College 2: Chaos
Wat we vandaag gaan doen: 1) 2) 3) 4)
Wat is chaos niet: de enkele slinger Een stapje verder: de dubbele slinger Chaos in een wiskundig model: de logistische afbeelding Chaos precies gemaakt: de Lyapunov exponent
Sep 13 2010 slide 1
Wat is chaos?
onvoorspelbaarheid kleine oorzaken met grote gevolgen gevoelige afhankelijkheid van begincondities
Sep 13 2010 slide 2
De enkele slinger
Newton:
Sep 13 2010 slide 3
De enkele slinger
linearize!
Sep 13 2010 slide 4
De enkele slinger
oplossing:
met
Sep 13 2010 slide 5
faseruimte
Sep 13 2010 slide 6
hoe zien de banen eruit in faseruimte?
Sep 13 2010 slide 7
Sep 13 2010 slide 8
Conclusies gedrag enkele slinger: - Lineariseren van de bewegingsvergelijking levert een simpele DV voor de evolutie van het systeem in de tijd - Om deze DV op te lossen moeten we de begincondities kennen - De begincondities leggen de gehele toekomst eenduidig vast: beweging langs een cirkel in de faseruimte. - Beweging is kwalitatief hetzelfde voor alle begincondities: niet gevoelig afhankelijk
Sep 13 2010 slide 9
Dubbele slinger
Sep 13 2010 slide10
Dubbele slinger in de faseruimte
is dat nou chaos?
Sep 13 2010 slide11
Twee dubbele slingers in de faseruimte
Kleine verschillen in begin = grote verschillen op het eind Sep 13 2010 slide12
Een oud en moeilijk probleem!
Prof. H.A. Lorentz (Nobel 1902) geeft college over de dubbele slinger Sep 13 2010 slide13
Conclusies dubbele slinger Chaos is niet de grillige beweging, maar de afhankelijkheid van begincondities. Banen in faseruimte lopen uit elkaar Onvoorspelbaar: kleine verschillen hebben enorme gevolgen! Wat moeten we daar nu mee? De slinger, hoewel simpel, is al te lastig om dingen precies uit te rekenen. Men vermoedde al wel dat er wat aan de hand was (Poincare, Lorentz), maar het heeft tot de jaren 70 geduurd tot er echte vooruitgang geboekt werd.
Sep 13 2010 slide14
De logistische afbeelding Een 1D afbeelding is een getallenreeks
die volgens een vast voorschrift geconstrueerd wordt:
Voorbeeld: de reeks
wordt gecontrueerd met het voorschrift
Sep 13 2010 slide15
Afbeeldingen als banen De reeks wordt eenduidig vastgelegd door de keuze van het beginpunt . We noemen zo’n afbeelding deterministisch. De index kunnen we opvatten als een (discrete) tijdscoordinaat: hij meet het aantal iteraties vanaf .
= de baan of orbit van Sep 13 2010 slide16
Afbeeldingen: onvoorspelbaarheid in z’n simpelste vorm
Door de connectie met tijdsevolutie van systemen (nu dus in discrete tijdstappen) zijn 1D afbeeldingen uitermate geschikt om complexe verschijnselen als onvoorspelbaarheid in hun meest handelbare vorm te bestuderen. Wij gaan dat nu doen aan de hand van het bekendste voorbeeld, de logistieke afbeelding die in 1976 door Robert May als model voor populatiegroei geintroduceerd en geanalyseerd werd
Sep 13 2010 slide17
De Logistische afbeelding De logistische afbeelding
beeldt het interval [0,1] af op zichzelf:
hij is tweedegraads (hoogste macht is een kwadraat), dus de grafiek die erbij hoort is een parabool
Sep 13 2010 slide18
De Logistische afbeelding
1. 2. 3. 4.
Kies x0 op de x-as verticaal naar de parabool horizontaal naar y=x go to 2
Sep 13 2010 slide19
Grafische iteratie
zelf doen…
Sep 13 2010 slide20
De Logistische afbeelding
Sep 13 2010 slide 21
De Logistische afbeelding
enz.
Sep 13 2010 slide 22
Orde en Wanorde in de Logist We maken een reeks volgens de logist, en plotten de orbit
x0=0.9 Sep 13 2010 slide 23
Orde en Wanorde in de Logist voor A=2.5 convergeren alle banen naar x=0.6
x0=0.1 Sep 13 2010 slide 24
Fixed points Een fixed point van een afbeelding is een punt waar alle reeksen naar convergeren, onafhankelijk van x0. Het is dus een oplossing van
Laten we die oplossing
noemen: we lossen dus op
Controle: voor A=2.5 is x dus 0 of 0.6, zoals we eerder al zagen. Merk op dat het fixed point tevens het snijpunt met de lijn y=x is!
Sep 13 2010 slide 25
Orde en Wanorde in de Logist A=3.75
x0=0.9 Sep 13 2010 slide 26
Orde en Wanorde in de Logist Beter om te kijken naar de laaste 200 punten van een lange reeks
A=3.75, x0=0.9. Geen convergentie! (en die komt er nooit). Sep 13 2010 slide 27
Stabiliteit van het fixed point
stabiel: spiraal in
instabiel: spiraal uit
conditie voor stabiliteit: abs(afgeleide in snijpunt )< 1
Sep 13 2010 slide 28
Voor de Logist betekent dat dus dat het FP stabiel is voor
wat gebeurt er voor A>3?
Sep 13 2010 slide 29
Hoe gaat de orde over in wanorde? Voor A>3 (hier A=3.2):Bifurcatie naar een oscillerende toestand
2-cykel: Sep 13 2010 slide 30
Peroid doubling cascade
A=3.5 4-cykel Daarna 8-cykel, 16,32, enz tot aan A~3.57 Sep 13 2010 slide 31
Het eind van de periodeverdubbelingen… A=3.7: chaos na het einde van de PD cascade.
Sep 13 2010 slide 32
Bifurcatiediagram
Sep 13 2010 slide 33
Gevoelige afhankelijkheid precies gemaakt.
divergentie van twee nabijgelegen banen
Sep 13 2010 slide 34
de Lyapunov exponent
>0: exponentieel divergent <0: convergent
Sep 13 2010 slide 35
Orde en Wanorde in de Logist Positieve LE: chaos & onvoorspelbaarheid
Sep 13 2010 slide 36
De Logist voor A=4: maximale chaos
Na een transformatie – zie dictaat:
oplossing (mod 1)
: λ = Ln(2) = 0.6931
Sep 13 2010 slide 37
De Logist voor A=4: maximale chaos Binair getal tussen 0 en 1:
met
bijvoorbeeld:
Sep 13 2010 slide 38
De Logist voor A=4: maximale chaos
Schuifregister!
Onbelangrijk wordt belangrijk, LSB->MSB!
Sep 13 2010 slide 39
