FUNGSI KONTINU. sedemikian sehingga jika x adalah titik dari A (c), maka f (x) berada pada Vg (f (c)). (Lihat Gambar 5.1.1)

FUNGSI KONTINU 5.1 FUNGSI KONTINU 5.1.1 Definisi. A ⊆ R, f: A → R, dan c ∈ A. Kita mengatakan bahwa f kontinu di c jika, diberi persekitaran Vg (f (c)) dari f (c) terdapat persekitaran sedemikian sehingga jika x adalah titik dari A ∩

(c) dari

c

(c), maka f (x) berada pada Vg

(f (c)). (Lihat Gambar 5.1.1).

Keterangan (1) Jika c ∈ A adalah suatu titik limit dari A, maka perbandingan Definisi 4.1.4 dan 5.1.1 menunjukkan bahwa f kontinu pada c jika dan hanya jika (1)

f (c) = lim f x→ c

Jadi, jika c adalah titik limit dari A, maka (1) ada kondisi yang harus dipenuhi: (i) f harus didefinisikan di c (sehingga f (c) masuk akal), (ii) batas dari f di c harus ada dalam R (sehingga lim f masuk akal), dan (iii) nilai-nilai f(c) dan x→ c

lim f harus sama. x→ c

(2) Jika c ∈ A bukan titik limit dari A, maka terdapat suatu persekitaran c sedemikian hingga A ∩

(c) dari

(c) = {c}. Jadi kita simpulkan bahwa fungsi f secara

otomatis kontinu di titik c ∈ A yang bukan titik limit dari A. Semacam ini sering disebut "titik terisolasi" dari A; karena mereka adalah "jauh dari tindakan ". Karena kontinuitas otomatis untuk titik-titik tersebut, kita umumnya harus 1 Analisis Real, 2011 Trilius Septaliana KR (20102512011) / Aisyah (20102512023) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

menguji kontinuitas hanya pada titik limit. Jadi kita bisa menganggap kondisi (1) sebagai karakteristik untuk kontinuitas di c.

5.1.2 Definisi. A ⊆ R, dan f: A → R. Jika B ⊆ A, kita katakan bahwa f kontinu pada B jika f kontinu di setiap titik B.

5.1.3. Teorema A ⊆ R, f: A → R, dan biarkan c ∈ A. Kemudian kondisi berikut ekuivalen. (i)

f kontinu di c, yaitu diberi persekitaran Vg (f(c)) dari persekitaran

f(c) terdapat

(c) dari c sedemikian sehingga jika x adalah titik dari A ∩

(c), maka f(x) berada pada Vg (f (c)). (ii) Mengingat setiap ε > 0 ada c, δ > 0 sedemikian sehingga untuk semua x ∈ A dengan | x - c | < δ, maka | f (x) - f (c) | < ε. (iii) Jika ( dan (

) )

adalah barisan bilangan real sehingga menyatu dengan c, maka barisan (f (

∈ A untuk semua n ∈ N

)) menyatu

untuk f(c).

5.1.4. Diskontinuitas Kriteria A ⊆ R, f: A → R, dan c ∈ A. Kemudian f adalah kontinu di c jika dan hanya jika terdapat urutan ( (

) konvergen

ke c, tapi barisan (f (

)) tidak

) dalam

A sedemikian sehingga

konvergen ke f (c).

Contoh 5.1.5 (a) f (x) = b kontinu pada R. Hal itu terlihat pada Contoh 4.1.7 (a) bahwa jika c ∈ R, maka lim f = b. Karena x→ c

f(c) = b, maka f adalah kontinu pada setiap titik c ∈ R. Maka f kontinu pada R. (b) g (x) = x kontinu pada R. Hal itu terlihat pada Contoh 4.1.7 (b) bahwa jika c ∈ R, maka lim g = c. Karena g x→ c

(x) = c, maka g kontinu di setiap titik c ∈ R. Jadi g kontinu pada R. (c) h (x) = x2 kontinu pada R. 2 Analisis Real, 2011 Trilius Septaliana KR (20102512011) / Aisyah (20102512023) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

Hal itu terlihat pada Contoh 4.1.7 (c) bahwa jika c ∈ R, maka lim h = c2.. x→c

Karena h (c) = c2, maka h adalah kontinu di setiap titik c ∈ R. Jadi h kontinu pada R. (d) φ (x) = 1 / x adalah kontinu pada A = {x ∈ R: x> 0} Hal itu terlihat pada Contoh 4.1.7 (d) bahwa jika c ∈ A, maka lim ϕ = 1 / c. x→ c

Karena φ (x) = 1/c, ini menunjukkan bahwa φ kontinu di setiap titik c ∈ A. Jadi φ kontinu pada A. (e) φ (x) = 1 / x tidak kontinyu pada x = 0. Memang, jika φ (x) = 1 / x untuk x> 0, maka φ tidak didefinisikan x = 0, sehingga tidak bisa terus menerus di sana. Atau, terlihat pada Contoh 4.1.10 (a) yang lim ϕ x →0

tidak ada di R, sehingga φ tidak dapat kontinu pada x = 0. (f) Fungsi signum sgn tidak kontinu di 0. Fungsi signum didefinisikan pada Contoh 4.1.10 (b) di mana ia juga menunjukkan bahwa tidak ada dalam R. Oleh karena itu sgn tidak kontinu pada x = 0 (meskipun sgn 0 didefinisikan). Ini adalah latihan untuk menunjukkan sgn yang kontinu di setiap titik c ≠ 0. (g) Misalkan A = R dan f Dirichlet's "fungsi diskontinu" didefinisikan oleh f (x) = 1 jika x adalah rasional, = 0 jika x irasional. Memang, jika c adalah bilangan rasional, (xn) menjadi barisanbilangan irasional yang konvergen ke c (Corollary 2.5.6 ke 2.5.5 Teorema Density meyakinkan kita bahwa suatu urutan seperti tidak ada.) Karena f (xn) = 0 untuk semua n ∈ N, kita memiliki (f (xn)) = 0, sedangkan f (c) = 1. Oleh karena f tidak kontinu

di

nomor

irasional

b.

Karena setiap bilangan real adalah baik rasional atau tidak rasional, kita mengurangi bahwa f tidak kontinu di setiap titik di R. 3 Analisis Real, 2011 Trilius Septaliana KR (20102512011) / Aisyah (20102512023) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

(h) Misalkan A {x ∈ R: x > 0} =. Untuk setiap bilangan irasional x> 0 kita mendefinisikan h (x) = 0. Untuk bilangan rasional dalam A dari bentuk m / n, dengan m bilangan asli, n tidak memiliki faktor bersama kecuali 1, kita mendefinisikan h (m / n) = 1 / n. (Lihat Gambar 5.1.2)

Kami berani mengklaim bahwa h kontinu di setiap bilangan irasional di A, dan terputus di setiap bilangan rasional di A. (fungsi ini diperkenalkan pada tahun 1875 oleh KJ Thomae). Di sisi lain, jika b adalah bilangan irasional dan ε > 0, maka (oleh Properti Archemedean) ada bilagan asli no seperti yang 1 / no < ε. Hanya ada jumlah terbatas rationals dengan denominator kurang dari no pada interval (b - 1, b + 1). Oleh karena itu δ > 0 dapat dipilih begitu kecil bahwa lingkungan (b - δ, b + δ) tidak berisi bilangan rasional dengan denominator kurang dari no (Mengapa?). Kemudian berikut bahwa untuk | x - b | δ <, x ∈ A, kita memiliki | h (x) - h (b) | = | h (x) <1 / no < ε |. Jadi h kontinu pada bilangan irrasional b.

Keterangan 5.1.6 (a)Kadang-kadang suatu fungsi f: A → R tidak kontinu pada titik c karena ia tidak terdefinisi pada titik ini. Namun, jika fungsi f mempunyai suatu limit L pada titik c dan jika kita menghitung F pada A F(x) = L = f(x)

{c} → R oleh

untuk x = c untuk x

A. 4

Analisis Real, 2011 Trilius Septaliana KR (20102512011) / Aisyah (20102512023) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

Maka F adalah kontinu pada c. Untuk melihat ini, butuh memeriksa bahwa lim F = L , tetapi berdasarkan ini (kenapa?), nilai lim F = L. x→ c

x→ c

(b) Jika suatu fungsi g: A → R tidak memiliki limit pada c, maka tidak ada cara kita dapat menghitung suatu fungsi G: A

{c} → R kontinu pada c dengan

definisi G(x) = C = g(x)

untuk x = c untuk x

A.

Untuk melihat ini, telitilah bahwa jika lim G ada dan sama dengan C, maka x→ c

lim g harus juga ada dan sama dengan C. x→ c

Contoh-contoh 5.1.7 (a) Fungsi g(x) = sin (1/x) untuk x ≠ 0 (Lihat Penjelasan 4.1.3 pada p. 110) tidak memiliki suatu limit pada x = 0 (lihat Contoh 4.1.10(c)). Jadi tidak ada nilai yang kita dapat menetapkan pada x = 0 untuk memperoleh perpanjangan g kontinu pada x = 0. (b) Misalkan f(x) = x sin (1/x) untuk x ≠ 0 (Lihat Penjelasan 5.1.3.) Nilai f tidak terdefinisikan pada x = 0, fungsi f tidak dapat kontinu pada titik ini. Namun, sudah terlihat dalam Contoh 4.2.8 (f) bahwa lim (x sin (1/x)) = 0. Berdasarkan x→0

5.1.6(a) jika kita definisikan F: R → R dengan F(x) = 0 = x sin (1/x)

untuk x = 0, untuk x ≠ 0,

Maka F kontinu pada x = 0.

5 Analisis Real, 2011 Trilius Septaliana KR (20102512011) / Aisyah (20102512023) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

5.2 KOMBINASI DARI FUNGSI KONTINU Misalkan A ⊆ R dan misalkan f dan g adalah fungsi yang didefinisikan pada A ke R dan misalkan b

R. Pada Definisi 4.2.3 kami definisikan jumlah,

deferensial, hasil, dan perkalian fungsi didefinisikan oleh f + g, f – g, fg, bf. Dalam penjumlahan, jika

h:

dimana h(x)

0 untuk semua x

,

maka kami definisikan fungsi ini dilambangkan dengan f / h.

Teorema 5.2.1 Misalkan A ⊆ R misalkan f dan g adalah fungsi yang didefinisikan R. Misalkan c

pada A ke R dan misalkan b

dan bahwa f dan g adalah

kontinu pada c. (a) Maka f + g, f – g, fg, dan bf adalah kontinu pada c. (b) Jika h: x

adalah kontinu pada c

dan jika h(x)

0 untuk semua

, maka hasil bagi f / h adalah kontinu pada c.

Bukti. Jika c

bukan titik limit dari A, maka kesimpulannya adalah otomatis.

Kita dapat asumsikan bahwa c adalah titik poin dari A. (a) Jika f dan g kontinu pada c, maka f(c) = lim f x→ c

dan

g(c) = lim g . x→ c


Karenanya berikut ini dari teorema 4.2.4(a) bahwa (f + g) (c) = f (c) + g (c) = lim ( f + g ). x →c

Olehkarena itu f + g adalah kontinu pada c. Asersi yang ada di bagian (a) adalah terbukti dengan cara yang sama. (b)

Jika c

, maka h(x)

0. Tapi jika h(c) = lim h , ia mengikuti x→c

dari teorema 4.2.4(b) bahwa

Maka f / h kontinu pada c. Selanjutnya hasil langsung akibat dari teorema 5.2.1, digunakan untuk setiap titik dari A. Namun, karena hasil yang sangat penting, kita harus menyatakan secara formal.

Teorema 5.2.2 Misalkan A ⊆ R misalkan f dan g kontinu pada A ke R dan .

misalkan

(a) Fungsi f + g, f – g, fg, dan bf adalah kontinu pada A. (b)Jika h:

adalah kontinu pada A dan h(x)

0 untuk semua x

, maka

hasil bagi f / h adalah kontinu pada A.

Keterangan 5.2.3 Untuk mendefinisikan hasil bagi, kadang-kadang lebih nyaman untuk melanjutkan sebagai berikut. Jika

, misalnya

:

kita dapat mendefinisikan hasil bagi f /

=

pada himpunan

oleh (*) Jika jelas

untuk x

.

adalah kontinu pada suatu titik

, batasab yang

juga kontinu pada c. Mengikuti dari teorema 5.2.1(b)

digunakan pada

bahwa f /

kontinu pada c

. Jika (f /

) = (f / 7


(x) untuk x

mengikuti f /

didefinisikan pada

kontinu pada A, maka fungsi f / pada

kontinu pada c

. Jika f dan

oleh (*), adalah kontinu

.

Contoh-contoh 5.2.4 (a) Fungsi polinomial. Jika

adalah

p

fungsi

polinomial,

untuk semua x dari contoh 4.2.5 ( f ) bahwa p(c) = lim p untuk x

sehingga

, maka berikut ini

. Maka nilai suatu fungsi

x→ c

polinomial kontinu pada R. (b) Fungsi rasional Jika p dan q adalah fungsi polinomial pada R, maka ada paling banyak bilangan berhingga maka q(x)

dari akar nyata dari q. Jika x

{

}

0 sedemikian hingga kita dapat mendefinisikqn fungsi rasional r

dengan untuk

{

}.

Ia telah dilihat dari contoh 4.2.5 (g) bahwa jika q(c)

0, maka

Dengan kata lain, r kontinu pada c. Karena c adalah semua bilangan real yang bukan merupakan akar dari q, kami menyimpulkan bahwa fungsi rasional kontinu di setiap bilangan real yang itu didefinisikan. (c) Kita harus menunjukkan bahwa fungsi sinus kontinu pada R. Untuk melakukannya kita menggunakan sifat berikut fungsi sinus dan kosinus yang akan dibuktikan dalam Bab 8. Untuk semua x, y, z

kita

memiliki: |sin z| ≤ |z|,

|cos z| ≤ 1,

Sin x – sin y = 2 sin

cos

. 8


Oleh karena itu jika c | Sin x – sin c | ≤ 2 .

, maka kita dapatkan | x – c | . 1 = | x – c |.

Olehkarena itu sin kontinu pada c. Karena c

, maka mengikuti sinus

yang kontinu pada R. (d) Fungsi kosinus kontinu pada R Kita gunakan sifat berikut fungsi sinus dan kosinus yang akan terbukti nanti. Untuk semua x, y, z |sin z| ≤ |z|,

kita dapatkan :

|sin z| ≤ 1,

cos x – cos y = 2 sin

sin

.

Oleh karena itu jika c

, maka kita dapatkan

| cos x – cos c | ≤ 2 . 1 .

| x – c | = | x – c |.

Olehkarena itu kosinus kontinu pada c. Karena c

, maka mengikuti bahwa

kosinus kontinu pada R. (Atau, kita bisa menggunakan hubungan cos x = sin (x + ).) (e) Fungsi tan, cot, sec, csc kontinu dimana dapat didefinisikan. Untuk contoh, fungsi cotangen didefinisikan dengan

Disediakan sin x

0 (yaitu disediakan x

n , n

). Karena sin dan cos

adalah kontinu pada R, mengikuti dari 5.2.3 fungsi cot kontinu pada domainnya. Fungsi-fungsi trigonometri lainnya diperlakukan sama.

Teorema 5.2.5 Misalkan A ⊆ R, misalkan f : A → R dan misalkan | f | didefinisikan untuk x

dengan | f | (x) = | f(x)|.

(a) Jika f kontinu pada suatu titik c (b) Jika f kontinu pada

, maka | f | kontinu pada c.

, maka | f | kontinu pada A.


Bukti. Akan dibuktikan f kontinu pada c

→ | f | kontinu pada c. akan dibuktikan lim | f (x) | = | f (c) | x→c

, maka terdapat

untuk

sedemikian hingga 0 < | x – c | <

,

maka | f (x) - f (c) | < Karena || f (x) | - | f (c) |

| f (x) - f (c) | < , terbukti lim | f (x) | = | f (c) | maka x→c

| f | kontinu pada c. Teorema 5.2.6 Misalkan A ⊆ R, misalkan f : A → R, dan misalkan f(x) ≥ 0 untuk . Kita misalkan

semua x

didefinisikan untuk c

dengan (

) (x) =

. (a) Jika f kontinu pada suatu titik c (b) Jika f kontinu pada

, maka

, maka

kontinu pada c.

kontinu pada A.

Bukti. a) Buktikan jika f kontinu pada c maka dibuktikan lim

untuk

x→c

<|x–c|< Karena

,

kontinu pada c lim f (x) = f (c) akan x→c

> 0, terdapat

untuk | f (x) - f (c) | <

sedemikian hingga 0 karena | f (x) - f (c) | <

.

maka

|

| . Terbukti lim x→c

maka

kontinu

pada c. b) Pembuktiannya sama.

Komposisi dari Fungsi-fungsi Kontinu


Sekarang kita tunjukkan jika fungsi f : A → R kontinu pada suatu titik c dan jika g : B → R kontinu pada suatu titik b = f(c), maka komposisi g o f kontinu pada c. Dalam rangka untuk memastikan bahwa g o f didefinisikan pada semua dari A, kita asumsikan bahwa f(A) ⊆ B. Teorema 5.2.7 Misalkan A, B, ⊆ R dan misalkan f : A → R dan g : B → R adalah fungsi sedemikian hingga f(A) ⊆ B. Jika f kontinu pada pada titik c dan g kontinu pada b = f(c)

B, maka komposisi g o f : A → R kontinu pada c.

Bukti. Misalkan W adalah suatu pada b, ada suatu maka g(c)

- persekitaran dari g(b). Karena g kontinu

- persekitaran V dari b = f(c) sedemikian hingga jika y W. Nilai f kontinu pada c, akan ada suatu

c sedemikian hingga jika x

A

U, maka f(c)

halaman berikutnya). Nilai f(A) ⊆ B, jika x sehingga g o f(x) = g(f(x))

A

B

persekitaran U dari

. (Lihat penjelasan 5.2.1 pada A

W. Tetapi nilai W adalah

U, maka f(x)

V

- persekitaran dari g(b),

implikasi ini bahwa g o f kontinu pada c.


Teorema 5.2.8 Misalkan A, B, ⊆ R dan misalkan f : A → R kontinu pada A, dan misalkan g : B → R kontinu pada B . Jika f(A) ⊆ B, maka komposisi g o f : A → R kontinu pada A.

Bukti. Teorema segera mengikuti dari hasil sebelumnya, jika f dan g kontinu pada setiap titik dari A dan B, respectively. Teorema 5.2.7 dan 5.2.8 sangat digunakan dalam menghitung bahwa fungsifungsi tertentu kontinu. Dapat digunakan pada banyak situasi dimana akan sulit untuk digunakan definisi dari kontinu langsung.

Contoh 5.2.9

(a) Misalkan g1(x) = |x| untuk x

R. Ini mengikuti dari

Ketimpangan Segitiga (Lihat akibat 2.3.4) bahwa | g1(x) - g1(x) | ≤ | x – c | Untuk semua x, c

R. Karena g1 kontinu pada c

R. Jika f : A → R adalah

fungsi kontinu pada A, maka Teorema 5.2.8 berimplikasi g1 o f = | f | kontinu pada A. Ini pembuktian lain dari bukti dari Teorema 5.2.5. (b) Misalkan g2(x) =

untuk x ≥ 0. Jika f : A → R . Dari Teorema 3.2.10

dan Teorema 5.1.3 bahwa g2 kontinu pada bilangan c ≥ 0. Jika f : A → R kontinu pada A dan jika f (x) ≥ 0 untuk semua x bahwa g2 o f =

A, maka berdasarkan Teorema 5.2.8

kontinu pada A. Inipembuktian lain dari Teorema 5.2.6.

(c) Misalkan g3(x) = sin x untuk x

R. Dapat kita lihat dalam contoh

5.2.4(c) bahwa g3 kontinu pada R. Jika f : A → R kontinu pada A, maka berdasarkan Teorema 5.2.8 bahwa g3 o f kontinu pada A. Khususnya, jika f(x) = 1/x untuk x ≠/ 0, maka fungsi g(x) = sin (1/x) kontinu pada setiap titik c ≠ 0. [Dapat kita lihat, dalam contoh 5.1.7(a), bahwa g tidak dapat didefinisikan pada 0 agar menjadi kontinu di titik itu.

5.3. FUNGSI KONTINU PADA INTERVAL


Fungsi yang kontinu pada interval memiliki sejumlah sifat yang sangat penting yang tidak dimiliki oleh fungsi kontinu umum. Pada bagian ini, kita akan membuat beberapa hasil yang amat penting dan akan diterapkan kemudian. Alternatif bukti hasil ini akan diberikan dalam bagian 5.5.

5.3.1. Definisi. Sebuah fungsi

dikatakan terbatas pada

sedemikian sehingga

bilangan konstanta

jika terdapat .

Dengan kata lain, sebuah fungsi dikatakan terbatas dalam suatu himpunan jika kisaran fungsi tersebut terbatas dalam

. Untuk menyatakan bahwa sebuah

fungsi tidak terbatas pada himpunan yang diberikan, dinyatakan bahwa bilangan yang tidak nyata bisa membantu membatasi himpunan fungsi tersebut. Dengan kata lain, Sebuah fungsi

tidak terbatas dalam himpunan

. Ada sebuah bilangan sering mengatakannya bahwa Sebagai contoh, fungsi tidak terbatas dalam dalam

jika diberikan

sedemikian sehingga tidak terbatas pada

. Kita

dalam hal ini.

didefinisikan dalam interval karena

dengan

, kita bisa mengambil pendapat

untuk mendapatkan

. Contoh ini

menunjukkan bahwa fungsi kontinu tidak memerlukan batasan. Dalam teorema selanjutnya, kita akan menunjukkan bahwa fungsi kontinu pada sebuah tipe interval khusus memerlukan batasan.

5.3.2. Teorema Keterbatasan. Misalkan dan

sebuah batas interval tertutup

kontinu pada I. Maka f terbatas pada I.

Bukti. Misalkan f tidak terbatas pada I, maka sedemikian hingga

terdapat sebuah bilangan

. Karena I terbatas, barisan 13


terbatas. Oleh karena itu, pada teorema 3.4.8 Bolzano-Weierstrass menyatakan secara tidak langsung bahwa terdapat sebuah sub barisan

di

konvergen pada sebuah bilangan

kepunyaan

. Karena I tertutup dan elemen

I, dengan mengikuti teorema 3.2.6 bahwa konvergen pada

. Maka f kontinu di

yang

, sehingga

. Kita dapat menyimpulkan dari teorema 3.2.2

bahwa barisan konvergen

harus terbatas. Tetapi ini merupakan sebuah

kontradiksi dari for Oleh karena itu, permisalan bahwa fungsi kontinu f tidak terbatas pada interval batas tertutup I menuju sebuah kontradiksi. Secara matematis pembuktian tersebut dapat ditulis seperti berikut. Misal, jika f tidak terbatas pada I, kalau I terbatas, maka konvergen ke barisan konvergen, f kontinu ke x, maka

dimana

,

.

terbatas. Dari teorema Bolzano-Weierstrass, subbarisan . di dalam I, karena I tertutup, konvergen pada

terbatas, maka

.

. tidak memenuhi. Sehingga permisalan salah sehingga

terbukti. Untuk menunjukkan bahwa setiap hipotesis teorema keterbatasan diperlukan, kita bisa memberikan contoh dengan menunjukkan bahwa kesimpulan gagal jika salah satu dari hipotesis benar. (i) Interval harus terbatas. Fungsi tertutup

kontinu tetapi tidak terbatas di

(ii) Interval harus tertutup. Fungsi terbuka

untuk

untuk

kontinu tetapi tidak terbatas di

tidak terbatas, interval . dalam interval setengah .


(iii) Fungsi harus kontinu. Fungsi h didefinisikan dalam interval tertutup oleh tidak terbatas di

untuk

dan

tidak kontinu dan

.

Teorema Maksimum-Minimum 5.3.3. Definisi. Misalkan sebuah maksimum mutlak di

dan

. Kita katakan bahwa f mempunyai

jika terdapat titik

sedemikian sehingga

Kita katakan bahwa f mempunyai sebulah minimum mutlak di bilangan

jika terdapat

sedemikian sehingga

Kita katakan bahwa

sebuah titik maksimum mutlak untuk f pada

sebuah titik minimum mutlak untuk f pada

, dan

, jika mereka ada.

Kita catat bahwa sebuah fungsi kontinu di himpunan A tidak selalu mempunyai maksimum mutlak atau minimum mutlak pada himpunan. Sebagai contoh,

, apakah mempunyai mempunyai maksimum

mutlak maupun minimum mutlak pada himpunan : 1.

.

, sehingga tidak mempunyai maksimum mutlak maupun minimum mutlak, 2. , . Jadi,

juga tidak mempunyai mempunyai maksimum mutlak maupun

minimum mutlak. 15 Analisis Real, 2011 Trilius Septaliana KR (20102512011) / Aisyah (20102512023) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

3. , . Jadi,

mempunyai nilai maksimum mutlak dan minimum mutlak.

4. , . Maka,

hanya mempunyai nilai maksimum mutlak saja.

Dengan mudah terlihat bahwa jika sebuah fungsi mempunyai titik maksimum mutlak, maka titik ini tidak perlu ditentukan dengan khusus. Sebagai contoh, fungsi titik

didefinisikan untuk

diberikan maksimum mutlak di

minimum mutlak di

, dan titik tunggal

untuk

. Lihat gambar 5.3.2. Untuk mengambil contoh

perbedaannya yang besar, fungsi konstanta sehingga setiap titik

mempunyai dua

untuk

sedemikian

adalah dua titik untuk sebuah maksimum mutlak dan

sebuah minimum mutlak untuk

.


5.3.4. Teorema Maksimum-Minimum. Misalkan tertutup dan

kontinu pada

batas interval

. Maka f mempunyai sebuah maksimum

mutlak dan sebuah minimum mutlak dari

.

Bukti. Ambil

kontinu pada

dan

, maka f mempunyai

maksimum mutlak dan minimum mutlak dari

Ambil titik terbesar

, dan titik terkecil

, maka

Karena

.

bukan lagi batas atas dari himpunan

.

Sebagai akibatnya,

di dalam I. karena I terbatas, maka

terbatas.

dengan teorema Bolzano-Weierstrass, di dalam I dan

konvergen

, maka f kontinu pada

, karena

, sehingga

. Disimpulkan bahwa

maksimum mutlak

pada I.

5.3.5. Location of roots Theorem. Misalkan I. Jika

, atau sedemikian sehingga

dan

kontinu pada

, maka terdapat sebuah bilangan .

Bukti. Kita asumsikan bahwa dari interval dengan suksesif biseksi. Misalkan

. Kita akan bangun sebuah barisan , dimana 17


dan

menjadi titik tengah

Jika

. Jika

, kita ambil

, maka kemungkinannya adalah ,

maka

,

.

atau

sedangkan

. Jika

jika

,

maka

. Pada kedua kasus tersebut, kita misalkan kita peroleh

dan

,

, maka

.

Kita lanjutkan ke proses biseksi. Andaikan bila interval memperoleh suksesif biseksi dengan cara yang sama. Maka kita mempunyai dan Jika

dan

. Jika

, himpunan

, maka

.

, sedangkan jika

,

. Pada kedua kasus tersebut, kita misalkan

himpunannya , maka

dan

Jika proses akhirnya letak titik

,

.

sedemikian sehingga

, maka

kita telah selesai. Jika proses tidak berakhir, maka kita mendapat sebuah kumpulan barisan interval batas tertutup

sedemikian sehingga

kita peroleh dan

.

Selanjutnya, karena intervals mendapatkan suksesif biseksi, panjang dengan

sama

. Ini terdapat pada kumpulan sifat interval 2.5.2 bahwa

terdapat

titik

c

yang

terdapat ,

pada

,

,

kita

dan

sebab itu, menurut

peroleh .

, karena

Oleh

kontinu di c, kita

memperoleh . Kenyataannya

, . Dan juga kenyataannya bahwa

menyiratkan

bahwa yang 18


menyiratkan bahwa

. Jadi, kita simpulkan bahwa

. Oleh

karena itu, c adalah sebuah akar f. 5.3.6. Contoh. Persamaan interval

mempunyai sebuah akar c dalam

, karena f kontinu pada interval ini dan

dan

. Kita buat tabel, dimana tanda dari f menentukan interval pada langkah berikutnya. Kolom paling kanan adalah batas atas percobaan saat digunakan untuk memperkirakan akar c, karena

Kita akan menemukan perkiraan

dengan mencobakan kurang dari 10-2,

n 1

0

1

.5

-1.176

.5

2

.5

1

.75

-.412

.25

3

.75

1

.875

+.099

.125

4

.75

.875

.8125

-.169

.0625

5

.8125

.875

.84375

-.0382

.03125

6

.84375

.875

.859375

+.0296

.015625

7

.84375

.859375 .8515625 _

Kita berhenti pada n = 7, berlaku

.0078125

dengan

mencobakan kurang dari .0078125. Ini tahap pertama dalam mencobakan kurang dari 10-2. Tempat nilai desimal bisa menyimpulkan bahwa

letak keduanya tidak bisa digunakan, tetapi kita .

Teorema Bolzano 19 Analisis Real, 2011 Trilius Septaliana KR (20102512011) / Aisyah (20102512023) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

Hasil selanjutnya adalah penyamarataan teorema letak akar-akar. Keyakinan kita bahwa sebuah fungsi kontinu pada sebuah interval memuat paling sedikit dua bilangan bernilai.

5.3.7. Teorema nilai lanjut Bolzano. Misalkan I sebuah interval dan kontinu di I. Jika

dan jika

terdapat titik

memenuhi

, maka

diantara a dan b sedemikian sehingga

Bukti. Andaikan

dan

.

, maka

. Menurut

teorema letak akar-akar 5.3.5. terdapat sebuah titik c dengan . Oleh karena itu,

sedemikian sehingga Jika terdapat

, dan

sebuah

maka h

titik

c

, maka

5.3.8. Corollary. Misalkan kontinu pada I. Jika

dengan

. . Oleh karena itu,

sedemikian

sehingga

.

tertutup, interval terbatas dan

, adalah sembarang bilangan maka akan memenuhi

Maka, terdapat sebuah bilangan

sedemikian sehingga

.

Bukti. Menurut Teorema Maksimum-Minimum 5.3.4 bahwa terdapat titik

dan

di I

sedemikian sehingga

Kesimpulan sekarang mengikuti dari teorema Bolzano 5.3.7. Teorema selanjutnya yakni merangkum dari hasil utama bagian ini. Ini menyatakan bahwa bayangan tentang sebuah interval terbatas tertutup menurut sebuah fungsi kontinu dan juga sebuah interval terbatas tertutup. Titik terakhir 20 Analisis Real, 2011 Trilius Septaliana KR (20102512011) / Aisyah (20102512023) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

gambar interval adalah nilai minimum absolut dan nilai maksimum absolut fungsi, dan pernyataannya adalah semua nilai antara nilai minimum absolut dan maksimum absolut yang menerangkan cara menggambarkan nilai teorema nilai lanjut Bolzano.

5.3.9. Teorema. Misalkan I sebuah interval terbatas tertutup dan sebuah interval terbatas

kontinu di I. Maka himpunan tertutup.

Bukti. Jika kita misalkan

dan

, maka kita tahu dari

teorema Maksimum-Minimum 5.3.4 bahwa m dan M milik tahu

. Jika k suatu elemen dari

terdahulu bahwa terdapat sebuah titik Maka,

, maka menurut corollary yang sedemikian sehingga

dan kita simpulkan bahwa

adalah interval Peringatan. Jika buktikan bahwa selalu benar) bahwa

. Selain itu, kita

.

. Oleh karena itu,

. adalah interval dan adalah interval adalah interval

kontinu di I, kita

. Kita jangan buktikan (dan itu tidak . Lihat gambar 5.3.3.


Teorema terdahulu adalah sebuah teorema pengembangan dalam arti bahwa hal itu menyatakan bahwa gambar terus menerus interval terbatas tertutup adalah satu set dari jenis yang sama. Teorema selanjutnya menjelaskan hasil teorema ini mengakibatkan interval umum. Namun, perlu dicatat bahwa meskipun gambar terus menerus interval adalah terbukti interval, itu tidak benar bahwa interval gambar harus memiliki bentuk yang sama sebagai interval domain. Sebagai contoh, gambar kontinu dari sebuah interval terbuka tidak perlu interval terbuka, dan gambar kontinu dari sebuah interval tertutup tidak terbatas tidak perlu interval tertutup. Tentu saja, jika kontinu pada

, maka f

. Ini mudah untuk melihat bahwa

, maka

, yang mana bukan sebuah interval terbuka. Dan juga, jika , maka

, yang mana bukan sebuah interval tertutup (lihat

gambar 5.3.4).

5.3.10. Teorema Interval Terdahulu. Misalkan I menjadi interval dan kontinu di I. Maka himpunan

adalah interval.

Bukti. Misalkan

dengan

sedemikian sehingga

dan

lanjut Bolzano 5.3.7 bahwa jika

, maka terdapat titik . Selanjutnya, menurut teorema nilai maka terdapat bilangan

dengan


. Oleh sebab itu,

. Pada teorema 2.5.1 telah

. Sehingga

menunjukkan sifat khusus

merupakan sebuah interval.

5.4. KEKONTINUAN SERAGAM Misalkan

dan

. Definisi 5.1.1 menyebabkan beberapa

pernyataan di bawah ini yang ekuivalen: ;

(i) f kontinu pada setiap titik (ii) diberikan

dan

dan

, maka terdapat

sedemikian sehingga

, maka

Titik ini tergantung pada

.

, secara umum

. Faktanya

pada u sebuah bayangan nyata bahwa fungsi f boleh mengganti nilainya

adalah

dengan cepat mendekati titik tertentu dan dengan berlahan mendekati titik lain. Untuk contoh, mengingat

. Lihat gambar 4.1.3.

Sekarang kekontinuan seragam sering terjadi supaya fungsi f sedemikian sehingga bilangan

bisa terpilih menjadi titik

. Untuk contoh,

, maka , dan kita bisa memilih

, mengapa?

Pada sisi lain

, maka

(1) Jika diberikan

dan jika kita mengambil

(1)

,

maka jika maka

, kita dapatkan . Jadi, jika

, sehingga

,

, persamaan (1) menghasilkan ketidaksamaan 23


(2)

. Kita

telah

melihat

bahwa

pilihan

oleh

rumus

“pengerjaannya” dengan arti bahwa ketidakmungkinan kita memberi nilai akan memastikan bahwa

ketika

catat bahwa nilai

dan

diberikan pada (2) tentunya untuk titik

berharap untuk menganggap semua

(2) yang . Kita

. Jika kita

, rumus (2) tidak menuju satu nilai

yang akan mengerjakan secara serempak untuk semua

, karena

.

5.4.1. Definisi. Misalkan

dan

. Kita katakana bahwa f adalah

kontinu keseluruhan di A jika untuk setiap sehingga jika

terdapat

untuk sembarang bilangan maka

sedemikian , maka

.

Ini jelas jika f adalah kontinu keseluruhan di A, maka f kontinu pada setiap titik di A. Secara umum, tidak bertentangan dengan fungsi himpunan

dalam

.

Ini berguna untuk merumuskan sebuah kondisi yang ekuivalen untuk mengatakan bahwa f tidak kontinu keseluruhan di A.

5.4.2. Kriteria Kontinu tidak Seragam Misalkan Misalkan

dan

, maka pernyataannya akan ekuivalen

pada: (i) f kontinu tidak seragam di A. (ii) terdapat sehingga

sedemikian sehingga dan

, terdapat titik . 24


(iii) Terdapat

dan dua barisan

dan

di A sedemikian sehingga

dan

.

Kita bisa menggunakan hasil ini untuk menunjukkan tidak seragam pada

. Karena, jika

maka kita mendapatkan

kontinu dan

,

, tetapi

.

5.4.3. Teorema Kontinu Seragam Misalkan I interval terbatas tertutup dan

kontinu pada I. Maka f kontinu

tidak seragam di I.

Bukti. Jika f kontinu tidak seragam di I maka akibat teorema terdahulu, terdapat dan dua barisan dan

dan

pada I sedemikian sehingga . Karena I terbatas, barisan

terbatas, menurut teorema Bolzano-Weierstrass 3.4.8, ada sebuah sub barisan di

yang konvergen pada element z. karena I tertutup, limit z milik I,

menurut teorema 3.2.6 ini jelas bahwa sub barisan

juga konvergen pada z.

Karena . Sekarang jika f kontinu pada titik z, maka barisan harus konvergen pada

dan

. Tetapi ini tidak mungkin karena

Jadi, hipotesis bahwa f

kontinu tidak seragam pada interval tertutup

terbatas I menyatakan secara tidak langsung bahwa f tidak kontinu pada satu titik . Oleh karena itu, jika f kontinu pada setiap titik di I, maka f adalah kontinu seragam pada I.


Fungsi Lipschitz Jika sebuah fungsi kontinu seragam cenderung pada sebuah himpunan, maka bukan interval tertutup terbatas, dan terkadang sulit untuk menetapkan kontinu seragam. Tetapi, terdapat sebuah kondisi bahwa sering kali menjadi cukup untuk menjamin kontinu seragam.


dan

. Jika terdapat konstanta

sedemikian sehingga (4) , maka f dikatakan sebuah fungsi Lipschitz di A.

5.4.5. Teorema. Jika

sebuah fungsi Lipschitz, maka f kontinu seragam pada A.

Bukti. Jika kondisi (4) memenuhi, maka diberikan .

Jika

yang

, kita bisa mengambil

memenuhi

,

maka

. Oleh karena itu, f kontinu seragam pada A.

5.4.6. Contoh. (a) jika

, maka

Maka, f memenuhi (4) dengan

pada A. Oleh sebab itu, f

kontinu seragam pada A. Tentunya, karena f kontinu dan A interval terbatas tertutup, dapat ditarik kesimpulan dari teorema kontinu seragam. (catatan bahwa f tidah memenuhi di kondisi Lipschitz pada interval

).

Tidak setiap fungsi kontinu seragam adalah sebuah fungsi Lipschitz. Diberikan

, untuk x di interval tertutup terbatas

.

Karena g kontinu pada I, menurut teorema kontinu seragam 5.4.3 bahwa g kontinu seragam I, bagaimanapun tidak ada bilangan K > 0 sedemikian sehingga 26 Analisis Real, 2011 Trilius Septaliana KR (20102512011) / Aisyah (20102512023) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

, untuk setiap

. Oleh karena itu, g bukan sebuah fungsi

Lipschitz pada I.

Teorema Kontinu Tambahan Kita telah melihat contoh fungsi, yakni kontinu tetapi tidak kontinu seragam pada interval terbuka. Sebagai contoh, fungsi

pada interval

. Di sisi lain,

menurut teorema kontinu seragam, sebuah fungsi yang kontinu pada interval tertutup terbatas selalu kontinu seragam. Jadi, timbul pertanyaan: dengan kondisi apa sebuah fungsi kontinu seragam pada interval terbatas terbuka? Jawaban yang menyatakan kekuatan kontinu seragam. Untuk menunjukkan bahwa sebuah fungsi adalah kontinu seragam jika dan hanya jika bisa didefinisikan pada titik terakhir untuk menghasilkan sebuah fungsi yang kontinu pada interval tertutup.

5.4.7. Teorema. Jika

kontinu seragam pada subset A di

adalah barisan Cauci di A, maka

Bukti. Misalkan sedemikian

. Karena sehingga

adalah barisan Cauci di

barisan Cauci di A, dan

sehingga

.

. Pilihan pertama

memenuhi

,

sebuah barisan Cauci, terdapat . Dengan memilih

maka

sedemikian

, maka

. Oleh karena itu, barisan

kita punya

dan jika

, adalah sebuah

barisan Cauci. 5.4.8. Teorema Kontinu Tambahan. Sebuah fungsi f kontinu seragam pada interval

jika dan hanya jika dapat didefinisikan pada titik terakhir a dan b

sedemikian sehingga fungsi tambahan adalah kontinu pada

Bukti.

Andaikan f kontinu seragam pada

.

. Kita akan menunjukkan

bagaimana memberikan f untuk a, penjelasan untuk b serupa. Ini dikerjakan 27 Analisis Real, 2011 Trilius Septaliana KR (20102512011) / Aisyah (20102512023) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

dengan menunjukkan bahwa standar limit. Jika

ada, dan ini cocok digunakan untuk

sebuah barisan di

dengan lim (xn) = a, maka

sebuah barisan Cauci dan menurut teorema sebelumnya, barisan

juga

sebuah barisan Cauci, dan konvergen menurut teorema 3.5.5. oleh karena itu, . Jika

barisan lain di

maka

yang konvergen pada a,

, menurut kontinu seragam pada f kita dapatkan . Karena kita mendapatkan nilai sama L untuk setiap barisan konvergen di

a, kita mengambil kesimpulan sebagai akibat dari standar untuk limit bahwa f , maka f kontinu di a.

mempunyai lim L di a. Jika kita memberi definisi

Dengan menggunakan pendapat yang sama untuk b, maka kita simpulkan bahwa f kontinu tambahan untuk interval

. tidak ada, kita mengambil kesimpulan

Karena limit

dari teorema kontinu tambahan bahwa fungsi kontinu tidak seragam pada > 0. Pada sisi lain, karena seragam pada

, fungsi

,b kontinu

.

Taksiran Di banyak aplikasi penting untuk dapat perkiraan fungsi kontinu oleh fungsi bersifat dasar. walaupun ada berbagai definisi yang dapat digunakan untuk membuat kata perkiraan yang lebih tepat, salah satu yang paling alami (dan juga salah satu yang paling penting) adalah dengan mewajibkan bahwa, pada setiap titik dari domain yang diberikan, fungsi perkiraan harus tidak berbeda dari fungsi yang diberikan. 5.4.9. Definisi. Misalkan

menjadi interval dan

. Maka s

dikatakan fungsi step jika hanya bilangan terbatas bernilai nyata, setiap nilai diasumsikan pada satu atau lebih interval dalam I. Untuk contoh, fungsi

didefinisikan 28


Adalah sebuah fungsi step. (Lihat gambar 5.4.3)

5.4.10. Teorema. Misalkan I sebuah interval tertutup terbatas dan kontinu pada I. Jika

, maka terdapat fungsi step

sedemikian

.

sehingga

Bukti. Karena (teorema 5.4.3 kontinu uniform) fungsi f adalah kontinu secara keseluruhan, dengan sehingga jika dan kita

pisahkan

, maka terdapat sebuah bilangan dan

sedemikian

, maka

. Misalkan

sehingga panjang interval sampai

m

. Sekarang pada

interval

h, .

yaitu Karena


setiap panjang subinterval kurang dari

adalah

, perbedaan diantara dua nilai f pada

. Sekarang kita definisikan

(5)

Sedemikian sehingga

konstanta pada setiap

adalah nilai f pada titik paling terakhir jika

. (Kenyataannya nilai

pada

. (Lihat gambar 5.4.4). Oleh karena itu,

, maka .

Oleh karena itu, kita dapat

.

Catatan bahwa bukti teorema yang terdahulu menetapkan sedikit banyak penjelasan tentang pernyataan teorema di atas. Kenyataannya, kita membuktikan dengan mengikuti teorema sebelumnya dengan lebih tepat dan jelas.

5.4.11. Corollary. Misalkan

sebuah interval tertutup terbatas dan

kontinu pada I. Jika

, terdapat bilangan m sedekian sehingga jika

kita pisahkan I sampai m interval fungsi

step

didefinisikan

mempunyai panjang dalam

persamaan

(5)

, maka yang

memenuhi

. 30 Analisis Real, 2011 Trilius Septaliana KR (20102512011) / Aisyah (20102512023) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya


sebuah interval. Dan sebuah fungsi

dikatakan Linear Piecewise pada I jika I UNION bilangan terbatas interval disjoint

, sedemikian sehingga batas g untuk setiap interval

adalah fungsi linear.

Catatan. Definisi di atas jelas bahwa dalam order untuk liner piecewise fungsi g akan kontinu pada I, bagian deretan yang membentuk grafik g harus bertemu pada titik akhir perbatasan subintervals

.

5.4.13. Teorema. Misalkan I interval terbatas tertutup dan dan pada I. Jika

kontinu

, maka terdapat sebuah fungsi linear kontinu piecewise

sedemikian sehingga

.

Bukti. Karena f adalah kontinu secara keseluruhan pada bilangan

sedemikian sehingga jika . Misalkan

Membagi

dan

, maka

cukup besar, maka

.

sampai ke m dengan menguraikan panjang interval h, yaitu dan

interval

, ada sebuah

untuk k = 2, …, m. Pada setiap

kita definisikan

menjadi fungsi linear yang berhubungan dengan

titik dan Maka

kontinu piecewise fungsi linear pada I. Karena dan

bahwa

. nilai

sampai

, maka dengan latihan untuk menunjukkan , oleh karena itu ketidaksamaan

.


5.4.14. Teorema Penaksiran Weiestrass. Misalkan

dan

sebuah

, maka terdapat sebuah fungsi polynomial

fungsi kontinu. Jika diberikan sedemikian sehingga

.

Ada sejumlah bukti dari hasil ini. Sayangnya, semua bukti dari hasil tersebut agak rumit, atau menggunakan hasil yang belum kita miliki. Salah satu bukti yang paling dasar didasarkan pada teorema berikut, karena Serge Bernstein, untuk fungsi kontinu pada

. Diberikan

, Bernstein definisikan

barisan polinomial:

(6) Fungsi polynomial Bn dikatakan n ke polinomial Bernstein untuk f; sebuah polinomial yang tingkatnya lebih dari n dan koefisien pada nilai fungsi f pada n+1 sama dengan titik

dengan koefisien binomialnya

5.4.15. Teorema Penaksiran Bernstein. Misalkan . Terdapat sebuah

kontinu dan

sedemikian sehingga jika

dapatkan

, maka kita

.

Teorema Penaksiran Weierstrass 5.4.14 diperoleh dari teorema Penaksiran Bernstein

5.4.15.

oleh

pergantian

variabel.

dengan sebuah fungsi

Tegasnya,

kita

mengganti

, dapat didefinisikan bahwa .

Fungsi F bisa ditafsirkan oleh Berstein polynomial untuk F pada interval sehingga dapat menghasilkan polynomial di

Contoh. Tunjukkan bahwa

,

menuju f.

tidak kontinu seragam pada R

tetapi kontinu pada R ! 32 Analisis Real, 2011 Trilius Septaliana KR (20102512011) / Aisyah (20102512023) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

Jawab.

Ambil sebarang

,

,

Untuk Akibatnya,

,

Jika

,

Ambil

, berlaku

tergantung pada c. Kesimpulannya

tidak kontinu seragam.

5.5. CONTINUITY AND GAUGES 5.5.1. Definisi. Interval

merupakan kumpulan dari

interval tertutup yang tidak saling melengkapi interval dari

Titik

. Kita biasanya menunjukkan

, dimana

dikatakan titik partition pada

dari setiap interval

dari

, untuk

. Jika titik

maka titik

telah dipilih

dikatakan tags dan

himpunan order sepasang

Dikatakan sebuah tagged partition pada I.


5.5.2. Definisi. Sebuah gauge pada I adalah fungsi strictly positif yang didefinisikan pada I. Jika , dikatakan

sebuah gauge pada I, maka sebuah (tagged) partition

-fine jika .

Kita catat bahwa notasi keruncingan

memerlukan partition menjadi

tagged, jadi kita tidak perlu mengatakan "tagged partition" dalam kasus ini.

5.5.3. Lemma. Jika sebuah partition , maka terdapat sebuah tag

pada pada

adalah

-fine dan

sedemikian sehingga

. Bukti. Jika Karena

, terdapat sebuah subinterval adalah

dari

yang memuat x.

-fine, maka ,

Maka dari itu

terbukti.

Dalam teori integrasi Riemann, kita akan menggunakan gauges

yang

fungsi konstan untuk fineness pada partition, dalam teori umum Riemann integral, penggunaan gauges nonconstant sangat penting. Tapi fungsi gauge nonconstant muncul cukup alami sehubungan dengan fungsi kontinu. Contoh: misalkan kontinu pada I dan sedemikian . Karena

sehingga

. Maka, untuk setiap titik

terdapat

jika

,

dan

maka

didefinisikan dan benar-benar positif pada I, fungsi

adalah sebuah gauge pada I. Kemudian dalam bagian ini, kita akan menggunakan hubungan antara gauge dan kontinuitas untuk memberikan bukti alternatif sifat dasar fungsi kontinu yang dibahas pada bagian 5.3 dan 5.4.

5.5.4. Contoh. 34 Analisis Real, 2011 Trilius Septaliana KR (20102512011) / Aisyah (20102512023) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

(a). Jika

dan

adalah gauge pada

maka setiap partition

adalah

dan jika

-fine dan juga

,

-fine. Menurut teorema

sebelumnya tentang ketidaksamaan dan yang menyatakan secara tidak langsung .

(b). Jika

maka

dan

adalah gauges pada

dan jika

juga sebuah gauge pada I. Selain itu,

partition adalah

maka setiap

-fine. Demikian pula, setiap

-fine

-fine partition adalah

-fine

juga.

(c). Andaikan

maka

didefinisikan pada

adalah gauge pada

oleh

. Jika

, maka

, yang mana tidak memuat titik 0. Jadi, jika adalah sebuah

-fine partition pada I, maka hanya subinterval pada

yang

memuat 0 dan mesti memiliki 0 sebagai tag.

(d). misalakan

didefinisikan pada

oleh

,

jika x = 0 atau x =1, ,

jika ,

jika

, . 35


Maka

adalah gauge pada I.

-Fine Partition

Adanya

5.5.5. Teorema. Jika -fine partition

sebuah gauge pada interval

, maka terdapaat sebuah

.

Bukti. Misalkan E merupakan himpunan untuk semua titik sehingga terdapat sebuah

-fine partition di subinterval

kosong, karena pasangan

adalah

dan

Jika sebuah

, terdapat

. Maka

sebuah

sebuah

-fine

-fine partition

. , misalkan

sebuah

ketika

dan u = b.

. Misalkan

dan misalkan

Jika

-fine partition interval

. Karena,

sedemikian sehingga

, sehingga

. Himpunan E tidak

. Kita akan tunjukkan bahwa

Kita nyatakan bahwa

partition

sedemikian

sedemikian sehingga

-fine partition

-fine partition

.

, kita misalkan

, di mana

. Maka

. Tetapi ini kontradiksi dengan

pengandaian bahwa u batas atas E. oleh karena u = b.

Beberapa Aplikasi Bukti alternatif teorema 5.3.2. Teorema Keterbatasan. Karena f kontinu pada I, maka

terdapat

sedemikian sehingga jika

, maka Misalkan

. Sehingga sebuah

-fine

partition

sebuah gauge pada I. I

. Menurut lemma 5.5.3, diberikan dengan

dan

dan

misalkan terdapat I

, dimana . 36 Analisis Real, 2011 Trilius Septaliana KR (20102512011) / Aisyah (20102512023) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

Karena

berubah-ubah, maka f terbatas oleh i + K pada I.

Bukti alternatif teorema 5.3.4. Teorema Maksimum-Minimum. Kita akan buktikan adanya

. Misalkan

dan

Karena f kontinu pada I, untuk setiap sehingga jika

dan

.

terdapat

sedemikian

, maka

sebuah gauge pada I, dan jika

. Sehingga

adalah

-fine partition pada I, kita

misalkan . Dari lemma 5.5.3, diberikan

, terdapat i dengan

, di mana .

Karena

berubah-ubah, maka

yakni sebuah batas atas untuk f pada

I, bertentangan dengan definisi M sebagai supremum pada f.

Bukti Pengganti Teorema. 5.4.3. Teorema Kontinu Seragam. Misalkan Karena f kontinu pada dan Jika,

, terdapat

, maka

sedemikian sehingga jika . Jadi,

adalah

sebuah

. Andaikan dengan

.

adalah sebuah gauge pada I.

fine-partition

di

dan

misalkan

I,

dan pilih i

. Karena ,

maka . Oleh karena itu, f kontinu keseluruhan pada I. 37 Analisis Real, 2011 Trilius Septaliana KR (20102512011) / Aisyah (20102512023) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

5.6 Fungsi Monoton dan Fungsi Invers Teorema 5.6.1. Misalkan I ⊆ R suatu interval dan misalkan f : I → R increasing pada I. Misalkan c

I bukan suatu endpoint dari I. Maka

(i) (ii)

.

Bukti. (i) Jika

dan

,

≤

maka

.

Karenanya

himpunan

, yang nonvoid nilai c bukan suatu endpoint dari I, terbatas dengan f(c). Indikasi ada supremum ; dinotasikan dengan L. Jika bukanlah

L –

batas

sehingga L – dedukasikan jika

atas

dari

himpunan

< f (

ini.

, maka

Karenanya

ada

≤ L. Nilai f increasing, kita

dan jika 0 < c – y <

, maka

< y < c

sehingga L–

) ≤ f (y) ≤ L.

Karenanya | f (y) – L | <

dimana 0 < c – y <

.

(ii) Pembuktiannya sama dengan (i). Berikut adalah kriteria untuk kekontinuan dari suatu fungsi f pada satu ttik c yang bukan endpoint dari interval pada f. 5.6.2 Corollary Misalkan I ⊆ R suatu interval dan misalkan f : I → R increasing pada I. Misalkan c

I bukan suatu endpoint dari I. Maka statemen berikut berikut ekuivalen.

(a) f kontinu pada c (b)

.

(c) Teorema 5.6.3 38 Analisis Real, 2011 Trilius Septaliana KR (20102512011) / Aisyah (20102512023) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sriwijaya

Misalkan I ⊆ R suatu interval dan misalkan f : I → R increasing pada I. Jika c I, maka f kontinu pada c jika dan hanya jika

Bukti. Jika c bukan endpoint, berikut ini mengikuti corollary 5.6.2. Jika c

I adalah

endpoint kiri dari I, maka f kontinu pada c jika dan hanya jika f(c) =

,

n Begitu juga endpoint kanan.

yang ekuivalen denga

Teorema 5.6.4 Misalkan I ⊆ R suatu interval dan misalkan f : I → R monoton pada I. Maka himpunan dari titik-titik D ⊆ I pada f yang tidak kontinu adalah contable himpunan.

Bukti. Kita notasikan f increasing, maka Jika a ≤ (1)

< ...<

I.

≤ b,

+ + + ... +

f(a) ≤ f(a)

untuk semua c

≤ f(b),

maka berikut ini + ... +

≤ f(b) - f(a).

(2) h(x + y) = h(x) + h(y) untuk semua x, y dan jika h kontinu pada satu titik

R,

, maka h kontinu pada setiap titik dari R.

Fungsi Invers Teorema Invers Kontinu 5.6.5 Misalkan I ⊆ R suatu interval dan misalkan f : I → R strictly monoton dan kontinu pada I. Maka fungsi g invers f strictly monoton dan kontinu pada J = f(I).

Definisi 5.6.6 (i) Jika m, n

N dan x ≥ 0, Kita definisikan 39


(ii) Jika m, n

N dan x > 0, Kita definisikan

Teorema 5.6.7 Jika m

Z, n

N dan x > 0, maka

.

Bukti. Jika x > 0 dan m, n

=

Z, maka

> 0 sehingga

. Sekarang misalkan y =

.


FUNGSI KONTINU. sedemikian sehingga jika x adalah titik dari A (c), maka f (x) berada pada Vg (f (c)). (Lihat Gambar 5.1.1)

Recommend Documents