MASARYKOVA UNIVERZITA. Sbírka konstrukčních úloh ze stereometrie

MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta

Sbírka konstrukčních úloh ze stereometrie

Bakalářská práce

BRNO 2008

Roman Machain

Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci vypracoval samostatně a použil pouze uvedené zdroje. Současně souhlasím, aby práce byla uložena v knihovně Přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity a popřípadě také zpřístupněna na internetových stránkách fakulty.

V Brně dne 2.6. 2008

Děkuji prof. RNDr. Josefu Janyškovi, DSc., vedoucímu mé bakalářské práce, za konzultace a odborné vedení při vypracovávání mé práce.

Obsah Úvod 1 Stereometrie 1.1 Polohové vztahy . . . . . . . . . . 1.2 Metrické vztahy . . . . . . . . . . 1.3 Rovnoběžné promítání . . . . . . 1.4 Středová kolineace a osová afinita

6

. . . .

7 7 9 11 12

2 Polohové úlohy 2.1 Řezy na hranatých tělesech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Průsečíky přímek s rovinami, průsečnice rovin . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Příčky mimoběžek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14 14 20 23

3 Metrické úlohy 3.1 Skutečné velikosti řezů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Odchylky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Vzdálenosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25 25 32 36

4 Úlohy na rotačních tělesech

40

5 Úlohy k procvičování 5.1 Úlohy zadané na krychli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Další úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43 43 45

Seznam obrázků

48

Seznam použité literatury

49

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

Úvod V této bakalářské práci se budu zabývat řešením úloh ze stereometrie. Stereometrie se dělí na dvě části: konstrukční a početní. V této sbírce se budu věnovat pouze konstrukčním úlohám. V první kapitole nejprve uvedu základní teoretické poznatky stereometrie, které jsou pro řešení konstrukčních úloh nezbytné. Dále popíši principy rovnoběžného promítání, které se používá pro zobrazování konstrukčních stereometrických úloh. Konstrukční úlohy budou rozděleny do dvou kapitol: polohové úlohy a metrické úlohy. Některé metrické úlohy budou rozšířením úloh polohových. V samostatné kapitole se potom budu věnovat úlohám na rotačních tělesech. Tyto úlohy se na středních školách probírají jen okrajově, proto i já uvedu jen několik málo ukázkových příkladů. V poslední kapitole uvedu zadání několika úloh pro případné procvičení. V příloze budou předrýsovaná zadání všech řešených úloh z této sbírky. Pro dobré porozumění konstrukcí v této sbírce by měl čtenář bezpečně zvládnout teorii z první kapitoly. Jedná se sice o látku středoškolskou, nicméně úlohy bych chtěl volit tak, aby svojí náročností přesahovaly rámec obvyklého středoškolského učiva. Tomu potom odpovídá i popis konstrukcí, u kterého se počítá s tím, že běžné středoškolské úlohy čtenář umí řešit. Práce je vysázena v LATEXu a obrázky jsou kresleny v programu Cabri-geometrie II.

KAPITOLA 1. STEREOMETRIE

7

Kapitola 1 Stereometrie Stereometrie – prostorová geometrie – popisuje vztahy mezi objekty v třírozměrném prostoru. Stereometrie se dělí na početní a konstrukční část. Úlohy konstrukční stereometrie se dále dělí na polohové, zkoumající především incidenci a mezi objekty, a metrické. Jako základ prostorové geometrie budeme brát tyto axiómy [4]: Axióm 1. Dva různé body A, B určují právě jednu přímku p nebo jinými slovy: dvěma různými body prochází právě jedna přímka; symbolicky p ≡ AB nebo p ≡ BA. Axióm 2. Přímka p a bod A, který neleží na dané přímce, určují právě jednu rovinu ρ; symbolicky ρ ≡ (Ap) nebo ρ ≡ (pA). Axióm 3. Leží-li bod A na přímce p a přímka p v rovině ρ, leží i bod A v rovině ρ; symbolicky A ∈ p, p ⊂ ρ ⇒ A ∈ ρ. Axióm 4. Mají-li dvě různé roviny ρ a σ společný bod A, pak mají společnou právě jednu přímku p. Užitím 2. axiómu se dá dokázat, že A ∈ p. Axióm 5. Ke každé přímce p lze bodem A, který na ní neleží, vést jedinou přímku q, jež s danou přímkou leží v rovině a nemá s ní společný bod. V podstatě stejného systému axiómů použil již před více než 2000 lety slavný řecký geometr Euklides (asi 330 – 275 př. n. l.) k vybudování prostorové geometrie. Proto se jí často říká Euklidovská geometrie. Prostor, v němž platí Euklidovy axiómy, se nazývá euklidovský prostor.

1.1

Polohové vztahy

Při řešení polohových konstrukčních úloh v prostoru jsou užitečné následující poznatky, které vyplývají bezprostředně z Euklidových axiómů. Uvádím je bez důkazů podle [1, 4]: a

Dva objekty jsou incidentní, mají-li neprázdný průnik.


Lemma 1.1 (Vzájemná poloha dvou přímek). Dvě přímky a, b, které mají společný právě jeden bod P jsou různoběžné, bod P je jejich průsečík (značíme P ≡ a ∩ b nebo P ≡ b ∩ a). Přímky a, b, které nemají společný bod, ale leží v jedné rovině, jsou rovnoběžné (a k b). Také o totožných přímkách a, b (a ≡ b) říkáme, že jsou rovnoběžné. Dvě přímky, které neleží v jedné rovině, jsou mimoběžné. Příčka mimoběžek je přímka, která protíná dvě mimoběžky. Lemma 1.2 (Vzájemná poloha přímky a roviny). Mají-li přímka p s rovinou ρ společný právě jeden bod P , je přímka různoběžná s rovinou (P ≡ ρ ∩ p). Nemají-li žádný společný bod nebo mají-li společné alespoň dva různé body, je přímka rovnoběžná s rovinou (p k ρ). Lemma 1.3 (Vzájemná poloha dvou rovin). Dvě různé roviny α, β, které mají společnou jedinou přímku p, jsou různoběžné a přímka p je jejich průsečnice (p ≡ α ∩β). V ostatních případech jsou roviny rovnoběžné (α k β). Lemma 1.4 (Vzájemná poloha tří rovin). V prostoru existuje pět možností vzájemné polohy tří rovin: • Každé dvě roviny jsou rovnoběžné. • Dvě roviny jsou rovnoběžné a třetí je protíná v rovnoběžných přímkách. • Každé dvě roviny jsou různoběžné; přitom buď všechny tři průsečnice splynou v jednu přímku, nebo průsečnice každých dvou rovin jsou rovnoběžné různé, nebo všechny tři průsečnice jsou různé a procházejí jediným společným bodem všech tří rovin. Věta 1.5 (Rovnoběžnost přímek a rovin). Rovnoběžnost v prostoru: • Daným bodem lze vést k dané přímce právě jednu rovnoběžku. • Rovnoběžnost přímek je vztah tranzitivní: je-li p k q, q k r, je také p k r. • Přímka p je rovnoběžná s rovinou ρ, obsahuje-li rovina ρ aspoň jednu přímku p0 , která je s přímkou p rovnoběžná. • Je-li p k q, p k ρ, pak také q k ρ. • Je-li přímka rovnoběžná s dvěma různoběžnými rovinami, je rovnoběžná i s jejich průsečnicí. • Dvě roviny ρ a σ jsou rovnoběžné, jestliže jedna z nich, např. σ, obsahuje dvě různoběžné přímky, které jsou rovnoběžné s rovinou ρ. • Jsou-li dány dvě rovnoběžné roviny, pak každá přímka jedné roviny je rovnoběžná s druhou rovinou. • Daným bodem lze vést k dané rovině nekonečně mnoho rovnoběžek, které tvoří rovinu rovnoběžnou s danou rovinou. 8


• Rovnoběžnost rovin je vztah tranzitivní: je-li ρ k σ, σ k τ , je také ρ k τ . Lemma 1.6 (O určenosti roviny). Každá rovina je jednoznačně určena: • Třemi body, které neleží v téže přímce. • Přímkou a bodem, který na ní neleží. • Dvěma různoběžnými přímkami. • Dvěma různými rovnoběžnými přímkami. Lemma 1.7. Rovina ρ rozděluje prostor na dva poloprostory. Řez tělesa rovinou je průnik tělesa a roviny. Je to rovinný útvar, jehož hranici tvoří křivka vzniklá pronikem roviny řezu s obrysovými plochami tělesa. Pro konstrukci řezů jsou důležité zejména tyto věty: Věta 1.8. Leží-li dva různé body v rovině, pak přímka jimi určená leží také v této rovině. Věta 1.9. Dvě rovnoběžné roviny protíná třetí rovina ve dvou rovnoběžných přímkách. Věta 1.10. Jsou-li dvě ze tří rovin různoběžné a mají-li tyto tři roviny jediný společný bod, procházejí tímto společným bodem všechny tři průsečnice.

1.2

Metrické vztahy

Doposud jsme popisovali pouze vztahy mezi objekty, kdy hlavním nástrojem bylo zkoumání incidence mezi nimi. Poněkud odlišnější je popis prostoru, zavedeme-li v něm měření úhlů a vzdáleností. Vycházíme přitom z planimetrických vztahů: délka úsečky v rovině, odchylka dvou přímek v rovině. Zde uvedený výčet vět a pojmů je souhrn z [1, 2, 4]. Lemma 1.11. Různoběžky p, q rozdělují rovinu, v níž, leží na čtyři úhly. Jsou-li tyto úhly všechny shodné, jsou přímky p, q kolmé (p ⊥ q). V opačném případě jsou dva z těchto úhlů ostré a shodné a dva tupé a shodné. Velikost kteréhokoliv ostrého nebo pravého úhlu mezi různoběžkami označujeme odchylka různoběžek. Odchylku dvou rovnoběžek klademe rovnu nule (|<) pq| = |<) qp| ∈ h0; 90◦ i(h0; π2 i v obloukové míře)). Lemma 1.12. Odchylka dvou mimoběžných přímek je odchylka různoběžných přímek vedených libovolným bodem prostoru rovnoběžně s danými mimoběžkami. Věta 1.13. Dvě přímky jsou k sobě kolmé právě tehdy, když je jejich odchylka 90◦ . Lemma 1.14. Přímka p a rovina ρ jsou k sobě kolmé právě tehdy, když je přímka p kolmá ke všem přímkám roviny ρ (p ⊥ ρ). Věta 1.15 (Kritérium kolmosti přímky a roviny). Je-li přímka p kolmá ke dvěma různoběžkám roviny ρ, pak je k rovině ρ kolmá. 9


Věta 1.16. Dvě roviny ρ, σ jsou k sobě kolmé právě tehdy, když jedna z nich obsahuje přímku kolmou k druhé rovině (ρ ⊥ σ). Věta 1.17. Daným bodem lze vést k dané rovině jedinou kolmici. Daným bodem lze vést k dané přímce jedinou kolmou rovinu. Pomocí těchto vět můžeme definovat pravoúhlý průmět bodu A do roviny π. Pokud A ∈ π, pak pravoúhlým průmětem je přímo bod A. Pokud A ∈ / π, pak bodem A vedeme 0 kolmici a k rovině π a bod A ∈ π ∩ a je hledaný pravoúhlý průmět bodu A do roviny π. Uvažujme nyní přímku p různoběžnou s rovinou π. Sestrojíme-li postupně pravoúhlé průměty všech jejích bodů do roviny π, dostaneme pravoúhlý průmět p0 přímky p do roviny π. p ∩ π ≡ p ∩ p0 ; pp0 ≡ α; α ⊥ π. Rovina α se nazývá promítací rovina přímky p. Pravoúhlé promítání je speciální případ rovnověžného promítání (kapitola 1.3). Lemma 1.18. Odchylka dvou rovin ρ a σ je nejmenší z odchylek |<) rs|, kde r je libovolná přímka roviny ρ a s je libovolná přímka roviny σ (|<) ρσ|). Věta 1.19. Odchylka dvou rovin je odchylka jejich průsečnic s rovinou, která je k oběma rovinám kolmá. Lemma 1.20. Není-li přímka a kolmá k rovině ρ, je odchylka přímky a a roviny ρ rovna odchylce přímky a a jejího pravoúhlého průmětu a0 do roviny ρ. Je-li a ⊂ ρ, je odchylka a od ρ rovna nule. Odchylka přímky a roviny, k níž je kolmá, je 90◦ (|<) aρ| = |<) ρa| ∈ h0; 90◦ i(h0; π2 i v obloukové míře)). Věta 1.21. Pro libovolné roviny ρ, σ a přímky p, q platí: • ρ0 k ρ ∧ σ 0 k σ ⇒ |<) ρ0 σ 0 | = |<) σρ| • ρ k σ ⇒ |<) pρ| = |<) pσ| • p k q ⇒ |<) pρ| = |<) qρ| • ρ k σ ∧ p k q ⇒ |<) pρ| = |<) pσ| = |<) qρ| = |<) qσ| Lemma 1.22. Vzdálenost bodu od bodu, přímky a roviny: • Vzdálenost bodů A, B je délka úsečky AB (|AB|). • Vzdálenost bodu A od přímky p je nejmenší ze všech vzdáleností |AX|, kde X je libovolný bod přímky p (|Ap|). Je-li A ∈ p, je |Ap| = 0. • Vzdálenost bodu A od roviny ρ je délka úsečky AA’, kde bod A’ je pravoúhlý průmět bodu A do roviny ρ (|Aρ|). Zároveň platí, že je to nejmenší ze všech vzdáleností |AX|, kde X je libovolný bod roviny ρ. Je-li A ∈ ρ, je |Aρ| = 0.

10


Věta 1.23. Pomocí vzdálenosti bodu od roviny lze vyslovit kritérium rovnoběžnosti: • Přímka p je rovnoběžná s rovinou ρ, jestliže lze na přímce p najít dva různé body ležící v témže poloprostoru ohraničeném rovinou ρ, které mají od roviny ρ stejnou vzdálenost. • Dvě roviny ρ a σ jsou rovnoběžné, jestliže lze v rovině σ najít tři různé body, které nejsou kolineární,b ale leží v témže poloprostoru s hraniční rovinou ρ a které mají od roviny ρ stejnou vzdálenost. Lemma 1.24. Vzdálenost dvou rovnoběžek je vzdálenost libovolného bodu jedné přímky od druhé přímky (|pq|). Vzdálenost dvou rovnoběžných rovin je vzdálenost libovolného bodu jedné roviny od druhé roviny (|ρσ|). Vzdálenost přímky p od roviny ρ s ní rovnoběžné je vzdálenost libovolného bodu přímky p od roviny ρ (|pρ|). Lemma 1.25. Příčka mimoběžek, která je kolmá k oběma mimoběžkám, se nazývá osa mimoběžek. Lemma 1.26. Vzdálenost dvou mimoběžek p, q je vzdálenost |P Q|, kde body P , Q jsou po řadě průsečíky mimoběžek p, q s osou mimoběžek (|pq|).

1.3

Rovnoběžné promítání

Konstrukční úlohy stereometrie řešíme obvykle ve volném rovnoběžném promítání, úlohy na rotačních tělesech pak ve volné kolmé axonometrii. Obě tato promítání jsou konkrétní typy rovnoběžného promítání, takže pro ně platí stejná tvrzení jako pro všechna rovnoběžná promítání. Na straně 10 je popsán princip pravoúhlé projekce bodů prostoru do roviny. Zobecněním tohoto principu, kdy za směr promítání vezmeme libovolný směr s ∦ π, dostáváme rovnoběžné promítání prostoru do roviny π. Rovnoběžným průmětem bodu A je tedy bod A0 ∈ π. Rovnoběžným průmětem přímky a je přímka a0 ∈ π. Důležité nyní bude popsat, jak se chová rovnoběžné promítání vůči vzájemné poloze geometrických objektů. Nejdůležitější je následující invariantc rovnoběžného promítání. Věta 1.27. Nechť A, B, C jsou tři různé body přímky, která není rovnoběžná se směrem promítání a A0 , B 0 , C 0 jsou rovnoběžné průměty bodů A, B, C. Potom body A0 , B 0 , C 0 leží v přímce a pro dělící poměryd (C; A, B), (C 0 ; A0 , B 0 ) platí: (C; A, B) = (C 0 ; A0 , B 0 ). b

Kolineární body leží na téže přímce. Invariant je vlastnost, která se transformacemi nemění. d Nechť A, B, C jsou tři různé body ležící v přímce. Potom dělící poměr (C; A, B) je reálné číslo, které |AC| je určeno takto: a) Jeho absolutní hodnota je rovna podílu |BC| ; b) je kladné, je-li bod C na prodloužení úsečky AB a je záporné, je-li C vnitřní bod úsečky AB. c

11


Rovnoběžné promítání má celou řadu vlastností, které jsou užitečné při řešení konstrukčních úloh. 1. Rovnoběžné promítání zachovává incidenci (např. dvě různoběžky pq p ∦ s ∧ q ∦ s, R ∈ p ∩ q se zobrazí buď na dvě různoběžky p0 q 0 , kde R0 ∈ p0 ∩ q 0 je obrazem bodu R, nebo na splývající rovnoběžky p0 q 0 , kde R0 ∈ p0 q 0 ). 2. Rovnoběžné promítání zachovává rovnoběžnost (např. dvojice rovnoběžek ab, a ∦ s ∧ b ∦ s se zobrazí na dvojici rovnoběžek a0 b0 ). 3. Rovnoběžný průmět konvexního úhlu <) AV B je konvexní úhel <) A0 V 0 B 0 . Hranatá tělesa a úlohy na nich tedy zobrazujeme ve volném rovnoběžném promítání. Je to promítání do svislé roviny π – průmětny – směrem s 6⊥ π. Polohu tělesa obvykle volíme tak, že jeho podstava je v rovině kolmé k π a dva vrcholy podstavy leží v π. Objekty v rovinách rovnoběžných s π se zobrazují ve skutečných velikostech. Tzv. hloubkové přímkye se podle volby směru s zobrazují na přímky, které svírají s horizontálou odchylku ϕ a délky na nich se zkracují v poměru zkrácení k. Obvykle volíme ϕ = 45◦ a k = 21 . Tím jsou zadány čtyři různá volná rovnoběžná promítání, nadhled zprava a zleva a podhled zprava a zleva. Konkrétní volba potom záleží na požadované viditelnosti. V této sbírce se používá výhradně nadhled zprava, k = 12 a ϕ je většinou 45◦ .

Obrázek 1.1: Zobrazení krychle ve všech čtyřech volných rovnoběžných zobrazeních při ϕ = 45◦ a k = 12 Pro zobrazování rotačních těles je vhodnější volná kolmá axonometrie. Promítá se kolmo do svislé roviny π, ovšem rovina podstavy se nevolí kolmo na průmětnu. Hloubkové přímky se zobrazují na kolmice na horizontálu a délky na nich se zkreslují v poměru zkrácení k.

1.4

Středová kolineace a osová afinita

Jsou dány dvě různoběžné roviny ρ, σ a jejich průsečnice o ≡ ρ ∩ σ. Dále je dán bod S, S∈ / ρ∧S ∈ / σ. Promítneme-li z bodu S objekt, například trojúhelník KLM ⊂ ρ, do roviny σ, dostaneme trojúhelník K 0 L0 M 0 ⊂ σ. Odpovídající si dvojice bodů leží na přímkách procházejících bodem S. Navíc platí, že odpovídající si přímky se protínají na přímce o. e

Hloubkové přímky jsou přímky kolmé na průmětnu π.

12


Obrázek 1.2: Rotační kužel a válec s různou volbou k Tímto jsme popsali středovou kolineaci, bod S nazýváme středem kolineace a přímku o nazýváme osou kolineace. Osová afinita je podobný vztah mezi dvěma rovinnými poli v prostoru. Opět uvažujeme − dvě různoběžné roviny ρ, σ a jejich průsečnici o ≡ ρ ∩ σ. Dále směr → s , reprezentovaný → − přímkou s ∦ ρ ∧ s ∦ σ. Promítneme-li rovnoběžně směrem s objekt, například trojúhelník KLM ⊂ ρ, do roviny σ, dostaneme trojúhelník K 0 L0 M 0 ⊂ σ. Odpovídající si dvojice bodů leží na přímkách rovnoběžných s přímkou s, odpovídající si přímky se protínají na − přímce o. Směr → s se nazývá směr afinity, přímka o je osa afinity.

Obrázek 1.3: Středová kolineace a osová afinita Rovnoběžným promítnutím celé situace do roviny dostáváme ze středové kolineace středovou kolineaci v rovině a z osové afinity osovou afinitu v rovině. Výše popsané vlastnosti platí v rovině stejně jako v prostoru.

13

KAPITOLA 2. POLOHOVÉ ÚLOHY

Kapitola 2 Polohové úlohy 2.1

Řezy na hranatých tělesech

Úloha 2.1. Zobrazte řez krychle ABCDEF GH rovinou ρ ≡ KLM .

Obrázek 2.1: Řez krychle Řešení.

1. Úsečka KM je přímo částí řezu podle věty 1.8.

2. Přímka l; l k KM ; L ∈ l (věta 1.9). 3. Bod N ; N ∈ l ∩ CG. 4. Přímka k; k k M N ; K ∈ k (věta 1.9). 5. Bod O; O ∈ k ∩ AD. 6. Řez KM N LO.

14


Úloha 2.2. Je dán pravidelný šestiboký jehlan ABCDEF V , v = |AB|. Dále je dán bod M v polovině hrany BV . Zobrazte řez jehlanu rovinou ρ, která prochází bodem M a je rovnoběžná s rovinou α ≡ AV F .

Obrázek 2.2: Řez jehlanu

Řešení. Bod M ∈ ABV , takže ve stěně ABV můžeme podle věty 1.9 bodem M vést rovnoběžku s úsečkou AV . Tím získáme na hraně AB bod řezu N . Podobným způsobem na hraně EF najdeme bod O na rovnoběžce s hranou AF bodem N a následně na hraně EV bod P na rovnoběžce s hranou F V bodem O. K nalezení bodu R na hraně CV využijeme vrcholovou rovinu AV C. Její průsečnice s podstavou jehlanu se protíná s již určenou částí řezu v bodě 1. Tímto bodem opět vedeme rovnoběžku s hranou AV a na průsečíku s hranou CV dostáváme bod R. Poslední vrchol řezu Q leží na hraně DV a na rovnoběžce s hranou AF bodem R.

15

KAPITOLA 2. POLOHOVÉ ÚLOHY Úloha 2.3. Je dán pravidelný pětiboký hranol ABCDEA0 B 0 C 0 D0 E 0 a na jeho hranách body M a N takto: M ∈ AA0 : |AM | = |M A0 |; N ∈ EE 0 : |EN | = 31 |N E 0 |. Zobrazte řez hranolu rovinou ρ, procházející bodem N a rovnoběžnou s rovinou α ≡ M EC.

Obrázek 2.3: Řez hranolu Řešení. Nejprve zkonstruujeme řez rovinou α. Bod M 0 leží na hraně BB 0 a na rovnoběžce bodem s hranou AB bodem M . Teď již můžeme využívat rovnoběžností v jednotlivých stěnách hranolu. 1. Ve stěně AA0 E: N ∈ n; n k EM ; O ∈ AA0 ∩ n. 2. Ve stěně AA0 B: O ∈ o; o k M M 0 ; P ∈ BB 0 ∩ o. 3. Ve stěně BB 0 C: P ∈ p; p k M 0 C; Q ∈ CC 0 ∩ p. K nalezení průsečíku roviny ρ s hranou DD0 využijeme rovinu β ≡ F DD0 . α∩β ≡ 12 k ρ∩β podle věty 1.9. Bodem 3 tedy vedeme rovnoběžku s přímkou 12 a na hraně DD0 dostáváme bod 4 ∈ ρ. Ten můžeme spojit s body N a Q a na hranách CD a DE získáváme poslední dva body R, S řezu. Řezem je šestiúhelník N OP QRS. 16


Úloha 2.4. Je dán jehlan ABCDEF V , jehož podstava je obecný šestiúhelník ABCDEF . Sestrojte řez rovinou ρ zadanou bodem R ve stěně ABV a přímkou r ležící v rovině podstavy.

Obrázek 2.4: Středová kolineace

Řešení. Při hledání řezu využijeme středovou kolineaci. Nejprve si přeznačíme bod R na R0 a průsečík V R0 ∩ AB označíme R. Teď máme zadanou kolineaci se středem V , osou r a dvojicí odpovídajících si bodů RR0 . Hledaný řez bude obrazem šestiúhelníka ABCDEF v této kolineaci. Konstrukce jednotlivých bodů by měla být zřejmá z obrázku, popíšu ji pro bod E 0 . Ten musí ležet na hraně V E. Dále body E a R vedeme přímku a její průsečík s osou kolineace r popíšeme 1. Obraz přímky ER bude přímka procházející samodružným bodem 1 a bodem R0 . Bod E 0 leží na této přímce, protože středová kolineace zachovává incidenci. Máme tedy dvě přímky, na kterých má bod E 0 ležet, tudíž leží v jejich průsečíku. Další body se hledají analogicky.

17

KAPITOLA 2. POLOHOVÉ ÚLOHY Úloha 2.5. Na zadaném pětibokém kolmém hranolu ABCDEA0 B 0 C 0 D0 E 0 sestrojte řez rovinou ρ ≡ KLM .

Obrázek 2.5: Osová afinita Řešení. Úlohu vyřešíme s využitím osové afinity. Pravoúhlé průměty bodů KLM do roviny podstavy označíme K 0 L0 M 0 . 1. Bod 1; 1 ∈ KL ∩ K 0 L0 . 2. Bod 2; 2 ∈ KM ∩ K 0 M 0 . 3. Osa afinity r; r ≡ 12. 4. Bod 3; 3 ∈ r ∩ DE. 5. Body O a P ; O ∈ 3L ∩ DD0 ; P ∈ 3L ∩ D0 E 0 . 6. Bod Q; Q ∈ P K ∩ A0 B 0 . 7. Bod 4; 4 ∈ BC ∩ r. 8. Bod N ; N ∈ CC 0 ∩ 4M . 9. Řez M N OP Q. 18


Úloha 2.6. Je dána krychle ABCDEF GH a na jejích hranách body KLM . Zobrazte řez krychle rovinou ρ ≡ KLM . Do krychle je dále vepsán osmistěn 123456 s vrcholy ve středech stěn krychle. Zobrazte řez tohoto osmistěnu rovinou ρ.

Obrázek 2.6: Řez krychle a vepsaného osmistěnu

Řešení. K nalezení řezu na krychli budeme využívat osové afinity a věty 1.9: 1. OP ; X ∈ KL ∩ CD, X ∈ x k LM , O ∈ DH ∩ x, P ∈ GH ∩ x 2. Q; Q ∈ F G, P Q k KL 3. KLM QP O. Pro sestrojení řezu na osmistěnu využijeme již hotového řezu krychle. Volíme vhodné roviny, jejichž řezy na krychli i osmistěnu umíme snadno sestrojit. Jednotlivé průsečnice těchto rovin s rovinou ρ protnou pomocné řezy osmistěnu v bodech hledaného řezu. Uvažujme rovinu α ≡ RST , kde body RST jsou po řadě středy hran AD, HE a F G. Řez krychle rovinou α je čtverec RST U a řez osmistěnu touto rovinou je čtverec 1635. α ∩ ρ ≡ Y Z. Přímka Y Z protíná osmistěn v bodech hledaného řezu I a II. Tímto způsobem získáme body III a IV za použití roviny β určené vrcholy osmistěnu 2456 a body V a V I za použití roviny γ určené vrcholy osmistěnu 1234.

19


2.2

Průsečíky přímek s rovinami, průsečnice rovin

Úloha 2.7. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV , bod P na jeho hraně DV a bod Q na prodloužení jeho hrany AB. Sestrojte průsečík R přímky p ≡ P Q s rovinou α ≡ BCV .

Obrázek 2.7: Průsečík přímky s rovinou

Řešení. Při konstrukci budeme využívat vrcholovou rovinu β ≡ V DQ. 1. Bod X; X ∈ β ∩ BC. 2. Bod R; R ∈ XV ∩ p

20


Úloha 2.8. Je dána krychle ABCDEF GH, na jejích hranách body U W a v horní podstavě bod V . Sestrojte průsečnici r rovin ρ ≡ U DG a σ ≡ HV W .

Obrázek 2.8: Průsečnice rovin

Řešení.

1. Řez rovinou ρ; DU P G.

2. Řez rovinou σ; HT ZW Y . 3. Bod R; R ∈ HY ∩ DG. 4. Bod S; S ∈ T Z ∩ U P . 5. Přímka r; r ≡ RS.

21


Úloha 2.9. Jsou dány dva shodné pravidelné šestiboké jehlany se společnou podstavou ABCDEF a vrcholy V W v opačných poloprostorech. Rovina α ≡ KLM , rovina β ≡ jJ. j je přímka v rovině podstavy. Sestrojte průsečnici r rovin α a β a její průnik se zadaným tělesem.

Obrázek 2.9: Průsečnice rovin Řešení. 1. Průsečnice a roviny α s rovinou podstavy; I ∈ LM ∩ CD; II ∈ KM ∩ K 0 M 0 , kde K 0 M 0 jsou pravoúhlé průměty bodů KM do roviny podstavy; a ≡ I, II. 2. Bod R; R ∈ j ∩ a. 3. Průsečnice GH roviny β s rovinou AF V ; 1 ∈ j ∩ AB; G ∈ 1J ∩ AV ; 2 ∈ j ∩ AF ; H ∈ 2G ∩ F V . 4. Průsečnice KN roviny α s rovinou AF V ; III ∈ a ∩ AF ; N ∈ IIIK ∩ AV . 5. Bod S; S ∈ KN ∩ GH. 6. Průsečnice rovin α a β r; r ≡ RS. 7. Body X a Y jsou průsečíky přímky r s oběma řezy, tedy společné body obou řezů. Řezy jsou zkonstruovány pomocí středových kolineací s vrcholy V a W podle toho, na kterých površkách hledáme jednotlivé body. 22


2.3

Příčky mimoběžek

Úloha 2.10. Je zadaný pravidelný šestiboký hranol ABCDEF A0 B 0 C 0 D0 E 0 F 0 . Na hraně BC je daný bod X a na úsečce E 0 X bod M . Sestrojte příčku p mimoběžek AF a D0 E 0 bodem M .

Obrázek 2.10: Příčka mimoběžek

Řešení. Úlohu nalézt příčku mimoběžek daným bodem řešíme vždy tak, že určíme průsečík jedné mimoběžky s rovinou, určenou druhou mimoběžkou a zadaným bodem. Hledaná příčka je potom určena tímto průsečíkem a zadaným bodem. 1. Rovina α; α ≡ D0 E 0 M . 2. Bod M 0 ; kolmý průmět bodu M do roviny dolní podstavy, ve které leží příčka AF . 3. Průsečnice r roviny α s rovinou dolní podstavy; Y ∈ DM 0 ∩ D0 M , r ≡ XY . 4. Bod K; průsečík roviny α s přímkou AF ; K ∈ r ∩ AF . 5. Příčka p; p ≡ KM . 6. Bod L; L ∈ p ∩ D0 E 0 .

23


Úloha 2.11. Je zadaný pravidelný pětiboký jehlan ABCDEV . Středem podstavy S vede přímka m k BV . Sestrojte příčku p mimoběžek m a n ≡ AV rovnoběžně s přímkou q ≡ BC.

Obrázek 2.11: Příčka mimoběžek

Řešení. Úlohu nalézt příčku mimoběžek rovnoběžnou s daným směrem řešíme vždy tak, že určíme průsečík jedné mimoběžky s rovinou, určenou druhou mimoběžkou a zadaným směrem. Hledaná příčka je potom určena tímto průsečíkem a zadaným směrem. − 1. Rovina α; α ≡ m→ q. 2. Přímka KL; průsečnice roviny podstavy s rovinou α; KL k q; S ∈ KL; K ∈ AB; L ∈ CD. 3. Bod N ; N ∈ α ∩ n; řez rovinou α je sestrojen bez dalšího označení. − 4. Příčka p; p ≡ N → q. 5. Bod M ; M ∈ p ∩ m.

24

KAPITOLA 3. METRICKÉ ÚLOHY

25

Kapitola 3 Metrické úlohy 3.1

Skutečné velikosti řezů

Úloha 3.1. Sestrojte skutečné velikosti řezů z příkladů kapitoly 2.1.

Obrázek 3.1: Skutečná velikost řezu z úlohy 2.1 Řešení (Úloha 2.1). Pro sestrojení skutečné velikosti řezu si narýsujeme pomocný čtverec o stejných rozměrech jako stěna krychle. Ten nám poslouží pro konstruování skutečných velikostí úseček v jednotlivých stěnách tak, jak je budeme potřebovat. Přenášet body z libovolné stěny do tohoto pomocného čtverce je možné díky větě 1.27. 1. Trojúhelník OM K; Body K a O si přeneseme do pomocného čtverce. |KM | vidíme přímo v řezu. |OM | sestrojíme z trojúhelníka BOM . Bod O si přeneseme do čtverce ABEF na AE. |<) OBM | = π2 ; |BM | známe. Můžeme tedy sestrojit trojúhelník O0 BM 0 ve skutečné velikosti (podle věty sus o trojúhelnících). Nad úsečkou KO tak můžeme sestrojit trojúhelník OM K ve skutečné velikosti (sus). 2. Bod N ; M N k KO; |M N | sestrojíme v pomocném čtverci. 3. Bod L; N L k KM ; |N L| sestrojíme v pomocném čtverci.


Obrázek 3.2: Skutečná velikost řezu z úlohy 2.2

Řešení (Úloha 2.2). Opět si sestrojíme pomocné objekty: podstavu a boční stěnu ve skutečné velikosti, ve kterých budeme konstruovat jednotlivé délky s využitím věty 1.27. Při konstrukci budeme využívat průsečnici roviny ρ s vrcholovou rovinou kolmou k podstavě procházející středem strany AF , bodem Z. 1. Úsečka ON ; prostým přenesením bodů ON do pomocné podstavy. 2. Body M , P ; M P k ON ; |M P, ON | = |XZ| = |N 0 X 0 |; |M N | sestrojíme v pomocném rysu boční stěny; |OP | = |M N |. 3. Body Q, R; QR k ON ; |QR, ON | = |ZY | = |N 0 Y 0 |; |Y Q| = |Y R| sestrojíme v pomocném rysu boční stěny.

26


Obrázek 3.3: Skutečná velikost řezu z úlohy 2.3

Řešení (Úloha 2.3).

1. OP ; |OP | = |AB|.

2. o; osa úsečky OP . 3. Body 4 a 6; 4,6 ∈ o; |34| a |36| sestrojíme v rysu: bod 5 je ”pod” bodem F v rovině β; |F 5| = |D4|; skutečná velikost |540 | = 2|54| = |F D0 |; |<) 453| = π2 ; |53| známe; v takto sestrojeném trojúhelníku 30 540 s použitím bodu F 0 sestrojíme bod 60 ; |30 60 | a |30 40 | jsou skutečné velikosti. 4. Body SR; SR ⊥ o; bod 6 je střed úsečky SR. 5. Body N Q; Q ∈ 4R; |P Q| sestrojíme v pomocném rysu boční stěny; N ∈ 4S; |ON | = |P Q| .

27


Řešení (Úloha 2.4). Podstavou jehlanu je obecný šestiúhelník, tudíž skutečnou velikost řezu musíme konstruovat po trojúhelnících. Popíši zde konstrukci jen jednoho, naznačím další postup a přidávám výsledek ke kontrole.

1. Sestrojíme si podstavu ABCDEF ve skutečné velikosti a v ní bod O, což je kolmý průmět vrcholu do roviny podstavy. 2. Bod R přeneseme na úsečku AB. 3. Bod (V )1 a ; O(V )1 ⊥ OR; |O(V )1 | = |OV | známe; získáváme |V R| = |(V )1 R|. 4. Bod (V )2 ; O(V )2 ⊥ OB; |O(V )1 | = |OV | známe; získáváme |V B| = |(V )2 B|. 5. Trojúhelník ABV ; podle věty sss o trojúhelnících můžeme sestrojit trojúhelník RBV ; použijeme-li body R a B z pomocného půdorysu, tak jen doplníme úsečku AV a máme trojúhelník ABV . 6. Body A0 a B 0 ; máme sestrojené skutečné velikosti |AV | a |BV |, takže přeneseme body A0 a B 0 do trojúhelníka ABV ; získáváme |A0 B 0 |. 7. Přesně stejně postupujeme při hledání |B 0 C 0 | a |A0 C 0 |. 8. Podle věty sss pro trojúhelníky můžeme sestrojit trojúhelník A0 B 0 C 0 . 9. Takto pokračujeme dále, sestrojením trojúhelníka A0 C 0 D0 získáme čtyřúhelník A0 B 0 C 0 D0 , . . . , až nakonec sestrojením trojúhelníka A0 E 0 F 0 získáme celý řez A0 B 0 C 0 D0 E 0 F 0 ve skutečné velikosti.

a

Z technických důvodů se v tomto příkladě neshoduje přesně popis s popisem v obrázku. Bod, který je v obrázku označen (V )1, je v textu označen (V )1 . Stejně tak i ostatní body označené v obrázku písmenem a číslicí jsou v textu označeny písmenem s dolním indexem.

28


Obrázek 3.4: Konstrukce skutečné velikosti řezu z úlohy 2.4 29


Obrázek 3.5: Konstrukce skutečné velikosti řezu z úlohy 2.5

Řešení (Úloha 2.5). Vzhledem k obecné podstavě nám nezbývá nic jiného, než skutečnou velikost řezu sestrojit opět po trojúhelnících. Na rozdíl od předchozího příkladu je tento snažší o to, že výška všech bočních stran je stejná. Boční stěny jsou obdélníky se shodnou výškou a šířku vždy nalezneme v podstavě.

1. |QM | je v zadání ve skutečné velikosti. 2. |M N |, |N O| a |OP | sestrojíme pomocí skutečných velikostí obdélníků nad úsečkami BC, CD a DE. 3. |P Q| nalezneme po přenesení bodů P , Q do pomocné podstavy. 4. Ještě si sestrojíme |QN | a |QO| v obdélnících nad úsečkami Q0 C a Q0 D. 5. Teď máme všech 7 potřebných délek pro sestrojení skutečné velikosti řezu M N OP Q.

30


Obrázek 3.6: Skutečná velikost řezu z úlohy 2.6 Řešení (Úloha 2.6). Skutečnou velikost řezu krychle sestrojíme podobně jako v úloze 2.1 po trojúhelnících a s využitím rovnoběžností protilehlých stran. Dále tedy popisuji konstrukci pro osmistěn. 1. Úsečka XY ; X ∈ LM ; Y ∈ OP ; vzdálenosti přeneseme z rysu. 2. Body III a IV ; díky tomu, že již známe skutečnou velikost |XY |, tak můžeme přenést i body III a IV na úsečku XY . 3. Úsečka W Z; Z ∈ M Q; průsečík XY ∩ W Z umíme na úsečku XY přenést; W ∈ KO. 4. Body I a II; opět již známe skutečnou velikost úsečky W Z, takže můžeme přenést vzdálenosti bodů I a II od bodu W na úsečku W Z. 5. Přímku, na které budou ležet body V a V I, sestrojíme pomocí jejích průsečíků s úsečkami XY a W Z. 6. Přímku, na které leží strana řezu III V , vedeme bodem III a jejím průsečíkem s úsečkou QM ; ten si odvodíme ze skutečné velikosti. 7. Bod V ; leží na průsečíku dvou přímek, které jsme právě sestrojili. 8. Nyní využijeme rovnoběžností dvojic protilehlých stran řezu a ten dorýsujeme.

31


3.2

Odchylky

Úloha 3.2 (Pokračování úlohy 2.10). Zkonstruujte skutečnou velikost odchylky mimoběžek AF , D0 E 0 . Řešení. D0 E 0 k AB ⇒ |<) AF, D0 E 0 | = |<) AF, AB|. Odchylka mimoběžek AF , D0 E 0 je tudíž rovna odchylce dvou sousedních stran pravidelného šestiúhelníka.

Obrázek 3.7: Odchylka mimoběžek z úlohy 2.10. Úloha 3.3 (Pokračování úlohy 2.11). Zkonstruujte skutečnou velikost odchylky mimoběžek m, n. Řešení. m k BV ⇒ |<) mn| = |<) n, BV |. Takže odchylka mimoběžek m, n je rovna odchylce dvou sousedních bočních hran zadaného jehlanu.

Obrázek 3.8: Odchylka mimoběžek z úlohy 2.11.

32


Úloha 3.4 (Pokračování úlohy 2.7). Zkonstruujte skutečnou velikost odchylky p, α.

Obrázek 3.9: Odchylka přímky p od roviny α ≡ BCV

Řešení. Sestrojíme pravoúhlý průmět p00 přímky p do roviny α a nalezneme |<) pp00 |. 1. Vrcholová rovina β; β k π. 2. Bod Y ; Y ∈ β ∩ BC. 3. Přímka s; s ⊥ V Y ; s ⊥ α. 4. Bod Q00 ; pravoúhlý průmět bodu Q do roviny α – leží na průsečíku roviny α s rovnoběžkou s přímkou s vedenou bodem Q. 5. Přímka p00 ; p00 ≡ RQ00 . 6. |<) αp| = |<) p00 p|; toto zkonstruujeme v pomocném obrázku. Sestrojíme si stěnu BCV ve skutečné velikosti a zaneseme do její roviny polohy bodů X, R a Q00 . Okolo přímky RQ00 sklopíme bod Q. Skutečnou velikost |QQ00 | vidíme přímo v rovnoběžném průmětu, protože QQ00 k π. <) QRQ00 je skutečná odchylka přímky p od roviny α.

33


Úloha 3.5 (Pokračování úlohy 2.8). Určete konstrukčně odchylku r, α, kde α ≡ BCG.

Obrázek 3.10: Odchylka přímky r od roviny α ≡ BCG

Řešení.

1. Bod R0 ; kolmý průmět bodu R do roviny α.

2. Bod S 0 ; kolmý průmět bodu S do roviny α. 3. Bod X; X ∈ r ∩ r0 ; r0 ≡ R0 S 0 4. Situaci v rovině α si sestrojíme ve skutečné velikosti. 5. Body S a R sklopíme okolo přímky R0 S 0 . 6. |<) RXR0 | = |<) rr0 | = |<) rα|

34


Úloha 3.6 (Pokračování úlohy 2.9). Určete konstrukčně odchylku ρ, r. ρ ≡ ABC.

Obrázek 3.11: Odchylka přímky r od roviny ρ ≡ ABC

Řešení.

1. Bod Y 0 ; kolmý průmět bodu Y do roviny ρ.

2. Přímka r0 ; r0 ≡ RY 0 . 3. Sestrojíme si podstavu ABCDEF ve skutečné velikosti a zaneseme do ní postupně polohy bodů roviny ρ: 1, 2, Y 0 , 3, R. 4. Sklopením bodu V získáme bod (Y 0 ) a ten přeneseme na kolmici k r0 . Tak získáme bod Y sklopený okolo přímky r0 . 5. |<) Y RY 0 | = |<) rr0 | = |<) rρ|

35


3.3

Vzdálenosti

Úloha 3.7. Je zadaný pravidelný trojboký hranol ABCA0 B 0 C 0 . Sestrojte osu r mimoběžek p, q. p ≡ AB 0 , q ≡ A0 C 0 . Sestrojte také skutečnou vzdálenost mimoběžek p, q.

Obrázek 3.12: Osa mimoběžek p, q Řešení. Osa mimoběžek je kolmá k oběma mimoběžkám (Lemma 1.25). Tento typ úloh tedy řešíme tak, že nejprve nalezneme směr kolmý k oběma mimoběžkám. Jednou mimoběžkou potom proložíme rovinu danou nalezeným směrem. Průsečík této roviny s druhou mimoběžkou je bod na hledané ose mimoběžek, kterým vedeme osu rovnoběžně s nalezeným směrem. 1. Rovina α; α ≡ AB 0 C je rovina, se kterou jsou obě mimoběžky rovnoběžné. −→ 2. Směr BZ; konstruujeme kolmici k rovině α z bodu B; v trojúhelníku BXB 0 , kde X je střed AC, hledaná kolmice odpovídá výšce z bodu B; trojúhelník BXB 0 sestrojíme ve skutečné velikosti a po provedení konstrukce bodu Z jej vrátíme do tělesa. 36

KAPITOLA 3. METRICKÉ ÚLOHY −→ 3. Rovina β; β ≡ pBZ. 4. Bod P ; P ∈ β ∩ p. −→ 5. Osa mimoběžek r; r ≡ P BZ. 6. Bod Q; Q ∈ r ∩ q. 7. |pq|; |pq| = |P Q|, tuto úsečku si sestrojíme ve skutečné velikosti v trojúhelníku AB 0 Q. |B 0 Q| zkonstruujeme otočením trojúhelníka horní podstavy do průmětny okolo strany A0 B 0 . K nalezení |AQ| si přeneseme bod Q na úsečku A0 B 0 tak, aby |AQ| = |A(Q)2 |b . Konečně |AB 0 | máme rovnou ve skutečné velikosti. V trojúhelníku AB 0 Q najdeme |P Q| jako velikost výšky z bodu Q.

Obrázek 3.13: Vzdálenost mimoběžek p, q

b

Značení není shodné s obrázkem, (Q)2 v textu odpovídá (Q)2 v obrázku.

37

KAPITOLA 3. METRICKÉ ÚLOHY Úloha 3.8. Je zadaný kolmý hranol ABCDEF A0 B 0 C 0 D0 E 0 F 0 , jehož podstavou je nepravidelný nekonvexní šestiúhelník. Určete konstrukčně vzdálenost rovin α, β. α ≡ F B 0 D0 , β k α, D ∈ β.

Obrázek 3.14: Vzdálenost rovin

Řešení. Vzdálenost rovin je délka úsečky, která je k oběma rovinám kolmá a má koncové body v zadaných rovinách. Sestrojíme přímku kolmou k oběma rovinám, její průsečíky s oběma rovinami a nakonec vzdálenost těchto průsečíků bude vzdálenost rovin α, β. 1. Řezy tělesa oběma rovinami; řez rovinou α: A00 B 0 D0 E 00 F ; řez rovinou β: BC 00 D. 2. Rovina γ; bodem D proložíme rovinu γ ⊥ α, která je zároveň kolmá k rovině podstavy. Její průsečnici g s rovinou podstavy si setrojíme v pomocném obrázku podstavy ve skutečné velikosti, BD ⊥ g. Její průsečnice se stěnou BC je kolmá na AB a je ve skutečné velikosti. 38


3. Přímka k; k ⊥ γ; X ∈ k; k je výška v pravoúhlém trojúhelníku DXY , tento si sestrojíme ve skutečné velikosti a k přeneseme do obrázku. 4. Bod [B]; [B] ∈ k ∩ β. 5. Bod [A]; [A] ∈ k ∩ α. 6. |αβ|; |αβ| = |[A][B]|.

Obrázek 3.15: Vzdálenost rovin, pomocný obrázek

39

KAPITOLA 4. ÚLOHY NA ROTAČNÍCH TĚLESECH

40

Kapitola 4 Úlohy na rotačních tělesech Úloha 4.1. Je zadaný rotační válec vepsaný do kvádru KLM N K 0 L0 M 0 N 0 . Sestrojte tečné roviny rovnoběžné s přímkou a ≡ A0 M , A0 je střed úsečky M 0 N 0 .

Obrázek 4.1: Tečné roviny k válci Řešení. Tečné roviny budou kolmé k podstavě. Promítneme-li přímku a kolmo do roviny podstavy, dostáváme přímku a0 . V rovině podstavy sestrojíme tečny k podstavné kružnici, která se ve volné axonometrii zobrazuje jako elipsa, rovnoběžné s přímkou a0 . Sestrojit tečny k elipse rovnoběžné se zadaným směrem je planimetrická úloha. Tyto dvě tečny t1 a t2 jsou průsečnice hledaných tečných rovin s rovinou podstavy. V bodech dotyku T 1 a T 2 vedeme površky, ve kterých se tečné roviny dotýkají válce.

KAPITOLA 4. ÚLOHY NA ROTAČNÍCH TĚLESECH

Úloha 4.2. Sestrojte tečné roviny k rotačnímu kuželi bodem A, který leží v rovině podstavy.

Obrázek 4.2: Tečné roviny ke kuželi

Řešení. Bod A leží na průsečnicích tečných rovin jím vedených s rovinou podstavy. Sestrojíme tedy tyto průsečnice. Jsou to tečny z bodu A k podstavné kružnici zobrazené jako elipsa. Sestrojit tečny k elipse z bodu je planimetrická úloha. Površky v bodech dotyku jsou přímky, ve kterých se hledané tečné roviny dotýkají kužele.

41

KAPITOLA 4. ÚLOHY NA ROTAČNÍCH TĚLESECH Úloha 4.3. Do pravidelného šestibokého hranolu KLM N OP K 0 L0 M 0 N 0 O0 P 0 je vepsán rotační kužel s podstavou k v podstavě hranolu a vrcholem V ve středu horní podstavy. Dále jsou dány body R, S na hranách O0 P 0 , LL0 . Sestrojte průnik přímky r ≡ RS s kuželem.

Obrázek 4.3: Průnik přímky r s kuželem Řešení. Sestrojíme vrcholovou rovinu ω ≡ RSV . Řez kužele touto rovinou bude trojúhelník. Průsečíky přímky r s tímto trojúhelníkem budou průsečíky přímky r s kuželem. 1. Bod S 0 ; S 0 ∈ V S ∩ V 0 L. 2. Přímka p; p k V R, S 0 ∈ p. 3. Body A, B; A ∈ p ∩ k, B ∈ p ∩ k, A 6= B. 4. Řez kužele rovinou ω; trojúhelník ABV . 5. Body X, Y ; X ∈ AV ∩ r, Y ∈ BV ∩ r.

42

KAPITOLA 5. ÚLOHY K PROCVIČOVÁNÍ

43

Kapitola 5 Úlohy k procvičování 5.1

Úlohy zadané na krychli

Ve všech těchto úlohách je zadaná krychle ABCDEF GH s délkou hrany a. Při řešení doporučuji volit jednu z poloh podle obrázku 5.1. První poloha je obvyklá, AB k π. Druhá, AC k π, je vhodná zejména tehdy, když využíváme tělesovou úhlopříčku. Krychle je nejjednoduší těleso z hlediska zobrazování konstrukčních stereometrických úloh ve volném rovnoběžném promítání. Tento výčet úloh by mohl být inspirací k vymýšlení vlastních příkladů. Stačí si jen vhodně upravovat polohy tvořících prvků zadaných objektů (body na hranách apod.) a dostáváme stále nové a nové úlohy. Toto samozřejmě platí i pro úlohy na jiných tělesech.

Obrázek 5.1: Krychle při různých polohách vůči průmětně


Úloha 5.1. Zobrazte řez rovinou α, danou třemi body. Sestrojte skutečnou velikost řezu. Zkonstruujte skutečnou velikost odchylky roviny α od roviny podstavy. a. α ≡ EF P ; P je středem úsečky CD. b. α ≡ AHQ; Q je středem úsečky BF . c. α ≡ KLM ; K je vnitřním bodem úsečky AE, |AK| = 14 a; L je vnitřním bodem úsečky DH, |DL| = 54 a; M je vnitřním bodem úsečky BF , |BM | = 32 a. d. α ≡ M LP . e. α ≡ KP R, R je středem úsečky F G. Úloha 5.2. Sestrojte průsečík přímky r s rovinou ρ. Zkonstruujte odchylku přímky r od roviny ρ. a. ρ ≡ BDG, r ≡ CE. b. ρ ≡ RST , r ≡ U B; R je vnitřním bodem úsečky AE, |AR| = 41 a; S je středem úsečky GH; T je středem úsečky BC; U je středem úsečky DH. c. ρ k ABC, T ∈ ρ, r ≡ RS. d. ρ ≡ ABH, r ≡ V T ; V je středem úsečky EF . Úloha 5.3. Jsou dány mimoběžky p, q. p ≡ AB, q ≡ EX, X je středem úsečky CG. a. Sestrojte příčku mimoběžek p, q rovnoběžnou s přímkou r; r ≡ AH. b. Sestrojte příčku mimoběžek p, q jdoucí bodem Y ; Y je středem úsečky GH. c. Sestrojte příčku mimoběžek p, q kolmou ke q, která není kolmá k p. d. Sestrojte osu mimoběžek p, q. Určete jejich vzdálenost. e. Sestrojte odchylku zadaných mimoběžek. Úloha 5.4. Sestrojte průsečnici rovin α a β. Zkonstruujte jejich odchylku. a. α ≡ BDH, β ≡ CF H. b. α ≡ ACH, β ≡ DEG. c. α ≡ ABX, β ≡ GHY ; X je středem úsečky F H, Y je středem úsečky BE. d. α ≡ RST , β ≡ KLM ; S, M , T jsou po řadě středy úseček AB, CG, CZ a body K, |AK| |AL| |F R| L, R leží po řadě na hranách AB, AE, EF ; |KB| = |LE| = |RE| = 21 . Úloha 5.5. Veďte v rovině BEH bodem H kolmici na přímku CF . 44


Úloha 5.6. Bod K je vnitřním bodem hrany BF . Sestrojte řez krychle rovinou ρ, K ∈ ρ. a. ρ k ADG b. ρ k ACF c. ρ k BDE Úloha 5.7. Body K, L jsou po řadě středy hran AB a CG, body U , V leží na hranách BF |GV | | = |V = 31 . Nalezněte společný bod tří rovin α, β a γ. α ≡ ADH, β ≡ EKL, a CG, |BU |U F | C| γ ≡ DU V . Úloha 5.8. Bod N leží na hraně AB. Určete vzdálenost bodu G od přímky p ≡ DN .

5.2

Další úlohy

Úloha 5.9. Je dán kvádr ABCDEF GH, |AB| : |AD| : |AE| = 2 : 3 : 1. Bod M je | vnitřním bodem úsečky EF , |EM = 35 . Bod N leží na polopřímce F G tak, že bod G je |M F | středem úsečky F N . Bod P leží na polopřímce DC tak, že bod C je vnitřním bodem |DP | = 45 . Sestrojte řez kvádru rovinou ρ ≡ M N P . Pokud rovina ρ neprotíná úsečky DP , |DC| některou stěnu kvádru, sestrojte průsečnici roviny této stěny s rovinou ρ a jejich odchylku. Úloha 5.10. Je dán pětiboký jehlan ABCDEV a body RST P Q na jeho povrchu. Sestrojte průnik přímky r ≡ P Q s rovinou ρ ≡ RST .

Úloha 5.11. Zrekonstruujte skutečnou velikost podstavy jehlanu z předchozího příkladu, víte-li, že je zobrazen ve volném rovnoběžném promítání, k = 12 , ϕ = 45◦ . Určete vzdálenost bodu D od roviny ABV . Úloha 5.12. Sestrojte osu mimoběžek AD a BV v pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV s výškou v = 32 |AB|. Určete vzdálenost těchto mimoběžek. 45

KAPITOLA 5. ÚLOHY K PROCVIČOVÁNÍ Úloha 5.13. Sestrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV , v = 23 |AB|, rovinou ρ. a. ρ ≡ XY Z; X, Y , Z leží po řadě na polopřímkách BA, DA, V B; |BX| = 23 |AB|, |DY | = 2|AD|, |V Z| = 21 |V B|. b. ρ ≡ BP Q; bod P je bodem hrany AV a bod Q je bodem hrany CV tak, že |AP | : |P V | = |V Q| : |QC| = 2 : 1. Úloha 5.14. Sestrojte řez pravidelného trojbokého hranolu ABCA0 B 0 C 0 rovinou ρ, určenou body RST . Body RST si zvolte pevně podle tohoto zadání: R je vnitřním bodem úsečky A0 C 0 , S je vnitřním bodem úsečky AB a bod T je vnitřním bodem stěny BCB 0 C 0 . Úloha 5.15. Je dán čtyřstěn ABCD, bod M na hraně CD, bod P na hraně BD a bod N ve stěně ABC. Sestrojte průsečík přímky r ≡ DN s rovinou ρ, která je rovnoběžná s rovinou ABC a prochází bodem P . Úloha 5.16. Je dán pravidelný šestiboký hranol ABCDEF A0 B 0 C 0 D0 E 0 F 0 . Sestrojte příčku r mimoběžek BC a A0 F 0 . a. r k AA0 . b. r k B 0 C. c. r. . . osa mimoběžek. Úloha 5.17. Je dán pravidelný pětiboký jehlan ABCDEV , v = 54 |AB|. Sestrojte odchylku rovin α a β. a. α ≡ ABV , β ≡ AEV . b. α ≡ ABC, β ≡ ACV . c. α ≡ ABV , β ≡ CDV . Úloha 5.18. V pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV , v = |AB|, jsou dány body M a N jako středy hran CV a BC. Rozhodněte, který z bodů B, N , C má od přímky AM nejkratší vzdálenost. Úloha 5.19. Určete vzdálenost rovin α a β, zadaných v jehlanu z předchozího příkladu takto: a. α ≡ ADV , M ∈ β k α. b. α ≡ AN V , M ∈ β k α. Úloha 5.20. Pravidelný trojboký hranol ABCA0 B 0 C 0 má délku pobočné hrany rovnu dvojnásobku podstavné hrany. Určete vzdálenost přímky AB od přímky A0 C.

46

SEZNAM OBRÁZKŮ

47

Seznam obrázků 1.1 1.2 1.3

Zobrazení krychle ve všech čtyřech volných rovnoběžných zobrazeních při ϕ = 45◦ a k = 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rotační kužel a válec s různou volbou k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Středová kolineace a osová afinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 13 13

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11

Řez krychle . . . . . . . . . . . . . Řez jehlanu . . . . . . . . . . . . . Řez hranolu . . . . . . . . . . . . . Středová kolineace . . . . . . . . . Osová afinita . . . . . . . . . . . . Řez krychle a vepsaného osmistěnu Průsečík přímky s rovinou . . . . . Průsečnice rovin . . . . . . . . . . . Průsečnice rovin . . . . . . . . . . . Příčka mimoběžek . . . . . . . . . . Příčka mimoběžek . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15

Skutečná velikost řezu z úlohy 2.1 . . . . . . . Skutečná velikost řezu z úlohy 2.2 . . . . . . . Skutečná velikost řezu z úlohy 2.3 . . . . . . . Konstrukce skutečné velikosti řezu z úlohy 2.4 Konstrukce skutečné velikosti řezu z úlohy 2.5 Skutečná velikost řezu z úlohy 2.6 . . . . . . . Odchylka mimoběžek z úlohy 2.10. . . . . . . Odchylka mimoběžek z úlohy 2.11. . . . . . . Odchylka přímky p od roviny α ≡ BCV . . . Odchylka přímky r od roviny α ≡ BCG . . . Odchylka přímky r od roviny ρ ≡ ABC . . . . Osa mimoběžek p, q . . . . . . . . . . . . . . Vzdálenost mimoběžek p, q . . . . . . . . . . . Vzdálenost rovin . . . . . . . . . . . . . . . . Vzdálenost rovin, pomocný obrázek . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

25 26 27 29 30 31 32 32 33 34 35 36 37 38 39

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

SEZNAM OBRÁZKŮ

4.1 4.2 4.3

Tečné roviny k válci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tečné roviny ke kuželi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Průnik přímky r s kuželem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40 41 42

5.1

Krychle při různých polohách vůči průmětně . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

48

SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY

49

Seznam použité literatury [1] Pomykalová E.: Matematika pro gymnázia – Stereometrie. Praha, Prometheus, 1999. [2] Kraemer E.: Zobrazovací metody: promítání rovnoběžné, I. díl. Praha, SPN, 1991. [3] Kraemer E.: Zobrazovací metody: promítání rovnoběžné, II. díl. Praha, SPN, 1991. [4] Urban A.: Deskriptivní geometrie I. Praha, SNTL, 1965. [5] Rybička J.: LATEX pro začátečníky. Brno, KONVOJ, 2003. [6] Lomtatidze L., Plch R.: Sázíme v LATEXu diplomovou práci. Brno, Masarykova univerzita, 2003.

MASARYKOVA UNIVERZITA. Sbírka konstrukčních úloh ze stereometrie

Recommend Documents