BAB 1 BESARAN VEKTOR. A. Representasi Besaran Vektor

BAB 1

BESARAN VEKTOR

TUJUAN PEMBELAJARAN

1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahan vektor secara grafis dan matematis 3. Melakukan perkalian vektor dengan besaran skalar dan vektor lain Mempelajari fisika secara utuh dan mendalam tidak bisa dilakukan tanpa memahami aturan-aturan pengoperasian vektor. Sebagaimana telah dipelajari di sekolah menengah, sebagian besaran hanya dinyatakan dengan nilai (magnitude) dan satuan saja, sementara sebagian besaran lainnya dinyatakan dengan nilai, satuan, dan juga arah. Besaran-besaran jenis pertama dinamakan besaran skalar sedangkan besaran-besaran jenis kedua dinamakan besaran vektor. Contoh dari besaran skalar adalah jarak, kelajuan, massa, suhu, waktu, tekanan, usaha, dan energi. Sebagai contoh misalnya waktu, kita cukup mengatakan satu menit, satu jam, atau satu hari untuk menyatakan selang waktu tertentu. Adapun contoh dari besaran vektor adalah perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, momentum, impuls, dan momen gaya (torsi). Perpindahan misalnya, ketika seorang siswa mengikuti latihan baris-berbaris, lalu ada instruksi dari pelatihnya untuk melangkah beberapa langkah tanpa menyebutkan arah, maka siswa tersebut kemungkinan besar akan kebingungan. Ke arah mana dia harus melangkah? Ke kanan, ke kiri, ke depan, ataukah ke belakang? Oleh karena itu, besaran perpindahan memerlukan arah sehingga merupakan jenis besaran vektor. A. Representasi Besaran Vektor Besaran vektor biasanya dilambangkan dengan huruf kapital dan dicetak tebal atau bisa juga huruf biasa (tidak tebal) namun dengan anak panah diatasnya. Pada buku ini, besaran vektor ditandai dengan huruf (kapital atau tidak) yang tegak dan dicetak tebal. Secara geometris, vektor

Bab 1 Besaran Vektor

2

direpresentasikan dengan anak panah. Arah anak panah menyatakan arah vektor dan panjangnya menyatakan nilai vektor.

B A Gambar 1. Vektor perpindahan seekor semut pada selang waktu tertentu

Sebagai contoh, pada Gambar 1 ditampilkan lintasan gerak seekor semut dalam selang waktu tertentu. Mula-mula semut itu berada di titik A lalu bergerak dengan lintasan yang ditunjukkan oleh garis putus-putus dan akhirnya sampai pada titik B. Besar perpindahan yang dialami semut adalah sama dengan panjang garis lurus yang menghubungkan titik A dengan titik B, dan arah perpindahannya adalah dari titik A menuju titik B. Perpindahan semut itu secara grafis diwakilkan oleh anak panah dengan pangkal berada pada titik A dan kepala berada pada titik B. Anak panah ini selanjutnya disebut sebagai vektor perpindahan semut. Selanjutnya pada Gambar 2 diberikan contoh dua buah vektor berbeda yang diberi nama vektor dan vektor .

A2 A1 (a)

(b)

Gambar 2. Contoh dua buah vektor dengan nilai dan arah yang berbeda (a) Vektor (b) Vektor

Vektor memiliki nilai dan arah. Nilainya disimbolkan dengan atau | |, yang mana secara geometri direpresentasikan oleh panjang anak panah. Arah vektor adalah ke kanan atau membentuk sudut 0 terhadap horizontal. Sementara itu, vektor memiliki nilai atau | | dan arah terhadap horizontal. Tampak bahwa nilai vektor lebih besar daripada nilai vektor .


3

Suatu vektor lebih mudah dianalisis jika digambarkan pada sistem koordinat cartesian, seperti vektor pada Gambar 3 (a) dan vektor pada Gambar 3 (b). Vektor-vektor tersebut dapat diuraikan pada tiap-tiap sumbu koordinat. Penguraian vektor pada suatu sumbu koordinat dilakukan dengan memproyeksikan vektor pada sumbu tersebut. Vektor dalam koordinat dua dimensi dapat diurai menjadi dua vektor komponen, vektor komponen pada sumbu x dan vektor komponen pada sumbu y. Sementara Vektor yang berada pada koordinat tiga dimensi dapat diurai menjadi tiga vektor komponen, , and secara berturut-turut adalah vektor komponen

(a)

sumbu x, sumbu y, dan sumbu z.

(b)

Gambar 3. Vektor dalam koordinat cartesian dan penguraiannya

Pada Gambar 3 (a), vektor S diuraikan menjadi dua vektor komponennya, maka jumlah kedua vektor komponen tersebut sama dengan vektor S, =

+

dengan = vektor komponen dari vektor S pada sumbu x = vektor komponen dari vektor S pada sumbu y Berdasarkan gambar, nilai vektor yaitu dengan nilai-nilai dari vektor komponennya, menggunakan teorema pitagoras, yaitu = dengan

+

dapat dinyatakan dan dengan


4

= nilai vektor = nilai vektor komponen = nilai vektor komponen Sementara itu, vektor T pada Gambar 3 (b) terurai pada tiga sumbu, maka hubungan yang berlaku adalah =

+

+

dengan = vektor komponen T pada sumbu x = vektor komponen T pada sumbu y = vektor komponen T pada sumbu z Nilai vektor T, yaitu jika dinyatakan dalam nilai-nilai vektor komponennya yaitu , , and dengan menggunakan teorema pitagoras, diperoleh =

+

+

dengan = nilai vektor T = nilai vektor komponen = nilai vektor komponen = nilai vektor komponen B. Vektor Satuan Vektor satuan adalah vektor tak berdimensi yang memiliki nilai sama dengan satu. Vektor satuan dilambangkan dengan huruf yang dicetak tebal dan diberi tanda “topi” di atasnya. Oleh karena tidak memiliki dimensi maka vektor satuan bukan lah vektor dalam arti yang sebenarnya, ia hanya membawa informasi arah saja. Pada sistem koordinat cartesian, didefinisikan vektor satuan pada $ masing-masing sumbu. Vektor-vektor satuan tersebut adalah ̂, "̂, dan # yang secara berturut-turut mengarah pada sumbu x positif, sumbu y positif, dan sumbu z positif, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.


5

Dengan adanya definisi vektor satuan $ maka sembarang vektor dalam ̂, "̂, dan # koordinat cartesian dapat dinyatakan menggunakan vektor-vektor satuan tersebut. Vektor S dan T pada Gambar 3 sebelumnya, jika dinyatakan dengan vektor satuan maka menjadi = S& ̂ + S' "̂ =

̂+

"̂ +

$ #

z $ # ̂

"̂

y

Gambar 4. Vektor satuan pada sistem koordinat cartesian

Selanjutnya, kita juga dapat mencari vektor satuan pada sembarang arah, misalnya vektor satuan yang searah dengan vektor . Vektor satuan ini diperoleh dengan membagi vektor dengan nilainya sendiri, . Vektor satuan ini dilambangkan dengan (, dan disebut sebagai vektor satuan dari . (=

Contoh Soal Posisi titik A (-6,6) dan titik B (5,2) dalam koordinat cartesius masingmasing dinyatakan oleh vektor ) dan vektor )* . a) Nyatakan vektor ) dan )* dalam ungkapan vektor satuan adalah ̂, "̂, $ , serta tentukan vektor-vektor komponennya masing-masing ! dan # b) Tentukan vektor satuan dari vektor ) dan vektor )* Penyelesaian a) Vektor ) = −6 ̂ + 6 "̂, komponennya adalah ) = −6 ̂, dan ) = 6 "̂ Vektor )* = 5 ̂ + 2 "̂, komponennya adalah )* = 5 ̂, )* = 2 "̂

b) Vektor satuan dari )

Bab 1 Besaran Vektor ). = ). = ). = ). =

6 Vektor satuan dari )* : )* ).* = /0 5 ̂ + 2 "̂ ). = √5 + 2 5 ̂ + 2 "̂ ). = √29 3 ̂ 2 "̂ ). = + √29 √29

) 45

−6 ̂ + 6 "̂

6(−6) + 6 −6 ̂ + 6 "̂ 6√2 − ̂ + "̂

). = −

√2 √

̂

+

"̂

√

C. Penjumlahan Vektor Penjumlahan vektor hanya dapat dilakukan terhadap besaranbesaran yang sejenis. Penjumlahan vektor dapat dilakukan secara grafis maupun menggunakan vektor komponen. Penjumlahan vektor secara grafis dapat dilakukan dengan metode jajargenjang dan metode poligon. 1. Metode Jajargenjang Vektor A and vektor B pada Gambar 4 merupakan vektor-vektor sejenis. Penjumlahan kedua vektor dengan metode jajargenjang dilakukan dengan membuat dua garis putus-putus yang masing-masing sejajar dengan vektor A dan B. Garis putus-putus yang sejajar dengan vektor A diletakkan di ujung vektor B, dan garis putus-putus yang sejajar dengan vektor B, diletakkan di ujung vektor A. Hasilnya, diperoleh bangun jajar genjang yang dibentuk oleh kedua vektor dan kedua garis putus-putus tersebut. Resultan dari vektor dan B adalah sebuah vektor yang terletak pada diagonal jajar genjang tersebut dengan titik pangkal berimpit dengan titik pangkal kedua vektor (Gambar 5). := 9

*

9

+*

*

Gambar 5. Penjumlahan vektor A dan B dengan metode jajargenjang


7

Jika nilai vektor A dan vektor B diketahui serta sudut yang dibentuk oleh keduanya diketahui maka nilai resultan vektor R dapat diperoleh dengan menggunakan rumus cosinus, yaitu ;=6

+ < + 2 < cos 9

dengan = nilai vektor A < = nilai vektor B 9 = sudut yang dibentuk oleh vektor A dan B 2. Metode Poligon Penjumlahan vektor dengan metode poligon disebut juga dengan penjumlahan vektor dengan metode segibanyak. Jika vektor yang dijumlahkan hanya dua buah maka disebut juga dengan metode segitiga. Penjumlahan beberapa vektor dengan metode poligon dilakukan dengan menggeser vektor kedua sehingga pangkal vektor kedua berimpit dengan ujung vektor pertama. Selanjutnya vektor ketiga digeser posisinya sehingga pangkalnya berimpit dengan ujung vektor kedua, begitu seterusnya sampai vektor teraktir. Resultan vektor dari penjumlahan ini adalah suatu vektor dengan titik pangkal yang berimpit pada pangkal vektor pertama dan ujung yang berimpit dengan vektor terakhir. Perlu diketahui bahwa suatu vektor dapat digeser posisinya dengan syarat panjang dan arahnya tetap sama. * * (a)

: (b)

: * (c)

Gambar 6. Penjumlahan dua vektor

Sebagai contoh, pada Gambar 6 (a) terdapat dua vektor sejenis, vektor dan vektor *. Penjumlahan keduanya dilakukan dengan menggeser vektor B sehingga pangkalnya berimpit dengan ujung vektor A. Maka vektor resultan :, dimana : = + *, adalah suatu vektor dengan titik pangkal yang berimpit dengan titik pangkal vektor A dan


8

ujung yang berimpit dengan ujung vektor B, Gambar 6 (b). Hasil yang sama akan diperoleh jika * + . Pada Gambar 6 (c) terlihat bahwa : = * + . Dengan demikian, berlaku sifat komutatif pada penjumlahan vektor, yaitu : = + * = * + . Lebih lanjut, jika tiga buah vektor dijumlahkan, misalnya vektor , *, dan C , maka caranya dengan menggeser vektor * agar pangkalnya berimpit dengan ujung vektor , setelah itu menggeser vektor C agar pangkalnya berimpit dengan ujung vektor *, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 7. Maka diperoleh resultan vektor, : = + * + C

C

*

*

C

:

Gambar 7. Penjumlahan tiga vektor

3. Metode Vektor Komponen Sekarang mari kita lihat bagaimana menggunakan metode vektor komponen untuk menjumlahkan vektor secara matematis. Anggap kita memiliki dua vektor, dan *, yaitu =

̂+

"̂

* = < ̂ + < "̂

Jika dijumlahkan maka resultannya adalah : = +* ̂+ :=D "̂E + (< ̂ + < "̂) ̂ + < ̂) + ( "̂ + < "̂) :=( :=(

+< ) ̂+D

+ < E "̂

Sementara itu, vektor : dapat dinyatakan dengan vektor satuan, : = ; ̂ + ; "̂

maka diperoleh nilai vektor komponen dari :, yaitu ; = +< +< ; =


9

Contoh Soal Pada gambar di samping, diberikan tiga vektor gaya. Tentukan resultan dari ketiga gaya itu menggunakan metode jajargenjang, poligon, dan vektor komponen! Penyelesaian Penjumlahan dengan metode jajargenjang dan poligon diberikan oleh gambar berikut.

(a) Metode jajargenjang

(b) Metode poligon

Tampak bahwa resultan vektor yang diperoleh dari kedua metode ini adalah sama. Jika dinyatakan dalam vektor satuan, resultannya adalah F: ≡ F + F + FH = 10 ̂ − 2 "̂ Sementara itu, untuk menjumlahkan dengan metode vektor komponen, terlebih dahulu kita harus menuliskan ketiga vektor dengan ungkapan $ . Dari gambar diperoleh vektor satuan ̂, "̂, dan # F = −4 ̂ + 4"̂ ,

F = 9 ̂ , dan

FH = 5 ̂ − 6"̂

Maka resultan dari ketiga vektor itu adalah F: = F + F + FH F: = (−4 ̂ + 4 "̂) + (9 ̂) + (5 ̂ − 6 "̂) F: = 10 ̂ − 2 "̂ Hasil ini sama dengan yang diperoleh sebelumnya. Namun, metode vektor komponen lebih mudah digunakan.


10

D. Pengurangan Vektor Pengurangan vektor adalah penjumlahan suatu vektor dengan vektor negatif. Jika vektor dikurangi dengan vektor * maka sama dengan vektor ditambahkan dengan negatif dari vektor *. −* =

+ (−*)

Negatif dari vektor * yaitu vektor −* adalah suatu vektor yang memiliki nilai sama dengan vektor * namun berlawanan arah. Pada Gambar 8 (a), diberikan vektor , *, dan C. Negatif dari ketiga vektor tersebut ditunjukkan oleh Gambar 8 (b). C

−

*

−C

−*

(a)

(b)

Gambar 8. (a) Vektor , *, dan C

(b) Negatif dari vektor , *, dan C

Dengan menggunakan vektor negatif, prosedur pengurangan vektor secara prinsip sama dengan penambahan vektor. Berikut ini diperlihatkan hasil dari pengurangan vektor : − *, * − C, dan * − . −*

*−C

−*

* (a)

−C

*

(b)

Gambar 9. Pengurangan vektor (a)

−

*− (c)

−*

(b) * − C

(c) * −

Jika vektor dapat dinyatakan dalam vektor-vektor komponennya, pengurangan vektor dapat dilakukan secara matematis. Misalnya =

̂+

"̂

* = < ̂ + < "̂ Maka pengurangan vektor −* =

̂+

dengan vektor *

"̂ − D< ̂ + < "̂E

Bab 1 Besaran Vektor ̂− < ̂+

−* =

−* = (

−< ) ̂+D

11 "̂ − < "̂

− < E "̂

Contoh Soal Tentukan hubungan yang benar dari vektor-vektor kecepatan pada tiaptiap gambar berikut! JH

J

J (a)

J

JH J

JH J

(b)

J (c)

Penyelesaian Hubungan vektor dapat dicari dengan menggunakan metode poligon pada penjumlahan vektor. Pertama menentukan titik acuan, misalnya titik sudut sebelah kiri bawah segitiga. Setelah itu, tentukan arah putaran, misalnya jika arah vektor searah dengan arah putaran jarum jam, maka bernilai positif, dan jika berlawanan arah maka negatif. Untuk gambar (a)

Untuk gambar (c)

J + (−JH ) + (−J ) = 0

−J + JH + J = 0

J − JH − J = 0

J = J + JH

J + JH = J

Untuk gambar (b) J + JH + J = 0

J + J + JH = 0 E. Perkalian Vektor Suatu vektor dapat dikalikan dengan konstanta, besaran skalar, atau dengan vektor lainnya. Jika vektor dikalikan dengan suatu konstanta atau besaran skalar positif, misalnya K, maka hasilnya adalah vektor K ,


12

yaitu suatu vektor dengan arah sama dengan vektor dan bernilai K . Namun jika dikalikan dengan konstanta atau besaran skalar negatif −K,

maka hasilnya adalah vektor – K , suatu vektor yang memiliki arah berlawanan dengan vektor dan bernilai K . Sementara itu, perkalian vektor dengan vektor tidak sesederhana perkalian vektor dengan skalar atau konstanta. Terdapat tiga bentuk perkalian vektor dengan vektor, perkalian titik (dot product), perkalian silang (cross product), dan perkalian dyadic (perkalian tensor). Masingmasing memiliki aturannya sendiri. Pada modul ini hanya akan dibahas dua bentuk perkalian, yaitu perkalian titik, dan perkalian silang. Adapun perkalian dyadic akan dipelajari pada Mata Kuliah Mekanika. 1. Perkalian Titik Perkalian titik dua vektor menghasilkan besaran skalar. Perkalian titik vektor dan vektor * didefinisikan sebagai ∙* =

< NOP 9

dengan 9 adalah sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut. Interpretasi geometris perkalian titik vektor dan vektor * adalah perkalian skalar antara panjang vektor * dengan panjang proyeksi vektor A pada vektor B (Gambar 8.a), atau perkalian skalar antara panjang vektor A dengan panjang proyeksi vektor B pada vektor A (Gambar 8.b).

9 0

= (a)

(a)

cos 9

*

*

(b)

Gambar 8. Interpretasi geometris perkalian titik ∙ * = ( NOP 9) < (b) ∙ * = (< NOP 9)

Jika vektor dan vektor * dinyatakan dengan dalam vektor satuan, maka perkalian titiknya diuraikan sebagai berikut


∙* =D ∙* = ∙* =

̂+

13

"̂E ∙ (< ̂ + < "̂)

< ( ̂ ∙ ̂) + < +

<

< ( ̂ ∙ "̂) +

sedangkan hasil perkalian titik vektor ∙

=D

∙* = ∙* = ∙* =

̂+

"̂E ∙ (

( ̂ ∙ ̂) +

+

̂+

"̂)

( ̂ ∙ "̂) +

< ("̂ ∙ ̂) +

< ("̂ ∙ "̂)

dengan dirinya sendiri, maka ("̂ ∙ ̂) +

("̂ ∙ "̂)

Perkalian titik dapat digunakan untuk menentukan sudut yang dibentuk oleh kedua vektor, yaitu cos 9 =

∙* <

Beberapa sifat-sifat perkalian titik 1. ∙*=*∙ 2. ∙ = $ ∙# $ = (1)(1) cos 0 = 1 3. ̂ ∙ ̂ = "̂ ∙ "̂ = # $ = # $ ∙ ̂ = (1)(1) cos 90T = 0 4. ̂ ∙ "̂ = "̂ ∙ # 5. Vektor and * saling tegak lurus jika ∙ * = U dan bukan nol

dan *

2. Perkalian Silang Berbeda dengan perkalian titik, perkalian silang dari dua vektor menghasilkan besaran vektor yang arahnya tegak lurus terhadap kedua vektor pembentuknya. Perkalian silang dari vektor and vektor * didefinisikan sebagai X × * = | × *| W dengan | × *| = < sin 9


14

X adalah vektor dan 9 adalah sudut yang dibentuk oleh kedua vektor, dan W satuan yang menunjukkan arah dari vektor × *. Secara geometri, nilai dari perkalian silang dua vektor menyatakan luas bangun jajargenjang yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut (Gambar 9). | × *| → luas bangun jajargenjang yang dibentuk oleh

9

dan *

sin 9

< Gambar 9. Interpretasi geometris dari | × *| Terdapat aturan untuk menentukan arah dari × * yang disebut dengan kaidah tangan kanan (right hand rule). Contohnya, perkalian silang ̂ dengan "̂, ̂ × "̂ seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 10 (a). z $ #

"̂

̂

y

(a)

(b)

Gambar 10. (a) Perkalian silang ̂ × "̂ (b) Aturan tangan kanan Dari definisi perkalian silang, maka X ̂ × "̂ = | ̂| |"̂| sin 9 W

X ̂ × "̂ = 1 1 sin 90T W X ̂ × "̂ = W

X ? Jika kita mengepalkan tangan kanan dengan arah Kemana arah W lipatan ke empat jari searah dengan putaran dari ujung vektor ̂ ke ujung vektor "̂ maka ibu jari akan mengarah ke sumbu z, searah dengan vektor


15

$ . Oleh karena nilai vektor W $ X sama dengan satu, dan searah dengan # # $ . Dengan demikian, maka diperoleh X=# maka W $ ̂ × "̂ = # Beberapa sifat dari perkalian silang: $ , "̂ × # $ = ̂, # $ × ̂ = "̂ 1. ̂ × "̂ = # $, # $ × "̂ = − ̂, ̂ × # $ = −"̂ 2. "̂ × ̂ = −# $ ×# $ = 0 ( karena 9 = 0 ) 3. ̂ × ̂ = "̂ × "̂ = # 4. × * = −* × 5. Vektor sejajar dengan vektor * jika × * = 0 dan tidak nol

dan *

Contoh Soal $ dan vektor \ = 2 ̂ − 2"̂ + # $, Diberikan vektor [ = ̂ + 2"̂ + 2# a. gambar vektor [ dan \ dalam koordinat cartesian b. tentukan nilai vektor [ dan \ c. tentukan hasil dari [ ∘ \ d. tentukan hasil dari [ × \ e. tentukan sudut yang dibentuk oleh vektor [ and \ f. tentukan vektor satuan yang tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh vektor [ dan \ Penyelesaian a. Vektor [ dan \ pada koordinat cartesian ditunjukkan oleh gambar z b. Nilai vektor [ ^=

^ +^

2

+^

^ = √1 + 2 + 2 ^ = √9 ^=3 _=

_

1 \

2

2 1 2

b. Nilai vektor \ +_

+_

[

y


16

^ = 62 + (−2) + 1 ^ = √9 ^=3

c. Hasil dari [ ∘ \

$ E ∙ D2 ̂ − 2"̂ + # $E [ ∘ \ = D ̂ + 2"̂ + 2#

[∘\=2−4+2 [∘\=0

d. Hasil dari [ × \

$ E × D2 ̂ − 2"̂ + # $E [ × \ = D ̂ + 2"̂ + 2# $ + 2"̂ × 2 ̂ + 2"̂ × (−2"̂) + 2"̂ × # $ [ × \ = ̂ × 2 ̂ + ̂ × (−2"̂) + ̂ × # $ × 2 ̂ + 2# $ × (−2"̂) + 2# $ ×# $ [ × \ = +2# $ − "̂ − 4# $ +U+ [ × \ = U − 2# $ [ × \ = a ̂ + H"̂ − 6#

e. sudut yang dibentuk kedua vektor sin 9 =

|[ × \| ^_

66 + 3 + (−6) 3×3 √81 sin 9 = 9 sin 9 = 1 maka 9 = 90T sin 9 =

X, maka f. misalkan vektor satuannya W [×\ |[ × \| $ 6 ̂ + 3"̂ − 6# X= W c 2 1 2 $ X = ̂ + "̂ − # W 3 3 3

X= W

̂ + `"̂ + ` ̂ + U


17

LATIHAN

1.

Tentukan resultan vektor-vektor berikut dengan menggunakan metode jajargenjang dan poligon

2.

Tentukan hubungan vektor-vektor pada masing-masing gambar berikut ini ! B B B A

3.

C

5.

6.

C

A

C

Berikut ini adalah vektor-vektor gaya yang bekerja pada suatu balok. Uraikan vektor-vektor tersebut pada masing-masing sumbu ! f

4.

A

F

FH

θ g F Vektor ) , ) , dan )H berturut-turut adalah vektor posisi titik (3,4,0), (0,5,-2), dan (8,0,6). Gambarkan vektor ) , vektor ) , dan vektor )H dalam sistem koordinat cartesian, dan nyatakan ketiga vektor ini $ dalam ungkapan vektor satuan ̂, "̂, dan # Vektor ) adalah vektor posisi dari titik (3,4,-5) dan vektor ) adalah vektor posisi titik (-5,-2,8). a. hitung resultan kedua vektor menggunakan metode vektor komponen! b. cari jarak yang memisahkan kedua titik secara vektor! $ dan * = 4 ̂ − 2"̂ − 2# $ maka Jika = ̂ − 4"̂ + 6# a. tunjukkan bahwa ∘ B = * ∘ ! b. tunjukkan bahwa × * ≠ * × ! c. tentukan vektor satuan yang tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh kedua vektor!


18

RANGKUMAN

1. 2.

3.

4.

Besaran vektor adalah besaran yang dinyatakan dengan nilai, satuan, dan arah. Secara geometris, vektor direpresentasikan dengan anak panah. Arah anak panah menyatakan arah vektor dan panjangnya menyatakan nilai vektor. Penjumlahan vektor dibedakan dalam dua jenis, penjumlahan secara grafis dan penjumlahan secara matematis. Penjumlahan vektor secara grafis dapat dilakukan dengan metode jajargenjang dan metode poligon sedangkan penjumlahan secara matematis dilakukan dengan metode vektor komponen. Penjumlahan vektor A and B dengan metode jajargenjang * :

* 5.

Penjumlahan vektor dengan metode poligon

* 6.

7.

9.

C

:

Penjumlahan vektor A dengan vektor B menggunakan metode vektor komponen + < dan ; = +< : = ; ̂ + ; "̂ dimana ; = Perkalian titik dua vektor menghasilkan besaran skalar. Perkalian titik vektor dan vektor * didefinisikan sebagai ∙* =

8.

C

*

< cos 9

Perkalian silang dari vektor and vektor * didefinisikan sebagai X dan | × *| = < sin 9 × * = < sin 9 W Aturan untuk menentukan arah dari vektor hasil perkalian silang menggunakan kaidah tangan kanan (right hand rule). Contoh: $. ̂ × "̂ = #


19

UJI PEMAHAMAN KONSEP

1.

Berikut ini adalah vektor-vektor dari besaran momentum, vektor yang memiliki nilai paling besar adalah ... a.

b.

c.

Apa alasannya ? 2.

Hubungan yang benar dari vektor-vektor berikut adalah ... a. C = + * C b. C = − * * c. C = * − Apa alasannya ?

3.

Hubungan yang benar dari vektor-vektor berikut adalah ... a. + * − C = 0 b. − * + C = 0 * C c. + * + C = 0 Apa alasannya ?

4.

Vektor komponen pada sumbu x dari vektor A adalah .... y a. NOP 9 ̂ j

x

5.

6.

b. Phi 9 ̂ c. ̂ Apa alasannya ?

Perhatikan gambar pada Soal no.4! Nilai vektor komponen pada sumbu y dari vektor A adalah .... a. NOP 9 b. Phi 9 y c. Apa alasannya ? x Jika C = × * maka arah dari Vektor C adalah ... a. ke sumbu y positif b. ke sumbu x positif

*

z


20

c. ke sumbu x negatif Apa alasannya ? 7.

Perhatikan gambar dua vektor berikut ini. Hasil dari perkalian titik kedua vektor tersebut adalah ... a. 0 b. 11 satuan c. 30 satuan Apa alasannya ?

8.

Perhatikan kembali gambar pada Soal no. 7, hasil dari a. 0 $ b. 11 # $ c. −30 #

×*=⋯

Apa alasannya ?

9.

Tentukan besar sudut yang dibentuk oleh kedua vektor berikut ini a. 120o b. 135o c. tidak membentuk sudut Apa alasannya ?

10. Berikut ini yang bukan vektor satuan yang tegak lurus terhadap $ bidang datar yang dibentuk oleh vektor [ = − ̂ + "̂ dan \ = − ̂ + # adalah ... a. b.

̂

√H ̂

√H

c. −

+

− ̂

√H

"̂

√H "̂

√H

−

+

− "̂

√H

$ #

√H $ #

√H

−

$ #

√H

Apa alasannya ?

BAB 1 BESARAN VEKTOR. A. Representasi Besaran Vektor

Recommend Documents