Feladatok megoldása Sorozatok I / 1. 1. a1 = 5, a2 = 1, a3 = -3, a4 = -7, a5 = -11, a6 = -16 5 3 7 4 b1 = 3, b2 = 2, b3 = , b4 = , b5 = , b6 = 3 2 5 3 3 3 3 3 , c2 = , c3 = 0, c4 = , c5 = c6 = 0 c1 = 2 2 2 2 8 32 d6 = 4 d1 = -2, d2 = 1, d3 = − , d4 = 1,6, d5 = − 7 13 e1 = 1, e2 = 4, e3 = 9, e4 = 16, e5 = 25 e6 = 36
2. a1 = 0,25, a2 = 0,5, a3 = 1, a4 = 2, a5 = 4, a6 = 8 b1 = 1, b2 = 3, b3 = 1, b4 =3, b5 = 1, b6 = 3 c1 = 2, c2 = 4, c3 = 3, c4 = 3,5, c5 = 3,25 c6 = 3,375 d1 = -2, d2 = 1, d3 = , d4 = 1,6, d5 = d6 = 4 e1 = 1, e2 = 4, e3 = 4, e4 = 1, e5 = 0,25 e6 = 0,25 3. a2012 = 3 S32 = 134 4. a, szigorúan monoton növekvő b, szigorúan monoton csökkenő c, szigorúan monoton növekvő d, szigorúan monoton növekvő 5. a, 4 (Ez a sorozat suprémuma.) b, 3 (Ez a sorozat infimuma.) c, alsó korlát (sőt infimuma): 1, felső korlát (sőt suprémum): 2 I / 2.
1. a, számtani sorozat, d = 7 b, számtani sorozat, d = -0,8 c, nem számtani sorozat d, számtani sorozat, d = 0 e, nem számtani sorozat 2. a, a1 =0, d = 2 b, a1 =6, d = 6 c, a1 =8, d = 8
d, a1 = −
32 ,d=8 3
3. A 25. napon 850 látogató volt. Az első 30 nap a kiállítást 16950 ember kereste fel. 4. A kapott szám 56 jegyű. 5. Két megoldás van. Ha nyolcszögről van szó akkor 20, ha kilencszögről, akkor 27 átlója van. 6. 5940 7. an = -5n + 2,5 8. 21 cm, 28cm, 35 cm 9. 14 óra I / 3.
1. a, S5 = 93 b, S5 = -122 vagy S5 = 242 c, S5 = 8,25 vagy S5 = 23,25 2. a, a1 = 4, a2 = 12, a3 = 36, a4 = 108, a5 = 324 1 2 4 8 16 b, a1 = , a2 = , a3 = , a4 = , a5 = 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 , a4 = , a5 = c, a1 = , a2 = , a3 = 3 9 27 81 243 1 , q =9 81 b, a1 = 12, q = 0,25, vagy a1 = 0,75, q = 4 42 c, a1 = , q =5 31
3. a, a1 =
4. Négy év múlva az autó értéke 1764909 Ft lesz. A vásárlástól számítva a 6. évben lesz autó értéke 1500000 Ft-nál kevesebb. 5. Két ilyen mértani sorozat van. Az első (4, 16, 64) kvóciense: 4, a másodiké (64, 16, 4): 0,25. 6. Két ilyen számtani sorozat van. Az első (28, 64, 100) differenciája: 36, a másodiké (168, 64, -40): -104. I / 4.
1. 10 év múlva 1242339 forintunk lesz a bankban. Ez 210,51 %-kal több, mint a betett összeg. 2. 31,19% 3. a, 206103 Ft b, 208815 Ft c, 210718 Ft 4. 173571 Ft 5. 9,9% 6. 1296105 Ft 7. 31164 Ft
Térgeometria II / 1.
1. 468 + 14 176 cm2 ≈ 653,73 cm2 2. a, K = 48 cm, T = 96 3 cm2 b, K = 56 3 cm, T = 392 3 cm2 3. 53,63° és 126,37° 4. a, T ≈ 256,75; K ≈ 97,36 cm b, 5. 21,17 cm2 és 7,09 cm2 6. 1634,4 cm2 7. 1. eset, ha a két húr nem fogja közre a kör középpontját T ≈ 302,4 cm2 K ≈ 152,35 cm 2. eset, ha a két húr közrefogja a kör középpontját T ≈ 9913,68 cm2 K ≈ 441,63 cm 8. 1. eset 98,71% 2. eset 44,83 % II / 2.
1. a, 90° b, 118,07° c, 11,41° 2. a, 4,71 cm b, 14 cm c, 0 3. Háromféle hosszúság: 6 13 cm, 3 41 cm, 3 61 cm II / 3.
1. kulcs, gyűrű, olló II / 4.
V = 75 3 cm3, A = 180 + 50 3 cm2 V = 2304 cm3, A = 288 10 cm2 V = 14,976 π cm3, A ≈ 38,52π cm2 V ≈ 246,67π cm3, A = 175,39π cm2 3:2:1 32 csúcs, 60 él, 30 lap. A = 1470 cm2, V = 2401 cm3 7. A = 90 + 6 91 cm2 ≈ 147,24 cm2
1. 2. 3. 4. 5. 6.
V = 39 82 cm3 ≈ 353,16 cm3 II / 5.
1. A ≈ 230,6 cm2 d1 ≈ 6,41 cm d2 ≈ 12,84 cm d3 ≈ 11,83 cm 2. 23,82 cm 3. a, 10,53 cm 144 b, 481 c, 116,06° d, Ugyanaz (Hiszen a két háromszög egybevágó.) e, Ugyanaz. 4. Ez a téglatest egy négyzetes oszlop. A négyzet oldalait jelöljük a-val, a többi oldalélt b-vel. 1. eset: a négyzetes oldal átlója 7 cm, a másik oldalé 8 cm 7 a= cm = 3,5 2cm ≈ 4,95cm 2 b = 39,5cm ≈ 6,28cm d = 88,5cm ≈ 9,41cm A ≈ 173,73 cm2 V ≈ 153,98 cm3 2. eset: a négyzetes oldal átlója 8 cm, a másik oldalé 7 cm a = 4 2cm ≈ 5,66cm b = 17cm ≈ 4,12cm d = 9cm A ≈ 157,3 cm2 V = 32 17 cm3 5. V ≈ 1487,07 cm3 Oldallap és alaplap szöge: 75° Oldalélek és az alaplap szöge: 69,3°
II / 6.
1. A = 133π 49 95π ≈ 159,2π V= 3 Nyílásszöge: 108,63° 2. a, r = m = 3 2 cm; A ≈43,46π; V = 18 2 π b, r ≈ 5,58; m ≈ 3,23; A ≈ 67,13π; V ≈ 33,47π
1 9 1 b, 27 27 c, 26 d, 2,48 cm-re az alaplap síkjától. A ≈ 209,48 cm2 V ≈ 192,53 cm3 V1 : V2 : V3 = 4800 : 2560 : 6778,73 Ha a háromszöget a16 cm-es befogója körül forgatjuk, akkor 1920π cm2, ha a másik befogója körül akkor 800π cm2, ha az átfogója körül forgatjuk meg, akkor körülbelül 1048,27π cm2 felszínű forgástestet kapunk. Legnagyobb felszínű testet az első esetben kapunk. a = 4 cm, m = 2 3 cm, Az alkotók és az alaplap által bezárt szög: 60°. A két test térfogata megegyezik. ( 4,5π cm3.)
3. a,
4. 5.
6. 7. II / 7.
a a 3π 2 1. a, r = , A = a π, V = 2 6 a 3 a 3 3π , A = 3a2π, V = b, r = 2 2 a 2 c, r = , A = 2a2π, V = a 3 2π 2 2. a, Kocka. (Ha egy dodekaéder szomszédos lapközéppontjait összekötjük, akkor ikozaédert kapunk.) b, Mindegyik téglatestre. 3. Ha egy oktaéder szomszédos lapközéppontjait összekötjük, akkor kockát kapunk. Ha egy dodekaéder szomszédos lapközéppontjait összekötjük, akkor ikozaédert kapunk.
Logika III / 1.
1. Kijelentések: Deák Ferenc államférfi volt. Messi brazil focista. Az első állítás igaz, a második hamis. (Messi argentin focista, s nem brazil.) 2. a, Nem igaz az, hogy a foci vb-t négyévente rendezik meg. Nem négyévente rendezik meg a foci vb-t. b, Nem igaz az, hogy ha esik a hó, akkor zenét hallgatok. Esik a hó, de nem hallgatok zenét. c, Nem igaz az, hogy van olyan gimnazista, aki nem készül az órákra. Nincs olyan gimnazista, aki nem készül az órákra. Minden gimnazista készül az órákra. d, Nem igaz az, hogy vasárnap olvasok vagy kirándulok. Vasárnap nem olvasok, és nem kirándulok. e, Nem igaz az, hogy kék a fű és zöld az ég. Vagy az ég nem kék, vagy a fű nem zöld. f, Nem igaz az, hogy minden nyárom megrendezik a Szegedi Szabadtéri Játékokat és a Szegedi Ifjúsági Napokat. Van olyan nyár, amikor nem rendezik meg a Szegedi Szabadtéri Játékokat és a Szegedi Ifjúsági Napokat. g, Nem igaz az, hogy minden háztartásban van legalább egy számítógép. Van olyan háztartás, amiben nincs számítógép. h, Nem igaz az, hogy a 24 osztható 3-mal és 4-gyel. A 24 nem osztható vagy 3-mal, vagy 4-gyel. i, Nem igaz az, hogy van olyan deltoid, amelyik húrnégyszög. Nincs olyan deltoid, amelyik húrnégyszög. 3. a, ┐A b, A /\ B c, A \/ ┐B d, C Æ B e, ┐C Æ ┐B f, C ↔ (A /\ B) 4. a, A rabok nem veszik át a börtön irányítását vagy legalább 6 őrt leszerelnek. b, Nem igaz az, hogy a rabok áteszik a börtön irányítását és legalább 6 őrt leszerelnek. c, Ha a rabok átveszik a börtön irányítását, akkor a BBC és CNN élőben közvetíti a lázadást. d, A BBC és CNN akkor és csakis akkor közvetíti a lázadást, ha a rabok átveszik a börtön irányítását és legalább hat őrt leszerelnek. 5. András – kerékpározik – fizikus Csaba – ejtőernyőzik – informatikus Béla – úszik – építész 6. a, A b, A c, A Æ B 7. Készítsünk igazságtáblázatot!
A I I I I H H H H
B I I H H I I H H
C I H I H I H I H
(A /\ B) /\ C I H H H H H H H
A /\ (B /\ C) I I I I H H H H
A I I I I H H H H
B I I H H I I H H
C I H I H I H I H
(A \/ B) \/ C I I I I I I I H
A \/ (B \/ C) I I I I I I I H
A I I I I H H H H
B I I H H I I H H
C I H I H I H I H
A \/ (B /\ C) I I I I I H H H
(A \/ B) /\ (A \/ C) I I I I H H H H
A I I I I H H H H
B I I H H I I H H
C I H I H I H I H
A /\ (B \/ C) I I I H H H H H
(A /\ B) \/ (A /\ C) I I I H H H H H
Rendszerező összefoglalás IV / 1.
1. a, A = {Ausztria, Belgium, Dánia, Egyesült Királyság, Finnország, Franciaország, Görögország, Hollandia, Írország, Luxemburg, Németország, Olaszország, Portugália, Spanyolország, Svédország} 15 elemű halmaz b, B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37} 12 elemű halmaz c, C = {± 5 } 2 elemű halmaz d, üres halmaz 2. A = F A ⊆ B, A ⊆ D, A ⊆ F, C ⊆ B, C ⊆ D, D ⊆ B, E ⊆ B, E ⊆ C, F ⊆ B, F ⊆ D, F ⊆A 3. a, 16 b, 24 c, 12 ⎛10 ⎞ ⎛10 ⎞ d, A lehetséges hat és a négytagú delegációk száma egyenlő, mivel ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ = 420 ⎝6 ⎠ ⎝4 ⎠ 4. a, A ∩ B = {rombuszok} A ∪ B = {trapézok, vagy deltoidok} A \ B {olyan trapézok, melyek nem deltoidok} A = {olyén négyszögek, melyeknek nincs párhuzamos oldalpárjuk} b, A ∩ B = {13; 19} A ∪ B ={2; 3; 5; 7; 11; 13; 16; 17; 19} A \ B = {2; 3; 5; 7; 11; 17} A = {0; 1; 4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; 16; 18} c, A ∩ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 9} A ∪ B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 12; 15; 16; 18; 20; 24; 25; 30; 36} A \ B = {0; 7} A = {x | 9 < x < 40 és x ∈ N} d, A ∩ B = ]-19; 28] A ∪ B = [-30; 31] A \ B = [-30; -19] A = [-43; -30[ ∪ ]28; 49[ e, mellékelt rajz 5. A = {2; 3; 5; 6; 23; 28} B = {6; 7; 11; 17; 20; 23} C = {13; 17; 19; 20; 23; 28} 6. a, 48
b, 24 c, 6 d, 30 e, 8 f, 18 g, 21 7. a, 151 b, 433 c, 600 d, 400 IV / 2.1.
1. A = 125 B=8 C = 2-12 2. a, 16 b, 6,25 c, 10000 d, 1000 4 e, 3 −1 f, 64 g, 9 h, 1 i, 5 3. a, 1 b, a2 c, 1 d, b-1 4. a, Hamis. (pl. 25 + 23 = 40 ≠ 256 = 28) b, Igaz. ( a n ⋅ a m = a n + m azonosság) c, Igaz. (Ilyen szám az 1.) d, Hamis. (pl. (2 + 5)2 = 49 ≠ 29 = 22+ 52) e, Igaz. (A 0 és 1 közötti számok mind ilyenek.) f, Igaz. (pl. -0,5) 5. V = 10,18 cm3 a ≈ 2,1673 cm 6. a, 80 b, 248 c, 12 d, 6 + 24 3 3
7. a, 2 b, 3 c, 20 8. a, -7 b, 0 7 5 5 b, 5 + 37
9. a,
83 − 2 5 3 4 d, 2 27
c,
3
e,
10. a,
4 − 3 2 +1 3
35
=7 5<
174
5 180 − 6 8 12 24 b, 5 = 25 < 3 = 24 27
11. a,
= 180 + 6 = 6 5 + 6
1
a5 b, HIBÁS 4
12. A = 1,5 B=0 C=8 1 3 b, 6 c, 0,5
13. a,
14. N =
10 23 4
≈ 0,8409 ⋅ 10 23
2 44 perc alatt bomlik el az anyagminta 40%-a.
IV / 2.2.
14 3 b, 33 50 c, 9
1. a,
2. a, 4 x 2 (x – 4) b, (4a – 1)(x + y) c, (2a –y)(5a – 35x) d, x 2 z − 5 y 2 x 2 z + 5 y 2 e, (x + 8)2 f, (9x + 6)2 g, (x – 5)(x + 3) h, (x + 6)(x – 1)
(
3. a, b, c, d, e, f,
)(
)
1 s+2 5(a + 3) 4 x+6 2( x − 6) d 2 + c2 x−2 x−4 x+8 x −1
9 x − 13 4( x − 5) 2 − 7x −1 b, ( x + 4)( x − 4) c, 20 5( x − 5)( x + 4) d, x2 1− x e, 2 − 3x
4. a,
IV / 2.3.
1. a, y = 0 és x = 4 y = 4 és x = 0; 9 y = 8 és x = 5 b, y = 0 és x = 0; 3; 6; 9 y = 5 és x = 1; 4; 7 c, x = 0 és y = 0; 9 x = 2 és y = 7 x = 4; y = 5 x = 6 és y = 3 x = 8 és y = 1 2. 0, mivel a szorzat osztható 2-vel és 5-tel
3. Nem prímszám, mivel osztható 3-mal. Nem négyzetszám, mivel 3-mal osztható, de 9cel nem. 4. Nem, mivel öt egymást követő pozitív egész szám összege mindig osztható 5-tel. 5. [441000; 58212] = 2 3 ⋅ 33 ⋅ 5 3 ⋅ 7 2 ⋅ 11 = 14553000 (441000; 58212) = 2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 7 2 = 1764 6. 2 és 2012 7. 60 8. 1010000012 9. 171 IV / 3.
1. a, nem b, igen c, igen 14 15 b, x = -4
2. a, −
3. Igen. 4. Mellékelt ábra. 7x 3 5. a, f(x) = − 6 2 9 b, x ≤ 7 6. Az ábrázolások a mellékelt ábrán. a, D: R: [-2,25; ∞[ zérushelyek: x = 0 és x = 3 ]-∞; 1,5]-on szigorúan monoton csökkenő ]1,5; ∞[-on szigorúan monoton növekvő abszolút minimum helye x = 1,5; értéke y = -2,25 nem páros és nem páratlan nem periodikus b,
D: R: ]-∞; 9] zérushelyek: x = -2 és x = 4 ]-∞; 1]-on szigorúan monoton növekvő ]1; ∞[-on szigorúan monoton csökkenő abszolút maximum helye x = 1; értéke y = 9 nem páros és nem páratlan nem periodikus
c,
D: R: [-8; ∞[ zérushelyek: x = -3 és x = 1 ]-∞; 1]-on szigorúan monoton csökkenő
]1; ∞[-on szigorúan monoton növekvő abszolút minimum helye x = 1; értéke y = -8 nem páros és nem páratlan nem periodikus d,
D: 1⎤ ⎤ R: ⎥ − ∞; ⎥ 2⎦ ⎦ zérushelyek: x = 3 és x = 1 ]-∞; 2]-on szigorúan monoton növekvő ]2; ∞[-on szigorúan monoton csökkenő abszolút maximum helye x = 2; értéke y = 0,5 nem páros és nem páratlan nem periodikus
7. a, f(-1) – f(2) = 9 b, A [2; 4[ intervallum bármely részintervallumán. pl. [2; 3] c, x = 0 d, A függvénynek abszolút minimuma van. Helye: x = 2, értéke y = -9. 8. a, π(x) = -5(x – 12)2 + 220 b, 6-tól 18-ig c, Legyen a gyártott mennyiség 12 darab. Ekkor a maximális nyereség: 220 000 Ft. 9. a, p = 5 25 b, p = 8 139 c, p = 32 10. a, f(x) = -|x – 4| + 5 b, f(x) = x2 + 2 c, f(x) = x2 – 3 d, f(x) = x + 1 e, f(x) = 3sinx f, f(x) = sin 2x 11. a, f(-3) = 1; f(0) = -1 D: [-4; 6] R: [-3; 11] zérushelyek: x =-2,5 és x = 0,5 [-4; -1]-on szigorúan monoton csökkenő ]-1; 6[-on szigorúan monoton növekvő abszolút minimum helye x = -1; értéke y = -3 nem páros és nem páratlan nem periodikus b, g(-3) = 1; g(0) = -2 D:
R: [-∞; 3] zérushelyek: x =-8 és x = -2 ]-∞; -5]-on szigorúan monoton növekvő ]5; ∞[-on szigorúan monoton csökkenő abszolút maximum helye x = -5; értéke y = 3 nem páros és nem páratlan nem periodikus c, h(-3) = -9,5; h(0) = -5 D: ]-4; 7[ R: [-15,5; -5] Zérushelye nincs. [-4; 0]-on szigorúan monoton növekvő ]0; 7[-on szigorúan monoton csökkenő abszolút maximum helye x = 0; értéke y = -5 páros nem periodikus d, i(-3) = 45; g(0) = 12 D: R: [0; ∞[ zérushelyek: x = 2 és x = 6 ]-∞; 2] ∪ ]4; 6]-on szigorúan monoton csökkenő ]2; 4] ∪ ]6; ∞[-on szigorúan monoton növekvő helyi maximum helye x = 4; értéke y = 4 abszolút minimum helyei x = 2 és x = 6, értéke y = 0 nem páros és nem páratlan nem periodikus e, j(-3) = -10; j(0) = -1 D: R: ]-∞; 5] 1 zérushelyek: x = és x = 7 3 ]-∞; 2]-on szigorúan monoton növekvő ]2; ∞[-on szigorúan monoton csökkenő abszolút maximum helye x = 2; értéke y = 5 nem páros és nem páratlan nem periodikus 12. a, R: [0; ∞[ zérushelyek: x = 4 szigorúan monoton növekvő abszolút minimum helye x = 4; értéke y = 0 nem páros és nem páratlan nem periodikus b, R: [0; ∞[
zérushelyek: x = -2 szigorúan monoton növekvő abszolút minimum helye x = -2; értéke y = 0 nem páros és nem páratlan nem periodikus c, R: [-1; ∞[ 9 4 szigorúan monoton növekvő abszolút minimum helye x = 0; értéke y = -1 nem páros és nem páratlan nem periodikus zérushelyek: x =
d, R: ]-∞; -1] zérushelyek: x = -0,25 szigorúan monoton csökkenő abszolút minimum helye x = 0; értéke y = -1 nem páros és nem páratlan nem periodikus 13. – 14. a, -1 b, -2 c, 0 1 sin( x + 1) − 3 2 b, h(x) = 2(x – 1)2 – 2
15. a, h(x) =
16. a, f(x) = 2|x + 2| - 4 1 b, f(x) = x + 2 − 4 3 2 c, f(x) = ( x + 1) − 4 1 2 d, f(x) = (x + 1) − 4 2 17. a, [-1; 3] b, [1; 4] c, ]2; 5] ⎡ 2 2 ⎤ ⎡ 4π ⎤ d, ⎢− π ; π ⎥ ∪ ⎢ ;2π ⎥ ⎣ 3 3 ⎦ ⎣ 3 ⎦ IV / 4.
1. a, x = x2 – 6 , (x ∈ R) x b, + 1 = x − 2 , (x ∈ Z) 4 1 c, − x 2 = , (x ∈ R) x d,
− x = x + 2 , (x ∈ Q)
24 139 b, Nincs valós megoldás. 199 c, x = − 91 d, Nincs valós megoldás. 3 e, z = 11 1 f, x = 30 g, 15,25 ≤ x 56 h, x < 61
2. a, x =
3. a, x = 6 b, x = -5; y = 6 c, x = 4 d, x = 1, z =4 4. a, x = -27 és x = -1 22 b, x = -1 és x = − 3 c, -1 < x < 2 d, Nincs valós megoldás. 6 e, x ≤ 7 f, 10,5 ≤ x vagy x ≤ -13,5 g, x ≥ 1 h, x > 0,5 vagy x < -2,25 5. a, x > 5 vagy x < -2 4 b, -6 < x ≤ 3 7 3 c, − < x < 3 5 d, -9 ≤ x < 1 e, x > 9,5 vagy x < -1 6. 600 cipőt adott el nyereséggel és 400 cipőt veszteséggel.
7. a, 20 liter 20% -os és 20 liter 36% -os sósavat kell összekevernünk. b, 22 liter 20% -os és 10 liter 36 %-os sósavat kell összekevernünk. 8. a, 72°; 72°; 96°; 120° 67,5°; 90°; 90°; 112,5° 1080° 1440° 1800° ; ; 17 17 17 b, 60°; 80°; 100°; 120° 90°; 90°; 67,5°; 112,5° 9. a, (3; 1) b, (-1; 1) c, (-2; -5) ⎛ 151 385 ⎞ ; d, ⎜ ⎟ ⎝ 19 19 ⎠ e, (15; 10) IV / 5.
1. a, 6 b, 8 c, 15 d, 28 2. 5%-kal emelték az árát. 3. 7 ≤ x ≤ 93 19 ± 385 4. a, x1; 2 = 2 − 1 ± 17 b, x1; 2 = 2 7 ± 2 13 c, x1; 2 = 3 d, x = 1 vagy x = 16 e, x = ± 3 f, x = 2 vagy x = -0,5 g, x = 5 h, x = 0 5. a, (3; 0) vagy (1; 1) b, (5; 2) c, (50; 15) vagy (-50; -15) d, (1,5; 8) vagy (-1,5; -8) vagy (4; 3) vagy (-4; -3) 6. 112 és 28 7. 28
8. K = 20 cm 9. a, -2 < x < 6 b, x < -1 vagy 4 < x ≤ 5 c, - 1 < x ≤ 3 − 10 vagy 2 < x ≤ 3 + 10 10. a, a ≠ 0 és a <
1 20
b, b ∈ R − 49 c, c > 12 11. a, (x – 11)(x + 8) b, (5 – x)(x + 4) c, Nem lehet.
x−3 x+5 x+6 b, x+5 x c, x − 10
12. a,
13. a, 3x2 – 19x + 28 = 0 b, x2 – 12x – 13 = 0 c, x2 – 4x + 1 = 0 14. a, -1,5 b, 4,25 IV / 6.
13π 2kπ + (k ∈ ) 30 3 5π 4π + kπ vagy x = + lπ (k, l ∈ b, x = 3 3 π kπ (k ∈ ) c, x = + 4 2
1. a, x =
π
+ kπ (k ∈ ) 2 kπ π vagy x = − + lπ (k, l ∈ e, x = 3 4 π kπ (k ∈ ) f, x = + 8 4 19π kπ + (k ∈ ) g, x = 12 2 6,64π kπ + (k ∈ ) h, x ≈ 180 4 d, x =
)
)
3π 7π 2lπ + 2kπ vagy x = + (k, l ∈ 4 12 3 π π 2lπ (k, l ∈ b, x = + 2kπ vagy x = − + 6 18 3 − π kπ + (k ∈ ) c, x = 9 3 − π kπ + (k ∈ ) d, x = 4 2
2. a, x =
3. a, x =
π 2
+ 2kπ vagy x =
π
+ 2lπ vagy x =
) )
5π + 2mπ (k, l, m ∈ 6
6 π 5π + 2lπ , k , l ∈ b, x = + 2kπ vagy x = 6 6 π 123,69π c, x = + kπ vagy x ≈ + lπ (k, l ∈ ) 14 180 65,53π 294,47π + 2kπ vagy x ≈ + 2lπ (k, l ∈ d, x ≈ 180 180 5π 7π + 2kπ ≤ x ≤ + 2kπ (k ∈ ) 4 14 π 5π + 2kπ (k ∈ ) b, + 2kπ < x < 3 3 π kπ π kπ < x< + (k ∈ ) c, − + 4 2 6 2 kπ π kπ < x≤ + (k ∈ ) d, 7 28 7
4. a,
IV / 7.
19 56 b, x = 1,5 c, x = -1 vagy x = 2 d, x = 102,2 vagy x = 0,1 e, x = 2 + 336 f, x = -4
1. a, x =
2. a, x <1,25 b, x ≤ 2 4 + 3 2,25 c, x ≥ 3 8 d, 2 < x ≤ 3 3. 10,85 perc alatt hűl le.
)
)
4. a, 150,28 éves. b, 2133,59 év 5. 8,25 méter 6. a, (2; 1) b, (10; 1000) c, (3; 1) vagy (-4; −
4 ) 3
IV / 8.1.
1. Keressük az ABCD téglalap kerületének azon pontjait, melyek a BD átló két végpontjától egyenlő távolságra vannak. Szerkesszük meg a BD szakaszfelező merőlegesét. Ennek és a téglalap kerületének metszéspontjai adják a keresett pontokat. x = 5 cm 2. A háromszög magasságai: 36 cm, 48 cm és 28,8 cm. A háromszög beírható körének sugara: 12 cm. A háromszög köréírható körének sugara: 30 cm. A háromszög súlyvonalainak hossza: 30 cm, 12 13 cm, 6 73 cm. A háromszög súlypontja a magasságponttól 20 cm távolsága van. 3. Belső szögek összege: 1260° Külső szögek összege: 360° P(A) = 0,75 4. a, Hamis. b, Igaz. c, Hamis. d, Hamis. e, Igaz. 5. a, Hamis. b, Igaz. c, Hamis. d, Igaz. e, Hamis. 3 2 b, 1 : 1 + 3 : 1 +
6. a, 1 : 2 :
3
IV / 8.2.
1. 299 2. Nem igaz, hiszen belső szögei nem 135°-osak.
3. A kapott síkidom szabályos hatszög, amely területe
2 része az eredeti háromszög 3
területének. 4. A’(-6; 3), B’(0; -9), C’(3; 0). Ennek a háromszögnek a területe az eredetei háromszög 9 területének része. 16 5. a, g(x) = -x2 – 6x – 5 b, g(x) = x2 + 6x + 5 c, g(x) = -x2 + 6x – 5 6. 0,7937 : 0,2063 7. 7 : 15 IV / 9.
1. A háromszög oldalainak hossza: 10 cm,
312 cm 13
,
338 cm 13
A háromszög szögei: ≈ 67,38°, ≈ 22,62°, 90° A háromszög köréírható köre sugarának hossza: 13 cm A háromszög beírható kör sugarának hossza: 4 cm. 2. a, ≈96,59 cm b, ≈4910,53 cm2 3. a, 90,64% b, 94,75% c, 98,48% 4. Az út hossza 609,73 m. Az út emelkedése: 44,52%-os. 5. a, V = 1500 cm3 A = 100 3 + 600 cm 2 b, 26,57° 6. a, A torony magassága: 30 33 − 90 m ≈ 82,34 m . b, 82,62° 7. a, 69,34° b, 61,93° c, 70,56° 8. a, 165,64° b, 90° 9. a, 0
b, − 2 10. a, tompszögű b, hegyesszögű c, Nem létezik ilyen háromszög. 11. A trapéz szögei. 82,82°; 55,77°; 124,23°; 97,18° A trapéz területe: 868 cm2 12. A hiányzó oldal hossza: 15,87 dm. A háromszög köré írt körének sugara: 16 dm. A háromszög szögei: 61,04°; 89,22°; 29,74°. A háromszög területe: 222,24 dm2 13. A háromszög szögei: 81,79°, 38,21°, 60°. A háromszög területe: 108,25 cm2 14. A paralelogramma hiányzó oldala 15,07 cm hosszú. Területe 237,51cm2. 15. A hiányzó oldalak hossza: 14,8 m és 27 m. Szögei. 21,72°, 42,58° és 115,7°. Köré írt körének sugara:19,98 m. 16. ±
289 120
17. -0,5 18. a, Bontsuk föl a zárójelet és használjuk a sin 2 α + cos 2 α = 1 azonosságot. b, Használjuk ki, hogy 1 − cos 2 α = sin 2 α = sin α és 1 − sin 2 α = cos 2 α = cos α
IV / 10.1.
1. a, AF ' = 2b + f + 2 g F ' C = −2 g
F ' G = − g − f − 2b HF ' = − f − b + g b, OF ' = 5 F'D = 5 F'H = 2 FF ' = 2 2
c,
2.
FF ' ⋅ JG = 4 F ' C ⋅ FP = −2
IO ⋅ Fr ' P = 2 r a + 3b 4
IV/10.2.
⎛ 4⎞ 1. ⎜1; ⎟ ⎝ 3⎠ 2. (1; 2) 3. A három pont egy egyenesre illeszkedik. 4. M’ a körön, M’’ a körön kívül helyezkedik el. ⎛ 46 35 ⎞ 5. M képe: ⎜ ; ⎟ a körön belül helyezkedik el. ⎝ 11 11 ⎠ 6. (2,5; 3,5) illetve (5; 1). 7. 6 + 13;6 + 13 és 6 − 13;6 − 13 ⎛5 5⎞ 8. Metszéspont: ⎜ ; ⎟ . ⎝ 3 3⎠ A két egyenes hajlásszöge: 67,38°. 9. 1,4x – 4,825 = 4,69 és 4,63x – 1,96 = -9,2585 51,16°
(
) (
IV / 11. 1. Igaz. 2. Igaz. 3. a, 1040 b, 336 4. 3840 ⎛ 4 ⎞ ⎛ 4 ⎞⎛ 21⎞ 5. a, ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = 130 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎝1 ⎠ ⎛12 ⎞ ⎛12 ⎞⎛13 ⎞ b, ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎝1 ⎠
6. 7. 6. Legyen ez a négycsúcsú teljes gráf.
)
IV / 12.1. 1. a, Van. (Pl. 6; 6; 6; 6; 6; 11; 91; 5500; 5500; 5500; 5500) b, Van. (pl. 1; 2; 3; 4; 5; 11; 496; 496; 496; 496; 20122) c, Van. (pl. 1; 2; 3; 4; 5; 11, 4298; 4298; 4298, 4298; 4914) 2. a, 5-tel csökken. b, Felére csökken. 3. a, Testtömeg 47 Lányok 2 szám b, Történelem 2 jegy Lányok 6 szám
48 3
49 3
50 3
3
4
5
11
9
4
51 4
52 1
53 1
54 7
55 2
56 2
c, terjedelem: 10 átlagos abszolút eltérés: 2,67 szórás: 9,51 d, átlag: 3,37 módusz: 3 medián: 3 4. a, 11 közepest írtak. c, módusz: 3 medián: 3 átlagos abszolút eltérés: 0,93 szórás: 1,21 5. a, A lányok 470-es, a fiúk 410-en voltak. b, 14-15 évesek c, d, 40% IV / 12.2. 1. a, 12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54 b, 0,3 2. 0,5 1 64 11 b, 32
3. a,
57 2
4. a, b, c, d, e,
5. a,
13 108 53 63 8 27 1 8 4 27 ⎛ 85 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝5 ⎠ ⎛ 90 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝5 ⎠
⎛ 5 ⎞ ⎛ 85 ⎞⎛ 5 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ 5 1 4 b, ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ 90 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝5 ⎠ ⎛ 5 ⎞ ⎛ 85 ⎞⎛ 5 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ 5 1 4 c, 1 - ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ = ⎛ 90 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝5 ⎠ 6. a,
⎛ 85 ⎞ ⎛ 85 ⎞⎛ 5 ⎞ ⎛ 85 ⎞⎛ 5 ⎞ ⎛ 85 ⎞⎛ 5 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 4 ⎠⎝1 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎛ 90 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝5 ⎠
214 314
⎛14 ⎞ ⎛14 ⎞ 1 + ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ 2 + ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ 2 2 ⎝1 ⎠ ⎝2 ⎠ b, 14 3 ⎛14 ⎞ ⎛14 ⎞ 1 + ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ 2 + ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ 2 2 ⎝1 ⎠ ⎝2 ⎠ c, 1 314 7. Tekintsük az évet 365 naposnak. a, 1 ⎛ 365 ⎞ ⎜⎜ ⎟ ⋅ 16! 16 ⎟⎠ ⎝ b, 1 − 36516 ⎛ 365 ⎞ ⎜⎜ ⎟ ⋅ 24! 24 ⎟⎠ ⎝ c, 1 − 365 24 8. a, -4; -3; -2; -1, 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6
2 15 27 + 0,5 ⋅ = 6 36 72 ⎛ 285 ⎞ 6 9. a, 1 −⎜ ⎟ ⎝ 300 ⎠ ⎛ 6⎞ b, ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ 0,95 5 ⋅ 0,05 ⎝1 ⎠ ⎛6⎞ ⎛ 6⎞ ⎛ 6⎞ c, ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ 0,95 2 ⋅ 0,05 4 + ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ 0,951 ⋅ 0,05 5 + ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ 0,95 0 ⋅ 0,05 6 ⎝ 4⎠ ⎝5⎠ ⎝ 6⎠ ⎛ 96 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ 5 10. a, ⎝ ⎠ ⎛100 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝5 ⎠ b, 0,5 ⋅
⎛ 4 ⎞⎛ 96 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ 2 2 b, ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛100 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝5 ⎠ ⎛ 95 ⎞⎛ 4 ⎞ ⎛ 96 ⎞⎛ 4 ⎞ ⎛ 96 ⎞⎛ 4 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ 5 0 4 1 3 2 c, ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛100 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝5 ⎠
