BAB IV PENGEMBANGAN MODEL KAPLAN
Pada bab ini akan dibahas model yang dikembangkan dari model Kaplan. Terdapat beberapa asumsi Kaplan yang akan dimodifikasi. Selain itu, pada bab ini juga diberikan analisis titik kesetimbangan dan syarat kestabilan dari model.
4.1 Pengembangan Model Pada bab sebelumnya, Kaplan mengasumsikan bahwa semua pecandu mengunjungi
galeri-galeri
suntik
dengan
laju
kedatangan
yang
sama.
Bagaimanapun juga, beberapa pecandu tahu bahwa dirinya terinfeksi HIV. Oleh karena itu, diasumsikan bahwa laju kedatangan pecandu tersebut ke galeri suntik akan lebih rendah dibandingkan dengan pecandu yang susceptible dan pecandu yang tidak tahu dirinya terinfeksi HIV.
Diasumsikan bahwa suatu fraksi p dari pecandu yang terinfeksi mengetahui jika dirinya terinfeksi HIV dan para pecandu ini mengunjungi galeri-galeri suntik dengan laju kedatangan sebesar λ2 . Pecandu yang susceptible dan pecandu yang terinfeksi tetapi tidak mengetahui jika dirinya terinfeksi mengunjungi galeri-galeri suntik dengan laju kedatangan yang lebih tinggi, yaitu sebesar λ1 . Kemudian diasumsikan juga bahwa suatu fraksi ξ dari seluruh pecandu (baik yang
14
susceptible maupun yang tidak) membersihkan alat suntik setelah digunakan, serta dimisalkan cara tersebut efektif dalam mendisinfektan alat suntik. Kaplan menetapkan θ sebagai fraksi dari pecandu yang susceptible yang ’membilas’ jarum yang tercemar dan α sebagai fraksi dari pecandu yang susceptible yang terinfeksi karena menggunakan jarum yang tercemar. Akan tetapi Kaplan tidak membahas lebih rinci mengenai peluang yang ada dari kejadian ini.
Misalkan seorang pecandu yang susceptible menggunakan jarum yang tercemar, maka: i.
P1 adalah peluang jarum ’terbilas’ dan pecandu menjadi terinfeksi,
ii.
P2 adalah peluang jarum ’terbilas’ dan pecandu tetap susceptible,
iii.
P3 adalah peluang pecandu menjadi terinfeksi tanpa ’membilas’ jarum,
iv.
P4 adalah peluang pecandu tetap susceptible dan jarum tetap tercemar.
Dengan P1 , P2 , P3 , dan P4 bilangan positif dan P1 + P2 + P3 + P4 = 1 .
Dalam modelnya, Kaplan mengasumsikan bahwa meskipun pecandu yang susceptible menggunakan jarum yang tercemar, maka jarum akan menjadi bersih kembali dengan suatu fraksi θ pada saat t . Jika pecandu yang terinfeksi menggunakan jarum suntik, maka jarum tersebut akan tercemar sebelum dibersihkan. Akan tetapi, itu bukanlah satu-satunya kemungkinan karena jarum dikatakan tercemar mungkin bergantung pada hal lain, yaitu banyaknya darah yang tertinggal di jarum dan jumlah virus yang terkandung dalam darah tersebut (meskipun tidak ada batasan aman untuk jumlah virus). Oleh karena itu, model Kaplan akan diperluas dengan memasukkan peluang bahwa pecandu yang terinfeksi tidak selalu meninggalkan jarum dalam keadaan tercemar bahkan tanpa disinfektan. Dimisalkan jika pecandu yang terinfeksi menggunakan: i.
jarum yang bersih, maka jarum akan tercemar (tanpa disinfektan) dengan fraksi 1 − φ1 . 15
ii.
jarum yang tercemar, maka proses penyuntikan akan ’membilas’ jarum dengan fraksi θ1 .
Jumlah φ1 dan θ1 sebanding dengan peluang ’terbilas’ θ yang diperkenalkan oleh Kaplan, masing-masing parameter tersebut mengacu pada pecandu yang terinfeksi menggunakan jarum yang bersih, pecandu yang terinfeksi menggunakan jarum yang tercemar, dan pecandu yang susceptible menggunakan jarum yang tercemar.
Akan dikembangkan model penyebaran HIV pada komunitas pecandu berdasarkan perluasan dari model Kaplan yang lebih realistis. Misalkan π (t ) adalah proporsi pecandu yang terinfeksi pada saat t , dan misalkan β (t ) adalah proporsi jarum yang tercemar pada saat t . Misalkan terdapat i buah jarum yang tercemar dan I pecandu yang terinfeksi pada saat t . Banyaknya jarum yang tercemar pada t + Δt : i.
Galeri-galeri suntik dikunjungi oleh n (1 − pπ ) orang pecandu dengan laju
λ1 , dan npπ orang pecandu dengan laju λ2 . Masing-masing pecandu mengunjungi m galeri suntik secara acak. Oleh karena itu, rata-rata kedatangan di satu galeri suntik adalah sebanyak ⎡⎣ λ1 (1 − pπ ) + λ2 pπ ⎤⎦ γ dengan γ = n
m
, maka
{1 − ⎡⎣λ (1 − pπ ) + λ pπ ⎤⎦ γΔt} i 1
2
dari i jarum yang tercemar pada saat t tidak digunakan oleh pecandu dalam interval [t , t + Δt ) . ii.
Rata-rata kedatangan pecandu yang terinfeksi pada satu galeri suntik adalah
⎡⎣λ1 (1 − p ) + λ2 p ⎤⎦ πγ . Jika seorang pecandu yang terinfeksi
menggunakan peralatan menyuntik, maka alat tersebut akan tercemar sebelum dibersihkan dengan fraksi
(1 − β )(1 − φ1 ) + β (1 − θ1 ) .
Maka
banyaknya jarum yang tercemar setelah digunakan oleh pecandu yang terinfeksi pada selang waktu yang sangat kecil [t , t + Δt ) adalah
16
m ⎣⎡λ1 (1 − p ) + λ2 p ⎦⎤ πγ (1 − ξ ) ⎣⎡1 − βθ1 − (1 − β ) φ1 ⎦⎤ Δt
iii.
Rata-rata kedatangan pecandu yang susceptible pada satu galeri suntik adalah λ1γ (1 − π ) . Jika seorang pecandu yang susceptible menggunakan peralatan menyuntik yang tercemar, maka alat tersebut akan tercemar dengan fraksi (1 − P1 − P2 )(1 − ξ ) . Oleh karena itu, banyaknya jarum yang tercemar setelah digunakan oleh pecandu yang susceptible dalam interval yang sangat kecil [t , t + Δt ) adalah
λ1γ (1 − π ) i (1 − P1 − P2 )(1 − ξ ) Δt Sehingga diperoleh
{
}
i (t + Δt ) = 1 − ⎣⎡ λ1 (1 − pπ ) + λ2 pπ ⎦⎤ γΔt i + m ⎡⎣λ1 (1 − p ) + λ2 p ⎤⎦ πγ (1 − ξ ) ⎡⎣1 − βθ1 − (1 − β ) φ1 ⎤⎦ Δt + λ1γ (1 − π ) i (1 − P1 − P2 )(1 − ξ ) Δt karena Δt → 0 dan β (t ) = i (t )
lim
Δt → 0
β (t + Δt ) − β (t ) Δt
m
, maka
= − ⎡⎣λ1 (1 − p ) π + λ1 (1 − π ) + λ2 pπ ⎤⎦ γβ + ⎡⎣λ1 (1 − p ) + λ2 p ⎤⎦ πγ (1 − ξ ) ⎡⎣1 − βθ1 − (1 − β ) φ1 ⎤⎦ +λ1γ (1 − π ) β (1 − P1 − P2 )(1 − ξ )
Sehingga diperoleh dβ = ⎡λ1 (1 − p ) + λ2 p ⎤⎦ πγ (1 − ξ ) ⎡⎣1 − βθ1 − (1 − β ) φ1 ⎤⎦ − β dt ⎣ −λ1γ (1 − π ) β ⎡⎣1 − (1 − P1 − P2 )(1 − ξ ) ⎤⎦
{
}
(4.1)
Sekarang akan ditentukan banyaknya pecandu yang terinfeksi pada t + Δt . Pada saat t terdapat n − I (t ) pecandu yang susceptible. Fraksi β (t ) ( P1 + P3 ) dari pecandu tersebut menggunakan jarum yang tercemar dan menjadi terinfeksi. Maka banyaknya pecandu susceptible yang terinfeksi pada
[t , t + Δt )
adalah
17
[ n − I (t )] λ1β (t ) ( P1 + P3 ) Δt . Karena sebesar
μ I (t ) Δt dari pecandu yang terinfeksi
berhenti menggunakan alat suntik dalam [t , t + Δt ) , maka
I (t + Δt ) = I (t ) + [ n − I (t )] λ1β (t ) ( P1 + P3 ) Δt − μ I (t )Δt
I (t + Δt ) − I (t ) = {[1 − π (t )] λ1β (t ) ( P1 + P3 ) − μπ (t )} Δt n karena Δt → 0 dan π (t ) = I (t )
lim
n
, maka
π (t + Δt ) − π (t )
Δt →0
Sehingga diperoleh
Δt
= [1 − π (t )] λ1β (t ) ( P1 + P3 ) − μπ (t )
dπ = (1 − π ) λ1β ( P1 + P3 ) − μπ dt
(4.2)
Persamaan 4.1 dan 4.2 dapat ditulis sebagai dβ = π (σ − τβ ) − (1 − π ) ρβ , dt dπ = (1 − π )υβ − μπ . dt
(4.3)
dengan
σ = ⎡⎣λ1 (1 − p ) + λ2 p ⎤⎦ γ (1 − ξ )(1 − φ1 ) , τ = ⎡⎣λ1 (1 − p ) + λ2 p ⎤⎦ γ ⎡⎣1 − φ1 (1 − ξ ) + θ1 (1 − ξ ) ⎤⎦ , ρ = λ1γ ⎡⎣1 − (1 − ξ )(1 − P1 − P2 ) ⎤⎦ ,
(4.4)
υ = λ1 ( P1 + P3 ) .
sehingga σ , τ , ρ , dan υ bernilai positif dengan σ ≤ τ .
Tabel Variabel dan Parameter Simbol
Parameter
Satuan
π
proporsi pecandu yang terinfeksi
0-1
β
proporsi jarum yang tercemar
0-1
n
jumlah pecandu
orang
18
m p
jumlah galeri suntik
buah
fraksi dari pecandu yang terinfeksi yang tahu dirinya terinfeksi HIV
0–1
λ2
laju kedatangan p
kali per tahun
λ1
laju kedatangan 1 − p
kali per tahun
ξ
fraksi dari seluruh pecandu yang membersihkan alat suntik setelah digunakan
0-1
peluang jarum ’terbilas’ dan pecandu menjadi P1
terinfeksi jika jarum yang tercemar dipakai oleh
0-1
pecandu yang susceptible peluang P2
jarum
’terbilas’
dan
pecandu
tetap
susceptible jika jarum yang tercemar dipakai oleh
0-1
pecandu yang susceptible peluang pecandu menjadi terinfeksi tanpa ’membilas’ P3
jarum jika jarum yang tercemar dipakai oleh pecandu
0-1
yang susceptible peluang pecandu tetap susceptible dan jarum tetap P4
tercemar jika jarum yang tercemar dipakai oleh
0-1
pecandu yang susceptible fraksi jarum yang tercemar jika pecandu yang 1 − φ1
terinfeksi menggunakan jarum yang bersih (tanpa
0-1
disinfektan)
θ1
fraksi jarum menjadi bersih setelah digunakan oleh
i
jumlah jarum yang tercemar
buah
I
jumlah pecandu yang terinfeksi
orang
μ
laju kematian pecandu
pecandu yang terinfeksi
0-1
orang per tahun
19
4.2 Titik Kesetimbangan dan Syarat Kestabilan Dari persamaan 4.3, akan dicari titik-titik kesetimbangan dan syarat kestabilan dari titik-titik tersebut.
4.2.1 Titik Kesetimbangan
Persamaan 4.3 memiliki dua titik kesetimbangan, yaitu E0 = (π = 0, β = 0 ) dan ⎛ συ − ρμ συ − ρμ ⎞ . E1 = ⎜ π = ,β = συ + τμ − ρμ τυ ⎟⎠ ⎝ Titik kesetimbangan E0 terjadi pada saat seluruh pecandu tidak ada yang terinfeksi dan tidak ada jarum yang tercemar, disebut titik kesetimbangan bebas penyakit. Titik kesetimbangan E1 terjadi ketika terdapat pecandu yang terinfeksi HIV dan jarum yang tercemar. Eksistensi titik kesetimbangan E1 adalah pada saat π > 0 dan β > 0 . Pandang penyebut dari π , yaitu συ + τμ − ρμ = συ + μ (τ − ρ ) . Agar συ + τμ − ρμ > 0 , maka haruslah τ − ρ ≥ 0 . Oleh karena itu, π > 0 diperoleh jika dan hanya jika
συ − ρμ > 0 dan τ − ρ ≥ 0 . Begitu juga dengan β > 0 diperoleh jika dan hanya jika pembilangnya positif atau συ − ρμ > 0 . Jadi, syarat eksistensi dari titik kesetimbangan E1 adalah τ − ρ ≥ 0 dan
συ > 1. ρμ
Dari syarat eksistensi E1 , diperoleh Basic Reproduction Ratio dari model 4.3, yaitu R0 =
συ ρμ
20
4.2.2 Syarat Kestabilan
Syarat kestabilan diperoleh dengan cara pelinieran di sekitar titik–titik kesetimbangannya. Pelinieran mula-mula dilakukan dengan cara mencari matriks Jacobi dari persamaan 4.3 pada titik kesetimbangannya kemudian diperoleh persamaan karakteristiknya. Syarat kestabilan terbagi menjadi dua bagian berdasarkan titik kesetimbangan model, yaitu: 1. Kestabilan pada Titik Kesetimbangan Non Endemik (Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit) Matrik Jacobi dari persamaan 4.3 terhadap waktu di titik kesetimbangan bebas penyakit E0 = (π = 0, β = 0 ) adalah ⎡− ρ ⎢υ ⎣
σ ⎤ − μ ⎥⎦
Persamaan karakteristik dari matriks Jacobi di titik kesetimbangan bebas penyakit adalah as 2 + bs + c , dengan a = 1, b = μ + ρ,
(4.4)
c = −συ + ρμ .
Model akan stabil apabila nilai eigen dari persamaan karakteristiknya bernilai negatif. Dari Persamaan 4.4 terlihat bahwa a > 0 dan b > 0 , maka agar nilai eigennya bernilai negatif haruslah c > 0 . c > 0 diperoleh jika R0 < 1 dengan R0 =
συ ρμ
Maka dapat diketahui bahwa titik kesetimbangan bebas penyakit dari persamaan 4.3 akan stabil asimtotik lokal jika dan hanya jika R0 < 1 dan tidak stabil untuk R0 > 1
2. Kestabilan pada Titik Kesetimbangan Endemik Titik kesetimbangan endemiknya, yaitu
21
⎛ συ − ρμ συ − ρμ ⎞ E1 = ⎜ π = ,β = συ + τμ − ρμ τυ ⎟⎠ ⎝ dengan Matriks Jacobinya di titik tersebut adalah ⎡ ( −συ + ρμ )τ ⎛ −συ + ρμ ⎞ −συ + ρμ ρ ( −συ + ρμ ) ⎤ − ⎜1 + − ⎢ ⎥ ⎟ρ σ + συ τμ ρμ συ τμ ρμ υ τυ + − + − ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎛ −συ + ρμ ⎞ −συ + ρμ ⎢ ⎥ 1 υ μ + − ⎜ ⎟ τ ⎝ συ + τμ − ρμ ⎠ ⎣⎢ ⎦⎥
Persamaan karakteristik dari matrik Jacobi di titik kesetimbangan endemik adalah ps 2 + qs + r , dengan
p = 1, q=
σ 2υ 2 − 2συρμ + 2συτμ − 2τμ 2 ρ + τ 2 μ 2 + μ 2 ρ 2 + τ 2συ , (συ + τμ − ρμ )τ
r=
τσ 2υ 2 − 2τσυρμ + τ 2συμ − τ 2 μ 2 ρ + τμ 2 ρ 2 . τ (συ + τμ − ρμ )
Selanjutnya dengan aturan Descartes akan ditentukan apakah akar dari polinom tersebut bernilai negatif. Dengan mensubstitusikan s = −s ke dalam ˆ 2 + qs ˆ + rˆ dengan persamaan karakteristiknya, maka diperoleh persamaan ps koefisien-koefisien pˆ = p , qˆ = − q , dan rˆ = r , yaitu pˆ = 1, qˆ = − rˆ =
σ 2υ 2 − 2συρμ + 2συτμ − 2τμ 2 ρ + τ 2 μ 2 + μ 2 ρ 2 + τ 2συ , (συ + τμ − ρμ )τ
(4.5)
τσ 2υ 2 − 2τσυρμ + τ 2συμ − τ 2 μ 2 ρ + τμ 2 ρ 2 . τ (συ + τμ − ρμ )
Agar memenuhi syarat akar-akar real negatif menurut aturan Descartes, maka haruslah terdapat dua kali pergantian tanda dari koefisien pˆ ke qˆ , dan dari qˆ ke rˆ . Dari persamaan 4.5 diketahui bahwa pˆ > 0 . Sedangkan qˆ < 0
dipenuhi jika dan hanya jika τ ≥ ρ . Agar memenuhi aturan Descartes untuk
22
akar-akar real negatif, maka haruslah
rˆ > 0 atau συ − ρμ > 0 , dan
συ − ρμ > 0 jika dan hanya jika R0 > 1 dengan R0 =
συ ρμ
Maka kestabilan titik kesetimbangan endemik Model 4.3 akan stabil asimtotik lokal jika dan hanya jika τ ≥ ρ dan R0 > 1 .
4.3 Simulasi Model Diasumsikan semua pecandu mengunjungi galeri suntik dengan laju kedatangan yang sama (baik yang terinfeksi maupun tidak), maka λ1 = λ2 dan tanpa mengurangi keumuman p = 0 . Selain itu, dimisalkan pecandu mengunjungi galeri suntik sebanyak satu kali per minggu sehingga λ1 = 0,143 per hari. Peluang pecandu yang susceptible menjadi terinfeksi karena menggunakan jarum yang tercemar P1 + P3 ( α pada model Kaplan) dipilih sebesar 0,01. Peluang jarum yang tercemar menjadi bersih karena digunakan oleh pecandu yang susceptible P1 + P2 ( θ pada model Kaplan) dipilih sebesar 0,25. Nilai φ1 dan θ1 (peluang jarum tidak tercemar setelah dipakai oleh pecandu yang terinfeksi) sangat kecil sehingga pada simulasi ini keduanya dimisalkan bernilai nol. Misalkan laju kematian μ adalah 0,25 per tahun dan rasio galeri γ = 1 (satu pecandu per alat menyuntik).
Akan dilakukan empat simulasi dengan parameter-parameter di atas, namun dengan nilai ξ yang berbeda-beda. •
ξ =0 Dengan mensubstitusikan semua parameter ke dalam persamaan 4.4, diperoleh nilai σ = 52,195 ; τ = 52,195 ; ρ = 13, 049 ; dan υ = 0, 522 .
23
Kemudian diperoleh nilai R0 = συ
ρμ = 8,351 .
Karena τ > ρ dan R0 > 1 , maka dengan syarat awal π (0) > 0 atau
β (0) > 0 , nilai β (t ) dan π (t ) akan menuju titik kesetimbangan ⎛ συ − ρμ συ − ρμ ⎞ untuk t → ∞ . E1 = ⎜ π = ,β = συ + τμ − ρμ τυ ⎟⎠ ⎝
Substitusikan nilai σ , τ , ρ , dan υ yang telah diperoleh dengan
μ = 0, 25 ke dalam titik kesetimbangannya E1 sehingga diperoleh titik kesetimbangan π = 0, 648 dan β = 0,88 .
Gambar 4.1 fase plot dengan τ > ρ , ξ = 0 , dan R0 = 8, 3512
Gambar 4.1 menunjukkan bahwa dengan τ > ρ dan R0 > 1 , maka dengan mengambil empat nilai awal sembarang, yaitu
(π (0) = 0,99; β (0) = 0, 09 ) , (π (0) = 0, 648; β (0) = 0,1) , (π (0) = 0, 648; β (0) = 1) , dan
24
(π (0) = 0,1; β (0) = 0,1) . Semua kurva akan menuju ke satu titik kesetimbangan π = 0, 648 dan
β = 0,88 . •
ξ = 0, 25 Dengan mensubstitusikan semua parameter ke dalam persamaan 4.4, diperoleh σ = 39,146 ; τ = 52,195 ; ρ = 22,835 ; dan υ = 0, 522 sehingga dapat dihitung nilai R0 , yaitu R0 = συ
ρμ = 3,579 .
Karena τ > ρ dan R0 > 1 , maka dengan syarat awal β (0) > 0 atau
π (0) > 0 , nilai β (t ) dan π (t ) akan menuju titik kesetimbangan ⎛ συ − ρμ συ − ρμ ⎞ untuk t → ∞ . E1 = ⎜ π = ,β = συ + τμ − ρμ τυ ⎟⎠ ⎝
Substitusikan nilai σ , τ , ρ , dan υ yang telah diperoleh dengan
μ = 0, 25 ke dalam titik kesetimbangannya E1 sehingga diperoleh titik kesetimbangan π = 0, 53 dan β = 0, 54 .
Gambar 4.2 fase plot dengan τ > ρ , ξ = 0, 25 , dan R0 = 3, 579085715
25
Gambar 4.2 menunjukkan bahwa dengan τ > ρ dan R0 > 1 , maka dengan mengambil empat nilai awal sembarang, yaitu
(π (0) = 0,99; β (0) = 0, 09 ) , (π (0) = 0,53; β (0) = 0,1) , (π (0) = 0,53; β (0) = 1) , dan (π (0) = 0,1; β (0) = 0,1) . Semua kurva akan menuju ke satu titik kesetimbangan π = 0, 53 dan
β = 0, 54 . •
ξ = 0, 5 Dengan mensubstitusikan semua parameter ke dalam persamaan 4.4, diperoleh σ = 26, 098 ; τ = 52,195 ; ρ = 32, 622 ; dan υ = 0, 522 sehingga dapat dihitung nilai R0 , yaitu R0 = συ
ρμ = 1, 67 .
Karena τ > ρ dan R0 > 1 , maka dengan syarat awal β (0) > 0 atau
π (0) > 0 , nilai β (t ) dan π (t ) akan menuju titik kesetimbangan ⎛ συ − ρμ συ − ρμ ⎞ untuk t → ∞ . E1 = ⎜ π = ,β = συ + τμ − ρμ τυ ⎟⎠ ⎝
Substitusikan nilai σ , τ , ρ , dan υ yang telah diperoleh dengan
μ = 0, 25 ke dalam titik kesetimbangannya E1 sehingga diperoleh titik kesetimbangan π = 0, 295 dan β = 0, 201 .
26
Gambar 4.3 fase plot dengan τ > ρ , ξ = 0, 5 , dan R0 = 1, 670239999
Gambar 4.3 menunjukkan bahwa dengan τ > ρ dan R0 > 1 , maka dengan mengambil empat nilai awal sembarang, yaitu
(π (0) = 0,99; β (0) = 0, 09 ) , (π (0) = 0, 295; β (0) = 0,1) , (π (0) = 0, 295; β (0) = 1) , dan (π (0) = 0,1; β (0) = 0,1) . Semua kurva akan menuju ke satu titik kesetimbangan π = 0, 295 dan
β = 0, 201 . •
ξ = 0, 75 Dengan mensubstitusikan semua parameter ke dalam persamaan 4.4, diperoleh σ = 13, 049 ; τ = 52,195 ; ρ = 42, 408 ; dan υ = 0, 522 sehingga dapat dihitung nilai R0 , yaitu R0 = συ
ρμ = 0, 642 .
27
Karena R0 < 1 , maka dengan syarat awal β (0) > 0 atau π (0) > 0 , nilai
β (t ) dan π (t ) akan menuju titik kesetimbangan E0 = (π = 0, β = 0 ) untuk t → ∞ .
Gambar 4.4 fase plot dengan τ > ρ , ξ = 0, 75 , dan R0 = 0, 6424
Gambar 4.4 menunjukkan bahwa dengan R0 < 1 , maka dengan mengambil empat nilai awal sembarang, yaitu
(π (0) = 0,99; β (0) = 0, 09 ) , (π (0) = 0,53; β (0) = 0,1) , (π (0) = 0,53; β (0) = 1) , dan (π (0) = 0,1; β (0) = 0,8) . Semua kurva akan menuju ke titik kesetimbangan π = 0 dan β = 0 . Pada keadaan R0 > 1 (gambar 4.1, 4.2, dan 4.3), semua kurva konvergen menuju satu titik kesetimbangan, sedangkan pada keadaan R0 < 1 (gambar 4.4), kurva konvergen ke titik kesetimbangan dimana penularan HIV tidak lagi
28
terjadi. Oleh karena itu, dengan nilai parameter tersebut, sekitar 65% pecandu harus membersihkan alat suntik setelah digunakan. Hal itu dilakukan agar diperoleh nilai R0 < 1 sehingga menghilangkan HIV dalam waktu yang cukup lama.
29
