JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN JLMU PENGETAEKJAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2000
ASROFI. Kerangka Acuan Stokastik Bagi Pengukuran Fertilitas Mumi (~tochasti'c Franzeivork For A4emuring FertiliQ). Dibimbing oleh HAD1 SUMARNO dan I GUST1 PUTU PURNABA. , Model fertilitas stokastik dibangun dengan melibatkan lasil kelamilan 20 ininggu atau lebih bagi wanita berparitas ke-i.. Model ini digunakan sebagai kerangka acuan untuk menunmkan formula bagi p e n ~ a n ~ . f e r t i l i t a s i m u mFormula i. yang diturunkan dalam kerangka acuan tersebut menyatakan l1ubungan antara peluang kemajuan paritas clan laju fertilitas total, peluang kemaju& kehamilan dan laju kel~amilan,serta peluang kemajuan paritas langsung dan laju kelahiran langsung. Kerangka acuan ini dimaksudkan untuk menjembatani antara model fertilitas biologis dengan model fertilitas demografis. Pada tingkat implementasi, kerangka acuan ini me~pakankerangka kerja bagi pendugaan ukuran darifertilitas.
KERANGKA A C U N STOKASTIK BAG1 PENGUKURAN FERTILITAS
ASROFI
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Jutusan Matematika
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2000
Judul Nama W
: Kerangka Acuan Stokastik Bagi Pengukuran Fertilitas
: Asrofi : G31.1103
Dr. Ir. Ha& Sumamo, M.S. Pembimbing I
Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA. Pembimbing I1
Penulis dilahirkan di Magelang pada tanggal 15 September 1976 sebagai anak ke Liga dari tiga bersaudara, anak dari pasangan Saerodji dan Mudrikah Penulis inemulai pendidikan di SD Muhanunadiyah I Borobudur lungga lulus tal~un 1988, kemudian melanjutkan ke SMPN Borobudur dan lulus tahun 1991. Pada tahun 1994 penulis lulus dari SMA Negeri Kota Mungkid Kab. Magelang dan pada tallun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalw Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Pada tahun 1995 penulis memilili jumsan Matematika, Fakultas Matematika dan lhnu Pengetahuan Alaln IPB dan kemudian mengambil elektif ekonomi. Penulis pernah mengikuti praktek lapang di Lembaga Penerbangan dan Antariksa Nasional (LAPAN) Bidang Transmisi dan Komunikasi Dirgantara, Laboratorimn Sirnulasi dan Optimasi, Rancabungur Bogor selanla periode Juli-Agustus 1997.
PRAKATA Puji dan Syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya il~niahini berhasil diselesaikan. Karya il~niahyang ditulis memiliki tema tentang model fertilitas stokastik, dengan judul Kerangka Acuan Stokastik Bagi Pengukuran Fertilitas. Keberhasilan penelitian ini tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak baik secara moril maupun materiil. Terimakasih penulis ucapkan kepada berbagai pihak yang telah membantu penyelesaian karya ilmiah ini, antara lain Bapak Dr. Ir. Hadi Sumarno dan Bapak Dr. Ir. I Gusti Putu Pumaba, DEA selaku dosen pembimbing yang telah me~nberikanbimbingan dan arahan kepada penulis. Di samping itu penghargaan diberikan kepada Bapak 11. I Wayan Mangku, M.S.C. yang telah membantu mendapatkan salah satu jumal pendukung karya ilmiah ini. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada bapak, ibu, Jean Paul Aberfeld serta s e l u a keluarga atas segala do'a dan kasih sayangnya. Semoga apa yang penulis lakukan akan dinilai oleh Allah SWT sebagai suatu kebaikan dan diberikan balasan dengan kebaikan yang lebih banyak. Akhirnya penulis berharap semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi siapa saja yang memerlukannya dan orang-orang yang menghargai ilmu pengetahuan.
Bogor, Febmari 2000 Asrofi
DAFTAR IS1
DAFTAR TABEL ................................................................................................................... DAFTAR GAMBAR PENDAHULUAN
Halaman vii vii 1
1
PROSES SEMI-MARKOV Proses Stokastik ................................................................................................................. Rantai Markov Proses Markov ................................... Proses semi-Mxkov
1 1 1 1
DEFINISI DAN ASUMSI Definisi Asumsi ..................................................
2 2
MODEL FERTILITAS STOKASTK Peluang Ke~najuanParitas Dan Laju Fertilitas To Peluang Kemajuan Kehamilan Dan Laj Peluang Kemajuan Paritas Langsung D
KESIMPULAN DAN SARAN
DAFTAR PUSTAK
11 11 12
DAFTAR TABEL
Teks
No. Tabel Tabel Tabel
1 Penduga beberapa parameter dalam model fertilitas.......... . ............... . .................. 2 Jumlah clan usia wanita menurut status paritas dan state kehamilan ............. ........ ... 3 Peluang ke~najuanparitas
Hlm 9
11 11
DABTAR GAMBAR Hlm
No. Gambar 1 Gambar 2 Gambar 3 Gambar 4 Gambar 5
Diagrarn alir model fertilitas Model fertilitas stokastik .............. Transisi-transisi &lam 17 Mi Transisi-transisi &lam kebamilan keTransisi kemajuan paritas dengan n+l
3 4 5 6 6
PENDAHULUAN
PROSES SEMI MARKOV
Latar Belakang Masalah fertilitas tnanusia telah menarik perhatian banyak ahli dari berbagai bidang dalam beberapa dekade iN. Fenomena tingkat mortalitas yang menurun dan tingkat fertilitas yang masih tinggi memnbawa implikasi bempa laju pertumbuhan penduduk yang pesat, untuk itu diperlukan npaya-upaya untuk menurunkan ukuran populasi melalui penurunan ukuran fertilitas. Kajian mengenai fertilitas memusatkan perhatian pada fenomnena yang berhubungan dengan reproduksi manusia. Terdapat tiga tahap penting dalam proses reproduksi sebagaimana yang dikenal dan digunakan dalam hidup bermasyarakat yaitu: hubungan seksual, konsepsi Wmbuahan), serta kehamilan dan kelahiran (Said, 1996). Secara umum kajian mengenai fertilitas selama iN bedokns pada kelahiran hidup, sedangkan kajian yang mempertimbangkan perkembangan jaNn selama kehamilan masih j m g dilakukan. Untuk memodelkan proses yang terakhir, lebih sesuai diiakukan dengan pendekatan stokastik daripada pendekatan detenninistik. Hal ini diiarenakan faktor-faktor yang sifatnya acak dalam model detenninistik terabaikan tetapi dapat dimasukkan dalam komponen acak pada model stokastik. Model fertilitas stokastik dapat diiasifikasikan ke dalam mnodel demogmfis dan model biologis. Model demografis dirumuskan dari fungsi intensitas kelahiran hidup yang pada nrnumnya diperinci lebih lanjut ke dalam usia dan paritas. Kelebihan dari model demografis ialah mudah dipakai untuk jenis data yang diperoleh dari sensus penduduk, statistik vital, dan hasil s w a i . Sedangkan model biologis dicirikan oleh dekomposisi selang keha~nilandan kelahiran ke dalam beberapa state biologis. Oleh karena itu n~odetbiologis lebih realistis. Namun demikian mnodel ini juga memiliki kelemahan bempa kesulitan yang lebih tinggi dalam memperoleh data untuk menentukan parametemya.
Seperti telah dijelaskan sebelumnya, model biologis untuk fertilitas ini memerlukan kerangka acuan stokastik. Berikut ini akan diuraikan konsep-konsep dalam proses stokastik yang akan digunakan dalam penyusunan model.
Tujuan Penulisan iN dimaksudkan untuk membuat model dernografis yang melibatkan state keliamilan 20 minggu atau lebih. Model ini akan menjadi kerangka acuan yang menjembatani antara mnodel fertilitas biologis dengan model feltilitas demografis.
Proses Stokastik Proses stokastik adalah suatu keluarga peubah acak X(0. dengan tsT, yam dimotasikan dengan {x(Q>ta. Untuk suatu proses stokastlk, {X(tJ,teTJ, gugus semua Nlai yang mungkin dari X(t) disebut sebagai m g state (Taylor & Karlin, 1984). Rantai Markov Proses stokastik yang memenuhi sifat bahwa peluang kejadian yang akan datang hanya dipengamhi oleh kejadian saat iN dan tidak dipengamhi oleh kejadian sebelumnya disebut dengan proses Markov. Proses Markov yang m g state-nya berupa gugus tercacah dan gugos indeksnya adalah T={0,1,2 ,...} disebut dengan rantai Markov. Secara formal sifat Markov tersebut dapat dinyatakan sebagai P{X(I+l) =j I X(0) =io ....,X(t-I)=i,.,. X(0 =i ) = P{ x(t+ 1) =j I X(Z)=i) - P" (1) untuk semua t dan semua state io, ..., i,.~,i, dan j. Sesuai masalah yang dihadapi, indeks t dapat b e ~ p awaktu, jarak, atau parameter yang lain. Untnk selanjutnya pv disebut sebagai peluang transisi (Taylor & K a r l i ~1984). Proses semi-Markov Proses semi-Markov adalah generalisasi dari rantai-rantai Markov dengan selang waktu di antara transisi-transisinya bersifat acak. Untnk lebih detailnya, dimisalkan: X(0 : sebagai state daxi proses pada waktu t. S. : kurun-kurun waktu berturutan dimana tejadi pembahan state. X. : state dari sistem pada kunm waktu S. (yaitu X.=X@J) dan X@=X, untuk Sn5t5Sn+,). So=O danXo : state awal &=X(O)=X(Sd). Barisan {Xn;n>O} yang memenuhi rantai Markov disebut dengan proses semi-Markov.
.
Secara formal, untuk n z l berlaku: Pp'n=jlXn.I=i] =P[x(S,J=jlX(Sn.3=i]=p"(Ni. (2)
Proses yang mengikuti persamaan (2) disebut proses semi-Markov tak homogen. Sedangkan proses semi-Markov yang tidak bergantung pada n disebut dengan proses semi-Markov homogen. (Gallager, 1996). Model-model fertilitas dalam literatur klasik, seperti halnya yang dibangun Sheps & Menken (1973) mengasumsikan parameter-parameter model homogen terhadap waktn dan tidak bergantung pada faktor usia. Asumsi homogenitas ini berimplikasi bahwa individu dengan usia yang berbeda, misalnya antara individu yang bemsia 20 dan 45, ~nempunyai peluang yang sama untuk melahirkan, sehingga asumsi ini tidak realistis. Untuk membuat model yang lebih realistis maka daliun kajian fertilitas ini digunakan model semi-Markov tak homogen.
DEFINISI DAN ASUMSI Model ini tnengaswnsikan bahwa fertilitas lmya ditentukan pada tingkat kesnburan wanita. Dalam rangka membangun model ini diadopsi beberapa definisi dan asulnsi formal sebagai berikut: Definisi Aborsi spontan: keguguran; kematian janin yang tidak disengaja dan umumnya tejadi sebelnm usia kandungan 20 minggu. Fekunditas: kemampuan fisiologis wanita untuk memberikan kelahiran atau berpartisipasi dalanl reproduksi. Fertilitas: performan reproduksi aktual dari seorang wanita atau sekelompok individu. Kematian prematur: kematian janin yang terjadi antara 28 l ~ g g 36 a minggu dari usia janin. Kematian prenatal: kematian janin yang tejadi setelah 20 minggu dalam kandungan hingga 28 llari setelah kelaluran. Konsepsi : fertilisasi ovum dan implantasi zigot yang dillasilkan dalam dinding uterus. Paritas: jumlah anak yang telal~diiiliki swrang wanita. Periode tidak rentan: dnrasi dari awal kehamilan sampai akhir masa tidak subur setelah melalurkan. Durasi ini meliputi periode kehamilan (gestation period) dan periode tidak subur setelah melalurkan (post partu~?i aalenorrhoeae).
Rasio: besaran Ilasil perbandingan antara dua angka. Rate; laju: rasio yang dihih~ng berdasarkan interval waktn tertentu. Statistik vital: pencatatan kejadian-kejadian vital yang bertalian dengan pencatatan seperti kelahiran, kematian, kematian janin, abortus, perkawinan, dan perceraian. Usia tepat: usia seseorang pada saat pengamatan yang dihitung dari tanggal lahimya. Asumsi Asn~nsi yang mendasari model ini adalah sebagai berikut: Riwayat fertilitas dari masing-masing individu dalam popnlasi saling bebas. * Fekunditas me~pakanfungsi dari usia dan paritas. Kemnngkinan terjadinya aborsi spontan, kematian prenatal, kematian prematnr, kelahiran hidup, dan seterusnya selama proses kehamilan dan kelahimn disederhanakan dalain dua kategon keldiran hidup dan kematian janin lfetal death). Peluang kelahiran kembar (lebih dari satu) diabaikan. Periode kel-lan bemilai konstan.
.
Kejadian kematian janin adalah fungsi dari usia dan paritas. Proses kehamilan bejalan secara alami (tidak ada upaya pengatwan kelahiran). Waktu tunggn untuk melakukan transisi antar state yang bertuxutan bebas. Seorang wanita memasuki state kehamilan ketika kandungannya telah mencapai 20 minggu.
MODEL FERTILITAS STOKASTTK Notasi yang dipakai dalam model ini adalah sebagai berikut: i : paritas; i=0,1,2, ... X;O : usia tepat seorang wanita saat kelahiran hidup anak ke-i x, : usia tepat seorang wanita pada saat menopause. xi : usia tepat swrang wanita yang telah memiliki paritas ke-i; xjo-; < x,, X;ER +. ti . usia seorang wanita berparitas ke-i pada saat keguguran; xio< t; SX;.
b : durasi kehan~ilanmnaksimnun yang lnungkin terjadi pada seorang wanita, terlutnng mulai usia kelunulan 20 minggu. ?; : durasi kellamilan terl~itung lnulai usia kehamilan 20 minggu; O
a.
a,
I
Ganlbar.1 Diamam alir model fertilitas
I
Untuk membangun model fertilitas bagi wanita berparitas ke-i diperkenalkan fungsi-fungsi intensitas yang menggambarkan pergerakannya dalam selang usia (xj,xz+A)berdasarkan intensitas transisi Aj (xi) yang dalam keseinpatan lain dinyatakan sebagai fungsi resiko dan derajat asimtotik 64). Didefinisikan R, (x;) sebagai intensitas transisi dari state Q; ke state Q, pada usia xi. Dalam ha1 ini Aj (x;) diasumsikan kontinu terhadap xi. Didefinisikan derajat asimtotik sebagai berikut: limit -o(A) -0. A+O
A
Fungsi-fungsi intensitas tersebut adalal~: (xi) A + CA): peluang seorang wanita melakukan transisi dari Q; ke Q;, (lnmil dengan durasi minimal 20 minggu) I+ h . 4 ~ ~ A ) +o(A): peluang seorang wanita bertahan dalaln Q; [di sini A,; (xi) = 4, (x;)]. 7+&,i (xi,q ) A + @A): peluang seorang wanita melakukan transisi dari Q;, ke Q; (mengalami keguguran janin).
-
;.
(xi,3 ) A + 4A): pellung seorang wanita melakukan transisi dari Qii ke Q;+I. (mempunyai kelahiran hidup). I+ A+ ,; (xi,7, ) A + o(A): peluang seorang wanita bertahan dalam Qi, [di sini A+ !,. (xi,9 )= -{Ar .i (x, 3 ) + A*.;+I (x" ri )>I. &,j+l(xi,c ) A + @A): peluang seorang wanita melakukan transisi dari Qi ke Q;+I. (mempunyai kemajuan paritas). Fungsi-fnngsi intensitas ini bersama dengan state awal pada usia xio menentukan nilai dari peluang-peluang transisi. Hal ini dapat dijelaskan melalui Gambar 2.
Mengikuti bentuk u n u n di atas, pelnang seorang wanita dalam selang usia (xio, xi) tidak lamil (atau lia~nildengan dnrasi k m g dari 20 minggu) dan pada akhir periode berada dalam Q; dinyatakan dengan pj,:'(xio, xi). Dengan mempergunakan fnngsi-fungsi intensitas di atas dan prosedur standar dalam teori proses stokastik diperoleh: Persamaan tersebut menyatakan bahwa peluang wanita berparitas ke-i tidak hamil pada selang usia (xiax,+A) m a dengan peluangnya untuk tidak hamil pada selang usia (xiax;) dan pada selang A dia tetap tidak hamil jum.
I
kandungan 220 minggu
kematian janin
l+P++.i.(~j, q)A+o(A)
tidak ada kandungan dalam 220 minggn menopause Gambar 2. Model fertilitas stokastik selanjuhlya difomula-formula yang menyatakan hubungan antara beberapa laju pusat (laju fertilitas total, laju kehamilan dan laju k e l a l h langsung) dan pelnang-peluang dalam paritas ke-i (peluang ke~najnanparitas, pelnang kemajuan kehamilan dan pelnang kemajuan paritas langsung). Peluang Transisi Berganda Untuk seorang wanita dengan paritas ke-i yang berusia x j 0 selama selang usia (xjhx;) ia mempunyai kemungkinan untuk mengandung beberapa kali clan pada aklur periode berada pada salah satu state. Untuk itu diperkenalkan pelnang transisi berganda yang secara mum berbentuk P$)(x;o,xj). Peluang transisi berganda di atas merupakan peluang seorang wanita dalain selang usia (xi&xi) untuk tne~npunyaiat kali kel~milandengan durasi 20 ininggn atau lebili dan pada aklur periode berada dalam Qp; Q 6 { Q;, Q;+, Qi+l,9.).
Pengorganisasian ke~nbali persamaan di atas lnemberikan p ~ ~ ) ( x j o+A) , x j p~~'(xjo,xj) =
-
p~.~)(xi0,x;) A,i(x;)A + @A) Pembagian masing-masing mas dengan A memberikan P ~ ~ ' ( ~ , ~ , ~ ~ + A )-- P ~ ~ ) ( ~ ~ ~ , ~ ~ ) A
P:,' (xi0 ,x; 1 2+ix; , ( 1+ o(A) A ' dengan menghitung limit untuk A 4 , maka diperoleli persamaan diferensial berikut d (0) - pj.:)(xi0,xi) = Pi,! fxi0,x;) &,i ( ~ 0 . (3) dxi Pengintegralan masing-masing mas seteldl pengorganisasian kembali Persalnaan (3), meughasfikan xi
~ n p $ ~ ~ )xi) ( x =; ~Jhi,; , (wi)divi 210
sehingga solusi nilai p$'(x,, x i ) adalah p ~ ~ ) ( ~ i=oesp ,~j) Lso
div;
1
.
(4)
=i
40
xi0
b
I
1
Peluang seorang wanita dalain selang usia antara xjodanxi untuk mempunyai n kali kelamilan yang masing-masing berdurasi 20 minggu atau lebih dan pada akhir periode berada dalam Q, (n>0) dinyatakan sebagai p~,:'(x,, xi) . Ada dua kejadian yang mungkin dialami seorang wanita berparitas ke-i yang telal~ mempunyai n kali kehamilan pada selang usia (xj&x;+A)dan tetap tidak lamil pada &lit periodenya. Kejadian pertama ialali ia telal~ meinpunyai n kali kehamilan daliun selang usia (x;,xi) dan pada selang A berikutnya ia tetap tidak lamil juga. Kejadian yang ke dua ialall ia telal~ mempunyai n-1 kali kehamilan pa& selang usia (xjhxi-ri)dan mempunyai satu kehamilan lagi pada selang (xi-9,x;) yang kemndian gugur pada selang (x;,xj+A). Transisi tersebut secara graf?s diilustrasikan dengan diagram dalam Gambar 3. Secara fonnal la1 ini dinyatakan sebagai berikut: P $ ' ( x j o , ~+iA ) = P ~ ; ) ( x i o ,{l+ ~ i ) ,$;(xi) A
Jaj,j(lvi) dw,]
xi
,esp[- J2j,j(ivi) div,] = esp[-
p~:-"(xjo, xi - r, 1 Ad, ( x ~ 4 )
o
pj:?;,(x; - rj,x;)4 a . i (xj.4) d4.
Dengan menyederltanakan persamaan di atas, diperoleh
Pengintegralan masing-masing mas persamaan di atas terladap xj dan pensubstitusian =i
exp f
laj,j(ivi) div,]
dengan ':F
(x,, x,)
diperolell solusi: P ~ ~ ' ( X ; ~ , X= ; )p::'(xj0,xj)
0
+ o (A)}dd.
Analog dengan proses solusi persamaan (4), pj:li. (ti- ri,t;)h+.i(ti,d ) 6 % ]dG p ( x j o x, memenuhi persamaan diferensial dengan p$:lj+(ti ri,ti) berikut d = exp Jaj*,;.( ~ V ~ , I-ti V ~ + r j ) d1vi . - ~j;'(x~o,x;)= P;,;)(x;0,xi)h,i(xi) tj-r;
-
I
[
h i
b
P$-~'(X,,X~- r;) /Zi.u(xi-%)
+
maka
=;a
0 (0) p;*,i+ (x;- 7;,xi)hi.;(xi,d ) dd.
(5)
5
Analog dengan proses solusi persamaan (4), p"). m e ~ p a k a nsolusi dari persamaan l i . 8 . (ti -r,,t,) dierensial d t i ".'* (ti -'Ti,tj)=p::;;*(!i-T~,!~)&*,;* (ti,q).
Pengalian dengan exp [- jAj,i(lvi)dwi] masingxi0
masing ruas persamaan (5) memberikan:. d { - p ; x i 0 x i - p,l:)(xio,X i ) A,;(xi) 1 dx; Frekuensi n 0 n-1 1 A .I, A kehamilan Usia X;o xi A xio x,-4 2,-ri+drj State Qi Qi Qi Qi Qia Gambar 3. Transisi-transisi dalam n kali kelamilan yang gagal.
4,
1'
a
(6)
4,
?; Q
0 xi+A
Q;
6
I
Usia State
xjo Qi
x,-l;
a
\
Peluang
x,r, +dr,
X;
L?;e
Q;+
-''-T'-
Y
P:;"-1)(xi0.x; - ~
I
i
)
,
w
4,;.(xi -?)
pi:!;. (xi - r ; , ~ ; )
Gambar 4. Transisi-transisi dalam kebamilan kc-n. I Usia State
xio Qi
1,
xi
Qie
Q;+I
,
V L V Peluang
pi2 (x;O,t;) &,;+I (t;,l;) Gambar 5. Transisi kemajuan paritas dengan n+l kali kehamilan.
Peluang seorang wanita pada selang usia antara xj0 dan xi untuk mempunyai n (n>O) kandungan yang masing-masing berdurasi 20 minggu atau lebih dan pada akhir periode berada dalam Q;. dinyatakan sebagai ( x j o , x j ) . Formula bagi
p$i
P$,:i (x,, ,x i ) dapat dipenuhi melalui hubungannya
Peluang seorang wanita berada dalam state Qi yang dinyatakan sebagai p;,;(xj0,x;) adalah m
pi; (x;o,xi) =
C
pl:) (x;o,x,) .
(9)
-0
Peluang seorang wanita berada dalam state Q;, yang dinyatakan sebagai p,;. ( x ; ~x;) , adalal~
dengan p:Y1 (xio,xj),yaitu: "=I
b
p;;: (xjo,x;)=J pi.Y-l)(xjo,xj- r;) 0
A,;. (x;-rJ P>tI;+ (xi - r ; , ~ ;dl;. )
Peluang seorang wanita berada dalam Qirl yang dinyatakan sebagai pi,;+l(x;~, x;) adalah m
p;.i+l(xio,x;) =C ~ j : : ~ ~ x ; ~ , x ; ) . (11) (7) "=I Persamaan (7), seperti ditunjukkan dalam Gambar Peluang transisi p;,; (x;o, x;) dan p;,;. (xi&x;) 4, didasarkan pada tiga transisi: masing-masing berkorespondensi dengan (n-1) seorang wanita pada usia x,-l; berada dalam keguguran janin pada paritas kc-i dan tidak kondisi tidak tidak hamil, setelah hamil yang mengalami kelahiran hidup ke-(i+l). Perbedaan ke-(n-I) kali, antara keduanya adalah state di mana wanita wanita tersebut rnenjadi hamil satu kali pada tersebut berada pada waktu xl P ; , ~(x;&xi) bemda selang usia (x,-?, x,-l; +dl;), dan pada Q; dan p,;+ (x;&xi) berada pa& Q;,. Peluang wanita tersebut tetap lmmil pada nsiax;. transisi (xi& berkorespondensi dengan (n-1) Peluang seorang wanita hamil sebanyak n kali keguguran janin dan kclahiran hidup ke-(i+l). yang masiug-masing kandungannya berdurasi 20 Total nilai dari ketiga peluang tersebut adalah satu, minggu atau lebih dan pada akhir periode berada karena pada usia x; seorang wanita hams berada dalam Q;+I(n>O)diiotasikan denganpj,~~,(xio,xj).dalam salah satu kondisi: pada paritas ke-i atau telah berlanjut pada paritas ke-(i+l) selain Formula bagi p$;l (xiO,xj)&pat dipenuhi melalni mengalami menopause. Dari model tersebut, selanjutnya akan hubungannya dengan (xio,xi),yaitu: diturunkan formula yang menyatakan hubungan =; antara peluang kemajuan paritas dan laju fertilitas pj:?I (xjO,x;) = ~ $ i ( % o ~&*,;+I@" ti) &; (8) total, peluang kemajuan ketmmilan dan laju li0 Persamaan (8) &pat diilustmsikan secara grafis kehamilan, s e m peluang kemajuan paritas langsung dan laju kelaluran langsung. dalam Gambar 5.
p$i
Peluang Kemajuan Paritas dan Laju Fertilitas Total Peluang kemajuan paritas ke-i (parity i progression probabilily) adaldt peluang seorang wanita berparitas ke-i pada selang usia antara xio dan x, untuk mencapai paritas berikutnya. Peluang ini dinotasikan dengan (xioj,), tetapi untuk mempermudalt penulisan selanjutnya cukup dituliskan dengan p;,;,,. Laju kemajuan paritas ke-i yang diinotasikan dengan r;,;+ldidefinisikan secara verbal oleh Golbeck (1989) sebagai berikut: ';.it1
rataan banyaknya wanita berparitns ke - i yang mempunyai paritas ke - (i +I) = rataan populasi wanita berparitas kc - i yang tidak melahirkan anak k e - ( i + l )
Dalam hal ini kelahhan seorang anak menyebar Bernoulli @;.i+~). Sehingga rataan banyaknya wanita berparitas ke-i yang mempunyai paritas ke(i+l) adalah pi,;+~. Untuk mendapatkan formula yang menyatakan penyebut dari r,,l diperkenalkan fungsi indikator I, ,Vx'xe(xiax;), sedemikian selingga 1 jika seorang wanita tidak mempunyai kelaluran ke-(i+l) pada usia x I, = 0 selainnya. Perltatikan ballwa peluang seorang wanita untuk tidak melnpunyai keldtiran hidup pada selang (xi, xi +A) adalah l-A,;+; (x;,~)A + 00. Dengan delnikian P{I,+d=l}= P{I,=l}[l-~,;+l(xi, G) A + of@]. Analog dengan proses solusi p e r s m a n (4), diperoleb
I
xi
P{I,=l}
= exp{
I
(xi0
0
Sebagai fungsi resiko, dalam
dapat dinyatakan
+
Pengintegralan masing-masing ruas memberikan
-
7
(ti) dt, =ln{l-Fj,i+l(x;)}sehingga
xio
exp 1-
xi
I
Aj,i+I (ti) dti I = 1-6,;+1(x;),
xi0
karena F;,;+l(x;) = p,,~ (xj0,xm),maka laju fertilitas di atas dapat dimyatakan sebagai Pi.i+l ~ z ; + I= xm_ (12) J ~ - P +I(x;o. ~ . ~ xi0 +GI ]dli 0
Sebagai catatan, jika A,+~(x;)=A+, yang beraxti tidak bergantung pada usia, maka persamaan tersebut tereduksi menjadi ri,i+l=A+l. Proses penunman penduga dari melibatkan peubah acak T;,,, yang merupakan waktu tunggu bagi seorang wanita berparitas ke-i nntuk mempunyai kelahiran hidup ke-(i+l). Peubah acak memiliki fungsi kepekatan peluang yang dinotasikan dengan fTi,;, (t) clan fonnulanya diberikan oleh Golbeck (1988) sebagai berikut:
- I Aj,i+l (ti) dti }. li0
Dengan demikian penyebut dari persamaan r;,;+l dapat diformulasikan melalui EflJ cLxi = P{I,=l} cLxi dengan
-I
if^^,,, ( 0 dt =1 0
xi
= exp{
X,"..YjO
hi,i+l (ti) dti }dx;.
xi0
Persamaan di atas menyatakan rataan populasi dalam (x;,x;+cLx;). Pengintegralan dari xjo ke x, terhadap permaan di atas menghasilkan rataan populasi dalan selang (xiax,),
Sellingga laju fertilitas di atas lnenjadi
Nilai larapan dari waktu tunggu ini adalah - xnr-*ro 1 E[T;,i+lI= ti[ -pi.;. (xi0 ,xiof fi) 0 Pi,iil
I
cvj.
A,+.~+~ (xi' + t;, %)I
113)
Pengintegralan persamaan (13) secara parsial dengan u = t i dan dv = p,i+ (XIO, xio+ti) &+.;+I(xi0 +t;, ir) dti menghasilkan
~i+.i(xio+ti, zi)
+ pj,;:
(XI,, Xi0 +fi )
J-i+,i+i (xi0 +ti, zi) }. Nilai harapan dari waktu tunggu ini adalah
1- P i + 1 + -.
= - (xm-xjo)
(14) Pi,iil "f.i+l Dari penyelesaian persamaan (14) untuk pi,i+~, didapatkan fonnula dasar yang menyatakan peluang kemajuan pada paritas ke-i dalam hubungannya dengan laju kemajuan paritas,
(18) Pengintegralan persamaan (18) secara parsial dengan u = 1, dan dv = { pj,:?, (xiO,xi0 +ti) A*.?(xi0 +ti. G)
Peluang Kemajuan Kehamilan dm Laju Kehamilan Peluang kemajuan kehamilan pada paritas ke-i adalah peluang seorang wanita berparitas ke-i pada memberikan selang usia antara xiodan x, untuk mempunyai satu kandungan yang berada dalam Qj atau Q;+I. Peluang ini dinotasikan denganpi, (X~OJ,,,), tetapi untuk mempermudah penulisan selanjutnya cukup dituliskan dengan p,,, sedemikian sehingga memenul~ipersamaan: (1) Pi.ir = P I : : ) ( X ~ O ,+ Xpij+l ~ ) ( X ; O ~ X. ~ , ) (16)
Laju kemajuan kehamilan pada paritas ke-i yang diiotasikan dengan rj,j, didefinisikan secara verbal oleh Golbeck (1989) sebagai: rataanbanyaknya wanitaberparitas ke - i yang hamilsecara langsung r,,. = rataanpopulasi wanita bepantas ke - r yang tidak liamiisecara langsung Dari definisi verbal tersebut, analog dengan formulasi persamaan (12) diperoleh r;,;. =
Dimisalkan T;,i, sebagai waktu tunggu dari seorang wanita pada paritas ke-i untuk secara langsung menuju ke state kehamilan (dengan dnrasi 20 rninggu atau lebih). Ti,;. merupakan peubah acak dengan fungsi kepekatan peluang fTj,,, (1) yang formulanya diberikan oleh Golbeck (1988) sebagai berikut:
Dari penyelesaian persamaan (20) untuk pi,!+ didapatkan formula dasar yang menyatakan peluang kemajuan kehamilan pada paritas ke-i dalam kaitannya dengan laju kemajuan kehamilan pada paritas ke-i,
Peluang Kemajuan Paritas Langsung dan Laju Kelahiran Langsung Peluang kemajuan paritas langsung ke-i (direct purity i progression probability) adalali peluang kemajuan paritas ke-i dengan kesuksesan langsung. (xjo, x m ) , Peluang ini dinotasikan dengan
pk:),l
tetapi untuk menlpemudah penulisan selanjutnya cukup dituliskan dengan p;,::),, Laju kelahiran langsung pada paritas ke-i yang dmotasikan dengan r(jii didefinisikan secara verbal oleh Golbeck (1989) sebagai: rataan banyaknya wanita berparitas ke - i yang mempunyai paritas ke-(i+l) secara langsung r"' = ~J+I rataan populasi wanita berparitas ke - i yang tidak hamil secara langsung Dari definisi verbal tersebut, analog dengan formutasi persamaan (12) diperoleh r."' = ,.,+I
Dengan mensubstitusikan Nlai r dari persanaan (22), lnaka persamaan (19) dapat ditnliskan sebagai Pi,!&
-(x,-xio)
Dari persamaan (23), sebagai berjkut
Pi i+i
11-pi,,?+I+- "
421
p,l:!i
1.
(23)
dapat dinyatakan
= P~,~.ET,+I + - P , ~ - X ~ O (24) . Dengan ~nensubstitusikanpi,,i+dari persamaan (21) ke dalam persmaan (241, maka diperoleh peluang kemajuan paritas langsung ke-i dalam kaitannya dengan laju kemajuan kehamilan pada paritas ke-i,
Kategori ke dua melibatkan banyaknya wanita yang memiliki kelahiran ludup ke-(iil), dibedakan menjadi: Bi banyaknya wanita yang mempnnyai (i+l) kelahim llidup selama tahun yang sama, tidak memandang apakah mereka mempunyai keguguran janin atau tidak dalam paritas ke-i. By' banyaknya wanita yang lnempunyai (iil) k e l a h i i hidup selama tahun yang m a , dan tidak mempunyai keguguran janin d a h u paritas ke-i. Fy' banyaknya wanita yang mengalami satu kali keguguran janin selama tal~nnyang sama dan tidak mempnnyai keguguran lain dalam paritas tersebut. Kategori ke tiga melibatkan usia rata-rata wanita dalam state-state tertentu, yak^: Xi usia rata-rata wanita dalam kondisi Bi X$ usia rata-nta wanita dalam kondisi B
y'
X% usia rata-rata wanita dalam kondisi F?' Xy' usia rata-rata wanita berparitas i pada kehamilan (dengan durasi 20 minggu atau lebih) yang selanjutnya @obot rataan dari x.Y$ dan ) A,: usia rata-rata wanita mencapai rllenopause.
dengan Bi,p menyatakan banyaknya w a ~ t a berdasarkan kelahiran hidup ke-(iil) dan atau kegagalan janinnya sedangkan Wj,,p menyatakan rataan banyaknya wanita berparitas ke-i pada tal~nn yang diamati berdasarkan ada atau tidaknya keguguran janin (Golbeck, 1988). Penduga
Penduga Untuk peluang-peluang di atas diperlukan tiga kategori data populasi wanita parameter ruas kanandari perSam- (14), (20) dan be~aritas ke-i. Kategori pertama lUelibatkan (24) selengkapnya &lam Tabel 1, ban~aknya wanita dalam p"pnlasi2 dibedakan Tabel 1. Penduga beberapa parameter dalam model menjadi: fertilitas rata-rata banyaknya w a ~ t aberparitas ke-i Wi pada talmn yang diamati, tidak memandang apakal~mereka men~punyaikeguguran atau tidak dalam paritas tersebut. Wy' rata-rata banyaknya wanita berparitas ke-i pada tal~un yang diamati yang tidak melnpunyai keguguran janin dalam paritas tersebut.
Berdasarkan penduga parameter di atas diperolell penduga dari peluang-peluang dalam persamaan (15), (21)dan (25). Selungga penduga dari pi,i+ladalall
( X , -xi)Bi /Wi I + { X , -Xi+l}BiI W;
< (x,,-xix~j0) +F/"))IW/O) 1 + {X,, -x,(O)}(B,(O) +~ , ( o ) ) l l V / ~ ) '
penduga dari p,;,; adalah
dan penduga dari
adalall
Penduga-pendnga di atas mernpakan hasil dari model yang dikembangkan untuk menentukan ukuran chifertilitas. Untuk dapat mempergunakan formula-formula di atas, berikut dijelaskan data bagi parameterparameter yang bersesuaian. Data IV, dapat diambil dari sensus, sedangkan data B , BY', X; dan X $ berasal chi statistik vital kelaluran serta data F?' , X$ janin.
x?'
berasal dari statistik vital kematian sebagaimana
telah
disebntkan
sebelnmnya, mempa!an bobot rataan dari XyJ dan x::.
Untuk B; dan Xi semua data dapat dipakai, tanpa memperfimbangkan ada atau tidaknya kematian janin dalam paritas ke-i. Sedangkan untuk B , X$ , Fy' dan x$$dipakai data wanita yang belum pernah mengalami kematian janin atau wanita yang minimal mernpunyai seorang anak dan setelall kelaluran anak terakllirnya tidak pernah mengalalni kematian janin. Jika w?) dapat diperolell maka pendugaan tidak menemui kendala, Nmun j i b sebaliknya maka diperlukan pendekatan terbadap nilainya. Sebagai pendekatan, dalam konteks pemodelan di atas, berlaku: Pi.i+l 5Pi.i.. Dengan mengambil masing-masing peuduganya diperoleh ;;,i+15 3,;.i*. Dengan mensubstitusikan persamaan (26) dan (27) ke dalam pettidaksamaan di atas diperoleh:
y'
Pengorganisasian kembali pertidaksamaan di atas lnemberikan w?' [ ~+{X,-X?' }(BY' + F?')/ lV?'] -< [ 1+{xm-Xi+i}(Bi/Wi)I( W i / B i ) (BY' + F Y I ) Penyederhanaan pertidaksamaan di atas memberikan ~ ? ' s ( B y '+ F ~ ' ) [ x ? '- X + l + ( K B i ) ] = max{
Wy').
Nilai max{Wy'} ini mernpakan batas atas banyaknya wanita berparitas ke-i dalam populasi yang tidak mempunyai kematian janin dalam paritas tersebut. Untuk mendapatkan batas bawalmya, dipenuhi: Pi.i+lSPi,i+~ . Kemndian dengan mengambil masing-masing penduganya diperolel~ (1'
5.. > (1) ,.r+1- P !,,+I . ^
Dengan mensubstitusikan persamaan (26) dan (28) ke dalam pertidaksamaan di atas diperoleh: ( X , -xi)Bi I w; l + { X ,-X;+,}B;IW; (X,,,- X i ) ~ j O1wj0) ) Z+{Xm- X ~ ~ ) ) ( +B, ?~ $) ( O i o ) / 'J @ O ) Penyederlmaan pertidaksamaan di atas rnemberikan Z B ~ [' X y ' -X+l+(K/Bi)]-
2
w?'
F?' (X,,,-X$ ) = min{ W?) }. Batas bawah bagi banyaknya wanita dalam populasi yang mempunyai satu atau lebih k e ~ ~ t i a n janin sejak kelahim anak ke-i diperoleh: Wi- max{ Wy' }= ]in{ IVj") }. Sedangkan untuk batas atasnya diperoleh: rVj- min { lv!" }= mar: { w j")1.
Uustrasi Sebagai ilustrasi dilutung peluang kemajuan paritas, peluang kemajuan kelmmilan dan peluang kemajuan paritas langsung. Ilustrasi ini direpresentasikan dala~nTabel 2 dan Tabel 3.
Dalam Tabel 2, input dari penduga beberapa parameter diberikan berupa data hipotetik dari besaran-besaran Pi/;, ~v,,,, B;, B Y ) , F ? ) . X,,yjPj,
(27.1, dan (28), dapat dilutnng peluang ke~najuan parifas yang disajikan dalarn Tabel 3. Tabel 3 menunjukkan bahwa peluang dari kesuksesan talc langsnng dan kegagalan tahilp akhir sedangkan X:, ditentukan senilai 50 tal~nn dalam ilustrasi ini bemilai kecil nntuk semua (Golbeck,1989). Berdasarkan data pada Tabel 2, paritas. Hal ini mennnjukkan bahwa kematian dengan menggunakan persarnaan-persamaan (261, janin relatif jarang terjadi.
denganx3= 27,49 Sumber: Golbeck (1988,1989).
KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan Model fertilitas stokastik yang telah dibangun dapat melukiskan secara analitis fertilitas manusia dalam kaitannya dengan usia, paritas, dan kematian janin. Melaluj model ini dapat dievaluasi pengar& masing-masing faktor yang tercakup &lam model pada performan fertilitas. Selain itu, model tersebut dapat dipakai sebagai kerangka acuan bagi analisis lebih lanjut, misalkan telaah mengenai implikasinya atau menjadiian model tersebut lebih realistis.
Saran Model ini dapat dibuat menjadi lebih realistis dengan menyertakan penggunaan kontrasepsi, kemnngkinan berakhimya kelamilan melalui aborsi yang disengaja clan kemungkinan sterilitas, baik alamiah rnaupnn disengaja.
DAFTAR PUSTAKA Bhattacharya, B.N. & D.C. Nath. 1984. "An Extension of A Parity-Dependent Model For Number of Bilths and Estimation of Fecundability". Mathematical Bioscience 71:201-216. Chiang, C.L. 1971. "A Stochastic Model of Human Feltility". Bior~retrics27:345-356. Chiang* C'L' 1984. "She* Communication Parity Progression Ratio and Feailit~ Rate". Mathenlatical Bioscience 70:105-108. Parlow, S.J. 1994. An Introduction to D@rential Equations and their Applications. McGlawHill. USA. Gallager, RG. 1996. Discrete Stochastic Process. Klnwer Academic Publishers, Massacl~usetts. Gillespie, D.T. 1992. Mark011Process. Academic Press, San Diego.
Golbeck, A.L. 1988. "F'arityProgression In The Present of Fetal Death: Transforming Central Rate Into Probabilities.'' Mathematical Bioscie~?ce88:85-105. Golbeck, A.L. 1989. "An Alternative Stochastic ~~~~~~~~k for ~ ~ tpure i M~~~~~~~ ~ ~of ~ Fertilitv". Mathernotical Bioscience 96:117127. Osaki, S. 1992. Applied Stochastic S'stenz h,f0delljng, Springer-Verlag,Heidelberg, Rajulton, H. 1985. "Heterogeneous Marital BeI1aviour In Belgium, 1970 and 1977: An Application of The Model To Period Data". Mathen~atical Bioscience 73: 197-225. Said, 1996, Per7gantarIl171uKependudukan LP3ES, Jakarta. Sheps, M. C. 61 J. 1973. Mather7ratical Models o f Conception and Birth. The University of chicago ~ r e s i USA. .
Golbeck, A.L. 1986. "A Multiple Decrement MI & S. Karlin, 1984, An Fertility Table Based on Parity." Mathe17zatical Taylor, Bioscience 79:73-86. I~rtroduction To Stochastic Modeling. Academic Press, Florida.
