Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Model Sistem dalam Persamaan Keadaan

Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya

Model Sistem dalam Persamaan Keadaan

Pengantar Materi Contoh Soal Ringkasan Latihan Asesmen

Pengantar Materi Contoh Soal Ringkasan Latihan Asesmen

Istilah-istilah Dalam Persamaan Keadaan Analisis Sistem Kompleks

Persamaan Ruang Keadaan Orde-n, dengan Fungsi Penggerak U. Ketidak unikan Himpunan Variabel Keadaan

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Pengantar

•Pada bagian ini akan dibahas mengenai Persamaan Keadaan sebuah sistem dinamik / persamaan state space. • Bentuk persamaan state space terdiri dari dua bentuk: yaitu persamaan keadaan sistem dan persamaan keluaran sistem •Persamaan state space dapat digunakan untuk menganalisa karaktersitik sistem. •Karaktersitik sistem dinyatakan dalam bentuk: ”Controllable dan Observable”.

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi Istilah-istilah Dalam Persamaan Keadaan Keadaan(state) : himpunan terkecil dari variabel-variabel (disebut variabel keadaan) sedemikian rupa sehingga dengan mengetahui varibel-variabel ini pada t=to, bersama-sama dengan masukan untuk tto, dapat menentukan secara lengkap perilaku sistem untuk setiap waktu tto.

Variabel keadaan, variabel keadaan suatu sistem dinamik adalah himpunan terkecil dari variabel-varibel yang menentukan keadaan sistem dinamik. Diperlukan n variabel x1(t),x2(t),…,xn(t) untuk melukiskan secara lengkap perilaku suatu sistem dinamik

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi Istilah-istilah Dalam Persamaan Keadaan

Vektor Keadaan : suatu vektor yang menentukan secara unik keadaan sistem x(t) untuk setiap tto, setelah ditetapkan masukan u(t) untuk tto. Ruang keadaan : Ruang n dimensi yang sumbu koordinatnya terdiri dari sumbu x1, sumbu x2,…, sumbu xn

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi Analisis Sistem Kompleks  Pada umumnya, teori pengendalian konvensional hanya dapat diterapkan pada sistem linier dengan parameter konstan dengan satu masukan dan satu keluaran dalam suatu hubungan transfer.

 Sistem modern yang komplek mungkin mempunyai beberapa masukan dan beberapa keluaran  Untuk menganalisis sistem seperti ini, perlu penyederhanaan model matematik.

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi Analisis Sistem Kompleks

 Pendekatan yang paling sesuai pada analisis sistem kompleks adalah pendekatan ruang keadaan.  Teori pengendalian modern berdasarkan pada diskripsi persamaan sistem dalam bentuk n persamaan diferensial orde pertama, yang dapat digunakan menjadi persamaan diferensial matrik-vektor orde pertama.

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi Persamaan Ruang Keadaan Orde-n, dengan Fungsi Penggerak U. Persamaan diferensial orde-n (n)

( n 1)

y  a1 y  .....  an1 y  an y  u

(Pers. 1)

Masukan u(t) untuk t0, dan nilai pada kondisi awal (t0), akan menentukan secara lengkap perilaku yang akan datang dari sistem, maka dapat dipilih sebagai himpunan n variabel keadaan. Selanjutnya didefinisikan,

x1  y x2  y .......... ( n 1)

xn  y

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi Persamaan Ruang Keadaan Orde-n, dengan Fungsi Penggerak U. selanjutnya persamaan 1 dapat dituliskan kembali sebagai berikut, x1  x 2 x 2  x3

........... x n 1  xn x n  a n x1  ...  a1 x n  u atau dalam bentuk persamaan ruang keadaan (matrik-vektor)

x  Ax  Bu

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Latihan

Konsep state space

 x1   0 x   0 2    x   : , A   :    .    0  xn   a n Persamaan Ruang Keadaan

1 0 : 0  an 1

0 .. 0  0 0 1 .. 0      : , B   :     0  1  0 1  a n2 ..  a1 

  Ax  Bu x

Persamaan Keluaran y  1

0

...

y  Cx

 x1   x   2  0      x n 1    xn  

Ringkasan

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi Persamaan Ruang Keadaan Orde-n, dengan Fungsi Penggerak U.

dimana,

 x1   0 x   0 2    x   : , A   :    .    0  xn   a n

persamaan keluaran menjadi,

dimana,

C=[1 0 …0]

1 0 : 0  a n 1

0 1  0  an2

.. 0  0 0 .. 0     : , B   :      1  0 1 ..  a1 

 x1  x   2  y  1 0 ... 0     x  n 1   xn 

y  Cx

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Latihan

Ringkasan

Untuk system kontinyu, persamaan state space d X (t )  AX (t )  Bu (t ) dt y  CX (t ) 1

Y ( s)  C( sI  A) BU ( s)

d X (t )  AX (t )  Bu (t ) dt sX ( s)  AX ( s)  BU ( s) ( sI  A) X ( s)  BU ( s)

X ( s)  ( sI  A) 1 BU ( s)

Y ( s) G( s)  U ( s)  C( sI  A) 1 B adjsI  A C B detsI  A

Persamaan polynomial dalam s = akar – akar det(sI-A)=0 = eigen value dari (sI-A) = pole – pole dr G(s)

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi Ketidak unikan Himpunan Variabel Keadaan Himpunan variabel keadaan untuk suatu sistem adalah tidak unik. Artinya bahwa variabel keadaan bisa dipilih dari variabel keadaan yang saling tidak terkait. Bila dipilih variabel keadaan :

Xˆ 1  X 1 x1, x2 ,..., xn  Xˆ 2  X 2 x1 , x2 ,..., xn  Xˆ 3  X 3 x1 , x2 ,..., xn 

xˆ1 , xˆ 2 ,..., xˆ n

: tidak unik (terpisah)

xˆ1 , xˆ 2 ,..., xˆ n

: unik (saling terkait)

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi Ketidak unikan Himpunan Variabel Keadaan Jika X merupakan suatu vektor keadaan , maka :

ˆ  PX X Dimana P adalah matrik non singular. Vektor–vektor keadaan yang berbeda membawa informasi yang sama memenuhi perilaku sistem.

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Contoh Soal Soal 1 Perhatikan sistem rangkaian RLC yang ditunjukan pada Gambar di bawah. Perilaku dinamika sistem dapat dilihat secara lengkap untuk tto jika hargaharga awal dari arus i(to),tegangan kapasitor vc(to), dan tegangan masukan v(t) untuk tto diketahui. Jadi keadaan rangkaian tersebut untuk tto dinyatakan sebagai i(t), vc(t) dan tegangan masukan v(t) untuk v(t) untuk tto. Maka dari itu, i(t) dan vc(t) merupakan suatu himpunan variabel keadaan dari sistem tersebut.

Gambar Rangkaian RLC

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Contoh Soal Soal 1

Pada sistem ini bisa dipilih sebagai himpunan variabel keadaan:

 x1(t )= i(t)  x2(t) = vc(t) Persamaan yang menggambarkan dinamika sistem elektrik RLC adalah,

di L  Ri  vc  v dt dvc C i dt Y=[0

1]

 x1  x   2

 R 1  i   L  L   i   1       L v     1 vc   0  vc   0  C  x  Ax  Bu

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Contoh Soal Soal 2 Sistem didefinisikan oleh persamaan diferensial sebagai berikut :

y  6 y  11y  6 y  6u dimana y adalah keluaran dan u adalah masukan sistem. Tentukan penyajian ruang keadaan dari sistem yang dinyatakan pada persamaan di atas.

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Contoh Soal Penyelesaian Dipilih variabel keadaan sebagai berikut

x1  y x2  y x3  y Selanjutnya diperoleh

x1  x2 x 2  x3 x 3  6 x1  11x2  6 x3  6u

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Contoh Soal Penyelesaian Dengan menggunakan notasi matrik-vektor, tiga persamaan diferensial orde pertama ini dapat digabungkan menjadi satu sebagai berikut,

1 0   x1  0  x1   0  x    0   x   0u  0 1 2     2     x 3   6  11  6  x3  6 persamaan keluaran dinyatakan oleh

 x1  y  1 0 0 x2   x3 

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Contoh Soal Penyelesaian persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk standar sebagai berikut

x  Ax  Bu y  Cx dimana

1 0 0 0 A   0 0 1 , B  0, C  1 0 0  6  11  6 6

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Contoh Soal Penyelesaian Penyajian diagram blok sistem contoh soal

 x1   0 1 0   x1  0  x    0 0 1   x   0u   2   2     x3   6  11  6  x3  6

 x1  y  1 0 0 x2   x3 

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Ringkasan • Penggunaan metode ruang keadaan untuk analisis suatu sistem, sangat sesuai jika menggunakan komputer digital, karena pendekatannya adalah wawasan waktu. Sehingga terhindar dari kebosanan dan kesulitan pada saat terjadi perhitungan berulang dan lebih mudah untuk menyelesaikan sistem-sistem yang berorde tinggi. •Sebuah sistem dengan 1 atau lebih masukan dan keluaran dapat dimodelkan dalam persamaan ruang keadaan (state space) •Metode pendekatan ruang keadaan sangat baik digunakan untuk memodelkan sistem, menganalisis kestabilan, keterkendalian dan keteramatan.

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Latihan

Sistem didefinisikan oleh persamaan diferensial sebagai berikut :

2y  4 y  6 y  8 y  10u dimana y adalah keluaran dan u adalah masukan sistem. Tentukan penyajian ruang keadaan dari sistem tersebut diatas.

SEKIAN & TERIMAKASIH