MASARYKOVA UNIVERZITA DIPLOMOVÁ PRÁCE

MASARYKOVA UNIVERZITA Pˇrírodovˇedecká fakulta Ústav matematiky a statistiky

Goniometrie v uˇcivu stˇredních škol DIPLOMOVÁ PRÁCE Hana Florová

Vedoucí práce: RNDr. Pavel Šišma, Dr.

Brno 2012

Bibliografický záznam

Autor:

Bc. Hana Florová Pˇrírodovˇedecká fakulta, Masarykova univerzita Ústav matematiky a statistiky

Název práce:

Goniometrie v uˇcivu stˇredních škol

Studijní program:

Matematika

Studijní obor:

Uˇcitelství matematiky pro stˇrední školy, Uˇcitelství geografie a kartografie pro stˇrední školy

Vedoucí práce:

RNDr. Pavel Šišma, Dr.

Akademický rok:

2011/2012

Poˇcet stran:

85

Klíˇcová slova:

goniometrie; trigonometrie; uˇcebnice; stˇrední škola; historie školství

Bibliographic Entry

Author:

Bc. Hana Florová Faculty of Science, Masaryk University Department of Mathematics and Statistics

Title of Thesis:

Trigonometry at the secondary school

Degree Programme:

Mathematic

Field of Study:

Upper Secondary School Teacher Training in Mathematics, Upper Secondary School Teacher Training in Geography

Supervisor:

RNDr. Pavel Šišma, Dr.

Academic Year:

2011/2012

Number of Pages:

85

Keywords:

trigonometry; textbook; secondary school; history of education

Abstrakt Tato diplomová práce se zabývá vývojem školství a vyuˇcování goniometrie na stˇredních školách. Jsou zde popsány zmˇeny tohoto uˇciva v uˇcebnicích za posledních 150 let. Práce je rozdˇelena do tˇrí kapitol. První kapitola je vˇenována historii cˇ eského školství od roku 1848 do souˇcasnosti. Je rozdˇelena na podkapitoly podle období, ve kterých byly pˇrijaty významné reformy školství. Celá první kapitola, mapující školství na našem území, je rozšíˇrením a prohloubením kapitoly z mé bakaláˇrské práce. Druhá kapitola popisuje vznik a vývoj trigonometrie od dob Egypt’an˚u a Babyloˇnan˚u. Je zde pˇriblížen vývoj trigonometrie jak v zemích Evropy tak mimo ni. V závˇeru kapitoly jsou pak uvedeny bibliografické údaje významných matematik˚u. Poslední kapitola pak pˇribližuje jednotlivé uˇcebnice matematiky od poloviny 19. století po souˇcasnost. Mimo jiné jsou zde popsány rozdíly v jednotlivých uˇcebnicích a tím je nastínˇen rozdíl ve vyuˇcování daného tématu dˇríve a nyní.

Abstract This master’s thesis deals with the development of Education and mainly with trigonometry teaching in secondary schools. The document describes the curriculum changes over the last 150 years. The thesis is divided into three chapters. The first chapter is dedicated to the Czech education from year 1848 to present day. The chapter is further divided into sections in line with the important education reformations that were adopted over the years. The whole chapter describing the education in our territory is an extension to my previous bachelor’s thesis chapter. The second chapter focuses on the origin and the development of trigonometry since the time of ancient Egypt and Babylon. It describes the progress of trigonometry in Europe and outside. The chapter is concluded with a list of bibliographical data of significant mathematicians. The last chapter describes the individual mathematical textbooks from the middle of 19th century to the present day. The chapter subject is to demonstrate that the differences in education in the past and now are connected with the differences among the individual textbooks.

*

Podˇekování Dˇekuji RNDr. Pavlu Šišmovi, Dr. za práci, cˇ as, odbornou pomoc a poskytnutí cenných rad a pˇripomínek pˇri vedení této diplomové práce.

Prohlášení Prohlašuji, že jsem svoji diplomovou práci vypracovala samostatnˇe s využitím informaˇcních zdroj˚u, které jsou v práci citovány.

Brno 10. záˇrí 2012

............................ Hana Florová

Obsah Úvod 1

2

3

9

Zmˇeny ve školském systému 1.1 Stˇrední školství od roku 1848 do 1869 1.2 Stˇrední školství od roku 1870 do 1900 1.3 Marchetova reforma . . . . . . . . . . 1.4 Vývoj školství po první svˇetové válce 1.5 Školství po druhé svˇetové válce . . . . 1.6 Školství od roku 1953 do 1990 . . . . 1.7 Školství po 1990 . . . . . . . . . . . Historie trigonometrie 2.1 Poˇcátky trigonometrie . . . . . . . 2.2 Stˇredovˇeká trigonometrie . . . . . 2.3 Trigonometrie v 7. - 8. století . . . 2.4 Trigonometrie v arabských zemích 2.5 Trigonometrie v Evropˇe . . . . . . 2.6 Eulerova reforma . . . . . . . . . 2.7 Biografie . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

11 11 13 14 15 16 17 17

. . . . . . .

19 19 20 21 22 24 25 26

Uˇcebnice matematiky od poloviny 19. století 3.1 Geometrie pro vyšší gymnasia II., III. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Geometrie pro šestou tˇrídu stˇredních škol. Trigonometrie rovinná a sférická. 3.3 Geometrie pro VI. tˇrídu škol stˇredních . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Goniometrie pro gymnázia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Závˇer

30 30 38 48 55 62 68

7

Seznam použité literatury

70

Pˇrílohy

72

Úvod Goniometrie je oblast matematiky, která se zabývá goniometrickými funkcemi. V soucˇ asnosti jsou to pˇredevším funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens. Její souˇcástí je také trigonometrie, která se vˇenuje praktickému užití tˇechto funkcí pˇri ˇrešení r˚uzných úloh o trojúhelnících. I samotné názvy nauk naznaˇcují jejich užití: gónia = úhel, trigon = trojúhelník a metró = mˇeˇrení. Toto terminologické rozlišení však patˇrí k výjimeˇcným. Na pocˇ átku 20. století byla pˇrijata zmˇena, ve které Felix Klein požadoval pojmenovat tyto funkce goniometrické. Ale ve vˇetšinˇe jazyk˚u se jim dodnes ˇríká trigonometrické. V souˇcasnosti se znalosti z goniometrie využívají ve velkém množství obor˚u. Mezi nˇe patˇrí napˇríklad astronomie, nauka o navigaˇcních systémech nebo geodézie. Kromˇe vˇed zabývajících se urˇcováním vzájemné pozice dvou bod˚u, se goniometrie využívá také v lékaˇrské diagnostice, optice, seismologii atd. Proto si myslím, že toto uˇcivo by na stˇredních školách mˇelo být probráno d˚ukladnˇe a mˇela by se mu vˇenovat zvláštní pozornost. Cílem této práce je zmapovat jak bylo uˇcivo vyloženo jednotlivými autory uˇcebnic v r˚uzných cˇ asových obdobích. První kapitola poskytuje podrobný historický pˇrehled vývoje školské soustavy na našem území od roku 1848 do souˇcasnosti. Celé období je pak rozdˇeleno do podkapitol na cˇ asové úseky, kde krajními body jsou roky, ve kterých docházelo k významným školských reformám nebo se mˇenil školský systém. Ve druhé kapitole se zabývám historickým vývojem trigonometrie a to jak v evropských zemích tak mimo nˇe. Je zde popsáno, jak se goniometrie vyˇclenila v samostatnou disciplínu. V závˇeru kapitoly jsou uvedeny bibliografické údaje nˇekterých matematik˚u studujících goniometrii. Tˇretí kapitola obsahuje popis jednotlivých cˇ esky psaných uˇcebnic používaných od druhé poloviny 19. století do souˇcasnosti. U každé uˇcebnice jsou uvedeny informace o jejím vydání, obsahu a zhodnocení a porovnání s ostatními cˇ i dnešními uˇcebnicemi. Ukázkové texty pˇrepsané ze studovaných uˇcebnic jsou od ostatního textu oddˇeleny a napsány kurzívou ve zúženém odstavci. V závˇereˇcné cˇ ásti práce uvádím ukázky text˚u formou naskenovaných stran uˇcebnic.

9

Svou prací jsem se snažila popsat rozdíl v tom, jak jednotliví autoˇri vysvˇetlují dané uˇcivo. Vˇeˇrím, že práce poskytne ucelený pˇrehled o tom, jak se v pr˚ubˇehu let mˇenila prezentace uˇciva v cˇ eských matematických uˇcebnicích. Porovnávání historie a souˇcasnosti cˇ asto vede k objevení nových poznatk˚u. Proto doufám, že i cˇ tenáˇr této práce získá ponˇekud jiný pohled na gonimetrii, než jaký máme dnes.

10

Kapitola 1 Zmˇeny ve školském systému O školním vzdˇelávacím systému jsem pojednávala již ve své bakaláˇrské práci Binomická vˇeta v uˇcivu stˇrední školy. Následující text jsem odtud pˇrevzala a rozšíˇrila. Považuji za d˚uležité, aby se cˇ tenáˇr s touto kapitolou seznámil. Lépe pak pochopí vývoj školského systému i potˇrebu vypracovávat nové uˇcebnice. Jednotlivé podkapitoly jsou rozdˇeleny do cˇ asových období podle toho, kdy docházelo ˇ k reformám a zmˇenám ve vzdˇelávacím systému. Cerpala jsem pˇredevším z knih O. Kádnera, A. Libického, J. Mikulˇcáka a J. Pot˚ucˇ ka.

1.1

Stˇrední školství od roku 1848 do 1869

V roce 1848 probˇehlo revoluˇcní hnutí, které v r˚uzných formách postihlo vˇetšinu evropských zemí. Bylo namíˇreno proti absolutistickým monarchistickým režim˚um a politickým zásadám tzv. Svaté aliance. Prosazovalo pˇredevším odstranˇení feudálních pˇrežitk˚u a uskuteˇcnˇení nˇekterých buržoázních reforem. Tato revoluce mˇela velký historický význam. Mimo jiné zformovala program buržoazie, oslabila monarchistický absolutismus a otevˇrela cestu k rozvoji kapitalistické výroby. Pád bachovského absolutismu se projevil i ve školském systému. Po revoluci byly školy na základˇe konkordátu podˇrízeny církvi. Církev tedy neˇrešila jen katolické problémy, ale také schvalovala uˇcebnice a dosazovala uˇcitele. Školy se musely církvi naprosto podˇrídit. Napˇríklad i vyuˇcovací hodiny nebo porady uˇcitel˚u musely zaˇcínat spoleˇcnou motlitbou. O úroveˇn vzdˇelávání se však církev nezajímala. Teprve v roce 1867 byla podepsána tzv. Prosincová ústava, která rozdˇelovala dosavadní rakouské císaˇrství na unii dvou stát˚u, cˇ ili Pˇredlitavska (= Rakouska) a Zalitavska (= Uherska), také omezila vliv církve na školství. Pˇresto ale základní pravidlo o postavení církví

11

a škol pocházelo až z kvˇetna roku 1868. Pˇrenášelo veškerý dozor nad školstvím na stát, a to dokonce i na vyuˇcování náboženství. V cˇ ele státní školské správy stálo ministerstvo kultu a vyuˇcování. Dále mˇela každá zem svou zemskou školní radu a v okresech i obcích byly zˇrízeny místní školní rady. Moderní stˇredoškolské vzdˇelání je v cˇ eských zemích spojeno s Exner-Bonitzovou 1 reformou, která byla vyhlášena roku 1848, ale definitivnˇe pˇrijata císaˇrem až roku 1854. Název této reformy je "Entwurf der Organization der Gymnasien und Realschulen in Oesterreich" pˇreloženo do cˇ eštiny znamená "Návrh organizace gymnázií a reálek v Rakousku". Už podle názvu je jasné, že dle této reformy byla vytváˇrena a organizována osmiletá gymnázia a šestitˇrídní reálky. Na jejím základˇe také vznikla maturitní zkouška jako ukonˇcení studia na gymnáziu a pozdˇeji i v reálkách. Maturita na gymnáziích byla písemná i ústní. Písemná zkouška se skládala z pˇrekladu z latiny, z ˇreˇctiny a z písemných prací z mateˇrského jazyka i z jazyka nˇemeckého. Ústní zkouška probíhala opˇet z latiny, ˇreˇctiny, mateˇrského jazyka, matematiky, dˇejepisu, zemˇepisu a fyziky. Zkouška z fyziky, dˇejepisu a zemˇepisu mohla být prominuta tˇem student˚um, kteˇrí mˇeli v posledních cˇ tyˇrech pololetích z tˇechto daných pˇredmˇet˚u jedniˇcku nebo dvojku. Gymnázia byla prodloužena o dva roky, navazovala na pátý roˇcník obecné školy a rozdˇelena byla na dva stupnˇe. Vyšší stupeˇn mˇel vytvoˇrit ucelené všeobecné vzdˇelání a byl jakýmsi pˇredstupnˇem pro studium na univerzitách. Pˇripravovala tedy ke studiu na univerzitˇe a pro úˇrednická povolání. Reálky byly sedmileté a pˇripravovaly ke studiu na technických vysokých školách. Vyuˇcovaly se na nich nˇekteré pˇredmˇety z prvních roˇcník˚u techniky, jako matematika, deskriptivní geometrie, pˇrírodní vˇedy a kreslení. Absolventi mohli studovat na univerzitˇe až po zˇrízení pˇrírodovˇedeckých fakult 2 , ale pouze jako mimoˇrádní posluchaˇci cˇ ili bez imatrikulace, ale s právy ˇrádných student˚u. V šedesátých letech došlo k cˇ ásteˇcnému uvolnˇení a školy dostaly opˇet povolení vyuˇcovat v cˇ eském jazyce. Došlo také k prvnímu pokusu o sblížení reálek a gymnázií. Ze spojení tˇechto dvou škol vzniklo v ˇríjnu roku 1860 v Táboˇre první reálné gymnázium. V tomtéž roce stejný typ školy vznikl i v Chrudimi. Ale kv˚uli blízké reálce v Pardubicích byl reálnˇe gymnazijní jen nižší stupeˇn. Další gymnázia podobného typu jako v Táboˇre vznikla i v Praze na Malé Stranˇe a v Plzni. 1

Franz Friedrich Exner (1802-1853) byl nˇemecký filosof, v roce 1832 pˇrišel do Prahy. Od roku 1845 p˚usobil ve Vídni, kde byl povˇeˇren organizací školství. Herman Bonitz (1814-1888) byl nˇemecký filolog, který p˚usobil pˇrevážnˇe ve Vídni, pozdˇeji se stal ˇreditelem Berlínského gymnázia a po roce 1875 p˚usobil na pruském ministerstvu školství. 2 Pˇrírodovˇedecká fakulta Masarykovy univerzity byla založena roku 1919, Pˇrírodovˇedecká fakulta Karlovy univerzity roku 1920.

12

1.2

Stˇrední školství od roku 1870 do 1900

V roce 1870 vláda zrušila konkordát3 z období Bachovy éry. Ve školství se zaˇcaly postupnˇe niˇcit feudální tradice a stále více docházelo k zesvˇetšt’ování uˇcitelských sbor˚u na stˇredních školách. Úpravy se doˇckaly i platy stˇredoškolských profesor˚u a ˇreditelé škol získali funkˇcní pˇríplatky. Školy musely zamˇestnávat pouze státnˇe zkoušené profesory, což byl problém pro církevní ˇrády, které nemˇely dostatek financí na placení vystudovaných uˇcitel˚u. Z církevních profesor˚u mˇela totiž jen jedna šestina státní zkoušky. Aby bylo stˇrední školství definitivnˇe spojeno s dobou, rakouská vláda svolala anketu odborník˚u. Ti ˇrešili otázky týkající se stˇredoškolských pˇrípravek, zavedení kreslení jako samostatného pˇredmˇetu, úpravu pˇrírodopisu, zavedení moderních jazyk˚u do škol, úpravy náboženství, maturitních zkoušek a další d˚uležité otázky. Už tehdy nˇekteˇrí ˇreditelé škol navrhovali, aby náboženství jako povinný vyuˇcovací pˇredmˇet byl úplnˇe vyškrtnut z osnov. Zemská rada tak vydala alespoˇn zákon na omezení tohoto pˇredmˇetu. Jinak výsledky ankety nedopadly moc dobˇre. Reformy, které se v pozdˇejších letech uskuteˇcnily, nebyly úspˇešné a ani jich nebylo moc. Celá sedmdesátá léta byla spíše vˇenována opravˇe a stavbˇe nových školních budov, rozšiˇrování sbírek a úpravˇe profesorských plat˚u.4 Od osmdesátých let se odpor proti dosavadní organizaci systému stˇredních škol ještˇe zvˇetšil. Zvýšil se poˇcet tˇech, kteˇrí chtˇeli na stˇredních školách upˇrednostnit pˇrírodní vˇedy a moderní jazyky a snížit poˇcet vyuˇcovacích hodin klasických jazyk˚u. Napˇríklad velké nedostatky mˇela i matematika, ve které chybˇelo geometrické kreslení. Nejvˇetší chybou podle nˇekterých odborník˚u bylo zavedení maturit. Tvrdili, že v nich jde jen o pˇretˇežování a pˇredˇcasné vysilování žactva. Roku 1882 se vláda znovu pokusila o vyhlášení ankety a tak o reformu gymnázií, o zmenšení poˇctu hodin, omezení uˇciva a lepší pˇrípravu uˇcitel˚u, ale to vedlo jen k další ˇradˇe pˇredpis˚u a naˇrízení. Nˇeco málo se zmˇenilo i ve výuce. Napˇríklad pro výuku matematiky pˇribyly v osnovách další dvˇe hodiny. Na konci století zaˇcala vznikat i dívˇcí gymnázia. První bylo založeno roku 1890 v Praze.5 Ale proto, že nezískalo právo veˇrejnosti, musely dívky skládat maturitu na akademickém gymnáziu. Teprve v prosinci roku 1900 byl vydán zatímní organizaˇcní statut dívˇcích lyceí šestitˇrídních, který dívˇcímu školství zaruˇcoval nezávislost na chlapeckých školách. 3

Z latinského slova concordatum neboli souhlas, úmluva. Konkordát je tedy smlouva mezi církví a stá-

tem. 4 5

Roku 1873 byli stˇredoškolští profesoˇri poprvé zaˇrazeni do úˇrednických tˇríd. Soukromé gymnázium spolku Minerva.

13

1.3

Marchetova reforma

Pˇrelom století pˇrinesl v celoevropském mˇeˇrítku krizi ve stˇredním školství. Stále více docházelo k pˇretˇežování žák˚u. A tak rostla snaha zmˇenit typy škol tak, aby byly pro studenty více zajímavé a zajistily by lepší pˇripravenost absolvent˚u stˇredních škol ke studiu na vysokých školách. Mezinárodní podpory pro své reformy získal nˇemecký matematik Felix Klein. Jeho cílem bylo dostat mezi stˇredoškolské uˇcivo i geometrii analytickou a deskriptivní a základní poznatky o funkcích. Bohužel na toto nebyli pˇripraveni ani uˇcitelé a tak Klein založil na univerzitˇe v Göttingenu první katedru didaktiky matematiky. V roce 1905 se pak v tyrolském Meranu konal sjezd nˇemeckých pˇrírodovˇedc˚u, který pˇrijal Kleinovu reformu a dodnes je znám jako Meránský program. Hlavním d˚usledkem bylo zvýšení zájmu o stˇredoškolskou matematiku a zmˇeny v osnovách matematiky, deskriptivní geometrie, fyziky a chemie. Ani cˇ eská strana nechtˇela z˚ustat pozadu, a proto se roku 1908 konal ve Vídni za pˇredsednictví ministra vyuˇcování Marcheta sjezd, který schválil reformu vyuˇcování matematiky a pˇrírodních vˇed. To mˇelo také velký vliv na pozdˇejší organizaci školství i maturitní zkoušky. Na sjezdu se stˇretly dva názory. První se snažil prosadit jednotnou stˇrední školu, druhý chtˇel rozmanité stˇrední školy, na které by navazovaly vysoké školy podle zamˇeˇrení a praxe. Závˇerem Marchetovy reformy bylo ponechat dosavadní systém stˇredních škol, ale reformovat uˇcební osnovy. Jako nový typ školy bylo zˇrízeno osmitˇrídní reálné gymnázium bez ˇreckého jazyka pouze s latinou. Do výuky bylo také zaˇrazeno více pˇrírodovˇedných pˇredmˇet˚u, z fyziky se vydˇelila chemie jako samostatný pˇredmˇet a do uˇcebních osnov byla zaˇrazena deskriptivní geometrie. Toto gymnázium bylo oznaˇcováno jako typ A. Typ B bylo pak reformní reálné gymnázium, jehož nižší stupeˇn se shodoval s nižší reálkou, ale z vyššího stupnˇe byla vypuštˇena chemie, deskriptivní geometrie a naopak zde bylo zavedeno kreslení, výuka filozofické propedeutiky6 a rozsáhlá výuka latiny. Zatímco typ A byl studenty hodnˇe oblíben, návštˇevnost u typu B byla velmi nízká. ˇ Jeho rozvoj zaˇcal až v samostatném Ceskoslovenku. Výsledkem reformy, ale nebyl pouze vznik nových škol, ale pˇredevším pˇrijetí Meránˇ Marchetova reforma byla za posledních šedesát let prvním závažského programu. Cili nˇejším krokem, který se promítl do organizace i metod škol. Zmˇeny byly natolik velké, že si vyžádaly vytvoˇrení nových uˇcebnic matematiky. Toho se zhostila Jednota cˇ eských ˇ matematik˚u a fysik˚u v cˇ ele s Ladislavem Cervenkou, Bohumilem Bydžovským a Janem 6

Propedeutika = pˇredbˇežné vzdˇelávání, pˇredbˇežná výuka cˇ i úvod do urˇcité vˇedy.

14

Vojtˇechem. Jejich uˇcebnice se používaly více než cˇ tyˇricet let. Tento školský systém fungoval prakticky beze zmˇen až do konce druhé svˇetové války. Jen z mimoškolních d˚uvod˚u byly od roku 1910 zavádˇeny do posledních dvou roˇcník˚u pˇredmˇety jako cviky ve stˇrelbˇe, cviky pochodové, hry vojenského rázu a na nˇekterých školách pˇrednášeli obˇcas i d˚ustojníci. Nˇekteré pˇredmˇety tak musely být omezeny. Mezi nˇe patˇrila i matematika, jíž byla ubrána jedna hodina.

1.4

Vývoj školství po první svˇetové válce

ˇ Po první svˇetové válce vznikl nový stát Ceskoslovensko. Již 28. ˇríjna roku 1918 bylo v prvním revoluˇcním zákonˇe stanoveno, že všechny dosavadní zákony, tedy i ty, které se týkají školství, z˚ustávají nadále v platnosti. Na území dnešní cˇ eské republiky se tedy výuka ˇrídila základním ˇríšským zákonem z roku 1869. Na Slovensku tomu tak ale nebylo. Školství se zde ˇrídilo zákonem z roku 1868. Nejen tento rozdíl, ale i fakt, že jsme dosáhli ˇ osamostatnˇení, vyžadoval úpravu školství. Proto i v Ceskoslovenské republice byly ihned po pˇrevratu uspoˇrádány r˚uzné ankety. Ty vždy vyvolaly velký zájem veˇrejnosti, ale jen málokrát se doˇckaly vyslyšení. Vˇetšina z nich dodnes leží pouze v archivech. Nejvíce rozruchu vyvolala anketa, kterou uspoˇrádalo Ministerstvo školství a národní osvˇety v letech 1919 - 1921. Tato anketa byla provedena na základnˇe velice podrobného dotazníku, který vytvoˇril prof. Bydžovský. Dotazník obsahoval 227 otázek jak pro jednotˇ livce, tak pro instituce. Roku 1922 pak Ceskoslovenský pedagogický ústav J. A. Komenského vydal výsledky. Bohužel ani tato nároˇcná akce nedosáhla úspˇechu. Celá anketa byla totiž uspoˇrádaná krátce po válce a tak ani odborníci nemˇeli ustálený názor, nebot’ stále podléhali prvním pováleˇcným dojm˚um. Pˇresto už v této anketˇe se stˇretly dva odlišné názory. Jeden zastávala Jednota cˇ eských matematik˚u a fysik˚u a druhý Jednota cˇ eských filolog˚u. První tábor chtˇel šestileté stˇrední školy, ve kterých by byly cˇ tyˇri roˇcníky bez latiny a pátý a šestý roˇcník by se dˇelil na vˇetev humanitní a reálnou. Naopak druhý tábor kladl velký d˚uraz na jazyky a požadoval výuku latiny již od první tˇrídy, v dalších roˇcnících pak výuku nˇemˇciny, angliˇctiny nebo francouzštiny. Ani ministerstvo školství nemˇelo sv˚uj vlastní názor a nevˇedˇelo tak, ke které stranˇe se pˇriklonit. Proto nakonec vše záleželo jen na ministrovi. A tak ministr Bechynˇe roku 1923 povˇeˇril ministerského radu F. Maška vypracováním koneˇcného návrhu. Ten navrhoval tˇríletou školu obˇcanskou, s ní paralelnˇe tˇríletou stˇrední nižší takovou, že by z ní žáci mohli na zaˇcátku roku bez zkoušek pˇrejít na stˇrední vyšší školu cˇ tyˇrletou. Ta byla rozdˇe-

15

lena do dvou typ˚u. Typ A mˇel povinné dva cizí jazyky, typ B se pak vyznaˇcoval jedním cizím jazykem a vˇetším studiem deskriptivy a kreslení. Vyšší stˇrední škola by mˇela i pátý roˇcník pro pˇrípravu na vysoké školy. Bohužel ani tento návrh nebyl odsouhlasen. Roku 1925 se ministrem školství stal Srdínko velký odp˚urce jakékoliv reformy školství. Proto jednání o návrhu zákona zastavil a vyuˇcování na stˇredních školách se až na malé vyjímky nezmˇenilo až do konce druhé svˇetové války.

1.5

Školství po druhé svˇetové válce

Po druhé svˇetové válce se k vládˇe v cˇ eských zemí dostala komunistická strana, která nejen ˇrídila politickou situaci, ale také kontrolovala všechny sféry života spoleˇcnosti. Prosazovala své myšlenky nejen v politice, ale také napˇríklad ve školství. A tak nˇekteˇrí politicky nežádoucí uˇcitelé mˇeli zakázáno vyuˇcovat i publikovat. I pˇrijímaní student˚u na školy bylo po válce hodnˇe ovlivnˇeno. Studijní nadˇeje žák˚u mohl zmaˇrit nevhodný kádrový posudek7 , špatný tˇrídní p˚uvod, nedoporuˇcení ke studiu od nˇekteré stranické cˇ i jiné organizace. První školský zákon byl po válce vydán 21. dubna 1948. Jedná se o Zákon o základní úpravˇe jednotného školství, který ruší dosavadní platnost ˇríšského zákona z roku 1869. Je v nˇem ustanoveno, že veškeré mládeži (ˇcili všem dˇetem bez ohledu na jejich majetkové cˇ i spoleˇcenské pomˇery) se dostane jednotného vzdˇelání, které je povinné a bezplatné. Tento zákon také prodloužil povinnou školní docházku na devˇet let a novˇe rozdˇelil školy do cˇ tyˇrech kategorií. Jsou to školy I. stupnˇe, což jsou národní pˇetileté školy, dále školy II. stupnˇe neboli školy stˇrední, do další kategorie patˇrí školy III. stupnˇe, do kterých jsou zaˇrazeny tˇríleté odborné školy a poslední stupeˇn byl nazván vyšší III. stupeˇn a zahrnuje vyšší odborné školy a gymnázia. Tento zákon mimo jiné ˇríká, že školy mají peˇcovat o všestranný rozumový, citový, mravní a tˇelesný rozvoj žactva. Mládež má být vzdˇelávána v duchu pokrokových národních tradic a ideál˚u humanity. Žáci mají být vychováváni k samostatnému myšlení, cílevˇedomému jednání, cˇ inorodé práci i družné spolupráci. Dále mají uˇcitelé ve studentech probouzet touhu po sebevzdˇelávání a pokroku. Škola a uˇcitelé mají vychovat národnˇe a politicky uvˇedomˇelé obˇcany lidovˇe demokratického státu, stateˇcné obránce vlasti a zastánce pracujícího lidu a socialismu. 7

Kádrový posudek byl spis s údaji o názorech a ideologických postojích obˇcan˚u. Byl poˇrizován kádrovými pracovníky z oddˇelení zvláštních úkol˚u nebo jiných podobnˇe nazvaných oddˇelení, které mˇel povinnˇe každý podnik.

16

1.6

Školství od roku 1953 do 1990

Roku 1953 byl vydán Zákon o školské soustavˇe a vzdˇelávání uˇcitel˚u. Ten opˇet zkrátil povinnou školní docházku na osm let. Pˇresto se v této dobˇe poˇcet vyuˇcovacích hodin matematiky zvýšil a tak uˇcivo ve svém rozsahu z˚ustalo zachováno. V d˚usledku nízké pˇripravenosti uˇcitel˚u byly vytvoˇreny nové uˇcebnice, které mˇely vyhovovat všem žák˚um. Uˇcivo v nich bylo popsáno jednodušeji než doted’. To ale nevyhovovalo vysokým školám, které musely pro studenty poˇrádat pˇrípravné kurzy. A tak roku 1969 byla školní docházka opˇet prodloužena. Významný byl také rok 1976, kdy byl vydán dokument "Další rozvoj výchovnˇe vzdˇelávací soustavy". V nˇem byla opˇet upravena školní docházka na osm let na základní škole a dva roky na nˇekterém z vyšších stupˇnu˚ . Po tomto roce také vznikla stˇrední odborná uˇcilištˇe, která pˇripravovala pˇrímo na výkon povolání.

1.7

Školství po 1990

Po roce 1990 došlo k velkým zmˇenám. Povinná školní docházka byla opˇet zkrácena na devˇet let a celou ji žáci absolvovali na základní škole. Také vznikly nové typy škol - soukromé, církevní a umˇelecké. Už v polovinˇe 90. let se zaˇcalo poprvé hovoˇrit o potˇrebˇe zavést státní maturitní zkoušku. K odborným diskuzím však docházelo až v letech 1997 2000. Na jejich základˇe byl sestaven model nových maturit a došlo také k prvnímu pokusu o uzákonˇení, který byl však neúspˇešný. A nové maturity se odroˇcily. K tématu se odborníci vrátili v roce 2004. Zmˇenili p˚uvodní model a ten už byl schválen. Pˇredpokládané spuštˇení stanovili na školní rok 2007/2008. Ale ani v tomto roce se nepodaˇrilo nový systém maturit spustit. O rok pozdˇeji se odhlasovalo, že v roce 2011 probˇehne první roˇcník. Stejný systém bude použit i o rok pozdˇeji a úplný model nabˇehne roku 2013. V minulém i tomto roce si studenti mohli vybrat zda budou zkoušku skládat z matematiky nebo z cizího jazyka. Celkem u maturity z matematiky loni neuspˇelo 6,5 %. V pˇríštích letech se povinná státní cˇ ást maturit bude skládat ze tˇrech povinných pˇredmˇet˚u - z cˇ eského jazyka a literatury, cizího jazyka a tˇretí povinnou zkoušku mohou studenti psát z matematiky nebo spoleˇcenskovˇedního základu. Další zmˇenou bylo v roce 2001 pˇrijatí tzv. Bílé knihy neboli národního programu rozˇ voje vzdˇelávání v Ceské republice. Na jejím základˇe byly pro školy stanoveny rámcové vzdˇelávací programy, které si škola rozpracovává do školních vzdˇelávacích program˚u. Ty pak shrnují požadavky vzdˇelávacího programu pro daný obor. Zavedení tohoto programu

17

bylo velmi obtížné a na nˇekterých školách probíhá dodnes.

Obrázek 1.1: Bílá kniha

18

Kapitola 2 Historie trigonometrie 2.1

Poˇcátky trigonometrie

Samotné slovo trigonometrie je spojeno ze dvou ˇreckých slov: trigon - trojúhelník a metro - mˇeˇrení, takže v doslovném pˇrekladu znamená mˇeˇrení trojúhelníku. První rozvoj trigonometrie je úzce spojen s rozvojem astronomie a moˇreplavectví, kde bylo velmi d˚uležité správnˇe urˇcit smˇer plavby lodi na otevˇreném moˇri podle polohy hvˇezd. První elementární znalosti trigonometrie jsou spojovány již s Egypt’any a Babyloˇnany. ˇ um a ti je dále rozDíky výpravám Alexandra Velikého se tyto vˇedomosti dostaly k Rek˚ víjely. Ale již Babyloˇnané a Chaldejci dosáhli velkého pokroku v ˇrešení astronomických úloh pomocí grafických metod a první matematické práce, které souvisely s trigonometrií, se týkaly výpoˇctu délek tˇetiv kružnice pˇríslušejících k urˇcitému stˇredovému úhlu. Kružnice o pevném polomˇeru byla rozdˇelena na 60 jednotek a mˇela se nalézt délka tˇetivy k danému stˇredovému úhlu. D˚uležitou prací bylo dílo starovˇekého ˇreckého astronoma Hipparcha (190 pˇr. K. - 120 pˇr. K.). Ten již v této dobˇe sestavil tabulky tˇetiv pro r˚uzné stˇredové úhly kružnice pˇri stálém polomˇeru. Ale i tato práce nemá s dnešní trigonometrií moc spoleˇcné. Tehdejší uˇcenci se nezajímali o vztah mezi úhly a stranami trojúhelníka a nemˇeli ještˇe ponˇetí o funkcích úhl˚u. Hipparchovy tabulky se sice nezachovaly, ale je prokázáno, že napsal dvanáct knih tabulek tˇetiv. Kolem roku 100 n. l. byly sepsány další tabulky tˇetiv, tentokrát od ˇreckého matematika Menelaa. Ani jeho šest knih se nedochovalo, ale velkým pˇrínosem byla jeho práce o sférické trigonometrii. Zde Menelaus objevil závislosti mezi rovinným trojúhelníkem a sférickým trojúhelníkem. Práce staroˇreckých vˇedc˚u vyvrcholila Ptolemaiovým dílem Almagest (kolem roku 140 n. l.), díky kterému si m˚užeme udˇelat pˇredstavu o Hipparcho-

19

vých dílech. Celá práce je založena na geocentrickém systému. Mimo jiné je zde uvedena tabulka, která udává délku tˇetivy v kruhu jako funkci stˇredového úhlu, který ji vymezuje. Stˇredový úhel postupuje od 0, 5◦ do 180◦ , což odpovídá tabulce sin˚u od 0, 25◦ do 90◦ . ˇ Díky této tabulce umˇeli už staˇrí Rekové z tˇetiv dvou úhl˚u vypoˇcítat tˇetivu souˇctu a rozdílu tˇechto úhl˚u nebo tˇetivu poloviny daného úhlu. Jinými slovy dokázali pˇrijít na stejné výsledky, ke kterým docházíme i my pomocí vzorc˚u pro sinus souˇctu a rozdílu dvou úhl˚u a vzorce pro sinus poloviny úhlu. ˇ ˇ Dobytí Recka Rímem a ˇrada dalších pˇríˇcin postupnˇe pˇrivodily úpadek helénské kultury. Po Ptolemaiovi nevytvoˇrili alexandrijští uˇcenci v oblasti astronomie a trigonometrie, ˇ stejnˇe jako v dalších vˇedních oborech, nic podstatného. Celkový pˇrínos Ríman˚ u byl v této ˇ u. Další rozvoj matematiky v oblasti tridobˇe malý. Jen kopírovali to, co pˇrevzali od Rek˚ gonometrie je spojován s národy Ind˚u a Arab˚u.

2.2

Stˇredovˇeká trigonometrie

Od 5. století zaˇcali trigonometrii budovat Indové. Opírali se o práce helénistických1 autor˚u, ale pˇrinesli také mnoho nového. Nejvíce cˇ erpali z dˇel Ptolemaia. Jeho tabulky však byly zdlouhavé a tak indiˇctí uˇcenci zavedly nové trigonometrické veliˇciny. Celou tˇetivu nazývali "dživa", což v obyˇcejné mluvˇe znamená tˇetivu loveckého luku. V pozdˇejších pˇrekladech do latiny byl p˚uvodní název zkomolen a tak byl zaveden latinský termín sinus, který doslova znamená "prohloubení, ohyb". A tak matematik Arybhata2 pˇribližnˇe kolem roku 500 n. l. vytvoˇril tabulku novou, ve které byly vypoˇceteny všechny hodnoty "sin˚u" pro úhly od 0◦ do 90◦ , postupující po 3◦ 450 .3 Narozdíl od dnešních tabulek mohly siny ˇ u nabývat i hodnoty vˇetší než jedna. Což bylo zp˚usobeno tím, že Indové narozdíl od Rek˚ mˇeˇrili délku polomˇeru a tˇetivy v dílech kružnice. Pˇri tom Indové používali vztah 2πr = = 360, 60 za pˇredpokladu, že π = 3, 1416. Tímto zp˚usobem dostali pro polomˇer r, a tudíž pro sinus 90◦ hodnotu 3438 (minut). Zároveˇn se sinem zavedli Indové i kosinus. Znali nejen vzorce pro sinus souˇctu a rozdílu dvou úhl˚u, ale taky vzorce cos α = sin(90◦ − α), 1

Helénismus je novodobé oznaˇcení období starovˇekých dˇejin antického Stˇredomoˇrí a území Pˇredního východu ovládaných ˇrecko-makedonskými dynastiemi pˇribližnˇe od poloviny 4. století pˇr. n. l. do konce 1. století pˇr. n. l. 2 Narozen asi roku 476 n. l. 3 Stejná tabulka byla nalezana v práci indického matematika Brahmagupty z roku 628 a podrobný popis konstrukce tabulek sinu úhl˚u pro libovolný úhel byl nalezen v práci Bhaskary z roku 1150.

20

sin α2 + cos α2 = r2 .

Je pˇrekvapující, že v dobách stˇredovˇekých4 považovali matematici za druhou (po sinu) nejd˚uležitˇejší trigonometrickou veliˇcinu nikoliv kosinus, ale dnes již témˇeˇr zapomenutý sinusversus - délku úseˇcky mezi tˇetivou a obloukem.

Obrázek 2.1: Sinusversus

2.3

Trigonometrie v 7. - 8. století

V dobách 7. a 8. století je rozvoj trigonometrie spojen s kulturním rozvojem zemí stˇrední Asie, Blízkého Východu, severoafrického pobˇreží, Sicílie a Pyrenejského poloostrova, které byly v tˇechto dobách obsazeny Araby. Ti naštˇestí novˇe dobytá území hned neniˇcili, 4 Stˇredovˇek je tradiˇcní oznaˇcení dˇejinné epochy mezi koncem starovˇeku a antické civilizace a zaˇcátkem novovˇeku, které se poprvé objevilo v období renesance. Stˇredovˇek je obvykle ohraniˇcen pádem Západoˇrímské ˇríše v roce 476 a objevením Ameriky Kryštofem Kolumbem roku 1492 cˇ i zveˇrejnˇením 95 tezí Martinem Lutherem roku 1517.

21

ale naopak studovali p˚uvodní kulturu a uˇcili se z ní. Což znamená, že se dochovalo vˇedˇení ˇ starého Recka a Egypta a mimo jiné i kniha Almagest, která byla pˇreložena do arabštiny v roce 773.

2.4

Trigonometrie v arabských zemích

Obrázek 2.2: Arabská ˇríše V islámských zemích trigonometrie zaujímala d˚uležité místo. Byla pojítkem mezi matematikou a astronomií, dále je také spojena s výpoˇctem kalendáˇre a naukou o sluneˇcních hodinách. D˚uležitou úlohu mˇela i pro církevní obˇrady. Muslimové se modlí obráceni k mˇestu Mekka. Tento smˇer byl vyznaˇcen v každé mešitˇe a spolu s hodinovými ryskami byl vyznaˇcen na všech veˇrejných sluneˇcních hodinách. Pomocí sférického trojúhelníka dokázali vypoˇcítat vzdálenost mezi Mekkou a mešitou ve stupních, a díky tomu, že znali již polomˇer Zemˇe, i v délkové míˇre. Arabové hojnˇe pˇrekládají díla svých pˇredch˚udc˚u a budují na nich své práce. Za d˚uležitý výsledek této doby je považováno zavedení funkcí tangens, kotangens, sekans a kosekans. Jednou z prvních arabských prací o trigonometrii byl al-Chwárizmího astronomický spis, který obsahoval tabulky sin˚u a tangent. Pojmy tangens a kotangens byly v té dobˇe už známé, ale nikoli jako délky vztahující se ke kruhu, ale pˇri mˇeˇrení stínu tyˇce, pˇri srovnávání stran pravoúhlého trojúhelníka, tzv. gnómonice. Systematický výklad všech nových trigonometrických veliˇcin najdeme v astronomické práci Zdokonalení Almagestu, napsané koncem 9. století al-Battáním. Odvodil v ní ˇradu vztah˚u, mimo jiné vyjádˇrení tangens a kotangens pomocí pomˇer˚u sinu a kosinu ve tvaru tan α sin α = , r cos α

22

cot α cos α = . r sin α Asi sto let poté se objevily ještˇe propracovanˇejší základy trigonometrie v knize astronoma Abul-Wafy, který v ní definoval (patrnˇe historicky poprvé) všechny trigonometrické velicˇ iny jednotnˇe pomocí kružnice. Sestavil také tabulku tangent5 , cˇ ili vypoˇcítal délku stínu vrženého vodorovnou tyˇcí konstantní délky na svislou stˇenu. b=a·

sin α = a · tan α. cos α

Teprve až Peršan Násir ad-Dín at-Túsí ve 13. století našeho letopoˇctu pˇrivádí trigonometrii na úroveˇn samostatné nauky jako cˇ ásti geometrie a vyˇclenil ji z astronomie jako samostatnou matematickou disciplínu. Patˇril k nejznámˇejším orientálním uˇcenc˚um v oblasti trigonometrie. Jeho hlavní dílo Traktát o úplném cˇ tyˇrstranu je první práce, kde se uˇcení o ˇrešení trojúhelníka (=trigonometrie) považuje za samostatnou oblast matematiky. V tomto díle je popsána první úplná a celistvá soustava rovinné i sférické trigonometrie od základních pojm˚u a vztah˚u až k algoritm˚um ˇrešení. At-Túsí jako první odhalil trigonometrické vzorce sin α tan α = , cos α cot α =

cos α . sin α

Nové poznatky vedly ke tvorbˇe nových tabulek. Tˇech se nám z období mezi 8. až 15. století dochovalo více než sto. Stejnˇe jako matematici islámských zemí pˇrevzali vše již ˇ u a Babylóˇnan˚u, tak i uˇcenci stˇredovˇeké Evropy sáhli po písemnosobjevené od Ind˚u, Rek˚ tech pˇredchozích kultur. První tabulky tˇetiv v evropské stˇredovˇeké matematice vytvoˇril španˇelský židovský matematik Savarsoda roku 1116. Jeho kniha s názvem Kniha o mˇerˇeních se od pˇredchozích 5

Termín tangens znamená v doslovném pˇrekladu "dotýkající se".

23

lišila tím, že poprvé obsahovala trigonometrickou tabulku vytvoˇrenou pro ˇrešení geodetických problém˚u, nikoliv pro mˇeˇrení vzdálenosti mezi hvˇezdami.

2.5

Trigonometrie v Evropˇe

Po šesti stoletích vˇedecky neplodného raného stˇredovˇeku (5. až 12. století), kdy se evropští uˇcenci zabývali výhradnˇe náboženskými a scholastickými úvahami, nastalo v Evropˇe postupné oživování vˇed a umˇení, které bylo spojeno se vznikem mˇestské kultury. V dobˇe obchodních výprav a kˇrižáckých válek se Evropané seznámili nejen s vymoženostmi východní kultury, ale i s kulturními poklady dávno zapomenutého antického svˇeta (hlavnˇe ˇ starého Recka). To vše dalo mohutný podnˇet k samostatné tv˚urˇcí cˇ innosti evropské inteligence, zaˇcíná jedno z nejkrásnˇejších a na památky nejbohatších období v dˇejinách Evropy - renesance. Velký význam pro rozvoj matematiky v Evropˇe mˇely pˇreklady z ˇreˇctiny a arabštiny do jazyka latinského a také reforma v zápisu cˇ íslic. S indo-arabskými cˇ íslicemi byla Evropa seznámena již v 8. století, ale tento systém byl pˇrijat až díky výkladu tˇechto cˇ íslic v díle Liber abaci od Leonarda Pisánského 6 v roce 1202. Díky tomuto dílu získala desítková soustava podporu ve vˇedeckých kruzích. První trigonometrické tabulky využívající nového systému sestavil kolem roku 1460 rakouský astronom a matematik Georg Peurbach (1423 - 1461), ale i on zde ještˇe kombinoval systém o základu šedesát se systémem o základu deset. Velkým znalcem starých ˇreckých a východních autor˚u byl Peurbach˚um žák Johannes Müller, ve vˇedeckých kruzích známý spíše pod jménem Regiomontanus. Napsal dílo O trojúhelnících všelikých knih patero, ve kterém uspoˇrádal znalosti Ptolemaia, indických a arabských uˇcenc˚u. D˚uležité je, že jeho dílo je první evropská práce, v níž je trigonometrie chápána jako samostatná disciplína a nezávisle na Arabech zavedl funkci tangens a vytvoˇril tabulky sin˚u úhl˚u postupujících po jedné minutˇe a tabulku tangent úhl˚u po jednom stupni. Pokrokem je, že tyto tabulky jsou již celé psány v desítkové soustavˇe. Velký význam pro celou matematiku i trigonometrii mˇelo zavedení logaritm˚u, které objevil roku 1614 anglický matematik John Napier. Logaritmy objevil právˇe když se snažil pˇrevést souˇcin cˇ i podíl trigonometrických veliˇcin na jejich souˇcet nebo rozdíl. Poté sestavil tabulky logaritm˚u sin˚u, nikoliv cˇ ísel. Každý ˇrádek jeho tabulek je složen ze sedmi sloupc˚u, pˇriˇcemž první sloupec oznaˇcuje velikos úhlu α, druhý hodnotu sinu pro daný úhel α, poslední udává velikost doplˇnkového úhlu (90◦ − α), pˇredposlední pak hodnotu 6

Zvaného Fibonacci.

24

sin(90◦ −α), což je hodnota cos α, tˇretí a pátý sloupec uvádí tzv. Napierovy logartimy sinu ze druhého resp. kosinu ze šestého sloupce, prostˇrední sloupec pak udává rozdíl zápis˚u ve tˇretím a pátém sloupci, což je hodnota Napierova logaritmu pro tangens úhlu v prvním sloupci. Další velkou osobností evropské matematiky na pˇrelomu 16. a 17. století byl François Viete. Ve svém díle Canon mathematicus z roku 1579 sepsal tabulky všech šesti trigonometrických veliˇcin pro úhly blízké jedné minutˇe. Dále také objevil tvrzení ekvivalentní tangentové vˇetˇe, což mˇelo po staletí velký význam. Celá druhá polovina 16. a první polovina 17. století byla bohatá na úspˇechy v oboru trigonometrie. K vývoji tohoto oboru matematiky pˇrispˇel napˇríklad Mikuláš Koperník (1473 - 1543), Tycho Brahe (1546 - 1601), Willebrord Snell (1580 - 1626)7 , Abraham de Moivre (1667 - 1754) nebo F. K. Majer (1697 - 1729)8 . Goniometrické funkce v tomto období byly d˚uležité pro mnoho cˇ inností, napˇríklad pro triangulaˇcní výpoˇcty, pro úˇcely geodézie, navigace, meteorologie, astrometrie, pˇri dˇelostˇrelectví a podobnˇe.

2.6

Eulerova reforma

K velkému rozvoji trigonometrie pˇrispˇel i petrohradský matematik Leonhard Euler. Jeho nejvˇetší zásluhou je, že trigonometrické hodnoty pˇretvoˇril ve funkce. V roce 1748 vytvoˇril oznaˇcení y = f (x). V této dobˇe to však znamenalo, že existuje analytický výraz obsahující x, z nˇehož se dá vypoˇcítat y. Narozdíl ode dneška, kdy funkci chápeme jako zobrazení z nˇejaké množiny M do množiny N . Euler rozdˇeloval funkce na algebraické a transcendentní, pˇriˇcemž ze základních algebraických funkcí s promˇennou x dostává ostatní algebraické funkce jejich skládáním. Mezi základní algebraické funkce podle Eulera patˇrí: y = a + x, y = a − x, y = ax, y =

√ a , y = xa , y = a x. x

Transcendetní funkce jsou ty, které nelze algebraickými úkony koneˇcným tvarem vyjádˇrit. Napˇríklad to jsou funkce exponenciální, goniometrické, logaritmické a cyklometrické. Jako první matematik spojoval Euler hodnoty goniometrických funkcí s pravoúhlým trojúhelníkem o jednotkové pˇreponˇe a zaˇcal považovat goniometrické hodnoty za cˇ ísla 7 8

Zabýval se urˇcováním délek zemských rovnobˇežek Sinus oznaˇcoval znakem s nebo S a kosinus znakem c nebo C, což vedlo ke zjednodušení vzorc˚u

25

(pomˇer pˇríšlušných goniometrických délek k polomˇeru kružnice, který byl rovný cˇ íslu 1). Mimo jiné také právˇe Euler zavedl oznaˇcení stran trojúhelníka malými písmeny latinské abecedy a protˇejší úhly pak znaˇcil velkémi písemy téže abecedy. Dále také zavedl zkrácené oznaˇcení goniometrických funkcí úhlu z, znaky sin .z, cos .z, tan .z, cot .z, sin .A.z, cos .A.z, tg .A.z, cot .A.z, kde A znaˇcí latinské slovo "arcus" - oblouk. Významné bylo i jeho objevení vztahu mezi goniometrickými a exponenciálními funkcemi: eix = cos x + i sin x. Práce Leonharda Eulera se staly podkladem pro sestavení nˇekterých uˇcebnic trigonometrie a goniometrie.

2.7 •

Biografie Hipparchos Žil asi od roku 190 do roku 125 pˇr. K. Byl to jeden z nejvˇetších antických astronom˚u, který zvýšil pˇresnost pozorování a sestavil první velký katalog hvˇezd. Pocházel z mˇesta Nikaie v maloasijské Bithýnii. Nejvˇetší cˇ ást svého života strávil v Alexandrii. Vymyslel nové pˇrístroje pro mˇeˇrení výšky hvˇezd, stanovil sklon zemské osy k ekliptice a urˇcil délku sluneˇcního roku. Kolem roku 130 pˇr. K. chtˇel provˇeˇrit heliocentrický model. Vyšel ze správné úvahy, že pokud Zemˇe obíhá kolem Slunce, pak se musí v pr˚ubˇehu roku mˇenit poloha hvˇezd na noˇcním nebi. Tato mˇeˇrení skuteˇcnˇe provedl, ale jeho domnˇenka se kv˚uli nepˇresnosti mˇeˇrení nepotvrdila. Proto zavrhl heliocentrický model.

•

Klaudios Ptolemaios Narodil se okolo roku 100 a zemˇrel roku 178 n. l. Byl významný staroˇrecký astronom, matematik a geograf. O jeho životˇe není témˇeˇr nic známo. Pocházel z Egypta, žil a p˚usobil v Alexandrii. Jeho hlavním dílem je astronomická kniha známá pod názvem jejího arabského pˇrekladu Almagest. V ní je uveden pˇrehled znalostí rovinné i sférické trigonometrie. Do dˇejin vešel jako tv˚urce geocentrické soustavy.

26

•

Abu Abdallah Muhammad ibn Musa al-Chwárizmí Žil v letech 780 - 850 n. l. Byl perským matematikem a astronomem. Podle jeho jména se dnes jmenuje známý matematický nástroj - algoritmus.

•

Abu Abdullah Muhammad ibn Jábir ibn Sinan arRaqqí al-Battání Narodil se roku 850 a zemˇrel roku 923 n. l. Byl arabský astronom a matematik. Jeho nejznámˇejší dílo se jmenuje Kitab al-zig.

•

Abu-l-Vafá Muhammad ibn Muhammad al-Búzdžání Žil v letech 940 - 997 n. l. Odvodil sinovou vˇetu pro sférické trojúhelníky, vypoˇcítal tabulky sin˚u s intervalem 15’, jejichž hodnoty mají správných osm desetinných míst. Podal pˇresnou definici délky tangenty v goniometrické kružnici a provádˇel geometrické konstrukce s užitím pevnˇe rozevˇreného kružítka. Pokraˇcoval rovnˇež ve studiu kubických a bikvadratických rovnic.

•

Násir ad-Dín at-Túsí Narodil se roku 1201 a zemˇrel 1274. Pocházel z mˇesta Tusí v Chorosanu, které bylo tehdy proslaveným mˇestem tádžické kultury. At-Túsí vydˇelil z astronomie trigonometrii jako samostatnou disciplínu. Studoval rovnˇež pátý Eukleid˚uv postulát a zabýval se numerickou aproximací iracionálních hodnot.

•

Regiomontanus ˇ e. Narodil se 6. cˇ ervna 1436 v Bavorsku a zemˇrel 6. cˇ ervence 1476 v Rímˇ Regiomontanus, vlastním jménem Johannes Müller, byl nˇemecký astronom, matematik, astrolog a pˇrekladatel. V 11 letech zaˇcal studovat na univerzitˇe v Lipsku

27

a o tˇri roky pozdˇeji ve Vídni, kde byl žákem a pˇrítelem matematika G. von Peuerbacha. Kardinál Bessarion ho vybídl, aby pˇreložil Ptolemai˚uv Almagest. V letech 1461-1465 napsal dvˇe pojednání o trigonometrii, na nˇež se pozdˇeji odvolával Mikuláš Koperník. Mimo jiné sestavil velké astronomické tabulky, které pak užívali ˇ moˇreplavci. Roku 1475 odcestoval na pozvání papeže Sixta VI. do Ríma, a pracoval na reformˇe kalendáˇre. 6. cˇ ervence 1476 zemˇrel, patrnˇe na mor, podle jiných byl zavraždˇen.

•

John Napier Narodil se roku 1550 u Edinburghu, zemˇrel 4. dubna 1617. Napier byl skotský matematik, fyzik, astronom a astrolog. Je známý díky objevu logaritm˚u a popularizaci užití desetinné cˇ árky. Také popsal pravidla sférického trojúhelníka, pozdˇeji po nˇem nazvaná Napierova pravidla. Místo, kde se narodil, je nyní souˇcástí Napierovy univerzity.

•

Leonhard Euler Narodil se 15. dubna 1707 - 7. záˇrí 1783.

Obrázek 2.3: Leonhard Euler

Leonhard Euler byl švýcarský matematik, fyzik a fyziolog, jeden z nejvýznamnˇejších matematik˚u všech dob. Nadaný Leonhard se stal žákem Johanna I. Bernoulliho

28

a po ukoˇcení studií na univerzitˇe v Basileji chtˇel Euler získat místo na tamní katedˇre fyziky. Pro své mládí, 19 let, byl však odmítnut. Od roku 1727 p˚usobil jako profesor v Petrohradˇe. Od roku 1741 pak p˚usobil v Berlínˇe, kde také dosáhl nejvýznamnˇejších matematických výsledk˚u. Po návratu do Petrohradu byl pˇri své práci odkázán na pomoc rodiny a pˇrátel, protože pˇrestával vidˇet i na druhé oko. Mezi jeho nejvýznamnˇejší díla patˇrí knihy Úvod do analýzy nekoneˇcnˇe malých veliˇcin a Základy algebry. Leonhard Euler prakticky vybudoval trigonometrii do dnešní podoby.

29

Kapitola 3 Uˇcebnice matematiky od poloviny 19. století V následující kapitole jsou popsány cˇ esky psané uˇcebnice používané na stˇredních školách od poloviny 19. století do souˇcasnosti. Tento mezník je vybrán ze dvou d˚uvod˚u. První cˇ esky psané uˇcebnice zaˇcaly vycházet až v 60. letech 19. století a také proto, že do této doby pˇrevládal názor, že student˚um staˇcí mít pˇri výuce pouze sbírku úloh cˇ i cviˇcebnici. Do textu jsem zahrnula uˇcebnice, které se na školách používaly nejvíce. Každá podkapitola obsahuje bibliografické údaje o knize, její popis, výˇnatky z textu (psané kurzívou do zúžených odstavc˚u), popˇrípadˇe i ukázkové pˇríklady, které jsou odlišné od pˇríklad˚u v dnešních uˇcebnicích, a mé zhodnocení uˇcebnice.

3.1

Geometrie pro vyšší gymnasia II., III.

• Autor: Otakar Jandeˇcka, Antonín Libický • Vydání: Páté vydání (II.), cˇ tvrté vydání (III.) • Nakladatelství: I. L. Kober knihkupectví • Místo a rok: Praha, 1904 (II.), 1906 (III.) Právˇe tyto knihy jsou první cˇ esky psané uˇcebnice, ve kterých se objevuje uˇcivo o goniometrických funkcích. První kniha je urˇcena pro šestou tˇrídu vyšších gymnázií a je v ní spojeno uˇcivo stereometrie a trigonometrie. Druhá kniha, urˇcená pro sedmou tˇrídu, na ni navazuje a pokraˇcuje s uˇcivem analytické geometrie v prostoru. Stejnˇe tak O. Jandeˇcka a A. Libický vypracovali uˇcebnice pro školy reálné. Ty vycházely v letech 1864 - 1867

30

ve cˇ tyˇrech dílech (I. Planimetrie, II. Stereometrie, III. Trigonometrie, IV. Analytická geometrie v rovinˇe). V souladu s osnovami z roku 1889 je upravoval Antonín Libický. Uˇcivo o trigonometrii se v rozebírané uˇcebnici nachází na stranˇe 66 až 129 a je rozdˇeleno do dvou cˇ ástí a 22 paragraf˚u. V této úpravˇe vyšla kniha naposledy v roce 1907. Na následujících stránkách se nachází rozbor pátého vydání této uˇcebnice z roku 1904. Další uˇcebnice goniometrie psali František Hromádko, Alois Strnad a Emanuel Taftl. ˇ ˇ Cást prvá: Goniometrické funkce úhlu˚ ostrých. Rešení trojúhelníku˚ pravoúhlých. § 1. - 5. Goniometrické funkce úhl˚u ostrých. V úvodních podkapitolách se student seznamuje s jednotlivými goniometrickými funkcemi. V prvním pˇríkladu je zadán ostrý úhel XAY = α, z libovolného bodu B ramena AY je spuštˇena kolmice BC na rameno AX, cˇ ímž vznikne pravoúhlý trojúhelník, v nˇemž CB = a, AC = b, AB = c. Dále je ukázáno, že pokud se nezmˇení úhel α, nezmˇení se ani pomˇery stran a naopak, pokud se nemˇení hodnota pomˇer˚u a : b : c, nezmˇení se úhel α. Z cˇ ehož je vyvozen závˇer: Ponˇevadž hodnota pomˇer˚u a : b : c záleží na úhlu α a naopak, m˚uže se z velikosti tˇechto pomˇer˚u souditi o velikosti úhlu α a naopak; tím nabývají tyto pomˇery zvláštní d˚uležitosti a zovou se úkony úhlomˇernými cˇ i funkcemi goniometrickými. Jest pak funkcí tˇechto šest, a to: sinus, cosinus, tangens, cotangens, secans a cosecans.

Obrázek 3.1: Definování goniometrických funkcí Za vysvˇetlením tˇechto funkcí se nachází cˇ tyˇri rˇešené a nˇekolik neˇrešených pˇríklad˚u, u kterých student musí využít konstrukci nebo vzoreˇcky, kterých tato kapitola nabízí 14. Celý paragraf 2 je vˇenován cviˇcení na dokázání správnosti zadaných vzorc˚u, tˇretí a cˇ tvrtý

31

pˇríklad˚um. V pátém paragrafu se student uˇcí vyhledávat logaritmy k danému úhlu z tabulek. Máme-li na pˇr. nalézti log sin 32◦ 470 3500 , soudíme takto: Z nerovnosti 32◦ 470 < < 32◦ 470 3500 < 32◦ 480 plyne dle § 4.4., že sin 32◦ 470 < sin 32◦ 470 3500 < < sin 32◦ 480 a tudíž i log sin 32◦ 470 < log sin 32◦ 470 3500 < log sin 32◦ 480 . Z tabulek nalezneme pˇrímo log sin 32◦ 470 = 9, 73357 − 10 a log sin 32◦ 480 = = 9, 73377 − 10; vložíme-li tyto hodnoty do pˇredcházející nerovnosti, nabudeme 9, 73357 − 10 < log sin 32◦ 470 3500 < 9, 73377 − 10. M˚užeme tedy za neznámý log sin 32◦ 470 3500 položiti 9, 73357 − 10 + ∆, pˇri cˇ emž cˇ íslo ∆, zvané opravou jest menší než rozdíl mezi prvním a tˇretím cˇ lenem poslední nerovnosti. Student se tedy dozvídá, že pokud má najít logaritmus funkce ostrého úhlu, daného libovolným poˇctem stupˇnu˚ , minut a sekund, musí si z tabulek vypsat logaritmus funkce úhlu nejblíže menšího, vypoˇcítat pˇríslušnou opravu a tu k hodnotˇe (od hodnoty) pˇriˇcíst (odecˇ íst), podle toho zda byl hledám sinus nebo tangens (kosinus nebo kotangens). ˇ § 6. - 7.Rešení trojúhelník˚u. V tˇechto paragrafech se ˇreší pravoúhlé a rovnoramenné trojúhelníky, což znamená, že pomocí zadaných parametr˚u se mají vypoˇcítat zbývající. Pˇrímo v textu se nachází i rozsáhlá poznámka o historii trigonometrie. Podkapitoly jsou podobné jako v dnešních uˇcebních a využívají napˇríklad pouˇcek: Odvˇesna trojúhelníka pravoúhlého rovná se souˇcinu z pˇrepony a sinu (cosinu) úhlu protˇejšího (pˇrilehlého). Odvˇesna pravoúhlého trojúhelníka rovná se souˇcinu z druhé odvˇesny a tangenty (cotangenty) úhlu, k prvé odvˇesnˇe protˇejšího (pˇrilehlého). Jediným rozdílem je velké množství pˇríklad˚u na procviˇcení. Celkem je zde vypsáno 94 pˇríklad˚u na procviˇcení, u šesti z nich je popsáno ˇrešení. Výsledky pˇríklad˚u se nachází v závorce hned za pˇríkladem. Pro snadnˇejší pˇredstavu cˇ tenáˇre uvádím nˇekolik pˇríklad˚u, které autoˇri uˇcebnice poskytli student˚um k procviˇcení uˇciva: • Jak dlouhý jest 1◦ rovnobˇežky zemské a) v zemˇepisné šíˇrce Prahy (50◦ 50 ), b) obratníka raka (23◦ 270 ), c) severního kruhu polárního, je-li polomˇer zemˇe 6371 km?

32

• Vypoˇcítati polomˇer ρ obzoru, který lze z dané výšky v nad povrchem zemským pˇrehlédnouti, je-li dán polomˇer zemˇe r. (Navedení. Vedeme-li z bodu A, jehož vzdálenost od stˇredu O zemˇe jest r + v, teˇcnu k nejvˇetší kružnici koule, a je-li bod dotyˇcný této teˇcny B, jest v ∆ABO úhel r α u stˇredu O dán rovnicí cos α = r+v . Kolmice spuštˇená s bodu B na stranu OA, jest hledaný polomˇer ρ = r sin α). Do jaké výše musel ˇ by se vznésti balon nad Prahou, aby z nˇeho bylo vidˇeti celé Cechy, jeˇ li vzdálenost nejvýchodnˇejšího cípu Cech od Prahy 176 km a polomˇer zemˇe 6371 km? • Úhlová velikost pr˚umˇeru sluneˇcního jest 310 59, 300 ; vypoˇctˇete skuteˇcnou velikost tohoto pr˚umˇeru, je-li vzdálenost zemˇe od slunce 149 million˚u km. ˇ § 8. - 9.Rešení cˇ tyˇrúhelník˚u a pravidelných mnohoúhelník˚u. Poˇcítá se zde s obdélníky, kosoˇctverci, lichobˇežníky, deltoidy a pravidelnými mnohoúhleníky, které se pomocí pˇríˇcek vhodnˇe rozdˇelí na trojúhelníky pravoúhlé nebo rovnoramenné.

ˇ Cást druhá: Goniometrické funkce úhlu˚ jakkoli velkých. Vztahy funkcí goniometrických. § 10. - 16. Goniometrické funkce úhl˚u jakkoli velkých. V tˇechto paragrafech si studenti nejprve pˇripomenou nˇekteré pojmy z planimetrie. Napˇríklad smˇer úseˇcky. Je-li smˇer úseˇcky kladný, nazývá se kladná cˇ i pˇríˇcetná, je-li smˇer záporný, nazývá se záporná cˇ i odeˇcetná. Smˇer úseˇcky stejnˇe jako úhel je považován za veliˇcinu relativní. Dále si studenti opakují pojmy: pr˚umˇet bodu na pˇrímku a souˇradnice bod˚u. Ty jsou definovány pomocí hlavního pr˚umˇetu tj. pr˚umˇetu na osu x (vzdálenost pr˚umˇetu od poˇcátku se nazývá úseˇcka (abscissa) a obecnˇe je znaˇcena x) a pomocí vedlejšího pr˚umˇetu tj. pr˚umˇetu na vedlejší osu y (vzdálenost vedlejšího pr˚umˇetu od poˇcátku se nazývá poˇradnice (ordinata) a obecnˇe je znaˇcena y). Úseˇcka x i poˇradnice y mají také spoleˇcné jméno rovnobˇežné souˇradnice (coordinatae) bodu a poˇcátek O nazývá se poˇcátkem souˇradnic (origo coordinatarum); osa XX 0 (x-ová) slove pak též osou úseˇcek (axis abscissarum) a osa Y Y 0 (y-ová) osou poˇradnic (axis ordinatarum), obˇe pospolu osami souˇradnic. V paragrafech 14 a 15 je vyloženo rozšíˇrení definice goniometrických funkcí na celou reálnou osu. Využívá se pˇritom pojm˚u úseˇcka, poˇradnice a pr˚uvodiˇc (radius vector), což

33

je spojnice poˇcátku souˇradnic a daného bodu. V poznámce je vzpomenuta historie názv˚u tangens a secans a jako poslední je zde uvedena vˇeta: Arcus úhlu ostrého jest vˇetší než jeho sinus a menší než jeho tangens. § 17. O zmˇenách goniometrických funkcí ve všech cˇ tyˇrech cˇ tvrtích. Pomocí tabulky a obrázku je znázornˇeno, ve kterých kvadrantech jednotlivé funkce rostou nebo klesají, a ve kterých kvadrantech jsou kladné nebo záporné. § 18. Vztahy goniometrických funkcí jednoho úhlu. Vztahy jednotlivých goniometrických funkcí jsou popsány pomocí 14-ti vzorc˚u, které byly zmínˇeny již dˇríve. Ve cviˇcení si pak student m˚uže zkusit, pomocí tˇechto vzorc˚u, vyjádˇrit z jedné známé funkce libovolného úhlu všechny ostatní funkce téhož úhlu. Napˇríklad: sin α cos α − cos • Promˇenˇ te výraz sin α · cosec α + cotg 2 α , aby obsahoval jen sin α. α

§ 19. Goniometrické funkce nˇekterých dvojin úhlových. Podkapitola je vˇenována vyslovení nˇekolika vˇet a jejich d˚ukaz˚um. Patˇrí mˇezi nˇe napˇríklad vˇeta: Goniometrické funkce dvou úhl˚u sobˇe rovných, ale protivnˇe oznaˇcených, mají stejnou cˇ íselnou hodnotu; znaménka však mají protivná, vyjma cosinus a secans, jež jsou stejnˇe oznaˇceny. Mimo vˇety a d˚ukazy je zde vypsáno velké množství pˇríklad˚u, ve kterých se objevují úhly α a R − α. Jeden z nich je považován za doplnˇek druhého úhlu. Latinsky se doplnˇek ˇrekne complementum. Odtud pak pochází zkrácené názvy cosinus, cotangens, cosecans místo complementi sinus atd. V závˇeru se nachází zmínka o goniometrických rovnicích a nˇekolik pˇríklad˚u na jejich procviˇcení. Napˇríklad: Vypoˇctˇete neznámé úhly z tˇechto rovnic: •

sin x+tg x 1+cos x

•

5(cotg x−cos x) cotg x+cos x

=

5 7

=

2(1−sin x) sin x

§ 20. - 22. Vztahy goniometrických funkcí dvou a nˇekolika úhl˚u. Paragraf 20 je vˇenován souˇctovým vzorc˚um. Vzorce pro sinus a kosinus jsou zde vysvˇetleny podrobnˇe i pomocí obrázk˚u. Vzorce pro tangens jsou pak odvozeny ze sin˚u a kosin˚u. V posledních dvou paragrafech jsou vypsány vzorce pro pˇrevody souˇct˚u a rozdíl˚u goniometrických funkcí na souˇcin nebo podíl a pˇríklady k jejich procviˇcení.

34

Dodatek o vypoˇcítávání funkcí goniometrických. V dodatku je uveden návod k vypoˇcítání goniometrických funkcí každého úhlu, zvláštˇe úhl˚u 1◦ , 10 , 100 Z tohoto odvození vznikne vzorec, který je možné použít pro poˇcítání funkcí velmi malých úhl˚u. Vzorec je tvaru: sin α > arc α −

arc3 α 4

2π Jde-li napˇríklad o funkci úhlu 10 položíme arc 10 = 21600 , položíme-li tuto hodnotu také 2 za sin α, udˇeláme chybu, která je menší než 0,0003 a tedy je správná na 11 desetinných 4 míst.

ˇ ˇ Cást tˇretí: Rešení trojúhelníku˚ kosoúhlých a nˇekterých jiných obrazcu˚ pˇrímoˇcarých. § 23. Pˇrehled nejd˚uležitˇejších vzorc˚u goniometrických. Pˇrehled obsahující 83 vzorc˚u týkajících se goniometrických funkcí. § 24. - 26. Základní vˇety a úlohy trigonometrické. V tˇechto paragrafech jsou vysloveny základní trigonometrické vˇety a poté jsou dokázány. Nachází se zde vˇeta sinová, kosinová a tangentová. Dále autor zmiˇnuje Heron˚uv vzorec a Cagnoliovy rovnice1 . Za d˚ukazy všech vˇet je vypoˇcteno nˇekolik pˇríklad˚u, a to vždy pomocí logaritmování. Podkapitoly obsahují také velký poˇcet neˇrešených pˇríklad˚u. V poznámkách se student dovídá, že vˇeta kosinová se nˇekdy nazývá po francouzském matematikovi Carnotovi vˇetou Carnotovou a Cagnoliovy vzorce se mylnˇe pojmenovávají Mollweideovy. Ukázky zmínˇených vˇet: (Vˇeta sinová) V trojúhelníku jsou strany pˇrímo úmˇerny se siny protˇejších úhl˚u. (Vˇeta kosinová) Dvojmoc kterékoli strany trojúhelníka rovná se souˇctu dvojmocí druhých dvou stran zmenšenému o dvojnásobný souˇcin tˇechto stran a cosinu úhlu jimi sevˇreného. (Vˇeta tangentová) Souˇcet dvou stran trojúhelníka má se k jich rozdílu jako tangens poloviˇcního souˇctu protˇejších úhl˚u k tangentˇe poloviˇcního rozdílu jejich. 1

Uvedeny u další uˇcebnice.

35

§ 27. - 29. Jiné úlohy o rˇešení a sestrojování trojúhelník˚u. Student má za úkol ˇrešit úlohy týkající se trojúhelník˚u jsou-li zadány 1. dva úhly a jeho obvod, 2. dva úhly a obsah, 3. dva úhly a souˇcet výšek nebo 4. je-li dán jeden úhel, obsah a obvod. V závˇeru podkapitoly jsou sepsány neˇrešené stereometrické úlohy na výpoˇcet obsahu tˇeles. Napˇríklad: • Hlavní rˇez šikmého kužele (osový rˇez vedený kolmo na podstavu) jest trojúhelník o stranách a = 58 dm, b = 51 dm, c = 41 dm; nejkratší strana jest pr˚umˇerem podstavy. Jest vypoˇcítati obsah kužele. • Výška trojbokého jehlanu rovná se 6 dm , pata její jest stˇredem kružnice vepsané podstavˇe. Obvod podstavy jest 120 dm a strany její jsou v pomˇeru cˇ ísel 5 : 12 : 13. Jest vypoˇcítati obsah tohoto jehlanu. ˇ § 30. Rešení cˇ tyˇrúhelník˚u. V celé podkapitole se nachází dva ˇrešené a 30 neˇrešených pˇríklad˚u na výpoˇcet prvk˚u cˇ tyˇrúhelníka pomocí jeho rozdˇelení na trojúhelníky. • Rozdíl dvou sousedních stran rovnobˇežníka a − b = 4 dm, úhlopˇríˇcka u = 14 dm, úhel ostrý, protˇejší této úhlopˇríˇcce, β = 64◦ 300 . Vypocˇ ítati obsah rovnobˇežníka. (Naved. Vypoˇcítejte nejprv oba ostatní úhly trojúhelníka, v nˇemž jsou dány: a − b, u, β; pak ustanovte výšku tohoto trojúhelníka, na úhlopˇríˇcku spuštˇenou). • Lichobˇežník, jehož rovnobˇežné strany a = 6 dm, c = 2 dm, jedno rameno b = 0, 6 dm a úhel β, který tvoˇrí toto rameno s delší základnou, rovná se 25◦ 540 5100 , otáˇcí se kolem základny a; vypoˇcítati povrch a obsah toˇcného tˇelesa takto vzniklého. ˇ § 31. - 32. Rešení úloh z praktického mˇerˇictví. Paragraf 31 je vˇenován výpoˇctu vzdáleností dvou bod˚u, poslední paragraf pak výpoˇctu výšek. • Ustanoviti vzdálenost dvou bod˚u pˇrístupných A a B, jsou-li zmˇerˇeny vzdálenosti tˇretího bodu C od A i B, totiž AC = 139, 45 m, BC = 248, 9 m, a úhel BCA = 87◦ 520 2800 . • Výška pomníku AB, postaveného na svahu, ustanovena byla takto: Od paty A zmˇerˇena byla po svahu dol˚u délka AC = 7, 6 m a pak v témž smˇeru dále délka CD = 6 m; mimo to vymˇerˇeny byly úhly ACB = = 49◦ 370 2100 , ADB = 34◦ 320 3400 . Jak vysoký byl pomník?

36

Uˇcebnice Otakara Jandeˇcky a Antonína Libického vznikla pˇred více než 100 lety a proto není moc pˇrehledná. Jednotlivé odstavce na sebe tˇesnˇe navazují a ˇrádkování je nastaveno tak, že je velice tˇežké se v nˇekterých pˇríkladech neztratit. Velkou nevýhodou je také absence obrázk˚u a graf˚u goniometrických funkcí. Konkrétnˇe tato uˇcebnice byla urˇcena pro šestou tˇrídu vyšších gymnázií. Proto se zde nachází uˇcivo stereometrie i trigonometrie. V sedmém roˇcníku studenti navazují na uˇcivo a probírají látku dál (napˇríklad základní trigonometrické vˇety). Od pˇredchozích uˇcebnic se tahle odlišuje pˇredevším tím, že je psána cˇ esky a také tím, že spojuje uˇcebnici, cviˇcebnici a sbírku úloh v jednu knihu, což se do poloviny 19. století neobjevovalo. I díky tomuto se v uˇcebnici nachází 77 vzorc˚u, které studenti využívají v jednotlivých cviˇceních. Výhodou je, že u tˇežších pˇríklad˚u je alespoˇn nastínˇen postup ˇrešení, což se v novˇejších uˇcebnicích nevyskytuje. Patrný je stále vliv cizích jazyk˚u. Za nˇekterými pojmy se ještˇe i v této uˇcebnici nachází jejich latinské pˇreklady (viz. § 10.-16.). V nˇekterých uˇcebnicích vycházejících ve stejném období se dokonce objevují slovníky, které slouží k pˇrekladu matematikých pojm˚u z cˇ eštiny do nˇemˇciny, ale také do latiny a francoužštiny. Studium dané uˇcebnice by bylo pro dnešního cˇ tenáˇre obtížné i proto, že se v ní vyskytují terminologické pojmy, které se dnes už neobjevují. Napˇríklad poˇradnice (y-ová souˇradnice) nebo cˇ tvrtˇe (kvadranty). Podobnˇe jako v jiných uˇcebnicích je i zde goniometrie nˇekdy nazývána jako úhlomˇerství. Za výskyt ˇ tˇechto pojm˚u mohou první pˇreklady z nˇemˇciny. Casto se daný termín teprve hledal a terminologie se ustálila až bˇehem 20. století. Pˇrednášená látka je podána spíše heuristickou 2 metodou a metodou problémového výkladu. Nejprve je totiž uveden motivaˇcní pˇríklad, který je vyˇrešen a z nˇej pak autor (popˇrípadˇe i student) vyvozuje závˇery. Tyto metody jsou pro studenta lepší, protože se musí do studia aktivnˇeji zapojit než kdyby bylo uˇcivo na zaˇcátku kapitol jen pˇredneseno. Celkovˇe mohu ˇríci, že uˇcivo trigonometrie je zde popsáno hloubˇeji a v porovnání se souˇcasnými uˇcebnicemi i složitˇeji. Dnešní student by mˇel jistˇe s nˇekterými pˇríklady problém. Pˇredevším s tˇemi, které jsou spojeny s praxí. Ve cviˇceních se totiž cˇ asto objevují pˇríklady, které se nyní poˇcítají jen na vysokých školách pˇri studiu gegorafie a kartografie.

2

= Metoda objevitelská, hledání nových poznatk˚u ne z hypotéz, ale z jev˚u.

37

3.2

Geometrie pro šestou tˇrídu stˇredních škol. Trigonometrie rovinná a sférická.

• Autor: Josef Vinš • Vydání: Vydání pro reálky • Nakladatelství: Nákladem cˇ eské grafické akc. spoleˇcnosti "unie" • Místo a rok: Praha, 1913 Na pˇrelomu let 1909 a 1910 byly pˇrijaty nové osnovy, které vyžadovaly vydání nových uˇcebnic. Proto m˚užeme v uˇcebnicích této doby najít menší odchylky napˇríklad v oznaˇcení. Knihy vydané Jednotou cˇ eských mathematik˚u zavádí jednotné matematické oznaˇcování útvar˚u. Rozdíl je v tom, že body jsou oznaˇcovány velkými písmeny a cˇ áry malými. Uˇcebnice Josefa Vinše má oznaˇcování ještˇe zastaralé. Kniha se vˇenuje trigonometrii rovinné a sférické. Trigonometrie rovinná je popisována na 93 stranách a je rozdˇelena do tˇrech cˇ ástí. Trigonometrie sférická je obsažena na 25 stranách a skládá se ze dvou cˇ ástí. TRIGONOMETRIE ROVINNÁ. ˇ Cást prvá. § 1. Úvod. Autor zd˚urazˇnuje výpoˇcet jednotlivých prvk˚u trojúhelníka s r˚uznou pˇresností. Mimo jiné zde uvádí i historickou poznámku týkající se poˇcátk˚u trigonometrie. § 2. Definice funkcí goniometrických. Ve druhém paragrafu se student seznamuje s jednotlivými goniometrickými funkcemi. Stejnˇe jako v pˇredchozí uˇcebnici je zadán ostrý úhel α, z libovolného bodu b ramena c je spuštˇena kolmice bc na rameno b: Kolmice bc , s libovolného bodu b ramene ostrého úhlu α na druhé rameno spuštˇená, oddˇeluje pravoúhlý trojúhelník abc, jehož strany bc = a, ac = b a ab = c dávají šest r˚uzných pomˇer˚u: ac , cb , ab , ac , cb , ab . Kolmicí b0 c0 s jiného bodu b0 ramene téhož úhlu α na druhé rameno spuštˇenou oddˇelí se pravoúhlý trojúhelník ab0 c0 prvému podobný, jehož strany b0 c0 = a0 , ac0 = b0 0 0 0 0 0 0 a ab0 = c0 dávají rˇadu pomˇer˚u: ac0 , cb0 , ab0 , ac 0 , cb0 , ab 0 , jež s dˇrívˇejšími jsou stejné: 0 a0 = ac , cb0 = cb atd. Pomˇery tyto jsou urˇceny jedinˇe úhlem ostrým α, a nezávisí c0

38

na poloze kolmice bc; mˇení se jen tehdy, mˇení-li se úhel α, cˇ ili jsou funkcemi úhlu α.

Obrázek 3.2: Definice goniometrických funkcí Všech šest pomˇer˚u je ještˇe slovnˇe vyjádˇreno. Funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens jsou nazývány funkcemi úhlomˇernými cˇ ili goniometrickými, úhel α argumentem a funkce kosinus, kotangens, kosekans zkrácenˇe kofunkcemi. Doplˇnkový úhel k úhlu α je opˇet oznaˇcován R − α. Celá podkapitola je ukonˇcena historickou poznámkou o vzniku názv˚u goniometrických funkcí a nˇekolika pˇríklady k procviˇcení uˇciva. § 3. Pr˚ubˇeh sinu a kosinu. Pomocí kruhového kvadrantu rozdˇeleného na šest stejných díl˚u je naznaˇcen pr˚ubˇeh sinu a kosinu. V takto rozdˇeleném kvadrantu vzniknou pravoúhlé trojúhelníky u nichž ostrý úhel roste stejnomˇernˇe po 15◦ v daném intervalu. Díky tomuto nákresu se student pˇresvˇedˇcí, že s rostoucím ostrým úhlem vzr˚ustají (resp. klesají) i hodnoty sinu (resp. kosinu). Pomocí cˇ tverce rozdˇeleného úhlopˇríˇckou student zjistí, že sin 45◦ = cos 45◦ . Nakonec jsou uvedeny vzorce plynoucí z definic (a = c sin α, atd.) a pˇríklady k procviˇcení. § 4. Pr˚ubˇeh tangenty a kotangenty. Obdobnˇe jako v pˇredchozím paragrafu je popsán pr˚ubˇeh funkcí tangens a kotangens. § 5. Tabulky funkcí goniometrických. Zde se nachází celostránková tabulka goniometrických funkcí a dvoustránkové vysvˇetlení, co se v ní m˚uže hledat a jak. Hodnoty funkce jsou zaokrouhleny na tˇri desetinná místa. Hodnoty funkcí necelých úhl˚u se urˇcují podobnˇe jako v pˇredchozí uˇcebnici a to tak, že: K danému úhlu vyjádˇrenému desetinami stupnˇe najdeme pˇríslušnou hodnotu funkce, vyhledáme-li v tabulce funkci úhlu nejblíže menšího (vyjádˇreného celými stupni), a k této pˇri funkcích korrekci pˇriˇcteme, pˇri kofunkcích korrekci odeˇcteme.

39

Korrekci vypoˇcteme, když differenci dvou mezných hodnot funkcí dˇelíme deseti a násobíme poˇctem desetin stupnˇe. Opˇet jsou uvedeny pˇríklady na procviˇcení. Jsou podobné tˇem v dnešních uˇcebnicích. Napˇríklad: • S balkonu, který jest 9 m nad rovinou, vidíme vrchol továrního komínu pod výškovým úhlem 16◦ 180 a patu pod hloubkovým úhlem α = 6◦ 120 ; jak vysoký jest komín? • Která jest zemˇepisná šíˇrka místa, když v dobˇe rovnodennostní v poledne svislý sloup 20 m vysoký vrhá na rovinu vodorovnou stín 28, 75 m dlouhý? ˇ § 6. Rešení trojúhelníka pravoúhlého. Studenti mají za úkol urˇcit zbývající cˇ ásti pravoúhlého trojúhelníka. Zadané parametry trojúhelníka mohou být strany, úhly, jeho obsah, výška, úseky pˇrepony, polomˇer kružnice vepsané nebo osy úhl˚u. Pˇríklady na procviˇcení se od dnešních hodnˇe odlišují. Nachází se zde pˇredevším pˇríklady z oblasti geografie, astronomie a navíc od pˇredchozích uˇcebnic i z fyziky. Uvádím pˇríklady z každého oboru: • Lod’ pluje z místa a rychlostí 9 uzl˚u 3 hod. na SSV do c, pak 4 hod. na VJV do b, jak daleko a v kterou stranu jsou od sebe místa a a b vzdálena? • Sílu 61 kg jest rozložiti na dvˇe složky k sobˇe kolmé, z nichž jedna jest 11 kg; jak velká jest druhá, a jaký úhel svírá s danou silou? • Horizontální paralaxa mˇesíce jest 570 2000 ; vypoˇctˇete vzdálenost stˇred˚u mˇesíce a zemˇe a) v polomˇerech zemských, b) v kilometrech! (Polomˇer zemský = 6371 km.) ˇ § 7. Rešení trojúhelníka rovnoramenného. Klasické pˇríklady na urˇcení zbývajících prvk˚u rovnoramenného trojúhelníka, které se zjistí pomocí jeho rozdˇelení na dva pravoúhlé trojúhelníky. ˇ § 8. Rešení pravidelných mnohoúhelník˚u a úloh o kruhu. V paragrafu osm je odvozen výpoˇcet obsahu kruhové výseˇce a její výšky. Následuje 16 neˇrešených úloh. Pro úplnˇejší pˇredstavu uvádím nˇekteré z nich. • Kružnici jest vepsán a opsán pravidelný n-úhelník; jak velký jest poˇcet stran (n), je-li plocha opsaného mnohoúhelníka 1 31 krát vˇetší než plocha vepsaného mnohoúhelníka.

40

• Spoleˇcná tˇetiva dvou se protínajících kružnic jest t = 75, 4, pˇríslušné stˇredové úhly v obou kružnicích jsou α = 75◦ , α1 = 92◦ ; jak velký jest obsah spoleˇcné cˇ ásti obou kruh˚u? • Tˇetiva dˇelí kolmý pr˚umˇer v pomˇeru 1:3, ve kterém pomˇeru dˇelí obvod a plochu kruhu? ˇ § 9. Rešení úloh stereometrických. V posledním paragrafu první cˇ ásti se studenti dozvídají, že pr˚umˇet úseˇcky na rovinu se rovná délce této úseˇcky násobené kosinem odchylky úseˇcky od roviny. S tímto pak poˇcítají pˇríklady. ˇ Cást druhá. § 10. Všeobecné definice funkcí goniometrických. V této cˇ ásti textu se nachází rozšíˇrení definice goniometrických funkcí na celou reálnou osu. Souˇradnicové osy jsou nazývány osy pravoúhelné, kvadranty cˇ tvrtˇe, x-ová souˇradnice úseˇcka, y-ová souˇradnice poˇradnice a spojnice poˇcátku souˇradnic a daného bodu pr˚uvodiˇc. Goniometrické funkce se tedy mohou definovat pomocí pomˇer˚u poˇradnic, úseˇcek a pr˚uvodiˇce. Podkapitola obsahuje i tabulku znázorˇnující znaménka souˇradnic v jednotlivých kvadrantech a pˇríklady k procviˇcení. § 11. Pr˚ubˇeh sinu a kosinu v intervallu od 0 do 4 R. Pomocí jednotkové kružnice a shodnosti trojúhelník˚u jsou popsány vlastnosti pr˚ubˇehu funkce sinus a kosinus a odvozeny vztahy sin(2R − α) = sin α, sin(2R + α) = − sin α, sin(4R − α) = − sin α, cos(2R − α) = − cos α, cos(2R + α) = − cos α, cos(4R − α) = = cos α, sin(R+α) = cos α, cos(R+α) = − sin α. Paragraf je ukonˇcen zakreslením sinusoidy. Kosinusoida ještˇe sv˚uj název nemá. Je nazývána jako sinusoida posunutá o cˇ tvrtinu své délky v levo. § 12. Pr˚ubˇeh tangenty a kotangenty v intervalu od 0 do 4 R. Obdobnˇe jako v pˇredchozím paragrafu je popsán pr˚ubˇeh tangenty a kotangenty. § 13. Logarithmy funkcí goniometrických. Stejnˇe jako u pˇredchozí uˇcebnice je i zde zavedeno poˇcítání logaritm˚u goniometrických funkcí. Rozdíl je jen v tom, že v této knize je cˇ ást tabulky zakresleno a vysvˇetleno hledání v ní. Pˇri poˇcítání logaritmu goniometrické funkce necelého úhlu se postupuje stejnˇe. Opˇet se k logaritmu úhlu neblíže nižšímu pˇriˇcítá cˇ i odeˇcítá korekce (diference dvou mezních

41

logaritm˚u násobená poˇctem vteˇrin a dˇelená šedesáti). § 14. Funkce úhl˚u tupých a vypuklých a jich logarithmy. Pˇríklady na výpoˇcet hodnoty goniometrických funkcí úhl˚u vˇetších než 90◦ pomocí známých vztah˚u funkcí úhl˚u ostrých s pˇríslušným znaménkem. Úhly vˇetší než 180◦ jsou nazývány vypuklé. § 15. Funkce úhl˚u vˇetších než 4 R a úhl˚u záporných. Pˇrehledné vysvˇetlení toho, že goniometrické funkce jsou periodické. Nechybí ani zakreslení kˇrivky sinové, kosinové, tangentové a kotangentové. Odlišností je pojmenování úhl˚u vˇetších než 360◦ jako pˇrevypuklé. § 16. Základní vzorce goniometrické. Objasnˇení nˇekterých jednoduchých algebraických vztah˚u. Pomocí 12-ti odvozených vzorc˚u má student vyˇrešit nˇekolik zadaných pˇríklad˚u. § 17. Funkce souˇctu a rozdílu dvou úhl˚u. Prostˇrednictvím obrázk˚u autor odvozuje vzorce pro souˇcet a rozdíl dvou úhl˚u. Poté vzorce dokáže i pro úhly vypuklé (vˇetší než 180◦ ). V závˇeru je umístˇena historická poznámka o tom, že jako první dané vzorce odvodil Ptolemaeus a nˇekolik pˇríklad˚u k procviˇcení. § 18. Funkce úhlu dvojnásobného a poloviˇcního. Odvození vztah˚u pro dvojnásobný a poloviˇcní úhel pomocí dosazení za α = β a α = α2 do pˇredchozích vzorc˚u. Pˇríklady na procviˇcení se od dnešních moc neliší. Klade se jen vˇetší d˚uraz na d˚ukazy správnosti vztah˚u. Napˇríklad: • cos α = •

1−tg2 1+tg2

α 2 α 2

cos2 α 1+sin 2α

• cos α2

= tg(45 − α) √ √ = 12 ( 1 + sin α − 1 − sin α)

§ 19. Souˇcet a rozdíl sin˚u a kosin˚u dvou úhl˚u. Odvození vzorc˚u pro souˇcet a rozdíl sin˚u a kosin˚u dvou úhl˚u a jejich procviˇcení na velkém množství neˇrešených úloh. § 20. Rovnice goniometrické. ˇ Rešení základních goniometrických rovnic. Dále je v textu vysvˇetleno, že pˇri ˇrešení tˇechto

42

rovnic dostáváme nˇekolik výsledk˚u, a že pˇri ˇrešení rovnice o více funkcích je nutné ji pˇrevést na rovnici obsahující jen jednu. Druhou cˇ ást uzavírá 33 neˇrešených pˇríklad˚u. ˇ Cást tˇretí. ˇ § 21. Vˇeta sinová. Rešení trojúhelníka kosoúhlého vˇetou sinovou. Nachází se zde odvození sinové vˇety pomocí výšek trojúhelníka, historická poznámka o jejím vzniku, její rozšíˇrení o poˇcítání s využitím pr˚umˇeru kružnice opsané a pˇríklady na procviˇcení. ˇ § 22. Rešení trojúhelníka kosoúhlého užitím pomocného trojúhelníka pravoúhlého. Pˇríklady na ˇrešení obecného trojúhelníka je-li zadaná vc , a, α nebo a, β, uγ (osa úhlu γ). ˇ § 23. Vˇeta kosinová. Rešení trojúhelníka kosoúhlého vˇetou kosinovou. Odvození kosinové vˇety a pˇríklady na její použití. V poznámce je uvedeno, že pro zjedno. dušení výpoˇctu lze psát vˇetu kosinovou ve tvaru 2b cos α = c − (a+b)(a−b) c § 24. Vˇeta tangentová. Autor odvodil vˇetu tangentovou a vložil zde historickou poznámku a neˇrešené pˇríklady. Slovní vyjádˇrení této vˇety zní: Souˇcet dvou stran v trojúhelníku kosoúhlém má se k jejich rozdílu, jako tangenta poloviˇcního souˇctu protilehlých úhl˚u k tangentˇe poloviˇcního rozdílu jejich. § 25. Vzorce Mollweide-ovy. Tyto vzorce3 se v dnešních uˇcebnicích už nevyskytují. Používají se stejnˇe jako kosinová vˇeta pˇri ˇrešení trojúhelníka, u kterého známe dvˇe strany a úhel jimi sevˇrený. Každá rovnice obsahuje pˇet veliˇcin. Abychom s nimi mohli poˇcítat musíme znát alespoˇn tˇri z nich a zbylé dopoˇcítat pomocí ˇrešení dvou rovnic. Ukázka Mollweideových vzorc˚u: : cos γ2 (a − b) : c = sin α−β 2 (a + b) : c = cos α−β : sin γ2 2 § 26. Funkce poloviˇcního úhlu. Pomocí trojúhelníka a kružnice vepsané jsou odvozeny vzorce pro tangentu poloviˇcního úhlu. 3

Mollweideovy vzorce znal již Newton (1707). Znovu je nezávisle na nˇem odvodili Delambre (1807), Mollweide (1808), Gauss (1809), Cagnioli (1816).

43

ˇ § 27. Rešení cˇ tyˇrúhelník˚u. Pˇríklady na zjištˇení zbylých prvk˚u kosodélníku, lichobˇežníku, r˚uznobˇežníku a r˚uznobˇežníku vepsaného do kružnice pomocí jejich rozdˇelení na trojúhelníky. § 28. Praktické užití trigonometrie v geodesii. V tomto paragrafu se nachází pˇríklady na praktické využití trigonometrie. Jde o pˇríklady kde máme 1. stanovit vzdálenost dvou míst, která kv˚uli pˇrekážce nem˚uže být pˇrímo zmˇeˇrena, 2. stanovit vzdálenost nepˇrístupného bodu od pˇrístupného bodu, 3. stanovit vzdálenost bodu p od tˇrí daných bod˚u a, b, c, jsou-li dány úhly β a γ, pod kterými lze spatˇrit vzdálenosti ac = b a ab = c z bodu p a úhel bac = α (zde je jako pˇríklad uvedena Pothenotova úloha4 ), 4. stanovit smˇerový úhel a délku polygonové strany, jsou-li dány pravoúhlé souˇradnice koncových bod˚u, 5. stanovit souˇradnice polygonometrického bodu, jsou-li dány souˇradnice druhého bodu, jejich vzdálenost a smˇer. Kapitola je doplnˇena dvoustránkovým popisem triangulaˇcní metody a fotkou teodolitu5 . § 29. Mˇerˇení výšek. V poslední podkapitole této cˇ ásti jsou uvedeny pˇríklady na výpoˇcet výšek. Napˇríklad: • Vypoˇctˇete výšku cd balonu nad zemí, byla-li zmˇerˇena základna ab = = 250 m, úhly cab = α = 22◦ 360 , cba = β = 49◦ 270 a úhel výškový cad = γ = 30◦ 70 , kdež c jest myšlená pata kolmice, s balonu d na zemi spuštˇená. • Aby stanovena byla výška hory, zmˇerˇena byla v rovinˇe základna ab = = a = 1600 m, která v prodloužení patou hory neprochází; z místa a pozorován byl vrchol c hory v úhlu výškovém γ = 23◦ 190 , mimo to zmˇerˇeny úhly cab = α = 86◦ 430 aabc = β = 87◦ 120 . Jak vysoká jest hora? TRIGONOMETRIE SFÉRICKÁ. § 30. Úvod. V úvodu je definován sférický trojúhelník jako cˇ ást kulové plochy, která vznikla tak, že stˇeny trojhranu protnuly kulovou plochu ve tˇrech kruhových obloucích. Nachází se zde i historická poznámka o poˇcátcích sférické trigonometrie. 4

Pothenot byl uˇcitel matematiky v Paˇríži (1692). Úloha je po nˇem nazývána neprávem. Poprvé toto ˇrešení podal Snellius, uˇcitel matematiky v Leidˇe, ve spise Eratosthenes Batavus roku 1617. 5 Pˇrístroj na pˇresné mˇeˇrení a vytyˇcování vodorovných a výškových úhl˚u.

44

Obrázek 3.3: Sférický trojúhelník

§ 31. Sférický dvojúhelník. Definování sférické vzdálenosti a sférického dvoujúhelníka. § 32. Sférický trojúhelník. Vypsány nˇekteré základní vlastnosti sférického trojúhelníka, jako napˇríklad, že souˇcet jeho úhl˚u je vˇetší než 180◦ a menší než 540◦ . ˇ Cást cˇ tvrtá. § 33. Základní vˇety o sférickém trojúhelníku pravoúhlém. V této podkapitole je sepsáno 6 základních vˇet o pravoúhlém sférickém trojúhelníku, nˇekolik pˇríklad˚u k procviˇcení a Neperovo pravidlo, které zní: Seˇradíme-li prvky sférického trojúhelníka pravoúhlého do kruhu tak, že nejvýše napíšeme pˇreponu, po stranách kosé úhly k pˇreponˇe pˇrilehlé, a proti nim doplˇnky protilehlých odvˇesen, rovná se kosinus kterékoliv veliˇciny souˇcinu kotangent (resp. sin˚u) obou veliˇcin pˇrilehlých (resp. protilehlých). ˇ § 34. Rešení sférického trojúhelníka pravoúhlého. Poˇcítání pˇríklad˚u kdy jsou u pravoúhlého sférického trojúhelníka zadány dva prvky a zbývající se dopoˇcítávají pomocí Neperova pravidla.

45

Obrázek 3.4: Neperovo pravidlo ˇ § 35. Rešení sférického trojúhelníka rovnoramenného a pravidelného mnohoúhelníka. Zadané útvary jsou rozdˇeleny na pravoúhlé trojúhelníky a zbylé prvky dopoˇcítány opˇet pomocí Neperova pravidla. ˇ § 36. Rešení úloh stereometrických. Výpoˇcet pˇríklad˚u typu: • V rovinˇe σ, odchýlené od pr˚umˇetny ρ o úhel β = 62◦ 310 , vedena jest pˇrímka A svírající s rovinou ρ úhel α = 45◦ 470 ; vypoˇctˇete, který úhel svírá pr˚useˇcnice obou rovin a) s pˇrímkou A, b) s jejím pr˚umˇetem A1 . • Cirkon krystaluje v jehlanech cˇ tvereˇcných; je-li úhel dvou stˇen sousedních poboˇcných β = 123◦ 200 , stanovte pomˇer os krystalu. ˇ Cást pátá. § 37. Základní vˇety o sférickém trojúhelníku obecném. Odvození sinové vˇety, první a druhé kosinové vˇety pro sférický trojúhelník. sin a : sin b : sin c = sin α : sin β : sin γ cos a = cos b cos c + sin b sin c cos α cos α = − cos β cos γ + sin β sin γ cos a ˇ § 38. Rešení sférického trojúhelníka obecného. ˇ Rešení sférického trojúhelníka pomocí sinové a obou kosinových vˇet, jsou-li zadané tˇri jeho prvky. ˇ § 39. Rešení úloh stereometrických. Pˇríklady na výpoˇcet pr˚umˇetu úhlu a obsah cˇ tyˇrstˇenu.

46

§ 40. Úlohy geografické a astronomické. Závˇereˇcná kapitola uˇcebnice se vˇenuje úlohám z geografie a astronomie. Jsou zde vysvˇetleny termíny jako výška hvˇezdy, zemˇepisná šíˇrka, deklinace, hodinový úhel, rovníkové souˇradnice, hvˇezdný cˇ as, nautický cˇ as atd. Tyto termíny jsou pak využity v zadání úloh: • Vypoˇctˇete vzdálenost mˇest Praha (50◦ 50 1900 s.š., 14◦ 250 5700 v.d.), Petrohrad (59◦ 560 3100 s.š., 30◦ 180 5300 v.d.!) • Vypoˇctˇete dobu nejdelšího dne pro Prahu! • Jak velká jest astronomická délka a šíˇrka hvˇezdy, je-li její deklinace δ = 52◦ 180 a rektascence α = 38◦ 450 ? Aˇckoliv uˇcebnice Josefa Vinše vznikla jen o pár let pozdˇeji než uˇcebnice Jandeˇcky a Libického, je narozdíl od ní velice pˇrehledná. Student se v ní lehko orientuje díky zvýraznˇeným nadpis˚um a lépe zvolenému ˇrádkování. Dokonce autor pˇrímo do textu vložil cˇ ást potˇrebných tabulek. Výhodou pro studium je také to, že autor d˚uležité vˇety zvýraznil kurzívou. Kniha je urˇcená pro reálky a tak narozdíl od gymnazijních uˇcebnic obsahuje jak uˇcivo trigonometrie rovinné, tak trigonometrie sférické. Vhodné je i rozložení látky jen do jednoho roˇcníku. A to díky tomu, že na reálkách byla matematika více hodinovˇe dotována. S cˇ ímž souvisí i to, že uˇcivo bylo obsáhlejší a dá se ˇríci, že v porovnání s tehdejšími uˇcebnicemi pro gymnázia nebo s dnešními, bylo také složitˇejší a bráno více do podrobností. Kladl se d˚uraz pˇredevším na praktické uplatnˇení uˇciva, protože reálky pˇripravovaly studenty i na inženýrské studium matematiky. A právˇe kv˚uli tomu je trigonometrii vˇenována taková pozornost a i v této práci je uˇcebnice Josefa Vinše rozepsána nejvíce. Další rozdílnost od dnešních uˇcebnic je ta, že se v knize nachází cˇ etné historické poznámky, které jsou dle mého soudu velice d˚uležité. Student si díky nim m˚uže dát spoustu vˇecí do souvislosti a pochopit rozdílnost v pokroku mezi jednotlivými kontinenty cˇ i zemˇemi. Velkým plusem uˇcebnice je i to, že uˇcivo je více komentováno než dnes a tak žák lépe a rychleji dané pochopí. Domnívám se ale, že autor mohl nˇekteré jednodušší d˚ukazy (jako napˇríklad odvození obdobného vzorce cˇ i tvrzení) nechat na studentovi a tím ho aktivnˇeji zapojit do studia. Za to, že je látka tak obsáhlá, m˚uže i velké množství praktických pˇríklad˚u, které se v dnešních uˇcebnicích neobjevují a opˇet se poˇcítají pouze na vysokých školách v oborech jako je geografie a kartografie. Kromˇe toho se zde navíc nachází i vˇeta tangentová, Mollweideovy vzorce a vysvˇetlení triangulaˇcní metody. Naopak od pˇredchozích uˇcebnic se liší tím, že se v ní už objevuje graf sinusoidy, kosinusouidy i kˇrivky pro funkci tangens a kotangens. Nevýhodou ale je, že zde nejsou nikde

47

vypsány výsledky neˇrešených úloh, a tak si student své výpoˇcty nem˚uže nijak zkontrolovat. Studium uˇcebnice by bylo pro dnešního studenta stížené odlišným oznaˇcením pˇrímek a bod˚u jaké známe dnes. Pˇrímky i body autor oznaˇcuje malými písmeny, což zp˚usobuje zmatek pˇri studiu nˇekterých obrázk˚u. Domnívám se, že toto oznaˇcení je v knize kv˚uli tomu, že nebyla vydána Jednotou cˇ eských matematik˚u, která v té dobˇe zavádˇela už nám známé oznaˇcování útvar˚u. Stížené cˇ tení by student mˇel i kv˚uli menším odlišnostem v terminologickém pojmenování. Napˇríklad se zde používá zkratka cof(α) pro funkce kosinus, kotangens a kosekans, dále pak termíny jako úhly vypuklé (= vˇetší než 180◦ ), úhly pˇrevypuklé (= vˇetší než 360◦ ) nebo cˇ tvrtˇe (= kvadranty). Celkovˇe hodnotím uˇcebnici velice kladnˇe. Myslím, že je vhodným pramenem ke studiu ve škole a díky své pˇrehlednosti i k samostudiu. Ale je jasné, že pokud by mˇela být tato uˇcebnice používána i v souˇcasnosti, musela by se zvýšit hodinová dotace matematiky.

3.3

Geometrie pro VI. tˇrídu škol stˇredních

• Autor: Jan Vojtˇech • Vydání: Tˇretí vydání upravené • Nakladatelství: Nákladem Jednoty cˇ eskoslovenských matematik˚u a fysik˚u • Místo a rok: Praha, 1922 Na prvních stranách uˇcebnice se nachází úvod, ve kterém je vysvˇetlován obsah trigonometrie. Autor o této disciplínˇe ˇríká, že hledá vztahy mezi stranami a úhly trojúhelníku a užívá nalezených vztah˚u k výpoˇctu neznámých prvk˚u, závislých na daných prvcích geometrických útvar˚u. Dále popisuje, ve kterých vˇedách se trigonometrie používá a kdo se zasloužil o její rozvoj. Uˇcebnice má celkem 156 stran a je rozdˇelena do cˇ tyˇr kapitol: I. Základy, II. Goniometrie, III. Trigonometrie rovinná, IV. Trigonometrie sférická. U poslední kapitoly je pak v poznámce napsáno, že je urˇcena pouze pro reálky. Jednotlivé cˇ ásti jsou dále cˇ lenˇeny na paragrafy. Tˇech je v uˇcebnici 16. Na konci knihy jsou uvedeny úkoly k opakování a tˇrímístná tabulka hodnot goniometrických funkcí. I. Základy § 1. Sinus a kosinus. V prvním paragrafu je vysvˇetlen pojem sinu.

48

Budiž dán ostrý úhel α. Ved’me k jednomu rameni jeho kolmice BC, B 0 C 0 , B 00 C 00 , ...; protože úseky na rovnobˇežných pˇríˇckách, paprsky protínajících, 0 0 00 00 , C B , CABB00 a úseky na paprscích jimi prot’atých jsou úmˇerny, jsou pomˇery CB AB AB 0 ...sobˇe rovny. Jim byly by rovny také obdobné pomˇery úseˇcek, kolmých k druhému rameni AB úhlu α, a úseˇcek, kolmicemi tˇemi omezených na paprsku AC (na základˇe podobnosti trojúhelník˚u). Staˇcí tedy vzíti v úvahu jeden z tˇechto všech pomˇer˚u sobˇe rovných, tj. pomˇer odvˇesny proti úhlu α ležící a pˇrepony v jediném trojúhelníku pravoúhlém, na pˇr. v trojúhelníku ABC. Sestrojíme-li úhly α rozmanité velikosti a k nim pravoúhlé trojúhelníky ABC, ; sestrojíme-li navidíme, že k r˚uzným úhl˚um patˇrí r˚uzné hodnoty pomˇeru CB AB CB opak k urˇcitým hodnotám pomˇeru AB pravoúhlé trojúhelníky ABC, vidíme, že k r˚uzným hodnotám pomˇeru toho patˇrí r˚uzné úhly α, ke každému pomˇeru jediný úhel. Udavatel pomˇeru toho závisí tedy poze na velikosti úhlu α, jest funkcí úhlu cˇ ili funkcí goniometrickou (úhlomˇernou) a sluje sinus úhl˚u α; píšeme zkrácenˇe sin α, vyslovujíce struˇcnˇe sinus α.

Obrázek 3.5: Definování goniometrických funkcí Dále jsou v tomto paragrafu popsány hodnoty funkce sin α, i to, že je v nˇekterých pˇrípadech dokážeme urˇcit pomocí planimetrichých vˇet. Napˇríklad sin 45◦ m˚užeme urˇcit z pravoúhlého trojúhelníka, který získáme rozdˇelením cˇ tverce jeho úhlopˇríˇckou na dva rovnoramenné trojúhelníky. Na dalších stranách je popsáno grafické znázornˇení sinu. Nejprve pomocí kružnice a poté pomocí pˇrenesení délek oblouk˚u jednotlivých úhl˚u i pomocí kˇrivky. Analogicky je zde popsána i teorie k funkci kosinus. Paragraf je ukonˇcen uvedením základní rovnice sin2 α + cos2 α = 1 a úkoly k procviˇcení uˇciva. • Narýsujte podle tabulky hodnot kosinu a) 70 41 ◦ , b) 40◦ , c) 84, 5◦ . • Zjednodušte výraz:

sin2 α−sin2 β cos2 α−cos2 β

49

§ 2. Tangens a kotangens. Obdobným zp˚usoben jako v prvním paragrafu jsou ve druhém popsány funkce tangens a kotangens. ˇ § 3. Rešení pravoúhlého trojúhelníku (A). V této cˇ ásti je studentovi vysvˇetleno, jak m˚uže daných funkcí použít k výpoˇctu chybˇejicích prvk˚u v trojúhelníku a v jiných rovinných cˇ i prostorových útvarech napˇr. v pravidelném mnohoúhelníku nebo v rotaˇcním kuželi. • Strana rot. kužele s (= 5, 6 cm) svírá s podstavou úhel α (= 68◦ 320 ); urˇciti jest plášt’ a objem kužele. • Budova pro panorama má p˚udorys ve tvaru pravid. osmiúhelníku, jehož strana je 6, 5 m; urˇcete obsah p˚udorysu. Budova má stˇrechu výšky 5 m; urˇcete povrch stˇrechy. • Balon ve tvaru koule pr˚umˇeru 20 m spatˇrujeme v zorném úhlu 1◦ 300 ; urˇcete vzdálenost jeho od místa pozorovacího. Jak vysoko jest balon, jeli elevaˇcní úhel stˇredu jeho 48 21 ◦ ? II. Goniometrie § 4. Funkce úhlu ostrého. Ze tˇrí stran trojúhelníku je možné utvoˇrit šest r˚uzných pomˇer˚u, proto je zde zavedeno šest funkcí a to: sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekans, kosekans.6 Dále je zde popsána souvislost funkcí daného úhlu s funkcí úhlu doplˇnkového, možnosti vyjádˇrit jednu funkci druhou a znázornˇení funkcí v kružnici. § 5. Funkce úhlu obecného. Funkce obecného úhlu je zde vysvˇetlována takto: Bud’tež v rovinˇe dvˇe k sobˇe kolmé pˇrímky x (horizontální) a y (vertikální), jež se protínají v bodˇe O a rozdˇelují rovinu na cˇ tyˇri cˇ tvrti. Poloha libovolného bodu B jest jednoznaˇcnˇe urˇcena svými vzdálenostmi od tˇechto pˇrímek (os), t.j. souˇradnicemi x (úseˇckou) a y (poˇradnicí). Jak známo, poˇcítáme úseˇcky na ose x od poˇcátku na jednu stranu (na pravo) kladnˇe, na druhou zápornˇe, poˇradnice na ose y od bodu O v jednom smyslu (nahoru) kladnˇe, v druhém zápornˇe. Souˇradnice bodu v I. cˇ tvrti mají znaménka ++, v II. cˇ tvrti -+, v III. cˇ tvrti –, ve IV. cˇ tvrti +-. 6

Sekans je pomˇer pˇrepony ku pˇrilehlé odvˇesnˇe, kosekans je pomˇer pˇrepony ku protilehlé odvˇesnˇe.

50

Bod B spojme s poˇcátkem souˇradnic O pr˚uvodiˇcem OB = r. Úhel, jejž svírá pr˚uvodiˇc bodu B s kladným smyslem osy x, oznaˇcme α. Funkce úhlu α definujeme pomˇery souˇradnic x, y a pr˚uvodiˇce r bodu B (berouce pr˚uvodiˇc r vždy za kladný).

Obrázek 3.6: Funkce obecného úhlu V dalším textu jsou pak popsány funkce tupého úhlu, úhlu vˇetšího než 180◦ (ten je zde nazýván jako úhel vypuklý) a jejich vlastnosti jako grafické znázornˇení, hodnoty a periodiˇcnost. § 6. Funkce souˇctu a souˇcet funkcí. V tomto paragrafu jsou popsány a odvozeny souˇctové vzorce, vzorce pro dvojnásobný argument, pro poloviˇcní úhel a pro souˇcet a rozdíl funkcí. K popisu sin (α + β) je zde použito názorného obrázku sˇcítání dvou ostrých úhl˚u a vyjádˇrení pomˇer˚u r˚uzných stran. Dokažte, že platí: • sin 50◦ − sin 70◦ + sin 10◦ = 0 • tg γ + tg δ =

sin(γ+δ) cos γ cos δ

§ 7. Hodnoty funkcí a jejich logaritmy Logaritmy ve spojení s goniometrií se v dnešních uˇcebnicích už v˚ubec nevyskytují. Pokud se v pˇríkladu vyskytuje násobení, dˇelení, mocnˇení a odmocˇnování je lepší vypoˇcítat hodnotu goniometrické funkce pomocí logaritm˚u. Tato možnost je pohodlnˇejší a rychlejší, a proto byly sestaveny tabulky logaritm˚u goniometrických cˇ ísel. Tyto tabulky jsou však

51

podrobnˇejší než tabulky goniometrických cˇ ísel, a tak je i vyhledávání v nich složitˇejší. Proto konec tohoto paragrafu je vˇenován užití tabulek. § 8. Rovnice goniometrické ˇ se zde základní goniometrické rovnice, rovnice s nˇekolika funkcemi neznámého úhlu, Reší rovnice s funkcemi výraz˚u obsahujících neznámý úhel a rovnice s dvˇema neznámými úhly. Jest rˇešiti dané rovnice: √ • sin 5α = 12 2 • sin α + tg α = 1 + cos α √ • tg α + sec α = 3 III. Trigonometrie rovinná ˇ § 9. Rešení pravoúhlého trojúhelníku (B). Paragraf 9 je zamˇeˇren na ˇrešení pravoúhlého trojúhelníku, tentokrát s využitím logaritmických tabulek. Dále se zde ˇreší trojúhelník, ve kterém nejsou zadány dva základní prvky, ale prvky nezávislé, jako je napˇríklad souˇcet odvˇesen, obsah, výška, polomˇer kružnice opsané atd. Na pˇríklady s pravoúhlým trojúhelníkem navazují pˇríklady s pravidelným n-úhelníkem (skládá se totiž z n rovnoramenných trojúhelník˚u, jejichž úhel pˇri vrcholu je ◦ ) a s kruhovou úseˇcí. roven 360 n • Zdánlivý (stˇrední) polomˇer mˇesíce jest 150 31, 700 , jeho (stˇrední) vzdálenost od zemˇe d = 384415 km. Vypoˇctˇete skuteˇcný pr˚umˇer mˇesíce; kolikátou cˇ ást oblohy pokrývá mˇesíc? • Jak daleko (ve stupních a v km) dohlédne pozorovatel na Snˇežce (pokládáme-li zemi za kouli a nepˇrihlížíme-li k lomu paprsk˚u v ovzduší)? • Koleje zahýbají v kruhovém oblouku, jehož tˇetiva jest 50 m, výška 0, 5 m; jest urˇciti polomˇer oblouku. § 10. Hlavní vˇety trigonometrické. V tomto paragrafu je odvozena a zmínˇena vˇeta sinová (rozdíl od pˇredchozích i souˇcasných uˇcebnic je v tom, že vˇeta sinová je zde odvozena nejen pomocí výšky, ale také pomocí vlastností stˇredového a obvodového úhlu), kosinová, tangentová a vˇeta o pr˚umˇetech. ˇ § 11. Rešení obecného trojúhelníku (A). Podkapitola je vˇenována pˇríklad˚um na výpoˇcet zbývajících prvk˚u trojúhelníka pokud je

52

známa 1. strana a dva úhly, 2. dvˇe strany a úhel jimi sevˇrený, 3. všechny tˇri strany a 4. dvˇe strany a úhel protilehlý. § 12. Jiné vˇety trigonometrické; rˇešení trojúhelníku (B). V paragrafu 12 jsou sepsány vzorce pro poloviˇcní úhel, vzorce pro výpoˇcet obsahu trojúhelníka a Cagnoliovy rovnice (V poznámce je uvedeno, že tyto vztahy znal již Newton. Pozdˇeji byly objeveny Cagnolim, Delambrem, Mollweidem a jinými.). Paragraf je ukoncˇ en pˇríklady na ˇrešení trojúhelníka pomocí tˇechto pouˇcek. ˇ § 13. Rešení trojúhelníku (C); cˇ tyˇrúhelník a mnohoúhelník. Pˇríklady na ˇrešení trojúhelníka známe-li výšku, polomˇer kružnice vepsané cˇ i opsané, osu úhlu nebo tˇežnice. Dále se zde nachází pˇríklady na výpoˇcet prvk˚u cˇ tyˇrúhelníka, který rozdˇelujeme pomocí úhlopˇríˇcek na trojúhelníky a na výpoˇcet prvk˚u mnohoúhelník˚u. √ • Dokažte, že pro obsah cˇ tyˇrúhelníku dvojstˇredového platí P = abcd. • Kolmý jehlan cˇ tyˇrboký s obdélníkovou základnou má poboˇcné hrany c = 101, jich úhel se základnou jest α = 78◦ 340 4500 , objem jehlanu V = 25, 445; jest urˇciti hrany podstavné. • Jest rˇešiti pˇetiúhelník, je-li dáno a = 12, b = 8, c = 13, d = 25, α = 124◦ 120 600 , β = 132◦ 170 1800 , γ = 87◦ 120 3600 . § 14. Užití v praktické geometrii. V úvodu je ˇreˇceno, že rovinná trigonometrie je nezbytnou pom˚uckou zemˇemˇeˇrictví cˇ ili praktické geometrie. Pomocí ní jsou zde ˇrešeny pˇríklady na urˇcování obsah˚u mnohoúhelník˚u, urˇcování výšek, vzdáleností. Poprvé v této uˇcebnici se objevuje Snellova úloha7 . Velkým rozdílem od dnešních uˇcebnic je také to, že v závˇeru je dopodrobna popsána metoda triangulace a geodetické úlohy ˇrešené na základˇe pravoúhlých souˇradnic. V podkaˇ pitole nechybí ani obrázky pˇrístroj˚u, mapa zemí koruny Ceské a 25 neˇrešených pˇríklad˚u k procviˇcení. • Dvˇe místa A a B, z nichž není jedno z druhého viditelno, mají býti spojena pˇrímým tunelem; abychom mohli urˇciti jeho délku, zvolíme bod C stranou položený a zmˇerˇíme AC = 216m, BC = 174, 5m a úhel ACB = 76◦ 190 3000 . Jak dlouhý bude tunel a kterým smˇerem (z A i B) bude veden? 7

Vypsána u další uˇcebnice.

53

• Dvˇe úseˇcky AB, BC téže pˇrímky jeví se z bodu D mimo ni ležícího stejnˇe dlouhé; známe-li vzdálenost a, b, c bodu D od bod˚u A, B, C, jak urˇcíme skuteˇcnou a zdánlivou velikost úseˇcek? IV. Trigonometrie sférická ˇ § 15. Rešení pravoúhlého trojúhelníku. Toto uˇcivo se v dnešních uˇcebnicíh goniometrie také nevyskytuje. Jsou zde ˇrešeny pˇríklady a rovnice s pravoúhlým trojhranem (sférický trojúhelník) a vysloveno Neperovo pravidlo. ˇ § 16. Rešení obecného trojúhelníku. Zde se ˇreší pˇríklady s trojhranem pomocí vˇety sinové, kosinové a s využitím pomocných vzorc˚u, dále také užití ve sférickéqastronomii. Narozdíl od jiných uˇcebnic se v této objetg s−b tg s−c , kde s znaˇcí poloviˇcní souˇcet vuje L´Huilier˚uv vzorec: tg 4 = tg 2s tg s−a 2 2 2 stran. Ukázka pˇríklad˚u: • Odvod’te vˇetu kosinovou na základˇe rozkladu trojúhelníku ve dva trojúhelníky pravoúhlé z rovnic platných pro tyto. • Hlavní kružnice na povrchu zemském protíná rovník v úhlu γ; v jakém úhlu protíná rovnobˇežku zemˇep. šíˇrky φ? • Transatlantický kabel anglický jest 3407 km dlouhý a má krají body u Irska na ostr. Valencii (51◦ 550 s..) a na Nov. Fundlandˇe (47◦ 420 s..); rozdíl délkový obou míst je 42◦ 590 . Liší se od nejkratší cˇ áry? Uˇcebnice vydané pˇred pˇrijetím Marchetovy reformy nevyhovovaly svým obsahem a nároˇcností souˇcasným požadavk˚um. Nové stˇredoškolské uˇcebnice mˇely pˇredevším na sebe navazovat a tedy mimo jiné dodržovat jednotnou terminologii, která by byla stejná jako v uˇcebních textech na vysokých školách. Díky tomu vznikaly uˇcebnice Jana Vojtˇecha, které i pˇresto, že byly sepsány v tak krátkém cˇ ase, jsou velmi kvalitní. O tom svˇedˇcí i fakt, že se používaly bezmála cˇ tyˇricet let. Konkrétnˇe mnou studovaná uˇcebnice je už tˇretí vydání obsahující uˇcivo o goniometrických funkcích. Jedná se o zdaˇrilou uˇcebnici, která byla používána jak na gymnáziích, tak na reálkách. Obsahuje totiž uˇcivo o trigonometrii sférické, které se vyuˇcovalo vˇetšinou jen na reálkách. Jejich hodinová dotace matematiky byla cˇ tyˇri hodiny týdnˇe, a proto mohlo být uˇcivo probráno do vˇetší hloubky. Kdežto na gymnáziích mˇeli studenti pouze dvˇe hodiny matematiky za týden, a tak se sférická trigonometrie vˇetšinou vynechávala. Rozdíl od uˇcebnic vydaných pˇred Marchetovou reformou je i v tom, že Vojtˇech více komentuje uˇcivo a u výkladu se nachází delší diskuze. I když pˇredchozí studovaná uˇcebnice byla vydána také po roce 1910, je na první pohled patrné, že nebyla vydána Jednotou

54

cˇ eských matematik˚u a fysik˚u. Nebyla tedy ještˇe upravena podle reformy, a tak jsou mezi uˇcebnicemi Vinše a Vojtˇecha rozdíly v terminologii, ale také v systematizaci uˇciva. Vinš ve své uˇcebnici definuje všechny goniometrické funkce najednou, kdežto Vojtˇech je definuje každou zvlášt’. A díky meránskému programu, který kladl d˚uraz na matematiku funkcí, je už samozˇrejmostí, že se v uˇcebnici vyskytují grafy jednotlivých funkcí. Od dnešních uˇcebnic se tato liší pˇredevším velkým rozsahem uˇciva. V pojmech se prakticky neodlišuje. Jedinˇe v používání pojmu cˇ tvrtˇe, který znaˇcí kvadranty a v termínu úhel vypuklý (nad 180◦ ). Uˇcebnice Jana Vojtˇecha se mi dostala do rukou hned v nˇekolik vydáních. Mohu tedy ˇríci, že je to kvalitnˇe vypracovaná uˇcebnice, ale pro dnešní studenty jsou pˇredevším její první vydání pˇríliš složitá. Je vidˇet, že postupem cˇ asu docházelo ke snižování nároˇcnosti uˇciva, a tak kniha vydaná jako šesté vydání roku 1946 už má o šedesát stran ménˇe. Což je zp˚usobeno tím, že byl i v této uˇcebnici vynechán text o sférické trigonometrii a byly odebrány nˇekteré pˇríklady k procviˇcení studovaného.

3.4

Trigonometrie

• Autor: Alois Urban • Vydání: Tˇretí doplnˇené vydání • Nakladatelství: Nakladatelství cˇ eskoslovenské akademie vˇed • Místo a rok: Praha, 1960 Tato uˇcebnice byla poprvé vydána už roku 1952. Hlavní snahou autora bylo pˇrístupnou a jasnou formou seznámit absolventy škol druhého stupnˇe s rovinnou trigonometrií. Pro studium a cˇ etbu této knihy jsou potˇreba jen základní matematické znalosti, nebot’ ménˇe bˇežné a známé pojmy i vˇety, hlavnˇe o podobných trojúhelnících, uvádí autor v prvním až cˇ tvrtém oddílu. Celá uˇcebnice je rozdˇelena do dvou cˇ ástí a 21 oddíl˚u. Ke goniometrii se autor dostává až v oddílu pˇet (strana 21). V prvních oddílech se autor vrací k podobnosti trojúhelník˚u a poté pomocí pojm˚u úkosu 8 a stoupání9 , vzatých z praxe, definuje tangens ostrého úhlu. Celá kniha se zabývá jen trigonometrií rovinnou a mimo jiné obsahuje i tˇrímístnou tabulku hodnot goniometrických funkcí pro úhly od 0◦ do 90◦ (rostoucí 8

Úkos je pomˇer protˇejší odvˇesny k pˇrilehlé odvˇesnˇe v pravoúhlém trojúhleníku, používal se ve strojnické praxi a udával se bud’ pˇrímo pomˇerem nebo v procentech. 9 Stoupání nebo též spád je pomˇer protˇejší odvˇesny k pˇrilehlé odvˇesnˇe v pˇríslušném pravoúhlém trojúhelníku. Tento termín se používal v pozemním stavitelství.

55

po 1◦ ). A proti pˇredchozím vydání je tu pˇripojen odstavec o jednoduchých goniometrických rovnicích. I. cˇ ást Pˇredmluva Autor ˇríká, že úkolem této knihy je seznámit studenty se základy trigonometrie pˇrístupnou formou. Uˇcebnice je mimo jiné urˇcena i pro studium bez uˇcitele. 1. Úvod V úvodní cˇ ásti uˇcebnice si studenti mohou zopakovat základní termíny pro poˇcítání s trojúhelníky. Jsou to napˇríklad: odvˇesna, pˇrepona, Pythagorova vˇeta atd. Dále je zde objasnˇeno co se rozumí pod pojmem prvek trojúhelníka a odvození slova trigonometrie. D˚ukazy vˇety Pythagorovy a vˇety o souˇctu úhl˚u v trojúhelníku nejsou uvedeny. Studenti jsou odkázáni na dˇrívˇejší uˇcivo planimetrie. 2. Podobnost trojúhelník˚u Definování podobných trojúhelník˚u a seznámení s vˇetami o podobnosti. Vˇeta sss je pˇrepsána i do tvaru: Necht’ a, b, c, a0 , b0 , c0 jsou odpovídající si strany dvou podobných trojúhelník˚u; pak platí úmˇera a : b : c = a0 : b0 : c0 . 3. Podobnost pravoúhlých trojúhelník˚u Dokázání dˇríve formulovaných vˇet o podobnosti i pro pravoúhlé trojúhelníky. 4. Úkos, stoupání V této podkapitole je ˇreˇceno, že každému ostrému úhlu v pravoúhlém trojúhelníku je jednoznaˇcnˇe pˇriˇrazeno kladné cˇ íslo t, které udává pomˇer protilehlé odvˇesny ku pˇrilehlé. A naˇ opak cˇ íslu t je jednoznaˇcnˇe pˇriˇrazen ostrý úhel. Císlo t se nazývá úkos. Tento termín se využívá ve strojnictví nebo v pozemním stavitelství, kde se m˚uže nazývat také spád, stoupání nebo klesání. Z pˇríklad˚u na procviˇcení uvádím jeden: • Klínek o úkosu 1:15, jehož podélným rˇezem je pravoúhlý lichobˇežník, má délku (= výška lichobˇežníka) 12cm, kratší základna lichobˇežníka je 2cm; jak velká je druhá základna lichobˇežníka? 5. Tangens ostrého úhlu ˇ Císlo t je od této kapitoly nazýváno tangens, je zde ještˇe jednou definováno a zaveden

56

jeho matematický symbol. V rˇešených pˇríkladech, ve kterých má student sestrojit ostrý úhel, zná-li jeho tangentu, se dozvídá, že u jednotkové kružnice se hodnota tangens mˇeˇrí na její teˇcnˇe (tangentˇe). V dalším textu je poznamenáno, že tangenta závisí na velikosti ostrého úhlu, cˇ ili tangens je funkce daného úhlu. Aby autor mohl definovat funkci, opakuje pojmy reálná cˇ ísla a iterval. Navazuje text o znázornˇení úhl˚u na cˇ íselné ose a tedy zavedení obloukové míry tzn. funkce arkus (arc α = απ : 180). Díky pˇredešlému je v uˇcebnici zakreslen graf tangenty a popsány jednotlivé vlastnosti funkce. Podkapitola je ukonˇcena vysvˇetlením toho, jak se hledá v goniometrických tabulkách, popˇrípadˇe jak použít interpolaci. Na závˇer je uvedeno nˇekolik ˇrešených pˇríklad˚u, které využívají obmˇeny definice funkce tangens (napˇr. a = b tg α) a 15 pˇríklad˚u k procviˇcení. 6. Kotangens ostrého úhlu V úvodu je ˇreˇceno, že to, co platí pro tg α platí i pro pˇrevrácený pomˇer, který oznaˇcujeme cotg α. Následuje definice funkce kotangens a její obdobné zkoumání jako v pˇredešlé kapitole. Navíc jsou uvedeny vˇety: 1 . 1. Pro libovolný ostrý úhel platí cotg α = tg1α , tg α = cotg α 2. Kotangens ostrého úhlu je rovný tangentˇe doplˇnkového úhlu, tj. cotg α = tg(90◦ − α).

Poslední vˇeta od˚uvodˇnuje název kotangenty. Je v nˇem totiž vyjádˇreno, že se jedná o tangentu komplementu (doplˇnku úhlu). Podkapitola je opˇet uzavˇrena ˇrešenými i neˇrešenými pˇríklady. 7. Sinus ostrého úhlu I tato podkapitola stejnˇe jako pˇredchozí vychází z vˇety: Necht’ a, b, c, a a0 , b0 , c0 jsou odpovídající si strany dvou podobných trojúhelník˚u, pak pro nˇe platí a : b = a0 : b0 , a : c = a0 : c0 , b : c = b0 : c0 . Když tedy bereme v úvahu druhou úmˇeru, stejným postupem zjistíme, že pomˇer protˇejší odvˇesny k pˇreponˇe je pro všechny pravoúhlé trojúhelníky o stejném ostrém úhlu α týž a závisí pouze na jeho velikosti. Následuje definice funkce sinus a poznámka o tom, že sin α musí být vždy menší než 1, protože pˇrepona je v pravoúhlém trojúhelníku vˇetší než odvˇesna. Z ˇrešených pˇríklad˚u se student dozvídá, jak sestrojit graf funkce sinus. Jako poslední je uvedena definice funkce kosekans a nˇekolik neˇrešených úloh.

57

8. Kosinus ostrého úhlu Obdobným zp˚usobem jako pˇredešlé funkce se zavádí i funkce kosinus. Ukázka neˇrešených pˇríklad˚u: • Urˇcete cos(90◦ − φ), víte-li, že sin φ = 0, 353. • Urˇcete velikost pravoúhlého pr˚umˇetu A1 B1 úseˇcky AB = 10, 5 cm, víteli, že pˇrímka AB svírá s pr˚umˇetnou úhel α = 25◦ . ˇ 9. Rešení pravoúhlého trojúhelníka V celé podkapitole se ˇreší pˇríklady na výpoˇcet chybˇejících prvk˚u u trojúhelník˚u, cˇ tyˇrúhelník˚u a pravidelných n-úhelník˚u. • Vypoˇctˇete délku tˇetivy t pˇríslušné stˇredovému úhlu ω = 116◦ v kružnici o polomˇeru r = 15 cm. • Danou sílu P (vyjádˇrenou v kg) rozložte na dvˇe k sobˇe kolmé složky Q1 , Q2 tak, aby úhel sil P, Q1 byl rovný ω (pˇriˇcemž 0◦ < ω < 90◦ ). • Kolik m3 vody proteˇce za hodinu kanálem lichobˇežníkového pr˚urˇezu, jeli šíˇrka jeho dna z = 3, 5 m, mají-li jeho stˇeny sklon 65◦ a 40◦ a je-li pr˚umˇerná výška vody v kanále h = 1, 25 m (rychlost vody je v = 0, 9 m/sec)? 10. Logaritmy goniometrických funkcí Podkapitola je vˇenována vyhledávání hodnot logaritm˚u goniometrických funkcí v tabulkách. Na pˇríkladˇe je vysvˇetlen i princip interpolace. 11. Vztahy mezi goniometrickými funkcemi ostrého úhlu Studenti se seznámí s tˇremi novými vztahy, napˇr. s vzorcem pro goniometrickou jedniˇcku. II. cˇ ást 12. Definice goniometrických funkcí obecného úhlu Pomocí zakreslování úhl˚u do pravoúhlých souˇradnic jsou goniometrické funkce rozšíˇreny pro jakýkoliv úhel. Pˇri urˇcení bodu se používají termíny jako dnes, napˇríklad x-ová souˇradnice, y-ová souˇradnice. V dalším textu jsou popsány vlastnosti goniometrických funkcí v jednotlivých kvadrantech. K teorii je pˇripojena ˇrada obrázk˚u a tabulek.

58

13. Podrobnˇejší vlastnosti goniometrických funkcí obecného úhlu V této podkapitole se ˇreší pˇríklady, které využívají již dˇríve zmínˇené vzorce a vzorce pˇrevodové, jako napˇríklad: sin(180◦ − α) = sin α, sin(90◦ + α) = cos α, sin(180◦ + α) = − sin α. A narozdíl od dnešních uˇcebnic je vyslovena vˇeta: Souˇcet úhl˚u (které leží v intervalu < ◦ 0, 360◦ )) pˇríslušných dané kladné hodnotˇe sinu je 180◦ ; souˇcet úhl˚u pˇríslušných záporné hodnotˇe sinu je 540◦ ; soucˇ et úhl˚u pˇríslušných dané hodnotˇe kosinu je 360◦ a koneˇcnˇe rozdíl úhl˚u pˇríslušných dané hodnotˇe tangenty nebo kotangenty je 180◦ . 14. Souˇctové (a rozdílové) vˇety pro goniometrické funkce Zde jsou uvedeny souˇctové a rozdílové vzorce, jejich d˚ukazy, vzorce pro dvojnásobný argument, vzorce pro poloviˇcní argument a narozdíl od pˇredchozích uˇcebnic je uvedeno i vyjádˇrení goniometrických funkcí tangentou poloviˇcního úhlu. Ukázka neˇrešených pˇríklad˚u: • Najdˇete hodnoty goniometrických funkcí úhlu 21 α, jestliže znáte cos α = 14 (úhel α je v intervalu < 0◦ , 90◦ >). • Zjednodušte

sin(α+β)−sin(α−β) . cos(α+β)−cos(α−β)

15. Goniometrické rovnice Základní goniometrické rovnice jsou v této uˇcebnici už definovány podobnˇe jako v soucˇ asných uˇcebnicích, a to: Necht’ f (x) je goniometrická funkce nezávisle promˇenné x; necht’ c je dané cˇ íslo. Rovnici f (x) = c nazýváme základní goniometrickou rovnicí. Pˇri ˇrešení autor využívá pravoúhlých souˇradnic, jednotkové kružnice a graf˚u funkcí. Dále je definována i goniometrická rovnice: Rovnici rˇíkáme goniometrická rovnice, jestliže v ní neznámá x vystupuje jednak jako nezávisle promˇenná v goniometrických funkcích, jednak v algebraicˇ kých výrazech. Ríkáme, že jsme rovnici rˇešili, jestliže jsme našli všechna x, která jí vyhovují. Z goniometrických rovnic se probírá pouze rovnice lineární mezi sinem a kosinem (a sin x + b cos x = c). Pˇri ˇrešení se využívá pˇrevodu na základní goniometrickou rovnici (zvolí se pomocný úhel φ a cˇ íslo r tak, aby a = r cos φ, b = r sin φ).

59

16. Základní vˇety pro rˇešení obecných trojúhelník˚u V podkapitole jsou sepsány d˚usledky goniometrických vˇet uvedených dˇríve. Student se dozvídá o sinové, kosinové a tangentové vˇetˇe. Ty jsou nejprve vysloveny a poté dokázány. Dále kapitola poskytuje 20 vzorc˚u. Napˇríklad první a druhý Mollweid˚uv vzorec (pˇr.: (a + b) : c = cos 21 (α − β) : sin 12 γ), vzorce pro poloviˇcní úhly trojúhelníka q 2 sin β sin γ (s−b)(s−c) ), pro obsah trojúhelníka (pˇr.: p = a2 sin(β+γ) ), pro polomˇer (pˇr.: tg 12 α = s(s−a) kružnice vepsané trojúhelníku (pˇr.: ρ = (s − a) tg 21 α) a pro polomˇer kružnice trojúhela níku opsané (pˇr.: r = 2 sin ). α ˇ 17. Rešení obecných trojúhelník˚u Podkapitola je vˇenována ˇrešení pˇríklad˚u s použitím vzorc˚u a vˇet z pˇredchozí cˇ ásti. Nˇekteré ˇrešené pˇríklady mají dvˇe ˇrešení. Jedno pomocí tabulek a druhé pomocí logaritm˚u. Pˇríklady urˇcené k samostatnému procviˇcení jsou velice podobné tˇem dnešním. 18. Užití v praktické geometrii Pˇríklady týkající se geodézie. Vˇetšinou se jedná o mˇeˇrení výšek v trojúhelníku. Je zde uvedena i Hansenova a Snellova úloha: 1. (Hansenova): Necht’ body A, B jsou pˇrístupné; jest urˇcit vzdálenost AB, známe-li vzdálenost d = CD dvou nepˇrístupných bod˚u C, D viditelných z bod˚u A, B. 2. (Snellova): Je dána poloha tˇrí bod˚u B, C, D (tj. známe strany BC, CD a úhel γ = ^BCD). Má se urˇcit poloha bodu A, z nˇehož jsou body B, C, D viditelné (tj. urˇcit jeho vzdálenosti od nich). 19. Dodatek: d˚ukazy vˇet o podobnosti trojúhelník˚u Vysloveny vˇety o pomˇeru úseˇcek odvozené z podobnosti trojúhelník˚u. ˇ 20. Rešení pˇríklad˚u ze cviˇcení Výsledky neˇrešených pˇríklad˚u z jednotlivých kapitol uˇcebnice. 21. Vzorce rovinné trigonometrie Pˇrehled, v nˇemž jsou uvedeny nejpotˇrebnˇejší vzorce, pˇritom jsou pˇripojeny nˇekteré vzorce, které nebyly pˇrímo v textu odvozovány. Tˇrímístná tabulka hodnot goniometrických funkcí pro úhly od 0◦ do 90◦ Funkce jsou v tabulce seˇrazeny v poˇradí sinus, tangens, kotangens a kosinus.

60

Uˇcebnici Aloise Urbana jsem si vybrala zámˇernˇe. Pˇredevším proto, že je odlišná od ostatních uˇcebnic vycházejících dnes cˇ i v minulosti. Není to totiž klasická uˇcebnice sepsaná jen pro potˇreby uˇcitele a žák˚u urˇcitého roˇcníku, ale také pro samouky. Kniha se opírá o základní znalosti matematiky a nové pojmy nebo ty ménˇe bˇežné jsou dopodrobna vysvˇetleny. Velkou odlišností je zcela jiný pˇrístup k vysvˇetlování uˇciva o goniometrických funkcích. V pˇredchozích i následujících uˇcebnicích se funkce probírají v poˇradí sinus, kosinus, tangens a kotangens. Kdežto prof. Urban definuje nejprve tangens ostrého úhlu a pak velmi pˇrístupnou fomou cˇ tenáˇre seznamuje s pojmy, které jsou k dalšímu studiu nezbytné (napˇr. pojem funkce, graf, oblouková míra) a aplikuje je na uvedenou definici funkce tangens. Poté jsou definovány funkce kotangens, sinus a kosinus. Výhodou uˇcebnice je také to, že v prvních pˇeti oddílech se opakuje látka o podobnosti trojúhelník˚u a teprve pak se studenti dozvídají o goniometrických funkcích. Odlišností od ostatních uˇcebnic je také to, že pˇrímo v textu v závorce jsou psány poznámky objasˇnující termín z dˇrívˇejšího uˇciva. Velice se mi také líbí poznámky, které studenta odkazují na knihy týkající se uˇciva (napˇríklad odkaz na knihu o základech praktické geometrie cˇ i na knih o geodézii). Za klad považuji i vepsání ˇrecké abecedy. Myslím, že ta v dnešních uˇcebnicích chybí a žáci se v ní pak špatnˇe orientují. Rozdíl od dˇríve sepsaných uˇcebnic spoˇcívá také v tom, že zde se funkce sekans a kosekans pouze zmiˇnují, ale nepoˇcítá se s nimi. Podobnost s dnešními uˇcebnicemi je i v d˚ukazech matematických vˇet, protože jsou zde uvedeny pouze ty nejd˚uležitˇejší a na ostatní je student odkázán do dodatku, který byl k uˇcebnici sepsán. Celkovˇe mohu ˇríci, že mˇe uˇcebnice velice nadchla. Je vhodná nejen pro studenty a uˇcitele do hodin matematiky, ale také pro samouky cˇ i studenty, kteˇrí si chtˇejí uˇcivo o goniometrických funkcích sami zopakovat nebo prohloubit. Kniha je dobˇre graficky zpracována. ˇ Ctenᡠr se v ní dobˇre orientuje díky dobˇre zvolenému odsazení ˇrádk˚u i oznaˇcení vˇet a pˇríklad˚u. Uˇcebnice je také opatˇrena velkým množstvím obrázk˚u, graf˚u a tabulek. Ani studium pro dnešního cˇ tenáˇre není nijak ztíženo. Protože se v uˇcebnici objevuje dnešní oznaˇcení pˇrímek a bod˚u, a tak se student v textu neztrácí. Odlišností v terminologickém oznaˇcení je v knize už velice málo. Narozdíl od pˇredchozích uˇcebnic se jednotlivé souˇradnice nazývají x-ová a y-ová a používá se už i termín kvadranty (dˇríve cˇ tvrtˇe). Kladem spisu je také velké množství pˇríklad˚u, které jsou bud’ vyˇrešeny pˇrímo v textu, nebo jsou urˇceny k procviˇcení a jejich výsledky si student m˚uže ovˇeˇrit v poslední kapitole. I u této uˇcebnice je patrné, že uˇcivo je hodnˇe nadstandardní oproti dnešnímu. Obsahuje totiž spoustu uˇciva

61

cˇ i vzorc˚u, které v dnešních uˇcebnicích již nenajdeme. Pˇresto myslím, že kniha je velmi dobrý pramen ke studiu a zvídavˇejší studenti ji mohou bez problém˚u používat i dnes.

3.5

Goniometrie pro gymnázia

• Autor: Oldˇrich Odvárko • Vydání: Dotisk tˇretího vydání • Nakladatelství: Prometheus • Místo a rok: Praha, 2001 Oldˇrich Odvárko napsal více než sedmdesát uˇcebnic matematiky. I uˇcebnice obsahující goniometrii se doˇckala nˇekolika vydání. Jednotlivé knihy se od sebe moc neliší. Snad jen v tom, že v tˇech pozdˇeji vydaných se objevují více definice. V popisu uˇciva postupuje autor stejnˇe jako ve svých starších knihách. Nejprve žáky seznamuje se základními goniometrickými rovnicemi a teprve pak s algebraickými vztahy mezi funkcemi. Uˇcebnice je rozdˇelena do cˇ tyˇr velkých kapitol (1. Funkce, 2. Goniometrické funkce, 3. Goniometrické vzorce, 4. Trigonometrie), dále v uˇcebnici nechybí ani cˇ ást vˇenovaná výsledk˚um úloh a rejstˇrík. Pro usnadnˇení uˇciva a vˇetší pˇrehlednost umístil autor na obálku knihy seznam použitých symbol˚u. 1. Funkce V této úvodní kapitole autor vysvˇetluje žák˚um již známé pojmy týkající se funkcí. A to jak pomocí jejich definic, tak pomocí obrázk˚u. Jsou to pojmy: funkce, graf funkce, hodnota funkce, obor hodnot, rostoucí a klesající funkce, inverzní funkce, periodická funkce a složená funkce. Celá kapitola je tak rozdˇelena do tˇrí podkapitol. 2. Goniometrické funkce V této kapitole si studenti mohou nejprve zopakovat poznatky z dˇrívˇejších roˇcník˚u. Poté si pˇripomenou a rozšíˇrí poznatky o stupˇnové a obloukové míˇre úhlu. Pak se pˇrejde ke studiu goniometrických funkcí "libovolného úhlu" a celá kapitola je zakonˇcena ˇrešením základních goniometrických rovnic. 2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu Podkapitola zaˇcíná motivaˇcním pˇríkladem, na kterém si student m˚uže zopakovat základní

62

goniometrické funkce. Stejnˇe tak si m˚uže zopakovat základní hodnoty tˇechto funkcí jak pomocí obrázk˚u, tak pomocí tabulky. 2.2 Velikost úhlu v míˇre stupˇnové a v míˇre obloukové Zde se nachází definice radiánu. A díky úlohám se student nauˇcí pˇrevádˇet velikosti úhl˚u daných v míˇre stupˇnové do míry obloukové a naopak. 2.3 Orientovaný úhel Pomocí obrázk˚u jsou v této podkapitole jasnˇe vysvˇetleny pojmy orientovaný úhel a jeho velikost. Pˇred koneˇcnými úlohami této podkapitoly jsou uvedeny tyto dvˇe vˇety: 1.Je-li φ jedna z velikostí orientovaného úhlu AV B, pak množina všech cˇ ísel, která lze psát ve tvaru φ + 2kπ(k...Z) , je rovna množinˇe všech velikostí úhlu AV B. 2.Je-li v rovinˇe dána polopˇrímka V A a je-li dáno libovolné reálné cˇ íslo x, pak v této rovinˇe existuje právˇe jeden orientovaný úhel AV B, jehož jedna velikost v obloukové míˇre je x. 2.4 Funkce sinus a kosinus Pˇri definování tˇechto funkcí je použita jednotková kružnice zakreslená v soustavˇe souˇradnic Oxy. Autor poukazuje na to, že podle obrázku jsou hodnoty sin α (resp. cos α) rovny druhé (resp. první) souˇradnici bodu na jednotkové kružnici a tedy rozšiˇruje definici goniometrických funkcí pro cerlou reálnou osu. Dále mají žáci samostatnˇe rozhodnout, zda jsou tyto funkce periodické a odpovˇedˇet na otázky týkající se pr˚ubˇehu tˇechto funkcí. Na všechny otázky zde naleznou odpovˇedi vysvˇetlené pomocí jednotkové kružnice. V dalších úlohách mají žáci používat sudost a lichost funkcí, která je zde opˇet znázornˇena pomocí obrázku. 2.5 Grafy funkcí sinus a kosinus Na základˇe již vyšetˇrených vlastností a pomocí jednotkové kružnice je zakreslena sinusoida a kosinusoida. Je zde poukázáno na posunutí sinusoidy ve smˇeru záporné poloosy x o π2 . Dále jsou uvedeny ˇrešené pˇríklady na posunutí graf˚u a sestrojení graf˚u funkcí s dvojnásobným argumentem. Poslední ˇrešený pˇríklad je kombinací obou tˇechto možností (využívá se složené funkce, která byla zmínˇena již v prní kapitole uˇcebnice). Ukázka neˇrešených pˇríklad˚u:

63

Naˇcrtnˇete grafy tˇechto funkcí: • y = (cos(x + π3 ) − 1 • y = (cos(x + π3 ) − 1 2.6 Funkce tangens a kotangens Nachází se zde zopakování funkcí tangens a kotangens, které jsou opˇet definovány jako podíl funkcí sinus a cosinus a poté jsou pˇriblíženy pomocí geometrické pˇredstavy s užitím jednotkové kružnice a z nakreslených graf˚u funkcí jsou urˇceny jejich vlastnosti. V textu jsou jednou vˇetou zmínˇeny i funkce sekans a kosekans. V závˇeru je uvedena tabulka, která pˇrehlednˇe shrnuje vlastnosti goniometrických funkcí a za posledním neˇrešeným pˇríkladem se nachází nepatrná zmínka o cyklometrických funkcích. 2.7. Goniometrikcé rovnice Na zaˇcátku je definována základní goniometrická rovnice: Základní goniometrickou rovnicí budeme nazývat každou rovnici, která je dána ve tvaru g(x) = a, kde g je jedna z goniometrických funkcí sin, cos, tg, cotg, a je reálné cˇ íslo a oborem promˇenné x je množina R. Základním rˇešením základní goniometrické rovnice budeme nazývat množinu všech jejích koˇren˚u, které patˇrí do intervalu < 0, 2π). Dále se zde nachází pˇet ˇrešených pˇrílad˚u, u kterých je využito grafu funkce a jednotkové kružnice. Pˇríklad cˇ íslo dva je ˇrešen pomocí substituce. 3. Goniometrické vzorce V této kapitole jsou uvedeny nˇekteré vzorce, vyjadˇrující vztahy mezi hodnotami goniometrických funkcí. 3.1 Základní vztahy mezi hodnotami goniometrických funkcí Nejprve je uveden vzorec pro goniometrickou jedniˇcku, který je zde graficky, pomocí jednotkové kružnice, dokázán. Následuje pˇríklad na jeho využití a další vzorec tg x. cotg x = 1 s návodem na d˚ukaz. Na konci podkapitoly se ˇreší pˇríklady na zjednodušení výraz˚u a jednoduché goniometrické rovnice. 3.2 Souˇctové vzorce Uvedeny jsou souˇctové vzorce pro sinus a kosinus. Vzorec cos(x − y) = cos x cos y+

64

+ sin x cos y je dokázán a z nˇeho jsou pak odvozeny zbylé vzorce. V ˇrešených pˇríkladech se student seznámí s nˇekterými d˚uležitými goniometrickými identitami. Ukázka neˇrešených pˇríklad˚u: • Dokažte, že pro všechna x ∈ R platí cos x = − cos(π − x) = = − cos(π + x) = cos(2π − x). • Bez použití tabulek cˇ i kalkulaˇcky vypoˇcítejte hodnoty goniometrických funkcí sinus, kosinus, tangens a kotangens v bodˇe x = 105◦ . 3.3 Další goniometrické vzorce Uvedeny jsou vzorce pro dvojnásobný argument (pouze s návodem na jejich odvození), pro poloviˇcní argument a vzorce, pomocí kterých m˚užeme souˇcet a rozdíl hodnot goniometrických funkcí upravit na tvar souˇcinu. Závˇer je vˇenovaný celkovému pˇrehledu goniometrických vzorc˚u. 4. Trigonometrie Poslední kapitola je vˇenována trigonometrii a je zde odvozeno nˇekolik základních vˇet z rovinné trigonometrie. V úvodu nechybí ani malá zmínka o vzniku této vˇedy. 4.1 Sinová vˇeta V úvodu je uveden motivaˇcní pˇríklad, který autor vyˇrešil dvˇema odlišnými metodami. Na jeho závˇeru je pak poukázáno na to, že výsledné vztahy jsou sice na první pohled odlišné, ale jejich hodnoty jsou stejné. Odtud je pak odvozena sinová vˇeta. Její d˚ukaz (provedený pomocí výšky trojúhleníku) je uveden vzápˇetí a to pro všechny tˇri pˇrípady, které mohou nastat (pro ostroúhlý, pravoúhlý a tupoúhlý trojúhelník). Narozdíl od druhého vydání není tento d˚ukaz oznaˇcen jako "uˇcivo navíc". Podkapitola je ukonˇcena dvˇema ˇrešenými a deseti neˇrešenými pˇríklady. V poznámce se pak student dozví, že velikost úhlu je urˇcena funkcí sinus dvojznaˇcnˇe, a proto o poˇctu ˇrešení musí rozhodnout na základˇe trojúhelníkové nerovnosti a vˇety o souˇctu velikostí vnitˇrních úhl˚u v trojúhelníku. 4.2 Kosinová vˇeta Po úvodu, ve kterém je naznaˇceno kdy lze použít kosinovou vˇetu, je tato rovnou uvedena. D˚ukaz je opˇet proveden pro všechny tˇri pˇrípady, které mohou nastat. Následují opˇet dva ˇrešené a sedm neˇrešených pˇríklad˚u. Nechybí ani poznámka, která ˇríká: Kosinová vˇeta má pˇri urˇcování velikosti úhlu pˇred vˇetou sinovou tu výhodu, že dává vždy jediný výsledek; kosinus velikosti ostrého úhlu je kladný, ale

65

kosinus velikosti tupého úhlu je záporný. Radˇeji však poˇcítáme pomocí vˇety sinové, protože numerický výpoˇcet je snadnˇejší. Pˇri jejím použití k výpoˇctu velikosti úhlu postupujeme opatrnˇe, nebot’ z kladné hodnoty funkce sinus vyplývají zpravidla velikosti dvou konvexních úhl˚u (ostrého a tupého), jak jsme se pˇresvˇedˇcili pˇri rˇešení pˇríkladu 3 v cˇ lánku 4.1. Proto pˇri užití sinové vˇety pocˇ ítáme nejdˇríve velikost úhlu ležícího proti dané kratší stranˇe, který je urˇcitˇe ostrý. Neˇrešený pˇríklad: • Tˇri kružnice s polomˇery r1 = 5 cm, r2 = 4 cm, r3 = 6 cm se vzájemnˇe dotýkají vnˇe. Vypoˇcítejte velikosti úhl˚u, které svírají jejich stˇredné. 4.3 Dvˇe další trigonometrické vˇety Nejprve je zde uveden motivaˇcní pˇríklad, který poukazuje na vztah mezi sinovou vˇetou a polomˇerem kružnice opsané trojúhelníku. Tato vˇeta je vzápˇetí uvedena spolu s dvˇema ˇrešenými pˇríklady. Jako další je zde vˇeta: Pro obsah S každého trojúhelníku ABC, jehož vnitˇrní úhly mají velikosti α, β, γ a strany délky a, b, c, platí S = 21 ab sin γ = 12 bc sin α = 21 ac sin β. V závˇeru je jako doplnˇení uvedeno nˇekolik dalších vzorc˚u pro výpoˇcet obsahu trojúhelníka. p S = s(s − a)(s − b)(s − c) (Heron˚uv vzorec), S = ρ · s, S = abc , a, b, c 4r a+b+c jsou délky stran trojúhelníku, s = 2 , ρ je polomˇer kružnice trojúhelníku vepsané, r je polomˇer kružnice trojúhelníku opsané. Ukázka úloh k procviˇcení: • Obsah rovnoramenného trojúhelníku je 8 cm2 , délka jeho ramene 4 cm. Vypoˇcítejte velikosti jeho vnitˇrních úhl˚u. • Vypoˇcítejte obsah rovnobˇežníku, jehož úhlopˇríˇcky mají délky 16 cm a 11 cm a svírají úhel 120◦ . 4.4 Užití sinové a kosinové vˇety v úlohách z praxe V poznámce je jednoduše popsán postup triangulace a dále se zde nachází pˇríklady z praxe, a to pˇrevážnˇe z fyziky - velikost sil, vzdálenost bod˚u, lom paprsku, sledování radarovým zaˇrízením. Závˇer je vˇenován pˇrehledu trigonometrických vˇet a neˇrešeným úlohám.

66

Napˇríklad: • Na vrcholu hory stojí vˇež hradu vysoká v = 30 m. Kˇrižovatku silnic v údolí vidíme z vrcholu vˇeže a od její paty v hloubkových úhlech α = 32◦ 500 , β = 30◦ 100 . Jak vysoko je vrchol hory nad kˇrižovatkou? • Ze stanice vyjedou souˇcasnˇe dva vlaky po pˇrímých tratích, které svírají úhel φ = 156◦ 300 . Rychlost prvního vlaku v1 = 13 m · s−1 , rychlost druhého vlaku v2 = 14, 5 m · s−1 . Jak daleko budou od sebe za 5 12 minuty? Jako poslední se v uˇcebnici nachází historická poznámka o vzniku a vývoji goniometrie, nˇekolik neˇrešených úloh, stránky vˇenované výsledk˚um neˇrešených úloh v jednotlivých kapitolách a rejstˇrík. Uˇcebnice doc. Odvárka je pro dnešního studenta velice pˇrínosná. Je pˇrehlednˇe didakticky zpracována a jednotlivé kapitoly jsou opatˇreny názornými obrázky. Student se v uˇcebnici neztratí díky dobˇre volenému grafickému designu. Nadpisy jsou natisknuty tuˇcným písmem, d˚uležité matematické definice a vˇety jsou vepsány do šedých rámeˇck˚u. D˚uležité iformace jsou i pˇrímo v textu zvýraznˇeny a výhodou je také odlišné znaˇcení ˇrešených a neˇrešených úloh. Rozdíl od pˇredchozího vydání je pak v odstranˇení nˇekterých symbol˚u, které oznaˇcovaly "ménˇe d˚uležité uˇcivo" napˇríklad tˇežší pˇríklady cˇ i d˚ukazy nˇekterých vˇet. Nechybí ani dostateˇcné množství pˇríklad˚u, na kterých si student m˚uže procviˇcit probíranou látku a díky výsledk˚um na konci knihy si správnost svých výpoˇct˚u i zkontrolovat. Pokud by tyto nestaˇcily, byla k uˇcebnici vytvoˇrena sbírka úloh, která vhodnˇe doplˇnuje tuto monotematickou knihu, ale m˚uže být používána i samostatnˇe na jiných stˇredních školách. Po prostudování uˇcebnice mohu ˇríci, že autor klade d˚uraz na jednoduchý, názorný výklad, který obsahuje nejpodstatnˇejší informace daného uˇciva. Rozdíl od jiných uˇcebních text˚u je také v metodickém postupu. Ve vˇetšinˇe kapitol je nejprve zadán problém v podobˇe motivaˇcního pˇríkladu a poté je z jeho ˇrešení vysloven závˇer, vˇeta cˇ i pouˇcka. Ta je pak výraznˇe odlišena od ostatního textu bud’ tuˇcným písmem nebo šedým rámeˇckem. Celkovˇe hodnotím uˇcebnici velice kladnˇe pˇredevším díky názornosti, velkému poˇctu pˇríklad˚u a neopomenutí historických poznámek. Pro dnešního studenta je kniha doc. Odvárka velkým pomocníkem ke zdárnˇejšímu zvládnutí látky o goniometrických funkcích. Jednoduchou formou, která ale splˇnuje požadavky na odbornost, uˇcí studenty využívat novˇe získané vˇedomosti.

67

Závˇer Po prostudování stˇredoškolských uˇcebnic od druhé poloviny 19. století do souˇcasnosti mohu s jistotou ˇríci, že se uˇcivo goniometrie v pr˚ubˇehu let vyvíjelo. Texty o goniometrických funkcích byly pˇred sto lety daleko obsáhlejší a tak i pro studenty nároˇcnˇejší než dnes. Uˇcebnice se mˇenily nejen po grafické stránce, ale také svým obsahem. Díky tomu m˚užeme pozorovat jak bylo uˇcivo bˇehem let zkracováno a nˇekteré cˇ ásti úplnˇe vypuštˇeny. M˚uže za to pˇredevším zkrácení dotací hodin matematiky na stˇredních školách a vývoj techniky. V dobˇe, kdy vznikaly první cˇ esky psané uˇcebnice, nebylo možné používat kapesní kalkulátory jako dnes. Studenti si proto goniometrické výpoˇcty pˇrevádˇeli na logaritmy. A to je také jedna z cˇ ástí uˇciva, která se dnes z uˇcebnic vypustila. Z ostatních jsou to pak napˇríklad Mollweideovy vzorce cˇ i tangentová vˇeta. Rozsah probíraného uˇciva v minulosti i dnes nejvíce ovlivˇnují školské reformy, které pˇridávají cˇ i ubírají hodinovou dotaci matematice. Toto m˚užeme pozorovat i v minulosti, kdy reálné školy mˇely týdnˇe více hodin matematiky než jiné školy. Díky tomu mohli uˇcivo probírat v jednom roˇcníku, ale také v jeho širším pojetí. Reálky vˇetšinou pˇripravovaly své studenty na inženýrské studium. A proto v uˇcebnicích pˇripravovaných pro tyto školy najdeme více pˇríklad˚u z praxe, ale pˇredevším i texty o sférické trigonometrii. I toto uˇcivo bylo kv˚uli své nároˇcnosti a vývoji techniky z dnešních stˇredoškolských uˇcebnic odstranˇeno. Bˇehem let se v uˇcebnicích stˇrídaly i metodické pˇrístupy. Za stˇežejní považuji dva. Jeden nejprve studenty seznámí s problémem a pˇri jeho ˇrešení se dozvídáme nˇejaké tvrzení. Druhý naopak tvrzení nejprve vyloží a poté dokáže. Jako nejlepší a pro výuku nejefektivnˇejší považauji kombinaci obou, což je v dnešních uˇcebnicích správnˇe zvoleno. Ve vývoji uˇciva goniometrie m˚užeme pozorovat velký mezník, kterým byl rok 1910. Kv˚uli Marchetovˇe reformˇe vznikaly nové uˇcebnice, které se snažily dodržovat terminologii jako uˇcebnice vysokoškolské a kladly d˚uraz na matematiku funkcí. Díky tomu se do uˇcebnic dostávají grafy goniometrických funkcí a sférická trigonometrie. I ostatní cˇ ást uˇciva byla obsahovˇe prohloubena. Není tedy divu, že právˇe v této dobˇe bylo uˇcivo goniometrie nejobsáhlejší a pro studenty nejvíce nároˇcné. Dalším mezníkem byla druhá svˇetová válka. Po jejím skonˇcení došlo k neúspˇešné škol-

68

ské reformˇe, která zkrátila hodinovou dotaci matematice a navíc po vzoru SSSR jsme se snažili, aby i u nás byla trigonometrie považována za zvláštní oddíl matematiky a byla z geometrie vyˇclenˇena. Tento pokus selhal a došlo k postupnému zkracování a vynechávání uˇciva. Odstranˇeny byly napˇríklad funkce sekans, kosekans a sférická trigonometrie. Dochází tedy ke zjednodušování uˇciva, které bylo podpoˇreno i nástupem kalkulaˇcek. Souhrnˇe mohu ˇríct, že dnešní uˇcebnice, a tedy i uˇcivo goniometrie celkovˇe se snaží o rozvoj funkˇcního myšlení studenta. Podobnˇe jako navrhoval ve svých reformách Felix Klein dochází k teoretickému vyzdvihnutí. Výuka je tedy více propojena s novými poznatky (za základní kámen se nyní v uˇcivu goniometrie považuje jednotková kružnice), ale na druhou stranu ubývá pˇríklad˚u spojených s praxí a celkovˇe vede k elementárnˇejšímu zp˚usobu výkladu. Což m˚užeme sledovat i na uvedených pˇríkladech u jednotlivých uˇcebnic. Jak v minulosti, tak i dnes se poznatky z goniometrie využívají ve velkém množství vˇedních obor˚u, a proto tvoˇrí d˚uležitou souˇcást stˇredoškolské matematiky. Doufám, že tento text poskytne cˇ tenáˇri alespoˇn malou pˇredstavu o vývoji uˇciva a snad i nˇekterý ze zvídavˇejších student˚u cˇ i uˇcitel˚u sáhne po zkoumaných uˇcebnicích a doplní si své poznatky o goniometrii cˇ i sférické trigonometrii.

69

Seznam použité literatury ˇ [1] Cervený Martin. Vývoj vyuˇcování goniometrických funkcí v cˇ eských matematických uˇcebnicích - diplomová práce. Masarykova univerzita, Pˇrírodovˇedecká fakulta, Brno, 2007. [2] Fuchs Eduard. Teorie množin pro uˇcitele. Vydala Masarykova univerzita, s. 163. ISBN 80-210-2201-9, Brno, 2003. [3] Kádner O. Vývoj a dnešní soustava školství. Díl 1. Praha: Nakladatel B. Janda 1929. [4] Kádner O. Vývoj a dnešní soustava školství. Díl 2. Praha: Nakladatel B. Janda 1931. [5] Jandeˇcka O, Libický A. Geometrie pro vyšší gymnasia II.. Praha: I. L. Kober knihkupectví 1904. [6] Jandeˇcka O, Libický A. Geometrie pro vyšší gymnasia III.. Praha: I. L. Kober knihkupectví 1904. [7] Mikulˇcák J. Metodika vyuˇcování matematice na školách 2. cyklu. Praha: Státní pedagogické nakladatelství 1965. [8] Odvárko O. Goniometrie pro gymnázia. Praha: Prometheus 2001. [9] Pot˚ucˇ ek J. Vývoj vyuˇcování matematice na cˇ eských stˇredních školách v období 1900 - 1945. Plzeˇn: Pedagogické centrum 1999. [10] Smýkalová Radka. Eulerova reforma goniometrie - cˇ lánek. Uˇcitel matematiky, Jednota cˇ eských matematik˚u a fyzik˚u, roˇcník 18, cˇ íslo 1, s. 14-27. ISSN 1210-9037, 2009. [11] Smýkalová Radka. Trigonometrie v Evropˇe v 15.-17. století - cˇ lánek. Uˇcitel matematiky, Jednota cˇ eských matematik˚u a fyzik˚u, roˇcník 17, cˇ íslo 4, s. 201-212. ISSN 1210-9037, 2009.

70

[12] Smýkalová Radka. Stˇredovˇeký zrod trigonometrických veliˇcin - cˇ lánek. Konferenˇcní sborník, 30. mezinárodní konference Historie matematiky, Jevíˇcko. s. 213-216. ISBN 978-80-7378-092-0, 2009 [13] Šedivý J. Antologie z uˇcebnic matematiky Období 1860-1960. Praha: Státní pedagogické nakladatelství 1988. ˇ [14] Urban A. Trigonometrie. Praha: Nakladatelství Ceskoslovenské akademie vˇed 1960. ˇ [15] Vinš J. Geometrie pro šestou tˇrídu stˇredních škol. Praha: Ceská grafická akc. spolecˇ enost 1913. [16] Vojtˇech J. Geometrie pro VI. tˇrídu škol stˇredních. Praha: Jednota cˇ eskoslovenksých matematik˚u a fysik˚u 1922. [17] Slavní matematici, fyzici a vynálezci.. http://vedci.wz.cz/historie/16.htm [18] Wikipedie Otevˇrená encyklopedie. http://cs.wikipedia.org

71

Pˇrílohy V pˇríloze uvádím naskenované obrázky jednotlivých uˇcebnic. Nejprve je vždy uvedena titulní strana uˇcebnice a poté první strana/strany zvoleného uˇciva. Ze všech knih jsem vybrala stejnou kapitolu - konkrétnˇe stranu vˇenující se souˇctovým vzorc˚um. Pomocí nich m˚užeme sledovat vývoj a zmˇeny v prezentaci dané cˇ ásti uˇciva. Ukázkové stránky budou uvedeny bez dalšího komentáˇre.

72

Obrázek 3.7: Uˇcebnice O. Jandeˇcky a A. Libického

73

Obrázek 3.8: Uˇcebnice O. Jandeˇcky a A. Libického

74

Obrázek 3.9: Uˇcebnice O. Jandeˇcky a A. Libického

75

Obrázek 3.10: Uˇcebnice J. Vinše

76

Obrázek 3.11: Uˇcebnice J. Vinše 77

Obrázek 3.12: Uˇcebnice J. Vinše

78

Obrázek 3.13: Uˇcebnice J. Vojtˇecha (naskenovaný obal je z uˇcebnice vydané roku 1925) 79

Obrázek 3.14: Uˇcebnice J. Vojtˇecha

80

Obrázek 3.15: Uˇcebnice A. Urbana

81

Obrázek 3.16: Uˇcebnice A. Urbana

82

Obrázek 3.17: Uˇcebnice O. Odvárka

83

Obrázek 3.18: Uˇcebnice O. Odvárka 84

Obrázek 3.19: Uˇcebnice O. Odvárka

85