BAB IV PEMBAHASAN MODEL Pada bab IV ini akan dilakukan pembuatan model dengan melakukan analisis perhitungan untuk permasalahan proses pengadaan model persediaan multi item dengan biaya produksi cekung dan joint setup dan juga akan dilakukan pembuatan model validasi serta penjelasan mengenai model optimasi yang akan digunakan dalam uji kelayakan solver. Identifikasi permasalahan pada bab IV ini akan digunakan dalam perancangan algoritma dan implementasi pada bab V. 4.1 Model persediaan multi item dengan biaya produksi cekung dan joint setup. Persediaan multi item adalah persediaan yang jenis itemnya lebih dari satu jenis (multi). Pada model persediaan multi item ini, selain diberikan sebuah fungsi biaya produksi cekung, diberikan pula joint setup, yaitu 2 buah biaya setup yang selalu hadir dalam setiap proses pengadaan persediaan multi item, yaitu major setup cost dan minor setup cost (Frenk, J.B.G., Kleijn, M.J., Dekker, R., 1999). 4.1.1
Variabel Keputusan
Pada proses pengadaan persediaan multi item dengan biaya produksi cekung dan joint setup, variabel keputusannya adalah mencari waktu yang optimal Ti (ω ) dan frekuensi pemesanan yang optimal (k). Dalam sebuah proses pengadaan persediaan multi item, waktu yang optimal dicari untuk menentukan kapan suatu item akan dipesan kembali sedangkan frekuensi optimal dicari untuk menentukan berapa banyak jumlah item yang harus dipesan kepada penyalur.
21
22
4.1.1.1
Perhitungan nilai Ti (ω )
Ti (ω ) adalah notasi untuk waktu optimal untuk tiap item ke-i. Pada permasalahan proses pengadaan persediaan single (tiap) item dengan biaya produksi cekung diberikan formulasi untuk perhitungan optimasi mencari total biaya minimum untuk tiap itemnya, yaitu :
⎧⎪ ⎧⎪a + β bσT ⎫⎪⎫⎪ λσ(bT)2 − F(i,T) := min⎨λαj +min⎨ ij + ⎬⎬ i≤ j≤m T>0 2 2λ(h+b+rαj )T +2rβij ⎪⎭⎪⎭ ⎪⎩ T ⎪⎩ (4.1) Pada formulasi 4.1, perhitungan optimasi dilakukan sebanyak dua kali. Salah satu dari perhitungan optimasi bertujuan mencari waktu optimal yang ditunjukkan pada formulasi 4.2, yaitu :
⎧⎪ a + β ij bσT λσ (bT )2 ⎪⎫ + − min ⎨ ⎬ T >0 ⎪ 2 2λ (h + b + rα j )T + 2rβ ij ⎪⎭ ⎩ T
(4.2)
Alasan mengapa perhitungan tersebut merupakan perhitungan mencari waktu optimal adalah dikarenakan batasan pada optimasi tersebut yaitu T>0, melalui informasi batasan tersebut, dapat disimpulkan bahwa optimasi tersebut adalah optimasi yang menghitung waktu yang optimal untuk tiap item ke-i. Sehingga dalam pengimplementasian ke dalam program nantinya akan dibuat model untuk tiap item dengan tiap segmen fungsi biaya produksinya, lalu dicari nilai waktu optimalnya. Pada perhitungan mencari waktu optimal ini akan dibantu dengan bantuan solver glbSolve.
23 Analisis perhitungan waktu optimal pada persediaan multi item ini dapat membantu dalam mengetahui waktu yang optimal untuk pemesanan item kembali sekaligus membantu dalam pengambilan keputusan yang tepat. 4.1.1.2
Perhitungan nilai k
k adalah notasi untuk frekuensi pemesanan yang optimal pada tiap item ke-i. Perhitungan nilai k ini akan melalui beberapa tahapan perhitungan dengan formulasi yang berbeda. Tahapan perhitungannya adalah sebagai berikut : 4.1.1.2.1
Tahap menghitung nilai k
Formulasi untuk perhitungan mencari nilai (k) ditunjukkan pada formulasi 4.3, yaitu :
{
−
+
}
k i (ω , T0 ) = arg min H i (ω , k i T0 ), H i (ω , k i T0 )
(4.3)
Pada formulasi diatas terdapat variabel ki- dan variabel ki+ yang belum diketahui nilainya, sehingga akan dicari terlebih dahulu melalui perhitungan selanjutnya. Selain itu juga, pada formulasi tersebut, terdapat fungsi argmin yang berfungsi untuk memutuskan mana yang lebih memberikan nilai paling −
minimal diantara formulasi H i (ω , ki T0 ) dan formulasi +
H i (ω , k i T0 ) . 4.1.1.2.2
Tahap menghitung ki- dan ki+
Formulasi untuk perhitungan mencari nilai pada variabel kidan variabel ki+ ditunjukkan pada formulasi 4.4 yaitu :
24
⎢ T (ω ) ⎥ ⎢ Ti (ω ) ⎥ − + ki = ⎢ i ⎥ dan k i = ⎢ ⎥ ⎣ T0 ⎦ ⎣ T0 ⎦
(4.4)
Pada formulasi diatas, salah satu variabel telah diketahui hasilnya melalui pehitungan sebelumnya, yaitu variabel Ti (ω ) pada subbab 4.1.1.1 di bab IV. Sedangkan variabel T0 adalah rentang waktu yang nilainya berupa rentang waktu dari TL atau batas bawah hingga TU atau batas atas. Nilai dari T0 diinisialisasikan sendiri karena dalam tugas akhir ini menggunakan metode optimasi global dimana daerah penyelesaiannya tidak dibatasi atau global. Diberikan asumsi k min dan k plus bernilai 1 apabila tidak dapat memenuhi persyaratan pada formulasi 4.4. Tahap menghitung nilai H i (ω , T )
4.1.1.2.3
Tahap selanjutnya dalam mencari nilai k adalah mencari nilai −
H i (ω , k i T0 )
+
dan H i (ω , k i T0 ) , akan tetapi, karena perhitungan ki dan ki+ sudah dilakukan pada subbab 4.1.1.2.2 diatas, maka langkah selanjutnya adalah mencari nilai dari H i (ω , T ) saja. Hal ini dibenarkan, karena dengan adanya formulasi tersendiri untuk melakukan perhitungan terhadap nilai k, menandakan bahwa, optimasi min H i (ω , k i T0 ) pada formulasi 4.3 dapat diartikan sebagai optimasi min H i (ω , k i * T0 ) . Perhitungan optimasi min H i (ω , T ) T >0
akan mengacu pada perhitungan lain yaitu perhitungan untuk optimasi persediaan single item yang ditunjukkan pada formulasi 4.5, yaitu :
25
⎧⎪ ⎧⎪ai + βij biσT ⎫⎪⎫⎪ λσ(bt)2 + − Zij = min⎨λαj + ⎨ ⎬⎬ (4.5) 1≤ j≤m 2 2(hi +bi + rαij)λT + 2rβij ⎪⎭⎪⎭ ⎪⎩ T ⎪⎩ Sehingga, perhitungan untuk menentukan H i (ω , T ) yang diselesaikan melalui formulasi diatas antara lain adalah perhitungan untuk mencari optimasi persediaan single item dengan biaya produksi cekung. Dapat disimpulkan bahwa dalam perhitungan mencari optimasi persediaan multi item ini haruslah dicari dahulu nilai optimal pada tiap item terlebih dahulu barulah dicari nilai optimal untuk keseluruhan item. −
+
Setelah nilai dari H i (ω , k i T0 ) dan H i (ω , k i T0 ) telah diketahui, selanjutnya adalah menerapkan fungsi argmin pada hasil dari perhitungan kedua formulasi tersebut. Melalui bantuan fungsi argmin inilah dapat diketahui nilai k yang optimal. Penentuan nilai k optimal ini dibantu dengan solver glbSolve. Pada proses pengadaan item, selain ditetapkan waktu yang optimal, ditetapkan juga frekuensi pemesanan yang optimal untuk tiap item. Hal ini dikarenakan melalui informasi k, selain dapat membantu dalam membuat keputusan untuk menentukan frekuensi pemesanan tiap item secara lebih baik juga dapat meminimalkan total biaya rata-rata nantinya. 4.1.2
Fungsi Tujuan
Fungsi tujuan pada persediaan multi item dengan biaya produksi cekung dan joint setup ini adalah mencari total biaya rata-rata paling minimum. Total biaya rata-rata minimum adalah penjumlahan dari biaya rata-rata dari biaya setup major dengan biaya rata-rata dari biaya setup minor. Biaya rata-rata setup major ialah pembagian antara nilai biaya setup major dengan rentang waktu. Sedangkan biaya rata-rata setup minor
26 adalah hasil dari penjumlahan semua nilai optimal pada tiap item setelah didalamnya telah dibagi dengan rentang waktu. Perhitungan mencari optimasi pada persediaan multi item dengan biaya produksi cekung dan joint setup ditunjukkan pada formulasi 4.6, yaitu :
{
}
⎫ ⎧A n Zn = min ⎨ + ∑ min H i (ω , k i (ω , T )T ) ⎬ 1≤ j ≤ ni T >0 T i =1 ⎭ ⎩
(4.6)
Pada perhitungan optimasi persediaan multi item diatas terdiri dari 2 buah perhitungan optimasi. Sehingga perhitungan pada fungsi tujuan ini akan dibagi menjadi 2 tahap perhitungan. Tahapan perhitungan pertama berisi formulasi optimasi yang berada di dalam formulasi optimasi inti, kemudian dilanjutkan dengan perhitungan formulasi kedua yang berada diluar formulasi inti. 4.1.2.1
Perhitungan optimasi pertama
Perhitungan optimasi pertama yang akan dilakukan adalah perhitungan optimasi yang berada di dalam formulasi perhitungan optimasi inti pada formulasi 4.6, yaitu :
∑ {min H (ω , k (ω , T )T )} n
i =1
1≤ j ≤ m
i
i
(4.7)
Formulasi 4.7 ini, akan merujuk pada sebuah formulasi lain yang ditunjukkan oleh formulasi 4.8, yaitu :
H i (ω , k i (ω , T )T ) = min H i (ω , k i T ) ki
(4.8)
27 dimana
formulasi
min H i (ω , kiT ) ki
telah
dicari
pada
perhitungan sebelumnya, yaitu pada subbab 4.1.1.2.2 dan subbab 4.1.1.2.3 diatas, yaitu pada saat mencari nilai k yang optimal. Setelah hasil dari min H i (ω , kiT ) untuk tiap item ki
diketahui, langkah selanjutnya adalah menjumlahkan seluruh nilai dari min H i (ω , kiT ) tiap item tersebut. Pencarian nilai ki
minimum pada tiap item dengan tiap segmen fungsi biaya produksi cekung dibantu dengan bantuan solver glbSolve. 4.1.2.2
Perhitungan optimasi kedua
Tahap terakhir dari perhitungan optimasi multi item dengan biaya produksi cekung dan joint setup ini adalah mencari nilai dari formulasi inti pada fungs tujuan ini. Perhitungan optimasi kedua sekaligus perhitungan terakhir untuk mencari total biaya minimum ini adalah dengan melakukan pembagian A (biaya setup major) dengan T (rentang waktu daerah pencarian) lalu dijumlahkan dengan hasil dari perhitungan pada subbab 4.1.2.1 diatas. Kemudian dicari nilai minimumnya melalui bantuan solver glbSolve . Pada fungsi tujuan ini terlihat bahwa perhitungan optimasi dilakukan sebanyak 2 kali. Hal ini disebabkan karena adanya peranan joint setup. Joint setup ialah gabungan biaya setup yang selalu hadir dalam proses pengadaan persediaan multi item (Wilderman, R.E., Frenk, J.B.G., Dekker. R., 1997), yaitu biaya setup major (A) yang hadir setiap kali mengolah suatu pesanan dan biaya setup minor (ai) yang hadir setiap kali akan memproduksi item pada suatu pesanan.
28 4.2 Model validasi persediaan multi item dengan biaya produksi cekung dan joint setup Pada tugas akhir ini, pembuktian kebenaran dari hasil perhitungan yang telah dilakukan akan melalui suatu perbandingan hasil. Dimana, hasil yang didapatkan dari uji coba akan dibandingkan dengan hasil pada program validasi. Pada tugas akhir ini, program validasi yang dibuat berdasar kan pada analisis lingkungan produksi yang menerapkan fungsi biaya produksi cekung. Optimasi global dengan program glbSolve dijadikan sebagai solver dalam pencarian nilai optimal pada model validasi ini. Pada lingkungan produksi yang menerapkan fungsi biaya produksi cekung, diberikan formulasi untuk menghitung fungsi biaya produksi cekung pada tiap item, yang ditunjukkan pada formulasi 4.9, yaitu :
c(λi T ) := min {α ij λi T + β ij } 1≤ j ≤ m
(4.9)
Pada lingkungan yang menerapkan fungsi biaya produksi cekung ini, diberikan pula formulasi untuk menghitung biaya minimal pada persediaan single (tiap) item, yang ditunjukkan pada formulasi 4.10, yaitu :
ai + ci (λiT) biσT λiσ(biT)2 min= + − T >0 T 2 2λi (hi +bi )T + 2rci (λiT)
(4.10)
Perbandingan yang akan dilakukan pada tugas akhir ini adalah dengan dimasukkannya variabel k tiap item yang didapatkan dari hasil uji coba yang dimana nilai k nya berasal dari item dengan segmen fungsi biaya produksi cekung yang
29 mempunyai nilai paling minimum ke dalam program validasi sebagai data masukan. Variabel k ini nantinya akan dikalikan dengan setiap T pada formulasi 4.9 dan formulasi 4.10. Alasan variabel k dikali dengan setiap T pada formulasi 4.9 dan formulasi 4.10 adalah karena untuk mencari nilai optimal dari optimasi persediaan multi item pada tugas akhir ini, harus dicari dahulu nilai T dan nilai k yang optimal. Sehingga, apabila nilai k dari hasil uji coba telah optimal, kemudian dikalikan dengan variabel T yang ada pada program validasi dapat memberikan hasil yang sama dengan hasil pada uji coba, maka dapat dikatakan hasil yang didapat dari uji coba telah optimal, karena kedua perhitungan sama-sama berada pada lingkungan yang menerapkan fungsi biaya produksi cekung. Sehingga formulasi 4.9 akan dirubah menjadi :
c(λi T ) := min {α ij λi k * T + β ij } 1≤ j ≤ m
(4.11)
Sedangkan formulasi 4.10 akan dirubah menjadi :
ai + ci (λiT *k) biσT *k λiσ(biT *k)2 min= + − T >0 T *k 2 2λi (hi +bi )T *k + 2rci (λiT *k) (4.12) Langkah terakhir dalam membuat model validasi untuk optimasi persediaan multi item dengan biaya produksi cekung dan joint setup ini adalah menjumlahkan seluruh hasil perhitungan pada formulasi 4.10, kemudian ditambah dengan hasil dari pembagian A dengan T. 4.3 Model-model optimasi uji kelayakan solver glbSolve. Pada tugas akhir ini, akan dilakukan uji coba kelayakan solver glbSolve, hal ini dilakukan untuk membuktikan kelayakan solver glbSolve sebagai solver untuk mencari nilai optimal
30 maupun nilai minimum pada tugas akhir ini. Pada pelaksanaanya akan diujikan 4 macam model permasalahan optimasi yang berbeda. 4 macam model permasalahan optimasi ini didapatkan dari jurnal Mattias dan Kenneth. Pada jurnal yang ditulis oleh Mattias dan Kenneth, terdapat 10 macam model optimasi yang telah berhasil didapatkan hasil optimalnya dengan bantuan program solver glbSolve. Dalam uji kelayakan solver ini, akan diambil 4 dari 10 macam model permasalahan optimasi yang ada pada jurnal Mattias dan Kenneth untuk dibuat kembali perhitungannya lalu dibuat kode programnya kemudian dicari hasilnya dengan bantuan solver glbSolve. Kemudian hasil perhitungan akan dibandingkan dengan hasil dari perhitungan pada jurnal Mattias dan Kenneth. Model - model permasalahan optimasi tersebut adalah sebagai berikut : a.
Permasalahan optimasi Six-Hump Camel
Formulasi 4.13 adalah formulasi untuk permasalahan optimasi Six-Hump Camel :
1 4 2 2 2 min f ( x) = (4 − 2.1x1 + x1 ) x1 + x1 x 2 + (−4 + 4 x 2 ) x 3 − 3 ≤ x1 ≤ 3 s.t
(4.13)
− 2 ≤ x2 ≤ 2 Hasil pada jurnal Mattias dan Kenneth : fglobal = 1.0316284535. b.
Permasalahan optimasi Branin RCOS
31 Formulasi 4.14 adalah formulasi untuk permasalahan optimasi Branin RCOS : 2
5 x1 5x 1 + 1 − 6) 2 + 10(1 − ) cos(x1 ) + 10 2 8π π 4π − 5 ≤ x1 ≤ 10
min f ( x) = ( x2 − x
s.t
(4.14)
0 ≤ x 2 ≤ 15 Hasil pada jurnal Mattias 0.397887357729739. c.
dan
Kenneth
:
=
fglobal
Permasalahan optimasi Goldstein and Price
Formulasi 4.15 adalah formulasi untuk pemasalahan optimasi Goldstein and Price :
[ x [30+(2x x ) (18−32x +12x
2
2
]
min f (x) = 1+ (x1 + x2 +1) 2 (19−14x1 + 3x1 −14x2 + 6x1 x2 + 3x2 ) x
2
1 2
1
2 1
2
]
+48x2 −36x1x2 +27x2 )
s.t. − 2 ≤ x j ≤ 2, j = 1,2,
(4.15)
Hasil pada jurnal Mattias dan Kenneth : fglobal = 3. d.
Permasalahan optimasi Sphere
Formulasi 4.16 adalah formulasi untuk permasalahan optimasi Sphere : n
min f ( x) = ∑ ( xi − 1) 2 x
(4.16)
i =1
s.t − 5 ≤ xi ≤ 5, i = 1,2,..., n Hasil pada jurnal Mattias dan Kenneth adalah freach = 10-6.
