ANALISIS FRAKTAL GARIS PANTAI DI YOGYAKARTA SKRIPSI. Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat. Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ANALISIS FRAKTAL GARIS PANTAI DI YOGYAKARTA SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh : Yosep Cahyo Ardi NIM : 131414029

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2017


ANALISIS FRAKTAL GARIS PANTAI DI YOGYAKARTA SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh : Yosep Cahyo Ardi NIM : 131414029

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2017 i


SKRIPSI

ANALISIS FRAKTAL GARIS PANTAI DI YOGYAKARTA

Oleh : Yosep Cahyo Ardi

Telah disetujui oleh :

Pembimbing

Beni Utomo, M.Sc.

Tanggal : 7 Juni 2017

ii


SKRIPSI ANALISIS FRAKTAL GARIS PANTAI DI YOGYAKARTA Dipersiapkan dan ditulis oleh : Yosep Cahyo Ardi NIM : 131414029 Telah dipertahankan di depan panitia penguji pada tanggal 15 Juni 2017 dan dinyatakan memenuhi syarat Susunan Panitia Penguji Nama Lengkap

Tanda Tangan

Ketua

: Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd.

...........................

Sekretaris

: Dr. Hongki Julie, M.Si.

...........................

Anggota I

: Beni Utomo, M.Sc.

...........................

Anggota II

: Dra. Haniek Sri Pratini, M.Pd.

...........................

Anggota III

: Febi Sanjaya, M.Sc.

...........................

Yogyakarta, 15 Juni 2017 Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sanata Dharma Dekan,

Rohandi, Ph.D. iii


HALAMAN PERSEMBAHAN

Energi Mengikuti Imajinasi (Albert Einstein)

... Janganlah kuatir akan hidupmu, akan apa yang hendak kamu makan, dan janganlah kuatir pula akan tubuhmu, akan apa yang hendak kamu pakai. (Lukas, 12 : 22)

Kupersembahkan untuk : Tuhan Yesus Bunda Maria Ibuku Tarmi dan bapakku Haryono Almamaterku : Universitas Sanata Dharma

iv


PERNYATAAN KEASILAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 15 Juni 2017 Penulis

Yosep Cahyo Ardi

v


ABSTRAK Yosep Cahyo Ardi, 2017. Analisis Fraktal Garis Pantai di Yogyakarta. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan. Universitas Sanata Dharma. Garis pantai memiliki bentuk yang tidak beraturan, karena tetidakteraturannya sulit untuk menentukan panjang garis pantai secara tepat. Garis pantai mempunyai pola-pola yang mirip dengan bangun- bangun fraktal. Garis pantai yang utuh dapat didekati dengan mengulangi pola-pola dasar sehingga mendekati bentuk garis pantai aslinya. Berdasarkan sifat kemiripan yang sesuai dengan sifat fraktal yaitu self similarity, maka penelitian ini menggunakan pendekatan fraktal. Metode yang digunakan adalah pengolahan citra satelit yang diambil dari Google Maps. Gambar garis pantai Yogyakarta terlebih dahulu dipotong-potong sesuai dengan karakteristiknya. Kemudian, dicari dimensi fraktalnya untuk tiap-tiap bagian menurut metode Dimensi Kotak ( ) dengan beberapa nilai Penghitungan dilakukan dengan bantuan software MATLAB. Hasil dimensi fraktal inilah yang akan digunakan untuk menentukan nilai prediksi panjang garis pantai di Yogyakarta. Hasil penelitian menunjukkan prediksi panjang garis pantai Yogyakarta adalah 134 . Panjang garis pantai berdasarkan pengukuran langsung menggunakan Google Maps adalah 127 yang artinya selisih 7 atau dengan nilai galat 5,51%. Menurut Badan Lingkungan Hidup Daerah Istimewa Yogyakarta (BLH DIY) panjang garis pantai Yogyakarta adalah 113 , yang berarti bahwa selisih 21 atau dengan nilai galat 18,58%. Prediksi dengan pendekatan fraktal ini memberikan arti bahwa panjang garis pantai Yogyakarta lebih panjang 5,51% dari pengukuran langsung dengan Google Maps, dan lebih panjang 18,58% dari data panjang garis pantai Yogyakarta berdasarkan BLH DIY.

Kata kunci : garis pantai, MATLAB, dimensi fraktal, panjang prediksi.

vi


ABSTRACT Yosep Cahyo Ardi, 2017. Fractal Analysis of Coastline in Yogyakarta. Thesis Mathematics Education Study Program, Mathematics and Sciene Education Department, Faculty of Teacher Training and Education. Sanata Dharma University. The coastline has irregular shape, since it is difficult to determine the exact length of the coastline. The coastline has patterns that are similar to fractal builds. The intact coastline can be approached by repeating the basic patterns so as to approximate the shape of the original coastline. Based on the similarity characteristic in accordance with fractal characteristic is self similarity, this research uses fractal approach. The method used is the processing of satellite images taken from Google Maps. The image of Yogyakarta’s coastline first cut into pieces according to their characteristics. Then, looking for the fractal dimension for each section according to the Box Dimension method ( )

with multiple values . The calculation is done by using

MATLAB software. The result of this fractal dimension will be used to determine the predicted value of coastline length in Yogyakarta. The result shows that the predicted length of Yogyakarta’s coastline is 134 . The length of the coastline based on the direct measurement using Google Maps is 127 which means the difference of 7 or with the error rate of 5,51 %. According to Yogyakarta’s Environment Agency (BLH DIY) the length of Yogyakarta’s coastline is 113 , which means that the difference is 21 with an error rate of 18,58 %. The prediction with this fractal approach gives the mean that the long of Yogyakarta’s coastline is 5,51% longer than the direct measurement with Google Maps, and 18,58% longer than the long coastline data of Yogyakarta based on BLH DIY.

Keywords : coastline, MATLAB, fractal dimension, length of prediction.

vii


LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma : Nama

: Yosep Cahyo Ardi

NIM

: 131414029

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah yang berjudul : ANALISIS FRAKTAL GARIS PANTAI DI YOGYAKARTA Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikan di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa meminta ijin dari saya maupun memberikan royalty kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya. Yogyakarta, 15 Juni 2017 Yang menyatakan

Yosep Cahyo Ardi

viii


KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah melimpahkan berkat dan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Analisis Fraktal Garis Pantai di Yogyakarta” ini dengan baik dan tepat waktu. Skripsi ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Pendidikan. Dalam penulisan skripsi ini, penulis menemui banyak masalah yang menghambat penulisan. Penulis menyadari skripsi ini tidak akan selesai dengan baik tanpa dukungan dan doa dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih kepada : 1.

Bapak Rohandi, Ph.D. selaku dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

2.

Bapak Dr. Hongki Julie, M.Si. selaku Ketua Program Studi Pendidikan Matematika, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

3.

Bapak Beni Utomo, M.Sc. selaku dosen pembimbing skripsi yang juga sekaligus dosen pembimbing akademik yang telah bersedia meluangkan waktu, tenaga, dan masukan selama penulisan skripsi dan selama penulis menjalani kuliah di Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

4.

Bapak dan ibu dosen Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma yang telah mendidik penulis selama kuliah di Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

ix


5.

Seluruh staf sekretariat JPMIPA Universitas Sanata Dharma yang telah membantu dalam hal administrasi.

6.

Perpustakaan Universitas Sanata Dharma yang telah menyediakan buku-buku yang menunjang perkuliahan selama kuliah di Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

7.

Kedua orang tua penulis Ibu Tarmi dan Bapak Haryono yang telah membiayai kuliah, mendukung, memberi semangat, dan berdoa untuk kesuksesan penulis.

8.

Van Deventer-maas Stichting yang telah membantu membiayai kuliah dalam bentuk beasiswa.

9.

Kakek penulis Mbah Mitro dan keluarga besar Mbah Mitro yang telah mendukung, dan berdoa untuk penulis.

10. Saudara sepupu penulis Nidia yang telah meminjamkan laptop selama penulis menulis skripsi. 11. Teman-teman seperjuangan Dhevin, Dora, Emi, Tri, Ipo, Dina, Gerar, dan Ardian yang telah memberi dukungan, semangat, dan motivasi. 12. Teman-teman Pendidikan Matematika Kelas A yang telah berdinamika berbagi pengetahuan suka, dan duka selama kuliah. 13. Teman-teman Pendidikan Matematika angkatan 2013 yang telah berdinamika berbagi pengetahuan suka, dan duka selama kuliah. 14. Teman-teman UKM Seni Karawitan yang telah berbagi pengetahuan tentang seni Jawa.

x


15. Teman-teman PPL yang telah memberikan semangat dan dukungan Ines, Shella, Ana, Clara, Agnes, Stephani, dan Br. Anton. 16. Semua pihak yang telah bermurah hati membantu penulis selama kuliah dan selama menulis skripsi yang tidak dapat disebutkan satu persatu.

Yogyakarta, 15 Juni 2017 Penulis

Yosep Cahyo Ardi

xi


DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL................................................................................................ i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ..................................................... ii HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iii HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................................ iv PERNYATAAN KEASILAN KARYA ................................................................. v ABSTRAK ............................................................................................................. vi ABSTRACT ............................................................................................................ vii PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ................. viii KATA PENGANTAR ........................................................................................... ix DAFTAR ISI ......................................................................................................... xii DAFTAR TABEL ................................................................................................ xiv DAFTAR GAMBAR ............................................................................................ xv DAFTAR LAMPIRAN ......................................................................................... xx BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1 A. Latar Belakang ............................................................................................. 1 B. Rumusan Masalah ........................................................................................ 5 C. Batasan Masalah........................................................................................... 5 D. Tujuan Penelitian ......................................................................................... 5 E. Manfaat Penelitian ....................................................................................... 6 F.

Metode Penelitian......................................................................................... 6

G. Sistematika Penulisan .................................................................................. 8 BAB II LANDASAN TEORI ............................................................................... 10

xii


A. Ruang Metrik ............................................................................................. 10 B. Ruang Fraktal ............................................................................................. 33 C. Transformasi .............................................................................................. 37 D. Sistem Fungsi Iterasi .................................................................................. 41 BAB III ANALISIS FRAKTAL ........................................................................... 49 A. Regresi Linear ............................................................................................ 49 B. Dimensi Fraktal .......................................................................................... 52 BAB IV ANALISIS FRAKTAL GARIS PANTAI DI YOGYAKARTA............ 73 A. Dimensi Fraktal Garis Pantai Yogyakarta.................................................. 74 B. Prediksi Panjang Garis Pantai Yogyakarta ................................................ 88 BAB V PENUTUP................................................................................................ 91 A. Kesimpulan ................................................................................................ 91 B. Saran ........................................................................................................... 92 DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 94 LAMPIRAN .......................................................................................................... 96

xiii


DAFTAR TABEL Tabel 3.1 Contoh data hasil penelitian .................................................................. 51 Tabel 3.2 Nilai residual dari contoh hasil penelitian............................................. 51 Tabel 3.3 Perolehan jumlah selimut- untuk Citra Lena ...................................... 71 Tabel 3.4 Nilai residual masing-masing

untuk Citra Lena ........................ 72

Tabel 4.1 Perolehan jumlah selimut- untuk garis pantai bagian I ...................... 75 Tabel 4.2 Perolehan jumlah selimut- untuk garis pantai bagian II ..................... 77 Tabel 4.3 Perolehan jumlah selimut- untuk garis pantai bagian III .................... 79 Tabel 4.4 Perolehan jumlah selimut- untuk garis pantai bagian IV.................... 81 Tabel 4.5 Perolehan jumlah selimut- untuk garis pantai bagian V ..................... 83 Tabel 4.6 Perolehan jumlah selimut- untuk garis pantai bagian VI.................... 85 Tabel 4.7 Perolehan jumlah selimut- untuk garis pantai bagian VII .................. 87 Tabel 4.8 Prediksi panjang garis pantai untuk tiap-tiap bagian ............................ 89 Tabel 4.9 Hasil pengukuran langsung menggunakan Goolge Maps ..................... 89

xiv


DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 (a) Segitiga Sierpinski ........................................................................ 4 Gambar 1.1 (b) Kurva Koch................................................................................... 4 Gambar 2.1

Contoh afinitas ............................................................................ 39

Gambar 2.2

Contoh similaritas ....................................................................... 40

Gambar 2.3 (a) Ilustrasi algoritma Deterministik untuk Segitiga Sierpinski............... 47 Gambar 2.3 (b) Ilustrasi algoritma Random Iterasi untuk Segitiga Sierpinski ............ 47 Gambar 3.1

Himpunan Cantor ........................................................................ 59

Gambar 3.2

Segitiga Sierpinski ...................................................................... 61

Gambar 3.3

Kurva Von Koch ......................................................................... 63

Gambar 3.4

Karpet Sierpinski ......................................................................... 66

Gambar 3.5 (a) Citra Asli Lena ............................................................................ 69 Gambar 3.5 (b) Citra Biner Lena dengan deteksi tepi Canny .............................. 69 Gambar 3.6

Diagram Alir pencacahan selimut ............................................... 69

Gambar 3.7

List program pencacahan selimut untuk Citra Lena.................... 70

Gambar 3.8

Garis Regresi untuk dimensi citra Lena ...................................... 71

Gambar 3.9

Nilai residual

untuk citra Lena......................................... 72

Gambar 4.1 (a) Garis pantai Yogyakarta via google maps .................................. 74 Gambar 4.1 (b) Pemotongan garis pantai menjadi 7 bagian ................................ 74 Gambar 4.2 (a) Garis Pantai bagian I setelah diedit dengan Photo Scape ........... 75 Gambar 4.2 (b) Citra biner garis pantai bagian I dengan deteksi tepi Canny ...... 75 Gambar 4.3

Garis Regresi untuk dimensi garis pantai bagian I ...................... 76

xv


Gambar 4.4

Nilai residual

untuk garis pantai bagian I ........................ 76

Gambar 4.5 (a) Garis Pantai bagian II setelah diedit dengan Photo Scape .......... 77 Gambar 4.5 (b) Citra Biner garis pantai bagian II dengan deteksi tepi Canny .... 77 Gambar 4.6

Garis Regresi untuk dimensi garis pantai bagian II .................... 78

Gambar 4.7

Nilai residual

untuk garis pantai bagian II ....................... 78

Gambar 4.8 (a) Garis pantai bagian III setelah diedit dengan Photo Scape ......... 79 Gambar 4.8 (b) Citra biner garis pantai bagian III dengan deteksi tepi Canny ... 79 Gambar 4.9

Garis Regresi untuk dimensi garis pantai bagian III ................... 80

Gambar 4.10

Nilai residual log

untuk garis pantai bagian III ..................... 80

Gambar 4.11(a) Garis pantai bagian IV setelah diedit dengan Photo Scape ........ 81 Gambar 4.11(b) Citra biner garis pantai bagian IV dengan deteksi tepi Canny ... 81 Gambar 4.12

Garis Regresi untuk dimensi garis pantai bagian IV ................... 82

Gambar 4.13

Nilai residual

untuk garis pantai bagian IV ..................... 82

Gambar 4.14(a) Garis pantai bagian V setelah diedit dengan Photo Scape .......... 83 Gambar 4.14(b) Citra biner garis pantai bagian V dengan deteksi tepi Canny..... 83 Gambar 4.15

Garis Regresi untuk dimensi garis pantai bagian V .................... 84

Gambar 4.16

Nilai residual

untuk garis pantai bagian V....................... 84

Gambar 4.17(a) Garis Pantai bagian VI setelah diedit dengan Photo Scape ........ 85 Gambar 4.17(b) Citra Biner garis pantai bagian VI dengan deteksi tepi Canny... 85 Gambar 4.18

Garis Regresi untuk dimensi garis pantai bagian VI ................... 86

Gambar 4.19

Nilai residual

untuk garis pantai bagian VI ..................... 86

Gambar 4.20(a) Garis pantai bagian VII setelah diedit dengan Photo Scape ....... 87 Gambar 4.20(b) Citra biner garis pantai bagian VII dengan deteksi tepi Canny .. 87

xvi


Gambar 4.21

Garis Regresi untuk dimensi garis pantai bagian VII ................. 88

Gambar 4.22

Nilai residual

untuk garis pantai bagian VII .................... 88

xvii


DAFTAR SIMBOL : Himpunan semua bilangan real : Himpunan semua bilangan asli (

)

: Jarak titik

ke titik

: Untuk semua : Elemen : Tidak sama dengan : Tak hingga : Ruang dimensi *

+

*

atas bilangan real

: Barisan ( )+

: Barisan pemetaan-pemetaan kontraksi

(

)

: Bola terbuka di

dengan jari-jari

, berpusat di

̅(

)

: Bola tertutup di

dengan jari-jari

, berpusat di

: Himpunan bagian : Himpunan bagian sejati : Gabungan : Irisan : Himpunan kosong ( )

:*

(

)

untuk suatu

+, Himpunan semua titik

interior :

yang memenuhi ( (

)

limit : Komplemen xviii

* +) ⋂

himpunan semua titik


: Bukan elemen ̅

: Himpunan titik closure kompak+, keluarga himpunan bagian tak kosong

:*

( )

yang kompak dari (

)

:

* (

) (

)+ jarak Hausdorff antara titik

dan

di

( ) : Skalar bernilai real ( )

: Dimensi Hausdorff-Besicovitch : Nilai pendekatan : Implikasi kiri ke kanan : Implikasi kanan ke kiri : Dimensi Kotak bawah : Dimensi Kotak atas

( )

: Jumlah minimum selimut berukuran : End of Proof atau bukti selesai

xix

yang dapat menyelimuti


DAFTAR LAMPIRAN List Program Tampilan GUI (Graphical User Interface) MATLAB ................... 96 Hasil Eksekusi Program dengan Tampilan GUI ................................................. 104

xx


BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Yogyakarta adalah salah satu tempat destinasi wisata populer di Indonesia. Yogyakarta memiliki keindahan panorama pantai yang indah. Secara umum pantai di Yogyakarta terbagi menjadi 3 wilayah pantai yaitu : Kulon Progo, Bantul, dan Gunung Kidul. Berdasarkan yogyalagi.com Kulon Progo memiliki 4 pantai, Bantul memiliki 8 pantai, sedangkan Gunung Kidul berdasarkan noyvesto.net memiliki 70 pantai. Kulon Progo dan Bantul tersusun oleh dataran Aluvial, sedangkan di Gunung Kidul berupa kawasan perbukitan Batu Gamping. Garis Pantai adalah pertemuan antara daratan dengan lautan yang dipengaruhi oleh pasang surut air laut (UU No 4 Tahun 2011). Garis pantai memiliki bentuk yang tak beraturan. Pembentukan garis pantai ini dipengaruhi oleh faktor abrasi dan struktur batuan. Panjang garis pantai dahulu dengan panjang garis pantai pada masa sekarang mungkin berbeda. Hai ini dikerenakan faktor abrasi dan struktur batuan dari pantai tersebut. Sulit untuk ditentukan panjang garis pantai secara tepat. Berbeda cara pengukuran dimungkinkan akan menghasilkan hasil yang berbeda. Menurut Dodi Sukmayadi dalam www.bakosurtanal.go.id terdapat beberapa metode dalam menentukan dan mengukur garis pantai diantaranya : survei terestris (dilaksanakan langsung ke lapangan), interpretasi foto udara, interpretasi citra satelit, dan penghitungan dengan pemodelan garis pantai. Setiap metode 1

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 2

memiliki kelebihan dan kekurangan. Interpretasi foto udara memberikan hasil yang akurat namum membutuhkan biaya yang mahal, foto citra satelit membutuhkan biaya yang lebih murah namun hasilnya kurang akurat, sedangkan dengan metode survei terestris menghasilkan hasil yang cukup akura namun kurang efektif karena hanya dapat dilakukan untuk daerahdaerah yang mudah dijangkau. Matematika adalah ilmu yang dipelajari untuk membantu menyelesaikan permasalahan yang dihadapi manusia. Secara sadar ataupun tidak sadar kita mengetahui bahwa alam berkaitan erat dengan matematika. Matematika dapat ditemukan di alam. Salah satu cabang matematika yang berkaitan dengan alam adalah geometri. Geometri berasal dari dua kata bahasa Yunani yang berarti bumi, dan ukuran, tampak bahwa Geometri muncul untuk kebutuhan pengukuran tanah (bumi) (Burton, 2011:53). Pada mulanya geometri digunakan oleh bangsa Mesir untuk menentukan batas-batas tanah yang hilang karena banjir di sungai Nil. Salah satu pelopor geometri adalah Euclides (325-265 SM) yang kini karyanya disebut sebagai Geometri Euclid. Geometri Euclid banyak diterapkan dalam bidang teknik seperti : Arsitektur, gambar-gambar perspektif, maupun gambar-gambar teknik lain. Geometri Euclid juga dapat ditemui disekitar kita. Benda-benda yang menyerupai segitiga, persegi panjang, trapesium, balok, kerucut, dan tabung dapat kita temukan di sekitar kita. Benda-benda alam disekitar kita mungkin secara umum menyerupai bangun pada Geometri Euclid. Namun demikian, ada benda-benda dan


fenomena alam yang tidak dapat dikaji dengan geometri Euclid. Geometri Euclid terlalu umum untuk mempresentasikan benda-benda alam. Seorang matematikawan mengatakan bahwa Clouds are not spheres, mountains are not cones, coastlines are not circles, and bark is not smooth, nur does lighting trevel in a straight line. More generally, I claim that many patterns of nature are so irregular and fragmented Mandelbrot (1983:1). Secara tidak langsung Mandelbrot mengatakan bahwa dengan Geometri Euclid saja alam tidak dapat dikaji dengan baik. Awan tidak dapat digambarkan hanya dengan gambar bulatan saja, gunung tidak dapat digambarkan hanya dengan sebuah kerucut, garis pantai tidak dapat digambarkan hanya dengan lingkaran, dan permukaan kulit kayu tidaklah halus. Secara umum Mandelbrot mengatakan bahwa alam terdiri dari pola-pola tidak beraturan dan terpecah-pecah. Seiring berkembangnya geometri muncullah gagasan-gagasan lain yang bertentangan dengan geometri Euclid yang disebut sebagai Geometri NonEuclid. Salah satu Geometri Non-Euclid adalah Geometri Fraktal. Istilah Fraktal pertama kali dipakai Beniot Mandelbrot pada tahun 1975. Fraktal atau fractal dalam bahasa Inggris berasal dari bahasa latin frangere yang berarti “rusak” kata ini untuk mendeskripsikan bentuk yang tidak beraturan (Mandelbrot, 1983:4). Tokoh matematikawan lain yang berperan dalam perkembangan Geometri Fraktal adalah Waclaw Sierpinski yang dikenal dengan temuannya yaitu Segitiga Sierpinski, Helge von Koch yang dikenal dengan kurva von Koch, Gaston Julia dengan Himpunan Julia, dan George


Cantor dengan himpunan Cantor. Temuan-temuan itulah yang menjadi dasar berkembangnya Fraktal.

(Sumber : http://wiki.eanswers.com/id/Fraktal)

Gambar 1.1 (a) Segitiga Sierpinski

(Sumber : Falconer, 2003)

Gambar 1.1 (b) Kurva Koch

Fraktal dikenal dengan kemampunannya dalam menyajikan alam. Alam yang “rumit” dapat direpresentasikan dengan cukup baik oleh geometri fraktal. Garis Pantai adalah salah satu bentuk alam yang tak teratur. Garis Pantai memiliki lekukan-lekukan yang berbeda-beda di sepanjang garis pantai. Namun demikian, lekukan ini mirip satu sama lain. Kemiripan adalah sifat utama Fraktal, sebab bangun Fraktal bisa dihasilkan dengan mengulang pola-pola sehingga membentuk suatu bangun yang mirip dengan bangun aslinya. Ketika suatu bangun fraktal dipotong kemudian diperbesar akan terlihat bangun itu mirip dengan bangun sebelumnya. Secara terus-menerus dengan pemotongan di tak hingga dan diperbesar tetap mirip dengan bangun sebelumnya sifat ini disebut self-similarity. Berbeda dengan Geometri Euclid, Geometri Euclid mempunyai dimensi bulat misalnya berdimensi : 0, 1, 2, atau 3. Titik mempunyai dimensi 0, garis mempunyai dimensi 1, bidang mempunyai dimensi 2, dan benda pejal mempunyai dimensi 3. Bangun Fraktal mempunyai dimensi yang berbeda


dengan dimensi Geometri Euclid. Dimensi ini bisa tidak bulat tetapi pecahan. Bangun fraktal bisa memiliki dimensi antara 0 dan 2, atau antara 2 dan 3. Pegunungan, awan, pohon, dan bunga semua mempunyai dimensi antara 2 dan 3 (Oliver, 1997:32). Dimensi pecahan pada geometri fraktal ini lebih dikenal dengan nama Dimensi Fraktal. B. Rumusan Masalah 1. Bagaimana cara mencari dimensi fraktal garis pantai Yogyakarta? 2. Bagaimana cara menentukan nilai prediksi panjang garis pantai di Yogyakarta? 3. Apa manfaat hasil penelitian bagi masyarakat yang tinggal di daerah pesisir pantai Yogyakarta? C. Batasan Masalah Penulisan ini membahas mengenai geometri fraktal sebagai dasar penelitian. Penelitian mengabaikan faktor susunan batuan Pantai di Yogyakarta. Peneliti hanya fokus kepada bentuk gambar citra satelit oleh Google Maps. Peneliti juga mempercayai keakuratan Google Maps sebab Google Maps telah menjadi salah satu aplikasi maps terpopuler di dunia. D. Tujuan Penelitian Tujuan penelitian yang ingin dicapai adalah : 1. Mengetahui dimensi fraktal garis pantai Yogyakarta. 2. Mengetahui nilai prediksi panjang garis pantai Yogyakarta.


3. Mengetahui relevansi penelitian bagi masyarakat di daerah pesisir pantai. E. Manfaat Penelitian a. Bagi Penulis Penulis mendapatkan pengetahuan baru tentang Geometri Fraktal. Disamping itu penulis juga dapat mengetahui penerapan geometri Fraktal untuk menentukan nilai prediksi panjang garis pantai di Yogyakarta. b. Bagi Pembaca Pembaca dapat mengetahui geometri lain selain geometri Euclides. Pembaca juga dapat mengetahui cara mencari dimensi fraktal dan dapat mengetahui penerapan ilmu pengetahuan khususnya penerapan Geometri Fraktal untuk menemukan panjang garis pantai di Yogyakarta. Penelitian ini juga bermanfaat bagi pembaca yang ingin mengetahui metode lain yang dapat digunakan untuk menentukan panjang garis pantai. F. Metode Penelitian a. Jenis Penelitian Berdasarkan tujuan penelitian, penelitian ini termasuk ke dalam Penelitian Terapan. Penelitian menggunakan

teori matematika

khususnya Geometri Fraktal untuk diterapkan dalam konteks dunia nyata berkaitan dengan panjang garis pantai. Jika ditinjau berdasarkan


jenis data yang digunakan dalam penelitian, maka penelitian ini termasuk dalam penelitian Kuantitatif. Data yang diperoleh berupa data numerik yang diperoleh dari pengolahan objek yang digunakan. b. Metode Penelitian Metode penelitian yang dilakukan adalah studi pustaka, yaitu dengan mempelajari buku, e-book, karya ilmiah, dan jurnal yang berkaitan dengan topik skripsi. c. Objek Penelitian Objek penelitian ini berupa citra digital yaitu representasi suatu objek yang dapat diolah dengan komputer. Objek berupa representasi garis pantai Yogyakarta dalam bentuk citra digital berformat jpg. d. Metode Pengumpulan Data Metode pengumpulan data dilakukan dengan cara dokumentasi. Data diperoleh dari pengolahan objek yang diunduh dari Google Maps. e. Instrumen Pengumpulan Data Instrumen yang digunakan untuk pengumpulan data adalah Google Maps dan MATLAB. Google Maps digunakan untuk memperoleh objek berupa citra digital representasi garis pantai Yogyakarta. Sedangkan MATLAB, digunakan untuk memperoleh data yang akan digunakan untuk menentukan dimensi fraktal garis pantai Yogyakarta. f. Analisis Data Berdasarkan tujuannya, analisis data dibedakan menjadi dua macam yaitu analisis data untuk memperoleh dimensi fraktal dan


analisis data untuk memperoleh prediksi panjang garis pantai. Untuk memperoleh dimensi garis pantai Yogyakarta analisis data dilakukan dengan menggunakan MATLAB. Sedangkan untuk memperoleh prediksi panjang garis pantai Yogyakarta, digunakan suatu rumus. g. Langkah-langkah Penelitian Secara umum, penelitian ini dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut : 1. Menentukan topik skripsi. 2. Membaca referensi-referensi yang berkaitan dengan topik skripsi dari buku, e-book, skripsi, maupun jurnal. 3. Mengambil gambar objek citra satelit melalui Google Maps. 4. Membagi objek menjadi beberapa bagian. 5. Mencari dimensi fraktal masing-masing bagian dengan membuat program terlebih dahulu pada software MATLAB. 6. Mencari nilai prediksi panjang garis pantai di Yogyakarta. 7. Menyusun hasil penelitian. G. Sistematika Penulisan BAB I PENDAHULUAN a. Latar Belakang b. Rumusan Masalah c. Pembatasan Masalah d. Tujuan Penelitian e. Manfaat Penelitian


f. Metode Penelitian g. Sistematika Peneltian BAB II LANDASAN TEORI a. Ruang Metrik b. Ruang Fraktal c. Transformasi d. Sistem Fungsi Iterasi BAB III ANALISIS FRAKTAL a. Regresi Linear b. Dimensi Fraktal BAB IV ANALISIS FRAKTAL GARIS PANTAI DI YOGYAKARTA a. Dimensi Fraktal Garis Pantai b. Prediksi Panjang Garis Pantai Yogyakarta BAB V PENUTUP a. Kesimpulan b. Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN


BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas berbagai teori yang mendasari geometri fraktal. Teori yang dibahas diantaranya : ruang metrik, ruang fraktal, afinitas, similaritas, dan Sistem Fungsi Iterasi. Ruang metrik mendasari ruang fraktal, sedangkan afinitas dan similaritas adalah sifat utama fraktal. Sistem Fungsi Iterasi adalah suatu sistem yang membentuk bangun fraktal atau mengkonstruksi fraktal. A. Ruang Metrik Ruang metrik penting untuk dibahas di awal, karena teori-teori tentang fraktal didasarkan pada ruang metrik seperti halnya barisan dan ruang fraktal. Secara umum pada pembahasan ini didasarkan pada ruang Euclid dimensi atau

. Ketika

real. Ketika

maka

yang berarti himpunan semua bilangan

maka akan menjadi bidang datar. Titik (

dinotasikan dengan

pada

) Jika suatu himpunan bagian dari

dengan suatu fungsi jarak yang bekerja padanya dengan beberapa aksioma yang berlaku maka disebut sebagai ruang metrik. Berikut ini adalah syarat yang harus dipenuhi dari suatu ruang metrik yang disajikan dalam definisi ruang metrik. Definisi 2.1.1 (Barnsley, 1988:11) Misalkan

adalah himpunan tak kosong. Metrik pada

real

yang memenuhi aksioma berikut. ()

(

)

(

)

10

adalah fungsi bernilai


( )

(

( ) (

)

( ) (

)

Metrik

)

(

)

(

)

juga disebut sebagai fungsi jarak. Himpunan tak kosong

dilengkapi dengan metrik dengan (

pada

yang

disebut sebagai ruang metrik, dituliskan

).

Contoh 2.1.1 Misalkan fungsi

didefinisikan

bahwa (

.

) adalah metrik di

(

)

|

| buktikan

Penyelesaian : Untuk membuktikan bahwa ( (

) merupakan metrik, maka perlu dibuktikan

) memenuhi aksioma-aksioma pada definisi 2.1.1.

() (

)

|

|

|

|

(

)

( ) Nilai mutlak bilangan real adalah tak negatif. Untuk berlaku |

|

(

( ) (

)

|

|

( ) (

)

|

|

)


|

|

(|

|

|

(

)

|

|)

|

|

(

)

(

)

(

)

(

)

Dari ( ) ( ) ( ) dan ( ) (

|

) adalah metrik di .

Contoh 2.1.2 Misalkan )

√(

(

didefinisikan (

) jarak Euclides dengan

)

buktikanlah bahwa (

( ) adalah metrik di

)

( (

dan

) )

.

Penyelesaian : () (

)

√(

)

(

)

√(

)

(

)

(

)

( ) Akar dari suatu bilangan real adalah tak negatif. Untuk berarti

bahwa )

√( ( ) (

)

atau (

)

(

)

(

)

√(

)

(

)

√(

)

(

)

√(

sehingga )

√

( ) (

)

(

)

(

)

berlaku


(

dengan

), (menurut ketaksamaan

segitiga) )

√(

(

)

Dari ( ) ( ) ( ) dan ( ) (

)

√(

) adalah metrik di

(

)

.

Setelah mengetahui tentang ruang metrik, selanjutnya melihat hubungan antar metrik. Dua metrik yang berbeda pada

bisa memiliki keterkaitan satu

sama lain. Keterkaitan ini misalnya, metrik yang satu bisa dibangun oleh metrik yang lain dengan mengalikan terhadap suatu konstanta. Dua metrik yang demikian disebut dua metrik yang ekuivalen. Secara umum dua metrik yang ekuivalen dicirikan oleh definisi 2.1.2 berikut ini. Definisi 2.1.2 (Barnsley, 1988:12) Dua metrik

dan

pada ruang

konstan dengan (

)

dikatakan ekuivalen jika terdapat

dan

sedemikian sehingga (

)

(

) (

)

.

Contoh 2.1.3 (

Misalkan metrik (

) dan

(

)

| |

| | dan

(

)

|

|

| |, metrik

) adalah dua metrik yang ekuivalen.

Bukti : Akan dibuktikan bahwa metrik ( Dipilih

)

(

)

(

, maka jelas bahwa

(

) dan

) dengan

( dan

) dapat dinyatakan sebagai konstan.


| | Dengan

| |

|

|

| |

(| |

| |)

maka diperoleh | |

| |

yang artinya bahwa dengan demikian

(

|

|

| |

(

)

(

) dan

(

)

(

|

|

|

) (

| )

) adalah dua metrik yang ekuivalen.

Definisi 2.1.3 (Barnsley, 1988:13) Dua ruang metrik (

) dan (

) adalah ekuivalen jika terdapat fungsi

fungsi bijektif sedemikian sehingga metrik ̃ pada

dengan dengan definisi ̃ (

)

( ( ) ( ))

ekuivalen dengan

.

Contoh 2.1.4 ,

Misalkan

-,

,

- dan fungsi |

sebagai metrik Euclides dan (

. Didefinisikan

|. Buktikanlah bahwa (

) dan

) adalah dua ruang metrik yang ekuivalen.

Bukti : ( )

Terdapat ̃ (

)

. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa (

̃ (

)

)

(

)

. Menurut definisi 2.1.3

berlaku bahwa ̃ (

)

( ( ) ( )) | ( )

Berdasarkan yang diketahui Dipilih

maka

(

)

|

( )| |

.


| ( ) Dengan

( )|

|

|

diperoleh | ( ) ̃ (

( )|

|

)

(

|

| ( ) ̃ (

)

( )| ) (

)

Selanjutnya, akan dibahas tentang kekontinuan suatu fungsi di dalam ruang metrik. Fungsi yang kontinu di titik

pasti mempunyai limit di

tetapi

tidak sebaliknya. Berikut ini adalah definisi dari fungsi yang kontinu. Definisi 2.1.4 (Barnsley, 1988:14) adalah pemetaan dari ruang metrik (

Misalkan suatu fungsi ke ruang metrik ( dan

). Fungsi

dikatakan kontinu jika, untuk setiap

terdapat

( ( ) ( ))

)

sedemikian

sehingga

(

)

.

Contoh 2.1.5 Misalkan diberikan (

) dan (

bahwa fungsi konstan

) adalah ruang metrik. Tunjukkanlah kontinu.

Bukti : Diberikan sebarang ( )

berlaku

, untuk sebarang ( ( ) ( ))

Dengan demikian terbukti

kontinu.

(

)

dengan fungsi konstan


Contoh 2.1.6 Diketahui ruang metrik di

( )

dengan definisi bahwa

dengan metrik Euclides. Diberikan fungsi untuk setiap

. Tunjukkanlah

kontinu.

Bukti : Diberikan

untuk sebarang

. Harus dicari

yang memenuhi |

sehingga untuk setiap

sedemikian

|

berlaku | ( )

( )| Dipilih

maka |

|

| ( )

( )|

dengan demikian terbukti

|

(

)|

|

|

kontinu.

Suatu barisan dalam ruang metrik dapat dibedakan menjadi dua macam barisan, yaitu barisan konvergen dan barisan divergen. Kedua macam barisan tersebut mempengaruhi kelengkapan dari suatu ruang metrik. Ruang metrik dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy di dalamnya konvergen ke suatu titik di ruang metriknya. Berikut ini adalah definisi dari barisan Cauchy yang dilanjutkan dengan definisi barisan konvergen. Definisi 2.1.5 (Barnsley, 1988:17) Barisan *

+

untuk sebarang .

dalam ruang metrik ( terdapat bilangan bulat

) disebut barisan Cauchy jika sehingga (

)


Suku-suku pada suatu barisan jika diperhatikan untuk nilai suku ke- yang semakin besar, dapat dibedakan menjadi barisan divergen dan barisan konvergen. Barisan yang menunjukkan sifat suku ke-

yang semakin besar

mendekati suatu nilai tertentu disebut barisan konvergen. Sebaliknya, jika untuk nilai suku ke-

yang semakin besar dari suatu barisan tidak

menunjukkan semakin dekat dengan nilai tertentu disebut sebagai barisan divergen. Berikut ini definisi 2.1.6 mendefinisikan secara matematis suatu barisan konvergen. Definisi 2.1.6 (Barnsley, 1988:17) Barisan *

+

dalam ruang metrik (

jika untuk sebarang

terdapat bilangan bulat

dengan

. Titik )

*

sehingga (

adalah limit dari barisan *

. Titik konvergensi

memenuhi ̅(

) dikatakan konvergen ke )

+ dinotasikan

yang merupakan konvergensi dari barisan * (

)

+

+ atau bola tertutup dengan jari-jari

dan berpusat di . Kekonvergenan suatu barisan tidak lepas dengan adanya titik konvergensi. Ketika suatu barisan diketahui konvergen, pastilah barisan tersebut mempunyai titik konvergensi. Berikut ini adalah suatu teorema (2.1.1) yang menyatakan bahwa titik konvergensi dari suatu barisan adalah tunggal. Selanjutnya melalui teorema 2.1.2 ditunjukkan bahwa barisan yang konvergen merupakan barisan Cauchy. Mengutip dari buku Metric Spaces (Shirali dan Vasudeva, 2006) pada definisi 2.1.7 dijelaskan bahwa adanya keterkaitan antara barisan dan barisan


bagian (subbarisan). Pada definisi 2.1.7 tersebut dikatakan bahwa, jika suatu barisan konvergen ke suatu titik maka subbarisannya juga konvergen ke titik yang sama. Hal ini berlaku juga untuk subbarisan dari suatu barisan yang konvergen ke suatu titik, barisannya juga akan konvergen ke titik yang sama dengan subbarisannya. Sebagai akibat dari definisi 2.1.7 pada proposisi 2.1.1 keterkaitan antar barisan dan subbarisan ini juga berlaku untuk barisan Cauchy. Teorema 2.1.1 (Searcoid, 2007:86) ) adalah suatu ruang metrik, barisan *

Misalkan (

+ di

yang konvergen

akan konvergen ke tepat satu titik di . Bukti : Diberikan barisan * dan titik

+ yang konvergen. Misalkan *

yang berbeda. Ambil sebarang

sedemikian sehingga

(

*

Dipilih

+ konvergen ke titik . Maka ada

)

dan

+ sehingga untuk

(

)

.

menurut ketaksamaan

segitiga ( (

Jadi

) )

(

)

(

berarti bahwa

) . Terbukti bahwa barisan *

+

konvergen ke satu titik. Teorema 2.1.2 (Barnsley, 1988:18) Jika barisan * barisan * Bukti :

+

pada ruang metrik (

+ merupakan barisan Cauchy.

) konvergen ke

maka


) dan barisan *

Diberikan ruang metrik (

+ di (

Menurut definisi 2.1.6 untuk sebarang dan

sehingga (

berlaku ( (

)

)

terdapat bilangan bulat positif . Demikian juga untuk setiap

. Menurut ketaksamaan segitiga (

)

*

untuk setiap

sehingga *

) yang konvergen ke .

)

+. Diperoleh

(

)

(

)

+ barisan Cauchy.

Contoh 2.1.7 Diketahui barisan *

+ =

di ruang metrik (

) dengan

adalah metrik Euclides. Buktikanlah bahwa barisan *

dan

+ adalah barisan

Cauchy dan konvergen ke 0. Bukti : Diberikan sebarang

, maka terdapat

dan misalkan (

)

(

)

. Untuk

berlaku )

Selanjutnya jelas bahwa ( Diperoleh (

sehingga

|

|

)

dan (

)

maka terbukti bahwa barisan *

+

barisan Cauchy dan konvergen ke 0. Definisi 2.1.7 (Shirali dan Vasudeva, 2006:48) Misalkan barisan * bulat positif *

+

+

dalam ruang metrik ( dengan

) dan barisan bilangan . Barisan {

}


dikatakan subbarisan dari * merupakan limit dari * konvergen ke

+

. Jika {

+

}

konvergen, limitnya

. Jelas bahwa barisan *

+

di

jika dan hanya jika setiap subbarisannya konvergen ke .

Proposisi 2.1.1 (Shirali dan Vasudeva, 2006:48) Jika barisan Cauchy dalam metrik (

) memuat sub barisan yang konvergen

maka barisan itu konvergen ke limit yang sama dengan limit sub barisannya. Bukti : Diberikan barisan Cauchy *

( ) sehingga

bilangan bulat

} sub barisan dari *

{

bahwa *

+ di ( (

) maka untuk setiap )

( ). Barisan

dengan

+ konvergen, misal konvergen ke . Diperhatikan

+ barisan bilangan bulat positif yang naik maka ( ).

untuk (

)

maka

(

(

(

Dengan ketaksamaan segitiga diperoleh )

)

terdapat

(

. Sehingga

) (

untuk )

) (

)

( ). Jika

,

yang artinya bahwa *

+

konvergen ke Pada pembahasan sebelumnya telah dibahas tentang : ruang metrik, barisan Cauchy, dan barisan konvergen. Selanjutnya, pada definisi berikut ini menunjukkan hubungan ketiganya yaitu tentang ruang metrik lengkap. Definisi 2.1.8 (Barnsley, 1988:18) Ruang metrik ( mempunyai limit

) dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy * , dengan kata lain konvergen ke suatu titik di .

+ di


Contoh 2.1.8 Ruang metrik (

) dengan

merupakan jarak Euclides adalah ruang metrik

lengkap. Bukti : ( (

)

)

√(

)

(

)

(

dengan

. Misalkan diberikan barisan *

(

) didefinisikan barisan Cauchy di

untuk

. Kemudian untuk

sedemikian

(

sehingga

)

)

dan

+ untuk sehingga

, (

)

√(

)

(

)

( ). Menggunakan prinsip kekonvergenan *

untuk setiap

konvergen ke suatu titik katakanlah ( )*

( )

terdapat bilangan bulat

+ akan

. Berlaku untuk setiap

+ akan konvergen ke suatu titik

(

)

.

) dengan metrik Euclides dan

(

Contoh 2.1.9 Diketahui ruang metrik ( metrik (

). Ruang

) merupakan ruang metrik tidak lengkap.

Bukti : Terdapat barisan * Diberikan berlaku barisan *

+

, akan dibuktikan barisan *

maka terdapat , + konvergen ke

sehingga . Barisan * sehingga (

+ barisan Cauchy.

. Untuk setiap

+ adalah barisan Cauchy namun ) bukan ruang metrik lengkap.


Sistem bilangan real mempunyai dua tipe sifat. Sifat yang pertama adalah aljabar dengan penjumlahan, perkalian dan yang lainnya. Sifat yang kedua adalah topologi yang ada kaitannya dengan jarak antar bilangan dan konsep limit (Shirali dan Vasudeva, 2006:64). Pembahasan selanjutnya yaitu tentang topologi dalam ruang metrik khususnya himpunan terbuka dan himpunan tertutup. Sebelum membahas tentang dua hal tersebut perlu diketahui terlebih dahulu tentang : persekitaran, titik interior, dan titik limit. Definisi 2.1.9 (Shirali dan Vasudeva, 2006:64) Misalkan ruang metrik ( mana

dan

Himpunan

̅(

) himpunan (

)

*

(

, disebut bola buka dengan jari-jari )

*

(

disebut bola tertutup dengan jari-jari

)

+ di mana

dan pusat

)

+ di

dan pusat dan

. ,

.

Contoh 2.1.10 Bola buka (

) di garis real adalah selang terbuka (

bola tertutup ̅(

). Contoh

) di garis real adalah selang tertutup ,

-.

Definisi 2.1.10 (Shirali dan Vasudeva, 2006:66) Diberikan ruang metrik ( buka di (

) dengan pusat di

) persekitaran di

adalah sebarang bola

.

Definisi 2.1.11 (Shirali dan Vasudeva, 2006:66) Himpunan bagian sebarang

dari ruang metrik (

, terdapat

sehingga (

) dikatakan terbuka jika untuk )

.


Berikut ini adalah suatu teorema 2.1.3 yang menyatakan bahwa setiap bola buka merupakan himpunan terbuka. Terorema 2.1.4 menunjukkan keterkaitan antar himpunan-himpunan terbuka dimana gabungan himpunan-himpunan terbuka merupakan himpunan terbuka, demikian juga untuk irisan himpunanhimpunan terbuka juga merupakan himpunan terbuka. Teorema 2.1.3 (Shirali dan Vasudeva, 2006:66) Dalam sebarang ruang metrik (

), setiap bola buka adalah himpunan

terbuka. Bukti : Misalkan

(

) adalah bola buka tak kosong maka

sebarang titik

(

Akan dibuktikan

(

(

)

(

)

Dengan demikian (

) maka ) (

)

(

)

(

(

)

(

)

). Ambil (

. Misalkan

). Untuk sebarang (

(

(

)

.

) berlaku

, berarti bahwa

(

).

) dan merupakan bola buka. Sehingga

) adalah himpunan terbuka di

Teorema 2.1.4 (Shirali dan Vasudeva, 2006:67) Diberikan ruang metrik ( ()

dan

), maka

adalah himpunan terbuka di (

).

( ) Gabungan dari keluarga berhingga himpunan-himpunan terbuka adalah himpunan terbuka. ( ) Irisan dari keluarga berhingga himpunan terbuka adalah terbuka.


Bukti : ()

Himpunan kosong tidak memuat titik di dalamnya, syarat bahwa setiap titik di

adalah titik pusat bola buka otomatis terpenuhi yaitu himpunan

kosong juga. Selanjutnya, ruang

terbuka karena setiap titik pusat bola

buka ada di . ( ) Diberikan sebarang himpunan

dan *

+ yang merupakan

: ⋃

keluarga himpunan terbuka. Akan dibuktikan

terbuka menurut ( ) Asumsikan bahwa

maka jelas bahwa ambil sebarang . (

. Jika

maka terdapat

sedemikian sehingga

adalah himpunan terbuka maka terdapat

)

. Jadi

,

sehingga

sehingga (

terdapat

)

.

terbuka. ( ) Diberikan himpunan *

+ keluarga himpunan terbuka di

dan

⋂

bahwa

terbuka menurut ( ). Asumsikan bahwa

Akan dibuktikan

,

maka terdapat

*

, ambil sebarang .

adalah

sedemikian sehingga ( + maka

. Dengan demikian terbuka.

maka jelas

- sedemikian sehingga

himpunan terbuka, maka terdapat . Dipilih

terbuka. Jika

(

( )

)

)

(

) dengan

⋂

(

)

.


Titik interior dari suatu himpunan akan dibahas pada definisi 2.1.12. Dari definisi 2.1.12 diturunkan teorema 2.1.5 yang menunjukkan keterkaitan antara titik interior dengan himpunan terbuka. Definisi 2.1.12 (Shirali dan Vasudeva, 2006:69) himpunan bagian dari ruang metrik (

Misalkan interior

). Titik

jika terdapat bola buka dengan pusat

(

)

untuk suatu ( )

dinotasikan

di

disebut titik

sedemikian sehingga

Himpunan semua titik interior

*

(

)

+.

untuk suatu

Contoh 2.1.11 *(

Diketahui

)

+,

dan didefinisikan ( (

)

(

)

|

|

)

(

|

. Titik

|

)

|

(

dengan | dengan

) adalah titik

interior . Bukti : Jelas bahwa ( ( |

)

)

( |

)

|

sebab dengan

|

. Ambil sebarang

. Menurut definisi

dipilih (

dengan (

|

|

|

|

) |

|

)

). Akan dibuktikan .

|

(

maka

/ perhatikan bahwa |

|

|

|

| .

/


, dengan cara yang sama diperoleh

dan

yang berarti ( .

)

. Kemudian . Dengan demikian

/

Teorema 2.1.5 (Shirali dan Vasudeva, 2006:69) Diberikan ()

himpunan bagian dari ruang metrik (

).

adalah himpunan bagian terbuka dari

yang memuat setiap

himpunan bagian terbuka dari . ( )

terbuka jika dan hanya jika

.

Bukti : ( ) Diberikan sebarang

. Menurut definisi terdapat bola buka (

. Berdasarkan teorema 2.1.3 ( di (

) adalah himpunan terbuka, setiap titik

) merupakan titik pusat dari bola buka dalam (

dalam . Oleh karena itu setiap titik dalam ( maka (

)

. Karena dan

. Dengan demikian dan (

) dan juga di

) adalah titik interior

adalah titik pusat bola buka dalam berarti bahwa

terbuka. Misalkan

adalah himpunan terbuka. Ambil sebarang

terdapat bola buka ( Berarti bahwa

)

)

)

. Jadi menurut definisi 2.1.12 dengan kata lain

.

maka .


( ) Diketahui

terbuka. Berdasarkan ( ) diperoleh bahwa

yang berarti bahwa

Diketahui yang artinya Suatu titik di

dan

.

, seperti halnya pada ( ) diperoleh bahwa

terbuka

juga terbuka. disebut sebagai titik limit jika memenuhi definisi 2.1.13.

Jika setiap titik limit dari suatu himpunan adalah himpunan bagian dari himpunan tersebut, maka himpunan itu dikatakan himpunan tertutup. Lebih jelasnya himpunan tertutup didefinisikan pada definisi 2.1.14. Teorema 2.1.6 mengatakan hubungan antar himpunan terbuka dan himpunan tertutup. Melalui teorema 2.1.6 ini dapat diketahui bahwa jika suatu himpunan adalah tertutup maka komplemennya terbuka, demikian pula jika komplemen suatu himpunan adalah terbuka maka himpunannya tertutup. Dengan kata lain berlaku biimplikasi antara himpunan dan komplemen himpunannya. Definisi 2.1.13 (Shirali dan Vasudeva, 2006:70) Diberikan ruang metrik

dan

. Titik

setiap bola buka dengan titik pusat

disebut titik limit

jika

memuat setidaknya satu titik yang

berbeda dengan

di , dengan kata lain ( (

semua titik limit

dinotasikan dengan

.

)

* +) ⋂

. Himpunan


Definisi 2.1.14 (Shirali dan Vasudeva, 2006:71) Himpunan bagian

dari ruang metrik (

) dikatakan tertutup jika

setiap titik limitnya dengan kata lain

memuat

.

Teorema 2.1.6 (Shirali dan Vasudeva, 2006:74) Diberikan ruang metrik (

) dan

.

tertutup di

jika dan hanya jika

terbuka di . Bukti : Andaikan

tertutup di , akan dibuktikan

terbuka di

. Jika

maka

dan merupakan himpunan terbuka menurut teorema 2.1.4. Asumsikan bahwa dan

. Ambil sebarang maka

sehingga (

bukan titik limit

)

maka

. Karena

sehingga terdapat

. Oleh karena itu (

)

tertutup sedemikian

yang berarti bahwa

terbuka. Sebaliknya, andaikan

terbuka akan dibuktikan

titik limit . Andaikan bahwa terdapat

sehingga (

bukan titik limit

)

maka

tertutup. Ambil . Karena

yang berarti (

, kontradiksi dengan

titik limit

)

dan

terbuka maka . Akibatnya

. Sehingga haruslah

. Seperti halnya pada himpunan terbuka. Pada terorema 2.1.7 di bawah ini menunjukkan keterkaitan antar himpunan-himpunan tertutup dimana gabungan himpunan-himpunan tertutup merupakan himpunan tertutup, demikian juga untuk irisan himpunan-himpunan tertutup juga merupakan himpunan tertutup.


Gabungan himpunan dengan himpunan titik limitnya disebut sebagai closure (penutup). Lebih jelasnya, pada definisi 2.1.15 didefinisikan closure dari suatu himpunan. Teorema 2.1.7 (Shirali dan Vasudeva, 2006:74) Diberikan ruang metrik ( ()

dan

) maka

adalah himpunan tertutup

( ) Irisan dari himpunan-himpunan tertutup adalah tertutup ( ) Gabungan berhingga dari himpunan-himpunan tertutup adalah tertutup Bukti : ( ) Himpunan kosong tidak memuat titik di dalamnya, syarat bahwa himpunan tertutup memuat semua titik limitnya terpenuhi oleh himpunan kosong. Sebarang ruang memuat semua titik, berarti bahwa memuat semua titik limitnya. ( ) Diberikan himpunan * + keluarga himpunan tertutup di Menurut teorema 2.1.6,

tertutup jika

dan

⋂

.

terbuka. Dengan hukum De

Morgan (⋂ Diketahui

)

⋃

tertutup, menurut teorema 2.1.6

terbuka. Dengan teorema 2.1.4 ( ) ⋃ sehingga

terbuka.

adalah himpunan

adalah himpunan terbuka


( )Diberikan

keluarga

*

berhingga

+ dan misalkan

tertutup jika

⋃

)

. Menurut teorema 2.1.6

⋂

untuk setiap

teorema 2.1.6

adalah tertutup maka menurut

untuk setiap

adalah terbuka. Dengan

menggunakan teorema 2.1.4 ( ) ⋂ ⋂

Karena

tertutup

terbuka. Dengan hukum De Morgan diperoleh

(⋃ Diketahui

himpunan-himpunan

maka

adalah himpunan terbuka.

terbuka sehingga

tertutup.

Definisi 2.1.15 (Shirali dan Vasudeva, 2006:72) Misalkan

himpunan bagian dari ruang metrik (

). Himpunan

dan dinotasikan dengan ̅ .

disebut closure (penutup) dari Contoh 2.1.12 Diberikan ruang metrik ( dengan

2

)

adalah jarak Euclides di 3. Titik limit

dan himpunan

adalah 2, maka ̅

* +.

Sebelum mempelajari tentang ruang metrik yang kompak perlu diketahui terlebih dahulu tentang selimut. Pada definisi 2.1.16 didefinisikan suatu selimut terbuka dari ruang metrik. Definisi 2.1.16 (Shirali dan Vasudeva, 2006:84) Diberikan ruang metrik ( Jika untuk setiap

) dan

adalah keluarga himpunan terbuka di

terdapat suatu anggota

.

sedemikian sehingga


, maka

disebut selimut terbuka dari

merupakan selimut terbuka dari

. Keluarga bagian dari

yang

disebut selimut bagian.

Contoh 2.1.13 Gabungan *

(

keluarga )(

interval-interval

)(

)(

)

terbuka

pada

+ adalah selimut terbuka di .

Definisi 2.1.17 (Shirali dan Vasudeva, 2006:171) Ruang metrik (

) dikatakan kompak jika setiap selimut terbuka

dari

mempunyai suatu selimut bagian berhingga yaitu keluarga bagian berhingga *

+

⋃

sedemikian sehingga

.

Contoh 2.1.14 Diberikan

himpunan bagian terbatas dari ruang metrik (

).

adalah

himpunan kompak Bukti : Misalkan *

* + maka

+ dan ⋃

selimut terbuka dari

. Untuk

. Demikian juga untuk

ada

Berlaku seterusnya hingga untuk

ada

, sedemikian sehingga

, sedemikian sehingga ada

kompak.

}. Kerena

.

sedemikian sehingga

. Dengan demikian diperoleh keluarga bagian dari {

dengan

yaitu

memuat selimut bagian berhingga

maka


Definisi 2.1.18 (Shirali dan Vasudeva, 2006:76) Diberikan ruang metrik (

) dan

himpunan bagian tak kosong dari

dikatakan terbatas jika terdapat

(

sedemikian sehingga

.

)

. Definisi 2.1.18 mendefinisikan tentang keterbatasan suatu himpunan. Himpunan yang terbatas adalah himpunan yang memiliki nilai maksimum untuk setiap titik-titik pada himpunannya. Nilai maksimum jarak dalam definisi 2.1.18 ditandakan dengan suatu konstantan real

. Selanjutnya, melalui

teorema 2.1.8 ditunjukkan bahwa himpunan kompak dari suatu ruang metrik adalah tertutup dan terbatas. Melalui teorema 2.1.8 ini secara tidak langsung menunjukkan bahwa adanya keterkaitan antara kekompakan, ketertutupan, dan keterbatasan dari suatu himpunan. Teorema 2.1.8 (Shirali dan Vasudeva, 2006:172) Diberikan ruang metrik ( (

) maka

) dan

. Jika

himpunan kompak dari

tertutup dan terbatas.

Bukti : Diberikan himpunan bagian kompak

dari ruang metrik (

) dan

. Untuk suatu bilangan real positif ( ) dipilih ( ) terdapat (

bola buka

( ))

(

( ))

(

( )) dan . Jelas bahwa

himpunan kompak maka terdapat ⋃

(

( )). Untuk setiap

(

,

(

) maka

( )) sedemikian

sehingga

( )).

adalah

⋃

(

sedemikian sehingga bola buka

(

( ))


maka

( ))

(

memenuhi

dalam *

suatu

( ))

+ dan

semua titik di

Selanjutnya akan dibuktikan

(

)

di

(

( )) untuk

( )). Akibatnya (

( ))

( ))

( (

( )) . Akibatnya

tertutup. terbatas. Jika

tidak terbatas maka

sedemikian sehingga untuk sebarang bilangan positif

,

. Mengingat kembali untuk titik pusat bola buka di , untuk ⋃

jelas bahwa

sedemikian sehingga }. Terdapat Karena

(

). Karena

kompak maka terdapat

⋃

(

). Misalkan

dan

di

sedemikian sehingga

maka terdapat

( (

(

yang dapat menjadi titik limit di

titik limit , sehingga

dan

. Selanjutnya

maka

maka kontradiksi dengan

sehingga tidak ada titik di

terdapat

yang memuat

. Jika

( ))

(

⋂

. Misalkan

himpunan bagian terbuka dari

dibuktikan bahwa

(

( ))

(

dan

{ (

sedemikian sehingga

). Menurut ketaksamaan segitiga diperoleh )

(

)

(

. Kontradiksi dengan

(

( )

)

) )

.

(

) dan (

)

, sehingga

terbatas. B. Ruang Fraktal Pembahasan sebelumnya mempelajari ruang metrik dengan himpunanhimpunan di

yang dilengkapi dengan metrik

, dan dengan beberapa

aturan menjadi ruang metrik kompak. Pada pembahasan kali ini akan dibahas


gabungan dari himpunan-himpunan kompak yang membentuk suatu ruang. Ruang tersebut dilengkapi dengan metrik yang dinamakan metrik/jarak Hausdorff. Ruang yang terbentuk dengan gabungan himpunan-himpunan kompak yang dilengkapi dengan metrik Hausdorff tersebut dinamakan ruang ( ) yang merupakan

Fraktal. Pada definisi 2.2.1 berikut ini didefinisikan

ruang yang titik-titiknya (elemen-elemennya) merupakan himpunan bagian tak kosong yang kompak. Pada definisi 2.1.1 telah didefinisikan

sebagai metrik pada

ruang fraktal himpunan yang dipakai bukan lagi

tetapi

. Pada

( ) yang telah

( ) berbeda dengan jarak

disinggung sebelumnya. Konsep jarak/metrik pada

pada . Definisi 2.2.2, 2.2.3, dan 2.2.4 mendefinisikan tentang pengertian jarak ( ). Dari definisi-definisi jarak pada

pada

teorema yang menyatakan dalam

ada

( ) ini, diturunkanlah suatu

adalah suatu metrik pada

sebagai metrik maka di dalam

( ) ada

( ). Sehingga, jika sebagai metriknya.

Definisi 2.2.1 (Barnsley, 1988:30) Misalkan (

) adalah ruang metrik lengkap. Kemudian

( ) didefinisikan

sebagai ruang yang titik-titiknya adalah himpunan bagian yang kompak dari yang tak kosong. Definisi 2.2.2 (Barnsley, 1988:30) Diberikan ruang metrik lengkap ( (

)

himpunan

* ( .

)

),

+ kemudian (

dan

( ) didefinisikan

) disebut jarak dari titik

ke


Definisi 2.2.3 (Barnsley, 1988:31)

* (

)

+.

(

(

( ) didefinisikan

Diberikan ruang metrik lengkap dan

) adalah jarak dari himpunan

) ( ) ke

( ).

himpunan Contoh 2.2.1 Tentukan (

) jika (

2

(

) adalah (

) dengan

jarak Euclides,

dan

3⋃ * +

)

Penyelesaian : Infimum dari

dicapai ketika

. Jadi (

yaitu

)

. Contoh 2.2.2 Diketahui (

) ruang metrik lengkap. Buktikan bahwa jika

maka (

)

(

)

(

( )

)

Bukti : (

)

(

* (

)

* (

)

)

(

+ +

* (

)

+

)

Definisi 2.2.4 (Barnsley, 1988:34) Diberikan ruang metrik lengkap (

). Jarak Hausdorff antara titik

( ) didefinisikan oleh (

)

(

)

(

)

* (

) (

)+

dan

di


Teorema 2.2.1 (Edgar, 2008:72) Diberikan ruang metrik . Fungsi Hausdorff

adalah metrik pada

( ).

Bukti : metrik jika memenuhi aksioma-aksioma pada definisi 2.1.1. Maka akan dibuktikan ()

memenuhi aksioma-aksioma tersebut.

(

)

* (

( ) Untuk

) (

maka terdapat . (

)

* (

)+ sehingga

(

)

* (

(

)

* (

) (

)+ dan (

( ) (

)

* (

) (

)+

(

)

(

( Jadi (

)

juga bahwa (

)

)

)

)

. Karena )

* (

)

(

)

+ (

)

maka

* (

)

* (

)

* (

)

)

(

* (

)

)

(

(

+ (

+

+

* (

+

* (

(

)

+

(

) dengan cara yang sama akan diperoleh

)

*( (

+

)

Selanjutnya akan dibuktikan ( * (

)

)

) )

)

(

)

)

maka (

)

(

. Jadi jelas bahwa

+ maka (

(

)

(

)+

dan

( ) Akan dibuktikan terlebih dahulu bahwa ( Ambil sebarang

) (

) ( )

) (

)

(

)

)+ (

)) ( (

)

(

))+


* ( (

)

) ( (

)+

* (

)+

)

Berdasar ( ) ( ) ( ) dan ( ) terbukti bahwa Himpunan

) (

metrik di

( ) yang dilengkapi dengan metrik

( ).

atau dinotasikan

dengan ( ( ) ) ini disebut sebagai ruang fraktal. C. Transformasi Transformasi menjadi salah satu bagian yang penting dari Geometri Fraktal. Secara khusus geometri fraktal dicirikan dengan transformasi Afin. Pada bagian ini juga akan dibahas tentang similaritas. Similaritas dan Afin menjadi sifat utama dari fraktal. Bangun fraktal seperti : Segitiga Sierpinski dan Kurva Salju Von Koch dapat dibentuk melalui dua sifat ini. Sifat inilah yang menyebabkan suatu bangun fraktal mempunyai kemiripan diri di setiap skala. a. Transformasi Afin Transformasi Afin di

diperoleh dengan menerapkan transformasi

linear dan diikuti dengan translasi. Transformasi Afin melibatkan beberapa macam transformasi diantaranya : rotasi, translasi, dilatasi dan refleksi. Gabungan dari transformasi tersebut membentuk transformasi baru yang disebut dengan transformasi Afin. Sebelum membahas tentang transformsi Afin, pada definisi 2.3.1 didefinisikan suatu transformasi dari

ke

.

Definisi 2.3.2 mendefinisikan suatu translasi yang perlu untuk diketahui sebelum mempelajari transformasi Afin.


Definisi 2.3.1 (Crownover, 1995:62) Suatu transformasi dari memenuhi (

ke

)

adalah suatu pemetaan

( )

( ) untuk setiap

yang

dan skalar

Contoh 2.3.1 Sebuah contoh transformasi linear di bidang (

)

(

),

Jika disajikan dalam bentuk matriks sebagai berikut : .0 1/

0

10 1

Definisi 2.3.2 (Crownover, 1995:64) Translasi pada dengan

adalah pemetaan dengan bentuk ( )

,

adalah ketetapan atau vektor konstan.

Berdasarkan pembahasan sebelumnya, setiap transformasi Afin pada

dapat direpresentasikan dengan matriks vektor sebagai berikut ( )

Dalam

,

menjadi .0 1/

[

]0 1

0 1

Berikut ini adalah suatu gambar yang menunjukkan ilustrasi transformasi Afin.



Gambar 2.1 Contoh Afinitas

b. Similaritas Ciri khas lain dari Geometri Fraktal selain Afin diri adalah similaritas atau kesebangunan. Sebelum membahas tentang similaritas terlebih dahulu perlu diketahui tentang pengertian Isometri. Similaritas lekat kaitannya dengan isometri. Kemiripan (similaritas) penting untuk mengkonstruksi bangun fraktal. Definisi 2.3.3 (Crownover, 1995:65) disebut isometri jika memenuhi | ( )

Transformasi ( )|

|

|,

.

Definisi 2.3.4 (Crownover, 1995:67) Suatu transformasi

disebut similar dengan rasio similaritas

jika memenuhi syarat berikut | ( )

( )|

|

|

Berikut ini adalah definisi similar untuk suatu transformasi di

.

Definisi 2.3.5 (Barnsley, 1988:54) Suatu transformasi

disebut similar jika

yang mempunyai salah satu dari bentuk

transformasi afin


Untuk translasi ( .

0 1

0

10 1

0 1

0 1

0

10 1

0 1

)

, bilangan real

disebut rotasi sudut sedangkan

, dan sudut

dengan

adalah skala. Transformasi

linear 0 1

0

10 1

adalah suatu rotasi. Transformasi linear 0 1

0

10 1

adalah suatu pencerminan. Berikut ini adalah suatu gambar yang menunjukkan transformasi dan similaritas yang dapat dilakukan untuk suatu gambar

(Sumber : Barnsley, 1988)

Gambar 2.2 Contoh Similaritas


D. Sistem Fungsi Iterasi Konstruksi bangun fraktal tidak cukup dilakukan hanya dengan satu fungsi. Pembentukan (konstruksi) bangun fraktal membutuhkan banyak fungsi. Kumpulan fungsi-fungsi yang membentuk suatu bangun fraktal inilah yang disebut dengan Iterated Function System (IFS) atau Sistem Fungsi Iterasi. Sistem Fungsi Iterasi atau disingkat SFI terdiri dari himpunan berhingga pemetaan-pemetaan kontraksi. Berikut ini pada definisi 2.4.1 didefinisikan terlebih dahulu tentang invarian (titik tetap). Suatu titik dalam ruang metrik yang jika ditransformasikan menghasilkan titik itu sendiri disebut titik tetap. Selanjutnya pada definisi 2.4.2 menjelaskan tentang pemetaan kontraksi secara umum. Pemetaan kontraksi inilah yang akan membentuk Sistem Fungsi Iterasi. Definisi 2.4.1 (Barnsley, 1988:73) Misalkan

merupakan transformasi pada ruang metrik. Titik

sedemikian sehingga ( )

disebut titik tetap.

Contoh 2.4.1 Diketahui suatu pemetaan

dengan

dan

( )

. Carilah

titik tetap ( ). Jawab : Misalkan titik tetap dari

( ) adalah

Selanjutnya diperoleh bahwa

maka berlaku

yang berarti bahwa

( ) . Sehingga,

.


titik tetap ( ) adalah

dan

.

Definisi 2.4.2 (Barnsley, 1988:75) pada ruang metrik (

Transformasi pemetaan

kontraktif

( ( ) ( )) kontraksi

jika (

) disebut kontraktif atau

terdapat

)

sedemikian Sebarang bilangan

sehingga

disebut faktor

.

Contoh 2.4.1 pada ruang metrik (

Misalkan transformasi

adalah metrik Euclid. Pemetaan tunjukkanlah bahwa

),

didefinisikan oleh

dengan ( )

,

pemetaan kontraktif.

Bukti : Untuk menunjukkan bahwa ditunjukkan

adalah pemetaan kontraktif maka perlu

( ( ) ( ))

Ambil sebarang titik pada

(

)

dengan

misalkan titik

dan . Metrik

Euclid maka ( ( ) ( ))

((

)

(

) (

)

(

))

. adalah metrik


dengan

terbukti

sehingga,

( ( ) ( ))

bahwa

(

)

adalah pemetaan kontraktif.

Berikut ini adalah suatu teorema yang menunjukkan hubungan antara pemetaaan kontraksi dengan titik tetap. Teorema 2.4.1 (Barnsley, 1988:76) pemetaan kontraksi pada ruang metrik lengkap (

Misalkan Maka

memiliki tepat satu titik tetap , barisan *

).

dan bahkan untuk sebarang titik

( )

+ konvergen ke

. Atau berlaku

( ) Bukti : Diberikan barisan *

+ dengan

( ) dengan

dan

. Berdasarkan ketidaksamaan segitiga berlaku adalah pemetaan kontraktif, maka untuk (

)

berlaku ( )

(

(

. .

(

( )) )(

(

)(

(

(

)

)(

)

(

)(

))

)/

)(

)/

(

)

Diperoleh .

( )/

(

( ))

( ( )

( ))

.

( )

( )/


( ))

(

(

( ))(

(

( ))(

(

( ))

) )

diperoleh (

Untuk setiap

( )

( ))

dipilih

Untuk (

( ))

, sehingga *

( )

(

dibuktikan bahwa

adalah titik tetap .

dengan

( ) dan

Diperoleh bahwa (

asumsi bahwa

( )) lengkap

)

( )

adalah tunggal. Misalkan ada titik

. Karena

dan

adalah titik tetap maka

( ). (

)

.

. Selanjutnya akan

(

( )/

Akan dibuktikan juga bahwa titik tetap tetap lain yaitu

(

+ merupakan barisan Cauchy. Karena

+ mempunyai titik limit

.

( ))

(

( ))

barisan Cauchy *

( )

( ))

(

sedemikian sehingga

, diperoleh

maka (

( ))

(

( ))

(

Maka untuk

( ))

(

) ) (

. ( ) ( )/ )

, karena

yang berarti bahwaa sehingga titik tetap

(

) dan (

)

. Terjadi kontradiksi dengan adalah tunggal.


Berikut ini adalah Lemma 2.4.1 yang menyatakan hubungan antara pemetaan kontraksi dengan kekontinuan dari suatu fungsi. Jika suatu pemetaan kontraksi pada ruang metrik maka dari suatu fungsi pada ruang metrik (

adalah

kontinu. Kekontinuan

), juga mengakibatkan fungsi yang

( ) kedirinya sendiri. Lemma 2.4.2 menunjukkan hal

akan memetakan

tersebut. Pada definisi 2.4.2 telah didefinisikan suatu pemetaan kontraksi pada (

). Pada Lemma 2.4.3 menunjukkan pemetaan kontraksi pada

( ( ) ( )) sebagai akibat dari Lemma 2.4.1 dan Lemma 2.4.2. Lemma 2.4.1 (Barnsley, 1988:80) adalah pemetaan kontraksi pada ruang metrik (

Misalkan Maka

).

kontinu.

Bukti : Diberikan

misalkan

sedemikian sehingga ( ( ( )

( ))

(

adalah fraktor kontraksi )

)

Dipilih

. Terdapat maka diperoleh

.

Lemma 2.4.2 (Barnsley, 1988:80) Misalkan

adalah pemetaan kontinu pada ruang metrik (

maka

( ) ke dirinya sendiri.

memetakan

),

Bukti : Misalkan ( )

adalah himpunan bagian tak kosong dari

* ( )

Misalkan *

yang kompak. Maka

+ tidak kosong. Akan ditunjukkan bahwa (

)+ adalah barisan tak hingga di

( ) kompak.

. Maka *

+ juga


kompak maka tedapat subbarisan {

barisan tak hingga di . Karena yang konvergen ke titik (

}

kontinu maka {

Tetapi karena

)} adalah subbarisan * + yang konvergen ke

( )

( ).

( ) kompak.

Sehingga

Lemma 2.4.3 (Barnsley, 1988:80) adalah pemetaan kontraksi pada ruang metrik (

Misalkan

dengan faktor kontraksi dengan

( )

* ( )

( )

. Maka +

( ) yang didefinisikan

( ) adalah pemetaan kontraksi pada

( ( ) ( )) dengan faktor kontraksi . Bukti : Berdasarkan Lemma 2.4.1 memetakan

kontinu dan berdasarkan Lema 2.4.2

( ) ke dirinya sendiri. Misalkan

( ( )

( ))

{

{ ( ( )

*

*

(

)

( ))

. ( ( ) ( ( (

)

( ) maka. ( ))

(

Dengan cara yang sama diperoleh ( ( ) ( ( )

)

)

} +

( ))

) (

+

(

( )) ( ( ) ))

}

) akibatnya ( ))/


Definisi 2.4.3 (Barnsley, 1988:82) Sistem Fungsi Iterasi terdiri atas ruang metrik lengkap ( himpunan berhingga pemetaan kontraksi faktor kontraksinya adalah

yang masing-masing

dengan

. Sistem Fungsi Iterasi

atau disingkat SFI dinotasikan dengan * kontraksinya

*

) dengan

+ dan faktor

+.

Untuk mengkonstruksi bangun fraktal ada dua algoritma yang digunakan. Kedua algoritma untuk mengkonstruksi bangun fraktal yaitu Random Iteration Algorithm (Algoritma Random Iterasi) dan Deterministic Algorithm (Algoritma Deterministik). Kedua algoritma ini tidak dibahas secara mendalam karena penelitian ini bukan membentuk/mengkonstruksi bangun fraktal, namun menganalisis bangun fraktal yang sudah ada. Untuk menunjukkan perbedaan keduanya berikut ini disajikan gambar 2.3 sebagai ilustrasi dari dua algoritma tersebut.

(Sumber : Crownover, 1995)

Gambar 2.3 (a) Ilustrasi algoritma Deterministik untuk Segitiga Sierpinski

(Sumber : Crownover, 1995)

Gambar 2.3 (b) Ilustrasi algoritma Random Iterasi untuk Segitiga Sierpinski


Contoh 2.4.2 Untuk mengkonstruksi bangun fraktal Segitiga Sierpinski seperti pada gambar 2.3 dibutuhkan Sistem Fungsi Iterasi seperti berikut ini. 0 1 [

]0 1

0 1 [

]0 1

0

0 1 [

]0 1

[

1 ]

Sehingga, SFI untuk Segitiga Sierpinski gambar 2.3 adalah * + dengan fraktor kontraksi

.

Contoh 2.4.3 Untuk mengkonstruksi bangun fraktal Kurva Koch seperti pada gambar 1.1 (b) dibutuhkan Sistem Fungsi Iterasi seperti berikut ini. 0 1

0

10 1

0 1

[

]0 1

0

1

0 1

[

]0 1

[

]

0 1

0

10 1

0

1

Sehingga, SFI untuk Kurva Koch pada gambar 1.1 (b) adalah * + dengan fraktor kontraksi

.


BAB III ANALISIS FRAKTAL Analisis Fraktal dilakukan dengan menggunakan teori Regresi Linear dan Dimensi Fraktal. Langkah awal dari analisis fraktal adalah menentukan dimensi fraktal dari suatu bangun fraktal. Pada bab ini dibahas dua metode untuk menentukan dimensi fraktal yaitu metode dimensi Hausdorff dan metode dimensi Kotak. Persamaan garis regresi diperlukan untuk menentukan dimensi fraktal dengan metode dimensi Kotak. Gradien dari persamaan garis regresi inilah yang menjadi dimensi fraktalnya. Untuk membantu menentukan dimensi fraktal dari citra digital, pada penelitian ini digunakan program yang dibuat dalam MATLAB. A. Regresi Linear Penelitian yang melibatkan data statistik ada kalanya membutuhkan untuk diketahuinya hubungan antar variabel. Misalkan variabel akan diselidiki apakah variabel

dan variabel

,

yang diperoleh dari penelitian mempunyai

hubungan dengan variabel . Hubungan yang dimaksud adalah seberapa besar pengaruh variabel

terhadap variabel

sebagai variabel bebas, dan variabel penelitian yaitu

dan

. Pada kasus ini variabel

disebut

adalah variabel terikat. Variabel hasil

jika direpresentasikan sebagai sebuah titik (

)

kemudian digambarkan dalam bidang kartesius akan membentuk suatu pola. Pola titik-titik yang menyerupai garis lurus atau dengan kata lain mempunyai hubungan linear, disebut dengan Regresi Linear. Regresi Linear membantu

49


mencari nilai prediksi bagi , sehingga dengan hanya mengetahui nilai

akan

dapat diprediksi besar nilai . Definisi 3.1.1 (Walpole, et. al., 2012:396) Persamaan Garis Regresi ditentukan oleh : ̂ dengan

dan

adalah koefisien regresi, ∑

(∑ ∑

∑

( ∑

̅ )( (

∑

̅

dan

)(∑ (∑ )

ditentukan oleh )

̅) ̅)

∑

̅

Dengan : banyaknya pengamatan : nilai variabel

pengamatan ke-

: nilai variabel

pengamatan ke-

̅ : rata-rata ̅ : rata-rata Sebuah pengamatan tak lepas dari adanya nilai error atau galat. Nilai error yang dibandingkan dengan data sampel disebut dengan nilai residual. Definisi 3.1.2 memberikan arti bagi nilai residual yang ditentukan oleh nilai pengamatan dikurangi dengan nilai prediksi. Pada pembahasan berikutnya terutama dalam menentukan dimensi dengan metode Dimensi Kotak


diperlukan sebuah data. Nilai residual memberikan arti seberapa akuratnya prediksi suatu variabel terikat terhadap variabel bebas. Definisi 3.1.2 (Walpole, et. al., 2012:395) Diberikan himpunan data regresi *( garis regresi ̂

)

residual kedan ̂

+ dan persamaan didefinisikan dengan

̂

.

Contoh 3.1.1 Misalkan diberikan data seperti pada tabel 3.1 berikut ini : Tabel 3.1 Contoh data hasil penelitian

2 5 8 12 15

5 6 8 15 16

Berdasarkan penghitungan diperoleh bahwa persamaan garis regresi dari data 3.1 adalah ̂

. Nilai residual untuk prediksi nilai

pada tabel 3.2 berikut ini : Tabel 3.2 Nilai residual dari contoh data hasil penelitian

2 5 8 12 15

5 6 8 15 16

̂ 3,9048 6,7620 9,6192 13,4288 16,2860

1,0952 -0,7620 -1,6192 1,5712 -0,2860

disajikan


B. Dimensi Fraktal Dimensi adalah suatu ukuran dari suatu objek. Bangun Fraktal adalah bangun geometri yang memiliki dimensi tak harus bulat atau biasa dikatakan dengan dimensi fraktal. Semakin besar dimensi fraktalnya menunjukkan semakin besar pula tingkat kepadatannya. Sebaliknya, semakin kecil dimensinya menunjukkan semakin kecil tingkat kepadatannya. Ada beberapa cara untuk menentukan dimensi Fraktal dari bangun Fraktal. Pada pembahasan ini akan dibahas dua metode yaitu Dimensi Hausdorff-Besicovitch dan Dimensi Kotak. a. Dimensi Hausdorf-Besicovitch Dimensi Hausdorff-Besicovitch dari himpunan bagian terbatas dari adalah bilangan real yang dapat digunakan untuk mengkarakteristikkan komplektisitas geometri dari himpunan bagian terbatas di

(Barnsley,

1988:200). Sebelum membahas tentang dimensi Hausdorff pada definisi 3.2.1 didefinisikan terlebih dahulu tentang selimut. Definisi 3.2.1 (Falconer, 2003:27) Misalkan (

) adalah ruang metrik dengan

adalah metrik Euclid

. Jika * + adalah koleksi berhingga dari himpunan-himpunan yang menyelimuti

yaitu

dengan | |

*|

dari .

⋃ |

dengan

| |

untuk setiap

+, maka * + disebut selimut-


Definisi 3.2.2 (Falconer, 2003:27) Misalkan

adalah himpunan bagian

dan

. Untuk sebarang

didefinisikan ( )

{∑| |

* + adalah selimut

dari }

( ) untuk

Dari definisi 3.2.2 dengan mengambil limit

diperoleh

definisi 3.2.3 yaitu tentang ukuran Hausdorff. Definisi 3.2.3 (Falconer, 2003:27) Misalkan s dari

himpunan bagian dari

dan

ukuran Hausdorff dimensi-

didefinisikan sebagai ( )

( )

Berikut ini pada teorema 3.2.1 menjelaskan hubungan antara pemetaan kontraksi dengan ukuran Hausdorff. Teorema 3.2.1 (Murwani, 2006:50) Jika berlaku

merupakan pemetaan kontraksi maka untuk ( ( ))

,

( ).

Bukti : Ambil sebarang

, misalkan * + adalah selimut-

adalah selimut- dari ( ) diperoleh | |

*|

|

*| ( ) * |

( )+ +

( )| |

+

dari

dan * +


*|

|

+

| | Diperoleh bahwa | |

| | sehingga ∑| |

| |

∑

{∑| | }

{∑

{∑| | }

| | }

{∑| | }

( ( ))

( )

Dengan mengambil limit kedua ruas untuk

( ( ))

diperoleh

( ). Berikut ini pada definisi 3.2.4 didefinisikan dimensi Hausdorff. Dimensi Hausdorff merupakan suatu konstanta real yang tak negatif. Suatu bilangan real tak negatif disebut dimensi Hausdorff dari ( )

*

( )

+

*

( )

jika memenuhi +.

Definisi 3.2.4 (Falconer, 2003:31) Misalkan

dimensi Hausdorff-Besicovitch dari

didefinisikan sebagai ( )

2

jika ika

( ) ( )

yaitu

( )


b. Dimensi Kotak Dimensi Kotak merupakan salah satu metode dalam menentukan dimensi Fraktal. Gagasan mendasar dari metode dimensi Kotak ini adalah pengukuran pada skala . Objek yang akan dicari dimensinya dibagi-bagi dalam kotak-kotak persegi (grid) berukuran

sebagai selimut dari objek,

kemudian dihitung banyaknya kotak yang memuat objek tersebut. Selanjutnya dilihat perilaku pengukuran untuk misalkan

adalah kurva pada bidang datar, maka

kotak yang menyelimuti dipenuhi oleh

. Dimensi

( ) untuk

. Sebagai contoh, ( ) adalah banyaknya

ditentukan oleh power law yang

(Falconer, 2003:39). Jika ( )

Untuk konstantan dengan

dan ,

dikatakan mempunyai dimensi pembagi

dianggap sebagai panjang dimensi-s dari

. Dengan mengambil

logaritma diperoleh ( ) hal Ini berarti bahwa selisih antara kedua ruas mendekati

dan berlaku

( )

karena

maka diperoleh ( )

Berikut ini pada definisi 3.2.5 didefinisikan dimensi kotak atas yang diperoleh dari nilai supremum dan dimensi kotak bawah yang diperoleh dari


nilai infimum. Jika nilai keduanya sama maka nilai itulah yang akan menjadi dimensi fraktalnya. Definisi 3.2.5 (Falconer, 2003:41) Misalkan

adalah himpunan terbatas dengan

dan

minimum banyaknya himpunan dengan diameter

( ) adalah

yang dapat menyelimuti

. Dimensi kotak bawah dan dimensi kotak atas dari

didefinisikan sebagai

( )

( )

Jika

maka nilai yang sama tersebut disebut sebagai

dimensi kotak ( )

Untuk melihat hubungan antara dimensi Hausdorff dan dimensi kotak, berikut ini disajikan dua teorema yang menunjukkan hubungan keduanya. Teorema 3.2.4 secara umum menunjukkan bahwa dimensi hausdorff kurang dari atau sama dengan dimensi kotak bawah. Sedangkan, pada teorema 3.2.5 menunjukkan bahwa dalam kasus tertentu dimensi hausdorff akan sama dengan dimensi kotak. Teorema 3.2.4 (Murwani, 2006:60) Untuk setiap

, berlaku


Bukti : Jika

, maka jelas bahwa

. Misalkan

akan ditunjukkan bahwa

. Karena ( )

berdasarkan definisi 3.2.4 diselimuti oleh

( ) dengan himpunan berdiameter

definisi 3.2.2 berlaku cukup kecil maka

( )

( )

( )

( )

maka . Jika

dapat

, maka menurut

. Dengan diambil

yang

diperoleh ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

dengan mengambil limit untuk

diperoleh ( )

terbukti bahwa Teorema 3.2.5 (Murwani, 2006:61) Misalkan

dengan

kontraksi dengan konstanta kontraksi pemetaan ∑

, maka .

( )

adalah

pemetaan

. Jika

adalah titik tetap dari

( )

dengan

memenuhi


Bukti : Ambil

sedemikian ( )

( )

sehingga

kotak (grid) yang dapat memuat ( ( ))

(

( ( ))

( )).

merupakan

, maka (

( )

( ))

dan memenuhi ∑ ( )

Selanjutnyaakan dibuktikan bahwa dan

adalah selimut- dari

. Misalkan

( ( ))

∑

( )

, maka ∑

( ( ))

∑

( )

barisan * + merupakan selimut- dari ( ), maka | | | | ∑| |

∑

. adalah

( ). Dengan Teorema 3.2.1

( ) maka ∑

Karena ∑

( ( ))

)

Dari persamaan di atas, maka

( ( ))

Karena

( ( ))

(

selimut- dari

( )

, maka

pemetaan kontraksi dengan konstanta ( )

( )

( ) adalah jumlah minimum kotak-

saling asing. Jika

( ( ))

( )


Infimum dari

( ( )) tidak akan melebihi anggotanya maka ( ( ))

∑| |

dengan mengambil limit untuk

∑

maka

( ( )) Sehingga diperoleh ( ) ( )

Jadi,

∑

, dengan demikian

( ( )) ( )

( )

.

c. Dimensi Fraktal dari Beberapa Bangun Fraktal Berikut ini akan dibahas cara menentukan dimensi Fraktal dari beberapa bangun Fraktal. Dimensi Fraktal secara khusus dicari dengan metode Dimensi Kotak, hal ini karena metode dimensi kotak dinilai lebih mudah diterapkan. 1.

Himpunan Cantor Himpunan Cantor merupakan himpunan dalam selang tertutup ,

-, Himpunan Cantor dapat dilihat pada gambar 3.1 berikut ini : 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶

𝐶 (Sumber : Edgar, 2008)

Gambar 3.1 Himpunan Cantor


Himpunan Cantor diperoleh dengan cara membagi garis dengan panjang

menjadi

bagian kemudian menghilangkan

bagiannya.

Langkah ini diulangi secara terus-menerus dengan menghilangkan bagian dari langkah sebelumnya sehingga dihasilkan seperti pada gambar 3.1. Himpunan Cantor

⋂

pada iterasi ke- diperoleh garis-

garis yang saling asing sebanyak ( )

itu ( )

dengan panjang

dengan

. Oleh karena

. Misalkan

maka

sehingga ( )

(

)

Diperoleh dim Selanjutnya misalkan

maka

( ) ( )

sehingga


(

)

Diperoleh dim dim

Karena

dim

maka dim

, yang berarti bahwa dim 2.

dim

.

Segitiga Sierpinski Segitiga Sierpinski diperoleh dengan cara melubangi suatu segitiga dengan segitiga baru yang berukuran setengah dari masingmasing sisinya. Langkah ini diulangi secara terus-menerus sampai takhingga. Segitiga Sierpinski dapat dilihat pada gambar 3.2 berikut ini :

𝐸

𝐸

𝐸

𝐸 (Sumber : Falconer, 2003)

Gambar 3.2 Segitiga Sierpinski


Pada gambar 3.2 segitiga

dilubangi dengan segitiga baru yang titik

sudutnya adalah titik tengah masing-masing sisi segitiga diperoleh segitiga

sehingga

. Cara yang sama dilakukan secara berulang-

ulang maka akan diperoleh segitiga . Segitiga Sierpinski segitiga sebanyak dan

⋂

, untuk iterasi ke- akan terdapat

dengan panjang sisi

. Oleh karena itu

( )

. Selanjutnya akan dicari dimensi Kotak bawah dan

dimensi Kotak atas dari . Misalkan

maka

( )

sehingga ( )

(

)


maka

( ) ( )

sehingga


(

)

Diperoleh dim Karena

dim

dim

maka dim


dim

.

Kurva Von Koch Kurva Von Koch atau dikenal juga dengan nama Snowflake Koch adalah bangun Fraktal yang diperoleh dengan cara membagi suatu garis menjadi tiga bagian sama panjang dan membentuk segitiga sama sisi dibagian tengahnya. Kurva Von Koch dapat dilihat pada gambar 3.3 berikut ini. 𝐹

𝐹 𝐹 𝐹


Gambar 3.3 Kurva Von Koch

𝐹


Pada gambar 3.3 jika garis

dibagi tiga sama panjang dan dibentuk

segitiga sama sisi ditengahnya akan terbentuk seperti pada Demikian juga dengan cara yang sama

.

diperoleh dengan membagi

tiga sama panjang setiap sisinya dan membentuk segitiga sama sisi di tengahnya. Jika langkah ini dilakukan secara terus-menerus akan diperoleh seperti pada . Pada iterasi pertama diperoleh ruas garis sebanyak

dengan

panjang . Iterasi ke- menghasilkan ruas garis sebanyak 16 dengan panjang . Secara umum untuk iterasi ke- akan diperoleh ruas garis sebanyak

dengan panjangnya adalah

iterasi ke- diperoleh

( )

. Oleh karena itu untuk

dengan

. Selanjutnya akan

dicari dimensi Kotak bawah dan dimensi Kotak atas dari . Misalkan maka

( )

sehingga ( )

(

)



maka

( )

sehingga

( )

(

)


dim

dim


maka dim

dim

.

Karpet Sierpinski Karpet Sierpinski tidak jauh berbeda dengan segitiga Sierpinski. Pembangun dari karpet Sierpinski adalah persegi. Persegi berukuran satu satuan dilubangi pada tengah-tengahnya dengan persegi yang berukuran . Dilanjutkan dengan melubangi persegi tersebut dengan ukuran seperti tampak pada gambar 3.4 berikut ini :


𝑆

𝑆

𝑆

𝑆

𝑆

(Sumber : http://mathworld.wolfram.com/SierpinskiCarpet.html)

Gambar 3.4 Karpet Sierpinski

Karpet Sierpinski persegi sebanyak ( )

dan

⋂

pada iterasi ke- akan diperoleh

dengan panjang sisinya

. Oleh karena itu

. Selanjutnya akan dicari dimensi Kotak

bawah dan dimensi Kotak atas dari . Misalkan ( )

maka

sehingga ( )

(

)


maka

( ) ( )

sehingga


(

)


dim

dim

yang berarti bahwa dim

maka dim

dim

,

.

d. Dimensi Fraktal Citra Digital Pada bagian ini akan dibahas mengenai dimensi Fraktal dari sebuah Citra Digital. Pemprosesan citra digital dilakukan dengan program yang dibuat menggunakan software MATLAB. Pada pembahasan sebelumnya bangun Fraktal dapat dikenali melalui pola-pola yang jelas dan kemudian ditentukan dimensinya, pada pembahasan kali ini input berupa citra digital yang tidak dapat diketahui polanya dengan mudah. Dimensi Kotak menjadi alternatif untuk mencari dimensi Fraktal suatu citra digital. Dimensi dicari dari hasil deteksi tepi dari suatu citra dengan intensitas RGB. Citra input berupa citra RGB (Red Green Blue) berukuran piksel kemudian diubah ukurannnya menjadi berukuran

piksel


untuk mempermudah penentuan selimut citra. Selanjutnya mengubah tipe citra dari RGB menjadi citra grayscale untuk proses deteksi tepi. Deteksi tepi pada pemprosesan digital ini digunakan deteksi tepi metode Canny karena dikatakan bahwa deteksi tepi yang paling baik adalah metode Canny (Wijaya dan Prijono, 2007:156). Hasil deteksi tepi menghasilkan citra tipe biner (hitam putih) berukuran biner ini berupa matriks biner dengan ukuran

piksel. Penyusun citra yang elemen-

elemen penyusunnya adalah 0 dan 1 dimana 0 mewakili warna hitam dan 1 mewakili warna putih. Matriks biner inilah yang akan diproses selanjutnya dengan membaginya menjadi submatriks-submatriks persegi berukuran . Submatriks berukuran

ini yang akan digunakan sebagai

selimut dari Citra yang akan dicari dimensinya. Untuk memperjelas langkah-langkah dalam mencari dimensi Fraktal dari sebuah citra digital, berikut ini akan disajikan contoh penghitungan dimensi Fraktal dari citra Lena. 1.

Penghitungan banyaknya Selimut Seperti pada penjelasan sebelumnya, citra input diproses terlebih dahulu untuk mempermudah penghitungan. Citra input dirubah menjadi resolusi 1024 x 1024 piksel kemudian diproses hingga mendapatkan citra biner seperti tampak pada gambar 3.5 (b).


(Sumber : https://www.npmjs.com/package/lena)

Gambar 3.5 (a) Citra Asli Lena

Gambar 3.5 (b) Citra Biner Lena dengan deteksi tepi Canny

Berikut ini adalah diagram alir penghitungan banyaknya submatriks berukuran

untuk beberapa nilai

yang dapat memuat citra

(memuat paling sedikit satu elemen bilangan 1). Start Matriks Biner 𝑘

𝑘

Penentuan ukuran matriks 𝑚 𝛿 𝛿, dengan 𝛿 𝑚 𝑘 Mempartisi matriks dengan membentuk matriks 𝐴𝑖 berukuran 𝛿 𝛿 dengan 𝑘 𝑖 /𝛿

Jika jumlahan elemen-elemen

Tidak

𝑁𝛿 (𝐴𝑖 )

Ya

𝐴𝑖 𝑁𝛿 (𝐴𝑖 ) 𝑁𝛿 (𝐴) End

Gambar 3.6 Diagram alir pencacahan selimut


Berikut ini adalah list program MATLAB untuk penghitungan banyaknya submatriks berukuran

untuk beberapa nilai

yang

dapat memuat citra (memuat paling sedikit satu elemen bilangan 1). % Program penghitungan banyaknya matriks yang memuat elemen 1 untuk setiap submatriks berukuran 2^n x 2^n % input : citra RGB Lena dengan format jpg % output : banyaknya submatriks yang memuat elemen 1 clear; P=imread('lena.jpg'); m=1024; P=imresize(P,[m,m]); Q=rgb2gray(P); B=edge(Q,'canny'); jumlah=0; C=zeros(1,log10(m)/log10(2)); D=zeros(1,log10(m)/log10(2)); for n=1:(log10(m)/log10(2)) jumlah=0; for i=1:2.^n:m for k=1:2.^n:m A=[B((i:i+(2.^n-1)),(k:k+(2.^n-1)))]; if sum(sum(A))>=1 jumlah=jumlah+1; end end end D(n)=jumlah C(n)=2.^n end;

Gambar 3.7 List program pencacahan selimut untuk citra Lena gambar 3.5 (a)

2.

Penghitungan Dimensi Fraktal Hasil pada langkah (a) akan menghasilkan sejumlah sampel untuk beberapa nilai

.

Berikut ini adalah hasil yang diperoleh untuk

pengolahan citra Lena.


Tabel 3.3 Perolehan jumlah selimut- untuk Citra Lena (piksel) 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

39730 20589 7686 2411 759 221 63 16 4 1

0,3010 0,6021 0,9031 1,2041 1,5051 1,8062 2,1072 2,4082 2,7093 3,0103

4,5991 4,3136 3,8857 3,3822 2,8802 2,3444 1,7993 1,2041 0,6021 0

Selanjutnya untuk menentukan dimensinya digunakan persamaan garis regresi. Harga mutlak dari persamaan garis regresi

dan

inilah yang akan menjadi dimensi Fraktalnya. Dengan menggunakan Microsoft Excel diperoleh persamaan garis regresi seperti pada gambar 3.8 berikut ini. 6,0 5,0

𝑁𝛿

4,0 3,0 2,0 y = -1,7327x + 5,3699 R² = 0,9938

1,0 0,0 0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

𝛿 Gambar 3.8 Garis Regresi untuk dimensi citra Lena

Dengan demikian diperoleh dimensi Fraktal dari gambar Lena adalah 1,7327.


Penghitungan Nilai Galat dari Sampel (Residual) Sesuai dengan definisi 3.1.2 nilai Residual diperoleh dari hasil selisih antara nilai prediksi

dengan nilai

berdasarkan

pencacahan sebelumnya. Berikut ini adalah tabel 3.4 yang menyatakan nilai residual

untuk setiap nilai .

Tabel 3.4 Nilai residual masing masing prediksi

untuk Citra Lena Residual

2

4,5991

4,8483

-0,2492

4

4,3136

4,3267

-0,0131

8

3,8857

3,8051

0,0806

16

3,3822

3,2835

0,0987

32

2,8802

2,7619

0,1183

64

2,3444

2,2403

0,1041

128

1,7993

1,7187

0,0806

256

1,2041

1,1971

0,0070

512 1024

0,6021 0,0000

0,6755 0,1540

-0,0735 -0,1540

jika ditampilkan dalam bentuk grafik diperoleh

𝑁𝛿

0,20

Residual

3.

0,00 0,00

𝛿 0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

-0,20 -0,40

Gambar 3.9 Nilai residual

𝑁𝛿 untuk Citra Lena

3,50


BAB IV ANALISIS FRAKTAL GARIS PANTAI DI YOGYAKARTA Pada bab ini akan dibahas penggunaan konsep Geometri Fraktal untuk mencari prediksi panjang garis pantai Yogyakarta. Garis pantai Yogyakarta terlebih dahulu dicari dimensi fraktalnya. Metode yang digunakan adalah analisis citra satelit, dalam hal ini penulis menggunakan bantuan Google Maps untuk memetakan gambar garis pantai Yogyakarta. Langkah pengambilan citra dari Google Maps adalah menyematkan terlebih dahulu peta dari Google Maps dengan ukuran yang cukup besar dan disimpan dalam format html. Peta dalam format html kemudian dirubah ke format jpg. Langkah ini akan memberikan citra digital yang lebih baik dibandingkan dengan pengambilan citra secara screenshot. Citra yang diperoleh kemudian dipotong-potong berdasarkan karakteristik dan sifat keserupaan (similar) yang menjadi sifat utama dari bangun fraktal. Langkah selanjutnya menentukan dimensi fraktal dari masing-masing bagian garis pantai dengan metode Hitung Kotak. Untuk mencari dimensi fraktal dari masingmasing bagian garis pantai ini penulis menggunakan bantuan MATLAB. Setelah diperoleh dimensi fraktal dari masing-masing bagian garis pantai, langkah selanjutnya adalah menentukan panjang garis pantai dari masing-masing bagian. Jumlahan panjang garis pantai dari masing-masing bagian inilah yang menjadi nilai pendekatan panjang garis pantai yang dicari.

73


A. Dimensi Fraktal Garis Pantai Yogyakarta Dimensi Fraktal dihitung dengan menggunakan bantuan software MATLAB. Algoritma yang dipakai sama seperti pada contoh dimensi citra digital gambar Lena pada bab 3. Sebelum garis pantai Yogyakarta dihitung dimensinya gambar input dipotong-potong terlebih dahulu. Pemotongan ini disesuaikan dengan karakteristik pantai berdasarkan bentuk pantai. Guna pemotongan ini adalah untuk mendapatkan gambar yang lebih detail sesuai dengan bentuk garis pantai yang aslinya. Semakin banyak potongan akan semakin detail hasilnya.

Gambar 4.1 (a) Garis pantai Yogyakarta via google maps

Gambar 4.1 (b) Pemotongan garis pantai menjadi 7 bagian

Terdapat tujuh bagian garis pantai, selanjutnya akan dicari dimensi fraktal dari masing-masing bagian. Namun, sebelum dicari dimensinya citra input untuk masing-masing bagian diproses terlebih dahulu. Langkah ini bertujuan untuk menghapus keterangan-keterangan lokasi dan jalan pada citra sehingga diperoleh citra RGB yang tersusun atas dua warna. Pada proses ini penulis menggunakan bantuan software Photo Scape. Hasil dari proses editing citra


input ini akan mempermudah proses selanjutnya, yaitu proses deteksi tepi. Berikut ini adalah pembahasan untuk masing-masing bagian garis pantai. a.

Garis Pantai I Berikut ini adalah hasil pemrosesan setelah citra input untuk garis pantai bagian I yang telah diproses menggunakan Photo Scape dan setelah diproses dengan deteksi tepi Canny.

Gambar 4.2 (a) Garis pantai I setelah diproses dengan Photo Scape

Gambar 4.2 (b) Citra biner garis pantai I dengan deteksi tepi Canny

Hasil penghitungan banyaknya selimut untuk garis pantai bagian I ditunjukkan pada tabel 4.1 berikut ini. Tabel 4.1 Perolehan jumlah selimut- untuk garis pantai bagian I (piksel) 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

639 354 182 94 47 24 12 6 3 1

0,3010 0,6021 0,9031 1,2041 1,5051 1,8062 2,1072 2,4082 2,7093 3,0103

2,8021 2,5502 2,2648 1,9731 1,6721 1,3802 1,0792 0,7782 0,4771 0


Berikut ini adalah persamaan garis regresi untuk dimensi garis pantai bagian I. 3,5 3,0

𝑁𝛿

2,5 2,0 1,5 1,0

y = -1,0094x + 3,169 R² = 0,9963

0,5 0,0 0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

𝛿

𝑁𝛿

Gambar 4.3 Garis regresi untuk dimensi garis pantai bagian I

0,20

Residual

0,00 0,00 -0,20

𝛿 0,50

1,00

1,50


2,00

2,50

3,00

3,50

𝑁𝛿 untuk garis pantai bagian I

Dari gradien persamaan garis regresi pada gambar 4.3 di atas diperoleh bahwa dimensi garis pantai bagian I adalah 1,0094. b.

Garis Pantai II Berikut ini adalah hasil pemrosesan setelah citra input untuk garis pantai bagian II yang telah diproses menggunakan Photo Scape dan setelah diproses dengan deteksi tepi Canny.


Gambar 4.5 (a) Garis pantai II setelah diproses dengan Photo Scape

Gambar 4.5 (b) Citra biner garis pantai II dengan deteksi tepi Canny

Hasil penghitungan banyaknya selimut untuk garis pantai bagian II ditunjukkan pada tabel 4.2 berikut ini. Tabel 4.2 Perolehan jumlah selimut- untuk garis pantai bagian II (piksel) 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

600 324 168 86 44 22 12 5 3 1

0,3010 0,6021 0,9031 1,2041 1,5051 1,8062 2,1072 2,4082 2,7093 3,0103

2,7782 2,5105 2,2253 1,9345 1,6435 1,3424 1,0414 0,6990 0,4771 0

Berikut ini adalah persamaan garis regresi untuk dimensi garis pantai bagian II.


3,0 2,5

𝑁𝛿

2,0 1,5 1,0

y = -1,0036x + 3,1268 R² = 0,9972

0,5 0,0 0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

𝛿

Residual

𝑁𝛿

Gambar 4.6 Garis regresi untuk dimensi garis pantai bagian II

0,10 0,00 0,00 -0,10

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

3,50

𝛿

-0,20


𝑁𝛿 untuk garis pantai bagian II

Dari gradien persamaan garis regresi pada gambar 4.6 di atas diperoleh bahwa dimensi garis pantai bagian II adalah 1,0036. c.

Garis Pantai III Berikut ini adalah hasil pemrosesan setelah citra input untuk garis pantai bagian III yang telah diproses menggunakan Photo Scape dan setelah diproses dengan deteksi tepi Canny.


Gambar 4.8 (a) Garis pantai III setelah diproses dengan Photo Scape

Gambar 4.8 (b) Citra biner garis pantai III dengan deteksi tepi Canny

Hasil penghitungan banyaknya selimut untuk garis pantai bagian III ditunjukkan pada tabel 4.3 berikut ini. Tabel 4.3 Perolehan jumlah selimut(piksel) 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

819 445 228 120 60 30 14 7 3 1

untuk garis pantai bagian III

0,3010 0,6021 0,9031 1,2041 1,5051 1,8062 2,1072 2,4082 2,7093 3,0103

2,9133 2,6484 2,3579 2,0792 1,7782 1,4771 1,1461 0,8451 0,4771 0

Berikut ini adalah persamaan garis regresi untuk dimensi garis pantai bagian III.


3,5 3,0

𝑁𝛿

2,5 2,0 1,5 y = -1,0486x + 3,3083 R² = 0,9947

1,0 0,5 0,0 0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

𝛿

Residual

𝑁𝛿

Gambar 4.9 Garis regresi untuk dimensi garis pantai bagian III

0,10 0,00 0,00 -0,10

𝛿 0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

3,50

-0,20


𝑁𝛿 untuk garis pantai bagian III

Dari gradien persamaan garis regresi pada gambar 4.9 di atas diperoleh bahwa dimensi garis pantai bagian III adalah 1,0486. d.

Garis Pantai IV Berikut ini adalah hasil pemrosesan setelah citra input untuk garis pantai bagian IV yang telah diproses menggunakan Photo Scape dan setelah diproses dengan deteksi tepi Canny.


Gambar 4.11 (a) Garis pantai IV setelah diproses dengan Photo Scape

Gambar 4.11 (b) Citra biner garis pantai IV dengan deteksi tepi Canny

Hasil penghitungan banyaknya selimut untuk garis pantai bagian IV ditunjukkan pada tabel 4.4 berikut ini. Tabel 4.4 Perolehan jumlah selimut- untuk garis pantai bagian IV (piksel) 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

819 433 222 104 45 23 11 5 3 1

0,3010 0,6021 0,9031 1,2041 1,5051 1,8062 2,1072 2,4082 2,7093 3,0103

2,9133 2,6365 2,3464 2,0170 1,6532 1,3617 1,0414 0,6990 0,4771 0

Berikut ini adalah persamaan garis regresi untuk dimensi garis pantai bagian IV.


3,5 3,0

𝑁𝛿

2,5 2,0 1,5 1,0

y = -1,0628x + 3,2742 R² = 0,9981

0,5 0,0 0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

𝛿

.

Residual

𝑁𝛿

Gambar 4.12 Garis regresi untuk dimensi garis pantai bagian IV

0,10 0,00 0,00

𝛿 0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

3,50

-0,10


𝑁𝛿 untuk garis pantai bagian IV

Dari gradien persamaan garis regresi pada gambar 4.12 di atas diperoleh bahwa dimensi garis pantai bagian IV adalah 1,0628. e. Garis Pantai V Berikut ini adalah hasil pemrosesan setelah citra input untuk garis pantai bagian V yang telah diproses menggunakan Photo Scape dan setelah diproses dengan deteksi tepi Canny.


Gambar 4.14 (a) Garis pantai V setelah diproses dengan Photo Scape

Gambar 4.14 (b) Citra biner garis pantai V dengan deteksi tepi Canny

Hasil penghitungan banyaknya selimut untuk garis pantai bagian V ditunjukkan pada tabel 4.5 berikut ini. Tabel 4.5 Perolehan jumlah selimut- untuk garis pantai bagian V (piksel) 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

767 410 212 99 46 25 13 5 3 1

0,3010 0,6021 0,9031 1,2041 1,5051 1,8062 2,1072 2,4082 2,7093 3,0103

2,8848 2,6128 2,3263 1,9956 1,6628 1,3979 1,1139 0,6990 0,4771 0

Berikut ini adalah persamaan garis regresi untuk dimensi garis pantai bagian V.


3,5 3,0

𝑁𝛿

2,5 2,0 1,5 y = -1,0461x + 3,249 R² = 0,997

1,0 0,5 0,0 0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

𝛿

Residual

𝑁𝛿

Gambar 4.15 Garis regresi untuk dimensi garis pantai bagian V

0,10 0,00 0,00 -0,10

𝛿 0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

3,50

-0,20


𝑁𝛿 untuk garis pantai bagian V

Dari gradien persamaan garis regresi pada gambar 4.15 di atas diperoleh bahwa dimensi garis pantai bagian V adalah 1,0461.

f. Garis Pantai VI Berikut ini adalah hasil pemrosesan setelah citra input untuk garis pantai bagian VI yang telah diproses menggunakan Photo Scape dan setelah diproses dengan deteksi tepi Canny.


Gambar 4.17 (a) Garis pantai VI setelah diproses dengan Photo Scape

Gambar 4.17 (b) Citra biner garis pantai VI dengan deteksi tepi Canny

Hasil penghitungan banyaknya selimut untuk garis pantai bagian VI ditunjukkan pada tabel 4.6 berikut ini. Tabel 4.6 Perolehan jumlah selimut- untuk garis pantai bagian VI (piksel) 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

767 410 212 99 46 25 13 5 3 1

0,3010 0,6021 0,9031 1,2041 1,5051 1,8062 2,1072 2,4082 2,7093 3,0103

2,8848 2,6128 2,3263 1,9956 1,6628 1,3979 1,1139 0,6990 0,4771 0

Berikut ini adalah persamaan garis regresi untuk dimensi garis pantai bagian VI.


3,5 3,0

𝑁𝛿

2,5 2,0 1,5

y = -1,0885x + 3,3373 R² = 0,9981

1,0 0,5 0,0 0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

𝛿

𝑁𝛿

Gambar 4.18 Garis Regresi untuk dimensi garis pantai bagian VI

Residual

0,10 0,00 0,00 -0,10

𝛿 0,50

1,00

1,50


2,00

2,50

3,00

3,50

𝑁𝛿 untuk garis pantai bagian VI

Dari gradien persamaan garis regresi pada gambar 4.18 di atas diperoleh bahwa dimensi garis pantai bagian VI adalah 1,0885. g.

Garis Pantai VII Berikut ini adalah hasil pemrosesan setelah citra input untuk garis pantai bagian VII yang telah diproses menggunakan Photo Scape dan setelah diproses dengan deteksi tepi Canny.


Gambar 4.20 (a) Garis pantai VII setelah diproses dengan Photo Scape

Gambar 4.20 (b) Citra biner garis pantai VII dengan deteksi tepi Canny

Hasil penghitungan banyaknya selimut untuk garis pantai bagian VII ditunjukkan pada tabel 4.7 berikut ini. Tabel 4.7 Perolehan jumlah selimut- untuk garis pantai bagian VII (piksel) 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

843 454 231 116 57 23 10 6 4 1

0,3010 0,6021 0,9031 1,2041 1,5051 1,8062 2,1072 2,4082 2,7093 3,0103

2,9258 2,6571 2,3636 2,0645 1,7559 1,3617 1 0,7782 0,6021 0

Berikut ini adalah persamaan garis regresi untuk dimensi garis pantai bagian VII


3,5 3,0

𝑁𝛿

2,5 2,0 1,5

y = -1,0516x + 3,292 R² = 0,9934

1,0 0,5 0,0 0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

𝛿

𝑁𝛿

Gambar 4.21 Garis regresi untuk dimensi garis pantai bagian VII

Residual

0,20 0,00 0,00

𝛿 0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

3,50

-0,20


𝑁𝛿 untuk garis pantai bagian VII

Dari gradien persamaan garis regresi pada gambar 4.21 di atas diperoleh bahwa dimensi garis pantai bagian VII adalah 1,0516. B. Prediksi Panjang Garis Pantai Yogyakarta Untuk memprediksikan panjang garis pantai Yogyakarta perlu dicari panjang garis pantai untuk tiap-tiap bagian. Panjang garis pantai ( ) dapat ditentukan oleh

( )

(Mojica et.al). Panjang dari garis pantai

Yogyakarta dipengaruhi juga dengan skala pada gambar. Oleh karena itu, pengukuran

diukur secara langsung dengan bantuan Geogebra dengan

memperhatikan skala yang terdapat pada citra dari Google Maps. Pada


pengukuran ini diambil gambar dengan

adalah ukuran kotak terkecil yang dapat memuat . Berikut ini adalah tabel perolehan hasil prediksi

panjang garis pantai dengan menggunakan dimensi yang sudah dicari sebelumnya. Tabel 4.8 Prediksi panjang garis pantai tiap-tiap bagian Garis Pantai I II III IV V VI VII

(meter) 21.059,9113 15.316,2991 8.028,9834 11.426,8560 15.156,7543 12.030,5390 6.838,8655 Total Panjang

Dimensi 1,0094 1,0036 1,0486 1,0628 1,0461 1,0885 1,0516

Panjang (meter) 23.125,8140 15.856,9769 12.428,7388 20.547,7634 23.622,8427 27.630,6000 10.786,2192 133.998,9550

Dengan demikian berdasarkan tabel 4.8 diperoleh prediksi panjang garis pantai Yogyakarta adalah 133.998,9550

atau sekitar 134

.

Berdasarkan pengukuran langsung melalui google maps dengan fasilitas Ukur Jarak yang dimiliki google maps hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut. Tabel 4.9 Hasil pengukuran langsung pada google maps Garis Pantai I II III IV V VI VII Total

Banyak titik pengukuran 74 43 84 420 577 426 280 1940

Panjang (meter) 23.91 16.39 11.90 18.78 22.62 22.60 11.11 127.31


Dari tabel 4.8 tersebut menunjukkan bahwa prediksi panjang garis pantai Yogyakarta adalah 133.998,9550

atau sekitar 134

. Berdasarkan

pengukuran langsung pada Google Maps pada tabel 4.9 menunjukkan panjang garis pantai Yogyakarta adalah 127,31

atau sekitar 127

diasumsikan panjang garis pantai yang sebenarnya adalah

127

. Jika maka

prediksi panjang garis pantai memiliki galat 5,51%. Galat tersebut berarti bahwa prediksi panjang garis pantai dengan pendekatan fraktal lebih panjang 5,51% dari hasil pengukuran langsung pada Google Maps. Berdasarkan sumber lain dari Badan Lingkungan Hidup (BLH) Daerah Istimewa Yogyakarta, Yogyakarta memiliki panjang garis pantai sepanjang 113

Jika

dibandingkan dengan hasil prediksi, berarti bahwa nilai prediksi lebih panjang dari panjang garis pantai menurut BLH dengan selisih 21 galat 18,58%.

atau dengan nilai


BAB V PENUTUP A. Kesimpulan Dimensi fraktal adalah suatu ukuran yang menggambarkan kepadatan dari suatu bangun fraktal. Analisis fraktal garis pantai di Yogyakarta dilakukan dengan memotong citra garis pantai Yogyakarta menjadi beberapa bagian. Langkah selanjutnya adalah mencari dimensi fraktal untuk tiap-tiap bagian. Dimensi fraktal dari citra digital garis pantai untuk tiap-tiap bagian dicari dengan menggunakan bantuan Software MATLAB. Dimensi fraktal yang diperoleh inilah yang digunakan untuk memprediksi panjang garis pantai Yogyakarta. Berdasarkan hasil yang diperoleh dari pembahasan sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa : a. Cara mencari dimensi fraktal dari garis pantai Yogyakarta adalah sebagai berikut : 1. Citra digital yang diperoleh dari Google Maps diproses terlebih dahulu dengan menggunakan editor foto untuk menghilangkan objek-objek lain yang tampak pada citra digital seperti jalan dan keterangan-keterangan tempat. 2. Potong citra digital dengan rasio 1 : 1 untuk mendapatkan citra digital berbentuk persegi. Tujuan pemotongan ini adalah untuk mempertahankan

kesebangunan

ketika

ukurannya menjadi ukuran yang lebih besar.

91

citra

digital

dirubah


3. Setelah

melalui

tahap

editing,

langkah

selanjutnya

adalah

menentukan dimensi fraktal dengan bantuan MATLAB sesuai dengan program yang telah dibuat. b. Cara memprediksi panjang garis pantai Yogyakarta adalah dengan menggunakan rumus garis pantai,

( )

dengan

panjang selimut (ukuran grid),

( ) panjang prediksi banyaknya selimut

atau kotak-kotak persegi (grid) yang dapat memuat garis pantai, dan dimensi garis pantai. c. Data atau pemetaan lokasi oleh Google Maps dari waktu ke waktu selalu mengalami pembaharuan. Untuk dapat memprediksi panjang garis pantai Yogyakarta dengan pendekatan fraktal tidak membutuhkan waktu yang lama. Dua hal ini dapat dimanfaatkan untuk selalu memperbaharui panjang garis pantai Yogyakarta dengan cepat. Oleh karena itu, hasil penelitian bermanfaat untuk meningkatkan kesiagaan masyarakat yang tinggal di daerah pesisir pantai untuk selalu waspada terhadap abrasi. Mengingat bahwa, salah satu faktor yang mempengaruhi panjang garis pantai adalah faktor abrasi. B. Saran Penelitian ini tak lepas dari adanya hambatan-hambatan yang ditemui penulis selama penelitian. Oleh karena itu, saran-saran yang dapat penulis berikan untuk penelitian selanjutnya yang berkaitan dengan analisis fraktal citra digital adalah :


1. Penelitian ini didasarkan pada citra satelit yang diambil dari google maps. Citra hasil pengambilan dari google maps bisa menghasilkan beragam ukuran (resolusi). Besar kecilnya resolusi mempengaruhi dimensi yang diperoleh, oleh karena itu sebaiknya download gambar dari google maps menggunakan resolusi yang tinggi. 2. Untuk menghasilkan gambar input yang baik pada penelitian ini diperlukan

proses

editing

menggunakan

Photo

Scape.

Jika

dimungkinkan adanya pemetaan web yang lebih baik atau editor foto yang lebih baik, sebaiknya digunakan aplikasi tersebut untuk memperoleh hasil yang lebih optimal. 3. Penelitian ini mengabaikan faktor-faktor yang dapat mempengaruhi bentuk garis pantai. Penelitian selanjutnya dapat mengikutsertakan faktor-faktor alam yang dapat mempengaruhi garis pantai seperti struktur batuan dan abrasi. Faktor-faktor ini dapat digunakan untuk melihat kecederungan besar dimensi fraktal terhadap faktor-faktor yang mempengaruhi bentuk garis pantai.


DAFTAR PUSTAKA Ardian, Arfi. 2016. 70 Destinasi Wisata Pantai di Wonosari, Gunung Kidul, Jogja. Diakses tanggal 17 April 2017 dari http://www.noyvesto.net/2016/04/70tempat-wisata-pantai-di-Gunung-Kidul-Jogja-Wonosari.html. Badan Informasi Geospasial. 2016. BIG Kembali Melakukan Pemotretan Garis Pantai menggunakan LSU (LAPAN Surveilance UAV). Diakses tanggal 17 April 2017 dari http://www.bakosurtanal.go.id/berita-surta/show/bigkembali-melakukan-pemotretan-garis-pantai-menggunakan-lsu-lapan surveilance-uav-. Badan Lingkungan Hidup Daerah Istimewa Yogyakarta. 2016. Laporan Status Lingkungan Hidup Daerah SLDH DIY. Diakses tanggal 15 Mei 2017 dari http://www.blh.jogjaprov.go.id/detailpost/laporan-status-lingkunganhidup-daerah-slhd-diy. Barnsley, M. 1988. Fractals Everywhere. Buston : Academic Press, Inc. Burton, David M. 2007. The History of Mathematics an Introduction Seventh Edition. New York : The McGraw-Hill Companies, Inc. Crownover, Richard M. 1995. Introduction to Fractals and Chaos. Boston : Jones and Bartlett Publishers. Tanpa nama. 2016. Daftar Obyek Wisata di Kulon Progo Yogyakarta yang Indah Terpopuler. Diakses tanggal 17 April 2017 dari http://www.yogyalagi .com/2016/12/daftar-obyek-wisata-di-kulonprogo.html. Tanpa nama. 2016. Daftar Wisata di Bantul Yogyakarta Terpopuler dan Paling Asik Dikunjungi. Diakses tanggal 17 April 2017 dari http://www.yogyalagi.com/ 2016/10/daftar-wisata-di-bantulyogyakarta.html. Edgar, Gerald. 2008. Measure, Topology, and Fractal Geometry Second Edition. New York : Springer. Falconer, Kenneth. 2003. Fractal Geometry Mathematical Foundations and Applications Second Edition. Chichester : John Wiley and Sons Ltd. Hanzelman, Duane dan Bruce Littlefield. 2002. Matlab Bahasa Komputasi Teknis, terj. Jozep Edyanto. Yogyakarta : Andi Mandelbrot, Beniot B. 1983. The Fractal Geometry of Nature. New York : W. H. Freeman and Company. Mojica, Alexis et. al. 2011. Fractal Analysis of the Complexity of Panama City Coastline, Central America dalam Revista Geografica 149 : 33-45. Murwani, Titik. 2011. Dimensi Fraktal Himpunan Julia (skripsi). Yogyakarta : Universitas Sanata Dharma.

94


Oliver, Dick. 1997. Memandang Realita dengan Fractalvision terj. P. Insap Santosa. Yogyakarta : Andi. Pramadhana, Wahyu Indra. 2014. MATLAB-Latihan GUI dan Interaksi dengan Handles. Diakses tanggal 4 Juni 2017 dari https://www.youtube.com /watch?v=Q6dRW6Fml3A. Searcóid, Mícheál Ó. 2007. Metric Spaces. London : Springer. Shirali, Satish dan Harkrishan L. Vasudeva. 2006. Metric Spaces. London : Springer. Wahyuono, Yakobus Dwi. 1998. Geometri Fraktal (skripsi). Yogyakarta : Universitas Sanata Dharma. Walpole, Ronald. E. et. al. 2012. Probability & Statistics for Engineers & Scientists ninth edition. Boston : Pearson Education, Inc. Wijaya, Marvin Ch dan Agus Prijono. 2007. Pengolahan Citra Digital Menggunakan Matlab. Bandung : Informatika Bandung.


LAMPIRAN A. LIST PROGRAM TAMPILAN GUI (GRAPHICAL USER INTERFACE) MATLAB % Program tampilan GUI penghitungan dimensi fraktal % input : citra RGB pantai 1-7 dengan format jpg % output : dimensi fraktal, garis regresi, residual, citra asli, citra biner function varargout = dimensi_gp(varargin) gui_Singleton = 1; gui_State = struct('gui_Name', mfilename, ... 'gui_Singleton', gui_Singleton, ... 'gui_OpeningFcn', @dimensi_gp_OpeningFcn, ... 'gui_OutputFcn', @dimensi_gp_OutputFcn, ... 'gui_LayoutFcn', [] , ... 'gui_Callback', []); if nargin && ischar(varargin{1}) gui_State.gui_Callback = str2func(varargin{1}); end if nargout [varargout{1:nargout}] = gui_mainfcn(gui_State, varargin{:}); else gui_mainfcn(gui_State, varargin{:}); end function dimensi_gp_OpeningFcn(hObject, eventdata, handles, varargin) handles.output = hObject; guidata(hObject, handles); function varargout = dimensi_gp_OutputFcn(hObject, eventdata, handles) varargout{1} = handles.output; % menampilkan untuk garis pantai bagian I function pushbutton1_Callback(hObject, eventdata, handles) p=imread('pantai1.jpg'); m=1024; p=imresize(p,[m,m]); q=rgb2gray(p); b=edge(q,'canny'); jumlah=0; C=zeros(1,log10(m)/log10(2)); D=zeros(1,log10(m)/log10(2)); for n=1:(log10(m)/log10(2)) jumlah=0; for i=1:2.^n:m for k=1:2.^n:m A=[b((i:i+(2.^n-1)),(k:k+(2.^n-1)))]; if sum(sum(A))>=1 jumlah=jumlah+1; end

96


end end D(n)=log10(jumlah); C(n)=log10(2.^n); end %menampilkan citra asli garis pantai I axes(handles.axes1); t=imread('pantai1.jpg'); imshow(t); title('Citra Input Garis Pantai I'); %menampilkan citra deteksi canny garis pantai I axes(handles.axes2); imshow(b); title('Deteksi Tepi canny'); %menampilkan garis regresi garis pantai I axes(handles.axes3); C2=C*C'; CD=C*D'; Sx=sum(C); Sy=sum(D); a=(C2*Sy-Sx*CD)/(n*C2-Sx^2); b=(n*CD-Sx*Sy)/(n*C2-Sx^2); xx=0:log10(2.^n)+1; yy=a+b*xx; plot(C,D,'o',xx,yy); title('Garis Regresi'); xlabel('2log(n)'); ylabel('log(N,n)'); %menampilkan dimensi garis pantai I dim=num2str(abs(b)); set(handles.text1,'string',dim); %menampilkan residual garis pantai I axes(handles.axes4); E=zeros(1,log10(m)/log10(2)); for w=1:(log10(m)/log10(2)) E(w)=D(w)-(a+b*C(w)); end plot(C,E,'O'); title('Nilai Residual'); xlabel('2log(n)'); ylabel('Residual log(N,n)'); % menampilkan untuk garis pantai bagian II function pushbutton2_Callback(hObject, eventdata, handles) p=imread('pantai2.jpg'); m=1024; p=imresize(p,[m,m]); q=rgb2gray(p); b=edge(q,'canny'); jumlah=0; C=zeros(1,log10(m)/log10(2)); D=zeros(1,log10(m)/log10(2)); for n=1:(log10(m)/log10(2)) jumlah=0; for i=1:2.^n:m for k=1:2.^n:m A=[b((i:i+(2.^n-1)),(k:k+(2.^n-1)))];


if sum(sum(A))>=1 jumlah=jumlah+1; end end end D(n)=log10(jumlah); C(n)=log10(2.^n); end %menampilkan citra asli garis pantai II axes(handles.axes1); t=imread('pantai2.jpg'); imshow(t); title('Citra Input Garis Pantai II'); %menampilkan citra deteksi canny garis pantai II axes(handles.axes2); imshow(b); title('Deteksi Tepi canny'); %menampilkan garis regresi garis pantai II axes(handles.axes3); C2=C*C'; CD=C*D'; Sx=sum(C); Sy=sum(D); a=(C2*Sy-Sx*CD)/(n*C2-Sx^2); b=(n*CD-Sx*Sy)/(n*C2-Sx^2); xx=0:log10(2.^n)+1; yy=a+b*xx; plot(C,D,'o',xx,yy); title('Garis Regresi'); xlabel('2log(n)'); ylabel('log(N,n)'); %menampilkan dimensi garis pantai II dim=num2str(abs(b)); set(handles.text1,'string',dim); %menampilkan residual garis pantai II axes(handles.axes4); E=zeros(1,log10(m)/log10(2)); for w=1:(log10(m)/log10(2)) E(w)=D(w)-(a+b*C(w)); end plot(C,E,'O'); title('Nilai Residual'); xlabel('2log(n)'); ylabel('Residual log(N,n)'); % menampilkan untuk garis pantai bagian III function pushbutton3_Callback(hObject, eventdata, handles) p=imread('pantai3.jpg'); m=1024; p=imresize(p,[m,m]); q=rgb2gray(p); b=edge(q,'canny'); jumlah=0; C=zeros(1,log10(m)/log10(2)); D=zeros(1,log10(m)/log10(2)); for n=1:(log10(m)/log10(2)) jumlah=0;


for i=1:2.^n:m for k=1:2.^n:m A=[b((i:i+(2.^n-1)),(k:k+(2.^n-1)))]; if sum(sum(A))>=1 jumlah=jumlah+1; end end end D(n)=log10(jumlah); C(n)=log10(2.^n); end %menampilkan citra asli garis pantai III axes(handles.axes1); t=imread('pantai3.jpg'); imshow(t); title('Citra Input Garis Pantai III'); %menampilkan citra deteksi canny garis pantai III axes(handles.axes2); imshow(b); title('Deteksi Tepi canny'); %menampilkan garis regresi garis pantai III axes(handles.axes3); C2=C*C'; CD=C*D'; Sx=sum(C); Sy=sum(D); a=(C2*Sy-Sx*CD)/(n*C2-Sx^2); b=(n*CD-Sx*Sy)/(n*C2-Sx^2); xx=0:log10(2.^n)+1; yy=a+b*xx; plot(C,D,'o',xx,yy); title('Garis Regresi'); xlabel('2log(n)'); ylabel('log(N,n)'); %menampilkan dimensi garis pantai III dim=num2str(abs(b)); set(handles.text1,'string',dim); %menampilkan residual garis pantai III axes(handles.axes4); E=zeros(1,log10(m)/log10(2)); for w=1:(log10(m)/log10(2)) E(w)=D(w)-(a+b*C(w)); end plot(C,E,'O'); title('Nilai Residual'); xlabel('2log(n)'); ylabel('Residual log(N,n)'); % menampilkan untuk garis pantai bagian IV function pushbutton4_Callback(hObject, eventdata, handles) p=imread('pantai4.jpg'); m=1024; p=imresize(p,[m,m]); q=rgb2gray(p); b=edge(q,'canny'); jumlah=0; C=zeros(1,log10(m)/log10(2));


D=zeros(1,log10(m)/log10(2)); for n=1:(log10(m)/log10(2)) jumlah=0; for i=1:2.^n:m for k=1:2.^n:m A=[b((i:i+(2.^n-1)),(k:k+(2.^n-1)))]; if sum(sum(A))>=1 jumlah=jumlah+1; end end end D(n)=log10(jumlah); C(n)=log10(2.^n); end %menampilkan citra asli garis pantai IV axes(handles.axes1); t=imread('pantai4.jpg'); imshow(t); title('Citra Input Garis Pantai IV'); %menampilkan citra deteksi canny garis pantai IV axes(handles.axes2); imshow(b); title('Deteksi Tepi canny'); %menampilkan garis regresi garis pantai IV axes(handles.axes3); C2=C*C'; CD=C*D'; Sx=sum(C); Sy=sum(D); a=(C2*Sy-Sx*CD)/(n*C2-Sx^2); b=(n*CD-Sx*Sy)/(n*C2-Sx^2); xx=0:log10(2.^n)+1; yy=a+b*xx; plot(C,D,'o',xx,yy); title('Garis Regresi'); xlabel('2log(n)'); ylabel('log(N,n)'); %menampilkan dimensi garis pantai IV dim=num2str(abs(b)); set(handles.text1,'string',dim); %menampilkan residual garis pantai IV axes(handles.axes4); E=zeros(1,log10(m)/log10(2)); for w=1:(log10(m)/log10(2)) E(w)=D(w)-(a+b*C(w)); end plot(C,E,'O'); title('Nilai Residual'); xlabel('2log(n)'); ylabel('Residual log(N,n)'); % menampilkan untuk garis pantai bagian V function pushbutton5_Callback(hObject, eventdata, handles) p=imread('pantai5.jpg'); m=1024; p=imresize(p,[m,m]); q=rgb2gray(p);


b=edge(q,'canny'); jumlah=0; C=zeros(1,log10(m)/log10(2)); D=zeros(1,log10(m)/log10(2)); for n=1:(log10(m)/log10(2)) jumlah=0; for i=1:2.^n:m for k=1:2.^n:m A=[b((i:i+(2.^n-1)),(k:k+(2.^n-1)))]; if sum(sum(A))>=1 jumlah=jumlah+1; end end end D(n)=log10(jumlah); C(n)=log10(2.^n); end %menampilkan citra asli garis pantai V axes(handles.axes1); t=imread('pantai5.jpg'); imshow(t); title('Citra Input Garis Pantai V'); %menampilkan citra deteksi canny garis pantai V axes(handles.axes2); imshow(b); title('Deteksi Tepi canny'); %menampilkan garis regresi garis pantai V axes(handles.axes3); C2=C*C'; CD=C*D'; Sx=sum(C); Sy=sum(D); a=(C2*Sy-Sx*CD)/(n*C2-Sx^2); b=(n*CD-Sx*Sy)/(n*C2-Sx^2); xx=0:log10(2.^n)+1; yy=a+b*xx; plot(C,D,'o',xx,yy); title('Garis Regresi'); xlabel('2log(n)'); ylabel('log(N,n)'); %menampilkan dimensi garis pantai V dim=num2str(abs(b)); set(handles.text1,'string',dim); %menampilkan residual garis pantai V axes(handles.axes4); E=zeros(1,log10(m)/log10(2)); for w=1:(log10(m)/log10(2)) E(w)=D(w)-(a+b*C(w)); end plot(C,E,'O'); title('Nilai Residual'); xlabel('2log(n)'); ylabel('Residual log(N,n)'); % menampilkan untuk garis pantai bagian VI function pushbutton6_Callback(hObject, eventdata, handles) p=imread('pantai6.jpg');


m=1024; p=imresize(p,[m,m]); q=rgb2gray(p); b=edge(q,'canny'); jumlah=0; C=zeros(1,log10(m)/log10(2)); D=zeros(1,log10(m)/log10(2)); for n=1:(log10(m)/log10(2)) jumlah=0; for i=1:2.^n:m for k=1:2.^n:m A=[b((i:i+(2.^n-1)),(k:k+(2.^n-1)))]; if sum(sum(A))>=1 jumlah=jumlah+1; end end end D(n)=log10(jumlah); C(n)=log10(2.^n); end %menampilkan citra asli garis pantai VI axes(handles.axes1); t=imread('pantai6.jpg'); imshow(t); title('Citra Input Garis Pantai VI'); %menampilkan citra deteksi canny garis pantai VI axes(handles.axes2); imshow(b); title('Deteksi Tepi canny'); %menampilkan garis regresi garis pantai VI axes(handles.axes3); C2=C*C'; CD=C*D'; Sx=sum(C); Sy=sum(D); a=(C2*Sy-Sx*CD)/(n*C2-Sx^2); b=(n*CD-Sx*Sy)/(n*C2-Sx^2); xx=0:log10(2.^n)+1; yy=a+b*xx; plot(C,D,'o',xx,yy); title('Garis Regresi'); xlabel('2log(n)'); ylabel('log(N,n)'); %menampilkan dimensi dim=num2str(abs(b)); set(handles.text1,'string',dim); %menampilkan residual garis pantai VI axes(handles.axes4); E=zeros(1,log10(m)/log10(2)); for w=1:(log10(m)/log10(2)) E(w)=D(w)-(a+b*C(w)); end plot(C,E,'O'); title('Nilai Residual'); xlabel('2log(n)'); ylabel('Residual log(N,n)');


% menampilkan untuk garis pantai bagian VII function pushbutton7_Callback(hObject, eventdata, handles) p=imread('pantai7.jpg'); m=1024; p=imresize(p,[m,m]); q=rgb2gray(p); b=edge(q,'canny'); jumlah=0; C=zeros(1,log10(m)/log10(2)); D=zeros(1,log10(m)/log10(2)); for n=1:(log10(m)/log10(2)) jumlah=0; for i=1:2.^n:m for k=1:2.^n:m A=[b((i:i+(2.^n-1)),(k:k+(2.^n-1)))]; if sum(sum(A))>=1 jumlah=jumlah+1; end end end D(n)=log10(jumlah); C(n)=log10(2.^n); end %menampilkan citra asli garis pantai VII axes(handles.axes1); t=imread('pantai7.jpg'); imshow(t); title('Citra Input Garis Pantai VII'); %menampilkan citra deteksi canny garis pantai VII axes(handles.axes2); imshow(b); title('Deteksi Tepi canny'); %menampilkan garis regresi garis pantai VII axes(handles.axes3); C2=C*C'; CD=C*D'; Sx=sum(C); Sy=sum(D); a=(C2*Sy-Sx*CD)/(n*C2-Sx^2); b=(n*CD-Sx*Sy)/(n*C2-Sx^2); xx=0:log10(2.^n)+1; yy=a+b*xx; plot(C,D,'o',xx,yy); title('Garis Regresi'); xlabel('2log(n)'); ylabel('log(N,n)'); %menampilkan dimensi garis pantai VII dim=num2str(abs(b)); set(handles.text1,'string',dim); %menampilkan residual garis pantai VII axes(handles.axes4); E=zeros(1,log10(m)/log10(2)); for w=1:(log10(m)/log10(2)) E(w)=D(w)-(a+b*C(w)); end plot(C,E,'O');


title('Nilai Residual'); xlabel('2log(n)'); ylabel('Residual log(N,n)'); % menampilkan menu exit function pushbutton8_Callback(hObject, eventdata, handles) close;

B. HASIL EKSEKUSI PROGRAM DENGAN TAMPILAN GUI a. Tampilan Ketika Pushbutton Garis Pantai I Dijalankan

b. Tampilan Ketika Pushbutton Garis Pantai II Dijalankan


c. Tampilan Ketika Pushbutton Garis Pantai III Dijalankan

d. Tampilan Ketika Pushbutton Garis Pantai IV Dijalankan

e. Tampilan Ketika Pushbutton Garis Pantai V Dijalankan


f. Tampilan Ketika Pushbutton Garis Pantai VI Dijalankan

g. Tampilan Ketika Pushbutton Garis Pantai VI Dijalankan

ANALISIS FRAKTAL GARIS PANTAI DI YOGYAKARTA SKRIPSI. Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat. Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan

Recommend Documents