Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Diagonalisasi Matrik Sistem Anxn

Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya

Diagonalisasi Matrik Sistem Anxn

Pengantar Materi Contoh Soal Ringkasan Latihan Asesmen

Pengantar Eigenvalue Matrik Anxn

Materi Contoh Soal Ringkasan Latihan Asesmen

Eigenvektor Diagonalisasi Matrik Anxn

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Pengantar

•Sub bab ini merupakan salah satu sub bab dari pokok bahasan Karakteristik Sistem Berdasar Persamaan Keadaan . Pada sub bab ini akan membahas mengenai diagonalisasi matrik Anxn. •Selain diagonalisasi matrik anxn, eigen value dan eigen vektor yang akan dibahas pada materi ini.

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi Eigenvalue Matrik Anxn Eigenvalue dari matrik Anxn adalah akar dari persamaan karakteristik yang dinyatakan sebagai diterminan berikut,

λI  A  0 eigenvalue sering disebut akar - akar karakteristik. Sebagai contoh suatu matrik A sebagai berikut,

 0 A   0  6

1 0  0 1   11  6

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi Eigenvalue Matrik Anxn persamaan karakteristiknya adalah,

 1 0 λI  A  0   1  3  62  11  6  (  1)(  2)(  3)  0 6 11   6 eigenvelue dari A adalah akar dari persamaan karakteristik tersebut, atau –1,-2,dan –3.

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi Eigenvektor Eigenvektor sangat berguna dalam pengendalian modern. Matrik vektor tidak negatif pi, bersama dengan eigenvalue dinyatakan dengan persamaan.

(iI-A)pi=0 dimana i, i=1,2,…,n, adalah eigenvalue matarik A, disebut sebagai eigenvektor matrik A.

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi Diagonalisasi Matrik Anxn. Jika suatu matrik Anxn dengan eigenvalue-eigenvalue yang berbeda dinyatakan dengan persamaan sebagai berikut:  0  0  A :   0  a n

1 0 : 0  a n 1

maka transformasi x=Pz dimana,

0 1 : 0  an2

 1   1 P   12   : 1n 1

0  0  :   1   a1 

.. .. 0 ..

1

1

2 22

3 32

:

:

n21 3n 1

1  n  2n   :  .. nn1  .. .. ..

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi Diagonalisasi Matrik Anxn. 1, 2,….,3 sama dengan eigenvalue dari A yang berbeda akan mentransformasi P-1AP menjadi matrik diagonal, atau 1 0  1 P AP     0  0

0

2   0

  0            0   0  n 

Jika matrik A yang didefinisikan oleh persamaan

 1 1 1   z1   z1  y  1 0 0 1  2  3  z 2   1 1 1 z 2   1 4 9   z3   z3 

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi Diagonalisasi Matrik Anxn. yang melibatkan eigenvalue jamak, maka diagonalisasi tersebut tidak mungkin diperoleh. Sebagai contoh, jika matrik A 3x3 dimana,

1 0   0 A   0 0 1   a3  a2  a1  mempunyai eigenvalue1, 2,….,3, maka transformasi

1 P   1 12

0 1 21

1 3  23 

x  Px

dimana,

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Materi Diagonalisasi Matrik Anxn. akan menghasilkan,

1 x  P 1 AP   0  0

1

2 0

0 0  3 

bentuk ini disebut bentuk matrik Jordan

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Contoh Soal 1 Persamaan ruang keadaan dinyatkan dalam bentuk di bawah. Tentukan nilai eigen nya

 x1   0 1 0   x1  0  x    0 0 1   x   06u   2   2     x3   6  11  6  x3  1

Penyelesaian: Persamaan karakteristiknya adalah,

 1 0 λI  A  0   1  3  62  11  6  (  1)(  2)(  3)  0 6 11   6 eigenvelue dari A adalah akar dari persamaan karakteristik tersebut, atau –1,-2,dan –3.

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Contoh Soal 2 Dengan menggunakan persamaan

y  6 y  11y  6 y  6u Tunjukkan bahwa penyajian ruang keadaan seperti yang dinyatakan oleh persamaan x  Ax  Bu

y  Cx Dan

1 P   1  1

1 2 4

1   3 9 

dengan cara diagonalisasi matrik.

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Contoh Soal 2 Penyelesaian Dari penyelesaian telah diperoleh matrik,  0 A   0  6

1 0  11

0  1   6

dengan eigenvalue 1 = -1, 2 = -2, 3 = -3 maka matrik P,

1 P   1 12

1

2 22

maka matrik,

1 1 1 1 3    1  2  3 23   1 4 9  0  1 0 P 1 AP   0  2 0   0 0  3

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Contoh Soal 3 Persamaan ruang keadaan dinyatakan dalam bentuk di bawah. Tentukan diagonalisasi matrik dan persamaan keluaran nya.

 x1   0 1 0   x1  0  x1   x    0 0 1   x   06u  x    y  1 0 0 2 2         2  x3   6  11  6  x3  1  x3  Penyelesaian: Berdasarkan nilai eigen dari matrik A adalah –1,-2,dan –3, maka diperoleh bentuk diagonalisasi matrik (Pers. 10): 1 𝑃 = −1 1

1 −2 4

1 −3 9

 1 1 1   z1   z1       Persamaan keluaran, Pers. (9) dan Pers. (10): y  1 0 0 1  2  3  z2   1 1 1 z2   1 4 9   z3   z3 

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Contoh Soal 4

Diberikan matrik A sebagai berikut, 0 6  5 A  1 0  2 3 2 4 

Carilah eigenvektor matrik A

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Contoh Soal 4 Penyelesaian

Dengan menggunakan persamaan karakteristik, diperoleh eigenvalue 1=2, 2=3=1. Maka matrik A dikatakan mempunyai orde dua pada eigenvelue=1. Eigenvektor untuk eigenvelue 1=2 ditentukan dengan menggunakan persamaan

2 0 0 0 6  5  p11  (i I  A)pi  ( 0 2 0  1 0  2)  p21  0 0 2 3 2 4   p31   2  6 5   p11     1 2 2   p21   0  3  2  2  p31 

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Contoh Soal 4 Penyelesaian

dari matrik ini akan diperoleh dua persamaan independent, sehingga bisa dipilih sebarang harga p11=2 dan menghasilkan p21=-1 dan p31=-2, maka

 2  p1    1  2

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Contoh Soal 4 Penyelesaian Sedangkan generalized eigenvektor, yang berkaitan eigenvelue orde-2, diperoleh dengan mensubtitusi 2=1

dengan

 1  6 5   p12  (2 I  A)p 2    1 1  2  p22   0  3  2  3  p32  diambil harga sebarang p12=1, diperoleh p22=-3/7 dan p32=-5/7, maka

1  p 2   73   75 

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Contoh Soal 4 Penyelesaian

Subtitusi 3=1

 1  6 5   p13  (3 I  A)p 3    1 1  2  p23   0  3  2  3  p33  diambil harga sebarang p13=1, diperoleh p23=-22/49 dan p33= -46/49, maka

 1   p 3   22 49   46  49 

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Ringkasan Diagonalisasi matrik A nxn dapat dinyatakan dalam bentuk berikut yang biasa disebut dengan matrik Jordan

1 x  P 1 AP   0  0

1

2 0

Dimana mempunyai eigenvalue 1, 2,….,3

0 0  3 

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Asesmen

Latihan Diberikan matrik A sebagai berikut,

0 1 0  A   3 0 2  12  7  6 Carilah eigenvektor matrik A

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Ringkasan

Latihan

Ringkasan

1. Eigen value dari matrik system A, dapat digunakan untuk menentukan koefisien pada matrik Diagonal. 2. Diagonalisasi matrik dapat digunakan untuk membentuk persamaan keluaran, dengan semua variable statenya di amati

Asesmen

SEKIAN & TERIMAKASIH