Bng
6
lnteulasillumGtilt P e l a j a r i l a hj a g a d r a y a i n i . J a n g a n k e c e w a k a r e n a d u n i a mengenal anda, tetapi kecewalah karena ,tidak
a n d a t i d a k m e n g e n a ld u n i a . (Kong Fu Tse - filusufChina)
Di dalam kalkulus, integraladalahsatu dari dua pokok bahasanyang mendasar disarnpingturunan(derivative).Dalam kuliah kalkulusintegral,andatelahdiajarkan cara memperolehsolusi analitik (dan eksak) dari integral Tak-tentu maupun integral Tentu. IntegralTak-tentudinyatakansebagai t. l J t r ) r / . t= F ( x ) + C
r P6 .l ;
Solusinya.tr(x), adalahfungsi menerussedemikiansehinggaF'(x) - f(x), dan C adalahsebuahkonstanta.IntegralTentu menanganiperhitunganintegraldi antara batas-batas yangtelahditentukan. yangdinvatakansebasai
r- [toa,
(P.6.2)
Menurut teorema dasar kalkulus integral, persamaan(P.6.2)dihitungsebagai Lt
| ^. l.r lx)ctx- F(x) t
- F(b) - F(a)
u
Secarageometri,integrasiTentu samadenganluasdaerahyangdibatasioleh kurva )' = /-r), garis _r - a d a n g a r i sx = b ( G a m b a r6 . 1 ) . Daerahyang dimaksud d i t u n j u k k aonl e hbagianyangdiarsir.
B a b6
I n t e g r a sNi u m e r i k
e63
Funl den6 dapa 3. FunS scjur eksp kasu: dapa
Gambar6.1 TafsirangeometriintegralTentu
dapatdikelomPokkansebagai yangdapatdiintegrasikan Fungsi-fungsi atau l . F u n g s im e n e l u s y a n g s e d e r h a n a .s e p e r t ip o l i n o m i a l ,e k s p o n e n s i a l , f u n g s i tri g o n o me tri . M i s a l nY a, ? I
t (6 x 3 -
,'' +cos(r) - e' Sdx
J
0
eksak dengan Fr.rngsisederhanaseperti ini mudah dihitung integralnya secara. menghitung *"nggunakan metode analitik. Metode-metode analitik untuk integral fungsi yang demikian sudah tersedia,yaitu I ax" dx -
a x ' ' * tl 1 n + l ) + C
i e"t dx =
e " -' l a +C
j cos(ax+b) dx - lla sin(ax+b; + C
-x+c
L
2. Fungsimenerusyangrumit, misalnYa
I
J
0
?64
Int egr al n prakt ek r e empir ik y
Di bawirh rekayasa.
I , l * t r - l t t Ix l + C
2 f
6.I Tr R
bentuk fur eksplisit/' numerik dr
i s i n (a x + b ) d x - -7 l a c o s (ax+ b)+ C
Jrnlrldr=xlnlrl
Intel
L)alam Misalt diket a, selam r
)-
Lt-
n O . t ,d ,
I + 0 . 5s i n
M e t o d eN u m e r i k
Bab6
Inte
F u n g s i y a n g ru rn i t s e p e r ti i ni j el as sul i t, bahkan ti dak rnungki n. di sel esai kan dengan metode-metodeintegrasi yang sederhana.Karena itu. solusinya hitnya d a p a td i h i tu n g d e n g a n metodenumeri k.
3. Irungsiyangditabulasikan, yangdalamhal ini nilai x dan/x) diberikandalam sejumlahtitik diskrit. Fungsi sepertiini sering dijumpai pada data hasil eksperirnendi laboratoriumatau berupadata pengamatan di lapangan.Pada kasusterakhirini, umumnyafungsi"flr) tidakdiketahuisecaraeksplisit.Yang dapatdiukur hanvalahbesaran frsisnyasaja.Misalnya. x
| 0.00 | 0.25 | 0..50 I
.(x) 60 1.5 80
0.7-5
|
9.0
t.00
|
8.5
Integrasifungsisepertiinijelasharusdidikerlakan secaranumerik.
6.I Terqpon lnfegrol dqlqm Bidong Soinsdqn Rekoyqso I n t e g r a l m e m p u n y a i b a n y a k t e r a p a nd a l a m b i d a n g s a i n s d a n r e k a y a s a .D a l a m p ra k te k re k a y a s a .s e ri n g k a l if ungsi yang di i ntegrasi kan(i ntegrunr| adal ah fungsi ernpirik yang diberikan dalam bentuk tabel, atau integrancl-nya tidak dalam b e n tu k fu n g s i e l e me n te r (s e perti si nh x, fungsi Gamma 4a), dsb), atau fungsi eksplisit J'yang terlalu rumit untuk diintegralkan[KRE88]. Oleh sebab itu, rnetode numerik dapatdigunakanuntuk menghampiriintegrasi. D i b a w a h i n i d i b e ri k a n b e berapa contoh persoal an dal arn bi dang sai ns dan rekayasa. L
Dalam bidang frsika, integral digunakanuntuk menghitung persamaankecepatan. Misalkan kecepatan sebuah partikel merupakan fungsi waktu menerus yang diketahui terhadap waktu, v(t). Iarak total c[ yang ditempuh oleh partikel ini selama waktu r diberikan oleh: T
d -
Bab6
lv(r\dt
J 0
I n t e g r a sN i umerik
e65
Dalarn bidang teknik elektro/kelistrikan.telah diketahui bahrva harga rata-rata satu peri ode bol eh nol . D i sampi ng s u a tua ru s i i s tri k y a n g b e ro s i l a sisc' pan.i ang tersebut malnpLl rrlerlimbulkan arus keltvataan bahwa hasil netto adalah nol. kerja dan rrenghasilkan panas. Karena itu para rekayasawan listrik sering m e n c i ri k a n a rL l sy a n g d e mi k i i i n detrganpersatnaan
Datii .setiap rxcrnp Cm-
Sr
('ub,rrtr, per salt l
1.
I I
't -Illtl.r -
I
I
t
a ;
\ .
I t ' \ \r)rtr r )ttl I
H=
ir -tI
f adalah I yang daliim hal ini Ini,rsadalahirrus RMS (root-ntcctrt-srlunre), 1 Dernikianlalr misalnya periode.danl(r) adalaharuspadarangkaian. : Llmurnnyafu ), I a / t / secaraana.lir = untuk0
?
t 4
3.
;
Contoh fungsi dalarn bentuk tabel adalah pengukuriin fluks panas matahari y a n g d i b e ri k a n o l e h ta b e l b e ri kut:
J
6.2 pers
aPersoalan i
intetr
5 t
Waktu,jam
t.,
I
,4
-5 6
8 .57
8
8.03
I
1.04
0
6.27
I
5.56 3.54 1.0 0.2
3 4
r l
I=
f J
yangdalarnhal i secaraeksplisit rt a b enlt i l a i .
TerdaRar riga per f a l p e r r a r n a d a l a hI j d i b a g ia r a ss e j u n dengan lornampir.i y S n u m e r i ka n g d i r jPtas.
J
j P e n d e k a t akne d u g ltr.ttera rtd J(.t.) diha f d r l a k u k arne r h a d a p ; m e n g irne g r a l k a n ini digo ipendekaran u n t u kr n e n u r . lltntum
I j 466
lf lJ
0.1 t.62 5.32 6.29 7.8 8 . 8r 8.00
1
L
I
Flukspanasq, kalori/cm/jam
M"t"d=Nrt.rk
i-
JOG I , I
J
Data yang ditabulasikan pada tabel ini rnemberikan pengukuran fluks panas 11 setiap jarn pada permukaan sebuah kolektor sinar matahari. Dinrinta me mp e rk i ra a n p a n a s to t al yang di serap ol eh parrel kol ektor sel uas 150.000 crrr- selarna waktu l4 jam. Panel mempunyai kerr-rangkusanpenyerapall (u b ,s o rp ti o n ).z a b , s e b e sar 45o/o.P anas total yang di serap di beri kan ol eh p e rs a m a a n ,H = €,,t,
)Ulrtt
D e m i k i e tn l a hb e b c ra p ac o n toh terapani ntegral dal am bi dang sai ns dzrnrekayasa. t]nrumnya turrgsi ),ang diintegyalkanbentuknya rumit sehingga sukar cliselesaikan s e c a ra a n a l i ti k . Ka re l ra i tu . perhi tungan i ntegral secara numeri k l ebi h barryak d i p r a k - t e k k a no l e h p a r a i n s i n y u r .
6"2 PersoqlqnlntegrqsiNumerik Pe rs o a l a ni n te g ra s in u me ri k ial ah menghi tungsecaranumeri k i ntegral Tentu lt
I-
lI l.',( r ) r 1 t {t
yang diilarn hal ini a dan b batas-batasintegrasi,/adalahfungsi yang dapat diberikan secara eksplisit dalam bentuk persamaan ataupun secara empirik dalam bentuk t a b e ln i l a i . Terdapat tiga pendekatan dalarn menurunkan ruillus integrasi numerik. Pendekatan pertama adalah berdasarkan tafsiran geometri integral Tentu. Daerah integrasi dibagi atas sejumlah pias (srrip) yang berbentuk segiempat.Luas daerah integrasi dihantpiri dengan luersseluruhpias.Rurnus, dalam bab ini disebut kaidah, integrasi nurnerik yang diturunkan dengan pendekatan ini digolongkan ke dalam metode pias. P e n d e k a t a n k e d u a a d a l a h b e r d a s a r k a np o l i n o m i n t e r p o l a s i . D i s i n i f u n g s l i n te g ra n d .l (x ) d i h a mp i ri d e ngan pol i nom i nterpol asip,,(x).S el anj utnya,i ntegrasi dilakukan terhadap p,,(x) karena polinom lebih mudah diintegralkan ketirnbang me n g i n te g ra l k a n f(x . R u m us i ntegrasi numeri k yang di turunkan den,ean pendekatanini digolongkan ke dalam metode Newton-Cotes, yaitu metode yang u mu rn u n tu k m e n u ru n k a n ru mus i ntesarsinumeri k..
B a b6
I n t e g r a sNi u m e r i k
e67
pendekatan ketiga sama sekali tidak menggunakan titik-titik diskrit sebagain-rana pada k e d u a p e n d e k a ta nd i a ta s . Ni l ai rntegral di perol eh dengan mengeval uasi niloi fu ,1 g s ip a d a s e j u rn l a hti ti k te rtentu di dal am sel ang [-1, l ]. rnengal i kannya dengern ruui, konstanta, kemudian menjumlahkan keseluruhan perhitungan' Pendekatan ketiga ini dinamakan Kuadratur Gauss, yang akan dibahas pada baeia n a k h i r b a b i n i .
Kaidahi l. 2. 3.
Kaic Kaic Kaid
Dua kair ya ng ber be nt uk k,
6.3 MetodePios pada umumnya.metode perhitunganintegral sgcarantimerik bekerladengan sudahberbentukdemikian, sejumlahtitik diskrir.Karenadarayangditabulasikan makasecaraalami ia sesuaidengankebanyakanmetodeintegrasinurnerik.Untuk fungsi lrenerus,titik-titik diskrit itu diperolehdenganmenggunakanpersamaan tabelnilai. fungsiyangdiberikanuntuk menghasilkan
6.3.1 P andang b e r i k u t( (
tafsirangeometriinttegralTentu,titik-titik padatabelsama Dihubungkandengai-r denganmembagiselangintegrasila, b) meniadin buahpias (srrip) atau segmen (Gambar6 2) LebartiaPPiasadalah , tr
b-o
(P.6.3)
=
n
Titik absispiasdinyatakansebagai x, = a+rh,
(P.6.4)
r = 0 , 7 , 2 , . . . ,7 t
dan nilai fungsi pada titik absis pias adalah
(P.6.5)
f, = f(-r,)
Luasdaerahintegrasilo, bl dihampirisebagailuas rt buahpias.Metode integrasi numerik yang berbasispias ini disebut metode pias. Ada juga buku yang metode kuadratur, karenapiasberbentuksegien'rpat' menyebutnya r
&f
f,
0
xrr
f,t
^l
ft
2 3 T
{
)'
J
Ir;
ll
f,t
l'=flx)
fz
ata u ( t ingg
ft
{
Luassatu1
JZ t
r.
|3
Y1
{ J4
n-2
Xn-2
f,
rt-|
\n_i
.l n-l
t1
{
f,,
.Io
€
€ h
h
A = XO Xt XZ
I" H
h X , , - 1X , , = b
Gambar6.2 MetodePias
e6a
Metode Numerik
Bab6
Inte
K a i d a h i n te g ra s irru m e ri k y a n g dapat di turunkan dengan metode pi as adal ah: 1. K a i d a h s e g i e m p a t(re c ta n gl erul e) 2. Kaidah trapesium (trape:oidal rule) 3. K a i d a h ti ti k te n g a h (m i d p ohr ntl e) Dr .ri rk a i d a h p e rtz l m a p a d a h a kekatnya sama, hanya cal ' a penurunan rul nusnya y a n g b e rb e d a , s e d a n g k a n k a i d ah yang keti ga. kai dah ti ti k tengah, merttpakal t be n tu k k o mp ro rn i u rrtu k m e m p erol ehni l ai hanrpi ranyang l ebi h bai k.
6.3.1 KoidohSegiempot Pandang sebuah pias berbentuk empat persegi panjang dari x = -f,6Sillrlpal.r - xr b e r i k u t ( G a m b a r6 . 3 ) .
xl
Gambar 6.3 Kaidah segiempat
Luassatupiasa d a l a h (ti n g g i p ias = /xu) ) .rl F
I r ( x)dx = h f(xo) L"
(P.6.6)
I'
'r{;
ata u (ti n g g i p i a s -f(x r)) .ri
|...
Jtt*la*
Bab 6
=ltf(xt)
I n t e g r a sN i umerik
(P.6.7)
e69
Bagiseti
Jadi.
It Jt'
. = (ro) l . f( r ) r l r i r l l
.ladi. kal
l f (_ r)r/r = l tl (rt)
I lt
t'
,\, - l| l. t' r ) r i v = h [ / ( , r r r+) / ( - r i ) l
,t,
denuar-l .7
di atasdengan 2, utrtuk nlenghasilkan Bagi setiapruaspersanlaanhasil penjr-rrnlahan t ,
.
'.
lt
( P . 68 )
I l ' ( , , ) , / ^ = ; [ / ( - t , ,+) . f l ' t r ) ] l"
)
J L
untuk P er s a m a a n(P.6.8)ini dinarnakankaidah segiempat.Kaidah se-giempat satr-rpizrsdapat kita perluasutrtukmenghitung I_
).fr,ta,
dtilam selang lcr, bl' Luas )iang dalaunhal ini, / sarnadengan luas daerzrhir-rtegrasi sel ang daer t rhte rs e b u t d i p e ro l e h d e n g a n rnernbagi l a, bl menj adi rr buah pi as [x' , j rz], []r' , r3], " ' ' s egie m p i i td e n g a n l e b a r /r, y a i tu p i as dengan absi s l ru, " ,], harnpiran luas I adalali dan piix [,{,,r ,.r,,1.Jurnlah luas seluruh pias segien-rpatitu (Garlbar 6.4). Kaidah integrasiyang diperolehadalahkaidah segiempat gabungan ( cornposite rectangle'srttle): h l^
| / (x )r1 .r= lf (xil + lf (r)
J"
+ hJ'Q) + ..' + ff (x,,-1)
P a ndang r (Garnbar (
(i
+ ltf (x) +... + hf (x,,) r l1f(x1)+ hJ(..r2) I I (r)r1.= I
r ' ,
\
6.3.2 |
t
Luas satu
I -
i
2 l f ( . r l a . r = t f ( x o )+ Z h J ' G t )+ 2 h f ( x 2 ) + . . . +2 l t f ( x , , -+1f 1f ( x , , )
Persanraan kaidah t r a;
?70
M e t o d eN u m e r i k
Bab6
lnte
di atasdengan2. untuk merrghasilkan B a g i setiapruas persamaanhasil penjurr-rlahan t)
| t l
I
ft / t r t d , i =
) ...+ _ f ( " r . .+, )l 1 l ( . r 1 ; /+r f l . r 1 +
1'
* LJ 6,,) lrf(r,,,)
(i
geuradalah J a d r .k a i d a h segierr-rpat _eabun It
f
|r ' / ( r . tirt = ^) t l o + 2 J 1 + ? l : + . . + 2 J1, *, . f , , ) -
= .l(.x,)
c le n g a nl ,
r/ = -\'o rr
-rr rl
.tr,,-r
tr,,| '',,= b
G a m b a r6 . 4 K a i d a hs e g i e m p agt a b u n g a n
6 . 3 . 2 K o i d o hT r o p e s i u m Pandang sebuah pias berbentLlk trapesir.rmdari .r - x() sampal .r - X 1 beri kut ( G a r n b a r6 . 5 ) : Luas satu trapesir-rmadalah \l |
.
J/t'la.'
=
/tt
;lfltn)
+ fl ro)l
( P 6 .r 0 )
t,\
Persamaan(P.6.10) ini dikenal dengan nalna kaidah trapesium. Catatlah bahwa k a i d a h tra p e s i u rns a ma d e n g a nkai dah segi empat.
Bab6
I n t e g r a sNi u m e r i k
?71
Program
procec '
llene ,tda, K.Av K. AK
i:
begin
X:-
._{ _
> r9
traPesium Gambar6'5 Kaidah
for be
diperoleh B ila se l a n g[a , bl dibagi atas r?buah pias trapesiurn.kaidah integrasiy&n-Q rule): trapezoidaL's (cot'ttpctsite gabung n adalah kaidah trapesium
en l:= end;
l)
lf(xldx
= =
\1
rr,
\ir
'fr-l
* . . .+ * [t'o)a, lf r,1a, .\ 1
| f'trld,
6.3.3
"2 | l ( . r o ) + ( r , ) l
Pandang dan titik
lt
=;lf(xo)+Zf(xt) L uas sat h 2
rr-l
(\ J1r , . .' *- 2 T f , + J ' , , \ .LJl
( P . 61. I )
i _l I - l
Persama
dengan7',- f(x,)
?7?
Metode Numerik
P r o g r a m6 . 1 K a i d h hT r a p e s i u m
procedure :.r:apesir,rrn(a, b : real; var n: integer; . Ilenqh::unq rircegrasi f txt dj da!am selang l'a, bj ,aaa i.al: t: ciengan ntengqunakan ka i aah :rapes i -.,rn. K . AwaL
:
K.Akhi,.r:
ni la i
a ,
b,
dan
n
I
adal"ah namptran S€$J -€:n!rt i .
sr,idah incegrasr
f
:
dar:
real); ltntias
plas
t-erdef in:-s i yang
dihtr.ung
dengan
kaiaah
var :r. i
x. :
saqma:
real;
integer;
begin ,-r:-(b-a)
n;
, ' i o h a r -
v . = ^ .
" Siqma: =0; r:=l-
l ^ r a o r : q ; . r r _ * Y - * _
- ' )
f (b) :
l:=i(a)
for
n i : c i ^ ^ l - - ^ J c r a r J L l
t a w a J
to
;-r-1 do
begin X:
=XTh;
sigma: =slgma
+
),f
(wt
-
end; :=(I+sigmat"h,j2;
(
ntlai
incegrasi
n:meriki
6.3.3 Koidoh TitikTengoh Pandangsebuahpias berbentukempatpersegipanjangdari .\ = -{o Sampai .r = -\ r dan titik tengahabsisx = xo + hlz (Gambar6.6). Luass a tu p i a s a d a l a h .r,
lt "f ( * l d , = h f ( x o+ hlz) = hf(xtn)
P.6.12)
_{(r
(P.6.12)ini dikenaldengannamakaidah titik-tengah. Persamaan
Bab 6
I n t e g r a sN i umerik
e73
)"
"'0
Yo+hl2 x t
titiktengah Gambar6.6 Kaidah
Kaidah ti ti k -te n g a hg a b u n g a na d a l ah(Gambar 6.7): lt
tr
I ftxtdx =
|
ll(x)dx+ r(,
Program 6. tr,r
't:
| ^. ll(x)dx +..'+
J"
1..
,,
l.l(x)d.r
proced'
J" r,r i
.\l
i
= hf(xt,-,)+ hJ6,,,r) + ltJ(xs) + ltf(x1n) * ... + hf(x,, 12)
mengseba K. Aw K. Akt
n-l
= lt(/'rrz+ ftn*... +.fu.rr)= /, I
J-,*r,r.
P 6 . 13 )
var n,
t=0
.
i:
begin
yangdalamhal ini,
h:= Y ' =
x r + v r =Q + ( r + 1 1 2 ) h )
s ].gff for bec
dan Jt +tt2.=J(-tr*tn)
end f:=s end;
?74
M e t o d eN u m e r i k
Bab 6
Inte
7
z, , _- f i ' ) '/t-'
L)
0
ru z x l tz x5tz
X
X n'312 n'l12
t i t i k - t e n g a hg a b u n g a n Gambar6.7 Kaidah
Program6.2 KaidahTitik-tengah
procedure cit-jk-tengah(a, r ntenghj Lung I nceg.r as i ^ ^ L - - . . , ^ 1 >epatlvaL
b f (x)
n: irrteger; : real; daf am selang Ia, b]
var
:
I
dengan
real); jumJah
p:as
^ t1
K. Awal : harcJa a , b, dan i adalah K.Akl'tj.r: hampiran
n
inis i terdef sudah yang dihttung integrasi-
dengan
kaidah
r - - , 1 . a - ^ - - ^ ; L f L : A - u e l 1 9 A l )
n, x, srgma l- : integer; begin
:
real;
ir:=(b-a),/n; x: = a+h,/2; sigma: =f (x) ; to n-1 for r:=1 begin v ' = Y + h
Bab 6
it;r;k
n i : c
I
--nnAh
narl-zma
I
do
-
slgma: -s1gma end; : =sigma*h;
k
( iebar
i n t e g r a s iN u m e n k
(
nil-ai
lntegrasi
numerikJ
e75
6.3.4 Golot MetodePios
6.3.4.1
S ek ar a n ga k a l i k i ta h i tu n g b e ri i p ab e s trrgal at hasi l i ntegrasiuntuk r l a s i n g - m a s i n g r n e t o d eM . isalkan
G a i u iu n t i
E
/ a d a l a hri i l a i i n te g ra s si e j a tr dan
I I r i ri l i : rl r / (
' / a d a l a hi l tte g ra s is e c a ran u n reri k
/( r
sebagai r nak aga l a t h a s i l i n te g ra s in u me ri kc l i del ' eni si kan
(P6.14)
L_I-I'
L-; r'lrikalri t
U n t u kpenurunan galat, kita tinjau galat integrasi di dalam selang [0' /']' It
I-
/' =
( P6 l s )
|l J f ' ( x)dx
N ' l l ku .
0
o G a m b a r6 . 8 Galatkaidahtrapesium(bagianyangdiarsir)
jadi.
Untuk setiapkaidahakankita turunkangalatnyaberikutini.
| t'(t\ct t
0
?76
M e t o d eN u m e r t x
I
Bab 6
lntegrasii
6 . 3 " 4 . ' l e q l o t l ( o i d o hT r o p e s i u m ( i i r l l r tl - r n t i r ks l r t ul t r u r hg t i r r (sG i r r n b l r(rr' . 8 1u c l a l u h
t ' = ' i , /, ' r. ")! r\/ r- !- ,) , , , * , , , J l i
I i r l r i l i i r n/ i l t k c r l u l l r r rcrl c p gl t- a t , l g r - t lsi c l i i t l r .r - , , -I / ( r . )- 1 , 1 +r 7 , ' + ]
, , 1 , , ,*
]
, / , , , , , *.
L i i r r r k ; r nl i = / ( " r rt = f \ / i ) k t rc i a l a r n c l e r eTt a Y l o rc l i s c k i t i r r " . \ o0= l t = . 1 ( r r )= / ( h ) - 1 , , + l t t ' ;*y '!
l , t l , , "+ . . .
\irrka. ',
.. I | , E = | l J , t + - r 1+, ,: - r . l i , " + - . \ J , ' , " ' + . .l r f t J:t)
';
=
n + t,1,;' ln * rn"Mi |
+ lD.rt1r'+v6.rr/i,,,,+ r'
u2 tti,-ll2h h)- lD h:fo'- 114hlf(;
= ( l t f, , + 1 1l2, t t ' ' ' u +l 1 6 l r t . "l r ;
'o , - ( h f o + 112tif * I 14 lifil"+ ...)
=
l
I --lt'/,,"+...
12 i
ri --
= I / (.t)r/.t I
()
0
( F ' , "166 )
-It( f , + . f t ) + O ( h t ) 2
( P6 1 7 )
lttl"(r)
Pcrsatnaan(P.6.17) ini rrtenyatakanbahwa geilatkaidah trapesiurnsebandingclensan l r' . P e rn v ttti i i ttti n i c l i b u a tc i e ngi i nancl ai unbahu,a.l i r) rnenerusdal am sel ang [0. /rl . . l i k at i c l a k .n r a k ug a l a r t i d a k s e b a n c j i n dg e n g a r i r ' ; N A K 9 3 l .
Bab 6
I n t e g r a s iN u m e r i k
?77
i nttii, r; hrlili
iililrl) ar.lirllrir
t-'
'' * l ",,-ti
| - l,,i
t c ( ) r ' c l l l l n i I u i u n t u r a u l t l L t kp e n i u l l t l i r h l u rr l c n i l i d i
n
it i'
ri(i
,r'{li
( P " b .t , \i
l\ lc r r ginulrt "
lt
*
lt - tt t1
lnilka
Nilai inrc:gr-ar 1 J
k
( P . 6i.g )
i\
Dcrtgan clern i k i a n , ll
f
lt "l (,r)/r (l
= -n ( [ t , * r . f ) '"'
-
/-t
r=-i
l'*1,,t+otlil
'tt
(P.6.20)
N i l a irnlcgl'ilsl :
"'
.1+
l,'',,
J ac li. ealat to ta l i trte g ra s id e n g a n k a i c l a h trapesi unr sc-.Lrandi ng dengan kr"raclrat lc bar pias ( D . Se l rta k i rt k e c i l u k u ra n ukuran ft. serxaki n keci l p u l a g a l a t n ) ' a . nanr ull s eln a k i nb a n y a kj u rn l a h k o rn p r:tasi n1,at.
r ifi
G a J a lk a i d a h t r - i F-
?74
-Metode NLrnrerik
Bab6
lntegras
liilfl?lTGn 1 f
i ( i l i i i { i i I l i r r i n gr n r r - . r ' l r l
l, .J
, / , , l r ' l ) ! . l t it . . , r i . l : lr rl ;t r 1 ) e \ n l l n \ i n h i i
f 1, . , , 0 l .
I'}crkit'iikarr
t..
( j t t n l t i r l L r t . lSr r r g k l th e r u r .
i i i t ) l j r ; i il ) l i l s i i t i l r i l r l i ! r = ( l t - t t \ l i t= i - 1 . . + _ l . g l i 0 . l = =E I . r l r r ' ir i r r t ; r l l : _ r i < r ' rltrni ,r rr l r r l u h: e i r u q l r i i t c r . i k L r r :
i,)
\
l(.r,)
l.x
6 ()i0
-5
l8
I6.44.5
7 . 3t i 9
6
lo
20 0fi6
9.02 -5
1
l1
)4
Ir023
IJ
).+
29.964
.0
I
)') )1
l
4
\
t(,x,1
-5-l
1 46-l
N i l u i t n t c g l ' a s ln Y i , l . 1+
c
lt
ll r, ' ' , 1 i
:
, / , . l / l + 2l'f ... + 2.1,, + 2ft + ls)
E L
is
=
0.2 l
l l 6 . o - 5+0 2 t 7 3 i i 9) + 2 ( 9 . 0 2 )- s+ . . .+ 2 11 6 . - 1 ,r1 - 5
+ 2 ( 2 00 8 6 ) + 2(2.1.-533 ) + 29.()641 - 23.99.1 N i l a il l r t c g l ' a s l s c . l a t l t v a a c l a l a h lJ
l
F
lr=l.g
l,'r1t =r'' |
l-f :-1
J iri
.4
= , ' . r 1- cr'E= 29.1)(-t4 - 6.0-50= 23.9| 4
G a l a t k a r c l a l ti t ' i r l l c sLru l :r
l1
[ J a l r6
*
-
l,l
t2
(t) u).t''"
l n t e g r ; l s iN r r r l e r i k
t.8
-1.4
e79
G u l i r iu
K ; u ' c r u i . l ( v r = r . . / ' t - v ) = r . ' '. i l a n i " ( . r ). = i " l t u i k a I
I: * --ll
(t.iti3.'l-l.8lr"
. l.ls< r < 3.:1
I ( l u ' c n l l u l t g s if ( r ) = ( , ' n r c n u r ks c c l r a n r ( ) n o t o lttl i d l t l a r l ls c l l i l l g I glrllttnt'il : tiilr'ra t n)enelrtukan [Ittlis-i-llLtlrs
r.-= - I ll
8 , 3 . J l .r r n k ak i t u
s ( ' . , i r r=) - 0 0 1 1 3 ( r r r i n ) ,,,:rr r3-1 I r ' x ] . r t ,. r
( , , . , u)r: t - 0 1 5 9 8( r r i a )r
I ) ; r p l r tc l kriliSllr r i t r l (t r ' n i tidak da tcrscclia t e l r g t r h/.
l ) r s i n i n i l l i s c . j l t it h a r u st c r l o t a kd i a t t t a n t 2 i 9 9 . 1- 0 . l - 5 9 8= 2 3 . 8 3 4 c l l n 2 3 9 9 4 - 0 . 0 3 2 3= 2 3 . 1 ) 6 2 t r r i l l i i n t t . c r u t ssic j a t i n y aadafah
23.1)lul.yang l'tlcl'lltlllstcrlctak c l i a n t a t ' a2 3 . 8 3 ' 1 d a r r
6"4 I Metode / nr -nr r er ik. adalahr-n
2 3 . 9 6r2 l4
C l l l t h u s i lr r r t c c r a s i 1 , ,'rl.r aclalah I
t8
= 4- 0 . 0 8 0 23.914-23.()4 Y i i l t s l l l c l n a n - qt c r l e t a k d i a n t a | l i g a l a t . n t i n i n - r u m c l a n g a l a t n l t i k s t t t t u t r l .
I t
t vang dalir t)
I'
6 " 3 . 4 . 2 G q l o t l ( o i d o hT i t i kT e n g o h
Meltgalxi
G ir iirti rrri u ks u tu b u a l r p i i l s a d a l a l -r
dcngarr rLt I
1 . .=
P
ll,rl,1r
I
- i U r.
I I
t
Dengan cara penurllnzu.l var-lgsarnasepcrtrpaclakiiidah traltesitrttl.dapat dibLlktikan bahwa !"
E ='" t'"(t) ()
( P . 62 0 )
24"
S enibur an di gunakar y a n gk i t a l),,('[)'
Btfr 6
eao
Metode Numerth
iitt,
G a l a tu n t u k i c l u r L r hp i a sa d a l a h Il
'lt
It' 1r _a
. l ' " ( t ).
r r1 r < l t
b-u).f"(t)
(P6 2l)
= (' )tl r\
I ) i t r r l t tr l i l i h a t b l t h r v ' ag i r l i i t i n t e g r a s ic l e n s a nk a i c l a ht i t i k t c p e l I s a r 1 1c l c r - r s 1 p ll]. k l tl i q a l l tt p i tc l i tk l ri c l a l ttrl tp esi utnni ul tul t bcrbccl l tupcl i t.I)epgi rp ki rtl r l l ri p. kl i cl l l i t i t r k t c r r g a hl c b i h L r a i kc l l r r i p a c ikaa i c l a ht r u p e s i u r nS . a v u n s n v a .k a r c l a ht i t i k - t c p g l h l i c l i t k d r t l l a t c l i t e l ' i t l l k r rj n i k a f L r n g s.i ( . r . ) t i c l a k c l i k e t a h u is e c l l ' r re k s p l i s i t t h a n v a t c l ' s t r c l ici ltr t t i b t e ' t ' u l l tar t b c lt i t i k - t i t i k s a l a ) s c b a bk i t a t i c J a kc l a p a tr n c n g h i t L r n p gi i l i tctlglth. i,+l).
6.4 Metode Newton-Cotes N4etocle Navt'trtt-Corr'.s adalah rnetocleyang Lllttltmunruk nrenurunkankzriciahilte,qrasi Irtrtrlet'ik.Polinorrr irtterpolasi menjadi dasar metode Ner.vtor-r-Cotes. Glgorui',,1yu a d a l a hm e n g h i tn rp i rifu n g s i l i .r/ denganpol i norri i nrerpol asip,,(.r) t -
I
f/tr)r1,r : ! '
:
I lr,,l-r),1*
(P6 21)
d ta l a m h a l i n i . ,\'(ln€ -t P,, (-r) = (tp u 1.Y
M e n e a p a Po l i l l o n l i n te rp o l asi ?K arena suku-suku pol i not-r-r rnucl aftcl i i ntegrl l kl l d c n g i tnrl l l l L rs i n (e g ra ly a l tg sudah baku. ),ai tu -i | (/.\' . . , ,{/,\. , = ,, _ r . . ,+, C J tt + | a
Se ttl b a t' i ttl ap o l i tro tl i n te rpol asi yang tel ah ki ta bai ti i s di cl al ani B ab 5 cl apat d i g trl l i l k a ns e b a g a i l l a n -rp i ranfungsi . tetapi cl i dal arn bab i ni pol i porn i prerpol asi v a n g k i ta p a k a i a c l a l a hp o l i n onl N ew ton-Gregorvmaj u. - . / , , * ( - \ * . \ . { ,4y l t , At + ( , r - . \ i r )r(- . , . , , ; 1 , , + . . . + 7r,,(.r') 1lt )t h2 A " .fu (r - -rti )(.r -,rr). ..(-r- ,r,,,,) rttlt "
F l a t r6
integrasi Nlumenk
aal
iirlrll'.isi
[ ) l t r r t t , : t t c t ' l l p li .t . l i l t i l t ittt t l c g n t : ti t t t t t i c t i l .\. i i l l ! l t i i i i t t t i t l i . . l t rl ti l t i ' t t l l t t r i r l t t i g t r . i r i r n t l t n t t ' tl 'it \ l t l t g t t r t ' 1 . , t ' i ll li tt ii l t i l t i l : i. l. :.
t t ' r t p e s i u t (t t- ! ' r ' t t 1 t L ' : o i rdtrt tl lc ) KrLitirrh '.r K i r i c i i r hS r t t t ; t s o t ti / 3 t , t u r i t ; t ( . i / i l i . l t t r i c \ K r r i c l r r iS t i i n i r s o l t l / l i r . \ l r i r l ; \ ' / ).r\i' j i 5 t ' t r i t , l i r :: . \ l
\ r ' i - , , r : t . t i ;, . t i i t l i i i t ' . . r i r i l L li t l t i r c : i t t i t ls t r i i l i l t k i t l \ , , . 1 ' .i \' r l ' - ( - ! l [ ( . \, ' l r l ( -I' t ] t , t t i i i l l t t i t t n r i L t i . , ltrl t I i l r i l - }
i L i i ii .
6.t"I l(qidahTrcpesium f ) i l r t r r i l i l nc l r r ibr r u i ht i t i k c l a t a( 0 . / ( 0 l t c l a n( l t ^/ t l i ) P o l i n o n ti t i t e t ' p o l r tr:r; ti t r gr l l c l l t l t r i l. , . . t lr1l rL r l rl ' rti l i l < i trr l c l l l i rh s c trrl rhguri s l ru' us.Luas cl i tr:t' uh )ral tgtl i l l i ttrrl gsei l i Lgl tt t 'lltlrlllltr'6.ti). I r i r r i p i u r rnri l l i i i n t c g n r sai c l a l arhl u c l r . rt il ri b r r w u hg i u ' i sl t t t ' i t tsc t ' s c l ' r t(tC
xt= lt
to= 0
G a m b a r6 . 9 K a i d a ht r a P e s i u m
truahtltik itu adaiah cierajatI ),ruigmelalui kt:dr-ra Poliltom interpolasiNe,,r,ton-Gregory
A/i' Ai (t" ) = / i i+ , r / r r ( r )= / ( , r . )* ' Irh
zae
Kaiclahtrapt
Bab 6
iiricg,_
''i '. ' I t ! f
'=
l/l\)r1.\
lnl
\ ) r it
l
l ' J '
J
i i
r f t r r' I'
l.
. i
-t-
'.1/{r
')
I
. -
I )
.\/r, i 'I
t,
I .\'.- (,1 I
= l l . f 1 1- r
-r/
: - Li' ttl(t
_
!r
_
t
il
li -- i i'I - i r r l
t !(
rl
l
-It\ ( [ c , i
2
lt)
. l u ci l. k l ri c l rrh tra l -rci.s u n t i rc l a l ah
iP 6"1,.r, ( i r r l l r tk l i r l a i t t r i i l t c s i u l l st u c l u l t l ' .i tattrmnkal rscrbcItrr.nripaci yi r anretocl epi l rs.\,i ri tLi -1..'= il
it l "(n * ()\lr ) . 1 . .
0
. l ri ri i " li f t /
lll J''
.i.)ri-r ''..:- ( . l r+, t ' t )+ O t h ' I
Kaiclalttrapes i u n tu n t rl l ( I l l t e s l ' a s ic l i i l i t m s c l a n s I_ t*
i P t - . . 1 -Il
[ 0 . i r ] k i t a p e r l L r a sL r n t u k r ] r g p s 6 i t g p g
i / i r ),/r
J
PB3
\ ; r 1g dllurrr i rl i rn i . / s a rn l rc l c n g u nl u u s cl l rcni i irntcgrastcl i cl l l l i nr scl tl l s Iri . /ri . Ltrl rs dler - 1li t c ;s c h rrr c l i p c l o l e :1d.," ,' ,,g r,t nrt' nthrtgi scl l tttg [,r. l rl rrrcl l .j acltti [rtri th \'li' f r " L r l r r s c l r u \r.es L t b t r i t c t ' rd' ier ln) g i t nl c b i t rt i a p u l t i r s c l a l 'iri c, t ' l r i t L[i- r "., ,t , l ' I t , ' u . l r n g t r a l ru l l r s c l a i r g c i r i n t c r ' p o l l sci l en g a r rl l o l i t r o t t l r.i " 1 . r , , ,. ,. \ , , i . T i t i k - t i t i k s c l u n g l r t . b J t e r c i l p l r rt i b u a h ; r o l i r t o t nd c r t r i a ts l t t r tV a t i s c l a i a n r c l i r i c r u t l aL t Jacli. ( 7 i i I n t c g l i r s rn l r s u r r - n u r s i n gl t c t l t t t o t ri lt t - tt r l c t l g l l l r s i l k a r l ) . c c c r l r ^ s , , icr-potopg-porong . tstl l tct' l tl t c l i s e l -l utki ti ti i rl rtntpc' si tttt'glt tt-rl tl l ul ttlL-tti i u rs \ r i f t t r ir hk i ri ti u l t trl rp c s rL u n \ rrt.l t L l j L r r r l l r l i t r a l l e s l L t r t l t t l t s s c l u r u l t u c l u l a h i r r t c g r - 1csl i c l i r l l p rs e l l r n gl r t , l t l I
.''
i ll ii ,i i r ",\l' r| - '
JJ
ii
i1'.*i1)*
l ir
=
2
\,'
\t
r : ll(.r)r1r +
=
f , lt / t r t , 1 r + . . ' +
l/ttt,1t li
L-)
1t',,'*f,,t
l
( 1 ,+l ? 1 , + 2 . t : + * 2 1 , , r * / , , ) rr I
'= - ( 1 , , + : t , + F l 2 \ ,/ \,
-.t t
l_/.,
t;
(P 6 2-5)
)
Polrnorl i tdalah
t-i
r l e n g a n. f, - t ' ( - r , i^
p
t ' - 0 . i . 2 . . . . .t t .
G alir t t o ta l k a i d a h tra p e s i u m g a b u n gal t sucliih kitit turtttrkatl pada nl etode P l as. y ait t l h'
( b - r t ) . l " ( t )= O ( / r r )
i n t e g r ai sl
\ ' , (, I ( \ , ,
I ) c ngar i c l e rn i k i a n .
'I
I,
: - -) I r.r),/,n t'
- / 25. t t / , + . ll ' t , + t' . t/ti),' + Z t O(irrt
(P.6.26)
t=l
. l 1 c l i .g a l a t i n t e g r a s i c l e n g a n k i i i c l a h t r a p e s i u m s e b l n c l i t l q t l t - - t l g i t t/ir i .
6 . 4 . 2 l ( q i d o hS i m P s o nl / 3 clengallmengtlnakatt F{arlpirannilai integrasiyang lebih baik dapatclitingkatkari fungsi yang lebih tinggi. N4isalkan /lr) diharnpiri polirxrrninrerpolasiberderarlat Ltrasdaerah parabola. berbenttrk polinon-rinterpolasidlrajat 2iang grafiknya i1.,.rg,,,'r parabola baw'ah di claerah yani dilitLrng sebagaiharnpiriinniiai inGgrasiadalah (lt, (0,.1(0)). tlisalkan f(h))' 3 buahtitik data. iG.ir'rl,"r6.10).Lhrtukitu, clibutuhkan c l a t(t2 1 t . l ( 2 l t ) ) . ?84
Metode Nurnertk
Bab 5
lnt
't-"
G a m b a r6 . 1 0K a i d a hS i m o s o n1 / 3
Polinom interpolusiNcri.,ton-Gregorv deraiat2 vans nrc:l l rl uiketi eabuah ti ti k terscbnt arl a l i th
=,/(,ro)+ 3r3(-r)
f
= fr,*x Af,* nzf(xo) *#
Al(rnt+
^ 1,
I r rt c g r a si k a n
( . / o + "l; Afi, + T
x(x-lr) 2t"lt:
t1
.\ lr=lii )a-/r, - - th 6h' lr=(i il
_\
=/,rr*I..
I
2lr =
) l t' tf , , +' \ t
4h)
- '
2h
l/ir + (
= 2ltlu + 2lr Aliy- ( = 2ltJ11 + 2h Lf o -
Bab 5
I n t e g r a s iN u r n e r i k
8 / rr . 6li'
4hl 4lr
)9
) A .10
JII t'
!: ^]fi, 3
ea5
51r-:illrlili i't
i'
rllttr '\ l'r '' -\ll - ll
,
l't:irnlirr it'1rt..(-1,
- i l: - lr) - t lr
|),'i'\\,lt'.1
I l t i t i r i i .r t ' l l u l i l l l l l \ -: i ii , l ir);T-li'-
i
:l ,
r'
)i,
f ,
l';ti, *' )itlt
l l
'\
./i
it
.. :
r--
--)
proceciu
i
i
-ih
lr
-
t t ; . , *
P'f(l.:iati^i a
lt *
I l ' q + 4 1 ,+
It -
-)
i a , l ! l r ' l
.', .]: .l
I ii
['
t I) (r.1,7 !
f.t
begin j
:.
P c r s . r rn u tP n .6 .2 i) i n i c l i n a n ra k akna i cl ahS i rnpson l i 3 . S e b L r t i l n" l / 3 " t r t t t t l c t t lk a t " c l l a r .6 .2 (r)te rd a p atfaktor " l /3" ( sekaligus Lttttuk lllelllbeclitkittltry'it dr r iulu n rp c rs a n l a i u(P c l c n g u nk u i d l r i rS n r p s o nv i u t g l a i n . r ' i t i t t rS i n t l t s o n3 i 8 )
l'.. :.1
:l . r[lfrc for
I
beg:
N 4 i s r r l k u nk u r v a I ' L r r r g ssi c l ) i i l t . i a l t gs e l a l t e i l t t e r g r a s il c t . l t l k i t a h a g i r r l c t l - i a t l ir r + l h u u l i t i t i k c l i s k r i t v r i , , r r . . r t ,. . . . , r , , .c L : l t S o t/.rl g c l t a l ) ,d a l t s c t i a p t i g l l b L t l r l t r t i k ( a t a t l 2 l l r s i r n l . L l l t i r slel l l t g ) d i i i u l ' r , i r c l i h u n t p i r i c L ' n g u n l l i l l ' t l [ ] o i a ( p o l i l l o l l l l l l t u r p o l a s l r f e n r j r r tr ) . l l i t k i l k i t u a k i r n l l r l l n l ) L l n v L v n l ) i - r t r a hp ( ) t o l t l l i l l tp l t l ' i i b o l i t .B i l l i r r t l t s i r l g n i i i : i i n s l l ( ) l i r r o i t l c l e r a j i r t 2 t c l ' s e b L l tk i t a i n t c g r a . l k a n ( l i d i r l l t l t t L l l l i l s c l l i l l E ( . . s L t i t ' i p i t ' t ' \ ,( t l i i p t c g 1 a s i p 1 , , xp. t i r k a j L r t r r i a i ls c i r - r 1 1 liip t e g r l l i c r s c b u t i t t r * ' l l l i l e i l " r t l l k\ .a i c l e l h
ii ei end:
I I
Sinrpson [/3 g;rilung:tn: ,
ir I , , -= 1 ,,
i"
J/r',i.1r
' J /( (' r ) t\ / rt ' +,
f ,'r-',-I-
J/tr)r/r
*..+
f
Jliii,lr
4rt.--ll,+/+) + .+ !,,
r-i-1
IlilLrncintt
.*4f,,ttl,,i
I
J l!
.= L
rl,,*J/, +2i'.+4f:+2/r*.
*2i,,1+4t,,tti,,l
t i c r t g l t t tn r c
1
ri- I
, - . ! -\' 1l / ,t ', * +' F'f
Lt''
tt-:r
+' - 2 T l
r' |t,,' I, )
(P.(r.lE)
k'
(rti kliclah (bi
klrrrllh {c ) kirrtlalt ( i L r r i r r l . . l ri ln
ea6
l r l e i o i l e r l ' lL t r r l e r l '
3 ,r i , r . , i r t t
i r r ' i ' ! , i l l | . r , t ni i ' . i t . l f I i r t : r r i r r r l . t l i , l r l r : r i . i l i , . l t i ',iit.,i-ln,..t r f
i. .i. t. -i.l
rJl
\ r r n r r u r i ) . n q t u n i u u r l i l r i < l l h Il j iltl'tt:
!Ialtitll. nlr
. s i r n l r s o rnrr r ' n s y l l r i l l k l U . rj L r r l l l r h
llllllsf liilts (/i )
i - r L ' r ' l ' r . ' r l rl lt t t n g l t i t l . l t i c i : t l r t i ' 1 1 1 . 1 9 5 1 1 \1' l1u. r1S1 l i , - i l l i . , n r c n r l . r r r r r rl r i
1 r i ' i ' : \ ' ; I i ' i it li I, i I i t I l : 1 , . . n I rI Ii I t n i i t i i s C i t t t t L .
I,rr:ci ac'r 6.-i
)rii'lflSi)l: I /.
procedur:e
reat;
l:
l_nteger;
i l) .lt1 -
j,'
var
i)2
I ll-"
rea].
( 7 1 : ' , ' l : : l l )t
'ji,i:,;,r.r
l,r r,r'.:r
]lti
a. l:
real ilt.eEer: beEi:: '-.:
r.ri
l: ,;t
, ' : : : : : 1 , : , l .:
,L
c - 1 )
i-{lili:;
:
;
; ( t t i;
;
for:: begin
to
i-f
r
--
d<-r
mod
.'i.'
eise end: enall
H i t r r n g i n t ec r e l
fi ji*r'
i N o t s 7 il
i i
tlr'l):'illi Ill\'ll!!rLlllllkitli
{ , 1' k : r i , l l l rI r ' l r l r t ' s i 1 1 1 1 1 ( b i k u i t l l L ltri t i l . , - t e n l l h { t r ) k l r r t l l r lS r i r r r l ' l s o nl / . 1 (iunrrl.rrir l l r n r l il r n l r r ri i t i l , / r . - 0 . I l 5
en7
I ' e n 1 ' e l se a i : r n :
i ] : t r i t i r r rg
. l t r n i l r tul tp t s c l t t l t l 't .t - ( l - 0 t / 0 I l 5 = E 'fabcl
i r t i k - t i t i kd i r l l l r t n is c l l n s { t ) . 1l : ( r : n t i . r k a i c l a ht r a l t c s i t t t tdt a n S i t t t l - r s t l In/ 3 1
\
r
I
(i
..'}
'l'abcl t i t i k - t i t i k c l i c l a l n r n sc l r l n gl ( ) . l l : ( r - r n t u k a i c l a ht r ti k - t c n g a h)
I
r,
\
U:
O (X)j
( re - t r i i S
\/ I li,\
0.Eil i i
\/lrng ltl)i slnilr rlc Strtipson
{)l15
0 .i i E EE 9
t)
0 150
( )s 0 ( x !
)/l
o tl
U 7 ( rI ( ) ( )
( ) . -Ir
().1)1)l
112
0..1.1E
0 69:(rr
0 5()0 ().()r --i
().66661
9t2
0.-56l
() 6-l()(x)
0.61-5--1t(
1It2
Galat K
{ ) . s7( )
I
\12
0 6E8 (J.ltI 3
0 .- 5 9 1 - 5 ! i
jlJ 0.-57
t).-{-5I 7l
G a l u tl i a
o ti7
0 -5.13-l-
| 512
0.9.18
().5161.i
1.txxi
( ) - 5 ( X XIX
T
( a ) c l c r t g a nk a i c l l l t t f i _ i l ) c s l u l l l
:cbt,'lLrrttr
Ur-aikair
I
el
= l t l I ( J 1 t + 2 J t + 2 f t + 2 f i +2.f) + 2J5+ 2J1,+ ?lt +.ls)
|',1r Jl+i
r)
- 0 . 1 2 5 1 i2l + 2 ( 0 8 8 8 8 9 ii - 2 ( 0 . 8 0 0 0 0+) . . .+ 0.-50000t = 0.69412
( b 1 c l c n g l t ik a i c l l i ht i t i k - t c r t g a h I
rl
' ,/i
| Jl+i
=lt(1111
I
+ J'1n * ./'3n-r.fr:n ) + J,,2i .l:r:,+ .hn + .1,)n
()
Sulihkan
- 0 .l 2 - 5( s - 5 4r 2 8 )
( c ) c l en s a n k a i d a h l / 3 S i n t p s o n
I
I
Jl+i 0
+ ?f.++ 4J1+ 7jn+ 4.fi + fs1 ,1, = ltl3| t'it+4/t + ?l':+ 4.1:t = 0.125t3 (16.63568) : 0.6931-5
aaB
M e t o d eN u m e r i k Bab 6
Inl
l J u n c i r n q k rsr o n l u s r( a t , ( b ) . d a n I r ' ) rl
ticltultt)sliglli sel;tlittrlt:
, _ 1 _ t - i
'
1Ll =llii l+-r)
|t r
..i+_L
.\ = tJ
= i n ( l i - l n (I ) = 0 . 6 9 3 1 - + 7 1 8
i)
V l t t l u: t P r t b i l li l i b t r l e t k l r nk c d u l a n t - 5 u n s k l b c n u . f l 0 6 9 3 1 4 7 1 8 )= 0 . 6 9 . 1 1 . 5l r.a s i l n , r , tuc p u r r r u n i r t l c n s a r rn i l l i i n t c g n r s iy a n g d i h i t u r r gr l e r n g r rknl i r l a l r S i n - r 1 - r s o l / nl . . l l t l i . k l i i c l a h S r t t t P s o t t / 3l l l c l l l l l l l , g t t t t g r ' u l t l a l l r r n h l r i k r : t c l i t r a n l r l s i l { i l l r p c l i p g k a r i r l u u k t i i c i a l t : r : b c I r i r r r nl r, r
Galat KaidahSirnpson1/3 G r r l i r tk i r i t l i r hS i l r t l t s o nl / 3 u n t u k d u a p u s a n gr . r p a s r r l a n ag clillal'l llt
I-=l'tt r trli ,./{ ;,
( P6 . 2 9 r
/ , , +4 . f t + l )
l l
U r a i k a n / ( i ) , / 1 , d a n / 2 n ra s n rg-l nasi l tg = 0: ke dal am deret Tayl or di seki tar' _ro 1
--:
+ | li.r.r= 1; + "Vlir,
2
l,i' + I
6
+
/ i , "+ '
.t' 2J
( P ' 6 " 1 t0
/ , , ' , ' , *. . .
- fut)= li,+tfri. ... +./,,,,* | ,r,,,, *.1,,,',+ - l(2tt)= ln+ )tt lti* 4t)t fn,, . * ... + f,i,,++.1i,,,.',
(p.6.3 i; (p6.32)
S r - r l i h k apnr - t ' s i u l l a a( P n . 6 . 3 0 ) (. l ) . 6 . 3 I ) .( P . 6 . 3 2 )k e d a l r t mp e r s a m a a ni P . 6 . 2 L l ) : )lirr.l
l'.-
[ t / , , + r l i", ' * i ? J
l,i'+
'\ 6
1"'+]-/..,'i''4...)1Lr "4."'
- { l,l;,+ 4t,, + Jrtli; .+lti'+Tr,,,".+/i,''' + ) +(/,+2ttii+ o'i ,u". .f(;" ++ + ,
1
= ( - \ . /*, , ^ l i , ' + l _ I 6
Bab 6
I n t e g r a s iN u m e r i k
.4
f i i+ , l- fn"'+ l+
.r ,- 5 [()'
/i,"''+, l f , , ' , ,+
it=2lt
)l
li=O
aa9
It
-
i ( r f r , + 6 l t f, , '+ a i ; l , i '
r.
.,1 - ) / ,l l ' , 4 l ' -n .lrt -
-- r )1l -t rl r. i. -{ tl -- r
-'liir| il l\t
-i
.! tl
,". ./,,
-r
-[o
.t
',
-
)r,r _t!1.
- rr - ] , f , . I .-/i I
{l
-l
rr
-
-
r
derrgtrrr kr r iclaht lebih biu Sirrpsor
'f
/
l l l
+
-l
il,\
l i 1 ."
|
r
'lt* -"
1
l,i" i - { l r L rcr lra l i
1 i ll
tr," -
i l()
85 'jo I:
90
r ltngtiiuLr [)errvelcs:t
Ig0
It
r),.r1',1 tt /rr
1 l )6 . - i -1i
l-ll,.cl iilik
= 0(ii')
J adi, k a i d a h s i rn p s o n l /3 u n tu k sepasar' l upasel an-qdi tarnbah cl engancal atnva g dapat clinyzrtakan sebagai )lt
-
rt
l / , t ) r 1 t = =I t 'l'r + 1 l r + l : ) + L ) t / r ' t Jr'-''..-'
Galutuntuky1l?pasangupaselang aclalah [ , , , t= - -
/ 1 5 ( . 1 ,*, ., 1 , t.,, , ' , - r/ - r . i , +' . . + / , , , , ' , , ' )=
L.
':./''''(/.)
"-
r)0 --
(.t1t1.l
,
2
!: (b - u)/'t'"'(r) IrJ0
*rr',.F.1,"''
. k a r e p l 1 1- ( b - r t ) / f i
Nilai
(P.6.34)
T
- orlll
J ac li .k a i d a h Si m p s o n l /3 g a b u n g andi tarnbahdengan gal zi tnyacl apatdi nyatakan sebasai. l,
,_
lt-l
rt-2
i.)r/i= !t1,,*l Z.t,* 2 lL, J[ 1 .-t
*1,,t+()tllt
T a k s i n t nc a l a ,/"(u
-
e90
Batt 6
Metode NttmertK
I
lntegr
t i c n g a r rk u t i r i l r i r r .k l ri c l a l rS i trtl ' rsottl /-i gi ri rungunberorci c4. D i bi rncl rngkani l crrgarr k i r i c l a ht r i r p t ' s i u r lg i i l ) t l l l g l l l lI.l a s i li n t e q n r s di r ' n l l a r kl a i c l a hS i r l l t s o n l a [ t u n g l r n j a u l r l e b i h b a i k . k ru -c n itlr l ' d eg i tl a tnval ebi h ti rrrgi . f i rpi acl l rkcl cntahi rnri vl .t,ui tu kai cl ah S i m p s o nl / l t i d a k c l i i p l rrtl i t c r a p k a n[ - r i l ai t r r r r l a h u l r a s c l i u r (ur r )g a nj i t .
IilI,IffKF I i r t t r 'n- r r l r i lIi e r p { - \ - ) . 1 \ t i t r n g u rni t c l t g g u l l t r k l ikni r i d a l rS i n r l t s o ni / j r l t r n i .lurrrllru l rl t l r s c i l r r r u r r r r i gc lI g r r n l r ktl rurr l r i l u lrrr = I 0 . l l l L rt a k s i r l l r lbr a t a sh a t a su l r a t n y a . l ' e n t ' el c s a i a n : L ii
.i'lbcl
_- r 1I I
- 0 ) / 1 0= 1 ; 1
r i r i k - r i t i kc l i t l u l u r rsr c i a n g[ 0 . l j t l c n s a rirt = 0 . 1 : I
I
) I
2 1
4
U
0.1 0.2
J, r.000000 0.990050 0 960789
0l
0 9 13 9 . 1 l
0.4
0.8-s2 I 44
5
05
0.778801
(r
(.). ()
0.691616
0i
0.6\262(r
8
08
4.5272()2
I
09 t.0
0.3(17819
r0
0.11448-58
N i l a i i n r e r g a sl (r . r ) c i i c l a l a n rs e . l a n gt 0 , I a c l a l a f r : I ! -
l e y r i - . r ' - t r lr
t^ (i
= lti3 (./,,* 411+ 2f. + + 41"5 + ?fa+ 4fi + 2ls + 4li, + /111 {/r + 2./'a ) = 0 l ( 1 0 0 ( X ) 0 ( ) + .r1 0 - 9 9 0 0 5+02 x 0 . 9 6 0 7 8 9 + . . . + 4 x 0 4 4 4 8 - s+80 . 3 6 l g j L ) ) = i) 74682-5
T a k s i r a ng n l a t ; r v a : /t'(t) = -4(.1v-r
Bafr6
I n t e g r a s iN u m e r i k
e9t
r'1.2 = -7'359' Polino = 2 . 5 + 0 . - S r / 1 0c.l c n g a r r - f 5 , + 0 5 r ' i l 0 ) N i l n i r r r i n i ' r L ' . / t ' ( . ) , , U " , . np a t l a . r ituada :etlangkanrrilaitrlaksitlrLtttr/J,('r)adalJpacla.r=0.clcngi.n/J)1())-l2.trrakal.ratas-batas ulilattt1'ltlclallth
Irt ll-
lE0
(l _()ix
n -0.(X X X X )-l i -; 1.;9(nri)=
= o.(XXX)0(. I tz(,,,,,k.t)
hrtegrar
sclang J i r t l i . g l i l a t i t t t c g r l t s i t t vL r .f i , , , , .t c r l c t . a k c l i c i a l a i l l
-0 .(X XX X)4 ( C ,,,,<0 .t)0 0 0 0 6 Di s rn rn i l a rs c j a ti1 i ra ru stc rl c ta kc l iantl u' a + 0.(100(X=)60-7216831 = 0 7 ' l (r821 cl an0 746' S 25 0 7 4 6 8 2 5- 0 .0 0 0 (X )4 Dengan
iltau
0 . 1 4 6 8 2<. 11 < 0 . 7 4 6 8 3 1
6.4"3 KoidohSimPson3/8
yang llte
yang l ebrh tel i ti l /3. ha' pi ran .i l ai i ' tegrasi S e' e r.tih a r.v a p a c rakra i d a h Si rn p sor-r berderaiat iebih ciapatclitingkatkanterus clengirn;;;gr;.'.f."n pofinom lnterpolasi ki ta harnpi r-i.dengan pol i nom t ing g i p u l a . M i s a l k a l ," k o ro n g f.tngri ./(i t sebagai hzrmpiranniliri integast iritei-polersiderajat 3. Luas On.ro'nyan; dihitung 6'll)' t.rseblt parabola(Gar-r-rbitr aclalahdaerahdi bawah kurva polii-rornderajat 3 data' titik buah 3, dibutr-rhkal.4 [Jntuk membentuk polinorn interpolasi derajat (3h' f(3h)) pr is a l k a nti ti k -ti tk re rs e b u r(0 , f(0 );, Qt,fl h),i zl r' t(zt' ,)), dan
Galat ka
J a d i ,k a i
= p. (t)
r '= I t ) S edangk
-O "' o - "
e9a
xt= h
xz=Zh
xz=3h
Gambar6.11 KaidahSimPson3/B Metorje Numerik
Bab6
lr
PolinorninterpolasiNewion-Gregory derajat3 1,angn r e l a l u ki e e r r r l t ibr lu a ht i t i k itu adalah
p t ( r )= . f l x 0 * i)o r r * r ) * # A j ( . r u )
+ , r ( r - l r X3i - 2 / r ) 3!ft
= /ir+ on,. !t#.t!Alt(,,,) i #A7, +
AX tr) (P 6.3-5)
l n te g ra s i p r(-r) d i d a l a m s el ang [0,3h] adal ah
! =
7lt
=
!.lrta,
[n,Gla.r
.l li
'G-!il--zn)n)(rn) ='i I tu* ltJ,,. "!:, 3l^% -rv * J rtu h 2!h: -r!ftr
,i
D e n g a n c u trap e n u ru n a ny a ng sama sepertipada kai dah
S i mpson l /3, cl i perol el r
3lt
r7h -;I J (^la, = 8 (lo + 3ft J + 3f: +.ft
(P.6.36)
J" o
U h n -\ t ;
yang merupakankaidhh Sinrpson3/g. GalatkaidahSin-rpson 3/g adalah
E =
).
*
tf 1li,)1r1
0
(P.6.37)
t.
J a d i ,k a i d a h S i mp s o n 3 /8 d i tambahdengangal atnyadeapat
di nyatakansebagai
fli
l f (x)dx = il
311 (Jo + 3Jr + 3t'2+fi) + O(hs) ;
S e d a n g k a nkaidahSimpson 3/8 gabunganadalah lt a I
I I ( t),l.r = J'
7lr
;
( Ji + 1ft + 3fz+ 2J.+ 3.fq+ 3J,+ 2fc,+ 3fi + 3.fs+ + ... ?f,t
* 2f,,-t* 3 f,,_z + 3.f,,,+.f,,)
= +(6+ 3 i , *,- i ,,*r,,, '.trtt Q ',' " ,1
=k,ti
(p638)
r*3.6.9.
Bab 6
IntegrasiNurnerrK
e93
per s a l ra i tn(P .6 .3 8 ) i l i tl u c l a h d i h afal kandengl n nl etl gi rl gi l tpgl a suku-sukl l nya:
Program
3.3.2. 3,3,2, ....2.3' 3, I
l, 3, 3. 2.
j uml ah trpasel ang(ri ) harus Nar nu np e n g g u n a a nk a i c l a hS i rn p son3/8 nrensyaratkan k e l i p a t a rtri g a . G alat k a i i l u h 3 /8 S i n tl ' rs i tng a tru n eanl rcl al ah ,ir
'
/
1.. = 5"Ii" i -
=
-l
'". 9:4.y,,',qr1 80h 11
=
1.,i,,t/)
'\ll
80
=
'r,-5 I:t
.,5\
\ - . 1 r r / 1 . , , , , ( /=) _ . r r r | l"io A h{o
\r
lD-uln / - \ tJL)
"i
t ' t ' ' l 1 r ),
0
( P . 63 e )
_ o(tf) sebagai Jadi, kaiclaii Sirnpson 3/8 clitelmbahclengarlgllzrtnya dapat dinyatakan
'r,.,,.
' ,-rt 9 , * , = 3 1( tJ,o, + I t ; u t , t r T J *r,*
'
6.4.4
F r +' rt;J, ")) '+r o\ ' \" l\ tI Ia \ ,=kot
i + 3 . 6 . 9.
galat kaidah Kaidah Sirnpson 3/8 memiliki orde galat yang sama dengan orde disukai lebih bia'sanya l/3 Sirnpson 1/3. Namun dalam praktek, kaidah Simpsol sudah (S i mpson 113) dar i p a d a k a i d a h S i mp s o n 3 /8 , karena dengarti i gu ti ti k rr untttk Tetapi ' dipe ro l e h o rd e k e te l i ti a n y a n g s a ma denganC ti ti k (S i mpson 3/8)' bukan dan kelipatan tiga, kita hanya dapat ,n"nggunakan kaidah Simpson 3/8' S im p s o n I /3 .
IVlisalkar tit ik dat r berjarak binasikan kaidah l, 1/3Simp kaidah 1, sedangka bertetang J adi,t at a (F) untul gunal (b) untul, t iga, i (c) unt uk gunal
e94
M e t o d eN u m e r i k
B a b6
In
Program6.4 KaidahSimpson3/g
6.4.4 Metode IntegrosiNumerikuntukh yong Berlcedobedo
rh ai Ih n ln
Misirlkanjarak antaratitik-titik datadalam selang bl tidak seragam. Beberapa la, titik data mempunyaijarakhy, beberapatitik data lain h2, sedangkan sisanya ber.jarak/rj' Integrasinumerik dalam r.lung la, bl dilakukandenganmengkombinasikan kaidahintegrasiyang sudahacla,misalnyakombinasikaidahtrape.sium, kaidahl/3 Simpson,dan kaidah3/8 Simpson.Berdasarkan orde galatnya,kaidah l/3 Simpsondan 3/8 Simpsonlebih teliii daripadakaidahrrapesium. Karenairu, kaidah 1/3 Simpsonditerapkanbila jumlah uias"lang yang berteranggagenap, sedangkan kaidah 318 Simpson diterapkan bila iumtan upaselang yang bertetangga ganjil dan kelipatantiga. Sisanyadihitungi.ngan kaidahtrapesiu,n Jadi,tata-ancangnya dapatdiri.gkas sebagaiberikut : (&) untuk sejumlah upaselangberturutanyang berjarak sama adalah genap, gunakan kaidah 1/3 Simpson (b) untuk sejumlah upaselangberturutanyang berjarak sama adalah kelipatan tiga, gunakan kaidah 3/g Simpson (c) untuk sejuumlahupaselangying tidak berjarak sama dengan terangganya, gunakankaidahtrapesium
Bab6
I n t e g r a sN i umerik
495
Contohnya dapat dilihat pada Garlbar 6.12. IJntpatbuah upaselangpertatna kardah Simpson l13 (karena;urnlah berjarak sarna,lebih baik t-ncltggunakan upaselanggenap).Tiga buah upaselangberikutnyaberjarak sama, lebih baik menggunakankaidah Simpson 3/8 (karenajumlah upaselangkelipatan3). Dua buah upaseiang berikutnya masing-masingberbeda lebarnya, maka setiap upaselangdihitungintegrasinyadengankaidahtrapesium'
Y:JU)
t, ,
lt ,
t,,
t,, t,,
Jo
,Y I
Xz
X3
Xq
Js
{ )
xe
.rtjg
'Y "9
I
E
rJ/
\)
9t
10
5t
Dar i t abe teori gala yang keci itu. maka orde met, se hingga implikasi ordc r end
trap
G a m b a r6 . 1 2 K a i d a h1 / 3S i r n p s o gn a b u n g a n
6.4.5 BentukUmum Metode Newton-Cotes Kaidahtrapesium,kaidahSimpson1/3,dan kaidahSimpson318adalahtiga buah metodeintegrasinurnerik perlamadari rnetodeNewton-Cotes.Masing-masingnya nrenglrampirifungsrflx) derrganpohnon-rinterpolasiderajat 1 (lanjar), derajat2 (kuadratik),dan derajat 3 (kubik). Kita dapatmenemukankaidah-kaidahlainnya polinom interpolasideralat4,5,6, dan seterllsnya. denganmenggunakan Bentukumum metodeNewton-Cotesdapatditulissebagai
S ebagaic
L
H a s i lp e r l l0 adalah I7
b
I rtra, '
l
6
1 1t
kaidahSimPson3/8 k a i d a hS i m p s o n1 / 3 6
J'
3 2,
,4
I tl
t,,
I
n,
t1
: a ltft'v;fo + wtft*
+ wz f z* ... * t1/tt "fu] E
(P.6.40)
n tt
o
n: n:
-- (b - a)/n, E menYatakangalat, dalam hal ini "/; : JU,) , x,- : a * rh, dan h sedangkancr dan w; adalah konstantariil seperti yang didaftarkan pada tabel berikutini :
496
M e t o d eN u m e r i k
Bab6
Intt
1l
E
l f , ',1i = I , 2 , . . . , n
G
I
v2
I
141
I
.l
U3 3/8 2t45
1331 l 32
5
-5l2ti 8
Io
6
|il40
1l
a l
I
15
lll)
t , 3f "
1-rrtpe siunr
ll90 tt5 f'r (r -3180 h 5f
t2
32
-s0 5 0
7 l5
l9
2 l ( r 21 212 )7 216 J I
Nama
I/3 Sinrpson 3/ti Sirnpson
-8t945h1f6 - 2 1 5 1 1 2 0 9h(-tJ ' a
Boolc-
r)t1400 t;' J.'l
- 8 1 8 3 / - 5 1 s 4/0re0Tt t r 15t 3511 1323 2989 2981) l 323 ls77 751 ( 8 / l - 1 1 7 - s 989 5888 -928 l0-19(r -,+-5.10 2368146177-5 /r rrl' ro) 1049(r -928 .5888 989 r)/fi96(x) 2 1 i . 5 7I - s 7 4 t l 0 g 0 I 9 . 1 4 4 116lr) | I ttt' 1t11280
I 7 - t lI
l0
512e9316
5 7 8 8 - s 7 8 81 9 3 4 4 | 0 8 0 I . 5 7 - 1 1t 8 5 7 16061 I ()(1300-.1852.5 272400 -260-s50427368 -2605-50 272400 -48525 I 06300 I 0067
ltt .f
- r3 4 6 3 5 0 / -726918-592 /rrr/' 'r
D a ri ta b e l d i a ta s n i l a i -n i l a i x ' akan semaki n besar dengan membesel rnyan. D ari teori galat sudah diketahui bahwa penguranganbilanganyang besardenganbilangan yang kecil di dalarn komputer dapat menyebabkangalat pembulatan.Karena alasan itu. maka metode-metode Newton-Cotes orde tinggi kurang disukai. Alasan lainnya, orde metode menyatakan ketelitian hanya iika ranah integrasi [a, b] cukup kecil s e h i n g g a tu ru n a n fu n g s i h a mpi r tetap di dal am ranah ni l ai tersebut. S ebagai irn p l i k a s i n y a t,m e to d e N e w to n - C otes oi -deti nggi ti dak l ebi h tel i ti dari padametode or d e re n d a h b i l a tu ru n a n n y hb erubahsecarasi gni fi kan di dal am ranah tersebut. S e b a g a rc o n to h a d a l a h p e rh i tungani ntegrasi
/(
L-
lI ' ,lLQ+Zcosx)2+ 4sin2xf clr - .... 0
H a s i lp e r h i t u n g a nL d e n g a nm e t o d eN e w t o n - C o t e os r d en - 2 s a m p a io r d en = l0 adalah: rt -2, tr=3, n-4, n=5. rt-6.
Bab6
L= 8.01823 L=8.00803 L-J.99993 L=1.99996 L-8.00000
I n t e g r a sNi u m e r i k
n-J L=8.00000 ru=8 L-8.00000 n=9 L-8.00191 n - 10 L -1.99201 Nilai integrasisejatiL - 8.00000
?97
n a si l i ntegrasi )/ang ni l ai nya sernaki n ti dak bagus Has il c l i a ta s rn e n g g a rtrb a rk a h dengan semakintingginl,a orde metodeNewton-Cotes(rr). Dari n = 2 sampai rt = 8. nilai L m e n d e k a ti h a s i l s e j a ti , 8 .00000. S etel ah n = 8, gal atrrya meni ngkat. Perringkatangalat disebabkan oleh galat penarnbahandan pengurangan bilanganbilang a n y a n g s a n g a tb e s a rd i d a l am rnetodenya[N A K 92]
6.5 Singulqritos
Persarrr
Kita akari kesulitan rnelakukan mengliitung integlasi numcrik apabila fungsi tidak terdefenisidi x = r, dalarnhal ini u 1t < b. Misalnya dalarnmerlghitungintcgrasi
'( a
t, -
f c o s ( , \ ),
) at ar
Singule seder ni
J l rI t .
fungsi./i-r)= cos,r/r/.rjelas tidak terdefinisidi x = 0 (ujungbawahselang)' Begitu jugaapabila perhitungirn integrasi
Uhahlah
1 ' 1
I - l-I-d, -l
,
^ -) J-x (r.
sehingga
h = 0.1, titik diskrit di x =l tidak dapatdihitungsebabfungsiJU) = menggunakan l/(.r-1) tidak terdefinisidi x - 1. Fungsiyangtidak terdefinisidi x = /, untuk crSt fungsisingular -
Penyeles FungsiI Misalkan
lt -
hasil untuk a St -
Batas-bat; A I
I lr-
maka
integral lJ" dihitungdengankaidahtrapesium. ,; Tinjau kembali galattotal padakaidahtrapesium: E,,,, = -
=-
,3 ll
t2 ,3 l't'
12
z9a
(fo" +ft" + ... *f " n-t) n-l
Yr' .LJI
'i=0
M e t o d eN u m e r t K
Bab 6
ln
us 8. at.
; Jr,x)d.r
tlt-
It'
ul f
' t t : -l
J' tu)l
( P 6 . 4l ) b
f Persan'ra. (P.6..11 ) 'enyir-atkanbarrwagalatinteg-asi I f (xld.t akanbesarapabila.l J-
iak
'(rr) '(b) a t a uf tidak ada.
(l
Si n g u l a ri ta tsh a rtts d i h i l a ngkan dengan cara memani pul asi persarnaan trngri s e d e m i k i a ns e h i n g g ai a t i d a k s i n g u l a i l a g i .
rtu
U b a h l a hfu n g s ii n rc .{ r-a s i I
) , f c o s ( r_rl"l-
, r =
;-_
(, v r s e h i n g g am e n j a d iti d a ks i n g ul arl agi , l -
_(y
Penyelesaian: Fun,usif(x) = cos(x)/r,/.r tidak terdefenisidi ,r = 0. Misalkan .\ = Ltt
ch -2ttclu
-)
B a t a s - b a t a ss e l a n g i n t e g r a s ij u g a b e r u b a h - f -
-) -)
,l'=0 -r=l
L,
:an
r/=Vx=0 Lt={x=l
maka
pcos(x), /, = l__T_r/.r ; v,r I
).
= f:"t('-]( Ju
2u)du
0 I
I -
l r
)2cos(u')du
+ r i d a ks i n g u l alra g i
0
Bab 6
I n t e g r a sN i umerik
499
rili!firiE L l b a h l a hl ' u n g s ii n t e g r z r s i I fr-
I -
lr/.r t/.i I
() s c h i n g g ur n c n . j a dti i c l a ks i n - i l u l a lra - e i l\{isalka Penyelesaian: F u n g s i l ( . r ) = r / . rs r n g u l l t t - s c b a tbu r u n a n n y i l Batas-hi
I ./'(,r)= ^ r 2l .r t i d a k t e r d e { ' i n i sci l i , t = 0
Makl.
Misalkan x = Lt2-> d.r = 2u dtt Batas-batasselang integrasijuga berubah x=0
--)u={x=0
x=l
-)LL=!x=l
Menging
maka ll
t - lJ" /.. = 12,,2 ,1,, JJ
- + t i d a k s i n g u l a rl a g i
I
rnaka
00
|ffi,lilil?ri U b a h l a h f u n g s i i n t e g r a s ib e r i k u t s e h i n g g amenj adi tidak singul:rr: I
r-l
f I
0
dr
.rc;
Ulaikan ( I
Penyelesaian: tiduk t e r d e f e n i sdi i r = 0 d a n " r = FungsiJ(,x)= t /ri(sinrX I ab a g i a n I,y d a n 1 2 : i u "t) P ec a hi n te g ra1l me n j a d d
I2 I
Misalkan
300
M e t o d eN u m e r i k
Bab 6
Int
€
1 1 . s i n - e u l adr i r = 0 l t . , s i n g u l a r r =
( l r - n s l l n( ) < r r < I
Nlisalf:an _\ = rr
-l
-)
tl.x = 2tt tltt
Blrtlrsh - i r t l t : r r t t cg r ' ; . r : i .\'=
-J
(1
// =
V(l
,r=(J ->rr=0 Nlaka.
J;
2u du
,iI 1G*'rF-7)
L-
-2
J; |
ulu
I
0
Mengingat
l i m s i n ( u2 ) -l t/ -+ 0 ,,' maka
J; l_') tl
z
f+
,i J(l - ,,o) I
U ra i k a n( I -
du -->ti daksi ngul arl agi
- + t i d a k d a p a t d i t e r a p k a np e m i s a l a nx = L t 2
) men.jadi( 1 - . r ) ( 1+ , r + x 2 )
t' I
Iz=
J Jffi
dx
Misalkan l -x=,r'--,
B a b6
cl.r= 2u du
I n t e g r a sNi u m e r i k
301
6.6.
B atas-ttiitttsintt:grasi
^ J l(- , r . ) = 0 1(l-rr)
Panda
-2u du r
l r + (r u
t
y a n gd
clu 0
.tl--
=l
du
I
I J ()
-,'l (, ,,'-uu) J[''"(,
-)
dengan ti daksi ngul arl agi a n t a rt i i
dapat dilihat di [NAK93] halaman 140. Cara lain penanganansir-rgularitas
untukIntegrqsi 6.6 PenggunoonEkstropolqsi Misalkan I(h) adalah perkiraan nilai integrasi dengan jarak antara titik data adalah , impson l/3, dll) yang h ( h < 1 ) . D a r i p e r s a m a ng a l a t k a i d a hi n t e g r a s i( t r a p e s i u m S dinyatakan dalam notasi orde:
Secara
dengan ditentuki
[ - o(h r:1
l
dapat dilihat bahwa galat E semakin kecil bila digunakan h yang semakin kecil, seperti yang ditunjukkan oleh diagram garis berikut:
Tujuan c (improve daripada
arah h
J
Ekstrapot Nilai sejatiintegrasiadalahblla h = O, tetapipemilihanh - 0 tidak mungkin kita lakukandi dalam rumus integrasinumerik sebabia akan membuatnilai integrasi sama dengan0. Yang dapat kita peroleh adalahperkiraannilai integrasiyang lebih baik dengan melakukanekstrapolasike h = 0. Ada dua macam metode yangdigunakanuntuk integrasi: ekstrapolasi
J Eliminasi dan persi
il
1. EkstrapolasiRichardson Aitken 2. Ekstrapoalsi
30e
M e t o d eN u m e r i k
Bab 6
Int
6 . 6 . 1 Ekstropolqsi Richqrdson Pandang k er n b a l k r a i d i r ht r a p e s i u r n
tt " ", f f rr.. .. r). r. -l* r = ! (r f. J,r,r + 2 T- f L L , _fJ
rt
+' Jfr ,t ,, \ -
( b - u' )- [ " ( i , . , "hl2
i=t
y a n g d a p a td i t u l i s s e b a g a i l. P
|t " / t r ) r 1 r - l ( h ) + C h 2 tl
dengan l(lt) ztdala h integrasidenganmenggunakan kaidah trapesiurndengan jarak a n t a rt i t i k s e l e b a rt r d a nc _ @ - a ) f " Q )
t2
Sccaraunlum. kaidah integrasi yang lain dapat kita ditulis sebagai l)
- I (h)+ ch, Jr roa,
lah .ng
(P.6.42)
dengan C dan q adalah konstanta yang tidak bergantung pada h. Nilai q dapat ditentukanlangsung dari orde galat kaidah integrasi, misalnya k a i d a h tra p e s i u m, O(ht' ) k a i d a h t i t i k - r e n g a hO . (/r2) k a i d a l r l / 3 S i m p s o n .O ( / r r )
) )
q="2 q -2
J
Q=4
Tujuan ekstrapolasi Richardson ialah menghitung nilai integrasi yang lebih baik (intprot'e)dibandingkan dengan1. Misalkan adalah nilai integrasi yang l e b i hb a i k "/ d a ri p a d a1 d e n g a nj a ra k a nrarti ti k adalah h: J=l(h)+Ch't
(P.6.43)
Ekstrapolasikan /r menjadi2h, lalu hitung integrasinumeriknya J - I(2h)+C(2h)'t
e.6.44)
EliminasikanC dari keduapersamaandenganmenyamakanpersamaan(P.6.43) (P.6.44): dan persamaan I(h) + Chq - r eD + C(2h),1
Bab 6
I n t e g r a sN i umerik
303
l*+,16!,Gl
s e h i n g g ad r P e r o l e h
rlhl-t(zft)
(P6 4-5)
Hitungker
t1 ' |
(l
I
S u i i h k a n( P . 6 . 4 - 5k) e d a l a r n( P . 6 . 4 3 ) u t i t u k n r e r n p e r o l e h :
0
I (lr)- I (2h\ " l= l ( h ) + - - : : - - - l
(P6.46)
tlcngan ttttr t l c n . u u tkt a i
ekstrapol:rsi Ricahrdson. h'kstrapolasi Richiirdsop ),i'tg-ltcrupakap pcrstiltlailrl dupat k it tt a rti k a n s e b a g a tib c ri k u t:
Penyclesai
2't
dengan dengankai dahyangs-udah.baku M u l a -mu l ah i tu n g l a hn i l a ii n te g rasi hi tung kemudi an m endafatkan/(h), j a ra ka n ta rti ti ks e l e b a rh u n tu T< memperol eh k e m b a l in i l a ii n te g ra soi e n g a nj arakantarti ti ksel ebar2h untuk menggunakan d e n g a n b a i k l e b i h y a n g n i l a i i n t e g r a s i h i t u n g l(2h).Akhirnya, p e r s a m a a (nP ' 6 . a 0 ) .
upl JLrrnlah Tabel titik-
ki ta tel ah rnel akukan P er hat i k i rr.rl a hb a h w a l i k a p e rn y a taatr di atas di bal i k. Urutan pengcrlaan g I(t)' hitun ekstrapolitstmenu.iuh - 0, yaitu kitu hitung l(Zft) ialu akhi rnya' ( lQ h) a ra u I(i r) l e b i h d u l u ) ti d a k me mpengaruhisol usi trapesium (q = 2), maka Sebagai conroh, bila /(/r) danI(Zh) dihitung dengan kaidah ekstrapolasiRichardson-nya adalah
J-t(h)+
I 3
(P6.47)
I l(tr) - I(Ztt) ]
(q dan bila 1(lr) dan l(2lt) dihitung dengan kaidali l/3 Simpson ek s t r ap o l a s i R i c h a rd s o n -n y aa d a l a h J-l(h)+
I l5
t 1(h)- I(Ztt) )
- 4). tnaka
1 ( l ) a c l a l a hr
I(lt
( P . 64 8 )
p e r s a m a a n( P ' 6 ' 4 1 ) d a n P e r h a t i k a n l a hb a h w a s u k u 1 1 3| I ( h ) I ( 2 h ) I p a d a faktor koreksi ' s uk u l /l -5 l l (1 1 ) - I(\h )) p a d a p " .rurnun (P 6.48) merupakar-r ni l ai ytl ng l ebi h rnenj adi (h ) di ti ngkatkzrn dapat A r t iny a . n i l a i ta k s i ra n i n te g ra s i faktor koreksi tersebut. baik dengan meniwrbaihkar-r
I(2h) aclalalr
I(2t
304
Metode Numertk
Bab 6
Intel
ctr,?till?r' Hitunskcllbali intcclal I fl
(1{
l_
Jl+-r
r,)
t l cn g a n r i r cn q g L l n t r kna c k s t r i t l t c l l l i sR i c h a r c i s o n . i l c n g l i n k l i d a h t r r p r - s i u n rc l r - r/nz = 0 . 1 2 5 .
i n i 1 ( / r )d a n I t 2 l t ) c l i h i t L r n s
I)ent'clcsaian: .lutttlrru h p a s c l a n - ur r: = ( I - 0 ) / 0 . 1 2 - 5 = 6 'frrbcl t r t i k - t i t i kc l i d a l a n rs e l a n g[ 0 , I ] d e n ga n h = 0 . 1 2 5 . xr
I
0
6
0 0 . 12 5 0.250 0.37 5 0.500 0.625 0.750
1
0.875
I
2 3 A
X
1.000
I
0.8ti889
0.80000 0.72721 0.66661
538 0.61 0.57143 0.53333 0.-50000
/ ( f t ) a c l a l a hn i l a i i n t c g r z i s d i c n - 9 a nk a i d a h t r a p e s r u n 'nr l e n g g u n a k a nh = 0 . 1 2 5 : i I t L r r\ttr -
el |
= ltl2 (Jo + 2J1+ 2f2 + Zfi + 2fa + 2f5 + 2J6+ Zfi + ls)
I
l-(lx
Jl+ r 0
= 0 . 1 2 5 1 i2l + 2 ( 0 . 8 8 8 8 9+) 2 ( 0 . 8 0 0 0 0+). . . + 0 . 5 0 0 0 0 ) = 0.(tt)412
I ( 2 l t ) i r c l a l a hn i l a i i t t t e - u r a sdi e n g a n k a i d a h t r a p e s i u n im e n g - q u n a k a n 2h = 0.250 l
I(2lt) =
| Jl+-r 0
r/.i
= (2h)12(.6 + 2f2 + Zfa+ 2f6 + fs)
= 0 . 2 5 0 1 2 +1 12 (0 . 80000)+ 2(0.66661)+ 2(0.51143)+ 0.50000) = 0.69102
Bab6
I n t e g r a sNi u m e r r k
305
N i l l l i i r l t c g | t i s iy a n g l c L l i hb a i k . J . t l i p c r t r l c h c l e n s i i nc k s t r p o l e s iR i i : h a r - c l s o n : J = t ( , , ,*
vitllg lnc
Sir npr . sur C'unt olr ek-strapro Si l n p s o r r
t(h)- I()lr\ 2 ' r- l
- \ ' a n gc i a l i i r l lh a l i r i . q = ? . k l t r c t t t rI ( b c i a n1 ( 2 / l ) c l i h i t u n gc l e n u a nk a i c l a ht r l p c s i u n r ( y a n . c n r c n l p L u t \ / loi rr d c g a l a t = 2 ) J = 0.(t9J,r *
( ) ( r ' ) - 1 1 2 _ -609 7 0 2 1-
r
Pcl'.san'rl tl i rLrr-un l.
= 0 6r)31-5
I l t c t ] L tt - u I
I{ichar d: nr ir kuck
J a t l i , t a k s i ' a ' r r i l a r i n r r - g r u svi r r r r gl e h i h b a i k a c l a l a h0 6 9 3 1 - 5 B a n d i n _ s k a cn l c n g a nn i l a r i n t c g l ' l r ssi c . j a tni y a : ,,
.r=l
l
= l n ( 2 t- I n (I ) = 0 . 6 9 31 4 7l 8 t i - r= l n ( l + r t I Jl+.r r=(J (t 1 ' a t r ga P t t l r i l ad i b u l a t k a nk c c l a l a n r5 a n , v k ab e n a , f 0 . 6 9 3 l 4 7 l g 1 = 0 . 6 9 3 1 - 5 h, a s r l n y a i c p a r s l l l l l ac l c n g i i t ln i l a i i l l t c g l ' i t syi a n g c l i h r t u n g dengan"ekstrapolaR s ii c l i a r c i s o n . r
)/altg ber
ka idah s Bila ekst inte6gasi'' ekst r apol
Perlihatkanbahwa b.ila /(h) dan l(2ll clihitungdengan kaidah trapesiurri,rn'ka persanraan e k s t r a p o l a sR i i c h a r d s o nm e n y a r a k a n k a i d a h S i m p s l o nV 3 . Penyelcsaian: K a i c l a h l / 3 S i n r p s o nu n t u k s c p a s a n - q u p a s e l a n ga d a l a i i ( l i h a t
r-
6.6.2
Gambar 6.10) adalah
Metode i untuk m peneraparl solusinva
2lt
lf r,1,1,
I(lt) dttn I(21) trdalzthperkiraan hasil integ'asi dengan kaidah trapesium men-qgunakanpias t n a s i n g - n i l s i n _s9e l c b a rh. d a n 2 h :
o
I(ll) =',',!],llo y f) + "1,(ft + ft) -' ,,1.lf,,+ zJ1+ J2) I(zh) - t:,,/)( .fo+1) = h(fo; i) _
Mi sa lnya, l O(ht), rne O(/z*).S"la R i ch ar dso
Ekstrapolasi Richardson-nya (q = 2): ,1
1 = I(h)*,tr(h)-r(2h)l = = = -
306
Tinjaau ke
t,l2 (fo+ 2f, +fz) + t/, (,,1, Vo+ 2f,+fz) _ h(fo+fz)) t, /2 (fo + 2ft + J) + ,'ru(f, + 2f1+"J2)_ ,li, (fo * fr) t' n n I 2 fo + tt t + "I 2 f . + t,I s *"','/, fo fr-* I uk" -- l r"f, -,,l r .fr. ,'/, + l{1 +,,lrf,*,,1r.f, * ^,r-i"_ nt-'f, lo+t,,l,.ofr_,,lr,fo ',1 t,,l ,,lt , fo + . f, + fz "1, (fq,+ 4J'1+ f2)
J=
Misalkan1 I_
M e t o d eN u m e r i k
j r". r"
.J
