SZÁMTAN, ALGEBRA Síkbeli és térbeli alakzatok
D 1.5
Háromszögcsaládok Síkbeli és térbeli alakzatok 5. feladatcsomag Életkor:
11–14 év
Fogalmak, eljárások:
• • • • •
elnevezések a háromszögekben háromszögek belső szögösszege háromszögek típusai magasság berajzolása háromszögben tájékozódás a koordináta-rendszerben
Feladatcsomagunk a speciális háromszögekkel és jellegzetes tulajdonságaikkal foglalkozik. Feldolgozását a témakört lezáró, összefoglaló órákon, illetve ismétlésként javasoljuk.
A feladatok listája 1. A legegyszerűbb sokszög (emlékezet, összehasonlítás, összefüggés-keresés) 2. Háromszögtípusok (rendszerezés, összefüggés-keresés, megfigyelés) 3. Tulajdonsággyűjtő (rendszerezés, megfigyelés) 4. Milyen ez a háromszög? (összefüggések meglátása, képzelet, tájékozódás a síkban)
Módszertani tanácsok A feladatlapok oldalszéli ikonjain munkaformaként az egyéni munkát jelöltük meg, de ha nem összefoglalásként, ismétlésként tűzzük ki a feladatokat, akkor a frontális munkaszervezés, a megoldások közös megbeszélése lehet a célravezető.
Fejlesztő matematika (5–12. évf.)
1
SZÁMTAN, ALGEBRA
D 1.5
Síkbeli és térbeli alakzatok
Nagyon fontos, hogy a gyerekek rendszerezni tudják a megszerzett ismereteket, és a definíciók, szabályszerűségek vizuális formában is rögzüljenek a fejükben. Ezért teremtsük meg a lehetőségét annak, hogy minél több alkalommal rajzolhassák le a különböző alakzatokat, geometriai szituációkat! Ügyeljünk arra, hogy ne mindig azonos helyzetben álljanak a speciális alakzatok! (Például a szabályos háromszögnek ne legyen minden ábrázolásakor a papírlap szélével párhuzamos oldala!)
Megoldások, megjegyzések 1. A legegyszerűbb sokszög 1.
2. Minden háromszögben a belső szögek összege 180°. 3. 6 különböző háromszög fedezhető fel az ábrán.
2. Háromszögtípusok 1. egyenlő szárú háromszög egyenlő oldalú háromszög derékszögű háromszög hegyesszögű háromszög tompaszögű háromszög
2
1. X X
2. X
3. X
4.
5.
X
X
X
X X
Fejlesztő matematika (5–12. évf.)
6.
X
SZÁMTAN, ALGEBRA Síkbeli és térbeli alakzatok
D 1.5
Az 5. számú háromszögnek nincsenek egyenlő hosszú oldalai, az egy általános háromszög. 2. a) egyenlő szárú háromszög, egyenlő oldalú háromszög, általános háromszög b) hegyesszögű háromszög, derékszögű háromszög, tompaszögű háromszög 3. A – hamis B – igaz C – igaz D – hamis E – hamis F – igaz G – igaz H – hamis 3. Tulajdonsággyűjtő a) Ez egy szabályos háromszög. Jellegzetes tulajdonságai: mindhárom oldala egyenlő, mindhárom szöge egyenlő. b) Ez egy egyenlő szárú háromszög. Jellegzetes tulajdonságai: két oldala (szára) egyenlő hosszú, az alapon fekvő két szöge egyenlő nagyságú. c) Ez egy derékszögű, egyenlő szárú háromszög. Jellegzetes tulajdonságai: az egyik szöge derékszög, másik két szöge egyenlő (mindkettő 45c -os), a derékszögű csúcsban találkozó két oldala (befogók) egyenlő hosszú. d) Ez egy derékszögű háromszög. Jellegzetes tulajdonságai: van egy derékszöge. e) Ez egy általános tompaszögű háromszög. Jellegzetes tulajdonságai: van egy 90c-nál nagyobb szöge, szögei különböző nagyságúak, oldalai különböző hosszúságúak. f) Ez egy általános hegyesszögű háromszög. Jellegzetes tulajdonságai: minden szöge 90c-nál kisebb, szögei különböző nagyságúak, oldalai különböző hosszúságúak. 4. Milyen ez a háromszög? 1. a) Ez egy egyenlő oldalú (szabályos) háromszög. b) Ez egy egyenlő szárú háromszög. c) Ez egy tompaszögű háromszög. d) Ez egy derékszögű háromszög. e) Ez egy egyenlő szárú háromszög. f) Ez egy általános hegyesszögű háromszög. Fontos megjegyeznünk, hogy az a)–e) esetekben az adatok nem határozzák meg egyértelműen magát a háromszöget. Fejlesztő matematika (5–12. évf.)
3
SZÁMTAN, ALGEBRA Síkbeli és térbeli alakzatok
D 1.5
Előfordulhat tehát, hogy minden gyerek helyes ábrát készített, még ha azok nem is egybevágók. Az f) feladatnál a három oldal egyértelműen meghatározza a háromszöget. 2. a) Két egybevágó, egyenlő szárú, derékszögű háromszöget kapunk. b) A hosszabbik átlót behúzva két egybevágó, tompaszögű, egyenlő szárú háromszöget, a rövidebbik átlót behúzva két egybevágó hegyesszögű, egyenlő szárú háromszöget kapunk. c) Két egybevágó általános háromszöget kapunk. A rövidebbik átlót behúzva ezek hegyesszögűek, a hosszabbik átlót behúzva tompaszögűek. d) Egy általános hegyesszögű és egy általános tompaszögű háromszöget kapunk. 3.
4
Fejlesztő matematika (5–12. évf.)
SZÁMTAN, ALGEBRA Síkbeli és térbeli alakzatok
Emlékezet
D 1.5
1. A legegyszerűbb sokszög 1. Emlékszel, milyen jelöléseket használunk egy háromszögben? Jelöld az ábrán • • • • •
11–14. év
a hiányzó csúcsokat (A; C), az oldalakat (a, b, c), a szögeket (, , ) , a magasságokat (ma, mb, mc)!
A háromszög oldalaira olykor más kifejezést is használunk. Ha egy háromszögnek valamilyen okból kiválasztjuk egy oldalát (például mert a papíron vízszintes helyzetű), akkor azt gyakran alapnak hívjuk, míg a másik két oldalt szárnak. 2. A háromszög szögei között fontos törvényszerűség fedezhető fel. Emlékszel rá? Ha nem, az alábbi ábrát megvizsgálva biztosan eszedbe jut.
Minden háromszögben a belső szögek összege ................. Fejlesztő matematika (5–12. évf.)
5
SZÁMTAN, ALGEBRA Síkbeli és térbeli alakzatok
11–14. év
Emlékezet
D 1.5
3. Jóska bácsi évtizedek óta készít intarziákat szekrényajtókra, ágytámlákra. Egy szekrényajtóra a következő mintát készítette.
Hányféle különböző háromszöget látsz ezen a bútorlapon? Színezd azonos színnel az egybevágó (egyforma) háromszögeket! Mindegyik típusból iderajzoltunk egyet. Színezd ezeket is a megfelelő színnel!
6
Fejlesztő matematika (5–12. évf.)
SZÁMTAN, ALGEBRA Rendszerezés
Síkbeli és térbeli alakzatok
D 1.5
2. Háromszögtípusok 1. Jelöld a táblázatban, hogy a következő háromszögek milyen tulajdonságúak! 11–14. év
1.
2.
3.
4.
5.
6.
egyenlő szárú háromszög egyenlő oldalú háromszög derékszögű háromszög hegyesszögű háromszög tompaszögű háromszög
Van olyan háromszög a fentiek között, amelyiknek nincsenek egyenlő hosszú oldalai? Melyik az? .............. Jegyezd meg a következőket: • Az olyan háromszöget, amelynek minden oldala különböző hosszúságú és derékszöge sincsen, általános háromszögnek hívjuk. (Egy általános háromszög szögei között sincsenek egyenlők.) • Az egyenlő oldalú háromszöget szabályos háromszögnek is nevezzük.
Fejlesztő matematika (5–12. évf.)
7
SZÁMTAN, ALGEBRA
D 1.5
Rendszerezés
Síkbeli és térbeli alakzatok
2. Foglald össze, hogy a háromszögeket milyen családokba sorolhatjuk… 11–14. év
a) …oldalhosszúságaik alapján:
b) …legnagyobb szögük alapján:
...................................................... ...................................................... ...................................................... ...................................................... ...................................................... ......................................................
3. Döntsd el az alábbi állításokról, hogy igazak-e! I H A Egy háromszögben bármelyik két szög összege nagyobb a harmadiknál. B Egy háromszögben bármely két oldal hosszának összege nagyobb a harmadik oldal hosszánál. C A hegyesszögű háromszög minden belső szöge hegyesszög. D A tompaszögű háromszög minden belső szöge tompaszög. E A derékszögű háromszög belső szögei között tompaszöget is találhatunk. F Az egyenlő szárú háromszög tengelyesen tükrös (szimmetrikus). G Az egyenlő szárú háromszög tompaszögű is lehet. H A szabályos háromszög tompaszögű is lehet.
8
Fejlesztő matematika (5–12. évf.)
SZÁMTAN, ALGEBRA Rendszerezés
Síkbeli és térbeli alakzatok
D 1.5
3. Tulajdonsággyűjtő Állapítsd meg, milyen háromszögek ezek. Gyűjtsd össze a rájuk jellemző speciális tulajdonságokat! a)
Ez egy ................................................ ...............................................................
Jellegzetes tulajdonságai: ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ b)
Ez egy ................................................ ...............................................................
Jellegzetes tulajdonságai: ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ c)
Ez egy ................................................ ...............................................................
Jellegzetes tulajdonságai: ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ Fejlesztő matematika (5–12. évf.)
9
11–14. év
SZÁMTAN, ALGEBRA Rendszerezés
Síkbeli és térbeli alakzatok
d)
D 1.5
Ez egy ................................................ ...............................................................
11–14. év
Jellegzetes tulajdonságai: ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ e)
Ez egy ................................................ ...............................................................
Jellegzetes tulajdonságai: ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ f)
Ez egy ................................................ ...............................................................
Jellegzetes tulajdonságai: ........................................................................................................................ ........................................................................................................................
10
Fejlesztő matematika (5–12. évf.)
SZÁMTAN, ALGEBRA Síkbeli és térbeli alakzatok
Összefüggések meglátása
D 1.5
4. Milyen ez a háromszög? 1. Ha már jól tudod, hogy a háromszögeknek milyen fajtái vannak, akkor néhány adatból kitalálhatod, milyen háromszögről van szó. Próbálj az adatok alapján válaszolni! Ellenőrzésképpen készíts vázlatábrát is! a) = = = 60c
Vázlatrajz:
Ez egy ................................. ..............................................
b) a = b = 4 cm
Vázlatrajz:
Ez egy ................................. ..............................................
c) = 110c
Vázlatrajz:
Ez egy ................................. ..............................................
Fejlesztő matematika (5–12. évf.)
11
11–14. év
SZÁMTAN, ALGEBRA Síkbeli és térbeli alakzatok
d) = 90c, = 65c
Összefüggések meglátása
D 1.5
Vázlatrajz:
Ez egy .................................
11–14. év
..............................................
e) = 75c, = 75c
Vázlatrajz:
Ez egy ................................. ..............................................
f) a = 7 cm, b = 4 cm, c = 5 cm
Vázlatrajz:
Ez egy ................................. ..............................................
2. Rajzold be az alábbi négyszögek egyik átlóját, majd határozd meg, milyen háromszögek keletkeznek így!
12
Fejlesztő matematika (5–12. évf.)
SZÁMTAN, ALGEBRA Összefüggések meglátása
Síkbeli és térbeli alakzatok
D 1.5
3. Ábrázold a derékszögű koordináta-rendszerben az alábbi, csúcsaival megadott háromszögeket! Mérd meg a szögeiket, és állapítsd meg, milyenfajta háromszögek ezek! Rajzold be a magasságaikat! a)
A(4,5; 5,5)
b) A(0,5; 4) c)
A(9,5; 3,5)
d) A(3; 7,5)
B(3; 1)
C(6; 0)
B(2,5; 0,5)
C(2,5; 5)
B(7,5; 7)
C(5,5; 3,5)
B(8; 9,5)
C(1; 7,5)
Fejlesztő matematika (5–12. évf.)
13
11–14. év
SZÁMTAN, ALGEBRA Síkbeli és térbeli alakzatok
Az Ön jegyzetei, kérdései*:
* Kérdéseit juttassa el a RAABE Kiadóhoz! 14
Fejlesztő matematika (5–12. évf.)
D 1.5
