8
IV. PEMBAHASAN
4.1 Asumsi
Berikut ini adalah asumsi yang digunakan dalam memodelkan permainan. a. Harga pasar P(.) merupakan fungsi b.
turun dan P '' (.) kontinu. Fungsi biaya perusahaan-1 C1 (.) dan fungsi biaya perusahaan-2 C 2 (.) merupakan fungsi naik, C1'' (.) dan C 2'' (.) kontinu dengan C i (0) = 0 .
4.2 Permainan Supermodular
Berikut ini beberapa pegertian mengenai permainan Supermodular yang digunakan untuk menyelesaikan masalah utama yang akan dibahas dalam tulisan ini. Definisi 33 [Fungsi Supermodular dan Submodular] 1) Suatu fungsi F : R+2 → R dikatakan supermodular jika untuk semua x1 ≥ x 2 , y1 ≥ y 2 , F(x1, y1 ) − F(x2 , y1 ) ≥ F(x1, y2 ) − F(x2 , y2 )
2) Suatu fungsi F : R+2 → R dikatakan submodular jika untuk semua x1 ≥ x 2 , y1 ≥ y 2 , F(x1, y1) − F(x2 , y1) ≤ F(x1, y2 ) − F (x2 , y2 ) (Amir 1996) Definisi 34 [Fungsi Supermodular sempurna dan Submodular sempurna] 1) Suatu fungsi F : R+2 → R adalah supermodular sempurna jika untuk semua x1 ≥ x 2 , y1 ≥ y 2 , F (x1, y1 ) − F (x2 , y1) > F (x1, y2 ) − F (x2 , y2 )
2) Suatu fungsi F : R+2 → R adalah submodular sempurna jika untuk semua x1 ≥ x 2 , y1 ≥ y 2 , F (x1, y1) − F (x2 , y1) < F (x1, y2 ) − F (x2 , y2 ) (Amir 1996)
Bila dilihat dari turunan keduanya, Definisi 34 dapat ditulis sebagai berikut:
[Fungsi Supermodular Definisi 35 sempurna dan Submodular Sempurna] 1. Jika F mempunyai turunan kedua yang ∂2F > 0, ∀x, y maka F kontinu dan ∂x∂y adalah supermodular sempurna. 2. Jika F mempunyai turunan kedua yang ∂2F < 0, ∀x, y maka F kontinu dan ∂x∂y adalah submodular sempurna. (Amir 1996) Definisi 36 [Strict Single-Crossing Property (SSCP) dan Dual Strict Single-Crossing Property (Dual SSCP) ]
1) Fungsi F : [0, ∞ )2 → R mempunyai Strict Single-Crossing Property atau SSCP di (x, y ) jika: F (x1, y2 ) ≥ F (x2, y2 ) ⇒ F (x1, y1 ) > F (x2 , y1 ) untuk semua x1 > x 2 , y1 > y 2 .
2) Fungsi F : [0, ∞ )2 → R mempunyai dual SSCP di (x, y ) jika: F (x1, y2 ) ≤ F (x2, y2 ) ⇒ F (x1, y1 ) < F (x2 , y1 ) untuk semua x1 > x 2 , y1 > y 2 . (Amir 1996)
Teorema 4 [Permainan Supermodular] Duopoli Cournot adalah permainan ordinally supermodular jika memenuhi asumsi berikut: 1. P(.) merupakan fungsi turun dan log konkaf. 2. C i (.) , i = 1,2 merupakan fungsi naik dan kontinu kiri. Q>0 3. ∃ kuantitas sedemikian sehingga QP (Q ) − C i (Q ) < 0 , i = 1,2
untuk semua Q > Q. (Amir 1996) Bukti dapat dilihat pada Amir (1996). Teorema 5 [Koresponden Tanggapan Terbaik yang Tak Naik dan Tak Turun] 1) Setiap fungsi x * ( y ) ∈ arg maks F (x, y ) x ≥0
adalah tak turun di y jika F mempunyai SSCP.
9
2) Setiap fungsi x * ( y ) ∈ arg maks F (x, y ) x ≥0
adalah tak naik di y jika F mempunyai dual SSCP. (Milgrom dan Shannon 1994) Bukti dapat dilihat pada Milgrom dan Shannon (1994). Lemma 1 [Fungsi Supermodular dan Submodular] 1. Misal f , g : R + → R , f adalah fungsi konkaf dan g adalah fungsi konveks, maka fungsi bernilai real 1) (x, y ) → f (x + y ) adalah
submodular pada R + × R + ; 2) (x, y ) → f ( x − y ) supermodular pada lattice ϕ = {(x, y ) : y ≥ 0 dan x≥ y} supermodular 3) (x, y ) → g (x + y ) 2.
pada R + × R + . Misal f , g : R + → R , f adalah fungsi konkaf sempurna dan g adalah fungsi konveks sempurna, maka fungsi bernilai real adalah 1) (x, y ) → f (x + y ) submodular sempurna pada R+ × R+ ; supermodular 2) (x, y ) → f (x − y ) sempurna pada lattice ϕ = {(x, y ) : y ≥ 0 dan x ≥ y} ; supermodular 3) (x, y ) → g (x + y )
sempurna pada R + × R + . (Amir 1996) Bukti dapat dilihat pada Amir (1996). Lemma 2 Jika P(.) adalah log-konkaf atau
P(.)
memenuhi P ( x ) + xP (x ) < 0 untuk setiap x ≥ 0 dan ada kuantitas monopoli optimal untuk perusahaan-i K i sedemikian sehingga '
"
( ) ( )
KP(K ) − Ci (K ) ≤ Ki P Ki − Ci Ki , ∀K , i = 1,2,
(
)
maka semua kuantitas pada selang K i , ∞ adalah tindakan terdominasi untuk perusahaan-i dan setiap pilihan dari korespondensi tanggapan terbaik ri (.) merupakan fungsi tak naik di kuantitas pesaingnya. Bukti. Akan dibuktikan bahwa: 1) Setiap pilihan dari
koresponden
tanggapan terbaik ri (.) merupakan fungsi tak naik di kuantitas pesaing (Jika π i adalah dual SSCP maka setiap pilihan ri (.) merupakan fungsi tak naik di kuantitas pesaing). 2) Semua kuantitas di K i , ∞ adalah tindakan terdominasi untuk perusahaani.
(
1)
)
Dari hipotesis diketahui bahwa P adalah log-konkaf , maka log P(.) adalah konkaf. Berdasarkan Lemma 1 log P(x + y ) adalah submodular di
(x, y ) ∈ R + × R + , sembarang
maka untuk x1 > x 2 , y1 > y 2 :
log P ( x1 + y1 ) − log P (x 2 + y1 )
≤ log P( x1 + y 2 ) − log P ( x 2 + y 2 )
⇔ log
P (x1 + y1 ) P(x1 + y 2 ) ≤ log P(x 2 + y1 ) P(x 2 + y 2 )
P(x1 + y1 ) P(x1 + y2 ) ≤ P(x2 + y1 ) P(x2 + y 2 ) Misal diasumsikan bahwa: x1P(x1 + y2 ) − C1(x1 ) ⇔
(1)
≤ x2 P(x2 + y2 ) − C1(x2 ) Substitusi (1) ke ruas kanan (2), sehingga didapat: x1 P(x1 + y 2 ) − C1 (x1 )
(2)
P( x1 + y 2 ) P(x 2 + y1 ) − C1 (x 2 ) P(x1 + y1 ) Kemudian kali silang dengan P(x1 + y1 ) P(x1 + y 2 ) P(x1 + y1 ) x1 P(x1 + y1 ) − C1 (x1 ) P(x1 + y 2 ) ≤ x2
P(x1 + y1 ) C1 (x 2 ) P(x1 + y 2 ) x1 > x 2 , y1 > y 2 dan
≤ x 2 P ( x 2 + y1 ) − Karena
berdasarkan hipotesis P ' (.) < 0 ( P fungsi turun), C1 (.) fungsi naik, maka P(x1 + y1 ) < P(x1 + y 2 ) dan C1 (x1 ) > C1 (x 2 ) , sehingga diperoleh: x1 P(x1 + y1 ) − C1 (x1 )
< x 2 P(x 2 + y1 ) − C1 (x 2 )
(3)
Karena (2) berimplikasi (3) maka π 1 mempunyai dual strict single-crossing property (dual SSCP).
10
Misal diasumsikan bahwa: y1 P(x 2 + y1 ) − C 2 ( y1 )
(4) ≤ y 2 P(x 2 + y 2 ) − C 2 ( y 2 ) Substitusi (1) ke ruas kanan (4), sehingga didapat: y1 P(x 2 + y1 ) − C 2 ( y1 ) P(x1 + y 2 ) P(x 2 + y1 ) − C 2 ( y 2 ) P(x1 + y1 ) Kemudian kali silang dengan P(x1 + y1 ) P ( x 2 + y1 ) P(x1 + y1 ) y1 P(x1 + y1 ) − C 2 ( y1 ) P ( x 2 + y1 ) ≤ y2
P(x1 + y1 ) ≤ y 2 P(x1 + y 2 ) − C 2 ( y 2 ) P ( x 2 + y1 ) Karena x1 > x 2 , y1 > y 2 , P(.) fungsi turun dan C 2 (.) fungsi naik, maka P( x1 + y1 ) < P(x 2 + y1 ) dan C 2 ( y1 ) > C 2 ( y 2 ) , sehingga diperoleh : y1 P(x1 + y1 ) − C2 ( y1 )
< y 2 P(x1 + y 2 ) − C2 ( y 2 )
Bukti. Akan dibuktikan bahwa: 1) Duopoli kuantitas adalah permainan supermodular dengan N ≠ ∅ dan terdapat titik x, y dimana perusahaan-
( )
1 (perusahaan-2) menghasilkan kuantitas yang lebih tinggi (lebih rendah) pada N. 2) Titik terletak pada x, y
( )
r2 (.) = min r2 (.) dan merupakan pilihan kesetimbangan Nash perusahaan-2 yang terendah. 1) Berdasarkan hipotesis Lemma 2, duopoli kuantitas memenuhi Teorema 4 untuk menjadi permainan supermodular yaitu: a) P(.) merupakan fungsi turun dan log konkaf. b) C i (.) merupakan fungsi naik dan kontinu kiri, i = 1,2 . c)
(5)
Karena (4) berimplikasi (5) maka π 2 mempunyai dual SSCP, sehingga π i mempunyai dual SSCP. Akibatnya berdasarkan Teorema 5 setiap pilihan ri (.) merupakan fungsi tak naik di kuantitas pesaing . 2) Berdasarkan hipotesis diketahui bahwa K i adalah kuantitas monopoli optimal
untuk perusahaan-i, maka K i ∈ r (0) . Akibatnya imbalan akan menurun jika perusahaan memilih kuantitas lebih dari K i , sehingga kuantitas di K i , ∞ tidak dapat menjadi tanggapan terbaik. Jadi semua kuantitas di K i , ∞ adalah tindakan terdominasi untuk perusahaani.
(
(
)
)
Karena K i adalah kuantitas monopoli optimal untuk perusahaan-i, maka imbalan akan menurun jika perusahaan memilih lebih dari K i . Akibatnya ada
(
)
kuantitas pada selang K i , ∞ , misal Q, yang menyebabkan perusahaan merugi atau QP(Q ) − C i (Q ) < 0 . Berdasarkan Lemma 2 duopoli kuantitas menjadi permainan supermodular dengan himpunan tindakan efektif 0, K 1 × 0, K 2 .
[
][
] [0, K ]
Karena itu, N tidak kosong dan i merupakan selang tertutup sehingga merupakan complete lattice, dan menurut Teorema 2, N mempunyai anggota terbesar . Misalkan diberikan anggota terbesar yaitu berdasarkan Teorema 2, x, y . Tetapi
( )
perusahaan-2 sekurang-kurangnya memilih x, y dari semua kesetimbangan di N, maka
( )
( )
Lemma 3 Berdasarkan hipotesis Lemma 2, duopoli kuantitas adalah permainan supermodular, maka N tidak kosong dan terdapat titik x, y dimana perusahaan-1 (perusahaan-2 )
pada titik x, y perusahaan-1 menghasilkan
menghasilkan kuantitas yang lebih tinggi (lebih rendah) pada N. Titik x, y terletak
2)
( )
pada
r2 (.) = min r2 (.)
( )
dan
merupakan
pilihan kesetimbangan Nash perusahaan-2 yang terendah.
kuantitas tertinggi di N, perusahaan-2 menghasilkan terendah di N.
(x, y ) ∈
sedangkan kuantitas
( )
r2 (.) karena pada titik x, y
perusahaan-1 menghasilkan kuantitas tertinggi di N, sedangkan perusahaan-2 menghasilkan kuantitas terendah di N.
11
Berdasarkan Teorema 2 untuk pemetaaan (x, y ) → r1 ( y ), r2 (x ) yang tak turun akan
(
)
mempunyai titik tetap terbesar. Misalkan x ' , y ' ∈ N titik tetap terbesar
( ) (x , y )∈ r (.) '
dengan
'
y' < y .
dan
2
Kontradiksi dengan titik ekstrim
(x, y )
maka
merupakan
(x, y ),
pilihan
kesetimbangan Nash perusahaan-2 yang terkecil.
Lemma 4 Berdasarkan hipotesis Lemma 2, jika setiap titik x s , y s ∈ S1 harus terletak di r2 (.) dan
(
)
{
}
S1 = arg maks π 1 (x, y ) : (x, y ) ∈ r2 (.) , x ≥0
turun di y, maka menghasilkan imbalan leader yaitu: π 1 x s + ε , r2 x s + ε > π 1 x s , y s
(
(
))
(
)
Kontradiksi dengan hipotesis bahwa x s , y s adalah kesetimbangan Stackelberg.
(
)
(x
Karena itu haruslah
{
s
)
, y s ∈ r2 (.) dan
} (x, r (x )) .
S1 = arg maks π 1 (x, y ) : (x, y ) ∈ r2 (.) x ≥0
terpenuhi atau
S1 = arg maks π 1 x ≥0
2
Jadi semua titik di S1 menghasilkan imbalan yang sama untuk leader. Dari Lemma 3, x, y adalah kesetimbangan Cournot-Nash
( )
perusahaan-1 paling terpilih dan x, y ∈ r2 (.) , maka π 1 x s , y s ≥ π 1 x, y .
( )
(
)
( )
dengan r2 (.) adalah pilihan kesetimbangan Nash perusahaan-2 yang terendah, π 1 x s , y s ≥ π 1 x, y .
(
( )
)
Bukti. Akan dibuktikan: • Setiap titik
{
(x
s
)
, y s ∈ r2 (.)
maka
dan
}
S 1 = arg maks π 1 (x, y ) : (x, y ) ∈ r2 (.)
(
π1 x s , y
•
x ≥0 s
) ≥ π (x, y ) 1
)
Karena imbalannya kontinu, maka mempunyai pilihan minimum r2 (.) kontinu kanan. Misalkan ada kesetimbangan Stackelberg sedemikian sehingga x s , y s ∉ r2 (.)
(
y
s
) > r (x ) . s
2
Dari Lemma 2 diketahui
bahwa setiap pilihan r2 (.) adalah tak naik. Karena itu, himpunan titik di r2 (.) tidak bernilai tunggal serupa dengan himpunan titik di pilihan r2 (.) yang tak kontinu. r2 (.) bernilai banyak di x s . Karena itu dapat ditentukan bahwa untuk ε > 0 sedemikian sehingga pilih x s + ε untuk leader yang akan membawa pada tanggapan terbaik follower yang unik yaitu r2 (.) bernilai
( ) r (x + ε ) < y
tunggal di x s + ε . Karena y s > r2 x s dan
r2 (.) kontinu kanan maka
Teorema 6 Jika diketahui bahwa: 1. Tidak ada kesetimbangan Cournot-Nash yang terletak di batas daerah. 2. P(.) adalah log-konkaf atau P(.)
memenuhi P ' (x ) + xP " (x ) < 0, ∀x ≥ 0 .
Pertama akan ditunjukkan bahwa setiap titik x s , y s ∈ r2 (.) .
(
4.3 Model Duopoli Cournot Teorema berikut memberikan suatu kondisi minimal pada harga pasar yang akan menghasilkan model duopoli Cournot.
s
2
s
.
Diketahui pula π 1 (x, y ) kontinu di x dan
∃ kuantitas K sedemikian sehingga KP (K ) − C i (K ) ≤ K i P K i − C i K i , ∀ K , i = 1, 2 . 4. P adalah log-konkaf sempurna yaitu P " (.)P(.) − P '2 (.) < 0 atau C i' (.) > 0 , maka E = {(e, e ), N } .
3.
( )
( )
Sebelum membuktikan Teorema 6 akan diberikan terlebih dahulu lemma berikut ini. Lemma 5 Jika asumsi Teorema 6 dipenuhi, maka titik ekstrim kesetimbangan Nash x, y ∉ S1 .
( )
Bukti. Akan dibuktikan bahwa: 1) r2' (.) < 0 di sembarang titik pada fungsi
tanggapan minimal
r2 (.) , sepanjang
titik tersebut terletak di dalam daerah fisibel. 2) x, y ∉ S1
( )
12
1) Berdasarkan Lemma 2, setiap pilihan dari r2 (.) tak naik, maka r2' (.) ≤ 0 .
perusahaan-1 sebagai leader. Karena adalah interior solution x, y
Imbalan untuk perusahaan-2 sembarang titik di r2 (.) adalah:
berdasarkan
[
]
[
]
pada
[ ]
π 2 x, r2 (x ) = r2 (x )P x + r2 (x ) − C 2 r2 (x )
Untuk setiap x ≥ 0 sedemikian sehingga r2 (.) > 0 , maka first-order condition diberikan oleh: ∂π 2 x, r2 (x ) =0 ∂ r2 (x )
[
]
[
]
[
] [ (x)] = 0 (6)
P x + r2 (x) + r2 (x)P x + r2 (x) '
− C2' r2
Turunkan (6) terhadap x, sehingga didapat: 1 + r2' (x) P ' x + r2 (x) + r2' (x)P ' x + r2 (x) + r2 (x)
] [ ] ( ) [ (1+ r (x))P [x + r (x)]− C [r (x)]r (x) = 0 ' 2
"
" 2 2
2
' 2
(7)
Substitusi (6) ke (7)
(x))P [x + r2 (x)] (x)P [x + r2 (x)] C2' [r2 (x )]− P[x + r2 (x )] (1 + r2' (x))P"[x + r2 (x)] + P' [x + r2 (x )] − C2" [r2 (x )]r2' (x ) = 0 Akan dibuktikan r2' (.) < 0 . Andaikan untuk suatu x 0 , r2' (x 0 ) = 0 , maka: C2' [r2 (x0 )]− P[x0 + r2 (x0 )] P' [x0 + r2 (x0 )]+ P' [x0 + r2 (x0 )] P" [x0 + r2 (x0 )] = 0
(
1 + r2'
+ r2'
'
'
[
] [ ] {P[x + r (x )]− C [r (x )]} = 0 − P'2 x0 + r2 (x0 ) + P" x0 + r2 (x0 ) 0
2
' 2 2
0
(8)
0
Berdasarkan hipotesis P (.) < 0 dan dari (6) '
[
]
[
]
P x 0 + r2 (x 0 ) + r2 (x 0 )P ' x 0 + r2 (x 0 )
[
]
− C 2' r2 (x 0 ) = 0
]
[
]
P x 0 + r2 (x 0 ) > C 2' r2 ( x 0 )
Sehingga (8) kontradiksi dengan hipotesis yaitu P(.) adalah log-konkaf sempurna
(− P
(.) + P " (.)P(.) < 0) atau C 2' (.) > 0 , sehingga haruslah r2' (.) ≠ 0 untuk r2 (.) > 0 . Dan berdasarkan Lemma 2 maka r2' (.) < 0 . '2
2) Misalkan kesetimbangan
(x
s
( ))
, r2 x s
Stackelberg
asumsi, maka harus ∂π 1 x, y =0 memenuhi: ∂x Jika x s , r2 x s juga merupakan interior
(
adalah dengan
( )
( ))
solution, maka akan memenuhi: ∂π 1 x s , r2 x s ∂π 1 x s , r2 x s ' s + r2 x ≤ 0 ∂x ∂y
(
( ))
(
( )) ( )
r2' (.) < 0
Diketahui
dan
∂π 1 (x, y ) = ∂y
xP ' (x + y ) , karena P ' (.) < 0 dan x ≥ 0 ∂π 1 < 0 . Sehingga diperoleh maka ∂y
(
( )) < 0
∂π 1 x s , r2 x s
. Akibatnya x ≠ x s dan ∂x r2 x ≠ r2 x s . Terbukti bahwa titik ekstrim
() ( )
( )
kesetimbangan Nash x, y ∉ S1 . Bukti Teorema 6. Akan dibuktikan bahwa : E = {(e, e ), N } Menurut Proposisi 1(a) akan dibuktikan: 1. Masing-masing perusahaan-i lebih baik berada pada sembarang titik di S i daripada di sembarang titik pada N. 2. Masing-masing perusahaan-i lebih memilih imbalan pada sembarang titik terburuk di N daripada sembarang imbalan sebagai follower. Lemma 2 dan Lemma 3 menunjukkan bahwa duopoli kuantitas adalah permainan supermodular. Jadi kesetimbangan CournotNash ada. Karena ruang strategi efektif merupakan selang tertutup, 0, Ki ⊂R
[ ]
[
]
akibatnya 0, K i lengkap dan terbatas total (lihat Teorema 1). Sehingga ruang strategi 0, K i merupakan ruang metrik kompak dengan metrik ρ nilai mutlak. Diketahui pula fungsi imbalan kontinu, maka kesetimbangan Stackelberg juga ada yaitu S1 dan S 2 tidak kosong . 1. Sudah dibuktikan di Lemma 4. 2. Misalkan x s , y s adalah sembarang kesetimbangan Stackelberg dengan perusahaan-1 sebagai leader dan x, y
[
Karena P ' (.) < 0 dan r2 (.) > 0 , maka
[
( )
]
(
)
( )
adalah titik ekstrim kesetimbangan Cournot-Nash. Sebagaimana ditunjukkan di Lemma 5
13
(x, y ) ≠ (x
s
)
, y s . Berdasarkan Lemma 3
dan Lemma 4 kedua titik terletak pada r2 (.) fungsi tanggapan minimal perusahaan-2.
(
) ( )
( ) () ≥ x P(x + y) − C (x )
log P ( x1 + y1 ) − log P (x 2 + y1 )
> log P (x1 + y 2 ) − log P (x 2 + y 2 )
xs P xs + ys − C1 xs > xP x + y − C1 x s
s
s
1
(9)
dimana pertidaksamaan pertama mengikuti sifat kesetimbangan Stackelberg yang digambarkan dalam Lemma 4 dan menurut Lemma 5 x, y ∉ S1 . Pertidaksamaan kedua
( )
mengikuti sifat kesetimbangan Nash. Karena π 1 menurun pada y, maka pertidaksamaan (9) menghasilkan
()
( )
r2 x s = y s < y = r2 x
dan r2 (.) merupakan fungsi turun sehingga menghasilkan x s > x .Maka untuk setiap y, keuntungan pemain-2 memenuhi:
( )
(
)
yP x + y − C2 ( y) > yP xs + y − C2 ( y)
(10)
Ambil sup y ≥ 0 pada kedua sisi dari pertidaksamaan (10), berdasarkan definisi x, y dan Lemma 4 menghasilkan:
( ) yP (x + y )− C (y ) > y P (x s
2
s
)
Berdasarkan Lemma 1, karena log P konveks sempurna maka supermodular sempurna di (x, y ) , maka untuk sembarang x1 > x 2 , y1 > y 2 :
( )
+ y s − C2 y s
Ini berarti follower lebih memilih kesetimbangan Cournot-Nash terburuk daripada kesetimbangan Stackelberg. Cara yang sama dilakukan untuk perusahaan-2 sebagai leader dengan x, y sebagai titik ekstrim kesetimbangan Cournot-Nash.
( )
4.4 Model Duopoli Stackelberg Teorema berikut memberikan suatu kondisi minimal pada harga pasar dan biaya yang akan menghasilkan model duopoli Stackelberg. Teorema 7 Jika P(.) log-konveks sempurna yaitu
P " (.)P(.) − P '2 (.) > 0 , C i (.) = 0 untuk i=1,2 lim xP(x + y ) = 0, ∀y tetap , maka dan x →∞
E = {(e, l ), S1} ∪ {(l , e ), S 2 } .
Bukti. Dari hipotesis diketahui P(.) log konveks sempurna maka log P konveks sempurna.
⇔ log
P (x1 + y1 ) P(x1 + y 2 ) > log P( x 2 + y1 ) P(x 2 + y 2 )
P (x1 + y1 ) P (x1 + y2 ) > P (x2 + y1 ) P (x2 + y2 ) Misal diasumsikan bahwa: x1P (x1 + y 2 ) − C1 (x1 ) ≥ x2 P (x2 + y2 ) − C1 (x2 ) Substitusi (11) ke (12), didapat: x1 P(x1 + y 2 ) − C1 (x1 ) ⇔
> x2
(11) (12 )
P(x1 + y 2 ) P(x 2 + y1 ) − C1 (x 2 ) P(x1 + y1 )
Kemudian kali silang dengan x1 P(x1 + y1 ) −
P(x1 + y1 ) P(x1 + y 2 )
P(x1 + y1 ) C1 (x1 ) P(x1 + y 2 )
P(x1 + y1 ) C1 ( x 2 ) P(x1 + y 2 ) Karena x1 > x 2 , y1 > y 2 , P fungsi turun dan C1 (.) fungsi naik, maka > x 2 P(x 2 + y1 ) −
P(x1 + y1 ) < P(x1 + y 2 ) C1 (x1 ) > C1 (x 2 ) , sehingga diperoleh: x1 P (x1 + y1 ) − C1 (x1 )
≥ x 2 P (x 2 + y1 ) − C1 (x 2 )
dan
(13)
Karena (12) berimplikasi (13) maka π 1 adalah SSCP. Untuk membuktikan π 2 adalah SSCP dilakukan cara yang sama, sehingga π i mempunyai SSCP. Akibatnya berdasarkan Teorema 5 setiap pilihan ri (.) merupakan fungsi tak turun di kuantitas pesaing. Diberikan permainan simetri, karena lim xP(x + y ) = 0 maka berdasarkan x →∞
Teorema 3 diketahui bahwa kedua pemain lebih memilih kesetimbangan Cournot (x, x ) terkecil daripada semua kesetimbangan Cournot yang lain. Selanjutnya akan dibedakan menjadi dua kasus.
14
Kasus 1 : Jika x finite Dengan menggunakan proposisi 1 (b) akan dibuktikan bahwa : 1. Masing-masing perusahaan-i lebih baik berada pada sembarang titik di S i daripada di sembarang titik pada N. 2. Masing-masing perusahaan-i lebih memilih imbalan follower terburuk daripada sembarang titik di N.
Bukti. Akan dibuktikan: • Setiap titik
Bukti bagian 1. Dibuktikan di lemma 6. 2. Misalkan x s , y s adalah sembarang kesetimbangan Stackelberg dengan leader. perusahaan-1 sebagai x s , y s ∉ N , analog seperti pada lemma 5. Didapat :
Karena imbalannya kontinu, maka mempunyai pilihan minimum r2 (.) kontinu
(
(
)
)
(
)
(
(
)
x s P x s + y s > xP x + y ≥ x s P x s + y
)
dimana pertidaksamaan pertama mengikuti sifat Stackelberg dan pertidaksamaan kedua dari sifat Nash. Karena y s < y dan analog dengan Lemma 5, r 2 (.) adalah fungsi naik, maka x s < x . Untuk setiap y berlaku :
(
)
(14 ) yP x s + y > yP (x + y ) Ambil sup y ≥ 0 pada kedua sisi pertidaksamaan (14) menghasilkan : y s P x s + y s > xP (2 x ) Ini berarti follower lebih memilih sembarang kesetimbangan Stackelberg daripada kesetimbangan Cournot terbaik.
(
)
Kasus 2 : Jika x = +∞ Berdasarkan asumsi, kesetimbangan Cournot yang berhubungan dengan (x, x ) adalah 0, karena limxP(2x) ≤ limxP(x + y) = 0, x→∞
x→∞
yang juga imbalan terkecil untuk pemain. Karena itu leader selalu mengambil kuantitas finite maka follower akan bereaksi finite sebab dengan kuantitas xP(x + y ) → 0 untuk x → ∞ , ∀y tetap. Akibatnya menghasilkan imbalan kesetimbangan Stackelberg lebih dari 0 untuk kedua pemain. Maka follower akan memilih sembarang kesetimbangan Stackelberg daripada Kesetimbangan Nash yang unik. Lemma 6 Berdasarkan asumsi Teorema 7, kesimpulan Lemma 4 diperoleh.
(x
{
s
)
, y s ∈ r2 (.)
dan
}
S1 = arg maks π 1 (x, y ) : (x, y ) ∈ r2 (.) x ≥0 s
(
) ≥ π (x, y )
π1 x s , y
•
1
Pertama akan ditunjukkan bahwa setiap titik x s , y s ∈ r2 (.) .
(
)
kiri. Misalkan ada kesetimbangan Stackelberg sedemikian sehingga x s , y s ∉ r2 (.)
(
y
) > r (x ) .
s
s
Dari Teorema 7 diketahui
2
bahwa setiap pilihan r2 (.) adalah tak turun. Karena itu, himpunan titik di r2 (.) tidak bernilai tunggal serupa dengan himpunan titik di pilihan r2 (.) yang tak kontinu. r2 (.) bernilai banyak di x s . Karena itu dapat ditentukan bahwa untuk ε > 0 sedemikian sehingga pilih x s − ε untuk leader yang akan membawa pada tanggapan terbaik follower yang unik yaitu r2 (.) bernilai tunggal di x s − ε . Ini tidak fisibel jika x s = 0 , walaupun π 1 (0, y ) = 0, ∀y . Karena itu haruslah xs > 0 . Karena y s > r2 x s
( ) dan r (x − ε ) < y . s
maka
r2 (.) kontinu kiri
s
Diketahui
2
pula
π 1 (x, y ) kontinu di x dan turun di y, maka menghasilkan imbalan leader yaitu: π 1 x s − ε , r2 x s − ε > π 1 x s , y s
(
(
))
(
)
Kontradiksi dengan hipotesis bahwa x s , y s adalah kesetimbangan Stackelberg.
(
)
(x , y )∈ r (.) dan (x, r (x )) . Jadi semua titik
Karena itu haruslah S 1 = arg maks π 1 x ≥0
s
s
2
2
di S1 menghasilkan imbalan yang sama
( )
untuk leader. Dari Teorema 7, x, y adalah kesetimbangan Cournot-Nash perusahaan-1 paling terpilih dan x, y ∈ r2 (.) , maka
(
)
( )
π 1 x s , y s ≥ π 1 x, y .
( )
