BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang
Sebagai seorang yang mendalami matematika alangkah lebih baik jika kita mengetahui sejatah matematika. Sejarah adalah hal yang sangat menarik untuk dipelajari, karena kita dapat melihat perkembangan matematika.
Sejarah matematika memiliki banyak cerita menarik.Dalam hal ini kita akan membahas tentang Perkembangan Matematika Gerik Purbakala untuk lebih mengetahui bagaimana perkembangan matematika pada masa itu.
B. Rumusan Permasalahan 1. Bagaimana sejarah matematika pada masa Thales ? 2. Bagaimana sejarah matematika pada masa Pythagoras ? 3. Apa saja aritmatika pada masa Pythagoras. ?
C. Tujuan Penulisan 1. Untuk mengetahui lebih dalam tentang sejarah perkembangan pada masa purbakala 2. Agar pembaca dapat menambah wawasan tentang sejarah matematika.
BAB II Perkembangan Matematika Gerik Purbakala
Kekuasaan raja-raja mesir dan babilonia menurun dan muncul bangsabangsa baru yang lebih perkasa seperti bangsa heber, aria, phoenisia, dan gerik. Kegiatan perdagangan antara bangsa mulai berkembang. Sesuai dengan perkembangan peradaban itu, matematika juga turut berkembang. A. Thales ( ± 640 – 546 BC ) Thales semula sebagai saudagar kaya dari kota Miletus di pantai asia kecil. Ia mengembara ke Mesir dan tinggal beberapa lama di Mesir. Ia mempelajari matematika Mesir dan mengagumi piramida dan kemudian menghitung tinggi piramida itu dengan bantuan bayangannya sebagai berikut :
Gambar 1
Thales mengambil suatu tongkat misalnya PQ, ia membuat lingkaran pusat P jari-jari sama dengan PQ. Dipagi hari yang cerah pada suatu saat bayangan Q jatuh tepat pada tepi lingkaran atau bayangan PQ = PR.
Pada saat itu pula bayangan T jatuh di titik S, sehingga KS dapat diukur. Berarti MS = TM = t tinggi piramida . sebut MK = ½ AB = a ( serengah alas piramida ) dapat diukur. KS = b dapat diukur. Jadi t = a + b. Demikianlah metoda bayangan dari Thales. Thales adalah orang pertama yang namanya dikaitkan dengan suatu penemuan, yakni dalil Thales.
Garis-garis sejajar akan memotong dua garis atas perbandingan-perbandingan seharga. Misalnya AP : PB = DQ : QC. Dalil ini masih dipelajari di SMP / SMA sekarang Gambar 2
Namanya juga dikaitkan sebagai orang pertama yang menemukan sifat-sifat geometri berikut.
1. Diameter membagi dua sama suatu lingkaran. 2. Sudut alas suatu segitiga sama kaki, sama besar. 3. Sudut siku yang dibentuk dua garis berpotongan tegak lurus sama besar. 4. Dua segitiga kongruen jika dua sudut dan satu kaki yang bersesuaian dari sudut itu, sama besar.
Walaupun teori ini sederhana menurut kita sekarang, tetapi Thales lah orang pertama menyusun teori, bukan hanya atas eksperimen, tetapi juga berdasarkan pemikiran yang logis. Pada 600 BC sekembalinya dari Mesir ia mendirikan sekolah Ionia, dan ia diberi gelar yang tinggi, sebagai negarawan, ahli teknik, ahli filsafat dll.
B. Masa Pythagoras ( ± 572 BC )
Pythagoras diperkirakan lahir pada 572 BC di pulau Samos suatu pulau di laut Aegea. Mungkin Pythagoras belajar dari Thales. Setelah Samos jatuh di bawah kekuasaan Tirani Popycrates, maka phthagoras pindah ke Crotona di Italia Selatan.
Di Crotona ia mendirikan sekolah Pythagoras yang termashur pada masa itu. Sekolah itu juga menjadi akademi, ilmu filsafat, matematika, dam Ilmu pengetahuan alam.
Kekuasaan Aristocrat di Italia membubarkan sekolah Pythagoras. Pythagoras lari dari Crotona ke Metaponto di Italia dan diduga dibunuh pada usia ± 80 th
Penyampaian pelajaran pada sekolah Pythagoras semua dengan lisan. Ikatan yang kuat pada persaudaraan disana menyebabkan semua penemuan di sekolah itu diatasnamakan pada Pythagoras.
C. Aritmatika Pythagoras
Filsafat Pythagoras bertumpu pada anggapan bahwa bilangan bulat adalah sebab utama dari sifat benda. Maka sekolah Pythagoras banyak meletakan dasar teori dan rahasia bilangan.
1. Bilangan bersahabat Dua bilangan disebut bersahabat jika jumlah bagi sebenarnya bilangan itu sama dengan bilangan yang menjadi sahabatnya.
Contoh : 220 dan 284 adalah dua bilangan bersahabat sebab pembadi dari 220.
1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110 Pembagi sebenarnya dari 284 adalah 1, 2, 4, 71, 142 jumlahnya 220.
2. Bilangan sempurna Bilangan sempurna juga berasal dari Pythagoras. Suatu bilangan disebut sempurna jika bilangan itu sama dengan jumlah pembaginya. Kepercayaan mereka juga terkait dengan bilangan sempurna itu. Rupanya bangsa Gerik percaya bahwa Tuhan mencipta alam semesta dalam 6 hari itu disebut sempurna.
Bilangan yang berbeda sifat dari bilangan itu ada dua macam yakni a. Bilangan tak sempurna Suatu bilangan disebut tak sempurna jika bilangan itu lebih besar dari jumlah pembagi-pembaginya. Misalnya : 8 lebih besar dari 1+2+4=7 (lebih kecil dari 8)
Tak
dapat diketahu bahwa kepercayaan mereka sesuai
denag yang tertulis dalam injil tentang menusia di dalam Bahtera Noah.
Bangsa-bangsa di bumi adalah keturunan dari orang di dalam perahu Noah itu sebagai manusia tak sempurna yakni Noah dan istri, 3 orang anak, dan 3 orang menantu, berjumlah 8 orang.
b. Bilangan berlimpah Suatu bilangan disebut berlimpah, jika jumlah pembagipembagi bilangan itu lebih besar dari bilangan itu sendiri. Misalnya 12, jumlah pembagi-pembaginya : 1+2+3+4+5+6 = 16 (lebih besar dari 12)
Hingga tahun 1952, diketahui baru 12 bilangan sempurna, di antaranya 2,28,496. Semua bilangan sempurna yang diketahui adalah genap.
Pada tahun 300 BC dalam buku Unsur Euclides telah didapat rumusan untuk bilangan sempurna yaitu : Jika 2n-1 adalah bilangan prima maka 2n-1 (2n-1), adalah bilangan sempurna. Nyata semua bilangan yang memenuhi perumusan ini adalah genap.
Kemajuan computer sekarang telah menemukan banayak bilangan sempurna. Komputer telah menghasilkan suatu bilangan sempurna dengan memakai rumus Euclides untuk n = 4423. Bilangan itu terdiri dari 2663 angka.
D. Bilangan Segi Banyak
Ahli-ahli sejarah Matematika tidak menemukan petunjuk bahwa bilangan noktah-noktah dalam susunan geometri sebagai hasil penemuan dari ikatan persaudaraan. Pythagoras. Noktah-noktah yang tersusun pada keliling dan titik-titik sudut suatu segi banyak membentuk suatu bilangan yang disebut bilangan geometri atau bilangan segi banyak seperti pada gambar 3 di bawah ini.
(1) Bilangan segitiga
Gambar 3
(2) Bilangan bujursangkar
Gambar 4
(3) Bilangan segilima
Gambar 5
Terdapat beberapa dalil tentang bilangan geometri ini.
Dalil 1 : suatu bilangan bujursangkar ialah jumlah dua bilangan segitiga berurutan
Contoh : Pada gambar 6 bilangan bujursangkar ke5 = jumlah bilangan segitiga keempat dan bilangan segitiga kelima atau 25 = 10+15. sekarang secara aljabar, kebenaran dalil itu dapat dibuktikan : Gambar 6
Sebut suatu bilangan segitiga yang ke-n adalah
Tn dan bilangan bujursangkar ke-n adalah Sn.
Seperti kita lihat pada gambar 3, maka Tn merupakan suatu deret aritmatika. Tn = 1+2+3+ . . . + n =
n(n + 1) 2
( T1 = 1 beda b=1, suku akhir Ta= n, banyak suku n). Pada gambar 4, Sn = n2 Maka n2 = Berarti
n(n + 1) n − 1 + .n 2 2
Sn = Tn + Tn-1
Dalil 2 : Suatu bilangan segilima ke-n sama dengan n+3 kali bilangan segitiga ke n -1 Contoh :
Gambar 7
Pada gambar 7, adalah konfigurasi dari bilangan segilima ke-4 sebagai 4+3 kali bilangan segitiga ke-3. atau 22 = 4+3 x 6. secara aljabar dalil ini dapat dibuktikan sebagai berikut : sebut bilangan segilima ke-n adalah Pn. Dari barisan bilangan pada gambar 5 dapat dilihat bilangan itu merupakan suatu deret aritmatika, maka
Pn
= 1+4+7+ . . . + 3n – 2 =
n (3n − 1) 2
=n+
3n(n − 1) atau 2
P n = n + 3 Tn - 1 Dalil 3 : Suatu bilangan kuadrat ke-n jumlah bilangan ganjil mulai dari bilangan satu. Dalil ini masih diajarkan dalam pelajaran SMP atau SMA di sekola kita sekarang.
E. Dalil Pythagoras dan Tigaan Pythagoras 1. Pembuktian oleh Sekolah Pythagoras Pada loh-loh Babilonia, dari masa raja HAmmurabi pemakaian dalam praktek dalil yang sesuai dengan dalil Pythagoras sudah dijumpai.Kebenaran dalil itu belum dibuktikan seperti dilakukan pada sekolah Pythagoras. Dan bukti dalil itu seperti berikut.
Gambar 8
Pada gambar 8, luas kedua bujursangkar samamasing-masing sisinya a + b.Sebut sisi-siku segitiga itu a, b dan sisi miringnya c. pada gambar 8a, terdapat dua bujursangkar masing-masing pada sisi siku segitiga, maka luas masing-masing a2 dan b2. Luas empat segitiga siku pada gambar 8a. berarti luas bujursangkar pada gambar 8a atau a2 + b2 = c2. Jadi bunyi dalil Pythagoras itu adalah luas bujursangkar pada sisi miringnya sama dengan jumlah luas bujursangkar pada kaki segitiga siku-siku. Di sekolah-sekolah kita sekarang, sudah terdapat banyak bukti dari dalil Pythagoras itu yang membuktikan kuadrat sisi siku.
2. Tigaan Pythagoras Tigaan Pythagoras adalah pasangan tiga serangkai bilangan yang memenuhi dalil Pythagoras. Plimpton 322 tentang loh-loh Babilonia sudah menyusun tabel tiga bilangan yang mengikuti dalil Pythagoras itu. Walaupun
belum
menuliskan
rumus
yang
mengikutinya.Untuk
menetukan tigaan Pythagoras terdapat rumus dalam bentuk aljabar yaitu :
Rumus ini berlaku untuk m bilangan ganjil Rumus yang berlaku untuk genap atau ganjil adalah :
(2m)2 + (m2 – 1 )2 = (m2 + 1)2
Rumus pertama sebagai rumus Pythagoras atau rumus yang ditemukan sekolah Pythagoras. Sedangkan rumus kedua diatasnamakan kepada Plato (300 BC). Namun kedua rumus tidak berlaku untuk semua bilangan m.
BAB III PENUTUP
Kesimpulan 1.
Thales adalah orang pertama yang namanya dikaitkan dengan suatu penemuan, yakni dalil Thales, yaitu “Garis-garis sejajar akan memotong dua garis atas perbandingan-perbandingan”
2.
Pada masa Pythagoras, Di Crotona ia mendirikan sekolah Pythagoras yang termashur pada masa itu. Sekolah itu juga menjadi akademi, ilmu filsafat, matematika, dam Ilmu pengetahuan alam.
3.
Filsafat Pythagoras bertumpu pada anggapan bahwa bilangan bulat adalah sebab utama dari sifat benda
4.
Sekolah Pythagoras meletakan dasar teori dan rahasia bilangan, yaitu Bilangan Bersahabat, disebut bilangan bersahabat jika jumlah bagi sebenarnya bilangan itu sama dengan bilangan yang menjadi sahabatnya. Bilangan Sempurna, suatu bilangan disebut sempurna jika bilangan itu sama dengan jumlah pembaginya.
5.
Noktah-noktah yang tersusun pada keliling dan titik-titik sudut suatu segi banyak membentuk suatu bilangan yang disebut bilangan geometri atau bilangan segi banyak, seperti : bilangan segitiga, bilangan bujursangkar, bilangan segilima.
6.
Bunyi dalil Pythagoras adalah luas bujursangkar pada sisi miringnya sama dengan jumlah luas bujursangkar pada kaki segitiga siku-siku.
7.
Tigaan Pythagoras adalah pasangan tiga serangkai bilangan yang memenuhi dalil Pythagoras.
DAFTAR PUSTAKA Drs.Sitorus,J.1990.Pengantar Sejarah Matematika dan Pembaharuan Pengajaran Matematika di Sekolah. Bandung : Tarsito
