2001 /2002. 11.o. Fakt. Bp.
Sorozatok A.: Sorozatok általában
tanm_soroz_A_sorozatok_altalaban.doc
Sorozatok A.: Sorozatok általában A. Ad I. 2) Z/IV/1/a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk minél többet elmondani. 2/a, c, g; 3/a, c; 4; 5/a,f 6/a,d,f,i 7
Sorozatok általában I. A sorozat fogalma 1) Definíció: a pozitív természetes számok halmazán értelmezett számértékű függvényt sorozatnak nevezzük: a( ): N+→R; n 6 a(n) Da()=N+ ∞ Egyszerűbb jelölések: {a n }n=1 vagy: {a n }n∈N + ; vagy csak egyszerűen: {an} A sorozat 1. tagját, vagyis azt a számot, amit a sorozatot definiáló függvény az 1-hez hozzárendel: a1-gyel jelöljük. Az n-edik tagot: an-nel: 1 6 a(1); 2 6 a(2); … n 6 a(n) Figyelem: nem halmaz! Lehet sok azonos tagja! A sorozat alaphalmazának elemeit indexeknek hívjuk. 2) Néhány sorozat a) Növekvő sorrenden a 3-mal osztható pozitív természetesek: 1.
b)
c)
2.
3.
100.
n.
3 ; 6 ; 9 ; … 300 ;… 3n ;… Az n-edik tag már egy képzési szabály is!: Explicit alak: 3n Rekurzíven: a1:=3; n>1⇒an:=an–1+3 (Rekurzív alak) Milyen tulajdonságai vannak? (korlátosság, monotonitás, „hova tart?”) 1-nél 1/10-del, 1/100-dal stb. kisebb számok: 1 1 1 1 1 ;1– ;1– ;…1– n ; … 1– ; 1– 10 100 1000 1000 10 Rekurzíven? a1:=0,9; n>1⇒an:=an–1+9*10–n Milyen tulajdonságai vannak? (korlátosság, monotonitás, „hova tart?”) Mekkora lehet végtelen (az elsőtől kezdve egymás után) sok tag összege? Sorban (–2) pozitív természetes kitevős hatványai: 1; –2; 4; –8; … (–2)n–1; … Rekurzíven: a1:=1; n>1⇒an:=(–2)*an–1 Milyen tulajdonságai vannak? (korlátosság, monotonitás, „hova tart?”) Van-e szig. mon. indexsorozata? Mekkora lehet végtelen sok tag összege?
Soroz. A/1
Tk 170/1.
2001 /2002. 11.o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általában tanm_soroz_A_sorozatok_altalaban.doc d) Sorban a négyzetszámok 1; 4; 9; … n2 ; … Rekurzíven Milyen tulajdonságai vannak? (korlátosság, monotonitás, „hova tart?”) Mekkora az első n tag összege? e)
f)
g)
h) Tk. 171.o: 2/a
1.
2. 3.
100.
n.
0 ; 1 ; 2 ; … 99 ;… n − 1 ;… Az n-edik tag már egy képzési szabály is! Rekurzíven: a1:=0; n>1⇒an:=an–1+1 Milyen tulajdonságai vannak? (korlátosság, monotonitás, „hova tart?” Mekkora az első n tag összege? 1;1;1;1… Az n-edik tag már egy képzési szabály is! Rekurzíven: a1:=1; n>1⇒an:=an–1 Milyen tulajdonságai vannak? (korlátosság, monotonitás, „hova tart?” A pozitív természetesek reciprokai: 1 1 1 1 1 ; ; ; ;… ; … 1 2 3 4 n 1 Rekurzíven?: a1:=1; n≥2 és n∈N ⇒an:= 1 +1 a n −1 Milyen tulajdonságai vannak? (korlátosság, monotonitás, „hova tart?”) Mekkora lehet végtelen (az elsőtől kezdve egymás után) sok tag összege? Nőhet-e akármekkorára? A négyzetszámok reciprokai: 1 1 1 1 1 ; ; ; ;… 2 ; … 1 4 9 16 n Rekurzíven? Milyen tulajdonságai vannak? (korlátosság, monotonitás, „hova tart?”) Mekkora lehet végtelen (az elsőtől kezdve egymás után) sok tag összege? Nőhet-e akármekkorára?
Soroz. A/2
Z/IV/10/a 12, 13; 14; 15
4)
Z/IV/17/b,d,e 19, 20,21,
CD II/IV/860/c;e,f 865
2001 /2002. 11.o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általában tanm_soroz_A_sorozatok_altalaban.doc i) Kettő hatványainak reciprokai: 1 1 1 1 1 ; 1 ; 2 ; 3 ;… n −1 ; … 0 2 2 2 2 2 Rekurzíven? Milyen tulajdonságai vannak? (korlátosság, monotonitás, „hova tart?”) Mekkora lehet végtelen (az elsőtől kezdve egymás után) sok tag összege? Nőhet-e akármekkorára? Érdekesség: négyzet alakú papír, hajtogatással. 1 n n +1 j) –0,9; 0,99; –0,999; 0,9999; –+ … (− 1) + (− 1) ⋅ n ;… 10 Rekurzíven? Milyen tulajdonságai vannak? (korlátosság, monotonitás, „hova tart?”) Mekkora lehet végtelen (az elsőtől kezdve egymás után) sok tag összege? 1;–2;0;4;–5;0 … (n≡0 mod 3 ⇒ an:=0; n≡1 mod 3 ⇒ an:=n; n≡2 mod 3 ⇒ an:=–n) Milyen tulajdonságai vannak? (korlátosság, monotonitás, „hova tart?”) Mekkora lehet végtelen (az elsőtől kezdve egymás után) sok tag összege? Milyen indexsorozatai vannak? Számossági kérdések - később külön fejezet! Miből van több? A természetes számokból, a négyzetszámokból, a hárommal oszthatóakból stb? Mindegyik ekvivalens számosságú a természetes számokkal! Explicit megadás. a sorozat tagjait úgy adjuk meg, hogy azok csakis az indexüktől függnek, vagyis általános taggal, nem felsorolással n −1 a) an:= 2 n Mennyi: a1=0 a2=1/4 a3=2/9 a100=99/10000 k)
3)
4)
Milyen tulajdonságai vannak? (korlátosság, monotonitás, „hova tart?”) Mekkora lehet az összege? n
b)
an:=
∑i i =1
Mennyi: a1=1 a2=3 a3=6
a100=(100⋅101)/2 Soroz. A/3
2)
Z/IV/25,26 Z/IV/28 Tk.: 171/2/b;c CD/II/IV/870
Ad 5: CD II/IV/ 998/a, d CD II/IV/1000/a-d, +Rábai: 17.o: 69: a1:=0; a2:=1, és 1 an:= ⋅(an–1+an–2) 2 Explicit (zárt) alakban. Mo.: Nehéz
2001 /2002. 11.o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általában tanm_soroz_A_sorozatok_altalaban.doc Zárt alakban: an=n⋅(n+1)/2 Rekurzíven: a1:=1; n>1⇒an:=an–1+n Milyen tulajdonságai vannak? (korlátosság, monotonitás, „hova tart?”) Mekkora lehet az összege? 5) Rekurzíven a) Rekurzív megadás: A rekurzív formula olyan egyértelmű utasítás, amellyel a sorozat tagjait a korábbi tagok segítségével fejezhetjük ki. Ekkor a sorozat bizonyos számú kezdőtagját előre meg kell adni. Ha 1 előző tagot használunk fel: elsőrendű, ha 3-at: harmadrendű rek. sorozat. A felhasznált tagok hatványkitevőjét tekintve: lineáris, másodfokú stb. Ha a rekurziós képletben nincs konstans tag: homogén, egyébként inhomogén. b) a1:=1; n≥2⇒an:=an–1+3 a1=1 a2=4 a3=7 Zárt alakban: an=? an=1+3+3+3+…+3 an= 3⋅(n–1)+1 c) a1:=1; a2:=2; a3:=3; n≥4⇒an:=an–3+2⋅an–3+3⋅an–3. a1=1; a2=2; a3=4; a4=14; a5=50 Zárt alakban: borzasztó nehéz! an=? d) A Fibonacci sorozat: a1:=1, a2:=1, n∈N és n>2 ⇒ an:= an–1+an–2 Most csak néhány tagot írjunk fel, és gondoljuk meg, hogy miért kellett megadni 2 induló tagot. Mi a köze ennek a T.I-ban használt szöveghez: „az öröklődést kettővel korábbi tagot felhasználva beláttuk, mi legalább két egymás utáni tagot megvizsgáltunk, tehát…” 6) Függvényleszűkítéssel. Azonban itt meg kell jegyezni, hogy logikailag a sorozatok előbb vannak, mint azok a függvények, melyeket „leszűkítünk”! f:R→R; f(x)=x2+1. Ekkor: an=n2+1 {an}:= f|N+.
Soroz. A/4
2001 /2002. 11.o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általában tanm_soroz_A_sorozatok_altalaban.doc 7) Egyéb megadások a) bn:= 2 n. jegye a tizedesvessző után. b) 2; 5; 8 … 1: hibás, mert nem tudni, milyen képzési szabállyal következik a többi tag. II. Sorozatok ábrázolása π 1) Ábrázoljuk koordinátarendszerben az: an=sin(n⋅ ) sorozatot: 2 2) Ábrázoljuk számegyenesen a következő sorozat tagjait: 1 1 1 n +1 1 1; − ; ; − ; +–…; (− 1) ⋅ 2 3 4 n Miért jó ez az ábrázolási mód ebben az esetben?
http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Orosz_Gyula/Rek/rek1.htm
Soroz. A/5
