Bentuk Kanonik Persamaan Ruang Keadaan. Institut Teknologi Sepuluh Nopember

Bentuk Kanonik Persamaan Ruang Keadaan Institut Teknologi Sepuluh Nopember

Pengantar Bentuk Kanonik Observable

Materi Contoh Soal Ringkasan Latihan Asesmen

Bentuk Kanonik Jordan

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Latihan

Ringkasan

• Pada bagian ini akan dibahas mengenai Persamaan Keadaan sebagai bentuk kanonik • Bentuk persamaan Kanonik terdiri dari dua bentuk: yaitu persamaan Kanonik Observable dan Kanonik Jordan • Bentuk kanonik ini merupakan suatu bentuk yang tidak unik dari sebuah persamaan dinamika sistem

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Latihan

Ringkasan

Perancangan pengendalian: 1. Konvensional 2. Modern

Pengendalian secara Konvensional: berdasarkan pada hubungan masukan dengan keluaran sistem atau fungsi transfer, Pengendalian secara modern:  berdasarkan diskripsi persamaan sistem dalam bentuk n persamaan diferensial orde pertama,  dapat digunakan menjadi persamaan diferensial matrik-vektor orde pertama.  Sifat system dapat dilihat dari koefisien bentuk kanonik persamaan ruang keadaan

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Latihan

Ringkasan

Bentuk persamaan diferensial: (n)

( n 1)

(n)

( n 1)

( n2)

y  a1 y  .....  an1 y  an y  b0 u  b1 u  b2 u  ...  bnu

Persamaan fungsi transfer dari bentuk PD diatas

b0 s m  b1s m 1    bm 1s  bm Y ( s) G( s)   U ( s) a0 s n  a1s n 1    an 1s  an

Pers. (1)

Pers. (2)

Bentuk persamaan Kanonik “Controllable” dari Pers. (1)

Pers. (3) 1

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Latihan

Ringkasan

Bentuk persamaan Kanonik “Controllable” dari Pers. (1)

2

Pers. (4)

Bentuk kanonik Controllable sangat penting dalam penentuan letak pole - pole

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Bentuk Persamaan Kanonik

Latihan

Ringkasan

Observable

Pers. (5)

Y=CX+Du

Pers. (6)

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Latihan

Ringkasan

Prosedur memperoleh Persamaan Kanonik 1. Menentukan Eigen Value matrik A Eigenvalue Matrik Anxn Eigenvalue dari matrik Anxn adalah akar dari persamaan karakteristik yang dinyatakan sebagai diterminan berikut,

λI  A  0

eigenvalue sering disebut akar - akar karakteristik.

Pers. (7)

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Latihan

Ringkasan

Prosedur memperoleh Persamaan Kanonik 2. Menjadikan matrik A dalam bentuk diagonalisasi matrik Jika suatu matrik Anxn dengan eigenvalue-eigenvalue yang berbeda dinyatakan dengan persamaan sebagai berikut:  0  0  A :   0  a n

1 0 : 0  a n 1

0 1 : 0  an2

.. .. 0 ..

0  0  :   1   a1 

Pers. (8)

Maka suatu transformasi variable state yang diperoleh dari

x=Pz dimana,

 1   1 P   12   : 1n 1

1

1

2 22

3 23

:

:

n21

n31

.. .. .. ..

Pers. (9) 1   n  2n   :  nn1 

Pers. (10)

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Latihan

Ringkasan

Prosedur memperoleh Persamaan Kanonik 1, 2,….,3 sama dengan eigenvalue dari A yang berbeda akan mentransformasi P-1AP menjadi matrik diagonal, atau 1 0  1 P AP     0  0

0

2   0

  0            0   0  n 

Pers. (11)

Perhatikan matrik Pers. 10, merupakan matrik diagonal dengan koefisien matik adalah nilai eigen value. Maka akan diperoleh persamaan keluaran (Pers. 9) menjadi : 𝑦 = 𝑪𝑷−1 𝐴𝑷𝒛 Pers. (12) = [1 1 … 1]z

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Latihan

Ringkasan

Contoh Soal 1 Persamaan diferensial sebuah system dinyatakan dalam bentuk:

y  6 y  11y  6 y  6u Teliti apakah persamaan diferensial tersebut “Controllable” dan Observable

Penyelesaian Berdasarkan Persamaan keadaan dan Persamaan keluaran:

 x1   0 1 0   x1  0  x    0 0 1   x   06u   2   2     x3   6  11  6  x3  1

 x1  y  1 0 0 x2   x3 

Bentuk persamaan kanonik ini adalah: “Controllable”

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Latihan

Ringkasan

Soal Latihan 1 Sebuah system dengan persamaan diferensial berikut ini:

2y  4 y  6 y  8 y  10u Uji Persamaan Differensial tersebut untuk sifat “Controllable” dan “Observable”

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Latihan

Soal Latihan 2 Sebuah system dengan persamaan diferensial berikut ini:

2y  4 y  6 y  8 y  10u Tentukan (a) Diagonalisasi matrik dari bentuk PD di atas dan (b). Persamaan keluaran

Ringkasan

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Latihan

Ringkasan

Ringkasan 1. Persamaan state space, dapat diidentifikasi sebagai persamaan kanonik “Controllable” dan “Observable” 2. Sifat “Controllable” dan “Observable”, dapat diidentifikasi dari operasi matematis matrik A, B, C dan D

Sekian dan terimakasih