Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Keterkendalian (Controlability)

Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya

Keterkendalian (Controlability)

Pengantar Materi Contoh Soal Ringkasan Latihan Asesmen

Pengantar Materi Contoh Soal Ringkasan Latihan Asesmen

Vektor Bebas Linear Keterkendalian Keadaan Secara Sempurna dari Sistem Kontinyu

Bentuk Lain Syarat Keterkendalian Keadaan Secara Sempurna Syarat Keterkendalian Keadaan Secara Sempurna Pada Bidang-s Keterkendalian Keluaran

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Pengantar Suatu sistem dikatakan dapat dikendalikan (controllable) pada saat to, jika vector pengendalian dapat memindahkan sistem dari keadaan mula-mula sebarang x(to) ke keadaan yang lain dalam suatu interval waktu yang berhingga. Konsep controllability diperkelnalkan oleh Kalman. Konsep tersebut digunakan untuk merancang sistem pengendalian dengan menggunakan metode ruang keadaan.

Pada beberapa sub-bab berikut akan dibicarakan tentang: • vektor bebas linier, • keterkendalian sempurna dari sistem kontinyu, • syarat keterkendalian keadaan secara sempurna, • syarat keterkendalian keadaan secara sempurna pada bidang-s, • keterkendalian keluaran.

Pengantar

Materi

Ringkasan

Contoh Soal

Latihan

Asesmen

Materi Vektor Bebas Linear Vektor x1, x2, …..,xndikatakan bebas linier jika,

c1x1+c2x2+ …..+cnxn = 0

(Pers. 1)

dimana c1, c2,…..,cn adalah konstan, mempunyai arti bahwa (Pers. 2)

c1=c2=…..=cn=0

Sebaliknya, vektor-vector x1, x2,…..,xn disebut bergantung linier jika dan hanya jika xi dinyatakan sebagai kombinasi linier dari xj (j=1,2,…,n ; ji), atau

xi 

n

c j 1 j i

j

xj

(Pers. 3)

Pengantar

Materi

Ringkasan

Contoh Soal

Latihan

Asesmen

Materi Vektor Bebas Linear

Untuk suatu himpunan konstanta cj. Ini berarti bahwa xi dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor lain dalam himpunan tersebut, xi bergantung linier padanya atau bukan merupakan anggota himpunan yang bebas.

Contoh (1).

1 1  2 Vektor-vektor berikut : x1  2, x 2  0, x 3  2       3 1 4 adalah bergantung linier karena : x1 + x2 – x3 = 0 .

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi Vektor Bebas Linear Contoh (2).

Vektor-vektor berikut :

1 1  2 y1  2, y 2  0, y3  2 3 1 2

adalah bebas linier, karena : c1y1 + c2y2 + c3y3 = 0 hanya dipenuhi jika c1 = c2 = c3 =0 . Perhatikan jika suatu matrik nxn adalah nonsingular (yang berarti bahwa matrik tersebut mempunyai rank-natau determinannya tidak nol), maka n vektor kolom (baris)-nya bebas linier.

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi Vektor Bebas Linear

Jika matrik nxn tersebut singular (yang berarti bahwa rank-nya kurang dari n atau determinan = nol), maka n vektor kolom (baris)-nya bebas linier. Det (X) = 0 Contoh, perhatikan bahwa

x

1

y

1

x2

y2

1 1 2 x3   2 0 2  Singular Det (X) = 4 3 1 4 1 1 2 y 3   2 0 2  Nonsingular 3 1 2

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi Keterkendalian Keadaan Secara Sempurna dari Sistem Kontinyu Tinjau sistem kontinyu dalam bentuk persamaan keadaan non homogen sebagai berikut, x  Ax  Bu (Pers. 4) dimana : x = vektor keadaan (n-dimensi). u = sinyal pengendalian. A = matriknxn. B = matrik nx1. Sistem yang dinyatakan Pers. 1 disebut terkendali pada saat t=to jika dapat ditentukan sinyal pengendalian tanpa kendala yang akan memindahkan suatu keadaan awal ke keadaan akhir sembarang dalam selang waktu terhingga to t t1. Jika setiap keadaan sistem terkendali, maka sistem dikatakan terkendali sempurna.

Pengantar

Materi

Ringkasan

Contoh Soal

Latihan

Asesmen

Materi Keterkendalian Keadaan Secara Sempurna dari Sistem Kontinyu • Syarat keterkendalian keadaan secara sempurna. • Dianggap bahwa keadaan akhirnya adalah titik asal ruang keadaan sedangkan waktu awalnya adalah nol, atau to=0. t

x(t )  e x(0)   e A (t  ) Bu ( )d At

(Pers. 5)

0

Keterkendalian sempurna  Jika setiap keadaan sistem terkendali, t1

x(t1 )  e At1 x(0)   e A (t1  ) Bu ( )d 0

(Pers. 6)

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi Keterkendalian Keadaan Secara Sempurna dari Sistem Kontinyu

Atau

t1

x(0)    e  A Bu ( )d

(Pers. 7)

0

perhatikan bahwa e-A dapat dituliskan,

e

 A

n 1

  k ( )A k

(Pers. 8)

k 0

dengan mensubtitusi Pers. 7 dan Pers. 8 diatas diperoleh,

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi Keterkendalian Keadaan Secara Sempurna dari Sistem Kontinyu n 1

t1

n 1

0

k 0

x(0)   A B   k ( )u ( )d   A k B k k

k 0



B

 0     n 1 AB  A B  1         n 1 



(Pers.9)

(Pers. 10)

Jika keadaan sistem terkendali sempurna, maka persamaan di atas harus dipenuhi untuk setiap keadaan awal x(0). Ini memerlukan syarat awal bahwa rank dari matrik nxn,

Harus sama dengan n.

B

AB  A n1B



(Pers. 11)

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi Keterkendalian Keadaan Secara Sempurna dari Sistem Kontinyu

Dari analisis ini kita dapat menyatakan syarat keterkendalian keadaan secara sempurna sebagai berikut :

Keadaan sistem yang dinyatakan oleh persamaan

x  Ax  Bu

terkendali sempurna jika dan hanya jika vektor B, AB,…,An-1B bebas linier, atau matrik nxn,

B

AB  A n 1B

Mempunyai rank-n.



Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi Keterkendalian Keadaan Secara Sempurna dari Sistem Kontinyu

Hasil yang baru saja diperoleh dapat diperluas untuk kasus vector pengendalian u dengan r-dimensi, maka dapat dibuktikan bahwa syarat keterkendalian keadaan secara sempurna adalah bahwa matrik berikut nxnr berikut

x  Ax  Bu

Dimana u adalah vector r-dimensi, syarat keterkendalian keadaan secara sempurna adalah matrik nxnr berikut,

B

AB  A n 1B



harus mempunyai rank-n, atau mengandung n-vektor kolom bebas linier.

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi Bentuk Lain Syarat Keterkendalian Keadaan Secara Sempurna Tinjau sistem kontinyu dalam bentuk persamaan keadaan non-homogen sebagai berikut,

x  Ax  Bu dimana : x = vektor keadaan (n-dimensi). u = sinyal pengendalian (r-dimensi). A = matrik nxn. B = matrik nxr.

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi Bentuk Lain Syarat Keterkendalian Keadaan Secara Sempurna • Jika eigenvektor dari matrik A tidak ada yang rangkap, maka dapat dicari suatu matrik transformasi P sedemikian rupa sehingga, 1  0 0    0  2 1  (Pers. 12) P AP  D 

0  0

0

    n 

• Perhatikan bahwa jika eigenvalue dari A tidak ada yang rangkap, maka eigenvektor dari A tidak ada yang rangkap, akan tetapi hal ini tidak berlaku sebaliknya.

• Suatu matrik simetrik nyata nxn yang mempunyai eigenvalue rangkap, mempunyai n-eigenvektor yang berbeda

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi Bentuk Lain Syarat Keterkendalian Keadaan Secara Sempurna Perhatikan juga bahwa setiap kolom matrik P merupakan eigenvektor dari A yang berkaitan dengan i (i=1,2,…,n). Bila transformasi variable keadaan: x = Pz

dengan subtitusi persamaan di atas kedalam persamaan diperoleh

z  P 1 APz  P 1Bu

(Pers. 13)

x  Ax  Bu (Pers. 14)

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi Bentuk Lain Syarat Keterkendalian Keadaan Secara Sempurna dengan mendefinisikan

P 1B  F  ( f ij )

(Pers. 15)

Pers. 15 dapat dinyatakan dalam bentuk:

z1  1 z1  f11u1  f12u2  ...  f1r ur z2  2 z2  f 21u1  f 22u2  ...  f 2 r ur  zn  n zn  f n1u1  f n 2u2  ...  f nr ur

(Pers. 16)

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi Bentuk Lain Syarat Keterkendalian Keadaan Secara Sempurna • Jika pada matrik Fnxr terdapat suatu baris yang semua elemennya berharga nol, maka vektor keadaannya tidak dapat dikendalikan dengan sinyal pengendalian ui.

• Syarat keterkendalian keadaan secara sempurna adalah untuk eigenvektor dari matrik A yang berbeda, keadaan sistem terkendali sempurna jika dan hanya jika tidak ada baris dari matrik P-1B yang semua elemennya berharga nol. • Untuk menerapkan syarat keterkendalian keadaan secara sempurna 1 1 matrik P-1AP pada persamaan z  P APz  P Bu dalam bentuk diagonal.

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi Bentuk Lain Syarat Keterkendalian Keadaan Secara Sempurna

• Jika ada eigenvektor dari matrik A: sama, maka tidak mungkin didapatkan bentuk matrik diagonal. Pada kasus ini dapat mentranformasikan matrik A ke dalam bentuk kanonik Jordan. • Sebagai contoh, jika A mempunyai eigenvalue 1,1,4,4,6,…..,n dan mempunyai (n-3) eigenvektor yang berbeda, maka bentuk kanonik Jordan dari matrik A adalah, 1 1 0 0 0  0  1 1   0 0 1  J     0   0 0

4

1

0

4

6

 0      0    0 n 

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi Bentuk Lain Syarat Keterkendalian Keadaan Secara Sempurna

• Jika ada eigenvektor dari matrik A: sama, maka tidak mungkin didapatkan bentuk matrik diagonal. Pada kasus ini dapat mentranformasikan matrik A ke dalam bentuk kanonik Jordan. • Sebagai contoh, jika A mempunyai eigenvalue 1,1,4,4,6,…..,n dan mempunyai (n-3) eigenvektor yang berbeda, maka bentuk kanonik Jordan dari matrik A adalah, 1 1 0 0 0  0  1 1   0 0 1  J     0   0 0

4

1

0

4

6

 0      0    0 n 

Blok Jordan

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi Bentuk Lain Syarat Keterkendalian Keadaan Secara Sempurna

• Submetrik 3x3 dan 2x2, pada diagonal utama disebut blok Jordan. Misal kita dapat menentukan matrik transformasi S sedemikian rupa sehingga, S-1AS = J Jika kita definisikan vektor keadaan baru z dengan x

Maka,

(Pers. 17)

= Sz

z  S 1 ASz  S 1 Bu  Jz  S 1 Bu

(Pers. 18)

(Pers. 19)

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi Bentuk Lain Syarat Keterkendalian Keadaan Secara Sempurna

Syarat keterkendalian keadaan secara sempurna dari sistem yang  = Ax + Bu dinyatakan oleh persamaan x Keadaan sistem terkendali sempurna jika dan hanya jika : 1). Tidak ada dua blok Jordan pada matrik J yang dinyatakan oleh persamaan bentuk kanonik Jordan dari matrik A dengan eigenvalue yang sama. 2). Elemen-elemen dari suatu baris matrik S-1B yang berkaitan dengan baris terakhir blok Jordan tidak seluruhnya berharga nol. 3). Elemen-elemen setiap baris matrik S-1B, yang berkaitan dengan eigenvalue yang berbeda tidak seluruhnya berharga nol.

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi Syarat Keterkendalian Keadaan Secara Sempurna Pada Bidang-s  Syarat keterkendalian keadaan secara sempurna, dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi alih atau matrik alih.  Syarat perlu dan syarat cukup keterkendalian keadaan secara sempurna adalah bahwa tidak terjadi penghapusan pada fungsi alih atau matrik alih.

 Jika terjadi penghapusan, maka sistem tidak dapat dikendalikan pada mode yang dihapuskan.

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi Keterkendalian Keluaran  Dalam sistem pengendalian yang praktis, mungkin kita lebih memilih mengontrol keluaran sistem daripada mengontrol keadaan sistem.

 Keterkendalian keadaan sistem secara sempurna adalah tidak perlu dan tidak cukup untuk mengontrol keluaran sistem.  Oleh karena itu didefinisikan secara terpisah, keterkendalian keluaran sistem secara sempurna.

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi Keterkendalian Keluaran Tinjau sistem yang dinyatakan dengan persamaan berikut, x  Ax  Bu y  Cx  Du

dimana, x = vektor keadaan (vektor n-dimensi). u = vektor pengendalian (vektor r-dimensi). y = vektor keluaran (vektor m-dimensi) A = matrik nxn. B = matrik nxr. C = matrik mxn. D = matrik mxr.

(Pers. 20)

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi Keterkendalian Keluaran Keluaran sistem yang dinyatakan pada Pers. 20 disebut terkendali sempurna jika dapat ditentukan vektor pengendalian tanpa kendala u(t) yang akan memindahkan setiap keluaran awal y(to) ke suatu keluaran akhir y(t1) dalam selang waktu yang terhingga to  t t1. Syarat keterkendalian keluaran secara sempurna adalah sebagai berikut,

Sistem yang dinyatakan oleh persamaan Pers. 20, keluarannya terkendali sempurna jika dan hanya jika matrik mx(n+1)r,

CB mempunyai rank-m.



CAB CA 2 B  CA n1B D

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Contoh Soal 1

Sebuah fungsi transfer system dinyatakan dalam bentuk berikut,

X ( s) s  2,5  U (s) (s  2,5)(s  1) Periksa sifat keterkendalian sistem.

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Contoh Soal 1 Penyelesaian Jika bahwa terjadi penghapusan faktor (s+2,5) pada pembilang dan penyebut fungsi alih ini. (jadi kita kehilangan satu derajat kebebasan). Karena penghapusan ini, maka keadaan sistem tidak terkendali sempurna. Cara lain untuk memeriksa sifat keterkendalian, dengan Penyajian ruang keadaan berikut ini,

karena

1   x1  1  x1   0   x  2,5  1,5  x   1u   2     2 

B

1 1 AB    1 1

maka rank dari matrik B AB adalah satu. Dengan demikian kita peroleh kesimpulan yang sama, keadaan sistem tidak terkendali sempurna.

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Ringkasan 1. Keadaan sistem yang dinyatakan oleh persamaan

x  Ax  Bu

terkendali sempurna jika dan hanya jika vektor B, AB,…,An-1B bebas linier, atau matrik nxn,

B

AB  A n 1B



Mempunyai rank-n. 2. Dan keluaran system terkendali sempurna jika dan hanya jika matrik

CB mempunyai rank-m.



CAB CA 2 B  CA n1B D

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Latihan Tinjau fungsi alih berikut,

X ( s) s2  U ( s) (s  6)(s  2) Periksa sifat keterkendalian sistem.

SEKIAN & TERIMAKASIH