavost a citlivé vztahy k lidem, prostředí i k přírodě • učit žáky aktivně rozvíjet a chránit fyzické, duševní a sociální zdraví a být za ně odpovědný • vést žáky k toleranci a ohleduplnosti k jiným lidem, jejich kulturám a duchovním hodnotám, učit je žít společně s ostatními lidmi • pomáhat žákům poznávat a rozvíjet vlastní schopnosti v souladu s reálnými možnostmi a uplatňovat je spolu s osvojenými vědomostmi a dovednostmi při rozhodování o vlastní životní a profesní orientaci.
Klíčové kompetence Klíčové kompetence představují souhrn vědomostí, dovedností, schopností, postojů, názorů a hodnot
důležitých pro osobní rozvoj a uplatnění každého člena
společnosti. Smyslem a cílem vzdělávání je vybavit všechny žáky souborem klíčových kompetencí na úrovni, která je pro ně dosažitelná. Klíčovým kompetencím neučíme každé zvlášť, ale tyto se musí navzájem prolínat. V etapě základního vzdělávání jsou za klíčové považovány: kompetence k učení; kompetence k řešení problémů; kompetence 6
komunikativní; kompetence sociální a personální; kompetence občanské; kompetence pracovní.
Vzdělávací oblasti Vzdělávací obsah základního vzdělávání je v RVP ZV orientačně rozdělen do devíti vzdělávacích oblastí. Jednotlivé vzdělávací oblasti jsou tvořeny jedním vzdělávacím oborem nebo více obsahově blízkými vzdělávacími obory: 1. Jazyk a jazyková komunikace (Český jazyk a literatura, Cizí jazyk) 2. Matematika a její aplikace (Matematika a její aplikace) 3. Informační a komunikační technologie (Informační a komunikační technologie) 4. Člověk a jeho svět (Člověk a jeho svět) 5. Člověk a společnost (Dějepis, Výchova k občanství) 6. Člověk a příroda (Fyzika, Chemie, Přírodopis, Zeměpis) 7. Umění a kultura (Hudební výchova, Výtvarná výchova) 8. Člověk a zdraví (Výchova ke zdraví, Tělesná výchova) 9. Člověk a svět práce (Člověk a svět práce) Učivo, vymezené v RVP ZV, je doporučené školám k distribuci a k dalšímu rozpracování do jednotlivých ročníků nebo delších časových úseků. Na úrovni ŠVP se stává učivo závazné. RVP ZV umožňuje propojení (integraci) vzdělávacího obsahu na úrovni témat, tematických okruhů, případně vzdělávacích oborů. Integrace
Matematika a její aplikace Tato vzdělávací oblast klade důraz především na aktivní činnosti, a to jak na práci s matematickými objekty, tak na situace reálné, dále je důležité osvojování si myšlenkových postupů a pojmů matematiky. Žáci si postupně osvojují některé pojmy, algoritmy, terminologii, symboliku a způsoby jejich užití. Vzdělávací obsah vzdělávacího oboru Matematika a její aplikace je rozdělen na čtyři tematické okruhy: 1. Čísla a početní operace 2. Závislosti, vztahy a práce s daty 3. Geometrie v rovině a v prostoru - žáci určují a znázorňují geometrické útvary a geometricky modelují reálné situace, hledají podobnosti a odlišnosti útvarů, které se vyskytují všude kolem nás, uvědomují si vzájemné polohy objektů v rovině (resp. v prostoru), učí se porovnávat, odhadovat, měřit délku, velikost úhlu, obvod a 7
obsah (resp. povrch a objem), zdokonalovat svůj grafický projev. Zkoumání tvaru a prostoru vede žáky k řešení polohových a metrických úloh a problémů, které vycházejí z běžných životních situací. 4. Nestandardní aplikační úlohy a problémy - řešení takových úloh může být do určité míry nezávislé na znalostech a dovednostech školské matematiky. Nezbytným prvkem však je uplatňovat při řešení úloh logické myšlení. Tyto úlohy by měly prolínat všemi tematickými okruhy v průběhu celého základního vzdělávání. Žáci se učí řešit problémové situace a úlohy z běžného života, pochopit a analyzovat problém, utřídit údaje a podmínky, provádět situační náčrty, řešit optimalizační úlohy. Žáci se učí využívat prostředky výpočetní techniky (především kalkulátory, vhodný počítačový software, určité typy výukových programů) a používat některé další pomůcky, což umožňuje přístup k matematice i žákům, kteří mají nedostatky v numerickém počítání a v rýsovacích technikách. Zdokonalují se rovněž v samostatné a kritické práci se zdroji informací. Protože není dost materiálů pro toto téma, rozhodla jsem se sestavit sbírku vhodných nestandardních a aplikačních úloh, které by měly odpovídat požadavkům Rámcového vzdělávacího programu. Tato sbírka může zároveň sloužit jako materiál pro individuální přístup k dětem s matematickým nadáním. Geometrické výpočty jsou založeny na bezpodmínečných znalostech základních vzorců pro obsah, které lze uplatnit jak při výpočtech planimetrických příkladů, tak při počítání objemů a povrchů těles v prostoru. Dalším důležitým učivem, na kterém stojí geometrie je znalost Pythagorovy věty, která v rovině umožní výpočty délek stran daných útvarů, v rovině ji pak využíváme pro počítání povrchů a objemů těles.
Cílové zaměření vzdělávací oblasti Vzdělávání v dané vzdělávací oblasti směřuje k utváření a rozvíjení klíčových kompetencí tím, že vede žáka k: – využívání matematických poznatků a dovedností v praktických činnostech – odhady, měření a porovnávání velikostí a vzdáleností, orientace – rozvíjení paměti žáků prostřednictvím numerických výpočtů a osvojováním si nezbytných matematických vzorců a algoritmů – rozvíjení kombinatorického a logického myšlení, ke kritickému usuzování a srozumitelné a věcné argumentaci prostřednictvím řešení matematických problémů
8
– rozvíjení abstraktního a exaktního myšlení osvojováním si a využíváním základních matematických pojmů a vztahů, k poznávání jejich charakteristických vlastností a na základě těchto vlastností k určování a zařazování pojmů – vytváření zásoby matematických nástrojů (početních operací, algoritmů, metod řešení úloh) a k efektivnímu využívání osvojeného matematického aparátu – vnímání složitosti reálného světa a jeho porozumění; k rozvíjení zkušenosti s matematickým modelováním (matematizací reálných situací), k vyhodnocování matematického modelu a hranic jeho použití; k poznání, že realita je složitější než její matematický model, že daný model může být vhodný pro různorodé situace a jedna situace může být vyjádřena různými modely – provádění rozboru problému a plánu řešení, odhadování výsledků, volbě správného postupu k vyřešení problému a vyhodnocování správnosti výsledku vzhledem k podmínkám úlohy nebo problému – přesnému a stručnému vyjadřování užíváním matematického jazyka včetně symboliky,prováděním rozborů a zápisů při řešení úloh a ke zdokonalování grafického projevu – rozvíjení spolupráce při řešení problémových a aplikovaných úloh vyjadřujících situace z běžného života a následně k využití získaného řešení v praxi; k poznávání možností matematiky a skutečnosti, že k výsledku lze dospět různými způsoby – rozvíjení důvěry ve vlastní schopnosti a možnosti při řešení úloh, k soustavné sebekontrole při každém kroku postupu řešení, k rozvíjení systematičnosti, vytrvalosti a přesnosti, k vytváření dovednosti vyslovovat hypotézy na základě zkušenosti nebo pokusu a k jejich ověřování nebo vyvracení pomocí protipříkladů
Vzdělávací obsah vzdělávacího oboru 2. stupeň 1. Číslo a proměnná 2. Závislosti, vztahy a práce s daty 3. Geometrie v rovině a v prostoru Očekávané výstupy Žák: – zdůvodňuje a využívá polohové a metrické vlastnosti základních rovinných útvarů při řešení úloh a jednoduchých praktických problémů; využívá potřebnou matematickou symboliku 9
– charakterizuje a třídí základní rovinné útvary – určuje velikost úhlu měřením a výpočtem – odhaduje a vypočítá obsah a obvod základních rovinných útvarů – využívá pojem množina všech bodů dané vlastnosti k charakteristice útvaru a k řešení polohových a nepolohových konstrukčních úloh – načrtne a sestrojí rovinné útvary – užívá k argumentaci a při výpočtech věty o shodnosti a podobnosti trojúhelníků – načrtne a sestrojí obraz rovinného útvaru ve středové a osové souměrnosti, určí osově a středově souměrný útvar – určuje a charakterizuje základní prostorové útvary (tělesa), analyzuje jejich vlastnosti – odhaduje a vypočítá objem a povrch těles – načrtne a sestrojí sítě základních těles – načrtne a sestrojí obraz jednoduchých těles v rovině – analyzuje a řeší aplikační geometrické úlohy s využitím osvojeného matematického aparátu
Učivo – rovinné útvary – přímka, polopřímka, úsečka, kružnice, kruh, úhel, trojúhelník, čtyřúhelník (lichoběžník, rovnoběžník), pravidelné mnohoúhelníky, vzájemná poloha přímek v rovině (typy úhlů), shodnost a podobnost (věty o shodnosti a podobnosti trojúhelníků) – metrické vlastnosti v rovině – druhy úhlů, vzdálenost bodu od přímky, trojúhelníková nerovnost, Pythagorova věta – prostorové útvary – kvádr, krychle, rotační válec, jehlan, rotační kužel, koule, kolmý hranol – konstrukční úlohy – množiny všech bodů dané vlastnosti (osa úsečky, osa úhlu, Thaletova kružnice), osová souměrnost, středová souměrnost 4. Nestandardní a aplikační úlohy a problémy
Očekávané výstupy Žák: – užívá logickou úvahu a kombinační úsudek při řešení úloh a problémů a nalézá různá řešení předkládaných nebo zkoumaných situací 10
– řeší úlohy na prostorovou představivost, aplikuje a kombinuje poznatky a dovednosti z různých tematických a vzdělávacích oblastí Učivo – číselné a logické řady – číselné a obrázkové analogie – logické a netradiční geometrické úlohy
11
Úlohy pro rozvoj prostorové představivosti Úloha 1: (převzato z (8) ) Kruhy z papíru 1-6 byly přeloženy podle svého průměru a z každého byla po přeložení odstřižena vyznačená část (viz obr.). Ke každému přeloženému půlkruhu nakresli, jak vypadá nepřeložený kruh po vystřihnutí dané části.
Řešení:
Úloha 2: (převzato z (8) ) Kruhy z papíru byly přeloženy postupně podle dvou navzájem kolmých průměrů. Z každého byla po přeložení odstřižena vyznačená část (dle obr.). Do prázdných kruhů nakresli, jak bude zbytek kruhu vypadat po vystřižení dané části.
Řešení:
12
Úloha 3: Urči názvy těles, která lze sestavit z obrázků A, B, C, D :
A
B
C
D
Řešení: A – krychle, B- pravidelný čtyřboký jehlan, C- kvádr, D – hranol bez jedné podstavy.
Úloha 4: (inspirací byla úloha z (10) ) Na obrázcích A a B je nárys, půdorys a bokorys tělesa, urči, o jaké těleso jde. A
B
Řešení: A-Jde o polokouli, B- půl válce
Úloha 5: (převzato z (18) ) Vpravo vidíš díly dřevěné stavebnice, které jsou vytvořeny, ze tří nebo čtyř malých kostek. Kterou ze staveb na obrázcích (A) až (D) nelze postavit z našich dílů?
13
Řešení: Všechny stavby na obrázcích (A) až (D) lze sestavit z dílů stavebnice.
Úloh 6: Na obrázku je stavba z kostek. Nakresli pohledy zepředu (nárys), zprava (bokorys), zleva (bokorys), zdola a shora (půdorys). Řešení: 1. zepředu:
2. zprava:
4. zdola:
5. shora:
3. zleva:
Úloha 7: ( inspirací byla úloha z (1) ) Na obrázku jsou krychle, kterými prochází přímky. Nejprve si promysli polohu přímek v krychli, a potom situaci znázorni pomocí plastelíny a párátek. Body, kterými přímky prochází jsou buď středy hran nebo jsou to vrcholy krychle. p =↔ AB , q =↔ CD , r =↔ KL , s =↔ MN , u =↔ GH , v =↔ EF .
14
Úloha 8: (inspirace z (3)) Na obrázku je kótovaný půdorys tělesa, které je složené z kostek. Nakresli nárys a bokorys ( zprava i zleva) tohoto tělesa.
Vzorový příklad:
Těleso sestavené podle kótovaného půdorysu:
Řešení: nárys:
bokorys (pravý):
bokorys (levý):
Úloha 9: Podle kótovaného nárysu tělesa složeného z kostek udělej náčrt tohoto tělesa a nakresli jeho půdorys. Pro závorku (x,y,z) platí: x = počet kostek v první řadě, y = počet kostek ve druhé řadě, z = počet kostek v řadě třetí.
Vzorový příklad: těleso podle kótovaného nárysu:
půdorys:
Řešení: těleso:
půdorys:
15
Úlohy z planimetrie Úloha 1: (úloha převzata z (2) ) Ze čtyř čtverců je možné sestavit následující tvary: 1.
2.
3.
4.
5.
Kterými z nich lze bezezbytku pokrýt obrázky A a B?
A
B
Řešení: Obrázek A lze pokrýt tvary 1, 3, 4. Obrázek B můžeme pokrýt tvary 1, 2. a 5.
Úloha 2: (zadání převzato z (18) ) Rovnostranný trojúhelník ACD se otáčí kolem bodu A proti směru hodinových ručiček. Určete velikost úhlu otočení v okamžiku, kdy překryje rovnostranný trojúhelník ABC.
Řešení: Uvědomíme-li si, že rovnostranný trojúhelník má všechny úhly rovny 60°, a že pokud by se otočil kolem bodu A na své původní místo, pak by byl úhel otočení 360°. K otočení o 360° mu však chybí jedna „fáze“ tj. 60°. Velikost úhlu otočení je tedy 360°60° = 300°.
16
Úloha č. 3: (zadání převzato z (18) ) Prstenec s vnitřním průměrem 4 cm a vnějším průměrem 6 cm jsou spolu propojeny stejně jako na obrázku. Kolik prstenců potřebujeme, abychom dostali řetěz dlouhý 1,7 m?
Řešení: První prstenec zaujímá délku 6 cm, pokud k němu přidáme další, zvětší se řetěz o 4 cm, protože 2cm se „ztratí“ z důvodu překrývání kroužků.
S každým
dalším
přidaným
prstencem se řetěz prodlouží o 4 cm. Máme tedy jeden prstenec, který řetěz prodlouží o 6 cm a neznámý počet prstenců x, který jej prodlouží o 4 . x cm. 1,7 m = 170 cm Odečteme-li od délky řetězce délku, kterou zaujímá první prstenec: 170 - 6 = 164, dostaneme délku, kterou tvoří jen prstence, které řetězec prodlužují o 4 cm. Když 164 : 4 = 41, máme počet prstenců, které vytvoří řetězec dlouhý 164 cm. Připočteme-li k nim ještě první prstenec, který jsme na začátku odečetli, dostáváme, že řetězec o délce 170 cm je tvořen 42 prstenci.
Úloha č. 4: (zadání převzato z (18) ) Určete velikost průměru kružnice na obrázku .
Řešení: Na první pohled se může zdát, že pro vyřešení této úlohy budeme muset počítat. Avšak podíváme-li
se
na
obrázek
s jakýmsi
odstupem, zjistíme, že hledáme druhou úhlopříčku obdélníka ABCD, která je zároveň 17
poloměrem kružnice.. Víme, že úhlopříčky v obdélníku jsou shodné, tudíž průměr kružnice je 2 . 5cm = 10 cm.
Úloha č. 5: Odvoďte vztah
S=
a.b.c 4r
pro výpočet obsahu trojúhelníka ABC, kde a,b,c jsou délky
stran trojúhelníka a r je poloměr kružnice trojúhelníku opsané.
Řešení: Budeme vycházet z obecného vztahu pro obsah trojúhelníka
1 c ⋅ vc 2
S=
[4].
V tomto vztahu je
jedna neznámá, a tou je vc. Pomocí goniometrické funkce sinus, odvodíme vztah pro výpočet vc. Pro trojúhelník APC platí: úsečka CP je výška na stranu c. Dále sin α =
vc ⇒ v c = b ⋅ sin α . Tento b
vztah pro výšku tedy dosadíme do vztahu [4] a dostáváme : S =
1 c ⋅ b ⋅ sin α [5] . Nyní 2
se však neznámou stal sinα . Z obrázku je zřejmé, že úhel BSC je středový úhel a úhel BAC je úhel obvodový. Oba tyto úhly přísluší stejnému oblouku kružnice (CB), a proto platí p BSC = 2α . Trojúhelník BSC je rovnoramenný, s délkami ramen r. Úsečka ST je výškou trojúhelníka SBC a půli stranu a a úhel BSC. Z pravoúhlého trojúhelníka STC vypočítáme sin α = dosadíme do vztahu [5] a po úpravách získáváme S =
a 2
r
=
a . Tento vztah 2⋅r
a ⋅b⋅c . 4⋅r
Úloha 6:
Určete vzorec pro výpočet obsahu trojúhelníka ABC, jestliže znáte poloměr kružnice vepsané ρ, a délky stran trojúhelníka a, b, c.
18
Podle obrázku, rozdělíme trojúhelník ABC, na trojúhelníky: ABS, BSC a ASC. Když spočítáme obsahy těchto tří trojúhelníku a následně je sečteme dostaneme obsah trojúhelníku ABC. V každém ze tří trojúhelníků, známe stranu a výšku na tuto stranu, která je u všech trojúhelníků stejná a je rovna poloměru kružnice vepsané ρ. Pro trojúhelník ABS: S1 =
c⋅ρ a⋅ρ b⋅ρ , pro ∆ BSC: S 2 = a pro ∆ ASC: S 3 = 2 2 2
S = S1 + S 2 + S 3 S= S=
c⋅ρ a⋅ρ b⋅ρ + + 2 2 2
ρ
2
(a + b + c )
Úloha 7:
Vypočítej obsah H vybarvených částí tzv. Hippokratových půlměsíčků. Bod S1 je střed Thaletovy kružnice, bod S2 je středem strany b a zároveň je středem kružnice K2 a bod S3 je střed strany a a zároveň je středem kružnice K3. AB = c, BC = a, AC = b
Řešení: 1. Vypočítáme obsah dvou kruhových úsečí, které vzniknou odečtením obsahu trojúhelníka ABC od poloviny obsahu kruhu vytvořeného Thaletovou kružnicí. Tento obsah budeme značit P. 2. Sečteme obsahy obou půlkruhů SK2 a SK3 a od tohoto čísla odečteme obsah P. SK2 + SK3 − P = H . 19
1. 2 a ⋅b 1 c P = π ⋅ − 2 2 2 2 π ⋅c a ⋅b P= − 8 2
2. 2 2 1 b 1 a SK2 + SK3 = π + π 2 2 2 2 2 2 πb πa SK2 + SK3 = + 8 8
πb 2
πa 2
πc 2
a ⋅b 8 8 8 2 π a ⋅b H = a2 + b2 − c2 + 8 2 a ⋅b H= 2 H=
+
(
−
+
)
Závěr: Obsah Hippokratových půlměsíčků je roven obsahu pravoúhlého trojúhelníka, nad kterým jsou sestrojeny.
Úloha 8:
(zadání převzato z (19) ) Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dán střed S kružnice opsané, střed D strany AB a těžiště T (viz obr.).
Postup: 1. → DS 2. → p; p ⊥→ DS ∧ D ∈ p
3. → q; D ∈ q ∧ T ∈ q 4. l ; l (T ,2 DT ) 5. C ; C ∈ (q ∩ l ) 6. k ; k (S , SC ) 7. A, B; A, B ∈ k ∩ p 8. ∆ABC
20
Úloha 9:
(úloha převzata z (19) ) Vpravo vidíš obrázek. Vypočítej velikost úhlu α.
Řešení: Velikost úhlu ve vnitřním trojúhelníku je 1800 – (200 + 180) = 1420 (součet úhlů v trojúhelníku je 1800). Vnitřní nekonvexní úhel čtyřúhelníka je 1420 + 2 . (1800 - 1420) = 2180 (součet vedlejších úhlů je 1800). Pro úhel α platí : 3600 = 170 + 230 +α , α = 102°.(součet úhlů v čtyřúhelníku je 3600).
Úloha 10:
(úloha převzata z (19) ) Na obrázku 1 jsou znázorněny všechny vrcholy dvou čtverců. Zjisti obsah S jejich společné části (jeden čtvereček sítě má obsah 25 mm2).
Obr.1
Obr. 2
Řešení: Jediná možnost dokreslení čtverců je na obrázku 2. Jejich společnou část tvoří čtyřúhelník, jehož vrcholy jsou opět body čtvercové sítě. Celý čtyřúhelník lze „svisle“ 21
rozdělit na dva trojúhelníky. Obsah každého z nich určíme buď přímo, nebo je ve čtvercové síti doplníme na obdélník a uvědomíme si, že obsah trojúhelníku je roven polovině obsahu obdélníku. Proto obsah S = 16 : 2 = 8 čtverečků. S = 8 . 25 = 200 mm2.
Úloha 11:
(úloha převzata z (19) ) Ivan dostal speciální bílo-hnědou čokoládu. Zjisti hmotnost bílé části, pokud celá čokoláda má tři stejně široké řádky a tři stejně široké sloupce a váží 144 gramů.
Řešení: Čokoláda má tvar obdélníku a má 3 stejné řádky a 3 stejné sloupce, tedy je rozdělena na 9 shodných obdélníků. Proto je také možno rozdělit celou čokoládu na 36 trojúhelníků stejných obsahů. Shodnost obsahů těchto malých trojúhelníků je zřejmá např. z dalšího rozdělení na 4 shodné trojúhelníky:
Celá čokoláda má hmotnost 144 g. Hmotnost jednoho trojúhelníku je 144 : 36 = 4 g. Hnědá část: 10 trojúhelníků . . . 10. 4 = 40 g. Bílá část: 26 trojúhelníků . . . 26. 4 = 104 g.
Bílá část má hmotnost 104 gramy.
22
Úloha 12:
(úloha převzata z (19) ) Katka rozstřihla čtvercový šátek nakreslený na obrázku podél úhlopříčky a dostala dva trojúhelníkové šátky. Zjistěte jaká část na každém z nových šátků je bílá, černá a šedá. Na původním šátku byla černá
1 1 a šedá jeho plochy. 6 3
Řešení: Na obrázku je nakreslen Katčin šátek. Pro lepší orientaci nakreslíme čtvercový šátek do čtvercové sítě. Vzhledem k podílu
1 1 a je vhodné použít čtverec o straně 6 jednotek 6 3
(obr. 2). Po rozstřihnutí získáme dva stejně velké trojúhelníkové šátky, ale s jinými barevnými podíly. V jednom trojúhelníkovém šátku je celkem 18 čtverců o straně 1, tj. 36 malých trojúhelníčků (obr. 3.)
První trojúhelníkový šátek:
Druhý trojúhelníkový šátek:
bílá část: 27 trojúhelníčků
27 3 = , 36 4
bílá část: 9 trojúhelníků
šedá část: 8 trojúhelníčků
8 2 = , 36 9
šedá část: 16 trojúhelníků
černá část: 1 trojúhelníček
1 . 36
9 1 = , 36 4
černá část: 11 trojúhelníků 23
16 4 = , 36 9 11 . 36
Úloha 13:
(úloha převzata z (17) ) Na louce stojí tři stromy tvořící trojúhelník s obvodem 180 m. Ke každému stromu je šňůrou přivázána jedna koza. Délky šňůr jsou takové, že každá dvě území, na kterých se kozy pasou, se navzájem právě dotýkají. Poměr ploch, které mohou jednotlivé kozy vypást, je 4 : 9 : 16 . Zjistěte vzdálenosti mezi stromy a celkovou plochu, kterou kozy spasou.
Řešení: Nechť S1, S2 a S3 jsou stromy, u kterých jsou kozy přivázané a r1, r2 r3 jsou délky šňůr koz. Kozy vypasou plochy tvaru kruhů. Jestliže jsou poměry těchto ploch 4 : 9 : 16 = πr12 : πr22 : πr32 , pak
poměry poloměrů těchto kruhů budou 2 : 3 : 4. Každý z poloměrů se v obvodu trojúhelníka vyskytuje dvakrát. Obvod trojúhelníka rozdělíme tedy na 2·(2+3+4) =18 dílů, přičemž každý díl bude mít délku 180:18=10 metrů. Délky poloměrů pak budou: r1=20 m, r2=30 m, r3=40 m a vzdálenosti mezi stromy budou rovny S1 S 2 = 50 m, S 2 S 3 = 70 m a S1 S 3 = 60 m. Celková plocha spasené louky S = 3,14(r12+r22+r32) bude přibližně 9106 m2.
Úloha 14:
(úloha převzata z (9) ) Narýsujte pravoúhlý trojúhelník ABC; a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm a polokruhy K, L a M s průměry BC, CA a AB podle obrázku. Ověřte, zda podobně jako pro čtverce sestrojené
nad
stranami
pravoúhlého
trojúhelníka platí i pro tyto polokruhy vztah: SK+SL = SM.
24
Řešení: 1 Obsah půlkruhu K, je : S K = πa 2 po dosazení hodnot: SK=4,5π. Stejně vypočítáme i 2 půlkruhy L a M: SL = 8π, SM = 12,5π. Nyní dosadíme do vztahu ze zadání : SK+SL = SM 4,5π + 8π = 12,5π z rovnice je patrné, že daná rovnost platí.
Úloha 15:
(zadání převzato z (19) ) Na obrázku jsou tři rovnostranné trojúhelníky, tři malé polokružnice dotýkající se jedné velké polokružnice o poloměru 1 dm. Určete délku úsečky AB.
Řešení: Označme poloměr velké kružnice R, poloměr malé kružnice r, výšku rovnostranného trojúhelníku v a stranu tohoto trojúhelníku a. Z obrázku je patrné že poloměr malé kružnice r =
a . Výšku v vypočítáme Pythagorovou 2
větou: v 2 = a 2 −
a2 4
Po úpravách dostáváme: v =
3 a. 2
Z obrázku dále vidíme, že platí: R = r + v. Po dosazení dostaneme: a 3 + a 2 2 1+ 3 1 = a 2 R=
a = 0,732 dm.
25
Objemy a povrchy mnohostěnů, prostorové úlohy Úloha 1:
(zadání upraveno z (12) ) Sestry Hanka a Klára si chtějí do společného pokoje koupit odpadkový koš. Nemohou se rozhodnou mezi dvěma koši, které jsou za stejnou cenu. Nakonec se dohodnou, že koupí ten z nich, do kterého se vejde více odpadků. Koš A má tvar válce s rozměry: poloměr podstavy r = 17 cm a výška v = 50 cm, koš B je tvaru kvádru s délkami hran: 25 cm, 30 cm a 60 cm. Který z košů A a B děvčata nakonec koupila?
Řešení: Budeme počítat objemy dvou těles – kvádru a válce, které nakonec porovnáme. Pro koš A:
Pro koš B:
V = πr 2 v V = π ⋅ 289 ⋅ 50
V = a ⋅b⋅c
V = 45396 cm3
V = 45000 cm3
V = 25 ⋅ 30 ⋅ 60
Více odpadků se vejde do koše A, protože má větší objem. Pro lepší představu o objemu je vhodné převést cm3 na litry. Koš A má pak objem V = 45,4 l a do koše B se vejde přesně 45 l.
Úloha 2:
(inspirací k této úloze byla úloha z (1) ) Určete objem tělesa , které vznikne rotací pravoúhlého trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C, kolem strany BC; je dáno: c = 5 cm, α = 37°. Určete o jaké těleso jde. Řešení: Hledaným tělesem je kužel, jehož poloměr podstavy je strana b
26
daného trojúhelníku, výška má délku a a délka hrany kužele odpovídá straně c v trojúhelníku. Vzorec pro výpočet objemu kužele je : V =
1 S p v , kde 3
Sp je obsah podstavy kužele a v je jeho výška. Podstavu vypočítáme S p = π .r 2 , pro naše značení je tedy 1 S p = π .b 2 a objem V = π ⋅ b 2 ⋅ a . Nyní pomocí 3 goniometrických funkcí vypočítáme délky stran a a b trojúhelníka ABC. sin α =
a c
cos α =
b c
sin 37° =
a 5
cos 37° =
b 5
a = 3,0 cm.
b = 4,0 cm.
Délku strany b můžeme také vypočítat Pythagorovou větou: b 2 = c 2 − a 2 b = 25 − 9
b = 4,0 cm 1 Nyní dosadíme do vzorce pro objem kužele: V = π ⋅ 4 2 ⋅ 3 3 V = 50,3 cm3.
Úloha 3:
(zadání převzato z (1) ) Do rovnostranného válce (= průměr podstavy je roven výšce válce) je vepsána koule a kužel. Podstava válce je podstavou kužele, který má vrchol ve středu druhé podstavy válce. Určete poměr objemů těchto tří těles.
Řešení: Válec: V = S p ⋅ v , kde Sp značí obsah podstavy.
V = πr 2 ⋅ 2r V = 2πr 3 27
4 Koule: V = πr 3 3 1 Kužel: V = S p ⋅ v 3 2 V = πr 3 3 4 2 válec : koule : kužel = 2πr 3 : πr 3 : πr 3 = 3 : 2 : 1 3 3
Úloha 4:
(zadání převzato z (9) ) Tovární hala nad půdorysem tvaru
obdélníku
zastřešena sedlovou
buď
může
být
klasickou
střechou,
nebo
střechou z hliníkového plechu, která má tvar poloviny pláště rotačního válce. Porovnejte a) Spotřebu krytiny na klasickou střechu se spotřebou hliníkového plechu, b) spotřebu materiálu na vyzdění štítů v obou případech, c) objem haly v metrech krychlových.
Řešení: a)
Při výpočtu spotřeby hliníkového plechu budeme počítat polovinu obsahu pláště
válce Sp, jehož výška v = 20 m a poloměr podstavy r = 4 m. 1 S p = .2πr.v 2
S p = 80π m2 S p = 251,2 m2 Spotřebu krytiny Sk na klasickou střechu vypočítáme jako dvojnásobek obsahu obdélníka So, kde jedna strana má délku 20 m a druhou musíme vypočítat. K výpočtu použijeme pravoúhlý trojúhelník, který tvoří polovina štítu. Z Pythagorovy věty pak: 28
x 2 = 42 + 42 x = 5,66 m
S o = 5,66 ⋅ 20
S k = 2S o
S o = 114,2 m2
S k = 228,4 m2
Na klasickou střechu bude menší spotřeba krytiny, než na střechu z hliníkového plechu.
b)
Nyní musíme vypočítat obsah půlkruhu Spp v případě střechy z hliníkového
plechu a obsah trojúhelníka Skt v případě sedlové střechy. Protože štíty jsou dva (na každé straně budovy jeden) musíme výsledek vynásobit dvěma.
c)
1 S pp = 2 πr 2 2
1 S kt = 2 a ⋅ v 2
S pp = 50,2 m2
S kt = 32 m2
Halu si rozdělme na 2 části: kvádr a střešní část – v jednom případě ji tvoří
polovina válce, ve druhém hranol s podstavou trojúhelníka. Objem kvádru je u obou typů hal stejný, při porovnávání nás tedy budou zajímat objemy střešních částí. Pro objem Vp střešní části haly s hliníkovou střechou platí: V p =
1 S ⋅ v , kde S je obsah 2
podstavy válce jehož polovina tvoří střechu a v = 20 m je výška válce neboli délka haly. Podle obrázku v zadání je r = 4 m. 1 V p = πr 2 ⋅ v 2 1 V p = π 16 ⋅ 20 2 V p = 502,7 m3 Objem Vk střešní části haly s klasickou střechou vypočítáme jako obsah štítu (použijeme výpočet z úlohy b) vynásobený délkou haly: Vk = 16 ⋅ 20 Vk = 320 m3 Podle výsledků Vp a Vk je zřejmé, že hala se střechou z hliníkového plechu má větší objem.
29
Úloha č. 5:
(zadání převzato z (19) ) Na obrázku vidíš tzv. kvadroládu (speciální
druh
vyrobena
z bílé
rolády). a
Je
hnědé
marcipánové hmoty, přičemž obě hmoty mají stejnou tloušťku, a to 1 cm. Celá kvadroláda má délku 15 cm. Prodává se rozkrájená na 10 shodných plátků. Zjisti a) rozměry jednoho plátku, b)
kolik
gramů
hnědé
hmoty a kolik gramů bílé hmoty je třeba na její přípravu, jestliže víš, že 1 cm3 marcipánu má hmotnost 2 gramy.
Řešení: a) Šířka plátku bude 1,5 cm, protože délku rolády tj. 15 cm vydělíme 10. Výšku a délku plátku určíme z obrázku, a to tak že spočítáme bílé a hnědé vrstvy ve směru svislém (8) a ve směru vodorovném (9). Rozměry jednoho plátku tedy jsou: šířka 1,5 cm, výška 8 cm a délka 9 cm.
b) Bílou i hnědou vrstvu rozdělíme na několik části (kvádrů), které očíslujeme a budeme počítat objem každého z nich.
Pro bílou část:
Pro hnědou část:
V1 = 1 . 1 . 15 = 15
V1 = 1 . 1 . 15 = 15
V2 = 1 . 2 . 15 = 30
V2 = 1 . 2 . 15 = 30
V3 = 1 . 3 . 15 = 45
V3 = 1 . 3 . 15 = 45
V4 = 1 . 4 . 15 = 60
V4 = 1 . 4 . 15 = 60
V5 = 1 . 5 . 15 = 75
V5 = 1 . 5 . 15 = 75
V6 = 1 . 6 . 15 = 90
V6 = 1 . 6 . 15 = 90
V7 = 1 . 7 . 15 = 105
V7 = 1 . 7 . 15 = 105 30
V8 = 1 . 8 . 15 = 120 V8 = 1 . 8 . 15 = 120 3
Celkový objem hnědé části Vh = 660 cm3
Celkový objem bílé části Vb = 420 cm
Celkový počet gramů bílé hmoty : 2 . 420 = 840 g. Celkový počet gramů hnědé hmoty: 2 . 660 = 1 320 g. Pro kontrolu vypočítáme objem celé kvadrolády: 8 . 9 . 15 = 1 080 cm3 a porovnáme jej se součtem objemů hnědé a bílé části : 420 + 660 = 1 080 cm3. Objemy se rovnají.
Úloha 6:
(zadání převzato z (4) ) Hradní zahrady zdobí koule z pískovce. Poloměr koule je přibližně 50 cm, hustota pískovce je asi 2 600
kg . Vypočítej hmotnost koule. (Výpočty zaokrouhluj na dvě m3
desetinná místa.)
Řešení: Nejprve převedeme zadaný poloměr r z centimetrů na metry: r = 0,5 m, protože hustotu máme zadanou v kilogramech na metr krychlový. Dále vypočítáme objem koule V, a poté jej vynásobíme hustotou ρ a dostaneme hmotnost m koule. Úlohu můžeme řešit úvahou, nebo dosazením do fyzikálního vztahu pro výpočet hmotnosti: m = ρ . V. 4 Vzorec pro výpočet objemu koule je V = πr 3 , po dosazení za r dostáváme: 3 V = 0,52 m3. Po vynásobení objemu koule hustotou pískovce dostáváme výsledek: m = 1352 kg.
Úloha 7:
(část zadání převzata z (4) ) Stěna duté čokoládové koule má tloušťku přibližně 2 mm, vnější průměr koule je 58 mm. Teta Běta snědla pět koulí a libuje si: „Po tom neztloustnu, dutá koule je jenom vzduch.“
31
a) Zjisti, kolik gramů čokolády Běta snědla; hustota čokolády ρ je přibližně 1200
kg . m3
(objemy zaokrouhluj na celá čísla) b) Vypočítej, jakou energetickou hodnotu měla snědená čokoláda, když 100 g této čokolády dodá energii 2 158 kJ. Přesáhla teta doporučenou denní dávku, která je 9000 kJ?
Řešení: a) Objem čokolády V vypočítáme, tak že od objemu V1 koule s průměrem d1 = 58 mm (r1 = 29 mm) odečteme objem V2 koule o průměru d2 = 54 mm (r2 = 27 mm). V = V1 − V2 4 4 V = πr13 − πr23 3 3 V = 102160 − 82448 V = 19712 mm3.
Protože máme vypočítat, kolik gramů čokolády Běta snědla, musíme převést hustotu čokolády z
kg g na a současně objem čokolády na cm3 nebo převedeme objem 3 3 m cm
V z milimetrů na metry a výslednou hmotnost, která nám vyjde v kilogramech převedeme na gramy. Volíme první způsob: 1200
kg g = 1,2 . 3 m cm 3
19 712 mm3 = 19,712 cm3 m=ρ.V m = 1,2 . 19,712 m = 23,7 g. Nyní jsme vypočítali hmotnost čokolády jedné koule. Protože Běta snědla takových koulí pět je celková hmotnost čokolády, kterou teta snědla 5.23,7 = 118,5g.
b) Víme, že 100g čokolády dodá energii 2 158 kJ. Pro 1g čokolády tedy platí: 2158 : 100 = 21,6. Jeden gram čokolády má energetickou hodnotu zhruba 21,6 kJ. Teta snědla celkem 23,7g čokolády, takže celková energie snědené čokolády je 23,7 . 21,6 = 512 kJ. Protože 512 ‹ 9 000, teta nepřesáhla doporučenou denní dávku energie.
32
Platónova tělesa Nejprve definujme pojem pravidelný mnohoúhelník, ze kterého budeme vycházet. Definice 1: „Uzavřená lomená čára spolu s částí roviny ohraničené touto lomenou čárou se nazývá mnohoúhelník“, jak je uvedeno v (6). Definice 2: „Pravidelný n-úhelník je mnohoúhelník, jehož všechny strany a vnitřní úhly jsou shodné“, uvádí (6). Vlastnosti: Pravidelný mnohoúhelník má všechny strany shodné a všechny jeho vnitřní úhly se shodují. Lze mu opsat i vepsat kružnici. Definice 3: „Mnohostěn (n-stěn) je každé těleso, jehož hranice je sjednocením n mnohoúhelníků (stěn) takových, že strana každého z nich je zároveň stranou sousedního mnohoúhelníku a žádné dva sousední mnohoúhelníky neleží v téže rovině“, je uvedeno v (6). Definice 4: Pravidelný mnohostěn (s-stěn) má shodné stěny, kterými jsou pravidelné n-úhelníky a z každého jeho vrcholu vychází stejný počet hran. Vlastnosti: Pravidelnému mnohostěnu lze vepsat koule, a také každý pravidelný mnohostěn můžeme do koule vepsat. Jak uvádí (7): „Součet vnitřních úhlů pravidelných n-úhelníků u jednoho vrcholu musí být menší než 360°. Pokud jsou stěnami pravidelného mnohostěnu rovnostranné trojúhelníky (velikost vnitřního úhlu v rovnostranném trojúhelníku je 60°), mohou být u jednoho vrcholu buď tři – pravidelný čtyřstěn, nebo čtyři – pravidelný osmistěn, nebo pět – pravidelný dvacetistěn. Jsou-li stěnami pravidelného mnohostěnu čtverce (vnitřní úhel ve čtverci je 90°), mohou být u jednoho vrcholu pouze tři - pravidelný šestistěn neboli krychle. Jsou-li stěnami pravidelného mnohostěnu pravidelné pětiúhelníky ( vnitřní úhel má velikost 108°), mohou se v jednom vrcholu stýkat pouze tři – pravidelný dvanáctistěn. Vnitřní úhly pravidelného šestiúhelníku mají velikost 120°, takže žádný pravidelný mnohostěn nemůže mít pravidelné šestiúhelníky jako své stěny. Proto je pravidelných mnohostěnů jen pět.“ Mezi počtem vrcholů v, hran h a stěn s konvexního mnohostěnu odvodil Euler vztah, který je znám jako Eulerova věta. Ta říká: v konvexním mnohostěnu je součet počtu stěn a počtu vrcholů roven počtu hran zvětšeném o dvě: s + v = h + 2 .
33
Definice 5: Nechť M je mnohostěn a x,y jsou dva libovolné body, pro které platí: x,y ∈ M. Pokud úsečka XY ∈ M, pak říkáme že M je konvexní. Jestliže XY ∉ M, pak je mnohoúhelník nekonvexní. Podrobný popis pravidelných mnohostěnů nalezneme v následující tabulce (zdroj: (5)):
Název mnohostěnu
Počet stěn s
Počet hran jednoho vrcholu m
Čtyřstěn (tetraedr) Krychle (hexaedr) Osmistěn (oktaedr) Dvanáctistěn (dodekaedr) Dvacetistěn (ikosaedr)
4 6 8 12 20
3 3 4 3 5
Počet hran jedné stěny n 3 4 3 5 3
Počet vrcholů v
Počet hran
4 8 6 20 12
6 12 12 30 30
h
(obrázky použity z: (20) )
Z tabulky vyplývá, že například pravidelný dvanáctistěn se také nazývá dodekaedr, v jeho každém vrcholu se stýkají 3 hrany, každá jeho stěna má 5 hran a jeho povrch je tvořen pravidelnými pětiúhelníky, dále má dvanáctistěn 12 stěn, 20 vrcholů a 30 hran. Těchto pět pravidelných mnohostěnů znali už matematikové počátkem 4. stol. př.n.l. ve starém Řecku. Řecký filosof Platón (427-347 př.n.l.) tato tělesa používal k objasňování svého učení o podstatě hmotného světa. Podle něj byly podstatou světa čtyři základní živly: země, vzduch, oheň a voda, které představovaly krychle, osmistěn, čtyřstěn a dvacetistěn. Dvanáctistěn Platón považoval za představitele jsoucna tj. všeho co existuje. Definice 6: Ke každému mnohostěnu existuje mnohostěn duální. Ten vznikne umístěním vrcholů do středů stěn původního mnohostěnu a jejich spojením hranami tak, že vrcholy ležící v sousedních stěnách původního mnohostěnu jsou v jeho duálu spojeny hranou. 34
Znamená to, že středy stěn krychle jsou vrcholy pravidelného osmistěnu a zároveň středy stěn osmistěnu jsou vrcholy krychle. Říkáme, že krychle a pravidelný osmistěn jsou navzájem duální. Navzájem duální je i pravidelný dvacetistěn a pravidelný dvanáctistěn. Pravidelný čtyřstěn je duální sám se sebou. Z předchozí tabulky je zřejmá následující symetrie:
m n s Krychle
v h
3
4 6 8 12
Osmistěn 4
3 8 6 12
V další kapitole se budeme zabývat povrchy a objemy jednotlivých Platónových těles a budeme je porovnávat s povrchy a objemy těles k nim duálních. Platónova tělesa jsou vhodná pro zařazení do oblasti nestandardních a aplikačních úloh v geometrii, protože se zde uplatňuje většina geometrických znalostí a dovedností. Lze zde aplikovat základní učivo z oblasti geometrie. Žáci musí používat logické myšlení, mohou nalézat různé způsoby řešení daného problému a v neposlední řadě si procvičují prostorovou představivost. Znalost Pythagorovy věty z roviny se v této oblasti přesouvá do prostoru. Při řešení úloh týkajících se Platónových těles se jako forma výuky nabízí práce ve skupinkách nebo toto téma můžeme zařadit do projektového vyučování. Tyto formy výuky (práce ve skupinkách a projektové vyučování) jsou zdůrazňovány v RVP ZŠ.
35
Pravidelný čtyřstěn
Uvažujeme pravidelný čtyřstěn ABCD s hranou o délce a. Pro výpočet jeho povrchu S4 nejprve spočítáme obsah jedné jeho stěny. Zvolme trojúhelník BCD. Nechť v je výška trojúhelníku BCD. Pak pro jeho obsah platí: S =
a⋅v . Velikost výšky v 2
vypočteme z trojúhelníku PCD pomocí Pythagorovy věty: v 2 = a 2 −
a2 4
v = a 2 − a4
2
3 a [1] . 2
v=
Po dosazení výšky vyjádřené pomocí strany a do vzorce pro obsah dostáváme
S= S=
a⋅
3 2
a
2 3 2 a 4
. Obsah trojúhelníku BCD a zároveň obsah každé stěny čtyřstěnu ABCD je
[2].
Jelikož povrch S4 čtyřstěnu ABCD tvoří čtyři shodné rovnostranné trojúhelníky platí: S4 = 4S S4 = 4 ⋅
3 2 a 4
S4 = 3 ⋅ a2
[3] .
Objem V4 čtyřstěnu ABCD vypočítáme podle vzorce: V =
1 3
Sp.h, kde Sp je obsah
podstavy a h je tělesová výška. Pro výpočet výšky h musíme nejprve určit její patu T, která leží v těžišti podstavy. Nyní je dobré si uvědomit, že výšky rovnostranného trojúhelníka splývají s jeho těžnicemi. Z vlastností těžnic plyne, že těžiště trojúhelníka leží na těžnici a to tak, že ji
36
dělí v poměru 2 : 1. Z trojúhelníka ABT pomocí Pythagorovy věty vypočítáme h. Víme, že BT =
2 t a zároveň t = v. 3
2 h = a − t 3 2
2
2
2 h = a − v 3 2
2
2
2 3 za v dosadíme vzorec [1] a dostáváme: h = a − a 3 2 2
Běžnými úpravami potom h 2 = h=
2
2
2 2 a 3 6 a. 3
Nyní už můžeme přejít k výpočtu objemu čtyřstěnu ABCD: V4 =
1 S .h , kde za S 3
dosadíme [2]. V4 =
1 3 2 6 ⋅ a ⋅ a , úpravami: 3 4 3
V4 =
2 3 a 12
[4].
Čtyřstěn duální sám se sebou Označme těžiště všech stěn čtyřstěnu ABCD postupně písmeny K,L,M,N. Po vzájemném spojení všech těchto bodů dostáváme další pravidelný čtyřstěn KLMN. Vypočítáme délku hrany a´ pravidelného čtyřstěnu KLMN v závislosti na délce hrany a pravidelného čtyřstěnu ABCD.
37
Z pravoúhlého trojúhelníku OND, kde O je pata výšky trojúhelníku ABD spuštěná z vrcholu D: 1 3
v , v 1 cos α = 3 Pro pravoúhlý trojúhelník KOU: cos α =
OU = ON − KS , kde O je pata výšky
trojúhelníku ABD, U je pata výšky v trojúhelníku KON spuštěná z vrcholu K a S je těžiště trojúhelníku KLM. 1 2 OU = v − v´ 3 3 1 3 2 3 OU = a− a´ 3 2 3 2 OU =
cos α =
3 (a − 2a´) 6
3 6
(a − 2a´) 1 3 3 2
cos α = 1 −
a
2a´ a
Dále musí platit, že úhly α se rovnají a to jak pro ∆ OND, tak pro ∆ KOU. Platí tedy: cos α = cos α 2a´ 1 = 1− 3 a a a´= 3 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Při počítání ve vyšších ročnících nebo s nadanými dětmi můžeme použít kosinovou větu, která má tvar: a´2 = b 2 + c 2 − 2bc ⋅ cos α , kde strana b = c = 13 t . Pro určení cosα zvolíme pravoúhlý trojúhelník OND, pro který platí: DN = h, DO = v a
1 ON = t . 3
Víme,
1 1 že t = v a h, v jsou výšky tělesová a stěnová. cos α = ON , cos α = 3 t , cos α = . Po
2
3
t
OD 2
dosazení do kosinové věty dostáváme: a ´2 = 1 t + 1 t − 2 ⋅ 1 t ⋅ 1 t ⋅ cos α 3
a ´2 =
3
3
3
v 2 v 2 2 2 1 , běžnými úpravami a dosazením za v vztah [1] pak: + − v ⋅ 9 9 9 3
a´=
a. 3
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Nyní nás budou zajímat poměry objemů a povrchů čtyřúhelníků ABCD a KLMN. Pro přehlednost budeme objem a povrch čtyřstěnu KLMN označovat 38
čárkovaně. Pro výpočet objemu použijeme vzorec [4], kde za hranu a dosadíme hranu čtyřstěnu KLMN a´. 2 3 a´ 12 2 a3 V ´= ⋅ 12 27 V ´=
Při určení povrchu S´, si pomůžeme vztahem [3] , do kterého opět místo a dosadíme a´.
S´= 3 ⋅ a´2 S´= 3 ⋅ S´=
a2 9
3 2 a 9
Nyní přejdeme k samotnému porovnání objemů a povrchů čtyřstěnů ABCD a KLMN: V = V´
2 12
a3
2 12
a ⋅ 27 3
=
S 3 ⋅ a2 9 = 3 2 = S´ 1 9 a
27 1
Vidíme, že objem čtyřstěnu KLMN je 27 krát menší, než objem čtyřstěnu ABCD, a že jeho povrch je 9 krát menší než povrch čtyřstěnu ABCD.
Pravidelný čtyřstěn v krychli Vhodným výběrem vrcholů krychle lze získat pravidelný čtyřstěn. Vypočítáme poměry objemů a povrchů krychle a čtyřstěnu, když známe velikost hrany krychle, která je a. Povrch čtyřstěnu značíme S4 a objem čtyřstěnu V4. Nejprve určíme délku hrany z pravidelného čtyřstěnu. Z obrázku je vidět, že délka hrany čtyřstěnu je rovna velikosti stěnové úhlopříčky krychle, proto platí: z = a ⋅ 2 . Pro výpočet povrchu čtyřstěnu stačí délku hrany z dosadit do vzorce [3] .
S4 = 3 ⋅ a2
39
S4 = 3 ⋅ z 2
( )
S4 = 3 ⋅ a 2
2
S 4 = 2 3a 2 Objem vypočítáme dosazením z do vzorce [4]. 2 3 a 12 2 3 V4 = z 12
(
2 a⋅ 2 12 a3 V4 = 3
V4 =
V4 =
)
3
Povrch krychle V a čtyřstěnu V4 dáme do poměru a dostáváme:
V a3 = a 3 = 3 , tj. objem V4 3
pravidelného čtyřstěnu, jehož vrcholy leží ve vrcholech krychle do které je vepsán, tvoří jednu třetinu objemu této krychle. Poměr povrchů krychle a čtyřstěnu je stejný jako S 6 ⋅ a2 3 9 poměr objemů těchto těles: = = = = 3 . Povrch krychle je třikrát větší 2 S 4 2 3a 3 3 než povrch čtyřstěnu.
40
Krychle a osmistěn
1. Osmistěn „b“ v krychli „a“
Spojíme-li středy všech sousedních stěn krychle, získáme jedno z Platónových těles, kterým je pravidelný osmistěn. Délku hrany krychle budeme stejně jako v předchozí úloze značit písmenem a. Nechť b je délka hrany osmistěnu vepsaného krychli. Znovu nás bude zajímat, v jakém poměru jsou povrchy a objemy krychle a osmistěnu. Pro objem a povrch osmistěnu budeme používat index 8. Hranu b, vypočítáme z pravoúhlého rovnoramenného trojúhelníku ABD, kde body A, B leží ve středu stěn krychle a bod D leží ve středu hrany krychle. Pro ramena trojúhelníku ABD platí AD = BD =
a 2 2 . Podle Pythagorovy věty: b 2 = AD + BD 2 2
a a b2 = + 2 2
b= Povrch
osmistěnu
tvoří
8
rovnostranných
trojúhelníků, tedy S 8 = 8S t , kde St je obsah jedné stěny osmistěnu. Tu označíme body ABC. Pro výpočet obsahu trojúhelníka ABC, je nutné znát výšku vb. Její patu označíme P a k výpočtu výšky použijeme pravoúhlý trojúhelník
BPC.
Podle
Pythagorovy
věty
2
platí: vb
2
b = b − za b dosadíme [4] a dostáváme: 2 2
2
vb
2
2 22 a = a − 2 2
vb =
41
3 a 8
2
2 a [4]. 2
2
vb =
6 a 4
Pro obsah stěny pravidelného osmistěnu platí: St =
b ⋅ vb , po dosazení za vb předchozí výpočet a vztah [4]: 2
a ⋅ 46 a 2 3 2 St = a 8 St =
2 2
Nyní už můžeme přejít k výpočtu samotného povrchu pravidelného osmistěnu, a to dosazením do vzorce S 8 = 8S t . S8 = 8 ⋅
3 2 a 8
S8 = 3 ⋅a 2 [5]
Pro výpočet objemu bude vhodné rozdělit osmistěn na dva shodné jehlany s čtvercovou podstavou o ploše Sp. Osmistěn rozdělíme rovinou, která je rovnoběžná s podstavou krychle a prochází body A a C. Protože je osmistěn vepsán do krychle a jeho vrcholy leží ve středech stěn krychle je délka výšky osmistěnu h rovna délce hrany krychle a. Tvar podstavy jehlanu ABCFG je čtvercový, proto: Sp = b⋅b 2 2 a⋅ a 2 2 1 S p = a2 2 Sp =
Objem jehlanu ABCFG V =
1 h S p ⋅ , h = a, tedy 3 2
1 a2 a V = ⋅ ⋅ 3 2 2 a3 V = 12
[6]
Celkový objem V8 pak vypočítáme jako dvojnásobek objemu jehlanu ABCFG.
42
V8 = 2 ⋅ V8 =
a3 12
a3 6
Povrch a objem krychle vyjádříme vztahy: S = 6a 2 , V = a 3 . V a3 6 Poměr objemů krychle a osmistěnu je = a 3 = . Objem osmistěnu V8 1 6 vepsaného do krychle je šestkrát menší než objem krychle. Povrch osmistěnu je dvanáctkrát menší než povrch krychle:
S 6 ⋅ a2 36 12 = = = . 2 S8 3 1 3⋅a
2. Krychle „c“ v osmistěnu „b“
Spojíme-li těžiště všech stěn pravidelného osmistěnu, který je vepsán krychli s délkou hrany a, získáme další krychli, jejíž hranu označíme c. Nyní se nabízí několik možných úloh: 1. Porovnat povrchy a objemy krychlí s hranami a a c. 2. Porovnat objem a povrch krychle vepsané osmistěnu s tímto osmistěnem.
K určení délky hrany c, využijeme goniometrických funkcí a dvou pravoúhlých trojúhelníků. Střed krychle označíme písmenem S. Průnik úsečky PS s hranou krychle je označen Q a vrchol krychle, který náleží trojúhelníku ABC je označen písmenem R. Úhel RPQ označme β. Pro trojúhelník BPS : b h , BS = , BP = vb 2 2 PS cos β = PB PS =
43
cos β =
vb =
b 2
vb
,
po
dosazení
za
b
vzorec
[4]
a
za
6 a dostaneme: 4 cos β =
1 3
Pro trojúhelník RPQ: b u PQ = − t , kde ut je tělesová úhlopříčka krychle a platí u t = c 2 , 2 2 2 2 proto PQ = a− c. 4 2 Protože vrchol krychle R leží v těžišti rovnostranného trojúhelníka ABC a BP je výška PQ 1 6 tohoto trojúhelníka, platí RP = vb , RP = a . Dále pro ∆ RPQ: cos β = , 3 12 RP cos β =
2 4
a − 22 c 6 12 a
cos β = cos β
Platí:
1 3
=
2 4
a− 6 12
2 2
c
a
a = 3a − 6c
c= Pro objem krychle tedy platí Vc =
a 3
a3 a2 2 2 a pro její povrch: S c = 6 = a 27 9 3
Poměr objemů krychlí:
V a 3 27 = a3 = Vc 1 27
Vc - objem krychle s hranou c V - objem krychle s hranou a
Poměr povrchů krychlí:
S 6 ⋅ a2 9 = 2 2 = Sc 1 3a
Sc - povrch krychle o hraně c S - povrch krychle o hraně a
Poměr objemů i povrchů krychlí se shoduje s poměry objemů a povrchů čtyřstěnů ABCD a KLMN.
44
Následně vypočítáme poměry objemů a povrchů krychle vepsané osmistěnu a osmistěnu. V8 = Vc
a3 6 a3 27
S8 3a 2 3 ⋅ 3 27 = 6a2 = = 2 4 Sc 9
27 9 = = 6 2
3. Osmistěn „d“ vepsaný do krychle „c“
Do krychle s délkou hrany c =
a vepíšeme pravidelný 3
osmistěn. Hranu tohoto osmistěnu označíme d. Její délku vypočítáme dle již odvozeného vzorce [4] b =
2 2
a , kde b je
hrana osmistěnu a a je hrana krychle do které je osmistěn vepsán. Pro tento případ má vzorec [4] tvar d =
2 2
c . Po dosazení za c dostáváme: d =
2 a. 6
Objem a povrch tohoto osmistěnu budeme označovat indexem d. Povrch vypočítáme podle vzorce [5] a objem osmistěnu dle vzorce [6] . Sd = 3 ⋅ c
Vd =
2
a2 Sd = 3 ⋅ 9 3 2 Sd = ⋅a 9
Vd =
c3 6 a3 27
6 a3 Vd = 162
V Poměr objemů osmistěnů s hranami o délkách d a b : 8 = Vd
Poměr povrchů osmistěnů s hranami o délkách d a b : V Poměr objemu osmistěnu a krychle: c = Vd
Poměr povrchu osmistěnu a krychle:
Sc = Sd
45
a3 27 a3 162 2 3 3 9
=6 a2 a2
= 12
a3 6 a3 162
=
27 1
S8 3 ⋅ a2 9 = 3 2 = Sd 1 9 a
Poměr objemů 27:1 a povrchů 9:1 osmistěnů, kde jeden je krychli vepsán a druhý je té samé krychli opsán je stejný jako poměr objemů a povrchů pravidelného čtyřstěnu vepsaného do dalšího čtyřstěnu a taktéž je tento poměr shodný s poměrem dvou krychlí, kde jedna je opsána pravidelnému osmistěnu a druhá je témuž osmistěnu vepsána.
Pravidelný dvacetistěn Je dána délka hrany pravidelného dvacetistěnu a. Urči jeho objem V a povrch S.
Povrch vypočítáme jednoduše, budemeli znát obsah jedné stěny dvacetistěnu, kterou je rovnostranný trojúhelník – označme jej ABC. Podle S=
[2]
je obsah jedné stěny
3 2 a . Nyní stačí obsah trojúhelníku vynásobit počtem stěn tělesa tj. 20 a 4
dostáváme : S = 5 3a 2
Pravidelný dvanáctistěn Je dána hrana pravidelného dvanáctistěnu a. Tak jako v předešlých úlohách budeme počítat objem a povrch tohoto tělesa. K výpočtu povrchu musíme nejprve vypočítat obsah jedné stěny pravidelného dvanáctistěnu, a to pravidelného pětiúhelníka. Abychom jej mohli vyjádřit pomocí jedné proměnné, musíme vyjádřit poloměr r kružnice pětiúhelníku opsané v závislosti na délce strany a. Předpokládáme znalost konstrukce pravidelného pětiúhelníku.
46
Platí: TV = TU = x . Délku úsečky x vypočítáme z pravoúhlého trojúhelníka STV, kde ST =
r a SV = r . Z Pythagorovy věty pak: 2 x2 = r 2 + x=
r2 4
5 r 2
Pro pravoúhlý trojúhelník VUS: SV = r , VU = a , SU = TU − TS , po dosazení za TU = x =
5 r r r a TS = platí: SU = 2 2 2
(
)
5 −1 .
Opět pomocí Pythagorovy věty dostáváme: a 2 = r 2 + SU
a2 = r 2 +
r2 4
(
2
)
5 −1
2
5 5 a = r − 2 2
r=
2 5− 5
a.
Pokud pětiúhelník rozdělíme na 5 rovnoramenných trojúhelníku, pak můžeme spočítat obsah pětiúhelníka jako pětinásobek obsahu S1 jednoho rovnoramenného trojúhelníka, kde základna má délku a a ramena délku r. Výšku tohoto trojúhelníka vypočítáme z Pythagorovy věty: v2 = r 2 −
a2 2 , po dosazení za r = a: 4 5− 5
47
v2 =
2a 2
−
a2 4
5− 5 3a 2 + 5a 2 5 + 5 v2 = ⋅ 45− 5 5+ 5 a v= 5+ 2 5 2 5
(
Obsah trojúhelníka tedy bude: S1 = S1 =
(
)
)
a⋅v , po dosazení za v dostáváme: 2 a ⋅ 2 a5 5 + 2 5 2
, úpravami pak:
a 2 25 + 10 5 20 Pro obsah jedné stěny dvacetistěnu: S 5 = 5 ⋅ S1 S1 =
a 2 25 + 10 5 S5 = 5 ⋅ 20 S5 =
25 + 10 5 2 a 4
Povrch dvanáctistěnu S12 dostaneme vynásobením obsahu jedné stěny počtem všech stěn: S12 = 12 ⋅
25 + 10 5 2 a 4
S12 = 3 ⋅ 25 + 10 5 a 2
48
Sítě Platónových těles: Úloha:
Narýsujte sítě platónových těles, vystřihněte je a složte z nich daná tělesa. Předem si promyslete, kde uděláte záložky. (obrázky sítí převzaty z (13) ) 1. čtyřstěn:
2. Krychle:
3.Osmistěn:
4.Dvanáctistěn:
5.Dvacetistěn:
Úloha:
Nakresli všechny možné sítě krychle: Řešení: Krychli lze složit z 11 různých sítí:
49
Úloha:
Kolik sítí pravidelného čtyřstěnu dokážeš nakreslit ? Řešení: Sítě pravidelného čtyřstěnu jsou 2:
Úloha:
Které pravidelné mnohostěny lze sestavit z plastelíny a párátek, za podmínky, že v každém vrcholu se sbíhají 3 hrany ?
Řešení:
Úloha: Výroba kalendáře z pravidelného dvanáctistěnu:
Necháme žáky aby si vyrobili kalendář dle svých možností, který může zároveň sloužit, jako dekorativní ozdoba na pracovním stole. Žáci se učí pracovat v prostoru a zároveň (šablona kalendáře z (15) )
jim zůstává něco, co sami vyrobili.
50
51
Závěr V této práci se mi podařilo vytvořit sbírku Nestandardních a aplikačních úloh do geometrie. Celá práce je rozdělena na několik částí. Do první části jsem zařadila úlohy rozvíjející geometrickou představivost. V další části se věnuji úlohám v rovině a po ní následuje část, která obsahuje úlohy prostorové. Na tuto část pak navazuje kapitola o Platónových tělesech. Snažila jsem se vybrat úlohy, které by odpovídaly požadavkům RVP. Úlohy týkající se Platónových těles patří do náročnějších metod práce a mezi dlouhodobější úkoly. Aplikují se na nich základní poznatky z oblasti geometrie. Proti tomu například úlohy pro rozvoj prostorové představivosti nevycházejí z žádných vědomostí, tudíž mohou povzbudit matematicky méně nadané žáky. Většina úloh je zadána tak, aby se dotýkala praxe a utvrzovala tak žáky v potřebě danou úlohu vyřešit. To je důležité zejména pro slabší žáky, kteří nemají žádnou motivaci k učení a potřebují odpovědi na otázku: „K čemu je to dobré vědět?“ Rámcový vzdělávací program klade důraz na rozvoj klíčových kompetencí, které by měly být rozvíjeny ne jenom po dobu základního vzdělávání ale po celý život. Matematika je předmět, který rozvíjí všechny klíčové kompetence. Kompetence k učení matematika rozvíjí např. tím, že předkládá žákovi více způsobů řešení. Žák si pak sám volí způsob, který mu lépe vyhovuje. Pokud zadáme úlohu, ve které je více údajů, než je potřeba k vyřešení problému, pak se žák učí třídit a vybírat potřebné informace. Ve všech úlohách by měl žák provádět zkoušku správnosti řešení a tím rozvíjí kompetence k řešení problémů. Dále tyto kompetence rozvíjí tím, že dokáže aplikovat známé postupy při řešení příkladů na obdobné nebo nové problémové situace. Komunikativní kompetence jsou v matematice vytvářeny tak, že nutí žáky diskutovat o daném problému, učí je odhadovat výsledek úlohy a srovnávat jej z výsledkem vypočítaným. Žák musí umět obhájit proč zvolil právě takové řešení, a proč je správné. Při práci ve skupinkách se rozvíjí kompetence sociální a personální. Žáci se učí vzájemné spolupráci. Vidí nezbytnost jednoho nebo druhého pro vyřešení zadaného problému. Pokud učitel žáky vhodně rozdělí a každému přiřadí určitou roli (řečník, zapisovač, designer, výrobce atd.), podporuje tím u dětí samostatný rozvoj osobnosti a sebedůvěry. 52
Tím, že matematika vládne různými přístupy k řešení daného příkladu, rozvíjí se kompetence občanské. Žáci se učí respektovat a přijímat názory jiných. V geometrii se rozvíjí také tvořivost, která patří do občanských kompetencí. Kompetence pracovní se rozvíjí především v oblasti geometrie, kdy se žáci učí pravidlům práce s geometrickými pomůckami. V této oblasti můžeme pro lepší názornost využívat počítačových programů. V jiných oblastech matematiky se uplatňuje práce s kalkulačkou a jinou výpočetní technikou. Žák si musí osvojit určité pracovní postupy a při práci dbát ochrany zdraví druhých i sebe sama.
53
Použitá literatura 1. BENDA, Petr, aj. Sbírka maturitních příkladů z matematiky. Praha: SPN, 1983. ISBN 14-373-88. (s.65) 2. FUCHS, Eduard, HOŠPESOVÁ, Alena, LIŠKOVÁ, Hana. Postavení matematiky ve školním vzdělávacím programu základní vzdělávání. Praha : Prometheus, 2006. ISBN 80-7196-326-7.(s.63) 3. KUŘINA, František. Umění vidět v matematice. Praha : SPN, 1990. ISBN 80-0423753-3. 4. ODVÁRKO, Oldřich, KADLEČEK, Jiří.Pracovní sešit z matematiky: Soubor úloh pro 9. ročník základní školy. Praha: Prometheus, 2001. 184 l. ISBN 80-7196-227-9. (s.141,165) 5. OPAVA, Zdeněk. Matematika kolem nás. Praha : Albatros, 1989. 368 l. ISBN 13781-89. (s.291-295). 6. POMYKALOVÁ, Eva. Planimetrie : Matematika pro gymnázia. 3. Praha: Prometheus, 1997. 207 s. ISBN 80-7196-045-4. (s. 40) 7. POMYKALOVÁ, Eva. Stereometrie : Matematika pro gymnázia. 3. Praha: Prometheus, 1995. 223 s., ISBN 80-7196-178-7. (s.129). 8. ŠAROUNOVÁ, Alena, aj. Matematika 9, I. díl. Praha: Prométheus, 1999. 134 s. ISBN 80-7196-155-8. (s.9) 9. ŠAROUNOVÁ, Alena, aj. Matematika 8, I. díl. Praha: Prométheus, 1998. 127 s. ISBN 80-7196-124-8. (s.109) 10. ŠAROUNOVÁ, Alena, aj. Matematika 7, II. díl. Praha: Prométheus, 1998. 212 s. ISBN 80-7196-106-X. 11. ŠAROUNOVÁ, Alena, aj. Matematika 7, I. díl. Praha: Prométheus, 1997. 190 s. ISBN 80-7196-085-3. 12. ŠAROUNOVÁ, Alena, aj. Matematika 6, II. díl. Praha: Prométheus, 1997. 167 s. ISBN 80-7196-059-4. (s.76) 13. [online]. [cit. 3. dubna 2007]. Dostupný z WWW:
. 14. Česká Wikipedie, internetová encyklopedie [online]. poslední revize 12. března 2007. Dostupná z WWW: < http://cs.wikipedia.org/wiki/Hlavn%C3%AD_strana > 15. Gymnázium Jaroslava Vrchlického v Klatovech [online]. 20.3. 2007. [cit.11. dubna 2007]. Dostupný z WWW: < http://kabinet.fyzika.net/index.php >
54
16. MŠMT: JEŘÁBEK, Jaroslav, TUPÝ, Jan. Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání [online]. Praha: VÚP, 29.8. 2005 [cit.25. ledna 2007]. Dostupný z WWW: < http://www.rvp.cz >. ISBN 80-87000-02-1. (s. 12-30). 17. Matematicko-fyzikální fakulta UK [online]. poslední revize 2007 [cit. 23. února 2007]. Dostupný z WWW: < http://pikomat.mff.cuni.cz/ >. 18. MOLNÁR, Josef, aj. Matematiký klokan 2004. [online]. Olomouc: UP Olomouc, 2004. Dotupné z WWW : < http://www.matematickyklokan.net > 19. Přírodovědecká fakulta MU [online]. poslední revize 2007 [cit. 5.dubna 2007]. Dostupný z WWW: < http://www.math.muni.cz/~rvmo/ >. 20. [online]. poslední revize 26.listopadu 2006 [cit. 7.4. 2007]. Dostupný z WWW: < http://www.origami.webz.cz/ >.
55
Resume Diplomová práce „Nestandardní a aplikační úlohy v geometrii“ obsahuje netradiční úlohy z geometrie, které by měly vyhovovat současným požadavkům rámcového vzdělávacího programu, který vejde v platnost 1.9. 2007, a to na všech základních školách v ČR. Úlohy zařazené v diplomové práci souvisí s praxí a jsou založeny na logických úvahách. Důležité je formulovat závěr u každé úlohy, protože se nejedná pouze o strohé geometrické výpočty. V jedné části práce se věnuji Platónovým tělesům, kterými jsou : čtyřstěn, šestistěn, osmistěn, dvanáctistěn a dvacetistěn. Tato kapitola by měla především seznámit žáky s pravidelnými tělesy a také je učit prostorové představivosti. Další část tvoří zajímavé úlohy z olympiád, učebnic a sbírek příkladů.
English: Diploma thesis „Special and applicable problems in a geometry “ involve innovative exercises from one part of mathematic: geometry. This exercises should agree with a new general education system which is going to come into force 1.9. 2007. This system will be obligatory for all secondary school in the Czech Republic. The exercises which are in my diploma thesis are connected with a working experience and with a logical thinking. There is a one part about Plathon´s figures in my thesis. The figures are a tetrahedron, a hexahedron, a octahedron, a dodecahedron and a icosahedron. This part should make students acquainted with a regular solids and teach them depth perception. The other exercises are taken from mathematical competitions and different mathematical books.
56
