Hitel, világ, Arányok és százalékszámítás 3. feladatcsomag

SZÁMTAN, ALGEBRA Arányok és százalékszámítás

B 3.3

Hitel, világ, … Arányok és százalékszámítás 3. feladatcsomag Életkor:

13–18 év

Fogalmak, eljárások:

• • • • •

arány kamat százalék sorozat mértani sorozat

A feladatsor az elemi százalékszámítási feladatoktól kezdve a valódi – vagy majdnem valódi – kamat- és hitelszámítási feladatokig jut el. Ezek a feladatok jellemzően hosszabbak, de logikailag semmivel sem nehezebbek, mint a megszokott százalékszámításos feladatok. Mindenképpen hasznos, ha a gyerekek megismerkednek a pénzügyi műveletek során használt alapvető szakkifejezésekkel, és nagyjából tisztába kerülnek azok jelentésével.

A feladatok listája 1. Arányos feladatok (szövegértés, számolás) 2. Ósdi feladatok (szövegértés, logikus gondolkodás, számolás) 3. Kamatos feladatok (szövegértés, logikus gondolkodás, számolás) 4. Hiteles feladatok (szövegértés, logikus gondolkodás, számolás)

Fejlesztő matematika (5–12. évf.)

1


B 3.3

Módszertani tanácsok Az Arányos feladatok és az Ósdi feladatok során átismételhetjük a százalékszámítással kapcsolatos ismereteket. A Kamatos feladatok kapcsán a megoldás megbeszélésekor feltétlenül hangsúlyozzuk, hogy az egyes ki-, illetve befizetések kamatvagy hozamszámítása önállóan történhet, azok összegződnek. Ha valamely szó idegenül hangzik a tanulóknak, akkor ránk hárul az a feladat is, hogy azok jelentését, használatát elmagyarázzuk. Nem várható el, hogy minden gyerek önállóan oldja meg az összes feladatot, de irányításunk, esetenkénti magyarázataink mellett nem szabad, hogy nehézséget okozzanak. Feltétlenül használjunk zsebszámológépet, mert ezen feladatok megoldása elektronikus segédeszközök nélkül megkeserítheti a tanulók életét. Ugyanakkor hívjuk fel a figyelmüket arra, hogy 100 évvel ezelőtt nem voltak ilyen segédeszközök. Érdemes lehet megkérdezni a tanulókat, hogy mit gondolnak, hogyan gyorsították eleink a számolás menetét. (Függvénytáblázatokat és logarlécet használtak. Ezek megismerése külön érdekességet, önálló vagy csoportos kutatást, projektmunkákat jelenthet.) A kamatos és hiteles feladatok esetén jól jöhet, ha az adatainkat rendezett formában tároljuk, esetleg táblázatban rögzítjük azokat.

Megoldások, megjegyzések 1. Arányos feladatok 1. Keresünk két olyan k és n természetes számot, melyekre igaz, hogy 20 < n < 30 és 100 $ k . 63 , pontosabban n 62, 95 # 100 $ k 1 63, 05 n Leggyorsabban a szóba jövő értékek kipróbálásával érhetünk célt (egy tizedesre kerekítve számoltunk).

2


SZÁMTAN, ALGEBRA

B 3.3

Arányok és százalékszámítás

n k 100 $

k

21 13 61,9

22 14 63,6

23 15 65,2

24 15 62,5

25 16 64,0

26 17 65,4

27 17 63,0

28 18 64,3

29 18 62,1

n

Tehát 27 gyerek járt az osztályba és 17-en kaptak elégtelent. 2. Feltételezve, hogy a statisztikai minta fele-fele arányban áll fiúkból és lányokból, az átlag 0,5 · 57% + 0,5 · 43% = 50%, azaz a 14 éves gyerekek fele olvas heti egy óránál kevesebbet. A statisztikai táblázatok alapján a lányok és fiúk aránya ebben a korosztályban 1 : 1,06. Van tehát eltérés a lányok és fiúk születési gyakorisága között, és ez csak későbbi életkorra egyenlítődik ki, a férfiak magasabb halandósága miatt. Az életszerű adatokkal számolva a súlyozott átlag: 1, 06 $ 57% + 1 $ 43% . 50, 2% 2, 06 3. 14 800 + 14 800 $ 15 = 14 800 $ 1, 15 = 17 020 (Ft) 100 9900 4. a) 1  = 1  0, 5817 . 0, 4183 , azaz 41,83%-os áren17 020 gedményt jelent a felemelt árhoz képest. b) 1  9900 = 1  0, 6689 . 0, 3311 , azaz 33,11%-os áren14 800 gedményt jelent az eredeti árhoz képest. c) Jelöljük az ismeretlen tavalyi eladási árat x-szel. Ekkor x $ 1, 06 = 14 800 , azaz x = 14 800 . 13 962 Ft. Ez az 1, 06 idei 14 800 Ft tavalyi értéke. Más szóhasználattal élve 14 800 Ft diszkontált értéke 13 962 Ft. 5. Tegyük fel, hogy x ember társult. Mindegyikük 40-szer annyi koronát ad, mint ahányan vannak, azaz mindenki 40x koronát ad be. Mivel x ember társult, ezért ez öszszesen 40x2. A kezdeti tőkével együtt ez már 8240 + 40x2,


3


B 3.3

amihez még ezen összeg x%-át nyerik haszonnak, ami ^8240 + 40x 2h $ x . Ezt felosztva az x emberek között min100 denki 10x koronát kapott, és megmaradt 224. ^8240 + 40x 2h $ x = 10x 2 + 224 100 Rendezve az x3 – 25x2 + 206x – 560 = 0 egyenlethez jutunk, ami sajnos harmadfokú. Első pillantásra megijedhetünk, de másodikra nézzük meg, milyen „szép” gyökök jönnek szóba. Az 1, 2 és az 5 nem gyök, de a 10 igen, 103 – 25 · 102 + 206 · 10 – 560 = 0 Osszuk el a harmadfokú egyenletet (x – 10)-zel. (x3 – 25x2 + 206x – 560) : (x – 10) = x2 – 15x + 56 x3 – 10x2 –15x2 + 206x – 560 –15x2 + 150x 56x – 560 56x – 560 A hányadosul kapott másodfokú egyenlet megoldásai az x = 7 és az x = 8 is, azaz a társaság 7, 8 vagy 10 tagú volt. Természetesen pont ilyen jó – és talán gyorsabb is –, ha a harmadfokú polinom konstans tagja osztóinak további kipróbálásával kapjuk meg mind a három gyököt. 2. Ósdi feladatok 1. a) 1867 óta 145 év telt el. Az ár tehát 1, 03 145 . 72, 7 -szeresére nőtt volna ez alatt, és az ár 72, 7 $ 4, 2 . 305, 34 $/km2. b) Évi 4%-os inflációt feltételezve 1, 04 145 . 295 -szeresére nőtt a terület értéke, az ár 295 $ 4, 2 . 1197 $/km2. Azaz egyszázaléknyi változás a 145 év során több mint 4-szeres változást okoz, hiszen 295 . 4 . 72, 7

4


SZÁMTAN, ALGEBRA

B 3.3


2. Az eredeti mintamegoldás 1876-ból: 5 1 2 frt kamatot kapunk 100 frt tőke után

1 frt kamatot kapunk

100 frt : 5 1 2 = 200 frt tőke 11 után

308 frt kamatot kapunk 200 frt # 308 = 5600 tőke után. 11







Ma így írnánk fel: x $ 5, 5 = x $ 0, 055 = 308 , azaz 100 x = 308 = 5600 Ft. 0, 055 3. Az évi kamat: 1 125 000 = 0, 045 , azaz 4,5%. 25 000 000 4. Ebben a feladatban egy mértani sor összegét kell meghatározni. Évenként számolva egy szemléletes, de nem könnyen kezelhető összeget kapunk. (…((200 · 1,05 + 200) · 1,05 + … + 200) · 1,05 )     az 1. év végén

a 2. év végén

a 21. év végén

A szorzásokat elvégezve és rendezve egyrészt egy könnyedén összegezhető mértani sort kapunk, másrészt észrevehetjük, hogy az egyes évenkénti befizetések gyakorlatilag különálló tagokként kezelhetők. 200 $ 1, 05 21 + 200 $ 1, 05 20 + f + 200 $ 1, 05 1 = 1, 05 21  1 20 . 7501, 04 = 200 $ 1, 05 $ ^1, 05 + f + 1h = 200 $ 1, 05 $ 1, 05  1 A felhalmozódott összeg körülbelül 7500 Ft. 5. Ez már egy kicsit összetettebb feladat. Kövessük először Világ Ádám gondolatmenetét. Jelöljük az apa által elhelyezett összeget T-vel. A gyermek 25 éves korára ez az összeg T · 1,0425. Ekkor azonban rögtön ki is fizetnek belőle 1500 Ft-ot, hiszen a kifizetések előlegesek. A maradék tőke tovább kamatozik, majd a következő 14 évben is kifizetnek belőle 1500-1500 Ft-ot, amikor is a tőke elfogy.


5


B 3.3

(…(T · 1,0425 – 1500) · 1,04 – 1500) · 1,04…) · 1,04 – 1500 = 0 T · 1,0439 – (1500 + 1500 · 1,04 + … + 1500 · 1,0414) = 0 T · 1,0439 = 1500 + 1500 · 1,04 + … + 1500 · 1,0414 1, 04 15  1 = 1500 $ 1, 04  1 Az egyenletet rendezve adódik, hogy T . 6506, 28 Ft. Káin és Ábel, a két gyerek hasonlóan látott neki a feladat megoldásának, de a gyermek 25 éves korára írták fel a befizetett és a visszakapott pénzmennyiségek egyenlőségét. A gyermeknek a 25. szülinapján kifizetnek 1500 Ft-ot. A 26. szülinapján is, de ez egy évvel korábban csak 1500 1442, 31 Ft-ot ért. Hasonlóan felírva a kifizetett 1500 = 1, 04 Ft-ok sorát, kapjuk, hogy T $ 1, 04 25 = 1500 + 1500 + 15002 + f + 150014 1, 04 1, 04 1, 04 Az egyenletet rendezve és megoldva ugyanazt a végeredményt kapták, mint édesapjuk. (Az édesapa megoldásában minden pénzmennyiséget a legutolsó kifizetés idejére kamatoztatott fel. A gyerekek megoldásában a befizetett tőkét kamatoztatták, a kifizetett pénzmennyiségeket pedig diszkontálták, azaz kiszámították egy korábbi pillanatban a kifizetések értékét.) 3. Kamatos feladatok 1. Csak be kell helyettesíteni a bank által közzétett képletbe, aktuális kamat = 2 000 000 $ 6 $ 92 = 30 246, 58 Ft 365 $ 100 vagy, ha szemléletesebbek akarunk lenni, akkor aktuális kamat = 2 000 000 $ 6 $ 92 = 30 246, 58 Ft , 100 365 azaz a 2 000 000 Ft 0,06-ának 92 része, hiszen a három 365 hónap alatt 92 nap telik el. 2. A 2 000 000 Ft kamata évi 6%-ra az 2 000 000 $ 6 = 120 000 100 Ft, de ebből le kell vonni az egyes hónapok végén számlavezetési költség címén leemelt, lejáratkori értékére

6



B 3.3

kalkulált összes költséget. Például a január 31-én leemelt 390 Ft még 334 napig lehetne a számlán, és addig ott kamatozna, ha nem vonnák le. Ez 6%-os kamattal 390 + 390 $ 6 $ 334 = 390 $ ` 1 + 6 $ 334 j Ft lenne év vé100 365 100 365 géig. Hasonlóan a február végén leemelt 390 Ft 365 – 31 – 28 = 306 napig nem kamatozik tovább, tehát értéke év végére 390 + 390 $ 6 $ 306 = 390 $ ` 1 + 6 $ 306 j 100 365 100 365 Ft lenne. Havonta kiszámolva és összesítve az év végére 390 $ ` 1 + 6 $ 334 j + 390 $ ` 1 + 6 $ 306 j + 390 $ ` 1 + 6 $ 275 j + 100 365 100 365 100 365 390 $ ` 1 + 6 $ 245 j + 390 $ ` 1 + 6 $ 214 j + 390 $ ` 1 + 6 $ 184 j + 100 365 100 365 100 365 390 $ ` 1 + 6 $ 153 j + 390 $ ` 1 + 6 $ 122 j + 390 $ ` 1 + 6 $ 92 j + 100 365 100 365 100 365 6 62 6 31 6 0 390 $ ` 1 + $ j + 390 $ ` 1 + 100 $ 365 j + 390 $ ` 1 + 100 $ 365 j = 100 365 = 4809,37 Ft Így a kapott teljes kamat mennyisége 120 000 – 4809,37 = 115 190,63, 115 190, 63 azaz a tényleges kamat mértéke csak: . 5, 76% , 2 000 000 ami valóban alacsonyabb, mint 6%. Sőt mi több, ha csak 1 000 000 Ft-ot helyezünk el ezen a megtakarítási számlán, akkor a kapott kamat csak 5,52%. 3. Jelöljük az ismeretlen hozamot h-val, ekkor a 91 napra járó hozam 10000 – 9821,5 = 178,5 Ft. 178, 5 Ez $ 100 . 1, 817441% , de ez 91 napra járt, tehát az 9821, 5 éves hozam 1, 817441% $ 365 . 7, 29% . 91 Ha ugyanerre az időszakra éves 8% hozam volna jellemző, akkor a kibocsátáskori ár 10 000 . 9804, 5 Ft lenne. 1 + 8 $ 91 100 365


7

SZÁMTAN, ALGEBRA

B 3.3


Ha a hozamok csökkennek, akkor ez azt jelenti, hogy a hátralévő időszakra befektetők alacsonyabb hozammal is megelégszenek, tehát a korábban 8%-os hozamú kötvényt vásároló nagyobb nyereséget érhet el a régi kötvényén, vagy ami ezzel egyenértékű, korábban is elérheti a 8%-os hasznot, hiszen előre felszámíthatja a későbbi időszakra eső 1%-os kamatkülönbözetet. 4. Hiteles feladatok 1. Jelöljük az egyelőre ismeretlen törlesztőrészletet x-szel. Tegyük fel, hogy a törlesztést az első hónap végén kell megkezdeni. Az egyenlőség jobb oldalán a befizetések kezdeti időpontra diszkontált értéke szerepel, ami egy mértani sor. x x x x + +f+ + = 0, 16 0, 16 2 0, 16 59 0, 16 60 1+ `1 + j `1 + j `1 + j 12 12 12 12 1 1 0, 16 60 1+ ` j x 12 $ = , 0, 16 1 1 1+ 0, 16 12 1+ 12 amiből x . 48 636 Ft. Az egyes hónapokra kiszámolt értékeket egy táblázatban összegyűjtve és ábrázolva az alábbi grafikont kaphatjuk. A havi kamat 16 % . Az első hónap után a tőketartozásunk 12 21 969 Ft-tal csökken, a második után 26 374 Ft-tal, a harmadik után 22 559 Ft-tal…, majd a hatvanadik hónap végén a tartozásunk elfogy. Az első 3 hónap adatait a táblázatban megadtuk: 2 000 000 =

hónap száma 1

8

kamattörlesztés 2 000 000 $

0, 16 = 26 667 12

tőketörlesztés

összesen

48 636 – 26 667 = 21 969

48 636


SZÁMTAN, ALGEBRA

B 3.3


2 3 …

0, 16 = 26 374 12 0, 16 = 26 077 1 955 768 $ 12 … 1 978 031 $

48 636 – 26 374 = 22 262

48 636

48 636 – 26 077 = 22 559

48 636

…

48 636

2. Az előző feladatból tudjuk, hogy a havonta befizetendő öszszeg 48 636 Ft. A teljes kölcsönzött összeg viszont csökken a befizetett 65 000 Ft-tal. Keressük az ismeretlen p%-ot. 1 1 p/100 60 c1 + m 12 1  2 000 000 65 000 = 48 636 $ $ p/100 1 1 1+ p /100 12 1+ 12 1 Az egyszerűbb jelölés kedvéért legyen q = , ekp/100 1+ 12 kor a számításokat elvégezve és rendezve az alábbi egyenletet kapjuk: 1  q60 39, 785344 = q $ 1q


9


B 3.3

Ez sajnos egy elemi módszerekkel nem megoldható egyenlet, úgyhogy itt van vége jelenlegi, százalékszámításon alapuló tudásunknak. Közelítő módszerekkel p értéke meghatározható. Például kiszámoljuk p = 17%-ra, ami kevésnek bizonyul, majd 18%-ra, ami sok, majd 17,5%-ra ami még mindig kevés…, és kapjuk, hogy p = 17,52%, azaz a THM több mint 1,5%-kal magasabb, mint az ügyleti kamat. 3. Az 1. feladatban megismerthez hasonló módon kell számolnunk. x x x 10 000 000 = x + +f+ + = 0, 12 1 0, 12 59 0, 12 239 1 1 1 + + + ` j ` j ` j 12 12 12 1  1 240 1, 01 , amiből . 110 109 Ft a havi törlesztőrészlet. = x$ 1 1 1, 01 Az első hónap alatt a kamat 10 000 000 · 0,01 = 100 000 Ft, azaz a tőketörlesztés csupán 110 109 – 100 000 = 10 109 Ft.

10



Szövegértés

B 3.3

1. Arányos feladatok A Világ család összeült megbeszélni pénzügyi dolgaikat. Egyetértettek abban, hogy mind a négyen, Világ Ádám apuka, Stádi Éva anyuka, valamint a két gyerek, Ábel és Káin elmennek a bankba, ahol megbeszélik egy szakértővel, mit ajánlana nekik. Mindannyian mást és mást szerettek volna kérdezni. A két gyerek jól emlékezett arra az esetre, amikor az első százalékszámításból írt dolgozatukat kiosztotta a tanáruk. Azt mondta: „Gyerekek, ez pocsékul sikerült. Az osztály 63%-ának egyes lett a dolgozata százalékszámításból.” Káin erre hátulról közbekiabált: „Nem is vagyunk annyian az osztályban!” Miután kinevetgélték magukat, alapos ismétlésbe kezdtek. 1. Hányan lehettek az osztályban, és hány tanuló dolgozata lett egyes, ha a dolgozatok 63,0%-a lett egyes, ez az érték egy tizedesjegyre kerekített, és az osztályban 20-nál több, de 30-nál kevesebb tanuló volt. 2. Irodalomórán is lehetett derülni. A tanáruk éppen arról mesélt, hogy egy statisztika szerint a 14 éves fiúk 57%-a és a lányok 43%-a heti egy óránál kevesebbet olvas, amikor Káin megint közbekotyogott. „Jé! Ez éppen 100%. Ezek szerint egyetlen gyerek sem olvas heti egy óránál többet!” Szegény Káint már megint kinevették a többiek. Miért? Nézz utána, hogy vajon tényleg 1 : 1 a fiúk és a lányok aránya a 14 éves korosztályban! Később sikeresen elmagyarázták a százalékszámítást Káinnak is, úgyhogy nagyon belejött. Átnézték a matekfüzeteiket, hogy felfrissítsék emlékeiket. Ilyen feladatokat találtak benne:


11

13–16. év


Szövegértés

B 3.3

3. Egy cipő ára 14 800 Ft. Ősszel a szezon kezdetén Bandi bácsi, a kereskedő úgy dönt, hogy 15%-kal megemeli az árat. Mennyiért kínálják áremelés után a cipőt? 4. Nem nagyon vette senki a megemelt áru cipőt, ezért Bandi bácsi úgy döntött, hogy 9900 Ft-ért reklámáron fogja kínálni a hét végén. a) Mekkora engedményt jelent ez a 15%-kal megemelt árhoz képest? b) Mekkora engedményt jelent ez a 14 800 Ft-os eredeti árhoz képest? c) Mennyi pénzt kellett kérnie egy évvel ezelőtt a cipőért, ha az akkor kapott pénzt évi 6%-os kamatra befektette, és az volt a célja, hogy mostanra a befektetett összeg 14 800 Ft legyen. Később Ábel füzetében megtalálták azt a feladatot is, amit a tanár adott fel az okosabb tanulóknak. A feladat állítólag Eulertől származik, és nagyon alaposan oda kell figyelni a szövegre. 5.* Néhány kereskedőnek 8240 korona közös tőkéje van; mindegyikük negyvenszer annyi koronát ad az üzletbe, mint ahányan társultak, és az egész összeghez annyi százalékot nyernek, mint ahányan vannak. Ha a hasznot felosztják, mindegyikük tízszer annyi koronát kap, mint ahányan vannak, és még megmarad 224 korona. Számítsuk ki, hányan társultak!

12



Szövegértés

B 3.3

2. Ósdi feladatok Anya rendrakás közben megtalálta a dédi egyik régi tankönyvét. (Az 1. és a 2. példa Dr. Močnik Ferencz Számtan középtanodák számára, Budapest 1876 könyvéből származik.) Sőt egy lapon beletoldva megtalálta dédi egy későbbi feladatát is, amit érettségin tűztek ki (Az 5. feladat érettségifeladat volt a budapesti V. kerületi Állami Főreáliskolában, 1893-ban.) 1. 1867-ben a csőd szélén álló orosz kormány eladta Alaszkát az amerikaiaknak. 7 200 000 dollárt fizettek, kb. 1 718 000 km2 hideg, fagyott földért. Akkoriban mindenki hatalmas ostobaságnak vélte ezt az üzletet. Ez kb. 4,2 dolláros volt négyzetkilométerenként. a) Ha az évenkénti átlagos pénzromlás üteme 3% lett volna, akkor mennyit érne ma a terület egy négyzetkilométere? b) Mekkora lenne az érték 4%-os átlagos infláció esetén? Hányszoros különbséget eredményezne a végösszegben ez az egyetlen százalék változás? 2. Mily összeget kell tőkésíteni, hogy az 5½%-ra évenkint 308 frtot kamatozék? 3. Valamely 25 millió frtra rúgó államadósságnak évi kamatja 1 125 000 frt; mily nagy a %? 4. Valaki minden év első napján 200 Ft-ot tesz letétbe 21 éven keresztül. Mekkora összeg áll rendelkezésére a 21. év végén, ha az évenkénti kamatláb az egész idő alatt 5%, és a kamatokat évenként tőkésítik? 5. Egy apa oly módon kívánja gyermekét biztosítani, hogy az 25 éves korától kezdve 15 éven át évi előleges 1500 Ft-ban részesüljön. Mekkora összeget kell evégből a gyermek születésekor a takarékba tenni, ha az összetett kamatok kamatlába 4%? Fejlesztő matematika (5–12. évf.)

13

13–16. év


Szövegértés

B 3.3

3. Kamatos feladatok

16–18. év

Régi emlékeiket áttekintve és felfrissítve Világék úgy gondolták, hogy felkészültek, és elindultak a találkozóra. A bank tisztviselője, Góli Dávid, az előre megbeszélt időpontban várt rájuk. Amíg Káin és Ábel nézelődött, és a prospektusokat lapozgatta, Világ úr arról érdeklődött, hogy milyen megtakarítási formákat tudna Góli úr ajánlani. – Nézze, Világ úr! Rengeteg lehetőség van, és ez függ attól, hogy mekkora összeget kíván bankunknál elhelyezni, valamint attól is, hogy milyen időtartamra gondolt, és mekkora biztonságra törekszik. – Sajnos nem vagyunk krőzusok (Nézz utána, ki volt Krőzus!), de van körülbelül 2 000 000 Ft megtakarításunk, amit szeretnénk biztos helyen tudni. – Ekkora összeg esetén szóba jöhet egy közönséges folyószámla-lekötés, vagy egy diszkont kincstárjegy, illetve ha nagyobb kockázatot is megengedne magának, akkor... – Nem, nem, köszönöm. Csak a biztonságos verziók érdekelnének. – Rendben. Akkor a közönséges folyószámla-lekötéssel kezdem, ami egy alszámlán kerül elhelyezésre. Ez jelenleg 6%-os éves kamattal történhet, minimum 3 hónapos időtartamra. Éven belül persze arányos kamatot számolunk, de ha egész évben nálunk tartja a pénzét, akkor az EBKM, azaz az egységesített betéti kamatlábmutató1 is 6%. Ez 2 millió Ft-ra, 3 hónapos lekötéssel... – Várjon csak, mi is a kamatszámításuk képlete? – Az üzletszabályzatunk tartalmazza: 1

Itt nézhetsz utána: http://www.pszaf.hu/fogyasztoknak/iranytu_jobbmenu/ ebkm) 14


SZÁMTAN, ALGEBRA Szövegértés


aktuális kamat =

B 3.3

betét összege $ kamatláb $ betétben töltött napok száma

365 $ 100

Meg kell jegyeznem, hogy a kapott kamatot nem az alszámlán, hanem a folyószámlán írjuk jóvá.1 – Köszönöm. Akkor mi is ki tudjuk számítani a kamat összegét. 1. Számítsuk ki a március–április–május hónapokra járó kamatát 2 millió forintnak, ha az EBKM 6%, és nincsenek rejtett költségek. – Jól értettem, egy külön alszámlára kerül az összeg? – Igen, épp most akartam mondani, hogy az első évben ez teljesen díjtalan. A második évtől sajnos felszámolunk havi 390 Ft számlavezetési költséget, amit az aktuális kamatból vonunk le. – Ez azt jelenti, hogy ekkor már kisebb lesz az EBKM? – Igen, de még így is… – Várjon egy pillanatig! Gyerekek, gyorsan számítsátok ki, mennyi kamatot kapnánk a második évben. – Ezt így még nem tudjuk pontosan kiszámítani. Mikor terhelik a számlára a számlavezetés költségét? – kérdeztek vissza a gyerekek. – Mindig az adott hónap utolsó napján, azaz a januári költséget 31-én terhelik a számlára. 2. Számítsuk ki, mennyi lenne 2 000 000 Ft éves kamata, ha a 6%-os névleges kamat mellett az általunk fizetendő havi 390 Ft-os számlavezetési költségeket is figyelembe veszszük. Számítsuk ki ugyanezt az értéket, ha a számlán elhelyezett összeg 1 000 000 Ft. 1

Néhány bankban a képlet nevezőjében nem 365, hanem 360 szerepel, azaz 1 évet, kamatszámítási szempontból, 360 naposnak tekintenek. Ekkor a meghirdetett kamatnál az EBKM kicsivel magasabb is lehet. Fejlesztő matematika (5–12. évf.)

15

16–18. év


16–18. év

Szövegértés

B 3.3

– Ha jól emlékszem, említette a diszkont kincstárjegyeket is. – Igen, ezek 3, 6 és 12 hónapos megtakarítások esetén jöhetnek szóba, és mint a nevük is mutatja, névérték alatt, diszkont áron bocsátja ki őket a Magyar Államkincstár (MÁK), és garanciát vállal a névértéken történő visszavásárlásra. Természetesen bankunk is közvetítő ebben a tevékenységben, de ehhez is kell egy értékpapírszámlát nyitnia. Például a legutóbbi 3 hónapos DKJ kibocsátási ára 9821,5 Ft volt. 3. Számítsuk ki, mennyi a hozama egy 91 napra kibocsátott 10 000 Ft névértékű DKJ-nek, ha kibocsátáskori ára 9821,5 Ft volt. Milyen áron kellene kibocsátani a MÁK-nak, ha 8%os éves hozama lenne? Merre mozdul el a 8%-os hozamú kötvény árfolyama, ha a kibocsátás után 1 hónappal 7%-ra csökkennek a hozamok?

16



Szövegértés

B 3.3

4. Hiteles feladatok Világék kezdték már átlátni a bank kínálta megtakarítási lehetőségek jellemzőit. Már csak ki kellett volna választaniuk a számukra legkedvezőbb formát. Ekkor azonban megszólalt Stádi Éva anyuka: – Mi lenne, ha nem takarékoskodnánk annyit, hanem vennénk egy új autót? Négymillió Ft körül már egész jó ajánlatok közül lehet válogatni. Minap a Dőzsi szomszéd is lecserélte a régi autóját, nem beszélve Habzsiékról, akiknek két új autójuk is van. – Nagyszerű ötlet, asszonyom – kapott a szón Góli Dávid, a bank képviselője. – Az előbb azt említették, hogy van 2 000 000 Ft-juk, azaz körülbelül 2 000 000 Ft hitelre volna szükségük. Ez azt jelenti, hogy ha a 16%-os kamattal tekintjük 5 évre, akkor a havi törlesztőrészlet csupán… 1. Számítsuk ki, mennyi a havi részlete 2 000 000 Ft-nak évi 16%os kamatra, havi egyenletes törlesztést feltételezve. Ábrázoljuk az egyes hónapokban befizetett törlesztőrészletek kamat-tőke hányadát. – Szép, szép, talán még fizetni is tudnánk a részleteket, de a THM, azaz a teljes hiteldíjmutató1 is 16%? – Nos ... Sajnos ehhez a hitelhez tartozik egy értékbecslési díj, ami egyszeri 35 000 Ft a hitel folyósítása előtt, valamint a folyósítási jutalék, ami a kért hitel 0,5%-a, de minimum 30 000 Ft. Ez az önök esetében azt jelentené, hogy a THM… 2. Próbáljuk meg kiszámítani 2 000 000 Ft hitel THM-jét, ha a kezdeti költség összesen 65 000 Ft, az ügyleti kamat évi 16% és a hitel futamideje 5 év. 1

http://www.pszaf.hu/fogyasztoknak/iranytu_jobbmenu/thm Fejlesztő matematika (5–12. évf.)

17

16–18. év


16–18. év

Szövegértés

B 3.3

– Anya, ne legyél ilyen mohó. Jó hogy nem rögtön egy másik lakást akarsz venni. – Korholta Világ úr a feleségét. – Ellenkezőleg, nagyon jó ötlet, uram – vágott közbe Góli úr. – Nagyszerű ajánlataink vannak lakásvásárláshoz. Például a reklámunkban is szerepel 10 millió Ft 20 éves futamidejű jelzáloghitellel, csupán12%-os kamara. – Mennyi is lenne a havi törlesztőrészlete ennek a kölcsönnek? 3. Számítsuk ki, mennyi lenne a havi törlesztőrészlete az alábbi hitelnek: 10 millió Ft 20 éves lejárattal, évi 12%-os kamatra. (Felteszszük, hogy a törlesztést a hitel felvételekor azonnal meg kell kezdenünk, és első közelítésben az egyéb költségektől eltekintünk.) Az első havi törlesztésnek mekkora része a kamat és mekkora része a tőke? – Köszönjük az ajánlatokat. Azt hiszem, alaposabban meg kell fontolnunk a pénzügyeinket – köszönt el a Világ család.

18


Hitel, világ, Arányok és százalékszámítás 3. feladatcsomag

Recommend Documents