ÖSSZEFÜGGÉSEK, FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK Sorozatok
C 3.3
Számalakzatok Sorozatok 3. feladatcsomag Életkor:
13–18 év
Fogalmak, eljárások:
• • • •
négyzetszámok háromszögszámok teljes indukció különbségi sorozatok
Az ókori görögök szívesen játszottak a pozitív egész számokkal, gyakran jelenítették meg azokat kavicsokkal kirakott geometriai alakzatokkal. Ezeknek a „játszadozásoknak” sokat köszönhet a matematika tudománya. Az ókori görög matematikusok számelméleti eredményei mai is alapul szolgálnak jelentős matematikai alkalmazásoknak.
A feladatok listája 1. Négyzetszámok (kreativitás, fantázia, bizonyítási igény) 2. Háromszögszámok (kreativitás, fantázia, bizonyítási igény, térszemlélet) 3. Középponti sokszögszámok (kreativitás, fantázia, bizonyítási igény, térszemlélet)
Módszertani tanácsok A játék a számokkal mindig érdekes lehet a gyerekeknek, segíthet a matematika iránti érdeklődés felkeltésében. A feladatok megmozgathatják a gyerekek fantáziáját, elmondhatják egyéni ötleteiket. Lehetőleg csináljuk meg a kavicsmodelleket, használjunk nagyjából egyforma kavicsokat vagy golyókat, társasjátékkészletekben található, kavicsokat helyettesítő
Fejlesztő matematika (5–12. évf.)
1
ÖSSZEFÜGGÉSEK, FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK Sorozatok
C 3.3
eszközöket, esetleg régi pénzérméket. A konkrét tevékenység tapasztalatai segítenek a sejtések megfogalmazásához, a térszemlélet fejlesztéséhez. Fontos, hogy a gyerekek belássák, néhány esetből még nem következik a sejtés igazsága tetszőleges számra. A konkrét konstrukciók ötleteket adnak az általános eset bizonyításához is. A sorozatok iskolai témakörét történeti érdekességekkel is kiegészítheti ez a feladatcsomag.
Megoldások, megjegyzések 1. Négyzetszámok 1.
1 1
22 1+3
32 1+3+5
42 1+3+5+7
52 1+3+5+7+9
62 72 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 A sejtés az lehet, hogy az n2-et szimbolizáló alakzatból a következő négyzetszám, az (n + 1)2 úgy keletkezik, hogy a megfelelő páratlan számú pöttyel egészítjük ki. Például a 4-szer 4-eshez jobbról teszünk 4-et, alulra is négyet, de még kell a sarokba is, tehát 4 + 4 + 1 = 9 kavics kell, hogy 2
Fejlesztő matematika (5–12. évf.)
ÖSSZEFÜGGÉSEK, FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK Sorozatok
C 3.3
megkapjuk az 5-ször 5-ös négyzetet. A 9 az 1-től számítva éppen az 5. páratlan szám. Ha az n-edik négyzetből indulunk ki, akkor ugyanígy gondolkodva n + n + 1 = 2n + 1-et kell hozzáadni, hogy megkapjuk az (n + 1)-ediket. Valóban: (n + 1)2 = n2 + 2n + 1 az n tetszőleges pozitív egész értékére. Ezzel egyenértékű az az észrevétel is, hogy a négyzetszámok különbségsorozata a páratlan számok sorozata. 2. 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2 Az előző kavicsos gondolatmenet alapján adódik a teljes indukciós bizonyítás az n tetszőleges pozitív egész értékére. 1 = 12 Ha 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2, akkor 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2. Megjegyzés: Péter Rózsa (1905–1977) matematikaprofesszor az ELTE Természettudományi Karán halmazelmélet és matematikai logika témában tartott előadást matematikatanár-jelölteknek. Azt ajánlotta a leendő tanároknak, hogy ezzel a példával vezessék be az iskolában a teljes indukciós bizonyítási módszert. Hiszen a fenti kavicsos konstrukcióból kézzel bemutatható a lényeg: a négyzetszámok sorozatában (1gyel kezdve) öröklődik az a tulajdonság, hogy a megfelelő páratlan szám hozzáadásával nyerjük bármelyik négyzetszámból a rákövetkezőt. 2. Háromszögszámok 1. Eléggé ismert, hogy az n-edik háromszögszám (azaz az első n darab pozitív egész összege), ha n tetszőleges pozitív egész szám: n $ ^ n + 1h 2 (Itt utalhatunk a „kis Gauss”-legendára is.) 2. Sejthetjük, hogy két egymást követő háromszögszám öszszege négyzetszám. ^ n – 1 h $ n n $ ^ n + 1 h n $ ^ n – 1 + n + 1 h n $ 2n 2 = = =n + 2 2 2 2 Fejlesztő matematika (5–12. évf.)
3
ÖSSZEFÜGGÉSEK, FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK Sorozatok
C 3.3
3. Az egyes sorokban levő számok összege 1, 4, 9, ..., éppen a négyzetszámok sorozatát kapjuk. Ennek belátásához alkalmazzunk kavicsmodellt! Vizsgáljuk meg először a 2. sort: Négyzetalakba szétrakjuk a középső két kavicsot: A 3. sor esetében: Ebből:
Az n-edik sorában írt számok összege, ha n tetszőleges pozitív egész szám: 1 + 2 + 3 + … + n + (n – 1) + (n – 2) + … + 2 + 1 = n $ ^ n + 1h ^ n – 1h $ n 2 + = =n 2 2 Észrevehetjük, hogy ezt igazoltuk az előző feladatban is. 3. Középponti sokszögszámok 1. A megoldást néhány további alakzat pontjainak konkrét összeszámolásával kezdhetjük. Növelhetünk úgy, hogy a sarkoktól indulva az előző alakzathoz viszonyítva oldalanként eggyel több kavicsot teszünk ki, tehát a második ábrát 4-szer 2-vel, a harmadik ábrát 4-szer 3-mal egészítjük ki. Így a következő alakzatban már 4-szer 4-gyel lesz több, vagyis 41 következik. Az általánosításhoz érdemes a különbségsorozatok segítségével gondolkodni: 1 5 13 25 41 61 4 8 12 16 20 4 4 4 4 Az első egy darab kavicsból álló alakzatot tekintsük 0 oldalú négyzetnek! Az n pozitív egész egységnyi oldalú négyzetben a kavicsok száma: n $ ^ n + 1h 2 1+4+2$4+3$4+f+n$4 = 1+4$ = 2n + 2n + 1 2
4
Fejlesztő matematika (5–12. évf.)
ÖSSZEFÜGGÉSEK, FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK Sorozatok
C 3.3
2. A következőhöz a központból nagyítva valamelyik saroktól kezdve oldalanként eggyel több kavicsot rakunk le, tehát 6-szor 4-gyel, azaz 24-gyel növelünk, keletkezik 61. Képezzük a különbségsorozatokat: 1 7 19 37 61 91 6 12 18 24 30 6 6 6 6 Tetszőleges n pozitív egységnyi oldalú hatszög kirakásához: n $ ^ n + 1h 2 1+6$ = 1 + 3n $ ^n + 1h = 3n + 3n + 1 2 3. Az előbbiek általánosításával könnyen eljuthatunk oda, hogy tetszőleges n pozitív egységnyi oldalú középponti k-szögszám: n $ ^ n + 1h 2 k$ +1 = k $n + k $n+1 2 2 2 4.
1 8 27 64 Szisztematikus összeszámolással megállapíthatjuk, hogy a 0, 1, 2, 3, …, n oldalú szabályos hatszög-alakzat sorozatunkban a számok összege 1, 8, 27, 64, …, (n + 1)3
Fejlesztő matematika (5–12. évf.)
5
ÖSSZEFÜGGÉSEK, FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK Sorozatok
C 3.3
Talán érdekesebb geometriai indoklást is találhatunk: Térbeli kavicsmodellünket széthúzhatjuk úgy, hogy a kavicsok egy rácskocka egy-egy rácspontjába kerüljenek. Ha ezt a kockát az egyik testátlójára merőleges síkba vetítjük, akkor a rácspontok vetületei egy központi szabályos hatszögszám-alakzat pontjait alkotják, és minden pontba épp annyi rácspont vetülete esik, amennyi a kiindulásul vett alakzat pontjaiban írt szám. Az n-edik hatszögalakzatban a számok összege tehát megegyezik az n egységnyi oldalú rácskockában található rácspontok számával. Az pedig: (n + 1)3.
A sorozat második eleme kockarácsban:
A sorozat harmadik eleme kockarácsban:
A témával kapcsolatban további feladatok találhatók: Pálfalvi Józsefné: Barátkozzunk a számokkal! Typotex Kft., Budapest, 1993.
6
Fejlesztő matematika (5–12. évf.)
ÖSSZEFÜGGÉSEK, FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK Találékonyság
Sorozatok
C 3.3
1. Négyzetszámok Azok a görög kavicsok… Az ókori görögök szívesen játszottak a pozitív egész számokkal, gyakran jelenítették meg azokat kavicsokkal kirakott geometriai alakzatokkal. Ezeknek a „játszadozásoknak” sokat köszönhet a matematika tudománya. Az ókori görög matematikusok számelméleti eredményei mai is alapul szolgálnak jelentős matematikai alkalmazásoknak. Az egyik legismertebb számalakzat a négyzetszámok megjelenítése. A következő kavicsmodellek segítségével többféle módon újra és újra eljuthatunk a négyzetszámokhoz. Építsük fel egymás után az első néhány négyzetszámnak megfelelő kavicsalakzatot az alábbi ábrák segítségével.
1. Milyen sejtést fogalmazhatunk meg a látottak alapján? Hogyan keletkezhet az n2-et szimbolizáló alakzatból a következő négyzetszám, az (n + 1)2? Igaz-e a sejtésünk az n tetszőleges pozitív egész értékére? 2. Mivel egyenlő a következő összeg az n tetszőleges pozitív egész értékére? 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)
Fejlesztő matematika (5–12. évf.)
7
13–18. év
ÖSSZEFÜGGÉSEK, FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK Találékonyság
Sorozatok
C 3.3
2. Háromszögszámok Kedvelt kavicsmodell az úgynevezett háromszögszámok megjelenítése: 13–18. év
1. Határozzuk meg az n-edik háromszögszámot, ha n tetszőleges pozitív egész szám. (Kezdjük 1-gyel!) 2. Két háromszögszámból könnyen kirakhatunk egy négyzetszámot, például így:
Próbáljuk folytatni! Milyen szabályszerűséget sejthetünk ennek alapján? Sejtésünket igazoljuk n tetszőleges pozitív egész számra!
8
Fejlesztő matematika (5–12. évf.)
ÖSSZEFÜGGÉSEK, FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK Találékonyság
Sorozatok
C 3.3
3. Vizsgáljuk a következő kirakásokat!
1 1 2 1 2 3 · · · ·
1 2 3 4 ·
1 2 3 4 5 ·
1 2 3 4 5 6 ·
1 2 3 4 5 6 7 ·
1 2 3 4 5 6 7 8 ·
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ·
1 1 2 1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6 5 6 7 6 7 8 7 8 9 8 9 10 9 10 11 10 · · ·
13–18. év
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ·
1 2 3 4 5 6 7 8 ·
1 2 3 4 5 6 7 ·
1 2 3 4 5 6 ·
1 2 3 4 5 ·
1 2 3 4 ·
1 2 1 3 2 1 · · · ·
Adjuk össze az egyes sorokban levő számokat! Mit tapasztalunk? Készítsük el a számalakzatunk kavicsodelljét, úgy, hogy az egyes számok által kijelölt mezőre annyi kavicsot építünk, amennyi az ott álló szám értéke. Az egymásra helyezett kavicsok ügyes síkba terítésével szemléltethetjük sejtésünk igazságát. Állapítsuk meg a fenti számalakzat n-edik sorában írt számok összegét, ha n tetszőleges pozitív egész szám.
Fejlesztő matematika (5–12. évf.)
9
ÖSSZEFÜGGÉSEK, FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK Találékonyság
Sorozatok
C 3.3
3. Középponti sokszögszámok
13–18. év
1. Ezeket a középponti négyzeteket a kezdő pontból mint a négyzetek középpontjából nagyítva nyerjük, 0, 1, 2, 3, … egységnyi hosszúságú oldalakkal.
a) Állapítsuk meg, hány kavics kell a következő négyzet kirakásához! b) Állapítsuk meg, hány kavics kell a tetszőleges n egységnyi oldalú négyzet kirakásához! 2. Középponti hatszögszámok
a) Állapítsuk meg, hány kavics kell a következő hatszög kirakásához! b) Állapítsuk meg, hány kavics kell a tetszőleges n egységnyi oldalú hatszög kirakásához!
10
Fejlesztő matematika (5–12. évf.)
ÖSSZEFÜGGÉSEK, FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK Találékonyság
Sorozatok
C 3.3
3. Adjunk meg további központi sokszögszámokat, készítsük el kavicsmodelljeiket! Határozzuk meg például a központi nyolcszögszámot! 4. A középponti hatszögszámok kavicsmodelljében a kavicsok helyére számokat írtunk, kívülről befelé haladva növekedve az ábra szerint. a) Határozzuk meg az így kapott alakzatsorozat első néhány tagjában a számok összegét! b) Készítsünk térbeli kavicsmodellt! c) Állapítsuk meg a sorozat n-edik elemében a számok öszszegét!
Fejlesztő matematika (5–12. évf.)
11
13–18. év
ÖSSZEFÜGGÉSEK, FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK Sorozatok
Az Ön jegyzetei, kérdései*:
* Kérdéseit juttassa el a RAABE Kiadóhoz! 12
Fejlesztő matematika (5–12. évf.)
C 3.3
