Masarykova Univerzita Pedagogická fakulta KATEDRA MATEMATIKY
Dílo Leonharda Eulera na základní a střední škole Závěrečná práce
Brno 2016
Vedoucí práce: RNDr. Karel Lepka, Dr.
Autor práce: Mgr. Eva Fendrichová
Prohlášení Prohlašuji, že jsem závěrečnou práci vypracovala samostatně, s využitím pouze citovaných literárních a elektronických zdrojů.
……...……………………………………… V Brně dne 24. 6. 2016
Mgr. Eva Fendrichová
Poděkování Ráda bych poděkovala RNDr. Karlu Lepkovi, Dr. za odborné vedení, cenné připomínky a trpělivost při tvorbě této závěrečné práce.
Anotace (česky) Závěrečná práce Dílo Leonharda Eulera na základní a střední škole je zaměřena na nejvýznamnější poznatky z oblasti matematiky největšího matematika 18. století Leonharda Eulera a jejich aplikaci na základní a střední škole. Práce je rozdělena na šest dílčích kapitol (Číslo π, Pravidelné mnohostěny, Diferenciální počet, Integrální počet, Nekonečné řady a Komplexní čísla). Každá kapitola obsahuje poznatky, které jsou dílem Leonharda Eulera. Tyto poznatky jsou dále rozpracovány do učiva základní a střední školy. Nedílnou součástí každé kapitoly jsou vzorové příklady na úrovni základní nebo střední školy a také příklady k procvičení, které obsahují řešení. Klíčová slova: Leonhard Euler, číslo π, pravidelné mnohostěny, diferenciální počet, integrální počet, nekonečné řady, komplexní čísla
Anotace (anglicky) Thesis Leonhard Euler´s work at primary and secondary school is focused on most importatnt mathematics knowledge of the greatest mathematician 18. century Leonhard Euler and their application to primary and secondary school. This thesis is dividend into six parts (Number π, Regular polyhedra, Differential calculus, Integral calculus, Infinite series and Complex numbers). Each chapter contains Euler´s knowledge. This knowledge are elaboráte into curriculum of primary and secondary school. Each charter also contains illustrative exaples at the level of primary or secondary school and also practical exaples with solution. Keywords: Leonhard Euler, number π, regular polyhedra, differential calculus, integral calculus, infinite series, complex numbers
Obsah 1
2
ÚVOD A CÍLE PRÁCE .................................................................................................. 7 1.1
Úvod ........................................................................................................................ 7
1.2
Cíle práce................................................................................................................. 7
DÍLO LEONHARDA EULERA ..................................................................................... 8 2.1
Životopis L. Eulera .................................................................................................. 8
2.2
Číslo π ................................................................................................................... 10
2.2.1
Euler a číslo π ................................................................................................. 10
2.2.2
Číslo π na základní škole ................................................................................ 11
2.2.3
Číslo π na střední škole ................................................................................... 14
2.3
2.3.1
Euler a pravidelné mnohostěny ....................................................................... 19
2.3.2
Mnohostěny na základní a střední škole .......................................................... 19
2.4
Diferenciální počet ................................................................................................. 24
2.4.1
Euler a diferenciální počet .............................................................................. 24
2.4.2
Diferenciální počet na střední škole ................................................................ 25
2.5
Integrální počet ...................................................................................................... 32
2.5.1
Euler a integrální počet ................................................................................... 32
2.5.2
Integrální počet na střední škole ...................................................................... 33
2.6
Nekonečné řady ..................................................................................................... 42
2.6.1
Euler a nekonečné řady ................................................................................... 42
2.6.2
Nekonečné řady na střední škole ..................................................................... 43
2.6.3
Vzorové příklady ............................................................................................ 44
2.6.4
Příklady k procvičení: ..................................................................................... 47
2.7
3
Pravidelné mnohostěny .......................................................................................... 19
Komplexní čísla ..................................................................................................... 48
2.7.1
Euler a komplexní čísla ................................................................................... 48
2.7.2
Komplexní čísla na střední škole ..................................................................... 49
2.7.3
Vzorové příklady ............................................................................................ 54
2.7.4
Příklady k procvičení: ..................................................................................... 57
ZÁVĚR ......................................................................................................................... 59
4
Seznam použité literatury .............................................................................................. 60
5
Seznam obrázků a tabulek ............................................................................................. 63 5.1
Seznam obrázků ..................................................................................................... 63
5.2
Seznam tabulek ...................................................................................................... 63
1 ÚVOD A CÍLE PRÁCE 1.1 Úvod Leonhard Euler je považován za jednoho z nejvýznamnějších a největších matematiků 18. století a také za jednoho z nejvýznamnějších matematiků všech dob. [2] Rozsáhlé dílo toho matematika, které obsahuje přes 70 svazků, mluví za vše [1]. Jeho zájem o matematiku nebyl pouze jednostranně zaměřený, ale zanechal nám poznatky z mnoha odvětví matematiky: z diferenciálního a integrálního počtu, komplexních čísel, geometrie, atd. Nesmíme také zapomínat na veliký přínos do jiných oborů, hlavně do fyziky. Eulerův zájem o matematiku se začal projevovat už od útlého mládí. Měl veliké štěstí, že přítelem jeho rodiny byl matematik Johann Bernoulli, který v Eulerovi zájem o matematiku podporoval a navíc přesvědčil jeho rodiče, aby se mohl matematice plně věnovat. Matematice potom zasvětil celý život a ani slepota ho nezastavila od dalšího bádání. [1]
Tato závěrečná práce se věnuje vybraným kapitolám z Eulerova mohutného díla. Každá kapitola obsahuje poznatky, které jsou dílem Leonharda Eulera a tyto poznatky jsou dále rozpracovány do učiva základní a střední školy. Součástí každé kapitoly jsou vzorové příklady na úrovni základní nebo střední školy a také příklady k procvičení, které obsahují řešení.
1.2 Cíle práce •
Zpracování stručného životopisu Leonharda Eulera.
•
Vytvoření souboru kapitol, které ukazují vybraná odvětví matematiky, kterým se Euler zabýval. Každá kapitola obsahuje: o poznatky Leonharda Eulera z daného odvětví, o učivo základní a střední školy, které je důsledkem těchto Eulerových myšlenek, o vzorové příklady na úrovni základní nebo střední školy s postupy, o příklady k procvičení s výsledky.
7
2 DÍLO LEONHARDA EULERA 2.1 Životopis L. Eulera Leonhard Euler (15. 4. 1707 – 18. 9. 1783) je považován za největšího matematika 18. století a také za jedno z největších matematiků všech dob. [2]
Obrázek 1: Leonhard Euler. [4]
Narodil se 15. dubna 1707 v Basileji ve Švýcarsku. Jeho otec Paul Euler byl vystudovaný teolog a jeho matka Margareta Bruckerová byla dcera pastora. Rodiče si proto přáli, aby se Leonhard stal také pastorem. [1] Leonhard začal své studium na jedné ze škol v Basileji, ale tato škola mu nedávala patřičné vzdělání, proto v roce 1720 začal studovat na Basilejské univerzitě. Nejprve se měl vzdělávat ve všeobecných předmětech a poté přejít na teologickou fakultu, jak si to rodiče přáli. [1] Jeho život byl naštěstí ovlivněn dobrým rodinným přítelem Johannem Bernoullim, který brzo zjistil, že má Leonhard mimořádné matematické nadání. V roce 1723 sice Leonhard dokončil magisterské studium filozofickou prací a dále nastoupil na studium teologie, ale po přímluvách Johanna Bernoulliho mu rodiče dovolili, aby se věnoval matematice. [1] Euler ukončil studia v roce 1726 doktorskými zkouškami a začal si hledat zaměstnání. Po smrti Nicolase Bernoulliho, syna Johanna Bernoulliho, dostal nabídku na práci v Petrohradě. Ze začátku váhal, protože potřeboval nastudovat problematiku spojenou s novým místem. Hlavním důvodem ale bylo, že měl zájem o místo na univerzitě v Bazileji. 8
Euler sepsal článek o akustice, který mu měl pomoci při obsazení místa, ale bohužel o vítězi rozhodoval los a navíc v jeho neprospěch hrálo, že mu bylo pouhých 19 let. Po tomto neúspěchu přijal nabídku v Petrohradě. [1] Do Petrohradu přijel 17. 5. 1727 a již za tři roky se stal profesorem na petrohradské Akademii. V Petrohradě také potkal svoji budoucí manželku Katharinu Gsell, dceru malíře ze zdejšího gymnázia. Její rodina pocházela stejně jako Euler ze Švýcarska. Svatba proběhla 7. 1. 1734. Měli spolu 13 dětí, ale dospělosti se jich dožilo pouze 5. Euler své děti považoval za inspiraci a říkával, že některé veliké objevy udělal právě v jejich přítomnosti. [2] Již ve svých 33 letech byl Euler považován za uznávaného matematika a v roce 1738 a 1740 získal Velkou cenu pařížské akademie. Jeho pověst mu pomohla k získání nabídky práce v Berlíně od Fridricha II. Velikého. Euler nejprve váhal, ale protože se v Rusku změnila politická situace, rád nabídku přijal a odjel i s rodinou do Berlína. [1] V Berlíně strávil 25 let, během kterých napsal několik set článků, knih a dopisů. Vydal zde také dvě jeho nejvýznamnější knihy: Introductio in analysin infinitorum (Úvod do analýzy nekonečného) a Institutiones calculi differentialis (Základy diferenciálního počtu). [2]. Dřívější dobré vztahy s králem Fridrichem vystřídalo nepřátelství, a proto se Euler v roce 1766 vrátil zpět do Petrohradu. Po návratu do Ruska onemocněl a téměř úplně oslepl (problémy se zrakem měl v důsledku šedého zákalu téměř celý život). Po operaci se mu zrak na nějakou dobu vrátil, ale protože zanedbával lékařská doporučení, nakonec oslepl úplně. [1] Euler měl naštěstí vynikající paměť a své objevy po oslepnutí diktoval svým synům. V tomto stavu dokázal publikovat téměř polovinu své vědecké práce. [3] Euler zemřel 18. 9. 1783 ve věku 76 let na mozkovou mrtvici. Jeho tělo je pochováno v Petrohradě. Po jeho smrti Petrohradská akademie ještě téměř 50 let vydávala jeho dosud nepublikované písemnosti. [1]
9
2.2 Číslo π 2.2.1 Euler a číslo π Záhada čísla π zajímala již mnoho vědců před Eulerem. Mezi nejznámější patřili např. Archimédes ze Syrakus, Ludolph van Ceulen nebo Isaac Newton. [5] Důležitým odkazem, který nám po Eulerovi zůstal, je symbol π. Euler se ale především věnoval hledání nejefektivnějšího způsobu, jak by číslo π vyčíslil. Hledání hodnoty čísla π věnoval hodně času, zkoušel různé způsoby, např. pomocí nekonečných součinů, řetězových zlomků nebo pomocí součtu řady. [5] Právě součtem řady dokázal určit druhou mocninu čísla π: Již mnoho vědců před Eulerem se zabývalo řadou:
1 1 1 + 2 + 2 + ... Věděli, že řada 2 1 2 3
konverguje, ale nedokázali ji sečíst. Euler ale tento problém vyřešil. [5] Nejprve si vzal řadu sin x = x −
x3 x5 x7 + − + ... ,dosadil x 2 = y a zkoumal rovnici 3! 5! 7!
sin x = 0 . Dalším zkoumáním došel k výsledku: několikrát opakoval a našel i hodnotu pro
1 1 1 π2 + + + ... = . Postup ještě 6 12 2 2 3 2
π2 π2 nebo . Těmito výsledky zaskočil mnoho 8 12
vědců té doby. [5] Euler se vyčíslování čísla π věnoval tak hodně, že ještě nikdo po jeho smrti nenašel lepší způsob výpočtu jeho hodnoty. Euler také dokázal za pouhou hodinu vyjádřit číslo π na 20 desetinných míst a předčil svoji dobu tím, že se zabýval otázkou, zda je číslo π racionální nebo iracionální, a zda může být kořenem algebraické rovnice konečného stupně s racionálními koeficienty. [5]
10
2.2.2 Číslo π na základní škole Číslo π je jedním z mála iracionálních čísel, se kterými se studenti na základní škole setkají. Jeho zavedení by se proto mělo věnovat dostatek času. [6]
2.2.2.1 Délka kružnice, obvod kruhu 2.2.2.1.1 Vyvození čísla π
Studenti se poprvé s tímto číslem setkají v kapitole o délce kružnice a obvodu kruhu. Je nutné, aby si číslo π nespojovali pouze s vyjádřením 3,14, ale aby znali význam a vyvození tohoto čísla. Při vyvození se vychází z experimentu:
Pomůcky:
•
5 kruhových objektů (lepidlo, rulička od toaletního papíru, …)
•
provázek
•
pravítko
•
kalkulačka
Postup:
Změřte co nejpřesněji pomocí provázku a pravítka obvod (o) a průměr každého z objektů (d) a vypočítejte o:d. Pokud studenti dodrží daný postup, přiblíží se hodnotě čísla π. [6], [21]
2.2.2.1.2 Vzorec na délku kružnice a obvod kruhu
Po předchozím experimentu se už přejde k samotnému vyvození vzorců:
Délka kružnice a obvod kruhu:
o=π.d o=2.π.r Číslo π se dosazuje buď přímo z kalkulačky, nebo se zaokrouhluje na hodnotu 3,14. [7]
11
2.2.2.2 Obsah kruhu Při vyvození obsahu kruhu se kruh rozdělí na stejné díly a ty se složí vedle sebe do tvaru obdélníku:
o/2
Obrázek 2: Vyvození obsahu kruhu. [8]
Obsah kruhu potom vychází ze znalosti obsahu obdélníku, kde první strana odpovídá poloměru kruhu a druhá strana polovině obvodu kruhu [7]:
Obsah kruhu:
o 2 S = π .r 2 S = r.
2.2.2.3 Vzorové příklady Příklad 1: Kolo má průměr 65 cm. Kolikrát se otočí, než tachometr ukáže ujetí jednoho
kilometru? 1. zápis vzorce: o = π . d 2. dosazení do vzorce: o = π . 65 3. výpočet obvodu: o = 204 4. převod jednotek: 204 cm = 0,00204 km 5. výpočet počtu otáček: 1 : 0,00204 ≐ 490 6. odpověď: Kolo vykoná 490 otáček. [7] 12
Příklad 2: Na louce je ke kůlu přivázána koza provazem dlouhým 4,5 metru. Jakou velikou
plochu může spásat? 1. zápis vzorce: S = π . r2 2. dosazení do vzorce: S = π . 4,52 3. výpočet obsahu: S = 63,6 4. odpověď: Koza může spásat 63,6 m2 louky. [7]
Příklad 3: Vypočítejte obsah kruhu, který má obvod 120 cm.
1. zápis vzorce na obvod kruhu: o = 2 . π . r 2. vyjádření vzorce na poloměr: r = 3. dosazení do vzorce: r =
o 2π
120 2π
4. výpočet poloměru: r = 19,1 5. zápis vzorce na obsah kruhu: S = π . r2 6. dosazení do vzorce: S = π . 19,12 7. výpočet obsahu: S = 1145,5 8. odpověď: Kruh má obsah 1145,5 cm2. [7]
2.2.2.4 Příklady k procvičení Příklad 1: Určete poloměr kruhu, který má obsah 144 m2.
[Řešení: 6,8 m]
Příklad 2: Kružnice je vepsaná čtverci o straně délky 40 cm. Vypočítejte obvod kružnice.
[Řešení: 126 cm]
Příklad 3: Vypočítejte poloměr kružnice, když víte, že její obvod je 32 dm.
[Řešení: 5,1 dm] 13
Příklad 4: Průměr kruhu je 4 cm. Vypočítejte jeho obsah.
[Řešení: 12,6 cm2] Příklad 5: Kolikrát musí běžec oběhnout kruhovou dráhu s poloměrem 50 m, aby uběhnul
3 km? Zaokrouhlete na celá čísla. [Řešení: 10 krát]
2.2.3 Číslo π na střední škole Studenti se s číslem π setkají na střední škole několikrát. Nejvíce času věnují počítání s číslem π při výpočtech goniometrických rovnic.
2.2.3.1 Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice jsou rovnice, které obsahují některou z goniometrických funkcí (sinus, kosinus, tangens nebo kotangens). Při výpočtech goniometrických rovnic se vychází ze znalostí vlastností těchto funkcí (graf, funkční hodnoty, …). [9] 2.2.3.1.1 Jednoduché goniometrické rovnice
Při řešení tohoto typu rovnic se vychází ze znalosti grafů goniometrických funkcí, případně z tabulky funkčních hodnot těchto funkcí. [9] Řešení pro funkce sinus a cosinus je ve tvaru x = x1 + 2kπ , kde x1 je nalezená
hodnota z grafu nebo z tabulek a k je libovolné celé číslo. Řešení pro funkce tangens a kotangens je ve tvaru x = x1 + kπ , kde x1 je nalezená hodnota z grafu nebo z tabulek a k je libovolné celé číslo. [9]
Obrázek 3: Graf funkce sinus. [10]
14
Obrázek 4: Graf funkce kosinus. [10]
Obrázek 5: Graf funkce tangens. [10]
Obrázek 6: Graf funkce kotangens. [10]
Obrázek 7: Tabulka hodnot goniometrických funkcí. [11]
15
2.2.3.1.2 Složitější goniometrické rovnice
Tento typ rovnic se řeší podle zadání několika možnými způsoby: •
Pokud je v rovnici goniometrická funkce v různých mocninách, zavádí se substituci.
•
Pokud se v rovnici objevuje více goniometrických funkcí, převede se jedna funkci pomocí vzorců na funkci jinou tak, aby se v rovnici vyskytoval pouze jeden druh goniometrické funkce.
•
Pokud jde rozložit jednu stranu na součin, položí se jednotlivé členy rovny nule a řeší se několik jednodušších rovnic. [9]
Obrázek 8: Základní vztahy mezi goniometrickými funkcemi [11]
2.2.3.2 Vzorové příklady
Příklad 1: Vyřešte rovnici: sin x = 1
Řešení rovnice je patrné buď z grafu funkce sinus, nebo podle tabulky: x=
π 2
+ 2 kπ
16
Příklad 2: Vyřešte rovnici [12]: 2 sin 2 x + 7 cos x − 5 = 0
1. převod na jednu goniometrickou funkci: 2(1 − cos 2 x) + 7 cos x − 5 = 0 2. roznásobení a sečtení členů, otočení znamének: 2 cos 2 x − 7 cos x + 3 = 0 3. zavedení substituce y = cos x, převod na kvadratickou rovnici: 2 y 2 − 7 y + 3 = 0 4. kořeny kvadratické rovnice: y1 = 3, y 2 = 0,5 5. dosazení zpět do substituce: cos x = 3 nebo cos x = 0,5 1 6. kořeny rovnice: první rovnice nemá řešení, druhá rovnice má dva kořeny: x1 = π + 2kπ , 3 5 x 2 = π + 2 kπ 3
Příklad 3: Vyřešte rovnici [9]: cos x + cotg x = 1 + sin x
1. využití vzorce, převod všech členů na jednu stranu: cos x +
cos x − (1 + sin x) = 0 sin x
2. odstranění zlomku, sin x ≠ 0 : sin x cos x + cos x − sin x(1 + sin x) = 0 3. vytknutí cos x z prvních dvou členů: cos x(sin x + 1) − sin x(1 + sin x) = 0 4. vytknutí závorky (1 + sin x): (1 + sin x)(cos x − sin x) = 0 5. řešení každé z rovnic zvlášť: a) 1 + sin x = 0 3π x= + 2kπ 2 b) cos x − sin x = 0 cotg x = 1 x=
π 4
+ kπ
17
2.2.3.3 Příklady k procvičení Příklad 1: Vyřešte rovnici: cos x = 1
[Řešení: 0 + 2kπ ]
Příklad 2: Vyřešte rovnici [9]: sin x = 0,5, x ∈ 0,
π 2
[Řešení: x =
π ] 6
Příklad 3: Vyřešte rovnici [10]: cos 2 x − sin x = 1
[Řešení: 0 + kπ ,
3π + 2kπ ] 2
[Řešení: π + 2kπ ,
π + 2kπ ] 3
[Řešení:
π π +k ] 12 3
Příklad 4: Vyřešte rovnici [10]: cos 2 x − sin 2 x + cos x = 0
Příklad 5: Vyřešte rovnici [11]: sin 3 x = cos 3x
Pozn.: Studenti se s číslem π setkají také ve vzorcích z fyziky. Zde je uvedeno několik
takových vzorců: •
úhlová rychlost: ω = 2πf
•
perioda pohybu: T =
•
odpor drátu s kruhovým průřezem: R =
•
magnetická indukce přímého vodiče: B =
•
fáze vlnění: ϕ =
2πx
λ
2π
ω 4 ρl πd 2
. [22]
18
µI 2πd
2.3 Pravidelné mnohostěny 2.3.1 Euler a pravidelné mnohostěny První nálezy objektů, které připomínají pravidelné mnohostěny, pochází z doby asi 2 000 let př. n. l. Od té doby se mnoho vědců snaží najít obecné zákonitosti, které by tyto mnohostěny charakterizovaly. Jedním z nejvýznamnějších představitelů byl právě Leonhard Euler. [13] Euler své poznatky o mnohostěnech publikoval ve dvou článcích: v Základech učení o tělesech a v Důkazech některých vlastností těles ohraničených mnohoúhelníky. V těchto článcích například zavádí pojem hrana, který do té doby neměl své trvalé pojmenování. [13] Dále v těchto článcích publikoval také asi dnes nejznámější větu o mnohostěnech: „V libovolném tělese ohraničeném mnohoúhelníky převyšuje součet vrcholů tělesa s jeho stěnami počet hran o dvě.“ [13] Dnes se tato věta zapisuje vzorcem: v + s = h + 2, kde v označuje počet vrcholů, h počet hran a s počet stěn mnohostěnu. [13] Kromě této věty se v článcích objevily i jiné poznatky o mnohostěnech: •
„Součet vnitřních úhlů mnohoúhelníků tvořících stěny mnohostěnu vyjádřený v pravých úhlech je stejný jako čtyřnásobek počtu hran tělesa zmenšený o čtyřnásobek počtu stěn tělesa.“
•
„Součet všech vnitřních úhlů mnohoúhelníků tvořících stěny mnohostěnu vyjádřený v pravých úhlech je o 8 menší než započítáme-li pro každý vrchol 4 pravé úhly.“ [13]
Euler se snažil během svého života větu o vztahu mezi vrcholy, hranami a stěnami mnohostěnů dokázat, nikdy se mu to pořádně nepovedlo. I přes tuto skutečnost se jedná o významný objev, který dnes nazýváme Eulerovou větou. [13]
2.3.2 Mnohostěny na základní a střední škole S vlastnostmi pravidelných mnohostěnů se studenti setkávají již od prvního stupně základní školy. Jako první mnohostěn poznávají krychli, na které si osvojí základní pojmy (hrana, stěna, vrchol), naučí se ji narýsovat a vytvořit síť krychle a také se naučí počítat povrch a objem tělesa. [14] S poznáváním nových rovinných útvarů (trojúhelník, pětiúhelník, …) si studenti přenášejí získané zkušenosti i do prostoru. Například po poznání vlastností trojúhelníku 19
a Pythagorovy věty již mohou vypočítat povrch pravidelného čtyřstěnu nebo osmistěnu, aniž by si pamatovali složité vzorce. [14] Se složitějšími pravidelnými mnohostěny se studenti setkávají až na střední škole, ale většinou jen velmi okrajově nebo jako doplňkové učivo. [14]
2.3.2.1 Základní vlastnosti pravidelných mnohostěnů Pravidelné mnohostěny jsou tělesa v prostoru, u kterých z každého vrcholu vychází stejný počet hran a stěny jsou tvořeny pravidelnými n-úhelníky. [15] Pravidelných mnohostěnů
je pět: čtyřstěn,
krychle,
osmistěn,
dvanáctistěn
a dvacetistěn. Jejich základní vlastnosti jsou uvedeny v následující tabulce: [15]
Obrázek 9: Vlastnosti pravidelných mnohostěnů. [15]
2.3.2.2 Krychle Jak již bylo řečeno, prvním a zároveň nejdůležitějším pravidelným mnohostěnem, který studenti poznají, je krychle. Proto se tato práce více zaměří na její vlastnosti. U ostatních mnohostěnů budou stačit vlastnosti z předchozí tabulky.
20
Krychle je pravidelný mnohostěn, jehož stěny tvoří 6 shodných čtverců. Krychle má osm vrcholů a dvanáct hran. [16]
Obrázek 10: Krychle. [16]
Při vyvození vzorce na povrch krychle se vychází ze znalosti její sítě. Existuje jedenáct různých sítí krychle, nejznámější je na následujícím obrázku: [16]
Obrázek 11: Síť krychle [16]
Povrch krychle se vypočítá pomocí povrchu jednotlivých čtverců, které tvoří síť: S = 6⋅a ⋅a = 6⋅a2
Pro výpočet objemu krychle platí vztah: V = a ⋅ a ⋅ a = a3
21
2.3.2.3 Vzorové příklady Příklad 1: Vypočítejte povrch krychle, která má hranu dlouhou 5 cm.
1. zápis vzorce: S = 6 ⋅ a ⋅ a = 6 ⋅ a 2 2. dosazení do vzorce: S = 6 ⋅ 5 ⋅ 5 = 6 ⋅ 5 2 3. výpočet povrchu: S = 150 4. odpověď: Krychle má povrch 150 cm2.
Příklad 2: Vypočítejte povrch pravidelného čtyřstěnu, který má hranu dlouhou 16 cm.
Výpočet proveďte úvahou bez použití vzorce na povrch čtyřstěnu.
1. úvaha: Povrch čtyřstěnu je tvořen čtyřmi rovnostrannými trojúhelníky. 2. vzorec na obsah trojúhelníku: S ∆ =
a ⋅ va 2
a 2 3. vzorec na výpočet výšky (z Pythagorovy věty): v a = a 2 − 2 16 2 4. dosazení do vzorce: v a = 16 2 − 2
2
5. výpočet výšky: va = 13,9 6. dosazení do vzorce na obsah trojúhelníku: S ∆ = 7. výpočet obsahu trojúhelníku: S ∆ = 111,2 8. vzorec na výpočet obsahu čtyřstěnu: S = 4 ⋅ S ∆ 9. dosazení do vzorce: S = 4 ⋅ 111, 2 10. výpočet obsahu čtyřstěnu: S = 444,8 11. odpověď: Čtyřstěn má povrch 444,8 cm2.
22
16 ⋅ 13,9 2
2
Příklad 3: Vypočítejte objem pravidelného dvacetistěnu, který má hranu dlouhou 8 cm.
1. zápis vzorce: V =
5 ⋅ (3 + 5 ) ⋅ a 3 12
5 ⋅ (3 + 5 ) ⋅ 8 3 2. dosazení do vzorce: V = 12
3. výpočet objemu: V = 1117 4. odpověď: Dvacetistěn má objem 1117 cm3.
2.3.2.4 Příklady k procvičení Příklad 1: Vypočítejte povrch pravidelného osmistěnu s hranou délky 14 dm.
[Řešení: 679 dm2]
Příklad 2: Vypočítejte objem nádrže tvaru krychle s hranou délky 9,4 m.
[Řešení: 830,6 m3]
Příklad 3: Vypočítejte povrch pravidelného dvanáctistěnu s hranou délky 10 cm.
[Řešení: 2064,6 cm2]
Příklad 4: Jaký povrch má krychle s hranou délky 13,5 dm?
[Řešení: 1093,5 dm2]
Příklad 5: Vypočítejte objem pravidelného čtyřstěnu s hranou délky 7 m.
[Řešení: 40,4 m3]
23
2.4 Diferenciální počet 2.4.1 Euler a diferenciální počet Jak již bylo zmíněno v životopise L. Eulera, mezi jeho nejvýznamnější knihy patří Institutiones calculi differentialis (Základy diferenciálního počtu). [1] Jedním z mnoha problémů, které se v této knize objevují, je derivování. Asi nejvíce ho zajímalo derivování nekonečných řad a funkcí. Jeho přístup je založen na výpočtu diferenciálu dy = y ⋅ ( x + dx ) − y ( x) a k dalším úpravám používá binomickou větu a stejně jako jeho další vrstevníci zanedbává diferenciály vyšších řádů (dx)2, (dx)3,… [16] Například derivování funkce y = sin x : [16] dy = sin( x + dx) − sin x = sin x cos dx + cos x sin dx − sin x = 3 5 (dx )2 (dx )4 ( dx ) ( dx ) sin x ⋅ 1 − + − ... + cos x ⋅ (dx − + − ...) − sin x 2! 4! 3! 5!
dy = cos xdx y´= cos x
Podobným způsobem také derivoval součin a podíl funkcí, logaritmické a exponenciální funkce, apod. [16]
Dalším pojmem, který neodmyslitelně patří k diferenciálnímu počtu, je limita. Euler na pojem limita narážel velmi často, a ačkoliv definice limity nebyla v jeho době známá (až o století později), pracoval s limitou intuitivně. [1]
Například derivace exponenciální funkce pomocí limity [1]:
d z e e = lim h → 0 dz
= e z ⋅ lim h →0
z +h
−e e −1 = e z ⋅ lim = e z ⋅ lim h → 0 h →0 h h
1+ h +
z
h
1+ h +
h2 h3 + + ... − 1 2! 3! = h
h2 h3 + + ... 1 h 2! 3! = e z ⋅ lim1 + h ⋅ + + ... = e z h→0 h 2! 3!
24
2.4.2 Diferenciální počet na střední škole S diferenciálním počtem se studenti na základní škole nesetkávají vůbec. Na střední škole se vyučuje především na gymnáziích, na ostatních školách bývá pouze jako doplňkové učivo. [14] Na úvod do diferenciálního počtu je dobré se studenty zopakovat základní vlastnosti elementárních funkcí a jejich grafy. [17]
2.4.2.1 Limita funkce Definice limity je založená na pojmu okolí bodu, které je nutné nejprve zavést [17]: Okolím bodu čísla a nazýváme otevřený interval (a – r, a + r), kde r je libovolné kladné číslo.
Definice limity (vlastní limita ve vlastním bodě): Funkce f má v bodě a limitu L, jestliže k libovolnému okolí U(L) bodu L existuje okolí U(a) bodu a takové, že pro všechna x z U(a) bez bodu a platí: f(x) leží v okolí U(L). [17] Zápis: lim f ( x ) = L x→a
Věty o limitách [17]: •
Funkce f má v bodě a nejvýše jednu limitu.
•
Jestliže pro dvě funkce f, g platí, že pro všechna x (bez bodu a) z okolí U(a) je f(x) = (x), potom lim f ( x ) existuje, právě když existuje lim g ( x) a tyto limity se x→ a
x→ a
rovnají. •
Jestliže funkce f, g mají v bodě a limity lim f ( x ) a lim g ( x) , pak mají v tomto bodě x→ a
limitu i funkce f + g, f – g, f . g, f /g a platí: lim[ f ( x ) + g ( x )] = lim f ( x) + lim g ( x ) x→a
x→a
x→a
lim[ f ( x ) − g ( x)] = lim f ( x ) − lim g ( x ) x→a
x→a
x→ a
lim[ f ( x ) ⋅ g ( x)] = lim f ( x ) ⋅ lim g ( x ) x→a
lim x→a
x→a
x→ a
f ( x) f ( x ) lim = x→a pro lim g ( x ) ≠ 0 x→ a g ( x ) lim g ( x) x→a
25
x→ a
Tyto věty se na střední škole udávají bez důkazů a slouží k výpočtu limit. [17]
Kromě vlastní limity ve vlastním bodě lze definovat i nevlastní limity nebo limity v nevlastních bodech: •
Funkce f má v bodě ± ∞ limitu a ∈ R právě tehdy, když ke každému okolí U(a) bodu a existuje okolí U( ± ∞ ) = { x ∈ R , x > x0} takové, že pro každé x z U( ± ∞ ) platí: f(x) leží v U(a). o Zápis: lim f ( x ) = a x → ±∞
•
Funkce f má v bodě a ∈ R limitu ± ∞ právě tehdy, když ke každému okolí bodu ± ∞ existuje okolí U(a, δ) takové, že pro každé x z U(a, δ) - {a} platí: f(x) leží v U( ± ∞ ). o Zápis: lim f ( x) = ±∞ x→a
•
Funkce f má v bodě ± ∞ limitu ± ∞ právě tehdy, když ke každému okolí U( ± ∞ ) = { y ∈ R , y > y0} existuje okolí U( ± ∞ ) = { x ∈ R , x > x0} takové, že pro všechna x > x0 je y > y0. •
Zápis: lim f ( x ) = ±∞ x → ±∞
2.4.2.2 Vzorové příklady
Vypočítejte limity daných funkcí v daných bodech a: [9], [17]
Příklad 1: f ( x) : y = 2 x 4 − x 2 + 3 , a = 0
Jedná se o racionální funkci, pro výpočet limity stačí dosadit bod a:
lim(2 x 4 − x 2 + 3) = 3 x→0
26
Příklad 2: f ( x) : y =
x2 + x − 6 ,a=2 x2 − x − 2
Jedná se o racionální funkci, limitu je potřeba upravit pomocí vět o limitách a potom dosadit bod a: ( x + 3) 5 x2 + x − 6 ( x + 3) ⋅ ( x − 2) lim = lim lim 2 = x →2 = x→2 x − x − 2 ( x + 1) 3 x→2 ( x + 1) ⋅ ( x − 2) lim x →2
Příklad 3: f ( x) : y = 4 x 3 − x 2 + x + 2 , a = −∞
Jedná se o racionální funkci, bod a je nevlastní: lim (4 x 3 − x 2 + x + 2) = lim(4 x 3 ) = −∞
x →−∞
x →1
2.4.2.3 Příklady k procvičení Příklad 1: f ( x) : y = x 2 − 2 , a = 4
[Řešení: 14]
Příklad 2: f ( x ) : y =
3x 2 − x ,a=0 x [Řešení: 1]
Příklad 3: f ( x) : y =
x 2 − 5x + 6 ,a=2 x 2 − 3x + 2 [Řešení: -1]
Příklad 4: f ( x) : y = 3x 4 − 2 x 3 − x + 1 , a = ∞
[Řešení: ∞ ]
27
Příklad 5: f ( x) : y =
2x + 3 , a=∞ 3x − 1
[Řešení:
2 ] 3
2.4.2.4 Derivace funkce Definice derivace funkce: Je dána funkce f definovaná v bodě x0 a v jeho okolí. Existuje-li limita lim
x → x0
f ( x) − f ( x 0 ) , pak x − x0
se nazývá derivací funkce f v bodě x0. [9] Značení: f´(x0)
Geometrický význam derivace funkce: Derivace funkce f v bodě x0 je rovna směrnici tečny ke grafu funkce f v bodě x0.
Obrázek 12: Geometrický význam derivace funkce. [18]
Derivace elementárních funkcí: Na střední škole se zavádí tabulka derivací elementárních funkcí. Tuto tabulku si musí studenti zapamatovat. [9]
28
Obrázek 13: Derivace elementárních funkcí. [19]
Pro derivování součtu, rozdílu, součinu a podílu se zavádějí věty o derivování. Tyto věty se nedokazují a studenti se je musí naučit. [9] (u + v)´= u´+v´ (u − v)´= u´−v´ (u ⋅ v )´= u´v + uv´ u u´v − uv´ = v2 v ´
29
2.4.2.5 Vzorové příklady Derivujte následující funkce: Příklad 1: f ( x ) : y = 4 x 3 − 7 x 2 + 3x
Při derivaci součtu a rozdílu se derivuje podle vzorce každý člen zvlášť: y´= 4 ⋅ (3 ⋅ x 3−1 ) − 7 ⋅ (2 ⋅ x 2−1 ) + 3 ⋅ (1 ⋅ x 1−1 ) = 12 x 2 − 14 x + 3
Příklad 2: f ( x) : y = 5 x 2 ⋅ cos x
Při výpočtu se vychází ze vzorce pro derivaci součinu: y´= 10 x ⋅ cos x + 5 x 2 ⋅ (− sin x) = 10 x ⋅ cos x − 5 x 2 ⋅ sin x
Příklad 3: f ( x) : y =
sin x x
Při výpočtu se vychází ze vzorce pro derivaci podílu: y´=
cos x ⋅ x − sin x ⋅ 1 x ⋅ cos x − sin x = x2 x2
2.4.2.6 Příklady k procvičení Příklad 1: f ( x) : y = 3 x − 2 ln x 2 [Řešení: 3 − ] x
Příklad 2: f ( x ) : y = x 2 ⋅ sin x
[Řešení: 2 x ⋅ sin x + x 2 ⋅ cos x ]
Příklad 3: f ( x) : y =
x 1+ x
[Řešení:
30
1
(1 + x)2
]
Příklad 4: f ( x ) : y =
sin x cos x
[Řešení:
Příklad 5: f ( x ) : y = x 5 −
1 ] (cos x ) 2
2 3 1 x + x 3 5 1 [Řešení: 5 x 4 − 2 x 2 + ] 5
31
2.5 Integrální počet 2.5.1 Euler a integrální počet Euler napsal mnoho významných děl. V minulé kapitole byla zmíněna kniha Institutiones calculi diferentialis (Základy diferenciálního počtu). Tato kapitola je zaměřena na integrální počet a s ním souvisí Eulerovo třísvazkové dílo z roku 1774 Institutiones calculi integralis (Základy integrálního počtu). Obě tato díla souvisela s Eulerovou snahou o systematické vybudování diferenciálního a integrálního počtu. Mnohé poznatky z těchto knih se objevují i v dnešních učebnicích. [1]
Příkladem dnešního využití Eulerových myšlenek mohou být substituce v integrálech, jejichž reálný integrand je racionální funkce odmocniny kvadratického trojčlenu:
ax 2 + bx + c .
Euler pro výpočet zavádí substituci s novou proměnnou u: [1] Podmínka
Substituce
a>0
ax 2 + bx + c = u − ax
c>0
ax 2 + bx + c = ux + c
ax 2 + bx + c = a ⋅ ( x − x1 ) ⋅ ( x − x 2 ), x1 ≠ x 2
ax 2 + bx + c = u ⋅ ( x − x1 )
x1 , x 2 ∈ R Tabulka 1: Zavedení substituce. [1]
Další významný pojem, který se často vyskytuje při výpočtech integrálů, je Eulerovo číslo. Euler prohlásil číslo e jako základ přirozeného logaritmu a udal jeho hodnotu na 23 desetinných míst. [1] Označení e také pochází od Eulera. Nevychází ale z jeho jména, ale Euler ho vybral proto, že předchozí písmena abecedy již měla svůj význam. Euler také dokázal, že e je iracionální. [1] e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967…
32
V integrálním počtu se s číslem e setkáváme buď jako s mocninou ex, nebo jako se základem přirozeného logaritmu lne x a platí: [1]
∫e
x
dx = e x + c
1
∫ x dx = ln x + c 2.5.2 Integrální počet na střední škole Stejně jako s diferenciálním počtem, tak i s integrálním počtem se studenti setkají až na střední škole. Výuka integrálního počtu probíhá především na gymnáziích. [14] Existují dva možné přístupy, jak zavést integrální počet na střední škole. První vychází z určitého integrálu, druhý vychází z pojmu primitivní funkce a neurčitého integrálu. Na většině škol se volí druhý způsob. [17]
2.5.2.1 Primitivní funkce a neurčitý integrál Definice primitivní funkce: Nechť jsou funkce f, F definovány na otevřeném intervalu I. Funkce F se nazývá primitivní funkce k funkci f na intervalu I, jestliže pro všechna x z intervalu I platí: F´(x) = f (x). [17]
Značení:
∫ f ( x)dx = F ( x) + c , kde x leží v intervalu I.
F je množina všech primitivních funkcí k funkci f, symbol
∫ f ( x)dx
se nazývá neurčitý
integrál a c je integrační konstanta. [17]
Stejně jako u derivací, tak i u integrálů existuje tabulka pro výpočet neurčitých integrálů. Vzorce jsou odvozeny z derivací základních elementárních funkcí [17].
Použití těchto vzorců se často používá v kombinaci s větou o linearitě neurčitého integrálu: Existují-li na otevřeném intervalu I primitivní funkce k funkcím f1 a f2 a jsou-li c1 a c2 libovolné konstanty, pak na intervalu I také existuje primitivní funkce k funkci f ( x) : y = c1 f 1 ( x ) + c 2 f 2 ( x ) a platí:
∫ (c
f + c 2 f 2 )dx = c1 ∫ f1 dx + c 2 ∫ f 2 dx , kde c1 a c2 jsou
1 1
konstanty z oboru reálných čísel. [17]
33
Obrázek 14: Výpočet neurčitého integrálu. [19]
K výpočtu integrálů se také používají integrační metody per partes a substituce. Tyto metody se zavádějí na středních školách pro výpočet složitějších integrálů. Vzorce na výpočet se neodvozují ani nedokazují a studenti se principy těchto metod musí naučit nazpaměť. •
metoda per partes
Metoda per partes se používá v případě, kdy je potřeba najít primitivní funkci k funkci, která je v součinu. [10] Mají-li funkce u(x) a v(x) v intervalu I spojité derivace, potom platí [10]:
∫ u ( x)v´(x) =u ( x)v( x) − ∫ u´(x)v( x)dx •
metoda substituce
Metoda substituce se používá v případě, že je potřeba integrovat složitou funkci. Tato funkce se nahradí jednodušší funkci, ta se integruje a potom se substituce vrátí zpět. [10]
Nechť je F(t) funkce primitivní k funkci f(t) na intervalu I. Dále existuje funkce t = g(x), která má na intervalu J derivaci g´(x). Pro každé x z intervalu J leží hodnota g(x) v intervalu I. Pak 34
v intervalu J je F(g(x)) primitivní k funkci f(g(x)) . g´(x) a platí [10]:
∫ f ( g ( x)) ⋅ g´(x)dx = ∫ f (t )dt , kde t = g(x)
2.5.2.2 Vzorové příklady Vypočítejte neurčité integrály:
Příklad 1 [9]: ∫ ( x 3 − 6 x 2 + 5 x − 4)dx
Při výpočtu neurčitého integrálu se vychází z věty o linearitě neurčitého integrálu, tj. integrace jednotlivých integrálů. Na jejich integraci se použijí vzorce z tabulky. 3 2 3 2 ∫ ( x − 6 x + 5x − 4)dx = ∫ x dx − 6∫ x dx + 5∫ xdx − 4 =
=
x4 x3 x2 − 6 + 5 − 4x + c = 4 3 2
x4 x2 − 2x3 + 5 − 4x + c 4 2
Příklad 2 [10]:
∫ x ⋅ cos xdx
Při výpočtu neurčitého integrálu se využije metoda per partes: 1. Vzorec pro výpočet per partes: ∫ uv´=uv − ∫ u´v 2. Nejprve je nutné si zvolit funkce u a v´. V tomto případě je vhodné si zvolit u = x a v ´= cos x. 3. Ještě je nutné vypočítat u´(tj. derivovat x) a v (tj. integrovat cos x): u´ = 1 a v = sin x 4. Výpočet neurčitého integrálu:
∫ x ⋅ cos xdx = x ⋅ sin x − ∫ 1 ⋅ sin xdx =x ⋅ sin x − ∫ sin xdx = x ⋅ sin x + cos x + c
35
Příklad 3 [10]: ∫ sin 6tdt
Při výpočtu neurčitého integrálu se využije metody substituce: 1. Vzorec pro výpočet substituce:
∫ f ( g ( x)) ⋅ g´(x)dx = ∫ f (t )dt
2. Substituce: 6t = x 3. Derivace obou stran: 6dt = dx 4. Vyjádření dt: dt =
dx 6
5. Výpočet neurčitého integrálu: ∫ sin 6tdt = ∫ sin x 6. Vrácení substituce (x = 6t):
dx 1 1 = ∫ sin xdx = (− cos x ) 6 6 6
1 1 (− cos x ) = − cos 6t + c 6 6
2.5.2.3 Příklady k procvičení Vypočítejte neurčité integrály:
Příklad 1:
∫
1 x
dx
[Řešení: 2 x + c ] Příklad 2: ∫ cot g 2 xdx
[Řešení: − cot gx − x + c ]
Příklad 3:
∫ x⋅e
x
dx
[Řešení: e x ( x − 1) + c ]
Příklad 4:
∫ x ⋅ sin xdx [Řešení: − x ⋅ cos x + sin x + c ]
36
Příklad 5: ∫ (2 x − 4) 7 dx
[Řešení:
1 ( 2 x − 4) 8 + c ] 6
2.5.2.4 Určitý integrál Kromě neurčitého integrálu se studenti potkávají s pojmem určitého integrálu. Určitý integrál je z historického hlediska základním pojmem integrálního počtu, ale studenti se s ním setkávají až po prostudování integrálu neurčitého. [9], [17] Určitý integrál se především používá v aplikačních úlohách, např. při určování obsahů obrazců, objemů a povrchů těles nebo při určování délky křivky. [9] Ve středoškolské matematice se studenti mohou setkat se dvěma způsoby definování určitého integrálu. Prví způsob (Cauchyova-Riemannova definice) je složitější, ale obecně platný nejen pro spojité funkce. Druhý způsob (Newtonova definice určitého integrálu) je formálně jednodušší a lépe se z něj odvozují další vlastnosti určitého integrálu. Ačkoliv tento způsob platí pouze pro spojité integrované funkce f na intervalu a, b , ve středoškolské matematice je většinou určitý integrál definovaný takto. V této definici je používán pojem primitivní funkce, kterou již studenti znají z pojmu neurčitého integrálu.[17]
Definice určitého integrálu: Je-li funkce f spojitá na uzavřeném intervalu a, b a funkce F je libovolná primitivní funkce k funkci f na tomto intervalu, pak Newtonův určitý integrál funkce f na uzavřeném intervalu a, b je roven přírůstku funkčních hodnot primitivní funkce F na tomto intervalu, tj. rozdíl F(a) – F(b). [17]
Geometrický význam určitého integrálu: Určitý integrál vyjadřuje obsah rovinného obrazce ohraničeného grafem funkce f na uzavřeném intervalu a, b , osou x a přímkami o rovnicích x = a, x = b. [17]
37
Obrázek 15: Geometrický význam určitého integrálu. [20]
Výpočet určitého integrálu se provádí pomocí Newtonova-Leibnitzova vzorce [9]: b
∫ f ( x)dx = [ F ( x)]
b a
= F (b) − F (a)
a
Další metody výpočtu (studenti jejich principy znají z výpočtu neurčitého integrálu) [9]: •
metoda per partes
Při použití metody per partes studenti postupují stejně jako u neurčitého integrálu, ale v závěru příkladu musí ještě dosadit meze určitého integrálu. b
b
∫ u´vdx = [u( x)v( x)]a − ∫ u( x)v´( x)dx b
a
a
•
metoda substituce
U této metody studenti vhodně zavedou substituci stejně jako při výpočtu neurčitého integrálu. Navíc musí ještě určit nové meze určitého integrálu. Pro tyto meze platí: c = g(a) a d = g(b). b
d
a
c
∫ f ( g ( x)) ⋅ g´( x)dx = ∫ f (t )dt
38
•
věty o linearitě a aditivitě určitého integrálu
b
b
b
a
a
a
∫ [ f ( x) + g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx b
b
a
a
∫ cf ( x)dx = c ⋅ ∫ f ( x)dx b
∫
c
b
a
c
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x)dx
a
2.5.2.5 Vzorové příklady Pomocí Newtonovy-Leibnitzovy věty vypočítejte určité integrály:
2
Příklad 1 [9]:
∫ (x
3
+ 6 x 2 )dx
−2
Při výpočtu se nejprve využije věty o linearitě integrálu, tj. integrál se rozdělí na jednotlivé členy. Tyto členy se integrují a do výsledku se dosadí meze podle Newtonovy-Leibnitzovy věty: 2
2
2
[ ]
x4 x3 x4 3 ∫−2( x + 6 x )dx = −∫2 x dx + −∫26 x dx = 4 + 6 3 = 4 + 2 x −2 −2 −2 2
2
3
=
2
2
3
2
2 4 (−2) 4 − + 2 ⋅ 2 3 − 2 ⋅ (−2) 3 = 4 − 4 + 16 + 16 = 32 4 4
39
2
−2
=
π 2
Příklad 2:
∫ (cos
x ⋅ sin x ) dx
2
0
Při výpočtu určitého integrálu se využije metody substituce: b
1. Vzorec pro výpočet substituce:
∫
d
f ( g ( x)) ⋅ g´(x )dx = ∫ f (t )dt
a
c
2. Substituce: t = cos x 3. Derivace obou stran: dt = - sin x dx 4. Nové meze: c = cos 0 = 1 d = cos
π 2
=0 π
0
t3 1 5. Výpočet určitého integrálu: ∫ (cos x ⋅ sin x ) dx = ∫ − t dt = − = 3 1 3 0 1 0
2
2
2
e
Příklad 3: ∫ ln xdx 1
Při výpočtu určitého integrálu se využije metoda per partes: b
b
1. Vzorec pro výpočet per partes: ∫ u´vdx = [u ( x)v( x)]a − ∫ u ( x)v´( x )dx b
a
a
2. Nejprve je nutné si zvolit funkce u a v´. V tomto případě je vhodné si zvolit u = ln x a v ´= 1. 3. Ještě je nutné vypočítat u´(tj. derivovat x) a v (tj. integrovat cos x): u´ =
1 a v = x. x
4. Výpočet určitého integrálu: e
e
1 ∫ ln xdx = [ln x ⋅ x] − ∫ x ⋅ xdx = [ln x ⋅ x] − [x] e 0
1
e 0
e 0
= e ⋅ ln e − ln 1 − e + 1 = e − ln 1 − e + 1 = 1
1
40
2.5.2.6 Příklady k procvičení Vypočítejte určité integrály:
2
Příklad 1:
∫ 3x
2
dx
−1
[Řešení: 9] π 2
Příklad 2:
∫π (sin x + cos x) dx
−
2
[Řešení: 2]
1
Příklad 3:
∫ (x 0
2
x dx + 1) 2
[Řešení: 0,25]
π 2
Příklad 4:
∫ ( x ⋅ cos x)dx 0
[Řešení:
π 2
− 1]
1
Příklad 5:
ex ∫0 e x + 1 dx
[Řešení: ln(e + 1) − ln 2 ]
41
2.6 Nekonečné řady 2.6.1 Euler a nekonečné řady Euler byl pravděpodobně největším matematikem, který se zabýval řadami. Své poznatky o nekonečných řadách publikoval v knize Introducio z roku 1748. [16] Z našeho pohledu mohl někdy Euler zacházet s řadami nesprávně, protože v 18. století ještě nebyl objasněn pojem konvergence řady (tento objev přišel až o století později). I přesto přišel na svoji dobu k nečekaným objevům. [1] Euler si například chybně myslel, že součet 1 − 3 + 5 − 7 + ... = 0 , také špatně usoudil, že platí ...
1 1 + + 1 + n + n 2 + ... = 0. [3] 2 n n
Jeden z jeho významných objevů, součet řady Součet této řady je e = 1+
π2 6
1
∑n
2
, byl zmíněn již v kapitole o čísle π .
. Kromě čísla π Euler vyjádřil číslo e pomocí součtu řady:
1 1 + + ... [1] 1! 2!
Vztah mezi integrály a součty nekonečných řad vyjadřuje tzv. Eulerova-Macluarinova formule. Tuto formuli objevili nezávisle na sobě L. Euler a C. Maclurin: [1] Formule vychází z integrace funkce f na intervalu a, b . Tento interval je rozdělen na n stejných intervalů délky h = b
∫ a
f ( x )dx =
b−a a platí: n
[
]
n −1 h m h 2k ⋅ f (a) + 2 ⋅ ∑ f (a + kh) + f (b) − ∑ B2 k f 2 k −1 (b) − f 2 k −1 (a) + Rm , 2 ( 2 k )! k =1 k =1
kde
2m vyjadřuje maximální stupeň Bernoulliho polynomů a Rm je zbytek. K aplikaci Eulerovy–Maclaurinovy formule je tedy potřeba jen Bernoulliho čísla a funkční hodnoty lichých derivací funkce f. [1] Eulerovi také vděčíme za symbol součtu řady: Σ. [1]
42
2.6.2 Nekonečné řady na střední škole Než se studenti setkají s pojmem nekonečných řad, je nejprve nutné zavést pojem posloupnosti. [17] Posloupnost je chápána jako každá funkce f, jejímž definičním oborem Df je množina všech přirozených čísel N. Značí se (a n )n =1 . [17] ∞
Funkční hodnota posloupnosti f v bodě n se nazývá n-tý člen posloupnosti a značí se an. [17] Nejvýznamnějšími posloupnostmi na střední škole jsou aritmetické a geometrické posloupnosti: Aritmetická posloupnost je posloupnost, u níž je rozdíl každého následujícího členu konstantní: a n+1 = a n + d , d je tzv. diference aritmetické posloupnosti. Geometrická posloupnost je posloupnost, u níž je každý následující člen roven součinu předchozího členu a tzv. kvocientu geometrické posloupnosti q: a n+1 = a n ⋅ q . [17]
Definice nekonečné řady: Je dána posloupnost (a n )n =1 . Nekonečnou řadou nazýváme součet všech členů posloupnosti: ∞
∞
∑a
n
=a1 + a 2 + ... + a n + ... . Je-li posloupnost konečná, vznikne konečná řada, je-li
n =1
posloupnost nekonečná, vznikne nekonečná řada. [17]
Dále se studenti setkávají se součtem řady. Nejprve je ale nutné zavést pojem konvergentní a divergentní řady: Nekonečné řadě je přiřazena posloupnost částečných součtů (s n )n=1 : s n = a1 + a 2 + ... + a n . ∞
Má-li tato posloupnost vlastní nebo nevlastní limitu s = lim s n , nazývá se součet nekonečné n→∞
řady. Je-li tato limita vlastní, nekonečná řada konverguje, je-li limita nevlastní nebo neexistuje, je tato řada divergentní. Nutná podmínka konvergence nekonečné řady: lim a n = 0 . [17] n →∞
43
Nejvýznamnější řadou, se kterou se studenti na střední škole setkají, je geometrická řada: ∞
Nekonečná geometrická řada
∑a n =1
1
⋅ q n −1 , pro kterou platí a1 ≠ 0 , je konvergentní, právě
tehdy, když q < 1 . Potom má součet s =
a1 . [17] 1− q
2.6.3 Vzorové příklady ∞
Příklad 1 [17]: Určete součet nekonečné řady
1
∑2 n =1
n
1. Nejprve je nutné zjistit, zda je daná řada konvergentní: a1 =
a 0,25 1 1 = → a1 ≠ 0 , q < 1→ řada konverguje , q= 2 = a1 0,5 2 2
2. Vzorec pro součet geometrické řady: s =
a1 1− q
3. Dosazení do vzorce a výpočet součtu řady: s=
a1 0,5 = =1 1 − q 1 − 0,5
44
Příklad 2 [9]: Vyjádřete racionální číslo 0, 4 ve tvaru zlomku:
1. Pro lepší představivost je dobré vypsat několik prvních členů a napsat racionální číslo jako součet řady: 0, 4 = 0, 444 ... = 0,4 + 0,04 + 0,004 + ... = 4 ⋅ (0,1 + 0,01 + 0,001 + ...) = 4 ⋅ (0,1) n ∞
∞
n =1
n =1
∑ 4 ⋅ (0,1) n = 4 ⋅∑ (0,1) n 2. Dále je nutné zjistit, zda je daná řada konvergentní: a1 = 0,1, q =
a 2 0,01 = = 0,1 → a1 ≠ 0 , q < 1 → řada konverguje a1 0,1
3. Vzorec pro součet geometrické řady: s =
a1 1− q
4. Dosazení do vzorce a výpočet součtu řady (výsledek je nutné vynásobit čtyřmi): s=
a1 0,1 1 1 4 = = → s´= 4 ⋅ = 1 − q 1 − 0,5 9 9 9
45
Příklad 3 [9]: Vyřešte rovnici 1 + 3 x + 9 x 2 + ... = 10
Levá strana rovnice je nekonečná řada, proto je nejprve nutné zjistit její součet a potom pokračovat v řešení rovnice: ∞
1. Nelezení vzorce nekonečné řady: 1 + 3 x + 9 x 2 + ... = ∑ (3 x) n−1 n =1
2. Dále je nutné zjistit, zda je daná řada konvergentní: a1 = 1, q =
a 2 3x = = 3x a1 1
3. Určení definičního oboru:
q <1 3x < 1 x<
1 1 1 → x ∈− , 3 3 3
4. Vzorec pro součet geometrické řady: s =
a1 1− q
5. Dosazení do vzorce a výpočet součtu řady: s=
a1 1 = 1 − q 1 − 3x
6. Dopočítání rovnice: 1 = 10 1 − 3x 1 = 10 − 30 x x=
9 3 = 30 10
46
2.6.4 Příklady k procvičení: ∞
Příklad 1: Určete součet nekonečné řady
1
∑ 10 n =1
n
[Řešení:
∞
1 Příklad 2: Určete součet nekonečné řady ∑ n =1 3
1 ] 9
n −1
[Řešení: 1,5] ∞
Příklad 3: Určete součet nekonečné řady
∑ (1,5)
n
n =1
[Řešení: řada diverguje, nelze sečíst]
Příklad 4: Vyjádřete racionální číslo 0,325 ve tvaru zlomku
[Řešení: ∞
Příklad 5: Vyřešte rovnici
∑ ( x − 3)
n
161 ] 495
=1
n =1
[Řešení: x = 3,5 , x ∈ (2,4) ]
47
2.7 Komplexní čísla 2.7.1 Euler a komplexní čísla Euler významně přispěl k přijetí a rozvoji komplexních čísel. Jeho nejvýznamnější odkaz, který je používán při každé manipulaci s komplexními čísly, je symbol i. Euler roku 1777 zavedl tento symbol pro imaginární jednotku komplexních čísel: i = − 1 . Písmeno i použil pravděpodobně ze slova imaginaire (tímto slovem označoval komplexní čísla René Descartes, imaginaire = pomyslný, neskutečný). V tištěné podobě byl symbol i uveden až roku 1794. [1]
Euler také pomocí polárních souřadnic vyjádřil komplexní čísla v goniometrickém tvaru a + bi = z ⋅ (cos ϕ + i ⋅ sin ϕ ) a tím zjednodušil výpočty. [17] Pomocí součinu dvou komplexních čísel v goniometrickém tvaru a pomocí součtových vzorců dokázal Moivreovu větu (tuto větu zveřejnil v roce 1722 Abraham Moivre pouze pro kladná čísla, její platnost pro všechna reálná čísla ověřil až Euler): •
Při násobení komplexních čísel se amplitudy násobí a argumenty sčítají: z1 ⋅ z 2 = z1 ⋅ z 2 ⋅ [cos(ϕ1 + ϕ 2 ) + i ⋅ sin(ϕ1 + ϕ 2 )]
•
Pro případ ϕ1 = ϕ 2 = ϕ platí: z 2 = z ⋅ [cos(2ϕ ) + i ⋅ sin(2ϕ )] 2
•
Předpokládáme, že pro n > 2 platí: z n = z ⋅ [cos(nϕ ) + i ⋅ sin( nϕ )] , proto pro n + 1 platí: n
z n +1 = z ⋅ [cos(nϕ ) + i ⋅ sin(nϕ )] ⋅ z ⋅ [cos(ϕ ) + i ⋅ sin(ϕ )] = n
= z
n +1
⋅ [cos(nϕ ) + i ⋅ sin( nϕ )] ⋅ [cos(ϕ ) + i ⋅ sin(ϕ )] =
= z ⋅ [(cos(nϕ ) ⋅ cos(ϕ ) − sin( nϕ ) ⋅ sin(ϕ )) + i ⋅ (sin( nϕ ) ⋅ cos(ϕ ) + cos(nϕ ) ⋅ sin(ϕ ))] n
•
Po úpravě pomocí součtových vzorců dostáváme Moivreovu větu: (cos ϕ + i ⋅ sin ϕ ) n = [cos(nϕ ) + i ⋅ sin(nϕ )] [1]
48
Dalším objevem, ve kterém Euler udává vztah mezi exponenciálou a komplexními čísly, je relace, která je dnes známá jako Eulerova formule: e it = cos t + i ⋅ sin t . •
Také platí: e − it = cos t − i ⋅ sin t . Pomocí těchto dvou rovnic vyjádřil funkce sinus a cosinus: cos t =
•
e it − e − it e it + e − it , sin t = . 2 2i
Z této formule také plyne další vztah (pro t = π ): e πi + 1 = 0 . [1]
Euler také zřejmě uvažoval o geometrické interpretaci komplexních čísel. Nikdy však tuto myšlenku nezapsal. Komplexní čísla jako body roviny popsal až C. F. Gauss na přelomu 18. a 19. století. [17]
2.7.2 Komplexní čísla na střední škole Motivace: Na mnoha školách se při zavedení komplexních omezují pouze na zavedení imaginární jednotky i. Zavedení komplexních čísel by ale mělo vycházet ze znalostí reálných čísel: •
obor reálných čísel je uzavřený vzhledem ke sčítání, odčítání, násobení i dělení (s výjimkou dělení nulou)
•
operace sčítání a násobení je komutativní, asociativní a distributivní
•
obor reálných čísel je uspořádaný
•
v tomto oboru lze umocňovat přirozeným mocnitelem
•
odmocňovat nelze v případě, že je odmocnitel sudý a odmocňované číslo záporné
V oboru reálných čísel proto nelze vyřešit rovnici: x 2 + 1 = 0 , z toho důvodu je obor reálných čísel rozšířen na obor komplexních čísel tak, aby bylo možné tuto rovnici vyřešit. Je proto zavedeno číslo i (imaginární jednotka), pro které platí: i 2 = −1 . [17] Podobně lze řešit další kvadratické rovnice se záporným diskriminantem i některé algebraické rovnice vyšších řádů. [17]
Algebraický tvar komplexních čísel: Komplexní čísla jsou čísla ve tvaru z = a + bi , kde a ∈ R je reálná část komplexního čísla, b ∈ R je imaginární část komplexního čísla a i je imaginární jednotka.
49
Je-li a = 0 , jedná se o ryze imaginární číslo ( z = bi ). Je-li b = 0 , jedná se o reálné číslo ( z = a ). [17] Mocniny imaginární jednotky: V příkladech se imaginární jednotka může vyskytovat v různých mocninách, proto je potřeba, aby studenti znali význam těchto mocnin a dokázali si je sami odvodit: [9] i1 = i i 2 = −1 i 3 = i 2 ⋅ i = −1 ⋅ i = −i i4 = i2 ⋅i2 = 1 i5 = i4 ⋅ i = i ...
Komplexní číslo opačné ke komplexnímu číslu: [9] − z = −a − bi Číslo komplexně sdružené ke komplexnímu číslu z = a + bi je ve tvaru z = a − bi . [17]
Geometrické znázornění komplexních čísel: Nejprve je nutné zvolit si kartézskou soustavu souřadnic Oab, potom lze každému komplexnímu číslu v tvaru z = a + bi přiřadit jeho obraz o souřadnicích [a, b]. Rovina, ve které je komplexní číslo zobrazeno, se nazývá Gaussova rovina nebo rovina komplexních čísel. [17] Na osu x (reálná osa) se zobrazí čísla ve tvaru a + 0i , na osu y (imaginární osa) se zobrazí čísla ve tvaru 0 + bi . [17]
50
Obrázek 16: Geometrické vyjádření komplexních čísel. [autorka práce]
Pomocí geometrické interpretace lze definovat i absolutní hodnotu komplexních čísel: Absolutní hodnota komplexních čísel má v Gaussově rovině podobnou geometrickou interpretaci jako absolutní hodnota reálných čísel, tj. vzdálenost čísla od počátku. [17] Vyjádření absolutní hodnoty vychází z Pythagorovy věty: [9] z = a 2 + b2
Obrázek 17: Absolutní hodnota komplexních čísel. [autorka práce]
51
Goniometrický tvar komplexních čísel: Pro aplikace a výpočty s komplexními čísly není vhodný jejich algebraický tvar, ale tzv. goniometrický tvar. Jeho odvození vychází ze zobrazení čísla v Gaussově rovině, kdy je každému komplexnímu číslo přiřazena jeho vzdálenost od počátku (absolutní hodnota) a dále velikost orientovaného úhlu ϕ (tzv. argumentu), jehož počáteční rameno splývá s osou x a koncové rameno prochází obrazem komplexního čísla. [9]
Obrázek 18: Odvození goniometrické tvaru komplexních čísel. [autorka práce]
Odvození goniometrického tvaru opět vychází z geometrické interpretace komplexních čísel a také ze znalosti goniometrických funkcí: a = z ⋅ cos ϕ
b = z ⋅ sin ϕ
po dosazení do absolutní hodnoty z = a 2 + b 2 dostáváme goniometrický tvar komplexních čísel: z = z ⋅ (cos ϕ + i ⋅ sin ϕ ) . [17]
Operace s komplexními čísly: [17] •
součin dvou komplexních čísel: z1 ⋅ z 2 = z1 ⋅ z 2 ⋅ [cos(ϕ1 + ϕ 2 ) + i ⋅ sin(ϕ1 + ϕ 2 )]
•
podíl dvou komplexních čísel:
z z1 = 1 ⋅ [cos(ϕ1 − ϕ 2 ) + i ⋅ sin(ϕ1 − ϕ 2 )] z2 z2 52
Mocniny komplexních čísel: [17] Mocniny komplexních čísel jsou definovány podobně jako u reálných čísel. Je-li z = a + bi komplexní číslo, potom je jeho n -tá mocnina ( n ∈ N ) definována jako: z n = z ⋅ z ⋅ z ⋅ .... ⋅ z ( n krát). Jak již bylo řečeno, výpočty se lépe provádějí v goniometrickém tvaru, proto pro n-tou mocninu komplexního čísla také platí: z n = z ⋅ (cos nϕ + i ⋅ sin nϕ ) . Tento vzorec se nazývá n
Moivreova věta. Odmocniny komplexních čísel: [17] N-tou odmocninou komplexního čísla a je komplexní číslo z , pro které platí: z n = a , kde n ∈ N − {1}. •
Je-li a = 0 , pak má rovnice z n = 0 právě jedno řešení: z = 0 .
•
Je-li a ≠ 0 , pak má rovnice z n = a právě n různých hodnot, tj. existuje n různých hodnot n -té odmocniny komplexního čísla.
Výpočty se opět lépe provádějí v goniometrickém tvaru, proto pro n -tou odmocninu komplexního čísla a = a ⋅ (cos α + i ⋅ sin α ) platí: z k = n a ⋅ (cos
α + 2kπ α + 2kπ + i ⋅ sin ) , kde k = 0, 1, …, n − 1 . n n
Kořeny n -té odmocniny komplexního čísla se tedy vypočítají pomocí binomických rovnic. Obrazy všech hodnot se v Gaussově rovině zobrazí jako vrcholy pravidelného n -úhelníku se středem v počátku O a poloměrem
n
a .
Pozn.: Komplexní čísla lze také definovat pomocí uspořádaných dvojic reálných čísel:
Komplexními čísly se nazývají uspořádané dvojice reálných čísel z = [ x, y ] , pro něž platí tyto vztahy: [17] •
rovnost komplexních čísel: [ x1 , y1 ] = [ x 2 , y 2 ] ⇔ x1 = x 2 ∧ y1 = y 2
•
součet komplexních čísel: [ x1 , y1 ] + [ x 2 , y 2 ] = [ x1 + x 2 , y1 + y 2 ]
•
součin komplexních čísel: [ x1 , y1 ] ⋅ [ x 2 , y 2 ] = [ x1 x 2 − y1 y 2 , x1 x 2 + y1 y 2 ] 53
2.7.3 Vzorové příklady Příklad 1 [17]: Převeďte do goniometrického tvaru komplexní číslo: z = 1 − i
1. Obecný vzorec: z = z ⋅ (cos ϕ + i ⋅ sin ϕ ) 2. Výpočet absolutní hodnoty: z = a 2 + b 2 a = 1 , b = −1 → z = 12 + (−1) 2 = 2 3. Výpočet orientovaného úhlu: a. z grafu: ϕ =
7 π 4
Obrázek 19: Výpočet orientovaného úhlu. [autorka práce]
b. výpočtem cos ϕ =
a 1 2 = = z 2 2
sin ϕ =
hledaný úhel: ϕ =
b 1 2 =− =− z 2 2
7 π 4
7 7 4. Dosazení: z = 2 ⋅ (cos π + i ⋅ sin π ) 4 4
54
Příklad 2: Vypočítejte součin a podíl komplexních čísel: 3 3 2 2 z1 = 5 ⋅ (cos π + i ⋅ sin π ) , z 2 = 2 ⋅ (cos π + i ⋅ sin π ) 4 4 3 3
1. součin: 3 2 3 2 9+8 9+8 z1 ⋅ z 2 = 5 ⋅ 2 ⋅ cos( π + π ) + i ⋅ sin( π + π ) = 5 2 ⋅ (cos π + i ⋅ sin π) = 4 3 4 3 12 12 17 17 5 5 = 5 2 ⋅ (cos π + i ⋅ sin π ) = 5 2 ⋅ (cos π + i ⋅ sin π ) 12 12 12 12 2. podíl: z1 5 3 2 3 2 5 2 9 −8 9−8 = ⋅ (cos( π − π ) + i ⋅ sin( π − π ) = ⋅ (cos( π ) + i ⋅ sin( π ) = z2 4 3 4 3 2 12 12 2 =
5 2 1 1 ⋅ (cos( π ) + i ⋅ sin( π ) 2 12 12
55
Příklad 3: Vyřešte binomickou rovnici: x 4 − 1 = 0
1. Obecný vzorec: z k = n a ⋅ (cos
α + 2 kπ n
+ i ⋅ sin
α + 2kπ n
)
2. Výpočet orientovaného úhlu: ϕ = 0 3. Výpočet absolutní hodnoty: z = a 2 + b 2 = 1 4. Kořeny rovnice: x 0 = 1 ⋅ (cos
0 + 2 ⋅ 0 ⋅π 0 + 2 ⋅ 0 ⋅π + i ⋅ sin ) =1 4 4
x1 = 1 ⋅ (cos
0 + 2 ⋅1 ⋅ π 0 + 2 ⋅1 ⋅ π + i ⋅ sin )=i 4 4
x 2 = 1 ⋅ (cos
0 + 2 ⋅ 2⋅π 0 + 2⋅ 2 ⋅π + i ⋅ sin ) = −1 4 4
x 3 = 1 ⋅ (cos
0 + 2 ⋅ 3 ⋅π 0 + 2 ⋅ 3 ⋅π + i ⋅ sin ) = −i 4 4
Grafické řešení rovnice: Obrazy kořenů v Gaussově rovině tvoří vrcholy čtverce.
Obrázek 20: Grafické řešení binomické rovnice. [autorka práce]
56
2.7.4 Příklady k procvičení: Příklad 1: Převeďte do goniometrického tvaru komplexní číslo: z = 2 + 2i 1 1 [Řešení: z = 2 2 ⋅ (cos π + i ⋅ sin π ) ] 4 4
Příklad 2: Převeďte do goniometrického tvaru komplexní číslo: z = 5i 1 1 [Řešení: z = 5 ⋅ (cos π + i ⋅ sin π ) ] 2 2
3 3 Příklad 3: Určete součin a podíl komplexních čísel: z1 = 3 2 ⋅ (cos π + i ⋅ sin π ) , 4 4 1 1 z 2 = 2 ⋅ (cos π + i ⋅ sin π ) 4 4
[Řešení: – 6, 5i]
Příklad 4: Vyřešte binomickou rovnici: x 4 + 1 = 0
Řešení:
57
x0 =
2 2 +i⋅ 2 2
x1 = −
2 2 +i⋅ 2 2
x2 = −
2 2 −i⋅ 2 2
x3 =
2 2 −i⋅ 2 2
Příklad 5: Znázorněte v Gaussově rovině komplexní číslo: z = 1 + 3i
Řešení:
Obrázek 21: Zobrazení komplexního čísla v Gaussově rovině. [autorka práce]
58
3 ZÁVĚR Prvním cílem této závěrečné práce bylo sepsání stručného životopisu Leonharda Eulera (15. 4. 1707 – 18. 9. 1783). Tento významný matematik 18. století se začal zajímat o matematiku už od útlého mládí. Díky rodinnému příteli Johannu Bernoullimu, který v Eulerovi zájem o matematiku podporoval, se nemusel vydat na církevní dráhu, kterou požadovali rodiče, ale mohl se matematice plně věnovat. Matematice potom zasvětil celý život a ani slepota ho nezastavila od dalšího bádání a vydávání publikací. Druhým cílem této práce bylo vytvoření souboru kapitol, které ukazují vybraná odvětví matematiky, kterým se Euler zabýval. Práce obsahuje celkem šest kapitol (Číslo π, Pravidelné mnohostěny, Diferenciální počet, Integrální počet, Nekonečné řady a Komplexní čísla), které dokazují mnohostrannost toho matematika. Každá kapitola obsahuje důležité poznatky Leonharda Eulera z daného odvětví. Tyto poznatky jsou dále rozpracovány do učiva základní a střední školy. Nedílnou součástí každé kapitoly jsou vzorové příklady s postupy a také příklady k procvičení, které obsahují výsledky.
Tato závěrečná práce dokazuje, že je Leonhard Euler je právem nazýván největším a nejvýznamnějším matematikem 18. století. Matematice byl oddaný celý život, nebyl pouze jednostranně zaměřený a s mnohými z jeho objevů se studenti setkávají již na základní nebo střední škole.
59
4
Seznam použité literatury
[1]
Přednáška Euler. ZAS [online]. © 2004-2016 [cit. 2016-02-29].
Dostupné z: http://www.zas.cz/prednasky/prednaska_koutny_euler.pdf
[2]
Leonhard Euler. Osobnosti.cz [online]. 2016 [cit. 2016-06-20].
Dostupné z: http://www.osobnosti.cz/leonhard-euler.php [3]
STRUIK, J. Dirk. Dějiny matematiky. 1. vyd. Praha, Orbis, 1963. s. 250.
[4]
Euler: The Man and the Mathematical Physicist [online]. © 2010-2016
[cit. 2016-02-29]. Dostupné z: http://www.ega-math.narod.ru/Bell/Euler.htm [5]
BECKMANN, Petr. Historie čísla pí. 1. vyd. Praha: Academia, 1998. s. 169.
ISBN 8020006559. [6]
BUDÍNOVÁ, Irena. EDUCOLAND. Urči co nejpřesněji Ludolfovo číslo [online].
Brno, ©2013-2014 [cit. 2016-02-29]. Dostupné z: http://educoland.muni.cz/matematika/novemetody/urci-co-nejpresneji-ludolfovo-cislo/ [7]
ODVÁRKO, Oldřich, KADLEČEK, Jiří.: Matematika pro 8. ročník základní školy.
1. vyd. Praha: Prometheus, 2000. s. 79. ISBN 8071961833.
[8]
Obsahy rovinných útvarů [online]. © 2016 [cit. 2016-02-29].
Dostupné z: http://home.pf.jcu.cz/~math4all/doc/u/H_3_1_Obsahy_rovinnych_utvaru.pdf
[9]
POLÁK, Josef. Přehled středoškolské matematiky. 2. vyd. Praha: SPN, 1977. s. 627.
[10]
Matematika.cz [online]. ©2014 [cit. 2016-03-01].
Dostupné z: http://www.matematika.cz/
[11]
Příklady.eu [online]. ©2008-2016 [cit. 2016-03-01].
Dostupné z: http://www.priklady.eu/cs/Index.alej
60
[12]
BUŠEK, Ivan. Řešené maturitní úlohy z matematiky. 3. vyd. Praha: Prométheus, 1999.
s. 631. ISBN 807196140X. [13]
SVOBODOVÁ,
Veronika.
Historie
pravidelných
mnohostěnů.
FUCHS,
Eduard. Matematika v proměnách věků IV. 1. vyd. Brno: Akademické nakladatelství Cerm, 2007, s. 223. ISBN 9788072045365. [14]
RVP. Národní ústav pro vzdělávání [online]. ©2016 [cit. 2016-03-02].
Dostupné z: http://www.nuv.cz/t/rvp
[15]
Platónská tělesa. Wikipedia [online]. ©2016 [cit. 2016-03-02].
Dostupné z: https://cs.wikipedia.org/wiki/Plat%C3%B3nsk%C3%A9_t%C4%9Bleso
[16]
SCHWABIK, Štefan, ŠARMANOVÁ, Petra. Malý průvodce historií integrálu. 1. vyd.
Praha: Prometheus, 1996. s. 95. ISBN 8071960381. [17]
POLÁK, Josef. Didaktika matematiky: jak učit matematiku zajímavě a užitečně. 1.
vyd. Plzeň: Fraus, 2014. s. 431. ISBN 9788072384495. [18]
Derivace funkce. Přírodovědecká fakulta MU [online]. 2016 [cit. 2016-03-25].
Dostupné z: http://cgi.math.muni.cz/kriz/analyza/kap5.html
[19]
Přehled vzorců z matematiky. Gymnázium J. Ortena [online]. ©2016
[cit. 2016-03-25]. Dostupné z: http://www.gymkh.cz/student/Matematika/V%C5%A0EM%20V%C5%A0EM%20V%C5%A 0EM/Vzorce%20pro%20test%20z%20Maturitn%C3%ADho%20minima.pdf
[20]
Určitý integrál. Wikipedia [online]. ©2016 [cit. 2016-03-27]. Dostupné z:
https://cs.wikipedia.org/wiki/Ur%C4%8Dit%C3%BD_integr%C3%A1l
[21]
INGRŠTOVÁ, Michaela. Číslo π v učivu matematiky na základní škole. Brno 2012.
Bakalářská práce. Masarykova univerzita.
61
[22]
MIKULČÁK, Jiří, a kol. Matematické, fyzikální a chemické tabulky. 3. vyd. Praha:
Prometheus, 2003. s. 206. ISBN 8085849844.
62
5
Seznam obrázků a tabulek
5.1 Seznam obrázků Obrázek 1: Leonhard Euler. [4] .............................................................................................. 8 Obrázek 2: Vyvození obsahu kruhu. [8] ............................................................................... 12 Obrázek 3: Graf funkce sinus. [10]....................................................................................... 14 Obrázek 4: Graf funkce kosinus. [10] ................................................................................... 15 Obrázek 5: Graf funkce tangens. [10] ................................................................................... 15 Obrázek 6: Graf funkce kotangens. [10] ............................................................................... 15 Obrázek 7: Tabulka hodnot goniometrických funkcí. [11] .................................................... 15 Obrázek 8: Základní vztahy mezi goniometrickými funkcemi [11] ....................................... 16 Obrázek 9: Vlastnosti pravidelných mnohostěnů. [15].......................................................... 20 Obrázek 10: Krychle. [16] .................................................................................................... 21 Obrázek 11: Síť krychle [16] ................................................................................................ 21 Obrázek 12: Geometrický význam derivace funkce. [18]...................................................... 28 Obrázek 13: Derivace elementárních funkcí. [19] ................................................................. 29 Obrázek 14: Výpočet neurčitého integrálu. [19] ................................................................... 34 Obrázek 15: Geometrický význam určitého integrálu. [20] ................................................... 38 Obrázek 16: Geometrické vyjádření komplexních čísel. [autorka práce] ............................... 51 Obrázek 17: Absolutní hodnota komplexních čísel. [autorka práce]...................................... 51 Obrázek 18: Odvození goniometrické tvaru komplexních čísel. [autorka práce] ................... 52 Obrázek 19: Výpočet orientovaného úhlu. [autorka práce] ................................................... 54 Obrázek 20: Grafické řešení binomické rovnice. [autorka práce] .......................................... 56 Obrázek 21: Zobrazení komplexního čísla v Gaussově rovině. [autorka práce] ..................... 58
5.2 Seznam tabulek Tabulka 1: Zavedení substituce. [1] ...................................................................................... 32
63
