5
mangsa berkurang sebesar
r
untuk setiap
K bertambahnya satu individu mangsa karena adanya keterbatasan daya dukung lingkungan dan sebesar c akibat dimangsa oleh pemangsa. Besarnya tingkat pemangsaaan dipengaruhi oleh tingkat kepuasan pemangsa sebesar m . Terakhir berkurang sebesar h akibat dipanen. Selanjutnya laju pertumbuhan perkapita populasi pemangsa ( y ) adalah sebesar laju kelahiran f dengan mengkonversi setiap mangsa yang dimangsa menjadi kelahiran bagi pemangsa dan dipengaruhi tingkat kepuasan pemangsa sebesar m . Berkurang sebesar tingkat kematian D . Model pemanenan pada mangsa tersebut dirumuskan menjadi model matematika oleh Xiao dan Leslie sebagai berikut: ⎛ x ⎞ cxy x = rx ⎜1 − ⎟ − −h ⎝ K ⎠ my + x (3.4)
⎛
y = y ⎜ −D +
⎝
⎞ ⎟ my + x ⎠ fx
dengan x = banyaknya mangsa y = banyaknya pemangsa r = laju pertumbuhan intrinsik K = daya dukung lingkungan
c = m = D = f =
banyaknya mangsa yang ditangkap tingkat kepuasan pemangsa laju kematian pemangsa faktor konversi yang menyatakan banyaknya pemangsa baru yang lahir untuk tiap mangsa yang di tangkap h = konstanta tingkat pemanenan mangsa dengan r , K , c , m , D , f , h adalah parameter positif. Pada model ini hanya populasi mangsa saja yang dipanen, karena diasumsikan hanya populasi mangsa yang memiliki nilai komersil. Oleh karena itu akan ditentukan nilai h maksimum, jika mangsa dipanen melebihi dari nilai h maksimum maka akan terjadi kepunahan. Kepunahan dapat terjadi juga pada pemangsa karena secara tak langsung mempengaruhi kelangsungan hidup pemangsa karena tidak ada mangsa yang akanditangkap. Nilai h maksimum biasa disebut
hMSY (maximum sustainable yield).
Konsep maximum sustainable yield didasarkan pada model pertumbuhan biologi yang mengasumsikan jika banyaknya persediaan dalam populasi lebih rendah dari tingkat persediaan K , maka terdapat kelebihan individu yang dapat dipanen. Jika kelebihan tersebut tidak dipanen maka akan menyebabkan pengurangan daya dukung lingkungan K . Model tersebut juga memiliki banyak kesetimbangan pada x > 0, y > 0
IV PEMBAHASAN DAN HASIL Pada bagian ini akan dibahas tentang penentuan batasan nilai dari usaha pemanenan untuk mencegah terjadi kepunahan pada populasi. Hal ini merupakan tujuan utama dari penelitian yang akan dilakukan. Dalam bab ini juga akan dibahas tentang pencarian titik tetap dari sistem mangsa pemangsa model Michaelis-Menten. Dari titik tetap yang telah didapat akan dilakukan analisis kestabilan sistem pada setiap titik tetap. Untuk lebih jelasnya, pada bagian akhir pembahasan akan dilakukan simulasi dengan kondisi yang berbeda-beda. Hal ini dilakukan untuk melihat perubahan kestabilan dengan merubah parameter-parameter dari sistem tersebut.
4.1 Menentukan nilai pemanenan maksimum (hmaks) untuk nilai pemangsa nol
Persamaan (3.3) akan seimbang jika ⎛ x⎞ x = rx ⎜ 1 − ⎟ = 0 (4.1) ⎝ K⎠
sehingga populasi akan sama dengan daya dukung yang ada. Sedangkan pertumbuhan populasi akan mencapai nilai maksimum pada kondisi setengah dari daya dukung lingkungannya. Gambar di bawah ini merupakan kurva pertumbuhan logistik dari populasi mangsa ( x ) dari persamaan (4.1) (Lampiran 13)
6
2.5
25
2.0
20 1.5
15
1.0
0.5
10
5
10
15
20
Gambar 4.1Kurva pertumbuhan logistik populasi x .
Dari gambar di atas dapat dilihat bahwa titik tetap terjadi pada x = 0 dan x = K . Dengan melihat diagram pada gambar di atas bahwa pada x = 0 adalah titik tetap tidak stabil dan x = K adalah titik tetap stabil. Secara biologis jika x = 0 adalah titik tetap tak stabil karena pemilihan populasi yang kecil akan tumbuh dengan cepat dan menjauhi diberikan x0 > 0 , titik x = 0 . Misalkan tersebut akan selalu menuju x = K . Oleh sebab itu populasi akan selalu mendekati daya dukung lingkungan (K). Misalkan diberikan x0 < K 2 , titik ini akan bergerak cepat hingga mencapai titik maksimal pada saat x0 = K 2 . Ini berarti bahwa populasi pada awalnya tumbuh dengan cepat, dan grafik dari x ( t ) cekung ke atas. titik x = K / 2 , turunan x mulai menurun dan juga x ( t )
Tetapi
setelah
mencapai
cekung ke bawah dan memiliki asimtot ke garis horizontal x = K . Jika syarat awal x0 terletak antara K 2 dan K , kecepatan solusinya menjadi berkurang dari awal. Karena itu solusinya cekung ke bawah untuk semua nilai t . Jika populasi awalnya melebihi daya dukung lingkungan x0 > K maka x ( t )
menurun menuju x = K dan cekung ke atas. Akhirnya, jika x0 = 0 atau
x0 = K , maka populasi tetap konstan. Sehingga akan membentuk grafik sebagai berikut (Lampiran 14)
5 0
2
4
6
8
10
Gambar 4.2 Bidang solusi pertumbuhan logistik populasi.
Untuk mendapatkan hasil pemanenan yang maksimal maka diasumsikan tidak ada yang memangsa populasi mangsa dan jumlah populasi maksimal pada saat setengah dari daya dukungnya, sehingga diasumsikan nilai pemangsa sama dengan nol dan x =
K 2
. Jika
nilai tersebut disubtitusi ke persamaan (3.4), maka persamaan (3.4) menjadi
x = rx (1 −
= rx −
x )−h =0 K
rx 2 −h = 0 K
Maka
h = rx − h=
rx 2 K ; x= 2 K
rK
4 karena adanya penskalaan pada persamaan (3.4) dengan skala sebagai berikut:
t → rt , x → x K , y → my K maka diketahui bahwa nilai r = 1 dan K = 1, 1 sehingga nilai hmaks = . Setelah didapat 4 nilai hmaks secara kualitatif maka selanjutnya akan dilakukan pembuktian secara kuantitatif dengan melakukan analisis pada model tersebut. Untuk lebih sederhana dalam melakukan analisis maka dilakukan penondimensionalan pada persamaan (3.4) dengan skala tersebut di atas maka akan didapat persamaan berikut: (Lampiran 1) axy x = x (1 − x ) − −h y+x (4.2)
⎛
bx ⎞
⎝
y+ x⎠
y = y ⎜ −d +
⎟
7
⎛
dengan x = banyaknya mangsa y= banyaknya Pemangsa a = banyaknya mangsa yang ditangkap b = banyaknya pemangsa yang lahir d = laju kematian pemangsa h = tingkat pemanenan parametera, b, d, h merupakan parameter positif. 4.2 Penentuan Titik Tetap Titik tetap pada persamaan (4.2)diawali pada x > 0, y > 0 . Misalkan, anggap axy f1 ( x , y ) = x (1 − x ) − −h y+x (4.3) bx ⎞ ⎛ f2 ( x, y ) = y ⎜ − d + ⎟ y+x⎠ ⎝
yang menghasilkan y1 = 0 , y2 =
(b − d ) x d
dan x (1 − x ) −
axy y+x
−h=0
jika y1 = 0
maka x12 =
1 ± 1 − 4h 2
jika y2 =
(b − d ) x d
2
f1 (0, 0) = − h , f 2 (0, 0) = 0 . Oleh sebab itu, solusi dari persamaan (4.3) dengan kondisi awal yang taknegatif, ada dan unik. Semua solusi menyentuh sumbu melewati kuadran pertama, dan titik (0,0) bukan titik tetap dari persamaan (4.3). Pertama-tama, akan ditentukan lokasi dan jumlah dari ekuilibrium dari persamaan (4.3) pada kuadran pertama di . Persamaan (4.3) akan memiliki titik tetap di jika dan hanya jika persamaan axy f1 ( x, y ) = x (1 − x ) − −h =0 y+x (4.4) bx ⎞ ⎛ f 2 ( x, y ) = y ⎜ − d + ⎟=0 y+ x⎠ ⎝
memiliki sepasang solusi real yang taknegatif , . Titik tetap persamaan (4.4) diperoleh dengan menentukan f1 ( x, y ) = 0 dan
f2 ( x, y ) = 0 , sehingga menurut persamaan
⎝
⎞ ⎟=0 y+ x⎠ bx
Maka
dengan , , , adalah parameter positif, dan hanya akan dibahas dinamika dari persamaan (4.3) pada kuadran positif. Jadi kondisi awal secara biologi berarti x(0) ≥ 0 dan y (0) ≥ 0 . Jika dimisalkan x = 0 dan y = 0 , maka
tersebut didapat:
y ⎜ −d +
x12 =
b − a (b − d ) ± ( a (b − d ) − b) − 4 hb
2
2b Dari hasil di atas maka didapat titik tetap sebagai berikut (Lampiran 2) 1 − 1 − 4h T1 : ( x1 , y1 ) = ( , 0) 2 1 + 1 − 4h T2 : ( x2 , y2 ) = ( , 0) 2 * * ⎛ b − a (b − d ) − Δ b − d * ⎞ T3 : ( x1 , y1 ) = ⎜ , x1 ⎟ 2b d ⎝ ⎠ ⎛ b − a (b − d ) + Δ b − d * ⎞ * * , T4 : ( x2 , y2 ) = ⎜ x2 ⎟ 2b d ⎝ ⎠ 2
2
Dengan Δ = ( a(b − d ) − b) − 4hb 4.3 Konstruksi matriks Jacobi Misalkan sistem persamaan (4.2) dituliskan sebagai berikut : dx dt dy dt
= f1 ( x, y ) = f 2 ( x, y )
Matriks Jacobi dibentuk dengan menyusun turunan parsial dari f1dan f2 terhadap x dan y yang dituliskan sebagai berikut (Lampiran 3)
8
⎡ ∂f1 ⎢ ∂x J =⎢ ⎢ ∂f 2 ⎢ ∂x ⎣
∂f1 ⎤ ∂y ⎥ ⎥ ∂f 2 ⎥ ∂y ⎥⎦
4.4.2 Kestabilan sistem di titik tetap T2
Titik
⎤ ax 2 ⎥ 2 ( y + x) ⎥ 2 bx ⎥ −d + ⎥ ( y + x) 2 ⎦
T1
=
(
1 − 1 − 4h
,0) 2 disubtituskan pada persamaan J, maka di peroleh
(−
A − λi I = 0
)
1 − 4h − λ ( b − d − λ ) = 0
Untuk memperoleh nilai eigen dari J1 maka
A − λi I = 0 , yaitu :
λ −λ 2
((
)
) (
didapat nilai eigen sebagai berikut (Lampiran 4)
λ1 = b − d λ2 = − 1 − 4h
1 − 4h
λ2 = − 1 − 4h < 0 maka T2 bersifat sadel atau maka T2 bersifat stabil.
) (b − d ) = 0
didapat nilai eigen sebagai berikut (Lampiran 4)
λ1 = b − d λ2 = 1 − 4h Berdasarkan teorema kestabilan, nilai eigen yang didapat mempunyai 2 kemungkinan, yaitu untuk λ1 = b − d > 0 dan
λ2 = 1 − 4h > 0 maka T1 bersifat tak stabil untuk λ1 = b − d < 0 dan λ2 = 1 − 4h > 0
4.4.3 Kestabilan sistem di titik tetap T3 Titik tetap T3
=
⎛ b − a (b − d ) − Δ b − d * ⎞ , x1 ⎟ ⎜ d 2b ⎝ ⎠ disubtitusikan pada persamaan J, maka akan diperoleh
⎡ a (b − d ) d + Δ ⎢ 2 b J3 = ⎢ 2 ⎢ (b − d ) ⎢⎣ b
⎤ ⎥ b ⎥ d (b − d ) ⎥ ⎥⎦ b −
ad
2
2
Untuk memperoleh nilai eigen dari J3 maka dimisalkan:
maka T1 bersifat sadel. J3 =
⎡ p q⎤ ⎢⎣ r s ⎥⎦
Dengan
untuk λ1 = b − d < 0 dan λ2 = − 1 − 4h < 0
) (b − d − λ ) = 0
1 − 4 h + (b − d ) +
(( 1− 4h) − (b − d )) + (− 1− 4h) (b − d ) = 0
Berdasarkan teorema kestabilan, nilai eigen yang didapat mempunyai 2 kemungkinan, λ1 = b − d > 0 dan yaitu untuk
⎡ 1 − 4h − a ⎤ b − d ⎥⎦ ⎣ 0
J1 = ⎢
1 − 4h − λ
1 + 1 − 4h
Untuk memperoleh nilai eigen dari J2 maka, yaitu :
2
4.4.1 Kestabilan sistem di titik tetap T1
(
J2 = ⎢
λ +λ
4.4 Analisis kestabilan titik tetap
(
=
⎡− 1 − 4h − a ⎤ b − d ⎥⎦ ⎣ 0
−
Kestabilan sistem persamaan (4.2) akan diperoleh dengan menganalisis nilai eigen matriks Jacobi.
tetap
T2
, 0) 2 disubtitusikan pada persamaan J, maka akan diperoleh
⎡ ay 2 − − x 1 2 ⎢ ( y + x) 2 J =⎢ ⎢ by 2 ⎢ ( y + x) 2 ⎣
Titik
tetap
9
q=−
r=
4.4.4Kestabilan sistem di titik tetap T4 Titik tetap T4
a (b − d ) d + Δ 2 b
p=
⎛ b − a (b − d ) + Δ b − d * ⎞ , x2 ⎟ disubtitusi ⎜ 2b d ⎝ ⎠
2 ad 2 b
(b − d )
pada persamaan J, maka di peroleh :
2
⎡ a (b − d ) d − Δ ⎢ 2 b J4 = ⎢ 2 ⎢ (b − d ) ⎢⎣ b
b
s=
d (b − d ) b
Untuk memperoleh nilai eigen, digunakan persamaan karakteristik A − λ I = 0 sehingga
J4 =
dengan menggunakan software Mathematica 7, maka diperoleh nilai eigen sebagai berikut (Lampiran 4)
( (
) )
2
3
2
2
R = ab d + b d − abd − b d 2
2
k=
a (b − d ) d − Δ
b l=−
ad b
m=
2
(b − d )
menghasilkan
nilai
eigen λ1 > 0 dan
λ2 < 0 , sehingga titik tetap T3 bersifat sadel.
d (b − d )
Untuk memperoleh nilai eigen, digunakan persamaan karakteristik A − λ I = 0 sehingga
k −λ
l
m
n−λ
akan menghasilkan nilai eigen λ1 > 0 dan
λ2 < 0 , sehingga titik tetap T3 bersifat sadel. Untuk kasus yang ketiga nilai parameter menghasilkan
nilai
eigen
λ1 > 0 dan λ2 < 0 , sehingga titik tetap T3 bersifat sadel. Terakhir kasus yang keempat b nilai parameter b − d < akan menghasilkan a nilai eigen λ1 > 0 dan λ2 > 0 , sehingga titik tetap T3 bersifat tidak stabil.
=0
dengan menggunakan software Mathematica 7, maka diperoleh nilai eigen sebagai berikut:
Pada kasus yang kedua nilai parameter b < d
2
b
Nilai eigen pada titik tetap T3 memiliki beberapa kemungkinan, yaitu tergantung dari kondisi parameter yang akan diberikan. Untuk kasus yang pertama nilai parameter b > d
b akan a
2
2
T = 4abd − 2ab d − 2ad
b−d ≥
2
b n=
2
2
2
2
S = b ( −b + a (b − d )) − 4b h
ad
⎡k l ⎤ ⎢⎣m n ⎥⎦
Dengan
1 2 −R − S − (( R + S ) + 4b3d (T − S + dS )) 2b3 1 2 λ2 = − 3 −R − S + (( R + S ) + 4b3d (T − S + dS )) 2b dengan
λ1 = −
⎤ ⎥ b ⎥ d (b − d ) ⎥ ⎥⎦ b −
Untuk memperoleh nilai eigen dari J4 maka dimisalkan:
p −λ q =0 r s −λ
akan
=
λ1 = − λ2 = −
1 2b3 1 3
2b
( (
) ))
−R + S − (( R − S ) + 4b d (T + S − dS )) 2
3
−R + S + (( R − S ) + 4b d (T + S − dS ) 2
3
Dengan 2
3
2
2
R = ab d + b d − abd − b d 2
2
2
S = b ( −b + a (b − d )) − 4b h 2
2
T = 4 abd − 2ab d − 2ad (Lampiran 4)
10
yaitu akan nilai nilai
akan menghasilkan nilai eigen λ1 > 0 dan
eigen λ1 > 0 dan λ2 < 0 , sehingga titik tetap
Dari percobaan di atas jelas bahwa persamaan (4.4) memiliki empat pasang solusi real
Nilai eigen pada titik tetap T4, tergantung dari kondisi parameter yang diberikan. Untuk kasus yang pertama, parameter b > d akan menghasilkan
λ2 < 0 , sehingga titik tetap T4 bersifat sadel.
T4 bersifat sadel. Untuk kasus yang kedua nilai parameter b < d akan menghasilkan nilai eigen
λ1 > 0 dan
*
*
taknegatif ( xi , yi ) dan ( xi , yi ) dengan
λ2 < 0 , sehingga titik
i
xi =
tetapT4 bersifatsadel. Pada kasus yang ketiga, b nilai parameter b − d ≥ akan menghasilkan a
*
xi =
nilai eigen λ1 > 0 dan λ2 > 0 , sehingga titik
1 + ( −1) 1 − 4 h 2
yi = 0
b − a (b − d ) + ( −1)
i
Δ
2b
yi = *
b−d d
*
xi
tetap T4 bersifat tidak stabil. Terakhir, kasus b keempat dengan nilai parameter b − d < a
2
2
Dengan i = 1, 2 , Δ = ( a (b − d ) − b) − 4hb
Berikut merupakan tabel kestabilan titik tetap dari hasil pencarian titik tetap dengan beberapa kondisi yang berbeda: Tabel 1 Ringkasan Keberadaan dan Kestabilan Titik Tetap dari Berbagai Kondisi Kondisi
1
0
dan b < d
T1
T2
T3
T4
Sadel
Stabil hiperbolik
---------
--------
Tak stabil
Sadel
Stabil hiperbolik
Stabil hiperbolik
4 1
0
dan b > d
4 0
1
dan b − d <
b a
Tak stabil hiperbolik
Sadel hiperbolik
Tak stabil
Sadel
dan b − d ≥
b a
Tak stabil hiperbolik
Sadel
---------
----------
Sadel
Sadel
--------
---------
---------
----------
----------
-----------
Stabil
---------
----------
-----------
Sadel
---------
----------
----------
4 0
1 4
0
1
dan b = d
4 h>
1 4
h=
1
dan b ≤ d
4 h=
1 4
dan b > d
11
Dari tabel di atas dapat dilihat sifat-sifat titik tetap dari berbagai kondisi. Jumlah titik tetap juga tergantung dari kondisi yang dikenakan pada sistem. Untuk lebih jelasnya, maka dilakukan simulasi untuk melihat jumlah titik tetap dan orbit kestabilan dari masing-masing titik tetap dari setiap kondisi
xHtL 4
3
2
1
4.5 Simulasi Analisis Kesetabilan Pada bagian simulasi ini, akan dilakukan uji coba beberapa kondisi yang mempengaruhi kestabilan model yaitu dengan mengubah parameter-parameter. Hal ini dilakukan untuk menggambarkan beberapa kasus jika terjadi pada kondisi sebagai berikut : 4.5.1 Simulasi Analisis Kestabilan pada 1 Kasus 1 ( b < d dan 0 < h < ) 4 Titik Tetap Berikut ini adalah ilustrasi pencarian titik tetap pada kasus b < d . Kurva titik tetap didapat dengan menggunakan software mathematica 7. Lalu dengan memilih parameter a = 0.1, b = 0.2, d = 0.3, dan h = 0,1 maka diperoleh
nilai
T1 = (0.112702, 0)
dan
T2 = (0.887298, 0) , maka dari titik tersebutdiperoleh kurva sebagai berikut (Lampiran 5) The phase portrait of system 1.0
yHt L
0.5
0.0
- 0.5
0.0
0.2
0.4
xHt L
0.6
0.8
2
4
6
8
t
Gambar 4.3 Kurva titik tetap dan bidang solusi pada kondisi b < d dan 0 < h <
1
.
4
Dari gambar di atas dapat dilihat bahwa pada kondisi tersebut terdapat dua titik tetap pada kuadran positif dan dua titik tersebut merupakan titik kesetimbangan, yaitu pada titik T1 dan titik T2. Titik T1 bersifat sadel hiperbolik dan titik T2 bersifat stabil hiperbolik. Gambar di atas menunjukan bahwa orbit menuju ke titik tetap T2 dengan kondisi tingkat kelahiran pemangsa lebih kecil daripada tingkat kematian pemangsa. Gambar di atas dapat disimpulkan bahwa titik tetap T2 bersifat stabil hiperbolik, karena dapat dilihat orbitnya menuju ke titik T2 dan titik T1 sadel hiperbolik. 4.5.2 Simulasi Analisis Kestabilan Pada 1 Kasus 2 ( b > d dan 0 < h < ) 4 Titik Tetap Berikut ini adalah ilustrasi pencarian titik tetap pada kondisi tingkat kelahiran pemangsa lebih besar daripada tingkat kematian pemangsa ( b > d ). Titik tetap pada kondisi ini didapat dengan menggunakan software mathematica 7. Lalu dengan memilih parameter a = 1, b = 3, d = 2, dan h = 0,1
T1 = (0.112702, 0) ,
T2 = (0.887298, 0) , T3 = (0.23, 0.12) , T4 = (0.44, 0.22) . Dan diperoleh gambar sebagai berikut (Lampiran 6)
3
2
1
0
Maka diperoleh nilai
1.0
xHtL 4
0 0
0
2
4
6
8
t
12
The phase portrait of system
The phase portrait of system 2.0
2.0
1.5
1.5
1.0
yHt L
yHt L
1.0
0.5
0.5
0.0
0.0 - 0.5
- 0.5
- 1.0
0.0
0.5
xHt L 1.0
1.5
2.0
Gambar 4.4 Kurva titik tetap pada kondisi b > d dan 0 < h <
1
.
4
Dari gambar di atas dapat dilihat bahwa pada kondisi tersebut terdapat empat titik tetap, titik T1 dan T2 merupakan titik kesetimbangan. Titik T1 bersifat tak stabil hiperbolik dan T2 bersifat sadel hiperbolik. Titik tetap T3 dan T4 bersifat stabil hiperbolik. Gambar di atas menunjukan bahwa orbitnya mendekati titik T3 dan T4 yang bersifat stabil hiperbolik dengan kondisi tingkat kelahiran pemangsa lebih besar daripada tingkat kematian pemangsa. Titik T1 bersifat tak stabil dan titik T2 bersifat sadel.
4.5.3 Simulasi Analisis Kestabilan pada b 1 Kasus 3 ( b − d < dan 0 < h < ) 4 a Titik tetap Berikut ini ilustrasi pencarian titik tetap b pada kasus b − d < , dimana nilai titik tetap a T1 dan T2 bergantung pada nilai h dan titik tetap T3 dan T4 bergantung pada nilai parameter a, b, dan d, dengan memilih nilai parameter a = 0.5, b = 0.3, d = 0.1, dan h = 0.04. Maka diperoleh nilai T1 = (0.0417424, 0) , T2 = (0.958258, 0) ,
T3 = (0.0666667, 0.133333) , T4 = (0.6,1.2) . Dari nilai parameter tersebut di peroleh hasil sebagai berikut (Lampiran 7)
0.0
xHt L
0.5
1.0
1.5
2.0
Gambar 4.5 Kurva titik tetap pada kondisi b−d <
b a
dan 0 < h <
1 . 4
Dari gambar di atas dapat dilihat bahwa pada kondisi tersebut terdapat empat titik tetap, dimana titik T1 brsifat hiperbolik tidak stabil dan T2 bersifat hiperbolik sadel. Dan titik T3 bersifat tak stabil, sedangkan titik T4 bersifat sadel. Gambar di atas juga menunjukan terdapat dua ekuilibrium yaitu pada titik T1 yang merupakan titik takstabil hiperbolik dan pada titik T2 yang merupakan titik sadel hiperbolik. Gambar di atas menunjukkan bahwa orbitnya mendekati titik T2 merupakan titik sadel dan titik tetap T1 merupakan titik tak stabil.
4.5.4 Simulasi Analisis Kestabilan pada b 1 Kasus 4 ( b − d ≥ dan 0 < h < ) 4 a Titik Tetap Berikut ini ilustrasi penentuan titik tetap b pada kondisi b − d ≥ . Titik tetap didapat a dengan menggunakan software mathematica 7. Lalu dengan memilih parameter a = 2, b = 0.2, d = 0.1, dan h = 0.05, maka diperoleh nilai T1 = (0.0527864, 0) , T2 = (0.947214, 0) . Dari nilai parameter di atas maka diperoleh hasil sebagai berikut (Lampiran 8).
13
The phase portrait of system
The phase portrait of system 1.5
1.0
0.8
1.0
0.6
yHt L
yHt L
0.5
0.4
0.0
0.2 - 0.5
0.0
- 1.0
- 0.2
0.0
0.5
xHt L
1.0
Gambar 4.6 Kurva titik tetap pada kondisi b−d ≥
b a
dan 0 < h <
1 . 4
- 0.5
xHt L
0.0
0.5
1.0
4.5.5 Simulasi Analisis Kestabilan pada 1 ) 4
Titik Tetap Berikut ini ilustrasi penentuan titik tetap pada kondisi b = d dimana nilai titik tetap T1 dan T2 bergantung pada besar kecilnya nilai h dan nilai titik tetap T3 dan T4 bergantung pada nilai parameter a, b, dan d. dipilih nilai parameter a = 1, b = 2, d = 2, dan h = 0.1, maka diperoleh nilai T1 = (0.112702, 0) ,
2.0
1 . 4
Dari gambar di atas dapat dilihat ada dua titik tetap, yaitu titik tetap T1dan T2. Gambar di atas juga menunjukan bahwa dua titik tetap tersebut merupakan titik ekuilibrium yang merupakan titik sadel. Gambar di atas menunjukan bahwa orbinya menjauhi titik T1 mendekati titik T2 namun membentuk cekungan sehingga tidak nenuju titik T2. Sehingga titik T1 dan titik T2 merupakan titik sadel.
4.5.6 Simulasi Analisis Kestabilan pada Kondisi 6 ( h >
1 ) 4
Titik Tetap Berikut ini adalah ilustrasi pencarian titik 1 tetap pada kasus h > . Kurva titik tetap 4 didapat dengan menggunakan software mathematica 7. Lalu dengan memilih parameter a = 1, b = 0.1, d = 0.25, dan h = 0, 3 . Maka dari parameter tersebut didapat bidang fase sebagai berikut dan sistem tidak memiliki titik tetap. (Lampiran 10) The phase portrait of system
T2 = (0.887298, 0) , T 3 = (0.112702, 0) ,
1.5
T4 = (0.887298, 0) , karena titik T1 sama
1.0
0.5
yHtL
dengan titik T3 dan titik T2 sama dengan titik T4 maka dapat dikatakan bahwa pada kondisi tingkat kelahiran pemangsa sama dengan tingkat kematian pemangsa hanya memiliki dua titik tetap. Dari titik tersebut diperoleh kurva sebagai berikut (Lampiran 9)
1.5
Gambar 4.7 Kurva titik tetap pada kondisi b = d dan 0 < h <
Dari gambar di atas dapat dilihat ada dua titik tetap. Dimana titik tetap T1 bersifat tak stabil hiperbolik, titik tetap T2bersifat sadel hiperbolik. Gambar di atas juga menunjukan bahwa dua titik tetap tersebut juga merupakan ekuilibrium yaitu pada titik T1 yang merupakan titik takstabil hiperbolik dan pada titik T2 yang merupakan titik sadel hiperbolik. Gambar di atas menunjukan bahwa orbit menjauh dari titik T1 mendekati titik (0,0) sehingga dapat dikatakan titik T1 merupakan titik tidak stabil hiperbolik. Sedangkan titik T2 merupakan titik sadel hiperbolik.
Kondisi 5 ( b = d dan 0 < h <
- 1.0
1.5
0.0
- 0.5
- 1.0 - 0.5
0.0
0.5
xHt L
1.0
1.5
2.0
14
Gambar 4.8 Kurva pada kondisi h >
1 . 4
Gambar di atas menunjukkan ketika h >
1
4 persamaan (4.3) tidak memiliki ekuilibrium x (t ) < 0 pada
dan
2
R+ ,
dinamika
dari
2
persamaan (4.3) pada R + terlihat dari gambar di atas dimana semua orbit akan melewati 2
sumbu y dan akan keluar dari R + . Jika demikian, hal ini akan mengakibatkan spesies mangsa akan mengalami kepunahan dan hal ini pula yang akan menjadi penyebab punahnya populasi pemangsa. Oleh karena itu, untuk menjaga agar kedua spesies dapat bertahan hidup, maka tingkatpemanenan mangsa tidak boleh melebihi seperempat.
1
axy 1 > > 0 x (1 − x ) − x+ y 4
λ2 = b − d
⎛1 ⎞ − axy > ⎜ − x (1 − x ) ⎟ ( x + y ) > 0 ⎝4 ⎠
Karena nilai dari salah satu nilai eigennya sama dengan nol, maka ekuilibrium ( x0 , y0 )
⎛1 ⎞ ⎜ − x (1 − x ) ⎟ ( x + y ) ⎝4 ⎠ −y > > 0 ax −y > 0
y < 0
adalah titik tetap stabil non-hiperbolik. Dengan menggunakan software mathematica 7 maka akan didapat hasil sebagai berikut (Lampiran 11) The phase portrait of system
4.5.7 Simulasi Analisis Kestabilan pada 1 Kondisi 7 ( h = ) 4 Titik Tetap Persamaan (4.3) memiliki ekuilibrium yang unik
2 di R +
1 , dengan ( x0 , y0 ) = ( , 0) jika 2
1 dan b ≠ d , jika parameter yang dipilih 4
1.5
1.0
yHt L
Gambar orbit di atas menunjukan bahwa orbitnya menuju titik (0,0) dan akan melewati sumbu y pada kondisi pemanenan melebhi dari seperempat. Karena titik (0,0) bukan merupakan titik tetap dan titik ekuilibrium, maka dapat dikatakan bahwa pada kondisi tersebut sistem tidak memiliki ekuilibrium. Hal inilah yang akan menyebabkan terjadinya kepunahan pada spesies mangsa dan secara tidak langsung akan berdampak sama pada spesies pemangsa.
Untuk memperoleh nilai eigen, digunakan persamaan karakteristik A − λ I = 0 sehingga
λ1 = 0
axy 1 > − x (1 − x ) > 0 x+ y 4
h=
⎛ 0 −a ⎞ ⎟ ⎝0 b − d ⎠
Df ( x0 , y0 ) = ⎜
Dari matrik di atas didapat nilai eigen sebagai berikut
4
−
nilai T1 dan T2 sama, sehingga dapat dikatakan pada kondisi tersebut sistem hanya memiliki satu titik tetap. Titik tetap tersebut merupakan titik stabil dan juga titik ekuilibrium. Bagian linear dari persamaan (4.3) pada ( x0 , y 0 ) ditentukan oleh matrik
−a ⎞ ⎛0 − λ ⎜ 0 b−d −λ⎟ = 0 ⎝ ⎠
Bukti: h >
adalah a = 1, b = 1, d = 2, dan h = 0, 25 dengan syarat tingkat kelahiran pemangsa lebih kecil daripada tingkat kematian pemangsa ( b < d ) maka akan didapat nilai berikut T1 = (0.5, 0) dan T2 = (0.5, 0) karena
0.5
0.0
- 0.5
0.0
0.5
xHt L
1.0
1.5
Gambar 4.9 Kurva titik tetap pada kondisi h=
1 4
Gambar di atas menunjukana kondisi saat tingkat kelahiran pemangsa lebih kecil daripada tingkat kematian pemangsa terdapat
15
dan T2 = (0.5, 0) karena nilai T1 dan T2 sama, sehingga dapat dikatakan pada kondisi tersebut sistem hanya memiliki satu titik tetap. Titik tetap tersebut merupakan titik sadel dan juga titik ekuilibrium. Bagian linear dari persamaan (4.3) pada ( x0 , y 0 ) ditentukan oleh matrik
⎛ 0 −a ⎞ ⎟ ⎝0 b − d ⎠
Df ( x0 , y0 ) = ⎜
untuk memperoleh nilai eigen, digunakan persamaan karakteristik A − λ I = 0 sehingga −a ⎞ ⎛0 − λ ⎜ 0 b−d −λ⎟ = 0 ⎝ ⎠
Dari matrik di atas didapat nilai eigen sebagai berikut:
λ1 = 0 λ2 = b − d Karena nilai dari salah satu nilai eigennya sama dengan nol, maka ekuilibrium ( x0 , y 0 ) adalah titik sadel non-hiperbolik. Dengan menggunakan software mathematica 7 maka akan didapat hasil sebagai berikut (Lampiran 12) The phase portrait of system 2.0
1.5
1.0
yHt L
satu titik tetap T1. Titik tersebut merupakan titik stabil. Gambar di atas merupakan orbit ketika 1 h = , maka sistem memiliki ekuilibrium 4 1 yang unik yaitu ( x0 , y0 ) = ( , 0) . Orbit dari 2 gambar di atas menuju ke titik T1dan dari nilai eigen yang di dapat maka titik T1 merupakan titik tetap stabil non-hiperbolik. Jika parameter yang dipilih adalah dengan a = 1, b = 2, d = 1, dan h = 0, 25 syarat tingkat kelahiran pemangsa lebih besar daripada tingkat kematian pemangsa ( b > d ) maka akan didapat nilai berikut T1 = (0.5, 0)
0.5
0.0
- 0.5
- 1.0
0.0
xHt L
0.5
1.0
1.5
2.0
Gambar 4.10 Kurva titik tetap pada kondisi h=
1 . 4
Gambar di atas menunjukkan pada kondisi tingkat kelahiran pemangsa lebih besar daripada tingkat kematiaan pemangsa terdapat satu titik tetap T1. Titik tersebut adalah titik sadel dan juga merupakan titik ekuilibrium. Gambar di atas menunjukan bahwa orbitnya menjauhi titik T1 lalu menuju sumbu y, sehingga titik tersebut dikatakan tidak stabil. Dari kedua gambar di atas dapat dikatakan bahwa titik T1 merupakan titik sadel.
