Buku 2 : RKPM (Rencana Kegiatan Pembelajaran Minggu ke-1)

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS TEKNIKJURUSAN TEKNIK GEODESI Jalan Grafika No. 2, Sendowo, Yogyakarta

Buku 2 : RKPM (Rencana Kegiatan Pembelajaran Minggu ke-1) MATEMATIKA GEODESI Semester III / 2 SKS / TKGD2302

Oleh: 1. Ir. Parseno, MT. 2. Ir. Nurrohmat Widjajanti, MT., Ph.D. 3. Dwi Lestari, ST., ME. 4. Ir. Sri Narni, MT.

Didanai dengan Dana BOPTN P3-UGM Tahun Anggaran 2013

Nopember 2013

1

LEMBAR PENGESAHAN LAPORAN PENYUSUNAN MODUL PEMBELAJARAN BPOPTN – 2013 1

2

3

4

5

a. Buku I b. Matakuliah c. Program Studi d. Semester/SKS/Kode e. Prasyarat f. Status matakuliah Dosen Pengampu I a. Nama lengkap dan gelar b. Pangkat, Golongan, NIP c. Jabatan Fungsional d. Jurusan, Fak, Univ. Dosen Pengampu II a. Nama lengkap dan gelar b. Pangkat, Golongan, NIP c. Jabatan Fungsional d. Jurusan, Fak, Univ. Dosen Pengampu III a. Nama lengkap dan gelar b. Pangkat, Golongan, NIP c. Jabatan Fungsional d. Jurusan, Fak, Univ. Dosen Pengampu IV a. Nama lengkap dan gelar b. Pangkat, Golongan, NIP c. Jabatan Fungsional d. Jurusan, Fak, Univ.

Rencana Kegiatan Pembelajaran Mingguan (RKPM) Matematika Geodesi Teknik Geodesi dan Geomatika III/3 SKS/TKGD2302 Sistem Acuan Geodetik Wajib Ir. Parseno, MT. Penata Tk.I, III.d., 1956 10 08 1983 03 1 001 Lektor Teknik Geodesi, Fakultas Teknik, UGM Ir. Nurrohmat Widjajanti, M.T., Ph.D. Pembina, IV.a., 1969 10 21 1994 03 2 003 Lektor Kepala Teknik Geodesi, Fakultas Teknik, UGM Dwi Lestari, ST.,ME. Asisten Ahli, III.a., 1975 08 30 1999 03 2 002 Lektor Teknik Geodesi, Fakultas Teknik, UGM Ir. Sri Narni, MT. Penata Muda, III.c., 1950 10 09 1977 02 2 001 Lektor Teknik Geodesi, Fakultas Teknik, UGM

Disetujui : Ketua Jurusan Teknik Geodesi Ketua PS T. Geodesi dan Geomatika

Ir. Djurdjani, MSP., M.Eng., Ph.D. NIP 1958 08 20 1985 02 1 001

Yogyakarta, 20 November2013 Koordinator Dosen Pengampu

Ir. Parseno, MT. NIP 1956 10 08 1983 03 1 001

2

DAFTAR ISI HALAMAN PENGESAHAN PRAKATA DAFTAR ISI MODUL 1

: Pendahuluan dan Review Aljabar Vektor

MODUL 2

: Sistem Koordinat Vektor

MODUL 3

: Aplikasi Vektor dalam Geometri Analitik

MODUL 4

: Diferensial Vektor

MODUL 5

: Medan Skalar dan Medan Vektor

MODUL 6

: Geometri Diferensial

MODUL 7

: Geometri Diferensial

MODUL 8

: Tes Sumatif 1 (UTS)

MODUL 9

: Geometri Diferensial

MODUL 10

: Geometri Diferensial

MODUL 11

: Segitiga Bola

MODUL 12

: Geometri Segitiga Bola

MODUL 13

: Geometri Segitiga Bola

MODUL 14

: Aplikasi Segitiga Bola

MODUL 15

: Aplikasi Segitiga Bola

MODUL 16

: Tes Sumatif 2 (UAS)

3

PRAKATA Matematika Gedesi adalah matakuliah wajib di semester III pada program studi Teknik Geodesi dan Geomatika, Jurusan Teknik Geodesi Fakultas Tekik UGM. Matakuliah ini diselenggarakan sebagai salah satu pendukung kompetensi yang harus dicapai lulusan program S1 Program Studi Teknik Geodesi dan Geomatika. Keberhasilan pencapaian kompetensi yang diharapkan pada program studi ini sangat ditentukan oleh proses kegiatan pembelajaran. Dalam rangka menuju ke cita-cita program studi tersebut disusunlah Bahan Ajar untuk matakuliah Matematika Geodesi. Buku ini diharapkan dapat digunakan sebagai acuan oleh pengampu matakuliah Matematika Geodesi dalam menyampaikan perkuliahan maupun oleh mahasiswa yang mengambil matakuliah ini. Dengan selesainya pembuatan buku bahan ajar Matematika Geodesi ini, penyusun menyampaikan ucapan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Ketua P3 UGM atas biaya yang dialokasikan guna penyusunan buku ini. 2. Ketua Jurusan Teknik Geodesi atas kepercayaan yang diberikan untuk menyusun buku ini. 3. Tim MONEV atas masukan-masukan guna perbaikan dalam penyusunan buku RPKPS an Bahan Ajar. Selanjutnya harapan penyusun semoga buku ini dapat membantu pengampu matakuliah Matematika Geodesi dalam menyampaiakan materi di kelas dan membantu mahasiswa dalam memahami isi matakuliah Matematika Geodesi. Yogyakarta, 20 November 2013 Koordinator Dosen Pengampu

Ir Parseno, MT. NIP 1956 10 08 1983 03 1 001

4

TINJAUAN MATAKULIAH Matematika Geodesi III/3 SKS/TKGD2302/Wajib DESKRIPSI MATAKULIAH Matakuliah ini menjelaskan dasar-dasar matematika yang digunakan dalam ilmu Geodesi, meliputi aljabar vektor, diferensial vektor, geometri diferensial, medan skalar dan medan vektor, serta ilmu ukur segitiga bola.

KEGUNAAN MATAKULIAH BAGI MAHASISWA Matakuliah ini berguna bagi mahasiswa terutama dalam mempelajari bentuk bumi terkait dengan medan gayaberat bumi, penentuan konstanta fisik bumi, dan karakteristik dari garis untuing-unting (plumb line) terhadap bidangbidang equipotensial. Matakuliah lain yang didasari oleh matakuliah ini adalah Proyeksi Peta. Pengetahuan tentang kelengkungan garis, kelengkungan normal pada bidang-bidang irisan sangat mendukung dalam memahami transformasi data ukuran pada bidang lengkung ke bidang datar (bidang peta). Dengan memiliki bekal materi pada matakuliah Matematika Geodesi diharapkan mahasiswa akan lebih mudah dalam mempelajari matakuliah lanjutan yang terkait dengan Matematika Geodesi.

TUJUAN PEMBELAJARAN Mahasiswa mampu menyelesaikan persoalan-persoalan hitungan dalam aljabar vektor dan hitungan diferensial pada vektor, dapat menerapkan hitungan vektor untuk menyelesaikan persoalan pada kurva dan luasan (geometri diferensial) serta mampu menyelesaikan persoalan-persoalan hitungan dalam ilmu segitiga bola untuk mendukung tercapainya kompetensi dalam pengolahan data geosapasial.

5

SUSUNAN URUTAN BAHAN AJAR BAB I : PENDAHULUAN DAN RIVIEW ALJABAR VEKTOR a. Penggunaan Vektor dan Segitiga Bola b. Pengertian Vektor, Jenis dan Sifat-sifat Vektor c. Letak Relatif 2 Vektor (Dependent dan Indepent Linear). d. Letak Relatif 3 Vektor (Asas Koplanaritas). e. Dalil-dalil dalam R2 (2-dimensi) dan R3 (3-dimensi). BAB II : SISTEM KOORDINAT VEKTOR a. Komponen Vektor dalam Bidang dan Ruang b. Vektor Satuan c. Operasi Vektor Penjumlahan, Selisih dan Perkalian dengan Skalar d. Operasi Vektor : Dot Product dan Cross Product e. Operasi Vektor : Perkalian 3 Vektor BAB III : APLIKASI VEKTOR DALAM GEOMETRI ANALITIK a. Persamaan Garis AB b. Persamaan Garis melalui A Sejajar Vektor b c. Persamaan Garis/Bidang melalui A Tegak Lurus Vektor b d. Persamaan Bidang melalui A // b dan // c e. Menentukan Jarak Titik ke Garis atau Bidang f. Persamaan Bidang Tertentu oleh 3 Vektor g. Sudut antara Dua Bidang BAB IV : DIFERENSIAL VEKTOR a. Fungsi Satu Perubah b. Fungsi Lebih dari Satu Perubah BAB V : MEDAN SKALAR DAN MEDAN VEKTOR

6

a. Pengertian Medan Skalar dan Medan Vektor b. Gradien c. Divergensi BAB VI : GEOMETRI DIFERENSIAL a. Kurva dalam Ruang b. Vektor Singgung c. Vektor Binormal pada Kurva BAB VII : GEOMETRI DIFERENSIAL a. Kelengkungan dan Puntiran pada Kurva b. Sifat-sifat Kurva BAB VIII : UJIAN TENGAH SEMESTER (Tes Sumatif 1) BAB IX : GEOMETRI DIFERENSIAL a. Luasan atau Permukaan dan Garis b. Besaran Fundamental Orde I dan Orde II BAB X : GEOMETRI DIFERENSIAL a. Kelengkungan Utama Gauss b. Sifat-sifat Developable c. Sifat Titik pada Luasan BAB XI : SEGITIGA BOLA a. Pengertian dan Terbentuknya Segitiga Bola b. Istilah dalam Segitiga Bola BAB XII : GEOMETRI SEGITIGA BOLA a. Syarat Hitungan pada Segitiga Bola b. Jenis Segitiga Bola c. Hitungan pada Segitiga Bola Siku (Aturan Napier)

7

BAB XIII : GEOMETRI SEGITIGA BOLA a. Hitungan pada Segitiga Bola Kutub b. Hitungan pada Segitiga Bola Kwadran c. Hitungan pada Segitiga Bola Sembarang (Aturan Sinus dan Cosinus) BAB XIV : APLIKASI SEGITIGA BOLA a. Pelayaran melalui Lingkaran Besar b. Penentuan Arah Garis antara Dua Tempat BAB XV : APLIKASI SEGITIGA BOLA a. Aplikasi Segitiga Bola pada Astronomi b. Bola Langit c. SK Langit BAB XVI : UJIAN AKHIR SEMESTER (Tes Sumatif 2)

PETUNJUK PENGGUNAAN BAHAN AJAR Buku Bahan Ajar ini digunakan sebagai pedoman baik bagi dosen pengampu maupun mahasiswa. Materi pembelajaran pada matakuliah ini tersusun dala 16 bab. Setiap bab adalah materi untuk satu kali pertemuan. Dengan buku ini diharapkan mahasiswa dapat mengetahui materi-materi dalam satu pertemuan, sehingga dapat mempersiapkan materi sebelum kuliah. Agar supaya mahasiswa dapat lebih memahami mengenai materi yang disampaikan setiap kali pertemuan, dalam buku ini dilengkapi dengan pertanyaanpertanyaan ataupun soal latihan hitungan. Penyelesaian soal-soal latihan pada setiap akhir pertemuan digunakan sebagai tolok ukur keberhasilan dalam proses pembelajaran. Supaya proses pembelajaran matakuliah Matematika Geodesi dapat berjalan lancar, maka mahasiswa wajib:

8

1. Membaca/ mempelajari daftar pustaka yang diwajibkan dan dianjurkan. 2. Mengerjakan latihan/tugas yang diberikan oleh dosen pengasuh, baik berkelompok maupun mandiri. 3. Aktif

bertanya,

menjawab

pertanyaan

maupun

menyampaikan

pendapatnya pada saat sesi diskusi di setiap pertemuan kuliah.

9

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS TEKNIKJURUSAN TEKNIK GEODESI Jalan Grafika No. 2, Sendowo, Yogyakarta

Buku 2 : RKPM (Rencana Kegiatan Pembelajaran Minggu ke-1 ) MATEMATIKA GEODESI Semester III / 2 SKS / TKGD2302

Oleh: 1. Ir. Parseno, MT. 2. Ir. Nurrohmat Widjajanti, MT., Ph.D. 3. Dwi Lestari, ST., ME. 4. Ir. Sri Narni, MT.

Didanai dengan Dana BOPTN P3-UGM Tahun Anggaran 2013

November 2013 10

BAB I PENDAHULUAN DAN REVIEW ALJABAR LINIER I.1. Pendahuluan Bagian ini dimaksudkan untuk memberi gambaran kepada mahasiswa tentang lingkup pembelajaran matakuliah Matematika Geodesi secara keseluruhan serta keterkaitanya dengan bidang geodesi dan bidang lain khususnya kalkulus. Pada bab I, akan dibahas materi tentang: penggunaan vektor dan segitiga bola dalam bidang geodesi. Selanjutnya akan di-review mengenai pengertian vektor, jenis vektor dan sifat-sifatnya, letak relatif 2 vektor (dependent dan indepent linear), serta dalil-dalil dalam R2 (2-dimensi) dan R3 (3-dimensi). I.1.1. Deskripsi Singkat Vektor adalah besaran yang memiliki besar/nilai dan arah. Dalam penerapannya beberapa vektor dapat digabung dengan operasi aljabar. Letak relatif dari 2 buah vektor atau satu vektor terhadap vektor lainya dapat menunjukan hubungan linier yang disebut hubungan gayut (dependen) atau hubungan tak gayut (independen). Sedangkan hubungan linier tiga buah vektor dapat digunakan untuk menjelaskan azas koplanaritas yaitu suatu azas yang menunjukan bahwa ketiga vektor tersebut terletak pada satu bidang atau tidak. I.1.2. Manfaat Mahasiswa dapat memahami arti pentingnya medan vektor dan segitiga bola dalam kerangka konsep model bumi teoritik atau model bumi matematis. Pengetahuan

tentang

azas

kolinieritas

dan

koplanaritas,

sangat

mendukung dalam mempelajari matakuliah Fotogrametri. Di dalam Fotogrametri dipelajari pembentukan bayangan tiga dimensi dari sepasang foto udara/citra yang bertampalan. Dengan rekonstruksi bayangan tiga dimensi secara analitik azas kolinier dan koplanaritas diterapkan. Selanjutnya dapat diproses foto ortogonal yang selanjutnya dapat digunakan sebagai peta.

11

I.1.3. Relevansi Bab I ini mempunyai maksud memperkenalkan mahasiswa tentang ruang lingkup geodesi secara umum dalam kaitannya dengan disiplin ilmu lainnya, sehingga mahasiswa mendapat gambaran disiplin ilmu yang menjadi dasar ilmu geodesi dan disiplin ilmu penunjangnya. Dari uraian manfaat jelas bahwa pengetahuan letak relatif dari dua atau lebih vektor memiliki hubungan yang kuat, yaitu sebagai jembatan antara pengetahuan matematika dengan ilmu geodesi khususnya bidang fotogrametri. I.1.4. Learning Outcome Setelah mengikuti kuliah pertemuan ke-1, mahasiswa akan dapat: 1. Menjelaskan tentang ruang lingkup Matematika Geodesi. 2. Menjelaskan pengertian dan jenis vektor. 3. Menjelaskan letak vektor dan dalil-dalil yang berlaku. I.2. Penyajian I.2.1. Penggunaan Vektor dan Segitiga Bola Dalam bidang geodesi vektor banyak digunakan untk menguraikan kondisi atau fenomena alam misalnya fenomena yang terkait dengan hukum fisika sperti gravitasi bumi, gaya-gaya yang bekerja di permukaan bumi yang berpengaruh pada gaya gravitasi bumi. Gaya pembangkit pasang-surut bumi atau pasang-surut laut. Segitiga bola digunakan untuk menjelaskan kedudukan bumi secara relatif terhadap planet lain dalam sistem tata surya atau sistem koordinat langit. Segitiga bola juga digunakan untuk menjelaskan hubungan antara tempat yang satu dan tempat yang lain di permukaan bumi dalam sistem toposentris maupun dalam sistem geosentris. I.2.2. Pengertian Vektor dan Skalar Vektor didefinisikan sebagai suatu besaran yang mempunyai arah, misalnya kecepatan, gaya, pergeseran, percepatan dll, sedangkan skalar adalah

12

suatu besaran saja/tidak mempunyai arah misalnya masa, panjang, waktu, suhu, tinggi dll. Untuk memperjelas perbedaan skalar dan vektor bisa diperhatikan Tabel 1. berikut. Tabel 1. Perbedaan vektor dan skalar -

skalar Besaran tanpa arah Contoh: luas, panjang, tinggi, suhu, dll Penulisan simbol: huruf kecil atau besar tanpa strip di bawah, misal: a, b, D, M Operasi pada skalar mengikuti aturan pada aljabar dasar -

Lambang vektor:

P

Q

vektor Besaran yang mempunyai arah Contoh: gaya, kecepatan, percepatan, pergeseran/translasi, dll Penulisan simbol: huruf kecil atau besar dengan strip di bawah, misal a, P, DF atau cara tulis lain dengan tanda panah di atas atau di bawah huruf Ada aturan tentang aljabar vektor

Vektor PQ = PQ P = pangkal Q = ujung Besar vektor PQ = magnitude = |PQ|

a

Besar vektor a = magnitude a = | a | Vektor PQ bisa ditulis PQ , PQ ,

PQ , PQ

I.2.3. Jenis-jenis Vektor Beberapa jenis vektor yaitu: 

Vektor bebas: boleh dipindah asal sejajar dan sama besar Contoh:



Vektor meluncur: boleh digeser sepanjang garis kerja



Vektor terikat tetap: titik pangkal tetap, atau biasa disebut dengan vektor letak

13



Vektor nol = 0 : vektor yang besarnya nol (arah tak tentu)



Vektor satuan (unit vector): vektor yang panjangnya/besarnya/magnitudenya = 1 satuan



Vektor lawan : adalah vektor yang sama besarnya, arah berlawanan

|a| = |-a|

a

-a

Dua buah vektor a dan b dikatakan sama apabila: -

Sama panjang

-

Sejajar

-

Sama arahnya

a

a b a=b

a b

b a≠b

a≠b

I.2.4. Operasi Vektor (Secara Grafis) Operasi yang dimaksud disini adalah operasi-operasi aljabar seperti pada bilangan skalar, yaitu penjumlahan, pengurangan dan perkalian. a. Penjumlahan

a a +b

b

a a +b

b b+a b

a

14

Sehingga pada penjumlahan vektor berlaku sifat komutatif : a + b = b + a

a

b

0

(a + b) + c c b+c

a + (b + c)

f c

a+b b

e

a

d f = ??

Sifat asosiatif juga berlaku pada penjumlahan vektor :

(a + b) + c = a + (b + c) b a c

a+b+c+d=0

d

b. Pengurangan

-a c

b

b

c

a a+b=c

c-a=b dapat ditafsirkan sebagai c + (- a) = b

c. Perkalian dengan skalar Jika m adalah suatu skalar dan a adalah suatu vektor, maka:

m a = b,

dengan a // b dan |b| = |m| |a|

15

untuk m > 0 , arah b sama arah dengan a untuk m < 0 , arah b berlawanan arah dengan a Contoh:

c

b=½a

a

c=¾a

d

b

d=-¼a I.2.5. Sifat-sifat Vektor Beberapa sifat vektor dapat dinyatakan sebagai berikut: 1. a + (- a) = 0 2. 1 a = a 3. 0 a = 0 4. m 0 = 0 5. a + 0 = a 6. m (a + b) = ma + mb 7. (m + n) a = ma + na 8. Kombinasi linear

a b

p=ma q=nb ----------------- + r=p+q=ma+nb

r merupakan kombinasi linear a dan b

s=ma+nb+pc+td s merupakan kombinasi linear dari a, b, c, dan d I.2.6. Letak Relatif 2 Vektor (Dependent dan Indepent Linear) Di dalam suatu bidang dua buah vektor

apat dikatakan sebagai linearly

dependent atau linearly independent.

16

1. Dependent linear

a

a

b

b a // b , dengan kata lain b dapat dinyatakan dengan a atau sebaliknya. Misalkan: b = m a

a // b , a dan b saling dependent linear atau a dan b berbeda hanya dari perkalian konstan m (kolinear) 2. Independent linear

b

a

a tidak sejajar b, dengan kata lain a dan b saling independen linear (non kolinear). Jika a dan b dua vektor bukan nol yang tidak saling sejajar, vektor c dalam bidang (R2) diperoleh dengan memilih m dan n yang tepat.

c=ma+nb ma a b

c nb

I.2.7. Letak Relatif 3 Vektor (Asas Koplanaritas)

α

b β

α

a

a b

c β

c 17

Jika dua bidang α dan β sejajar, vektor a, b, c akan sejajar dengan suatu bidang (koplanar), atau vektor a, b, c saling dependent linear. atau

a, b, c sejajar dengan suatu arah bidang yang memuat vektor (koplanar), a, b, c saling dependent linear. bidang α tidak sejajar bidang

sebaliknya

β, disebut independent linear

p

α

p, q, dan r: tidak ada bidang

r

sejajar ketiganya

q

β

(nonkoplanar)

Tiga buah vektor nonkoplanar a, b, c menjadi basis untuk R3, dan vektor d dalam ruang dapat diperoleh dengan menentukann h, m, n yang tepat pada:

d=ha+mb+nc nc

c a

d b

mb

ha I.2.8. Dalil-dalil dalam R2 (2-dimensi) dan R3 (3-dimensi) Dalil 1 : Bila a dan b sejajar, maka selalu dapat ditemukan skalar m sehingga:

b=ma Dalil 2 :

18

Dalam bidang (R2) sembarang vektor c selalu dapat dituliskan sebagai kombinasi linear dari dua vektor yang tidak saling sejajar (independent linear). Dalil 3 : Dalam ruang (R3), sembarang vektor d selalu dapat ditulis sebagai kombinasi linier 3 vektor yang nonkoplanar (independent linear). Dalil 4 : Dalam bidang, 3 vektor atau lebih selalu dependent linear. Dalil 5 : Dalam ruang, 4 vektor atau lebih selalu dependent linear. I.3. Penutup I.3.1. Rangkuman Dalam pokok bahasan ini mahasiswa dihantarkan untuk memahami penggunaan vektor dan segitiga bola terutama terkait dengan disiplin geodesi. Dasar dasar operasi vektor, sifat-sifat dalam operasi vektor dan azas kolinieritas serta azas koplanaritas menjadi inti pembahasan. Sedangkan yang terkait dengan segitiga bola akan dibahas lebih detil mulai pada pertemuan ke-12 sampai pertemuan ke-15. I.3.2. Tes Formatif 1. Tentukan 3 buah vektor a, b, c sembarang dan tidak saling sejajar. Lakukan operasi berikut secara grafis: a. a + b + 2c b. 2a – b + c c. ½ a + b – c 2. Jika a dan b adalah sisi-sisi jajaran genjang (parallelogram), tentukan vektor-vektor yang membentuk dua sisi lainnya dan diagonalnya. 3. Buktikan bahwa pada penjumlahan vektor berlaku hukum asosiatif.

19

4. Buktikan bahwa pada perkalian vektor dengan skalar berlaku hukum distributif. 5. Tanto bersepeda ke arah Utara sejauh 3 km, kemudian berbelok ke arah Tenggara sejauh 5 km. Gambarkan arah pergerakan Tanto dan berapa resultan pergerakannya? 6. Tunjukan vektor-vektor yang independent dan dependent linear pada contoh bangun bidang dan ruang berikut ini: a. a

b

b.

b

a

e d

c

c g

f

h

d

e D

c. A

C

d.

B

h f

g

e H E

G

a

c

d

F

b

I.3.3. Petunjuk Penilaian dan Umpan Balik Kriteria Lingkup matematika geodesi Perkembangan penentuan dimensi bumi Peran data gayaberat di bidang geodesi

0 Tidak mampu menjelaskan Tidak mampu menjelaskan Tidak mampu menjelaskan

Skor 1 Dapat menjelaskan sebagian Dapat menjelaskan sebagian Dapat menjelaskan sebagian

2 Dapat menjelaskan secara runtut Dapat menjelaskan secara runtut Dapat menjelaskan secara runtut

20

I.3.4. Tindak Lanjut Bagi mahasiswa yang termasuk dalam katagori dengan nilai skor kurang dari 2 dianjurkan untuk membaca sumber pustaka terkait lebih intensif dibandingkan dengan kelompok mahasiswa yang memiliki katagori dengan skor 2. I.3.5. Sumber Pustaka Narni, S. dan Muryamto, R., 1999, Matematika Geodesi, Jurusan Teknik Geodesi, Fakultas Teknik UGM, Yogyakarta. Stein, F.M., Ph.D., 1963, An Introduction to Vector Analysis, Harper and Row Publishers, New York. Strang, G. dan K. Borre, 1997, Linear Algebra, Geodesy, and GPS, WellesleyCambridge Press, USA.

21

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS TEKNIKJURUSAN TEKNIK GEODESI Jalan Grafika No. 2, Sendowo, Yogyakarta

Buku 2 : RKPM (Rencana Kegiatan Pembelajaran Minggu ke-2 ) MATEMATIKA GEODESI Semester III / 2 SKS / TKGD2302

Oleh: 1. Ir. Parseno, MT. 2. Ir. Nurrohmat Widjajanti, MT., Ph.D. 3. Dwi Lestari, ST., ME. 4. Ir. Sri Narni, MT.

Didanai dengan Dana BOPTN P3-UGM Tahun Anggaran 2013

November 2013 22

BAB II SISTEM KOORDINAT VEKTOR

II.1. Pendahuluan II.1.1. Deskripsi Singkat Sistem koordinat pada dasarnya digunakan untuk mengetahui posisi (lokasi) suatu titik dibandingkan dengan posisi (lokasi) titik lainya. Pada umumnya elemen-elemen penentu posisi menggunakan angka-angka koordinat yang diletakan pada sistem sumbu-sumb koordinat. Pengertian sistem koordinat vektor tidak jauh berbeda dengan sistem-sistem koordinat lainnya, hanya saja pemahaman elemen-elemen koordinat menjadi menjadi komponen-komponen vektor posisi dari suatu titik. II.1.2. Manfaat Pengetahuan tentang sistem koordinat vektor sangat bermanfaat dalam mempelajari penentuan posisi di permukaan bumi menggunakan space teknologi. II.1.3. Relevansi Di bidang geodesi teknologi penentuan posisi di permukaan bumi menjadi bagian penting dalam mempelajari bentuk, ukuran serta dinamika bumi. Analisis yang terkait dengan perubahan atau pergeseran posisi sering disajikan dalam vektor posisi. II.1.4. Learning Outcome Setelah mengikuti kuliah pertemuan ke-2, mahasiswa akan dapat: 1. Menjelaskan komponen vektor dalam ruang. 2. Menghitung vektor satuan. 3. Menerapkan operasi vektor dalam hitungan.

23

II.2. Penyajian II.2.1. Komponen Vektor dalam Bidang dan Ruang a. Vektor letak Suatu titik dalam ruang dapat ditentukan letaknya dengan vektor letaknya (position vector). Bila O (titik pangkal) sudah ditentukan, maka letak

P

suatu titik P dapat ditentukan dengan vektor OP = p yang berpangkal di O dan berujung di P, maka

p

vektor letak ini harus berjenis vektor terikat.

O b. Sistem koordinat R2 Dalam

D

o

titik

yang independent linear: u1 dan u2.

C u1

ditentukan

pangkal O dan sepasang vektor basis

B u2

bidang

Titik B ditandai oleh vektor letak b = OB, maka menurut dalil 2, b akan dapat ditulis sebagai kombinasi linier

u1 dan u2. Contoh : b = 2 u1 + 3 u2 Dalam hal ini titik B lalu diberi koordinat B(2, 3), periksa koordinat C dan D. Sistem koordinat yang timbul disebut cartesius (yang umum). Apabila u1 tegak lurus u2, maka didapat sistem koordinat cartesius orthogonal. Yang biasa digunakan di geodesi adalah sistem koordinat cartesius ortonormal, yaitu u1 tegak lurus u2 dan magnitude u1 = magnitude u2.

24

Sistem ini juga disebut koordinat tegak dan vektor basisnya biasa diberi nama: i (pada arah sumbu x) dan j (pada arah sumbu y). Secara umum, vektor letak suatu titik P juga akan diberi koordinat, sama dengan koordinat P. Dalam gambar di atas, B ditandai oleh b = 2 u1 + 3 u2 lalu ditulis b = (2,3) yang dianggap sebagai bentuk singkat penulisan b = 2 u1 + 3 u2. Bilangan 2 dan 3 disebut koordinat = komponen skalar vektor b. Dalam sistem koordinat tegak, a = OA = (4, -2) artinya a = 4i - 2j yang akan menunjuk titik A(4, -2). c. Sistem koordinat R3 Dalam ruang dapat ditentukan pangkal O dan 3 vektor independen linear

u1, u2, u3 sebagai basis dan setiap titik akan ditandai dengan vektor letaknya.

a

Titik A ditentukan oleh:

u3

a = OA = a1 u1 + a2 u2 + a3 u3 = (a1, a2, a3)

u2

O

maka koordinat A ialah A(a1, a2, a3)

u1 II.2.2. Vektor Satuan

Y

Z

Dalam R2:

Dalam R3:

k j i

i

X

j

Y

X 25

i, j, k = vektor basis/satuan | i | = | j | = | k | = 1, saling tegak lurus, orientasi tangan kanan Dalam R2: vektor posisi suatu titik P (p1, p2) ditulis p = p1 i + p2 j |p|=

2

p1  p 2

2

Dalam R3: vektor posisi suatu titik A (a1, a2, a3) ditulis a = a1 i + a2 j + a3 k

| a | = a1 2  a 2 2  a3 2 Vektor satuan a = μa= a / | a | II.2.3. Operasi Vektor Penjumlahan, Selisih dan Perkalian dengan Skalar Jika a = a1 i + a2 j + a3 k dan b = b1 i + b2 j + b3 k Penjumlahan:

a + b = (a1+ b1) i + (a2 + b2) j + (a3 + b3) k = (a1+ b1 , a2 + b2 , a3 + b3) Selisih:

a - b = (a1 - b1) i + (a2 - b2) j + (a3 - b3) k = (a1- b1 , a2 - b2 , a3 - b3) Perkalian dengan skalar: m a = (ma1) i + (ma2) j + (ma3) k = ( ma1, ma2, ma3) Perhatikan:

B

b

AB = b - a a = (a1, a2, a3)

O

a

A

|AB| = jarak = |b – a| =

b = (b1, b2, b3) sehingga b – a = (b1 – a1, b2 – a2, b3 – a3)

(b1  a1 ) 2  (b2  a2 ) 2  (b3  a3 ) 2

II.2.3. Operasi Vektor: Dot Product dan Cross Product

26

Pada materi sebelumnya telah dibahas perkalian vektor dengan suatu skalar. Pada pokok bahasan ini akan dibahas perkalian vektor dengan vektor. Hasil kali dua buah vektor dibedakan menjadi hasil kali titik (dot product) dan hasil kali silang (cross product). Hasil kali titik (dot atau scalar product) Hasil kali titik dua buah vektor a dan b didefinisikan sebagai:

a  b  a b cos  dimana θ adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh vektor a dan b. Secara geometrik, hasil kali titik adalah panjang vektor a dikalikan panjang dari proyeksi vektor b di a atau panjang proyeksi a di b dikalikan panjang vektor b.

b

B

θ

O

Bo

A

a

a . b = |a| |b| cos θ = |OA| |OB| cos θ = |OA| |OBo| = panjang a kali panjang proyeksi b pada a

b O

B

Ao

θ

a

A

a . b = |OB| |OA| cos θ = |OB| |OAo| = |b| |a| cos θ =b.a

27

Sifat –sifat yang berlaku pada hasil kali titik: 1. a . b = b . a , sifat komutatif 2. a . (b + c) = a . b + a . c , sifat distributif (a + b) . c = a . c + b . c 3. m (a . b) = (ma) . b = a . (mb) 4. jika a tegak lurus b maka a . b = 0 5. a . 0 = |a||0| cos θ = 0 6. a . a = |a||a| cos 0 = |a|2 sehingga |a| = (a . a)1/2 7. i . j = i . k = j . k = 0 8. i . i = j . j = k . k = 1 Misal a = a1i + a2j + a3k dan b = b1i + b2j + b3k a . b = (a1i).(b1i) + (a1i).(b2j) + (a1i).(b3k) + (a2j).(b1i) + … (silahkan dijabarkan sendiri…) a . b = a1b1 + a2b2 + a3b3 Sudut antara 2 arah : cos θ =

a b  ab

a1b1  a2b2  a3b3 2

2

a1  a2  a3

2

2

2

b1  b2  b3

2

Contoh 1: p = (2, 4, 1) dan q = (6, -3, 0) p . q = 2 . 6 + 4 . (-3) + 1 . 0 = 0 artinya p tegak lurus q Jadi jika a . b = 0 , maka a = 0 atau b = 0 atau θ = 90º a.a = a1a1 + a2a2 + a3a3 = a12 + a22 + a32 Contoh 2: Diketahui: a = 2i + j + 3k b = i – 4k c = 3i – j + 2k Soal Latihan Hitunglah: a. a . b dan b . a b. |a| , |b|, |c| c. |a + b|, |a + c| d. (a – b) . c e. 3a . 2c dan 6(a . c)

28

f. (a + b) . c g. Sudut yang terbentuk oleh a dan b h. Vektor satuan pada arah a i. Komponen vektor b pada a Latihan ini dikerjakan/didiskusikan di kelas. II.2.3. Operasi Vektor: Perkalian 3 Vektor Hasil kali silang dua buah vektor a dan b ditulis sebagai:

ab  c Hasil kali silang berupa vektor (vektor c ) yang tegak lurus terhadap vektor a dan vektor b (orientasi tangan kanan). Magnitude dari vektor c dapat ditulis dengan persamaan berikut: |c| = |a| |b| sinθ Dengan kata lain vektor c tegak lurus pada bidang yang tertentu oleh a dan b seperti ditunjukkan pada gambar berikut: c=axb b θ

θ

a b

a c=axb

Arti geometris: |a x b| = |a| |b| sin θ B

C

b

O

= |OA| |OB| sinθ = |OA||BBo| = luas OACB

θ Bo

a

A

= luas jajaran genjang yang tertentu oleh a dan b

29

Akibatnya luas Δ OAB = ½ |a x b|

R

Luas segitiga yang tertentu oleh dua vektor Secara umum dapat ditulis : Luas ΔPQR = ½ |PQ x PR|

θ P

Q

= ½ |PQ| |PR| sinθ Sifat-sifat hasil kali silang: a. Jika a // b maka a x b = 0, khususnya a x a = 0 b. a x b = - b x a c. a x (b + c) = a x b + a x c (a + b) x c = a x c + b x c d. m ( a x b) = (ma) x b = a x (mb) e. a x b = 0 , maka a = 0, atau b = 0, atau a // b f. i x j = |i| |j| sin 90º k = 1.1k = k,

j x k = i,

k x i =j

g. i x i = j x j = k x k = 0 jika

a = a1i +a2j + a3k b = b1i +b2j + b3k

a x b = silahkan dijabarkan berdasar sifat-sifat di atas Perkalian tiga buah vektor dapat dilakukan dengan mengikuti langkah-langkah perkalian pada dua vektor, namun perlu diperhatikan beberapa hal berikut: a. a . b . c

= tidak berarti

b. (a x b) . c

= tidak berarti

c. (a . b) c = m c

= hasil berupa vektor

d. a ( b . c) = a m

= hasil berupa vektor

e. (a x b) . c = a x b . c = hasil berupa skalar f. a . (b x c) = a . b x c

= hasil berupa skalar

g. (a x b) x c

= hasil berupa vektor

h. a x (b x c)

= hasil berupa vektor

hasil kali triple skalar hasil kali triple vektor

30

Hasil kali triple skalar axb.c

Co θ

C

a x b = L …vektor luas OADB

c B

dengan |L| = luas OADB axb.c=L.c

b

O

= |L||c| cosθ

D

= |L| OCo

a A OCo = proyeksi c ke L = tinggi c di atas bidang OADB a x b . c = luas OADB x tinggi C

adalah volume parallel epipedum yang tertentu oleh a, b, c Jika a = a1 i + a2 j + a3 k b = b1 i + b2 j + b3 k c = c1 i + c2 j + c3 k

ab 

a2

a3

i

a3

a1

b2 b3 b3 b1 c = c1i + c2j + c3k

j

a1 b1

a2 k b2

----------------------------------------------------- . (perkalian dot) a 2 a3 a a1 a a2 c1  3 c2  1 c3 = b2 b3 b3 b1 b1 b2

c1 a  b  c  a1 b1

c2 a2 b2

c3 a1 a3   c1 b3 b1

a2 c2 b2

a3 a1 c3  b1 b3 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

31

II.3. Penutup II.3.1. Rangkuman Vektor satuan digunakan sebagai skala dalam menentukan posisi dalam sistem koordinat vektor. Apabila suatu vektor akan dinyatakan terhadap vektor lainya, maka diperlukan vektor satuan untuk menyatakannya. Terkait dengan sifat-sifat

orthogonalism

pada

sumbu-sumbu

kordinat

maka

diperlukan

pengetahuan tentang hasil perkalian operasi vektor. Di dalam operasi vektor diagonal ada dua perkalian yang berbeda yaitu operasi perkalian titik (dot) dan operasi perkalian silang (cross). Beberapa karakteristik khusus operasi perkalian vektor terkait pada sistem koordinat perlu dipahami. II.3.2. Tes Formatif 1. Tentukan titik D supaya ABCD menyusun sebuah jajaran genjang, dimana A(4,4,1); B(2,1,5); C(6,8,0) 2. Diketahui p = 3i – 2j + k ; q = 2i – 4j – 3k ; r = -i + 2j + 2k a. Tentukan magnitude dari p ; p + q - r ; 2p – 3q + r b. Tentukan vektor satuan p, q dan r 3. Jika r1 = 2i – j + k ; r2 = i + 3j – 2k ; r3 = -2i + j – 3k dan r4 = 3i + 2j + 5k. Tentukan skalar h, m, n, sehingga r4 = hr1 + mr2 + nr3. Tunjukan bahwa dot product dapat digunakan untuk merumuskan aturan cosines pada segitiga. 4. Jika c tegak lurus a dan b, buktikan bahwa c juga tegak lurus terhadap: a. a + b b. 2a – b c. b – a 5. Tentukan sudut antara a = 3i + 2j – 2k dan b = 2i – 3j + k 6. Tentukan nilai m sehingga a = 2i + mj + k tegak lurus b = 4i – 2j – 2k 7. Tentukan panjang proyeksi vektor a = i – 2j + k pada b = 4i - 4j + 7k 8. Diketahui a = 3i – j +2k, b = 2i +j – k, dan c = i – 2j + 2k , tentukan: 32

a. a x b; b x c; (a x b) x c b. Luas segitiga tertentu oleh a, b, dan c 9. Tentukan vektor satuan yang tegak lurus bidang yang tertentu oleh: a = 2i – 3 j + k dan b = i + 3j + 2k Tunjukan bahwa cross product dapat digunakan untuk merumuskan aturan sinus pada segitiga. II.3.3. Petunjuk Penilaian dan Umpan Balik Kriteria Menjelaskan komponen vektor dalam ruang 2 dan 3 Menghitung vektor satuan Penerapan operasi vektor

0 Tidak mampu menjelaskan Tidak dapat melakukan hitungan Tidak dapat menerapkan

Skor 1 Dapat menjelaskan sebagian Dapat melakukan hitingan tetapi hasilnya salah Dapat menerapkan sebagian

2 Dapat menjelaskan secara runtut Dapat melakukan hitingan dan hasilnya benar Dapat menerapkan seluruh operasi vektor

II.3.4. Tindak Lanjut Bagi mahasiswa yang termasuk dalam katagori dengan nilai skor kurang dari 2 dianjurkan untuk membaca sumber pustaka terkait dan melakukan latihan mengerjakan soal lebih intensif dibandingkan dengan kelompok mahasiswa yang memiliki katagori dengan skor 2. II.3.5. Sumber Pustaka Narni, S. dan Muryamto, R., 1999, Matematika Geodesi, Jurusan Teknik Geodesi, Fakultas Teknik UGM, Yogyakarta. Stein, F.M., Ph.D., 1963, An Introduction to Vector Analysis, Harper and Row Publishers, New York. Strang, G. dan K. Borre, 1997, Linear Algebra, Geodesy, and GPS, WellesleyCambridge Press, USA.

33

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS TEKNIKJURUSAN TEKNIK GEODESI Jalan Grafika No. 2, Sendowo, Yogyakarta

Buku 2 : RKPM (Rencana Kegiatan Pembelajaran Minggu ke-3 ) MATEMATIKA GEODESI Semester III / 2 SKS / TKGD2302

Oleh: 1. Ir. Parseno, MT. 2. Ir. Nurrohmat Widjajanti, MT., Ph.D. 3. Dwi Lestari, ST., ME. 4. Ir. Sri Narni, MT.

Didanai dengan Dana BOPTN P3-UGM Tahun Anggaran 2013

November 2013 34

BAB III APLIKASI VEKTOR DALAM GEOMETRI ANALITIK

III.1. Pendahuluan Di dalam geometri analitik antara lain dipelajari tentang persamaan suatu garis atau bidang jika diketahui beberapa syarat. Aplikasi vektor dalam geometri analitik dimaksudkan agar mahasiswa dapat menerapkan operasi vektor untuk mencari atau menyelesaikan persoalan-persoalan yang berkaitan dengan persamaan garis dan bidang. III.1.1. Deskripsi Singkat Pada pokok bahasan ini akan dipelajari beberapa persamaan garis dan bidang yang dapat ditentukan oleh vektor-vektor tertentu seperti misalnya persamaan garis melalui satu atau beberapa titik, persamaan garis atau bidang melalui satu atau beberapa titik dan sejajar vektor lain, persamaan garis atau bidang melalui satu titik dan tegak lurus vektor lain, dan persamaan bidang yang tertentu oleh tiga buah vektor, serta jarak titik ke garis atau bidang. III.1.2. Manfaat Dengan mempelajari aplikasi vektor dalam geometri analitik mahasiswa mendapat wawasan bahwa ada benang merah antara matakuliah matematika dengan konsep-konsep penentuan posisi serta konsep geometri analitik yang diterapkan pada peralatan survei dan pemetaan. III.1.3. Relevansi .

Terkait bidang geodesi, persoalan membuat garis tegak lurus terhadap

bidang, garis tegak lurus garis dan garis sejajar garis adalah hal terpenting terutama pada konsep peralatan alat-alat ukur survei pemetaan. III.1.4. Learning Outcomes Setelah mengikuti kuliah pertemuan ke-3, mahasiswa akan dapat:

35

1. Menerapkan aplikasi hitungan vektor pada geometri analitik untuk mencari persamaan garis. 2. Menerapkan aplikasi hitungan vektor pada geometri analitik untuk mencari persamaan bidang. III.2. Penyajian III.2.1. Persamaan Garis AB Bila diketahui: OR = r = (x, y, z) = xi + yj + zk = vektor letak titik R, bergerak (R3) = (x,y)

= xi + yj

= vektor letak titik R, bergerak (R2)

OA = a = (a1, a2, a3) = a1i + a2j + a3k = vektor letak titik A, tetap (R3) = (a1, a2)

= a1i + a2j k

= vektor letak titik A, tetap (R2)

maka dapat ditentukan:

1 λ

A

B Misalkan AR = λ AB

R

g r

a

b

r = OR = OA + AR = a + λAB = a + λ (b – a) = (1 – λ)a + λb

O Apabila λ dijalankan, r = (1 – λ) a + λ b memberikan persamaan garis g (AB). Penjabaran ke persamaan skalarnya: r – a = λ(b – a) dalam R3 menjadi: (x – a1, y – a2, z – a3) = λ(b1 – a1, b2 – a2, b3 – a3) = (λ(b1 – a1), λ(b2 – a2), λ(b3 – a3))

36

x – a1 = λ(b1 – a1)

persamaan skalar dengan parameter λ

y – a2 = λ(b2 – a2) z – a3 = λ(b3 – a3) Eliminasi λ menghasilkan: x  a1 y  a2 z  a3   b1  a1 b2  a 2 b3  a3 dalam R2 menjadi

x XA y  YA x  a1 y  a2 (biasanya ditulis )   b1  a1 b2  a2 X B  X A YB  YA

III.2.2. Persamaan Garis melalui A Sejajar Vektor b Pada gambar ditunjukkan bahwa a dan b A

R

adalah dua buah vektor terikat pada g

r

a

titik O sehingga berlaku: r = OR = OA + AR r = a + λb

O

b

Untuk λ berubah, maka persamaan menyatakan persamaan garis g, melalui A, sejajar b atau (r – a) x b = 0

3

Dalam R : r – a = λb (x – a1, y – a2, z – a3) = (λb1, λb2, λb3) x  a1 y  a 2 z  a3    b1 b2 b3

b1, b2, b3 disebut bilangan arah b disebut vektor arah Dalam R2: x  a1 y  a 2 b  atau ( y  a 2 )  2 ( x  a1 ) b1 b2 b1

b2/b1 biasa dikenal dengan gradient (m)

37

III.2.3. Persamaan Garis/Bidang melalui A Tegak Lurus Vektor b

b

b

α

R a

R

A

A g

r

b

O

a

r

O

Pada gambar di atas, dalam R2 , garis g melalui A, tegak lurus vektor b dan dalam R3 bidang  melalui A tegak lurus vektor b Bentuk persamaannya adalah: (r – a) . b = 0 Bentuk persamaan skalarnya adalah: b1 (x – a1) + b2 (y – a2) + b3 (z – a3) = 0

III.2.4. Persamaan Bidang melalui A // b dan // c

Pada bidang β : t = λb + μc

R

A

Titik R pada bidang α, sehingga:

α

OR = OA + AR

c

r=a+t

t β

O

b

maka: r = a + λb + μc

Bentuk skalar persamaannya adalah: [r – a, b, c] = 0, atau x  a1 b1

y  a2 b2

c1

c2

z  a3 b3  0 c3

Sedangkan bentuk khusus persamaan di atas adalah: 38

r = λb + μc yaitu persamaan bidang melalui O, // b dan c (ingat jika tiga buah vektor a, b, c dependent linear, maka ada bidang yang sejajar ketiganya, atau parallel epipedum collaps). III.2.5. Menentukan Jarak Titik ke Garis atau Bidang b

r . b = k, merupakan persamaan garis (R2) atau bidang (R3) yang tegak lurus b, berjarak

r

Bila disusun vektor satuan arah b, μ =

k dari O. b

b maka persamaan menjadi: b

r . μ = p (Persamaan Hess (Normal)) merupakan persamaan garis dalam R2 atau bidang dalam R3 yang tegak lurus μ, dan berjarak p dari O.

Jarak titik-garis Titik A dengan vektor a, garis g dengan persamaan Hess  r . μ = p atau r.μ–p=0

maka jarak (A, g) = |a . μ – p|

Jarak titik-bidang Titik A dengan vektor a, bidang α dengan persamaan Hess r . μ – p = 0 maka jarak (A, α) = |a . μ – p| III.2.6. Jarak Garis ke Garis Berikut adalah uraian untuk menentukan jarak antara dua garis yaitu garis g ke garis h. Jika dipilih titik A dan B pada garis g dan titik C dan D pada garis h, maka berlaku: AB x CD = vektor yang tegak lurus garis g dan h Vektor satuan yang tegak lurus garis g dan garis h adalah:



AB x CD AB x CD

39

Jika diambil sembarang titik pada garis g, misalnya titik A dan titik C sembarang titik pada garis h maka jarak garis g ke garis h dapat dihitung dengan persamaan berikut: Jarak (g, h) = lGHl = lAC . l

h

g

µ

H D

G A

C B

III.2.7. Sudut antara Dua Garis dan Sudut antara Dua Bidang a. Sudut antara dua garis g dan h g

h A

D B

C

Sudut (g, h) = , dapat dihitung dengan persamaan berikut: Cos 

AB x CD AB CD

Perhatikan pada gambar di atas: Pilih A, B pada garis g dan C, D pada h. b. Sudut antara dua bidang  dan 

 Perhatikan pada gambar disamping:

n

m

Pilih vektor normal n pada bidang . Pilih vektor normal m pada bidang .

 

 40

Sudut antara bidang  dan bidang  = sudut (n, m) = , dapat dihitung dengan persamaan berikut: Cos  = n.m /l n ll m l c. Sudut antara garis g dan bidang  B A



b

g

Tentukan normal pada bidang , yaitu vektor b, Sudut antara garis g dan bidang , dapat dihitung dengan persamaan berikut: Sudut (g, )

= /2 – sudut (g, b)

= 90 – sudut (g, b) III.2.Persamaan Bidang Tertentu oleh 3 Vektor Z P2 P1 P P3

Jika: Y

r1 = x1 i + y1 j + z1 k r2 = x2 i + y2 j + z2 k r3 = x3 i + y3 j + z3 k

X

P1 , P2 , P3 , tidak terletak pada satu garis lurus.

Merupakan vektor posisi titik P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2), dan P3(x3, y3, z3), serta P1,P2,P3 tidak terletak satu garis lurus.

41

Jika: r = x i + y j + z k merupakan vektor posisi sembarang titik di P (x, y, z) pada bidang maka: P1P2 = r2 – r1

,

P1P3 = r3 – r1 , berada dalam satu bidang. P1P = r – r1 Sehinga: P1P . P1P2 x P1P3 = 0 atau (r – r1 ) . (r2 – r1 ) x (r3 – r1 ) atau [(x – x1) i + (y – y1) j + (z – z1) k] . [(x2 – x1) i + (y2 – y1) j + (z2 – z1) k] x [(x3 – x1) i + (y3 – y1) j + (z3 – z1) k] III.3. Penutup III.3.1. Rangkuman Vektor dapat diterapkan untuk menentukan persamaan garis, bidang, jarak antara dua garis, jarak titik ke garis dan sudut antara dua garis pada geometri analitik. III.3.2. Tes Formatif 5. Tentukan titik D supaya ABCD menyusun sebuah jajaran genjang, dimana A(4,4,1); B(2,1,5); C(6,8,0) 6. Diketahui p = 3i – 2j + k ; q = 2i – 4j – 3k ; r = -i + 2j + 2k c. Tentukan magnitude dari p ; p + q - r ; 2p – 3q + r d. Tentukan vektor satuan p, q dan r 7. Jika r1 = 2i – j + k ; r2 = i + 3j – 2k ; r3 = -2i + j – 3k dan r4 = 3i + 2j + 5k. Tentukan skalar h, m, n, sehingga r4 = hr1 + mr2 + nr3 8. Jika u = 2i + j + 2k adalah vektor letak titik A dan v = 3i -j + 4k adalah vektor letak titik B, tentukan 42

a. Persamaan garis yang melalui A dan sejajar vektor B b. Persamaan bidang yang melalui B dan tegak lurus vektor AB c. Apabila w = 2i + j + k adalah vektor letak C, tentukan persamaan bidang yang melalui C sejajar B dan sejajar A d. Jarak titik X(1,-2,1) terhadap bidang yang melalui B dan tegak lurus vektor AB III.3.3. Petunjuk Penilaian dan Umpan Balik Kriteria Menerapkan hitungan vektor untuk mencari persamaan garis Menerapkan hitungan vektor untuk mencari persamaan bidang

0 Tidak mampu menerapkan Tidak mampu menerapkan

Skor 1 Dapat menerapkan sebagian Dapat menerapkan sebagian

2 Dapat menerapkan dengan benar Dapat menerapkan dengan benar

III.3.4. Tindak lanjut Bagi mahasiswa yang termasuk dalam katagori dengan nilai skor kurang dari 2 dianjurkan untuk membaca sumber pustaka terkait lebih intensif dibandingkan dengan kelompok mahasiswa yang memiliki katagori dengan skor 2. III.3.5. Sumber Pustaka: Davis, H.F., 1961, Introduction to Vector Analysis, Allyn and Bacon, Inc., Boston. Narni, S. dan Muryamto, R., 1999, Matematika Geodesi, Jurusan Teknik Geodesi, Fakultas Teknik UGM, Yogyakarta. Spiegel, M.R., 1959, Vector Analysis and an Introduction to Tensor Analysis, Schaum Publishing Co., NewYork, USA. Stein, F.M., Ph.D., 1963, An Introduction to Vector Analysis, Harper and Row Publishers, New York. Strang, G. dan K. Borre, 1997, Linear Algebra, Geodesy, and GPS, WellesleyCambridge Press, USA. 43

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS TEKNIKJURUSAN TEKNIK GEODESI Jalan Grafika No. 2, Sendowo, Yogyakarta

Buku 2 : RKPM (Rencana Kegiatan Pembelajaran Minggu ke-4 ) MATEMATIKA GEODESI Semester III / 2 SKS / TKGD2302

Oleh: 1. Ir. Parseno, MT. 2. Ir. Nurrohmat Widjajanti, MT., Ph.D. 3. Dwi Lestari, ST., ME. 4. Ir. Sri Narni, MT.

Didanai dengan Dana BOPTN P3-UGM Tahun Anggaran 2013

November 2013 44

BAB IV DIFERENSIAL VEKTOR IV.1. Pendahuluan Pada bab IV akan didiskusikan mengenai penerapan kaidah-kaidah diferensial pada vektor. Hal ini dimaksudkan untuk memberi pemahaman dan kecakapan dalam mengurai persoalan vektor dengan diferensial. IV.1.1. Deskripsi Singkat Pada bagian ini akan dibahas tentang fungsi dengan beberapa perubah bebas, difernsial vektor dan sifat-sifat dari derivatif vektor. IV.1.2. Manfaat Mahasiswa akan dapat menjelaskan dan menerapkan kaidah-kaidah diferensial dalam menyelesaikan persoalan-persoalan vektor fungsi dengan beberapa perubah bebas. IV.1.3. Relevansi Dalam mengurai persoalan-persoalan geodesi sering dijumpai persoalanpersoalan yang harus diselesaikan dengan menggunakan vektor fungsi. Oleh karena itu, materi ini memberi wawasan tentang penerapan kaidah diferensial dalam vektor fungsi menjadi sangat bermanfaat. IV.1.4. Learning Outcome Setelah mengikuti kuliah pertemuan ke-4, mahasiswa akan dapat: 1. Melakukan hitungan diferensial pada vektor fungsi satu perubah. 2. Melakukan hitungan diferensial pada vektor fungsi dua perubah. 3. Melakukan hitungan diferensial pada vektor fungsi dengan beberapa perubah bebas.

45

IV.2. Penyajian IV.2.1. Fungsi dengan Perubah Bebas Diketahui pada persamaan skalar : y = f(x), mempunyai arti: f : x ( x merupakan perubah bebas) menghasilkan y (tak bebas).  1 perubah bebas

Contoh : y = f(x) = sin x z = f(x, y) = cos (x+y)

 2 perubah bebas

Vektor v berubah sebagai fungsi suatu perubah t, dapat ditulis V = v(t). Jika V = (v1, v2, v3) maka V = v(t) berarti masing-masing komponen merupakan fungsi dari t, dan ditulis: V = ( v1(t), v2(t), v3(t)) Contoh: v = (cos t, sin t, sin 2t) Jika V(t) merupakan suatu vektor yang bergantung pada variable skalar tunggal t, maka: v(t  t )  v(v1 (t  t ), v2 (t  t ), v3 (t  t )) v(t )  v(v1 (t ), v2 (t ), v3 (t ))

v(t)

Δv v  v(t  t )  v(t )

v(t+Δt)

v v(t  t )  v(t )  t t Derivatif v ke t , ditulis dv/dt, didefinisikan sebagai: dv v v(t  t )  v(t )  lim  lim dt t  0 t t  0 t

atau dapat ditulis:

dv d  v'(t )  v(t ) dt dt

 berupa vektor

Hasil pendiferensialan berupa vektor dan dapat didiferensialkan lagi ke t: d 2v d 3v ; dst. dt 2 dt 3

Kejadian khusus: Jika v merupakan vektor letak titik, ditulis r: R3 : r = (x, y, z)

46

R2 : r = (x, y)

dan r = r(u), maka:

R3 : r = (x(u), y(u), z(u)) R2 : r = (x(u), y(u)) r = r(u) menyatakan suatu kurva (R2 maupun R3). P

dr/du Δr

r(u)

Q

r(u+Δu)

γ

r(u) = OP r(u + Δu) = OQ Δr = PQ jika Δu → 0 maka Q → P, Δr/Δu → dr

r’ = dr/du = vektor singgung pada kurva γ di titik P. Jika perubahnya adalah panjang busur kurva itu sendiri, sehingga r = r(s), maka : r’(s) = dr/ds = t = vektor singgung satuan, atau t = r’/|r’| → |t| = 1 Contoh dalam Fisika: Jika perubah t : waktu, r = r(t) merupakan persamaan gerak titik, r’(t) = v(t) : adalah vektor kecepatan, r’’(t) = v’(t) = a(t) : adalah vektor percepatan titik. Vektor kecepatan akan menyinggung kurva lintasan. Sifat-sifat derivatif vektor: Jika u, v, w merupakan vektor fungsi dan φ adalah skalar fungsi dengan perubah skalar t: 1.

d a  0 ; a vektor tetap dt

2.

d du dv (u  v)   dt dt dt

3.

d du dv (u  v)  v  u dt dt dt

4.

d dv du (u  v)  u   v dt dt dt

47

5.

d d u d ( u )    u dt dt dt

6.

d dw dv du (u  v  w)  u  v  u w v w dt dt dt dt

7.

d u  (v  w)  u  (v  d w )  u  ( d v  w)  d u  (v  w) dt dt dt dt

Hati-hati dengan urutan operasinya! Pada vektor letak v = (v1, v2, v3) = v1i + v2j + v3k Jika v = v(t) maka: v1= v1(t) ; v2= v2(t) ; v3= v3(t) sehingga: v = v1(t) i + v2(t) j + v3(t) k ↓ ↓

↓ ↓

↓ ↓

s v

s

s

v

v

sehingga:

d j dv2 dv d i dv d k dv3  (v1  1 i)  (v2  j )  (v3  k) dt dt dt dt dt dt dt Ingat da/dt = 0 Maka: dv dv d v dv1  i 2 j 3 k dt dt dt dt dv dv dv dv ( 1 , 2 , 3) dt dt dt dt

IV.2.2. Fungsi Lebih dari Satu Perubah Jika v = (v1, v2, v3), sedang v1, v2, v3 merupakan fungsi dua perubah s, t, maka v adalah fungsi s,t. v = v(s, t) = (v1(s, t), v2(s, t), v3(s, t)) Derivatif parsial v ke s dan t adalah:  v  v1 v 2 v3   , ,  s  s s ds 

48

 v  v1 v 2 v3   , ,  dst untuk derivatif orde yang lebih tinggi disusun dengan t  t t dt  cara sama. Jika vektor letak r merupakan fungsi 2 perubah r = r (s, t), maka tempat kedudukan titiknya berupa luasan dalam ruang. Jika a = a (x, y, z) → d a   2 a   a    , x 2 x  x 

2 a   a     , xy x  y 

a a a dx  dy  dz x y z

 2 a   a    , y 2 y  y 

2 a   a    , yx y  x 

 2 a   a     z 2 z  z 

3 a   2 a     xz 2 x  z 2 

Jika a memiliki derivatif parsial orde dua atau lebih,

2 a 2 a  xy yx

Contoh latihan: 1.

a = (2x2y – x4) i + (exy – ysinx) j + (x2 cosy) k Carilah

3 a 3 a a a  2 a  2 a  2 a  2 a , , , , , , , x y x 2 y 2 xy yx xy 2 x 2 y

IV.3. Penutup IV.3.1. Rangkuman Kaidah-kaidah diferensial yang dipelajari dalam matakuliah kalkulus berlaku juga dalam menyelesaikan problem diferensiasi dalam vektor fungsi. IV.3.2. Tes Formatif 1. v = (2, t2, 1/t) tentukan dv/dt ! 2. r = sin t i + cos t j + t k = (sin t, cos t, t) v Carilah: dr/dt , d2r/dt2 , | dr/dt| , | d2r/dt2| 3. Persamaan gerak suatu titik sepanjang kurva dalam bentuk parameter: x = e-t , y = 2 cos 3t ; z = 2 sin 3t Tentukan magnitude dari kecepatan dan percepatan pada saat t = 1.

49

4. Sebuah titik bergerak sepanjang kurva x = 2t2 , y = t2 – 4t , z = 3t – 5 Carilah komponen kecepatan dan percepatannya pada saat t = 1 dalam arah i – 3j + 2k 5. Persamaan gerak titik diberikan dengan r = (x, y, z) = (2 cos t, sin t, 4) Carilah vektor normal pada kurva pada saat t = π/4 6. Jika a = 5t2 i + t j – t3 k dan b = sin t i – cos t j, carilah: a. d/dt(a . b) b. d/dt (a x b) c. d/dt (a . a) 7. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di titik φ = π/3 pada kurva r = (x, y) = (φ cosφ, sin2φ). IV.3.3. Petunjuk Penilaian dan Umpan Balik Kriteria Diferensial vektor fungsi satu perubah

0 Tidak dapat melakukan hitungan

Diferensial vektor fungsi dua perubah

Tidak dapat melakukan hitungan

Diferensial vektor fungsi beberapa perubah

Tidak dapat melakukan hitungan

Skor 1 Dapat melakukan hitungan sebagian Dapat melakukan hitungan sebagian Dapat melakukan hitungan sebagian

2 Dapat melakukan hitungan keseluruhan Dapat melakukan hitungan keseluruhan Dapat melakukan hitungan keseluruhan

IV.3.4. Tindak Lanjut Bagi mahasiswa yang termasuk dalam katagori dengan nilai skor kurang dari 2 dianjurkan untuk membaca sumber pustaka terkait lebih intensif dibandingkan dengan kelompok mahasiswa yang memiliki katagori dengan skor 2.

50

IV.3.5. Sumber Pustaka Narni, S. dan Muryamto, R., 1999, Matematika Geodesi, Jurusan Teknik Geodesi, Fakultas Teknik UGM, Yogyakarta. Spiegel, M.R., 1959, Vector Analysis and an Introduction to Tensor Analysis, Schaum Publishing Co., NewYork, USA. Stein, F.M., Ph.D., 1963, An Introduction to Vector Analysis, Harper and Row Publishers, New York.

51

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS TEKNIKJURUSAN TEKNIK GEODESI Jalan Grafika No. 2, Sendowo, Yogyakarta

Buku 2 : RKPM (Rencana Kegiatan Pembelajaran Minggu ke-5 ) MATEMATIKA GEODESI Semester III / 2 SKS / TKGD2302

Oleh: 1. Ir. Parseno, MT. 2. Ir. Nurrohmat Widjajanti, MT., Ph.D. 3. Dwi Lestari, ST., ME. 4. Ir. Sri Narni, MT.

Didanai dengan Dana BOPTN P3-UGM Tahun Anggaran 2013

November 2013 52

MODUL V MEDAN VEKTOR DAN MEDAN SKALAR V.1. Pendahuluan Bagian ini dimaksudkan untuk memberi gambaran kepada mahasiswa tentang salah satu aplikasi diferensial vektor untuk menentukan medan vektor dan medan skalar. V.1.1. Deskripsi Singkat Pada bab V, akan dibahas materi tentang pengertian medan vektor dan medan skalar, gradien, derivatif berarah, divergensi, dan curl (rotor) serta penggunaan beberapa operator gabungan dan sifat-sifat dari operator operator tersebut. V.1.2. Manfaat Mahasiswa dapat memahami aplikasi diferensial vektor pada medan vektor dan medan skalar, dapat menjelaskan rumus-rumus yang digunakan dan sifat-sifat dari beberapa operator yang dijelaskan. Selanjutnya dapat melakukan hitungan vektor normal suatu luasan, sudut yang terbentuk antara dua luasan, derivatif berarah suatu luasan, menentukan persamaan garis singgung luasan, persamaan bidang normal dan hitungan menggunakan operator gabungan. V.1.3. Relevansi Bab V ini mempunyai maksud menjelaskan kepada mahasiswa tentang aplikasi diferensial vektor pada medan vektor dan medan skalar dan dapat menerapkannya pada matakuliah-matakuliah selanjutnya yang relevan, yaitu Proyeksi Peta, Geodesi Fisis dan Analisis Deformasi. V.1.4. Learning Outcome Setelah mengikuti kuliah pertemuan ke-5, mahasiswa akan dapat: 1. Menjelaskan tentang pengertian medan skalar dan medan vektor 2. Menjelaskan pengertian gradien, divergensi dan curl.

53

3. Menggunakan rumus gradien untuk hitungan vektor normal dan derivatif berarah suatu luasan. 4. Melakukan hitungan dengan divergensi dan curl. 5. Menjelaskan penggunaan operator gabungan dan sifat-sifatnya. 6. Menyelesaikan hitungan menggunakan operator gabungan. V.2. Penyajian V.2.1. Medan Vektor dan Medan Skalar Jika suatu vektor v merupakan fungsi 3 perubah yang juga berupa koordinat titik dalam ruang: v = v (x,y,z) = (v1(x,y,z), v2(x,y,z), v3(x,y,z)) Berarti v merupakan fungsi r (vektor letak titik). Satu titik dalam ruang dikaitkan dengan satu v, dan ditulis: v = v (r) Ruang seperti ini dinamai medan vektor. Contoh medan vektor antara lain medan magnet, medan gaya potensial, medan kecepatan arus. Sebaliknya ada pula skalar φ yang menjadi fungsi dari r: φ = φ (r) = φ (x,y,z) Pada setiap titik ruang terkait satu skalar φ, ruangnya disebut medan skalar. Contoh medan skalar antara lain medan suhu, medan tekanan (barometer), medan potensial. Jika dalam ruang diketahui medan suhu φ = φ (x,y,z), maka φ = konstan memberikan luasan yang diberi nama bidang isothermis, jika φ adalah tekanan dan konstan maka luasan yang terbentuk disebut bidang isobaris, sedangkan apabila φ adalah potensial dan konstan, maka bidangnya disebut bidang ekuipotensial. V.2.2. Gradien Diketahui suatu medan skalar φ = φ (x,y,z). Diferensial total φ adalah:

54

       dx, dy, dz  d   , ,  x y z        =  = gradien Jika r = (x,y,z) maka (dx, dy, dz) = dr, sedangkan  , ,  x y z  φ = grad φ. Notasi  dibaca nabla phi, sehingga dapat ditulis: dφ =  .dr      dianggap sebagai hasil operasi  terhadap φ, maka:    , ,   x y z  dianggap sebagai vektor pendiferensial, sebelum ada yang dikenai  maka belum bernilai.  φ berarti  dikalikan dengan φ (perkalian vektor dengan skalar) dan 

dikenakan terhadap φ.     Sebaliknya,     ,  ,   masih merupakan operator, sebab  x y z   dikalikan φ tetapi tidak dikenakan terhadap φ.

Diambil suatu bidang/luasan dengan φ = konstan. Secara umum bidang ini dinamakan bidang ekuipotensial. Untuk φ = k maka dφ = 0,  .dr = 0 

dr

n T φ=k dr adalah vektor yang menyinggung luasan, maka vektor  tegaklurus bidang φ. Jadi vektor  adalah vektor normal luasan, dan vektor normal satuan luasan adalah:

55

n

 

Contoh soal: a. Tentukan persamaan garis normal dan bidang singgung di titik T(2,1,-1) pada luasan 2x2y +3y3z –xz2 = 3. Jawab: Anggap φ(x,y,z) = 2x2y +3y3z –xz2 – 3    4 xy  z 2 ;  2x 2  9 y 2 z ; x y

sehingga untuk T(2,1,-1), maka

  3 y 3  2 xz z

    7,  1 , dan 7 x z y

atau  T = (7,-1,7). Persamaan garis normal luasan: (x,y,z) = (2,1,-1) + λ(7,-1,7) (x,y,z) – (2,1,-1) = λ(7,-1,7) Bentuk skalarnya menjadi:

x  2 y 1 z 1   7 1 7

Adapun persamaan bidang singgung di T: {(x,y,z) – (2,1,-1)} . (7,-1,7) = 0 Atau

7(x-2) – (y-1) + 7(z+1) = 0 7x – 14 – y + 1 + 7z + 7 = 0 7x – y + 7z = 6

Vektor normal satuan di T = n 

(7,1,7) 3 11

b. Tentukan sudut potong antara dua luasan x2z3 + 4x2 – y + 5 = 0 dan xyz2 = 4 di titik (1,1,-2). Jawab: Misalkan φ1 = x2z3 + 4x2 – y + 5 φ2 = xyz2 – 4 maka  1 = (2xz3 + 8x, -1, 3x2z2)  2 = (yz2, xz2, 2xyz)

untuk A(1,1,-2) maka  1 = (-8,-1,12) dan  2 = (4,4,-4)

56

Sudut antara dua luasan = θ, cos  

1   2 (8,1,12)  (4,4,4)  21   1  2 209  4 3 627  21

θ = arcos

627

V.2.3. Derivatif Berarah Jika u vektor arah satuan ke suatu arah tertentu, maka  u =  . u merupakan panjang proyeksi  ke arah u.  u disebut derivatif berarah medan skalar di P pada arah u, dan nilainya akan maksimum jika u sejajar  ( tegak lurus bidang φ = k) seperti ditunjukkan pada gambar berikut: 

u P φ=k

Contoh soal: Dalam medan φ = xeyz , suatu titik digerakkan dari A(3,0,2) ke B(4,4,1). berapa derivatif berarah medan di A pada arah AB? Jawab:  = (eyz, xzeyz, xyeyz) (  )A = (1,6,0) AB = b – a = (1,4,-1) sehingga vektor satuan arah AB: u=

(1,4,1) 3 2

maka derivatif berarahnya:  AB = (  )A . u

57

= (1,6,0) .

(1,4,1) 3 2

=

25 3 2

V.2.4. Divergensi Jika v suatu medan vektor dan  dikenakan pada v secara dot product, maka hasilnya adalah skalar.  . v = divergensi v = div v  .v=

v1 v 2 v3   x y z

Perhatikan bahwa v .  ≠  . v , sebab: v .  = v1

    v2  v3 masih berupa operator x y z

V.2.5. Curl (Rotor) Apabila v adalah medan vektor, maka:  × v = curl v = rotor v ( hasilnya berupa vektor)

i   ×v= x v1

j  y v2

k v v v v v v   ( 3  2 , 1  3 , 2  1) z y z z x x y v3

V.2.6 Operator Gabungan dan Sifat-sifat Operator Operator-operator yang telah dijelaskan, dalam penggunaannya bisa digabungkan. Operator gabungan tersebut adalah: 1.  . (  ) =  2φ = div.grad φ =

 2  2  2   x 2 y 2 z 2

Hasilnya berupa skalar, persamaan ini juga disebut Laplacian φ. 

2

=

2 2 2   disebut Operator Laplace x 2 y 2 z 2

2.  ×  φ = curl grad φ = 0 (vektor), disebut medan grad φ: irrotational 3.  . (  ×v) = div curl v = 0 (skalar), disebut medan curl φ: solenoida 58

Catatan:  bersifat sebagai operator dan sebagai vektor, meskipun  sebagai vektor tidak perlu dicoret bawahnya. Sifat-sifat operator: 1.  (φ + θ) =  φ +  θ 2.  .(v + w) =  .v +  .w 3.  ×(v + w) =  ×v +  ×w 4.  .(φ v) = (  φ).v + φ(  .v) 5.  ×(φ v) = (  φ)×v + φ(  ×v) Khusus: untuk r vektor letak titik. r = (x,y,z) maka  .r =

x y z   3 x y z

i   ×r = x x

j  y y

k  0 z z

Beberapa contoh kasus:

 (r1 + r2)

t P r2 O B

r1 A

1. Salah satu definisi elips: r1 + r2 = c dimana r1 dan r2 adalah jarak titik (pada elips) ke fokus.

 (r1 + r2) adalah vektor normal kurva pada sembarang titik P. Jika t adalah vektor singgung satuan pada P, maka  (r1 + r2) . t = 0 atau r1 . t = -  r2 . t  r1 sejajar AP dan  r2 sejajar BP  r1 . t = -  r2 . t membentuk sudut-sudut yang sama terhadap garis

singgung elips. 59

2. Buktikan  (φ + θ) =  φ +  θ  (φ + θ) = i

=i

   (   ) + j (   ) + k (   ) x z y       +i +j +j +k +k x x z z y y

= (i

      +j +k ) + (i +j +k ) x z x z y y

=

φ

+

θ

V.3. Penutup V.3.1. Rangkuman Operasi-operasi pada medan skalar maupun medan vektor merupakan aplikasi dari diferensial vektor. V.3.2. Tes Formatif 1. Diketahui suatu luasan dengan persamaan φ = 2x2yz + 4xy2z – 3yz a. Tentukan persamaan garis normal dan persamaan bidang singgung luasan di titik P (1, -2, -1). b. Tentukan derivatif berarah titik P pada 2i – j + k 2. Tentukan divergensi dan curl dari persamaan x2cosz i + y log x j + yz k 3. Buktikan bahwa  .(φ + θ) =  .φ +  .θ 4. Tentukan vektor normal persamaan parabola y = 3x2 – 2x – 6 pada titik (2,2) dengan menggunakan gradien. Tentukan pula persamaan garis singgung pada parabola yang melalui titik tersebut. 5. Buktikan bahwa persamaan f = xyz dan f = 5z –e-ysinx memenuhi persamaan Laplacian  2f = 0

60

V.3.3. Petunjuk Penilaian dan Umpan Balik Kriteria Pengertian medan skalar dan medan vektor

0 Tidak mampu menjelaskan

Gradien dan derivatif berarah

Tidak mampu menjelaskan

Divergensi dan curl

Tidak mampu menjelaskan

Operator gabungan

Tidak mampu mengerjakan

Skor 1 Dapat menjelaskan sebagian Dapat menjelaskan sebagian Dapat menjelaskan sebagian Dapat mengerjakan ada sebagian yang tidak benar

2 Dapat menjelaskan secara runtut dengan contoh Dapat menjelaskan secara runtut Dapat menjelaskan secara runtut Dapat mengerjakan dengan benar

V.3.4. Tindak Lanjut Bagi mahasiswa yang termasuk dalam katagori dengan nilai skor kurang dari 2 dianjurkan untuk membaca sumber pustaka terkait lebih intensif dibandingkan dengan kelompok mahasiswa yang memiliki katagori dengan skor 2 V.3.5. Sumber Pustaka Stein, F.M., Ph.D., 1963, An Introduction to Vector Analysis, Harper and Row Publishers, New York. Spiegel, M.R.,1959, Vector Analysis and an Introduction to Tensor Analysis, Schaum’s Outline of Theory and Problems, Schaum Publishing Co., New York, pp 57-81.

61

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS TEKNIKJURUSAN TEKNIK GEODESI Jalan Grafika No. 2, Sendowo, Yogyakarta

Buku 2 : RKPM (Rencana Kegiatan Pembelajaran Minggu ke-6 ) MATEMATIKA GEODESI Semester III / 2 SKS / TKGD2302

Oleh: 1. Ir. Parseno, MT. 2. Ir. Nurrohmat Widjajanti, MT., Ph.D. 3. Dwi Lestari, ST., ME. 4. Ir. Sri Narni, MT.

Didanai dengan Dana BOPTN P3-UGM Tahun Anggaran 2013

November 2013 62

BAB VI GEOMETRI DIFERENSIAL VI.1. Pendahuluan VI.1. 1. Deskripsi Singkat Pada pokok bahasan ini akan dipelajari tentang, kurva dalam ruang, vektor singgung, vektor normal, vektor binormal. VI.1.2. Manfaat Mahasiswa akan memperoleh pengetahuan tentang kurva dalam ruang, vektor singgung pada suatu bidang dan dasar-dasar dalam menyusun sistem koordinat ortogonal. Materi ini merupakan pengetahuan dasar dalam mempelajari matakuliah selanjutnya yang terkait dengan garis normal dan sistem koordinat. VI.1.3. Relevansi Mahasiswa dapat memahami arti pentingnya kurva dalam ruang, vektor singgung pada suatu bidang dan dasar-dasar dalam menyusun sistem koordinat ortogonal. Pengetahuan tentang kurva dalam ruang sangat mendukung dalam mempelajari matakuliah Proyeksi Peta dan Sistem Transformasi Koordinat. VI.1.4. Learning Outcome Setelah mengikuti kuliah pertemuan ke-6, mahasiswa akan dapat: 1. Menguraikan terbentuknya kurva dalam ruang dan luasan dalam konsep geometri diferensial. 2. Menjelaskan perbedaan antara vektor singgung, vektor normal dan vektor binormal. 3. Menerapkan dalam hitungan.

63

I.2. Penyajian VI.2.1. Kurva dalam Ruang dan Vektor Singgung Suatu kurva dalam ruang (R3) adalah tempat kedudukan suatu titik r(x, y, z) yang dapat dinyatakan sebagai suatu fungsi dari suatu parameter tunggal u. R3 : r(x, y, z) → r = r(u) dengan u : parameter Dapat ditulis r = r (u) = (x(u), y(u), z(u)) atau x = x(u);

y = y(u);

z = z(u)

Suatu kurva dalam ruang dapat pula merupakan kurva hasil perpotongan dari 2 luasan misalnya perpotongan antara luasan F(x,y,z) = 0 dengan luasan G(x,y,z) = 0. Jika diketahui suatu kurva: r = r(u), maka derivatif pertama:

dr  r(u ) adalah du

vektor singgung pada kurva. To r = r (u)

r(u )

Untuk suatu nilai u = uo tertentu oleh titik r(uo) = ro pada kurva yaitu To dan

r(uo )  ro =

vektor

singgung di To.

0

r  ro   ro → garis singgung di To pada kurva. (r  ro )  ro  0 → bidang normal pada kurva di To. Khusus: jika sebagai parameter adalah s sama dengan panjang busur kurva, sehingga: r = r(s), maka dr/ds = r´(s) = t merupakan vektor singgung satuan (|t| = 1). Lambang aksen (´) digunakan untuk derivatif ke s, sedangkan lambang flux (·) untuk derivatif ke parameter lain yang bukan s.

64

Di antara keduanya terdapat hubungan:

d r d r ds ds  t  ts du ds du du d r d r du t  r    ru  ds du ds r 

VI.2.2. Vektor Normal r = r (s) → r´ = t → vektor singgung satuan, karena |t| = konstan (=1) maka t´┴t t 

dt d 2r  n ds ds 2

n : vektor normal utama satuan κ : kelengkungan dari kurva pada suatu titik (dipilih yang tidak negatif) Dapat ditulis κ = |t´| = |r˝| = (r˝.r˝)1/2 ρ = 1/κ → jari-jari kelengkungan VI.2.3. Vektor Binormal b

t T

Jika b: suatu unit vektor yang tegak lurus bidang yang tertentu oleh n dan t maka b = t x n

n

Vektor b : vektor binormal satuan.

Ketiga vektor t, n, b menyusun suatu sistem ortogonal yang disebut sistem koordinat yang berjalan, karena di setiap titik di kurva dapat disusun sepasang t, n, b kemudian semua vektor berkaitan dengan titik tersebut dapat dinyatakan dengan t, n, b secara tunggal. t.n=n.b=b.t=0 t.t=n.n=b.b=1 Vektor t, n menyusun bidang oskulasi (Os), Vektor n, b menyusun bidang normal (N), Vektor t, b menyusun bidang rektifikasi (R), Garis melalui T, sejajar t disebut garis singgung, Garis melalui T, sejajar n disebut garis normal utama,

65

Garis melalui T, sejajar b disebut garis binormal. Jadi misalnya: Persamaan bidang oskulasi di To: (r – ro) . bo = 0 atau r = ro + λto + μno atau bisa ditulis [r – ro, to, no] = 0 Garis normal utama di To: r = ro + γno Bidang oskulasi (r – ro). bo = 0

n

t b

Bidang rektifikasi/pelurus (r – ro). no = 0

Bidang normal (r – ro). to = 0

Catatan: Bidang N adalah bidang tegak lurus kurva, dan bidang Os adalah bidang yang di sekitar titiknya seolah-olah memuat kurvanya. Contoh: Diketahui kurva r(t) = x i + y j + z k dengan x = 3t – t3, y = 3t2, z = 3t + t3. Tentukan vektor singgung satuan (t). Jawab: r(t) = (3t – t3, 3t2, 3t + t3)

t

d r d r dt dt  = (3 – 3t2, 6t, 3 + 3t2) ds dt ds ds

|t| = 1

66

t  (3  3t 2 ) 2  (6t ) 2  (3  3t 2 ) 2 .

dt ds

1  9  18t 2  9t 4  36t 2  9  18t 2  9t 4 . 1  18  18t 4  36t 2 . 1  18(t 4  2t 2  1) .

1  18. (t 2  1) 2 1  3 2 .(t 2  1)

dt ds

dt ds

dt ds

dt ds

dt ds

dt 1  ds 3 2 .(t 2  1) t  (3  3t 2 ,6t ,3  3t 2 ). t

1 3 2 (t 2  1)

(1  t 2 ,2t ,1  t 2 ) 2 (t 2  1) VI.3. Penutup

VI.3.1. Rangkuman Dalam pokok bahasan ini mahasiswa dihantarkan untuk memahami penggunaan vektor terkait dengan kurva dalam ruang dan luasan dalam konsep geometri diferensial. Selain itu, mahasiswa diberi pengertian tentang perbedaan antara vektor singgung, vektor normal dan vektor binormal. VI.3.2. Tes Formatif 1. Kurva r = (x,y,z) = (a cosθ, a sinθ, cθ) dengan θ = parameter. Tentukan t, t´, n, κ, b, persamaan garis singgung di θ = θo dan persamaan bidang Os di θ = θo.

67

2. Jika r = (av, bv2, v3), v parameter dan memenuhi 2b2 = 3a, maka kurva berupa helix yang tabungnya sejajar vektor (1, 0, 1). Periksa r = (6v, 3v2, v3) 3. Tentukan vektor singgung satuan pada kurva r = (x,y,z) dimana: x = t2 + 1 ; y = 4t – 3 ; z = 2t2 – 6t, tentukan t di titik t = 2. 4. Tentukan vektor singgung satuan dan vektor normal utama satuan pada kurva: r = r(β) = (β-sinβ, 1-cosβ, 4sin(β/2)) untuk β = Π/3. Tentukan pula κ dan τ, persamaan garis singgung dan bidang normalnya. VI.3.3. Petunjuk Penilaian dan Umpan Balik Kriteria Menguraikan terbentuknya kurva dan luasan dalam konsep geometri diferensial Menjelaskan perbedaan antara vektor singgung, vektor normal dan vektor binormal Menerapkan dalam hitungan

0 Tidak mampu menguraikan

Skor 1 Dapat menguraikan sebagian

2 Dapat menguraikan secara keseluruhan

Tidak mampu membedakan

Dapat membedakan sebagian

Dapat membedakan keseluruhan

Tidak mampu menerapkan hitungan

Dapat menerapkan sebagian

Dapat menerapkan keseluruhan

VI.3.4. Tindak Lanjut Bagi mahasiswa yang termasuk dalam katagori dengan nilai skor kurang dari 2 dianjurkan untuk membaca sumber pustaka terkait lebih intensif dibandingkan dengan kelompok mahasiswa yang memiliki katagori dengan skor 2. VI.3.5. Sumber Pustaka Narni, S. dan Muryamto, R., 1999, Matematika Geodesi, Jurusan Teknik Geodesi, Fakultas Teknik UGM, Yogyakarta. Spiegel, M.R., 1959, Vector Analysis and an Introduction to Tensor Analysis, Schaum Publishing Co., New York, USA.

68

Stein, F.M., Ph.D, 1963, An Introduction to Vector Analysis, Harper and Row Publishers, New York.

69

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS TEKNIKJURUSAN TEKNIK GEODESI Jalan Grafika No. 2, Sendowo, Yogyakarta

Buku 2 : RKPM (Rencana Kegiatan Pembelajaran Minggu ke-7 ) MATEMATIKA GEODESI Semester III / 2 SKS / TKGD2302

Oleh: 1. Ir. Parseno, MT. 2. Ir. Nurrohmat Widjajanti, MT., Ph.D. 3. Dwi Lestari, ST., ME. 4. Ir. Sri Narni, MT.

Didanai dengan Dana BOPTN P3-UGM Tahun Anggaran 2013

November 2013

70

BAB VII GEOMETRI DIFERENSIAL (Kurva dalam Ruang) VII.1. Pendahuluan VII.1. 1. Deskripsi Singkat Pada pokok bahasan ini akan dipelajari tentang, kurva dalam ruang, vektor singgung, vektor normal, vektor binormal. VII.1.2. Manfaat Mahasiswa akan memperoleh pengetahuan tentang konsep kelengkungan, puntiran dalam kurva serta jenis-jenis kurva berdasarkan nilai torsi dan jari-jari kelengkungannya. Materi ini merupakan pengetahuan dasar dalam mempelajari matakuliah selanjutnya yang terkait dengan kengkungan dan puntiran dalam kurva. VII.1.3. Relevansi Mahasiswa dapat memahami arti pentingnya konsep kelengkungan, puntiran dalam kurva serta jenis-jenis kurva berdasarkan nilai torsi dan jari-jari kelengkungannya. Pengetahuan tentang kelengkungan dan jenis-jenis kurva ini sangat mendukung dalam mempelajari matakuliah Proyeksi Peta dan Sistem Transformasi Koordinat. VII.1.4. Learning Outcome Setelah mengikuti kuliah pertemuan ke-7, mahasiswa akan dapat: 1. Menjelaskan konsep kelengkungan dan puntiran pada kurva. 2. Menjelaskan sifat-sifat kurva. 3. Menerapkan konsep dalam hitungan.

71

VII.2. Penyajian VII.2.1. Kelengkungan dan Puntiran pada Kurva (Rumus Serret-Fernet) Rumus ini menyatakan derivatif t, n, b, ke s (panjang busur kurva).

dt  t   n ds

dn  n   b   t ds

db  b   n ds

τ : suatu skalar dinamakan torsi = puntiran yang mungkin positif, nol atau negatif σ = 1/τ : jari-jari torsi Periksa : κ = |t´| = kecepatan sudut t |τ| = |b´| = kecepatan sudut b Untuk parameter bukan s (umum): Ingat kembali: untuk r = r(u) di titik u = uo, maka garis singgung dapat ditulis:

r  ro   ro Sudah ditulis pula bahwa r  t r 

ds sehingga: du

d r d 2 r d t ds ds d 2s  2  t 2 du du ds du du du 2

d 2s  ds  =  n   t 2 du  du 

Jadi r dan r dua-duanya sejajar dengan bidang Os, maka persamaan bidang Os di To dapat ditulis:

r  ro  l ro  mro

atau

r  r , r , r   0 o

o

o

Ditulis dengan skalar, persamaan bidang Os di To menjadi: x  xo  dx     du  o  d 2x   2   du  o

y  yo  dy     du  o d2y  2   du  o

z  zo  dz    0  du  o  d 2z   2   du  o

72

Contoh: Diketahui kurva r = (x,y,z) = (a cos, a sin, c ), dengan  adalah parameter. r = (x,y,z) atau r = r( ) sehingga: x = a cos  y = a sin  z = c , atau  = z/c sehingga: x dan y dapat ditulis sebagai: x = a cos (z/c) dan y = a sin (z/c). Eliminasi sinus dan cosinus yaitu dengan cara mengkuadratkan dan menjumlahkan x dan y diperoleh: x2 + y2 = a2 cos2  + a2 sin2  atau x2 + y2 = a2 (cos2  + sin2 ) sehingga: x2 + y2 = a2 ini adalah suatu kurva berupa sirkular helik (garis sekrup) pada bidang tabung x2 + y2 = a2. Dari kurva r akan dicari torsi atau puntiran (t): t = dr/ds = dr/d d/ds = (-a sin , a cos , c) d/ds Padahal ltl = 1 sedangkan ltl = ltl =

 d  ( a 2 sin 2   a 2 cos 2  c 2    1  ds  a 2 (sin 2   cos 2  )  c 2 .

a 2  c2

Jadi t =

( - a sin  , a cos  , c ) a 2  c2

d d  1 dan  ds ds

d  1 sehingga: ds

1 a  c2 2

 konstan

adalah vektor singgung satuan.

Berapa derivatif pertama dari t (t’) ? t’ = =

dt d d  -a    cos  , ds d ds  a 2  c 2

 sin , 0  a 2  c2  -a

1 a 2  c2

a ( - cos  , - sin  , 0 )  n a 2  c2

n = (-cos , -sin , 0) dan  =

1 a 2  c2 a ,  =   a a 2  c2 73

Nilai  dapat juga dicari dengan menghitung nilai magnitude dari  dengan cara:  = |t’| = (a2 cos2 + a2 sin2 + 0)1/2/(a2 + c2) = 1/(a2 + c2) [a2(cos2  + sin2)]1/2 = a/(a2 + c2) Vektor b = t x n =

i

j

k

 a 2 sin 

 a 2 cos 

c

a2  c2

a2  c2

a  c2

- cos

- sin

2

0

(c sin  ,c cos  , a )

=

a2  c2

Kurva r = (a cos, a sin, c) dapat disusun persamaan garis singgung di  = 0 (r = r0). 

r  r0   r0 (x,y,z) = (a cos0, a sin0, c0 ) +  (-a sin0, a cos0, c) Persamaan bidang Os di  = 0 adalah: x – a cos 0

y – a sin 0

z – c0

- a sin 0

a cos 0

c

- a cos 0

- a sin 0

0

VII.2.2. Sifat-sifat Kurva Rumus untuk mencari κ dan τ. Jika digunakan parameter s: κ = (r˝. r˝)1/2 r˝ = d2r / ds2 τ = [r´, r˝, r”’]/κ2 Jika digunakan parameter yang umum u:



r  r r

3

74



r, r,r r  r

2

κ dan τ adalah ukuran penting bagi kurva, sebab jika κ dan τ tiap titik tertentu maka bentuk kurva tertentu, kecuali letaknya belum. Sifat- sifat yang didasarkan atas κ dan τ adalah: 

Jika kurvanya datar, maka τ = 0 dan sebaliknya (kecuali garis lurus yang τ nya tidak tentu).



κ = 0, maka kurvanya garis lurus.



κ/ τ = konstan, maka kurvanya berupa helix (kurva bersudut tetap dengan suatu arah).



κ = konstan dan τ = konstan, maka kurvanya adalah helix lingkaran (garis sekrup).



τ = 0, dan κ = konstan, kurva berupa lingkaran.

Contoh 1: Sebagai contoh adalah kurva garis sekrup di atas yaitu r = (a cos, a sin, c). Jawab: r 

dr  (- a sin  , a cos  , c ) d

  r

d2r  ( - cos  , - a sin  ,  ) d 2

r  

d3r  ( a sin , - a cos  ,  ) d 3

i r x r 

- a sin  - a cos 

j a cos  - a sin 

k c 0

 ( a c sin  , - a c cos  , a 2 )

r . r . r   r x r . r  ( ac sin  , - ac cos  , a 2 ) . (a sin  , - a cos  , 0 ) = a2 c

r  a 2  c 2 r x r  a 2 c 2  a 4  a a 2  c 2

75

 

r x r r

3



a a 2  c2 a  2  konstan 2 2 3/ 2 (a c ) a  c2

 r . r .r   r x r

a 2c c  2  konstan 2 2 2 a (a  c ) a  c 2

Terbukti kurva berupa lingkaran. Contoh 2:

 l  t l - t2   , tentukan  dan  dari kurva tersebut, jika t Diketahui kurva r   t, , t t   adalah parameter. Jawab:

r 

dr  1 1  t 2   1, , 2 dt  t 2 t

  r

d2 r  2 2   0, 3 , 3  ; 2 dt  t t 

r  

d3 r  - 6 - 6    0, ,  ; dt 3  t 4 t 4 

Maka



  ; 

r x r 

2 ( 1, - 1, 1 ) t3

r , r , r   0 r . r  r

3 t6 2 ( t 4  t 2  1 )3

dan

2



2 (t 4  t 2  1) t4

=0

Contoh 3: Jika diketahui r = (av, bv2, v3), dengan v adalah parmeter dan memenuhi 2b2 = 3a, maka kurva berupa helik yang tabungnya sejajar vektor (1, 0, 1). Selidiki r = (6v, 3v, v3). Jawab: r  (6, 6v, 3v 2 )

r x r  18 ( v 2 , - 2v , 2)

  r

d2 r   0, 6 , 6v dt 2

r  

d3 r   0, 0 , 6  dt 3

r . r  r



2 3 ( v  2 )2



2



r , r , r   216 2

 3 ( v2  2 )

2 3 ( v  2 )2 2

76

/ = 1 = konstan, maka kurva berupa helik. VII.3. Penutup VII.3.1. Rangkuman Dalam pokok bahasan ini mahasiswa dihantarkan untuk memahami pengertian tentang kelengkungan, puntiran dalam kurva serta jenis-jenis kurva dalam konsep geometri diferensial. VII.3.2. Tes Formatif 1. Kurva r = (x,y,z) = (a cosθ, a sinθ, cθ) dengan θ = parameter. Tentukan t, t´, n, κ, b, persamaan garis singgung di θ = θo dan persamaan bidang Os di θ = θo. 2. Jika r = (av, bv2, v3), v parameter dan memenuhi 2b2 = 3a, maka kurva berupa helix yang tabungnya sejajar vektor (1, 0, 1). Periksa r = (6v, 3v2, v3). 3. Tentukan vektor singgung satuan pada kurva r = (x,y,z) dimana: x = t2 + 1 ; y = 4t – 3 ; z = 2t2 – 6t, tentukan t di titik t = 2. 4. Tentukan vektor singgung satuan dan vektor normal utama satuan pada kurva: r = r(β) = (β-sinβ, 1-cosβ, 4sin(β/2)) untuk β = Π/3. Tentukan pula κ dan τ, persamaan garis singgung dan bidang normalnya. VII.3.3. Petunjuk Penilaian dan Umpan Balik Kriteria Hitungan rumus Serret-Frenet

0 Tidak mampu melakukan hitungan

Hitungan vektor garis singgung dan vektor normal

Tidak mampu melakukan hitungan

Klasifikasi jenis-jenis kurva berdasarkan nilai torsi dan jari-jari kelengkungan.

Tidak mampu melakukan hitungan

Skor 1 Dapat melakukan hitungan sebagian Dapat melakukan hitungan sebagian Dapat melakukan hitungan sebagian

2 Dapat melakukan hitungan seluruhnya Dapat melakukan hitungan seluruhnya Dapat melakukan hitungan seluruhnya

77

VII.3.4. Tindak Lanjut Bagi mahasiswa yang termasuk dalam katagori dengan nilai skor kurang dari 2 dianjurkan untuk membaca sumber pustaka terkait lebih intensif dibandingkan dengan kelompok mahasiswa yang memiliki katagori dengan skor 2. VII.3.5. Sumber Pustaka Narni, S. dan Muryamto, R., 1999, Matematika Geodesi, Jurusan Teknik Geodesi, Fakultas Teknik UGM, Yogyakarta. Spiegel, M.R., 1959, Vector Analysis and an Introduction to Tensor Analysis, Schaum Publishing Co., New York, USA. Stein, F.M., Ph.D, 1963, An Introduction to Vector Analysis, Harper and Row Publishers, New York.

78

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS TEKNIKJURUSAN TEKNIK GEODESI Jalan Grafika No. 2, Sendowo, Yogyakarta

Buku 2 : RKPM (Rencana Kegiatan Pembelajaran Minggu ke-8 ) MATEMATIKA GEODESI Semester III / 2 SKS / TKGD2302

Oleh: 1. Ir. Parseno, MT. 2. Ir. Nurrohmat Widjajanti, MT., Ph.D. 3. Dwi Lestari, ST., ME. 4. Ir. Sri Narni, MT.

Didanai dengan Dana BOPTN P3-UGM Tahun Anggaran 2013

November 2013

79

BAB VIII TES SUMATIF I (Ujian Tengah Semester) I.1. Pendahuluan VIII.1.1. Deskripsi Singkat Soal ujian tengah semester meliputi soal dalam bentuk essay yang memuat pertanyaan dari materi kuliah yang bersifat menjelaskan pengertianpengertian maupun definisi. Selain itu juga memuat soal dalam bentuk hitungan yang memuat pertanyaan dari materi kuliah yang bersifat menyelesaikan suatu hitungan. VIII.1.2. Manfaat Dengan kegiatan ini dapat menilai pemahaman mahasiswa tentang materi kuliah minggu ke-1 s.d. minggu ke-7. VIII.1.3. Relevansi Penilaian pemahaman mahasiswa ini harus dilakukan karena untuk evaluasi pemberian materi kuliah berikutnya. Materi kuliah yang diujikan dalan ujian tengah semester ini menjadi dasar untuk pemahaman materi kuliah minggu berikutnya. Oleh karena itu, apabila hasil evaluasi disimpulkan bahwa pemahaman mahasiswa masih rendah, perlu direview terlebih dahulu materi minggu ke-1 s.d. minggu ke-7. Namun apabila hasil evaluasi diperoleh kesimpulan bahwa mahasiswa sudah memahami materi sebelum ujian tengah semester, maka materi minggu selanjutnya dapat langsung diberikan. VIII.1.4. Learning Outcome Setelah mengikuti ujian tengah semester, mahasiswa akan dapat: 1. Mahasiswa dapat menjelaskan tentang materi operasi dasar vektor, sistem koordinat vektor, penggunaan vektor dalam geometri analitik, diferensial

80

vektor, medan vektor, medan skalar dan geometri diferensial kurva dalam ruang. 2. Mahasiswa dapat mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan materi operasi dasar vektor, sistem koordinat vektor, penggunaan vektor dalam geometri analitik, diferensial vektor, medan vektor, medan skalar dan geometri diferensial kurva dalam ruang. VIII.2. Penyajian UJIAN TENGAH SEMESTER GASAL TAHUN AJARAN 2008/2009 JURUSAN TEKNIK GEODESI Matakuliah Program Studi Hari/tanggal Waktu Sifat Dosen

: Matematika Geodesi : S1 Reguler : Rabu, 5 November 2008 : 120 menit : Buku Tertutup : Dwi Lestari, ST., ME.

Kerjakan soal-soal berikut dengan tulisan yang jelas, boleh tidak urut asalkan diberi nomor yang jelas. Bobot nilai setiap nomor ditunjukkan dengan angka dalam tanda kurung. SOAL 1. Diketahui: a = ( 2, 3, 1 ); b = ( 4, 2, 3 ) Tentukan: a. Besar sudut yang tertentu oleh vektor a dan b b. Luas paralelogram yang tertentu oleh vektor a dan b c. Vektor yang magnitudenya 4 dan tegak lurus vektor a dan b d. Jika a dan b membentuk sisi-sisi segitiga, tentukan sudut-sudut segitiga tersebut (30). 2. Diketahui: a = ( 1, 3, 1 ); b = ( 1, 1, 4 ); c = ( 2, 1, 3 ) Tentukan: a. (a  b)  c b. (a  b)  (b  c) c. a  c  b  a , agar mempunyai arti. d. Volume paralelepipedum tertentu oleh vektor a , b dan c (20). 3. Jika u = 2i + j + 2k adalah vektor letak titik A dan v = 3i -j + 4k adalah vektor letak titik B, tentukan: a. Persamaan bidang yang melalui A dan sejajar vektor B b. Persamaan bidang yang melalui B dan tegak lurus vektor AB

81

c. Apabila w = 2i + j + k adalah vektor letak C, tentukan persamaan bidang yang melalui C sejajar B dan sejajar A (ingat persamaan r = a + λb + μc) d. Jarak titik X(1,-2,1) terhadap bidang yang melalui B dan tegak lurus vektor AB (Ingat bidang dengan pers Hess r.u – p = 0, maka jarak titik ke bidang = |x.u – p|) (30). 4. Diketahui suatu benda bergerak sepanjang kurva r = (x,y,z) dimana x  2e 2t , y  2 cos 3t , z  3 sin 2t . Jika t adalah waktu, maka: a. Tentukan kecepatan dan percepatan pada waktu t. b. Tentukan besarnya kecepatan dan percepatan pada saat t = 0 (20).

UJIAN TENGAH SEMESTER GASAL TAHUN AJARAN 2009/2010 JURUSAN TEKNIK GEODESI Matakuliah Program Studi Hari/tanggal Waktu Sifat Dosen

: Matematika Geodesi : S1 Reguler : Rabu, 28 Oktober 2009 : 120 menit : Buku Tertutup : Ir. Sri Narni, MT. Dwi Lestari, ST., ME.

Kerjakan soal-soal berikut dengan tulisan yang jelas. Kerjakan bagian A dan B pada kertas terpisah! Bobot masing-masing soal adalah sama. SOAL BAGIAN A ( Ir. Sri Narni, MT.) 1. Diketahui dua buah vektor a dan b dimana: a = (2, 1, 2); b = ( 4, 1, 3 ) a. Tentukan besar sudut yang tertentu oleh vektor a dan b. b. Tentukan luas jajaran genjang yang tertentu oleh kedua vektor a dan b. c. Tentukan vektor satuan yang tegak lurus vektor a dan b. d. Tentukan komponen vektor a pada b. 2. Diketahui dua buah vektor a dan b dimana: a = ( 2, 3, 2 ); b = ( 1, 1, 4 ) a. Selidiki apakah kedua vektor a dan b saling kolinier. b. Tentukan p = 2a + 3b. c. Tentukan sudut antara vektor a dengan sumbu X, sumbu Y, dan sumbu Z d. Tentukan vektor yang magnitudenya 5 dan vektor tersebut tegak lurus a dan juga tegak lurus b. SOAL BAGIAN B (Dwi Lestari, ST., ME.) 3. Diketahui vektor : a = ( 2, 3, 1 ); b = ( 2, 1, 4 ); c = ( 2, 2, 3 ) Tentukan: a. a  c  b

82

b. a  c  b  a c. a  b  c  a d. Volume paralelepipedum tertentu oleh vektor a, b, dan c. 4. Jika u = 2i + 2j + 3k adalah vektor letak titik A dan v = 3i - j + 4k adalah vektor letak titik B, tentukan: a. Pesamaan garis/bidang yang melalui A dan B. b. Persamaan bidang yang melalui A dan sejajar vektor B. c. Persamaan bidang yang melalui B dan tegak lurus vektor AB. d. Jarak titik X(1,-2,1) terhadap bidang yang melalui B dan tegak lurus vektor AB (ingat bidang dengan pers Hess r.u – p = 0, maka jarak titik ke bidang = |x.u – p|).

UJIAN TENGAH SEMESTER GASAL TAHUN AJARAN 2010/2011 JURUSAN TEKNIK GEODESI Matakuliah Program Studi Hari/tanggal Waktu Sifat Dosen

: Matematika Geodesi : S1 Reguler : Rabu, 27 Oktober 2010 : 120 menit : Buku Tertutup : Ir. Sri Narni, MT. Dwi Lestari, ST., ME.

Kerjakan soal-soal berikut dengan tulisan yang jelas. Bobot nilai untuk masingmasing soal adalah sama. 1. Diketahui dua buah vektor a dan b dimana: a = ( 3, 1, 5 ); b = ( 3, 2, 3 ) a. Selidiki apakah kedua vektor a dan b saling kolinier. b. Tentukan p = 2a + 3b. c. Tentukan sudut antara vektor a dengan sumbu X, sumbu Y, dan sumbu Z. d. Tentukan vektor yang magnitudenya 5 dan vektor tersebut tegak lurus a dan juga tegak lurus b. 2. Diketahui dua buah vektor a dan b dimana: a = ( 1, 1, 2 ); b = ( 3, 2, 4 ) a. Tentukan besar sudut yang tertentu oleh vektor a dan b. b. Tentukan luas jajaran genjang yang tertentu oleh kedua vektor a dan b. c. Tentukan vektor satuan yang tegak lurus vektor a dan b. d. Tentukan komponen vektor a pada b. 3. Diketahui vektor: u = ( 3, 4, 2 ); v = ( 2, 1, -1 ); w = ( 1, 3, 3 ) Tentukan: a. u  ( w  v) b. u  w  v  u c. v  w  v  u 83

d. Apakah volume paralelepipedum tertentu oleh vektor u, v dan w dapat ditentukan, jelaskan! 4. Jika u = 3i + 1j + 2k adalah vektor letak titik A dan v = 3i -j + 4k adalah vektor letak titik B, tentukan: a. Persamaan garis yang melalui A dan sejajar vektor B. b. Persamaan bidang yang melalui B dan tegak lurus vektor AB. c. Jarak titik P(2,-2,3) terhadap garis yang melalui A dan tegak lurus vektor B. d. Persamaan bidang yang melalui O dan sejajar A dan B.

KELAS: A/B UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS TEKNIK JURUSAN TEKNIK GEODESI SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL TA 2012/2013 Matakuliah : Matematika Geodesi Program Studi : S-1 Reguler Hari, Tanggal : Senin, 22 Oktober 2012 Waktu : 120 menit Sifat : Buku Tertutup Dosen Penguji : Ir. Sri Narni, MT. Ir. Parseno, MT. Kerjakan soal-soal berikut dengan tulisan yang jelas. Bobot nilai untuk masingmasing soal adalah sama. 1. Diketahui 2 vektor a = (2, 1, 3) dan b = (3, 2, 5). Tenntukan: a. Besar sudut yang terbentuk oleh kedua vektor a dan b. b. Luas segitiga yang terbentuk oleh kedua vektor a dan b. c. Vektor luas dari segitiga yang terbentuk oleh kedua vektor a dan b. d. Komponen vektor a pada b. 2. Diketahui 3 vektor a = (2,1,1), b = (3,1,2) dan c = ( 4, 2, 1) a. Selidiki apakah ketiga vektor a, b dan c dependen linier atau independen linier. b. Hitung volume paralelepipedum yang terbentuk oleh ketiga vektor a, b, c. c. Hitung (a x b) x c. 3. Tentukan besar sudut antara 2 luasan yaitu x2y + y3z – xz2 = 3 dan x2yz2 = 4 di titik T(2, 1, 1). 4. Tentukan persamaan garis normal dan bidang singgung di titik T(1, -1, 2) pada luasan 2xz2 – 3xy – 4x = 7.

84

5. Tentukan derivatif berarah di titik T(1, -2, -1) pada luasan x2yz + 4xz2 dalam arah b = (2, -1, -2).

KELAS: A/B

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS TEKNIK JURUSAN TEKNIK GEODESI SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL TA 2013/2014 Matakuliah : Matematika Geodesi Program Studi : S-1 Reguler Hari, Tanggal :Selasa, 29 Oktober 2013 Waktu : 120 menit Sifat : Buku Tertutup Dosen Penguji : Ir. Sri Narni, MT. Ir. Parseno, MT. Kerjakan soal-soal berikut dengan tulisan yang jelas. Bobot nilai untuk masingmasing soal adalah sama. 1.

Diketahui 2 vektor a dan b, dimana a = (2, 1, 3) dan b = (3, 1, 1). Tentukan: a. Besar sudut yang tertentu oleh dua vektor a dan b. b. Komponen vektor b pada a. c. Luas paralelogram yang tertentu oleh dua vektor a dan b.

2.

Diketahui 3 vektor a = (2, 2, 1), b = (3, 1, ) dan c = (2, 1, 4) a. Hitung volume paralelepipedum yang tertentu oleh ketiga vektor a, b, c tersebut. b. Selidiki apakah ketiga vektor a, b, dan c dependen linier atau independen linier.

3.

Tentukan persamaan bidang yang melalui A(3, 1, 2) // (sejajar) b = (1, 3, 2) dan // (sejajar) c = (3, 2, 2).

4.

Sebuah titik bergerak sepanjang kurva x = t2, y = t3 – 3, dan z = 2t + 1. Tentukan komponen kecepatan saat t = 1, dalam arah 2i + j + 3k.

5.

Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di titik Q = /4 pada kurva r = (x,y) = (2 cos Q, 2 sin Q).

85

VIII.3. Penutup VIII.3.1. Rangkuman Dalam pokok bahasan ini mahasiswa dihantarkan untuk memahami penggunaan vektor dan segitiga bola terutama terkait dengan disiplin geodesi. Dasar dasar operasi vektor, sifat-sifat dalam operasi vektor dan azas kolinieritas serta azas koplanaritas menjadi inti pembahasan. Sedangkan yang terkait dengan segitiga bola akan dibahas lebih detil mulai pada pertemuan ke-12 sampai pertemuan ke-15. VIII.3.2. Petunjuk Penilaian dan Umpan Balik Kriteria Operasi dasar vektor dan sistem koordinat vektor

0 Tidak mampu mengerjakan soal hitungan

Aplikasi vektor dalam Tidak mampu geometri analitik mengerjakan soal hitungan Aplikasi diferensial vektor

Tidak mampu mengerjakan soal hitungan

Geometri diferensial kurva dalam ruang

Tidak mampu mengerjakan soal hitungan

Skor 1 Dapat mengerjakan sebagian soal hitungan Dapat mengerjakan sebagian soal hitungan Dapat mengerjakan sebagian soal hitungan Dapat mengerjakan sebagian soal hitungan

2 Dapat mengerjakan seluruh soal hitungan Dapat mengerjakan seluruh soal hitungan Dapat mengerjakan seluruh soal hitungan Dapat mengerjakan seluruh soal hitungan

VIII.3.3. Tindak Lanjut Bagi mahasiswa yang termasuk dalam katagori dengan nilai skor kurang dari 2 dianjurkan untuk membaca sumber pustaka terkait lebih intensif dibanding dengan kelompok mahasiswa yang memiliki katagori dengan skor 2. Apabila dari hasil evaluasi, mahasiswa yang mempunyai skor kurang dari 2 lebih dari lima puluh persen dari jumlah mahasiswa, perlu direview terlebih dahulu materi sebelum ujian tengah semester.

86

VIII.3.4. Sumber Pustaka Davis, H.F., 1961, Introduction to Vector Analysis, Allyn and Bacon, Inc., Boston. Narni, S. dan Muryamto, R., 1999, Matematika Geodesi, Jurusan Teknik Geodesi, Fakultas Teknik UGM, Yogyakarta. Spiegel, M.R., 1959, Vector Analysis and an Introduction to Tensor Analysis, Schaum Publishing Co., NewYork, USA. Stein, F.M., Ph.D., 1963, An Introduction to Vector Analysis, Harper and Row Publishers, New York. Strang, G. dan K. Borre, 1997, Linear Algebra, Geodesy, and GPS, WellesleyCambridge Press, USA.

87

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS TEKNIKJURUSAN TEKNIK GEODESI Jalan Grafika No. 2, Sendowo, Yogyakarta

Buku 2 : RKPM (Rencana Kegiatan Pembelajaran Minggu ke-9 ) MATEMATIKA GEODESI Semester III / 2 SKS / TKGD2302

Oleh: 1. Ir. Parseno, MT. 2. Ir. Nurrohmat Widjajanti, MT., Ph.D. 3. Dwi Lestari, ST., ME. 4. Ir. Sri Narni, MT.

Didanai dengan Dana BOPTN P3-UGM Tahun Anggaran 2013

November 2013 88

BAB IX PERMUKAAN IX.1. Pendahuluan IX.1.1. Deskripsi Singkat Pada bagian ini akan didiskusikan tentang persamaan luasan, besaran fundamental orde I, besaran fundamental orde II, kelengkungan normal, garis kelengkungan, rumus Gauss. IX.1.2. Manfaat Mahasiswa akan dapat menjelaskan serta menghitung besaran-besaran fundamental orde I dan orde II. IX.1.3. Relevansi Besaran fundamental orde I dan orde II sangat berguna bagi mahasiswa dalam mempelajari bidang proyeksi peta. Besaran-besaran ini mendasari pada diskusi tentang garis-garis lengkung pada bidang proyeksi yang digunakan dalam pemetaan. IX.1.4. Learning Outcome Setelah mengikuti kuliah pertemuan minggu ke-9, mahasiswa akan dapat: 1. Menghitung besaran fundamental orde I dan orde II pada suatu luasan. 2. Mengidentifikasi luasan sebagai suatu developable surface. IX.2. Penyajian IX.2.1. Luasan atau Permukaan dan Garis-garis Parameternya

89

a. Persamaan luasan Luasan L dinyatakan dengan: r = r (u,v)

atau

= ( x(u,v), y(u,v), z(u,v)) dengan u dan v adalah parameter. Bentuk skalarnya adalah: x = x(u,v) y = y(u,v) z = z(u,v) Parameter u= konstan, merupakan kurva pada luasan L yang disebut garis parameter. Jika u = konstan, dan v = konstan, maka u dan v merupakan pasangan garis parameter (berupa jaringan). Contoh:

R = (u,u2,v) Berarti bahwa x = u ; y = u2 ; z = v Eliminasi u dan v menghasilkan y = x2, yang grafiknya merupakan tabung parabola. Jika u = kostan, berarti x = konstan, dan y = konstan, grafik berupa garis lurus // OZ (garis generator tabung). Jika v = konstan, berarti z = konstan maka, grafik merupakan irisan dengan luasan berupa parabola dengan bidang // XOY.

90

Untuk setiap pasang nilai (u,v) akan didapat suatu titik pada tabung. Misalnya sepasang nilai (u,v) = (2,3), ini akan memberikan titik P (2,4,3) yang terletak pada tabung. IX.2.2. Besaran Fundamental Orde I Perhatikan gambar berikut: r = r (u,v)

u=c r2



r1 = r/u

r1

T

r1 : merupakan derivatif parsial r ke u v=k

dengan menganggap v konstan, jadi r1 adalah vektor singgung pada garis v = k. r / v = r2, merupakan vektor singgung pada garis. Bidang singgung akan sejajar dengan

v P

dr

Q

vektor r1 dan r2.

v+ dv u + du

r = r (u,v)

u

dr 

r r du  dv u v

= r1 du + r2 dv Karena P dan Q adalah titik-titik yang berdekatan pada suatu kurva yang melalui P dan Q, maka panjang busur (ds) yang menghubungkan P dan Q sama dengan l dr l sehingga: ds2 = dr . dr = r1 . r1 du2 + 2 r1 . r2 + r2 . r2 dv2 ds2 = E du2 + 2F du dv + G dv2

(I)

Persamaan tersebut disebut bangun atau persamaan fundamental orde I (bentuk dasar pertama) dengan: E = r1 . r 1

;

F = r1 . r2

;

G = r2 . r2

91

E, F, dan G disebut besaran fundamental pertama (I) dengan ditambah lagi besaran H2 yaitu: H2 = E G – F2 Yang ternyata bahwa besaran H = l r1 x r2 l. Jika F = 0, maka garis parameter saling tegak lurus. Contoh dalam R2 (bidang): Y

x=0

ds2 = dx2 + dy2

x=1 x=2

Dari pesamaan tersebut koefisian dx y=2 y=1

1 maka nilai dari besaran-besaran

y=0

O

dan dy masing-masing sama dengan

X

fundamental I untuk E, F dan G masing-masing adalah E = 1, F = 0

dan G = 1. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa garis-garis parameter saling tegak lurus (ortogonal). Contoh pada sistem koordinat kartesius miring: x=0

x=1 x=2

Dalam koordinat kartesius miring

y=1 O

y=0



panjang garis antara dua titik dapat diturunkan dari persamaan berikut: ds2 = dx2 + 2 cos  dx dy + dy2

Dari persamaan tersebut dapat diketahui bahwa nilai besaran fundamental pertama adalah: E=1

F = cos 

;

;

G=1

Sistem koordinat miring akan menjadi ortogonal jika nilai cos  = 0. Contoh dalam sistem koordinat polar: Dalam

sistem

koordinat

polar,

panjang garis antara dua titik dapat diturunkan dari persamaan berikut:

=/6

O =1

=2

=3

ds2 = d2 + 2 d2 =0

92

Dengan demikian dapat dimengerti bahwa besaran fundametal pertama (I) adalah: E=1

;

F=0

;

G = 2

Perpotongan antara garis parameter  dan  saling tegak lurus (ortogonal). Pasangan du.dv, du/dv atau dv/du akan menentukan suatu arah pada luasan seperti halnya dy/dx = m, adalah gradien suatu arah dalam sistim koordinat tegak dua dimensi. Sudut antara dua arah Jika diketahui dua arah du, dv dan du , dv berturut-turut menghasilkan dr dan dr . Jika  sudut antara kedua arah dan ds serta ds adalah elemen panjang yang sesuai maka:

ds ds cos  E du du  F (du dv  du dv)  G dv dv Kedua arah akan saling tegak lurus jika bentuk tersebut bernilai sama dengan nol. Vektor normal satuan dapat diperoleh sebagai berikut:

n

r1 x r 2 r x r2  1 r1 x r 2 H

IX.2.3. Besaran Fundamental Orde-II Jika diketahui r = r (u,v), dapat disusun turunan kedua dari vektor r sebagai berikut: r 11 

L = n . r11

 2r ; u 2

; M = n . r12

r 12 

 2r ; uv

; N = n . r22

r 22 

 2r v 2

; T = LN – M2

L, M, dan N disebut besaran-besaran fundamental orde II, sedangkan bentuk persamaan II adalah: L du2 + 2 M du dv + N dv2

(II)

Bentuk II disebut bangun fundamental orde II atau bentuk dasar kedua.

93

Contoh: Tentukan besaran fundamental orde I dan orde II pada luasan r = (a(s+t), b(s-t), 2st), dengan s, dan t adalah parameter. Jawab: Eliminasi s dan t menghasilkan (penjelasan eleminasi). x2 y2   2z a2 b2

Mengacu pada persamaan hasil eliminasi s dan t maka dapat diketahui bahwa luasan berupa parabolida hiperbolis. Garis parameter dapat ditentukan jika dimisalkan s = c, kemudian dilakukan eliminasi parameter t akan diperoleh: x y   2c a b x  z  2c  c  a 

berupa garis lurus

Jika dimisalkan t = k kemudian dilakukan eliminasi parameter s akan diperoleh: x y   2k a b x  z  2k   k  a 

berupa garis lurus

r1 

dr  (a, b,2t ) ds

r2 

dr  (a,b,2 s) dt

r 11 

 2r   (a, b,2t )  (0,0,0) s 2 s

r 12 

 2r   (a,b,2 s )  (0,0,2) st s

r 22 

 2r   (a,b,2t )  (0,0,0) t 2 t

E = r1 . r1 = a2 + b2 + 4t2 F = r1 . r2 = a2 - b2 + 4st G = r2 . r2 = a2 + b2 + 4s2

94

r1 x r2 = a

n=

i

j

k

b

2t

a

-b

2s

r 1 xr 2 (b(t  s )  a (t  s )  ab)  r 1 xr 2 b 2 (t  s ) 2  a 2 (t  s ) 2  a 2 s 2

L = n . r11 = 0 M = n . r12 =

 2ab b (t  s )  a 2 (t  s ) 2  a 2 b 2 2

2

N = n . r22 = 0 Contoh 2: Diketahui luasan putaran : x = u cos Q; y = u sin Q; z = f(Q). tentukan besaran dan bangun fundamental orde I dan orde II. Jawab: r = r (u, Q) = (u cos Q, u sin Q, f(Q)) Garis parameter Q – c, menghasilkan kurva pada bidang uz yang diputar (perhatikan gambar disamping). Garis parameter u = k, merupakan lingkaran paralel lintasan suatu titik. r1 = (cos Q, sin Q, 0) r2 = (-u sin Q, u cos Q, f(Q)) r11 = (0, 0, 0) r12 = (-sin Q, cos Q, 0) dan r22 = (-u cos Q, -u sin Q, F(Q)) E = 1; F = 0; G = u2 + (f”)2; H2 = u2 + (f’)2 n=

( f ' sin Q, f ' cos Q, u ) ; H

L = 0; M = -f’/H;

N = u f”/H (dQ2)

I = du2 + (u2 + f’2) dQ2 II = (-2 f’/H) du dQ + (u f” / H) dQ2

95

IX.3. Penutup IX.3.1. Rangkuman Dalam pokok bahasan ini mahasiswa dihantarkan untuk memahami pengertian tentang besaran fundamental I, besaran fundamental II, kelengkungan normal dan besaran Gauss. IX.3.2. Tes Formatif 1. Diketahui persamaan luasan r= (5 sin  cos φ, 5 sin  cos φ, 5 cos) dengan  dan φ parameter. Tentukan besaran fundamental orde I dan orde II. 2. Tentukanlah vektor-vektor normal satuan dan bentuk-bentuk dasar dari luasan-luasan berikut: a. r= (u+v, 1-uv, u-v) b. r= (a cos u, a sin u, bv) c. r= (u cos v, u sun v, f(u)+cv) IX.33. Petunjuk Penilaian dan Umpan Balik Kriteria Besaran fundamental orde I pada suatu luasan

0 Tidak mampu melakukan hitungan

Besaran fundamental orde II pada suatu luasan

Tidak mampu melakukan hitungan

Skor 1 Dapat melakukan hitungan sebagian Dapat melakukan hitungan sebagian

2 Dapat melakukan hitungan seluruhnya Dapat melakukan hitungan seluruhnya

IX.3.4. Tindak Lanjut Bagi mahasiswa yang termasuk dalam katagori dengan nilai skor kurang dari 2 dianjurkan untuk membaca sumber pustaka terkait lebih intensif dibandingkan dengan kelompok mahasiswa yang memiliki katagori dengan skor 2.

96

IX.3.5. Sumber Pustaka Narni, S. dan Muryamto, R., 1999, Matematika Geodesi, Jurusan Teknik Geodesi, Fakultas Teknik UGM, Yogyakarta. Spiegel, M.R., 1959, Vector Analysis and an Introduction to Tensor Analysis, Schaum Publishing Co., New York, USA. Stein, F.M., Ph.D, 1963, An Introduction to Vector Analysis, Harper and Row Publishers, New York.

97

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS TEKNIKJURUSAN TEKNIK GEODESI Jalan Grafika No. 2, Sendowo, Yogyakarta

Buku 2 : RKPM (Rencana Kegiatan Pembelajaran Minggu ke-10 ) MATEMATIKA GEODESI Semester III / 2 SKS / TKGD2302

Oleh: 1. Ir. Parseno, MT. 2. Ir. Nurrohmat Widjajanti, MT., Ph.D. 3. Dwi Lestari, ST., ME. 4. Ir. Sri Narni, MT.

Didanai dengan Dana BOPTN P3-UGM Tahun Anggaran 2013

November 2013 98

BAB X KELENGKUNGAN NORMAL DAN SIFAT TITIK PADA LUASAN X.1. Pendahuluan X.1.1. Deskripsi Singkat Pada bagian ini akan didiskusikan tentang kelengkungan garis utama Gauss serta sifat-sifat titik pada luasan. X.1.2. Manfaat Mahasiswa akan dapat menjelaskan karakteristik garis-garis lengkung pada suatu luasan yang berhubungan dengan matakuliah proyeksi peta. X.1.3. Relevansi Materi pada bab ini mendasari pada matakuliah yang berkaitan dengan transformasi koordinat atau transformasi data ukuran dari bidang lengkung ke bidang datar. Sebagai contoh data ukuran di permukaan bumi yang akan digambar sebagai peta pada bidang datar maka diperlukan pengetahuan tentang karakteristik titik, garis atau luasan pada bidang lengkung yang selanjutnya akan diproyeksikan ke bidang lengkung atau bidang datar. Demikian pula sebaliknya perpindahan data dari bidang datar (peta) ke bidang lengkung. X.1.4. Learning Outcome Setelah mengikuti kuliah pertemuan ke-10, mahasiswa akan dapat: 1. Menentukan sifat titik pada luasan berdasar nilai κ dan τ. 2. Menyelesaikan hitungan kelengkungan Gauss. X.2. Penyajian X.2.1. Kelengkungan Utama Gauss Di suatu titik P(u,v) pada luasan akan tertentu oleh besaran-besaran: r1, r2, E, F, G, H2, n, L, M, N, T2 Di suatu titik P(u,v) dengan arah (du,dv) akan tertentu oleh: (I) = ds2dan

(II) 99

Besaran E, F, G berbicara tentang ukuran pada permukaan dan tak berubah jika luasan digulung. Besaran L, M, N dan vektor n, berbicara tentang ukuran di luar permukaan, antara lain kelengkungan luasan yang tertentu saja bersama E, F, G, r1, r2. Di suatu titik P (u,v) pada arah tertentu (du, dv) dapat dibuat bidang pengiris normal, yaitu bidang melalui normal di P, sejajar (du,dv) yang mengiris luasan menurut kurva irisan normal n. n = kelengkungan n di P

n

n

Maka

n

diangkat

menjadi

kelengkungan normal luasan di P P

du,dv

pada arah (du, dv) Rumus:

n 

( II ) L du 2  2 M dudv  N dv 2  (I ) E du 2  2 F dudv  G dv 2

Jika di satu titik P, pada arah du/dv yang tertentu dibuat bidang normal N dan

bidang

miring

M

yang

membentuk sudut  dengan N maka terdapat

hubungan

antara

kelengkungan irisan-irisan mereka (n dan ). Dalil Meusnier: n =  cos  n = kelengkungan irisan normal  = kelengkungan irisan miring X.2.2. Garis-garis Kelengkungan Garis kelengkungan adalah kurva yang melalui garis-garis arah utama suatu normal di suatu titik. Untuk mejelaskan tentang garis kelengkungan baiklah kita tinjau titip P dan titik Q pada arah du/dv dari titi P. Pada umumnya normal di titik P dan di Q tidak berpotongan (bersilangan). Tetapi di setiap titik pada luasan

100

1 2

terdapat dua arah yaitu (du/dv)1 dan (du/dv)2 yang saling tegak lurus. Jadi

2

P

di titik P terdapat dua garis arah yaitu du/dv1

1

(du/dv)1 dan (du/dv)2 yang saling tegak lurus dan dan memotong

C1

normal titik P. Seperti ditunjukan C2

du/dv2

pada gambar disamping, kedua arah tersebut dinamai arah-arah utama.

Garis kurva yang bersesuaian dengan arah-arah utama disebut garis-garis kelengkungan (1 dan 2). Titik C1 dan C2 adalah pusat kelengkungan 1 dan 2 di titik P, maka PC1 = 1 dan PC2 = 2 disebut sebagai jari-jari kelengkungan 1 dan 2. 1 = 1/1 dan 2 = 1/2 disebut sebagai kelengkungan utama. (yang ternyata sama dengan n pada arah-arah utama) Bentuk umum dari kelengkungan utama adalah: dv 2  dudv du 2 E L

F M

G =0 N

Rumus kelengkungan utama: H2 2 – (EN – 2 FM + GL) + T2 = 0 Yang menghasilkan akar-akar 1 dan 2. J = 1 + 2 = 1/H2 (EN – 2 FM + GL) disebut kelengkunan pertama. K = 1 2 = T2/ H2 disebut kelengkungan Gauss atau kelengkukngan kedua. Ternyata bahwa 1 dan 2 ini merupakan n yang maksimum dan minimum bila ditinjau semua n pd arah-arah yang variabel. 2 arah.

2 n

1 1

Tinjau n irisan normal pada satu 1 = sudut yang dibentuk oleh n dengan 1 (1 memuat 1). 2 = sudut yang dibentuk oleh n dengan 2 (2 memuat 2).

101

Dalil Euler: n = 1 Cos2  + 2 Cos2  X.2.3. Sifat Titik pada Luasan Jika di suatu titik P: K > 0 (1, 2 sama tandanya), titik P disebut (pada) eliptis. P Eliptis

1

2

K = 0 (1, 2 salah satu  = 0), titik P disebut (pada) parabolis. P

Parabolis K < 0 (1, 2 berlainan tanda), titik P disebut (pada) hiperbolis. P Hiperbolis

Untuk melihat kelengkungan dan sifat titik dapat juga ditinjau dari irisannya dengan bidang sejajar dan dekat dengan bidang singgung. Irisan tersebut dinamakan indikator Dupin. Indikator Dupin: X2 Y2   1  untuk K  0 1  2 Y2 = 1  untuk K = 0, 1 = 0 X2 = 1 untuk K = 0 dengan 2 = 0 X = sumbu searah 1 102

Y = sumbu searah 2 Jadi untuk K = 0, indikator berupa parabola (terurai), K > 0, indikator berupa elips dan K < 0 , indikator berupa hiperbola. Jika J = 0 (J = 0 di setiap titik pada luasan) maka luasan disebut minimal. Jika K = 0 (T2 = 0 di setiap titik pada luasan) maka luasannya developable (dapat dijerang, dihimpitkan dengan bidang datar). Developable surface yang terkenal adalah bidang tabung dan bidang kerucut. Bidang-bidang inilah yang biasa digunakan sebagai bidang proyeksi dalam ilmu kartografi dan proyeksi peta. Contoh: 1. Diketahui luasan x = u cos ; y 2.

= u sin ; z = 1 – u2. Apa macam luasannya? Di titik u = 1;  = /4, hitung J dan K, kemudian tentukan indikator Dupinnya. Jawab: Eliminasi u dan , menghasilkan x2 + y2 + z = 1, persamaan ini merupakan paraboloida putaran dengan puncak (0,0,1) dan OZ sebagai sumbu putar. Pilih u sebagai parameter pertama sehinga r = r (u,) = (u cos , u sin , 1u2). Sesudah dihitung diperoleh: E = 1 + 4u2

n

2u cos  , 2u sin  , 1 1  4u 2

F=0 G = u2 H2 = u2 (1+4u2)

L

2

M=0

1  4u 2

T2 

4u 2 1  4u 2

K

T2  H2

4 (1  4u 2 ) 2

N

 2u 2 1  4u 2

 0  semua titik eliptis

Rumus kelengkungan utama  adalah: 103

 = H2 2 – (EN – 2FM + GL)  + T2 = 0 Di titik P (1, /4), diperoleh: E=5

L

;

F=0

;

H2 = 5 ;

G=1

;

;

T2 

2 5 N

M=0 ;

2 5

4 5

Sehingga persamaan  menjadi:

5 2 

12 5



4 0 5

atau

2 

12 5 5



4 0 25



penyelesaan

persamaan kuadrat.  2  2          0 ; 5  5 5 

J  1   5  

1 

1  

12 5 25

1 5  ; 1 2

2 5

K   1 2 

2 

; 2  

2 5 5

T2 4  2 25 H

1 5 5  2 2

Indikator Dupin (K  0) adalah:

x2 y2   1  25 52 5

atau

10 x 2  2 y 2  5 5

Persamaan tersebut merupakan elips dengan perbandingan sumbu panjang dan sumbu pendek 5 : 1. 3. Diketahui luasan r = r (u,v) = (a (u + v). b (u – v). uv). Apa macam luasannya? Tentukan J dan K. Jawab: Luasan X = a (u + v)

Z

Y

Y = b (u – v)

X

Z = uv (x/a)2 = u2 + 2uv + v2 (y/b)2 = u2 – 2uv + v2

104

--------------------------- -

x2 y2   4 uv  4 z a2 b2 Jadi persamaan tanpa parameter adalah:

x2 y2   4 z adalah suatu parabola a2 b2

hiperbolis. Setelah dihitung didapat: E = a2 + b2 + v2 F = a2 - b2 + uv ;

G = a2 + b2 + u2

H2 = b2 (u + v)2 +a2 (v – u)2 + 4 a2 b2 L=0

M 

;

 2ab H

;

N=0

J

4ab(a 2  b 2  uv) ; H2

K

 4a 2 b 2  0  setiap titik hiperbolis H4

;

T2 

 4a 2 b 2 H2

4. Tentukan titik yang eliptis, parabolis dan yang hiperbolis pada: Torus: x = u cos Q y = u sin Q z  a 2  (u  c) 2

(a  c);

u0

Z u

a

U

c

Didapat dengan memutar lingkaran (u – c )2 + z2 = a2 sekeliling sumbu OZ. r  r (u , Q )  (u cos Q, u sin Q,  a 2  (u  c) 2 )

Jika disingkat z = (f(u) =

a 2  (u  c) 2 dipilih yang positif. Maka:

E = 1 + f12 105

F=0 G = u2 H = u2 (1 + f12) n

( f1u cos Q,  f1u sin Q, u ) H

L

uf 11 H

M 0

u 2 f1 N H T2 

K

u 3 f1 f11 H2

f1 f11 u (1  f12 ) 2

Dengan: f1 

f 11 

f  (u  c)  u a 2  (u  c) 2

a

 a2 2

 (u  c) 2



3/ 2

Didapat: K

(u  c)a ua 2

2

u=c u
u>c

u
u>c

Untuk u > 0 maka: K > 0 (eliptis) jika u > c. K = 0 (parabolis) jika u = c.

u=c

K < 0 (hiperbolis) jika u < c. X.2.4. Rumus Gauss Jika suatu titik P terletak pada suatu luasan, maka dari titik tersebut dapat diambil 3 vektor yaitu vektor-vektor r1, r2 dan n yang independen linier sebagai

106

basis, dan semua vektor di P dapat dinyatakan dengan basis tersebut. Pada diskusi sebelumnya telah diketahui hubungan antara vektor r1, r2 dengan besaran-besaran fundamental pertama. Hubungan tersebut adalah: E = r1 . r 1

E1 = 2 r1 . r11

E2 = 2 r1 . r12

F = r1 . r2

F1 = r1 . r12 + r2 . r11

F2 = r1 . r22 + r2 . r12

G = r2 . r2

G1 = 2 r2 . r12

G2 = 2 r2 . r22

Ternyata r11, r12 dan r22 dapat dinyatakan dengan n, r1, r2 sebagai berikut: Rumus Gauss: r11 = L n + l r1 +  r2 1) r12 = M n + m r1 + µ r2

2)

r22 = N n + n r1 +  r2 3) Terdapat 6 parameter yang harus dicari yaitu l , m, n, , µ, dan , sebagai penjelasan ditunjukan dengan contoh berikut: Persamaan 1) diproses dengan perkalian titik dengan r1 akan diperoleh: ½ E1 = 0 + l E +  F Persamaan 2) diproses dengan perkalian titik dengan r2 akan diperoleh: F1 – ½ E2 = 0 + l F +  G Selanjutnya: l = (1/2H2)(GE1 – 2 FF1 + FF2)  = (1/2H2)(2 EF1 – EF2 – FE1) Dengan cara yang sama diperoleh: m = (1/2H2)(GE2 – FG1) µ = (1/2H2)(EG1 – FE2) n = (1/2H2)(2GE2 – GG1 – FG2)  = (1/2H2)(EG2 – 2FF2 + FG1

107

X.3. Penutup X.3.1. Rangkuman Dalam pokok bahasan ini mahasiswa dihantarkan untuk memahami pengertian tentang kelengkungan garis utama Gauss serta sifat-sifat titik pada luasan. X.3.2. Tes Formatif 1. Diketahui persamaan luasan r= (5 sin  cos φ, 5 sin  cos φ, 5 cos) dengan  dan φ parameter. Tentukan kelengkungan Gauss (κ). Dari nilai κ, selidiki di titik mana luasan bersifat eliptis, parabolis dan hiperbolis. X.3.3. Petunjuk Penilaian dan Umpan Balik Kriteria Sifat titik pada luasan berdasar nilai κ dan τ Kelengkungan Gauss

0 Tidak mampu menentukan sifat luasan Tidak mampu melakukan hitungan

Skor 1 Mampu menentukan sebagian sifat luasan Dapat melakukan hitungan sebagian

2 Mampu menentukan seluruh sifat luasan Dapat melakukan hitungan seluruhnya

X.3.4. Tindak Lanjut Bagi mahasiswa yang termasuk dalam katagori engan nilai skor kurang dari 2 dianjurkan untuk membaca sumber pustaka terkait lebih intensif dibandingkan dengan kelompok mahasiswa yang memiliki katagori dengan skor 2. X.3.5. Sumber Pustaka Narni, S. dan Muryamto, R., 1999, Matematika Geodesi, Jurusan Teknik Geodesi, Fakultas Teknik UGM, Yogyakarta. Spiegel, M.R., 1959, Vector Analysis and an Introduction to Tensor Analysis, Schaum Publishing Co., New York, USA. Stein, F.M., Ph.D, 1963, An Introduction to Vector Analysis, Harper and Row Publishers, New York.

108

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS TEKNIKJURUSAN TEKNIK GEODESI Jalan Grafika No. 2, Sendowo, Yogyakarta

Buku 2 : RKPM (Rencana Kegiatan Pembelajaran Minggu ke-11 ) MATEMATIKA GEODESI Semester III / 2 SKS / TKGD2302

Oleh: 1. Ir. Parseno, MT. 2. Ir. Nurrohmat Widjajanti, MT., Ph.D. 3. Dwi Lestari, ST., ME. 4. Ir. Sri Narni, MT.

Didanai dengan Dana BOPTN P3-UGM Tahun Anggaran 2013

November 2013 109

BAB XI PENGERTIAN DAN TERBENTUKNYA SEGITIGA BOLA XI.1. Pendahuluan Bagian ini dimaksudkan untuk memberi gambaran kepada mahasiswa tentang ukuran ukuran di atas bidang sferis khususnya pengertian segitiga bola, penjelasan tentang terbentuknya segitiga bola dan identifikasi posisi sebuah titik dalam sistem koordinat bola. XI.1.1. Deskripsi Singkat Pada bab XII, akan dibahas materi tentang pengertian dan terbentuknya segitiga bola, istilah-istilah dalam segitiga bola meliputi lingkaran kecil, lingkaran besar, paralel, meridian, lintang, bujur, ekses sferis, jarak sferis dan sudut sferis. XI.1.2. Manfaat Mahasiswa dapat memahami unsur-unsur bola bumi serta dapat menggambar posisi titik-titik di atas bola bumi dan menghitung jarak sferis titiktitik di atas bola bumi ( bidang lengkung). XI.1.3. Relevansi Bab XII ini mempunyai maksud memperkenalkan mahasiswa tentang konsep dasar posisi suatu titik di atas bola bumi (permukaan bumi tidak dianggap sebagai bidang datar tetapi bidang lengkung) dan unsur-unsur yang terbentuk pada segitiga bola untuk proses hitungan selanjutnya, misalnya pada kuliah geodesi satelit, survei GNSS. XI.1.4. Learning Outcome Setelah mengikuti kuliah pertemuan ke-12, mahasiswa akan dapat: 1. Menjelaskan tentang pengertian bola bumi dan segitiga bola. 2. Menjelaskan unsur-unsur pada bola bumi. 3. Menjelaskan posisi titik-titik di atas bola bumi. 4. Menghitung jarak sferis di atas bola bumi.

110

XI.2. Penyajian XI.2.1. ILMU UKUR SEGITIGA BOLA Definisi dan Istilah Bola (permukaan bola) adalah tempat kedudukan titik-titik (dalam ruang) yang berjarak sama (tetap) terhadap titik yang tetap.

R1

P : titik tetap (titik pusat bola)

R

R1 : titik di permukaan bola R : jari-jari bola

P

Beberapa definisi pada bola: -

Lingkaran besar (L)

: irisan diantara bola dengan bidang datar yang

melalui pusat bola. -

Lingkaran kecil (l)

: irisan diantara bola dengan bidang datar yang

tidak melalui pusat bola. -

Kutub (Ku dan Ks)

: dua titik tembus (potong) diantara bola dengan

diameter bola yang tegak lurus bidang yang memuat lingkaran tersebut. -

Titik lawan

: bila titik A dihubungkan dengan P dan garis AP

diperpanjang sampai memotong(menembus) bola di B, maka B disebut titik lawan A dan sebaliknya. -

Meridian A

: irisan diantara bola dengan bidang vertikal yang

melalui Ku dan KS dan A. Bila bidang vertikal melalui Greenwich, Ku dan Ks maka irisan bidang tersebut dengan bola disebut ”Prime meridian atau meridian nol”. -

Equator

: irisan diantara bola dengan bidang horizontal

yang melalui P (pusat bola). Equator tegaklurus meridian.

111

-

Paralel

: irisan diantara bola dengan bidang horizontal

yang tidak melalui pusat bola, dan berjarak < r dari pusat bola. -

Lintang A (Latitude A) : jarak sudut A yang diukur dari equator dihitung sepanjang meridian A.

-

Secara umum Lintang Utara (LU) = + 0˚ s.d 90˚, Lintang Selatan (LS)= 0˚ s.d -90˚

-

Bujur A ( Longitude A) : sudut di salah satu kutub antara meridian A tersebut dengan meridian nol.

-

Secara umum Bujur Timur (BT) = + 0˚ s.d 180˚,Bujur Barat (BB) = - 0˚ s.d -180˚.

A

φA λA

Lintang dan Bujur pada Bola (Djawahir 2009) -

Jarak sferis dan sudut sferis Melalui dua titik A dan B pada bola dapat dibuat satu lingkaran besar.

112

Lingkaran besar melalui A dan B. AB < 180˚

P B

A

θ<180˚

Panjang busur dari A ke B dalam arah panah dinamakan jarak sferis dari A ke B. Jadi Jarak sferis adalah jarak terpendek pada permukaan bola dari A ke B. Panjang busur AB (jarak sferis) dinyatakan dalam derajat (radial) dan sama dengan besar sudut APB. Jadi panjang busur selalu lebih kecil dari 180˚atau T radial. P p

Sedangkan yang dimaksud dengan sudut sferis adalah sudut di antara dua lingkaran besar, yaitu sudut di antara garis singgung

O

C

pada masing-masing lingkaran besar di

B

A

titik potongnya. Sudut sferis APB dibentuk oleh lingkaran besar A dan B yang berpotongan di P. -

Ekses sferis α + β + γ = 180˚+Σ LABC 206265 xLABC = "  2 R sin 01" R2

C γ

α

β

Catatan : R = 6.372.160 m B

A 113

1/sin 01” = ρ” = 206265 → 1˚ = 111 km

XI.2.2 Terbentuknya Segitiga Bola Segitiga bola ialah segitiga pada permukaan bola yang dibentuk dengan cara menghubungkan tiga titik pada permukaan bola dengan busur lingkaran besar. Jadi sisi-sisi segitiga bola ialah segmen-segmen busur lingkaran besar. Pada gambar berikut ini, titik-titik A, B, dan C adalah titik-titik pada permukaan bola, sedangkan AB, AC, dan BC adalah segmen-segmen busur lingkaran besar.

C

C

 a

b

O B A

A



 B c

Gambar segitiga bola ABC Unsur-unsur segitiga bola terdiri dari tiga sudut dan tiga sisi. Pada gambar segitiga bola ABC tersebut, unsur-unsur segitiga bola ialah sudut-sudut , ,  dan sisi-sisi a, b, c. Berbeda dengan segitiga datar yang jumlah ketiga sudutnya 180 derajat, jumlah ketiga sudut dalam segitiga bola ialah 180 derajat ditambah ekses sferis. XI.3. Penutup XI.3.1. Rangkuman Dalam pokok bahasan ini mahasiswa dihantarkan untuk memahami pengertian tentang terbentuknya segitiga bola, istilah-istilah dalam segitiga bola

114

meliputi lingkaran kecil, lingkaran besar, paralel, meridian, lintang, bujur, ekses sferis, jarak sferis dan sudut sferis. XI.3.2. Tes Formatif 1. Gambarkan posisi titik- titik berikut pada bola bumi: a. A (20° LU; 45° BT) b. B (45° LU; 120° BT) c. C (30° LS; 75 ° BB) d. D (45° LS; 100° BB) 2. Kota P dan kota Q terletak di ekuator, kota P pada Bujur 30° T sedangkan kota Q berada pada 115° BT, berapakah jarak sferis kota P ke kota Q. Jika 1° jarak sferis sama dengan 111 km, berapa kilometerkah jarak kedua kota tersebut. 3. Kota X dan Y terletak pada bujur yang sama, kota X pada Lintang 15°30’ Utara sedangkan kota Y pada Lintang 25°40’ Selatan. Hitunglah jarak sferis kota X ke kota Y dalam satuan kilometer. XI.3.3. Petunjuk Penilaian dan Umpan Balik Kriteria Pengertian bola bumi dan segitiga bola Unsur-unsur pada bola bumi

0 Tidak mampu menjelaskan Tidak mampu menjelaskan

Skor 1 Dapat menjelaskan sebagian Dapat menjelaskan sebagian

Posisi titik di atas bola bumi

Tidak dapat menggambarkan

Dapat menggambarkan sebagian

Jarak sferis

Tidak dapat menghitung jarak sferis titik-titik di atas bola bumi

Dapat menghitung sebagian

2 Dapat menjelaskan secara runtut Dapat menjelaskan secara benar dengan gambar Dapat menggambarkan dengan baik dan benar dapat menghitung dengan cepat dan tepat

115

XI.3.4. Tindak Lanjut Bagi mahasiswa yang termasuk dalam katagori dengan nilai skor kurang dari 2 dianjurkan untuk membaca sumber pustaka terkait lebih intensif dibandingkan dengan kelompok mahasiswa yang memiliki katagori dengan skor 2. XI.3.5. Sumber Pustaka Ayres, F. Jr., 1954, Theory and Problems of Plane and Spherical Trigonometry, Schaum’s Outline Series, Schaum Publishing Co., NewYork, USA. Donnay, J.D.H., 2007, Spherical Trigonometry, Read Books. Narni, S. dan Muryamto, R., 1999, Matematika Geodesi, Jurusan Teknik Geodesi, Fakultas Teknik UGM, Yogyakarta. Todhunter, M.A.F.R.S, 1878, Spherical Trigonometry with Numerous Examples, Macmillan

and

Co.,

London,

on-line

version

from

www.forgottenbooks.com.

116

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS TEKNIKJURUSAN TEKNIK GEODESI Jalan Grafika No. 2, Sendowo, Yogyakarta

Buku 2 : RKPM (Rencana Kegiatan Pembelajaran Minggu ke-12 ) MATEMATIKA GEODESI Semester III / 2 SKS / TKGD2302

Oleh: 1. Ir. Parseno, MT. 2. Ir. Nurrohmat Widjajanti, MT., Ph.D. 3. Dwi Lestari, ST., ME. 4. Ir. Sri Narni, MT.

Didanai dengan Dana BOPTN P3-UGM Tahun Anggaran 2013

November 2013 117

BAB XII GEOMETRI SEGITIGA BOLA XII.1. 1. Deskripsi Singkat Pada bagian ini akan dibahas mengenai geometri segitiga bola pada sub bahasan syarat segitiga bola dan jenis-jenis segitiga bola. XII.1.2. Manfaat Mendasari pada matakuliah penentuan posisi di permukaan bumi dengan metode astronomi ataupun teknologi ruang angkasa. XII.1.3. Relevansi Dengan teknologi satelit penentuan posisi di permukaan bumi menjadi semakin cepat, namun demikian untuk mempelajari penentuan posisi dengan teknologi satelit memerlukan dasar-dasar matematika khususnya segitiga bola. Bagian ini mendasari juga pada pelajaran transformasi koordinat dari sistem kuvilinier ke sistem kartesi atau sebaliknya. XII.1.4. Learning Outcome Setelah mengikuti kuliah pertemuan ke-12 mahasiswa akan dapat: a. Menjelaskan syarat hitungan pada segitiga bola. b. Mengidentifikasi dan membedakan macam-macam segitiga bola c. Dapat menggambarkan secara grafis tentang jenis-jenis segitiga bola pada bola langit. XII .2. Penyajian Segitiga Bola Bagian dari permukaan bola yang dibatasi oleh ketiga buah lingkaran besar yang berpotongan satu sama lain.

118

KU

Sudut bidang tiga P.ABC

C



L3

b P

a

b



c

 A

P

B

T

C

L1 A

ekuator

B

L2

KS Syarat segitiga bola: C b

γ

A

a

β

α

a

B

c

1. α + β + γ = 180˚ + Σ;

Σ: ekses sferis

2. 180˚ < α + β + γ < 540˚ 3. 0˚< a + b + c < 360˚ 4. a < b + c ; b < c + a ; c < a + b dan α < β + γ ; β < γ + α ; γ < α + β 5. a > b → α > β ; a > c → α > γ ; c > b → γ > β 6. a = b → α = β ; a = c → α = γ ; c > b → γ = β 7.a ≠ b → α ≠ β ; a ≠ c → α ≠ γ ; c ≠ b → γ ≠ β 8. a, b, c, α, β, γ masing-masing < 180˚ Macam-macam segitiga bola: 1. Segitiga bola lawan

119

c

B

2. Segitiga bola samping 3. Segitiga bola siku-siku 4. Segitiga bola kutub 5. Segitiga bola kwadran 6. Segitiga bola sembarang 1. Segitiga bola lawan Tiga buah lingkaran besar L1, L2, L3 yang berpotongan satu sama lain, mempunyai 6 titik potong: A, B, C dan A1, B1, C1. membentuk yang disebut sebagai segitiga lawan dari

A1B1C1

ABC dan sebaliknya.

KU Sudut sferis

L3 C1 a1

T C1

1

B1 1 c1 1

a1

b1

P

B1

b1

B

b a

A1 B

c



c

c1

A1

A

A

C L1

b





C Jarak sferis

a

L2 KS Segitiga lawan

Titik A1 adalah titik lawan A dan sebaliknya, titik B1 adalah titik lawan B dan sebaliknya, titik C1 adalah titik lawan C dan sebaliknya. Hubungan segitiga ABC dan segitiga A1B1C1 adalah: a = a1 ; α = α1

;

b = b1 ; β = β1

;

c = c 1 ; γ = γ1

120

B

2. Segitiga bola samping KU

 b ku 

A

180 - 



B

T

180 - 

180 - a

180 - b

L1

Segitiga bola ABC = segitiga bola ABKu

a

Segitiga bola AKsB = segitiga bola samping ABC A’

B’ L2



Segitiga bola AKsB merupakan segitiga bola samping ABC: o sisi-sisi : 180˚ - a, 180˚ - b, Ku o sudut-sudut: 180˚ - α, 180˚ - β, KS Segitiga bola BA’Ku merupakan segitiga bola samping ABC: o sisi-sisi: 180˚ - Ku, 180˚ - b, a o sudut-sudut: 180˚ - KU, 180˚ - β, α Segitiga bola AB’Ku merupakan segitiga bola samping ABC: o sisi-sisi : 180˚ - Ku, 180˚ - a, b o sudut-sudut: 180˚ - KU, 180˚ - α, β XII.3. Penutup XII.3.1.Rangkuman Dalam pokok bahasan ini mahasiswa dihantarkan untuk memahami tentang rumus-rumus segitiga bola, jenis-jenis segitiga bola, syarat-syarat dan aturan pada segitiga bola serta contoh penyelesaian beberapa kasus.

121

XII.3.2.Tes Formatif 1. Jelaskan perbedaan antara segitiga bidang datar dengan segitiga bola 2. Jelaskan syarat-syarat agar terpenuhi apa yang disebut sebagai segitiga bola 3. Gambarkan segitiga bola samping dan segitiga bola lawan pada bola langit. XII.3.3. Petunjuk Penilaian dan Umpan Balik Kriteria Identifikasi perbedaan segitiga bidang datar dan segitiga bola Identifikasi jenis segitiga bola Gambar grafis jenis segitiga bola

0 Tidak dapat mengidentifikasi dan membedakan Tidak dapat mengidentifikasi dan membedakan Tidak dapat mengambar

Skor 1 Dapat mengidentifikasi dan membedakan sebagian Dapat mengidentifikasi dan membedakan sebagian Dapat menggambar sebagian

2 Dapat mengidentifikasi dan membedakan seluruhnya Dapat mengidentifikasi dan membedakan seluruhnya Dapat menggambar seluruh jenis

XII.3.4. Tindak Lanjut Bagi mahasiswa yang termasuk dalam katagori dengan nilai skor kurang dari 2 dianjurkan untuk membaca sumber pustaka terkait lebih intensif dibandingkan dengan kelompok mahasiswa yang memiliki katagori dengan skor 2. XII.3.5. Sumber Pustaka Ayres, F. Jr., 1954, Theory and Problems of Plane and Spherical Trigonometry, Schaum’s Outline Series, Schaum Publishing Co., NewYork, USA. Donnay, J.D.H., 2007, Spherical Trigonometry, Read Books. Narni, S. dan Muryamto, R., 1999, Matematika Geodesi, Jurusan Teknik Geodesi, Fakultas Teknik UGM, Yogyakarta.

122

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS TEKNIKJURUSAN TEKNIK GEODESI Jalan Grafika No. 2, Sendowo, Yogyakarta

Buku 2 : RKPM (Rencana Kegiatan Pembelajaran Minggu ke-13 ) MATEMATIKA GEODESI Semester III / 2 SKS / TKGD2302

Oleh: 1. Ir. Parseno, MT. 2. Ir. Nurrohmat Widjajanti, MT., Ph.D. 3. Dwi Lestari, ST., ME. 4. Ir. Sri Narni, MT.

Didanai dengan Dana BOPTN P3-UGM Tahun Anggaran 2013

November 2013

123

BAB XIII: GEOMETRI SEGITIGA BOLA (LANJUTAN) XIII.1. Pendahuluan XIII.1. 1. Deskripsi singkat Pada bab ini akan dibahas tentang segitiga bola siku-siku, segitiga bola kutub, segitiga bola sembarang dan kwadranserta contoh penyelesaian beberapa kasus. XIII.1.2. Manfaat Mendasari pada matakuliah penentuan posisi di permukaan bumi dengan metode astronomi ataupun teknologi ruang angkasa. XIII.1.3. Relevansi, . Dengan teknologi satelit penentuan posisi di permukaan bumi menjadi semakin cepat, namun demikian untuk mempelajari penentuan posisi dengan teknologi satelit memerlukan dasar-dasar matematika khususnya segitiga bola. Bagian ini mendasari juga pada pelajaran transformasi koordinat dari sistem kuvilinier ke sistem kartesi atau sebaliknya XIII.1.4. Learning outcame : Setelah mengikuti kuliah pertemuan ke-1, mahasiswa akan dapat: menyelesaikan hitungan segitiga bola siku-siku, segitiga bola kutub, segitiga bola sembarang dan kwadran XIII.2. Penyajian

Segitiga bola siku-siku A

b 90

O

c

90

b

c

90

C

D

a

a 90

90 E

B

124

adalah segitiga bola yang hanya mempunyai satu sudut yang besarnya 90˚. Segitiga siku-siku: O : pusat bola berjari-jari 1 (satu unit radius) O : titik puncak dari sudut bidang tiga O ABC ABC ; segitiga bola siku-siku di C dan a < 90˚, b < 90˚. Melalui A dibuat bidang tegak lurus OB,atau melalui A dibuat bidang ADE tegak lurus OB, memotong OB di E dan OC di D. Dengan mengacu rumus-rumus pada segitiga bidang datar, diperoleh: DA/OA = sin b atau DA/1 = sin b EA/OA = sin c atau EA/1 = sin c OE/OA = cos c atau OE/1 = cos c OD/OA = cos b atau OD/1 = cos b Dari segitiga datar OED: tan a = ED/OE atau ED = OE x tg a Dari persamaan tersebut OE = cos c, sehingga ED = cos c tan a dst...(rumus-rumus yang lain dapat dijabarkan sendiri).

ATURAN NAPIER dari segitiga bola ABC Co-B

Bagian SAMPING

Bagian LAWAN a

Co-B

a b

Co-c 90

Bagian TENGAH

Co-c

C

Co-A b Co-A

Bagian LAWAN

Bagian SAMPING

1. sin a = sin A sin c

125

2. tan a = tan A sin c 3. tan a = cos B tan c 4. cos c = cos b cos a 5. cos A = sin B cos a 6. sin b = sin B sin c 7. tan b = tan B sin a 8. tan b = cos A tan c 9. cos c = cot A cot B 10. cos B = sin A cos b Rumus yang dipilih: Pilih rumus yang mengandung 2 unsur yang sudah diberikan dan 1 unsur yang ditanyakan. a. sin (bagian TENGAH ) = cos (bagian LAWAN ) x cos (bagian LAWAN) b. sin (bagian TENGAH) = tan (bagian SAMPING) x tan (bagian SAMPING) c.

sin b = tan a x tan Co-A; sin b = tan a cot A; tan a = tan A sin b sin(1 bagian TENGAH) = tan (1 bagian SAMPING) x tan (1 bagian LAWAN)

d.

sin (b) = cos (Co-B) x cos (Co-c) sin b = sin B sin c sin (1 bagian TENGAH) = cos (1 bagian LAWAN) x cos (1 bagian LAWAN)

Urutan kerja dalam penyelesaian segitiga bola siku adalah sbb: a. Buat sketsa/gambar segitiga bola siku dan diberi notasi seperlunya, unsur-unsur yang diketahui diberi tanda misalnya dengan lingkaran. b. Tulis rumus untuk unsur-unsur yang tak diketahui dengan ketentuanketentuan Napier. Tiap rumus mengandung dua unsur yang diketahui dan mengandung satu unsur yang ditanyakan.

126

c. Tulis rumus untuk unsur-unsur yang tak diketahui dengan ketentuan Napier untuk ceking. d. Hitungan dapat dilakukan dengan kalkulator. Hukum Kwadran a. Bila A < 90 dan C < 90, maka a, b, B < 90 Bila C < 90 dan a < 90 , maka b, B > 90 dan A < 90 b. Bila A > 90 dan C < 90, maka a, b, B > 90 Bila C > 90 dan a > 90, maka b, B < 90 dan A > 90 Contoh 1: ABC siku-siku di C ; A = 650 ; B = 1180

Diketahui:

Hitung: a, b, dan c Jawab: Co-B

Co-B a

a?

Co-c 90 Co-A

C

Co-c ? Co-A

b

a) Mencari a:

b?

Mencari b:

sin Co-A = cos a cos Co-B

sin Co-B = cos Co-A cos b

cos a = cos A cosec B

cos b = cos B cosec A

a = arc cos (cos A cosec B)

a = arc cos ( cos B cosec A

b) Mencari c sin Co-c = tan Co-B tan Co-A cos c = cot B cot A c = arc cos (cot B cot A) c) Ceking sin Co-c = cos a cos b

LATIHAN: 127

1. Diketahui segitiga bola siku-siku di C, a = 45˚; b = 30˚, hitung A, B, c! 2. Selesaikan sebuah segitiga bola siku-siku di C dan a = 66˚59’31” ; b = 156˚34’19”! 3. Selesaikan sebuah segitiga bola siku-siku di C dan a = 60˚ ; b = 30˚! 4. Selesaikan sebuah segitiga bola siku-siku di C dan A = 45˚ ; c = 60˚! Segitiga bola kutub Kutub-kutub dari sebuah lingkaran besar adalah titik-titik tembus dari garis tegak lurus lingkaran melalui pusatnya, pada bidang permukaan bola. Sebuah segitiga ABC mempunyai segitiga kutubnya yang terbentuk dengan jalan membuat segitiga bola yang sisi-sisinya adalah lingkaran-lingkaran besar yang berkutub di A, B, dan C. Ck

C

bk b A

ak a

c

B

Bk

Ak ck

-

Ak adalah kutub dari lingkaran besar BC, yang terletak sepihak dengan A terhadap BC.

-

Bk adalah kutub dari lingkaran besar AC, yang terletak sepihak dengan B terhadap AC.

-

Ck adalah kutub dari lingkaran besar AB, yang terletak sepihak dengan C terhadap AB.

-

Segitiga bola AkBkCk, dinamakan segitiga bola kutub dari segitiga bola ABC.

-

Segitiga bola ABC, dinamakan segitiga bola kutub dari segitiga bola AkBkCk.

128

Ak = 180˚ - a = αk

A = 180˚ - ak = α

Bk = 180˚ - b = βk

B = 180˚ - bk = β

Ck = 180˚ - c = γk

C = 180˚ - ck = γ

Segitiga bola kwadran Adalah segitiga bola yang hanya mempunyai satu sisi yang besarnya 90˚. Segitiga kutub dari segitiga kwadran adalah segitiga siku-siku, oleh karena itu unsur-unsur dari segitiga kwadran dapat ditentukan dengan menggunakan rumus segitiga siku-siku pada segitiga kutubnya. Segitiga bola sembarang (oblique) Adalah segitiga bola yang tidak mengandung keistimewaan. Segitiga bola sembarang dapat terbentuk dari: -

tiga sisi yang diketahui,

-

tiga sudut yang diketahui,

-

dua sisi dan satu sudut yang diapitnya,

-

dua sudut dan satu sisi yang diapitnya,

-

dua sisi dan satu sudut di muka salah satu sisinya, atau

-

dua sudut dan satu sisi di muka salah satu sudutnya.

Adapun rumus-rumus yang berlaku: 1. Rumus sinus: sin a sin b sin c   sin A sin B sin C

2. Rumus cosines untuk sisi: cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A cos b = cos c cos a + sin c sin a cos B cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C 3. Rumus cosines untuk sudut:

129

cos A = - cos B cos C + sin B sin C cos a cos B = - cos C cos A + sin C sin A cos b cos C = - cos A cos B + sin A sin B cos C 4. Rumus ½ sudut:

tan 1 2 A 

tan r sin( S  a )

tan 1 2 B 

tan r sin(S  b)

tan 1 2 C 

tan r sin(S  c)

S = (a + b + c)/2

sin( S  a) sin( S  b) sin( S  c) sin S

tan r 

5. Rumus ½ sisi: cot 1 2 a 

tan R cos(S  A)

cot 1 2 b 

tan R cos( S  B )

cot 1 2 c 

tan R cos( S  C )

S = (A + B + C)/2

tan R 

cos(S  A) cos(S  B) cos(S  C )  cos S

6. Gauss or Delambre’s analogies:

sin 12 ( A  B) Sin 12 (a  b)  Cos 12 C Sin 12 c Cos 12 ( A  B ) Sin 12 (a  b)  Sin 12 C Sin 12 c Sin 12 ( A  B ) Cos 12 (a  b)  Cos 12 C Cos 12 c

130

Cos 12 ( A  B) Cos 12 (a  b)  Sin 12 C Cos 12 c 7. Napier’s analogies:

Tan 12 ( A  B ) Sin 12 (a  b)  Cot 12 C Sin 12 (a  b)

Tan 12 ( A  B ) Cos 12 (a  b)  Cot 12 C Cos 12 (a  b) Tan 12 (a  b) Sin 12 ( A  B)  Tan 12 C Sin 12 ( A  B) Tan 12 (a  b) Cos 12 ( A  B)  Tan 12 C Cos 12 ( A  B ) XIII.3. Penutup XIII.3.2.Tes formatif 1. Diketahui segitiga bola ABC, a = 1210 18,4’; b = 1040 54,7’; c = 650 42,5’. Hitung besaran A,B, dan C menggunakan rumus ½ sudut. 2. Dketahui segitiga bola ABC, A = 1170 22,8’; B = 720 38,6’; C = 580 21,2’. Tentukan a,b dan c. (menggunakan rumus ½ sisi). 3. Diketahui segitiga ABC, a = 1060 25,3’; B = 420 16,7’; c = 1140 53,2’. Tentukan A, C, dan b. (menggunakan Napier’s analogies). 4. Diketahui segitiga ABC, A = 480 44,6’; B = 600 42,6’; c = 760 22,4’. Tentukan a, b, dan C. (menggunakan Napier’s analogies). 5. Diketahui segitiga ABC, a = 480 44,6’; c = 600 42,2’; A = 760 22,4’. Tentukan C, B dan b. 6. Diketahui segitiga ABC, A = 350 52,5’; B = 560 10,7’; a = 400 38,8’. Tentukan c, C dan b.

XIII.3.3. Petunjuk Penilaian dan umpan balik Kriteria

Skor

131

Identifikasi perbedaan segitiga bidang datar dan segitiga bola Identifikasi jenis segitiga bola Mampu melakukan hitungan pada semua kasus segitiga bola

0 Tidak dapat mengidentifikasi dan membedakan Tidak dapat mengidentifikasi dan membedakan Tidak dapat melakukan hitungan

1 Dapat mengidentifikasi dan membedakan sebagian Dapat mengidentifikasi dan membedakan sebagian Dapat melakukan hitungan sebagian kasus

2 Dapat mengidentifikasi dan membedakan seluruhnya Dapat mengidentifikasi dan membedakan seluruhnya Dapat melakukan hitungan semua kasus

XIII.3.4. Tindak lanjut Bagi mahasiswa yang termasuk dalam katagori dengan nilai skor kurang dari 2 dianjurkan untuk membaca sumber pustaka terkait lebih intensif dianding dengan kelompok mahasiswa yang memiliki katagori dengan skor 2 XIII.3.5. Sumber Pustaka: Ayres, F. Jr., 1954, Theory and Problems of Plane and Spherical Trigonometry, Schaum’s Outline Series, Schaum Publishing Co., NewYork, USA. Donnay, J.D.H., 2007, Spherical Trigonometry, Read Books. Narni, S. dan Muryamto, R., 1999, Matematika Geodesi, Jurusan Teknik Geodesi, Fakultas Teknik UGM, Yogyakarta

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS TEKNIKJURUSAN TEKNIK GEODESI 132

Jalan Grafika No. 2, Sendowo, Yogyakarta

Buku 2 : RKPM (Rencana Kegiatan Pembelajaran Minggu ke-14&15 ) MATEMATIKA GEODESI Semester III / 2 SKS / TKGD2302

Oleh: 1. Ir. Parseno, MT. 2. Ir. Nurrohmat Widjajanti, MT., Ph.D. 3. Dwi Lestari, ST., ME. 4. Ir. Sri Narni, MT.

Didanai dengan Dana BOPTN P3-UGM Tahun Anggaran 2013

November 2013 BAB XIV APLIKASI SEGITIGA BOLA

133

XV.1. Pendahuluan Pada bagian ini diberikan penjelasan dan contoh-contoh aplikasi ilmu ukur segitiga bola dalam kaitannya untuk penentuan posisi titik-titik di atas bumi dan segitiga bola untuk astronomis. XV.1.1. Deskripsi Singkat Pada bab XV, akan dibahas materi tentang: sistem koordinat geografik, hitungan jarak dan sudut arah pada great circle sailing, pemanfaatan ilmu ukur segitiga bola untuk penentuan arah kiblat, dan segitiga bola astronomis untuk penentuan asimut matahari. XV.1.2. Manfaat Mahasiswa dapat menerapkan rumus-rumus pada segitiga bola untuk aplikasi-aplikasi yang terkait, misalnya untuk keperluan navigasi kapal, penentuan arah (contoh arah kiblat), perhitungan segitiga bola astronomis, dan perhitungan asimut matahari. XV.1.3. Relevansi Bab XV ini mempunyai maksud menunjukkan kepada mahasiswa penerapan rumus-rumus segitiga bola untuk keperluan praktis maupun keterkaitan dengan matakuliah yang lain misalnya Geodesi Satelit (segitiga bola astronomis), Ukur Tanah, Survei Topografi (penentuan asimut matahari). XV.1.4. Learning Outcome Setelah mengikuti kuliah pertemuan ke-15, mahasiswa akan dapat: 1. Menjelaskan tentang sistem koordinat geografis. 2. Meghitung jarak dan sudut arah pada great circle sailing. 3. Menjelaskan aplikasi ilmu ukur segitiga bola pada penentuan arah kiblat. 4. Menjelaskan aplikasi ilmu ukur segitiga bola pada penentuan asimut matahari.

134

XV.2. Penyajian Banyak pemakai ilmu ukur segitiga bola di bidang perhitungan waktu dan jarak-jarak sudut (angular distance). Waktu dan jarak sudut biasanya berdasar pada benda-benda angkasa yang dianggap terletak pada bola angkasa (celestial sphere) atau di permukaan bumi (terrestrial). Dalam perhitungan-perhitungan yang memakai ilmu ukur segitiga bola, maka bumi dianggap berbentuk bola sehingga jarak antara dua titik diperhitungkan sepanjang lingkaran besar. Di bidang perhitungan waktu, didasarkan adanya rotasi bumi pada porosnya sekali setiap hari, yang merupakan dasar satuan waktu. XV.2.1 Sistem Koordinat Geografik

Ku hP

P Meridian P

Meridian Greenwich

P

O X

Ekuator

P

Q

Gambar Sistem Koordinat Geografik Sumber: http://homer.ugdsb.on.ca/ Untuk mengidentifikasi posisi titik di bumi atau yang terkait dengan bumi, dikembangkanlah Sistem Koordinat Geografik dengan mendefinisikan bentuk bumi berupa bola (globe) dengan dimensi mendekati ukuran bumi yang

135

sesungguhnya (jari-jari bumi R ≈ 6378 kilometer). Sebagai origin sistem koordinat biasanya diambil titik pusat bumi (geosentrik) (dirangkum dari bahan pelatihan penentuan arah kiblat oleh Djawahir, 2012). Dalam sistem koordinat ini kedudukan suatu titik (P) dinyatakan dengan tiga komponen koordinat (lihat gambar di atas): a. Lintang geografik (sering dinyatakan dengan simbol huruf L atau φ). b. Bujur geografik (sering dinyatakan dengan simbol huruf B atau λ). c. Tinggi terhadap permukaan laut rerata (sering dinyatakan dengan simbol huruf h atau H). Lintang geografik diukur dari ekuator (0 derajat) sepanjang busur meridian ke arah Kutub Utara (positif) atau ke arah Kutub Selatan (negatif) sampai ke proyeksi titik yang bersangkutan pada permukaan bola bumi acuan. Harga lintang geografik berkisar dari 0 derajat sampai +90 derajat untuk belahan bumi utara dan dari 0 derajat sampai -90 derajat untuk belahan bumi selatan. Pada gambar di atas, lintang geografik titik P ialah P (=sudut QOP). Bujur geografik diukur sepanjang busur ekuator mulai dari meridian Greenwich ke arah Timur (positif) atau ke arah Barat (negatif) sampai meridian yang melalui titik yang bersangkutan. Harga bujur geografik berkisar dari 0 derajat (0 jam) sampai 180 derajat (12 jam). Pada gambar di atas, Bujur geografik titik P ialah P (=sudut QOX). Tinggi titik diukur dari bidang acuan, biasanya permukaan laut rerata, sepanjang garis normal atau vertikal sampai ke titik yang bersangkutan. Pada gambar di atas, tinggi titik P ialah hp. Jarak titik P ke origin sistem koordinat (pusat bumi) ialah R+hp. Informasi tentang koordinat geografik titik-titik atau tempat pengamatan di permukaan bumi dapat diperoleh antara lain melalui data grafis yang disajikan oleh peta atau atlas, data koordinat yang disajikan oleh situs website “Google Earth” baik secara online maupun offline, pengukuran langsung di lapangan

136

dengan sistem satelit (GPS, GNSS) atau metode extra-terrestrial yang lain. Perlu diketahui bahwa untuk perhitungan-perhitungan posisi teliti di bumi dan sekitarnya diperlukan bentuk dan dimensi bumi acuan yang lebih akurat, mendekati bentuk dan dimensi bumi yang sebenarnya, yaitu elipsoid. Dalam hal ini pendekatan bentuk bumi bola tidak lagi cukup akurat. Penentuan posisi dalam sistem satelit (GPS, GNSS, dsb) menggunakan acuan bumi elipsoid. Pada umumnya prosedur pemakaian ilmu ukur segitiga bola dalam menyelesaikan soal-soal menyangkut titik-titik di bumi, berupa perhitungan tiga unsur dari segitiga terestris. Dari unsur-unsur segitiga bola yang sudah diketahui, kemudian unsur-unsur yang lain dapat dihitung dan dibuat penaksiran hasilnya. Misalnya bagaimana menentukan jarak dan sudut antara dua buah titik M1 dan M2 yang diketahui posisi geografiknya (lintang dan bujurnya diketahui).

KU KU Greenwich 90°- φ2

M2

λ2 - λ1 90°- φ1

Q’

M1 K1

K2

Q

M2 ? M1

KS Jika M1 (φ1, λ1) dan M2 (φ2, λ2), maka unsur-unsur segitiga bola yang dapat dibentuk adalah: sudut M1KUM2 = λ2 - λ1

137

Jarak KUM2 = 90° - φ2 Jarak KUM1 = 90° - φ1 Kemudian jika ditanyakan berapakah jarak antara M1 dan M2, maka solusinya dapat diselesaikan menggunakan rumus-rumus pada segitiga bola, misalnya dengan menggunakan aturan sinus atau dengan aturan cosinus. Contoh: 1. Great circle sailing Sebuah kapal berlayar dari kota Chicago (41°51’,0 U ; 87°37’,0 B) menuju kota Harbor (53°54’,0 N ; 166°33’,0 B). Tentukan jarak tempuh kapal tersebut?

Jawab: Jarak M1KU = 90° - 41°51’,0

KU U C 90°- φ2 a

= 48°09’ Jarak M2KU = 90° - 53°54’,0

λ2-λ1

= 36°06’,0 b

B

M2

? c

Sudut di KU = 166°33’,0 - 87°37’,0

A M1

= 78°56’,0

Menggunakan aturan cosinus diperoleh: cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C = cos 48°09’ cos 36°06’,0 + sin 48°09’ sin 36°06’,0 cos 78°56’,0 = 0,6233221 c

= 51°26’,45

Jarak M1 ke M2 = c = 51,441 × 111 km = 5709,901 km (catatan jarak busur 1° = 111 km).

138

Sedangkan sudut keberangkatan kapal dapat dihitung dengan menerapkan aturan sinus: c a  sin C sin A

Coba anda hitung sendiri! 2. Perhitungan arah kiblat shalat (Djawahir, 2012). Pendekatan atau asumsi yang diterapkan dalam penentuan arah kiblat shalat ialah bumi berbentuk bola, sehingga segmen-segmen busur lingkaran besar (jari-jari R= 6378 km) yang menghubungkan Kutub Utara (K), Ka’bah (M), dan titik tempat shalat (X) membentuk segitiga bola XKM sebagai berikut: K X - M 90o - M 90o - X AMX M

AXM X Gambar Segitiga Bola XKM

Unsur-unsur segitiga bola yang diketahui ialah: a. Sisi KX = 90o – X (X adalah lintang geografik tempat shalat, untuk belahan bumi Selatan bertanda negatif, untuk belahan bumi Utara bertanda positif). b. Sisi KM = 90o – M (M adalah lintang geografik Ka’bah = + 21o25’25”). c. Sudut XKM = X – M (X adalah bujur geografik tempat shalat dan M adalah bujur geografik Ka’bah = 39o49’40”)

139

Unsur segitiga bola yang dihitung ialah sudut AXM (= asimut Utara-Barat untuk wilayah Indonesia) dengan salah satu dari dua cara berikut: Cara I: Menghitung busur XM dengan rumus: cos(XM) = cos(90o - X) cos(90o - M) + sin(90o - X) sin(90o - M) cos(X M ) Kemudian hasilnya digunakan untuk menghitung sudut AXM dengan rumus: sin(AXM) = sin(90o - M) sin(X - M)/sin(XM) atau rumus: cos(90o - M) - cos(90o - X) cos(XM) cos(AXM) = -----------------------------------------------sin(90o - X) sin(XM) Cara II: Menghitung (AMX + AXM)/2 dan (AMX – AXM)/2 dengan rumus: cos[{(90o - X) – (90o - M)}/2] tan{(AMX + AXM)/2} = ---------------------------------------- cot{(X - M)/ 2} cos[{(90o - X) + (90o - M)}/ 2] sin[{(90o - X) – (90o - M)}/ 2] tan{(AMX – AXM)/2} = --------------------------------------- cot{(X - M)/ 2} sin [{(90o - X) + (90o - M)}/ 2]

Kemudian hasilnya dikurangkan untuk mendapatkan sudut AXM. XV.2.2 Segitiga Bola Astronomis Segitiga astronomis adalah segitiga bola langit yang dibatasi oleh lingkaran besar dan yang dibentuk oleh titk Zenit (Z), benda langit yang diamat (M) dan kutub bola langit (KU). Di Indonesia dipilih Kutub Utara sebagai titik acuan sehingga segitiga astronomis yang dimaksud adalah: KU t q A Z

M

140

Enam unsur segitiga bola astronomis adalah tiga unsur sudut, yaitu KU, Z, M dan tiga unsur sisi yaitu: KU – Z = 90° – φ Z–M

= 90° – h

KU – M = 90° – δ

KS Sudut di titik KU dinamakan sudut waktu (t), di titik Z dinamakan asimut (A) dan di titik M dinamakan sudut paralaktis (q), sedangkan φ adalah lintang pengamat, h adalah tinggi benda langit (M) dan δ adalah sudut deklinasi M. KU -t

KU -t

90°- δ

90°-φ

90°-φ

q AM

90°- δ

M Z AM

90°-h

Z

KU

90°-h

t 90°- δ

q

KU t

90°- δ

90°-φ

M

90°-φ A q M

90°-h

Z AM

M

q 90°-h

A Z AM

Pengamat dapat berada di sebelah Utara maupun Selatan ekuator, demikian pula benda langit yang diamat. Posisi benda langit M terhadap zenith Z dan Kutub Utara KU dengan beracuan terhadap mata angin, dapat dibedakan menjadi empat macam segitiga astronomis (Basuki, 1988).

141

Catatan AM = asimut benda langit = 360 – A Contoh: Hitung asimut dan tinggi benda langit bila diketahui deklinasi (δ) benda langit = 10°30’00”, sudut jam (t) benda langit = 330°05’10” dan lintang pengamat (φ) = 48°16’40”. Jawab: ZK = 90° - φ = 41°43’20” MK = 90° - δ = 100°30’00”

Z A meridian

H1

KU

H1 =360° - 330°05’00” = 29°54’50” horison

ekuator M Dengan menggunakan aturan cosines: cos ZM = cos KZ cos KM + sin KZ sin KM cos H1 = cos 41°43’20” cos 100°30’00” + sin 41°43’20” sin cos 100°30’00” cos 29°54’50” = 0,431180 ZM = 64°27’27” Jadi tinggi benda langit = 90° - 64°27’27” = 25°32’32” cos A = =

cos KM  cos KZ cos ZM sin KZ sin ZM cos10030' cos 4143'20" cos 6427'27" sin 4143'20" sin 6427'27"

= -0,839434496 Karena negatif maka benda langit berada pada kwadran ke II, sehingga A = 147°04’50” UT. Aplikasi segitiga astronomis ini juga bisa digunakan pada penentuan asimut dengan pengamatan matahari. Asimut matahari (Am) untuk setiap saat bisa ditentukan bila kita dapat mengamati matahari tersebut untuk menentukan tingginya serta dicatat pula waktu atau saat pengamatannya 142

(Basuki, 1988). Penentuan asimut dengan pengamatan matahari adalah penentuan asimut arah dari tititk pengamatan ke titik sasaran tertentu di permukaan bumi yang dilakukan dengan menentukan asimuth matahari. Kemudian dengan ukuran sudut horisontal antara arah matahari ke arah sasaran, ditentukan asimut ke titik sasaran itu. Ada dua cara untuk menentukan asimut dengan pengamatan matahari yaitu metode tinggi matahari dan metode sudut waktu. KU

GR

λ

AM O

-t

AM

AP

q

AP

α

Z P

P

Gambar Asimut Matahari dan Arah Titik Acuan Keterangan: α

: sudut horisontal P ke matahari (= bacaan arah horisontal ke P - bacaan arah horisontal ke matahari).

AP

: asimut OP

AM

: asimut matahari

KU

: kutub Utara

Pada segitiga astronomis, asimut matahari (AM) dari segitiga bola KU-M-Z dapat ditentukan bila diketahui tiga unsur padanya. dengan bantuan peralatan teodolit dapat ditentukan busur ZM dan waktu pengamatan (t), kekurangan data lintang tempat pengamat dapat diinterpolasi dari peta topografi yang ada sehingga unsur Z-KU dapat ditentukan. Tabel deklinasi matahari dan rerata waktu misal dari nautical almanac dapat untuk menentukan M-KU, sehingga unsur-unsur yang diketahui adalah: 1. Z-M = 90° - h 2. Z-KU = 90° - φ

143

M

3. M-KU = 90° - δ 4. MKUZ = t (sudut waktu) Penentuan asimut matahari dengan metode tinggi matahari berdasarkan rumus segitiga bola:

cos(90   )  cos(90   ) cos(90  h) sin(90   ) sin(90  h) sin  - sin   sin h cos A  cos   cos h cos A 

Penentuan asimut matahari dengan metode sudut waktu:

tgA 

 sin t cos tg  sin  cos t

Sudut waktu (t) besarnya = GMT + PW +λ – 12 jam Dimana GMT : waktu wilayah Indonesia Barat – 7 jam PW

: perata waktu (dari tabel)

λ

: bujur pengamat

Atau t dicari dengan rumus:

cos t 

sinh  sin  sin  cos  cos 

Untuk detil pengamatan dan perhitungan asimut matahari bisa dilihat di materi kuliah Ukur Tanah II. XV.3. Penutup XV.3.1. Rangkuman Dalam pokok bahasan ini mahasiswa dihantarkan untuk memahami tentang contoh-contoh aplikasi ilmu ukur segitiga bola dalam kaitannya untuk penentuan posisi titik-titik di atas bumi dan segitiga bola untuk astronomis. XV.3.2.Tes Formatif 1. Sebuah kapal berlayar pada lingkaran besar dari New York (40˚42,04’ N ; 74˚1,0’ W) ke arah N 30˚10’E. Tentukan pada jalur tersebut titik M yang paling dekat dengan Kutub Utara dan tentukan jarak kutub M dari Kutub 144

Utara dan dari New York. Apabila kapal berlayar dengan kecepatan 100 mile /jam, berapa waktu yang diperlukan untuk menuju M? (1’ = 1 mile). 2. Kapal berlayar dari kota San Fransisco (37˚48,5’ N ; 122˚24,0 W) dengan arah S 40˚30,0’ W. Tentukan titik M yang memotong ekuator pada jalur tersebut. Tentukan jarak M dari San Fransisco. 3. Sebuah kapal berlayar dari kota A(157˚52’18” BB ; 21˚18’18” LU) menuju kota B(122˚25’42” BB ; 37˚47’30” LU). Tentukan jarak tempuh kapal dan sudut arah keberangkatannya. (1˚= 111 km). Tentukan besarnya ekses sferis. XV.3.3. Petunjuk Penilaian dan Umpan Balik Kriteria Sistem koordinat geografis

0 Tidak mampu menjelaskan

Jarak dan sudut arah pada great circle sailing

Tidak mampu melakukan hitungan

Skor 1 Dapat menjelaskan sebagian Dapat menghitung sebagian

Aplikasi ilmu ukur segitiga bola pada penentuan arah

Tidak mampu melakukan hitungan

Dapat menghitung sebagian

Aplikasi ilmu ukur segitiga bola pada penentuan asimut matahari

Tidak mampu melakukan hitungan

Dapat menghitung sebagian

2 Dapat menjelaskan secara runtut Dapat menghitung dengan baik dan lancar Dapat menghitung dengan baik dan lancar Dapat menghitung dengan baik dan lancar

I.3.4. Tindak Lanjut Bagi mahasiswa yang termasuk dalam katagori dengan nilai skor kurang dari 2 dianjurkan untuk membaca sumber pustaka terkait lebih intensif dibandingkan dengan kelompok mahasiswa yang memiliki katagori dengan skor 2. I.3.5. Sumber Pustaka Ayres, F. Jr., 1954, Theory and Problems of Plane and Spherical Trigonometry, Schaum’s Outline Series, Schaum Publishing Co., NewYork, USA. 145

Basuki K.S., 1988, Penentuan Asimut dengan Pengamatan Matahari, Kanisius, Yogyakarta. Donnay, J.D.H., 2007, Spherical Trigonometry, Read Books. Narni, S. dan Muryamto, R., 1999, Matematika Geodesi, Jurusan Teknik Geodesi, Fakultas Teknik UGM, Yogyakarta. Strang, G, dan K. Borre, 1997, Linear Algebra, Geodesy and GPS, WellesleyCambridge Press, USA. Todhunter, M.A.F.R.S, 1878, Spherical Trigonometry with Numerous Examples, Macmillan

and

Co.,

London,

on-line

version

from

www.forgottenbooks.com.

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS TEKNIKJURUSAN TEKNIK GEODESI Jalan Grafika No. 2, Sendowo, Yogyakarta

146

Buku 2 : RKPM (Rencana Kegiatan Pembelajaran Minggu ke-16) MATEMATIKA GEODESI Semester III / 2 SKS / TKGD2302

Oleh: 1. Ir. Parseno, MT. 2. Ir. Nurrohmat Widjajanti, MT., Ph.D. 3. Dwi Lestari, ST., ME. 4. Ir. Sri Narni, MT.

Didanai dengan Dana BOPTN P3-UGM Tahun Anggaran 2013

November 2013 BAB XVI TES SUMATIF II (Ujian Akhir Semester) XVI.1. Pendahuluan XVI.1.1. Deskripsi Singkat 147

Soal ujian akhir semester meliputi soal dalam bentuk essay yang memuat pertanyaan dari materi kuliah yang bersifat menjelaskan pengertian-pengertian maupun definisi. Selain itu juga memuat soal dalam bentuk hitungan yang memuat pertanyaan dari materi kuliah yang bersifat menyelesaikan suatu hitungan. XVI.1.2. Manfaat Dengan kegiatan ini dapat menilai pemahaman mahasiswa tentang materi kuliah minggu ke-9 s.d. minggu ke-16. XVI.1.3. Relevansi Penilaian pemahaman mahasiswa ini harus dilakukan karena untuk evaluasi pemberian materi kuliah dalam 7 minggu akhir perkuliahan. Hasil evaluasi ujian tengah semester dan ujian akhir semester digunakan untuk menentukan nilai akhir mahasiswa dalam menempuh matakuliah ini. Materi perkuliahan ini sebagai pengetahuan dasar yang digunakan dalam aplikasinya untuk matakuliah Proyeksi Peta, Sistem Transformasi Koordinat, Geodesi Satelit dan Survei GNSS. XVI.1.4. Learning Outcome Setelah mengikuti ujian akhir semester, mahasiswa akan dapat: 1. Mahasiswa dapat mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan tentang materi

persamaan luasan,

besaran fundamental

orde I, besaran

fundamental orde II, kelengkungan normal, rumus Gauss. kelengkungan garis utama Gauss serta sifat-sifat titik pada luasan. 2. Mahasiswa dapat menjelaskan tentang pengertian dan terbentuknya segitiga bola, serta menyebutkan istilah-istilah dalam segitiga bola. 3. Mahasiswa dapat mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan aplikasi segitiga bola, misalnya untuk keperluan navigasi kapal, penentuan arah (contoh arah kiblat), perhitungan segitiga bola astronomis, dan perhitungan asimut matahari.

148

XVI.2. Penyajian

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS TEKNIK JURUSAN TEKNIK GEODESI SOAL UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL T.A 2011/2012 Matakuliah Program Studi Hari, Tanggal Waktu Sifat Dosen Penguji

: : : : : :

Matematika Geodesi S-1 Reguler Senin, 9 Januari 2012 120 menit Buku Terbuka*) Dwi Lestari, ST., ME. Ir. Nurrohmat Widjajanti, MT., Ph.D. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

*) Hanya diperkenankan membuka lembar ringkasan (1 lembar folio bergaris) yang dikumpulkan bersama lembar jawaban ujian. Petunjuk: kerjakan soal-soal berikut dengan rapi dan jelas, boleh tidak urut asal diberi nomor yang jelas, angka dalam kurung menunjukkan bobot penilaian untuk masing-masing nomor. 1. Tentukan konstanta a dan b sehingga luasan ax2 - byz = (a+2)x tegak lurus luasan 4x2y + z3 = 4 pada titik (1, -1, 2) (nilai 15). 2. Diketahui kurva r (θ) = x i +y j + z k, dengan x = 6θ – 2θ3 , y = 6θ2, z = 6θ + 2θ3 a. Tentukan vektor singgung satuan (t), vektor normal satuan (n) dan vektor binormal satuan (b). b. Tentukan persamaan bidang normal pada saat θ = 1. c. Tentukan κ dan τ serta sifat kurvanya (nilai 25). 3. Diketahui persamaan luasan r = (3 cosφ sinθ, 3cosφ cosθ, 3sinφ) dengan φ dan θ adalah parameter. a. Tentukan besaran fundamental orde I dan orde II serta kelengkungan normal (κn). b. Tentukan kelengkungan Gauss (K) dan selidiki sifat/macam luasan tersebut (nilai 30). 4. Diketahui segitiga bola siku-siku di C dan a = 59˚ dan b = 31˚. Tentukan unsur-unsur yang lain dalam segitiga bola tersebut. Hitunglah dengan menggunakan aturan Napier (nilai 10). 5. Sebuah kapal berlayar dari kota A (157˚52’18” BB ; 21˚18’18” LU) menuju kota B (122˚25’42” BB ; 37˚47’30” LU).

149

a. Tentukan jarak tempuh kapal dan sudut arah keberangkatannya (1˚= 111 km). b. Tentukan besarnya ekses sferis (nilai 20).

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS TEKNIK JURUSAN TEKNIK GEODESI SOAL UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL T.A 2012/2013 Matakuliah Program Studi Hari, Tanggal Waktu Sifat Dosen Penguji

: : : : : :

Matematika Geodesi S-1 Reguler Senin, 14 Januari 2013 120 menit Buku Semi Terbuka*) Ir. Nurrohmat Widjajanti, MT., Ph.D. Dwi Lestari, ST., ME. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

*) Hanya diperkenankan membuka lembar ringkasan (1 lembar folio bergaris) yang dikumpulkan bersama lembar jawaban ujian. Petunjuk: kerjakan soal-soal berikut dengan rapi dan jelas, boleh tidak urut asal diberi nomor yang jelas, angka dalam kurung menunjukkan bobot penilaian untuk masing-masing nomor. 1. Diketahui kurva r (t) = x i +y j + z k, dengan x = 6t , y = 3t2, z = t3 a. Tentukan vektor singgung satuan (t), vektor normal satuan (n) dan vektor binormal satuan (b). b. Tentukan persamaan bidang normal pada saat t = 1. c. Tentukan κ dan τ serta sifat kurvanya (nilai 30). 2. Diketahui persamaan luasan r = (5 cos u, 5 sin u, 10 v) dengan u dan v adalah parameter. a. Tentukan kelengkungan Gauss (K) dan selidiki di titik mana luasan bersifat eliptis (K>0), parabolis (K=0), dan hiperbolis (K<0). b. Hitunglah besarnya kelengkungan-kelengkungan utamanya (κ1 dan κ2), serta kelengkungan pertama (J) dengan rumus kelengkungan utama κ adalah H2κ – (EN – 2FM + GL)κ + T2 = 0 (nilai 30). 3. Diketahui segitiga bola sembarang ABC, sisi a = 39˚20’, sisi b = 70˚15’ dan sisi c = 113˚10’. a. Tentukan unsur-unsur yang lain dalam segitiga bola tersebut. b. Ekses sferis segitiga bola ABC (nilai 20). 4. Sebuah kapal berlayar mengikuti lingkaran besar dari kota A (36˚50’ N ; 76˚20’ W) memotong ekuator di B pada 50°0’ W. 150

a. Tentukan jarak tempuh kapal (1˚= 111 km). b. Tentukan sudut arah keberangkatannya. c. Tentukan besarnya ekses sferis segitiga bola A-KU-B (nilai 20). XVI.3. Penutup XVI.3.1. Rangkuman Dalam pokok bahasan ini mahasiswa dihantarkan untuk memahami pengertian tentang geometri diferensial. Selain itu mahasiswa harus memahami pengertian segitiga bola dan istilah-istilahnya dalam segitiga bola. Selanjutnya dapat mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan aplikasi segitiga bola, misalnya untuk keperluan navigasi kapal, penentuan arah (contoh arah kiblat), perhitungan segitiga bola astronomis, dan perhitungan asimut matahari. 1. Mahasiswa dapat mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan tentang materi

persamaan luasan,

besaran fundamental

orde I, besaran

fundamental orde II, kelengkungan normal, rumus Gauss. kelengkungan garis utama Gauss serta sifat-sifat titik pada luasan. 2. Mahasiswa dapat menjelaskan tentang pengertian dan terbentuknya segitiga bola, serta menyebutkan istilah-istilah dalam segitiga bola. 3. Mahasiswa dapat mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan aplikasi segitiga bola, misalnya untuk keperluan navigasi kapal, penentuan arah (contoh arah kiblat), perhitungan segitiga bola astronomis, dan perhitungan asimut matahari.

XVI.3.2. Petunjuk Penilaian dan Umpan Balik Kriteria Persamaan luasan, besaran fundamental orde I, besaran fundamental orde II, kelengkungan normal, rumus Gauss. kelengkungan garis

0 Tidak mampu mengerjakan soal hitungan

Skor 1 Dapat mengerjakan sebagian soal hitungan

2 Dapat mengerjakan seluruh soal hitungan

151

utama Gauss serta sifat-sifat titik pada luasan Pengertian segitiga bola, serta istilahistilah dalam segitiga bola Aplikasi segitiga bola

Tidak mampu menjelaskan

Dapat menjelaskan sebagian

Dapat menjelaskan secara runtut

Tidak mampu mengerjakan soal hitungan

Dapat mengerjakan sebagian soal hitungan

Dapat mengerjakan seluruh soal hitungan

XVI.3.3. Tindak Lanjut Bagi mahasiswa yang termasuk dalam katagori dengan nilai skor kurang dari 2 dianjurkan untuk membaca sumber pustaka terkait lebih intensif dibandingkan dengan kelompok mahasiswa yang memiliki katagori dengan skor 2. Apabila dari hasil evaluasi gabungan dari ujian tengah semeter dan ujian akhir semester, mahasiswa mayoritas mempunyai nilai C ke bawah maka perlu dievaluasi pada proses pembelajarannya. XVI.3.4. Sumber Pustaka Ayres, F. Jr., 1954, Theory and Problems of Plane and Spherical Trigonometry, Schaum’s Outline Series, Schaum Publishing Co., NewYork, USA. Basuki K.S., 1988, Penentuan Asimut dengan Pengamatan Matahari, Kanisius, Yogyakarta. Davis, H.F., 1961, Introduction to Vector Analysis, Allyn and Bacon, Inc., Boston. Donnay, J.D.H., 2007, Spherical Trigonometry, Read Books. Narni, S. dan Muryamto, R., 1999, Matematika Geodesi, Jurusan Teknik Geodesi, Fakultas Teknik UGM, Yogyakarta. Spiegel, M.R., 1959, Vector Analysis and an Introduction to Tensor Analysis, Schaum Publishing Co., NewYork, USA. Stein, F.M., Ph.D., 1963, An Introduction to Vector Analysis, Harper and Row Publishers, New York. Strang, G. dan K. Borre, 1997, Linear Algebra, Geodesy, and GPS, WellesleyCambridge Press, USA. 152

Todhunter, M.A.F.R.S, 1878, Spherical Trigonometry with Numerous Examples, Macmillan

and

Co.,

London,

on-line

version

from

www.forgottenbooks.com.

153