Wiskunde Examentraining VMBO KGT Bijlesbureau J&L vof
Voorwoord
De voorbereiding op het eindexamen is zonder meer lastig. Nog afgezien van de tijdsdruk is het best moeilijk te bepalen aan welke examenonderwerpen je nu wel of geen aandacht moet besteden en welke tijdsplanning voor jou het beste is. Juist in deze spannende periode kun je professionele begeleiding en een strak studieschema goed gebruiken. De cursus is opgezet om je zo goed mogelijk voor te bereiden op je eindexamen. De reader is opgebouwd uit 2 delen. Deel 1 is oefenen op onderwerp. In dit deel zijn de examenopgaven gerangschikt op onderwerp en in opklimmende moeilijkheidsgraad geplaatst. Door de uitgebreide uitwerken die na elke les in dropbox komen te staan kan je ook na de les dat onderdeel nog even goed bestuderen. Op die manier vergroot je je kennis van de verschillende onderdelen. In deel 2 zitten volledige examens. Deze zitten nu nog niet in de reader verwerkt, maar krijg je later van je begeleider uitgereikt. In de wiskunde kennen we 4 onderdelen die wordt getoetst op het centraal examen: 1. Algebraïsche verbanden 2. Rekenen, meten en schatten 3. Meetkunde 4. Informatieverwerking en statistiek Opmerking: In de afgelopen jaren is onderdeel 4 niet in het centraal examen opgenomen, toch behandelen we dit onderdeel, dit om te reden dat het wel in de schooltoetsen voorkomt. Ik wens jou veel succes met de voorbereiding van je eindexamen wiskunde!
2
Hoofdstuk 1 Algebraïsche verbanden Paragraaf A: Verbanden Je hoort wel eens zinnen als • Hoe harder je fietst, hoe eerder je thuis bent. • Hoe langer een kaars brandt, hoe korter de kaars is. • Hoe langer de taxirit, hoe duurder! Als twee dingen iets met elkaar te maken hebben, is er een verband tussen die dingen. Wat is nou zo geweldig aan wiskunde? Het is een fantastische taal om over verbanden te praten! Een verband kun je op verschillende manieren laten zien. Je kunt erover praten, door bijvoorbeeld een hoe … hoe… zin te maken. Je kunt een verband ook laten zien in een tabel, een grafiek en een formule. Oefening 1: Magnetic In een doos Magnetic zitten magnetische staafjes en metalen knikkers. Met de staafjes en knikkers kunnen figuren gemaakt worden. Alle staafjes hebben dezelfde lengte en alle knikkers zijn even groot. Hieronder zie je de eerste drie figuren uit een reeks. Figuur 1 is een ruit, in figuur 2 zie je in de onderste rij twee ruiten, in figuur 3 zie je in de onderste rij drie ruiten.
Hoeveel knikkers zijn er in totaal nodig voor het maken van figuur 4?
3
Oefening 2: Straatje leggen Hiernaast zie je een foto van een stuk sierbestrating. De stenen die hiervoor gebruikt worden heten klinkers. De klinkers worden in drietallen naast elkaar gelegd. Zo ontstaat telkens een vierkant. De vierkanten worden gelegd volgens een bepaald patroon. Hieronder zie je de eerste vier figuren uit een reeks. Het rangnummer van elke figuur is aangegeven met de letter n. De figuur met rangnummer 2 bestaat dus uit 4 vierkanten.
a. Hoeveel vierkanten heeft de figuur met rangnummer 6? Laat zien hoe je aan je antwoord komt. b. Geef de formule die hoort bij het verband tussen het aantal klinkers van een figuur en zijn rangnummer n volgens dit patroon.
4
Oefening 3: Griepje opgelopen Op 26 april 2009 werd er in Mexico een nieuw griepvirus ontdekt. Er werden op die dag wereldwijd 38 patiënten geteld met deze Mexicaanse griep. In de maanden daarna nam het aantal aan deze griep lijdende patiënten vrijwel exponentieel toe. Met de gegevens over het aantal patiënten van de griep werd een formule opgesteld om het aantal grieppatiënten na 26 april te kunnen schatten.
A = 38 × 1,198t
Hierin is A het aantal grieppatiënten wereldwijd en t het aantal dagen na 26 april 2009. a. Met hoeveel procent nam het aantal grieppatiënten wereldwijd volgens de formule per dag toe? b. Bereken het aantal grieppatiënten dat er volgens de formule wereldwijd zou zijn op 1 mei 2009. Oefening 4: Heb je het koud!? Het vermogen van een houtkachel is de hoeveelheid warmte die de kachel kan produceren. Dit vermogen wordt aangegeven in kilowatt (kW). Er is een verband tussen het benodigde vermogen van een houtkachel en de inhoud van de te verwarmen ruimte. Ook hangt het benodigde vermogen af van de isolatie van de ruimte. Hieronder zijn in een assenstelsel drie grafieken getekend die dit verband weergeven.
Bij de grafiek van niet geïsoleerde ruimte hoort een lineair verband. Geef de formule.
5
Paragraaf B: Tabellen Een tabel is een manier om informatie te verwerken. Een tabel kan ook gebruikt worden om een verband tussen variabelen weer te geven. Je kunt dan snel conclusies trekken. De informatie in een tabel kun je ook gebruiken om een grafiek te tekenen. Ook kun je het verband wat in een tabel beschreven staat 'vangen' in een formule.
Oefening 1: Knikkeren? Op de foto hieronder zie je magnetische knikkers die op een bepaalde manier gestapeld zijn.
De stapel in voorbeeld 1 bestaat uit twee lagen, die in voorbeeld 2 uit drie lagen en de stapel in voorbeeld 3 heeft vier lagen. Elke laag wordt volledig gevuld. De bovenste laag, laag 1, bestaat altijd uit één knikker. Daaronder komt een tweede laag met drie knikkers, laag 3 bestaat uit zes knikkers, enzovoort. We kunnen de stapel hoger maken door meer lagen toe te voegen. In de tabel is het aantal knikkers in de lagen 1, 2, 3, 4 en 8 al ingevuld. Vul de tabel helemaal in.
6
Oefening 2: Lekker vouwen In figuur 1 zie je een vierkant. Dit vierkant wordt in tweeën gedeeld, dan ontstaat figuur 2. Daarna wordt een helft weer in tweeën gedeeld (figuur 3) enzovoort. Dit kan eindeloos zo doorgaan. Eén driehoek wordt steeds grijsgekleurd.
Het vierkant heeft een zijde van 32 cm. Er is een verband tussen de oppervlakte van de grijze driehoek O en het figuurnummer f. Vul de tabel verder in.
7
Paragraaf C: Grafieken
Met grafieken kun je zien wat het verband is tussen twee variabelen. Een grafiek is bijvoorbeeld stijgend, dalend of contstant. Je kunt ook twee grafieken met elkaar vergelijken.
De blauwe lijn is de verkoop van warme handschoenen. De roze lijn is de verkoop van zomerkleding. Opgave 1: Dagje attractiepark? Een fabrikant van practicummateriaal voor natuurkunde heeft in 2009 als reclame onderstaande ansichtkaart verstuurd aan alle scholen in Nederland.
Bij dit gedeelte van de achtbaan hoort de formule: H = -‐0,1a2 + 2a +14,9 Hierin is H de hoogte in meter en a de horizontale afstand in meter. Toon met een berekening aan dat bij een horizontale afstand van 0 meter de hoogte van de achtbaan 14,9 meter is.
8
Opgave 2: Kippetje kippetje James wil een kippenren aanleggen in de vorm van een rechthoek. Hij gebruikt 15 meter gaas om de kippenren rondom af te zetten De oppervlakte van de kippenren kan James berekenen met de formule oppervlakte = 8 x lengte – lengte2 Hierin is lengte in meter en oppervlakte in m2.
Teken de grafiek die bij deze formule hoort
9
Oefening 3: Quetelet? De queteletindex QI wordt gebruikt bij medische keuringen in het leger. Het is een getal dat wordt afgeleid uit de lengte en het gewicht van militairen. De QI wordt berekend met onderstaande formule:
QI=gewicht : Lengte2 In de tabel hieronder kun je zien welke gewichtsomschrijving bij verschillende waarden van de QI hoort. Bij QI = 24 hoort dus de omschrijving “normaal gewicht”.
In de figuur hieronder staan vier lijnen. Deze vier lijnen horen bij een QI van 18, 25, 30 en 40.
Een luitenant heeft een gewicht van 59 kg en een lengte van 1,86 meter. Welke van de vier gewichtsomschrijvingen hoort bij hem? Laat zien hoe je aan je antwoord komt.
10
Paragraaf D: Formules
Een woordformule wordt gebruikt om te laten zien wat de relatie is van twee dingen. Een glazenwasser gebruikt de volgende formule om uit te rekenen wat het kost: Bedrag (in €) = 25 + 35 x aantal uur In deze formule staan de variabelen tijd (aantal uur) en kosten (bedrag in euro) met elkaar in verband. Opgave 1: Bang voor onweer? Als het onweert, zie je eerst de bliksemflits en even later hoor je de donder. De donder hoor je pas als het geluid de afstand tussen het onweer en jou heeft afgelegd. De snelheid van het geluid is 333 meter per seconde. De tijd tussen het zien van de bliksemflits en het horen van de donder wordt de tussentijd genoemd. Als je de tussentijd in seconden weet, kun je daarmee de afstand tot het onweer in kilometer berekenen. Er is een verband tussen de afstand tot het onweer in kilometer en de tussentijd in seconden. Geef een woordformule bij dit verband. Opgave 2: Dagje skiën Johan en Marije gaan een wandeltocht maken in de bergen. Voor de steilste stukken in de tocht maken ze gebruik van cabineliften. In de tekening zie je een schema van deze tocht. Johan en Marije gaan eerst vanuit A naar B. Dan wandelen ze naar C en van daaruit gaan ze naar D.
De eerste cabinelift gaat van A (1194 m) naar B (1934 m). De cabine doet er 10 minuten over om boven te komen. We gaan ervan uit dat de kabel van de lift overal even steil loopt en dat de snelheid van de cabine overal even groot is. Voor de tocht met deze cabine is de volgende formule opgesteld h = 1194 + 74 x t Hierin is h de hoogte waarop de cabine zich bevindt in meters en t de tijd in minuten na het vertrek van de cabine vanuit A.
11
De tweede cabinelift op de wandelroute gaat van C (2314 m) naar D (1378 m). Deze cabine doet er 12 minuten over om beneden te komen. Ook de kabel van deze lift loopt overal even steil en de snelheid van de cabine is overal even groot. Er is een verband tussen de hoogte h waarop de cabine zich bevindt in meters en de tijd t in minuten na het vertrek van de cabine vanuit C. Schrijf een formule op die bij dit verband hoort.
Paragraaf E: Rekenen met formules
Met woordformules kun je rekenen. Een glazenwasser kan met de volgende woordformule bijvoorbeeld laten zien wat de relatie is tussen het aantal uur dat hij moet werken, en wat het kost. bedrag (in €) = 25 + 35 x aantal uur Een uur werk kost dus 25 + 35 x 1 = € 60 Drie uur werk kost dus 25 + 35 x 3 = € 130 We kunnen deze woordformule korter opschrijven. We kunnen alles afkorten. Het aantal uur kunnen we afkorten met u. Het bedrag wordt dan b. De nieuwe formule wordt dan: b = 25 + 35 x u Hierbij is b het bedrag en u het aantal uur. Wanneer de glazenwasser 5 uur gewerkt heeft dan heeft hij verdiend: b = 25+35xu b = 25+35x5 b = 25+175 b = 200 Oftewel: € 200,-‐ !! Da's mooi verdiend!
12
Opgave 1: Stukje fietsen? Hoe groot een fiets is, wordt aangegeven met de framemaat. Als je een nieuwe fiets koopt, moet je er voor zorgen dat je de framemaat koopt die past bij jouw lengte. In een folder van een fietsenzaak staat daarover de volgende informatie. Framemaat bepalen:
De framemaat wordt afgerond op hele centimeters. a. Lydia wil een sportieve fiets kopen en haar beenlengte is 70 cm. Welke framemaat moet Lydia nemen? Schrijf je berekening op. b. Nico heeft een sportieve fiets met een framemaat van 57 cm. Hij wil deze inruilen voor een stadsfiets. Bereken welke framemaat deze stadsfiets moet hebben. Schrijf je berekening op.
13
Opgave 2: Hieronder staat een 4 bij 4 magisch vierkant. In dit vierkant staan in de 16 vakjes de getallen 1 tot en met 16.
In elk magisch vierkant geldt dat als je de getallen horizontaal, verticaal of langs een diagonaal optelt, je steeds dezelfde uitkomst krijgt. Er zijn ook magische vierkanten met andere afmetingen, bijvoorbeeld 3 bij 3, 5 bij 5 of 6 bij 6. In elk van deze magische vierkanten is het kleinste getal 1 en zijn de andere getallen opeenvolgend. Er bestaat een formule voor magische vierkanten van n bij n waarmee je kunt uitrekenen wat de uitkomst is als je de getallen horizontaal, verticaal of diagonaal optelt. Deze formule is: a. Bereken met behulp van deze formule de uitkomst bij een 5 bij 5 magisch vierkant. Schrijf je berekening op b. Hoeveel vakjes heeft een magisch vierkant waarvan de uitkomst 369 is? Schrijf je berekening op.
Ter afsluiting van hoofdstuk 1
Met wiskunde kun je uitstekend laten zien wat het verband tussen dingen is. Dat kan met een tabel, een grafiek of een formule. Met een tabel kun je een formule maken, met een formule kun je een grafiek maken, met een formule kun je een tabel maken, met een grafiek kun je een formule maken, ..... enzovoort. Een tabel is gewoon een andere manier om te laten zien wat het verband is dan een grafiek of formule. Je kan de ene 'manier' omzetten in een andere 'manier'.
14
15
