1. Sorozatok

2014.03.12.

1. Sorozatok Azokat a függvényeket, amelyek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza ( jelölése N ), a képhalmaz a valós számok halmaza, sorozatnak nevezzük. Az a függvény n ∊ N helyen vett helyettesítési értékét a sorozat nedik elemének nevezzük és a(n) = an-nel jelöljük. A sorozat megadható Képlettel: Rekurziós formulával: Felsorolással: Gazdasági Matematika

1

Monoton sorozatok Az {an}n∊N sorozatot (szigorúan) monoton csökkenőnek nevezzük, ha minden n ∊ N esetén an ≤ an-1 ( an < an-1 ). Az {an}n∊N sorozatot (szigorúan) monoton növekvőnek nevezzük, ha minden n ∊ N esetén an ≥ an-1 ( an > an-1 ). Azokat az {an}n∊N sorozatokat, amelyek minden n ∊ N esetén vagy monoton nőnek vagy monoton csökkennnek, monoton sorozatnak nevezzük.

Gazdasági Matematika

2

1

2014.03.12.

Korlátos sorozatok Az {an}n∊N sorozatot felülről korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan K ∊ R, hogy minden n ∊ N esetén an ≤ K. Az {an}n∊N sorozatot alulról korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan k ∊ R, hogy minden n ∊ N esetén an ≥ k. Az {an}n∊N sorozatot korlátosnak nevezzük, ha alulról is és felülről is korlátos.


3

Konvergens és divergens sorozatok Az {an}n∊N sorozatnak létezik az A véges határértéke, ha minden ε > 0 számhoz létezik olyan n0(ε) ∊ N küszöbszám (küszöbindex), amelyre igaz, hogy ha n > n0 , akkor | an – A | < ε. Jelölése lim ({an}n∊N ) = A Ha az {an}n∊N sorozatnak létezik az A véges határértéke, akkor a sorozatot konvergensnek nevezzük, egyébként a sorozat divergens.

Ha lim ({an}n∊N ) = 0 , akkor a sorozatot zérussorozatnak nevezzük.


4

2

2014.03.12.

Tétel (”Rendőr elv”): Legyenek adottak az {an}n∊N, {bn}n∊N, {cn}n∊N sorozatok, és legyen {an}n∊N és {bn}n∊N konvergens. Ha lim {an}n∊N = lim {bn}n∊N = A és minden n >N0-ra teljesül, hogy an ≤ cn ≤ bn, akkor a {cn}n∊N sorozat is konvergens, és lim ({cn}n∊N ) = A.


5

Sorozatokra vonatkozó tételek Tétel : Ha az {an}n∊N sorozat konvergens, akkor csak egy határértéke van, azaz a határérték egyértelmű. (Unicitás). Tétel : Ha az {an}n∊N sorozat konvergens, akkor korlátos. A korlátosság szükséges, de nem elégséges feltétel. (Tekintsük a {(-1)n}n∊N sorozatot. Tétel: Ha az {an}n∊N sorozat monoton növekvő (csökkenő) és felülről (alulról) korlátos, akkor konvergens. A feltétel csak elégséges, de nem szükséges, mert a konvergenciából nem következik a monotonitás. pl.


6

3

2014.03.12.

Műveletek véges határértékű sorozatokkal Tétel: Legyen az {an}n∊N sorozat konvergens és c tetszőleges valós szám. Ekkor a c{an}n∊N = {can}n∊N sorozat is konvergens, és lim {can}n∊N = c lim {an}n∊N . Tétel: Legyen lim {an}n∊N = A és lim {bn}n∊N = B, (azaz mindkét sorozat konvergens). Ekkor igazak a következő állítások: lim ({an + bn}n∊N ) = lim {an}n∊N + lim {bn}n∊N = A + B. lim ({an – bn}n∊N ) = lim {an}n∊N – lim {bn}n∊N = A – B. lim ({an · bn}n∊N ) = lim {an}n∊N · lim {bn}n∊N = A · B. Amennyiben véges sok elemtől eltekintve bn ≠ 0 és B ≠ 0, akkor


7

Végtelen határértékű sorozatok Az {an}n∊N sorozatnak tágabb értelemben vett határértéke +∞, ha minden P ∊ R számhoz létezik olyan N0 ∊ N küszöbszám, amelyre igaz, hogy ha n > N0 , akkor an > P. Jelölése lim ({an}n∊N ) = + ∞. Az {an}n∊N sorozatnak tágabb értelemben vett határértéke –∞, ha minden P ∊ R számhoz létezik olyan N0 ∊ N küszöbszám, amelyre igaz, hogy ha n > N0 , akkor an < P. Jelölése lim ({an}n∊N ) = – ∞.


8

4

2014.03.12.

Műveletek végtelen határértékű sorozatokkal Tétel: Legyen az {an}n∊N sorozat határértéke +∞. Ekkor

Tétel: Legyen az {an}n∊N sorozat konvergens, és lim {an}n∊N = A ≠ 0. Legyen továbbá lim {bn}n∊N = +∞. Ekkor

Tétel: Legyen az {an}n∊N és {bn}n∊N sorozat konvergens úgy, hogy lim {an}n∊N = A és lim {bn}n∊N = 0 és bn > 0 minden n ∊ N-re . Ekkor


9

Tétel: Legyen az {an}n∊N sorozat korlátos, és lim {bn}n∊N = +∞. Ekkor

Tétel: Legyen az {an}n∊N és {bn}n∊N két olyan sorozat, amelyre teljesül, hogy létezik olyan k > N, hogy ha n > k , akkor an ≤ bn. Ekkor: ha lim {an}n∊N = +∞, akkor lim {bn}n∊N = +∞. ha lim {bn}n∊N = –∞, akkor lim {an}n∊N = –∞.


10

5

2014.03.12.

Nevezetes sorozatok I.

Tétel: Az

sorozat konvergens, és

Tétel: Legyen c tetszőleges valós szám. Ekkor


11

Nevezetes sorozatok II. Tétel: Az

sorozat konvergens, és

Tétel: Tetszőleges k valós szám esetén

Tétel: Tétel:

Tétel:Tetszőleges a valós szám esetén Gazdasági Matematika

12

6

2014.03.12.

Példa: Határozzuk meg az

sorozat határértékét, és adjuk

meg az ε = 10-4 –hez tartozó küszöbindexet!

Alakítsuk át an-t a következőképpen:

Használjuk az előző tételeket:


13

A második rész kiszámításához használjuk fel, hogy

Helyettesítsünk be a határérték definíciójába:

Tudjuk, hogy n ∊ N, ezért

, ezért az egyenlőtlenség:

Amiből kapjuk, hogy N0 = 5000.


14

7

2014.03.12.

Példa: Határozzuk meg az

sorozat határértékét!

Alakítsák át an-t a következőképpen:

Amiből adódik, hogy


15

Tétel (Cauchy-féle konvergencia kritérium): Az {an}n∊N sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha bármely ε > 0 –hoz megadható olyan N(ε) küszöbszám, hogy ha n, m > N, akkor |an – am| < ε. A tétel jelentése: a sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha elég nagy indextől kezdve az elemei tetszőlegesen keveset térnek el egymástól. Biz.????


16

8

2014.03.12.

Megjegyzés: Ha a sorozat polinomok hányadosa, akkor a nevező ill. a számláló fokszámától függően három esetet különböztetünk meg: Ha a számláló fokszáma nagyobb, mint a nevező fokszáma, akkor a határérték vagy +∞ vagy –∞, a legmagasabb fokú tagok együtthatóinak előjelétől függően. Ha a számláló fokszáma megegyezik a nevező fokszámával, akkor a határérték a legmagasabb fokú tagok együtthatóinak hányadosával egyenlő. Ha a számláló fokszáma kisebb, mint a nevező fokszáma, akkor a határérték 0.


17

Fogalmak Két halmaz egyértelmű hozzárendelését függvénynek nevezzük.

A:

B: x

y = f(x) y

képhalmaz

értelmezési tartomány Gazdasági Matematika

18

9

2014.03.12.

Az A halmaz valamely eleméhez rendelt B halmazbeli elemet függvényértéknek nevezzük és f(a)-val jelöljük, ahol a ∊ A. A függvényértékek halmazát értékkészletnek nevezzük. A függvény értelmezési tartományát Df-fel, az értékkészletét pedig Rf-fel jelöljük. A fentiekből következik, hogy Rf ⊆ B. Egy függvényt akkor tekintünk adottnak, ha adott az értelmezési tartomány és a hozzárendelési utasítás: f(x), x ∊ A. f(x) = x, g(x) = x+3, h(x) = x2 – 1, Gazdasági Matematika

x ∊ N. x ∊ R. x ∊ R. 19

Az f és g függvényt akkor mondjuk egyenlőknek, ha Df = Dg és minden x∊Df esetén f(x) = g(x). Azonos-e a két kifejezés?

Df = R és Dg = R \ {0}


20

10

2014.03.12.

Ha az f függvény értelmezési tartománya is és értékkészlete is a valós számok halmazának részhalmaza, akkor valós-valós függvényről vagy egyváltozós valós függvényről beszélünk. Az egyváltozós valós függvény grafikonján az (x;f(x)) koordinátájú pontok halmazát értjük a Descartes-féle koordináta rendszerben, ahol x∊Df.


21

Intervallumok Legyen a,b∊ ℝ és a < b. Az ezek által meghatározott nyílt intervallumon azt a számhalmazt értjük, amely (a,b) = {x∊ ℝ | a < x < b.} Legyen a,b∊ ℝ és a < b. Az ezek által meghatározott zárt intervallumon azt a számhalmazt értjük, amely [a,b] = {x∊ ℝ | a ≤ x ≤ b.} Legyen a,b∊ ℝ és a < b. Az ezek által meghatározott balról zárt jobbról nyílt intervallumon azt a számhalmazt értjük, amely [a,b) = {x∊ ℝ | a ≤ x < b.} Legyen a,b∊ ℝ és a < b. Az ezek által meghatározott jobbról zárt balról nyílt intervallumon azt a számhalmazt értjük, amely (a,b] = {x∊ ℝ | a < x ≤ b.} Gazdasági Matematika

22

11

2014.03.12.

Intervallumnak nevezzük még az alábbi számhalmazokat is: (-∞,b) = {x∊ ℝ | x < b} (-∞,b] = {x∊ ℝ | x ≤ b} (a, +∞) = {x∊ ℝ | x >a} [a, +∞) = {x∊ ℝ | x ≥ a} (-∞, +∞) = ℝ


23

A környezet és a távolság kapcsolata

Távolság definíciója valós számokra és n dimenzióra kiterjesztve. A távolság tulajdonságai A környezet és a távolság viszonya. Belső pont, határpont. Zárt halmaz, nyílt halmaz.


24

12

2014.03.12.

Az A és B halmazoknak az A × B szimbólummal jelölt Descartes-féle szorzatán az összes olyan rendezett (a,b) párokból álló halmazt értjük, amelyekre a ∊ A és b ∊ B. Jelölése: A × B = { (a,b) | a ∊ A és b ∊ B }. Ha A = B, akkor az A × A helyett az A2 jelölést is használjuk. Ha A, B ⊆ ℝ, akkor rendezett számpárokról beszélünk. Pl. Legyen A = {1, 2, 3} és B = {e, f}

A×B=


25

A táblázat felfogható egy speciális szorzótáblának. A szorzathalmaz elemeinek a számát a két halmaz elemeinek szorzata adja. Tétel: A Descartes-szorzás művelete nem kommutatív. (Nem felcserélhető). A szorzathalmaz kettőnél több halmaz szorzatára is értelmezett, ekkor rendezett hármasok, négyesek, stb. lesznek a szorzathalmaz elemei. Ha az n darab halmaz mindegyike a valós számok halmazával egyenlő, akkor szokás az ℝn jelölést használni. A szorzathalmaz lehetővé teszi matematikai alakzatok konstrukcióját is:


26

13

2014.03.12.

ℕ

ℕ


27

Az a < b valós számok távolságán a számegyenes a és b pontjainak távolságát értjük: A számsík a = (a1, a2) és b = (b1, b2) pontjainak távolságát a értékkel definiáljuk. Az a = (a1, a2 ,…, an) és b = (b1, b2 ,…, bn) pontjainak távolságát a

értékkel definiáljuk.


28

14

2014.03.12.

A fentebb definiált távolság fogalom az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik: • • • •

ρ(a, b) ≥ 0 ρ(a, b) = 0 akkor és csak akkor, ha a = b. ρ(a, b) = ρ(b, a) ρ(a, b) ≤ ρ(a, c) + ρ(c, b)

Valamely x0 ∈ ℝn pontnak δ > 0 sugarú környezetén ℝn azon x pontjainak halmazát értjük, amelyek x0 -tól való távolsága kisebb δnál, azaz


29

Egy x0 hely δ sugarú környezete (másik definíció) Legyen x∊R és δ∊R+. Az x0 hely δ sugarú környezetén az (x0 – δ, x0 + δ) intervallumot értjük és kδ(x0)-al jelöljük. Ha x ∊ (x0 – δ, x0 + δ), akkor |x – x0| < δ. Az x0 hely szigorúbb értelemben vett δ sugarú környezetén az (x0 – δ, x0 + δ) \ {x0} intervallumot értjük és kδ(x0) \ {x0} -al jelöljük. Ha x ∊ (x0 – δ, x0 + δ) \ {x0}, akkor |a – x0| < δ. Az x0 hely baloldali δ sugarú környezetén az (x0 – δ, x0) intervallumot értjük és kδ(x0 – 0)-al jelöljük. Az x0 hely jobboldali δ sugarú környezetén az (x0, x0 + δ) intervallumot értjük és kδ(x0 + 0)-al jelöljük. Gazdasági Matematika

30

15

2014.03.12.

Egy H ⊆ ℝ halmaznak a egy belső pontja, ha a-nak van olyan környezete, amely része H-nak. Egy H ⊆ ℝ halmaznak a egy határpontja, ha a-nak bármely környezetében H-nak is és H komplementerének is van pontja. Ha egy H ⊆ ℝ halmaznak minden pontja belső pont, akkor H-t nyílt halmaznak, ha minden határpontját tartalmazza, akkor zárt halmaznak nevezzük.


31

Függvénytulajdonságok Az f függvény zérus helyének nevezzük azt az értelmezési tartománybeli elemet, ahol a felvett függvényérték zérus, azaz a∊Df , f(a) = 0. Példa: Ábrázoljuk az f(x) = x2 – 4 függvényt a [-3;3] intervallumon és határozzuk meg a zérus helyeit! Az egyenlet gyökei (zérus helyei): x1 = -2 x2 = 2.


32

16

2014.03.12.


33

Függvények paritása Az f függvényt párosnak nevezzük, ha minden x ∊ Df esetén -x ∊ Df és f(-x) = f(x). Példa: Vizsgáljuk meg az f(x) = | x | függvényt párosság szempontjából!

A függvény grafikonja tengelyesen tükrös az f(x) tengelyre. Gazdasági Matematika

34

17

2014.03.12.

Az f függvényt páratlannak nevezzük, ha minden x ∊ Df esetén -x ∊ Df és f(-x) = -f(x). Példa: Vizsgáljuk meg az f(x) = x3 – 4x függvényt párosság szempontjából!

A függvény grafikonja tükrös az origóra.


35

Függvények korlátossága Az f függvényt az értelmezési tartományán – vagy annak valamely A részhalmazán – felülről korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan K ∊ R valós szám, hogy minden a ∊ A esetén f(a) ≤ K. Az f függvényt az értelmezési tartományán – vagy annak valamely A részhalmazán – alulról korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan K ∊ R valós szám, hogy minden a ∊ A esetén f(a) ≥ K. Az f függvényt az értelmezési tartományán – vagy annak valamely A részhalmazán – korlátosnak nevezzük, ha a függvény alulról és felülről is korlátos.


36

18

2014.03.12.

Példa: Vizsgáljuk meg az f(x) = sin x + 2 függvényt korlátosság szempontjából!

A sin x + 2 függvény értékei az [1;3] intervallumba esnek, így a függvény alulról és felülről is korlátos, azaz korlátos. Gazdasági Matematika

37

Függvények monotonitása Az f függvényt az értelmezési tartomány valamely A (A ⊆ Df) részhalmazán monoton növekvőnek nevezzük, ha tetszőleges x1, x2 ∊ A, x1< x2 esetén f(x1) ≤ f(x2). Ha x1< x2 esetén f(x1) < f(x2), akkor függvényt szigorúan monoton növekvőnek nevezzük Az f függvényt az értelmezési tartomány valamely A (A ⊆ Df) részhalmazán monoton csökkenőnek nevezzük, ha tetszőleges x1, x2 ∊ A, x1< x2 esetén f(x1) ≥ f(x2). Ha x1< x2 esetén f(x1) > f(x2), akkor függvényt szigorúan monoton csökkenőnek nevezzük


38

19

2014.03.12.

Példa: Vizsgáljuk meg az f(x) = ex függvényt monotonitás szempontjából!

f(x) = ex

Az egynél nagyobb alapú hatványok esetében ha a kitevőt növeljük, akkor a hatvány értéke is nő Ezért ha x1 < x2, akkor Tehát a függvény szigorúan monoton növekvő.


39

Függvények szélsőértékhelyei Legyen adott az f függvény, és legyen H az értelmezési tartomány valamely részhalmaza (H ⊆ Df). Az x0 ∊ H az f-nek minimumhelye, ha minden x∊ H, (x ≠ x0) esetén f(x) ≥ f(x0). Az x0 ∊ H az f-nek maximumhelye, ha minden x∊ H, (x ≠ x0) esetén f(x) ≤ f(x0). A minimum és maximumhelyeket együttesen szélsőértékhelyeknek nevezzük. Ha x0-nak van olyan K környezete (K⊂Df), hogy minden x∊Df ∩K és x ≠ x0 esetén f(x) ≤ f(x0),(vagy f(x) ≥ f(x0)), akkor x0 a függvénynek lokális szélsőértékhelye. Ha H ≡ Df , akkor x0 a függvénynek abszolút szélsőértékhelye.


40

20

2014.03.12.

Példa: Vizsgáljuk meg az f(x) = (x+3)2-1 függvényt a szélsőértékek szempontjából!

A függvénynek az x = -3 helyen abszolút minimum helye van.


41

Periódikus függvények Az f függvényt periodikusnak nevezzük, ha létezik olyan p > 0 valós és k egész szám, hogy minden x ∊ Df esetén x+kp∊ Df, és f(x+kp) = f(x). A valós p számot periódusnak nevezzük. A trigonometrikus függvények periodikusak. Pl. a sin x függvény periódusa 2π. Példa: Vizsgáljuk meg az f(x) = x – [x] törtrész függvényt periodicitás szempontjából! A függvény periodikus, és a periódusa 1.


42

21

2014.03.12.

Konvex és konkáv függvények

Legyen adott az f függvény és a,b ∊ Df , a < b. Legyen továbbá x1 és x2 az [a;b] intervallum két tetszőleges pontja (a ≤ x1< x2 ≤ b). Legyen e az f(x1) és f(x2) pontokon áthaladó szelő. Az f függvényt az [a;b] intervallumon konvexnek nevezzük, ha bármely olyan x ∊ Df –re, amelyre x1 < x < x2 igaz, hogy f(x) < e(x). Az f függvényt az [a;b] intervallumon konkávnak nevezzük, ha bármely olyan x ∊ Df –re, amelyre x1 < x < x2 igaz, hogy f(x) > e(x). Ha az x0 ∊ Df helynek van olyan jobb és baloldali környezete, hogy a függvény az egyikben konvex, a másikban konkáv, akkor az x0 helyet inflexiós pontnak nevezzük. Gazdasági Matematika

43

Példa: konvex függvény e(x)

x x2 a x1

b f(x) < e(x). f(x)


44

22

2014.03.12.

Példa: inflexiós pont

A függvény a (-∞;0] intervallumon konkáv, a [0,+ ∞) intervallumon konvex, ezért az x0 = 0 pont a függvény inflexiós pontja. Gazdasági Matematika

45

Műveletek függvényekkel Legyen adott az f és g függvény Df és Dg értelmezési tartománnyal, valamint egy c∊ℝ konstans. Tegyük fel, hogy Df ∩ Dg ≠ ∅. Ekkor Az f függvény konstansszorosán azt a cf függvényt értjük, amelyre Dcf = Df , és minden x ∊ Df-re (cf )(x) = c f(x). Két függvény összegén azt az (f+g) függvényt értjük, amelyre Df+g= Df ∩ Dg, és minden x ∊ Df ∩ Dg -re (f+g)(x) = f(x) + g(x). Két függvény szorzatán azt az (fg) függvényt értjük, amelyre Dfg= Df ∩ Dg, és minden x ∊ Df ∩ Dg -re (fg)(x) = f(x) g(x). Két függvény hányadosán azt az

függvényt értjük, amely-

re Df/g= Df ∩ Dg, és minden x ∊ Df ∩ Dg -re Gazdasági Matematika

(x) =

. 46

23

2014.03.12.

Legyen adott az f és a g függvény. Tegyük fel, hogy Df ∩ Rg = A, és A ≠ ∅. Legyen D az a halmaz, amely része g értelmezési tartományának és képe az A halmaz. Tegyük fel, hogy az f függvény az A halmazt az E ⊆ Rf halmazra képezi le. Azt a függvényt, amely a D halmazhoz az E halmazt rendeli (értékkészletként), összetett függvénynek nevezzük és f ° g-vel jelöljük. Az f-t külső, a g-t pedig belső függvénynek nevezzük. (f ° g)(x) = f(g(x)) Rg

Df

Rf f

g

D

E

A Gazdasági Matematika

47

Példa: Határozzuk meg azt a legbővebb halmazt, amelyen az f(x) = lg (x2 – 1) függvény értelmezhető. A külső függvény a logaritmus függvény, a belső függvény a hatványfüggvény. A belső függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza. Mivel a logaritmus függvény értelmezési tartomány a pozitív valós számok halmaza, ezért a x2 – 1 > 0 –nak kell teljesülni. Ezért x > 1 vagy x < -1. Ezért az f összetett függvény értelmezési tartománya Df = R \ [-1; 1].


48

24

2014.03.12.

Inverz függvény Legyen az f függvény külcsönösen egyértelmű (x1, x2 ∊ Df , x1 ≠ x2 akkor f(x1) ≠ f(x2) ). Azt a függvényt, amely az f függvény értékkészletén (Rf) van értelmezve, és az y ∊ Rf elemhez azt az egyetlen x ∊ Df elemet rendeli, amelyre f(x) = y, az f függvény inverzének nevezzük és f -1 – gyel jelöljük: f -1(y) = x Megjegyzések: Az értelmezési tartomány és az értékkészlet inverz képzésnél megcserélődik. ( f -1)-1=f. Egy függvény és inverzének grafikonja tükrös az y = x egyenesre. Ha Df = Rf , akkor f º f -1 = f -1 º f. Ha egy függvény szigorúan monoton, akkor van inverze. (Ez elegendő de nem szükséges feltétel!) Gazdasági Matematika

49

Példa 1: Adjuk meg az f(x) = 2x – 3 függvény inverzét! Df = Rf = R. A hozzárrendelés kölcsönösen egyértelmű, tehát létezik az inverz függvény. (Ráadásul a függvény monoton növekvő.) A definíció alapján f -1(y) = x, ezért


.

50

25

2014.03.12.

Példa 2: Adjuk meg az f(x) = ex függvény inverzét! Df = (-∞, ∞), Rf = (0, ∞). A hozzárrendelés kölcsönösen egyértelmű, tehát létezik az inverz függvény. (Ráadásul a függvény monoton növekvő.) A definíció alapján f -1(y) = x, ezért x = log y .

f(x) = ex

f(x) = log(x) Gazdasági Matematika

51

A trigonometrikus függvények inverzei (ciklometrikus függvények)


52

26

2014.03.12.

A hiperbolikus függvények és inverzeik


53

Külső függvénytranszformációk hatása a függvény grafikonjára A külső függvénytranszformációnál mindig a kiszámított függvényértéken hajtunk végre transzformációt. Eredménye mindig az y tengely irányába történő változás. Legyen adott az f függvény grafikonja. Az f+c, c ∊ ℝ függvény grafikonja az f függvény grafikonjának y tengely menti eltolásával nyerhető. Az eltolás nagysága | c |, iránya megegyezik c előjelével. A –f függvény grafikonja az f–nek x tengelyre vonatkozó tükörképe. A cf függvény grafikonja az f-nek y tengely menti nyújtásával (c > 1), vagy zsugorításával (0 < c < 1) kapható. Ha c negatív, akkor alkalmazzuk még az előző pontból adódó tükrözést is. Gazdasági Matematika

54

27

2014.03.12.

Belső függvénytranszformációk hatása a függvény grafikonjára A belső függvénytranszformációnál mindig a független változón hajtunk végre transzformációt. Eredménye mindig az x tengely irányába történő változás. Legyen adott az f függvény grafikonja. Az f(x+a), a ∊ ℝ, a+x ∊ Df függvény grafikonja az f függvény grafikonjának x tengely menti eltolásával nyerhető. Az eltolás nagysága | a |, iránya ellentétes a előjelével. A f (-x) függvény grafikonja az f–nek y tengelyre vonatkozó tükörképe. A f (ax) függvény grafikonja az f-nek x tengely menti zsugorításával (a > 1), vagy nyújtásával (0 < a < 1) kapható. Ha a negatív, akkor alkalmazzuk még az előző pontból adódó tükrözést is. Gazdasági Matematika

55

Példa: Ábrázoljuk az f(x) = -(x-3)2+4 függvényt.

f(x)=x2

f(x)=(x-3)2 f(x)=-(x-3)2+4

f(x)=-(x-3)2 Gazdasági Matematika

56

28

2014.03.12.

Az elemi függvények halmazát alkotják a Konstansfüggvények Hatványfüggvények Exponenciális függvények Trigonometrikus függvények és az ezekből véges számú összeadással, kivonással, szorzással, osztással, összetett- és inverz-függvény képzéssel előállítható függvények.


57

Függvények határértéke Négy esetet különböztetünk meg attól függően, hogy hol vizsgáljuk a határértéket, és az véges vagy végtelen.


58

29

2014.03.12.

Végtelenben vett véges határérték Az f(x) függvénynek +∞-ben a határértéke az A ∊ ℝ szám, ha bármely ε > 0 –hoz létezik olyan K ∊ ℝ küszöbszám, hogy valahányszor x > K és x ∊ Df, akkor | f(x) – A | < ε. Jelölése:

Az f(x) függvénynek -∞-ben a határértéke az A ∊ ℝ szám, ha bármely ε > 0 –hoz létezik olyan K ∊ ℝ küszöbszám, hogy valahányszor x < K és x ∊ Df, akkor | f(x) – A | < ε. Jelölése:


Példa: Ábrázolja az két

59

függvényt, és adja meg a határér-

-ben!

2

A függvény páros, ezért a grafikonja tükrös az y tengelyre. Gazdasági Matematika

60

30

2014.03.12.

Végtelenben vett végtelen határérték Az f(x) függvénynek +∞-ben a határértéke +∞, ha bármely P ∊ ℝ számhoz létezik olyan K ∊ ℝ küszöbszám, hogy valahányszor x > K és x ∊ Df, akkor f(x) > P. Jelölése:

Az f(x) függvénynek +∞-ben a határértéke -∞, ha bármely P ∊ ℝ számhoz létezik olyan K ∊ ℝ küszöbszám, hogy valahányszor x > K és x ∊ Df, akkor f(x) < P. Jelölése:


61

Az f(x) függvénynek -∞-ben a határértéke +∞, ha bármely P ∊ ℝ számhoz létezik olyan K ∊ ℝ küszöbszám, hogy valahányszor x < K és x ∊ Df, akkor f(x) > P. Jelölése:

Az f(x) függvénynek -∞-ben a határértéke -∞, ha bármely P ∊ ℝ számhoz létezik olyan K ∊ ℝ küszöbszám, hogy valahányszor x < K és x ∊ Df, akkor f(x) < P. Jelölése:


62

31

2014.03.12.



-ben!

A függvény páros, ezért a grafikonja tükrös az y tengelyre. Gazdasági Matematika


63


-ben!


64

32

2014.03.12.

Véges helyen vett végtelen határérték Az f(x) függvénynek az x0 ∊ ℝ a határértéke +∞, ha bármely P ∊ ℝ számhoz létezik olyan δ > 0 (δ ∊ ℝ+) valós szám, hogy valahányszor x ∊ kδ(x0)\{x0} és x ∊ Df, akkor f(x) > P. Jelölése:

Az f(x) függvénynek az x0 ∊ ℝ a határértéke -∞, ha bármely P ∊ ℝ számhoz létezik olyan δ > 0 (δ ∊ ℝ+) valós szám, hogy valahányszor x ∊ kδ(x0)\{x0} és x ∊ Df, akkor f(x) < P. Jelölése:


Példa: Ábrázolja az

65


két az x0 = 0 pontban!


66

33

2014.03.12.

Véges helyen vett véges határérték Az f(x) függvénynek az x0 ∊ ℝ a jobboldali határértéke az A ∊ ℝ, ha bármely ε ∊ ℝ+ számhoz létezik olyan δ ∊ ℝ+ valós szám, hogy valahányszor x ∊ kδ(x0+0) ⊆ Df, mindannyiszor | f(x) – A | < ε . Jelölése:

Az f(x) függvénynek az x0 ∊ ℝ a baloldali határértéke az A ∊ ℝ, ha bármely ε ∊ ℝ+ számhoz létezik olyan δ ∊ ℝ+ valós szám, hogy valahányszor x ∊ kδ(x0-0) ⊆ Df, mindannyiszor | f(x) – A | < ε . Jelölése:


67

Tétel: Ha az f függvénynek létezik az x0 ∊ ℝ helyen a baloldali és a jobboldali határértéke, és akkor

Tétel: Ha az f függvénynek létezik az x0 ∊ ℝ helyen határértéke, akkor az egyértelműen meghatározott.


68

34

2014.03.12.

Példa: Ábrázolja az

függvényt, és adja meg

a határértékétaz x0 = 5 pontban!

-5


69

Műveleti tételek Tétel: Legyen az f(x) függvénynek a +∞-ben a határértéke az A ∊ ℝ és legyen c ∊ ℝ tetszőleges. Ekkor létezik a cf függvénynek is a határértéke, és

Tétel: Legyen az f(x) függvénynek a +∞-ben a határértéke az A ∊ ℝ és a g(x) függvénynek a +∞-ben a határértéke a B ∊ ℝ. Ekkor létezik az f ± g függvénynek is a határértéke, és


70

35

2014.03.12.

Tétel: Legyen az f(x) függvénynek a +∞-ben a határértéke az A ∊ ℝ és a g(x) függvénynek a +∞-ben a határértéke a B ∊ ℝ. Ekkor létezik az fg függvénynek is a határértéke, és

Tétel: Legyen az f(x) függvénynek a +∞-ben a határértéke az A ∊ ℝ és a g(x) függvénynek a +∞-ben a határértéke a B ∊ ℝ, ahol B ≠ 0. Ekkor létezik az f / g függvénynek is a határértéke, és


71

Az előző állítások igazak véges helyen vett határérték esetén is: Tétel: Legyen az f(x) függvénynek az x0 helyen vett határértéke az A ∊ ℝ és legyen c ∊ ℝ tetszőleges. Ekkor létezik a cf függvénynek is a határértéke, és

Tétel: Legyen az f(x) függvénynek az x0 helyen vett határértéke az A ∊ ℝ és a g(x) függvénynek az x0 helyen vett határértéke a B ∊ ℝ. Ekkor létezik az f ± g függvénynek is a határértéke, és


72

36

2014.03.12.

Tétel: Legyen az f(x) függvénynek az x0 helyen vett határértéke az A ∊ ℝ és a g(x) függvénynek az x0 helyen vett határértéke a B ∊ ℝ. Ekkor létezik az fg függvénynek is a határértéke, és

Tétel: Legyen az f(x) függvénynek az x0 helyen vett határértéke az A ∊ ℝ és a g(x) függvénynek az x0 helyen vett határértéke a B ∊ ℝ, ahol B ≠ 0. Ekkor létezik az f / g függvénynek is a határértéke, és



73


-ben és x0 = 0 –ban is!

Ezért a függvénynek 0-ban nincs határértéke. Gazdasági Matematika

74

37

2014.03.12.

Nevezetes határértékek Tétel: Tétel: Tétel: Tétel: Tétel: Tétel: Gazdasági Matematika

Példa: Határozzuk meg a

75

függvény határértékét az

x0 = 0 helyen! Alakítsuk át az f(x) függvényt:

vegyük figyelembe, hogy ha x → 0, akkor 2x → 0. Ezért


76

38

2014.03.12.

Példa: Határozzuk meg a

függvény határértékét

az x0 = +∞ helyen! Alakítsuk át az f(x) függvényt:

Ezért – használva a műveletekre vonatkozó tételeket is – kapjuk, hogy


77

Függvények folytonossága Az f függvényt az x0 ∊ Df helyen folytonosnak nevezzük, ha létezik a függvénynek az x0 helyen a határértéke és az egyenlő a függvény helyettesítési értékével, azaz

Az f függvényt az x0 ∊ Df helyen jobbról folytonosnak nevezzük, ha létezik a függvénynek az x0 helyen a jobboldali határértéke és az egyenlő a függvény helyettesítési értékével, azaz Az f függvényt az x0 ∊ Df helyen balról folytonosnak nevezzük, ha létezik a függvénynek az x0 helyen a baloldali határértéke és az egyenlő a függvény helyettesítési értékével, azaz Gazdasági Matematika

78

39

2014.03.12.

Figyeljük meg, hogy a folytonosság pontbeli tulajdonság! Az f függvényt az [a,b] intervallumon folytonosnak nevezzük, ha a függvény az intervallum minden pontjában folytonos, továbbá a az intervallum bal végpontjában jobbról-, a jobb végpontjában pedig balról folytonos. Tétel: Legyen az f és a g függvény az x0 helyen folytonos. Ekkor • cf is folytonos az x0 helyen, ahol c ∊ ℝ. • is folytonos az x0 helyen, ahol . • is folytonos az x0 helyen, ahol . • is folytonos az x0 helyen, ahol és g(x0) ≠ 0. • is folytonos az x0 helyen, ha g folytonos az x0 helyen és f folytonos a g(x0) helyen. Gazdasági Matematika

79

Differenciálszámítás Legyen adott az f(x) függvény, és legyen x0 ∊ Df . Ekkor a

függvényt az x0 helyhez tartozó differenciahányados függvénynek nevezzük.


80

40

2014.03.12.

A differenciahányados nem más, mint az adott f(x) függvény f(x) és f(x0) pontján átmenő szelő meredeksége:

f(x) f(x) – f(x0)

f(x0) x – x0 x0

x


81

Ha létezik az f(x) függvény x0 helyhez tartozó differenciahányados függvényének határértéke az x0 helyen, akkor azt az f(x) függvény differenciálhányadosának nevezzük, és a függvényt az adott pontban differenciálhatónak mondjuk.

A differenciálhányados geometriai jelentése: az f(x) függvény adott pontjába húzott érintő meredeksége. (Ennek belátására vizsgáljuk meg az előző oldal ábráját!


82

41

2014.03.12.

A differenciálhatóság is pontbeli fogalom. Tekintsük az f függvény értelmezési tartományának azt a részhalmazát, amelyen a függvény differenciálható. Jelöljük ezt a halmazt A-val. Definiáljuk azt a függvényt, amelynek értelmezési tartománya A, és minden x A elemhez függvényértékként az x helyhez tartozó differenciálhányadost rendeli. Ekkor az f ´(x)–vel jelölt függvényt az f(x) függvény differenciálhányados függvényének (deriváltjának) nevezzük.


83

Tétel: Az f(x) = c, c ∈ ℝ, függvény differenciálhányadosa nulla. Biz. Induljunk ki a definícióból. Ha f(x) differenciálható az x0 helyen, akkor


84

42

2014.03.12.

Tétel: Az f(x) = x függvény differenciálhányadosa 1. Biz. Induljunk ki a definícióból. Ha f(x) differenciálható az x0 helyen, akkor


85

Tétel: Az f(x) = x2, függvény differenciálhányadosa 2x. Biz. Induljunk ki a definícióból. Ha f(x) differenciálható az x0 helyen, akkor

Ezért


86

43

2014.03.12.

Példa: Határozzuk meg az f(x) = x2 függvény differenciálhányados függvényének értékét az x0 = 4 helyen! Mivel

ezért


87

A differenciálhányados geometriai jelentése mellett van egy nagyon fontos fizikai jelentése is: Az út-idő függvény idő szerinti deriváltja a t0 időpillanatban megegyezik a pillanatnyi sebességgel. A sebesség-idő függvény idő szerinti differenciálhányadosa adja a gyorsulást a t0 időpontban.


88

44

2014.03.12.

A differenciálás műveleti szabályai Tétel: legyen f differenciálható az x0 ∈ Df helyen, és legyen c ℝ tetszőleges konstans. Ekkor cf is differenciálható az x0 helyen, és

Tétel: legyen f és g differenciálható az x0 ∈ Df ∩ Dg helyen, és legyen c ∈ ℝ tetszőleges konstans. Ekkor f g is differenciálható az x0 helyen, és Tétel: legyen f és g differenciálható az x0 ∊ Df Dg helyen, és legyen c ∈ ℝ tetszőleges konstans. Ekkor f g is differenciálható az x0 helyen, és


89

Tétel: legyen g differenciálható az x0 ∊ Df helyen, és tegyük fel, hogy g(x0) ≠ 0. Ekkor 1/g is differenciálható az x0 helyen, és

Tétel: legyen f és g differenciálható az x0 ∊ Df Dg helyen, és g(x0) ≠ 0. Ekkor f /g is differenciálható az x0 helyen, és

Tétel: legyen g differenciálható az x0 ∊ Dg helyen, és f differenciálható a g(x0) ∊ Df . Ekkor f ° g összetett függvény is differenciálható az x0 helyen, és


90

45

2014.03.12.

Elemi függvények deriváltjai I. f(x)

f´(x)

f(x)

f´(x)

ln x

c

c∊ℝ

0

xk

k∊ℝ

kxk-1

sin x

cos x

ax

a∊ℝ

ax ln a

cos x

-sin x

ex

tg x

ex

ctg x

loga x


91

Elemi függvények deriváltjai II. f(x)

f(x)

f´(x)

arcsin x

ch x

sh x

arccos x

th x

arctg x

cth x

arcctg x

arsh x

sh x

f´(x)

ch x

arch x Gazdasági Matematika

92

46

2014.03.12.

Példa-1: Differenciálja az

függvényt!

A műveleti tételek alapján tagonként kell differenciálni:



93

függvényt!

A műveleti tételek alapján tagonként kell differenciálni:

Itt az első tag egy szorzat, a második tag konstans:


94

47

2014.03.12.


függvényt!

Itt egy összetett függvény van, amelyben a külső függvény a tg függvény, a belső függvény az 5x függvény. Ezért


95

Magasabb rendű differenciálhányadosok Ha az f és az f ' függvény is deriválható az x0 helyen, akkor az f '' az f függvény x0 helyen vett második deriváltjának nevezzük. Analóg módon juthatunk el az n-dik derivált fogalmához. Jelölések: f '(x), f ''(x),

f '''(x), f (4)(x), …, f (n)(x),


96

48

2014.03.12.

Példa-1: Adja meg az f(x) = x4 függvény első 5 deriváltját! f '(x) = 4x3,

f ''(x) = 12x2, f '''(x) = 24x, f (4)(x) = 24, f (5)(x) = 0

Példa-2: Adja meg az f(x) = sin x függvény első 8 deriváltját! (sin x)' = cos x, (sin x)'''(x) = -cos x,

(sin x)'' = -sin x, (sin x)(4) = sin x,

(sin x)(5) = cos x, (sin x)(7)(x) = -cos x,

(sin x)(6) = -sin x, (sin x)(8) = sin x,


97

Függvényvizsgálat I. Függvények növekedése, csökkenése Tétel: Legyen az f függvény az [a,b] intervallumon folytonos és az (a,b)-n differenciálható. Legyen f´(x) = 0 minden x ∊ (a,b). Ekkor az f függvény az [a,b] intervallumon állandó. Tétel: Legyen az f függvény az [a,b] intervallumon folytonos és az (a,b)-n differenciálható. Ekkor Az f függvény az [a,b] intervallumon akkor és csak akkor monoton növekvő ha f´(x) ≥ 0 minden x ∈ (a,b). Tétel: Legyen az f függvény az [a,b] intervallumon folytonos és az (a,b)-n differenciálható. Ekkor Az f függvény az [a,b] intervallumon akkor és csak akkor monoton csökkenő ha f´(x) ≤ 0 minden x ∈ (a,b). Gazdasági Matematika

98

49

2014.03.12.

Tétel: Legyen az f függvény az [a,b] intervallumon folytonos és az (a,b)-n differenciálható. Ekkor az f függvény az [a,b] intervallumon akkor és csak akkor szigorúan monoton növekvő ha f´(x) > 0 minden x ∈ (a,b). Tétel: Legyen az f függvény az [a,b] intervallumon folytonos és az (a,b)-n differenciálható. Ekkor az f függvény az [a,b] intervallumon akkor és csak akkor szigorúan monoton csökkenő ha f´(x) < 0 minden x ∈ (a,b).


99

Példa: Vizsgáljuk meg az függvényt monotonitás szempontjából az értelmezési tartományán, ha Df = ℝ. A növekedési viszonyokat az első derivált előjele határozza meg. Differenciáljuk a függvényt: A függvény szigorúan monoton növekvő, ha f ' (x) > 0: A függvény szigorúan monoton csökkenő, ha


100

50

2014.03.12.

Valóban, a függvény alakja:


101

Függvényvizsgálat II. Szélsőérték meghatározása Tétel: Legyen az f függvény az x0 helyen differenciálható. Ha f-nek az x0 helyen létezik a lokális szélsőértéke, akkor f '(x0) = 0. Tétel: Legyen az f függvény az x0 helyen kétszer differenciálható. Ha f '(x0) = 0 és f ''(x0) > 0, akkor f-nek az x0 helyen lokális minimuma van. Tétel: Legyen az f függvény az x0 helyen kétszer differenciálható. Ha f '(x0) = 0 és f ''(x0) < 0, akkor f-nek az x0 helyen lokális maximuma van.


102

51

2014.03.12.

Példa: Határozza meg az

függvény szélsőértékeit!

A szélsőérték létezésére vonatkozó tétel alapján határozzuk meg az első deriváltak zérushelyeit: amiből kapjuk, hogy Ezzel a lehetséges szélsőértékeket kaptuk meg. Vizsgáljuk most a második deriváltakat a lehetséges szélsőérték helyeken: és így A második derivált az x = 2 helyen negatív, ezért itt lokális maximuma van a függvénynek, az x = -2 helyen pedig pozitív, ezért itt lokális minimuma van a függvénynek. Gazdasági Matematika

103

Függvényvizsgálat III. Alaki viszonyok, inflexió Tétel: Legyen az f függvény az [a,b] intervallumon kétszer differenciálható. Ahhoz a függvény az intervallumon konvex (konkáv) legyen, szükséges és elegendő feltétel, hogy az f '(x) függvény az intervallumon szigorúan monoton növekvő (csökkenő) legyen, azaz f''(x) > 0, (ill. f''(x) < 0) minden x ∊ (a,b)-re. Tétel (az inflexiós hely létezésének szükséges feltétele): Legyen az f függvény az x0 helyen kétszer differenciálható, és itt a függvénynek inflexiója van, akkor f''(x0) = 0. Tétel (az inflexiós hely létezésének elégséges feltétele): Legyen az f függvény az x0 helyen kétszer differenciálható, és legyen f''(x0) = 0. Ekkor az f függvénynek az x0 helyen inflexiója van. Gazdasági Matematika

104

52

2014.03.12.

Példa: Határozzuk meg az , Df = ℝ függvény inflexióshelyét, és állapítsa meg, mely intervallumon konvex és konkáv a függvény. Az inflexióshely létezésére vonatkozó tétel alapján keressük meg a második derivált zérushelyeit:

A második derivált sosem nulla, így nincs inflexiós hely. Vizsgáljuk meg a második derivált előjelét: ez a kifejezés akkor negatív, ha x < 0, és akkor pozitív, ha x > 0. A függvény értelmezési tartománya a pozitív valós számok halmaza, tehát a függvény mindenütt konvex.


105

A függvényvizsgálat lépései • • • • • • • •

Az értelmezési tartomány megállapítása Zérushelyek meghatározása Szimmetriatulajdonságok: párosság, páratlanság, periodicitás Folytonosság, szakadási helyek meghatározása. Határértékek meghatározása a szakadási helyek jobb ill. baloldalán, valamint az intervallum végpontjaiban. Monotonitás, szélsőérték vizsgálat. Alaki viszonyok: konvex, konkáv tartományok, inflexiós pontok meghatározása. A függvény grafikonjának megrajzolása. Értékkészlet meghatározása.


106

53

2014.03.12.

Példa: Végezzen el teljeskörű függvényvizsgálatot az függvényen! 1. A függvény értelmezési tartománya: Df = ℝ. 2. A zérushelyek meghatározása:

?


107

3. Szimmetriatulajdonságok. A függvény páros, mert

A hatványfüggvények nem periodikusak, így a különbségük sem az. 4. Folytonosság, szakadási helyek, határérték: a hatványfüggvények folytonosak minden x ∊ Df helyen, szakadási hely nincs.

5.Monotonitás, szélsőérték: szélsőérték ott lehet, ahol a függvény differenciálhányadosa nulla.


108

54

2014.03.12.

Az első derivált előjele adja a tényleges monotonitást: Ezeken az intervallumokon a függvény szigorúan monoton csökkenő. Ezeken az intervallumokon a függvény szigorúan monoton növekvő. A második derivált előjele a szélsőérték helyeken szolgáltatja a szélsőértékeket: Amiből adódik, hogy Ezért a függvénynek minimumhelye van +1-ben és -1-ben, és maximumhelye van 0-ban. Gazdasági Matematika

109

6. Alaki viszonyok: ha Amiből kapjuk, hogy

Ezeken az intervallumokon a függvény konvex. Hasonlóan: ha Amiből: Itt a függvény konkáv. Gazdasági Matematika

110

55

2014.03.12.

Ahol a függvény konvexből konkávba megy át ott a függvénynek inflexiós pontja van. Ezek a pontok:


-1

Az

111

1

függvény grafikonja Gazdasági Matematika

112

56

2014.03.12.

Integrálszámítás és alkalmazásai

A primitív függvény, a határozatlan integrál Elemi függvények határozatlan integrálja Integrálási szabályok A határozott integrál fogalma és tulajdonságai A Newton-Leibniz szabály Az integrálszámítás alkalmazásai


113

A primitív függvény A differenciálszámítás során megismertük azt, hogy egy f(x) függvény f´(x) deriváltját hogyan lehet megadni a függvény ismeretében. A kérdés az, hogy a differenciálhányados ismeretében hogyan lehet meghatározni az f(x) függvényt? Erre a kérdésre ad választ az integrálszámítás. Akkor mondjuk, hogy az F(x) függvény primitív függvénye az f(x) függvénynek az I ⊂ R intervallumban, ha F folytonos az I-n és minden belső pontjában F´(x) = f(x).


114

57

2014.03.12.

Példa: Vegyük észre, hogy az f(x) = x2 függvény primitív függvénye a számegyenesen az függvény, mert F´(x) = x2 = f(x). Hasonló megfontolás alapján látható az is, hogy a és Függvények ugyancsak primitív függvényei az f(x) függvénynek. (Ez egyszerűen adódik abból, hogy a konstans differenciálhányadosa 0.) Tétel: Ha f-nek az I intervallumban van primitív függvénye, akkor végtelen sok primitív függvénye van, amelyek csak egy additív konstansban térnek el egymástól. Gazdasági Matematika

115

Egy f függvény határozatlan integráljának mondjuk az I ⊂ R intervallumban az f függvény primitív függvényeinek halmazát. Jele Az integrál mögötti részt integrandusnak, az x változót integrációs együtthatónak nevezzük. A határozatlan integrál definíciójából következik, hogy

Egy függvény határozatlan integrálját megadni azt jelenti, hogy megkeressük a hozzá tartozó összes primitív függvényt.


116

58

2014.03.12.

Példa: Határozzuk meg f primitív függvényeit, ha Megoldás:

A korábbi tétel miatt, ha grafikusan akarjuk ábrázolni a különböző primitív függvényeket, akkor azok olyan „párhuzamos” görbesereget alkotnak, amelyek az y tengely mentén vannak eltolva. (Ld. A következő oldalt.)


117


118

f(x) = x2

59

2014.03.12.

Az elemi függvények határozatlan integráljai n ≠ -1, n∈ℛ


119

Integrálási szabályok Tétel: Tegyük fel, hogy f-nek és g-nek létezik a primitív függvénye az I intervallumban. Akkor cf-nek és (f + g)-nek is van primitív függvénye, és


120

60

2014.03.12.

Példa: keressük az f(x) = 3x4 + 2x3 – 5x +2 függvény határozatlan integrálját!

Példa: keressük az rálját!

függvény határozatlan integ-


121

Tétel: Tegyük fel, hogy f(x)-nek F a primitív függvénye az I intervallumban, és ax+b ∈ I. Akkor

Biz.


122

61

2014.03.12.

Példa: keressük az f(x) = (2x+4)3 függvény határozatlan integrálját!

Példa: keressük az integrálját!

f(x) = cos(3x+3) függvény határozatlan


123

Tétel: Tegyük fel, hogy f(x) differenciálható és F a primitív függvénye az I intervallumban, és n ≠ -1. Akkor

Biz.

Figyeljük meg, hogy változtattunk a jelölésen! Gazdasági Matematika

124

62

2014.03.12.

Példa: keressük az f = 2(2x+4)3 függvény határozatlan integrálját!

Példa: keressük az

függvény határozatlan integrálját!


125

Tétel: Tegyük fel, hogy f differenciálható az I intervallumban, és f(x) ≠ 0, x ∈ I. Akkor


függvény határozatlan integrálját!


126

63

2014.03.12.

Parciális integrálás A szorzatfüggvény differenciálási szabályának megfordításából adódó integrálási szabályt parciális integrálásnak nevezzük. Tétel: Tegyük fel, hogy f és g folytonos és differenciálható az I intervallumban. Akkor

Biz. Integráljuk mindkét oldalt: Amiből átrendezéssel megkapjuk a tétel állítását. Gazdasági Matematika


127

határozatlan integrál értékét!

Legyen f(x) = x és gʹ(x) = ex. Ekkor fʹ(x) = 1 és g(x) = ex. Így

Gazdasági Matematika 128

64

2014.03.12.

Integrálás helyettesítéssel A helyettesítéses integráláshoz lényegében az összetett függvény differenciálási szabályának megfordításával juthatunk el. Tétel: Tegyük fel, hogy a g függvény differenciálható az I intervallumban, és F’(x) =f(x), ahol x ∈ g(I). Akkor


határozatlan integrál értékét!

Az első tényező egy összetett függvény, amelynek belső függvénye g: g(x) = x2. Az integrandus nem a megfelelő - alakú, ha szorozzuk és osztjuk is 2-vel, akkor a kívánt forma elérhető: VIG Gazdasági BSc Matematika Matematika II.

129

A határozott integrál fogalma Keressük annak a síkidomnak a területét, amelyet az f(x) = x2 görbe, az x tengely és az x = b egyenes határol. Jelöljük a fenti „parabolikus” háromszög területét T-vel, és osszuk fel a [0,b] intervallumot n egyenlő hosszúságú – ekvidisztans – részintervallumra. Legyenek az osztópontok: ahol A T területnek egy alsó becslését kapjuk, ha minden részintevallumon egy olyan téglalapnak a területét számítjuk ki, amelynek alapja a részintervallum hossza, magassága a részintervallum bal végpontjában felvett függvényérték. Gazdasági Matematika

130

65

2014.03.12.

Így a parabolikus háromszög területét alulról egy törtvonallal határolt sokszög területével közelítjük meg:

x0

x1

x2

xi Gazdasági Matematika

xn-2

xn-1 xn=b 131 131

Jelöljük az összterületet sn-nel és számítsuk ki az alsó közelítő területek összegét:

Hasonlóan számítható ki a felső közelítő összeg, de most a részintervallumokon a jobb oldali végponthoz tartozó függvényérték adja a magasságot.


132

66

2014.03.12.

Jelöljük az összterületet Sn-nel és számítsuk ki az felső közelítő területek összegét:

Az nyílvánvaló, hogy


133

Most n-et növelve osszuk a [0,b] intervallumot egyre több részre. Ekkor

Ezért


134

67

2014.03.12.

Monoton függvények határozott integrálja A fentiekben alkalmazott technikát változtatás nélkül használhatjuk monoton növekvő függvények esetére. Legyen f az [a,b] intervallumon értelmezett monoton növekvő korlátos függvény, és legyen f ≥ 0. Határozzuk meg a görbe vonalú trapéz területét, ha azt az x tengely, az f függvény grafikonja és az x = a, valamint az x = b egyenesek határolják. Eddig egyenlő hosszúságú részintervallumokra osztottuk az adott szakaszt. Mivel ez nem kötelező előírás, és a következőkben általánosabban akarjuk kezelni a problémát, be kell vezetnünk a következő definíciót:


135

f(x)

f(b)

f(a) T

a

b


136

68

2014.03.12.

Legyen Az [a,b] intervallum felosztása n – nem feltétlenül egyenlő – részre. A felosztás finomságán a számot értjük. A δn tehát a leghosszabb részintervallum hosszát jelöli. Minden olyan felosztást, amelyet egy adott felosztásból úgy kapunk, hogy újabb osztópontokat veszünk fel, és eközben δn csökken, az adott felosztás finomításának nevezzük.


137

Ha f monoton növekvő és korlátos az [a,b] intervallumon, akkor az felosztáshoz tartozó alsó összegen (a beírt téglalapok területösszegén) az

összeget értjük.


138

69

2014.03.12.

Ha f monoton növekvő és korlátos az [a,b] intervallumon, akkor az felosztáshoz tartozó felső összegen (a beírt téglalapok területösszegén) az

összeget értjük. Monoton csökkenő függvények esetén az alsó és feslő összegek értelemszerűen definiálhatók. A fenti definíciókból egyértelműen adódik, hogy az f(x) görbe alatti T terület az [a,b] intervallumon: Gazdasági Matematika

139

Tétel: Legyen f(x) egy monoton növekvő, korlátos függvény az [a,b] intervallumon. Tekintsük az [a,b] intervallumnak egy felosztását, és a felosztást finomítsuk minden határon túl, azaz δn → 0. Ekkor a {sn} és a {Sn} sorozatok konvergálnak, és

A tétel – analóg módon – kimondható monoton csökkenő korlátos függvényekre is. A következőkben választásánál nem végpontjaihoz.

megmutatjuk, hogy a függvényértékek kell ragaszkodnunk a részintervallumok


140

70

2014.03.12.

Tétel: Legyen f az [a,b] intervallumon monoton és korlátos. Legyen Az [a,b] intervallum egy felosztása, és legyenek Tetszés szerinti valós számok. Legyen továbbá Ekkor

A σn értéket az adott beosztáshoz tartozó közelítő összegnek nevezzük. Gazdasági Matematika

141

Az f függvényt az [a,b] intervallumban integrálhatónak nevezzük, ha a felosztások minden határon túli finomításával keletkező σn közelítő összegek sorozatának létezik a (beosztástól és a ξn közbülső pontoktól független) határértéke. A határértéket az f függvény [a,b] intervallumon vett integráljának vagy határozott integráljának (vagy Riemann-integráljának) nevezzük. Jele:

A fenti definíció ismeretében az előző oldali tétel átfogalmazható: az [a,b] intervallumon monoton korlátos függvény integrálható.


142

71

2014.03.12.

Az f függvényt az (a,b) intervallumban szakaszonként monoton függvénynek nevezzük, ha van az [a,b] intervallumnak olyan véges felosztása, hogy minden részintervallumban f monoton. Tétel: Szakaszonként monoton függvények integrálját a monoton szakaszokon vett integrálok összege szolgáltatja. Tétel: Ha az [a,b] intervallumnak van olyan felosztása, hogy minden nyitott részintervallumon az f függvény folytonos, és f az [a,b]-n korlátos, akkor az f függvény az [a,b]-n integrálható.


143

A határozott integrál tulajdonságai Tétel: Ha az f és a g függvény integrálható az [a,b] intervallumon, és α ∈ R, akkor és

Továbbá, ha a < c < b, akkor

(A két utolsó állítás más szóval: a határozott integrál mind függvény, mind intervallum szerint additív.) Gazdasági Matematika

144

72

2014.03.12.

Ha f integrálható az [a,b] intervallumon, akkor

Tétel: Ha f integrálható és folytonos az [a,b] intervallumban, akkor létezik olyan valós szám, amelyre

Tétel: Ha egy f függvény integrálható az [a,b] intervallumon, akkor integrálható annak minden részintervallumán is. Gazdasági Matematika

145

A Newton-Leibniz szabály Ha az előző oldali utolsó tételét, akkor – az intervallum alsó határát rögzítve – az intervallumon vett integrál egy függvény, amelynek értéke a részintervallum felső határának értékétől függ. Más szóval minden x ∈ [a,b] számhoz egy valós szám rendelhető. Jelöljük ezt a függvényt G-vel:

Ezt G függvényt az f függvény integrálfüggvényének nevezzük. Az integrálfüggvény kiszámításakor, hiszen

jól

használható


a

határozott

integrál

146

73

2014.03.12.

Már a definícióból két dolog is látszik: Egyrészt azonnal adódik, hogy G(a) = 0, másrészt lehet látni,hogy a G függvénynek „köze van” a primitív függvényhez. Valóban, igaz a következő tétel: Tétel: ha G az f-nek integrálfüggvénye, és f folytonos az [a,b] intervallumon, akkor Azaz G az f-nek egy primitív függvénye. A fenti tétel következménye az, hogy ha F(x) is primitív függvénye f(x)-nek, akkor Ezért Mivel G(a) = 0, ezért Gazdasági Matematika

147 147

Meghatározva C-t, azt kapjuk, hogy És ezért Ezt a képletet szokás Newton-Leibniz formulának is nevezni. A határozott integrál értékét tehát úgy számítjuk ki, hogy megkeressük f egy primitív függvényét (F-et), és a felső határon vett helyettesítési értékéből kivonjuk az alsó határon vett helyettesítési értékét.


148

74

2014.03.12.

Példa. Számítsuk ki az

határozott integrál értékét a

Newton-Leibniz formula segítségével!

A megoldás helyességét egyszerű geometriai eszközökkel is ellenőrizhetjük:

2

4


149

Az integrálszámítás alkalmazásai Az integrál geometriai értelmezésének a következménye, hogy ha f korlátos és integrálható az [a,b] intervallumon, akkor az annak a síkidomnak a területét adja, amelyet az f függvény, az x = a, az x = b egyenesek és az x tengely határolnak, feltéve, ha f(x) ≥ 0. Ha a függvényre nem érvényes a nem-negativitás, akkor a negatív szakaszon külön számítjuk ki a függvényhez tartozó terület értékét, és annak az abszolút értékével számolunk.


150

75

2014.03.12.

Példa. Számítsuk ki az

határozott integrál értékét a

Newton-Leibniz formula segítségével!

Az ellenőrzéshez rajzoljuk fel az (x-3) függvény grafikonját! Gazdasági Matematika

151

Példa: bizonyos esetekben érdemes kihasználni a szimmetriát. Számítsuk ki, hogy mekkora területet zár be az x tengellyel az y = sinx függvény a [0,2π] intervallumon! Ha egyszerűen alkalmazzuk a Newton-Leibniz formulát, akkor:

Ami nyílván hibás eredmény. Használjuk ki a szimmetrát! Ekkor

Ez így már a helyes eredmény!


152

76

2014.03.12.

Két vagy több függvénygörbe által határolt síkidom területének mérőszáma a két (vagy több) függvény által határolt területek különbségéből határozható meg. Példa: határozzuk meg az f(x) = x2 és a által bezárt síkidom területét!

egyenletű görbék

Először határozzuk meg a két görbe metszéspontjait: x1 = 0 és x2 = 1. Ezért


153

Valószínűségszámítás Kombinatorika • Permutációk • Variációk • Kombinációk Valószínűségszámítás • • • • •

Eseményalgebra Valószínűségszámítás axiómái (Kolmogorov axiómák) Klasszikus valószínűség, Feltételes valószínűség, függetlenség, A valószínűségi változó és jellemzői (eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény, várható érték és szórás) Gazdasági Matematika

154

77

2014.03.12.

Nevezetes diszkrét eloszlások • • • • •

Egyenletes eloszlás Binomiális eloszlás Geometriai eloszlás Hipergeometrikus eloszlás Poisson eloszlás

Nevezetes folytonos eloszlás • Egyenletes eloszlás • Exponenciális eloszlás • Normális eloszlás


155

Kombinatorika A kombinatorika egy adott véges halmaz elemeinek adott feltételek szerinti csoportosításával foglalkozik. Aszerint, hogy a csoportosítás milyen feltételek mellett történik, permutációról variációról kombinációról beszélünk. A véges halmaz elemei lehetnek számok, betűk, tárgyak, személyek, stb.


156

78

2014.03.12.

Permutáció Egy n elemű véges halmaz elemeinek meghatározott sorrendbe történő elhelyezését permutációnak nevezzük. Ha a halmaz elemei különbözőek, akkor ismétlés nélküli permutációról, ha a halmaz elemei között vannak egyenlők is, akkor ismétléses permutációról beszélünk. Legtöbbször a feladat értelmezéséből megadható egy alapsorrend, (pl. nagyság szerinti vagy alfabetikus rendezés), de feladattól függően bármely sorrend tekinthető alapsorrendnek. A leggyakrabban feltett kérdés: hányféle sorrendben lehet n elemet egymás mellé rendezni, azaz n elemnek hány permutációja van? Gazdasági Matematika

157

Vezessük be a következő jelölést: 1·2 ·3 · · ·n = n!. Az n! elnevezése: n faktoriális. Tétel: n elem ismétlés nélküli permutációinak a száma Pn = n!. Biz. Az első helyre n féleképpen választhatunk elemet. A második helyre a megmaradó n – 1 elemből választhatunk minden egyes első helyre történt választáshoz. Ezért az első két helyre összesen n (n – 1) különböző választás lehetséges. A harmadik helyre a megmaradó n – 2 elemből választhatunk minden az első két helyre történt választáshoz. Ezért az első három helyre összesen n (n – 1)(n – 2) különböző választás lehetséges. Ezt a gondolatmenetet folytatva az (n – 1). pozícióra 2-féleképpen választhatunk minden rögzített (n – 2)-eshez. Az utolsó pozícióba beírva a megmaradt elemet, megkapjuk a tétel állítását. Gazdasági Matematika

158

79

2014.03.12.

Példa. Egy 5 tagú társaság egy asztal körül helyet akar foglalni, de nem tudnak megegyezni a helyekben. Ezért elhatározzák, hogy 10 percenként új sorrendben ülnek az asztal köré. Mennyi ideig tart az összejövetel, ha minden lehetséges sorrendet ki akarnak használni? Az összes lehetséges sorrend P5 = 5! = 120 lesz, ami azt jelenti, hogy 1200 perc = 20 óra szükséges az összes lehetőség kihasználására.


159

Példa: Hány négyjegyű szám képezhető az alábbi számjegyekből? 0, 2, 3, 5 Az összes permutációk száma P4 = 4! = 24. Mivel a 0-val kezdődő permutációk nem négyjegyű számok, ezért ezek számát le kell vonnunk az összes permutációból. A 0 annyiszor állhat az első helyen, ahány permutációja van a maradék 3 számnak. Ezek száma P3 = 3! = 6. Így a képezhető négyjegyű számaink összes lehetséges száma: P4 – P3 = 24 – 6 = 18.


160

80

2014.03.12.

Az olyan permutációt, ahol a sorbarendezendő elemek között egyenlők (egyformák) is előfordulnak, ismétléses permutációnak nevezzük. Tétel: Legyen az n darab elem között k1, k2, …, kr darab egyenlő, ahol ki ≥ 1 és Jelölje az n elem ismétléses permutációinak a számát

.

Ekkor


161

Biz. Tekintsük az n elem egy tetszőleges permutációját. A k1 darab egyforma elemet különböztessük meg egymástól – átmeneteileg – átszínezéssel. Permutáljuk a k1 egyforma elemet egymás között. Így k1! különböző permutációt kapunk. Végezzük el az átszínezést a k2, k3, …, kr egyforma elemekre is. Összesen előállítottunk permutációt, amelyek száma nyílván n!. Ezért Amiből – átrendezéssel – a tétel állítása azonnal megkapható. Gazdasági Matematika

162

81

2014.03.12.

A tétel bizonyításának illusztrálására képezzük az 1, 1, 2, 2 elemek összes ismétléses permutációit! Színezzük át az egyforma elemeket, és képezzük az összes ismétlés nélküli permutációt! 1 1 1 1 1 1

1 1 2 2 2 2

2 2 1 2 2 1

2 2 2 1 1 2

1 1 1 1 1 1

1 1 2 2 2 2

2 2 1 2 2 1

2 2 2 1 1 2

2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 1

1 2 1 1 2 1

2 1 1 1 1 2

2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 1

1 2 1 1 2 1

2 1 1 1 1 2

Tegyük egyszínűvé az összes számot! Az egyformák közül csak az egyiket hagyjuk meg! Gazdasági Matematika

163

Példa: Hány különböző hétjegyű szám alkotható a 1, 1, 4, 4, 4, 7, 7 számjegyekből? A megoldást nyílván

értéke adja:

Példa: Hányféleképpen tölthető ki a totószelvény egy oszlopa, ha az 6 db 1-es, 3 db 2-es és 5 db x-es tippet tartalmaz? (A totószelvényen 13+1tippet kell kitölteni.) A megoldást nyílván

értéke adja:

(Megjegyzés: Így azért sosem töltünk ki totószelvényt!) Gazdasági Matematika

164

82

2014.03.12.

Variáció n különböző elemből k számú elem kiválasztását úgy, hogy a kiválasztás sorrendje is számít, n elem k-ad osztályú variációjának nevezzük, (1 ≤ k ≤ n). Ha egy elemet csak egyszer választhatunk ki, akkor ismétlés nélküli variációról, ha egy elem többször is kiválasztható, akkor ismétléses varációról beszélünk. Ismétlés nélküli variációt visszatevés nélküli mintavétellel, ismétléses variációt visszatevéses mintavétellel lehet előállítani.


165

Tétel: n elem k-ad osztályú ismétlés nélküli variációinak száma:

Biz. Használjuk a permutációknál alkalmazott gondolatmenetet! Az első helyre n féleképpen választhatunk elemet. A második helyre a megmaradó n – 1 elemből választhatunk minden egyes első helyre történt választáshoz. Ezért az első két helyre összesen n (n – 1) különböző választás lehetséges. Folytatva a kiválasztást, a k. helyre a megmaradó n – k + 1 elemből választhatunk. Így az összes választási lehetőségünk száma:


166

83

2014.03.12.

Példa: Képezzük az 1 2 3 4 elemek összes másodosztályú variációit! Az első helyre 4 elemből választhatunk, és minden egyes választáshoz a második helyre a maradék 3 elemből választhatunk elemet: 12

13

14

21

23

24

31

32

34

41

42

43


167

Példa: Hány olyan 4-jegyű szám képezhető a 10 számjegyből, amelyeknek minden számjegye különböző? Az összesképezhető négyjegyű számot a

szolgáltatja:

Ezek közül nem „valódiak” azok, amelyek 0-val kezdődnek. Ezek számát a adja meg: Így a keresett négyjegyű számok száma:


168

84

2014.03.12.

Tétel: n elem k-ad osztályú ismétléses variációinak száma:

Biz. Az első helyre n féleképpen választhatunk elemet. A második helyre ugyancsak n elemből választhatunk minden egyes első helyre történt választáshoz. Ezért az első két helyre összesen n2 különböző választás lehetséges. Folytatva a kiválasztást, a k. helyre ismét n elemből választhatunk. Így az összes választási lehetőségünk száma:


169

Példa: Hány olyan négyjegyű szám van, amelyet csupa páratlan számjegy alkot? Nyilván ismétlődés lehet (a 1939 ilyen négyjegyű szám), és a sorrend is számít (1359 ≠ 3159). Az 1, 3, 5, 7, 9 számjegyekből a négyjegyű számokat kell kiválasztani. Ezek száma:

Példa: Egy totózónak hány oszlopot kell kitöltenie, ha biztos telitalálatot akar elérni? A megoldás három elem 14-ed osztályú ismétléses variációinak a száma:


170

85

2014.03.12.

Kombináció n különböző elemből k számú elem kiválasztását úgy, hogy a kiválasztás sorrendje NEM számít, n elem k-ad osztályú kombinációjának nevezzük, (1 ≤ k ≤ n). Ha egy elemet csak egyszer választhatunk ki, akkor ismétlés nélküli kombinációról, ha egy elem többször is kiválasztható, akkor ismétléses kombinációról beszélünk. Ismétléses kombinációk esetében k elemű részhalmazokat képezünk, ahol két részhalmazt akkor mondunk egyenlőnek, ha bennük ugyanazok az elemek ugyanannyiszor fordulnak elő. Ismétléses kombináció esetén a k ≤ n feltételnek nem kell állnia, k tetszőleges természetes szám lehet. Gazdasági Matematika

171

Tétel: n elem k-ad osztályú ismétlés nélküli kombinációinak a száma:

(A jobb oldalon álló jelölés olvasása: n alatt a k, és binomiális együtthatónak nevezzük.) Biz. Amint az a definíciókból is látszik, a variációk és kombinációk között az eltérés mindössze annyi, hogy a kombinációknál a sorrend számít. Ez azt jelenti, hogy ha egy k-ad rendű kombinációból k! darab variáció állítható elő. Így amiből a tétel állítása azonnal adódik. Gazdasági Matematika

172

86

2014.03.12.

Példa: Hány lottószelvényt kell kitölteni ahhoz, hogy biztosan legyen öttalálatos szelvényünk? A kitöltendő szelvények számát megkapjuk, ha kiszámítjuk, hogy hányféleképpen választhatunk ki 5 elemet a 90 számból. Esetünkben a kiválasztás sorrendje nem számít, hiszen a kihúzás sorrendje nem befolyásolja a találatok számát. A megoldás tehát:

(ami azonnal mutatja, hogy a 200 Ft / játék összegnél a biztos nyereményt 8 789 853 600 befektetésből lehet elérni.)


173

Példa: A bridzs kártyajátékot az 52 lapos franciakártyával 4 játékos játsza, mindenki 13 lapot kap. Hányféle leosztás lehet a bridzsben, ha két leosztást akkor tekintünk különbözőnek, ha legalább egy játékos kezében legalább egy kártyában eltér a leosztás. Az első játékos száma:

féleképpen kaphat különböző lapokat. Ezek

A második játékosnak a maradék 39 lapból osztható ismét 13 kártya. Ezek száma: A harmadik játékos 26 lapból kap 13 kártyalapot. Így az összes különböző leosztások száma:


174

87

2014.03.12.

Tétel: n elem k-ad osztályú ismétléses kombinációinak a száma:

Biz. A bizonyítás azon alapul, hogy megmutatható az, hogy az 1, 2, …,n elemeknek ugyanannyi k tagú ismétlés nélküli kombinációja van, mint ahány k tagú ismétléses kombinációja van az 1, 2, …, n + k – 1 elemeknek. Legyen (j1, j2, …, jk) tetszőleges k tagú ismétléses kombinációja az 1, 2, …, k elemeknek, ahol j1 ≤ j2 ≤ … ≤ jk. (1) Készítsük el ebből a (2) kombinációt. Gazdasági Matematika

175

A (2) kifejezés jobb oldalán az 1, 2, … , n + k – 1 elemek egy ismétlés nélküli kombinációja áll. (Ez az (1) monotonitási feltételből következik.) Mivel a (2) kifejezés egy kölcsönösen egyértelmű leképezés (bijekció) az 1, 2, …, n elemek és az 1, 2, …, n + k – 1 elemek között, ezért az ismétlés nélküli kombinációkból is egyértelműen előállíthatóak az ismétléses kombinációk. Ekkor a leképezést használjuk.


176

88

2014.03.12.

Példa: Két ugyanolyan színű dobókockával dobunk. Hány különböző kimenetele lehet a dobásnak? A 6 lapra 6 szám van felírva (n = 6), ezek ismétlődhetnek, de mivel a két dobókocka (k = 2) színe ugyanaz, ezért nem megkülönböztethetők (sorrendjük nem számít). A képlet szerint a megoldás:

A lehetséges kombinációk: 11 12 13 14 15 16 44 45 46

22 23 24 25 26 55 56 Gazdasági Matematika

33 34 35 36 66 177

Irodalom a kombinatórika fejezethez: http://hu.wikipedia.org/wiki/Elemi_kombinatorika Szele Tíbor: Bevezetés az Algebrába. Tankönyvkiadó, Budapest. 1964. Lovász László, Pelikán József, Vesztergombi Katalin: Diszkrét Matematika. Typotex. 2006. Balásházy Ferenc: Valószínűségszámítás. Matematika a levelező szakos hallgatók számára. ZMNE BJKM Főiskolai Kar. Jegyzet 2001. Bánhegyesiné Topor Gizella, Bánhegyesi Zoltán: Matematika, nem matematika szakosoknak. Műszaki Könyvkiadó. 2002. ISBN 963 16 2266 5. (Val.szám is) Gazdasági Matematika

178

89

2014.03.12.

Valószínűségszámítás Azokat a jelenségeket, amelyek létrejöttét a tekintetbe vett körülmények nem határozzák meg egyértelműen, véletlen jelenségeknek nevezzük. A véletlen jelenségeknek a megadott körülmények mellett többféle kimenete is lehet. Statisztikus törvényszerűségeknek nevezzük a véletlenszerű összefüggésekkel szemben érvényesülő szükségszerű hatásokat. Általában az olyan jelenségeket, amelyek nagy számban lépnek fel, vagy azonos körülmények között tetszés szerinti sokszor megismételhetők, tömegjelenségeknek nevezzük. A valószínűségszámítás tárgya a véletlen tömegjelenségek vizsgálata. Gazdasági Matematika

179

Az olyan jelenségeket, amelyeknek a kimenetele az adott körülmények között többféle is lehet, gyűjtőnéven kísérletnek nevezzük. A kísérlet lehetséges eredményei az elemi események. Kísérlet például: egy lövedék kilövése ágyúból, dobókockával történő dobás egy folyó vízállásának leolvasása meghatározott helyen és időben utasok száma egy buszjáraton reggel rögzített időpontban egy kártyalap kihúzása a kártyacsomagból Kockadobásnál vagy a kártyalap kihúzásánál az elemi események száma véges, míg a vízállás leolvasásánál végtelen sok mérési eredményünk lehet. Az adott kísérletnél előforduló elemi események összességét eseménytérnek nevezzük. Gazdasági Matematika

180

90

2014.03.12.

Előfordulhat, hogy egy kísérlet kapcsán nem az elemi események bekövetkezését vizsgáljuk, hanem az elemi eseményekből alkotott részhalmazok bekövetkezésére vagyunk kíváncsiak. Az eseménytér (H) részhalmazait eseményeknek nevezzük. (Az elemi események is események.) Pl. Páros kockadobások bekövetkezését vizsgáljuk, 310 cm-nél magasabb vízállásokat rögzítünk, A pikk lapok húzását tekintjük érvényes kísérletnek stb… A teljes eseménytér és az üres halmaz is a H eseménytér – halmazelméleti értelemben vett – részhalmazai, ezért ezek is beletartoznak az eseménytérbe. Az egész H halmazt biztos eseménynek, az üres halmazt lehetetlen eseménynek nevezzük. Gazdasági Matematika

181

Tekintsünk egy olyan kísérletsorozatot, amely n kísérletből áll. Jelentse k egy meghatározott esemény bekövetkezéseinek a számát. Ekkor a

hányadost a tekintett esemény relatív gyakoriságának

nevezzük a szóbanforgó kísérletsorozatban. Ha nagy számú kísérletsorozat elvégzése során az A esemény bekövetkezésének a relatív gyakoriságok egy szám körül ingadoznak, akkor azt a számot az A esemény valószínűségének nevezzük. Jelölése: P(A). Ha a relatív gyakoriságok nem ingadoznak egy szám körül, akkor a szóbanforgó eseménynek nincs valószínűsége. Ha egy tömegjelenséggel kapcsolatos eseménynek van valószínűsége, akkor az egy objektív adat (mint a tömeg, a hőmérsklet stb…). Gazdasági Matematika

182

91

2014.03.12.

A valószínűségszámítás feladata az, hogy az egyszerű események valószínűségének az ismeretében bonyolultabb, összetett események valószínűségére következtessen. Ahhoz, hogy a valószínűségszámítás módszereivel megismerkedjünk, először arra van szükség, hogy megvizsgáljuk azt, hogyan lehet az elemi eseményekből összetett eseményeket képezni. Ehhez meg kell ismerni az eseményalgebrát, amely a Boole-algebrák egy speciális esete.


183

Az eseményalgebra Tekintsük a kockadobást, mint kísérletsorozatot. Ebben az esetben az elemi események a kockadobás eredményei lesznek, tehát 1-et, 2t, …,6-t dobunk. Tekintsük az elemi eseményekből képezett következő (összetett) eseményeket: A kockadobás eredménye páros szám. A kockadobás eredménye 3-nál nagyobb. A kockadobás eredménye páratlan szám.


184

92

2014.03.12.

Legyen A és B két esemény. A két esemény összegén azt az eseményt értjük, amely akkor következik be, ha a két esemény közül valamelyik bekövetkezik. Jelölése: A + B vagy . Legyen A és B két esemény. A két esemény szorzatán azt az eseményt értjük, amely akkor következik be, ha a két esemény közül mindkettő bekövetkezik. Jelölése: AB vagy . Egy A esemény kiegészítő (komplemens) eseményén azt az ményt értjük, amelyre igaz, hogy


ese-

185

A következő összefüggések igazak: I.

III.

II.

IV.

V. Gazdasági Matematika

186

93

2014.03.12.

A fenti azonosságok nyilvánvaló következménye az, hogy AB = 0 jelentése: az A és B események egyszerre nem következhetnek be, azaz A és B egymást kizáró események. Általában az elemeknek olyan halmazát, amelyben értelmezve van a H és a 0 elem, továbbá definiált az elemek között az „összeadás”, a „szorzás” és a „ellentett-képzés” művelete, és a műveletek rendelkeznek az I. – V. tulajdonságokkal, Boole-féle algebrának nevezzük. Tétel: Egy Boole-algebrában érvényesek a következő azonosságok:


187

Tétel: Egy Boole-algebrában érvényesek a De Morgan azonosságok:


188

94

2014.03.12.

A Boole-algebrában a kivonást a következőképpen definiáljuk:

Tétel (Abszorbciós tétel):

Biz.

Következmény – 1:


189

Ha a Ai – nem szükségképpen elemi – események egy véges vagy végtelen sorozatára fennállnak a feltételek, akkor az események ilyen rendszerét teljes rendszernek nevezzük. Teljes rendszert alkot például minden esemény a kiegészítő (komplemens) eseményével együtt, egy kockadobásos kísérletsorozatnál a páros és a páratlan dobások eseményeiből alkotott rendszer.


190

95

2014.03.12.

A valószínűségszámítás alapfogalmai Az A esemény P(A) valószínűségére - mint axiómára – igazak a Kolmogorov-féle axiómák: I. II. III. Ha az A és B események egymást kizáró események (AB = 0), akkor (A III. axióma kiterjeszthető eseményeknek olyan végtelen sorozatára is, amelyekre Ai Aj = 0.) Gazdasági Matematika

191

Tétel: Ha egy A esemény valószínűsége P(A), akkor

Biz. Mivel A és az ellentettje teljes rendszert alkotnak, ezért a III. axióma miatt A II. axióma miatt P(H) = 1, ezért átrendezéssel azonnal megkapjuk a tétel állítását.

Következmény – 2: P(0) = 0. Gazdasági Matematika

192

96

2014.03.12.

Tétel: Ha az A és B események tetszőleges események, akkor annak a valószínűsége, hogy közülük legalább az egyik bekövetkezik: Biz. Legyen az A és a B két egymást kizáró esemény. Ekkor a Következmény – 1 miatt Használjuk továbbá a következő azonosságot: Alkalmazzuk a III. axiómát a két azonosságra: A két egyenletet egymásból kivonva átrendezéssel kapjuk a tétel állítását. Gazdasági Matematika

193

Klasszikus valószínűség Tegyük fel, hogy egy kísérletsorozatnál a véges sok A1, A2, …,An esemény teljes eseményrendszert alkot. Ekkor a III. axiómát alkalmazva kapjuk, hogy:

Tegyük fel, hogy az A1, A2, …,An események egyformán valószínűek, azaz Ekkor a rendszer teljessége miatt Így


194

97

2014.03.12.

Ha egy B esemény akkor következik be, ha vagy az A1, vagy az A2,…, vagy az Ak elemi esemény valamelyike bekövetkezik, akkor

és mivel az Ai események egymást kizáró események, ezért

Mivel az elemi események száma n, ezért azaz a B esemény bekövetkezésének valószínűségét úgy kapjuk, hogy a kedvező elemi események számát elosztjuk az összes elemi események számával.


195

Klasszikus valószínűségi mezőnek nevezzük az elemi események egy olyan teljes rendszerét, ahol az elemi események részhalmazain értelmezve van egy P(B) = k / n függvény, ahol k a B halmaz, n pedig a H halmaz elemeinek száma. A klasszikus valószínűségszámítás a klasszikus valószínűségi mezőkkel foglalkozik. A klasszikus valószínűségszámítás eszközeivel a következő feladatok egyszerűen megoldhatók: Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy szabályos dobókockával 2-est dobunk, páratlan számot dobunk, nem dobunk 5-öst? Gazdasági Matematika

196

98

2014.03.12.

Példa: Mi annak a valószínűsége, hogy véletlenszerűen húzva ki egy lapot a 32 lapos magyar kártyából zöldet húzunk?

felsőt húzunk?

a kihúzott lap a makk király lesz?


197

Tömegesen gyártott termékeknél a gyártás átlagos minőségére – az előállított termékek nagy száma miatt – többnyire nem következtethetünk úgy, hogy minden egyes terméket megvizsgálunk. Ezekben az esetekben a selejtes termékek számának a meghatározását mintavétel segítségével végezzük el. Ha a kiválasztott terméket a vizsgálat után visszarakjuk a vizsgálat elvégzése után, akkor visszatevéses mintavételről, ha a terméket a vizsgálat után nem tesszük vissza, akkor visszatevés nélküli mintavételről beszélünk. Visszatevéses mintavételnél a selejtes és a hibátlan termékek aránya nem változik, a visszatevés nélküli esetben azonban az arányok megváltoznak. Gazdasági Matematika

198

99

2014.03.12.

Visszatevés nélküli mintavétel Tegyük fel, hogy egy N darabból álló termékhalmazban M darab selejtes van. Ha a termékekből n darabot visszatevés nélkül kiválasztunk, akkor mi a valószínűsége annak, hogy azok között éppen k darab selejtes lesz? Mivel bármelyik terméket egyenlő valószínűséggel választhatjuk, ezért alkalmazható a valószínűség kiválasztásának klasszikus módja. Az összes lehetséges elemi események száma: A kedvező elemi események számát akkor kapjuk meg, ha az M számú selejtes darabból éppen k számút választunk, és ezek mellé az N – M számú hibátlan darabból n – k számút választunk ki. Gazdasági Matematika

Az előbbit

-féle módon, az utóbbit

199

-féle módon lehetsé-

ges kiválasztani. A két feltétel egyszerre így

számú esetben következhet be. Ez a kedvező események száma. Annak valószínűsége tehát, hogy visszatevés nélkül kiválasztott n elemű mintában éppen k selejtes darab van:


200

100

2014.03.12.

Példa: 40 munkadarabból, amelyek között 8 selejtes van, találomra kiveszünk négyet. Mi a valószínűsége annak, hogy két jót és két selejtest veszünk ki? Használjuk a visszatevés nélküli mintavétel képletét arra az esetre, ha N = 40, M = 8, n = 4, k = 2. Ekkor


201

Visszatevéses mintavétel Végezzük el az előző mintavételünket úgy, hogy minden húzás után a kivett mintát rakjuk vissza. Ekkor az összes elemi esemény száma lesz. Ha a kedvező eseteket akarjuk kiszámítani, akkor az M selejtesből k darabot -féleképpen választhatunk ki. A maradék (N – M) nem selejtesből az n – k darabot pedig -féleképpen lehet kiválasztani. Így – ha a kihúzás sorrendjére nem lennénk tekintettel – az összes lehetséges eset száma lenne. A k darab selejtes és az (n – k) nem selejtes terméket az n elem olyan ismétléses permutációinak a száma adja, amelyben k darab egyforma elem van, azaz


202

101

2014.03.12.

Így a kedvező esetek száma: és a ezért a keresett valószínűség:

Vezessük be a következő jelöléseket: ahol p jelenti egy darab selejtes termék kiválasztásának a valószínűségét, és q = 1 – p szolgáltatja a nem selejtes termékek kihúzásának a valószínűségét. Ekkor a keresett valószínűséget a következő formában írhatjuk fel:


203

Példa: Egy magyar kártyából 5-ször egymás után húzzunk ki egy lapot úgy, hogy minden húzás után a kihúzott lapot visszarakjuk. Mi a valószínűsége annak, hogy az öt kihúzott lap közül 3 makk lesz? Most az ismétléses mintavétel valószínűségének

képletét kell használnunk, ahol n = 5, k = 3, M = 8, N = 32, és p =1/4, q = ¾ lesz. Így


204

102

2014.03.12.

Geometriai valószínűség Ha egy kísérlet lehetséges eseményei egy geometriai alakzat részhalmazainak feleltethetők meg úgy, hogy az egyes események bekövetkezésének valószínűsége az eseményhez rendelt részhalmaz geometriai mértékével (hossz, terület, térfogat) arányos, akkor geometriai valószínűségről beszélünk. Tegyük fel, hogy egy céltáblába lövünk, és minden lövésünk célba talál. Ekkor annak a valószínűsége, hogy a lövésünk a céltábla egy t területű részébe csapódik be, arányos lesz a vizsgált rész területével. Ha az arányossági tényezőt c-vel jelöljük, akkor: p = c·t Ha T-vel jelöljük a céltábla területét, akkor annak a valószínűsége, hogy a céltáblába találunk a biztos esemény valószínűsége lesz, azaz P(H) = 1. Gazdasági Matematika

205

Alkalmazva a területtel arányos formulát azt kapjuk, hogy P(H) = 1 = c·t, amiből adódik, hogy vagyis annak a valószínűsége, hogy lövésünk a céltábla egy t területű részébe csapódik be: ahol T jelöli az egész céltábla területét.


206

103

2014.03.12.

Példa: Legyen a céltáblánk egy r = 25 cm sugarú kör. Osszuk a céltáblát r1 = 5, r2 = 10 r3 = 15, r4 = 20 sugarú körökkel koncentrikus körgyűrűkre. Mi annak a valószínűsége, hogy a céltábla 15 < r < 20 körgyűrűjébe találunk bele? Jelöljük a keresett eseményt A-val. Ekkor

Hasonló megfontolás alapján annak a valószínűsége, hogy a találat a legbelső körben lesz:

Számoljuk ki a maradék két körcikkbe való becsapódás valószínűségét is! (Ha jól számolunk, akkor azt kell kapnunk, hogy a négy esemény teljes rendszert alkot.) Gazdasági Matematika

207

Események függetlensége Azt mondjuk, hogy az A és B események függetlenek egymástól, ha P(AB) = P(A) P(B). Az A1, A2, …, An eseményrendszer teljesen független, ha bármely Ai, Aj, – i,j = 1, 2, …, n, i ≠ j – párra P(Ai Aj) = P(Ai) P(Aj) Ha két kísérlet egyidejű vagy egymás utáni elvégzése során fennáll az, hogy a két kísérletet egynek tekintve, a közös kísérletben az egyik kísérlet bármely eredményeként adódó esemény független a másik kísérlet bármely eredményeként adódó eseménytől, akkor a két kiséletet függetlennek nevezzük. Gazdasági Matematika

208

104

2014.03.12.

Feltételes valószínűség Legyen A és B egy kísérlet két lehetséges kimeneti eseménye. Ismételjük meg a kísérletet n-szer egymás után. Tegyük fel, hogy az A esemény nA-szor, a B esemény nB-szer, az A és B esemény együttesen nAB-szer következett be. A kísérletsorozatra A , B illetve AB relatív gyakoriága: Szűrjük most meg a kísérletsorozatot, és csak azt az nB számú kísérleteket vegyük figyelembe, amelyeknél B következett be. Világos, hogy ezeknél a kísérleteknél az A esemény nAB-szer következett be, ezért az A esemény relatív gyakorisága ebben a kísérletsorozatban:


209

Vegyük észre, hogy

ami nem más, mint az AB esemény relatív gyakoriságának és a B esemény relatív gyakoriságának a hányadosa annál a kísérletsorozatnál, amikor minden kimeneti eseménnyel számoltunk. Azt tudjuk, hogy a valószínűségek létezése esetén a relatív gyakoriságok a valószínűség körül ingadoznak. Ha feltételezzük, hogy P(B) > 0, akkor a fenti kifejezés körül ingadozik. Ezt az értéket az A esemény B eseményre vonatkoztatott feltételes valószínűségének nevezzük. Jelölése: P(A|B). Gazdasági Matematika

210

105

2014.03.12.

Hasonlóan definiálható a B esemény A bekövetkezési feltétel melletti feltételes valószínűsége: ahol feltételezzük, hogy P(A) ≠ 0.

A két definícióból – átrendezéssel – kapjuk, hogy és amely képleteket szorzási szabálynak is nevezünk. Ennek egy „átfogalmazott” alakja:


211

A feltételes valószínűség gondolamenetét kiterjeszthetjük több esemény bekövetkezésére is: Legyen A1, A2, A3 egy kísérletsorozat három eseménye. Alkalmazzuk a korábbi gondolatmenetet. Azt kapjuk, hogy (1) és

(2)

(1)-ből és (2)-ből átrendezéssel kapjuk, hogy (3) (4) Gazdasági Matematika

212

106

2014.03.12.

(3)-ból és (4)-ből kapjuk, hogy

Ezt az eljárást kiterjeszthetjük – egy rekurzív eljárás alkalmazásával – n eseményre is: ezt a feltételes valószínűség láncszabályának is nevezzük.


213

Példa: Egy csomag magyar kártyából egymás után kihúzunk négy lapot úgy, hogy a kihúzott napot nem tesszük vissza. Mi annak a valószínűsége, hogy az első kettő piros, a második kettő zöld? Vezessük be a következő definíciókat az egyes eseményekre: A1 : az első kihúzott lap piros, A2 : a második kihúzott lap piros, A3 : a harmadik kihúzott lap zöld, A4 : a negyedik kihúzott lap zöld. A feltételek alapján kapjuk, hogy


214

107

2014.03.12.

Az A2 esemény a feltételes valószínűség tételéből adódóan:

Hasonlóan: és Ezért a keresett valószínűség láncszabályából adódóan:

a

feltételes


valószínűség

215

Teljes valószínűség tétele Tétel (Teljes valószínűség tétele): Tegyük fel, hogy egy esményalgebra B1, B2, …, Bn eseményei teljes eseményrendszert alkotnak, és P(Bi) > 0, i = 1, 2, …, n. Ha A egy tetszőleges esemény, akkor

Biz. Mivel a Bi-k teljes eseményrendszert alkotnak, ezért A = A·H = A·(B1 + B2 + … + Bn) = AB1 + AB2 + … + ABn. Mivel a jobb oldalon álló események páronként egymást kizárják, ezért (1) P(A) = P(AB1)+ P(AB2)+ … + P(ABn). Gazdasági Matematika

216

108

2014.03.12.

Használjuk a feltételes valószínűség tételét, ahol

azaz

(2)

Helyettesítsük be (2)-t az (1) jobboldalába minden i = 1, 2, …, n-re, és megkapjuk a tétel állítását.


217

Bayes-tétele Tétel: Tegyük fel, hogy egy esményalgebra B1, B2, …, Bn eseményei teljes eseményrendszert alkotnak, és P(Bi) > 0, i = 1, 2, …, n. Ha A egy tetszőleges – pozitív valószínűségű – esemény, akkor

Biz. A feltételes valószínűség definíciójából következik, hogy

Ha most P(A) helyébe behelyettesítjük a teljes valószínűség tételének jobb oldalát, akkor a tétel állítását megkapjuk. Gazdasági Matematika

218

109

2014.03.12.

Példa: Tegyük fel, hogy egy késztermék két különböző szempontból lehet selejtes. Tételezzük fel, hogy mintavétel után azt tapasztaljuk, hogy 1000 munkadarab közül 75 azoknak a száma, amelyek csak az első (A esemény), 120 azoknak a száma, amelyek csak a második (B esemény) és 9 azoknak a száma, amelyek mindkét szempontból selejtesek. Kérdés: független-e a két esemény egymástól? Mivel és ezért Tehát az A és B esemény független egymástól. Gazdasági Matematika

219

A valószínűségi változó fogalma Az elemi események halmazán értelmezett függvény függő változóját valószínűségi változónak nevezzük. A valószínűségi változót görög betűvel jelöljük: ξ, η, stb. Legyenek az elemi események E1, E2, …, En. Ha az x1, x2, …, xn jelenti a ξ valószínűségi változó értékeit, és f(Ei) = xi, akkor a ξ = xi azt mutatja, hogy a kísérlet során az Ei esemény következett be. Az Ei esemény valószínűségét a P(ξ = xi) jelöli. Példa: a kockadobásnál a ξ valószínűségi változó értékei: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ekkor f(Ei) = i, és


220

110

2014.03.12.

Példa: Két kockával dobunk. A ξ valószínűségi változó jelentse a dobott számok összegét. Összesen 36 elemi eseményünk van, ezeket az (i,j) számpárokkal jellemezhetjük, ahol i jelenti az első kockával, j pedig a második kockával dobott szám értékét. Ellentétben az egy kockadobásnál megfigyeltekkel, itt az elemi események és a hozzájuk rendelt ξ = i + j számok nem határozzák meg kölcsönösen egymást. (Például a ξ = 4 értéket rendeljük az (1,3), (2,2), (3,1) eseményekhez.) Grafikonon ábrázolva a P(ξ = i + j) valószínűségeket a következő lapon látható ábrát kapjuk. Vegyük észre, hogy a legvalószínűbb érték a 7-es, ezt 6 elemi eseményhez rendeljük hozzá.


221

P(ξ = i + j)

2

3

4

5

6

7


8

9

10

11

12 i+j 222

111

2014.03.12.

Példa: Adjunk le lövéseket egy R sugarú céltáblára. Ha azt feltételezzük, hogy minden lövésünk célba talál, akkor elemi eseménynek tekinthetjük, ha a lövés a céltábla (a,b) koordinátájú pontjába talál. (A koordinátarendszer origójának a céltábla középpontját tekintjük.) Legyen azaz a találat helyének az origótól való távolsága. Azt már ismerjük, hogy a céltábla esetében a klasszikus valószínűségszámítás geometriai valószínűségre vonatkozó szabályait alkalmazhatjuk. Ezért például mivel az egyenlőség azt jelentené, hogy a találat a körvonalra esik, és ennek területe 0. Gazdasági Matematika

223

Annak van tehát értelme, hogy azt vizsgáljuk, hogy a lövés egy x sugarú körön belül esik. Mivel az x tetszőleges valós szám lehet, ezért az esemény valószínűségére három esetet különböztethetünk meg: ha x ≤ 0 ha 0 < x ≤ R ha R < x Ezért a valószínűségi változó egy folytonos függvény lesz:


224

112

2014.03.12.

P(ξ < x)

1

x

R Gazdasági Matematika

225

Példa: Dobjunk fel szabályos kockát, és ξ jelentse a dobott számot. Határozzuk meg a P(ξ < x) valószínűségeket! A lehetséges értékek: ξ = xi = i, (i = 1,2,…,6). Ha x ≤ 1 esetén P(ξ < x) = 0. Ha x ∊ (1, 2), akkor P(ξ < x) = P(ξ = 1) = 1/6. Ha x ∊ (1, 2, 3), akkor P(ξ < x) = P(ξ = 1) + P(ξ = 2) = 1/3. … Ha x ∊ (1, 2, … , 6), akkor Ha x ∊ (1, 2, … , n), ahol n > 6 akkor Ha a P(ξ < x) függvényt ábrázoljuk, akkor a következő függvényt kapjuk: Gazdasági Matematika

226

113

2014.03.12.

P(ξ < x)

x 1

2

3

4

5

6


227

Az eloszlásfüggvény A korábbi példákban függvényeket határoztunk meg, amelyek jellemzik a valószínűségi változót. Legyen ξ egy valószínűségi változó. Az F(x) = P(ξ < x), x ∊ R függvényt a ξ eloszlásfüggvényének nevezzük. Egy eloszlásfüggvényre teljesülnek a következő tulajdonságok: F(x) monoton növekvő függvény, azaz ha x1 ≤ x2, akkor F(x1) ≤ F(x2).

F(x) minden x pontjában balról folytonos, azaz Gazdasági Matematika

228

114

2014.03.12.

Tétel: Ha F(x) a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye, akkor annak a valószínűsége, hogy a ξ az [a,b) intervallumba esik P(a ≤ ξ < b) = F(b) – F(a). Biz. Az eloszlásfüggvény definíciójából a következők felírhatók: (1) (2) (3) (3)-at átrendezve, és beírva a definícióból adódó értékeket kapjuk: ami a tétel állítását szolgáltatja. Gazdasági Matematika

229

A ξ valószínűségi változót diszkrétnek nevezzük, ha ξ lehetséges értékeinek halmaza véges (vagy megszámlálhatóan végtelen). A ξ valószínűségi változót eloszlásfüggvénye folytonos.

folytonosnak

nevezzük,

ha

Diszkrét valószínűségi változó eloszlásfüggvénye:

Tétel: Ha ξ diszkrét valószínűségi változó, és lehetséges értékei az x1, x2, …, xn valós számok, akkor


230

115

2014.03.12.

A sűrűségfüggvény Ha a ξ valószínűségi változó F eloszlásfüggvénye folytonos és differenciálható, akkor az F differnciálhányados függvényét a ξ sűrűségfüggvényének nevezzük. Jelölése: f(x) = F’(x), x ∊ R. A sűrűségfüggvény tulajdonságai:


231

A valószínűségi változók további jellemzői A ξ valószínűségi változó módusza az az xi érték, amelynek P(xi) valószínűsége a legnagyobb. (Ha több ilyen van, akkor a móduszok halmazáról beszélünk.) A ξ valószínűségi változó mediánja az az M(ξ) szám, amelyre teljesül, hogy (1) (2) Ha több ilyen szám van, akkor legyen a az a legkisebb szám, amelyre (1) teljesül és b az a legnagyobb szám, amelyre (2) teljesül. Ekkor


232

116

2014.03.12.

Ha a ξ valószínűségi változó diszkrét eloszlású, akkor a várható értéke: A várható érték tehát a súlyozott számtani közép. Példa: Ha ξ egy kockadobás eredményeinek valószínűségi változója, akkor a lehetséges értékei: 1, 2, …, 6. Ezért

Látjuk, hogy a várható érték eltérhet a módusztól (tehát nem a leggyakrabban előforduló érték) és a mediántól is. Ebben az esetben a várható érték olyan szám, amely a diszkrét valószínűségi változó értékei között nem is szerepel. Gazdasági Matematika

233

Ha a ξ valószínűségi változó folytonos eloszlású, akkor a várható értéke: A 72. oldalon tárgyalt feladatban az eloszlás-függvény: ha x ≤ 0 ha 0 < x ≤ R Ami alapján a sűrűségfüggvény

ha R < x ha 0 ≤ x ≤ R ha R < x

Ezért a várható érték:


234

117

2014.03.12.

A várható érték egy ξ valószínűségi változó átlagértékét adja. (Ugyanúgy, mint pl. a fizikában egy rendszer súlypontja.) A várható érték ismerete azonban általában nem elegendő arra, hogy egy valószínűségi változó lehetséges értékeinek eloszlására következtetni tudjunk. Példa: Válasszunk ki egy évfolyamot véletlenszerűen, és válasszunk ki egy tantárgyat is véletlenszerűen. A hallgató adott tantárgyból kapott érdemjegyének a várható értéke akkor is közepes lesz, ha az évfolyam fele elégtelen, másik fele pedig jeles osztályzatot kapott, és akkor is, ha mindenki közepesre vizsgázott. Az eloszlások ilyen jellegű vizsgálatára alkalmas a szórás.


235

A szórás Ha a ξ valószínűségi változó diszkrét eloszlású, akkor a szórásnégyzete:

Alakítsuk át a jobb oldalt:


236

118

2014.03.12.

Ha a ξ valószínűségi változó folytonos eloszlású, akkor a szórásnégyzete: Ezt a kifejezést szokásos a ξ valószínűségi változó második centrális momentumának is nevezni.


237

Nevezetes diszkrét eloszlások I. A ξ valószínűségi változót egyenletes eloszlásúnak nevezzük, ha a ξ kimenetelei egyenlően valószínűek, lehetséges értékei: 0, 1, 2, …, n, és ahol k = 0, 1, 2, …, n. Az egyenletes eloszlás várható értéke:

A szórás értékét a képlet alapján számítjuk ki. Gazdasági Matematika

238

119

2014.03.12.

Példa: Dobjunk fel egy szabályos dobókockát. A kimenet legyen a dobott szám. Határozzuk meg a kísérlet várható értékét és szórását! A várható érték: Még egyszer leszögezzük: A várható érték jelentése nem az, hogy a kísérlet kimenete 3,5 lesz, hanem az, hogy elegendően sok kísérletet elvégezve a kapott eredmények átlaga a várható eredmény környékén lesz. A szórás értéke:

Ezért a szórás:


239

Az egyenletes eloszlás kiemelt fontosságú a véletlen számoknál. A számítógépes programok véletlen-szám generátoraival szemben gyakorlatilag egyetlen követelmény merül fel: az általuk előállított számok eloszlásának egyenletessége. Kimutatható, hogy ennek biztosítása nagyon nehéz. A véletlen számok széles körben alkalmazhatók: Szimuláció (véletlen időközökben érkezés szimulálása.) Mintavétel (egy terméksorozat minőségének megállapításakor) Számítógépes programozás (algoritmusok hatékonyságát véletlen adatok generálásával ellenőrizhetjük.) Szórakozás (kockázás, kártyázás, rulett)


240

120

2014.03.12.

Nevezetes diszkrét eloszlások II. A ξ valószínűségi változót binomiális eloszlásúnak nevezzük, ha a ξ lehetséges értékei: 0, 1, 2, …, n, és

ahol 0 < p < 1, k = 0, 1, 2, …, n és q = 1 – p. A binomiális eloszlásnak két paramétere van: n és p. Feladat: Bizonyítsuk be, hogy

(Lásd a 79. oldalon található tételt!) Gazdasági Matematika

241

Tétel: A ξ binomiális eloszlású – p és n paraméterű – valószínűségi változó várható értéke M(ξ) = np Biz.

Az összegzésben egy p és n – 1 paraméterű binomiális eloszlás tagjai szerepelnek, ezért az összegük 1. Így M(ξ) = np Gazdasági Matematika

242

121

2014.03.12.

Tétel: A ξ binomiális eloszlású – p és n paraméterű – valószínűségi változó szórása

Példa: Tegyünk egy urnába 3 piros és 9 darab fehér golyót. Húzzunk az urnából 20-szor egy-egy golyót úgy, hogy az egyes húzások után feljegyezzük a golyó színét, majd visszatesszük. Jelentse ξ a mintában levő piros golyók számát. Számítsuk ki a ξ valószínűségi változó várható értékét és szórását! A lehetséges piros golyók száma: 0, 1, 2, …, 20. Valószínűségeik a a klasszikus modell segítségével határozhatjuk meg. Tegyük fel, hogy a golyók meg vannak számozva, és az első három a piros. Így a húzások leírására egy olyan modellt tudunk használni, amelynek kimenetelei az 1, 2, …, 12 számokból álló 20 hosszúságú sorozatok. Gazdasági Matematika

243

Egy lehetséges kimenet: 3, 2, 7, 2, 6, 8, 12, 8, 4, 5, 10, 10 ahol a piros számok jelölik a piros golyókat. Mivel mind a 12 pozícióban előfordulhat bármelyik golyó, ezért a lehetséges kimenetek száma 1220. Ezek egyenlő valószínűséggel fordulhatnak elő. A kérdés most már csak az, hogy hány olyan sorozat van, amelyben az 1, 2, 3 számok k-szor fordulnak elő. Ezek száma: Így a keresett valószínűség:

ami éppen egy binomiális eloszlást szolgáltat p = 4 és n = 20 paraméterekkel. Gazdasági Matematika

244

122

2014.03.12.

Most kiszámíthatjuk a várható értéket és a szórást:

és


245

Nevezetes diszkrét eloszlások III. A ξ valószínűségi változót geometriai eloszlásúnak nevezzük, ha a ξ lehetséges értékei: 1, 2, …, n,… és annak valószínűsége, hogy a ξ a k értéket veszi fel: ahol 0 < p < 1, k = 1, 2, …, n és q = 1 – p. A binomiális eloszlásnak két paramétere van: n és p. Tétel: Ha a ξ valószínűségi változó geometriai eloszlású, akkor a várható értéke és szórása


246

123

2014.03.12.

A geometriai eloszlásnak megfelelő modellünk a következő lesz. Tekintsünk egy olyan kísérletet, amelynek két kimenetele lehetséges: A és B. Legyen P(A) = p és P(B) = 1 – p = q. Végezzük el a kísérletet egymástól függetlenül sokszor, és tekintsünk egy kísérletsorozatot egyetlen kísérletnek. Ennek minden kimenetele az A és B eseményekből alkotott sorozattal jellemezhető. A ξ valószínűségi változó jelölje azt a sorszámot, amelynél A először fordul elő. A ξ lehetséges értékei az 1, 2, …, n, … számok. Mivel az egyes kísérletek egymástól függetlenek, ezért ugyanis k – 1-szer a B esemény következett be, és csak a k-adikra az A. Gazdasági Matematika

247

Példa: Tegyünk egy urnába 2 piros és 8 darab fehér golyót. Húzzunk az urnából visszatevéssel egy-egy golyót mindaddig, amíg piros golyót sikerül húzni. Legyen a kísérlet kimenetele a szükséges húzások száma. Számítsuk ki a ξ valószínűségi változó várható értékét és szórását! A kimenetelek tehát a pozitív egész számok lehetnek, de előállhat az az eset is, hogy soha nem húzunk piros golyót. Ezért a val.vált. értelmezési tartománya megszámlálhatóan végtelen számosságú halmaz. Vezessük be az alábbi eseményeket: Ak: a szükséges húzások száma pontosan k, azaz a k. húzásra húzunk először pirosat. Bk: az első k húzás között nincs piros. Gazdasági Matematika

248

124

2014.03.12.

Egészítsük ki a a fenti eseményeket a Ck-1 eseménnyel, amely azt jelenti, hogy az első k – 1 húzás között van piros golyó. A három esemény teljes eseményrendszert alkot, hiszen egymást kizáró események és Hasonlóan: Ezért Vegyük észre, hogy a Bn esemény akkor következik be, ha n egymás utáni kihúzott golyó között nincs piros, ami éppen a binomiális eloszlás első tagja: Gazdasági Matematika

249

Így

minden k = 1, 2, … értékre, ezért p = 1/5 és q = 4/5. Ebből kapjuk, hogy és amiből adódik, hogy


250

125

2014.03.12.

Nevezetes diszkrét eloszlások IV. A ξ valószínűségi változót hipergeometrikus eloszlásúnak nevezzük, ha a ξ lehetséges értékei: 0, 1, 2, …, n és annak valószínűsége, hogy a ξ a k értéket veszi fel:

ahol n ≤ M ≤ N, k = 0, 1, 2, …, n.


251

Tétel: Legyen a ξ valószínűségi változó hipergeometrikus eloszlású. Jelölje p = M / N és q = 1- p. Ekkor a ξ várható értéke

és szórása

Hipergeometrikus eloszlást eredményez a következő kísérletsorozat: Legyen egy dobozban N golyó, közöttük M kitüntetett (piros színű). Visszatevés nélkül, véletlenszerűen kiválasztunk egy n elemű mintát (n ≤ M). Legyen a ξ valószínűségi változó a mintában lévő kitüntetett elemek száma, értékei: 0, 1, 2, …, n.


252

126

2014.03.12.

Példa: Tegyünk egy urnába 6 darab piros és 4 darab fehér golyót. Húzzunk ki visszatevés nélkül 4 golyót. Legyen a kísérlet kimenetele a kihúzott piros golyók száma. Mi lesz ennek a kísérletsorozatnak a várható értéke és szórása? Összesen

-féle 4 elemű minta van. Ezek közül

tartal-

maz pontosan m darab pirosat. Ezért annak a valószínűsége, hogy a mintában m darab piros van:

Tehát hipergeometriai eloszlással van dolgunk. Ezért


253

Nevezetes diszkrét eloszlások V. A ξ valószínűségi változót λ paraméterű Poisson eloszlásúnak nevezzük, ha a ξ lehetséges értékei: 0, 1, 2, …, n,… és a ξ valószínűségi változó valószínűségeloszlása: ahol λ > 0, k = 0, 1, 2, …, n,… . A Poisson eloszlásnál a ξ megszámlálhatóan végtelen.

lehetséges

értékeinek

halmaza

Tétel: Legyen a ξ valószínűségi változó hipergeometrikus eloszlású. Jelölje p = M / N és q = 1- p. Ekkor a ξ várható értéke és szórása


254

127

2014.03.12.

A Poisson eloszlás a binomiális eloszlás határeseteként, a kísérletek számának növelésével kaphatjuk megúgy, hogy az A esemény valószínűsége n növelésével egyre csökken, miközben az np = λ szorzat állandó marad. A Poisson eloszlás jelentőségét az adja, hogy igen sok gyakorlati feladatban találkozunk ilyen eloszlású változókkal. Általában a pontok tér- vagy időbeli eloszlása akkor követi a Poisson-eloszlást, ha azok egymástól függetlenül és minden tér vagy időrészben egyformán valószínűen oszolhatnak el. Ilyen eloszlást mutat – többek között – a vérsejtek száma a mikroszkóp látóterében, az egy útszakaszon bizonyos idő alatt áthaladó gépkocsik száma, a sajtóhibák száma egy könyvoldalon stb. Az eloszlás paramétere arányos lesz a vizsgált térrész vagy időintervallum nagyságával. Gazdasági Matematika

255

Nevezetes folytonos eloszlások I. A ξ folytonos valószínűségi változót egyenletes eloszlásúnak nevezzük az (a,b) intervallumon, ha sűrűségfüggvénye: ha a < x < b egyébként Az eloszlásfüggvénye ha x ≤ a ha a < x ≤ b ha b < x


256

128

2014.03.12.

Tétel: Az egyenletes eloszlású folytonos ξ valószínűségi változó várható értéke és szórása:


257

Nevezetes folytonos eloszlások II. A ξ folytonos valószínűségi változót exponenciális eloszlásúnak nevezzük, ha sűrűségfüggvénye: ha x ≥ 0 ha x < 0 Az eloszlásfüggvénye ha x ≤ 0 ha x > 0


258

129

2014.03.12.

Tétel: Az exponenciális eloszlású folytonos ξ valószínűségi változó várható értéke és szórása:


259

Nevezetes folytonos eloszlások III. A ξ folytonos valószínűségi változót normális eloszlásúnak nevezzük m és σ paraméterekkel, ha sűrűségfüggvénye:

Az eloszlásfüggvénye

Mivel az integrálunkat elemi függvényekkel nem tudjuk kifejezni, ezért az eloszlásfüggvény értékeit táblázat segítségével határozhatjuk meg.


260

130

2014.03.12.

Tétel: Az normális eloszlású folytonos ξ valószínűségi változó várható értéke és szórása:

Kitüntetett szerepe van annak a normális eloszlásnak, amelynek paraméterei m = 0 és σ = 1. Ezt standard normális eloszlásnak nevezzük. Jelölése: N (0,1). A standard normális eloszlás sűrűségfüggvénye ill. eloszlásfüggvénye:


f(x)

261

Az (m, σ) paraméterű normális eloszlás sűrűségfüggvénye

x m-σ

m Gazdasági Matematika

m+σ 262

131

2014.03.12.

F(x)

Az (m, σ) paraméterű normális eloszlás eloszlásfüggvénye

0,5

m Gazdasági Matematika

263

A standard normális eloszlás sűrűségfüggvényének maximumhelye az origó, és a függvény az y tengelyre szimmetrikus. Ezért az eloszlásfüggvény értékeinek a táblázatba foglalása a standard normális eloszlás esetében egyszerűbb. Így pl. a standard normális eloszlás esetén negatív független változókra a függvényértékeket nem kell kiszámítani, mert Φ(-x) = 1 – Φ(x) Ugyanakkor azt is látni kell, hogy nem szükséges kiszámítani a táblázatot minden m, σ párra, hanem elegendő az N(0,1) standard normális eloszlás táblázatát elkészíteni, mert


264

132

1. Sorozatok

Recommend Documents