6
telah dibangkitkan. Kemudian peubah X dan Y diregresikan dengan OLS sehingga diperoleh kuadrat galat. Kuadrat galat diurutkan dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar, lalu dilakukan pemangkasan. Langkah terakhir minimumkan jumlah dari kuadrat galat terkecil. 6.
Tahap pengolahan dengan metode WLS Pada metode ini akan dilakukan penentuan sampel sebanyak N dari data yang telah dibangkitkan. Peubah X dan Y diregresikan dengan OLS sehingga
diperoleh kuadrat galat. Bobot data pengamatan dihitung dan diregresikan kembali. Jumlah kuadrat galat terboboti, kemudian diminimumkan. 7.
Tahap pembandingan hasil pendugaan parameter Pada tahap akhir ini akan dibandingkan Rataan Persentase Galat Mutlak (MAPE) dan hasil dari dugaan kelima metode di atas. Dugaan parameter yang dihasilkan akan ditampilkan dalam bentuk tebaran data (scatter plot) dan persamaan regresi.
IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Pembangkitan Data Pada kasus ini dilakukan pembangkitan 3 gugus data berukuran n = 20 berdasarkan model regresi Y = β0 + β1X + ei dengan cara sebagai berikut : • Gugus data 1. Data tanpa pencilan. a. Ditentukan β0 = 10 & β1 = 10 dan ei ~ N (0,5) b. Dibangkitkan nilai Y dengan memasukkan nilai X = 1,2,…20 • Gugus data 2. Data dengan pencilan terhadap X. a. Ditentukan β0 = 10 & β1 = 10 dan ei ~ N (0,5) b. Dibangkitkan nilai X = 1,2,…,20 kemudian mengubah nilai X = 17 menjadi X = 30 dan X = 19 menjadi X = 40. • Gugus data 3. Data dengan pencilan terhadap Y. a. Ditentukan β0 = 10 & β1 = 10 dan ei ~ N (0,5) b. Dibangkitkan nilai Y dengan memasukkan nilai X = 1,2,…20 kemudian mengubah nilai Y = 17 menjadi Y = 300 dan Y = 19 menjadi Y = 500. 4.2 Proses Pengolahan Data 4.2.1 Pengolahan Data dengan OLS Gugus data 1, 2, dan 3 diregresikan dengan metode OLS. Tentukan nilai , , , dan MAPE. 4.2.2 Pengolahan Data dengan LMS a. Meregresikan gugus data 1, 2, dan 3 dengan metode OLS. Menentukan nilai , , , dan MAPE.
b. c.
d. e.
f. g. h.
Membagi setiap gugus data secara random kedalam 5 anak gugus data. Meregresikan setiap anak gugus data dengan metode OLS dan dicari mediannya. Menentukan minimum median dari tiap anak gugus. Mnentukan menggunakan dari hasil regresi gugus data yang mempunyai median yang paling minimum. Menentukan kuadrat galat
. Menentukan S0 dan hitung bobot wi untuk mendapatkan dan final. Menentukan MAPE.
4.2.3 Pengolahan Data dengan LAD a. Meregresikan gugus data 1, 2, dan 3 dengan metode OLS. Menentukan nilai , , , dan MAPE. b. Menentukan standar deviasi dari . c. Menghitung bobot wi. d. Meregresikan kembali. e. Lakukan secara berulang (iteratively) sampai mendapatkan yang relatif stabil. f. Menentukan MAPE. 4.2.4 Pengolahan Data dengan LTS a. Meregresikan gugus data 1, 2, dan 3 dengan metode OLS. Menentukan nilai , , , dan MAPE. b. Menentukan kuadrat galat
. c. Mengurutkan kuadrat galat tersebut dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar.
7
Melakukan pemangkasan sebesar a \ 1b dari data. Kemudian meregresikan kembali hingga mendapatkan dan final. Menentukan MAPE.
e. f.
4.2.5 Pengolahan Data dengan WLS a. Meregresikan gugus data 1, 2, dan 3 dengan metode OLS. Menentukan nilai , , , dan MAPE. b. Menentukan kuadrat galat
. c. Menentukan standar deviasi dari . d. Menghitung bobot wi. e. Meregresikan kembali hingga mendapatkan dan final. f. Menentukan MAPE.
200
150
y
d.
100
50
5
15
20
x
Gambar 4 Model linear dengan metode LMS untuk data tanpa pencilan 4.3.3 Metode LAD untuk data tanpa pencilan (n = 20) Persamaan regresi yang diperoleh dengan menggunakan metode LAD yaitu: 'drs 10.8228 9.9661
4.3 Hasil
MAPE 9.8 %
4.3.1 Metode OLS untuk data tanpa pencilan (n = 20) Persamaan regresi yang diperoleh dengan menggunakan metode OLS yaitu: 'cde 11.6346 9.9577
10
200
150
y
MAPE 7.3 %
100
R 99.2860
50
5
200
10
15
20
x
Gambar 5 Model linear dengan metode LAD untuk data tanpa pencilan
y
150
4.3.4 Metode LTS untuk data tanpa pencilan (n = 20) Persamaan regresi yang diperoleh dengan menggunakan metode LTS yaitu:
100
50
5
10
15
20
x
Gambar 3 Model linear dengan metode OLS untuk data tanpa pencilan 4.3.2 Metode LMS untuk data tanpa pencilan (n = 20) Persamaan regresi yang diperoleh dengan menggunakan metode LMS yaitu: 'dqe 9.8636 10.0765 MAPE 8.1 %
'de 10.1312 10.0163
MAPE 6.6 %
8
4.3.6 Metode OLS untuk data dengan pencilan terhadap Y (n = 20) Persamaan regresi yang diperoleh dengan menggunakan metode OLS yaitu:
200
150
y
'cde 19.9975 14.9672
100
MAPE 29.9 %
50
5
10
15
R2 65.4448
20
x
500
Gambar 6 Model linear dengan metode LTS untuk data tanpa pencilan
300
y
4.3.5 Metode WLS untuk data tanpa pencilan (n = 20) Persamaan regresi yang diperoleh dengan menggunakan metode WLS yaitu:
400
200
100
'tde 10.7187 9.9975
0
MAPE 8.7 %
5
10
15
20
x
Gambar 9 Model linear dengan metode OLS untuk data dengan pencilan terhadap Y
200
4.3.7 Metode LMS untuk data dengan pencilan terhadap Y (n = 20) Persamaan regresi yang diperoleh dengan menggunakan metode LMS yaitu:
y
150
100
'dqe 10.851 10.0297
50
5
10
15
MAPE 16.3 %
20
x 500
Gambar 7 Model linear dengan metode WLS untuk data tanpa pencilan
400
200
y
300
200
150
y
100 100
0 5 50
10
15
20
x
5
10
15
20
Gambar 10 Model linear dengan metode LMS untuk data dengan pencilan terhadap Y
x
Gambar 8 Model linear perbandingan metode OLS (▬), LMS (▬), LAD (▬), LTS (▬), dan WLS (▬) tanpa pencilan Gambar 8 menunjukkan grafik OLS, LMS, LAD, LTS, dan WLS terlihat berhimpit. Dapat disimpulkan untuk data yang tidak mengandung pencilan, tidak ada perbedaan antara kelima metode tersebut.
4.3.8 Metode LAD untuk data dengan pencilan terhadap Y (n = 20) Persamaan regresi yang diperoleh dengan menggunakan metode LAD yaitu : 'drs 20.0096 9.4257 MAPE 20.5 %
9
500
400
400
300
300
y
y
500
200
200
100
100
0
0 5
10
15
5
20
10
15
20
x
x
Gambar 11 Model linear dengan metode LAD untuk data dengan pencilan terhadap Y
Gambar 13 Model linear dengan metode WLS untuk data dengan pencilan terhadap Y 500
4.3.9 Metode LTS untuk data dengan pencilan terhadap Y (n = 20) Persamaan regresi yang diperoleh dengan menggunakan metode LTS yaitu:
300
y
'de 7.4702 10.69
400
200
MAPE 11.2 %
100
0
500
5
10
15
20
x
400
Gambar 14 Model linear perbandingan metode OLS (▬), LMS (▬), LAD (▬), LTS (▬), dan WLS (▬) dengan pencilan terhadap Y
y
300
200
100
0 5
10
15
20
x
Gambar 12 Model linear dengan metode LTS untuk data dengan pencilan terhadap Y 4.3.10 Metode WLS untuk data dengan pencilan terhadap Y (n = 20) Persamaan regresi yang diperoleh dengan menggunakan metode WLS yaitu: 'tde 13.4787 10.8963 MAPE 19.4 %
Gambar 14 menunjukkan perubahan grafik OLS. Garis regresi metode Kuadrat Terkecil bergeser ke atas menuju titik pencilan, sedangkan LMS, LAD, LTS, dan WLS tidak mengalami pergeseran. Disimpulkan metode LMS, LAD, LTS, dan WLS lebih kekar dibandingkan dengan metode OLS untuk data yang mengandung pencilan terhadap Y. 4.3.11 Metode OLS untuk data dengan pencilan terhadap X (n = 20) Persamaan regresi yang diperoleh dengan menggunakan metode OLS yaitu: 'cde 74.3304 3.1712 MAPE 68.4 % R 26.5784
10
200
150
150
y
y
200
100
100
50
50
10
20
30
40
10
x
20
30
40
x
Gambar 15 Model linear dengan metode OLS untuk data dengan pencilan terhadap X
Gambar 17 Model linear dengan metode LAD untuk data dengan pencilan terhadap X
4.3.12 Metode LMS untuk data dengan pencilan terhadap X (n = 20) Persamaan regresi yang diperoleh dengan menggunakan metode LMS yaitu:
4.3.14 Metode LTS untuk data dengan pencilan terhadap X (n = 20) Persamaan regresi yang diperoleh dengan menggunakan metode LTS yaitu: 'de 11.704 10.1302
'dqe 3.3536 10.4923 MAPE 12.6 %
MAPE 36.2 % 400
300
300
y
y
400
200
200
100
100
0
0
10
20
30
40
10
20
30
40
x
x
Gambar 16 Model linear dengan metode LMS untuk data dengan pencilan terhadap X
Gambar 18 Model linear dengan metode LTS untuk data dengan pencilan terhadap X
4.3.13 Metode LAD untuk data dengan pencilan terhadap X (n = 20) Persamaan regresi yang diperoleh dengan menggunakan metode LAD yaitu:
4.3.15 Metode WLS untuk data dengan pencilan terhadap X (n = 20) Persamaan regresi yang diperoleh dengan menggunakan metode WLS yaitu:
'drs 74.3914 3.1634 MAPE 68.4 %
'tde 74.3914 3.1634 MAPE 68.4 %
11
200
150
100
y
y
200
100
0
50
100
10
20
30
40
x
400
y
300
200
100
10
20
30
40
x
Gambar 20 Model linear perbandingan metode OLS (▬), LMS (▬), LAD (▬), LTS (▬), dan WLS (▬) dengan pencilan terhadap X Gambar 20 menunjukkan perubahan grafik OLS, LAD, dan WLS. Garis OLS, LAD, dan WLS bergeser ke bawah menuju titik pencilan, sedangkan LMS, dan LTS tidak mengalami pergeseran. Disimpulkan metode LMS dan LTS lebih kekar dibandingkan dengan metode OLS, LAD, dan WLS untuk data yang mengandung pencilan terhadap X. 4.3.16 Metode LAD untuk data simetris tanpa pencian (n = 20) Minimum galat mutlak yang yang diperoleh dengan menggunakan metode LAD yaitu:
uYv |̂ | 45.9 A
uYv |̂ | 45.9 A
5
10
15
20
x
Gambar 19 Model linear dengan metode WLS untuk data dengan pencilan terhadap X
0
200
Gambar 21 Model linear dengan metode LAD untuk data simetris tanpa pencilan 4.4 Pembahasan Dari hasil di atas dapat dilihat perilaku garis regresi OLS, LMS, LAD, LTS, dan WLS. Untuk data tanpa pencilan, dugaan parameter metode OLS, LMS, LAD, LTS, dan WLS tidak jauh berbeda. Namun ketika terdapat pencilan terhadap Y terjadi pembiasan dugaan parameter pada metode OLS. Hal ini ditunjukkan pada Gambar 9, grafik regresi tergeser ke arah pencilan. metode LMS, LAD, LTS, dan WLS tidak mengalami pergeseran sebesar metode OLS. Hal ini dapat dilihat pada gambar 10, Gambar 11, Gambar 12, dan Gambar 13. Begitu pula ketika terdapat pencilan terhadap X terjadi pembiasan dugaan parameter pada metode OLS, LAD, dan WLS. Hal ini ditunjukan pada Gambar 15, Gambar 17, dan Gambar 19 grafik regresi tergeser ke arah pencilan. metode LMS dan LTS tidak mengalami pergeseran sebesar metode OLS, LAD, dan WLS. Hal ini dapat dilihat pada Gambar 16 dan Gambar 18. Gambar 14 dan Gambar 20 menunjukkan keunggulan metode LMS dan LTS dibandingkan metode OLS, LAD, dan WLS. Metode LMS dan LTS lebih baik dalam mengatasi adanya pencilan baik terhadap Y maupun terhadap X. Pada umumnya LAD tidak konsisten dan tidak unik. Pada kasus ini juga terihat bahwa LAD dan WLS tidak konsisten dan tidak unik, karena ketika terdapat pencilan terhadap Y, grafik regresi tidak mengalami pergeseran ke arah pencilan. Namun ketika terdapat pencilan terhadap X grafik regresi mengalami pergeseran ke arah pencilan. Hal ini dapat dilihat pada Gambar 14 dan Gambar 20. Metode LAD menghasilkan penduga yang tidak unik pada kasus data simetris. Hal ini dapat dilihat pada Gambar 21.
12
Cara lain untuk melihat hasil galat untuk setiap metode adalah menggunakan diagram kotak (box-and-whisker-plot). Diagram kotak ditampilkan Gambar 21 untuk data tanpa pencilan, Gambar 22 untuk data dengan pencilan terhadap Y, dan Gambar 23 untuk data dengan pencilan terhadap X.
besar nilainya maka data semakin beragam. Data yang digunakan dalam diagram kotak ini adalah persentase galat mutlak dari masing-masing metode. Untuk lebih memperjelas diagram kotak, diberikan juga tabel tentang Q1, Q2, Q3, nilai maksimum, nilai minimum dan rataan dari galat untuk setiap metode.
Selisih Q3 dan Q1 menggambarkan tingkat keragaman suatu data. Semakin Tabel 1 Q1, Q2, Q3, nilai max, nilai min dan rataan dari galat untuk data tanpa pencilan Metode OLS LMS LAD LTS WLS
Q1 (%) 1.3 1.2 1.5 1.6 1.4
Q2 (%) 3.2 3.2 3.0 3.0 3.3
Q3 (%) 6.7 5.7 10.3 5.9 7.5
Max (%) 67.0 54.2 60.8 55.8 60.2
Min (%) 0.2 0.3 0.1 0.1 0.1
Rataan (%) 7.3 8.1 9.8 6.6 8.7
Gambar 22 Diagram kotak untuk setiap data awal tanpa pencilan Dari diagram kotak dan tabel untuk data tanpa pencilan yang ditunjukkan pada Gambar 21 dan Tabel 1 di atas dapat dilihat bahwa kesalahan relatif hasil dugaan
parameter yang ditunjukkan oleh rentang Q1 dengan Q3 untuk metode OLS, LMS, LAD, LTS, dan WLS mempunyai tingkat keragaman yang relatif sama.
Tabel 2 Q1, Q2, Q3, nilai max, nilai min dan rataan dari galat untuk data dengan pencilan terhadap Y Metode OLS LMS LAD LTS WLS
Q1 (%) 13.2 1.9 2.8 2.6 7.8
Q2 (%) 23.0 3.7 4.3 5.2 11.4
Q3 (%) 35.3 8.3 14.3 8.4 17.8
Max (%) 138.9 96.7 127.7 57.9 88.5
Min (%) 1.4 0.2 0.3 0.5 1.5
Rataan (%) 29.9 16.3 20.5 11.2 19.4
13
Gambar 23 Diagram kotak untuk setiap data dengan pencilan terhadap Y dengan Q3 untuk metode WLS, LMS, LAD, dan LTS mempunyai tingkat keragaman yang relatif sama kecil, sedangkan metode OLS mempunyai tingkat keragaman yang relatif besar.
Dari diagram kotak dan tabel untuk data tanpa pencilan yang ditunjukkan pada Gambar 22 dan Table 2 di atas dapat dilihat bahwa kesalahan relatif hasil dugaan parameter yang ditunjukkan oleh rentang Q1
Tabel 3 Q1, Q2, Q3, nilai max, nilai min, dan rataan dari galat untuk data dengan pencilan terhadap X Metode OLS LMS LAD LTS WLS
Q1 (%) 21.4 1.3 21.5 1.8 21.5
Q2 (%) 30.9 3.8 31.0 3.7 31.0
Q3 (%) 65.1 11.0 65.2 11.2 65.2
Max (%) 499.5 76.5 499.9 300.6 499.9
Min (%) 4.4 0.1 4.4 0.3 4.4
Rataan (%) 68.3 12.6 68.4 36.2 68.4
Gambar 24 Diagram kotak untuk setiap data dengan pencilan terhadap X Dari diagram kotak dan tabel untuk data tanpa pencilan yang ditunjukkan pada Gambar 23 dan Table 3 di atas dapat dilihat bahwa kesalahan relatif hasil dugaan parameter yang ditunjukkan oleh rentang Q1
dengan Q3 untuk metode LMS, dan LTS mempunyai tingkat keragaman yang relatif sama kecil, sedangkan metode LAD, OLS, dan WLS mempunyai tingkat keragaman yang relatif sama besar.
V SIMPULAN DAN SARAN 5.1 Simpulan 1. Pemeriksaan ada atau tidaknya data pencilan merupakan hal yang penting
untuk menentukan metode apa yang sesuai.
