Gazdasági matematika I. tanmenet Mádi-Nagy Gergely
A hivatkozásokban az alábbi két tankönyvre utalunk: • Cs: Csernyák László (szerk.): Analízis, Nemzeti Tankönyvkiadó 2001. • D: Denkinger Géza: Analízis gyakorlatok, Nemzeti Tankönyvkiadó 1997
1. Halmazelmélet Irodalom: Cs 1. fejezet. El®adás anyaga vázlatosan (témakörök, kulcsszavak):
1.1. Halmaz fogalma ismérv, {|}, felsorolás
1.2. M¶veletek halmazokkal ∅, ⊂, ∪, ∩, −−. Példák Wenn diagrammal és véges halmazokkal. Halmazalgebra, komplementer, De Morgan
azonosságok.
1.3. Valós számhalmaz IN ⊂ ZZ ⊂ Q I ⊂ IR.
1.4. Pár fontos m¶veleti azonosság (a) Törtek összeadása, szorzása, (b) hatványozási azonosságok, (c) (a + b)2 , a2 − b2 stb., (d) logaritmikus azonosságok, (e) n! de níciója. Pár példa, törtek egyszer¶sítése. Mindezekre számszer¶ példák.
1
1.5. Descartes szorzat. Koordináta rendszer De níció. Példák IR2 ponthalmazaira.
1.6. Intervallumok, kvantorok [, (, ∀, ∃(!), ∈, =⇒
1.7. Feladatok D 1.1/5,13.
2. Valós függvények Irodalom: Cs 2. fejezet. El®adás anyaga vázlatosan (témakörök, kulcsszavak):
2.1. A függvény fogalma De níció, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékészlet. Példákkal.
2.2. Valós függvények De níció, gra kon, ax + b, xn ,
1 x,
ax , loga x, | |.
2.3. Függvény transzformációk f (x) + c, c · f (x), f (x + a), f (a · x). Pl.: (x + 1)2 − 2,
2x − 2 . x+2
2.4. Polinom, racionális törtfüggvény De níció. Polinomosztás. Legalább 3 db. számszer¶ példa.
2.5. Összetett függvény, inverz függvény √
De níció. Pl.: ex−2 , ln(x2 + 5), (ex + 1)2 . Pl.:x2 ↔ x, ex ↔ ln x,
2.6. Feladatok D 1.3/1-3
3. Számsorozatok Irodalom: Cs 3.1-3.5 El®adás anyaga vázlatosan (témakörök, kulcsszavak): 2
1 x
↔
1 x
3.1. Sorozat fogalma De níció. Képlettel megadás. Ábrázolás. Számszer¶ példák, els® pár elem kiszámítása.
3.2. Sorozat tulajdonságai (Szigorú) monotonitás. Korlátosság. Példákkal illusztrálva.
3.3. Határérték De níció. Példák. lim
1 = 0 belátása de níció szerint. n2
3.1. Tétel. Egy sorozatnak legfeljebb egy határértéke van. 3.2. Tétel. Minden konvergens sorozat korlátos. 3.3. Tétel. Monotonitás + Korlátosság =⇒ Konvergencia. 3.4. Tétel.
a n = ea lim 1 + n
3.5. Tétel.
+, −, c·, ·, ÷
lim f (n)→∞
a 1+ f (n)
f (n)
= ea .
Példákkal.
határértéke. Példa egy racionális törtfüggvény határértékére. 1 n
3.6. Tétel. Rend®relv.(an ≤ cn ≤ bn ). Pl.:lim(−1)n . 3.7. Tétel. 3.8. Tétel.
ln n na an n! nn √ lim n n = 1
3.4. Feladatok D 2.1/25-32, 34, 36, 39, 40, 43-50, 57, 58, 61, 63, 64 + az interneten szerepl® példák.
3.5. A tanultak alkalmazása pénzügyi számításokban n éves járadék. Örökjáradék.
4. Függvények határértéke, folytonossága Irodalom: Cs 4.1-4.4 El®adás anyaga vázlatosan (témakörök, kulcsszavak):
3
4.1. Függvények határértéke a végesben De níció (környezettel). Jobb- és baloldali határérték. Példák folytonossági pontra és szakadási helyre.
4.1. Tétel.
+, −, c·, ·, ÷,
4.2. Tétel.
c, x, ex , ln x : lim f (x) = f (a).
4.3. Tétel.
összetett függvény (megfelel® környezetekkel) határértéke. a
x
lim 0
e −1 = 1. x
4.4. Tétel. lim f (x) > c =⇒ f (x) > c (a
egy környezetében),
lim f (x) ≥ c ⇐= f (x) ≥ c (a
egy környezetében).
a
a
Példa: lim 1
|x2 − 1| =0 x+1
4.2. Függvények határértéke a végtelenben De níció (lim, lim). A sorozatoknál szerepl® 3.1-3.6 Tételek itt is érvényesek (x ↔ n). ∞
−∞
4.3. Tágabb értelemben vett határérték De níciók. Véges helyen pl.:
1 1 , ±∞ helyeken pl.: x2 , ex , félodali határértékek pl.: . x2 x
4.4. Folytonosság De níció (határértékkel), jobb- és baloldali is. Szakadási hely de níciója. Folytonos függvény (értelmezési tartományán/halmazon) de níciója.
4.5. Tétel. Folytonosak +, −, c·, ·, ÷-e, kompozíciója is folytonos. 4.6. Következmény. Polinom, racionális törtfüggvény, ax , log folytonos.
4.5. Feladatok Határérték: D 2.2/2, 4, 5, 8-10, 12-22, 38-40 Folytonosság: D 2.2/45-50, 55-56
5. Dierenciálszámítás Irodalom: Cs 5. fejezet. El®adás anyaga vázlatosan (témakörök, kulcsszavak):
4
5.1. A dierenciálhányados fogalma Gra kus jelentés (érint® meredeksége). De níció. Dierenciálhatóság. Pl.: f (x) = x2 , x0 = 2. Érint® egyenlete.
5.1. De níció. 5.1. Tétel.
f (x)
f (x)
dierenciálható értelmezési tartományán/egy adott halmazon.
deriválható x0 -ban =⇒folytonos x0 -ban.
5.2. De níció. Jobb/baloldali derivált. Pl.:
|x3 − 1|, x0 = 1.
5.2. A derivált kiszámítása • Néhány elemi függvény deriváltja: c, xa , ex , ax , ln x, loga x. • Dierenciálási szabályok: 0 f (a) cf, f ± g, f g, . Pl.: 2x2 x3 + 3x , g p 0 0 (b) [f (g (x))] .Pl.: 2x + x2 .
0 x2 + 1 . ln x
Feladatok: deriváltak + néhány érint® egyenlet. (xx )0 .
5.3. Magasabb rend¶ deriváltak 5.3. De níció.
f
második deriváltja: f 00 (x) = [f 0 (x)]0 .
Pl.: (x3 )00 .
5.4. De níció.
f n-edik
deriváltja: f (n) (x) = [f (n−1) (x)]0 .
5.4. Taylor polinom 5.5. De níció.
Tn (x), x0
körül. Pl.: ex , 2x3 − 2.
Spec eset: T1 (x) az érint® egyenlete Alkalmazás: Miért szokták a kamatot egyszer¶en csak összeadni: (1 + i)n ≈ 1 + in.
5.5. Feladatok Deriválás: D 3.1/1-14, 21, 22, 27-29 Magasabb rend¶ deriváltak: D 3.3/1-4, 6, 7, 9-11 Taylor polinom: T2 (x) kiszámítása valamilyen x0 körül a magasabb rend¶ deriváltaknál szerepl® függvényekre.
6. Függvényvizsgálat Irodalom: Cs 6. fejezet. El®adás anyaga vázlatosan (témakörök, kulcsszavak): 5
6.1. Monotonitás 6.1. De níció. Lokális növés/fogyás (szigorú is), x0 pontban, I intervallumban, + ábra. 6.1. Tétel.
f (x)
6.2. Tétel.
f (x0 ) > 0 =⇒ f (x)
6.1. Példa.
f 0 (x0 ) = 0
lok. növ® x0 -ban =⇒ f 0 (x0 ) ≥ 0 +u.e. fogyóra. szig. lok. növ® +u.e. fogyóra.
esetén bármi lehet: x2 , x3 , x0 = 0.
6.2. Széls®érték 6.2. De níció. Lokális minimum/maximum. 6.2. Példa. Lok. min/max vs. globális min/max ábrán egy [a, b] intervallumon. 6.3. Tétel.
f
(deriválható) függvény lok. széls®értéke x0 =⇒ f 0 (x0 ) = 0 +ábra.
6.4. Tétel.
f
deriváltja el®jelet vált x0 -ban =⇒ x0 lok. széls®értékhely.
6.3. Konvexitás (görbület) 6.3. De níció.
f
deriválható fv. (szig) konvex x0 -ban, ha f 0 (x0 ) (szig.) lok. növ® + ábra. + u.e. konkávra.
6.5. Tétel.
f
6.6. Tétel.
f 00 > 0 =⇒ f
6.3. Példa.
f 00 (x0 ) = 0
(kétszer deriválható) függvény konvex =⇒ f 00 ≥ 0 +u.e. konkávra.
6.4. De níció.
f
szig. konvex. +u.e. konkávra.
esetén bármi lehet: x3 , x4 , x0 = 0.
konvexitást vált x0 -ban =⇒ x0 in exiós pont.
6.4. Teljes függvényvizsgálat (1) Értelmezési tartomány (2) Tengelymetszetek (3) Határértékek (4) Monotonitás (5) Konvexitás (6) Ábrázolás (7) Értékészlet és egyéb tulajdonságok leolvasása.
6.4. Példa.
x2
x2 − 2x + 1
teljes vizsgálata.
6
6.5. Feladatok D 3.4/33-42, 44
7. Integrálszámítás Irodalom: Cs 7. fejezet. El®adás anyaga vázlatosan (témakörök, kulcsszavak):
7.1. Határozatlan integrál Def: határozatlan integrál (primitív fv., antiderivált): F 0 (x) = f (x). Pl.:
7.1. Tétel.
f (x)
R
x2 dx.
bármely két primitív fv.-e különbsége konstans.
7.1.1. Elemi függvények primitív függvényei 1 c, xa , (||!biz.), ex , ax x
7.1.2. Integrálási szabályok 7.2. Tétel. Z
Z cf (x)dx = c
Z
Z f (x) ± g(x)dx =
Pl.:
Z
f (x)dx Z
f (x)dx ±
g(x)dx
x5 − 6x4 + 8x2 dx.
7.3. Tétel. Z f (ax + b)dx =
Pl.:
Z
1 F (ax + b) + C. a
(2x + 5)6 dx. 3 db példa megoldása.
7.4. Tétel. Z
Pl.:
Z
f α (x)f 0 (x)dx =
f α+1 + C, α 6= −1. α+1
(6x5 + 4)6 30xdx.
α = −1 eset:
7.5. Tétel.
Z
f 0 (x) dx = ln |f (x)| + C. f (x)
7
Pl.:
Z
6x dx. 3-3 példa megoldása (megfelel® konstans szorzóval). +1
3x2
7.6. Tétel (Parciális integrálás). Z
Z
0
f (x)g(x)dx = f (x)g(x) −
Pl.:
Z
f (x)g 0 (x)dx.
xex dx.
7.1.3. Feladatok D 4.2/1-7,9,11,13-15,21-25,41-43, 47-51, 57-60, 64.
7.2. Határozott integrál 7.1. De níció.
b
Z
f (x)dx:
a
A fv. alatti el®jeles terület. +rajz.
7.7. Tétel (Newton-Leibniz).
f (x)
integrálható: Z
b
f (x)dx = F (b) − F (a) a 2
Z
Z
4
1 xdx (ez utóbbi valóban a háromszög területe.) Két függvény gra konja által bezárt síkidom 2 −1 0 √ területe. Pl. f (x) = x2 , g(x) = x.
Pl.:
2
x dx
7.2.1. Feladatok Ugyanazok, mint a határozatlan integrál esetén, csak adott határok mellett.
7.3. Improprius integrál 7.2. De níció. Pl.:
∞
Z 1
Pl.
Z 1
∞
f (x)dx = lim F (x) − F (a), x→∞
a
1 dx, de x2 Z
7.3. De níció.
∞
Z
∞
Z 1 b
a
ha a határérték véges.
1 dx már nem létezik. x
f (x)dx = lim F (x) − F (a), x→b−
ha a határérték véges.
1 √ dx x
7.3.1. Feladatok D 4.4/1-4,11-14,21-25,31,32,35 8
Deriválási és integrálási segédlet Elemi függvények deriváltja: f (x) c xa ex ax
f 0 (x) 0 axa−1 ex x a ln a
ln x
1 x
loga x
Deriválási szabályok: [cf (x)]0 = cf 0 (x) [f (x) ± g(x)]0 = f 0 (x) ± g 0 (x) [f (x)g(x)]0 = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x)
1 x ln a
f (x) g(x)
0
f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x) g 2 (x)
= 0
[f [g(x)]] = f 0 [g(x)]g 0 (x)
Elemi függvények primitív függvénye:
Integrálási szabályok: Z
Z cf (x)dx = c
f (x) c
F (x) cx
Z
Z
xa (a 6= −1)
xa+1 a+1
f (x)dx Z
f (x) ± g(x)dx =
f (ax + b)dx =
Z f (x)dx ±
1 F (ax + b) + C a f α+1 + C, (α 6= −1) α+1
Z
f α (x)f 0 (x)dx =
ex
Z
f 0 (x) dx = ln |f (x)| + C f (x)
ax ln a
Z
1 x
ln |x|
ex ax
Z
0
f (x)g(x)dx = f (x)g(x) − Z
b
f (x)dx = F (b) − F (a) a
9
g(x)dx
f (x)g 0 (x)dx
