MASARYKOVA UNIVERZITA. Moduly nad okruhy hlavních ideálů JANA MEDKOVÁ

MASARYKOVA UNIVERZITA Pˇr´ırodovˇedecká fakulta

Moduly nad okruhy hlavn´ıch ide´ al˚ u ´ JANA MEDKOVA Bakaláˇrská práce

Vedouc´ı práce: prof. RNDr. Radan Kuˇcera, DSc. Studijn´ı program: matematika Studijn´ı obor: obecná matematika 2010

Podˇ ekov´ an´ı: Dˇekuji velice prof. RNDr. Radanu Kuˇcerovi, DSc. za vstˇr´ıcnost, trpˇelivost a pˇr´ıleˇzitost nauˇcit se opˇet nˇeco nového.

Prohl´ aˇ sen´ı: Prohlaˇsuji, ˇze jsem svou bakaláˇrskou práci napsal(a) samostatnˇe a v´ yhradnˇe s pouˇzit´ım citovan´ ych pramen˚ u.

V Brnˇe dne 2. ˇcervna 2010

................................................... Jana Medková

Abstrakt Název práce: Moduly nad okruhy hlavn´ıch ideál˚ u Autor: Jana Medková ´ Ustav matematiky a statistiky Pˇr´ırodovˇedecké fakulty, MU Vedouc´ı bakaláˇrské práce: prof. RNDr. Radan Kuˇcera, DSc. Abstrakt: Práce se zab´ yvá odvozen´ım a aplikac´ı vlastnost´ı modul˚ u nad okruhy hlavn´ıch ideál˚ u. V prvn´ı kapitole je uvedena definice modulu a pojmy pouˇz´ıvané v dalˇs´ım textu. V druhé kapitole se odvozuj´ı vlastnosti torzn´ıch modul˚ u nad okruhy hlavn´ıch ideál˚ u, které se následnˇe pouˇzij´ı v d˚ ukazu vˇety o rozkladu na parciáln´ı zlomky. Ve tˇret´ı kapitole se zab´ yváme koneˇcnˇe generovan´ ymi moduly nad okruhy hlavn´ıch ideál˚ u, pro které, jak dokáˇzeme, plat´ı, ˇze jsou izomorfn´ı vhodnému souˇctu cyklick´ ych modul˚ u. V posledn´ı kapitole se pouˇzij´ı v´ ysledky tˇret´ı kapitoly k d˚ ukazu, ˇze kaˇzdá matice je podobná matici v racionáln´ım kanonickém tvaru a k odvozen´ı algoritmu na jeho nalezen´ı. Kl´ıˇcová slova: Modul, okruh hlavn´ıch ideál˚ u, torzn´ı modul, racionáln´ı kanonick´ y tvar

Abstract Title: Modules over principal ideal domain Author: Jana Medková Department of Mathematics and Statistics, Faculty of Science, MU Supervisor: prof. RNDr. Radan Kuˇcera, DSc. Abstract: In this work, we look into properties od modules over principal ideal domain and applications of those. First chapter consist of definition of module and terms used in following text. In second chapter, we derive properties of torsion modules over principal ideal domain, which are used to prove parcial fraction decomposition. In third chapter we study finitely generated modules over principal ideal domain, which, as we prove, are isomorphic to suitable sum of cyclic modules. The results of third chapter are used in the last chapter to show, that every square matrix is similar to matrix in rational canonical form and the algorithm how to find it. Keywords: Module, principal ideal domain, torsion module, rational canonical form

Obsah ´ Uvod

6

1 Z´ akladn´ı pojmy

7

2 Torzn´ı moduly nad okruhy hlavn´ıch ide´ al˚ u

12

3 Koneˇ cnˇ e generovan´ e moduly nad okruhy hlavn´ıch ide´ al˚ u

19

4 Racion´ aln´ı kanonick´ y tvar

28

Literatura

42

5

´ Uvod V této bakaláˇrské práci se budeme zab´ yvat odvozen´ım vlastnost´ı modul˚ u nad okruhy hlavn´ıch ideál˚ u a jejich aplikacemi. Protoˇze budovat celou teorii od zaˇca´tku by bylo pˇr´ıliˇs rozsahovˇe nároˇcné, budeme pˇredpokládat, ˇze ˇctenáˇr má znalosti v rozsahu publikace [6] a pojmy a vˇety z této publikace uˇz nebudou v textu dále pˇripom´ınány. Práce je rozdˇelena do ˇctyˇr kapitol. V prvn´ı kapitole zavedeme pojem modul nad okruhem a uvedeme nˇekterá tvrzen´ı vztahuj´ıc´ı se k tomu pojmu, která budou potˇreba v dalˇs´ıch kapitolách a také nˇekolik tvrzen´ı o okruz´ıch hlavn´ıch ideál˚ u, která nejsou uvedena v [6] a budou v dalˇs´ım textu potˇreba. V druhé kapitole se budeme zab´ yvat torzn´ımi moduly nad okruhy hlavn´ıch ideál˚ u a jejich rozkladem na souˇcet podmodul˚ u anihilovan´ ych mocninou ireducibiln´ıho prvku, kter´ y potom pouˇzijeme k d˚ ukazu vˇety o rozkladu prvk˚ u pod´ılov´ ych tˇeles okruh˚ u hlavn´ıch ideál˚ u na parciáln´ı zlomky. Ve tˇret´ı kapitole dokáˇzeme, ˇze kaˇzd´ y koneˇcnˇe generovan´ y modul nad okruhem hlavn´ıch ideál˚ u je izomorfn´ı souˇctu vhodn´ ych cyklick´ ych modul˚ u. Ve speciáln´ım pˇr´ıpadˇe, pokud za okruh hlavn´ıch ideál˚ u vezmeme okruh cel´ ych ˇc´ısel, je toto tvrzen´ı ekvivalentn´ı vˇetˇe o rozkladu koneˇcné komutativn´ı grupy na souˇcin netriviálnách cyklick´ ych p-grup. V posledn´ı kapitole pak aplikujeme tento poznatek na vektorové prostory, které uvaˇzujeme jako moduly nad okruhem polynom˚ u nad tˇelesem, abychom dokázali, ˇze kaˇzdá matice a lineárn´ı transformace má racionáln´ı kanonick´ y tvar a ukázali si algoritmus, jak tento tvar naj´ıt. Tato bakaláˇrská práce byla vysázena systémem LATEX.

6

Kapitola 1 Z´ akladn´ı pojmy ´ celem této krátké kapitoly nen´ı sdˇelit nové informace, jako sp´ıˇse pˇripomenout pojmy, Uˇ které budou v dalˇs´ıch kapitolách pouˇz´ıvány jiˇz bez vysvˇetlen´ı. Definice 1.1. Bud’ R okruh (ne nutnˇe komutativn´ı). Lev´ ym R-modulem naz´ yváme mnoˇzinu M spolu s: 1. binárn´ı operac´ı + na M takovou, ˇze (M, +) je komutativn´ı grupa. 2. akc´ı R na M tj. zobrazen´ım R × M → M (obraz dvojice (r, m) znaˇc´ıme rm), která splˇ nuje pro vˇsechna r, s ∈ R, m, n ∈ M následuj´ıc´ı podm´ınky: (a) (r + s)m = rm + sm. (b) (rs)m = r(sm). (c) r(m + n) = rm + rn. (d) pokud má okruh R jedniˇcku, pak 1R m = m. Pokud se v textu vyskytne pojem R-modul, nen´ı pod n´ım myˇsleno nic jiného neˇz lev´ y R-modul. Akci R na M ˇcasto naz´ yváme násoben´ı prvky z okruhu R. Definice 1.2. Bud’ M lev´ y R-modul, N ⊆ M . Pak N se naz´ yvá R-podmodul (nebo jen podmodul) modulu M právˇe tehdy, kdyˇz (N, +) je podgrupa grupy (M, +) a pro kaˇzdé r ∈ R, m ∈ N je rm ∈ N . Pokud uvaˇzujeme okruh R jako lev´ y R-modul, pak jeho podmoduly jsou právˇe jeho levé ideály. Pokud má okruh jedniˇcku, pak −m = (−1)m a pˇri ovˇeˇrován´ı, zda podmoˇzina modulu M je podmodul, staˇc´ı ovˇeˇrit uzavˇrenost v˚ uˇci sˇc´ıtán´ı a násoben´ı prvkem z R, protoˇze ta implikuje uzavˇrenost na inverze v˚ uˇci sˇc´ıtán´ı.

7

Definice 1.3. Necht’ M , N jsou levé R-moduly. Pak zobrazen´ı f : M → N naz´ yváme homomorfismus R-modul˚ u, pokud pro libovolná m, n ∈ M , r, s ∈ R plat´ı f (rm + sn) = rf (m) + sf (n). Jádrem homomorfismu f naz´ yváme mnoˇzinu vˇsech prvk˚ u m ∈ M , které splˇ nuj´ı podm´ınku f (m) = 0, znaˇc´ıme Ker(f ). Obrazem homomorfismu f naz´ yváme mnoˇzinu vˇsech prvk˚ u n ∈ N , pro které existuje m ∈ M tak, ˇze f (m) = n, znaˇc´ıme Im(f ). Bijektivn´ı homomorfismus R-modul˚ u naz´ yváme izomorfismus R-modul˚ u. Pozn´ amka 1.4. Pro kaˇzd´ y homomorfismus R-modul˚ u f : M → N je Ker(f ) podmodul modulu M a Im(f ) podmodul modulu N . D˚ ukaz. Z teorie grup v´ıme, ˇze Ker(f ) je podgrupa grupy M , staˇc´ı tedy dokázat, ˇze pokud m ∈ Ker(f ), pak pro libovolné r ∈ R je i rm ∈ Ker(f ). Ale f (rm) = rf (m) = r0 = 0. Tedy jádro homomorfismu f je podmodul modulu M . Stejnˇe tak Im(f ) je podgrupa grupy N . Pro libovolné n ∈ Im(f ) existuje m ∈ M tak, ˇze f (m) = n. Ale pak pro libovolné r ∈ R plat´ı rn = rf (m) = f (rm), proto rn ∈ Im(f ). Definice 1.5. Bud’ R okruh, M lev´ y R-modul, N podmodul modulu M . Pak faktormodulem M/N rozum´ıme faktorgrupu M/N spoleˇcnˇe s akc´ı R na M/N urˇcenou pˇredpisem r(m + N ) = rm + N pro vˇsechna r ∈ R, m ∈ M . Homomorfismus k : M → M/N , k(m) = m + N se naz´ yvá kanonická projekce na faktormodul. ˇ Definice 1.6. Bud’ R okruh, M lev´ y R-modul. Rekneme, ˇze mnoˇzina prvk˚ uA Pgeneruje modul M , právˇe kdyˇz pro libovolné m ∈ M existuj´ı ri ∈ R, mi ∈ A tak, ˇze m = ni=1 ri mi . Koneˇcnˇe generovan´ y modul je takov´ y modul, kter´ y je generován koneˇcnou mnoˇzinou. Pokud je modul generován jedn´ım prvkem, naz´ yvá se cyklick´ y. Definice 1.7. Bud’ R okruh, M lev´ y R-modul. Podmnoˇzina B modulu M se naz´ yvá báz´ı, pokud je libovolná jej´ı koneˇcn´ a podmnoˇzina lineárnˇe nezávislá (tj. pro libovolná P b1 , . . . , bn ∈ B a a1 , . . . an ∈ R plat´ı ni=1 ai bi = 0 jedinˇe v pˇr´ıpadˇe, kdy vˇsechna ai = 0) ˇ a generuje modul M . Rekneme, ˇze R-modul M je voln´ y, pokud má bázi. Definice 1.8. Bud’ R okruh, M lev´ y R-modul, Ni , i ∈ I podmoduly modulu M . Pak souˇctem modul˚ u Ni , i ∈ I rozum´ıme mnoˇzinu vˇsech koneˇcn´ ych souˇct˚ u N ={

n X

mji |mji ∈ Nji pro i = 1, . . . , n},

i=1

8

P znaˇc´ıme N = i∈I Ni . P Pokud dálePplat´ı, ˇze pro libovolné m ∈ i∈I Ni existuj´ı jednoznaˇcnˇe urˇcená mi ∈ Ni tak, ˇze m = sechna mi jsou nulová, naz´ yváme N direktn´ım souˇctem i∈I mi a skoro vˇ ` modul˚ u Ni , i ∈ I, znaˇc´ıme N = i∈I Ni . Pro direktn´ı souˇcet M dvou modul˚ u N1 , N2 se pouˇz´ıvá téˇz znaˇcen´ı M = N1 ⊕ N2 . Pozn´ aS mka 1.9. Souˇcet podmodul˚ u Ni , i ∈ I modulu M je podmodul generovan´ y sjednocen´ım i∈I Ni . Voln´ y modul je pˇr´ım´ y souˇcet modul˚ u izomorfn´ıch s R (ne nutnˇe koneˇcn´ y). Definice 1.10. Rankem volného modulu M rozum´ıme poˇcet prvk˚ u jeho báze. Vˇ eta 1.11. Bud’ R obor integrity a M volný R-modul ranku n < ∞. Pak libovolných n + 1 prvk˚ u je lineárnˇe závislých, tj. pro kaˇzdé prvky m1 , . . . , mn+1 ∈ M existuj´ı r1 , . . . , rn+1 ∈ R, ne vˇsechna nulová tak, ˇze r1 m1 + · · · + rn+1 mn+1 = 0. D˚ ukaz. Modul M je voln´ y ranku n, tedy M ∼ = R ⊕ . . . . ⊕ R (n-krát). Vezmˇeme pod´ılové tˇeleso F okruhu R. Pak jistˇe M ⊆ F ⊕ · · · ⊕ F (n-krát). Toto je ale vektorov´ y prostor jehoˇz vlastnosti dobˇre známe, tud´ıˇz v´ıme, ˇze existuj´ı x1 , . . . , xn+1 ∈ F , ne vˇsechna nulová, P x m sechny tyto koeficienty jsou ve tvaru si t−1 tak, ˇze n+1 i ∈ R, ti 6= 0 i , si , tQ i=1 i i = 0. Vˇ Qn+1 a vynásoben´ım obou stran prvkem i=1 ti dostáváme koeficienty rj = sj n+1 i=1,i6=j ti ∈ R do rovnice z tvrzen´ı, které jsou alespoˇ n pro jedno j nenulové (protoˇze R je obor intergity).

Rank modulu nad oborem integrity m˚ uˇzeme definovat i jin´ ym zp˚ usobem. Povˇsimnˇeme si, ˇze d´ıky pˇredchoz´ı vˇetˇe je tato definice ve shodˇe s definic´ı ranku volného modulu. Definice 1.12. Bud’ R obor integrity. Rankem R-modulu M naz´ yváme maximáln´ı poˇcet lineárnˇe nezávisl´ ych prvk˚ u modulu M . V textu budeme také vyuˇz´ıvat nˇekteré vlastnosti okruhu hlavn´ıch ideál˚ u, které nejsou uvedeny v [6], proto je dokáˇzeme v této kapitole a dále je budeme pouˇz´ıvat bez d˚ ukazu. Dalˇs´ı zaj´ımavé vlastnosti okruh˚ u hlavn´ıch ideál˚ u, které ovˇsem nebudeme v textu pouˇz´ıvat, je moˇzné nalézt napˇr. v [3] nebo [2]. Definice 1.13. Bud’ R okruh. Prvek r ∈ R nazveme primitivn´ı, pokud je nenulov´ y, nen´ı jednotka a pro libovolné s, t ∈ R, pro které plat´ı r|st, plat´ı, ˇze r|s nebo r|t. Prvek r ∈ R nazveme ireducibiln´ı, pokud je nenulov´ y, nen´ı jednotka a neexistuj´ı s, t ∈ R, které nejsou jednotky, tak, ˇze r = st. Vˇ eta 1.14. Bud’ R okruh hlavn´ıch ideál˚ u. Pak libovolné dva nenulové prvky a, b maj´ı nejvˇetˇs´ıho spoleˇcného dˇelitele d, který m˚ uˇze být zapsán jako lineárn´ı kombinace ra + sb = d prvk˚ u a, b pro vhodná r, s ∈ R. 9

D˚ ukaz. Protoˇze R je okruh hlavn´ıch ideál˚ u, je i ideál (a, b) hlavn´ı, to znamená, ˇze (a, b) = (d). Prvek d je pak nejvˇetˇs´ı spoleˇcn´ y dˇelitel prvk˚ u a a b. Protoˇze d ∈ (a, b), mus´ı existovat r, s ∈ R tak, ˇze ra + sb = d. Vˇ eta 1.15. Bud’ R okruh hlavn´ u, a1 , . . . , an prvky okruhu R tak, ˇze (ai , aj ) = R Q ıch ideál˚ pro libovolné i 6= j. Bud’ a = ni=1 ai . Pak R/(a) ∼ =

n Y

R/(ai ).

i=1

D˚ ukaz. Nejdˇr´ıve dokáˇzeme tvrzen´ı pro dvojici prvk˚ u. Bud’ a = a1 a2 , (a1 , a2 ) = R. Uvaˇzujme homomorfismus okruh˚ u f : R → R/(a1 ) × R/(a2 ) dan´ y pˇredpisem f (b) = (b + (a1 ), b + (a2 )). Mˇejme libovoln´ y prvek (b1 + (a1 ), b2 + (a2 )) ∈ R/(a1 ) × R/(a2 ). Protoˇze (a1 , a2 ) = R ´ a b2 − b1 ∈ R, mus´ı existovat r, s ∈ R tak, ˇze b2 − b1 = ra1 + sa2 . Upravou dostáváme b2 − sa2 = b1 + ra1 = x. Je zˇrejmé, ˇze obrazem prvku x v homomorfismu f bude prvek (b1 +ra1 +(a1 ), b2 −sa2 +(a2 )) = (b1 +(a1 ), b2 +(a2 )). Tedy libovoln´ y prvek R/(a1 )×R/(a2 ) má vzor a f je surjektivn´ı homomorfismus. Jádro homomorfismu f tvoˇr´ı pr˚ unik ideál˚ u (a1 ) ∩ (a2 ). Ukáˇzeme, ˇze (a1 ) ∩ (a2 ) = (a). Jistˇe a ∈ (a1 ) ∩ (a2 ), a proto (a) ⊆ (a1 ) ∩ (a2 ). Protoˇze (a1 , a2 ) = R, existuj´ı s, t ∈ R tak, ˇze sa1 + ta2 = 1. Nyn´ı bud’ x ∈ (a1 ∩ a2 ) libovolné. Pak existuj´ı u, v ∈ R tak, ˇze x = ua1 = va2 . Pak x = xsa1 + xta2 = va2 sa1 + ua1 ta2 = a1 a2 (sv + tu) = a(sv + tu) ∈ (a). Tedy (a1 ) ∩ (a2 ) ⊆ (a). Proto Ker(f ) = (a) a podle prvn´ı vˇety o izomorfismu dostáváme R/(a) ∼ = R/(a1 ) × R/(a2 ). Nyn´ı dokáˇzeme indukc´ı, ˇze toto tvzen´ı plat´ı pro libovoln´ ych n prvk˚ u a1 , . . . , an pro které plat´ı (ai , aj ) = R pro libovolné i 6= j. Pro dva prvky jsme toto uˇz dokázali. Nyn´ı pˇredpokládejme, ˇze tvzen´ı bylo dokázáno pro libovoln´ ych n − 1 prvk˚ u s touto vlastnost´ı. Protoˇze pro libovolné dva prvky (ai , aj ) = R, existuj´ı pro kaˇzdé i, 2 ≤ i ≤ n prvky ri , si ∈ R tak, ˇze ri a1 Q + si ai = 1. Vynásoben´ımQtˇechto rovnost´ı dostaneme Bezoutovu rovnost a1 a ni=2Q ai . Plat´ı tedy, ˇze (a1 , ni=2 ai )Q= R a z v´ yˇse dokázaného plyne Qn pro prvky n n R/( i=1 ai ) ∼ a ) se ale vztahuje indukˇcn´ı = R/(a1 ) × R/( i=2 ai ). NaQfaktorokruh R/( Qn i=2 i n ∼ ∼ pˇredpoklad, a proto R/(a) = R/(a1 ) × i=2 R/(ai ) = i=1 R/(ai ). Vˇ eta 1.16. Bud’ R okruh hlavn´ıch ideál˚ u, 0 =6= r ∈ R. Pak následuj´ıc´ı podm´ınky jsou ekvivalentn´ı 1. (r) je prvoideál, 2. (r) je maximáln´ı ideál, 3. r je ireducibiln´ı prvek, 10

4. r je primitivn´ı prvek. D˚ ukaz. (1) ⇒ (4) Bud’ I = (r) prvoideál. Pak (r) 6= R, tedy r nen´ı jednotka (a r 6= 0 z pˇredpoklad˚ u vˇety). Necht’ s, t ∈ R jsou libovolné prvky takové, ˇze r|st. Pak st ∈ (r) a podle definice prvoideálu mus´ı bud’ s ∈ R nebo t ∈ R. To ale znamená, ˇze bud’ r|s nebo r|t a prvek r je primitivn´ı. (4) ⇒ (3) Bud’ r primitivn´ı prvek. Pak r 6= 0 a r nen´ı jednotka. Necht’ s, t ∈ R jsou libovolné prvky tak, ˇze r = st. To ale také znamená, ˇze r|st. Protoˇze je r primitivn´ı prvek, mus´ı platit, ˇze r|s nebo r|t. Pak ale jeden z ˇcinitel˚ u s, t mus´ı b´ yt asociovan´ y s prvkem r a druh´ y mus´ı b´ yt jednotka. Tedy r 6= 0, r nen´ı jednotka a neexistuje rozklad r na souˇcin dvou prvk˚ u tak, aby ani jeden z nich nebyl jednotka. (3) ⇒ (2) Necht’ r je ireducibiln´ı prvek. Pak (r) 6= {0}, protoˇze r 6= 0, a (r) 6= R, protoˇze r nen´ı jednotka. Dokáˇzeme, ˇze (r) je maximáln´ı ideál okruhu R. Kdyby nebyl, tak existuje s ∈ R tak, ˇze (r) ⊂ (s) ⊂ R, to ale znamená, ˇze r = st a ani s ani t nejsou jednotky, ale to je spor s ireducibilitou r. (4) ⇒ (3) Protoˇze faktorizac´ı okruhu podle prvoideálu dostáváme obor integrity, faktorizac´ı podle maximáln´ıho ideálu tˇeleso a tˇeleso je z definice obor integrity, je vidˇet, ˇze kaˇzd´ y maximáln´ı ideál je i prvoideál. Vˇ eta 1.17. Bud’ R okruh hlavn´ıch ideál˚ u. Pak R je i okruhem s jednoznaˇcným rozkladem. D˚ ukaz. Bud’ r ∈ R libovolné takové, ˇze r 6= 0 a r nen´ı jednotka. Nejdˇr´ıve dokáˇzeme, ˇze r lze rozloˇzit na koneˇcn´ y souˇcin ireducibiln´ıch prvk˚ u. Pokud je r ireducibiln´ı, jsme hotovi. Nyn´ı pˇredpokládejme, ˇze nen´ı. Pak r = r1 s1 , kde r1 , s1 nejsou jednotky. Bud’ jsou r1 , s1 ireducibiln´ı a jsme hotovi nebo jeden z nich, pˇredpokládejme, ˇze r1 nen´ı ireducibiln´ı a jde dále rozloˇzit na souˇcin r2 s2 , kde r2 , s2 nejsou jednotky. Budeme takto pokraˇcovat v rozkládán´ı. Pokud se po koneˇcnˇe mnoha kroc´ıch zastav´ıme, je vˇse v poˇrádku a r lze rozloˇzit na koneˇcn´ y souˇcin ireducibiln´ıch prvk˚ u. Pokud bychom se ale nezastavili, pak lze sestrojit nekoneˇcn´ y rostouc´ı ˇretˇezec ideál˚ u (r) ⊂ (r1 ) ⊂ (r2 ) ⊂ . . . to je ale ve sporu s t´ım, ˇze R je noetherovsk´ y okruh (viz. 3.2). Dokáˇzeme nyn´ı, ˇze rozklad na koneˇcn´ y souˇcet ireducibiln´ıch prvk˚ u je dán jednoznaˇcnˇe aˇz na poˇrad´ı a asociovanost. Pˇredpokládejme, ˇze existuj´ı dva r˚ uzné rozklady na ireducibiln´ı prvky r = p1 · · · pn = q1 · · · qm , n ≤ m. Jistˇe levá strana je prvkem ideálu (p1 ), takˇze mus´ı platit, ˇze p1 |q1 · · · qm . Prvek p1 je ireducibiln´ı, tedy i primitivn´ı, to znamená, ˇze mus´ı dˇelit nˇekter´ y z prvk˚ u q1 , . . . , qm . Zmˇenou poˇrad´ı m˚ uˇzeme tento prvek m´ıt na prvn´ı pozici, a proto m˚ uˇzeme bez u ´jmy na obecnosti pˇredpokládat, ˇze p1 |q1 . Protoˇze q1 je ireducibiln´ı, plat´ı p1 ∼ q1 , tud´ıˇz existuje u1 ∈ R, u1 je jednotka tak, ˇze q1 = u1 p1 . Kdyˇz za q1 dosad´ıme zpˇet do vyjádˇren´ı, dostáváme p1 p2 · · · pn = u1 p1 q2 · · · qm . Protoˇze R je obor integrity m˚ uˇzeme si dovolit krátit p1 . Tedy p2 · · · pn = u1 q2 · · · qm . Opakován´ım stejného postupu pro p2 , . . . , pn dostaneme, ˇze p1 ∼ q1 , . . . , pn ∼ qn a 1 = u1 · · · un qm−n · · · qm . Protoˇze ˇza´dné z qm−n , . . . , qm nen´ı jednotka, mus´ı b´ yt m = n.

11

Kapitola 2 Torzn´ı moduly nad okruhy hlavn´ıch ide´ al˚ u Definice 2.1. Bud’ R okruh, M lev´ y R-modul a x ∈ M . Anihilátorem prvku x rozum´ıme mnoˇzinu ann(x) = {r ∈ R|rx = 0} Pozn´ amka 2.2. Anihilátor prvku x je lev´ ym ideálem okruhu R a pokud uvaˇzujeme R jako lev´ y R-modul a ann(x) jako jeho podmodul, pak faktormodul R/ ann(x) ∼ = (x), kde (x) je podmodul M generovan´ y prvkem x. D˚ ukaz. Staˇc´ı dokázat, ˇze ann(x) obsahuje 0, je uzavˇren´ y na sˇc´ıtán´ı, bran´ı inverze v˚ uˇci sˇc´ıtán´ı a násoben´ı prvkem z R zleva. Z definice modulu 0 · x = 0, takˇze 0 ∈ ann(x). Necht’ r, s ∈ ann(x) jsou libovolné. Pak (r+s)x = rx+sx = 0 a 0 = (r−r)x = rx+(−r)x = (−r)x, takˇze (r + s), −r ∈ ann(x). Nakonec bud’ r ∈ R, s ∈ ann(x) libovolné, pak (rs)x = r(sx) = 0. Uvaˇzujme homomorfismus modul˚ u k : R → (x), k(r) = rx. Jistˇe Im(k) = (x) a Ker(k) = {r ∈ R|rx = 0} = ann(x). Podle prvn´ı vˇety o izomorfismu plat´ı R/ ann(x) ∼ = (x). Definice 2.3. Bud’ R okruh, M lev´ y R-modul, x ∈ M . Prvek x se naz´ yvá torzn´ı, pokud ann(x) 6= {0}. Pokud je R obor integrity, nazveme mnoˇzinu vˇsech torzn´ıch prvk˚ u modulu M torzn´ı podmodul modulu M a budeme jej znaˇcit Tor(M ) Bylo by vhodné dokázat, ˇze Tor(M ) je opravdu podmodul modulu M . Jistˇe 0 ∈ Tor(M ), protoˇze r0 = 0 z definice modulu pro vˇsechna r ∈ R. Abychom dokázali, ˇze Tor(M ) je podmodul modulu M , staˇc´ı uˇz jen ovˇeˇrit uzavˇrenost na sˇc´ıtán´ı a násoben´ı prvkem z R (protoˇze R je obor integrity). Bud’ x, y ∈ Tor(M ) libovolné torzn´ı prvky, r ∈ ann(x), s ∈ ann(y), r, s 6= 0 prvky okruhu R. Pak rs(x + y) = rsx + rsy = s(rx) + r(sy) = 0. Souˇcin rs je tedy prvkem ann(x + y) a je nenulov´ y, protoˇze R je obor integrity a r, s jsou nenulové, tedy x + y je torzn´ı prvek a Tor(M ) je uzavˇren´ y v˚ uˇci sˇc´ıtán´ı. Necht’ r ∈ ann(x), r 6= 0, s ∈ R libovolné. Pak r(sx) = s(rx) = 0, tud´ıˇz ann(sx) nen´ı roven nule pro libovolné s ∈ R a tedy sx ∈ Tor(M ), ˇc´ımˇz jsme dokázali uzavˇrenost v˚ uˇci násoben´ı prvkem z R. 12

Definice 2.4. Modul M nazveme torzn´ım, pokud Tor(M ) = M . V dalˇs´ım textu se budeme zab´ yvat torzn´ımi moduly nad okruhy hlavn´ıch ideál˚ u. Danou problematiku nelze zobecnit na libovoln´ y okruh, protoˇze potˇrebujeme, aby okruh, nad kter´ ym operujeme, byl obor integrity a pro dokázán´ı nˇekter´ ych vlastnost´ı vyuˇz´ıváme vlastnost, ˇze anihilátor libovolného prvku je hlavn´ı ideál, tj. ideál generovan´ y jedn´ım prvkem. Bud’ R okruh hlavn´ıch ideál˚ u. Oznaˇcme P(R) mnoˇzinu vˇsech maximáln´ıch ideál˚ u okruhu R. Definice 2.5. Bud’ R okruh hlavn´ıch ideál˚ u, M lev´ y R-modul, (p) ∈ P(R). Mnoˇzinou M(p) nazveme mnoˇzinu vˇsech prvk˚ u m ∈ M , pro které existuje n ∈ N tak, ˇze pn m = 0. Je potˇreba ovˇeˇrit, zda je M(p) definována korektnˇe, tj. je nezávislá na volbˇe generátoru ideálu (p). Pˇredpokládejme, ˇze (p) = (q). To ale znamená, ˇze existuje jednotka u ∈ R tak, ˇze p = uq. Dokáˇzeme, ˇze libovoln´ y prvek m plat´ı, ˇze m ∈ M(p) právˇe, kdyˇz m ∈ M(q) . Jestliˇze m ∈ M(p) , existuje n ∈ N tak, ˇze pn m = 0. Pak ale 0 = pn m = (uq)n m = un q n m. Vynásob´ıme obˇe strany prvkem u−n a dostáváme u−n 0 = 0 = u−n un q n m = q n m. Tedy existuje n ∈ N tak, ˇze q n m = 0, proto pokud m ∈ M(p) , pak m ∈ M(q) . Opaˇcn´ y smˇer dostaneme analogicky pro q = u−1 p. Pozn´ amka 2.6. M(p) je podmodul modulu M . D˚ ukaz. Pro d˚ ukaz staˇc´ı ovˇeˇrit uzavˇrenost na sˇc´ıtán´ı a násoben´ı prvkem z R, nebot’ obor integrity má jedniˇcku a 0 ∈ M(p) . Bud’ m1 , m2 ∈ M(p) . Pak existuj´ı n1 , n2 ∈ N tak, ˇze pn1 m1 = 0, pn2 m2 = 0. Vezmeme n = max{n1 , n2 }. Potom ale pn (m1 + m2 ) = pn m1 + pn m2 = 0 tedy M(p) je uzavˇreno na souˇcet. Dále pak bud’ m ∈ M(p) , r ∈ R. Pak existuje n ∈ N takové, ˇze pn m = 0. Pak pn (rm) = r(pn m) = 0. Odtud vid´ıme, ˇze M(p) je uzavˇreno i na násoben´ı prvkem z R a je tedy podmodulem modulu M . Vˇ eta 2.7. Bud’ M levý R-modul, Mi , i ∈ I systém jeho podmodul˚ u. Pak následuj´ıc´ı podm´ınky jsou ekvivalentn´ı: ` 1. M = i∈I Mi , 2. pro systém podmodul˚ u Mi plat´ı: S (a) M je generován i∈I Mi , (b) pro kaˇzdé j ∈ I bud’ Nj podmodul generovaný sjednocen´ım Nj ∩ Mj = {0}.

13

S

i∈I,i6=j

Mi . Pak

S D˚ ukaz. (1) ⇒ (2) Prvn´ı ˇca´st, ˇze M je generovan´ y sjednocen´ım i∈I Mi plyne z definice souˇctu. Staˇc´ı tedy dokázat, ˇze Nj ∩ Mj = {0}. Bud’ m ∈ Nj ∩ Mj .P Protoˇze m ∈ Nj , mus´ı existovat koneˇcná podmnoˇzina index˚ u J ⊆ I − {j} tak, ˇze m = i∈J mi , mi ∈ Mi pro i ∈ J. Vezmeme homomorfismus p : M → Mj definovan´ y následovnˇe: pro kaˇzdé x ∈ M , x = xi1 + · · · + xik , xil ∈ Mil , je obraz roven tomu sˇc´ıtanci, kter´ y leˇz´ı v Mj , pˇr´ıpadnˇe 0, nen´ı-li tam takov´ y. Tento homomorfismus je definován korektnˇe, protoˇze sˇc´ıtance jsou z definice P direktn´ıho souˇ Pctu urˇceny jednoznaˇcnˇe. Pak ale p(m) = m, protoˇze m ∈ Mj , ale p(m) = p( i∈J mi ) = i∈J p(mi ) = 0. Z toho vypl´ yvá, ˇze m = 0. (2) ⇒ (1) Jelikoˇz je M generováno systémem modul˚ u Mi , i ∈ I, tak urˇcitˇe kaˇzd´ y prvek M lze zapsat jako P koneˇcn´ y souˇ c et prvk˚ u z M , i ∈ I. Dok´ a ˇ z eme, ˇ z e tento z´ a pis je i P jednoznaˇcn´ y. Necht’ m = i∈I mi = i∈I m0i jsou dvˇe r˚ uzná vyjáP dˇren´ı prvkuP m, ve kter´ ych P 0 0 je pouze koneˇcnˇe mnoho sˇc´ıtanc˚ u nenulov´ ych. Pak 0 = m − m = (m −m i i i i ). i∈I i∈I i∈I P 0 0 0 Plat´ı ale, ˇze mi − mi ∈ Mi ∩ Ni , protoˇze mi − ` mi = j∈I,j6=i (mi − mi ), takˇze z (2b) plyne, 0 0 ˇze mi − mi = 0, a proto mi = mi . Tedy M = i∈I Mi .

Právˇe dokázané tvrzen´ı bude d˚ uleˇzité pro d˚ ukaz následuj´ıc´ı vˇety. Vˇ eta 2.8. Bud’ R okruh hlavn´ıch ideál˚ u, M torzn´ı R-modul. Pak M =

`

(p)∈P(R)

M(p) .

D˚ ukaz. K S d˚ ukazu vyuˇzijeme pˇredchoz´ı vˇetu, takˇze staˇc´ı dokázat, ˇze M je generovan´ y sjednocen´ım (p)∈P(R) M(p) a pro kaˇzdé (p) ∈ P(R) je N(p) ∩ M(p) = 0, kde N(p) je podmodul S generovan´ y sjednocen´ım (q)∈P(R),(p)6=(q) M(q) . Bud’ x ∈ M libovolné. Jelikoˇz je M torzn´ı modul, ann(x) je nenulov´ y a ann(x) = (a) pro nˇejaké a 6= 0. Jak jiˇz dˇr´ıve zaznˇelo, plat´ı, ˇze R/(a) ∼ (x) jako moduly, takˇze existuje = izomorfismus modul˚ u ψ : R/(a) → (x), ψ(r + (a)) = rx. Okruh R je okruh hlavn´ıch ideál˚ u a tedy je i okruhem s jednoznaˇcn´ ym rozkladem, a prvekQa proto m˚ uˇzeme rozloˇzit na koneˇcn´ y souˇcin ireducibiln´ıch prvk˚ u a jednotky, tedy a = u· ki=1 pni i , kde pi jsou ireducibiln´ı prvky, u jednotka okruhu R. Podle vˇety 1.15 plat´ı, ˇze Qk Qk R/(a) ∼ = i=1 R/(pni i ) jako okruhy. Toto ale plat´ı i pokud uvaˇzujeme R/(a) a i=1 R/(pni i ) Q jako levé R-moduly a izomorfismus ϕ : R/(a) → ki=1 R/(pni i ), kter´ y je dán pˇredpisem Q nk n1 ϕ(r + (a)) = (r + (p1 ), · · · , r + (pk )), je izomorfismus R-modul˚ u R/(a) a ki=1 R/(pni i ). Q Oznaˇcme yi = (0, . . . , 1 + (pni i ), . . . 0) prvky ki=1 R/(pni i ) s jedniˇckou na i-té pozici Q a f = ψϕ−1 , f : ki=1 R/(pni i ) → (x). Pak pni i f (yi ) = f (pni i yi ) = 0. Dostáváme tedy, Pk ˇze f (yi ) ∈ M(pi ) . Je také zˇrejmé, ˇze x = f ((1 + (pn1 1 ), · · · , 1 + (pnk k ))) = i=1 f (yi ), f (yi ) ∈ M(pi ) , coˇz nám ale dává vyjáSdˇren´ı x jako koneˇcn´ y souˇcet prvk˚ u z M(pi ) . Proto modul M je generovan´ y sjednocen´ım (p)∈P(R) M(p) . ’ Bud 0 6= x ∈ N(p) ∩ M(p) libovolné. Pak existuje n ∈ N tak, ˇze pn x = 0 (protoˇze x ∈ M(p) ) a také existuj´ı x1 , · · · , xk , xi ∈ M(pi ) , (pi ) 6= (p), xi 6= 0, pro i = 1, · · · , k tak, ˇze P x = ki=1 xi (protoˇze x ∈ N(p) ). Ke kaˇzdému xi ∈ M(pi ) existuj´ı pˇr´ısluˇsné exponenty ni ∈ N Q tak, ˇze pni i xi = 0. Oznaˇcme r = ki=1 pni i . Pak rx = 0. Protoˇze pn a r jsou nesoudˇelná, plat´ı, 14

ˇze (pn , r) = R, a proto mus´ı existovat a, b ∈ R tak, ˇze ar + bpn = 1, tud´ıˇz vynásoben´ım rovnosti prvkem x dostáváme arx + bpn x = x. Vzhledem k tomu, ˇze levá strana je rovna nule, dostáváme spor s t´ım, ˇze x 6= 0. Proto N(p) ∩ M(p) = {0}. Vˇ eta 2.9. Bud’ R okruh hlavn´ıch ideál˚ u, K pod´ılové tˇeleso okruhu R a {pi }i∈I podmnoˇzina ireducibiln´ıch prvk˚ u R taková, ˇze kaˇzdý ireducibiln´ı prvek R je asociovaný s právˇe jedn´ım prvkem mnoˇziny {pi }i∈I . Pak pro kaˇzdé x ∈ K existuje koneˇcná podmnoˇzina I 0 mnoˇziny I tak, ˇze x lze vyjádˇrit ve tvaru X x = r0 + ri pi−ni , i∈I 0

v nˇemˇz r0 ∈ R a pro vˇsechna i ∈ I plat´ı: 1. ri ∈ R, 2. ri nen´ı dˇelitelné pi v okruhu R, 3. ni ∈ N. Nav´ıc mnoˇzina I 0 a ˇc´ısla ni jsou jednoznaˇcnˇe urˇcena. D˚ ukaz. Pod´ılové tˇeleso K i okruh R m˚ uˇzeme uvaˇzovat jako R-moduly, pˇriˇcemˇz R je podmodulem K. Vezmˇeme faktormodul M = K/R. Tento R-modul je tvoˇren prvky ve tvaru rs−1 + R, r, s ∈ R, s 6= 0. Je zˇrejmˇe vidˇet, ˇze tento modul je torzn´ı (kaˇzd´ y prvek rs−1 + R staˇc´ı vynásobit s). Lze ho tedy rozloˇzit na souˇcet podmodul˚ u M(p) , kde (p) ∈ P(R), jak jsme dokázali v pˇredchoz´ı vˇetˇe. Bud’ k : K → M kanonická projekce na faktormodul. 0 Dokáˇzeme nejdˇr´ıve, ˇze pro libovolné x ∈ K existuj´ P ı r0 , ri−n∈i R, i ∈ I a ni ∈ N tak, ˇze ri nen´ı dˇelitelné pi v okruhu R a plat´ı, ˇze x = r0 + i∈I ri pi . Nejdˇr´ıve zobraz´ıme x projekc´ı k, k(x) = x + R. Protoˇze M je torzn´ı R-modul, existuje podle pˇredchoz´ıP vˇety koneˇcná mnoˇzina I 0 a nenulové prvky mi + R, mi + R ∈ M(pi ) , i ∈ I 0 tak, ˇze k(x) = i∈I 0 (mi + R). Pro kaˇzd´ y prvek mi + R ∈ M(pi ) existuje n ∈ N tak, ˇze n pi (mi + R) = R. Vezmˇeme za ni nejmenˇs´ı n, které toto splˇ nuje. Prvek pni i mi leˇz´ı v Ker(k), protoˇze k(pni i mi ) = pni i k(mi ) = pni i (mi + R) = R. Ale jádro tvoˇr´ı právˇe prvky modulu R, a proto pro mi existuje ri ∈ R tak, ˇze pni i mi = ri . Prvek mi tedy m˚ uˇzeme vyjádˇrit jako −ni ri pi a jelikoˇz jsme s´ı moˇzné, plat´ı, ˇze pi nedˇel´ı ri . i nejmenˇ P brali n−n i Stejnˇe tak x − r p leˇ z ´ ı v jádˇre homomorfismu k, a proto mus´ı existovat r0 ∈ R 0 i∈I i i P −ni tak, ˇze x − i∈I 0 ri pi = r0 , z ˇcehoˇz uˇz dostáváme k´ yˇzené vyjádˇren´ı prvku X x = r0 + ri pi−ni . i∈I 0

Zb´ yvá tedy dokázat jednoznaˇcnost takového vyjádˇren´ı. Nejdˇr´ıve dokáˇzeme, ˇze mnoˇzina index˚ u je jednoznaˇcnˇe daná. Bud’ I 0 , J 0 dvˇe r˚ uzné koneˇcné podmnoˇziny index˚ u splˇ nuj´ıc´ı v´ yˇse uvedené podm´ınky. Prvek x tak lze vyjádˇrit dvˇema zp˚ usoby jako X X −m i r0 + ri p−n = s0 + sj pj j . i i∈I 0

j∈J 0

15

Zobraz´ıme obˇe vyjádˇren´ı projekc´ı k : K → M . Dostáváme rovnost P −mj + R. Bud’ l ∈ I 0 . Pak j∈J 0 sj pj l +R=( M(pl ) 3 rl p−n l

X

−mj

sj qj

−

j∈J 0

X

P

i∈I 0

i ri p−n +R = i

ri pi−ni ) + R ∈ N(pl ) ,

i∈I 0 ,i6=l

S kde N(pl ) je modul generovan´ y sjednocen´ım i∈I,i6=l M(pi ) z ˇcehoˇz dle tvrzen´ı 2.7 a 2.8 l + R = 0 + R, tj. rl pl−nl ∈ R, coˇz je spor s t´ım, ˇze pl nedˇel´ı rl . vypl´ yvá, ˇze rl p−n l Podobné to je pro jednoznaˇcnost exponent˚ u. Pˇredpokládejme, ˇze mnoˇzina index˚ u je nyn´ı stejná, ale u pl se liˇs´ı velikost exponentu. Pak u ´pravami podobnˇe jako v minulém pˇr´ıpadˇe dostáváme, ˇze X X −ml −ni i l ) + R ∈ N(pl ) . − si p−m M(pl ) 3 (rl p−n − s p ) + R = ( r p l i i i l l i∈I,i6=l

i∈I,i6=l

l l Z toho dostáváme, ˇze (rl p−n − sl p−m ) + R = 0 + R. Bud’ bez u ´jmy na obecnosti nl < ml . l l nl Pak vynásoben´ım obou stran p dostáváme sl pl−ml +nl + R = 0 + R, −ml + nl < 0 coˇz je opˇet spor s t´ım, ˇze pl nedˇel´ı sl .

Vyjádˇren´ı popsané v pˇredchoz´ı vˇetˇe ale neodpov´ıdá rozkladu, na kter´ y jsme zvykl´ı tˇreba pˇri rozkladu na parciáln´ı zlomky pˇri integraci racionáln´ıch funkc´ı. Proto bude potˇreba naˇse u ´vahy jeˇstˇe dále rozvinout. Vˇ eta 2.10. Bud’ R okruh hlavn´ıch ideál˚ u, K jeho pod´ılové tˇeleso a {pi }i∈I podmnoˇzina ireducibiln´ıch prvk˚ u R tak, ˇze kaˇzdý ireducibiln´ı prvek R je asociovaný s právˇe jedn´ım prvkem mnoˇziny {pi }i∈I . Dále pˇredpokládejme, ˇze pro kaˇzdé pi , i ∈ I, máme pevnˇe d´ ano zobrazen´ı si : R/(pi ) → R, 0 ∈ Im(si ) tak, ˇze ki ◦si = idR/(pi ) pro vˇsechna i ∈ I, kde ki je kanonická projekce z R na R/(pi ). Necht’ x ∈ K je libovolný. Pak existuje jednoznaˇcnˇe urˇcen´ a 0 koneˇcná podmnoˇzina I mnoˇziny I tak, ˇze prvek x m˚ uˇze být zapsán, a to jednoznaˇcnˇe, ve tvaru ∞ XX x = r0 + ri,j p−j i , i∈I 0 j=1

kde 1. r0 , ri,j jsou prvky z R, 2. skoro vˇsechny prvky ri,j jsou nulové, 3. vˇsechny prvky ri,j ∈ Im(si ). P D˚ ukaz. Dokázali jsme, ˇze lze x ∈ K rozloˇzit na souˇcet x = r0 + i∈I ri pi−ni a mnoˇzina index˚ u I 0 a exponenty −ni jsouPurˇceny jednoznaˇcnˇe. Potˇrebovali bychom tedy dokázat, ˇze −j i lze ri p−n dále rozloˇzit na ti + ∞ i j=1 ri,j pi , ti , ri,j ∈ R. 16

Bud’ p ireducibiln´ı prvek. Uvaˇzujme R jako lev´ y R-modul a k kanonickou projekci na faktormodul R/(p). Vezmˇeme s : R/(p) → R zobrazen´ı takové, ˇze k ◦ s = idR/(p) , dané z pˇredpoklad˚ u vˇety. Dokáˇzeme indukc´ı, ˇze pro R a kaˇzdé n ∈ N lze naj´ıt prvky ui ∈ R/(p), P kaˇzdé r ∈ i i = 0, . . . , n − 1 tak, ˇze r − n−1 s(u )p ∈ (pn ). Pokud n = 1, staˇc´ı vz´ıt u0 = k(r), jelikoˇz i i=0 k(r − s(k(r))p0 ) = k(r) − k(s(k(r))) = k(r) − k(r) = 0, protoˇze k ◦ s = idR/(p) . BudemePnyn´ı pˇredpokládat, ˇze uˇz byla azána existence u0 , . . . , un−1 splˇ nuj´ıc´ıch podPdok´ n−1 n−1 i n i n m´ınku r − i=0 s(ui )p ∈ (p ), tzn. r − i=0 s(ui )p = tp , kde t ∈ R. Poloˇzme un = k(t). Pak t − s(un ) = lp, pro vhodné l ∈ R. Kdyˇz z této rovnice vyjádˇr´ıme t a dosad´ıme do Pn−1 i n pravé strany indukˇ c n´ ıho pˇ r edpokladu, dost´ a v´ a me, ˇ z e r − i=0 s(ui )p = (s(un ) + lp)p , Pn tedy r − i=0 s(ui )pi = lpn+1 , ˇc´ımˇz je d˚ ukaz indukc´ı hotov. Nyn´ ı dok´ a ˇ z eme, ˇ z e prvky s(u ) jsou urˇceny jednoznaˇcnˇe. Mˇejme dvˇe r˚ uzná vyjádˇren´ı i Pn Pn i n+1 i r − i=0 s(ui )p a r − i=0 s(vi )p , která leˇz´ı v (p ). Protoˇze nejsou stejná, existuje j ni . Potom −j z je dokazované vyjádˇren´ı prvku x. x = r0 + i∈I 0 ∞ j=1 ri,j pi , coˇ Zb´ yvá tedy dokázat jeho jednoznaˇcnost. Pˇredpokládejme, ˇze nˇejaké x ∈ K lze vyjádˇrit dvˇema zp˚ usoby ∞ ∞ XX XX −j 0 0 x = r0 + ri,j pi = r0 + ri,j p−j i , i∈I 0 j=1

i∈J 0 j=1

které oba splˇ nuj´ı podm´ınky vˇety. Obˇe mnoˇziny I 0 , J 0 jsou koneˇcné, proto bez u ´jmy na obecnosti lze pˇredpokládat, ˇze jsou stejné, protoˇze m˚ uˇzeme vyjádˇren´ı doplnit nulov´ ymi ri,j 0 0 0 0 0 a nahradit mnoˇziny I , J jejich sjednocen´ım I ∪ J . Dále v´ıme, ˇzQ e pro kaˇzdé i ∈ I existuje 0 ni ∈ N tak, ˇze ri,j = ri,j = 0 pro vˇsechna j > ni . Vynásoben´ım i∈I 0 pni i dostaneme r0

Y i∈I 0

pni i

+

nl XX

rl,j pnl l −j

l∈I 0 j=1

Y

pni i

=

i∈I 0 ,i6=l

r00

Y i∈I 0

pni i

+

nl XX l∈I 0 j=1

Odtud plyne pro kaˇzdé l ∈ I 0 nl X

0 (rl,j − rl,j )plnl −j

Y i∈I 0 ,i6=l

j=1

17

pni i ∈ (pnl )

0 rl,j pnl l −j

Y i∈I 0 ,i6=l

pni i

Protoˇze (pnl , a dostáváme

Q

i∈I 0 ,i6=l

pni i ) = R, existuj´ı a, b ∈ R tak, ˇze apnl +b

Q

i∈I 0 ,i6=l

pni i = 1. Vynásoben´ım

nl nl X X nl −j 0 rl,j plnl −j ) ∈ (pnl ) rl,j pl ) − ( ( j=1

j=1

0 0 . ∈ Im(sl ) a z v´ yˇse dokázané jednoznaˇcnosti plyne rl,j = rl,j Vˇsechna rl,j , rl,j

Vˇ eta 2.11. Kaˇzdé x ∈ Q lze jednoznaˇcnˇe napsat ve tvaru x = r0 +

∞ XX p

rp,n p−n ,

n=1

kde p jsou prvoˇc´ısla a 1. r0 , rp,n ∈ Z, 2. skoro vˇsechna rp,n jsou nulová, 3. 0 ≤ rp,n ≤ p − 1. D˚ ukaz. Pokud vezmeme za sp : Z/(p) → Z takové zobrazen´ı, které tˇr´ıdu t + Z zobraz´ı na jej´ıho nejmenˇs´ıho nezáporného reprezentanta, pak kp sp = idZ/(p) a Im(sp ) = {0, . . . , p − 1}. Tvzen´ı pak pˇr´ımo vypl´ yvá z pˇredchoz´ı vˇety.

18

Kapitola 3 Koneˇ cnˇ e generovan´ e moduly nad okruhy hlavn´ıch ide´ al˚ u V teorii modul˚ u se ˇcasto setkáváme se závislost´ı struktury R-modulu na vlastnostech okruhu R. Napˇr. je-li R tˇeleso, je hned z definice vidˇet, ˇze pojem R-modulu spl´ yvá s pojmem vektorov´ y prostor nad tˇelesem R. Takovéto obecné vlastnosti lze odvodit i pro koneˇcnˇe generované moduly nad okruhy hlavn´ıch ideál˚ u, pˇresnˇeji dokáˇzeme, ˇze jsou izomorfn´ı souˇctu cyklick´ ych modul˚ u. V závˇeru kapitoly potom ukáˇzeme pˇeknou aplikaci tohoto tvzen´ı na koneˇcnˇe generované Z-moduly, coˇz jsou právˇe koneˇcné komutativné grupy. Abychom mohli dokázat nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı tvrzen´ı této kapitoly, budeme nejdˇr´ıve potˇrebovat definovat nˇekolik pojm˚ u a jejich vlastnost´ı. Prvn´ım takov´ ym pojmem je noetherovsk´ y modul. Definice 3.1. Bud’ R okruh a M lev´ y R-modul. R-modul M naz´ yváme noetherovsk´ y, pokud jeho podmoduly splˇ nuj´ı podm´ınku rostouc´ıch ˇretˇezc˚ u, tj. pokud pro kaˇzd´ y rostouc´ı ˇretˇezec podmodul˚ u modulu M M1 ⊆ M2 ⊆ M3 ⊆ M4 ⊆ . . . existuje m ∈ N tak, ˇze pro vˇsechna n ≥ m plat´ı, Mn = Mm . Okruh R nazveme noetherovsk´ y, pokud je noetherovsk´ y jako lev´ y R-modul, tj. neexistuje nekoneˇcn´ y rostouc´ı ˇretˇezec jeho lev´ ych ideál˚ u.

Vˇ eta 3.2. Bud’ R okruh, M levý R-modul. Pak následuj´ıc´ı podm´ınky jsou ekvivalentn´ı: 1. M je noetherovský modul, 2. kaˇzdá neprázdná mnoˇzina podmodul˚ u modulu M obsahuje maximáln´ı prvek vzhledem k inkluzi,

19

3. kaˇzdý podmodul modulu M je koneˇcnˇe generovaný. D˚ ukaz. 1 ⇒ 2. Bud’ M noetherovsk´ y modul, S neprázdná mnoˇzina jeho podmodul˚ u a pˇredpokládejme, ˇze tato mnoˇzina nemá maximáln´ı prvek. Necht’ M1 ∈ S. Potom ale mus´ı existovat M2 ∈ S tak, ˇze M1 ⊂ M2 (jinak by M1 byl maximáln´ı prvek). Ale M2 také nen´ı z pˇredpokladu maximáln´ı prvek, tud´ıˇz mus´ı existovat M3 ∈ S tak, ˇze M1 ⊂ M2 ⊂ M3 . Takto bychom ale mohli zkonstruovat nekoneˇcnou rostouc´ı posloupnost podmodul˚ u M , coˇz je spor s t´ım, ˇze M je noetherovsk´ y. Tedy S mus´ı obsahovat maximáln´ı prvek. 2 ⇒ 3. Nyn´ı necht’ kaˇzdá neprázdná mnoˇzina podmodul˚ u modulu M obsahuje maximáln´ı prvek. Bud’ N libovoln´ y podmodul modulu M a S mnoˇzina vˇsech koneˇcnˇe generovan´ ych podmodul˚ u modulu N . Jistˇe S nen´ı prázdná, protoˇze v n´ı vˇzdy leˇz´ı prvek {0} . Necht’ N 0 ∈ S je maximáln´ı prvek této mnoˇziny (kter´ y z pˇredpokladu existuje). Dokáˇzeme, ˇze pak N 0 = N . ˜ = h{x} ∪ N 0 i ⊃ N 0 . Necht’ tedy N 0 ⊂ N . Pak existuje x ∈ N tak, ˇze x ∈ / N 0 . Oznaˇcme N ˜ je koneˇcnˇe generovan´ ˜ ∈ S. To je ale spor s maxiAle N y podmodul modulu N , tud´ıˇz N 0 0 malitou N . Proto N = N a N je koneˇcnˇe generovan´ y. Jelikoˇz jsme N volili libovolnˇe, tak kaˇzd´ y podmodul modulu M je koneˇcnˇe generovan´ y. ’ 3 ⇒ 1. Necht kaˇzd´ y podmodul modulu M je koneˇcnˇe generovan´ y. Uvaˇzujme nekoneˇcn´ y neklesaj´ıc´ı ˇretˇezec podmodul˚ uM M1 ⊆ M2 ⊆ M3 ⊆ . . . S∞

y Bud’ N = i=1 Mi . Toto je ale podmodul modulu M , a proto je koneˇcnˇe generovan´ a existuje mnoˇzina jeho generátor˚ u {a1 , . . . , an }. Bud’ ki nejmenˇs´ı index tak, ˇze ai ∈ Mki a k = max(ki |i = 1, . . . n). Pak a1 , . . . , an ∈ Mk , proto N ⊆ Mk ⊆ Ml ⊆ N pro libovolné l ≥ k. Tedy M je noetherovsk´ y modul. Pozn´ amka 3.3. Tento v´ ysledek koresponduje s faktem, ˇze okruh hlavn´ıch ideál˚ u je noetherovsk´ y. V minulé kapitole jsme pouˇz´ıvali pojmy torzn´ıho podmodulu a anihilátoru. Nyn´ı jeˇstˇe zavedeme pojem pro anihilátor modulu. Definice 3.4. Anihilátorem R-modulu M rozum´ıme mnoˇzinu vˇsech r ∈ R splˇ nuj´ıc´ıch pro vˇsechna m ∈ M podm´ınku rm = 0. Znaˇc´ıme jej ann(M ). Tedy ann(M ) = {r ∈ R| rm = 0 pro vˇsechna m ∈ M } . Pozn´ amka 3.5. Anihilátor modulu M tvoˇr´ı ideál okruhu R, protoˇze 0 ∈ ann(M ), pro libovolné r, s ∈ ann(M ) a libovoln´ y prvek m ∈ M plat´ı (r + s)m = rm + sm = 0 a 0 = (r − r)m = rm + (−r)m = (−r)m, proto (r + s), (−r) ∈ ann(M ) a nakonec 20

pro r ∈ R, s ∈ ann(M ) plat´ı (rs)m = r(sm) = r0 = 0 a (sr)m = s(rm), rm ∈ M , proto s(rm) = 0. Pokud je N podmodul modulu M , plat´ı, ˇze ann(N ) ⊇ ann(M ). Zvláˇstˇe pak pro pˇr´ıpad, kdy je R okruh hlavn´ıch idál˚ u, plat´ı, ˇze ann(N ) = (a) ⊇ ann(M ) = (b), a proto a|b. Vˇ eta 3.6. Bud’ R okruh hlavn´ıch ideál˚ u, M volný R-modul koneˇcného ranku m a N podmodul modulu M . Pak 1. N je volný R-modul ranku n, n ≤ m. 2. Existuje báze y1 , . . . , ym modulu M a nenulová a1 , . . . , an ∈ R tak, ˇze (a) a1 y1 , . . . , an yn tvoˇr´ı bázi modulu N a (b) a1 |a2 | . . . |an . D˚ ukaz. Nejdˇr´ıve dokáˇzeme, ˇze pokud je M voln´ y modul ranku m nad okruhem hlavn´ıch ideál˚ u, pak libovoln´ y jeho podmodul N je voln´ y ranku n ≤ m. Budeme to dokazovat indukc´ı v˚ uˇci ranku modulu M . Bud’ m = 0. Pak tvrzen´ı triviálnˇe plat´ı. Nyn´ı pˇredpokládejme, ˇze tvrzen´ı plat´ı pro vˇsechny volné moduly ranku nepˇrevyˇsuj´ıc´ıho m. Bud’ M voln´ y modul ’ ranku m + 1. Bud x1 , . . . , xm+1 báze M a f : M → R homomorfismus dan´ y pˇredpisem f (x1 ) = 1, f (xi ) = 0 pro i ≥ 2. Jádro tohoto homomorfismu Ker(f ) = {

m+1 X

ri xi |ri ∈ R, r1 = 0} = Rx2 ⊕ · · · ⊕ Rxm+1

i=1

je voln´ y modul ranku m. Bud’ nyn´ı g : N → R, g = f |N homomorfismus vznikl´ y z´ uˇzen´ım f na N . V´ıme, ˇze Ker(g) = N ∩ Ker(f ), tedy je podmodulem modulu Ker(N ). Na ten se ale vztahuje indukˇcn´ı pˇredpoklad a tak Ker(g) je voln´ y modul ranku k ≤ m a existuje nˇejaká jeho báze B = {u1 , . . . , uk }. Nyn´ı mohou nastat dvˇe situace. Bud’ N = Ker(g), pak jsme hotovi, N je voln´ y modul ranku k ≤ m ≤ m + 1 s báz´ı B = {u1 , . . . , uk }. Nebo N 6= Ker(g) a pak {0} = 6 Im(g) ⊆ R. Pak Im(g) = (a), a ∈ R, a 6= 0, coˇz je voln´ y modul ranku 1, protoˇze má bázi {a}. Jistˇe existuje u ∈ N tak, ˇze g(u) = a. Dokáˇzeme, ˇze {u}∪B je báze podmodulu N , tzn. generuje modul N a je lineárnˇe nezávislá. Ukaˇzme, ˇzP e prvky u, u1 , . . . , uk jsou lineárnˇe nezávislé. P Necht’ existuj´ı r, r1 , . . . , rn ∈ R tak, ˇze ru + ki=1 ri ui = 0. Pak ale 0 = g(0) = g(ru) + g( ki=1 ri ui ) = g(ru) = ra. To je nula jen tehdy, kdyˇz r = 0 (protoˇze R je obor integrity). Zb´ yvaj´ıc´ı prvky u1 , . . . , uk tvoˇr´ı bázi, takˇze pokud r = 0, mus´ı b´ yt i vˇsechny ri = 0, 1 ≤ i ≤ k. Prvky u, u1 , . . . , uk jsou tedy lineárnˇe nezávislé. Necht’ P x ∈ N je libovoln´ y. Ukáˇzeme, ˇze existuj´ı prvky r, r1 , . . . , rk ∈ R takové, ˇze k x = ru + i=1 ri ui Vezmˇeme homomorfismus R-modul˚ u h : (a) → N , urˇcen´ y pˇredpisem h(a) = u. Pak g ◦ h = id(a) . Protoˇze g(x − h(g(x))) = g(x) − g(h(g(x))) = g(x) − g(x) = 0, je prvek x − h(g(x)) P ∈ Ker(g). Ale Ker(g) je generován prvky u1 , . . . uk , proto existuj´ı r1 , . . . , rk ∈ R tak, ˇze ki=1 ri ui = x − h(g(x)). Dále h(g(x)) ∈ Im(h). Protoˇze Im(g) = (a) 21

je generován prvkem a, mus´ı b´ yt Im(h) generován prvkem h(a) = u, tedy mus´ı existovat P r ∈ R tak, ˇze h(g(x)) = ru. Dostáváme tedy, ˇze x = ki=1 ri ui + ru. Modul N je tedy voln´ y ranku k + 1 ≤ m + 1, protoˇze prvky u, u1 , . . . , uk tvoˇr´ı jeho bázi. Nyn´ı budeme dokazovat druhou ˇca´st tvrzen´ı. Budeme opˇet pouˇz´ıvat d˚ ukaz indukc´ı v˚ uˇci ranku m modulu M . Pro m = 0 je M = N = {0} a tvrzen´ı zˇrejmˇe plat´ı. Nyn´ı pˇredpokládejme, ˇze M je modul ranku m > 0 a tvrzen´ı plat´ı pro vˇsechny moduly ranku menˇs´ıho neˇz m. Pokud je N = {0} je celá situace nezaj´ımavá, a proto jeˇstˇe pˇredpokládejme, ˇze N 6= 0. Okruh R je také R-modul. Oznaˇc´ıme Hom(M, R) = {ϕ|ϕ : M → R} mnoˇzinu vˇsech R-modulov´ ych homomorfism˚ u M do R. Jelikoˇz N je podmodul modulu M , je ϕ(N ) podmodulem modulu R pro libovolné ϕ ∈ Hom(M, R), coˇz znamená, ˇze je hlavn´ım ideálem okruhu R (protoˇze R je okruh hlavn´ıch ideál˚ u). Zavedeme mnoˇzinu T = {ϕ(N )|ϕ ∈ Hom(M, R)}. Jistˇe T nen´ı prázdná mnoˇzina, protoˇze do n´ı patˇr´ı prvek {0}, kter´ y je obrazem nulového homomorfismu. Jelikoˇz je R noetherovsk´ y, jak jsme si uvedli v´ yˇse, mus´ı tato mnoˇzina m´ıt nˇejak´ y maximáln´ı prvek (a1 ). Je potˇreba dokázat, ˇze a1 je nenulové, abychom mohli vést dalˇs´ı u ´vahy. Pokud ale vezmeme nˇejakou bázi x1 , . . . , xm modulu M a jako homomorfismus z M do R projekci na i-tou sloˇzku, z nenulovosti podmodulu N plyne, ˇze pro nˇekterou projekci mus´ı b´ yt obraz nenulov´ y. Protoˇze je (a1 ) maximáln´ı prvek, nem˚ uˇze b´ yt nulové. Zvolme pevnˇe nˇejak´ y homomorfismus ϕ1 , pro kter´ y ϕ1 (N ) = (a1 ) a u vzor a1 vzhledem k homomorfismu ϕ1 (tzn. ϕ1 (u) = a1 ). Dokáˇzeme, ˇze a1 dˇel´ı vˇsechny obrazy u v jin´ ych homomorfismech. Vezmˇeme ϕ libovoln´ y homomorfismus z Hom(M, R) a ideál (d) = (a1 , ϕ(u)). Plat´ı, ˇze d = r1 a1 + r2 ϕ(u) pro nˇejaká r1 , r2 ∈ R. Pokud vezmeme homomorfismus ψ : M → R, ψ = r1 ϕ1 + r2 ϕ, dostáváme, ˇze ψ(u) = r1 a1 + r2 ϕ(u) = d. Toto nám ale dává, ˇze (a1 ) ⊆ (d) ⊆ ψ(N ). Jelikoˇz je (a1 ) maximáln´ı prvek, mus´ı b´ yt (a1 ) = (d) = ψ(N ), tedy a1 |d, a proto a1 dˇel´ı i ϕ(u). Máme tedy dokázáno, ˇze a1 dˇel´ı ϕ(u) pro libovolné ϕ ∈ Hom(M, R). Jistˇe tedy dˇel´ı i obrazy u ve vˇsech projekc´ıch πi na i-tou sloˇzku souˇradnic (vzhledem k bázi x1 , . . . , xm ), Pm takˇze πi (u) = a1 bi , bi ∈ R pro i = 1, . . . , m. Oznaˇcme y1 = i=1 bi xi . V následuj´ıc´ı ˇcásti budeme dokazovat, ˇze y1 bude prvkem báze nované vePvˇetˇe a tak je na m´ıstˇe uvést o nˇem Pzmiˇ m nˇekolik poznatk˚ u. Napˇr´ıklad, ˇze a1 y1 = i=1 a1 bi xi = m ze ϕ1 (y1 ) = 1, i=1 πi (u)xi = u a ˇ protoˇze a1 6= 0 a souˇcasnˇe a1 = ϕ1 (u) = ϕ1 (a1 y1 ) = a1 ϕ1 (y1 ). Dokáˇzeme nyn´ı, ˇze M = Ry1 ⊕ Ker(ϕ1 ). Bud’ x ∈ M libovoln´ y prvek. Potom x = ϕ1 (x)y1 + (x − ϕ1 (x)y1 ), kde ϕ1 (x)y1 ∈ Ry1 a ϕ1 (x − ϕ1 (x)y1 ) = ϕ1 (x) − ϕ1 (x)ϕ1 (y1 ) = ϕ1 (x) − ϕ1 (x) = 0, takˇze x − ϕ1 (x)y1 ∈ Ker(ϕ1 ). Staˇc´ı dokázat, ˇze tento souˇcet je direktn´ı. Pokud by ale nˇejaké ry1 bylo v Ker(ϕ1 ), tak 0 = ϕ1 (ry1 ) = rϕ1 (y1 ) = r, tedy je nulové a souˇcet je direktn´ı. Stejnˇe tak lze dokázat, ˇze N = Ra1 y1 ⊕ (N ∩ Ker(ϕ1 )). Bud’ x ∈ N libovolné. Z definice hlavn´ıch ideál˚ u vypl´ yvá, ˇze a1 dˇel´ı ϕ1 (x), tedy ϕ1 (x) = a1 b, b ∈ R. Rozloˇz´ıme x podobnˇe jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe; x = ϕ1 (x)y1 + (x − ϕ1 (x)y1 ) = a1 by1 + (x − a1 by1 ), 22

prvn´ı sˇc´ıtanec je z a1 Ry1 , druh´ y z Ker(ϕ1 ) a zároveˇ n z N (protoˇze a1 y1 = u ∈ N ). Direktnost souˇctu vypl´ yvá z direktnosti souˇctu Ry1 ⊕ Ker(ϕ1 ). Modul Ker(ϕ1 ) je ale voln´ y ranku m − 1 a splˇ nuje tak spolu s podmodulem Ker(ϕ1 ) ∩ N indukˇcn´ı pˇredpoklad a tak lze naj´ıt jeho bázi y2 , . . . , ym a prvky a2 , . . . , an ∈ R, a2 | . . . |an tak, ˇze a2 y2 , . . . , an yn jsou báz´ı N ∩ Ker(ϕ1 ). Souˇcet Ry1 ⊕ Ker(ϕ1 ) je direktn´ı, a proto y1 , . . . , ym tvoˇr´ı bázi M a stejnˇe tak a1 y1 , . . . , an yn tvoˇr´ı bázi N . Staˇc´ı tedy dokázat, ˇze a1 |a2 . Definujme homomorfismus ϕ : M → R, ϕ(y1 ) = ϕ(y2 ) = 1, ϕ(yi ) = 0 pro 3 ≤ i ≤ m. Obraz ϕ(a1 y1 ) = a1 z ˇcehoˇz vypl´ yvá, ˇze (a1 ) ⊆ ϕ(N ). Protoˇze jsme volili (a1 ) maximáln´ı, je (a1 ) = ϕ(N ). Protoˇze obraz prvku a2 y2 je téˇz v ϕ(N ), mus´ı ho a1 dˇelit. Ale ϕ(a2 y2 ) = a2 , proto a1 |a2 .

Vˇ eta 3.7. (Rozklad - invariantn´ı faktory) Bud’ R okruh hlavn´ıch ideál˚ u a M koneˇcnˇe generovaný R-modul. Pak 1. M je izomorfn´ı direktn´ımu souˇctu koneˇcnˇe mnoha cyklických modul˚ u: M∼ = Rr ⊕ R/(a1 ) ⊕ · · · ⊕ R/(am ) pro nˇejaké r ∈ N0 a nenulová a1 , . . . , am ∈ R, která nejsou jednotkami a která splˇ nuj´ı, ˇze a1 |a2 | . . . |am , 2. M je bez torze, právˇe kdyˇz M je volný, 3. Tor(M ) ∼ = R/(a1 ) ⊕ · · · ⊕ R/(am ). Modul M je torzn´ı, právˇe kdyˇz r v pˇredchoz´ım vyjádˇren´ı je nulové; pak plat´ı ann(M ) = (am ). D˚ ukaz. Modul M je koneˇcnˇe generován. Oznaˇcme x1 , . . . , xn prvky generuj´ıc´ı mnoˇziny o nejmenˇs´ı kardinalitˇe. Bud’ Rn voln´ y modul ranku n s báz´ı b1 , . . . , bn a f homomorfismus n R-modul˚ u R → M , f (bi ) = xi pro i = 1, . . . , n. Homomorfismus f je jistˇe surjektivn´ı, protoˇze x1 , . . . , xn generuj´ı M . Prvn´ı vˇeta o izomorfismu nám dává izomorfismus R-modul˚ u n n ∼ R / Ker(f ) = M . Pˇritom Ker(f ) je podmodulem R , a podle pˇredchoz´ı vˇety existuje báze y1 , . . . , yn modulu Rn a a1 , . . . , am ∈ R, a1 | . . . |am tak, ˇze a1 y1 , . . . , am ym je báze Ker(f ). Pak plat´ı M ∼ = (Ry1 ⊕ · · · ⊕ Ryn )/(Ra1 y1 ⊕ · · · ⊕ Ram ym ) Pravá strana je ale poˇra´d jeˇstˇe tˇeˇzko uchopitelná a tak najdeme dalˇs´ı ˇsikovn´ y homomorfismus, kter´ y by nám ji pˇribl´ıˇzil. Bud’ g : Ry1 ⊕ · · · ⊕ Ryn → R/(a1 ) ⊕ · · · ⊕ R/(am ) ⊕ Rn−m dan´ y pˇredpisem g(α1 y1 , . . . , αn yn ) = (α1 + (a1 ), . . . , αm + (am ), αm+1 , . . . , αn ). Zˇrejmˇe jádrem tohoto homomorfismu jsou právˇe takové prvky, které jsou na i-té pozici dˇelitelné ai pro i = 1, . . . , m, to jest Ker(g) = Ra1 y1 ⊕ · · · ⊕ Ram ym . Proto opˇet podle prvn´ı vˇety o izomorfismu (Ry1 ⊕ · · · ⊕ Ryn )/(Ra1 y1 ⊕ · · · ⊕ Ram ym ) ∼ = R/(a1 ) ⊕ · · · ⊕ R/(am ) ⊕ Rn−m . n−m To nám dává M ∼ ⊕ R/(a1 ) ⊕ · · · ⊕ R/(am ). Pokud by nˇejaká ai byly jednotky, pak =R R/(ai ) = 0 a lze je ze zápisu vylouˇcit. Prvn´ı ˇca´st tvrzen´ı je tedy dokázána. Nyn´ı dokáˇzeme, ˇze M je bez torze, právˇe kdyˇz je voln´ y. Implikace zprava doleva je zˇrejmá. Nyn´ı pˇredpokládejme, ˇze M nen´ı voln´ y. Pak v rozkladu z pˇredchoz´ıho bodu je 23

alespoˇ n jeden ˇclen ve tvaru R/(a). Jenˇze pak Tor(M ) bude urˇcitˇe obsahovat prvek x, kter´ y má vzhledem k rozkladu Rr ⊕ R/(a1 ) ⊕ · · · ⊕ R/(am ) vˇsude nuly, kromˇe pozice pˇrináleˇzej´ıc´ı rozkladovému ˇciniteli R/(ai ), na které bude nenulov´ y prvek. Pak 0 6= ai ∈ ann(x), a proto x ∈ Tor(M ) a M nen´ı bez torze. Stejnˇe tak je vidˇet, ˇze Tor(M ) obsahuje právˇe prvky, které maj´ı (vzhledem k rozkladu r R ⊕ R/(a1 ) ⊕ · · · ⊕ R/(am )) na prvn´ıch r pozic´ıch nuly a na zb´ yvaj´ıc´ıch m˚ uˇze b´ yt cokoli, protoˇze po vynásoben´ı nenulov´ ym prvkem z (am ) bude na pozic´ıch odpov´ıdaj´ıc´ım R/(ai ) prvek z am , tedy i z (ai ) (vzhledem k tomu, ˇze a1 | . . . |am , je (am ) ⊂ · · · ⊂ (a1 )). ˇ ıslo r z pˇredchoz´ıho tvrzen´ı se naz´ Definice 3.8. C´ yvá voln´ y rank nebo Bettiho ˇc´ıslo modulu M a prvky a1 , . . . , am invariantn´ı faktory M . Protoˇze R je okruh hlavn´ıch ideál˚ u, je i okruhem s jednoznaˇcn´ ym rozkladem (viz. 1.17), α1 αn tedy libovolné a ∈ R lze rozloˇzit na souˇcin up1 · · · pn , kde pi jsou po dvou neasociované ireducibiln´ı prvky, u ∈ R jednotka, pˇriˇcemˇ z ˇcinitelé jsou urˇceni jednoznaˇcnˇe aˇz na asoQ n αi ∼ ciovanost a poˇ r ad´ ı. Podle 1.15 je R/(a) = i=1 R/(pi ) coby okruhy skrze izomorfismus Q n f : R/(a) ∼ = i=1 R/(pαi i ), f (r + (a)) = (r + (pα1 1 ), . . . , r + (pαnn )), protoˇze pi , pj jsou neasoα u ciované prvky pro i 6= j, a proto (pαi i , pj j ) = R pro i 6= j. Tento izomorfismus okruh˚ je i izomorfismus R-modul˚ u. Protoˇ cn´ y souˇcin R-modul˚ u je izomorfn´ı koneˇcnému `n ze koneˇ αi ∼ souˇctu, dostáváme, ˇze R/(a) = i=1 R/(pi ). Toto nám dává jin´ y zp˚ usob rozkladu modulu M . Vˇ eta 3.9. (Rozklad - elementárn´ı dˇelitelé) Bud’ R okruh hlavn´ıch ideál˚ u, M koneˇcnˇe generovaný R-modul. Pak M je souˇctem koneˇcnˇe mnoha cyklických R-modul˚ u, jejichˇz anihilátor je bud’ {0} nebo ideál generovaný mocninou ireducibiln´ıho prvku s pˇrirozeným exponentem: M∼ = Rr ⊕ R/(pα1 1 ) ⊕ · · · ⊕ R/(pαmm ) kde r ∈ N0 , p1 , . . . , pm ireducibiln´ı prvky (ne nutnˇe rozd´ılné) a α1 , . . . , αm ∈ N. D˚ ukaz. D˚ ukaz plyne z pˇredcházej´ıc´ıch u ´vah a vˇety o rozkladu na invariantn´ı faktory.

Definice 3.10. Bud’ R okruh hlavn´ıch ideál˚ u a M koneˇcnˇe generovan´ y R-modul. Pak α1 αm p1 , . . . , pm v rozkladu z pˇredchoz´ıho tvrzen´ı naz´ yváme elementárn´ı dˇelitelé M .

Lemma 3.11. Bud’ R okruh hlavn´ıch ideál˚ u a p ∈ R ireducibiln´ı prvek. Oznaˇcme F tˇeleso R/(p). Potom 1. pokud M ∼ = Rr , pak M/pM ∼ = F r, 24

2. pokud M ∼ = R/(a), kde a 6= 0, pak M/pM ∼ = F pokud p|a v R, 0 jinak, 3. pokud M ∼ = R/(a1 ) ⊕ · · · ⊕ R/(am ), kde vˇsechna a1 , . . . , am jsou dˇelitelné p, pak M/pM ∼ = F m. D˚ ukaz. Uvaˇzujme pˇrirozenou projekci p : Rr → (R/(p))r , p(a1 , . . . , ar ) = (a1 + (p), . . . , ar + (p)). Jádro této projekce obsahuje právˇe ty r-tice, které jsou na vˇsech pozic´ıch dˇelitelná p, tj. pRr . Z prvn´ı vˇety o izomorfismu dostáváme, ˇze Rr /pRr ∼ = (R/(p))r , tj. M/pM ∼ = F r. Podmodul p(R/(a)) je obrazem ideálu (p) vzhledem k pˇrirozené projekci R na R/(a). Tedy p(R/(a)) = ((p) + (a))/(a). Ideál (p) + (a) je generovan´ y nejvˇetˇs´ım spoleˇcn´ ym dˇelitelem (a, p), tedy je roven (p), pokud p|a nebo R, pokud jsou nesoudˇelná. Potom (R/(a))/(p(R/(a))) = (R/(a))/((p)/(a)) ∼ = R/(p), pokud p|a. V opaˇcném pˇr´ıpadˇe, kdy p nedˇel´ı a je (R/(a))/(p(R/(a))) = (R/(a))/(R/(a)) ∼ = 0. Uvaˇzujme zobrazen´ı g : R/(a1 ) ⊕ · · · ⊕ R/(am ) → (R/(p))m , které je dané pˇredpisem g(x1 + (a1 ), . . . , xm + (am )) = (x1 + (p), . . . , xm + (p)). Jelikoˇz p|ai pro 1 ≤ i ≤ m, je toto zobrazen´ı definováno korektnˇe a zadává nám surjektivn´ı homomorfismus, jehoˇz jádro Ker(g) obsahuje vˇsechny prvky, které jsou dˇelitelné p, tj. Ker(g) = p(R/(a1 )⊕· · ·⊕R/(am )). Podle prvn´ı vˇety o izomorfismu dostáváme M/pM ∼ = F m.

Vˇ eta 3.12. Bud’ R okruh hlavn´ıch ideál˚ u. 1. Dva koneˇcnˇe generované R-moduly M, N jsou izomorfn´ı, právˇe kdyˇz maj´ı stejný volný rank a (po pˇr´ıpadném vynásoben´ı vhodnými jednotkami) stejný seznam invariantn´ıch faktor˚ u. 2. Dva koneˇcnˇe generované R-moduly M, N jsou izomorfn´ı, právˇe kdyˇz maj´ı stejný volný rank a (po pˇr´ıpadném vynásoben´ı vhodnými jednotkami) stejný seznam elementárn´ıch dˇelitel˚ u. D˚ ukaz. Pokud maj´ı dva moduly stejn´ y voln´ y rank a stejn´ y seznam invariantn´ıch faktor˚ u nebo elementárn´ıch dˇelitel˚ u, jsou jistˇe izomorfn´ı. Nyn´ı pˇredpokládejme, ˇze moduly M, N jsou izomorfn´ı. Jistˇe tedy budou izomorfn´ı i jejich torzn´ı moduly, Tor(M ) ∼ = Tor(N ) a bude platit M/ Tor(M ) ∼ = N/ Tor(N ). V´ıme, r1 r2 ∼ ∼ ˇze M/ Tor(M ) = R , N/ Tor(N ) = R , kde r1 , resp. r2 je voln´ y rank modulu M , resp. N . Bud’ p nenulov´ y ireducibiln´ı prvek v R. Pak Rr1 /(p) ∼ = Rr2 /(p). Z pˇredchoz´ıho tvrzen´ı v´ıme, ˇze Rr1 /(p) ∼ = F r1 . Tedy F r1 ∼ = F r2 . Jelikoˇz F je tˇeleso, jde o izomorfismus dvou vektorov´ ych prostor˚ u a tedy r1 = r2 . Pokud by se stalo, ˇze R ˇza´dn´ y ireducibiln´ı prvek nemá, je R tˇeleso a vˇeta zˇrejmˇe plat´ı. Zb´ yvá dokázat, ˇze oba moduly maj´ı stejn´ y seznam invariantn´ıch faktor˚ u a elementárn´ıch dˇelitel˚ u (aˇz na násoben´ı jednotkou). Pro jednoduchost pˇredpokládejme, ˇze pokud jsou dva 25

elementárn´ı dˇelitelé asociovan´ı, pak jsou stejn´ı, protoˇze toto m˚ uˇzeme zaˇr´ıdit vynásoben´ım elementárn´ıch dˇelitel˚ u vhodn´ ymi jednotkami. Protoˇze Tor(M ) ∼ = Tor(N ) a invariantn´ı faktory maj´ı moduly M a Tor(M ) stejné, m˚ uˇzeme pro pˇrehlednost uvaˇzovat, ˇze oba moduly M, N jsou torzn´ı. Abychom dokázali, ˇze oba moduly maj´ı stejné elemetárn´ı dˇelitele, staˇc´ı dokázat, ˇze pro libovoln´ y p jsou elementárn´ı dˇelitelé, které jsou mocniny p, stejné pro oba moduly. Zamˇeˇr´ıme se pˇredevˇs´ım na jejich podmoduly M(p) ⊆ M a N(p) ⊆ N (viz. 2.5). Jelikoˇz jsou M, N izomorfn´ı, budou i tyto jejich podmoduly izomorfn´ı. Podmodul M(p) je roven souˇctu právˇe tˇech cyklick´ ych faktor˚ u, jejichˇz elementárn´ı dˇelitelé jsou mocniny p. Necht’ pα1 , . . . , pαm , pαm+1 . . . , pαs , α1 = · · · = αm = 1 < αm+1 ≤ · · · ≤ αs jsou vˇsichni elementárn´ı dˇelitelé modulu M , které jsou mocninou p. Anihilátor M(p) bude roven (pαs ). Stejnˇe tak N(p) má elementárn´ı dˇelitele pβ1 , . . . , pβn , pβn+1 . . . , pβt , β1 = · · · = βn = 1 < βn+1 ≤ · · · ≤ βt , ann(N(p) ) = (pβt ). Nyn´ı dokáˇzeme indukc´ı vzhledem k mocninˇe p generuj´ıc´ı anihilátor, ˇze seznamy elementárn´ıch dˇelitel˚ u obou modul˚ u jsou stejné. Bud’ αs = 0. Pak M(p) = 0 = N(p) (protoˇze jsou izomorfn´ı), nemaj´ı ˇzádné elementárn´ı dˇelitele a tvrzen´ı triviálnˇe plat´ı. Pˇredpokládejme nyn´ı, ˇze tvrzen´ı plat´ı pro moduly, jejich anihilátor je generován niˇzˇs´ı mocninou p neˇz αs . Podmodul M(p) je koneˇcn´ y souˇcet cyklick´ ych modul˚ u. Oznaˇcme generátory tˇechto modul˚ u x1 , . . . , xs , x1 , . . . , xs ∈ M(p) . Jejich anihilátory jsou po ˇradˇe (pα1 ), . . . , (pαs ). Potom modul pM(p) je generován prvky px1 , . . . , pxs a jejich anihilátory jsou (pα1 −1 ), . . . , (pαs −1 ), coˇz je pro 1 ≤ i ≤ m ideál generovan´ y jedniˇckou. Takˇze elementárn´ı dˇelitelé modulu pM(p) jsou pαm+1 −1 , . . . , pαs −1 . Stejnˇe tak pro modul N(p) jeho podmodul pN(p) má elementárn´ı dˇelitele pβn+1 −1 , . . . , pβt −1 . Jenˇze pM(p) a pN(p) jsou izomorfn´ı moduly, které splˇ nuj´ı indukˇcn´ı pˇredpoklad, a proto plat´ı, ˇze s − m = t − n a αi+m − 1 = βi+n − 1 pro i = 1, . . . , s − m. Potˇrebujeme tedy uˇz jen dokázat, ˇze t = s. Protoˇze jsou moduly M(p) a N(p) izomorfn´ı, jsou izomorfn´ı i moduly M(p) /pM(p) a N(p) /pN(p) . Jelikoˇz p dˇel´ı vˇsechny elementárn´ı dˇelitele M(p) i N(p) , dostáváme podle pˇredchoz´ı vˇety, ˇze (R/(p))s ∼ = (R/(p))t . Ale R/(p) je tˇeleso, a proto se jedná o izomorfismus dvou vektorov´ ych prostor˚ u, a proto s = t (z ˇcehoˇz a v´ yˇse zm´ınˇeného plyne, ˇze i n = m). T´ımto je d˚ ukaz indukc´ı hotov. Nyn´ı zb´ yvá dokázat, ˇze i invariantn´ı faktory jsou stejné pro oba moduly M, N . Invariantn´ı faktory M jsou a1 , . . . , an , kde a1 | . . . |an . Z tohoto rozkladu ale m˚ uˇzeme snadno z´ıskat rozklad s elementárn´ımi dˇeliteli stejn´ ym postupem, jak jsme tento tvar odvozovali. Jelikoˇz jsou M a N izomorfn´ı, maj´ı stejné elementárn´ı dˇelitele. Ze znalosti seznamu elementárn´ıch dˇelitel˚ u vˇsak m˚ uˇzeme seznam invariantn´ıch faktor˚ u zpˇetnˇe urˇcit, protoˇze dˇelitelnost a1 | . . . |an nutnˇe znamená, ˇze an mus´ı b´ yt souˇcinem tˇech elementárn´ıch dˇelitel˚ u, které jsou nejvyˇsˇs´ımi mocninami (pro kaˇzd´ y ireducibiln´ı prvek), an−1 druh´ ych nejvyˇsˇs´ıch mocnin atd. Pro invariantn´ı faktory modulu N plat´ı to stejné. Ze shodnosti elementárn´ıch 26

dˇelitel˚ u, kterou jsme dokázali v pˇredchoz´ım odstavci, tedy plyne, ˇze i invariantn´ı faktory dvou izomorfn´ıch modul˚ u mus´ı b´ yt stejné. D˚ usledek 3.13. Necht’ G je koneˇcná komutativn´ı grupa. Pak G je izomorfn´ı s vhodným souˇcinem cyklických p-grup a tento souˇcin je grupou G urˇcen jednoznaˇcnˇe aˇz na poˇrad´ı ˇcinitel˚ u. D˚ ukaz. Kaˇzdou komutativn´ı grupu G m˚ uˇzeme uvaˇzovat jako Z-modul. Okruh Z je okruh hlavn´ıch ideál˚ u, a proto se na nˇej vztahuje vˇeta o rozkladu na elementárn´ı dˇelitele, podle které existuje rozklad na souˇcet koneˇcnˇe mnoha cyklick´ ych Z-modul˚ u (takˇze cyklick´ ych ’ komutativn´ıch grup), jejichˇz anihilátor je bud {0} nebo ideál generovan´ y nezápornou mocninou ireducibiln´ıho prvku (v Z prvoˇc´ısla). Fakt, ˇze anihilátor komutativn´ı cyklické grupy mocnina prvoˇc´ısla, neznamená nic jiného, neˇz ˇze se jedná o p-grupu. Koneˇcn´ y souˇcet je izomorfn´ı koneˇcnému souˇcinu a t´ım je tvrzen´ı dokázáno.

27

Kapitola 4 Racion´ aln´ı kanonick´ y tvar V této kapitole bude pˇredvedena jedna z aplikac´ı tvrzen´ı o rozkladu koneˇcnˇe generovaného modulu nad okruhem hlavn´ıch ideál˚ u. Dalˇs´ı jsou uvedeny napˇr. v [1] nebo [4], nicménˇe do této práce se uˇz nevejdou. Mˇejme vektorov´ y prostor koneˇcné dimenze nad tˇelesem F a jednu jeho pevnˇe danou lineárn´ı trasformaci T . Uvaˇzujme ho jako F [x]-modul, kde prvek f ∈ F [x] p˚ usob´ı na prvek vektorového prostoru v jako lineárn´ı trasformace, která vznikne po dosazen´ı transformace T do polynomu f . Vektorov´ y prostor koneˇcné dimenze je koneˇcnˇe generovan´ y a existuje tedy jeho rozklad podle pˇredchoz´ı kapitoly V ∼ = F [x]r ⊕ F [x]/(f1 ) ⊕ · · · ⊕ F [x]/(fn ) kde r ∈ N0 , f1 , . . . , fn ∈ F [x], f1 | . . . |fn . Je dobré si povˇsimnout, ˇze F [x] samo o sobˇe je nekoneˇcnˇe dimenzionáln´ı vektorov´ y prostor nad tˇelesem F , zat´ımco V je koneˇcnˇe dimenzionáln´ı. Je tedy nutné, aby voln´ y rank r modulu V byl nulov´ y, takˇze V je torzn´ı F [x]-modul. Plat´ı tedy, ˇze V ∼ = F [x]/(f1 ) ⊕ · · · ⊕ F [x]/(fn ) kde f1 , . . . , fn jsou urˇceny jednoznaˇcnˇe aˇz na násoben´ı jednotkou. Jestliˇze ale budeme od f1 , . . . , fn poˇzadovat, aby byly normované, dostáváme tyto polynomy urˇceny jednoznaˇcnˇe. Nyn´ı si ukáˇzeme, jak vyuˇz´ıt tˇechto poznatk˚ u k nalezen´ı báze, pro n´ıˇz má matice lineárn´ı transformace T obzvláˇstˇe jednoduch´ y tvar. Zobrazen´ı prvku vektorového prostoru lineárn´ı transformac´ı T se (vzhledem k naˇs´ı definici V jako F [x]-modulu) chová jako násoben´ı x. Pod´ıvejme se nejdˇr´ıve, co toto násoben´ı dˇelá s prvky F [x]/(f ), poté co s cel´ ym souˇctem F [x]/(f1 ) ⊕ · · · ⊕ F [x]/(fn ). k k−1 ’ Bud f = x + ak−1 x + · · · + a1 x + a0 . V´ıme, ˇze 1, x¯, x¯2 , . . . , x¯k−1 tvoˇr´ı bázi prostoru F [x]/(f ), zde x¯ = x + (f ). Násoben´ı x nám dává:

28

1 7→ x¯ x¯ 7→ x¯2 .. . x¯k−1 7→ x¯k = −ak−1 x¯k−1 − · · · − a1 x¯ − a0 Vzhledem k této bázi má tedy  0  1   0    0  .  .. 0

matice násoben´ı x tvar 0 ... 0 ... 1 ... . 0 .. .. . 0 ...

... ... ... ... ... ...

−a0 −a1 −a2

..

−a3 .. .

. ...

1

        

−ak−1

Pozn´ amka 4.1. Tato matice je natolik speciáln´ı, ˇze si zaslouˇzila i vlastn´ı jméno. Naz´ yváme ji matice pˇridruˇzená polynomu f a budeme ji znaˇcit Cf (x) . Pokud pak vezmeme báze prostor˚ u F [x]/(f1 ), . . . , F [x]/(fn ) stejnˇe, jako v pˇr´ıpadˇe jen jednoho sˇc´ıtance, a seˇrad´ıme je za sebe, dostaneme bázi pro celou pravou stranu a v této bázi, jelikoˇz souˇcet je direktn´ı, bude matice transformace m´ıt tvar   C f1 0 . . . . . . 0  0 Cf 0 ... 0  2    .. .. . . ..   . . . .  0 ... C fn Celá tato matice je urˇcena jednoznaˇcnˇe, protoˇze po jednotliv´ ych fi v rozkladu vyˇzadujeme, aby byly normované. Na základˇe v´ yˇse uveden´ ych u ´vah m˚ uzeme zavést definici racionáln´ıho kanonického tvaru matice. Definice 4.2. Matici M naz´ yváme matic´ı v racionáln´ım kanonickém tvaru, pokud je bloková diagonáln´ı matice a na diagonále má matice pˇridruˇzené normovan´ ym polynom˚ um f1 , . . . , fn stupnˇe aspoˇ n jedna tak, ˇze f1 | . . . |fn . Polynomy f1 , . . . , fn naz´ yváme invariantn´ı faktory matice M . Racionáln´ım kanonick´ ym tvarem ˇctvercové matice M naz´ yváme matici A, která je v racionáln´ım kanonickém tvaru a je podobná matici M . Racionáln´ım kanonick´ ym tvarem lineárn´ı transformace T naz´ yváme matici lineárn´ı transformace T , která je v racionáln´ım kanonickém tvaru. 29

Vˇ eta 4.3. Necht’ V je vektorový prostor nad tˇelesem F a T libovolná lineárn´ı transformace. Pak existuje báze β vektorového prostoru V tak, ˇze matice lineárn´ı transformace T v˚ uˇci této bázi je v racionáln´ım kanonickém tvaru a ten je jednoznaˇcnˇe urˇcen. D˚ ukaz. Existence plyne z u ´vah uveden´ ych v´ yˇse. Staˇc´ı tedy dokázat, ˇze v´ yˇse zm´ınˇen´ y postup lze obrátit a ˇze z báze u1 , . . . , un , ve které má lineárn´ı transformace T racionáln´ı kanonick´ y tvar   C f1 0 . . . . . . 0  0 Cf 0 ... 0  2    .. .. . . ..   . . . .  0 ... C fk jsme schopni odvodit rozklad F [x]-modulu V na invariantn´ı faktory. Necht’ l1 je ˇrád submatice Cf1 . Pak prvn´ıch l1 vektor˚ u báze generuje podprostor V1 prostoru V , kter´ y je invariantn´ı vzhledem k lineárn´ı transformaci T (invariantn´ı podprostor napˇr. [4], kapitola 11). Necht’ f1 (x) = xl1 + al1 −1 xl1 −1 + · · · + a0 . Pak lineárn´ı transformace T se na vektorech báze u1 , . . . , ul1 chová následovnˇe: u1 7→ u2 .. . ul1 −1 → 7 ul1 ul1 → 7 −a0 u1 − · · · − al1 −1 ul1 . Jenˇze u ´plnˇe stejnˇe by se chovalo násoben´ı x na bázi 1, x¯, x¯2 , . . . , x¯l1 −1 v F [x]/(f1 ). Lze tedy naj´ıt izomorfismus ϕ1 : V1 → F [x]/(f1 ) urˇcen´ y takto: ϕ1 (u1 ) = 1 ϕ1 (u2 ) = x¯ .. . ϕ1 (ul1 ) = x¯l1 −1 . Podobnˇe m˚ uˇzeme pro kaˇzd´ y dalˇs´ı invariantn´ı podprostor Vi naj´ıt izomorfismus modul˚ u ϕi : Vi → F [x]/(fi ). Souˇcet tˇechto izomorfism˚ u ϕ=

n X

ϕi , ϕ : V → F [x]/(f1 ) ⊕ · · · ⊕ F [x]/(fn )

i=1

je také izomorfismem a proto f1 , . . . , fn jsou invariantn´ı faktory modulu V . Ty jsou ale podle v´ ysledk˚ u pˇredchoz´ı kapitoly dány jednoznaˇcnˇe (aˇz na asociovanost, ale pokud poˇzadujeme normovanost, je urˇcen´ı jednoznaˇcné). Jestliˇze má jedna lineárn´ı transformace (vzhledem k nˇejak´ ym dvˇema báz´ım) matice, které jsou obˇe v racionáln´ım kanonickém tvaru, jsou tyto matice stejné.

30

Je dobré si uvˇedomit, ˇze od racionáln´ıho kanonického tvaru matice M lze pˇrej´ıt k racionáln´ımu kanonickému tvaru lineárn´ı transformace T a zpˇet, protoˇze kdyˇz u lineárn´ı transformace zafixujeme bázi, má v n´ı lineárn´ı transformace matici A a nalezen´ım jej´ıho racionáln´ıho kanonického tvaru jsme nalezli i racionáln´ı kanonick´ y tvar lineárn´ı transformace T . Naopak, kdyˇz zvol´ıme nˇejakou bázi vektorového prostoru V , m˚ uˇzeme matici M uvaˇzovat jako lineárn´ı transformaci, která má v této bázi matici M , a nalezen´ım racionáln´ıho kanonického tvaru této transformace nalezneme i racionáln´ı kanonick´ y tvar matice M . Je tedy jasné, ˇze z pˇredchoz´ıho tvrzen´ı plyne nejen existence a jednoznaˇcnost racionáln´ıho kanonického tvaru lineárn´ı transformace, ale i racionáln´ıho kanonického tvaru matice. Vˇ eta 4.4. Následuj´ıc´ı tˇri tvrzen´ı jsou ekvivalentn´ı: 1. S a T jsou podobné lineárn´ı transformace, 2. F [x]-moduly V na nichˇz x p˚ usob´ı jako lineárn´ı transormace T , resp. S, jsou izomorfn´ı, 3. S a T maj´ı stejný racionáln´ı kanonický tvar. D˚ ukaz. Oznaˇcme VS , VT F [x]-moduly z´ıskané z V po ˇradˇe pomoc´ı lineárn´ıch transformac´ı S a T. 1 ⇒ 2 Pˇredpokládáme, ˇze S a T jsou podobné lineárn´ı transformace, takˇze existuje bijektivn´ı lineárn´ı transformace U : V → V tak, ˇze S = U T U −1 . Dokáˇzeme, ˇze transformace U zadává také homomorfismus z F [x]-modulu VT do VS . Bud’ u, v ∈ VT . Pak plat´ı U (u + v) = U (u) + U (v), jelikoˇz U je lineárn´ı zobrazen´ı. Staˇc´ı tedy dokázat, ˇze U (xv) = xU (v). Ale U (xv) = U (T v) = U T (v) = SU (v) = xU (v). Protoˇze U je bijekce, jsou F [x]-moduly VT a VS izomorfn´ı. 2 ⇒ 3 Pˇredpokládáme, ˇze VT je izomorfn´ı VS . To ale znamená, ˇze jejich invariantn´ı faktory jsou stejné a tedy i jejich racionáln´ı kanonické tvary. 3 ⇒ 1 Transfor-mace S a T maj´ı z pˇredpokladu stejn´ y racionáln´ı kanonick´ y tvar, takˇze existuj´ı bijektivn´ı lineárn´ı transformace US , UT : V → V tak, ˇze plat´ı S = US KUS−1 , T = UT KUT−1 . Pak ale S = US UT−1 T UT US−1 = (US UT−1 )T (US UT−1 )−1 . Transformace T a S jsou proto podobné. Definice 4.5. Bud’ M ˇctvercová matice nad tˇelesem F . Charakteristick´ ym polynomem matice M nazveme determinant z matice xE − M , kde E je jednotková matice. Minimáln´ım polynomem matice M nazveme normovan´ y polynom f (x) ∈ F [x] nejmenˇs´ıho stupnˇe, pro kter´ y plat´ı f (M ) = 0. Minimáln´ım polynomem lineárn´ı transformace T nazveme normovan´ y polynom f (x) ∈ F [x] nejmenˇs´ıho stupnˇe, pro kter´ y plat´ı f (T ) je nulová lineárn´ı transformace. Z pˇredchoz´ı kapitoly v´ıme, ˇze anihilátor modulu V ∼ = F [x]/(f1 )⊕· · ·⊕F [x]/(fn ) je ideál generovan´ y nejvˇetˇs´ım z invariantn´ıch faktor˚ u, v naˇsem pˇr´ıpadˇe (fn ). Z toho ale vypl´ yvá, 31

ˇze fn v = 0 pro vˇsechna v ∈ V . Jenˇze násoben´ı prvku v ∈ V polynomem jsme definovali jako obraz tohoto prvku v lineárn´ı transformaci vzniklé dosazen´ım pevnˇe zvolené lineárn´ı transformace T do polynomu fn . Takˇze fn (T )(v) = 0 pro vˇsechna v ∈ V . Pozn´ amka 4.6. Minimáln´ı polynom lineárn´ı transformace T je normovan´ y polynom asociovan´ y s nejvˇetˇs´ım invariantn´ım faktorem V . Vˇ eta 4.7. Bud’ A a B dvˇe matice nad tˇelesem F a bud’ F podtˇeleso tˇelesa K. Pak plat´ı: 1. racionáln´ı kanonická forma matice A je stejná, kdyˇz ji poˇc´ıtáme nad tˇelesem F i nad tˇelesem K. Minimáln´ı a charakteristické polynomy a invariantn´ı faktory jsou stejné, kdyˇz je poˇc´ıtáme pro matici A nad tˇelesem F i nad tˇelesem K, 2. matice A a B jsou podobné nad F právˇe tehdy, kdyˇz jsou podobné nad K. D˚ ukaz. 1. Pokud má matice racionáln´ı kanonick´ y tvar nad tˇelesem F , pak tento tvar splˇ nuje definici racionáln´ıho kanonického tvaru i nad tˇelesem K. Kdyby byl racionáln´ı kanonick´ y tvar vypoˇcten´ y nad tˇelesem K jin´ y, nastane spor s jednoznaˇcnost´ı, kterou jsme dokázali v´ yˇse. Racionáln´ı kanonick´ y tvar mus´ı b´ yt tedy stejn´ y bez ohledu na to, nad kter´ ym tˇelesem je poˇc´ıtán. Stejné tedy mus´ı b´ yt i invariantn´ı faktory, které se od nˇej odv´ıjej´ı. O minimáln´ım polynomu matice A v´ıme z poznámky (4.6), ˇze je roven nejvˇetˇs´ımu invariantn´ımu faktoru, takˇze je téˇz stejn´ y. Charakteristick´ y polynom je ’ roven determinantu matice xE − A a ten je také stejn´ y, at ho poˇc´ıtáme nad tˇelesem F nebo nad tˇelesem K. 2. Pokud jsou matice A, B podobné nad tˇelesem F , tak urˇcitˇe budou podobné i nad tˇelesem K. Naopak pˇredpokládejme, ˇze jsou A, B podobné nad tˇelesem K. Z pˇredchoz´ıho tvrzen´ı mus´ı nad t´ımto tˇelesem m´ıt stejné racionáln´ı kanonické tvary. V pˇredchoz´ım bodˇe jsme dokázali, ˇze mus´ı m´ıt stejné racionáln´ı kanonické tvary i nad tˇelesem F , takˇze (opˇet podle pˇredchoz´ıho tvrzen´ı) jsou podobné i nad F . Vˇ eta 4.8. Bud’ a(x) ∈ F [x] nekonstantn´ı normovaný polynom, pak charakteristický polynom matice pˇridruˇzené polynomu a(x) je a(x). D˚ ukaz. Dokáˇzeme indukc´ı vzhledem ke stupni n polynomu a(x), ˇze plat´ı |xE − Ca(x) | = a(x). Bud’ a(x) stupnˇe 1, a(x) = x + a0 . Pak jeho pˇridruˇzená matice je tvaru −a0

.

Charakteristick´ y polynom této matice je determinant z matice x + a0

.

Charakteristick´ y polynom |xE − Ca(x) | = x + a0 = a(x). Tedy pro n = 1 tvrzen´ı plat´ı. 32

Pˇredpokládejme nyn´ı, ˇze tvrzen´ı plat´ı pro matice pˇridruˇzené polynom˚ um stupnˇe n a menˇs´ıho. Bud’ a(x) stupnˇe n + 1. Pak charakteristick´ y polynom jeho pˇridruˇzené matice je determinant z matice   x 0 ... ... ... ... a0  −1 x . . . . . . . . . . . . a1      . .  0 −1 . a2    .. ..   . . 0 a3   0  .  .. .. ... ...  ..  . .    ..  .. . . . . . .  .  . . . . 0 0 . . . . . . . . . −1 x + an Kdyˇz provedeme Laplace˚ uv rozvoj podle prvn´ıho ˇra´dku, dostáváme, ˇze |xE − Ca(x) | = x|xE − Ca0 (x) | + (−1)n+2 (a0 )|M |, kde a0 (x) = xn + an xn−1 + · · · + a2 x + a1 a M je matice z´ıskaná vynechán´ım prvn´ıho ˇra´dku a posledn´ıho sloupce. Jelikoˇz stupeˇ n polynomu a0 (x) je n, plat´ı pro nˇej indukˇcn´ı pˇredpoklad, 0 |xE − Ca0 (x) | = a (x). Matice M je jistˇe ve troj´ uheln´ıkovém tvaru a na diagonále má prvky n −1, takˇze |M | = (−1) . To nám dává |xE − Ca(x) | = xa0 (x) + (−1)2n+2 a0 = xa0 (x) + a0 = xn+1 + an xn + · · · + a1 x + a0 = a(x), ˇc´ımˇz je d˚ ukaz indukc´ı hotov. Vˇ eta 4.9. Necht’ M je matice typu n × n nad tˇelesem F . Pak: 1. charakteristický polynom matice M je souˇcin jej´ıch invariantn´ıch faktor˚ u, 2. minimáln´ı polynom M je dˇelitelem charakteristického polynomu M , 3. existuje mocnina minimáln´ıho polynomu M , která je dˇelitelná charakteristickým polynomem M . Tyto dva polynomy maj´ı nav´ıc stejné koˇreny (ale ne jejich násobnosti). D˚ ukaz. 1. Bud’ A racionáln´ı kanonick´ y tvar matice M . Charakteristick´ y polynom blokové matice je roven souˇcinu charakteristick´ ych polynom˚ u matic na diagonále, coˇz jsou právˇe pˇridruˇzené matice invariantn´ıch faktor˚ u matice M f1 , . . . , fn . Tyto jsou ale podle pˇredchoz´ıho tvrzen´ı rovny právˇe invariantn´ um f1 , . . . , fn . ChaQ ım faktor˚ rakteristick´ y polynom matice A je tedy roven ni=1 fi . Tyto poznatky se mohou zdát ne pˇr´ıliˇs souvisej´ıc´ı, ale pokud dokáˇzeme, ˇze charakteristick´ y polynom matice M je roven charakteristickému polynomu jej´ıho racionáln´ıho kanonického tvaru, bude d˚ ukaz hotov. V´ıme, ˇze pokud je matice A racionáln´ı kanonick´ y tvar matice M , existuje −1 regulárn´ı matice U typu n × n tak, ˇze M = U AU a charakteristick´ y polynom M je roven |xE − M |. Toto nám dává |xE − M | = |xE − U AU −1 | = |xU U −1 − U AU −1 | = 33

|U (xU −1 − AU −1 )| = |U (xE − A)U −1 | = |U ||xE − A||U −1 |. Determinanty inverzn´ıch matic jsou navzájem inverzn´ı prvky z F , takˇze jejich souˇcin je roven jedné. Plat´ı tedy, ˇze |xE − M | = |xE − A|. 2. Charakteristick´ y polynom je souˇcinem invariantn´ıch faktor˚ u a minimáln´ı polynom je nejvˇetˇs´ım z nich, proto ho mus´ı dˇelit. 3. Z pˇredchoz´ı kapitoly v´ıme, ˇze kaˇzd´ y invariantn´ı faktor je dˇelitelem nejvˇetˇs´ıho z nich (kter´ y je minimáln´ım polynomem), tedy pokud je tˇechto faktor˚ u n, pak jejich souˇcin, kter´ y je roven charakteristickému polynomu, dˇel´ı n-tou mocninu minimáln´ıho polynomu. Vˇ eta 4.10. Necht’ M je n × n matice nad tˇelesem F . Pak lze matici (xE − M ) pˇrevést pomoc´ı následuj´ıc´ıch elementárn´ıch ˇrádkových a sloupcových operac´ı: 1. vynásoben´ı ˇrádku (sloupce) nenulovým prvkem z F , 2. pˇriˇcten´ı k jinému ˇrádku (sloupci) F [x]-násobek jiného ˇrádku (sloupce), 3. výmˇena dvou ˇrádk˚ u (sloupc˚ u), do Smithova normáln´ıho tvaru  1 ..  .   1   a1 (x)   a2 (x)   ... 

           am (x)

tak, ˇze a1 |a2 | . . . |am jsou normované nekonstantn´ı polynomy F [x] a vˇsechny prvky této matice mimo hlavn´ı diagonály jsou nulové. D˚ ukaz. D˚ ukaz povedeme indukc´ı v˚ uˇci rozmˇer˚ um matice M . Bud’ M matice typu 1 × 1. Pak tvrzen´ı plat´ı. Necht’ tvrzen´ı plat´ı pro libovolnou matici typu (n − 1) × (n − 1). Bud’ M matice typu n × n ve tvaru   a11 a12 . . . a1n ..  .  .   a21 . .  .   ..  an1 . . . ann kde aij ∈ F [x]. V´ ymˇenou ˇra´dk˚ u a sloupc˚ u m˚ uˇzeme zajistit, ˇze a11 6= 0 a pro vˇsechna nenulová aij , 1 ≤ i, j, ≤ n plat´ı st(a11 ) ≤ st(aij ). 34

Dokáˇzeme, ˇze jsme schopni pomoc´ı elementárn´ıch ˇrádkov´ ych a sloupcov´ ych operac´ı doc´ılit toho, aby prvek a11 dˇelil vˇsechny prvky a1j a ai1 . Postup bude následuj´ıc´ı. 1. Zkontrolujeme, jestli a11 tuto vlastnost má. Pokud ano, jsme hotovi. Pokud ne, existuje prvek aij v prvn´ım ˇrádku nebo sloupci, kter´ y nen´ı dˇeliteln´ y a11 . 2. Protoˇze F je tˇeleso, existuj´ı q, r ∈ F [x] tak, ˇze aij = qa11 + r, st(r) < st(a11 ), r 6= 0. Pokud prvek aij leˇz´ı v prvn´ım ˇrádku, odeˇcteme od j-tého sloupce q-násobek prvn´ıho sloupce a tyto dva sloupce vymˇen´ıme. Pokud v prvn´ım sloupci, odeˇcteme od i-tého ˇra´dku q-násobek prvn´ıho ˇrádku a tyto dva ˇra´dky vymˇen´ıme. Nové a11 bude zbytek r z pˇredchoz´ıho dˇelen´ı. 3. Pod´ıváme se opˇet, zda a11 dˇel´ı prvek aij . Pokud ano, jdeme na krok (1), pokud ne, zopakujeme krok (2). Je zˇrejmé, ˇze nám algoritmus dává matici upravenou jak potˇrebujeme, protoˇze se zastav´ı pouze v pˇr´ıpadˇe, ˇze a11 dˇel´ı vˇsechny prvky v prvn´ım ˇrádku a sloupci. Zb´ yvá dokázat, ˇze tento algoritmus se urˇcitˇe zastav´ı. Ale kaˇzdé projit´ı bodu (2) nám sn´ıˇz´ı stupeˇ n a11 alespoˇ n o jedna, tedy, v nejhorˇs´ım pˇr´ıpadˇe, bude po koneˇcném poˇctu krok˚ u a11 nenulov´ y konstantn´ı polynom, kter´ y, protoˇze se pohybujeme v okruhu polynom˚ u nad tˇelesem, dˇel´ı libovoln´ y jin´ y polynom, tedy i vˇsechny prvky prvn´ıho ˇra´dku a sloupce. Povˇsimnˇeme si, ˇze proveden´ y postup v bodech (2) a (3) nen´ı nic neˇz Euklid˚ uv algoritmus pro poˇcáteˇcn´ı prvky a11 a aij a nov´ y prvek a11 , kter´ y je v´ ysledkem tohoto algoritmu, tedy dˇel´ı nejenom prvky a11 a aij , které jsou tam pˇri zastaven´ı algoritmu, ale i ty, které tam byly na zaˇca´tku. Tuto u ´vahu pouˇzijeme jeˇstˇe pozdˇeji v d˚ ukazu. Pˇredpokládejme, ˇze tedy a11 máme uˇz takové, ˇze dˇel´ı vˇsechny prvky v prvn´ım ˇrádku a sloupci. Pak odeˇcten´ım vhodn´ ych násobk˚ u prvn´ıho ˇrádku (sloupce) m˚ uˇzeme z´ıskat, kromˇe prvku a11 , v prvn´ım sloupci (ˇrádku) samé 0. Matici M lze tedy upravit do tvaru   a11 0 . . . 0  0 a22 . . . a2n     .. .. ..   . . .  0 an2 . . . ann Abychom mohli pouˇz´ıt indukˇcn´ı pˇredpoklad, potˇrebovali bychom dokázat, ˇze pomoc´ı dalˇs´ıch u ´prav m˚ uˇzeme m´ıt a11 takové, ˇze dˇel´ı vˇsechny prvky submatice aij , 2 ≤ i, j ≤ n. Bud’ aij prvek této matice takov´ y, ˇze ho a11 nedˇel´ı. Pak pˇriˇcteme j-t´ y sloupec k prvn´ımu (tento prvek pak bude téˇz na pozici a1j ) a v´ yˇse popsan´ ym postupem, v nˇemˇz opˇet vynulujeme prvn´ı sloupec a ˇra´dek, dostáváme nové a11 , které dˇel´ı aij . Stejnˇe jako pˇri pr˚ uchodu bodu (2) se v´ yˇse uveden´ ym postupem sn´ıˇz´ı stupeˇ n a11 alespoˇ n o jedna, proto mus´ıme v koneˇcném poˇctu krok˚ u dostat a11 , které dˇel´ı vˇsechny ostatn´ı prvky matice (protoˇze v nejhorˇs´ım pˇr´ıpadˇe bude a11 po koneˇcném poˇctu krok˚ u nenulov´ y konstantn´ı polynom). Nyn´ı uˇz je vˇse pˇripraveno k tomu, abychom mohli pouˇz´ıt indukˇcn´ı pˇredpoklad pro submatici aij , 2 ≤ i, j ≤ n. Jakékoli ˇra´dkové i sloupcové elementárn´ı u ´pravy nijak neovlivn´ı 35

prvn´ı ˇra´dek a sloupec, protoˇze vˇsechny jeho prvky, s vyj´ımkou a11 (kter´ y ovˇsem nem˚ uˇze b´ yt u ´pravami submatice aij , 2 ≤ i, j ≤ n ovlivnˇen), jsou nulové. Submatici lze tedy upravit do Smithova normáln´ıho tvaru. Jelikoˇz a11 dˇelilo vˇsechny prvky této submatice, dˇel´ı jistˇe i vˇsechny prvky, vzniklé aplikac´ı elementárn´ıch ˇra´dkov´ ych a sloupcov´ ych operac´ı. Tvrzen´ı je t´ımto dokázáno.

Doposud jsme dokazovali existenci tohoto tvaru. Je sice pˇekné vˇedˇet, ˇze pro kaˇzdou matici takov´ y tvar existuje, nicménˇe mnohem lepˇs´ı by bylo vˇedˇet, jak tento tvar vypadá. V následuj´ıc´ım textu se proto budeme zab´ yvat pˇrevodem teorie do praxe a postupy, jak tento tvar nalézt. Potˇrebovali bychom zjistit, jak vypadaj´ı invariantn´ı faktory rozkladu F [x]/(f1 ) ⊕ · · · ⊕ F [x]/(fn ). Pˇripomeˇ nme si, jak jsme se k invariantn´ım faktor˚ um dostali v d˚ ukazu vˇety o rozkladu na invariatn´ı faktory. Byli jsme schopni je odvodit ze znalosti jádra surjektivn´ıho homomorfismu z volného modulu Rn do modulu M , kde n je rank modulu M . Zaˇcneme od surjektivn´ıho homomorfismu. Mˇejme vektorov´ y prostor V dimenze n a jeho bázi u1 , . . . , un , v˚ uˇci které má lineárn´ı transformace T matici M = (aij ), 1 ≤ i, j ≤ n a voln´ y F [x]-modul n F [x] a jeho kanonickou bázi e1 = (1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 0, 1). Za surjektivn´ı homomorfismus vezmeme ϕ : F [x]n → V , ϕ(ei ) = ui , pro 1 ≤ i ≤ n. Máme tedy homomorfismus Pn Je, zˇrejmé, ˇze do jádra urˇcitˇe patˇr´ı prvky Pn a zaˇcneme se zaj´ımat o jeho jádro. fj = − i=1 aij ei + xej , protoˇze ϕ(fj ) = − i=1 aij ui + xuj = −T (uj ) + T (uj ) = 0. Dokáˇzeme, ˇze jádro je generováno prvky fi , nebo sp´ıˇse, ˇze F [x]n = (F [x]f1 + · · · + F [x]fn ) + (F ei + · · · + F en ), pˇriˇcemˇz libovoln´ y prvek z F [x]f1 + · · · + F [x]fn se zobraz´ı na nulu (coˇz plyne z toho, ˇze generátory tohoto modulu leˇz´ı v jádˇre) a libovoln´ y nenulov´ y prvek z F ei + · · · + F en se na nulu nikdy nezobraz´ı (protoˇze obrazy tˇechto prvk˚ u jsou lineárn´ımi kombinacemi vektor˚ u báze, které jsou lineárnˇe nezávislé). Je zˇrejmé, ˇze F [x]f1 + · · · + F [x]fn ⊆ Ker(ϕ). Budeme se snaˇzit dokázat opaˇcnou inkluzi. P Kaˇzd´ y prvek F [x]n m˚ uˇzeme vyjádˇrit jako ni=1 ai (x)ei , coˇz nen´ı nic jiného neˇz lineárn´ı kombinace prvk˚ u xm ej pro nˇejaká m, j. Pokud tedy takto p˚ ujdou rozloˇzit prvky xm ej , p˚ ujde i libovoln´ y prvek z F [x]n . Dokaˇzme tedy, ˇze libovoln´ y prvek xm ej lze takto rozloˇzit a dokaˇzme to indukc´ı v˚ uˇci m. Bud’ m = 1. Pak xej = fj +

n X

aij ei , fj ∈ F [x]f1 + · · · + F [x]fn ,

i=1

n X

aij ei ∈ F ei + · · · + F en .

i=1

Nyn´ı pˇredpokládejme, ˇze tvrzen´ı plat´ı pro m ≤ k. Pak xk+1 ej = xxk ej . Podle indukˇcn´ıho

36

pˇredpokladu lze xk ej rozloˇzit na xx

k+1

ej = x(

n X i=1

Pn

bi (x)fi +

i=1 bi (x)fi +

n X

ci e i ) =

i=1

Pn

n X

i=1 ci ei .

Tedy

xbi (x)fi +

i=1

n X

ci (fi +

i=1

n X

ali el ) =

l=1 n X

n n n X X X xbi (x)fi + ci f i ) + ( ci ( =( i=1

i=1

i=1

ali el )).

l=1

Prvn´ı uzávorkovaná ˇca´st je z F [x]f1 + · · · + F [x]fn , druhá z F ei + · · · + F en . Modul F [x]n je tedy souˇctem (F [x]f1 + · · · + F [x]fn ) + (F ei + · · · + F en ), takˇze i kaˇzd´ y prvek ˇ z Ker(ϕ) lze takto rozloˇzit. Clen z F ei + · · · + F en se ale zobraz´ı na nulov´ y prvek pouze pokud je tento ˇclen nulov´ y, takˇze kaˇzd´ y prvek jádra je z F [x]f1 + · · · + F [x]fn . Tedy Ker(ϕ) = F [x]f1 + · · · + F [x]fn a prvky f1 , . . . , fn jsou jeho generátory. Nyn´ı vytvoˇr´ıme matici A, která bude m´ıt v i-tém ˇra´dku souˇradnice prvk˚ u fi vzhledem k bázi e1 , . . . , en . Tato matice bude m´ıt tvar   −a11 + x −a21 ... .... −an1  −a12 −a22 + x −an2    .. .. ..   . . .   = xI − M T .   .. .. ...   . . −a1n ... . . . . . . −ann + x Jak by se projevilo na matici A, kdybychom zmˇenili bázi e1 , . . . , en ? Pokud vymˇen´ıme dva prvky ei , ej v bázi F [x]n pak se v matici vymˇen´ı i-t´ y a j-t´ y sloupec. Pokud vynásob´ıme prvek báze ei prvkem r ∈ F , r 6= 0, i-t´ y sloupec matice A bude vydˇelen prvkem r. Pˇriˇcten´ı rei k ej , kde r ∈ F [x], zase odeˇcte od i-tého sloupce r-násobek j-tého sloupce, protoˇze pro kaˇzd´ y ˇra´dek plat´ı ak1 e1 + · · · + aki ei + · · · + akj ej + · · · + akn en = = ak1 e1 + · · · + aki ei + · · · + akj ej + akj rei − akj rei + · · · + akn en = = ak1 e1 + · · · + (aki − akj r)ei + · · · + akj (ej + rei ) + · · · + akn en . Stejnˇe tak pokud vymˇen´ıme generátory fi a fj z Ker(ϕ), vymˇen´ı se pˇrináleˇzej´ıc´ı ˇra´dky matice A. Pokud vynásob´ıme fi prvkem a ∈ F , a 6= 0, vynásob´ıme i-t´ y ˇrádek matice prvkem a. Pˇriˇcteme-li k fj r-násobek fi , r ∈ F [x], pˇriˇcteme k j-tému ˇrádku r-násobek i-tého. Operacemi s vektory báze F [x]n nebo generátory Ker(ϕ) jsme tedy schopni provést vˇsechny elementárn´ı ˇra´dkové a sloupcové operace, o kter´ ych byla ˇreˇc v pˇredchoz´ım tvrzen´ı. Takˇze jsme schopni vyrobit prvky e01 , . . . , e0n a nové generátory jádra f10 , . . . , fn0 tak, ˇze matice relace bude v Smithovˇe regulárn´ım tvaru, coˇz znamená, ˇze 0 0 f10 = e01 , . . . , fn−m = e0n−m , fn−m+1 = a1 (x)e0n−m+1 , . . . , f 0 (n) = am (x)e0n .

Dostáváme, ˇze Ker(ϕ) = F [x]e01 + · · · + F [x]e0n−m + F [x]a1 e0n−m+1 + · · · + F [x]am e0n . Protoˇze F [x]n / Ker(ϕ) ∼ = V , je V ∼ = F [x]/(a1 ) + · · · + F [x]/(am ) (jednotlivé kroky, proˇc 37

toto plat´ı, jsou uvedeny v d˚ ukazu vˇety o rozkladu na invariantn´ı faktory) a e0n−m+1 , . . . , e0n jsou generátory po ˇradˇe cyklick´ ych F [x]-modul˚ u F [x]/(a1 ), . . . , F [x]/(am ). V´ıme, ˇze pak e0n−m+1 , xe0n−m+1 , . . . , xdeg(a1 (x)) e0n−m+1 , . . . , e0n , . . . , xdeg(am (x)) e0n je báze pˇr´ımého souˇctu vektorov´ ych prostor˚ u F [x]/(a1 ), . . . , F [x]/(am ) nad tˇelesem F . Lineárn´ı transformace má tedy na bázi prostoru V, která tˇemto prvk˚ um odpov´ıdá, matici v racionáln´ım kanonickém tvaru. Jak ale tuto bázi zjistit, kdyˇz nev´ıme, jak pˇresnˇe izomorfismus vypadá? Co v´ıme, je, jak prvky e0n−m+1 , . . . , e0n vznikly z prvk˚ u e1 , . . . , en , ˇze ϕ(ei ) = ui , a ˇze u1 , . . . , un je báze, kterou máme danou a v n´ıˇz má lineárn´ı transformace matici M . Kdyˇz pro kaˇzdou operaci, kterou jsme provedli na bázi e1 , . . . , en kv˚ uli tomu, abychom pˇrevedli matici xI − M T na Smith˚ uv regulárn´ı tvar, provedeme stejnou operaci na bázi u1 , . . . , un (nezapomeˇ nme, ˇze násoben´ı prvkem f (x) se bude chovat na vektoru u jako lineárn´ı transformace f (T )), dostaneme novou mnoˇzinu generátor˚ u v1 , . . . , vn , které odpov´ıdaj´ı prvk˚ um 0 0 e1 , . . . , en . Co m˚ uˇzeme ˇr´ıci okamˇzitˇe, je, ˇze prvn´ıch n−m prvk˚ u bude nulov´ ych, protoˇze e01 , . . . , e0n−m leˇz´ı v jádˇre homomorfismu ϕ. Obrazem báze e0n−m+1 , xe0n−m+1 , . . . , xdeg(a1 (x)) e0n−m+1 , . . . , e0n , . . . , xdeg(am (x)) e0n pak bude báze vn−m+1 , T (vn−m+1 ), . . . , T deg(a1 (x)) (vn−m+1 ), . . . , vn , . . . , T deg(am (x)) (vn ) ve které bude m´ıt lineárn´ı transformace  Ca1  0  A =  ..  . 0

racionáln´ı kanonick´ y tvar:  0 ... ... 0 Ca2 0 . . . 0   .. . . ..  . . .  ... Cam

Toto nám dává algoritmus na nalezen´ı racionáln´ıho kanonického tvaru a báze, ve které má lineárn´ı transformace racionáln´ı kanonick´ y tvar. Mˇejme vektorov´ y prostor V , lineárn´ı transformaci T , bázi u1 , . . . , un a matici M transformace T v této bázi. 1. Nejdˇr´ıve matici xI −M pˇrevedeme elementárn´ımi ˇra´dkov´ ymi a sloupcov´ ymi u ´pravami na Smith˚ uv regulárn´ı tvar, pˇriˇcemˇz si budeme pamatovat, jaké jsme provedli ˇrádkové u ´pravy (protoˇze xI − M je transponovaná matice xI − M T , u které máme sledovat sloupcové u ´pravy). Polynomy na diagonále a1 (x), . . . , am (x) jsou invariantn´ı faktory. 2. Pro kaˇzdou ˇra´dkovou u ´pravu, kterou jsme provedli, patˇriˇcnˇe uprav´ıme bázi prostoru V. 38

(a) Pokud vymˇen´ıme i-t´ y a j-t´ y ˇrádek matice, vymˇen´ıme i-t´ y a j-t´ y generátor, (b) pokud i-t´ y ˇrádek vynásob´ıme prvkem r, pak i-t´ y generátor vydˇel´ıme prvkem r, (c) pokud pˇriˇcteme k j-tému rádku f (x)-násobek i-tého ˇra´dku, pak od i-tého generátoru odeˇcteme f (x) násobek j-tého generátoru. 3. Kdyˇz máme matici xI − M pˇrevedenou na Smith˚ uv normáln´ı tvar, nové generátory v1 , . . . , vn jsou nyn´ı F [x]-kombinacemi p˚ uvodn´ıch generátor˚ u u1 , . . . , un . Nahrad´ıme P násoben´ı prvkem x za lineárn´ı transformaci T , tj. xuj = ni=1 aij ui , aˇz dostaneme vˇsechny nové generátory v1 , . . . , vn jako lineárn´ı kombinace u1 , . . . , un . Pro prvn´ıch n − m generátor˚ u plat´ı, ˇze v1 = 0, . . . , vn−m = 0, zbylé jsou nenulové, oznaˇcme je f1 , . . . , fm , a jsou generátory cyklick´ ych F [x]-modul˚ u, jejichˇz anihilátory jsou po ˇradˇe ∼ a1 (x), . . . , am (x). Plat´ı, ˇze F [x]fi = F [x]/(ai ) pro i = 1, . . . , m. 4. Vytvoˇr´ıme novou bázi prostoru V , která bude sestávat z prvk˚ u f1 , T (f1 ), . . . , T deg(a1 (x))−1 (f1 ), . . . , fm , . . . , T deg(am (x)) fm . V této bázi bude m´ıt lineárn´ı transformace T matici    A= 

Ca1 0 . . . . . . 0 0 Ca2 0 . . . 0 .. .. . . .. . . . . 0 ... Cam

    

5. Vytvoˇr´ıme matici pˇrechodu P tak, ˇze souˇradnice j-tého prvku nové báze vektorového prostoru V z bodu (4) v˚ uˇci staré nap´ıˇseme do j-tého sloupce matice P . Pak plat´ı −1 M = P AP . Pokud bude naˇsim u ´kolem pˇrevést matici M typu n × n nad tˇelesem F na racionáln´ı kanonick´ y tvar, jednoduˇse ji budeme uvaˇzovat jako lineárn´ı transformaci T : F n → F n , která má v bázi (e1 , . . . en ) matici M . Pˇ r´ıklad 4.11. Naleznˇete racionáln´ı kanonick´ y tvar matice   0 −1 −1 0 0  M = 0 −1 0 0 ˇ sen´ı. Bud’ (e1 , e2 , e3 ) báze prostoru Q3 a T lineárn´ı transformace, která má v bázi Reˇ (e1 , e2 , e3 ) matici M .

39

1. Nejdˇr´ıve pˇrevedeme matici xE − M pomoc´ı elementárn´ıch ˇra´dkov´ ych a sloupcov´ ych u ´prav na Smith˚ uv regulárn´ı tvar.   x 1 1 xE − M =  0 x 0  1 0 x vymˇen´ıme sloupce (1) a (3) 

 1 1 x  0 x 0  x 0 1 od sloupce (2) odeˇcteme sloupec (1) 

 1 0 x  0 x 0  x −x 1

od sloupce (3) odeˇcteme x-krát sloupec (1)   1 0 0  0 x  0 2 x −x 1 − x od ˇra´dku (3) odeˇcteme x-krát ˇra´dek (1) (ˇrádková operace ˇc. 1)   1 0 0  0 x  0 2 0 −x 1 − x pˇriˇcteme ˇrádek (2) k ˇrádku (3) (ˇra´dková operace ˇc. 2)   1 0 0  0 x  0 2 0 0 1−x vynásob´ıme tˇret´ı sloupec prvkem −1   1 0 0  0 x  0 2 0 0 x −1 prvky x a x2 − 1 jsou invariantn´ı faktory tedy  0  0 A= 0 40

a racionáln´ı kanonick´ y tvar matice M je  0 0 0 1  1 0

2. Nyn´ı uprav´ıme bázi (e1 , e2 , e3 ) podle ˇrádkov´ ych u ´prav, které jsme provedli. Odeˇcten´ı x-krát ˇra´dku (1) od ˇra´dku (3) nám zmˇen´ı bázi na (e1 + xe3 , e2 , e3 ) a pˇriˇcten´ı ˇra´dku (2) k ˇrádku (3) na (e1 + xe3 , e2 − e3 , e3 ). Nahrad´ıme násoben´ı x za zobrazen´ı lineárn´ı transformac´ı T , tedy xe3 = T (e3 ) = −e1 . Nové generátory jsou tedy (e1 + xe3 , e2 − e3 , e3 ) = (e1 − e1 , e2 − e3 , e3 ) = (0, e2 − e3 , e3 ) = (0, f1 , f2 ). Prvn´ı generátor nám tedy vyˇsel podle oˇcekáván´ı nulov´ y. 3. Vytvoˇr´ıme novou bázi (f1 , f2 , T (f2 )) = (e2 − e3 , e3 , T (e3 )) = (e2 − e3 , e3 , −e1 ). Souˇradnice nové báze (e2 − e3 , e3 , −e1 ) vzhledem k bázi (e1 , e2 , e3 ) nám dávaj´ı sloupce matice pˇrechodu 

 0 0 −1 P = 1 0 0  −1 1 0 matice inverzn´ı k této matici je 

P −1

 0 1 0 = 0 1 1  −1 0 0

Dostáváme tedy, ˇze 

M = P AP −1

   0 0 −1 0 0 0 0 1 0 =  1 0 0  0 0 1  0 1 1  −1 1 0 0 1 0 −1 0 0

41

Literatura [1] Auslander, M., Buchsbaum, D., Groups, rings, modules, 2. vydán´ı, Harper & Row, Publishers Inc., New York, 1974. ISBN 0-06-040387-X. [2] Berrick, A. J. - Keating, M. E., An Introduction to Rings and Modules: With K-theory in Wiev, 1.vydán´ı, Press Syndicate of the university of Cambridge, Cambridge, 2000. ISBN 0-521-632749. [3] Birkhoff, G., Mac Lane S., Algebra, 4. vydán´ı, AMS Chelsea Publishing, Chelsea, 1999. ISBN 0-8218-1646-2. [4] Dummit, David S. - Foote, Richard M., Abstract algebra, 3.vydán´ı, John Wiley and Sons, New Jersey, 2004. ISBN 0-471-43334-9. [5] Lomtatidze, L., Plch, R.: Sáz´ıme v LATEXu diplomovou práci z matematiky, Masarykova univerzita, 2003. [6] Rosick´ y, Jiˇr´ı, Algebra, 4. vydán´ı, Masarykova Univerzita, Brno, 2005. ISBN 80-2102964-1. [7] Rybiˇcka, J.: LATEXpro zaˇcáteˇcn´ıky, KONVOJ, 2003.

42

MASARYKOVA UNIVERZITA. Moduly nad okruhy hlavních ideálů JANA MEDKOVÁ

Recommend Documents