MASARYKOVA UNIVERZITA. Michal Burián

M ASARYKOVA UNIVERZITA P Rˇ Í RODOV Eˇ DECK A´ FAKULTA

Modelován´ı vyzaˇrovac´ı charakteristiky ultrazvukových mˇeniˇcu˚ ˇ A´ PR ACE ´ BAKAL A´ RSK Michal Burián

Brno, jaro 2009

Prohlásˇen´ı Prohlaˇsuji, zˇ e tato bakalárˇská práce je mým p˚uvodn´ım autorským d´ılem, které jsem vypracoval samostatnˇe. Vˇsechny zdroje, prameny a literaturu, které jsem pˇri vypracován´ı pouˇz´ıval nebo z nich cˇ erpal, v práci ˇra´ dnˇe cituji s uveden´ım u´ plného odkazu na pˇr´ısluˇsný zdroj.

Vedouc´ı práce: Mgr. Duˇsan Hemzal, Ph.D. ii

Podˇekován´ı Dˇekuji Mgr. Duˇsanu Hemzalovi, Ph.D za jeho odborné veden´ı a za cenné rady a pˇripom´ınky k realizaci této práce. Dˇekuji také Jaroslavu Vázˇ nému za pomoc v boji s nástrahami systému LATEX. Podˇekován´ı patˇr´ı také mé rodinˇe, která mi byla pˇri dosavadn´ım studiu velkou oporou.

iii

Shrnut´ı Tato práce je zamˇeˇrena na konstrukci geometrického modelu konkrétn´ıho mˇeniˇce slouˇz´ıc´ıho ke generován´ı ultrazvukového pole v experimentáln´ım 3D ultrazvukovém tomografickém zaˇr´ızen´ı. Model je vytváˇren metodou prostorové s´ıtˇe s ohledem na následné ˇreˇsen´ı vlnových rovnic metodou koneˇcných prvk˚u, které je rovnˇezˇ provedeno. Nasimulováno je také pole konkrétn´ı ultrazvukové sondy, která byla v rámci praktické cˇ a´ sti práce promˇeˇrena.

Abstract The thesis deals with space mesh modeling for a particular geometry of an ultrasound transducer which is used in the experimetnal 3D ultrasound tomograhic setup. The model is presented and solved using the finite elements method. In the experimental part, the ultrasound filed of a aprticular transducer is both measured and modeled. All the results are discussed.

Kl´ıcˇ ová slova ultrazvukový mˇeniˇc, metoda koneˇcných prvk˚u, Gmsh

Keywords ultrasound transducer, finite elements method, Gmsh

iv

Obsah ´ 1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Základn´ı veliˇciny a rovnice mechaniky kontinua . . . . . . . . . . . . 2.1 Tenzor napˇet´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Tenzor (malé) deformace a sloˇzený pohyb . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Tenzor rychlosti malé deformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Základn´ı rovnice kontinua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Izoentropické vlnˇen´ı ve viskózn´ı kapalinˇe . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Vyjádˇren´ı tlakové výchylky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Tenzor napˇet´ı ve viskózn´ım prostˇred´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Odvozen´ı vlnové rovnice pro viskózn´ı kapalinu . . . . . . . . . . . ˚ model visko-elastické tkánˇe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Voigtuv 4.1 Vlnová rovnice ve vislo-elastickém prostˇred´ı . . . . . . . . . . . . 4.2 Spoleˇcné vlastnosti odvozených rovnic ve zvolených prostˇred´ıch . . 5 Modelován´ı geometrie a poˇcetn´ı s´ıtˇe ultrazvukových mˇeniˇcu˚ . . . . . 5.1 Zdroj ultrazvuku a ultrazvukový mˇeniˇc . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Piezoelektrický jev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Struktura mˇeniˇce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Modelován´ı geometrie a s´ıtˇe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Vzorový pˇr´ıklad pro namodelován´ı geometrie a definici s´ıtˇe 5.3.2 Modelován´ı geometrie ultrazvukového mˇeniˇce . . . . . . . 6 Modelován´ı vyzaˇrovac´ı charakteristiky . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Vyzaˇrovac´ı charakteristika a akustické pole . . . . . . . . . . . . . 6.2 Metoda koneˇcných prvk˚u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Modelován´ı bl´ızkého pole ultrazvukového mˇeniˇce . . . . . . . . . 7 Experimentáln´ı mˇerˇ en´ı vyzaˇrovac´ı charakteristiky . . . . . . . . . . . 7.1 Popis mˇerˇen´ı akustického pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Model vyzaˇrovac´ı charakteristiky ultrazvukové sondy . . . . . . . . 8 Závˇer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Pˇr´ılohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1 Mˇeniˇc (TAS) pro ultrazvukovou tomografii . . . . . . . . . . . . . 9.2 Zdrojový kód geometrie TASu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 3 3 3 5 6 7 7 8 9 11 11 12 14 14 14 14 16 16 18 21 21 21 23 27 27 28 33 34 35 35 35

v

Kapitola 1

´ Uvod Vyˇsetˇren´ı ultrazvukem patˇr´ı mezi neinvazivn´ı diagnostické metody. Výhodou ultrazvuku je, zˇ e nezatˇezˇ uje pacienta jako napˇr´ıklad vyˇsetˇren´ı rentgenem, kdy je cˇ lovˇek vystaven ionizuj´ıc´ımu záˇren´ı. Právˇe tato skuteˇcnost vedla k vývoji ultrazvukové tomografie, která je postavena na stejném principu jako CT (výpoˇcetn´ı tomografie), ale m´ısto Rentgenova záˇren´ı pouˇz´ıvá ke zobrazován´ı ultrazvuk. I kdyˇz je ultrazvuková tomografie stále v experimentáln´ı fázi, jev´ı se jako dobrou alternativou mamografie, pouˇz´ıvaj´ıc´ı Rentgenovo záˇren´ı. Konkrétn´ı ultrazvukové 3D zaˇr´ızen´ı tomografového typu je vyv´ıjeno ve Forschungs Zentrum Karlsruhe (FZK) v Nˇemecku. Po u´ vodn´ı fázi, která zahrnovala konstrukci 2D systému je v souˇcasné dobˇe s u´ spˇechem testován plnˇe funkˇcn´ı 3D systém. Pro buzen´ı ultrazvuku v tomografu se pouˇz´ıvá tzv. mˇeniˇcu˚ , které jsou v pˇr´ıstroji uspoˇra´ dány do kruhových vrstev. Pro snazˇs´ı technické ovládán´ı pracuje kaˇzdý z mˇeniˇcu˚ bud’ jako zdroj nebo jako pˇrij´ımaˇc ultrazvukového vlnˇen´ı. Postupnˇe jsou aktivovány jednotlivé vys´ılac´ı mˇeniˇce, pˇriˇcemˇz pr˚uchodem ultrazvuku prostˇred´ımi s r˚uznou akustickou impedanc´ı se ultrazvukové vlny mˇen´ı (tlumen´ı, odraz) a tyto modifikované signály jsou pˇrij´ımány vˇsemi pˇrij´ımac´ımi mˇeniˇci. Na základˇe tˇechto zaznamenaných zmˇen je na poˇc´ıtaˇci vytvoˇren obraz vyˇsetˇrovaného objektu. Kromˇe samotné konstrukce zaˇr´ızen´ı jsou ve FZK vyv´ıjeny i konkrétn´ı mˇeniˇce, TASy (Transducer Array Source), urˇcené pro specializované pouˇzit´ı v tomografu. Protoˇze samotná rekonstrukce obrazu je u ultrazvuku výpoˇcetnˇe mnohem nároˇcnˇejˇs´ı neˇz u rentgenových pˇr´ıstroj˚u (a to d´ıky sloˇzitým interferenˇcn´ım vztah˚um v rámci ultrazvukového pole), je potˇreba maximáln´ı cˇ a´ st výpoˇct˚u pˇresunout mimo samotný rekonstrukˇcn´ı proces. Právˇe t´ımto smˇerem leˇz´ı c´ıl pˇredkládané bakaláˇrské práce. Na základˇe konstrukˇcn´ıch detail˚u mˇeniˇcu˚ dodaných z FZK je c´ılem práce poloˇzit základ k mechanickému modelován´ı uˇz´ıvaných mˇeniˇcu˚ . Z hlediska praktické aplikace to v podstatˇe znamená poskytnout výhledovˇe do výpoˇct˚u spolehlivou vyzaˇrovac´ı charakteristiku jednotlivého mˇeniˇce, která by takto jiˇz nemusela být urˇcována sloˇzitým výpoˇctem bˇehem mˇeˇren´ı. Tato u´ loha je netriviáln´ı, protoˇze tvar mˇeniˇce je pomˇernˇe komplikovaný. V prvn´ı cˇ a´ sti práce se seznám´ıme s fyzikáln´ım modelem dostateˇcnˇe obecným k tomu, aby popsal sˇ´ıˇren´ı ultrazvuku ve vˇsech typech biomedic´ınských prostˇred´ı. Odvozován´ı vycház´ı z mechaniky kontinua - po dosazen´ı pˇr´ısluˇsných materiálových konstant m˚uzˇ eme modelovat sˇ´ıˇren´ı ultrazvuku vybraným prostˇred´ım. Ve druhé cˇ a´ sti práce vybudujeme konkrétn´ı model geometrie mˇeniˇce a v jeho rámci provedeme simulaci ultrazvukového pole zp˚usobeného aktivac´ı tohoto mˇeniˇce. Simulace jsou zaloˇzeny na rovnic´ıch z´ıskaných v teoretické cˇ a´ sti a implementovány metodou koneˇcných prvk˚u. 1

´ VOD 1. U V rámci praktické cˇ a´ sti bylo absolvováno mˇeˇren´ı v ultrazvukové vanˇe, pro nˇejˇz byl vytvoˇren konkrétn´ı model vyuˇz´ıvaj´ıc´ı vybudovanou teorii. V rámci zpracován´ı mˇeˇren´ı je zaˇrazena diskuse bl´ızkého a vzdáleného pole mˇeniˇce jakoˇz i demonstrace pˇredpovˇedi ultrazvukového pole promˇeˇrované sondy. ˇ ızˇ kovi a doc. Chtˇel bych na tomto m´ıstˇe podˇekovat Ing. Radimu Koláˇrovi, Ing. Martinu C´ Ing. Jiˇr´ımu Rozmanovi, CSc. za umoˇznˇen´ı mˇeˇren´ı v ultrazvukové vanˇe na VUT. Také bych rád podˇekoval Ing. Jiˇr´ımu Holeˇckovi za pomoc se zprovoznˇen´ım MKP softwaru pro modelován´ı vyzaˇrovac´ı charakteristiky.

2

Kapitola 2

Základn´ı veliˇciny a rovnice mechaniky kontinua Mechanika kontinua je speciáln´ı cˇ a´ st mechaniky zabývaj´ıc´ı se spojitým prostˇred´ım. U kontinuáln´ıho prostˇred´ı pˇredpokládáme, zˇ e prostor je zcela spojitˇe vyplnˇen látkou. Matematicky se látkové prostˇred´ı interpretuje jako soustava hmotných bod˚u, malých cˇ a´ stic vyplˇnuj´ıc´ıch prostor, ve kterém se mohou pohybovat. Narozd´ıl od modelu tuhého tˇelesa, které je nestlaˇcitelné, m˚uzˇ e urˇcitá cˇ a´ st kontinua mˇenit sv˚uj objem a tvar. ˇ astice tvoˇr´ıc´ı kontinuum jsou fyzikálnˇe nekoneˇcnˇe malé. Poˇcet cˇ a´ stic je dostateˇcnˇe C´ velký, ale ve srovnán´ı s poˇctem molekul makroskopické cˇ a´ sti tˇelesa je jich mnohem ménˇe. ˇ astice mus´ı m´ıt nekoneˇcnˇe malý objem. Rozum´ıme t´ım dostateˇcnˇe velký objem, který C´ bude obsahovat vˇetˇs´ı mnoˇzstv´ı molekul, ale také dostateˇcnˇe malý, aby se makroskopicky vlastnosti tˇelesa neprojevily na poloze cˇ a´ stice. Poloha malé cˇ a´ stice v cˇ ase t je dána polohovým vektorem ve fyzikálnˇe nekoneˇcnˇe malém cˇ asovém intervalu v nˇemˇz okamˇzik t leˇz´ı.[1] Kontinuum je tedy soustava fyzikálnˇe nekoneˇcnˇe malých cˇ a´ stic o polohovém vektoru ~r, hustˇe zaplˇnuj´ıc´ıch urˇcitý objem V. Pohybové zákony popisujeme pomoc´ı parciáln´ıch diferenciáln´ıch rovnic. Mezi spojité látkové prostˇred´ı zahrnujeme pruˇzné tˇelesa, ale stejnˇe tak kapaliny a plyny.

2.1 Tenzor napˇet´ı Tenzor napˇet´ı vyjadˇruje rozloˇzen´ı napˇet´ı v látce. Znaˇc´ıme ho symbolem τ a jeho jednotkou je pascal . Tenzor napˇet´ı je reprezentován matic´ı s prvky τ ij , kde index i znaˇc´ı, zˇ e prvek se nacház´ı v i-tém ˇra´ dku a j-tém sloupci matice. Jedná se o tenzor symetrický, tedy pro nˇej plat´ı τ ij = τ ji . Tenzorová matice je oznaˇcována jako matice symetrická.

2.2 Tenzor (malé) deformace a sloˇzený pohyb Obecnˇe m˚uzˇ e tˇeleso konat pohyb translaˇcn´ı nebo rotaˇcn´ı. Tyto vlastnosti jsou charakteristické pro tuhé tˇeleso, které nelze nijak deformovat. U kontinua vˇsak mimo translaˇcn´ı a rotaˇcn´ı pohyb m˚uzˇ e docházet i k deformaci. Právˇe deformac´ı se budeme zabývat. K deformaci kontinua docház´ı v pˇr´ıpadˇe, mˇen´ı-li se vzdálenost mezi jednotlivými cˇ a´ stmi kontinua. Zmˇenu polohy vyjadˇruje vektor posunut´ı ~u(xj , t), kde xj jsou souˇradnice poˇca´ tku vektoru posunut´ı a polohový vektor cˇ a´ stice kontinua. Rychlost této zmˇeny vyjadˇruje vektor rychlosti ~v = (xj , t) Oznaˇcme jeden bod kontinua P (viz. obr.1), který je 3

´ Í VELI Cˇ INY A ROVNICE MECHANIKY KONTINUA 2. Z AKLADN

Obrázek 2.1: Odvozen´ı tenzoru (malé) deformace [2]

definovaný polohovým vektorem o sloˇzkách xj . Dalˇs´ı bod Q je dán jeho polohovým vektorem se sloˇzkami xi +d xi . Uvaˇzujme vychýlen´ı bodu P do nové polohy P 0 o polohovém vektoru yj a stejnˇe tak zmˇenu polohy bodu Q do nové polohy Q0 s vektorem yj + d yj . Zmˇenu polohy bodu P urˇcuje vektor ui = ui (x) jako funkce souˇradnice bodu.[3] Pro bod Q pak plat´ı: ∂ui d xj = uj + d uj . (2.1) ui (x + d x) = ui (x) + ∂xi Z obrázku je dále patrné, zˇ e yi + d yi = xi + d xi + ui + d ui .

(2.2)

Nyn´ı zavedeme Kroneckerovo delta δ ij , jehoˇz vlastnost´ı je δ ij = 1

pro i = j

δ ij = 0

pro i 6= j

S t´ımto symbolem pak m˚uzˇ eme napsat: ui d y i = d xi + d u i = d xi + d xj = xj

∂ui δ + ∂xj ij

d xj ,

(2.3)

kde pro δ ij plat´ı d xi = δ ij d xj . Deformaci tedy vyjádˇr´ıme jako rozd´ıl druhých mocnin vzdálenost´ı bod˚u pˇred a po deformaci, nebo-li pˇred a po posunut´ı bod˚u PQ. Tedy mus´ıme naj´ıt vztah pro d y j d y j − d xj d xj . Dosazen´ım pˇredeˇslých vztah˚u dostaneme pro rozd´ıl kvadrát˚u vzdálenost´ı: ∂ui ∂ui ij ik d yi d yi − d xi d xi = δ + δ + d xj d xk − d xi d xi . ∂xj ∂xk

(2.4)

Po roznásoben´ı dostáváme vyjádˇren´ı deformace jako d yi d yi − d xi d xi = 2εjk d xj d xk ,

(2.5) 4

´ Í VELI Cˇ INY A ROVNICE MECHANIKY KONTINUA 2. Z AKLADN kde εjk je tenzor koneˇcné deformace ve tvaru: ∂uk ∂ui ∂ui ∂uj + + .[3] εjk = ∂xk ∂xj ∂xj ∂xk

(2.6)

Budeme vˇsak uvaˇzovat jen malé deformace, u kterých jsou vektory posunut´ı a jejich derivace tak malé, zˇ e kvadratický cˇ len v 2.6 lze zanedbat. Tenzorem εij budeme vˇzdy myslet tenzor malé deformace. 1 ∂ui ∂ui ij ε = , + 2 ∂xj ∂xj

(2.7)

kde ~u je vektorové pole posunut´ı element˚u kontinua. Tenzor εij je tenzorem symetrickým. Pro symetrii tenzoru plat´ı, zˇ e εij = εji a jeho sloˇzky mohou být reprezentovány diagonáln´ı matic´ı. Geometricky tento tenzor zastupuje urˇcitý pravoúhlý trojhran. Pˇri deformaci se kaˇzdý bod trojhranu s polohou xi posune do nové polohy xi = εij xj , kde εij jsou prvky diagonáln´ı matice, reprezentuj´ıc´ı tenzor malé deformace. Prvky na diagonále dané matice vyjadˇruj´ı relativn´ı prodlouˇzen´ı ve smˇeru hlavn´ıch os trojhranu a nediagonáln´ı prvky tenzoru ukazuj´ı na odchýlen´ı tˇechto os od p˚uvodn´ıho smˇeru. Souˇcet diagonáln´ıch cˇ len˚u tak vyjadˇruje relativn´ı zmˇenu objemu v trojhranu a v dané cˇ a´ sti kontinua v˚ubec. Pouˇzijeme sumaˇcn´ı symboliku, v n´ızˇ se sˇc´ıtá pˇres indexy opakuj´ıc´ı se ve výrazu jako napˇr´ıklad ai b i ≡ a1 b 1 + a2 b 2 + a3 b 3 . Potom m˚uzˇ eme psát, zˇ e pro stopu tenzoru malé deformace εii ≡ ε11 + ε22 + ε33 plat´ı: [1] εii = div ~u =

4V . V

(2.8)

2.3 Tenzor rychlosti malé deformace Tenzor rychlosti deformace dostaneme derivován´ım tenzoru ε deformace podle cˇ asu: η = ∂ε/∂t Pokud budeme pˇredpokládat malé deformace, tak dosp´ıváme ke vztahu: 1 ∂v i ∂v j ij + i η = 2 ∂xj ∂x ~v = ∂~u/∂t je v tomto pˇr´ıpadˇe vektorové pole rychlosti element˚u kontinua. Opˇet zde pro jeho stopu plat´ı vztah η ii = div~v . [1] 5

´ Í VELI Cˇ INY A ROVNICE MECHANIKY KONTINUA 2. Z AKLADN

2.4 Základn´ı rovnice kontinua Kromˇe uvedeného pole posunut´ı ~u a jeho derivac´ı je stav kontinua popsán také termodynamickými stavovými veliˇcinami. Mezi nˇe patˇr´ı hustota ρ, tlak p, teplota T a entropie s. Entropii budeme povaˇzovat za cˇ asovˇe konstantn´ı v celém kontinuu, veˇskeré takové dynamické dˇeje se oznaˇcuj´ı jako izoentropické. V mechanice kontinua jsou pro izoentropické proudˇen´ı zavedeny vztahy: [1] rovnice kontinuity ∂ρ + ~v grad ρ = −ρ div ~v ∂t

(2.9)

∂τ ij ∂v i i i + ρ(~v grad)v = ρf + ρ ∂t ∂xj

(2.10)

ds = 0, dt

(2.11)

pohybové rovnice

vyjádˇren´ı izoentropie

kde f i je hustota objemových sil. Pro sˇ´ıˇren´ı zmˇen v kontinuu pˇredpokládejme malé výchylky p0 , ρ0 stavových veliˇcin z rovnovázˇ ných poloh. Pro tlak p a hustotu prostˇred´ı ρ nap´ısˇeme: p = p0 + p0

ρ = ρ0 + ρ0 ,

(2.12)

kde p0 a ρ0 jsou konstanty. Tyto vyjádˇren´ı dosad´ıme do rovnice kontinuity a dostaneme ∂ρ0 + ~v grad ρ0 = −(ρ + ρ0 )div ~v . ∂t Jelikoˇz vˇsak pˇredpokládáme malé výchylky (p0 p0 , ρ0 ρ0 ), je cˇ len ~u grad ρ0 malý druhého ˇra´ du a po jeho zanedbán´ı dostaneme rovnici ∂ρ0 = −ρ0 div ~v . (2.13) ∂t Sloˇzky rychlostn´ıho pole v povaˇzujeme za malé veliˇciny, zanedbán´ı cˇ lenu div ~v uˇz vˇsak nen´ı moˇzné, jelikoˇz by to ukazovalo na nestlaˇcitelnou pevnou látku nebo kapalinu. V takovém prostˇred´ı se ale vlny sˇ´ıˇrit nemohou. Z matematického hlediska docház´ı u divergence ke sˇc´ıtán´ı nˇekolika veliˇcin ˇra´ du, který zanedbáváme. Seˇcten´ım dostáváme hodnotu divergence stejného ˇra´ du malosti jako u rychlost´ı: 1 ∂v ∂v 2 ∂v 3 ∂v i = + + . div~v = ∂xi ∂x1 ∂x2 ∂x3 Nyn´ı dosad´ıme do pohybových rovnic. Opˇet zde zanedbáme cˇ len ρ(~v ∇)v i , jako cˇ len vyˇssˇ´ıho ˇra´ du. Pohybová rovnice dostane tvar: ∂v i ∂τ ij = ρ0 f i + . (2.14) ∂t ∂xj Vztah 2.13 je rovnice kontinuity a vztah 2.14 pohybová rovnice pro malé výchylky hustoty v tekutinˇe, kterou procház´ı akustická vlna. ρ0

6

Kapitola 3

Izoentropické vlnˇen´ı ve viskózn´ı kapalinˇe 3.1 Vyjádˇren´ı tlakové výchylky Izoentropickým vlnˇen´ım oznaˇcujeme takové vlnˇen´ı, pˇri kterém se nemˇen´ı entropie v prostoru a cˇ ase. Pˇri vlnivém pohybu kontinua, který je rˇeˇsen´ım pohybových rovnic, vˇsak za cˇ asový in” terval rˇa´ dovˇe rovný periodˇe kmitavého pohybu v podstatˇe nedocház´ı k pˇrenosu tepla mezi elementy kontinua, takˇze nem˚uzˇe doj´ıt k vyrovnán´ı teplot. Kaˇzdou cˇ a´ st kontinua lze pak povaˇzovat za tepelnˇe izolovanou a pohyb kontinua bude adiabatický, coˇz podle druhé termodynamické vˇety znamená nemˇennost entropie.“ ˇ [Horský J., Novotný J., Stefan´ ık M.:Mechanika ve fyzice, str. 198] Jak je uvedeno v pˇredchoz´ım odstavci, vlnivý pohyb prob´ıhá ve spojitém prostˇred´ı adiabaticky, protoˇze se pˇri tak rychlém kmitavém pohybu nestaˇc´ı vyrovnávat teplota mezi cˇ a´ sticemi kontinua, a tedy nedocház´ı k pˇrenosu tepla. Jedná se tedy o izoentropický dˇej, jehoˇz souˇca´ st´ı je dˇej adiabatický. Pˇri sˇ´ıˇren´ı vlnˇen´ı tedy docház´ı v kontinuu k výchylkám tlaku a hustoty z jejich rovnovázˇ ných poloh p0 a ρ0 . Pro výsledné hodnoty hustoty a tlaku plat´ı ρ = ρ0 + ρ0

p = p 0 + p0 .

(3.1)

Výchylky, stejnˇe jako u rovnic 2.12, jsou velmi malé. Vyjádˇr´ıme stavovou rovnici ve tvaru p=

kT kT =ρ . V m

(3.2)

Teplotu budeme povaˇzovat za konstantn´ı v cˇ ase i prostoru. Pˇri izoentropickém pˇribl´ızˇ en´ı lze vˇsak teplotu ze stavové rovnice vylouˇcit a z´ıskat závislost p(ρ). Rozvineme-li tlak v Taylorovu ˇradu pro lineárn´ı cˇ leny, z´ıskáme: ∂p p = p0 + (ρ − ρ0 ) (3.3) ∂ρ 0 Ze vztahu 3.1 pak vyplývá pro tlakovou výchylku ∂p 0 p = ρ0 ≡ c2 ρ0 , ∂ρ 0

(3.4)

kde 0 ve výrazu znamená derivaci v rovnovázˇ ném stavu a c je rychlost sˇ´ıˇren´ı vlny, která se vˇsak mˇen´ı napˇr´ıcˇ prostˇred´ım, tedy c(x, y). 7

´ Í KAPALIN Eˇ 3. I ZOENTROPICK E´ VLN Eˇ NÍ VE VISK OZN

3.2 Tenzor napˇet´ı ve viskózn´ım prostˇred´ı Tenzor napˇet´ı τ ij ve viskózn´ım prostˇred´ı má tvar τ ij = −pδ ij + τvij ,

(3.5)

kde p je zápornˇe vzatý tlak a δ ij Kronecker˚uv symbol. Prvn´ı cˇ len ve výrazu vyjadˇruje Pascal˚uv zákon jako rovnost tlak˚u v kapalinˇe a zároveˇn zanedbává smykové s´ıly tˇrec´ı v daném prostˇred´ı. [1] Druhá cˇ a´ st tenzoru napˇet´ı τvij popisuje tˇrec´ı s´ıly p˚usob´ıc´ı ve viskózn´ı tekutinˇe (kapalinˇe). Opˇet se jedná o tenzor symetrický, tedy plat´ı rovnost τvij = τvji . Tenzor bude nulový, pokud kapalina bude vykonávat translaˇcn´ı nebo rotaˇcn´ı pohyb jako celek, nebo pokud bude v klidu. V pˇr´ıpadˇe deformace vˇsak docház´ı podle Hookova zákona k napˇet´ı v tekutinˇe a tenzor napˇet´ı τvij uˇz je nenulový. Rychlostn´ı pole deformace je vyjádˇreno tenzorem rychlosti deformace η ij , uvedeným v pˇredchoz´ı kapitole. M˚uzˇ eme tedy oˇcekávat, zˇ e tenzor napˇet´ı bude záviset na komponentách tenzoru rychlosti deformace. Pro uvedenou závislost plat´ı (3.6) τvij = C ikjl η kl , kde C ijkl jsou komponenty tenzoru cˇ tvrtého ˇra´ du. Jelikoˇz jsou τ ij a η kl tenzory symetrické, tak také pro tenzor C ijkl bude platit C ijkl = C ijkl

C ijkl = C ijlk .

(3.7)

Uvedené vztahy plat´ı v pˇr´ıpadˇe anizotropn´ıho prostˇred´ı. Viskózn´ı kapalinu vˇsak budeme povaˇzovat za izotropn´ı prostˇred´ı, ve kterém je vztah 3.5 stejný ve vˇsech kartézských souˇradných soustavách a stejnˇe tak prvky tenzoru C ijkl jsou stejné ve vˇsech kartézských soustavách. Izotropn´ı vlastnost tenzoru C ijkl lze popsat pomoc´ı Kroneckerova symbolu δ ij . Tenzor ijkl C s poˇzadovanou vlastnost´ı izotropie bude vystupovat jako lineárn´ı kombinace souˇcinu dvou Kroneckerových symbol˚u, tedy C ijkl = λδ ij δ kl + µ(δ ik δ jl + δ il δ jk ).

(3.8)

Toto vyjádˇren´ı m˚uzˇ eme oznaˇcit za podm´ınku izotropie. Prostorovˇe závislé veliˇciny λ a µ zde nazýváme koeficienty vazkosti, které jsou obecnˇe závislé na hustotˇe a teplotˇe kapaliny. λ se nazývá prvn´ı Lamého koeficient. Druhý koeficient µ (zvaný shear modulus) je modul pruˇznosti ve smyku a je nulový pro neviskózn´ı kapalinu. Odchylky teplot a hustot v kapalinˇe jsou vˇsak tak malé, zˇ e je budeme koeficienty λ a µ povaˇzovat za konstanty. Dosad´ıme-li do vztahu 3.5 za C ijkl a za η kl , dostaneme tenzor napˇet´ı τvij ve tvaru i ∂v j ∂v ij k ij ij ij + i . (3.9) τv = ληk δ + 2µη = λdiv ~v δ + µ ∂xj ∂x Nakonec po dosazen´ı do vztahu 3.5 z´ıskáme výsledný tenzor napˇet´ı:

ij

ij

τ = −pδ +

ληkk δ ij

ij

+ 2µη = (−p + λdiv ~v ) + µ

∂v i ∂v j + ∂xj ∂xi

.

(3.10)

Uvedené vztah pro tenzor napˇet´ı plnˇe popisuje viskózn´ı tekutinu (kapalinu). 8

´ Í KAPALIN Eˇ 3. I ZOENTROPICK E´ VLN Eˇ NÍ VE VISK OZN

3.3 Odvozen´ı vlnové rovnice pro viskózn´ı kapalinu U tohoto odvozen´ı budeme uvaˇzovat opˇet malé deformace. Pro z´ıskán´ı vlnové rovnice mus´ıme nejprve dosadit do pohybových rovnic kontinua za tenzor napˇet´ı. V pohybové rovnici vystupuje vˇsak jeho derivace podle souˇradnic ∂τ ij /∂xj Derivováni 3.10 podle xj z´ıskáme: ∂τ ij = −grad p + (µ + λ)grad div ~v + µ4~v (3.11) ∂xj Ve viskózn´ı kapalinˇe zanedbáme jeˇstˇe p˚usoben´ı objemových sil f i , jako je t´ıha. Potom po dosazen´ı dostáváme pro pohybové rovnice kontinua, popisuj´ıc´ı viskózn´ı prostˇred´ı, tvar: ∂ρ0 = −ρ0 div~v ∂t

(3.12)

∂~v = −grad p0 + (µ + λ)grad div ~v . (3.13) ∂t Ve druhé z rovnic jsme zanedbali cˇ len µ4~v . Nyn´ı si vyjádˇr´ıme div ~v z prvn´ı rovnice. Dosad´ıme-li do druhé rovnice 3.13, dostaneme ji ve tvaru: ρ0

1 ∂ρ0 ∂~v = −grad p0 − (µ + λ) grad (3.14) ∂t ρ0 ∂t Zderivujeme-li rovnici 3.12 podle cˇ asu a aplikujeme-li na rovnici 4.3 operaci divergence, dostaneme pro pohybové rovnice vyjádˇren´ı: ρ0

∂ 2 ρ0 ∂ = −ρ div~v 0 ∂t2 ∂t

(3.15)

∂~v 1 ∂ρ0 = −div grad p0 − (µ + λ)div grad (3.16) ∂t ρ0 ∂t Jelikoˇz je moˇzné zamˇenit cˇ asovou parciáln´ı derivaci a divergenci, neboli plat´ı, zˇ e ρ0 div

∂ ∂~v div ~v = div , ∂t ∂t m˚uzˇ eme vyjádˇrit vlnovou rovnici pro výchylku tlaku p0 ve viskózn´ı kapalinˇe. Dosazen´ım z rovnice 3.1 do pˇredcházej´ıc´ıch vztah˚u dostaneme pro tlakovou výchylku p0 koneˇcný vztah ∂ 2 p0 1 ∂p0 2 0 − ∆(c p ) = (µ + λ)∆ , ∂t2 ρ0 ∂t

(3.17)

coˇz je vlnová rovnice pro sˇ´ıˇren´ı tlakové výchylky p0 ve viskózn´ı kapalinˇe. V rámci izoentropického pˇribl´ızˇ en´ı plat´ı d´ıky vztahu 3.1 obdobná rovnice i pro výchylky hustoty ρ0 . Stejnou vlnovou rovnici m˚uzˇ eme z´ıskat i pro výchylku hustoty ρ0 a teploty T 0 , jelikoˇz jsou obˇe u´ mˇerné tlakové výchylce. (viz vztah 3.1) 9

´ Í KAPALIN Eˇ 3. I ZOENTROPICK E´ VLN Eˇ NÍ VE VISK OZN V pˇr´ıpadˇe neviskózn´ı kapaliny jsou koeficienty µ a λ nulové a vlnová rovnice se stává homogenn´ı, s nulovou pravou stranou. Pokud bude nav´ıc stavová rovnice 3.2 konstantn´ı v celém objemu daného prostˇred´ı, rychlost sˇ´ıˇren´ı c bude také konstantn´ı v celém objemu. T´ım se m˚uzˇ e c jako konstanta v rovnici dostat pˇred derivaci (laplasián) a vlnová rovnice tak nabývá dobˇre známou podobu: ∆p0 =

1 ∂p0 . c2 ∂t

(3.18)

10

Kapitola 4

˚ model visko-elastické tkánˇe Voigtuv 4.1 Vlnová rovnice ve vislo-elastickém prostˇred´ı Vezmˇeme nyn´ı tenzor napˇet´ı τ ij , který bude m´ıt tvar: τ ij = Eεij + µη ij ,

(4.1)

kde E je modul pruˇznosti a µ je viskózn´ı parametr shear modulus jako v pˇredchoz´ı kapitole. Mus´ıme brát v u´ vahu, zˇ e se oba parametry mˇen´ı v celém prostˇred´ı, takˇze plat´ı: E(x, y) a µ(x, y ). Následnˇe zderivujeme tenzor napˇet´ı τ podle cˇ asu a jelikoˇz pro tenzor malé deformace ε a tenzor rychlosti deformace η plat´ı vztahy 1 ∂ui ∂ui ∂v j 1 ∂v i ij ij ε = + + i , , η = 2 ∂xj ∂xj 2 ∂xj ∂x pro derivaci tenzoru bude platit: E µ ∂τ ij = (∆~u + grad div ~u) + (∆~v + grad div ~v ) + E,i εij + µ,i η ij i ∂x 2 2

(4.2)

Pro tento tenzor napˇet´ı z´ıskávaj´ı pohybové rovnice 4.1 se zanedbán´ım objemových sil f i tvar ρ0

∂~v E µ = (∆~u + grad div ~u) + (∆~v + grad div ~v ) + ∂t 2 2 E,i ∂ui ∂uj µ,i ∂v i ∂v j + + i + + i . 2 ∂xj ∂x 2 ∂xj ∂x

(4.3)

Z rovnice kontinuity 2.13 máme divergenci vektoru posunut´ı div ~u = −

ρ0 + C, ρ0

(4.4)

kde C je konstanta. Kdyˇz tuto rovnici zderivujeme podle cˇ asu, z´ıskáme div ~v = −

1 ∂ρ0 . ρ0 ∂t

(4.5) 11

˚ MODEL VISKO - ELASTICK E´ TK AN ´ Eˇ 4. VOIGT UV Dosazen´ım tˇechto vyjádˇren´ı divergenc´ı do vztahu 4.3 dostaneme pozmˇenˇený vztah: E ∂~v = ρ0 ∂t 2

1 µ 1 ∂ρ0 0 ∆~u − grad ρ + ∆~v − grad + ρ0 2 ρ0 ∂t E,i ∂ui ∂uj µi ∂v i ∂v j + + i + + i . 2 ∂xj ∂x 2 ∂xj ∂x

(4.6)

Nyn´ı mus´ıme na vzniklé pohybové rovnice aplikovat operaci divergence, coˇz znamená ~ Z´ıskáme tak: vynásobit operátorem nabla ∇. ∂ 2 ρ0 µ ∂ρ0 E 0 − ∆ρ − ∆ + = − ∂t2 ρ0 ρ0 ∂t 1 1 1 ∂ρ0 1 0 ∆~u − grad ρ grad E + ∆~v − grad grad µ + + 2 ρ0 2 ρ0 ∂t E ,ji ∂ui µ,ji ∂v i ∂uj ∂v j + (4.7) + i + + i . 2 ∂xj ∂x 2 ∂xj ∂x Sdruˇzen´ım vhodných cˇ len˚u m˚uzˇ eme napsat √ √ √ µ ∂ 2 ρ0 ∂ρ0 E √ 0 E grad ρ ) + µ grad = div ( div ( )− ∂t2 ρ0 ρ0 ∂t 1 1 E,ji ∂ui ∂uj ∂v j µ,ji ∂v i − ∆~u grad E − ∆~v grad µ − + i + + i . (4.8) 2 2 2 ∂xj ∂x 2 ∂xj ∂x Pokud vypust´ıme posledn´ı cˇ tyˇri cˇ leny vzorce 4.8 pˇrejde rovnice nakonec do tvaru: √ √ √ µ E ∂ρ0 ∂ 2 ρ0 √ 0 − div ( E grad ρ ) = div ( µ grad ). (4.9) ∂t2 ρ0 ρ0 ∂t Máme tu opˇet vlnovou rovnici, která popisuje sˇ´ıˇren´ı výchylek hustoty ve visko-elastickém prostˇred´ı. Pokud budou pro naˇse u´ cˇ ely pruˇzné a viskózn´ı parametry E a µ konstantn´ı ve vymezeném prostˇred´ı, rovnice se zjednoduˇs´ı a nap´ısˇeme ji jako: E µ ∂ρ0 ∂ 2 ρ0 − ∆ρ = ∆ . 0 ∂t2 ρ0 ρ0 ∂t

(4.10)

Výraz E/ρ0 ve vlnové rovnici vystupuje jako c2 , tedy vyjadˇruje kvadrát rychlosti sˇ´ıˇren´ı vlny v daném prostˇred´ı.

4.2 Spoleˇcné vlastnosti odvozených rovnic ve zvolených prostˇred´ıch Jak jsme ukázali, lze naj´ıt obecný model, který v rámci pˇr´ısluˇsného pˇribl´ızˇ en´ı zahrnuje oba hlavn´ı typy prostˇred´ı, se kterými se v biomedic´ınských aplikac´ıch m˚uzˇ eme setkat – jsou to viskózn´ı tekutiny a visko-elastické tkánˇe. Z fyzikáln´ıho hlediska je situace pˇr´ıhodná t´ım, zˇ e obˇe skupiny m˚uzˇ eme formálnˇe popisovat stejným typem diferenciáln´ı rovnice. 12

˚ MODEL VISKO - ELASTICK E´ TK AN ´ Eˇ 4. VOIGT UV Jediným omezen´ım pro vˇsechny vlnové rovnice, které jsme odvodili, je platnost vztah˚u ( rychlost´ı sˇ´ıˇren´ı ) pro vlny podélné. U podélné (ˇcili zvukové) vlny je charakteristické, zˇ e cˇ a´ stice kmitaj´ı ve smˇeru sˇ´ıˇren´ı vlny. Naopak pro pˇr´ıcˇ né vlny plat´ı, zˇ e cˇ a´ stice kmitaj´ı kolmo na smˇer postupu vlny. Prostˇred´ı, ve kterém se mohou pˇr´ıcˇ né vlny sˇ´ıˇrit, mus´ı m´ıt nenulový modul pruˇznosti ve smyku G , neboli taková prostˇred´ı mus´ı pˇrenásˇet smykové napˇet´ı. Voda i vzduch maj´ı jako vˇsechny tekutiny modul G roven nule, a proto se v nich pˇr´ıcˇ né vlnˇen´ı neˇs´ıˇr´ı. Jiná situace ovˇsem nastane, pokud podélná vlna naraz´ı na rozhran´ı s tkán´ı. V tomto pˇr´ıpadˇe jiˇz m˚uzˇ e doj´ıt kromˇe zalomen´ı podélné vlny v tkáni také ke generaci vlny pˇr´ıcˇ né. Na opaˇcném konci tkánˇe se vˇsak pˇr´ıcˇ ná vlna mus´ı bud’ odrazit zpˇet, nebo se ztransformovat na vlnu podélnou, které se navazuj´ıc´ım tekutinovým prostˇred´ım m˚uzˇ e jediná sˇ´ıˇrit. Obdobou pˇr´ıcˇ ných vln jsou kmity elektromagnetického pole (svˇetelné vlny). Toto pole naopak nemá schopnost pˇrenásˇet kmity podélné. Z hlediska vlnových jev˚u jsou tedy nejbohatˇs´ı visko-elastická prostˇred´ı. Rychlost sˇ´ıˇren´ı podélné vlny je obecnˇe dána vztahem s λ + 2µ/3 c= ρ rychlost sˇ´ıˇren´ı pˇr´ıcˇ né vlny urˇcuje vztah r c=

µ ρ

Mezi jednotlivými veliˇcinami vyskytuj´ıc´ımi se v teorii pruˇznosti existuje mnoˇzstv´ı vztah˚u, kterými je mezi sebou m˚uzˇ eme vzájemnˇe pˇrevádˇet. Mˇeˇren´ı vyzaˇrovac´ı charakteristiky bude prob´ıhat ve vodˇe. Fyzikáln´ı parametry pro vodu, které pouˇzijeme jsou: hustota: 998 kg/m3 rychlost sˇ´ıˇren´ı podélné vlny: 1480 m/s viskozitn´ı parametry: pro n´ızké hodnoty u´ tlumu, které voda vykazuje v prvn´ım pˇribl´ızˇ en´ı tyto parametry zanedbáme. V tabulce 4.1 jsou uvedeny fyzikáln´ı parametry pro dalˇs´ı moˇzná biologická prostˇred´ı (vˇcetnˇe vody), ve kterých se vlny sˇ´ıˇr´ı. Dané hodnoty se vtahuj´ı k sˇ´ıˇren´ı ultrazvuku o frekvenci 1 MHz za Pokojové teploty.

Tabulka 4.1: Fyzikáln´ı parametry pro biologická prostˇred´ı (pˇrevzato z [5])

13

Kapitola 5

Modelován´ı geometrie a poˇcetn´ı s´ıtˇe ultrazvukových mˇeniˇcu˚ 5.1 Zdroj ultrazvuku a ultrazvukový mˇeniˇc Za ultrazvuk povaˇzujeme podélné mechanické vlnˇen´ı, jehoˇz frekvence je vyˇssˇ´ı neˇz 16 kHz. Zdrojem tohoto podélného mechanického vlnˇen´ı, zvuku m˚uzˇ e být napˇr´ıklad chvˇej´ıc´ı se membrána. O tom, zda se jedná o ultrazvuk, rozhoduje pouze frekvence chvˇen´ı membrány. V praxi se k vytváˇren´ı ultrazvuku pouˇz´ıvaj´ı ultrazvukové mˇeniˇce. Ultrazvukový mˇeniˇc najdeme v kaˇzdém lékaˇrském ultrazvukovém pˇr´ıstroji nebo jiných zaˇr´ızen´ıch produkuj´ıc´ıch ultrazvuk. (Fotografie mˇeniˇce, urˇceného pro ultrazvukovou tomografii, je vloˇzena do pˇr´ıloh.) Ke vzniku ultrazvukového vlnˇen´ı docház´ı v mˇeniˇci v d˚usledku pˇrevrácenému piezoelektrickému jevu. 5.1.1 Piezoelektrický jev Piezoelektrický jev nastává tehdy, kdyˇz na krystal p˚usob´ıme mechanickou silou a zp˚usobujeme jeho deformaci. Na krystalu docház´ı ke vzniku elektrostatického náboje a napˇet´ı. Mezi piezoelektrické krystaly patˇr´ı ty, které nemaj´ı stˇred symetrie, napˇr´ıklad kˇremen, jako nejv´ıce pouˇz´ıvaný, nebo sfalerit. Tohoto jevu se uˇz´ıvá u zapalovaˇcu˚ . Pro vytváˇren´ı ultrazvuku se vˇsak vyuˇz´ıvá pˇrevráceného piezoelektrického jevu. Jeho podstatou je vyvolán´ı deformace piezokrystalu pˇri pˇriloˇzen´ı elektrického napˇet´ı na jeho povrch. V ultrazvukovém mˇeniˇci se nacház´ı právˇe piezokrystal, který je zdrojem ultrazvukových vln. Piezoelektrický jev zde ale prob´ıhá obrácenˇe, elektrické napˇet´ı zp˚usobuje deformaci krystalu, která se následnˇe pˇrenásˇ´ı do zkoumaného objemu.

5.2 Struktura mˇeniˇce Ultrazvukový mˇeniˇc TAS se skládá z nˇekolika r˚uzných materiál˚u a cˇ a´ st´ı. Jednak je to onen piezoelektrický krystal. Dalˇs´ımi prvky ultrazvukového mˇeniˇce jsou elektrody po stranách piezomateriálu, kterými je pˇrivádˇeno napˇet´ı pro buzen´ı kmitán´ı krystalu, dále pak dvˇe akusticky upravené vrstvy ve smˇeru pˇrenosu ultrazvukových vln. Na opaˇcné stranˇe se ˇ ast struktury mˇeniˇce je vidˇet na obrázku 5.1 potom nacház´ı tlum´ıc´ı vrstva. C´ Samotný piezokrystal je strukturovaný do osmi tzv. piezodisk˚u o rozmˇerech 5×5 mm uspoˇra´ daných za sebou. Kaˇzdý piezodisk obsahuje devˇet oddˇelených cˇ tvercových ploch, z nichˇz na pˇet je pˇrivedeno napˇet´ı pomoc´ı malých elektrod. Prostˇredn´ı plocha na disku funguje jako vys´ılaˇc, (zdroj vlnˇen´ı) a cˇ tyˇri plochy v roz´ıch disku slouˇz´ı jako pˇrij´ımaˇce. Na zbylé cˇ tyˇri nen´ı pˇripojená zˇ a´ dná elektroda, a proto jsou piezoelektricky neaktivn´ı. To je cˇ a´ steˇcnˇe vidˇet i v detailn´ı cˇ a´ sti obrázku 5.2, kde je zobrazeno zapojen´ı piezokrystalu do systému elektrod. 14

´ Í GEOMETRIE A PO Cˇ ETNÍ SÍ T Eˇ ULTRAZVUKOV YCH ´ ˇ NI Cˇ U˚ 5. M ODELOV AN ME

ˇ ultrazvukovým mˇeniˇcem (pˇrevzato od FKZ) Obrázek 5.1: Rez

Obrázek 5.2: Zapojen´ı piezokrystalu v ultrazvukovém mˇeniˇci: v detailu jsou patrné elektrody pˇriloˇzené na jednotlivé cˇ tvercové plochy piezodisku. (pˇrevzato od FZK)

Obrázek 5.3: Struktura a rozmˇery piezokrystalu: cˇ ervené plochy krystalu znázorˇnuje vys´ılaˇce záˇren´ı, zelené plochy pˇrij´ımaˇce. Model piezokrastalu byl vytvoˇren podle uvedených rozmˇer˚u. (pˇrevzato od FKZ)

Zm´ınˇené cˇ tvercové struktury se sestávaj´ı z dev´ıti jeˇstˇe menˇs´ıch cˇ tvercových ploˇsek. Dohromady tedy jeden piezodisk obsahuje osmdesát jedna malých ploˇsek s délkou hrany 15

´ Í GEOMETRIE A PO Cˇ ETNÍ SÍ T Eˇ ULTRAZVUKOV YCH ´ ˇ NI Cˇ U˚ 5. M ODELOV AN ME 0,4 mm. Na jednom celém piezokrystalu mˇeniˇce se tak nacház´ı osm vys´ılaˇcu˚ produkuj´ıc´ıch ultrazvuk a tˇricet dva pˇrij´ımaˇcu˚ . Na obrázc´ıch 5.3 je ukázána struktura a vˇsechny potˇrebné rozmˇery piezokrystalu, podle kterých byla vytvoˇrena jeho geometrie.

5.3 Modelován´ı geometrie a s´ıtˇe K namodelován´ı vyzaˇrovac´ı charakteristiky je nejdˇr´ıve potˇreba vytvoˇrit reálnou geometrii mˇeniˇce a následnˇe na nˇem vygenerovat poˇcetn´ı s´ıt’ s uzlovými body. V tˇechto bodech bude prob´ıhat výpoˇcet simulované vyzaˇrovac´ı charakteristiky mˇeniˇce. Z tohoto d˚uvodu potˇrebujeme znát souˇradnice tˇechto uzl˚u. Pro modelován´ı mˇeniˇce a vytvoˇren´ı s´ıtˇe byl zvolen program Gmsh. [6] Jedná se o tˇr´ıdimenzionáln´ı generátor s´ıt´ı pro výpoˇcet metody koneˇcných prvk˚u. O této metodˇe pojednává v´ıce kapitola o výpoˇctu vyzaˇrovac´ı charakteristiky. V programu lze geometrii vytváˇret dvˇema zp˚usoby. Prvn´ı moˇznost´ı je psan´ı definic, kterými vytváˇr´ıme v prostoru jednotlivé geometrické prvky (body, u´ seˇcky, povrchy ...) celku. Druhá moˇznost spoˇc´ıvá v pouˇzit´ı grafického rozhran´ı programu za pomoc´ı pohyblivého pouˇzit´ı myˇsi a pˇr´ısluˇsných tlaˇc´ıtek. 5.3.1 Vzorový pˇr´ıklad pro namodelován´ı geometrie a definici s´ıtˇe Popis modelován´ı jednoduché geometrie pomoc´ı pˇr´ıkaz˚u v programu Gmsh uvád´ım na jednoduˇssˇ´ım modelu. Je j´ım krychle s koul´ı uvnitˇr. Jsou zde nadefinovány vnˇejˇs´ı povrch krychle a vnitˇrn´ı povrch koule pro vytvoˇren´ı s´ıtˇe na tˇechto plochách. Na vygenerován´ı s´ıtˇe v prostoru mezi plásˇtˇem koule a krychle je potˇreba zase definovat daný objem, kde se s´ıt’ vytvoˇr´ı.

Parametry jednotlivých geometrických prvk˚u se zapisuj´ı do editorového okna jednoduˇse za sebou a jsou oddˇeleny stˇredn´ıkem. Editorové okno vyvoláme tlaˇc´ıtkem Edit v ovládac´ım oknˇe. Nyn´ı následuje popis jednotlivých pˇr´ıkaz˚u pouˇz´ıvaných pˇri tvorbˇe geometrie, které byly vybrány ze zdrojového souboru daného modelu. [6] Pro definován´ı bodu pouˇz´ıváme výraz Point s pˇr´ısluˇsnými parametry ve tvaru Point(3) {0,1,0,0.1}. V kulatých závorkách je vˇzdy uvedeno definiˇcn´ı cˇ´ıslo daného prvku, ve sloˇzené závorce potom prvn´ı tˇri cˇ´ısla pˇredstavuj´ı souˇradnice bodu v prostoru. Posledn´ı parametr v závorce vpravo je volitelný (nen´ı povinný) a definuje charakteristickou s´ıt’ovou délku v tomto bodˇe. Charakteristická délka pˇredstavuje pr˚umˇernou lineárn´ı délku elementu s´ıtˇe.(ne vˇsechny elementy jsou stejnˇe velké). Zmˇenou tohoto parametru tedy urˇcujeme hustotu pozdˇeji vygenerované s´ıtˇe. Zápis Point(3) {0,1,0,0.1} tedy vytvoˇr´ı bod cˇ´ıslo 3 o souˇradnic´ıch X = 0, Y = 1 a Z = 0. Dalˇs´ım pouˇz´ıvaným geometrickým prvkem je spojnice mezi dvˇema body:vytvoˇr´ı pˇr´ıkazem Line (1) = {4, 7}, kde v kulaté závorce je opˇet oznaˇcen´ı vzniklé u´ seˇcky a ve sloˇzené závorce mus´ı být uvedena cˇ´ısla spojovaných krajn´ıch bod˚u, které byly definovány dˇr´ıve. Uvedený výraz tedy zobraz´ı v prostoru u´ seˇcku, která spojuje krajn´ı body s oznaˇcen´ım 4 a 7. 16

´ Í GEOMETRIE A PO Cˇ ETNÍ SÍ T Eˇ ULTRAZVUKOV YCH ´ ˇ NI Cˇ U˚ 5. M ODELOV AN ME Ke zhotoven´ı koule byl opakovanˇe pouˇzit pˇr´ıkaz Circle. Vytváˇr´ı obloukové kˇrivky slouˇz´ıc´ı ˇ ısla {12,9,15} ve sloˇzených závorkách v uvedeném poˇrad´ı pˇredstavuj´ı jako kostra koule. C´ oznaˇcen´ı poˇca´ teˇcn´ıho bodu, stˇredu obloukové kˇrivky a koncového bodu kˇrivky.

Aby mohl být vytvoˇrený u´ tvar vyplnˇen 3D s´ıt´ı, je potˇreba u kostky i koule definovat jejich povrchy a objemy. Pro definován´ı povrch˚u se je nutné pouˇz´ıt pˇr´ıkazy: Line Loop(34) = {23,18,15}, Ruled Surface a Plane Surface(44) = 44. Prvn´ı pˇr´ıkaz vytvoˇr´ı orientované smyˇcky, které propoj´ı kostru objektu. Kostru v pˇr´ıpadˇe krychle tvoˇr´ı jej´ı hrany, v pˇr´ıpadˇe koule uvnitˇr jsou to obloukové kˇrivky. Parametry u pˇr´ıkazu pˇredstavuj´ı cˇ´ısla kˇrivek kostry, které orientovaná smyˇcka propojuje. Potˇrebujeme-li opaˇcnou orientaci smyˇcky, pˇridáme znaménko m´ınus. Pˇr´ıkaz Plane Surface(44) = 44 uˇz potom vytvoˇr´ı rovinný povrch stˇen krychle. To stejné provede pˇr´ıkaz Ruled Surface(26) = 26 u koule. Ten má stejnou funkci, avˇsak pro zakˇrivený povrch. Do sloˇzených závorek tˇechto pˇr´ıkaz˚u se zadává identifikaˇcn´ı cˇ´ıslo orientované smyˇcky, která propojila hranice daného povrchu. V kulatých závorkách najdeme opˇet oznaˇcen´ı povrchu samotného. Zbývá definice objemu. Jej´ı zápis má v tomto pˇr´ıpadˇe tvar Volume(58) = {56,57}, kde vystupuj´ı jako parametry cˇ´ısla uˇz vytvoˇrených povrch˚u, jenˇz budou tvoˇrit hranice ˇ ıslo 56 znaˇc´ı povrch krychle, cˇ´ıslo 57 povrch koule. Objem takto napsaný je objemu. C´ tedy nadefinován jako prostor mezi stˇenami krychle a povrchem koule. Pˇri spuˇstˇen´ı meshován´ı se pak s´ıt’ vygeneruje jen v pˇredepsaném objemu nebo povrchu podle toho, zda je zvolena 3D nebo 2D s´ıt’.

Celý soubor pˇr´ıkaz˚u s parametry generuj´ıc´ı krychli s kouli pak vypadá následovnˇe (v kaˇzdém odstavci je definován jeden druh geometrického prvku): Point (1) = {0, 0, 0, 0.1}; Point (2) = {1, 0, 0, 0.1}; Point (3) = {0, 1, 0, 0.1}; Point (4) = {0, 0, 1, 0.1}; Point (5) = {1, 1, 1, 0.1}; Point (6) = {1, 1, 0, 0.1}; Point (7) = {0, 1, 1, 0.1}; Point (8) = {1, 0, 1, 0.1}; Point (9) = {0.5, 0.5, 0.5, 0.1}; Point (10) = {0.75, 0.5, 0.5, 0.1}; Point (11) = {0.25, 0.5, 0.5, 0.1}; Point (12) = {0.5, 0.25, 0.5, 0.1}; Point (13) = {0.5, 0.75, 0.5, 0.1}; Point (14) = {0.5, 0.5, 0.25, 0.1}; Point (15) = {0.5, 0.5, 0.75, 0.1}; Line (1) = {4, 7}; Line (2) = {7, 3}; Line (3) = {3, 1}; Line (4) = {1, 2}; Line (5) = {2, 6}; Line (6) = {6, 5}; Line (7) = {5, 8}; Line (8) = {8, 4}; Line (9) = {4, 1}; Line (10) = {3, 6}; Line (11) = {2, 8}; Line (12) = {5, 7}; Circle (13) = {12, 9, 15}; Circle (14) = {15, 9, 13}; Circle (15) = {13, 9, 14}; Circle (16) = {14, 9, 12}; Circle (17) = {12, 9, 11}; Circle (18) = {11, 9, 13}; Circle (19) = {13, 9, 10}; Circle (20) = {10, 9, 12}; Circle (21) = {15, 9, 10}; Circle (22) = {10, 9, 14}; Circle (23) = {14, 9, 11}; Circle (24) = {11, 9, 15}; Line Loop (26) = {21, -19, -14}; Ruled Surface (26) = {26}; Line Loop (28) = {19, 22, -15}; Ruled Surface (28) = {28}; Line Loop (30) = {22, 16, -20}; Ruled Surface (30) 17

´ Í GEOMETRIE A PO Cˇ ETNÍ SÍ T Eˇ ULTRAZVUKOV YCH ´ ˇ NI Cˇ U˚ 5. M ODELOV AN ME = {30}; Line Loop (32) = {16, 17, -23}; Ruled Surface (32) = {32}; Line Loop (34) = {23, 18, 15}; Ruled Surface (34) = {34}; Line Loop (36) = {21, 20, 13}; Ruled Surface (36) = {36}; Line Loop (38) = {13, -24, -17} Ruled Surface (38) = {38}; Line Loop (40) = {24, 14, -18}; Ruled Surface (40) = {40}; Line Loop (44) = {7, 8, 1, -12}; Plane Surface (44) = {44}; Line Loop (46) = {9, 4, 11, 8}; Plane Surface (46) = {46}; Line Loop (48) = {11, -7, -6, -5}; Plane Surface (48) = {48}; Line Loop (50) = {6, 12, 2, 10}; Plane Surface (50) = {50}; Line Loop (52) = {2, 3, -9, 1}; Plane Surface (52) = {52}; Line Loop (54) = {4, 5, -10, 3}; Plane Surface (54) = {54};Physical Surface(1) = {36, 32, 34, 28, 30, 40, 26, 38}; Surface Loop(56) = {48,46,52,50,44,54}; Surface Loop(57) = {38,36,26,28,30,32,34,40}; Volume(58) = {56,57}; Physical Volume(101) = {58}; Physical Surface(2) = {48, 46, 54, 52, 50, 44}; Physical Surface(102) = {32, 28, 34, 30, 36, 26, 40, 38}; V posledn´ıch dvou ˇra´ dc´ıch se vyskytuj´ı zápisy Physical Volume a Physical Surface. Tento druh pˇr´ıkaz˚u nen´ı uˇz potˇrebný z hlediska generován´ı s´ıtˇe. Je vˇsak nutný pro nadefinován´ı fyzikáln´ıch okrajových podm´ınek ˇreˇsené u´ lohy. O okrajových podm´ınkách viz. Kapitola 6 Výsledný model zapsaný zdrojovým kódem ukazuje obrázek 5.4.

Obrázek 5.4: Pˇr´ıklad namodelované geometrie pomoc´ı uvedených zdrojových pˇr´ıkaz˚u

Nakonec je potˇreba vytvoˇrit na modelu 3D s´ıt’, coˇz provedeme kliknut´ım do ovládac´ıho okna na Geometry. Otevˇre se nab´ıdka, ve které vybereme moˇznost Mesh, a následnˇe klikneme na tlaˇc´ıtko 3D. S´ıt’ se vytvoˇr´ı v nadefinovaném objemu, coˇz je vidˇet na obrázku 5.5. 5.3.2 Modelován´ı geometrie ultrazvukového mˇeniˇce Model piezoelektrického krystalu byl vytvoˇren podle nákres˚u poskytnutých lidmi z FKZ. Jeho geometrie je vˇsak pˇr´ıliˇs sloˇzitˇe strukturovaná. Proto byl pro modelován´ı ultrazvukového mˇeniˇce pouˇzit program Autodesk Inventor. Jedná se o aplikaci na vytváˇren´ı 18

´ Í GEOMETRIE A PO Cˇ ETNÍ SÍ T Eˇ ULTRAZVUKOV YCH ´ ˇ NI Cˇ U˚ 5. M ODELOV AN ME

Obrázek 5.5: Model po vygenerován´ı 3D s´ıtˇe v rovinˇe XZ. S´ıt’ se vytvoˇrila jen v definovaném objemu (koule je prázdná).

stroj´ırenských konstrukc´ı a technických výkres˚u. Tvorba modelu zde prob´ıhá plnˇe v grafickém rozhran´ı pomoc´ı ovládac´ıho panelu. Krystal byl tak namodelován pˇresnˇe podle zadaných rozmˇer˚u. Na obrázku 5.6 je grafické prostˇred´ı Programu Autodesk Inventor s vytvoˇreným piezokrystalem (jeden piezodisk s kmitaj´ıc´ımi ploˇskami)

Obrázek 5.6: Model cˇ a´ sti piezokrystalu v programu Autodesk Inventor

Pro vytvoˇren´ı s´ıtˇe se vˇsak uˇz byl následnˇe pouˇzit program Gmsh, kam byla vytvoˇrená geometrie importována. Potom v samotném programu Gmsh je jeˇstˇe potˇreba mˇeniˇc uloˇzit jako soubor s pˇr´ıponou geo. Tak potˇrebnému dojde k pˇretransformován´ı zdrojového kódu do podoby, které rozum´ıme, popsané na vzorovém pˇr´ıkladu krychle s koul´ı. Následnˇe byla v programu Gmsh dodˇelána polokoule, která definuje okoln´ı vyzaˇrovac´ı prostor mˇeniˇce. Fyzické objemy a povrch mˇeniˇce byly dodefinovány pˇr´ıkazy stejným zp˚usobem jako u vzoru. Pro potˇrebu modelován´ı vyzaˇrovac´ı charakteristiky je s´ıt’ vyge19

´ Í GEOMETRIE A PO Cˇ ETNÍ SÍ T Eˇ ULTRAZVUKOV YCH ´ ˇ NI Cˇ U˚ 5. M ODELOV AN ME nerována na povrchu piezokrystalu a uvnitˇr polokoule. V samotném mˇeniˇci se s´ıt’ nevytvoˇrila, viz. obrázek 5.7, kde jsou v této oblasti vidˇet svˇetlá m´ısta. Kaˇzdou vytvoˇrenou s´ıt’ mus´ıme následnˇe optimalizovat (tlaˇc´ıtky mesh a optimize) za u´ cˇ elem odstranˇen´ı nevhodných element˚u s´ıtˇe.

Obrázek 5.7: Vygenerovaná 3D s´ıt’ nad modelem piezokrystalu ve zvolené ohraniˇcené oblasti, svˇetlejˇs´ı oblasti dokazuj´ı, zˇ e s´ıt’ byla vytvoˇrena jen nad modelem.

Pˇri modelován´ı vyzaˇrovac´ı charakteristiky mˇeniˇce je pouˇz´ıván právˇe tento model, kde jsou jeˇstˇe dodefinovány fyzické povrchy piezokrystalu a obálky, na které budou aplikovány okrajové podm´ınky, viz. kapitola 6. Ty jsou nutné pro ˇreˇsen´ı vyzaˇrovac´ı charakteristiky. S´ıt’ také mus´ı být mnohem hustˇs´ı, aby bylo modelován´ı v´ıce pˇresné. Hustota s´ıtˇe na obrázku 5.7 byla zvolena kv˚uli pˇrehlednosti. U vˇsech vytvoˇrených s´ıt´ı potˇrebujeme znát souˇradnice uzl˚u pro modelován´ı vyzaˇrovac´ı charakteristiky. Poˇzadované informace z´ıskáme, kdyˇz zvol´ıme v hlavn´ı nab´ıdce save mesh. Uloˇz´ı se t´ım samotná s´ıt’ (jako soubor msh). Vypsané souˇradnice uzl˚u i jejich celkový poˇcet pak najdeme v editorovém oknˇe.

20

Kapitola 6

Modelován´ı vyzaˇrovac´ı charakteristiky 6.1 Vyzaˇrovac´ı charakteristika a akustické pole Vyzaˇrovac´ı charakteristikou ultrazvukového mˇeniˇce se rozum´ı rozloˇzen´ı amplitud akustických výchylek tlaku zp˚usobené ultrazvukovým pulzem (zdrojem) v prostoru. Jelikoˇz plat´ı, zˇ e kvadrát tlakové výchylky je u´ mˇerný intenzitˇe sˇ´ıˇr´ıc´ıho se pulzu, povaˇzujeme za charakteristiku také intenzitu vlnˇen´ı závislou na vzdálenosti od zdroje. Vztah mezi intenzitou a kvadrátem tlakové výchylky je: I=

p02 , cρ

(6.1)

kde p0 je tlaková výchylka, c je rychlost sˇ´ıˇren´ı vlny a ρ je hustota prostˇred´ı, ve kterém se vlna sˇ´ıˇr´ı. Jednotkou intenzity je W/m2 . (vztah pro intenzitu byl odvozen ze vzorc˚u uvedených v [4] kapitola 18) Modelujeme tak akustické pole vyzaˇrován´ı, a to bl´ızké a vzdálené. Pro bl´ızké pole je charakteristické, zˇ e se zde v malé vzdálenosti od zdroje projevuje interference a vlivem toho je pole nerovnomˇerné. Akustické tlaky zde nabývaj´ı r˚uzných skokových hodnot. V dalekém akustickém poli docház´ı k divergenci svazku paprsk˚u, pˇriˇcemˇz k nejvˇetˇs´ım tlakovým výchylkám docház´ı v ose mˇeniˇce, kde je intenzita vyzaˇrován´ı nejvyˇssˇ´ı. Se zvyˇsuj´ıc´ı se výchylkou od osy docház´ı k jej´ımu poklesu. Lokalizace hranice mezi vzdáleným a bl´ızkým polem závis´ı na rozmˇeru mˇeniˇce R a vlnové délce λ ultrazvukové vlny. [7] Oznaˇc´ıme-li hranici bl´ızkého a vzdáleného pole jako zH , m˚uzˇ eme pro ni napsat vztah: 2 λ R2 (6.2) zH = 1 − . λ 2R

6.2 Metoda koneˇcných prvku˚ Pro namodelován´ı vyzaˇrovac´ı charakteristiky, nebo-li rozloˇzen´ı tlakové výchylky v prostoru, jsme potˇrebovali vyˇreˇsit vlnovou rovnici pro zadané okrajové podm´ınky. Metoda koneˇcných prvk˚u (MKP) je metodou numerickou a pomáhá ˇreˇsit rovnice, které by bylo obt´ızˇ né poˇc´ıtat analyticky. Budeme uvaˇzovat jen stacionárn´ı ˇreˇsen´ı vlnové rovnice. Stacionárn´ı ˇreˇsen´ı je takové, které nezávis´ı na cˇ ase – hovoˇr´ıme o cˇ asovˇe ustáleném ˇreˇsen´ı. Máme-li obyˇcejnou vlnovou rovnici ve tvaru 1 ∂ 2 u0 − ∆u0 = 0, 2 2 c ∂t

(6.3) 21

´ Í VYZA ROVAC ˇ Í CHARAKTERISTIKY 6. M ODELOV AN kde u0 = u(r)eiωt je funkc´ı souˇradnic a pˇredstavuje vlnu s amplitudou u(r). Dosazen´ım za u0 do vlnové rovnice 6.3 a derivován´ım dostaneme rovnici: ω 2 u = 0, (6.4) ∆u + c kde ω/c pˇredstavuje velikost vlnového vektoru ~k, spojenou s vlnovou délkou vztahem |~k| ≡ k = 2π/λ. Veliˇcina u m˚uzˇ e zastupovat výchylku tlaku, hustoty cˇ´ı teploty. Vztah 6.4 je nezávislý na cˇ ase, jelikoˇz u je pouze funkc´ı souˇradnic; z´ıskaná stacionárn´ı rovnice se nazývá Helmholtzova. Pro obecné okrajové podm´ınky ji lze ˇreˇsit analyticky jen s krajn´ımi obt´ızˇ emi nebo v˚ubec. V tuto chv´ıli nastupuje metoda koneˇcných prvk˚u. Jej´ı princip spoˇc´ıvá v pˇreveden´ı obt´ızˇ nˇe ˇreˇsitelné diferenciáln´ı rovnice na soustavu mnoha lineárn´ıch rovnic algebraických. Tuto soustavu necháme vyˇreˇsit programu Matlab, který pouˇzije pro výpoˇcet jiˇz namodelovanou s´ıt’. Jak jiˇz bylo ˇreˇceno, je principem metody nahradit diferenciáln´ı Helmholtzovu rovnici soustavou lineárn´ıch rovnic, a to ve tvaru Kij Φi = bi ,

(6.5)

kde Kij je matic´ı soustavy a Φi jsou neznámé hodnoty na uzlech s´ıtˇe. Pˇribliˇznost metody koneˇcných prvk˚u spoˇc´ıvá v hledán´ı hodnot neznámé funkce u pouze v uzlových bodech a zjednoduˇsuj´ıc´ım pˇredpokladu pr˚ubˇehu neznámé funkce mezi tˇemito uzly (v naˇsem pˇr´ıpadˇe budeme uvaˇzovat pr˚ubˇeh lineárn´ı). Pro z´ıskán´ı konkrétn´ıho ˇreˇsen´ı Helmholtzovy rovnice je tˇreba zavést hraniˇcn´ı a okrajové podm´ınky. V dalˇs´ım vyuˇzijeme podm´ınku Dirichletovu, která na hranici nebo jej´ı cˇ a´ sti pˇredepisuje hledané funkci pˇr´ımo konkrétn´ı hodnotu. Druhým základn´ım typem okrajové podm´ınky je podm´ınka Neumannova typu, kdy je na hranici pˇredepsána hodnota derivace neznámé funkce. Podm´ınku Neumannova typu nevyuˇzijeme. Kombinac´ı obou podm´ınek vzniká okrajová podm´ınka sm´ısˇená, která pˇredepisuje pouze vztah mezi funkc´ı a jej´ı derivac´ı na hranici, aniˇz by kteroukoliv z tˇechto hodnot stanovila pˇr´ımo. My vyuˇzijeme konkrétnˇe sm´ısˇenou podm´ınku Robinova typu, která zaruˇcuje propustnost hranice pro vlnˇen´ı postupuj´ıc´ı smˇerem ven ze zkoumaného objemu. V hraniˇcn´ıch uzlech opatˇrených Dirichletovou podm´ınkou vlastnˇe hodnotu hledané funkce známe a tak se tyto uzly pˇrevedou na pravou stranu rovnice, kde se pˇridaj´ı k cˇ´ısl˚um bi . Pro vyˇreˇsen´ı této soustavy vzhledem k neznámým hodnotám vnitˇrn´ıch uzl˚u s´ıtˇe je nutné znát koeficienty matice Kij . Je vˇsak dokázáno, zˇ e prvky matice Kij jsou po volbˇe konkrétn´ıho diferenciáln´ıho operátoru zkoumané rovnic dány pouze geometri´ı s´ıtˇe, která je jiˇz vygenerována nezávisle. Program Matlab spoˇc´ıtá koeficienty matice z tzv. momentových integrál˚u, ve kterých vystupuj´ı pouze souˇradnice vrchol˚u s´ıtˇe. Tyto souˇradnice uzl˚u byly vygenerovány programem Gmsh. Skript programu pro ˇreˇsen´ı soustavy pracuje následovnˇe: 1) Nejprve poˇc´ıtá momentové integrály, kde pouˇz´ıvá souˇradnice uzl˚u. 2) Potom poˇc´ıtá prvky matice Kij . 3) Zahrne okrajové podm´ınky. 4) Vyˇreˇs´ı soustavu rovnic a vygeneruje výsledné hodnoty v uzlech s´ıtˇe. 22

´ Í VYZA ROVAC ˇ Í CHARAKTERISTIKY 6. M ODELOV AN

6.3 Modelován´ı bl´ızkého pole ultrazvukového mˇeniˇce Pˇri modelován´ı byla pouˇzita geometrie mˇeniˇce v souladu s obrázkem 6.1, vytvoˇrená v programu Autodesk Inventor a importována do programu Gmsh, kde byla dotvoˇrena elipsovitá obálka uzav´ıraj´ıc´ı zkoumaný objem. Zdrojový kód této geometrie je uveden v pˇr´ıloze. Jedná se konkrétnˇe o mˇeniˇc typu TAS, jehoˇz popis byl dodán z Nˇemecka. Vyzaˇrovac´ı charakteristika byla modelována pro frekvenci 1MHz, coˇz odpov´ıdá vlnové délce pˇri sˇ´ıˇren´ı ve vodˇe 1,5 mm. Obvykle se modeluje s´ıt’ s sˇesti elementy na jednu vlnovou délku. Charakteristická délka s´ıtˇe se tedy pro namodelován´ı nastavila na jednu sˇestinu vlnové délky, coˇz je 0.24 mm.

Obrázek 6.1: Geometrie mˇeniˇce pouˇz´ıvaná pro modelován´ı vyzaˇrovac´ı charakteristiky

Jak jiˇz bylo uvedeno, pro modelován´ı vyzaˇrovac´ı charakteristiky mˇeniˇce byl pouˇzit program Matlab, který ˇreˇs´ı diferenciáln´ı rovnici pro sˇ´ıˇren´ı vlnˇen´ı na základˇe metody koneˇcných prvk˚u. Aby program mohl rozloˇzen´ı akustického pole spoˇc´ıtat, musely se mu zadat souˇradnice uzl˚u s´ıtˇe a okrajové podm´ınky. Souˇradnice uzl˚u byly z´ıskány jako výstup programu Gmsh jiˇz popsaným zp˚usobem (konec kapitoly 5) Okrajové podm´ınky urˇcuj´ı vlastnosti modelu a zároveˇn tvoˇr´ı podm´ınky pro rˇeˇsen´ı soustavy lineárn´ıch rovnic, jiˇz Matlab poˇc´ıtá. Na model mˇeniˇce byly aplikovány 2 druhy okrajových podm´ınek. Na povrch mˇeniˇce byla zadefinována tzv. Dirichletova podm´ınka, která mˇela dvˇe formy: na centráln´ım cˇ tvereˇcku centráln´ıho cˇ tverce byla zadefinována jednotková velikost hledané výchylky akustického pole. V souladu s pr˚uvodn´ı dokumentac´ı mˇeniˇce je t´ımto zp˚usobem mˇeniˇc aktivován. Na ostatn´ıch cˇ a´ stech mˇeniˇce byla rovnˇezˇ pouˇzita Dirichletova podm´ınka, tentokrát s nulovou hodnotou. Fyzikálnˇe tato podminka pˇredstavuje povrch, od kterého se vˇsechno vlnˇen´ı totálnˇe odrázˇ´ı. Pro obálku obklopuj´ıc´ı mˇeniˇc byla pouˇzita Robinova podm´ınka, umoˇznˇ uj´ıc´ı ultrazvukovému poli opustit modelovaný objem. Po zadán´ı tˇechto parametr˚u byl spuˇstˇen výpoˇcet. Výstupem procedury, která hlavnˇe spoˇc´ıvala v poˇc´ıtán´ı vyprodukované soustavy lineárn´ıch rovnic, jsou funkˇcn´ı hodnoty 23

´ Í VYZA ROVAC ˇ Í CHARAKTERISTIKY 6. M ODELOV AN v uzlech s´ıtˇe. Tyto hodnoty pˇredstavuj´ı velikost intenzity ultrazvukového vlnˇen´ı v daném bodˇe prostoru a vytváˇr´ı tak model vyzaˇrovac´ı charakteristiky. Výsledek spoˇc´ıtané charakteristiky akustického pole mˇeniˇce je reprezentován 3D grafem, který byl seˇrezán v rovinách r˚uznˇe vzdálených od tˇela piezokrystalu. Na obrázc´ıch jsou ukázané rovinné ˇrezy namodelovaného akustického pole. Kaˇzdý ˇrez ukazuje závislost intenzity ultrazvuku na prostorových souˇradnic´ıch. Intenzita je v grafu udávána v násobc´ıch buzen´ı mˇeniˇce (jej´ı cˇ tverec je u´ mˇerný intenzitˇe v jednotkách W/m2 ) a prostorové souˇradnice maj´ı jednotku 1 mm. Generován´ı s´ıtˇe a hlavn´ı cˇ a´ st výpoˇctu byly provádˇeny ve vˇsech pˇr´ıpadech na notebooku DELL Studio 1730 s dvoujádrovým procesorem 2×2, 4 GHz a 3 GB pamˇeti. Poˇcet rovnic soustav, které jsme byli schopni vyˇreˇsit (potaˇzmo poˇcet vytvoˇrených uzl˚u s´ıtˇe, pokud zanedbáme pˇresuny uzl˚u s Robinovou podm´ınkou) kol´ısal m´ırnˇe podle sloˇzitosti modelu kolem hodnoty 50 000. Model vyzaˇrovac´ı charakteristiky mˇeniˇce TAS je uveden na následuj´ıc´ıch obrázc´ıch 6.2 aˇz 6.6

Obrázek 6.2: Vyzaˇrovac´ı charakteristika TASu v rovinˇe vzdálené 0,5 mm od tˇela mˇeniˇce. V této malé vzdálenosti od bud´ıc´ı ploˇsky je pole minimálnˇe ovlivnˇeno okoln´ım tˇelem mˇeniˇce.

24


Obrázek 6.3: Vyzaˇrovac´ı charakteristika TASu v rovinˇe vzdálené 1 mm od tˇela mˇeniˇce. S nar˚ustaj´ıc´ı vzdálenost´ı od mˇeniˇce se v rámci vyzaˇrovac´ı charakteristiky zaˇc´ıná zvedat podklad zp˚usobený interferenc´ı na struktuˇre mˇeniˇce.

Obrázek 6.4: Vyzaˇrovac´ı charakteristika TASu v rovinˇe vzdálené 3 mm od tˇela mˇeniˇce. V této vzdálenosti je jiˇz pˇr´ıspˇevek interferenc´ı od tˇela mˇeniˇce podstatný – t´ımto zp˚usobem vzniká sloˇzitý pr˚ubˇeh bl´ızkého pole.

25


Obrázek 6.5: Vyzaˇrovac´ı charakteristika TASu v rovinˇe vzdálené 0,2 mm od základny mˇeniˇce. Tato rovina ˇrezu se nacház´ı v u´ rovni kostek, vyˇrezaných na mˇeniˇci. V souladu se s´ıt´ı, která uvnitˇr tˇela mˇeniˇc nebyla generována vykazuje simulované ultrazvukové pole uvnitˇr mˇeniˇce nulové hodnoty. Patrná je struktura záˇrez˚u mezi jednotlivými kostkami mˇeniˇce, kam ultrazvukové pole proniká.

Obrázek 6.6: Vyzaˇrovac´ı charakteristika TASu v rovinˇe vzdálené 0,1 mm pod základnou mˇeniˇce. Vid´ıme, zˇ e do této roviny nemá ultrazvukové pole sˇanci proniknout jinak, neˇz kolem tˇela mˇeniˇce. Tomu odpov´ıdá pr˚ubˇeh intenzity navýsˇený v bodech, které jsou bl´ızˇ e aktivn´ı cˇ a´ sti mˇeniˇce (hrany mˇeniˇce oproti jeho roh˚um).

26

Kapitola 7

Experimentáln´ı mˇerˇ en´ı vyzaˇrovac´ı charakteristiky Experimentáln´ı mˇeˇren´ı probˇehlo na u´ stavu biomedic´ınského inˇzenýrstv´ı, fakulty elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı Vysokého uˇcen´ı technického v Brnˇe. C´ılem bylo zmˇeˇrit bl´ızké a vzdálené akustické pole vytváˇrené ultrazvukovým piezoelektrickým mˇeniˇcem.

7.1 Popis mˇerˇ en´ı akustického pole Základem mˇerˇ´ıc´ı aparatury byla ultrazvuková vana s vibraˇcnˇe izolovanými stˇenami naplnˇená vodou, v n´ızˇ se zaznamenávalo akustické pole. Rozmˇery vany byly 64 × 34 × 40cm. Jako zdroj akustických pulz˚u slouˇzila v naˇsem pˇr´ıpadˇe ultrazvuková fokusovaná sonda typu FPA s vyzaˇrovac´ı plochou o velikosti 22 × 12 mm. Nejvˇetˇs´ı tlak na této ploˇse byl generován uvnitˇr oblasti 5 mm od rohu delˇs´ı hrany a 2 mm od rohu hrany kratˇs´ı. Pˇred mˇeˇren´ım se fokusace sondy nastavila na 25 cm a vlnová frekvence na na hodnotu 1,7 MHz. Zámˇerným nastaven´ım fokusace na vzdálenost 25 cm fakticky doˇslo k potlaˇcen´ı fokusaˇcn´ıho chován´ı a sonda se chovala jako ploˇsný zdroj vlnˇen´ı. Tento zdroj byl pˇri mˇeˇren´ı ponoˇren ve vodˇe 3,5 cm pod hladinou. Dalˇs´ı souˇca´ st´ı mˇeˇr´ıc´ıho zaˇr´ızen´ı slouˇz´ıc´ı k detekci ultrazvukových pulz˚u byl jehlový hydrofón typu MH 28-5 od firmy FORCE, napojený na posuvný systém ovládaný poˇc´ıtaˇcem. Hydrofón, um´ıstˇený v ultrazvukové vanˇe vˇzdy v urˇcité vzdálenosti od sondy, zaznamenával výchylky akustického tlaku ve vodˇe. Detektor byl pˇripojený pˇres zesilovaˇc a osciloskop, kde docházelo k modifikaci signálu, k poˇc´ıtaˇci. Program, vytvoˇrený speciálnˇe pro tento druh mˇeˇren´ı týmem UBMI, vˇzdy zaznamenával nejvˇetˇs´ı tlakovou výchylku detekovanou hydrofónem v závislosti na jeho um´ıstˇen´ı. Na obrázku 7.1 je vidˇet cˇ a´ st mˇeˇr´ıc´ı aparatury. Shora uvedeným zp˚usobem byla zmˇeˇrena závislost velikosti výchylky akustického tlaku na poloze detektoru vzhledem ke zdroji. Mˇeˇren´ı prob´ıhalo po geometrickém nastaven´ı celého systému v ose sondy, kde by mˇel zdroj vyzaˇrovat s nejvˇetˇs´ı intenzitou. Akustické pole se zaznamenávalo v rozmez´ı od jednoho do patnácti centimetr˚u od sondy. Namˇeˇrenou závislost je ukazuje obrázek 7.2. V grafu lze rozliˇsit bl´ızké a vzdálené akustické pole. Pr˚ubˇeh kˇrivky naznaˇcuje v bl´ızkosti sondy oscilace velikost´ı akustického tlaku. Tento jevy je zp˚usobem interferenc´ı, a jsou pro pro bl´ızké pole typické. V pravé cˇ a´ sti grafu, pˇredstavuj´ıc´ı pole vzdálené, je kˇrivka ustálená a postupnˇe klesá. Podle vztahu (6.2) by pro vzdálené pole mˇeniˇce s lineárn´ım rozmˇerem 22 mm mˇela platit hranice pˇribliˇznˇe zh = 80 mm. Tento u´ daj je plnˇe v souladu s experimentálnˇe zjiˇstˇenou závislost´ı. 27

´ Í M Eˇ REN ˇ Í VYZA ROVAC ˇ Í CHARAKTERISTIKY 7. E XPERIMENT ALN

Obrázek 7.1: Ultrazvuková vana se sondou vytváˇrej´ıc´ı ultrazvuk (vpravo) a jehlovým hydrofónem na posuvném rameni (vlevo)

Obrázek 7.2: Závislost velikosti akustické výchylky tlaku na jej´ı vzdálenosti od ultrazvukové sondy. Od vzdálenosti 8 cm od mˇeniˇce pozorujeme vzdálené pole ultrazvuku.

7.2 Model vyzaˇrovac´ı charakteristiky ultrazvukové sondy Jak se ukázalo, jsou v souˇcasné dobˇe intenzity buzené mˇeniˇci TAS pˇr´ıliˇs n´ızké pro zachycen´ı hydrofónem – i pˇri pouˇzit´ı zesilovaˇcu˚ z˚ustávaj´ı signály na u´ rovni elektronického sˇumu. Z tohoto d˚uvodu bylo rozhodnuto pro praktické mˇeˇren´ı vyuˇz´ıt sondu medic´ınského ultrazvuku System5 a vyhotovit pro ni také druhý model v programu gmsh. Konkrétn´ı zvolená geometrie modelu piezodesky je na obrázku 7.3. Modelován´ı akustického pole sondy je prostorovˇe limitováno vlnovou délkou pouˇzitého ultrazvuku a odpov´ıdaj´ıc´ı charakteristickou délkou s´ıtˇe: pˇri zvˇetˇsován´ı zkoumaného objemu poˇcet uzl˚u s´ıtˇe prudce nar˚ustá. Pro nastavenou frekvenci 1,7 MHz má ultrazvuk vlnovou délku 0,87 mm a jelikoˇz pro urˇcitou pˇresnost poˇzadujeme, aby na jednu vlnovou délku pˇripadlo 6 element˚u s´ıtˇe, charakteristická délka by mˇela být nastavena na pˇribliˇznˇe 0,15 mm. V tabulce 7.1 jsou uvedeny charakteristické délky a j´ım odpov´ıdaj´ıc´ı poˇcty uzl˚u 28


Obrázek 7.3: Geometrie kmitaj´ıc´ı desky sondy pˇripraven´ı v programu Gmsh

s´ıt´ı vygenerovaných pro shora vyobrazenou geometrii sondy. Je zde vidˇet exponenciáln´ı nár˚ust poˇctu uzl˚u se zkracuj´ıc´ı se délkou elementu s´ıtˇe, coˇz dokládá i graf na obrázku 7.4.

Tabulka 7.1: Závislost poˇctu vygenerovaných uzl˚u na charakteristické délce s´ıtˇe. Jsou zde uvedené i pˇr´ısluˇsné doby trván´ı generován´ı s´ıtˇe a jej´ı optimalizace. Optimalizaci s´ıtˇe nejkratˇs´ı uvedenou charakteristickou délkou nebyla dokonˇcena z d˚uvodu nedostatku poˇc´ıtaˇcové pamˇeti.

Vzhledem k velkému poˇctu vygenerovaných uzl˚u pˇri malé charakteristické délce bylo rozhodnuto zvýsˇit charakteristickou délku na 0,22 mm a simulovaný objem pak zasahoval do vzdálenosti 3 mm od stˇredu buzené piezodesky. Tento u´ daj dokresluje vysokou výpoˇcetn´ı nároˇcnost (zda zp˚usobenou velkou plochou buzené oblasti - v ˇra´ du deseti vlnových délek v jednom rozmˇeru) a zároveˇn praktické obt´ızˇ e, se kterými se lze pˇri ovˇeˇrován´ı model˚u setkat: charakteristiku ultrazvukového pole jsme mˇeˇrili aˇz od jednoho centimetru vzdálenosti od mˇeniˇce, aby nedoˇslo aby nedoˇslo k poˇskozen´ı hydrofónu. Model vyzaˇrovac´ı charakteristiky sondy byl zhotoven stejným zp˚usobem jako v pˇredchoz´ı 29


Obrázek 7.4: Graf závislost poˇctu uzl˚u vygenerované s´ıtˇe na charakteristické délce elementu.

kapitole u mˇeniˇce TAS. Zhotovený 3D model vyzaˇrovac´ı charakteristiky je reprezentován na obrázc´ıch 7.5 aˇz 7.8 jednotlivými ˇrezy, r˚uznˇe vzdálenými od zdroje (piezodesky), kde je pomoc´ı barevné sˇkály zobrazeno rozloˇzen´ı intenzity v prostoru akustického pole obdobnˇe jako na obrázc´ıch pˇredchoz´ı kapitoly a prostorové souˇradnice jsou udávány znovu v milimetrech.

Obrázek 7.5: Rozloˇzen´ı intenzity pole v rovinˇe vzdálené 0,2 mm od piezodesky. Rovina ˇrezu procház´ı piezodeskou, ve které se správnˇe ultrazvuková pole neˇs´ıˇr´ı.

30


Obrázek 7.6: Rozloˇzen´ı intenzity pole v rovinˇe vzdálené 0,5 mm od piezodesky. Rovina ˇrezu leˇz´ı tˇesnˇe nad aktivn´ı horn´ı stˇenou sondy - ultrazvukové pole je tvoˇreno prakticky ideáln´ı vlnoplochou.

Obrázek 7.7: Rozloˇzen´ı intenzity pole v rovinˇe vzdálené 1 mm od piezodesky. S nar˚ustaj´ıc´ı vzdálenost´ı od piezodesky se dostáváme do oblasti bl´ızkého pole – pozorujeme interferenˇcn´ı artefakty.

31


Obrázek 7.8: Rozloˇzen´ı intenzity pole v rovinˇe vzdálené 2 mm od piezodesky. V této vzdálenosti od sondy se jiˇz zaˇc´ıná projevovat elipsoidáln´ı tvar zkoumaného objemu – oˇrez tvaru sondy je zp˚usoben nepˇr´ıtomnost´ı uzl˚u vnˇe diamantovˇe tvarované oblasti.

32

Kapitola 8

Závˇer C´ılem bakalárˇské práce bylo modelován´ı vyzaˇrovac´ı charakteristiky ultrazvukového mˇeniˇce s moˇznost´ı jej´ıho vyuˇzit´ı v budoucnosti pro konkrétn´ı potˇreby ultrazvukové tomoˇ ıˇren´ı vln bylo popsáno v rámci mechaniky kontinua prostˇrednictv´ım spoleˇcných grafie. S´ fyzikáln´ıch rovnic. Vzhledem ke sloˇzitosti geometrie ultrazvukového mˇeniˇce byla tato geometrie modelována numericky v programu Autodesk Inventor. Následnˇe byla zpracována programem Gmsh poskytovaném pod GPL licenc´ı; tˇezˇ iˇstˇe práce programu leˇz´ı v generován´ı 3D s´ıtˇe na zvolené oblasti. Diskretizovaná Helmholtzova rovnice byla ˇreˇsena v oblasti polokoule, v jej´ızˇ stˇredu se nalézal studovaný mˇeniˇc. Na mˇeniˇc byla aplikována Dirichletova a na povrch koule Robinova okrajová podm´ınka. Vlastn´ı výpoˇcet probˇehl pomoc´ı procedur proR gramového prostˇred´ı MatLab . Výstupem je diskrétn´ı poˇcet hodnot tlaku v jednotlivých uzlech s´ıtˇe. Byl také proveden výzkum namˇeˇreného akustického pole v okol´ı reálného ultrazvukového zdroje. Celkem byly vyvinuty a nasimulovány dva modely: jeden pro mˇeniˇc TAS ultrazvukového tomografu, a druhý pro sondu medic´ınského ultrazvuku System5. Výsledné modely pˇr´ısluˇsných zdroj˚u jsou uvedeny na obrázc´ıch v kapitole 6 a 7.

33

Literatura ˇ anik M.: Mechamika ve fyzice, Akademia, Praha, 2001. [1] Horský J.,Novotný J.,Stef´ [2] http://www.see.ed.ac.uk/˜john/teaching/fluidmechanics/ 2003-2004/visco/index.html. [3] Kvasnica J., Havránek A., Lukácˇ P., Spruˇsil B.: Mechanika, Akademia, 2.vydán´ı, Praha 2004, 256–258. [4] Halliday D., Resnick R., Walker J.: Fyzika. VUT Brno: nakladatelstv´ı VUTIUM, 2000, kapitola 18. [5] Angelson B.A.J.:Ultrasound Imaging, Volume I, Emantec 2000. [6] http://www.geuz.org/gmsh/ [7] http://acs.feld.cvut.cz/old/uak/ulohy/uloha3-ult.pdf.

34

Kapitola 9

Pˇr´ılohy 9.1

Mˇeniˇc (TAS) pro ultrazvukovou tomografii

Obrázek 9.1: Ultrazvukový mˇeniˇc pro tomografii

9.2

Zdrojový kód geometrie TASu

Na následuj´ıc´ı stranu byl pˇriloˇzen zdrojový kód geometrie cˇ a´ sti TASu ve zhuˇstené podobˇe. Tato geometrie byla pouˇzita pro modelován´ı vyzaˇrovac´ı charakteristiky.

35

Zdrojový kód geometrie TASu pro modelování vyzařovací charakteristiky

Point(1) = {2.39691415989748, 8.587137564204101, 0, 1}; Point(2) = {8.19691415989748, 8.587137564204131, 0, 1}; Point(3) = {8.196914159897499, 2.78713756420413, 0, 1}; Point(4) = {2.3969141598975, 2.7871375642041, 0, 1}; Point(5) = {2.79691415989749, 3.18713756420412, 0, 1}; Point(6) = {2.79691415989749, 3.58713756420412, 0, 1}; Point(7) = {3.19691415989749, 3.18713756420412, 0, 1}; Point(8) = {3.19691415989749, 3.58713756420412, 0, 1}; Point(9) = {3.29691415989749, 3.18713756420412, 0, 1}; Point(10) = {3.29691415989749, 3.58713756420412, 0, 1}; Point(11) = {3.69691415989749, 3.18713756420412, 0, 1}; Point(12) = {3.69691415989749, 3.58713756420412, 0, 1}; Point(13) = {3.79691415989749, 3.18713756420412, 0, 1}; Point(14) = {3.79691415989749, 3.58713756420412, 0, 1}; Point(15) = {4.19691415989749, 3.18713756420412, 0, 1}; Point(16) = {4.19691415989749, 3.58713756420412, 0, 1}; Point(17) = {2.79691415989749, 3.68713756420412, 0, 1}; Point(18) = {2.79691415989749, 4.08713756420412, 0, 1}; Point(19) = {3.19691415989749, 3.68713756420412, 0, 1}; Point(20) = {3.19691415989749, 4.08713756420412, 0, 1}; Point(21) = {3.29691415989749, 3.68713756420412, 0, 1}; Point(22) = {3.29691415989749, 4.08713756420412, 0, 1};

Point(23) = {3.69691415989749, 3.68713756420412, 0, 1}; Point(24) = {3.69691415989749, 4.08713756420412, 0, 1}; Point(25) = {3.79691415989749, 3.68713756420412, 0, 1}; Point(26) = {3.79691415989749, 4.08713756420412, 0, 1}; Point(27) = {4.19691415989749, 3.68713756420412, 0, 1}; Point(28) = {4.19691415989749, 4.08713756420412, 0, 1}; Point(29) = {2.79691415989749, 4.18713756420412, 0, 1}; Point(30) = {2.79691415989749, 4.58713756420412, 0, 1}; Point(31) = {3.19691415989749, 4.18713756420412, 0, 1}; Point(32) = {3.19691415989749, 4.58713756420412, 0, 1}; Point(33) = {3.29691415989749, 4.18713756420412, 0, 1}; Point(34) = {3.29691415989749, 4.58713756420412, 0, 1}; Point(35) = {3.69691415989749, 4.18713756420412, 0, 1}; Point(36) = {3.69691415989749, 4.58713756420412, 0, 1}; Point(37) = {3.79691415989749, 4.18713756420412, 0, 1}; Point(38) = {3.79691415989749, 4.58713756420412, 0, 1}; Point(39) = {4.19691415989749, 4.18713756420412, 0, 1}; Point(40) = {4.19691415989749, 4.58713756420412, 0, 1}; Point(41) = {4.59691415989749, 3.18713756420412, 0, 1}; Point(42) = {4.59691415989749, 3.58713756420412, 0, 1}; Point(43) = {4.99691415989749, 3.18713756420412, 0, 1}; Point(44) = {4.99691415989749, 3.58713756420412, 0, 1}; Point(45) = {5.09691415989749,

3.18713756420412, 0, 1}; Point(46) = {5.09691415989749, 3.58713756420412, 0, 1}; Point(47) = {5.49691415989749, 3.18713756420412, 0, 1}; Point(48) = {5.49691415989749, 3.58713756420412, 0, 1}; Point(49) = {5.59691415989749, 3.18713756420412, 0, 1}; Point(50) = {5.59691415989749, 3.58713756420412, 0, 1}; Point(51) = {5.99691415989749, 3.18713756420412, 0, 1}; Point(52) = {5.99691415989749, 3.58713756420412, 0, 1}; Point(53) = {4.59691415989749, 3.68713756420412, 0, 1}; Point(54) = {4.59691415989749, 4.08713756420412, 0, 1}; Point(55) = {4.99691415989749, 3.68713756420412, 0, 1}; Point(56) = {4.99691415989749, 4.08713756420412, 0, 1}; Point(57) = {5.09691415989749, 3.68713756420412, 0, 1}; Point(58) = {5.09691415989749, 4.08713756420412, 0, 1}; Point(59) = {5.49691415989749, 3.68713756420412, 0, 1}; Point(60) = {5.49691415989749, 4.08713756420412, 0, 1}; Point(61) = {5.59691415989749, 3.68713756420412, 0, 1}; Point(62) = {5.59691415989749, 4.08713756420412, 0, 1}; Point(63) = {5.99691415989749, 3.68713756420412, 0, 1}; Point(64) = {5.99691415989749, 4.08713756420412, 0, 1}; Point(65) = {4.59691415989749, 4.18713756420412, 0, 1}; Point(66) = {4.59691415989749, 4.58713756420412, 0, 1}; Point(67) = {4.99691415989749, 4.18713756420412, 0, 1}; Point(68) = {-

4.99691415989749, 4.58713756420412, 0, 1}; Point(69) = {-5.09691415989749, 4.18713756420412, 0, 1}; Point(70) = {-5.09691415989749, 4.58713756420412, 0, 1}; Point(71) = {-5.49691415989749, 4.18713756420412, 0, 1}; Point(72) = {-5.49691415989749, 4.58713756420412, 0, 1}; Point(73) = {-5.59691415989749, 4.18713756420412, 0, 1}; Point(74) = {-5.59691415989749, 4.58713756420412, 0, 1}; Point(75) = {-5.99691415989749, 4.18713756420412, 0, 1}; Point(76) = {-5.99691415989749, 4.58713756420412, 0, 1}; Point(77) = {-6.39691415989749, 3.18713756420412, 0, 1}; Point(78) = {-6.39691415989749, 3.58713756420412, 0, 1}; Point(79) = {-6.79691415989749, 3.18713756420412, 0, 1}; Point(80) = {-6.79691415989749, 3.58713756420412, 0, 1}; Point(81) = {-6.89691415989749, 3.18713756420412, 0, 1}; Point(82) = {-6.89691415989749, 3.58713756420412, 0, 1}; Point(83) = {-7.29691415989749, 3.18713756420412, 0, 1}; Point(84) = {-7.29691415989749, 3.58713756420412, 0, 1}; Point(85) = {-7.39691415989749, 3.18713756420412, 0, 1}; Point(86) = {-7.39691415989749, 3.58713756420412, 0, 1}; Point(87) = {-7.79691415989749, 3.18713756420412, 0, 1}; Point(88) = {-7.79691415989749, 3.58713756420412, 0, 1}; Point(89) = {-6.39691415989749, 3.68713756420412, 0, 1}; Point(90) = {-6.39691415989749, 4.08713756420412, 0, 1}; Point(91) = {-6.79691415989749, 3.68713756420412, 0, 1}; Point(92) = {-6.79691415989749, 4.08713756420412, 0, 1}; Point(93) = {-6.89691415989749, 3.68713756420412, 0, 1}; Point(94) = {-6.89691415989749, 4.08713756420412, 0, 1}; Point(95) = {-7.29691415989749, 3.68713756420412, 0, 1}; Point(96) = {-7.29691415989749, 4.08713756420412, 0, 1}; Point(97) = {-7.39691415989749, 3.68713756420412, 0, 1}; Point(98) = {-7.39691415989749, 4.08713756420412, 0, 1}; Point(99) = {-7.79691415989749, 3.68713756420412, 0, 1}; Point(100) = {-7.79691415989749, 4.08713756420412, 0, 1}; Point(101) = {-6.39691415989749, 4.18713756420412, 0, 1}; Point(102) = {-6.39691415989749, 4.58713756420412, 0, 1};

Point(103) = {6.79691415989749, 4.18713756420412, 0, 1}; Point(104) = {6.79691415989749, 4.58713756420412, 0, 1}; Point(105) = {6.89691415989749, 4.18713756420412, 0, 1}; Point(106) = {6.89691415989749, 4.58713756420412, 0, 1}; Point(107) = {7.29691415989749, 4.18713756420412, 0, 1}; Point(108) = {7.29691415989749, 4.58713756420412, 0, 1}; Point(109) = {7.39691415989749, 4.18713756420412, 0, 1}; Point(110) = {7.39691415989749, 4.58713756420412, 0, 1}; Point(111) = {7.79691415989749, 4.18713756420412, 0, 1}; Point(112) = {7.79691415989749, 4.58713756420412, 0, 1}; Point(113) = {2.79691415989749, 4.98713756420412, 0, 1}; Point(114) = {2.79691415989749, 5.38713756420412, 0, 1}; Point(115) = {3.19691415989749, 4.98713756420412, 0, 1}; Point(116) = {3.19691415989749, 5.38713756420412, 0, 1}; Point(117) = {3.29691415989749, 4.98713756420412, 0, 1}; Point(118) = {3.29691415989749, 5.38713756420412, 0, 1}; Point(119) = {3.69691415989749, 4.98713756420412, 0, 1}; Point(120) = {3.69691415989749, 5.38713756420412, 0, 1}; Point(121) = {3.79691415989749, 4.98713756420412, 0, 1}; Point(122) = {3.79691415989749, 5.38713756420412, 0, 1}; Point(123) = {4.19691415989749, 4.98713756420412, 0, 1}; Point(124) = {4.19691415989749, 5.38713756420412, 0, 1}; Point(125) = {2.79691415989749, 5.48713756420412, 0, 1}; Point(126) = {2.79691415989749, 5.88713756420412, 0, 1}; Point(127) = {3.19691415989749, 5.48713756420412, 0, 1};



Point(178) = {-5.09691415989749, 6.38713756420412, 0, 1}; Point(179) = {-5.49691415989749, 5.98713756420412, 0, 1}; Point(180) = {-5.49691415989749, 6.38713756420412, 0, 1}; Point(181) = {-5.59691415989749, 5.98713756420412, 0, 1}; Point(182) = {-5.59691415989749, 6.38713756420412, 0, 1}; Point(183) = {-5.99691415989749, 5.98713756420412, 0, 1}; Point(184) = {-5.99691415989749, 6.38713756420412, 0, 1}; Point(185) = {-6.39691415989749, 4.98713756420412, 0, 1}; Point(186) = {-6.39691415989749, 5.38713756420412, 0, 1}; Point(187) = {-6.79691415989749, 4.98713756420412, 0, 1}; Point(188) = {-6.79691415989749, 5.38713756420412, 0, 1}; Point(189) = {-6.89691415989749, 4.98713756420412, 0, 1}; Point(190) = {-6.89691415989749, 5.38713756420412, 0, 1}; Point(191) = {-7.29691415989749, 4.98713756420412, 0, 1}; Point(192) = {-7.29691415989749, 5.38713756420412, 0, 1}; Point(193) = {-7.39691415989749, 4.98713756420412, 0, 1}; Point(194) = {-7.39691415989749, 5.38713756420412, 0, 1}; Point(195) = {-7.79691415989749, 4.98713756420412, 0, 1}; Point(196) = {-7.79691415989749, 5.38713756420412, 0, 1}; Point(197) = {-6.39691415989749, 5.48713756420412, 0, 1}; Point(198) = {-6.39691415989749, 5.88713756420412, 0, 1}; Point(199) = {-6.79691415989749, 5.48713756420412, 0, 1}; Point(200) = {-6.79691415989749, 5.88713756420412, 0, 1}; Point(201) = {-6.89691415989749, 5.48713756420412, 0, 1}; Point(202) = {-6.89691415989749, 5.88713756420412, 0, 1}; Point(203) = {-7.29691415989749, 5.48713756420412, 0, 1}; Point(204) = {-7.29691415989749, 5.88713756420412, 0, 1}; Point(205) = {-7.39691415989749, 5.48713756420412, 0, 1}; Point(206) = {-7.39691415989749, 5.88713756420412, 0, 1}; Point(207) = {-7.79691415989749, 5.48713756420412, 0, 1}; Point(208) = {-7.79691415989749, 5.88713756420412, 0, 1}; Point(209) = {-6.39691415989749, 5.98713756420412, 0, 1}; Point(210) = {-6.39691415989749, 6.38713756420412, 0, 1}; Point(211) = {-6.79691415989749, 5.98713756420412, 0, 1}; Point(212) = {-6.79691415989749, 6.38713756420412, 0, 1}; Point(213) = {-6.89691415989749, 5.98713756420412, 0, 1}; Point(214) = {-6.89691415989749, 6.38713756420412, 0, 1}; Point(215) = {-7.29691415989749, 5.98713756420412, 0, 1};




Point(291) = {-5.99691415989749, 7.78713756420412, 0, 1}; Point(292) = {-5.99691415989749, 8.18713756420412, 0, 1}; Point(293) = {-6.39691415989749, 6.78713756420412, 0, 1}; Point(294) = {-6.39691415989749, 7.18713756420412, 0, 1}; Point(295) = {-6.79691415989749, 6.78713756420412, 0, 1}; Point(296) = {-6.79691415989749, 7.18713756420412, 0, 1}; Point(297) = {-6.89691415989749, 6.78713756420412, 0, 1}; Point(298) = {-6.89691415989749, 7.18713756420412, 0, 1}; Point(299) = {-7.29691415989749, 6.78713756420412, 0, 1}; Point(300) = {-7.29691415989749, 7.18713756420412, 0, 1}; Point(301) = {-7.39691415989749, 6.78713756420412, 0, 1}; Point(302) = {-7.39691415989749, 7.18713756420412, 0, 1}; Point(303) = {-7.79691415989749, 6.78713756420412, 0, 1}; Point(304) = {-7.79691415989749, 7.18713756420412, 0, 1}; Point(305) = {-6.39691415989749, 7.28713756420412, 0, 1}; Point(306) = {-6.39691415989749, 7.68713756420412, 0, 1}; Point(307) = {-6.79691415989749, 7.28713756420412, 0, 1}; Point(308) = {-6.79691415989749, 7.68713756420412, 0, 1}; Point(309) = {-6.89691415989749, 7.28713756420412, 0, 1}; Point(310) = {-6.89691415989749, 7.68713756420412, 0, 1}; Point(311) = {-7.29691415989749, 7.28713756420412, 0, 1}; Point(312) = {-7.29691415989749, 7.68713756420412, 0, 1}; Point(313) = {-7.39691415989749, 7.28713756420412, 0, 1}; Point(314) = {-7.39691415989749, 7.68713756420412, 0, 1}; Point(315) = {-7.79691415989749, 7.28713756420412, 0, 1}; Point(316) = {-7.79691415989749, 7.68713756420412, 0, 1}; Point(317) = {-6.39691415989749, 7.78713756420412, 0, 1}; Point(318) = {-6.39691415989749, 8.18713756420412, 0, 1}; Point(319) = {-6.79691415989749, 7.78713756420412, 0, 1}; Point(320) = {-6.79691415989749, 8.18713756420412, 0, 1}; Point(321) = {-6.89691415989749, 7.78713756420412, 0, 1}; Point(322) = {-6.89691415989749, 8.18713756420412, 0, 1}; Point(323) = {-7.29691415989749, 7.78713756420412, 0, 1}; Point(324) = {-7.29691415989749, 8.18713756420412, 0, 1}; Point(325) = {-7.39691415989749, 7.78713756420412, 0, 1}; Point(326) = {-7.39691415989749, 8.18713756420412, 0, 1}; Point(327) = {-7.79691415989749, 7.78713756420412, 0, 1}; Point(328) = {-7.79691415989749, 8.18713756420412, 0, 1};

Point(329) = {8.19691415989748, 8.587137564204131, -0.1, 1}; Point(330) = {8.196914159897499, 2.78713756420413, -0.1, 1}; Point(331) = {2.3969141598975, 2.7871375642041, -0.1, 1}; Point(332) = {2.39691415989748, 8.587137564204101, -0.1, 1}; Point(333) = {2.79691415989749, 3.58713756420412, 0.3, 1}; Point(334) = {2.79691415989749, 3.18713756420412, 0.3, 1}; Point(335) = {3.19691415989749, 3.18713756420412, 0.3, 1}; Point(336) = {3.19691415989749, 3.58713756420412, 0.3, 1}; Point(337) = {3.29691415989749, 3.58713756420412, 0.3, 1}; Point(338) = {3.29691415989749, 3.18713756420412, 0.3, 1}; Point(339) = {3.69691415989749, 3.18713756420412, 0.3, 1}; Point(340) = {3.69691415989749, 3.58713756420412, 0.3, 1}; Point(341) = {3.79691415989749, 3.58713756420412, 0.3, 1}; Point(342) = {3.79691415989749, 3.18713756420412, 0.3, 1}; Point(343) = {4.19691415989749, 3.18713756420412, 0.3, 1}; Point(344) = {4.19691415989749, 3.58713756420412, 0.3, 1}; Point(345) = {2.79691415989749, 4.08713756420412, 0.3, 1}; Point(346) = {2.79691415989749, 3.68713756420412, 0.3, 1}; Point(347) = {3.19691415989749, 3.68713756420412, 0.3, 1};

Point(348) = {3.19691415989749, 4.08713756420412, 0.3, 1}; Point(349) = {3.29691415989749, 4.08713756420412, 0.3, 1}; Point(350) = {3.29691415989749, 3.68713756420412, 0.3, 1}; Point(351) = {3.69691415989749, 3.68713756420412, 0.3, 1}; Point(352) = {3.69691415989749, 4.08713756420412, 0.3, 1}; Point(353) = {3.79691415989749, 4.08713756420412, 0.3, 1}; Point(354) = {3.79691415989749, 3.68713756420412, 0.3, 1}; Point(355) = {4.19691415989749, 3.68713756420412, 0.3, 1}; Point(356) = {4.19691415989749, 4.08713756420412, 0.3, 1}; Point(357) = {2.79691415989749, 4.58713756420412, 0.3, 1}; Point(358) = {2.79691415989749, 4.18713756420412, 0.3, 1}; Point(359) = {3.19691415989749, 4.18713756420412, 0.3, 1}; Point(360) = {3.19691415989749, 4.58713756420412, 0.3, 1}; Point(361) = {3.29691415989749, 4.58713756420412, 0.3, 1}; Point(362) = {3.29691415989749, 4.18713756420412, 0.3, 1}; Point(363) = {3.69691415989749, 4.18713756420412, 0.3, 1}; Point(364) = {3.69691415989749, 4.58713756420412, 0.3, 1}; Point(365) = {3.79691415989749, 4.58713756420412, 0.3, 1}; Point(366) = {3.79691415989749, 4.18713756420412, 0.3, 1}; Point(367) = {4.19691415989749, 4.18713756420412, 0.3, 1}; Point(368) = {4.19691415989749, 4.58713756420412, 0.3, 1}; Point(369) = {4.59691415989749, 3.58713756420412, 0.3, 1}; Point(370) = {4.59691415989749, 3.18713756420412, 0.3, 1}; Point(371) = {4.99691415989749, 3.18713756420412, 0.3, 1}; Point(372) = {4.99691415989749, 3.58713756420412, 0.3, 1};


Point(398) = {-5.09691415989749, 4.18713756420412, 0.3, 1}; Point(399) = {-5.49691415989749, 4.18713756420412, 0.3, 1}; Point(400) = {-5.49691415989749, 4.58713756420412, 0.3, 1}; Point(401) = {-5.59691415989749, 4.58713756420412, 0.3, 1}; Point(402) = {-5.59691415989749, 4.18713756420412, 0.3, 1}; Point(403) = {-5.99691415989749, 4.18713756420412, 0.3, 1}; Point(404) = {-5.99691415989749, 4.58713756420412, 0.3, 1}; Point(405) = {-6.39691415989749, 3.58713756420412, 0.3, 1}; Point(406) = {-6.39691415989749, 3.18713756420412, 0.3, 1}; Point(407) = {-6.79691415989749, 3.18713756420412, 0.3, 1}; Point(408) = {-6.79691415989749, 3.58713756420412, 0.3, 1}; Point(409) = {-6.89691415989749, 3.58713756420412, 0.3, 1}; Point(410) = {-6.89691415989749, 3.18713756420412, 0.3, 1}; Point(411) = {-7.29691415989749, 3.18713756420412, 0.3, 1}; Point(412) = {-7.29691415989749, 3.58713756420412, 0.3, 1}; Point(413) = {-7.39691415989749, 3.58713756420412, 0.3, 1}; Point(414) = {-7.39691415989749, 3.18713756420412, 0.3, 1}; Point(415) = {-7.79691415989749, 3.18713756420412, 0.3, 1}; Point(416) = {-7.79691415989749, 3.58713756420412, 0.3, 1}; Point(417) = {-6.39691415989749, 4.08713756420412, 0.3, 1}; Point(418) = {-6.39691415989749, 3.68713756420412, 0.3, 1}; Point(419) = {-6.79691415989749, 3.68713756420412, 0.3, 1}; Point(420) = {-6.79691415989749, 4.08713756420412, 0.3, 1}; Point(421) = {-6.89691415989749, 4.08713756420412, 0.3, 1}; Point(422) = {-6.89691415989749, 3.68713756420412, 0.3, 1}; Point(423) = {-7.29691415989749, 3.68713756420412, 0.3, 1}; Point(424) = {-7.29691415989749, 4.08713756420412, 0.3, 1}; Point(425) = {-7.39691415989749, 4.08713756420412, 0.3, 1}; Point(426) = {-7.39691415989749, 3.68713756420412, 0.3, 1}; Point(427) = {-7.79691415989749, 3.68713756420412, 0.3, 1}; Point(428) = {-7.79691415989749, 4.08713756420412, 0.3, 1}; Point(429) = {-6.39691415989749, 4.58713756420412, 0.3, 1}; Point(430) = {-6.39691415989749, 4.18713756420412, 0.3, 1}; Point(431) = {-6.79691415989749, 4.18713756420412, 0.3, 1}; Point(432) = {-6.79691415989749, 4.58713756420412, 0.3, 1}; Point(433) = {-6.89691415989749, 4.58713756420412, 0.3, 1}; Point(434) = {-6.89691415989749, 4.18713756420412, 0.3, 1}; Point(435) = {-7.29691415989749, 4.18713756420412, 0.3, 1};

Point(436) = {7.29691415989749, 4.58713756420412, 0.3, 1}; Point(437) = {7.39691415989749, 4.58713756420412, 0.3, 1}; Point(438) = {7.39691415989749, 4.18713756420412, 0.3, 1}; Point(439) = {7.79691415989749, 4.18713756420412, 0.3, 1}; Point(440) = {7.79691415989749, 4.58713756420412, 0.3, 1}; Point(441) = {2.79691415989749, 5.38713756420412, 0.3, 1}; Point(442) = {2.79691415989749, 4.98713756420412, 0.3, 1}; Point(443) = {3.19691415989749, 4.98713756420412, 0.3, 1}; Point(444) = {3.19691415989749, 5.38713756420412, 0.3, 1}; Point(445) = {3.29691415989749, 5.38713756420412, 0.3, 1}; Point(446) = {3.29691415989749, 4.98713756420412, 0.3, 1}; Point(447) = {3.69691415989749, 4.98713756420412, 0.3, 1}; Point(448) = {3.69691415989749, 5.38713756420412, 0.3, 1}; Point(449) = {3.79691415989749, 5.38713756420412, 0.3, 1}; Point(450) = {3.79691415989749, 4.98713756420412, 0.3, 1}; Point(451) = {4.19691415989749, 4.98713756420412, 0.3, 1}; Point(452) = {4.19691415989749, 5.38713756420412, 0.3, 1}; Point(453) = {2.79691415989749, 5.88713756420412, 0.3, 1}; Point(454) = {2.79691415989749, 5.48713756420412, 0.3, 1};









Point(669) = {7.29691415989749, 8.18713756420412, 0.3, 1}; Point(670) = {6.89691415989749, 8.18713756420412, 0.3, 1}; Point(671) = {6.89691415989749, 8.18713756420412, 0.3, 1}; Point(672) = {6.89691415989749, 7.78713756420412, 0.3, 1};

Line(1) = {1, 2}; Line(2) = {2, 3}; Line(3) = {3, 4}; Line(4) = {4, 1}; Line(5) = {5, 6}; Line(6) = {7, 5}; Line(7) = {8, 7}; Line(8) = {6, 8}; Line(9) = {9, 10}; Line(10) = {11, 9}; Line(11) = {12, 11}; Line(12) = {10, 12}; Line(13) = {13, 14}; Line(14) = {15, 13}; Line(15) = {16, 15}; Line(16) = {14, 16}; Line(17) = {17, 18}; Line(18) = {19, 17}; Line(19) = {20, 19}; Line(20) = {18, 20}; Line(21) = {21, 22}; Line(22) = {23, 21}; Line(23) = {24, 23}; Line(24) = {22, 24}; Line(25) = {25, 26}; Line(26) = {27, 25}; Line(27) = {28, 27}; Line(28) = {26, 28}; Line(29) = {29, 30}; Line(30) = {31, 29}; Line(31) = {32, 31}; Line(32) = {30, 32}; Line(33) = {33, 34}; Line(34) = {35, 33}; Line(35) = {36, 35}; Line(36) = {34, 36}; Line(37) = {37, 38}; Line(38) = {39, 37}; Line(39) = {40, 39}; Line(40) = {38, 40}; Line(41) = {41, 42}; Line(42) = {43, 41}; Line(43) = {44, 43}; Line(44) = {42, 44}; Line(45) = {45, 46}; Line(46) = {47, 45}; Line(47) = {48, 47}; Line(48) = {46, 48}; Line(49) = {49, 50}; Line(50) = {51, 49}; Line(51) = {52, 51}; Line(52) = {50, 52}; Line(53) = {53, 54}; Line(54) = {55, 53}; Line(55) = {56, 55}; Line(56) = {54, 56}; Line(57) = {57, 58}; Line(58) = {59, 57}; Line(59) = {60, 59}; Line(60) = {58, 60};

Line(61) = {61, 62}; Line(62) = {63, 61}; Line(63) = {64, 63}; Line(64) = {62, 64}; Line(65) = {65, 66}; Line(66) = {67, 65}; Line(67) = {68, 67}; Line(68) = {66, 68}; Line(69) = {69, 70}; Line(70) = {71, 69}; Line(71) = {72, 71}; Line(72) = {70, 72}; Line(73) = {73, 74}; Line(74) = {75, 73}; Line(75) = {76, 75}; Line(76) = {74, 76}; Line(77) = {77, 78}; Line(78) = {79, 77}; Line(79) = {80, 79}; Line(80) = {78, 80}; Line(81) = {81, 82}; Line(82) = {83, 81}; Line(83) = {84, 83}; Line(84) = {82, 84}; Line(85) = {85, 86}; Line(86) = {87, 85}; Line(87) = {88, 87}; Line(88) = {86, 88}; Line(89) = {89, 90}; Line(90) = {91, 89}; Line(91) = {92, 91}; Line(92) = {90, 92}; Line(93) = {93, 94}; Line(94) = {95, 93}; Line(95) = {96, 95}; Line(96) = {94, 96}; Line(97) = {97, 98}; Line(98) = {99, 97}; Line(99) = {100, 99}; Line(100) = {98, 100}; Line(101) = {101, 102}; Line(102) = {103, 101}; Line(103) = {104, 103}; Line(104) = {102, 104}; Line(105) = {105, 106}; Line(106) = {107, 105}; Line(107) = {108, 107}; Line(108) = {106, 108}; Line(109) = {109, 110}; Line(110) = {111, 109}; Line(111) = {112, 111}; Line(112) = {110, 112}; Line(113) = {113, 114}; Line(114) = {115, 113}; Line(115) = {116, 115}; Line(116) = {114, 116}; Line(117) = {117, 118}; Line(118) = {119, 117}; Line(119) = {120, 119}; Line(120) = {118, 120}; Line(121) = {121, 122}; Line(122) = {123, 121}; Line(123) = {124, 123}; Line(124) = {122, 124}; Line(125) = {125, 126}; Line(126) = {127, 125}; Line(127) = {128, 127}; Line(128) = {126, 128}; Line(129) = {129, 130}; Line(130) = {131, 129}; Line(131) = {132, 131}; Line(132) = {130, 132}; Line(133) = {133, 134}; Line(134) = {135, 133}; Line(135) = {136, 135}; Line(136) = {134, 136};












Line(973) = {323, 651}; Line(974) = {651, 652}; Line(975) = {324, 652}; Line(976) = {652, 649}; Line(977) = {653, 654}; Line(978) = {325, 654}; Line(979) = {326, 653}; Line(980) = {654, 655}; Line(981) = {327, 655}; Line(982) = {655, 656}; Line(983) = {328, 656}; Line(984) = {656, 653}; Line(985) = {657, 658}; Line(986) = {659, 660}; Line(987) = {661, 662}; Line(988) = {663, 664}; Line(989) = {665, 666}; Line(990) = {667, 668}; Line(991) = {669, 670}; Line(992) = {671, 672}; Line Loop(1) = {1, 2, 3, 4, 5, 8, 7, 6, 9, 12, 11, 10, 13, 16, 15, 14, 17, 20, 19, 18, 21, 24, 23, 22, 25, 28, 27, 26, 29, 32, 31, 30, 33, 36, 35, 34, 37, 40, 39, 38, 41, 44, 43, 42, 45, 48, 47, 46, 49, 52, 51, 50, 53, 56, 55, 54, 57, 60, 59, 58, 61, 64, 63, 62, 65, 68, 67, 66, 69, 72, 71, 70, 73, 76, 75, 74, 77, 80, 79, 78, 81, 84, 83, 82, 85, 88, 87, 86, 89, 92, 91, 90, 93, 96, 95, 94, 97, 100, 99, 98, 101, 104, 103, 102, 105, 108, 107, 106, 109, 112, 111, 110, 113, 116, 115, 114, 117, 120, 119, 118, 121, 124, 123, 122, 125, 128, 127, 126, 129, 132, 131, 130, 133, 136, 135, 134, 137, 140, 139, 138, 141, 144, 143, 142, 145, 148, 147, 146, 149, 152, 151, 150, 153, 156, 155, 154, 157, 160, 159, 158, 161, 164, 163, 162, 165, 168, 167, 166, 169, 172, 171, 170, 173, 176, 175, 174, 177, 180, 179, 178, 181, 184, 183, 182, 185, 188, 187, 186, 189, 192, 191, 190, 193, 196, 195, 194, 197, 200, 199, 198, 201, 204, 203, 202, 205, 208, 207, 206, 209, 212, 211, 210, 213, 216, 215, 214, 217, 220, 219, 218, 221, 224, 223, 222, 225, 228, 227, 226, 229, 232, 231, 230, 233, 236, 235, 234, 237, 240, 239, 238, 241, 244, 243, 242, 245, 248, 247, 246, 249, 252, 251, 250, 253, 256, 255, 254, 257, 260, 259, 258, 261, 264, 263, 262, 265, 268, 267, 266, 269, 272, 271, 270, 273, 276, 275, 274, 277, 280, 279, 278, 281, 284, 283, 282, 285, 288, 287, 286, 289, 292, 291, 290, 293, 296, 295, 294, 297, 300, 299, 298, 301, 304, 303, 302, 305, 308, 307, 306, 309, 312, 311, 310, 313, 316, 315, 314, 317, 320, 319, 318, 321, 324, 323, 322, 325, 328, 327, 326}; Plane Surface(1) = {1}; Line Loop(2) = {329, -330, -2, 331}; Plane Surface(2) = {2};

Line Loop(3) = {332, -333, -3, 330}; Plane Surface(3) = {3}; Line Loop(4) = {334, -335, -4, 333}; Plane Surface(4) = {4}; Line Loop(5) = {336, -331, -1, 335}; Plane Surface(5) = {5}; Line Loop(6) = {329, 332, 334, 336}; Plane Surface(6) = {6}; Line Loop(7) = {337, -338, 5, 339}; Plane Surface(7) = {7}; Line Loop(8) = {340, -341, 6, 338}; Plane Surface(8) = {8}; Line Loop(9) = {342, -343, 7, 341}; Plane Surface(9) = {9}; Line Loop(10) = {344, -339, 8, 343}; Plane Surface(10) = {10}; Line Loop(11) = {337, 340, 342, 344}; Plane Surface(11) = {11}; Line Loop(12) = {345, -346, 9, 347}; Plane Surface(12) = {12}; Line Loop(13) = {348, -349, 10, 346}; Plane Surface(13) = {13}; Line Loop(14) = {350, -351, 11, 349}; Plane Surface(14) = {14}; Line Loop(15) = {352, -347, 12, 351}; Plane Surface(15) = {15}; Line Loop(16) = {345, 348, 350, 352}; Plane Surface(16) = {16}; Line Loop(17) = {353, -354, 13, 355}; Plane Surface(17) = {17}; Line Loop(18) = {356, -357, 14, 354}; Plane Surface(18) = {18}; Line Loop(19) = {358, -359, 15, 357}; Plane Surface(19) = {19}; Line Loop(20) = {360, -355, 16, 359}; Plane Surface(20) = {20}; Line Loop(21) = {353, 356, 358, 360}; Plane Surface(21) = {21}; Line Loop(22) = {361, -362, 17, 363}; Plane Surface(22) = {22}; Line Loop(23) = {364, -365, 18, 362}; Plane Surface(23) = {23}; Line Loop(24) = {366, -367, 19, 365}; Plane Surface(24) = {24}; Line Loop(25) = {368, -363, 20, 367}; Plane Surface(25) = {25}; Line Loop(26) = {361, 364, 366, 368}; Plane Surface(26) = {26}; Line Loop(27) = {369, -370, 21, 371}; Plane Surface(27) = {27}; Line Loop(28) = {372, -373, 22, 370}; Plane Surface(28) = {28}; Line Loop(29) = {374, -375, 23, 373}; Plane Surface(29) = {29}; Line Loop(30) = {376, -371, 24, 375}; Plane Surface(30) = {30}; Line Loop(31) = {369, 372, 374, 376}; Plane Surface(31) = {31}; Line Loop(32) = {377, -378, 25, 379}; Plane Surface(32) = {32}; Line Loop(33) = {380, -381, 26, 378}; Plane Surface(33) = {33}; Line Loop(34) = {382, -383, 27, 381}; Plane Surface(34) = {34}; Line Loop(35) = {384, -379, 28, 383}; Plane Surface(35) = {35}; Line Loop(36) = {377, 380, 382, 384}; Plane Surface(36) = {36}; Line Loop(37) = {385, -386, 29, 387}; Plane Surface(37) = {37}; Line Loop(38) = {388, -389, 30, 386}; Plane Surface(38) = {38}; Line Loop(39) = {390, -391, 31, 389}; Plane Surface(39) = {39}; Line Loop(40) = {392, -387, 32, 391}; Plane Surface(40) = {40};

Line Loop(41) = {385, 388, 390, 392}; Plane Surface(41) = {41}; Line Loop(42) = {393, 394, 33, 395}; Plane Surface(42) = {42}; Line Loop(43) = {396, 397, 34, 394}; Plane Surface(43) = {43}; Line Loop(44) = {398, 399, 35, 397}; Plane Surface(44) = {44}; Line Loop(45) = {400, 395, 36, 399}; Plane Surface(45) = {45}; Line Loop(46) = {393, 396, 398, 400}; Plane Surface(46) = {46}; Line Loop(47) = {401, 402, 37, 403}; Plane Surface(47) = {47}; Line Loop(48) = {404, 405, 38, 402}; Plane Surface(48) = {48}; Line Loop(49) = {406, 407, 39, 405}; Plane Surface(49) = {49}; Line Loop(50) = {408, 403, 40, 407}; Plane Surface(50) = {50}; Line Loop(51) = {401, 404, 406, 408}; Plane Surface(51) = {51}; Line Loop(52) = {409, 410, 41, 411}; Plane Surface(52) = {52}; Line Loop(53) = {412, 413, 42, 410}; Plane Surface(53) = {53}; Line Loop(54) = {414, 415, 43, 413}; Plane Surface(54) = {54}; Line Loop(55) = {416, 411, 44, 415}; Plane Surface(55) = {55}; Line Loop(56) = {409, 412, 414, 416}; Plane Surface(56) = {56}; Line Loop(57) = {417, 418, 45, 419}; Plane Surface(57) = {57}; Line Loop(58) = {420, 421, 46, 418}; Plane Surface(58) = {58}; Line Loop(59) = {422, 423, 47, 421}; Plane Surface(59) = {59}; Line Loop(60) = {424, 419, 48, 423}; Plane Surface(60) = {60}; Line Loop(61) = {417, 420, 422, 424}; Plane Surface(61) = {61}; Line Loop(62) = {425, 426, 49, 427}; Plane Surface(62) = {62}; Line Loop(63) = {428, 429, 50, 426}; Plane Surface(63) = {63}; Line Loop(64) = {430, 431, 51, 429}; Plane Surface(64) = {64}; Line Loop(65) = {432, 427, 52, 431}; Plane Surface(65) = {65};

Line Loop(66) = {425, 428, 430, 432}; Plane Surface(66) = {66}; Line Loop(67) = {433, -434, 53, 435}; Plane Surface(67) = {67}; Line Loop(68) = {436, -437, 54, 434}; Plane Surface(68) = {68}; Line Loop(69) = {438, -439, 55, 437}; Plane Surface(69) = {69}; Line Loop(70) = {440, -435, 56, 439}; Plane Surface(70) = {70}; Line Loop(71) = {433, 436, 438, 440}; Plane Surface(71) = {71}; Line Loop(72) = {441, -442, 57, 443}; Plane Surface(72) = {72}; Line Loop(73) = {444, -445, 58, 442}; Plane Surface(73) = {73}; Line Loop(74) = {446, -447, 59, 445}; Plane Surface(74) = {74}; Line Loop(75) = {448, -443, 60, 447}; Plane Surface(75) = {75}; Line Loop(76) = {441, 444, 446, 448}; Plane Surface(76) = {76}; Line Loop(77) = {449, -450, 61, 451}; Plane Surface(77) = {77}; Line Loop(78) = {452, -453, 62, 450}; Plane Surface(78) = {78}; Line Loop(79) = {454, -455, 63, 453}; Plane Surface(79) = {79}; Line Loop(80) = {456, -451, 64, 455}; Plane Surface(80) = {80}; Line Loop(81) = {449, 452, 454, 456}; Plane Surface(81) = {81}; Line Loop(82) = {457, -458, 65, 459}; Plane Surface(82) = {82}; Line Loop(83) = {460, -461, 66, 458}; Plane Surface(83) = {83}; Line Loop(84) = {462, -463, 67, 461}; Plane Surface(84) = {84}; Line Loop(85) = {464, -459, 68, 463}; Plane Surface(85) = {85}; Line Loop(86) = {457, 460, 462, 464}; Plane Surface(86) = {86}; Line Loop(87) = {465, -466, 69, 467}; Plane Surface(87) = {87}; Line Loop(88) = {468, -469, 70, 466}; Plane Surface(88) = {88}; Line Loop(89) = {470, -471, 71, 469}; Plane Surface(89) = {89}; Line Loop(90) = {472, -467, 72, 471}; Plane Surface(90) = {90};



Line Loop(141) = {545, 548, 550, 552}; Plane Surface(141) = {141}; Line Loop(142) = {553, 554, 113, 555}; Plane Surface(142) = {142}; Line Loop(143) = {556, 557, 114, 554}; Plane Surface(143) = {143}; Line Loop(144) = {558, 559, 115, 557}; Plane Surface(144) = {144}; Line Loop(145) = {560, 555, 116, 559}; Plane Surface(145) = {145}; Line Loop(146) = {553, 556, 558, 560}; Plane Surface(146) = {146}; Line Loop(147) = {561, 562, 117, 563}; Plane Surface(147) = {147}; Line Loop(148) = {564, 565, 118, 562}; Plane Surface(148) = {148}; Line Loop(149) = {566, 567, 119, 565}; Plane Surface(149) = {149}; Line Loop(150) = {568, 563, 120, 567}; Plane Surface(150) = {150}; Line Loop(151) = {561, 564, 566, 568}; Plane Surface(151) = {151}; Line Loop(152) = {569, 570, 121, 571}; Plane Surface(152) = {152}; Line Loop(153) = {572, 573, 122, 570}; Plane Surface(153) = {153}; Line Loop(154) = {574, 575, 123, 573}; Plane Surface(154) = {154}; Line Loop(155) = {576, 571, 124, 575}; Plane Surface(155) = {155}; Line Loop(156) = {569, 572, 574, 576}; Plane Surface(156) = {156}; Line Loop(157) = {577, 578, 125, 579}; Plane Surface(157) = {157}; Line Loop(158) = {580, 581, 126, 578}; Plane Surface(158) = {158}; Line Loop(159) = {582, 583, 127, 581}; Plane Surface(159) = {159};


Line Loop(185) = {624, -619, 148, 623}; Plane Surface(185) = {185}; Line Loop(186) = {617, 620, 622, 624}; Plane Surface(186) = {186}; Line Loop(187) = {625, -626, 149, 627}; Plane Surface(187) = {187}; Line Loop(188) = {628, -629, 150, 626}; Plane Surface(188) = {188}; Line Loop(189) = {630, -631, 151, 629}; Plane Surface(189) = {189}; Line Loop(190) = {632, -627, 152, 631}; Plane Surface(190) = {190}; Line Loop(191) = {625, 628, 630, 632}; Plane Surface(191) = {191}; Line Loop(192) = {633, -634, 153, 635}; Plane Surface(192) = {192}; Line Loop(193) = {636, -637, 154, 634}; Plane Surface(193) = {193}; Line Loop(194) = {638, -639, 155, 637}; Plane Surface(194) = {194}; Line Loop(195) = {640, -635, 156, 639}; Plane Surface(195) = {195}; Line Loop(196) = {633, 636, 638, 640}; Plane Surface(196) = {196}; Line Loop(197) = {641, -642, 157, 643}; Plane Surface(197) = {197}; Line Loop(198) = {644, -645, 158, 642}; Plane Surface(198) = {198}; Line Loop(199) = {646, -647, 159, 645}; Plane Surface(199) = {199}; Line Loop(200) = {648, -643, 160, 647}; Plane Surface(200) = {200}; Line Loop(201) = {641, 644, 646, 648}; Plane Surface(201) = {201}; Line Loop(202) = {649, -650, 161, 651}; Plane Surface(202) = {202}; Line Loop(203) = {652, -653, 162, 650}; Plane Surface(203) = {203}; Line Loop(204) = {654, -655, 163, 653}; Plane Surface(204) = {204}; Line Loop(205) = {656, -651, 164, 655}; Plane Surface(205) = {205}; Line Loop(206) = {649, 652, 654, 656}; Plane Surface(206) = {206}; Line Loop(207) = {657, -658, 165, 659}; Plane Surface(207) = {207}; Line Loop(208) = {660, -661, 166, 658}; Plane Surface(208) = {208}; Line Loop(209) = {662, -663, 167, 661}; Plane Surface(209) = {209};

Line Loop(210) = {664, -659, 168, 663}; Plane Surface(210) = {210}; Line Loop(211) = {657, 660, 662, 664}; Plane Surface(211) = {211}; Line Loop(212) = {665, -666, 169, 667}; Plane Surface(212) = {212}; Line Loop(213) = {668, -669, 170, 666}; Plane Surface(213) = {213}; Line Loop(214) = {670, -671, 171, 669}; Plane Surface(214) = {214}; Line Loop(215) = {672, -667, 172, 671}; Plane Surface(215) = {215}; Line Loop(216) = {665, 668, 670, 672}; Plane Surface(216) = {216}; Line Loop(217) = {673, -674, 173, 675}; Plane Surface(217) = {217}; Line Loop(218) = {676, -677, 174, 674}; Plane Surface(218) = {218}; Line Loop(219) = {678, -679, 175, 677}; Plane Surface(219) = {219}; Line Loop(220) = {680, -675, 176, 679}; Plane Surface(220) = {220}; Line Loop(221) = {673, 676, 678, 680}; Plane Surface(221) = {221}; Line Loop(222) = {681, -682, 177, 683}; Plane Surface(222) = {222}; Line Loop(223) = {684, -685, 178, 682}; Plane Surface(223) = {223}; Line Loop(224) = {686, -687, 179, 685}; Plane Surface(224) = {224}; Line Loop(225) = {688, -683, 180, 687}; Plane Surface(225) = {225}; Line Loop(226) = {681, 684, 686, 688}; Plane Surface(226) = {226}; Line Loop(227) = {689, -690, 181, 691}; Plane Surface(227) = {227}; Line Loop(228) = {692, -693, 182, 690}; Plane Surface(228) = {228}; Line Loop(229) = {694, -695, 183, 693}; Plane Surface(229) = {229}; Line Loop(230) = {696, -691, 184, 695}; Plane Surface(230) = {230}; Line Loop(231) = {689, 692, 694, 696}; Plane Surface(231) = {231}; Line Loop(232) = {697, -698, 185, 699}; Plane Surface(232) = {232}; Line Loop(233) = {700, -701, 186, 698}; Plane Surface(233) = {233}; Line Loop(234) = {702, -703, 187, 701}; Plane Surface(234) = {234};



Line Loop(279) = {774, -775, 223, 773}; Plane Surface(279) = {279}; Line Loop(280) = {776, -771, 224, 775}; Plane Surface(280) = {280}; Line Loop(281) = {769, 772, 774, 776}; Plane Surface(281) = {281}; Line Loop(282) = {777, -778, 225, 779}; Plane Surface(282) = {282}; Line Loop(283) = {780, -781, 226, 778}; Plane Surface(283) = {283}; Line Loop(284) = {782, -783, 227, 781}; Plane Surface(284) = {284}; Line Loop(285) = {784, -779, 228, 783}; Plane Surface(285) = {285}; Line Loop(286) = {777, 780, 782, 784}; Plane Surface(286) = {286}; Line Loop(287) = {785, -786, 229, 787}; Plane Surface(287) = {287}; Line Loop(288) = {788, -789, 230, 786}; Plane Surface(288) = {288}; Line Loop(289) = {790, -791, 231, 789}; Plane Surface(289) = {289}; Line Loop(290) = {792, -787, 232, 791}; Plane Surface(290) = {290}; Line Loop(291) = {785, 788, 790, 792}; Plane Surface(291) = {291}; Line Loop(292) = {793, -794, 233, 795}; Plane Surface(292) = {292}; Line Loop(293) = {796, -797, 234, 794}; Plane Surface(293) = {293}; Line Loop(294) = {798, -799, 235, 797}; Plane Surface(294) = {294}; Line Loop(295) = {800, -795, 236, 799}; Plane Surface(295) = {295}; Line Loop(296) = {793, 796, 798, 800}; Plane Surface(296) = {296}; Line Loop(297) = {801, -802, 237, 803}; Plane Surface(297) = {297}; Line Loop(298) = {804, -805, 238, 802}; Plane Surface(298) = {298}; Line Loop(299) = {806, -807, 239, 805}; Plane Surface(299) = {299}; Line Loop(300) = {808, -803, 240, 807}; Plane Surface(300) = {300}; Line Loop(301) = {801, 804, 806, 808}; Plane Surface(301) = {301}; Line Loop(302) = {809, -810, 241, 811}; Plane Surface(302) = {302}; Line Loop(303) = {812, -813, 242, 810}; Plane Surface(303) = {303};

Line Loop(304) = {814, -815, 243, 813}; Plane Surface(304) = {304}; Line Loop(305) = {816, -811, 244, 815}; Plane Surface(305) = {305}; Line Loop(306) = {809, 812, 814, 816}; Plane Surface(306) = {306}; Line Loop(307) = {817, -818, 245, 819}; Plane Surface(307) = {307}; Line Loop(308) = {820, -821, 246, 818}; Plane Surface(308) = {308}; Line Loop(309) = {822, -823, 247, 821}; Plane Surface(309) = {309}; Line Loop(310) = {824, -819, 248, 823}; Plane Surface(310) = {310}; Line Loop(311) = {817, 820, 822, 824}; Plane Surface(311) = {311}; Line Loop(312) = {825, -826, 249, 827}; Plane Surface(312) = {312}; Line Loop(313) = {828, -829, 250, 826}; Plane Surface(313) = {313}; Line Loop(314) = {830, -831, 251, 829}; Plane Surface(314) = {314}; Line Loop(315) = {832, -827, 252, 831}; Plane Surface(315) = {315}; Line Loop(316) = {825, 828, 830, 832}; Plane Surface(316) = {316}; Line Loop(317) = {833, -834, 253, 835}; Plane Surface(317) = {317}; Line Loop(318) = {836, -837, 254, 834}; Plane Surface(318) = {318}; Line Loop(319) = {838, -839, 255, 837}; Plane Surface(319) = {319}; Line Loop(320) = {840, -835, 256, 839}; Plane Surface(320) = {320}; Line Loop(321) = {833, 836, 838, 840}; Plane Surface(321) = {321}; Line Loop(322) = {841, -842, 257, 843}; Plane Surface(322) = {322}; Line Loop(323) = {844, -845, 258, 842}; Plane Surface(323) = {323}; Line Loop(324) = {846, -847, 259, 845}; Plane Surface(324) = {324}; Line Loop(325) = {848, -843, 260, 847}; Plane Surface(325) = {325}; Line Loop(326) = {841, 844, 846, 848}; Plane Surface(326) = {326}; Line Loop(327) = {849, -850, 261, 851}; Plane Surface(327) = {327}; Line Loop(328) = {852, -853, 262, 850}; Plane Surface(328) = {328};



Line Loop(373) = {924, -925, 298, 922}; Plane Surface(373) = {373}; Line Loop(374) = {926, -927, 299, 925}; Plane Surface(374) = {374}; Line Loop(375) = {928, -923, 300, 927}; Plane Surface(375) = {375}; Line Loop(376) = {921, 924, 926, 928}; Plane Surface(376) = {376}; Line Loop(377) = {929, -930, 301, 931}; Plane Surface(377) = {377}; Line Loop(378) = {932, -933, 302, 930}; Plane Surface(378) = {378}; Line Loop(379) = {934, -935, 303, 933}; Plane Surface(379) = {379}; Line Loop(380) = {936, -931, 304, 935}; Plane Surface(380) = {380}; Line Loop(381) = {929, 932, 934, 936}; Plane Surface(381) = {381}; Line Loop(382) = {937, -938, 305, 939}; Plane Surface(382) = {382}; Line Loop(383) = {940, -941, 306, 938}; Plane Surface(383) = {383}; Line Loop(384) = {942, -943, 307, 941}; Plane Surface(384) = {384}; Line Loop(385) = {944, -939, 308, 943}; Plane Surface(385) = {385}; Line Loop(386) = {937, 940, 942, 944}; Plane Surface(386) = {386}; Line Loop(387) = {945, -946, 309, 947}; Plane Surface(387) = {387}; Line Loop(388) = {948, -949, 310, 946}; Plane Surface(388) = {388}; Line Loop(389) = {950, -951, 311, 949}; Plane Surface(389) = {389}; Line Loop(390) = {952, -947, 312, 951}; Plane Surface(390) = {390}; Line Loop(391) = {945, 948, 950, 952}; Plane Surface(391) = {391}; Line Loop(392) = {953, -954, 313, 955}; Plane Surface(392) = {392}; Line Loop(393) = {956, -957, 314, 954}; Plane Surface(393) = {393}; Line Loop(394) = {958, -959, 315, 957}; Plane Surface(394) = {394}; Line Loop(395) = {960, -955, 316, 959}; Plane Surface(395) = {395}; Line Loop(396) = {953, 956, 958, 960}; Plane Surface(396) = {396}; Line Loop(397) = {961, -962, 317, 963}; Plane Surface(397) = {397};

Line Loop(398) = {964, -965, 318, 962}; Plane Surface(398) = {398}; Line Loop(399) = {966, -967, 319, 965}; Plane Surface(399) = {399}; Line Loop(400) = {968, -963, 320, 967}; Plane Surface(400) = {400}; Line Loop(401) = {961, 964, 966, 968}; Plane Surface(401) = {401}; Line Loop(402) = {969, -970, 321, 971}; Plane Surface(402) = {402}; Line Loop(403) = {972, -973, 322, 970}; Plane Surface(403) = {403}; Line Loop(404) = {974, -975, 323, 973}; Plane Surface(404) = {404}; Line Loop(405) = {976, -971, 324, 975}; Plane Surface(405) = {405}; Line Loop(406) = {969, 972, 974, 976}; Plane Surface(406) = {406}; Line Loop(407) = {977, -978, 325, 979}; Plane Surface(407) = {407}; Line Loop(408) = {980, -981, 326, 978}; Plane Surface(408) = {408}; Line Loop(409) = {982, -983, 327, 981}; Plane Surface(409) = {409}; Line Loop(410) = {984, -979, 328, 983}; Plane Surface(410) = {410}; Line Loop(411) = {977, 980, 982, 984}; Plane Surface(411) = {411}; Surface Loop(1) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260,

261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 321, 322, 323, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 369, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380, 381, 382, 383, 384, 385, 386, 387, 388, 389, 390, 391, 392, 393, 394, 395, 396, 397, 398, 399, 400, 401, 402, 403, 404, 405, 406, 407, 408, 409, 410, 411}; Physical Surface(1) ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247,

248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 321, 322, 323, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 369, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380, 381, 382, 383, 384, 385, 386, 387, 388, 389, 390, 391, 392, 393, 394, 395, 396, 397, 398, 399, 400, 401, 402, 403, 404, 405, 406, 407, 408, 409, 410, 411} ;

Physical Surface(3) = {211};

Point(673) = {-5.3,5.7,-0.2, 1}; Point(674) = {-2.3, 8.7, -0.2, 1}; Point(675) = {-2.3, 2.7, -0.2, 1}; Point(676) = {-8.3, 2.7, 0.2,1}; Point(677) = {-8.3, 8.7, -0.2, 1}; Circle(993) = {677, 673, 674}; Circle(994) = {674, 673, 675}; Circle(995) = {675, 673, 676}; Circle(996) = {676, 673, 677}; Line Loop(997) = {993, 994, 995, 996}; Plane Surface(998) = {997}; Point(678) = {-5.3,5.7, 4.042640687,1}; Circle(999) = {676, 673, 678}; Circle(1000) = {678, 673, 674}; Circle(1001) = {677, 673, 678}; Circle(1002) = {678, 673, 675};

Line Loop(1003) = {1000, -993, 1001}; Ruled Surface(1004) = {1003}; Line Loop(1005) = {1000, 994, -1002}; Ruled Surface(1006) = {1005}; Line Loop(1007) = {1002, 995, 999}; Ruled Surface(1008) = {1007}; Line Loop(1009) = {996, 1001, -999}; Ruled Surface(1010) = {1009}; Surface Loop(2)={1004,1006,1008,101 0,998}; Physical Surface(2) = {1004,1006,1008,1010,998}; Volume(58) = {1,2}; Physical Volume(101) = {58};

MASARYKOVA UNIVERZITA. Michal Burián

Recommend Documents