BAB II KAJIAN TEORI 2.1
Pendahuluan Model penurunan nilai kondisi jembatan yang akan diestimasi mengaitkan
data penurunan kondisi jembatan dengan beberapa variabel kontinu yang mempengaruhi penurunan kondisinya. Data penurunan didapat dari data nilai kondisi jembatan yang dinyatakan sebagai skala diskrit ordinal 0, 1, 2, 3, 4, dan 5. Dengan menetapkan data diskrit ordinal sebagai variabel tak bebas (dependen) dan data kontinu sebagai variabel bebas (independen), maka model probabilistik probit dan/atau logit dapat diterapkan. Selanjutnya model probit dapat dikembangkan sebagai model probit terurut. Pada bab ini akan dibahas mengenai pengukuran data nilai kondisi jembatan yang dinyatakan dalam data rang. Selanjutnya dibahas model penurunan kondisi jembatan IBMS yang digunakan oleh Dinas Bina Marga. Sebagai pengantar pembahasan model probit terurut, model probit dan model logit yang merupakan bentuk sederhana dari model probit terurut akan dibahas pula pada bab ini. Sebagai penutup bab ini, akan dibahas mengenai bentuk model penurunan kondisi jembatan yaitu model probit terurut.
2.2
Pengukuran Data Kondisi Data kondisi jembatan didapat dari hasil inspeksi. Data tersebut
dipresentasikan sebagai skala pengukuran diskrit ordinal, yang disebut data rang. Menurut Madanat et al. (1995), nilai yang diberikan tidak mengindikasi jarak tiap nilai, hanya berupa urutan/ rangking. Nilai ini di lapangan umumnya digunakan untuk data kualitatif. Sebagai contoh, data kondisi jembatan yang dipresentasikan dengan nilai 0, 1, dan 2 dimana 0 merepresentasikan kondisi “baik”, 1 merepresentasikan kondisi “sedang”, dan 2 merepresentasikan kondisi “buruk”.
5
KAJIAN TEORI
Greene (1993) menambahkan bahwa data rang adalah data kuantitatif dimanap perbedaan kondisi yang dipresentasikan oleh nilai kondisi 1 dan 0 tidak sama dengan perbedaan antara nilai kondisi 2 dan 1. Selanjutnya data rang ini didapat langsung dari inspeksi pada kondisi jembatan. Pengambilan data dari jembatan-jembatan ini tidak dilakukan acak karena harus didapat dari setiap jembatan. Jadi data bukan sampel data acak. Tetapi data ini bersifat probabilistik karena adanya error dalam pengukuran / penilaian (Madanat et al., 1995). Error ini disebabkan faktor subjektivitas yang berbeda dari para inspektor/ observator setiap melakukan penilaian. Menurut IBMS (1993), nilai kondisi jembatan dikaitkan dengan lima aspek yang berhubungan dengan kerusakan dengan pembobotan yang dianggap sama. Lima aspek tersebut antara lain: a. Struktur Jika kerusakan pada jembatan berbahaya maka diberi nilai 1, jika kerusakan pada jembatan tidak berbahaya maka diberi nilai 0. b. Tingkat kerusakan Jika tingkat kerusakan parah maka diberi nilai 1, jika tingkat kerusakan tidak parah maka diberi nilai 0. c. Perkembangan volume kerusakan Jika jumlah kerusakan lebih besar atau sama dengan 50% dari area/ volume/ panjang, maka diberi nilai 1. Jika tidak mencapai 50% dari area/ volume/ panjang, maka diberi nilai 0. d. Fungsi Jika elemen jembatan sudah tidak berfungsi, maka diberi nilai 1. Jika elemen jembatan masih berfungsi, maka diberi nilai 0. e. Pengaruh Jika kerusakan mempunyai pengaruh pada elemen lain, maka akan diberi nilai 1. Jika kerusakan tidak mempunyai pengaruh pada elemen lain, maka diberi nilai 0.
6 Analisis Probit Pada Model Penurunan Kondisi Jembatan
KAJIAN TEORI
Nilai kondisi jembatan yang berupa data rang adalah jumlah angka dari pernyataan tersebut di atas. Total nilai kondisi jembatan adalah antara 0 sampai dengan 5. Data rang yang menyatakan nilai kondisi jembatan sebagaimana yang dipakai dalam IBMS dinyatakan dengan angka 0 sampai dengan 5, sesuai dengan urutan yaitu 0 = baik sekali, 1 = baik, 2 = rusak ringan, 3 = rusak berat, 4 = kritis, 5 = runtuh/tidak berfungsi. Nilai kondisi jembatan tersebut diperoleh dari hasil inspeksi yang dilakukan pada setiap elemen jembatan dari sebuah bangunan infrastruktur jembatan secara keseluruhan. Seluruh kerusakan yang terjadi pada setiap elemen jembatan tersebut dicatat dan dinilai yang kemudian nilai tersebut menjadi nilai kondisi dari jembatan yang bersangkutan. Dalam pelaksanaan inspeksi suatu jembatan, selang waktu antara inspeksi pertama dengan kedua serta selang waktu antara inspeksi kedua dan ketiga dianggap konsisten, misalnya dilakukan setiap tanggal 1 Januari.
2.3
Peluang Transisi Markov Pada saat ini, peluang transisi Markov telah digunakan secara luas dalam
manajemen jembatan untuk mengestimasi penurunan kondisi jembatan (Madanat et al., 1995). Peluang transisi menyatakan besarnya peluang dimana suatu kondisi akan mengalami perubahan dari satu kondisi ke kondisi yang lain pada suatu waktu tertentu. Penurunan kondisi jembatan menyatakan perubahan kondisi jembatan dari kondisi lebih baik menjadi kondisi yang kurang baik dalam suatu waktu tertentu. Besarnya peluang terjadinya penurunan kondisi jembatan dinyatakan dengan peluang transisi. Menurut Madanat et al. (1995), transisi atau perubahan bersifat probabilistik di alam dikarenakan oleh beberapa hal sebagai berikut : a. Perubahan kondisi berupa variabel yang tidak teramati. Secara langsung, proses perubahan kondisi yang terjadi tidak dapat diamati karena perubahan kondisi tidak dapat diprediksi dengan pasti di alam. 7 Analisis Probit Pada Model Penurunan Kondisi Jembatan
KAJIAN TEORI
b. Adanya error dalam pengukuran. Seperti yang telah dijelaskan pada sub bab sebelumnya, adanya error dalam pengukuran disebabkan jumlah observator atau orang yang terlibat dalam pengambilan data di lapangan banyak dengan subjektivitas yang berbeda-beda serta waktu penilaian yang tidak sama. c. Sifat stokastik dari proses perubahan kondisi. Proses stokastik adalah suatu barisan kejadian yang memenuhi hukum-hukum peluang (Karlin dan Taylor, 1975). Proses perubahan kondisi mengandung ketidakpastian atau tidak dapat diduga di alam sehingga memenuhi hukumhukum peluang. Hal ini mengakibatkan proses perubahan kondisi memiliki sifat stokastik di alam. Menurut Ross (2000), proses stokastik yang memenuhi sifat Markov dikenal dengan rantai Markov. Misalkan terdapat suatu proses stokastik {Xn, n = 0, 1, 2, ...} yang mempunyai ruang keadaan berupa himpunan berhingga atau himpunan terbilang. Jika Xn = i, maka proses berada pada kondisi i pada waktu n. Untuk semua i0,..., i n-1, i, j dan semua n ≥ 0 , berlaku sifat P{ X n +1 = j X 0 = i0 ,..., X n −1 = in −1 , X n = i} = P{ X n +1 = j X n = i}
(2.1)
Dengan sifat seperti di atas, proses stokastik tersebut dinamakan rantai Markov. Persamaan (2.1) menyatakan bahwa pada rantai Markov, kondisi mendatang (Xn+1) saling bebas dengan kondisi lampau (Xn-1) dan bergantung pada kondisi saat ini (Xn). Misalkan nilai pij merepresentasikan peluang perubahan kondisi dari i ke j. Karena peluang bersifat non-negatif maka didapat pij ≥ 0, i, j ≥ 0,
∞
∑p j =0
ij
= 1, i = 0,1,...
Dari matriks peluang transisi bisa dilihat berapakah peluang perubahan kondisi suatu jembatan dari nilai kondisi lebih bagus ke nilai kondisi lain yang lebih buruk. Bentuk umum matriks peluang transisi yang akan digunakan adalah sebagai berikut:
8 Analisis Probit Pada Model Penurunan Kondisi Jembatan
KAJIAN TEORI
⎡ p 00 ⎢p ⎢ 10 . P = ⎢⎢ . ⎢ ⎢ . ⎢⎣ p m 0 dengan
n
∑p j =0
ij
p 01 p11
... ...
p m1 ...
p0n ⎤ p1n ⎥⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ p mn ⎥⎦
(2.2)
= 1 ; i=0, 1, …,m ;, j=0, 1, …, n dan m = n adalah nilai kondisi
terbesar. Secara khusus pada jembatan, nilai kondisi terbesar yang terjadi yaitu nilai 5, yang menyatakan kondisi jembatan runtuh. Dengan mensustitusikan m=n=5 pada bentuk umum matriks peluang transisi Markov di atas, didapat bentuk matriks peluang transisi Markov yang akan digunakan menjadi sebagai berikut: ⎡ p 00 ⎢p ⎢ 10 ⎢p P = ⎢ 20 ⎢ p 30 ⎢ p 40 ⎢ ⎢⎣ p 50
dengan
5
∑p j =0
ij
p 01
p 02
p 03
p 04
p11
p12
p13
p14
p 21
p 22
p 23
p 24
p 31 p 41
p 32 p 42
p 33 p 43
p 34 p 44
p 51
p 52
p 53
p 54
p 05 ⎤ p15 ⎥⎥ p 25 ⎥ ⎥ p 35 ⎥ p 45 ⎥ ⎥ p 55 ⎥⎦
(2.3)
= 1 ; i=0, 1, …,5 ;, j=0, 1, …, 5
Dengan adanya asumsi bahwa tidak ada penanganan atau perbaikan pada bangunan infrastruktur, maka perubahan kondisi hanya terjadi dari nilai kondisi lebih baik ke nilai kondisi lebih buruk. Akibatnya, tidak ada perubahan kondisi dari nilai kondisi lebih buruk menjadi nilai kondisi lebih baik. Didapat peluang perubahan kondisi dari kondisi i ke kondisi j yaitu ⎧ p , i = 0,1,...,5, j = 0,1,...,5 pij = ⎨ ij ⎩ 0, i > j
(2.4)
Sehingga bentuk matriks peluang transisi Markov yang akan digunakan menjadi sebagai berikut :
9 Analisis Probit Pada Model Penurunan Kondisi Jembatan
KAJIAN TEORI
⎡ p00 ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 P=⎢ ⎢ 0 ⎢ 0 ⎢ ⎣⎢ 0
2.4
p01 p11 0
p02 p12 p22
0 0 0
0 0 0
p03 p13 p23 p33 0 0
p04 p14 p24 p34 p44 0
p05 ⎤ p15 ⎥⎥ p25 ⎥ ⎥ p35 ⎥ p45 ⎥ ⎥ 1 ⎦⎥
(2.5)
Model Penurunan Kondisi Secara alamiah, suatu jembatan akan mengalami perubahan kondisi dari
waktu ke waktu. Faktor-faktor di alam seperti umur, kondisi cuaca, dan kondisi lalu lintas di jembatan akan mempengaruhi kondisi jembatan. Jika jembatan dibiarkan begitu saja, tanpa adanya perlakuan perbaikan ataupun pemeliharaan, maka perubahan kondisi yang terjadi adalah penurunan kondisi jembatan. Untuk mengetahui seperti apa penurunan kondisi suatu jembatan, perlu dicari seperti apakah model penurunan kondisi jembatan. Menurut IBMS (1993), perubahan nilai kondisi jembatan dimodelkan dengan menggunakan kurva kerusakan atau kurva penurunan kondisi jembatan. Kurva ini digunakan untuk mengestimasi nilai kondisi suatu jembatan berdasarkan umur jembatan. Penentukan nilai kondisi pada kurva penurunan kondisi menurut IBMS (1993) yaitu dengan menggunakan persamaan sebagai berikut: ⎛ t ⎞⎞ ⎛ ⎜ 100 ⎜1 − N ⎟ ⎟ ⎝ ⎠⎟ CM (t ) = 5 − ⎜ a ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
1 b
(2.6)
dimana : CM(t) = Condition Mark, yaitu nilai kondisi pada tahun t t
= Umur elemen
N
= Umur rencana elemen
a,b
= parameter-parameter persamaan
10 Analisis Probit Pada Model Penurunan Kondisi Jembatan
KAJIAN TEORI
Jika nilai a, N, t diasumsikan tetap sedangkan b berubah-ubah, dengan menggunakan bantuan program Maple 9 seperti yang dinyatakan dalam Lampiran F, didapat kurva penurunan kondisi jika a=4, N=50 sebagai berikut: Dari gambar 2.1 disamping, terlihat pola penurunan kondisi jembatan
untuk
nilai
b
yang
berubah-ubah. Dimisalkan 3 nilai b yang berbeda, yaitu b=2 (kurva a dengan warna merah); b=2,5 (kurva b dengan warna hijau); dan b=3 (kurva c dengan warna biru).
Gambar 2.1 Kurva Penurunan Kondisi asumsi a, N, t tetap dan b berubah-ubah a.) b=2;
b.) b=2,5;
c.) b=3
Kurva yang diinginkan adalah kurva yang memotong sumbu tegak (sumbu-y) CM=0 pada saat t=0 dan CM=5 pada saat t=N. Didapat dari Gambar 2.1 di atas, kurva yang paling sesuai adalah kurva a dengan nilai b=2. Pada kurva tersebut, sumbu y terpotong pada CM=0 pada saat t=0 sedangkan sumbu-x terpotong pada CM=5 pada saat t=N=50. Jika nilai b, N, t diasumsikan tetap sedangkan a berubah-ubah, dengan menggunakan bantuan program Maple 9 seperti yang dinyatakan dalam Lampiran F, didapat kurva penurunan kondisi jika b = 2, N = 50 sebagai berikut:
11 Analisis Probit Pada Model Penurunan Kondisi Jembatan
KAJIAN TEORI
Dari gambar 2.2 disamping, terlihat pola penurunan kondisi jembatan
untuk
nilai
a
yang
berubah-ubah. Dimisalkan 3 nilai a yang berbeda, yaitu a=3 (kurva a dengan warna merah); a=4 (kurva b dengan warna hijau); dan a=5 (kurva c dengan warna biru).
Gambar 2.2 Kurva Penurunan Kondisi asumsi b, N, t tetap dan a berubah-ubah a.) a=3;
b.) a=4;
c.) a=5
Kurva yang diinginkan adalah kurva yang memotong sumbu tegak (sumbu-y) CM=0 pada saat t=0 dan CM=5 pada saat t=N. Didapat dari Gambar 2.2 di atas, kurva yang paling sesuai adalah kurva b dengan nilai a=4. Pada kurva tersebut, sumbu y terpotong pada CM=0 pada saat t=0 sedangkan sumbu-x terpotong pada CM=5 pada saat t=N=50.
2.5
Model Penurunan Kondisi Jembatan Bina Marga Untuk memodelkan nilai kondisi jembatan yang mengalami penurunan
kondisi, Direktorat Bina Marga menggunakan model IBMS di atas. Pada model Bina Marga digunakan N = 50, nilai a = 4.66, b = 1.9051 (Muchyidin, 2005) sehingga didapat persamaan sebagai berikut : ⎛ t ⎞⎞ ⎛ ⎜ 100 ⎜1 − 50 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠⎟ CM (t ) = 5 − ⎜ 4, 66 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
1 1,9051
(2.7)
dimana : CM(t) = Condition Mark, yaitu nilai kondisi pada tahun t 12 Analisis Probit Pada Model Penurunan Kondisi Jembatan
KAJIAN TEORI
t
= Umur elemen Kurva penurunan kondisi jembatan yang dihasilkan dari persamaan (2.7)
di atas yaitu sebagai berikut: BMS Deterioration Model N=50, a=4.66, b=1.9051 0 1 2
CM
3 4 5 0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Umur (tahun)
Gambar 2.3 Tipikal kurva kerusakan (Sumber : Departemen PU, 1993) Dimisalkan umur elemen (t) adalah 40 tahun. Dengan mensubstitusikan nilai tersebut pada persamaan (2.7), didapat nilai kondisi jembatannya sebagai berikut: ⎛ ⎛ 40 ⎞ ⎞ ⎜ 100 ⎜1 − 50 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠⎟ CM (t ) = 5 − ⎜ 4, 66 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
1 1,9051
= 2,8517
Didapat nilai kondisi jembatan tersebut adalah 2,8517 ≈ 3. Nilai 3 artinya kondisi jembatan berada pada kondisi rusak berat. Jika diperhatikan pada kurva di atas, terlihat bahwa titik perpotongan umur elemen 40 tahun berpotongan dengan titik CM pada nilai 2,8517 atau dibulatkan menjadi 3. Dari persamaan kurva penurunan kondisi pada program IBMS tersebut terlihat bahwa faktor umur elemen jembatan dianggap sebagai satu-satunya faktor 13 Analisis Probit Pada Model Penurunan Kondisi Jembatan
KAJIAN TEORI
yang paling berpengaruh didalam penurunan kondisi suatu bangunan infrastruktur jembatan. Faktor-faktor lain yang turut berpengaruh pada lebih cepat atau tidaknya penurunan kondisi suatu elemen jembatan, seperti misalnya faktor lalulintas yang melewatinya, faktor lingkungan dimana bangunan infrastruktur jembatan tersebut berada serta faktor kualitas konstruksi, dianggap memberikan pengaruh yang tidak terlalu besar, sehingga diabaikan.
2.6
Model Logit Dalam pemodelan probabilistik dikenal adanya model logit dan probit.
Model-model ini sering digunakan dalam kasus dimana variabel dependennya berupa data diskrit. Pada sub bab ini akan dibahas mengenai model logit atau yang biasa disebut model regresi logistik. Namun sebelum itu, akan dijelaskan mengenai distribusi logistik yang digunakan dalam model logit. Menurut Greene (1993), distribusi logistik memiliki fungsi distribusi kumulatif sebagai berikut:
F ( x) = Λ ( x) =
1 1 + e− x
(2.8)
Sedangkan fungsi kepadatan peluangnya yaitu : f ( x) = Λ( x)[1 − Λ ( x)] =
1 1 + e− x
1 ⎤ ⎡ ⎢⎣1 − 1 + e − x ⎥⎦
=
1 1 + e− x
⎡1 + e − x − 1 ⎤ ⎢ −x ⎥ ⎣ 1+ e ⎦
1 = 1 + e− x
⎡ e− x ⎤ ⎢ −x ⎥ ⎣1 + e ⎦
e− x f ( x) = (1 + e − x ) 2
(2.9)
Model logit adalah model tak linier yang menggunakan distribusi logistik dalam pengandaian faktor error εi. Selain itu, model ini juga menggunakan
14 Analisis Probit Pada Model Penurunan Kondisi Jembatan
KAJIAN TEORI
variabel dummy sebagai variabel dependennya. Variabel dummy yang dimaksud disini adalah jenis variabel diskrit yang mempunyai dua nilai, yaitu 0 dan 1. Misalkan Yi adalah variabel respon yang benilai 1 yang menyatakan ”sukses” dan 0 yang menyatakan ”gagal” . Misalkan pula Xi adalah variabel faktor-faktor yang mempengaruhi Yi. Jika Pi menyatakan besarnya peluang terjadinya ”sukses” dan 1-Pi menyatakan besarnya peluang terjadinya ”gagal”, maka bentuk model logit adalah sebagai berikut: ⎛ P ⎞ Yi * = logit = log ⎜ i ⎟ = β i X i + ε i ⎝ 1 − Pi ⎠
(2.10)
(Agresti, 1996) dan
⎧ 1, jika Yi* > 0 , i=1, ..n Yi = ⎨ * ⎩0, jika Yi ≤ 0
(2.11)
dimana :
Yi*
= logit
βi
= koefisien parameter
εi
= error, ε i berdistribusi logistik (Agresti, 1996). Bentuk model seperti yang dinyatakan pada persamaan (2.10) di atas
didapat dari transformasi distribusi logistik. Jika error ε i berdistribusi logistik, maka berdasarkan persamaan (2.11) didapat persamaan untuk peluang terjadinya
Yi = 1 sebagai berikut Pi = P(Yi = 1)
= P(Yi* > 0) = P( βi X i + ε i > 0) = P(ε i > − β i X i ) = P(ε i < β i X i ) = F (βi X i ) Pi =
1 1 + e − βi X i
(2.12) 15
Analisis Probit Pada Model Penurunan Kondisi Jembatan
KAJIAN TEORI
Persamaan untuk peluang terjadinya Yi = 0 didapat sebagai berikut
1 − Pi = P(Yi* ≤ 0) = P( βi X i + ε i ≤ 0) = P(ε i ≤ − β i X i ) = P(ε i ≥ β i X i ) = 1 − F ( βi X i ) e − βi X i 1 − Pi = 1 + e − βi X i
(2.13)
Dari persamaan (2.12) dan (2.13) didapat bentuk logit ⎛ P ⎞ Yi * = logit = log ⎜ i ⎟ ⎝ 1 − Pi ⎠
⎛ 1 ⎜ − βi X i = log ⎜ 1 + −eβi X i ⎜ e ⎜ ⎝ 1 + e − βi X i
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ 1 ⎞ = log ⎜ − βi X i ⎟ ⎝e ⎠
(
= log e βi X i
)
Yi * = β i X i Terbukti hasilnya sama dengan persamaan (2.10) yang telah disebutkan di halaman sebelumnya. Pada Gambar 2.4 di bawah digambarkan kurva model logit yang menyatakan proporsi sukses dan merupakan presentasi dari persamaan peluang sukses pada persamaan (2.12) Pi =
1 1 + e − βi X i
Kurva tersebut terlihat membentuk huruf S yang mendekati nilai 0 dan 1. Bentuk ini umum digunakan untuk memodelkan respon yang berupa data biner yang dinyatakan dengan nilai 0 atau 1 (Weisberg, 1985).
16 Analisis Probit Pada Model Penurunan Kondisi Jembatan
KAJIAN TEORI
a.)
b.)
Gambar 2.4 Kurva model logit (a.) jika nilai β >0;
(b.) jika nilai β <0
(Agresti, 1996) Pada Gambar 2.4 di atas, kurva 2.4a menggambarkan model logit jika nilai β>0. Pada kurva tersebut, variabel respon akan mengalami kenaikan jika nilai peluang suksesnya mengalami kenaikan. Kurva 2.4 b menggambarkan model logit jika nilai β<0. Pada kurva tersebut, variabel respon akan mengalami penurunan jika nilai peluang suksesnya mengalami kenaikan.
2.7
Model Probit Selain model probit, dalam pemodelan probabilistik dikenal juga adanya
model probit. Seperti halnya model logit, model probit ini juga sering diterapkan pada kasus analisis data diskrit nominal. Model probit dikenalkan pertama kali oleh Chester Bliss pada tahun 1934, dimana kata “probit” merupakan kependekan dari probability unit.
17 Analisis Probit Pada Model Penurunan Kondisi Jembatan
KAJIAN TEORI
Menurut Yong (2003), model probit adalah model tak linear yang menggunakan variabel dummy sebagai variabel dependennya dan mengandaikan faktor error εi berdistribusi normal N (0, σ 2 ) . Variabel dummy yang dimaksud disini adalah jenis variabel diskrit yang mempunyai dua nilai, yaitu 0 dan 1. Variabel dummy tersebut dihubungkan dengan variabel respon yang tidak teramati namun ingin diketahui. Pada model probit, digunakan distribusi normal dengan rataan ( µ ) dan variansi σ 2 N (0, σ 2 ) dalam transformasinya. Distribusi normal N (0, σ 2 ) ini memiliki fungsi kepadatan peluang sebagai berikut: f ( x) = φ ( x) =
2 1 e −(1/ 2)( x / σ ) 2πσ
(2.14)
Sedangkan fungsi distribusi kumulatif nya yaitu : x
F ( x) = Φ ( x) =
∫ φ (t ) dt =
−∞
x
∫
−∞
1 −(1/ 2)(t / σ )2 e dt 2πσ
(2.15)
Bentuk kurva Normal seperti yang digambarkan pada Gambar 2.5 di bawah ini
σ
µ
x
Gambar 2.5 Kurva Normal Dari Gambar 2.5 di atas dapat dilihat bahwa kurva normal memiliki nilai maksimum pada saat x = µ . Kurva simetris kiri kanan terhadap sumbu tegak yang melalui rataan µ (Walpole, 1995). Misalkan Yi adalah variabel respon yang benilai 1 yang menyatakan ”sukses” dan 0 yang menyatakan ”gagal” . Misalkan pula Xi adalah variabel faktor-faktor yang mempengaruhi Yi. Jika Pi menyatakan besarnya peluang terjadinya ”sukses”, maka bentuk model probit adalah sebagai berikut: Yi * = probit =Φ −1 ( Pi ) = βi X i + ε i
(2.16)
18 Analisis Probit Pada Model Penurunan Kondisi Jembatan
KAJIAN TEORI
dan
⎧ 1, jika Yi * > 0 Yi = ⎨ * ⎩0, jika Yi ≤ 0
(2.17)
dimana :
βi
= koefisien parameter
Φ −1
= invers fungsi distribusi normal standar
εi
= error, ε i berdistribusi logistik (Agresti, 1996). Bentuk model seperti yang dinyatakan pada persamaan (2.16) di atas
didapat dari transformasi distribusi normal. Jika error ε i berdistribusi normal, maka berdasarkan persamaan (2.17) didapat persamaan untuk peluang terjadinya Yi = 1 sebagai berikut Pi = P(Yi* > 0) = P( βi X i + ε i > 0) = P(ε i > − β i X i ) = P(ε i < β X i ) Pi = F ( β X i )
(2.18)
Dari persamaan (2.18) di atas didapat Yi * = probit = Φ −1 ( Pi ) = Φ −1 ( F ( β X i ) )
⎛ β Xi ⎞ = Φ ⎜ ∫ φ (t ) dt ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −∞ ⎠ −1
Yi * = β X i Terbukti hasilnya sama dengan persamaan (2.16) yang telah disebutkan di awal. Kurva model probit membentuk huruf S, seperti yang digambarkan pada Gambar 2.6 di bawah ini.
19 Analisis Probit Pada Model Penurunan Kondisi Jembatan
KAJIAN TEORI
Gambar 2.6 Kurva model probit (Greene, 1993). Pada Gambar 2.6 di atas, kurva model probit membentuk huruf S yang mendekati nilai 0 dan 1. Kurva tersebut mirip dengan bentuk kurva model logit yang telah digambarkan pada Gambar 2.4 sebelumnya. Pada Gambar 2.7 di bawah ini, digambarkan kurva model probit yang terlihat lebih landai di banding kurva model logit, perbedaannya kecil. Hal tersebut mengakibatkan model probit dan logit biasanya mengarah pada kesimpulan yang sama untuk data yang sama dalam praktek (Garson, 1998).
Gambar 2.7 Kurva model probit dan model logit Menurut Garson (1998), model logit berdasarkan pada asumsi bahwa variabel respon merepresentasikan variabel kualitatif yang tak teramati dan 20 Analisis Probit Pada Model Penurunan Kondisi Jembatan
KAJIAN TEORI
menggunakan distribusi logistik. Sedangkan model logit berdasarkan pada asumsi bahwa variabel respon merepresentasikan variabel kuantitatif yang tak teramati dan menggunakan distribusi kumulatif Normal. Dalam model
penurunan
kondisi jembatan,
model
probit
yang
dikembangkan dipilih untuk digunakan karena variabel penurunan kondisi jembatan bersifat kuantitatif tak teramati.
2.8
Model Probit Terurut Dalam statistik, kata terurut biasa digunakan dalam kaitannya dengan
skala pengukuran. Variabel yang mempunyai skala terurut sering disebut variabel ordinal. Nilai yang diberikan tidak mengindikasi jarak tiap nilai, tetapi hanya berupa urutan/ rangking. Sebagai contoh, data kondisi jembatan yang direpresentasikan secara berurutan dengan nilai 0, 1, 2, 3, 4, dan 5 dimana 0 menyatakan kondisi terbaik dan 5 menyatakan kondisi terburuk. Model probit terurut adalah model yang dikembangkan dari model probit untuk memodelkan variabel respon yang berupa data diskrit ordinal (Greene, 1993). Model probit terurut diperkenalkan pertama kali dalam ilmu sosial untuk memodelkan karakteristik yang tidak dapat diobservasi dalam populasi. Model ini mengasumsikan adanya variabel acak kontinu yang tidak terobservasi dan memungkinkan untuk mengenali adanya pengaruh laten di alam (Madanat et al., 1995). Ide utama dari model probit terurut adalah adanya variabel laten kontinu yang dihubungkan dengan respon ordinal yang diobservasi. Selain itu, ada threshold yang membagi daerah menjadi beberapa kategori ordinal (Jackman, 2003). Model probit terurut digunakan untuk mengkonstruksi incremental model dimana beda nilai kondisi adalah indikator dari laten penurunan kondisi. Model ini ditambahkan pada nilai kondisi awal untuk mengestimasi nilai kondisi selanjutnya. Model ini juga dapat digunakan untuk menghitung matriks transisi non stationer. Untuk tiap nilai kondisi, model penurunan kondisi yang berbeda
21 Analisis Probit Pada Model Penurunan Kondisi Jembatan
KAJIAN TEORI
dikembangkan. Hal ini disebabkan proses mekanisme penurunan kondisi yang berbeda untuk tiap kondisi. Misalkan Xn adalah variabel yang paling berpengaruh terhadap penurunan kondisi infrastruktur seperti panjang bentang, lebar, umur, beban lalu lintas (AADT), tipe permukaan yang digunakan, dan faktor lingkungan. Misalkan pula Uin adalah fungsi dari variabel paling berpengaruh. Maka Uin dapat didefinisikan sebagai laten penurunan kondisi dan direpresentasikan oleh variabel acak. Misalkan Uin adalah laten penurunan kondisi untuk fasilitas n dalam state i. Uin diasumsikan berada diantara 0 dan ∞ karena adanya laten penurunan kondisi yang diharapkan selalu bernilai tak negatif, sesuai dengan pemberian nilai rang pada kondisi jembatan. Didapat model penurunan kondisi laten untuk tiap state kondisi yang dinyatakan dengan hubungan linier antara laten penurunan kondisi Uin dan himpunan variabel yang paling berpengaruh yang terobservasi Xn adalah sebagai berikut: log U in = β i X n + ε in '
(2.19)
dimana Uin
= laten penurunan kondisi untuk fasilitas n dalam state i
β i’
= parameter yang akan diestimasi
Xn
= variabel paling berpengaruh dari fasilitas n
εin
=
error, ε i : N (0,1)
Penggunaan logaritma pada persamaan (2.21) di atas digunakan untuk menjamin nilai Uin selalu tak negatif. Jika nilai Uin negatif, maka yang terjadi adalah kenaikan kondisi. Berdasar asumsi bahwa tidak ada kegiatan pemeliharaan dan rehabilitasi yang dilakukan, maka hal ini tidak mungkin terjadi. Selain itu, melihat sifat fisis penurunan kondisi yang disebabkan variabel yang berpengaruh, termasuk kondisi sebelumnya, maka diperkirakan proses penurunan kondisi tidak akan bisa mengikuti model linier sederhana. Misalkan suatu jembatan yang retak atau rusak di suatu tempat dan mengalami penurunan kondisi, maka pada waktu yang akan datang jembatan ini akan mengalami penurunan kondisi lagi dan perubahan ini kemungkinan tidak akan mengikuti model regresi linier karena 22 Analisis Probit Pada Model Penurunan Kondisi Jembatan
KAJIAN TEORI
beban lalu lintas dan variabel alami lainnya. Hal yang mungkin terjadi adalah proses penurunan kondisi mengikuti bentuk logaritma. Hubungan antara laten penurunan kondisi Uin dengan himpunan variabel paling berpengaruh yang terobservasi (Xn) tidak dapat diestimasi langsung karena Uin tidak terobservasi secara langsung. Hal ini mengakibatkan parameter β tidak dapat langsung dihitung nilai estimasinya. Hal yang dapat diobservasi dari bangunan infrastruktur adalah nilai kondisi. Perubahan nilai kondisi inilah yang akan digunakan untuk mengestimasi model penurunan kondisi pada persamaan (2.21). Misalkan variabel Zin adalah perubahan nilai kondisi pada fasilitas bangunan infrastruktur ke-n dari suatu state kondisi i. Maka nilai Zin akan bernilai antara 0 sampai dengan m-i untuk nilai kondisi i, dimana i=0, 1, 2, ..., m dan m adalah nilai kondisi terendah (runtuh). Misalkan parameter γ i 0 , γ i1 ,..., γ i ( i −1) merepresentasikan threshold yang memetakan nilai kontinu Uin ke dalam nilai diskrit Zin, dengan γi0 = 0 dan γi(i+1)=∞. Didapat hubungan yaitu perubahan nilai kondisi, Zin adalah j jika laten penurunan kondisi dalam periode waktu, Uin berada diantara titik batas γi0 dan γi(j-1). Secara matematis, hubungan antara dinyatakan Zin dan Uin adalah sebagai berikut : Z in = j jika γ ij ≤ U in < γ i ( j +1) untuk j = 0,.., m − i
(2.20)
γ i 0 = 0 < γ i1 < γ i 2 < ... < γ ij dimana Zin
= perubahan kondisi pada fasilitas n
i, j
= nilai kondisi
m
= nilai kondisi terendah
Uin
= laten penurunan kondisi untuk fasilitas n
γij
= threshold
23 Analisis Probit Pada Model Penurunan Kondisi Jembatan
KAJIAN TEORI
Ilustrasi hubungan antara Zin dan Uin seperti yang dinyatakan pada Gambar 2.8 berikut:
0
1
m-i
Zin Uin
γi0=0
γi1
γi2 …
γi(m-i)
Gambar 2.8 Hubungan antara Zin dan Uin
24 Analisis Probit Pada Model Penurunan Kondisi Jembatan
