"
,
li
i 6
TBCHNISCHE HOGESCHOOL EIN.DLiOVEN.
RIJKSUNIVERSITE1T LIMBURG MAASTRICHT.
Afdeling der Llektrotechniek Vakgroep Meten en Regelen.
Capaciteitsgroep Biofysica.
"
VAN ERYTROCYTEN VOLGENS H~T OPTISCH TRALIESYSTEEM;OPTIMALISERING DOOR COMPUTERSI HULA1 IE. SNELHEIDSMETIi~G
1
door T.J.M.Jeurens.
Rapport van het afstudeerwerk uitgevoerd van februari 1979 tot maart 1980 in opdracht van Prof.Dr. C.B.Mulders onder leiding van Dr.Ir. M.G.J.Arts.
... -
VOORWOORD.
In dit voorwoord wil ik m~n coach Theo Arts bedanken voor de inspirerende w~ze, waarop h~ dit afstudeerproject begeleid heeft. Voorts een woord van dank aan Dick Slaaf en Wim Martens voor hun kritische kanttekeningen en hun vele aanmoedigingen.
SAMENVATTING.
De op~imalisering van het optisch gedeelte en de signaalverwerking van een meetsysteem om bloedcelsnelheden in kleine bloedvaten te me-ten wordt beschreven. De meetmethode berust op het volgende principe: Het beeld van een bloedvat wordt geprojecteerd-op een tralie. Wanneer de projectie van een cel langs het tralie gl~dt, zal de lichtintensiteit achter het tralie periodiek veranderen. Meting van de lichtintensiteitsveranderingen levert de snelheid van de bloedcel. Een eendimensionaal model van een richtingsgeyoelig meetsysteem met een drievoud~ prismatralie wordt op de computer gesimuleerd. Door een geschikt window op het tralie te leggen, worden laagfrequente storingen in het meetsignaal onderdrukt. De gemiddelde waarde van de grondharmonischen mag representatief verondersteld worden voor de gemiddelde snelheid van de erytrocyten. Drie verwerkingsmethoden, die van een signaal de gemiddelde frequentie schatten, worden op hun bruikbaarheid getest: de nuldoorgangentelling, een schatting van de gemiddelde frequentie in het tijddomeiil, en een schatti.ng van de gemiddelde__ frequentie vanuit het frequentiedomein. De twee laatstgenoemde methoden bleken minder gevoelig voor ruis en toonden een_ geringere variantie in de resultaten dan de nuldoorgangentelling. _
SUMMARY.
Optimization is descrlbed of an optical system for on-line red blood cell velocity measurements. The basic idea of the
system is: A microvessel is projected on a grating; measurernent of the frequencies of the changing light intensity caused by the projection of a red blood cell moving along the grating yields the velocity of the cello A one-dimensional model of a bidirectiona~ optical system using a three stage prism grating is simulated on a computer. Optical windowing suppresses low-frequency disturbances in the photometric signal. The maan of the first harmonies may be considered to be proportional to the mean velocity of the moving erythrocytes. Three methods for estimation of the mean frequency of the signal are tested: a zerocrossingscounter, a method operating in the time-domain, and an estimation of the mean frequency in the frequency-domain. The last two methods are Ie ss noisesensitive, while their results show a smaller varianee than the zerocrossingscounter.
INHOUDSOPGAVE
LITERATUURLIJST
.
.
I.
INLEIDING
11.
HET PRINCIPE VAN HET OPTISCH TRALIESYSTEEM VOOR METING VAN DE SNELHEID VAN ERYTROCYTEN
11-1
111. COMPUTERSIMULATIE VAN TIJDSIGNALEN, VERKREGEN UIT HET OPTISCH BEELD
111-1
1. Eendimensionaal model 2. De impulsresponsie van een tralie 3. De lichtintensiteitsverdeling van een rode bloedcel 4. Samenstelling van een groep rode
I-I
111-1 111-3 ~.
bloedcellen
111-5 111-9
5. Fotosignalen als gevolg van het passeren van een groep bloedcellen 111-14 6. Drievoudig tralie 111-16 7. Transformatie van drie fotosignalen in twee 90 0 in fase verschoven signalen .:: IiI-i7-
IV.
OPTIMALISERING VAN HET OPTISCH GEDEELTE VAN HET
MEETSYSTE~
•••••••••••••••••••••••••••••••
1. De vergrotingsfaktor van de microscoop 2. Reduceren van laagfrequente storingen door optisch filteren
IV-l
IV-l IV-3
V.
VERWERKING VAN TWEE 90 0 IN FASE VERSCHOVEN SIGNALEN TOT EEN SNELHEID .........•........... 1. De nuldoorgangentelling 2. Schatting van de momentane gemiddelde . frequentie door signaalverwerking in het tijddomein
V-l V-6
V-9
3. Bepaling van de gemiddelde frequentie rechtstreeks uit het vermogensdichtheidsspectrum
De invloed van ruis op de schatting van de gemiddelde frequentie 5. Vergel~king van de drie signaalverwerkingssystemen
V-13
4.
VI.
V-14 V-18
CONCLUSIE.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. VI-l
APPENDIX A APPENDIX B APPENDIX C
.................................... . ... ... ... . . .. . ... . . ... ... . . ....... .
A-l A-3 A-6
LITERATUURLIJST.
1. J.P.S.M.Rood
-Een optisch meetsysteem voor het meten van de gemiddelde snelheid van rode bloedcellen in de microcirculatie.
Afstudeerverslag, Technische Hogeschool Eindhoven. (1978)
2. R.Fritsche F .Mesch Measuremen~
3. W.Röckemann G.-J.Plesae
Bibl. Anat.
4. D.W.Slaaf J.P.S.M.Rood G.J.Tangelder T.Arts
-Non-contact speed measurement, a comparison of optical systems. and Control 6, 293-300
-Registration of erythrocyte velocity by selecting wavelength and superposition of oscillations. No. 11, 50-54
(1972)
-A bidirectional optical system for on line red bloodcell velocity measurements.
Microvascular Research 17, S 173
5. E.Delingat
(1973)
(1979)
-Berührungslose optische Geschwindigkeits- und Abstandmessung.
Leitz Mitt. Wiss. u. Technik, 249-257
(1976)
6. E.A.Evans Y.C.Fung
-Improved measurements of the erythrocyte geometry.
Microvascular Research
7. H.-U.Harten
4, 335-347
-Physik ~ür Mediziner, eine Einführung.
Berlin, Springer-Verlag
8. A.Papoulis
J.M.J.G.Roevros
(1969)
-The Fourier transform and its applications.
New York, McGraw-Hill
11. M.G.J.Arts
(1965)
-A guided tour of the Fast Fourier Transform.
IEEE Spectrum vol.6, 41-52
10. R.Bracewell
(1975)
-Probability, random variables, and stochastic processes.
Tokyo, McGraw-Hill
9. G.D.Bergland
(1972)
(1965)
-On the instantaneous measurement of bloodflow by ultrasonic means.
Med. and Biol. Engng., vol 10, 23-34
(1972)
• A.P.Verlijsdonk
--Telecommuniecatie 11, transmissiesystemen.
Collegedictaat Technische Hogeschool Eindhoven. (1974)
13. M.H.Ackroyd
-
-Digital Filters. cine Series.)
London, Butterworth Co. Ltd.
(Com~uters
in Medi-
(1973)
-1
I-I
I. Inleiding. Aan àe R0ksuniversiteit Limburg wordt in het kader van het project Microcirculatie onderzoek verricht, waarbij de snelheid van het bloed in de kleinste bloedvaten el?n belangrtjke parameter is. Middels een afstudeerproject in '77-'78 ie een prototype van een bloedsnelheidsmeter gerealiseerd (Lit.l.). Het systeem berust op de toepassing van traliedètectie, een methode om deeltjessnelheden te bepalen (Lit.2.). Zie Fig.I.l.
Fig.I.l. Snelheidsmeting met behulp van een tralie. Het bewegende object wordt op een tralie afgebeeld. De lens achter het tralie verzamelt het doorvallende licht op een fotodiode. Beweegt de projectie van het object zich i~~ex-~ich ting (Fig.I.l.) over het tralie, dan resulteert dit in een fluctueren van de gemiddelde lichtintensiteit, die door de diode gemeten wordt. De frequentie van deze fluctuaties is een maat voor de snelheid van het object in de x-richting. Dit principe werd voor het eerst in 1972 door Röckemann en Plesse in het Microcirculatie-onderzoek toegepast (Lit.,. ). Z~ gingen uit van een differentiëel prismatralie, dat het licht, afkomstig van het microscoopbeeld van het bloedvat, in twee bundels splitste. Deze werden vervolgens geprojecteerd op twee
I-2
fotodioden. (Fig.I.2.). Aldus werden twee ineengeschoven tralie gerealiseerd. De fluctuerende signalen, die beide dioden leve0 ren als er een deeltje passeert, z~n 180 in fase verschoven. Het verschilsignaal van beide kanalen geeft een verdubbeling van net wisselspanningssignaal en een onderd~ukking van het De-niveau, dat het gevolg is van het continu invallende licht.
~c!!t I\IY I
I
\
I
... ' {
'.
I
l~'
! I
I
, I
I~
,
I,
I
Fig.I.2. Snelheidsmeting met behulp van een differentiäel prismatralie. Voor het prototype, dat gebouwd werd in het lab. Microcirculatie, werd gebruik gemaakt van een drievoudig prismatralie met drie fotodioden. De fotosignalen bevatten nu -- i.t.t. het differentiële tralie -- tevens informatie over de bewegingsrichting van de deeltjesstroom(Lit.4.). Deze traliedetectie bezit enkele voordelen ten opzichte van andere deeltjessnelheidsmeetsystemen (Lit.2.): kan bU lage lichtintensiteiten gemeten worden. Snel volgen van veranderingen in snelheid van de bloedde e 1 t jes i s moge llJk_.'---~r
~
1-3
- Bewegingsumkeer van deeltjes kan gedetecteerd worden. Alhoewel het prototype b~ lage bloedsnelheden goede resultaten boekte, voldeed het meetsysteem minder bij hogere bloedsnelheden (>10 mm/s.). De opdracht van dit afstudeeronderzoek was, na te gaan, waarom dit apparaat bij hogere snelheden faalde, en te onderzoeken of er mogelijkheden bestonden om het systeem te verbeteren. Ter beantwoording van deze vragen bleek een terugkeer naar de theoretische achtergronden van het snelheidsmeetsysteem noodzakel~k. Om het gedrag van het systeem goed te kunnen analyseren, werd een eendimensionaal model ervan afgeleid, en op een computer gesimuleerd. Aan de hand van dit simulatiemodel bleek het mogelijk, naast de bestaande signaalverwerkingsmethode -- een bepaling van de gemiddelde frequentie van de fotosignalen door middel van nuldoorgangentelling , enige alternatieve methoden om de gemiddelde frequentie te schatten op hun bruikbaarheid te testen.
11-1
11. Het principe van het optisch traliesysteem voor meting van de snelheid van erytrocyten. Fig.II.l. geeft een schematisch'overzicht van het optisch gedeelte van het meetsysteem. In het objectvlak 0 bevindt zich het bloedvat, waarvan de snelheid van de bloedstroom gemeten moet worden. Het beeld van dit objectvlak wordt met behulp van een microscoop vergroot afgebeeld op een drievoudig prismatralie. Het objectvlak wordt beschreven door de coördinaten x' en y' (fig.II.l.) Licht valt hier nagenoeg loodrecht op in, evenwijdig aan de op dit x'y'-vlak gedefinieerde z-richting. Het lenzenstelsel van de microscoop (zie Appendix A) projecteert dit licht in nagenoeg evenw~dige stralen op het tralie ( = projectievlak P, fig.II.l.), waar het breekt aan de schuine vlakken. Op deze manier ontstaan drie lichtbundels, die door een verzamellens op drie fotodioden verzameld worden.
---ru-
/
- -- - ---
/ /
,rh' Ql
obj ec t-" / vlak 0
~
/
--
- --------------:ffi---
""", ""-
mi.croscoop
projectievlak P
------------:illverzamel.~ens
fotodioden
Fig.II.l. Optisch gedeelte van het meetsysteem. Fig.II.2. toont een doorsnede van het prismatralie. De brekingsvlakken z~n genummerd van 1 t/m 9. Fotodiode 1 krijgt alleen licht toegevoerd van de vlakken 1. 4 en 7, fotodiode 2
11-2
ontvangt slechts licht van de vlakken 2, 5 en 8, fotodiode 3 alleen van de vlakken 3, 6 en 9: het beeld van het projectievlak P is voor elke diode afgedekt door een tralie, dat slechts een aantal stroken van het projectievlak voor het licht vrUlaat. De drie tralies hebben een rast~rconstante d, en een opening b = d/3; ze z~n over een afstand d/3 t.o.v. elkaar verschoven.
fotodiode 3 d
fotodiode 2 fotodiode
pr~sma-
tralie
verzame~-
~
brandvlak
lens
Fig.II.2. Lichtbreking door een drievoudig prismatralie. De fotodioden meten de momentane ruimtelijk gemiddelde lichtintensiteit van de bundels, die erop geprojecteerd worden. We nemen aan, dat de projectie van een langskomendê-erytroèyt zich loodrecht op de richting van de stroken, die het licht doorlaten, beweegt; deze wordt afwisselend wel en niet gedetecteerd. De fotodioden leveren aldus een elektrisch signaal, dat evenredig is met de fluctuerende waarde van de gemiddelde lichtintensiteit van de bundels 1, 2 en 3. De frequentie van deze fluctuaties is evenredig met de snelheid van de erytrocyt. Als er geen bloedcellen passeren, ontvangen de dioden een lichtstroom van constante intensiteit. Ten gevolge hiervan
I~3
vertonen de fotosignalen een DG-niveau. De fluctuaties als gevolg van het passeren van erytrocyten z~n 10 5 _10 6 maal kleiner in amplitude dan de DC-component.(Lit.S). Omdat de drie tralies onderling over een afstand d/3 verschoven zijn, zullen de fotosignalen onderling 1/3 periode in fase verschoven zijn. Door de keuze van een geschikte combinatie van de drie signalan is het mogelUk de gelijkspanningscomponent t.~limineren. (Par.III.7.) De onderlinge faseverschuiving van de drie fotosignalen bevat informatie over de bewegingsrichting van de passerende bloedcellen. V~or meer bijzonderheden over het optisch meetgedeelte wordt verwezen naar Lit.l.
111-1
111. Computersimu1atie·van tijdsignalen, verkregen uit het optisch beeld.
1. Eendimensionaal model.
Voor een tralie met Dasterconstante d en opening b • d/3 (Fig.III.l.l.) kan de doorlaatfunctie a(x,y) gedefinieerd worden (Lit.l.): buiten de openingen, a(x,y) = 0 binnen de openingen. a(x,y) = 1.
L
x
Fig.1II.1.l. Licht valt in evenwijdige stralen door het tralie, dat plat in het xy-vlak (=projectievlak Puit Fig.II.l.) ligt.
De breedte c van het tralie wordt dusdanig groot veronderst~~d, dat de projectie van de langskomende deeltjes zich ten alle tijde geheel binnen het gebied -c/2 < y <. c/2 bevindt. In di tgebied is de doorlaatfunctie a(x,y) onafhankelijk van y, zodat: a(x,y) = a(x). Een passerend deeltje heeft een lichtintensiteitsverdeling i(x,y) als gevolg van de projectie van dat deeltje op het xyvlak. Als deze projectie zich met een snelheid v langs de x-aa beweegt, kan voor de lichtintensiteitsverdelingsfunctie ge~ schreven worden: i(x-vt,y). De fluctuaties van de intensiteit van het licht, dat door het tralie valt, en via de verzamellens één van de fotodioden bereikt, worden beschreven door:
III-2
x2
fl(t) =)" xl met:
Y2 /" a(x).i(x-vt,y) dxdy Yl
x l ,x 2 de grenzen van het tralievlak Yl'Y2 de afmetingen van het àeeltje in de y-richting.
Door een eendimensionale lichtintensiteitsverdeling te definiëren:
kunnen de lichtintensiteitsfluctuatiea, die een fotocel opvangt, als de projectie van een deeltje zich met een snelheid v langs het tralie beweegt, worden beschreven door: fl(t)
x 2 'a(x).i(x-vt) dx
= (YI-Y 2 ). ~
=
xl
+00
= (YI-Y2). J
a(x).i(x-vt) dx.
-00
Voor het elektrische wisselspanningssignaal kan geschreven worden: set) ... K.
J
+00
a(x).i(x-vt) dx =
-00
= K. v.
[ a (vt) • i (-vt)] •
K is een evenredigheidsfactor, waarin de gevoeligheid van de fotodetector en de afmetingen van de projectie van het deeltje in de y-richting z~n opgenomen. In het frequentiedomein werd de volgende formule afgeleid, en de spatiële frequentie m geintroduceerd:
III-3
sCt)
0-0
S(w)
= ~.
A(m) .I(-m),
met:
m
w I:
v·
-
A(m) en l(m) z~n de Fouriergetransformeerden van het plaatsdomein naar het spatiële frequentiedomein, gedefinieerd volgens: +00 }" a ( x ) • e - jmx dx.
A (m) =
-00
+ 00 • /" ·.i (x) • e- Jmx dx.
I (m) =
-00
2. De impulsresponsie van een tralie. EeD impulsvormig deeltje passeert het tralie. Het wisselspanningssignaal, dat een van de fotodetectors dan aflevert, is de impulsresponsie van dat tralie. De lichtintensiteitsverdeleing van zo'n impulsvormig deeltje wordt gegeven door: i(x,y) = ó(x).ó(y). ó(x) en ó(y) zijn op I genormeerde Dirac-functies. De eendimensionale lichtintensiteitsverdeling wordt: i (x)
= /
+00
i (x , y) dy
= ó (x) •
-00
impulsvormige deeltje passeert zodanig, dat de projectie ervan op het tralie alleen een snelheid v in de x~richting heeft. De fotodetector geeft de volgende signaalfluctuatie als vermindering op met DO-niveau: He~
set)
= K.
J
+00
a(x).<5(x-vt) dx = K. a(vt).
-00
In Fig.lll.2.1. is deze impulsresponsie getekend voor een tralie met N openingen. Stel, dat het tralie van Fig.lll.2.1. oneindig lang is. De impulsresponsie ia dan een periodiek, blokvormig signaal met periode d en pulsbreedte b = d/3.
111-4
fa
-~
1
2
. . JlJLJl__
3
-
- - - t.. ~
b
vt
-~d---
Fig.III.2.1. Impulsresponsie van een tralie. De frequentie van de grondharmonische van de blokgolf is een directe maat voor de snelheid v van de projectie van het impulsvormige deeltje op het tralie. Immers, voor de periode van de grondharmonische geldt: T = d/v . Aldus kan uit de impulsresponsie de grondfrequentie van het tralie gedefinieerd worden: 1 v f o = T •
a·
Fig.III.2.2. toont het spatiële frequentiespectrum van de impulsresponsie van een oneindig lang tralie.
, x:
1-6lt cr
o
ts
2n: d
Fig.III.2.2. Spectrum van de impulsresponsie van een oneindig lang tralie. In Lit.l. werd de volgende uitdrukking voor dit spectrum afgeleid: nltb) cr K·o· cr b sin ( n"ltb
met: n = elk geheel getal.
111-5
In werkelUkheid heeft het tralie een eindige lengte. Dit kan beschouwd worden al8 een oneindig lang tralie, waarover een rechthoekig window gelegd is. Voor het spatiële frequentiespectrum van de impulsresponsie van het tralie betekent dit, dat de frequentierespons van Fig.III.2.2. met een -- met het window corresponderende -- sinc-functie wordt geconvolueerd.
3. De lichtintensiteitsverdeling van een rode bloedcel. Fig.III.3.l. toont de niet-gedeformeerde vorm van een erytrocyt liggend in het x 1 Y'-vlak.(Lit.6). In de prakt~k hebben erytrocyten geen exact gedefinieerde vorm, daar ze meestal sterk gedeformeerd door een bloedvat stromen. Karakteristiek voor de celvorm blijft echter, dat de cel aan de rand dikker is dan in het midden.
y'
,,-
,
,-
- ....... ,
z ,
I
\ \
I
I
\ \
, ........
- -;~
,-
,
I
Bovenaanzicht
B x'
tA~-r-X' Doorsnede_AB.
Fig.III.3.1. Niet-gedeformeerde vorm van een erytrocyt. De vorm van de doorsnede AB in Fig.III.3.1. zal gebruikt worden om ~en eendimensionale lichtintensiteitsverdeling van een rode bloedcel te definiëren. Om de rand van doorsnede AB in het x'z'-vlak te beschrijven, is gebruik gemaakt van de volgende functie (Fig.III.3.2.):
0-
111-6
x
zo (x)
= 0
x
~ 0
»
< o.
De functie Z(x) beschrijft de bovenste helft van de rand van doorsnede AB. Fig.III.3.3. toont hoe Z(x) uit twee functies Z (x) geconstrueerd kan worden. Voor de kromme in deze figuur o geldt:
I/e
2
x
Fig.III.3.2. De functie Zo(x).
Z(x)
t
1./e
..
o
-.-:1-"," "" . ........
-- _......
Ij
-
_--. 2-1/f
2
•
I
Fig.III.3.3. Beschrijving van de rand van doorsnede AB door de functie Z(x).
x
111-7
Als waarde van de parameter} is 4.62 gekozen, opdat de verhouding in dikte van de cel in x = 1 en in x = l/~ ongeveer 0.25 is, en de plaats van de maxima (in X3 l/~ en x = 2-1/,) in redel~ke overeenstemming zijn met de door Evans en Fung ge~ vonden waarden. (Lit.6). Volgens de wet van Lambert (Lit.7) geldt, dat voor de intensiteit I van het lïcht, dat door een laag materie ~et dikte Az valt:
met:
1
k Uitschr~ven
0
= intensiteit van het invallen=
de licht, materiaalconstante.
in een reeks levert:
I (6. z) = I 0
•
_ ] [ 1· - k. 6z + (k.AZ)2 2! ...
Lit.5 vermeldt, dat de fluctuaties in de lichtstroom als ge· kleiner volg van het passeren van erytrocyten 105 -10 6 maal zijn dan het De-niveau. Derhalve kan gesteld worden:
en. mag de bovenstaande formule benaderd worden door:
De intensiteitsverandering veroorzaakt door een erytrocyt met dikte Óz kan dan beschreven worden door:
Een cel mag derhalve " transparant" verondersteld worden, d.w.z. de lichtintensiteitsfunctie als functie van de plaats is recht evenredig met de afstand, die het licht op die plaats
111-8
door de erytrocyt moet afleggen. De co6rdinaten x' en y' uit Fig.III.3.l. definiären het objectvlak 0 (Fig.II.l.) waarin de erytrocyten zich bevinden. In Fig.III.3.4. z~n enkele lichtintensiteitsverdelingen geschetst voor een rode bloedcel. die verschillende standen aanneemt t.o.v. de lichtinval. De bijbehorende doorsneden van de cel z~n erboven getekend.
!1l!!!1!!
z
z
Jll!lll
X'
X'
i.(x,O)
z
t
-X
-X
Fig.III.3.4. Intensiteitsverdelingen van een rode bloedcel. In par.III.I. was een eendimensionale lichtintensiteitsverdeling als volgt gedefiniëerd: Y2 i ( x)
0=
)'
i ( x , y) dy •
Yl Om een goed hanteerbaar en niet te complex simulatiemodel te verkrUgeIl. werd een elementair deel van de fotosignalen gecreeerd, namel~k dat deel, dat ontstaat als gevolg van de lichtintensiteitsverdeling van de erytrocyt langs de x-as: i(x,O).
111-9
Voor het eendimensionale simulatiemodel wordt derhalve gedefiniëerd:
i(x)
=
i(x,O) .
Voor de bloedcel wordt tenslotte nog de restri~tie ingevoerd, dat het middelpunt van de cel zich op elk tijdstip op de x'-as bevindt.
4. Samenstelling van een groep rode bloedcellen. Om een lichtintensiteitsverdeling van een groep samengepakte erytrocyten te creëren, moet van elke bloedcel het volgende bekend zijn: a. De stand van de cel t.o.v. de lichtinval. b. De x'-coördinaat van het middelpunt van de cel. In de vorige paragraaf is aangetoond, hoe van elke cel afzonderl~k een eendimensionale lichtintensiteitsverdeling gemaakt kan worden, als de bovenstaande gegevens bekend zijn. De lichtintensiteitsverdeling van een groep erytrocyten ontstaat door de intensiteitsfuncties van de afzonderlijke cellen b~ elkaar o~ te tellen. Dit is geoorloofd, omdat de cellen "tran~pa ran~" verondersteld waren.(Par.III.2.). a.
De stand van de cel t.o.v. de lichtinval.
-
Fig.III.4.1. definiëert een richtingsvector r v voor een erytrocyt. ~ is de hoek tussen richtingsvector r v en de positieve x'-as.(In Fig.III.4.1. geldt dus: ~ ~ 90 0 ). In principe kan ~ een erytrocyt alle mogelijke r v standen aannemen, m.a.w. de eindpunten van de richtingsz vector zijn uniform verdeeld over het oppervlak van een X' bol. Fig.III.4.1. De eendimensionale lichtintenDe richtingsvector van een siteitsverdeling i(x) is onerytrocyt. afhankelijk van een rotatie
lII-10
van de cel om de x'-as, omdat de erytrocyt "transparant" verondersteld is.Dat betekent, da"t de lichtintensiteitsverdeling voor een bepaalde hoek ~ hetzelfde blUft als de richtingsvector een cirkel met straal Irvl. sin 0<.. in een vlak loodrecht op de x'-as beschrUft. Zie Fig.III.4.2. De eindpunten van de richtingsvector liggen dan uniform verdeeld op een cirkel met straal IrvJ~àinc;:o<. • De kansdichtheid, die bij deze verz deling hoort, wordt gegeven door: x' p (oc:)
a
~
•
sin eX.
•
Deze functie is zodanig genormeerd, dat bij integratie over het gehele boloppervlak vol~. daan is aan de eis:
• ..r v is Fig.III.4.2 uniform verdeeld over een bol.
1[
JI
p ( 0( , SI') doe: dCf
= )"
Bolopp.
o
P (tX ) dp(
=
1.
Fig.III.4.3. toont lichtintensiteiten voor verschillende waarden van oc, berekend volgens de methode van de vorige paragraaf. Bij het samenstellen van de lichtintensiteitsverdeling-van een aantal erytrocyten dient de hoek <X. representatief voor de stand van de cel t.o.v. de lichtinval -- uit een "sinus"-verdeling getrokken te worden, waarvan de kansdichtheid gegeven wordt door: p(o<:)
b.
= 12
•
sig.<X.
De x'-coördinaat van het middelpunt van de cel.
In par.III.l. is aangetoond, dat het t~dsignaal, dat elk van de fotodetectors levert als gevolg van het passeren van een
rlI-ll
ALFA:
-_ .. --
e
-----..... ALFA: 15
ALFA120
ALFA:30
AlFA:35
ALFA:40
ALFA:"S
ALFA1S0
ALFA:C:S
ALFA:60
ALFA:65
ALF,:..: 70
ALFA175
AlFA:80
,
~I
Fig.III.4.3. Intensiteitsverdelingsfunctiee met de hoek a.ls parameter_o.
_
·
)
111-12
groep erytrocyten, een plaatsconvolutLe is van twee functies: de doorlaatfunctie van het tralie en de lichtintensiteitsverdeling van die groep erytrocyten. Om de convolutie van de beide plaatsfuncties te berekenen, is gebruik gemaakt van een Discrete Fourier Transformatie (DFT), die door de computer uitgevoerd wordt. Deze kan slechts digitale signalen verwerken, vandaar dat er getalle~reeksen worden gebruikt, corresponderend met gediscretiseerde plaatsfuncties. De werkwijze is als volgt: Transformeer de twee te convolueren getallenreeksen m.b.v. DFT naar het spatiële frequentiedomein. Vermenigvuldig de beide getransformeerde reeksen met elkaar. (complexe vermenigvuldiging!) Transformeer de aldus ontstane reeks m.b.v. DFT weer terug naar het plaatsdGmein. Om deze techniek op een correcte w~ze toe te passen, moeten de desbetreffende continue plaatsfuncties aan de volgende voorwaarde voldoen: de lengte van de functies moet zodanig zijn, dat de bijbehorende beschrijvende datareeksen alle corresponderende functiewaarden kunnen bevatten. De getallenreeks, die een plaatsfunctie beschrijft, heeft een eindige lengte. Stel, dat de reeks N functiewaarden kan be--vatten. Een datareeks, die een continue plaatsfunctie g(x) weergeeft, bestaat dan uit N getallen ter waarde g(k.Ax), met k = 1,2,3, •.• ,N. (6x is de afstand tussen twee opeenvolgende bemonsteringen.) Voor de lengte van de continue plaatsfunctie, die in de datareeks staat beschreven, moet gelden: Lmax
~
(N-l).6x •
De doorlaatfunctie van het tralie is per definitie (par.liI.l) een functie met een eindige lengte, omdat de afmetingen van het tralie eindig zijn. De lengte van de lichtintensiteitsverdeling van de groep erytrocyten moet echter ook beperkt zijn. Stel, dat de doorlaatfunctie·van het tralie een lengte Lt heeft, en de samengestelde intensiteitsverdeling een lengte Li , dan heeft de convolutie van beide plaatsfuncties een lengte:
I,
,
··1 j
111-13
L = Lt ~ L i
•
(Li t. 8. )
Veronderstel, dat Lmax de maximale lengte van een plaatsfunctie is, die een datareeks van N functiewaarden kan omvatten, dan geldt de betrekking:
Aan de lengte van de samengestelde lichtintensiteitsverdelingsfunctie moet dus de volgende eis gesteld worden:
Dat betekent, dat de middelpunten van de erytrocyten uit de groep zich maximaal over een afstand Li - 6L b uit elkaar mogen bevinden. ~Lb geeft de maximale lengte van de lichtintensiteitsverdeling van een rode bloedcel; dit is het geval b~ 0 ()I..= 90 • (Zie Fig.III.4.3.) Om al te abrupte overgangen aan het begin en aan het eind van de samengestelde lichtintensiteitsverdeling te vermijden, werden de erytrocyten volgens een -- bU 3~ afgekapte -- Gauss-verdeling over de lengte Li gepositioneerd. Fig.III.4.4. toont een voorbeeld van een lichtintensiteitsverdeling van een groep van 10 erytrocyten, volgens bovenstaand recept samengesteld.
r
1
I
I
I
104 I
Li
.. ·1
I
I
X
Fig.III.4.4. Een lichtintensiteitsverdeling van 10 erytrocyten.
111-14
5. Fotosignalen als gevolg van het passeren van een groep bloedcellen. In par.III.l. werd de volgende formule gegeven voor een t~d signaal, dat een fotodetector levert als een deeltje met intensiteitsverdeling i(x) het tralie passeert: s(t) = K.
+~
J
a(x).i(x-vt) dx = K.v. ["a(vt)8 i(-vt)
]
-00
Hierin is v de snelheid van de projectie van het deeltje op het tralie. Wordt met i(x) niet de lichtintensiteit van één deeltje voorgesteld, maar de eendimensionale lichtintensiteitsverdeling van een groep erytrocyten, dan geldt de uitdrukking voor een groep cellen, die allen met dezelfde snelheid het tralie passeren. De plaatsconvolutie wordt via een complexe vermenigvuldiging in het spatiële frequentiedomei uitgevoerd. Simulatie van een foto signaal als gevolg van het passeren van een groep cellen wordt als volgt verkregen: a. Kies het aantal bloedcellen, dat in een bepaald t~ds interval het tralie passeert. b. Trek voor elke cel een waarde voor de hoek ~ uit een "sinus"-verdeling. c. Maak voor elke cel een lichtintensiteitsverdeling, die hoort b~ de getrokken hoek ~ • _ d. Trek uit een (afgekapte) Gauss-verdeling de waarde van de coördinaten, die het middelpunt van elke cel vastleggen. e. Verschuif de afzonderl~ke intensiteitsverdelingsfuncties aan de hand van de vastgestelde middelpunten van de erytrocyten en tel deze verschoven functies b~ elkaar op. f. Convolueer deze samengestelde lichtintensiteitsverdeling met de doorlaatfunctie van het tralie. In Fig.III.5.l. z~n twee intensiteitsverdelingen met de bijbehorende t~dsignalen gegeven. Het gaat hier om groepjes van
111-15
10 cellen. In par.III.2. ~erd uit de impulsresponsie van het tralie een grondfrequentie gedefiniëerd: f o = vld • Uit Fig.II1.5.l. blUkt, dat het al dan niet sterk aanwezig zijn ~an deze grondharmonische in het foto signaal afhangt van de onderlinge positie en de draaiing van de erytrocyten •
....... x
....... x
signaal 1
---. vt
signaal 2
-.vt
Fig.III.5.l. Tijdsignalen, afkomstig van een fotodiode, als groepen cellen met intensiteitsverdeling i(x) een tralie met vier openingen passeren. Verder is het duidelijk, dat de fotosignalen behept zijn met een gelijkspanningscomponent, die aanzienlijk groter kan zijn dan de
111-16
-- te detecteren -- grondfrequentie. Het onderdrukken van deze DC-component is een van de argumenten voor het gebruik van een differentiëel prismatralie.(Lit.2.) Ook met een drievoudig prismatralie kan deze gel~kspanningscomponent geälimineerd worden.
6. Drievoudig tralie. In Hoofdstuk 11 is uiteengezet, dat het drievoudig prismatralie opgevat kan worden als drie ineengeschoven enkelvoudige tralies. De fotosignalen, die de fotodetectors 1, 2 en 3 leveren (Fig.II.I, Fig.II.2) zijn resp. R(t), Set) en T(t). Fotosignaal R(t) wordt gesimuleerd ,op de w~ze, die in de vorige paragrafen besproken is. Fotosignaal s't} ontstaat door het passeren van de erytrocyten langs een tralie, dat d/3 verschoven is ~.o.v. het tralie, dat ten grondslag lag aan signaal R(t.). Het faseverschil tussen beide signalen bl..ijft het:",,':. zelfde als men het tralie 9P zijn plaats laat liggen, en de groep erytrocyten d/3 in tegenovergestelde richting verschuift, alvorens door plaatsconvolutie signaal Set) te creëren. Op dezelfde manier kan fotosignaal T(t) gemaakt worden, door i(x) nogmaals d/3 terug te schuiven voordat deze geconvolueerd word~ met de doorlaatfunct1e van het tralie. De werkwijze van de vorige paragraaf wordt voor drie fotosignalen dus als volgt uitgebreid: Maak een intensiteitsverdeling van een groep erytrocyten, i(x), door de bewerkingen a. t/m e. uit par.III.S uit te voeren. Convolueer i(x) met de doorlaatfunctie a(x) van het tralie, zodat R(t) ontstaat. Verschuif i(x) over een afstand d/3. Convolueer i(x+d/3) met de doorlaatfunctie van het tralie, zodat Set) ontstaat. Verschuif i(x+d/3) over een afstand d/3. Convolueer i(x+2d/3) met de doorlaatfunctie a(x), zodat T(t) ontstaat.
III-17
7. Transformatie van drie fotosignalen in twee 90 0 in fase verschoven signalen. De verwerkingsmethoden, die in Hoofdstuk Vaan de orde zullen.komen, vereisen alle twee signalen aan de ingang, die onderling 90 0 in fase verschoven zijn. In Lit,l werd een transformatie afgeleid met als criterium een minimale ruis in de twee uitgangssignalen. Daarbij was nog één paramèter vrij te kiezen, namelijk de hoek tussen het 3-fasenatelse1 aan de ingang en het 4-fasenstelsel aan de uitgang van de transformator. Fig.III.7.1. toont de gekozen transformatie (Lit.l.) Om redenen van symmetrie zal de transformatie nu symmetrisch rond het fotosignaal van het middelste tralie --- signaal Set) -- uitgevoerd worden. Zie Fig.III.7.2.
v
Im
Im
T
Fig.III.7.l. asymmetrische transformatie.
Fig.III.7.2. symmetrische transformatie.
In beide figuren stellen de symbolen complexe grootheden voor, gegeven door: S
r.e jep , = s. e j (cp +
T
= -t. e j
R =
2 rc:/3 )
(ep.+ 41l/3)
lIl-lS
transformatie kan als De -- symmetrische worden: u = aR + bS + cT V = cR + bS + aT
vo~gt
voorgesteld
U en V zijn eveneens complexe grootheden:
u
~ û.ej"Y
V •
v.e j (
"f + rc/2)
In Appendix B worden de coëfficiënten a, b en c uitgerekend: a
= (-VZ
b
=
c
=
+
1b)/6 =
= 0.47
~/3
(-~
0.~7
- 1b)/6 =
-0.64.
De corresponderende tijdsignalen, die bij de complexe grootheden horen, worden gegeven door: R(t) = Re S(t) = Re T(t) = Re U(t) = Re V(t) = Re
jwt R.e S jwt ·e T jwt ·e U.e jwt V jwt ·e
I Alle signalen met gelijke fase worden aldus geldt: a + b + c = 0,
uitgefi~~erd,omdat
dus ook de De-component en de 100 Hz - frequentie, afkomstig van een (eventuele) wisselstroomlichtbron. Fig.III.7.3. toont de symmetrische transformatie van Fig.III.7.2 toegepast op drie signalen 1 en op drie 3ignalen 2 uit Fig.III.5.1. Het blijkt, dat door de transformatie het gemiddelde van de signalen U(t) en V(t) gelijk aan nul ia geworden, en dat U(t) en V(t) voor wat betreft de grondharmonische, 90° t.o.v. elkaar verschoven zijn.
111-19 signaal
~
R(t} u(t)
--- vt
-vt
v(t.)
..... vt
.-. vt
signaal 2
R(t)
-vt
U(t)
.-. vt
vet) ...... vt
..... vt
Fig.III.7.3. Transformatie van drie fotosignalenin twee, onderli~g 90 0 in fase verschoven signalen vet) en Vet).
I~l
IV. Optimalisering van het optisch gedeelte van hetmeetsysteem.
1. De vergrotingsfaktor van de microscoop. De vergrotingsfaktor van de microscoop bepaalt in feite de afmetingen van de projectie van een passerende erytrocyt op het prismatralie.(Zie Fig.II.l). Om te onderzoeken welke vergro~ ting het beste is, zal een fotosignaal beschouwd worden, dat ontstaat als één erytrocyt het tralie passeert. Veronderstellend, dat de cel elke willekeurige stand t.o.v.de lichtinval kan aannemen, is in par.III.4. gebleken, dat b~ 0 transformatie naar een ééndimensionaal model de stand ~. 90 de meeste kans heeft. De hoek oc wordt immers getrokken uit een verdeling met kansdichtheid: p(~) = ~: sinoc • Ter bepaling van de optimale vergroting mag voor de passerende bloedcel dan ook ,deze meest vourkomende stand genomen worden, vandaar de eendimensionale lichtintensiteitsverdeling voor oc
= 90 0 •
(Zie Fig.III.4.3.) De erytrocyt heeft een lengte L ' zodat de projectie van de e cel op het tralie een lengte:
:
aanneemt. Hierin is M de vergrotingsfaktor van de microscoop. Fig.IV.l.l.toont enige fotosignalen als gevolg van~het'pásse ren van één erytrocyt. Parameter in deze figuur is de lengte van de projectie van de bloedcel Lp op het tralie. Het symbool d geeft de rasterconstante van het tralie aan. Voor kleine waarden van L p bl~kt het signaal hoekig te z~n, en bevat dus veel hoge frequenties. Alleen de grondfrequentie van het signaal is echter van belang (par.III.2.). Deze zal het best te detecteren z~n als het signaal een smalle frequentieband rondom de grondharmonische bezit. Wordt de projectiegrootte Lp te groot, dan" loopt het signaal vast 11 , aangezien de projectie dan teveel openingen van het tralie
tegel~k
gaat afschermen. Het meest smalbandige signaal
IV-2
treedt op als de grootte van de projectie ongeveer ~.d wordt. (Zie f'ig.IV.I.l.)
Lp • dl 6l--_ _........c=.:::=:..-_--=::::::.o....--..:==:::-.--......::::~-- 2 dl 6 \.-_ _~~~~::::::......::::::::....._~--==:::.....-_""~-=::::O..-- 3 dl 6 L_-L..::::=:::::::....--L.::::=:::::::::::..---o<:::::::=:::::::::.----....O:::::::::::~~- 4 dl 6 t---_------L-::::::::::::::::::::::::::...L.::::::::::::=:::::::........L:...-=:.........=:::::-..:::::::::.....-=---=::::.----
5d/6t---_.-6dl 6=d l---.L..-----=:=::....---==-----=---~-~- 7dl 61-------L~=::::::::::::::=.____=_--=::::=:::::::~:_=:::::=:::::...__::;~=====---=::::.- 8d/6~--.f
9d/6
I Od I 61--L---=:::::::::~=::::-=::::::::.._:::==::::--=::::::~=~==::::=------.:::: ll.d I 6 ~:::...---==~===~=--:===:::=::::--=-::::=:::=::~:::::::::.----=:::.12d/6=2dL...o:::.... --"'-
--.. vt·
Fig.IV.I.l. Fotosignalen, ontstaan door het passeren van één erytrocyt voor verschillende vergrotingen. De lengte van de erytrocyt is ca. 7 ~m; dit betekent voor de vergrotingsfaktor van de microscoop, met een gegeven waarde van de rasterconstante d = 0.3 mm : L
- .:.E L
M -
e
=
~.d L
e
= 71.5
In de praktijk zUn met het prototype de beste meetresultaten
IV-3
verkregen b~ een vergroting van ca. SOx • Dit is een indicatie, dat het eendimensionale simulatiemodel als representatief voor de werkel~kheid beschouwd mag worden. De theoretisch gevonden waarde van de vergrotingsfaktor M = 71.5 zal als de beste worden verondersteld; derhalv~ wordt voortaan met een projectiegrootte Lp fotosignalen.
= ~.d
gerekend
te~ bepaling van de
2. Reduceren van laagfrequente storingen door optisch filteren. De signalen U(t) en V(t) z~n 90 0 in fase verschoven. Beschouwen we dit signalenpaar als een complex tijdsignaal: x(t)
=
U(t) + j.V(t).
Fig.IV.2.1. geeft de vermogensdichtheidsspectra van de complexe t~dsignalen, die gemaakt z~n van de getransformeerden U(t) en V(t) van de signalen 1 en 2 uit Fig.III.7.3.
t ~xx
A
t ~xx
A -f'r'v
0
signaal
~
signaal 2
Fig.IV.2.1. Vermogensdichtheidsspectra van complexe t~dsignalen X(t)
= U(t)+jV(t).
De gelijkspanningscomponent bl~kt geheel uit het vermogensspectrum verdwenen te z~n door de transformatie. In de onmiddellijke omgeving van de nul-frequentie is het spectrum echter
IV-4
allerminst gelijk aan nul. Bij signaal 2 overheersen deze laagfrequente b~dragen de frequentiepiek rond de grondfrequentie f zelfs geheel. o De oorzaak van deze laagfrequente storingen moet gezocht worden in het feit, dat het tralie eindige afmetingen heeft. Daardoor bestaat de impulsresponsie van het tralie in het frequentiedomein niet uit -- oneindig smalle -- Dirac-~~ncties (zoals in Fig.III.2.2.), maar is dit spectrum geconvolueerd met een sinc-functie.(Zie par.III.2.). Derhalve ligt bij de DC-component geen Dirac-piek, maar een sinc-functie met een bepaalde breedte. Na transformatie van de drie fotosignalen is wel de DC-component ge~limineerd, doch niet de frequentieb~dragen er rondom heen. (Leakage!) Deze leakage (Lit.9.) is het gevolg van het (rechthoekige) window, dat over het oneindig lange tralie gelegd wordt.(par.III.2.) Om de invloed van dit window na te gaan, zal het nader beschouwd worden. Fig.IV.2.2. toont doorlaatfuncties van drie rechthoekige windows, elk over een afstand d/3 t.o.v. elkaar verschoven (zoals ook de drie tralies onderling d/3 t.o.v. elkaar verschoven zijn).
~ I ___1 .~ I 1
o
I
fotodiode 1
..;;..". •
I
,
_x
I
•
:d.d·
-..."..~x
fotodiode 2 fotodiode 3
Fig.IV.2.2. Doorlaatfuncties van drie rechthoekige windows. Op dezelfde wijze als in par.III.2. gebeurd is met de functie van een tralie, kunnen deze doorlaatfuncties worden als impulsresponsies van de drie windows, die als er een impulsvormig deeltje passeert, waarvan de
doorlaatopgevat ontstaan projectie
IV-S
op het windoween snelheid v heeft. lo'ig.IV.2.3. geeft deze impulsresponsies, en toont het resultaat van de symmetrische transformatie uit par.III.7.,uitgevoerd op deze impulsresponsies.
o ~vt
1
o --... vt
1
o - - - I.....
0.64
U-signaal
-o -..-:::....-----'
-
~
vt
~
---
---
_ .....----r vt ..:
-0.64
-
0.64
---
o
---
- ---
~
,
V-signaal
--... vt
-0.64
Fig.IV.2.3. Symmetrische transformatie van de impulsresponsies van drie rechthoekige windows.
IV-6
De aldus ontstane signalen U(t) en vet) hebben weliswaar een gemiddelde waarde, die nul is, doch uit Fig.IV.2.3. bl~kt duidelUk hoe een lage frequentiecomponent ontstaat als gevolg van de verschuiving van de drie eindige tralies. Afgezien van ueze theoretische beschouwing heeft het rechthoekige window, dat op het tralie ligt nóg een nadeel, be~ trekking hebbend op de praktische uitvoering. In.de opstelling bevindt zich tussen het prismatralie en het invallende licht een diafragma, waarvan de opening instelbaar is (Zie Appendix A)~ In Fig.IV.2.4. is een bovenaanzicht van een prismatralie met diafragma getekend.
I•" 'or. - . 1
oe,'
•
y
t ftt
Fig.IV.2.4. Bovenaanzicht van het prismatralie met diafragma.
t''-t
tt tf t
Fig.IV.2.5. Doorsnede van een prismatralie met diafragma.
Het kan voorkomen, dat de opening van het diafragma zodanig is ingesteld, dat de drie fotodioden niet allen een gelijke hoeveelheid licht ontvangen. Fig.IV.2.5. geeft zo'n situatie. Het loodrecht invallende licht wordt aan de vlakjes van het prismatralie gebroken (Fig.II.2.). De situatie in Fig.IV.2.5. toont, dat twee fotodioden elk van 7 vlakjes licht ontvangen, de derde diode krUgt echter slechts licht van 6 vlakjes. Een voorwaarde voor een juiste transformatie van drie fotosignalen in twee onderling 90 0 in fase verschoven signalen was,
IV-7
dat de drie fotosignalen evengroot z~n (Lit.l.). Alleen onder deze voorwaarde wordt de De-component volledig geëlimineerd. De stand van het diafragma bl~kt derhalve van invloed te z~n op de onderlinge verhouding in grootte van de drie fotosignalen. Dat betekent, dat in de praktijk telkens wanneer d~ grootte van het diafragma veranderd wordt, de fotosignalen op gel~ke grootte b~geregeld moeten worden, opdat een jui~te transformatie uitgevoerd wordt. Voor een goed alternatief window moet het volgende gelden: 1. Vermindering van de leakage door de randeffecten te reduceren. 2. De verhouding in sterkte van de drie fotosignalen moet onafhankel~k zijn van de lengte van het window (= stand van het diafragma). 3. Er mag niet te veel signaal verloren gaan door een te rigoreuze "windowing". 4. Het window moet praktisch goed realiseerbaar z~n. Aàn deze criteria voldoet het zgn. "ramp"-window, doorlaatfunctie w(x,y) in Fig.IV.2.6. gegeven is.
~aarvan
de
w(x,y)
-c/2
I
d
d
Fig.IV.2.6. Doorlaatfunctie van een "ramp"-window. De breedte c van dit window wordt, net als in par.III.l., weer dusdanig groot verondersteld, dat de ~rojectie van de passerende deel tjes zich ten alle t~de binnen het gebied -c/2 < y <. c/2 bevindt. Dan kan er weer overgegaan worden tot een eendimensio~
_
IV-8
nale doorlaatfunctie w(x). Deze is in Fig.IV.2.7. getekend. In beide laatstgenoemde figuren stelt d de tralieconstante voor.
w(x)
1:1
L
,.
...
d
~...
,.
--.. x
d
Fig.IV.2.7. Eendimensionale doorlaatfunctie van een "ramp"-window. De functie w(x) zal vervolgens getoetst worden aan de bovenvermelde criteria voor een window. Criterium 1. pleit ervoor om de helling aan de randen van het wind ow zo vlak mogel~k te maken. Echter, hoe vlakker deze helling is, des te meer signaal gaat er verloren, en dit is in tegenspraak met criterium 3. Een compromis is derhalve noodzakelijk. De in Fig.IV.2.7. gekozen helling bl~kt goede resultaten op te leveren. Om het window op criterium 2. te verifiëren, z~n in Fig.IV.2.8. de doorlaatfuncties van de drie in elkaar geschoven tralies gegeven. Als de rand van het window van xl naar x 2 wordt geschoven, wordt van elke doorlaatfunctie een evengr~~t _oppervlak afgesneden. Hetzelfde geldt voor het verschuiven van de rechterrand van x naar x . De verhouding van de oppervlakken 3 4 van de drie doorlaatfuncties aR(x), aS(x) en aT(x) onder het window is dus onafhankel~k van de lengte van dit window. Voorwaarde daarvoor is, dat de functie, die de rand -- overgang van "licht" naar "donker ll beschrijft, lineair is over een afstand n.d (n; 1,2,3, ... ). Om zo weinig mogelijk licht verloren te laten gaan is voor n = 1 gekozen (criterium 3.). Fig.IV.2.9. toont tenslotte het bovenaanzicht van een praktische realisering van het "ramp"-window (criterium 4.).
IV-9
,- --
aR(x)
ï-'
I
, I
t ,
l' I
I
aT,(x)
t
I
I
I J
I
I
... --
I ~
r·' I I I
I
I
L. ___I
I
a (X!}:-' S
I
I I I
,
I I'
L __
I 1_-
,J
I
I
J
I
I
_.j
I
I
'--_ ....
1
I
I
I
I I
I
I
..J
I
L __ .J
I L __ .JI
x
Xl x 2 d
4
x3
r:
r: r:
--x
Fig.IV.2.8. Invloed van verschuivingen van de rand van het win.dow.
--. d
d
.E'ig.IV.2.9. Praktische uitvoering van een "ramp"window. Analoog aan Fig.IV.2.3. geeft Fig.IV.2.l0. de transformatie van de impulsresponsies van drie "ramp"-windows. De amplitude
IV:..IO
van de laagfrequente golf bl~ft veel kleiner dan bruik van een rechthoekig window.
b~
het ge-
1- --,
1 t
,
,
~
1 I
!
--_.~-----....,t;
1
~
I
I I
I
...I
I ~_
~
r--'I I
I
•
I
I
•
N---l
.:::1.--------------' I
I
I
!
'- _.I
Fig.IV.2.lü. Invloed van het "ramp"-window op de symmetrische transformatie uit Fig.IV.2.3. De intensiteitsverdelingen i(x), die de fotosignalen 1 en 2 uit Fig.III.5.l. tot gevolg hadden, passerèn nu een tralie met
vier openingen, waarop een "ramp"-window gelegd is. Fig.IV.2.ll toont het effect van dit window op de getransformeerde signalen U(t) en Vet). Deze signalen U(t) en Vet) z~n de ingangssignalen voor een-verwerkingssysteem, dat aan de uitgang een signaal moet leveren, dat een maat is voor de snelheid van de passerende erytrocyten.
IV-II
"Ramp"-window.
Rechthoekig window.
U(t)
U(t)
-'vt
"-"vt
SIGNAAL I
vet)
Vet) '-'vt
SIGNAAL 2 U(t)
Vet)
~ f\f\f\I\D-. -+vt - -
vet)
~VV
V
v
-'vt. V(1;) _
Fig.IV.2.ll. Invloed van een "ramp"-window op de signalen Vet) en Vet).
V-l
V. Verwerking van twee 90 0 in fase verschoven signalen tot een snelheid.
Om een indruk te krUgen van het ingangssignaal van het verwerkingssysteem, zal in het nu volgende het vermogensdichtheidsspectrum worden afgeleid van het al eerder in par.IV.2. gedefiniëerde complexe tijdsignaal: x(t)
= U(t)
+ j.V(t) •
U(t) en Vet) worden verondersteld te zijn ontstaan uit drie impulsresponsies van een oneindig lang tralie, zoals gedefinieerd in par.III.2. Het middelste tralie ligt symmetrisch rondom nul, de impulsresponsie is reël (Fig.III.2.1.), dus de complexe Fouriergetransformeerde ervan is eveneens reël en symmetrisch (Lit.lO.). In par.III.2. werd dit signaal set) genoemd, en is nu gelUk aan fotosignaal Set). Het spectrum van Set) is $(m), waarin m = w/v de spatiële frequentie is. Veronderstellend, dat fotosignaal R(t) 1/3 periode op Set) vóórijlt, terwijl fotosignaal T(t) 1/3 periode op set) náUlt, kan ges~eld worden: R(t) ~ ~(m) = $(m).e jmd / 3 Set) _ $(m) T(t) _ :tem) = $(m).e- jmd / 3 De symmetrische transformatie van par.III.7. levert:
U(t)~ ~(m) = (a.e jmd / 3 + b + c.e- jmd / 3 ).$(m). V(t)~ tem) = (c.e jmd / 3 +.b + a.e- jmd !3).$(m). Voor het complexe t~dsignaal X(t) kan nu in het spatiële frequentiedomein geschreven worden: tem)
= [(a+jc).e jmd / 3 + (l+j)b + (c+ja).e- jmd / 3 ].$(m).
".
.:
!
'
V-2
Als voor $(m) de impulsresponsie van een oneindig lang tralie in het spatiële frequentiedomein wordt gesubstitueerd (vgl. par.III.2.), dan geeft tem) de impulsresponsie in het spatiële frequentiedomein van het totale meetsysteem b~ gebruik van een oneindig lang prismatralie: . 2'JL Jn-
r
t(m=n~) = ~. L(a+jc)e'-
3+ (l+j)b +
. 2ll: -Jn,] sin(c+ja)e.. • me 3.
,
nTC
met: n elk geheel getal + tb)/6 a = b = '12:/3 c = (-12: - VS)/6 :I:
(-vz
Fig.V.I. geeft het vermogensdichtheidsspectrum van het complexe tijdsignaal X(t), berekend aan de hand van de bovenstaande formule.
Fig.V.I. Vermogensdichtheidsspectrum van het complexe tijdsignaal X(t), ontstaan uit de impulsresponsie van een oneindig lang tralie. Naast de grondharmonische b~ m = 2nid zijn er in dit spectrum frequentiecomponenten aanwezig bij m = (3nill) . en bij 21C m = - (30+2) .""d. (n = I, 2 , 3 , .•• ) In Fig.V.2. z~n de vermogensdichtheidsspectra gegeven van de signalen I en 2 uit Fig.III.7.3. Op het prismatralie ligt een "ramp"-window.
q-
V-3 B
SIGNAAL 1
t ~xx
SIGNAAL 2
B
-{Oh
0
.lF>/v - - .
fIv Fig.V.2. Vermogensdichtheidsspectra van complex t~dsignaal X(t) = U(t) + j.V(t). Het bl~kt, dat in deze spectra alleen de grondfrequentie en de tweede harmonische van belang zijn. De overige frequentiecomponenten z~n verwaarloosbaar klein. De tweede harmonische blijkt zich te manifesteren als een negatieve frequentie t.o.v. de grondharmonische. In termen van snelheid en bewegingsrichting heeft de tweede harmonische het effect van een fictieve deeltjesstroom, die zich met een tweemaal zo hoge snelheid tegen de richting van de "hoofdstroom" in beweegt. Als uit dit spectrum de gemiddelde snelheid van de erytrocyten geschat wordt door de gemiddelde frequentie van de meetsignalen te bepalen, dan zal een waarde gevonden worden, die een onderschatting is van de werkelDke gemiddelde snelheid. Allereerst komen een aantal verwerkingssystemen aan de orde, die de gemiddelde frequentie schatten van het complexe tijd~ig naaI X(t) = U(t) + j.V(t) . Vijf verschillende signalen X(t) -- op de in de vorige hoofdstukken aangegeven methóde ge~imu leerd -- zullen aan de diverse verwerkingssystemen worden aangeboden, om de werking ervan te testen. Deze ingangssignalen, signaal A t/m E, zijn als· volgt gesorteerd naar kwaliteit: In signaal A is de verhouding tussen grondharmonische en tweede harmonische het grootst, en wordt daarmee als "beste" gekwalificeerd. Signaal E bevat van deze vijf de zwakste gronfrequentie, en wordt daardoor als IIs1echtste" bestempeld. Alle signalen zijn het gevolg van het passeren van een groep van 10 erytrocyten, die allen met dezelfde snelheid van -4.47 rnm/s langsk@ffien. Met een optimale -- vergrotingsfaktor van 71.5 resulteert dit in een snelheid van de projectie op het tralie van:
1'-4
o-V-~t ~
u(t)
Vet) ~t
SIGNAAL A
u(t) ~evvVÏJ~ i\ ~v--t I\. f\
/\
-..
Vet) -
c-'\
f\ AVf\Vf\V/'\V"""
_
t
SIGNAAL C
U(t)
Vet)
-~~t ~_t SIGNAAL D
U(t)
~----'""--~ 1\ f\ -- v- v~-v v:~ t
_
Vet)
SIGNAAL E
C>. f\
'VÇ;;;J v
Q
c-. V~ V~
-t
1 ros
Fig.V.3. De vijf testsignalen X(t)=U(t)+jV(t) in het tijddomein.
V-5
~xx
'J/
SIGNAAL A
t
t
SIGNAAL B
- . f(Hz)
SIGNAAL C
.-. f(Hz}--
SIGNAAL D
-
-_J~~. . - t061-
0
~I~tr
f(Hi)
~xx
t
SIGNAAL E -
-106,
0
Fig.V.4. Vermogensdichtheidsspectra.
f(Hz)
v = 71.5 x (-4.47 x 10 -3) = -0.32 mI s.
Het prismatralie heeft een rasterconstante d = 0.3 mme Voor de grondfrequentie in het signaal moet derhalve gelden (par. 111.2.): f
o =
av
= - 1067 Hz.
In Fig.V.3. zijn de vijf testsignalen gegeven. ( De signalen A resp. D z~n identiek met de in de vorige hoofdstukken als voorbeeld aangehaalde signalen 1 resp. 2 ). In Fig.V.4. zijn tenslotte de vermogensdichtheidsspectra weergegeven, die bij de signalen A tlm E horen. Om een idee te verkrijgen van de onderlinge verhoudingen tussen de signalen zijn de spectra op dezelfde -- lineaire -- schaal getekend. Ook de plaatjes van Fig.V.3 hebben onderling dezelfde schaal.
1. De
Nuldoorgangen~elling.
Een me~hode om de gemiddelde. frequentie van een meetsignaal_~e schatten, is de nuldoorgangentelling. Deze manier van frequentiebepaling is niet lineair, dus worden de signalen V(t) e~ Vet) met een hogere frequentie f m gemoduleerd om de verhouding tussen hoogste en laagste frequentie te reduceren.1Lit.l!). Veronderstel, dat f gem de gemiddelde frequentie in de signalen Vet) en Vet) is. Dankzij de eigenschap, dat U(t) en V(t) onderling 90 0 in fase verschoven zijn, is het vrij eenvoudig twee enkelzijbandsignalen te maken rond de modulatiefrequentie f m• De gemiddelde frequentie van onder- resp. bovenzijband bedraagt f m-f gem resp. f +f . m gem . Deze beide waarden worden bepaald door in een vast t~dsinterval To de nuldoorgangen van de twee zijbandsignalen te tellen. Stel, dat n l resp. n 2 het aantal nuldoorgangen in de onder- resp. bovenzijband is gedurende periode To ' dan geldt:
V-1
onderzijband: bovenzijband:
fm.
-
f gem
~
2
2T o n f m + f gem = 2 2T o
.
Door het verschil te nemen van de resultaten van beide tellingen, kan f gem bepaald worden:
Naar dit syeteem zal voortaan gerefereerd worden als zijnde ~ys teem Ia. Echter, binnen het tijdsinterval To kunnen de signalen U(t) en V(t) korte tijd nul worden. Dit kan bijvoorbeeld gebeur,en doordat de erytrocyten zodanig gepositioneerd zijn, dat hun afzonderlijke bijdragen aan de fotosignalen onderling in tegenfase z~n,zo dat ze elkaar kortstondig uitdoven. Het kan ook voorkomen,dat er gedurende korte tijd geen erytrocyten het tralie passeren, of dat hun snelheid nul wordt. De beide enkelzijbandsignalen zijn zijn dan eveneens vrijwel gelijk aan nUl, zodat dan een onbepaald aantal nuldoorgangen geteld wordt. De methode van n~ldoorgangen telling vereist, dat gedurende het tijdsinterval To het signaal stationair is. Als dit niet zo is, dan levert het systeem een te kleine waarde voor de gemiddelde frequentie f gem • AL· het aantal nuldoorgangen van onder- en bovenzijband bekend is, -- n l resp. n 2 -- alsmede de waarde van modulatiefrequeritiè f , kan To op eenvoudige wijze uit de formule voor f gem gem elimineerd worden: -
-.
I
4T
o
=
I Substitutie van deze waarde van --4T o in de formule voor f gem levert:
v-a
Het systeem, àat volgens deze formule de gemiddelde frequentie van het ingangssignaal bepaalt, eveneens door middel van nuldoorgangentelling, zal voortaan systeem I genoemd worden. Het b is een gecorrigeerde versie van systeem Ia. Tabel I toont de resultaten van de berekening v~~ de gemiddelde frequentie, als de signalen A tlm E aan de ingang van de systemen Ia en I b worden toegevoerd. Systeem Ia telt gedurende een tijdsinterval van 10 msec. TABEL I Resultaten van de schatting van de gemiddelde frequentie d.m.v. nuldoorgangentelling. Grondfrequentie van de signalen:-1067 Hz. SIGNAAL
A
SYSTEEM Ia (Ez)
SYSTEEM I b (Hz) - 881
D
-
575 575 550 600
- 859 - 758
E
- 350
- 527
B C
Systeem Ia: Systeem I : b
- 851
n -n 2 l gem "" 4T o n -n f gem "" n 2 +n l .fm l 2 f
Alvorens tot de bespreking van deze resultaten over te gaan (par.V.5), zullen eerst nog twee andere methoden behandeld worden.
V-9
2. Schatting van de momentane gemiddelde frequentie door signaalverwerking in het tUddomein. Deze methode om ue gemiddelde frequentie van een tijdsignaal te bepalen is voor het eerst beschreven in Lit.ll. Ze berust in feite op de transformatie van de definitieformule voor de gemiddelde frequentie in het frequentiedomein naar het t~ddomein. De bedoelde definitieformule luidt:
W
~
xx
gem =
(w) is het vermogensdichtheidsspectrum van het complexe
X(t) = Vet) + j.V(t). In Appendix C wordt afgeleid, dat voor de gemiddelde frequentie van X(t) in het tijddomein geschreven kan worden: t~dsignaal
J
f gem
=
dY
+00
dU
(U·ert - V'n) dt
-00
•
+00
2 Tt.
J
(U
2
2 + y ) dt
-00
Het t~dsinterval Tl ' waarin de momentane gemiddelde frequentie berekend moet worden, wordt nu zodanig groot gekozen, aat de tUdsignalen op nul beginnen, en aan het eind van de beschouwde tUdsperiode weer op nul eindigen. Voor de momentane gemiddelde frequentie behoeft dan slechts over het tijdsinterval Tl geïntegreerd te worden:
f gem
=
Voor de vijf testsignalen komt dit neer op een periode van 10 ms.
V-IO
De gesimuleerde t~dsignalen U(t) en Vet) worden door de computer echter niet als continue functies geleverd, doch als discrete, op equidistante t~dstippen bemonsterde signalen. Dit betekent, dat de nauwkeurigheid van differentiëren afhangt van de frequentie-inhoud van het signaal. De definitie voor een differentiatie is als volgt:
dU~~)
= lim
U( t+àt)
u(t)
~t
6.t..a
De frequentiekarakteristiek van het -- ideale -- differentierend filter, behorend b~ deze operatie wordt gegeven door: Ha (w) = jw. Het is niet mogel~k deze karakteristiek te benaderen door -uitgaande van het differentiequ~tiënt -- : U«n+l) .ót) - [J(n.At) . ó.t
Deze functie is niet asymmetrisch, en heeft derhalve geen zuiver imaginaire overdrachtskarakteristiek.(Lit.lO) B~ geg~ven 6t zal voor discrete signalen met een bepaalde frequentieband de volGende formule een goede benadering
bl~ken
te
zijn:
hu(n .6t)
= U( (n +1 ) .l:\~lt - U( (n-1 ) . ö t ). --
öt is de tijdsduur tussen twee opeenvolgende bemonsteringen. Deze bewerking is niets anders dan een convolutie van een discrete functie U(n.6t),(n=1,2,3, ... ), met een weegfunctie met 1
1
_
sequence ( -2At' 0 , +2~t). Van deze weegfunctie is de z-transformatie: ~()
Hd z
1 -1 +1 = 2Lit.(-z + z ).
V-ll
Wordt z=exp(jwAt) gesubstitueerd, dan ontstaat de -- continue -- pendant van de discrete overdrachtsfunctie H~(Z) in het frequentiedomein: Hd(w) = 2;t' [-exp(-jwAt) + exp(jwAt)] . sin(wAt)
= J.
~t
=
.
Fig.V.l.l. geeft de frequentiekarakteristiek van het exacte analoge differentiërend filter Ha(w) = jw ,en van het bovenvermelde, benaderend discrete filter Hd(~)'
,~
:~6t;. J
I
I I
J
Ir
-4"6t j
At
I I
I I t
Fig.V.l.l. Frequentiekarakteristieken van een exacte differentiatie (Ha) en van een benaderend differentiërend filter (H d ). Aan de hand van deze figuur kan gesteld worden, dat voor -7t;/46t <w
V-12
quenties, die in het te differentiëren signaal voorkomen, moet gelden: 1 1 -8ót < f < 86t .
De testsignalen in Fig.V.3. zijn beschreven door 256 bemonsteringen gedurende 10 ms. Dan geldt voor de bemonsteringstijd: 6t
= (10/256)
ms.
Als eis voor een goede differentiatie door het voornoemde discretefilter wordt derhalve voor het ingangssignaal gesteld: -3200 < f < 3200 Hz. De snelheid van de passerende erytrocyten werd dusdanig gekozen, dat de signalen U(t) en Vet) een grondfrequentie f o =-1067 Hz bezaten, en een tweede harmonische van +2134 Hz. Hogere frequentiecomponenten konden verwaarloosd worden, zoals aan het begin van dit Hoofdstuk gebleken is. Met behulp van de besproken operatie kan dus gedifferentiëerd worden" teneinde de bewerking:
f
f gem
=o
Tl
dV
(U· at
v .~) dt
te kunnen uitvoeren. Tabel 11 toont de resultaten van deze bewerking, toegepast-op de vijf testsignalen van Fig. V. 3. 'Naar deze bepaling van de gemiddelde frequentie zal voortaan gerefereerd worden als zijnde systeem 11. Ook deze resultaten zullen in par.V.5. aan de orde komen.
V-13
TABEL 11 Grondfrequentie van de signalen: -1067 Hz. SYSTErl1 11
SIGNAAL
(Hz)
997 - 926
A B
- 886 - 852 - 785
C
D E
T 1
Systeem 11:
f gem
=
J o
dV (U' at
-
dU V'n) dt
3. Bepaling van de gemiddelde frequentie rechtstreeks uit het vermogensdichtheidsspectrum. In de vorige paragraaf is reeds de definitie van de gemiddelde frequentie van een tijdsignaal X(t) aangehaald: +00
j W
gem
=
w. ~xx (w) dw
-00 +00
J
Wxx(w) dw
-00
~xx(w)
is het vermogensdichtheidsspectrum van het complexe
tUdsignaal X(t) = u(t) + j.V(t). Aan het begin van dit Hoofdstuk is al ter sprake gekomen, dat X(t) een äuidelijk bandbegrensd karakter heeft. Daardoor is het voldoende over deze beperkte band te integreren.
V-14
De resultaten van de bepaling van de gemiddelde frequentie van de v~f testsignalen door het uitrekenen van de definitieformule staan vermeld in Tabel 111. Deze methode zal met systeem 111 aangeduid worden. TABEL 111 Grondfrequentie van de signalen: SIGNAAL
- 1008
B
-
D
Systeem 111:
Hz.
SYSTEEM 111 (Hz)
A
C
-lO~7
f gem
935 894 859 792
=
f
e.u q
band 2Tt.
J
xx (w)
band
~
xx
dw.
(w) dw
In theorie zouden de resultaten van Tabel 11 en Tabel 111 hetzelfde moeten z~n, daar beide berekeningen dezelfde zijn; de een echter wordt uitgevoerd in het tijddomein, de ander~ln het frequentiedomein. B~ de bewerking in het t~ddomein werd de ideale differentiator benaderd door een discreet filter, vandaar de geringe bias in de uitkomsten. Een bespreking van de resultaten van Tabel 111 volgt in par.V.5.
4. De invloed van ruis op de schatting van de gemiddelde frequentie. Doorgaans z~n de signalen, die de fotodetectors leveren erg klein en behept met ruis, afkomstig van de fotoversterkers.
V-15
Daardoor bevatten ook de ingangssignalen voor het verwerkingssysteem ruis. In deze paragraaf zal worden nagegaan wat de invloed van deze ruis in de signalen U(t) en V(t) op de resultateu van de signaalverwerking is. Daartoe zal ruis toegevoegd worden, die bandbegrensd is, en wel zodanig, dat de hoogste frequenties, die in signaal en ruis kunnen voorkomen, dezelfde
z~n.
De testsignalen uit Fig.V.3.
z~n beschreven door 256 bemonsteringen gedurende-10 ms,
de tUd tussen twee beminsteringen ót ~t
=
zodat
gegeven wordt door:
(10/256) ms.
Volgens het bemonsteringstheorema (Lit.12.) mag het signaal de volgende frequenties bevatten, opdat de beschrijving eenduidig is: -6400 <: f
< 6400
Hz.
In par.V.2. is aangetoond, dat voor de gekozen snelheid van de erytrocyten de frequentieband zelfs binnen
-3200
<: 3200 Hz
blijft. De ruis,die aan de meetsignalen zal worden toegevoegd, zal eveneens beschreven worden door 256 bemonsteringen in 10 ms. Eensignaal, bestaande uit "witte" ruis kan gesimuleerd worden door 256 trekkingen te doen uit een uniforme verdeling. De frequentieband van een signaal, dat door deze 256 getallen beschreven wordt, is dan oneindig. Om deze band te beperken, -wordt de "witte" ruis toegevoerd aan een zgn. Hanning-filter, dat als overdrachtskarakteristiek heeft: 1Ç
H(z)
= 0.25z
+ 0.5 + 0.25z
-1
(Lit.13.)
Door z = exp(jw6t) te substitueren, ontstaat de overdrachtsfunctie in het frequentiedomein: H(w) = 0.5(1 + cos(wAt» In Pig.V.4.1. is deze overdrachtskarakteristiek van het Hanning-
V-16
filter weergegeven voor dt
=
(10/256) ms.
t H(f)
-6400
-3200
o
3200
6400 --. !(Hz)
Fig.V.4.1. Overdrachtskarakteristiek van een Hanning-filter. De frequentieband van de ruis aan de uitgang van dit filter wordt derhalve gegeven door: -6400 < f < 6400 Hz. Aldus gevormde, bandbegrensde ruissignalen worden bij de vijf testsignalen van Fig.V.3. opgeteld; de signaal-ruisverhouding C1"'slg/O""ruis bedraagt 20 dB. ~_ _In de onderstaande, tabellen zijn de resultaten opgenomen, die de verwerkingssystemen leveren als aan de ingangssignalen U(t) en V(t) drie verschillende ruissignalen van 20 dB, ruis 1, ruis 2 en ruis 3, worden toegevoegd. Aan de hand van deze resultaten zullen in de volgende paragraaf de diverse verwerkingssystemen vergeleken worden.
•
V-11
'fABEL IV.
Invloed van rUlS op de schatting van de gemiddelde frequentie door nuldoorgangentelling.
Systeem I a'.
n
f gem =
n
2 -n 1
Systeem I b :
4T o
SYSTEEM Ia (Hz) +ruis 1
SIGNAAL
B
-300 -250
C
-225
D
-225
E
-75
A
+ruis 2
-375 -375 -425 -425 -325
+ruis 3
-475 -325 -450 -650 -500
I
~
-gem = n
2
- n1
1 +
rl
f
2• m
I.
SYSTEEM I t (Hz) +ruis 1 +ruis 2 +ruis 3 -39& -388
-328
-271 -241 -241
-444 -451 -339
-80
-505 -354 -450 -681
-525
TAEEL V. Invloed van ruis oJ) de resultaten van cie systemen 11 en-l:II
Systeem II: verwerking in het t~ddomein. Systeem 111: verwerking in het frequentiedomein.
SYSTEEM 111 (Hz)
SYSTEEM II (Hz) SIGKAAL
+ruis 1
A
-900
B
-822 -789 -798 -675
c D E
I
+:::.'uis· 2 -906 -868 -879 -712 -732
+ruis 3 -867 -828
-7ó6 -786 -704
+ruis 1
+rllls 2
-924 -845
-930
-808
-905 -729 -751
-819 -690
-890
+ruis 3
-893 -851 -787 -808
-721
V-18
5.
Vergel~king
van de
d~ie
signaalverwerkingssystemen.
Alle besp=oken verwerkingssystemen schatten de gemiddelde frequentie van het ingangssignaal let) = u(t) + j4V(t). Systeem 111 -- bepaling rechts~reeks uit het vermogensdich~ heidsspectrum lxx -- geeft de meest exacte ~aarde voor de gemiddelde frequentie, aangezien de definitieformule niet benaderd hoeft te worden. Deze waarde voor f gem , gegeven door systeem 111, zal dan ook als de juiste gemiddelde frequentie van de signalen A t/m E beschouwd worden. De andere -- praktisch veel beter realiseerbare -- verwerkingssystemen zullen hiermee vergeleken worden. Tabel VI en VII geven de rela~ieve onderschatting van f gem t.o.v. systeem 111 in %.
!'ABEL VI.
Relatieve onderschatting door de nuldoorgangentellingen t.o.v. systeem II!. I
SYSTEili Ia (%:
SfSTBEM I b (%)
j
+ + SIG- zonder KAAL ruis ruis 1 I ruis
A
43
B
38
C
38 30 56
D ~
,
67 70 72
72 89
60
I
21
+
zonderl
58
53 42 57
43 19 29
I
ru~s
I
13 9 4 12 33
ru~s
I
ru~s
I 65 r 68
57 57
I 70
51
70 88
38
r
I
+
+
. I . 1I .
ruis 3 47 62
+
55
--
ruis 3
2 ~
43 58 43
!
I
16 27 i
V-19
TABEL VII. Relatieve onde=schatting door systeem III in %. zonder ruis
SIGNAAL
A B
I
1.1 1.0
C
0.9
D
0.8 0.8
E
+
ruis 1
I
I
2.6 2.7 2.4 2.ó 2.2
Eyst~em
11 t.o.v.
+
ruis 2,
2.6 2.5 2.9 2.3 2.5
+
ruis 3 2.• 9
2.7
2.7 2.7 2.4
Allereerst worden de signalen zonder ruis beschouwd. De nuldoorgangentelling systeem I~:::>- geett voor de testaignalen een gemiddelde frequentie. die ongeveer 40% te laag is. Deze afw.ijking is voornamel~k te w~ten aan het telt, dat het signaal gedurende de periode dat er geteld wordt, kortstondig gel~k aan nul is (Fig.V.3.). De correctie van de verwerkIng mIddels systeem I b brengt een aanzienlijke verbetering teweeg: de rela~ tieve afwijking ligt nu gemiddeld cp ca. l5~ onder de j~iste waarde. Zijn de signalen behept met ruis zoals ook in de praktijk het geval is - dan blijkt de gecorrigeer,ie versie van d~_. nuld~or. gangentelling nauwelijks beter te zijn dan het oorspronlcel ijke systeem Ia .De beide systemen, gebaseerd op nuldoorgangente1ling, leveren een uitkomst, die ongeveer 55~ onder de juiste waarde voor de gemiddelde frequentie ligt. ~r komen soms zelfs uitschieters voor bias 89 -76 - 'oliaarin dE:: nuldoorgangentélling het volledig laat afweten. Dit is in 0vereenstemming met de ervaringen met het prototype, dat v0cr~durend een te lage waarde voor de gemiddelde frequen~ie ga!, e~ waarvan het uitgangssignaal soms "d.rop-outs" vertoonde.
V-2Û
Systeem II is in feite een transformatie va~ het referentiesysteem (systeem lIl) naar het tijddomein. De afw~kingen, die optreden, zijn waarsch~nl~k te w~ten aan een niet-ideale differenti~tie.(par.V.2). Zoals te ver~achten is het systeem weinig gevoelig voor ruis -- de gemiddelde frequentie van het ruissignaal is immers nul -- • Blijkens de resultaten is de nuldoorgangentelling echter beduidend meer ruisgevoelig. De aanwezigheid van 20 dB ruis maakt de afwijki.ngen in de resul~aten van systeem Ia globaal 15% groter, van systeem I b 40%, en van systeem II gemiddeld slechts ca. 1.5%.
VI-l
VI. Conclusie.
De verwerkingsmethoden, die in het voorafgaande Hoofdstuk z~n besproken, schatten de gemiddelde frequentie van het ingangs3ignaal X(t). Uit de resultaten blijkt, dat systeem 11 -- schatting van de momen~ane gemiddelde frequentie door signaalverwerking in het tijddomein -- en systeem 111 -- bepaling van de gemiddelde frequentie rechtstreeks uit het vermogenadichtheidsspectrum -- beter voldoen dan de systemen Ia en I b , die gebaseerd z~n op nuldoorgangentelling: de sY3temen II en III geven een kleinere bias en een kleinere variantie in de resultaten dan de nuldoorgangentellingen. Nemen we bovendien de praktische realiseerbaarheid in overweging, dan l~Kt systeem 11 de meest geschikte methode om de gemiddelJe frequentie van X(t) te schatten. Op thêoretische gronden mag de gemiddelde frequentie van X(t) -een signaal, dat rechtstreeks afge~eid is uit de drie fotodetectorsignalen -- niet zender mee= als een directe maat voor de gemiddelde snelheid va~ da passerGnde erytrocyten genomen worden. Dit zou alleen juist z~n als net tralie slec~ts één spatiële freqaentie in het fotosignaal zou doorlaten, n.l. de -spatiële -- grondfrequentie van dat tralie. De snelheid van een langskomend deel tje is immers e\renredig met deze grondfrequentie. De impulsresponsie van een enkelvoudig tralie vertoont behalve b~ de grondharmonische, ook frequentiecomponenten bij hogexe harmonische~ en bU de nul-frequentie. Door een juiste combinatie van de drie fotosignalen van een drievoudig prismatralie kan het De-niveau, alsmeae edn aantal van de hogere harmonischen geëlimineerd worden. De eindige afmetingen van het t~alle zijn er de oorzaak van, à~t -- ofschoon de nulfr9~udntie zelf volledig geëlimineerd Nordt -- er laagfrequente stori.ngen in het signaal bl~jven bestaan (leakage), die de frequentiecomponenten bij de grondharmonische geheel kunnen overheersen. Door op het prismatralie een geschikt wind ow te leggen, kunnen deze laagfrequente storingen onderdrukt wo~der..
VI-2
De belangrijk.ste store:hie faktor in het meetsignaal blijkt nu ~og
de frequentiebGdrage rondom de tweede harmonische te zUn.
Plausibel
l~jkt,
om e&n smalle band rond de maximale frequen-
tiecomponenten -- dus rond de
gro~dfrequentie
-- als
~aatstaf
voor de gemiddelde snelheid te nemen. Dat betekent in termen van systeem 11, dat de
frequentieb~àragen buiten
eerst uitgefilterd dienen te
wo~den,
deze band
alvorens het signaal aan
het verwerkingssysteem aan te bieden. Alleen onder deze voorwaarde zal een praktiscn realiseerbare methode als systeem 11 een goede schatting kunnen geven van de momentane gemiddelde snelheid van de erytrocyten.
A-I
Appendix A. f'iq.
- --. I
Schematische voorstelling
I
van fotomeeer met stralengang.
,
t_ •. _ . : '-----__
_
19
1- lichtbron
.. .
~ I .
. -,
----
. - - - - ..•. _-. 17
1I
/"
3. belichtingsdiafragrna 4. apertuur diafragma
18 -
2. verzamellens
.......;...10-10--._-
_ .•-
16
5. kondensor
6. objektvlak
., (
15 - ._--
.
objekti~f
8. brandvlak 9. okulair diafragma 10. okulair 10 - - - r-'l!::t:r---- 9
11.
halfdoorlatende spiegel
12. prisma
13. tussenbeeldvlak van de 1 14. iris van het oog 15. lens
16. meetdiafragma
17. spiegel 18. pilootlamp
19. fotodetektor ~
....'
De door Leitz ontwikkelde fotometer dient om een gewenst detail van het microsccopbeeld door te laten voor meetdoeleinden. Hiervoor is de fotometer uitgerust met uitwisselbare, varia-
Ä-2 •
bele diafragma's. ( 16 in Big.A.l.). Op dit diafragma bevindt zich het prismatralie. Fig.A.I. geeft schematisc~ de stralengang door de fotometer weer. De nummers 1 t/m 8 maken deel uit van de microscoop, 9 t/m 18 behoren tot de fotometer, 19 is het optisch meetsysteem, àat de drie fotodetectors bevat. De fotometer maakt het mogel~k om het diafragma en het microscoopbeeld tegel~k te bekijken, zodat de grootte èn plaats van het diafragma aangepast kunnen worden aan het te meten objectdetail.
A-3
Appendix B.
Ga uit van de volgende reële tljdsignalen, waarin de termen nl(t) t/m n 2 (t) ruisbijdragen voorstellen:
(R.ej;,.)t) + nl(t) = Re (r .e jq .8 jwt) + n1(t) j set) • Re (S.e .... t ) + n 2 (t) = Re ( § • e j (ti +2lt'/ 3) •-ê j w t ) + n 2 (t.) jwt ) + n (t) jwt j ) + n (t) = Re (t. e (4' +41(/3) • e T(t) • Re (T.e 3 3 jwt jwt ) + n (t) ) + nà(t) = Re (C.ej'f'.e U(t) ~ Re (u.e 4 jwt C" j("t'+n:/2) j&oJt) + n (t) •e ) + n,-(t) = Re v. e Vet) .. Re (v.e 5 ::>
R(t)
= Re
Normeer de amplitude van alle signalen op 1:
r
= §
=
t
=
û
=v=
1.
De transformatie laat zich als volgt beschrijven: u(t) = alR(t) + a 2 S(t) + a T(t) 3 Vet) = b1R(t) + bZS(t) + b3 T(t) van deze drukkingen op: Uitsc~lwen
e j ("I'-Cf)
vergel~kingen
levert de volgende uit-
= al + azoej21t/3 + a3·ej4rr/3
e j (-'t-~+ 7[/2 ) ~
... . .
b l + b ·e j2 7{/3 + b3·ej4Tt/3 2 n (t) ~ aln l (-t) + a n (t) + a n (t) 2 2 4 3 3 n (t) = blnl(t) + b 2 n (t) + b n (t) 2 3 3 5 Vergel\~ing
BI levert na omwerking:
(BI) .
-
.. (B2)
......
(B3 )
.. ....
(B4 )
A-4
Stel de reäle en imaginaire delen gelUk: 1 1 cos (y - 'f) = a l - 2· a 2- '2. a3
sin ("t' - Cf) =
~v'3'(a2-a3)
De coëfficiënten al en a 2 kunnen nu uitgedrukt worden in a 3 en "t-
al. = a 3 +
a 2 = a + ft'5'·sin('t-Cf) 3
•
.. ...
cos(".,-'1)
+ •
•
•
4
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
(BS)
(B6)
Als de ruistermen in R, S en T ongecor~eleerd z~n, dan kan uit vgl. B3 voor het gemiddelde ruisvermogen in signaal U geschreven worden:
Veronderstellend, dat de gemiddelde ruisvermogens in de signalen R~ S en T even groot zUn, geldt:
Substitutie van de uitdrukkingen E5 en B6 geeft voor delde ruisvermegen in signaal U: 0
2 4
(t)
=(
P + 2Q.a
r,
3
+ 3a3~).nl
2
(t).
he~
gemid-
-
met: P = §Si0 2 ('I' -Cf) +ti3'· sin ("I' -q) cos (i' -1) + C os 2 ("'t -YJ) Q
= V).sin(Y'-
Minimalisering van de gemiddelde ruis in signaal U betekent: d 2 da (n 4 (t» 3 Dus:
2Q + 6a 3
= o.
= o. I
=- "
Q
•
A-5
Substitatie van deze laatste uitdrukking in de vergelijkingen BS en B6 levert de cOäfficiänten onder voorwaarde van minimale ruis in signaal U: 2
al = '3" cos (i' - 'f ) l.~ . l -Cf)' - 3' 1 cOS (Y-CP ) a 2 = 3,.:;;·s~n\"t
a3
= -~V3'.sin(1'-
~.cos("t-ep)
-
De uitdrukkingen B2 en B4 voor de bepaling van de coëfficiënten bI' b 2 en b z~n van dezelfde vorm a13 de vergel~kingen 3 BI en B3, waarmee de coëfficiijnten al' a 2 en a zÜTI afgeleid, 3 op het argument in het linkerlid van vgl.B2 na. De uitdruk.kingen voor bI' b 2 en b kunnen dan ook rechtstreeks uit de coëf3 ficiënten al' a 2 en a worden bepaald door in de formules voor 3 al t/m a 3 i.p.v. het arglliJlent Y.-'f+~/2 te gebruiken. De coëfficiënten onàer voorwaarde van ~inimale gemiddelàe ruis in signaal V worden dan:
'11-"
bI = -~.sin(IfI-Y') 1,1"7'
(
)
1
b2 =
~YJ'cos ~-Cf
b
-~V3'. cos ("'t - rt)
3
=
De transformatie moet voerd woràen, dus: arg (3)
,
+
j. sin (-f' -1')
s~~etrisch
= ~.[arg
.
+ !.sinl"t-c,o,l
rond fotosignaal S(t) uitge-
(U) + arg
~.["'f +
••• 'f+ 2Tl/3 ::
(VU (1f+ iL/ 2 )]
De'coëfficiënten kunnen nu uitgerekend worden: al = a2 a
3
0.17
= 0.47 = -0.64
1
=
-0.64
-
0.47
3 =
0.17
1
ü2 b
A-6
Appendix C.
De definitie voor de gemiddelde hoeksnelheid van een signaal lu~d t:
x (t) met vermogensdich theidsspec trum I xx ( ) +00
4) gem
Er geldt:
~
-
==
xx
x(~)
(w)
o-
100
w.~
xx
= I X(w)1 x(t)
=
(w) àw
.·
· .. ! Cl )
2 , met:
u(t) + j.v(t)
Volgens het theorema van Parseval geldt: +00
J
Ix(t)/2 dt
-00
= 12?t'
j
+00
I X(w) I
2
à(.U •
-00
Voor de noemer van uitdrukking Cl kan derhalve geschreven worden: +00 ~
J
- 00
xx (w) dw ==
+co
f '" -co
I X(t.0) I
dw
=
j
2it.
+00
?
, X ( t ) I :":-- d t =
-00
+cc
= 2 ïl.
2
J
(u 2 + v2)
j
t
.
-00
Split~
het spectrum van u(t) en v(t) in reële en imaginaire
delen: u ( t)
vet)
0-0 0-0
U (w) == Re U + j. lm ij
v (1-1)
= ReV + j.lmV
• • • • • • • • • • • • • • • ••
(C )
3 . • . . . . . . . . . . . . . .. (c 4. )
Voor een differentiatie geldt in het frequentiedomein: du G-OJw. . U( dt 'w) Vermenigvuldiging in het frequentiedomein:
=
. (R e U') . - U (w » • JW. i,.w + J.lm
~~ddcmein
betekent convolutie in het
!
[
)
A-7
v.~~
o-
~Tt
~co
•
j
-
00
[ReV(w)+j.ImV(w)] [j(l<)-'N)ReU(w-w)-(w-w)ImU(w-w)] dw
. Het
t"d ., d e van v. du .. frequentiedomein ge1J geml.' d'ael. dt wo::-O"t in het du geven door de getransformeerde van v. d t voor w... 0 ; d
+ 00
j v'd~ dt
1 = 21r.:
-00
;l [
+00
J
[ReV(w)+j.lmV(w)J
1 -jw.ReU(-w)+w.lmU(-w)J
- 00
Omdat u(t) en vet) beide reëel zijn, zijn hun beider spectra Hermitisch (Lit. ), d.w.z. het reële deel van de spectra is even, het imaginaire deel oneven, Bovenstaande uitdrukking kan daardoor geschreven worden als: +CQ
J
d
v.~
-00
1
:l + j (ImV. ImU+ReU. Re\')J dw
J+CO, W [HeV. ImU-ImV. ReU
dt = -?', ... lt -
C'Q
Op dezelfde manier kan worden afgeleid, dat: +00 dv ~ u' dt dt -00
=
1 +00 1 -2Ro ~ w[ReU.IffiV-ImUoReV ~ j(ImU,ImV+ReV.ReU~ dw -00
Trek de laatste twee uitdrukkingen van elkaar af: +00 dv J (uo dt -00
du I J+OO ( ] - v· dt ) dt = -. w. ReV.lmU - ReU.lmV dw •••• IT_ oo
De teller van uitdrukking uitgeschreven:
C~
.1-
(C~) ~
kan op de volgende manier worden
~xx(w) =lx(w)/2 = (ReU - ImV)2
+
(ReV + ImU)2
even _ _-,,' .... ' ---
=
oneven
+00
1.0. ~
j -00
xx
(w) dw = +~
+00
=
j w.(Reu 2 +Imv 2 +ReV2 +ImU 2 ) dw -
2•
.J
-~
-00
oneven - - - - '
w.(ReU. ImV-ReV. ImU) dw
=
,/'
( 00
A-8
.
=
+00
J
2.
w.(ReV.lmU - ReU.lmV) dw.
-00
Deze ~itdrukking is -- op een faktor uitdrukking C . Er geldt bl~kbaar:
2~
na
gelijk aan de
5
... 00
J
-00
w. ~ xx (w ) d ~ = 2rr.
+ co
J
d
(u • d ~
du' - v. d t) d t
•
-00
Met de in C genoemde uitdrukking voor de noemer: kan derhalve 2 gesteld worden: +00 J~~xx(w) dw W
gem
a
- 00
•
+00 J -
f
00
Q
J
xx
(w) dw
-
d du) (u'
tOO
00
2
+00
.J -00
(u
•
