ministerie variveifccjererT waterstaat 1988^721
m m
ë
Öt^mj>
VAM ^y^OepMAl^
VJfël^Btófó^
OPIJC^SINGEN
VOOR
WEG."
*
A^tis A.Zwagemaker s Rijswijk
M *
*
*
C 7898
: :- augustus 198S
"ONTWERP VAN SUB-OPTIMALE OPLOSSNGEN VOOR HET VERHARDINGSONDERHOUD VAN EEN WEG."
A.H.A.Zwagemakers TU-Delft, Rijkswaterstaat Dienst Informatieverwerking,
Rijswijk. augustus 1988
INHOUD:
Hoofdstuk 1 1.1 1.2 1.3 1.4 Hoofdstuk 2 2.1 2.2 . 2.3 2.4 2.5 2.6
Lijst van gebruikte symbolen.
1
Voorwoord.
2
Samenvatting.
3
Inleiding.
5
Rationeel wegonderhoud in het verleden. Beoordeling van kwaliteit. Kwaliteitsverbetering. Rendementsberekeningen. Probleem- en modelvorming. Probleembeschrijving. Toestanden en tijd. Onderhoudsstrategie. Onderhoudseffecten. Beperkingen van de oude modelaanpak. Nieuwe probleemstelling.
Hoofdstuk 3
Nieuwe modelbenadering.
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8
Projectniveau. Stochastisch verloop. Rente. Alternatieve maatregelen. Analyse van kosten. Oplossingsmethoden. L.P. formulering. Een klein voorbeeld.
Hoofdstuk 4 4.1 4.2 4.3 4.4 Hoofdstuk 5 5.1 5.2 5.3 5.4 Hoofdstuk 6 6.1 6.2 6.3
6.4
11
Gevoeligheidsanalyse.
17
44
Inleiding. Gevoeligheidsanalyse door variatie van kosten. Gevoelige maatregelen. Gevoeligheid t.a.v de rente. Alternatieve maatregelen en strategieën.
57
Inleiding Alternatieven voor een maatregel. Alternatieven voor een reeks van maatregelen (strategie). Conclusies met betrekking tot alternatieven. Een praktijkvoorbeeld. Inleiding. Invoer. Resultaten: optimale onderhoudsstrategie. 6.3.1 Optimaal onderhoudsontwerp voor probleem Pv 6.3.2 Optimaal onderhoudsontwerp voor probleem Pxa. 6.3.3 Optimaal onderhoudsontwerp voor probleem Pjb. 6.3.4 Optimaal onderhoudsontwerp voor probleem PiC 6.3.5 Optimaal onderhoudsontwerp voor probleem P2. 6.3.6 Optimaal onderhoudsontwerp voor probleem P 2 a. Gevoeligheidsanalyse en sub-optimale strategieën.
66
6.5
Hoofdstuk 7 7.1 7.2 7.3
Conclusies.
Evaluatie. Conclusies. Opmerkingen. Aanbevelingen.
Literatuur Bijlage Bijlage Bijlage Bijlage
1 2 3 4
87
90 Budgetteringsmodel (methode Tolman). Werken met het FMPS-pakket. Beslissingsregels voor een praktijkvoorbeeld. Tabellenboek van een praktijkvoorbeeld.
91 94 104 109
LIJST VAN GEBRUIKTE SYMBOLEN.
c< B Bj B Bn
: : : : :
6 G K Ki(m) K,j K (t) m M m,Mj
: : : : : : : : : :
N 0,P,Q,R Pij(m)
: : :
p, Pi r rk rld. S
: : : : : :
tj T, W
: : : :
W rf
: :
Yj Y*
: :
discontofactor overall budget in een stationaire keten annuïteiten budget horend bij toestand i overall annuïteiten budget gerekend vanaf tijdstip t gerekend overall budget bij de n-de iteratiestap in een stationaire keten verstoringsfactor van de kosten prijsgrens kosten kosten van maatregel m toegepast op toestand i kosten horend bij de overgang van toestand i naar toestand j kosten gemaakt in het t - d e jaar een maatregel die ter beschikking staat set van beschikbare maatregelen een voorgeschreven maatregel op toestand i uit de strategie variabele die een toegestane maatregel op een toestand aangeeft (verband tussen index, toestand en maatregel blijkt uit de tekst) grootte toestandsruimte symbolen voor maatregelnamen overgangskans van toestand i naar toestand j door toepassing van maatregel m kans van optreden van een toestand op tijdstip t kans van optreden van een toestand in een stationaire keten rente in procenten positief rechterlid van de primale toestandsbeperkingen restlevensduur een verzameling van voorgeschreven maatregelen op alle toestanden 1,..,N (strategie) restlevensduur van wegkenmerk i maximale restlevensduur van wegkenmerk i contante waarde van de in de toekomst te maken kosten contante waarde van de in de toekomst te maken kosten berekend vanaf en herleid naar tijdstip t contante waarde van de kosten voor toestand i contante waarde van de kosten berekend vanaf en herleid naar tijdstip t horend bij toestand i saldo horend bij toestand i berekend saldo in de n-de iteratiestap
1
VOORWOORD.
Dit rapport is tot stand gekomen in het kader van een afstudeerproject onder auspiciën van prof.dr. F.A. Lootsma, aan de faculteit der Technische Wiskunde en Informatica
van de Tü-Delft.
Het afstudeerproject
werd verricht
bij
Rijkswaterstaat, Dienst Informatie Verwerking, in opdracht van de Dienst Wegen Waterbouwkunde. Begeleid door ir. T.C.A. Mensch (TC-Delft) en ir. M.J.P.H. Waltmans (RWS/DIV) is een wiskundig beslissingsprobleenj uit de wegenbouw in kaart gebracht in overleg met de opdrachtgevers drs. ir. J.H. Geerts en ir J.B.M. van Wieringen (RWS/DWW). Het probleem en de wiskundige aanpak worden in dit verslag beschreven.
2
SAMENVATTING.
Ten behoeve van rationeel
wegbeheer is binnen de Rijkswaterstaat
het
ontwikkelen van een beslissingsondersteunend systeem onderwerp van studie. Eén van deze studie aktiviteiten resulteerde in 1983 tot een rekenmodel. Met dit rekenmodel werd het mogelijk het minimale budget, nodig voor
het
verhardingsonderhoud, te bepaJen gegeven zekere kwaliteitsrichtlijnen. De beslissingsruimte Markov-proces
van
over
dit
een
tijdsruimte. Het model
budgetteringsmodel
eindige
is beschreven
toestandsruimte
is ontwikkeld
voor
en
gebruik
in
een
als
een
discrete
op beleidsniveau
of
netwerkniveau. Op netwerkniveau wordt namelijk de budgettering op langere termijn
vastgesteld.
Nu
is
echter
de
behoefte
geconstateerd
aan
een
complementair model voor de korte termijn planning op uitvoerend niveau of projectniveau. Een model waar rekening wordt gehouden met specifieke project omstandigheden zoals rente, uitsluiten of vastleggen van maatregel, enz. Bij het onderhoud van een wegdek gaat het erom zo goedkoop mogelijk het wegdek te verbeteren, zodanig dat het wegdek blijft voldoen aan een aantal eisen met betrekking tot de kwaliteit. Ter verbetering van de kwaliteit staat de wegbeheerder een aantal akties ter beschikking. De vraag is dus wanneer en welke akties uitgevoerd dienen te worden willen de onderhoudskosten zo laag mogelijk zijn. Uitgaande van de beslisruimte van het budgetteringsmodel, is in deze ruimte bij
de
kosten-/batenanalyse
een
nieuwe
maatstaf,
relevant
voor
het
projectniveau, gehanteerd. Deze maatstaf is op basis van contante waarden. Dit zijn de toekomstige kosten die herleid zijn naar waarden in de huidige tijd. Een budget wordt verkregen door de contante waarde van de kosten in een annuïteit om te zetten. Analoog met het budgetteringmodel wordt in het model op projectniveau
(onderhoudsmodel)
dit
annuïteitenbudget
geminimaliseerd
hetgeen equivalent is met het minimaliseren van de contante waarde van de kosten. Een wegbeheerder wil uit alternatieve maatregelen kunnen kiezen, als de
3
gevonden optimale oplossing niet toepasbaar (b)lijkt. Dit kan veroorzaakt worden doordat bijvoorbeeld Er gebrek aan capaciteit is bij de wegenbouwer wegens projecten elders. Een wegbeheerder meerdere aanliggende wegeenheden onder zijn beheer heeft. Deze wegeenheden kunnen in een verschillende conditie verkeren. Door samenvoegen van de wegeenheden tot één onderhoudsproject kan de wegbeheerder een kostenreductie bewerkstelligen. Deze kostenreductie kan leiden tot een andere optimale oplossing. De vraag dient zich aan bij welk prijsniveau een niet-optimale maatregel optimaal wordt. Een wegbeheerder er belang bij heeft, dat hem een werkbare optimale oplossing wordt geboden. Een oplossing die minder fluctuaties vertoont bij geringe prijswijzigingen. De interesse bestaat in een gevoeligheidsanalyse van de kosten. Wiskundig heeft dit tot een L.P.-modelformulering geleid. Met behulp van een standaard L.P.-pakket wordt het onderhoudsmodel geoptimaliseerd en een post-optimalisatie uitgevoerd. Uit de hierdoor verkregen uitkomsten worden sub-optimale maatregelen en strategiën verder uitgewerkt. Met een praktijkvoorbeeld wordt de methode ge'fllusteerd. De opdrachtgever heeft het model aan de hand van de uitkomsten van de praktijkproblemen als heel geloofwaardig beoordeeld. Het model bevestigt de huidige werkwijze van Rijkswaterstaat met betrekking tot het onderhoud van asfaltverhardigen. Het is met het model mogelijk sneller in te spelen op veranderde marktprijzen. De conclusie lijkt gerechtvaardigd dat de L.P. formulering voldoet aan de eisen om tot een beter onderbouwde onderhoudsstrategie te komen. In een redelijke tijd is het mogelijk om een optimale oplossing te vinden samen met een volledige gevoeligheidsanalyse met betrekking tot de kosten coëfficiënten. Indien geïmplementeerd in een database biedt het gegevensbestand dat met het L.P. -pakket verkregen wordt, een voldoende basis om aan de wensen van wegbeheerders te voldoen. Bet is behoorlijk goed geslaagd om tot een in de praktijk zeer nuttig en kostenbesparend instrument ter ondersteuning van onderhoudsbeslissingen te komen.
4
Hoofdstuk 1
1.1
INLEIDING.
Rationeel wegonderhoud in het verleden.
Enige tientallen jaren geleden was het wegenbouvrak vrijwel uitsluitend praktisch gericht. Onderhoudsmaatregelen werden genomen op grond van de ervaring van de wegbeheerder. Men zag toen veel, wat men thans noemt, klein onderhoud. Wat grootschaliger maatregelen, die toen toegepast werden, waren af en toe een oppervlaktebehandeling en soms eea nieuwe deklaag. De beslissingen, tot het nemen van deze maatregelen, waren niet systematisch en de normen werden in feite bepaald door de subjectieve inzichten van de plaatselijke wegbeheerder [8]. Met de explosieve groei van het wegennet steeg de belangstelling voor een meer rationele aanpak van het wegonderhoud. De maaöchappelijke, financiële en technische ontwikkelingen van de laatste jaren versterkten nog deze belangstelling. Iedereen, die thans betrokken is bij het wegbeheer, is doordrongen van de noodzaak om de middelen nodig voor bet onderhoud van wegen zo efficiënt mogelijk te besteden. Om dit te realiseren, is een systematische onderhoudsplanning, gebaseerd op objectieve gegevens onmisbaar. Een dergelijk systeem moet resultaten opleveren die een goede basis vormen voor het nemen van beslissingen op zowel beleids- als uitvoerend niveau. Ten behoeve van rationeel wegbeheer is binnen de Rijkswaterstaat het ontwikkelen van een beslissingsondersteunend sys;eem onderwerp van uitgebreide studie. Eén van deze studie aktiviteiten resulteerde in 1983 tot een door T.R.G. Tolman ontwikkeld rekenmodel [3,13]. Met dit rekenmodel werd het mogelijk het minimale budget, nodig voor het verhardingsonder houd, te bepalen, gegeven zekere kwaliteitsrichtlijnen. Dit model van Tolman is ontwikkeld voor gebruik op beleidsniveau of netwerkniveau. Op netwerkniveau wordt namelijk de budgettering op langere termijn (20 jaar) vastgesteld. Het model schiep echter de behoefte aan een complementair model voor de korte termijn planning op uitvoerend niveau of projectniveau [3]. In dit rapport wordt de ontwikkeling beschreven van zo'n model op projectniveau. Een model waar rekening gehouden wordt met de specifieke project omstandigheden zoals rente, uitsluiten of vastleggen van bepaalde maatregelen, enz.
1.2
Beoordeling van kwaliteit.
Om een minimale kwaliteit te kunnen waarborgen via een rekenmodel, is hel noodzakelijk de kwaliteit te kwantificeren. Er wordt daarom gebruik gemaakt van de relatie tussen kwaliteit en wegkenmerken. Kwaliteit is te verdelen in een aantal kwaliteitsaspecten, zoals veiligheid, comfort en duurzaamheid. De toestand van een weg wordt beschreven door waarderingen toe te kennen aan wegkenmerken. Wegkenmerken zijn onder te verdelen in de volgende schadegroepen [2]: Textuur: dit omvat de kwaliteit van het directe oppervlak (de slijtlaag) van het wegdek met betrekking tot de verhardingssamenstelling en stroefheid. Samenhang: scheurvorming in het oppervlak. Vlakheid: aanwezigheid van oneffenheden en sporen. Draagkracht: de toestand van de fundering of onderlaag van het wegdek. Onder deze schadegroepen vallen o.a. de wegkenmerken: Rafeling, dit is het verdwijnen van de steenslag uit het oppervlak van de verharding. Rafeling valt onder de schadegroep Textuur. Krakelee. dit is een patroon van langs- en dwarsscbeuren die een aantal onregelmatige veelhoeken vormen. De oorzaak hiervan is te wijten aan vermoeiings verschijnselen van de ondergrond van de verharding. Krakelee valt onder de schadegroep Samenhang. Spoorvorming, uithollingen in de dwarsrichting veroorzaakt door de regelmatige wieldruk van voertuigen. Langsvlakheid. uithollingen in de lengterichting b.v. ribbelvorming bij verkeerslichten. Langsvlakheid en spoorvorming horen tot de schadegroep vlakheid. Aangezien de draagkracht zeer moeilijk te meten is zijn van deze schadegroep geen bruikbare kenmerken voor de modelvorming voorhanden. Doordat een zware krakelee een indicatie is voor vermoeiing van de ondergrond wordt krakelee wel als kenmerk van de draagkracht gebruikt. De relatie tussen kwaliteitsaspecten en wegkenmerken wordt weergegeven in tabel 1.1.
6
Bij de wegkenmerken horen schadebeelden. Met behulp van visuele inspectie en metingen, worden voor ieder schadebeeld meetwaarden bepaald. Deze meetwaarden resulteren in een getal, de parameterwaarde, voor he; betreffende kenmerk. Deze parameterwaarden zijn door afspraken vastgelegd. Het verloop van deze parameterwaarde in de tijd is nu van belang. Met behulp van een wiskundige beschrijving (dit heet een gedragsmodel) kan dit verloop bij benadering worden weergegeven. Een voorbeeld van een gedragsmodel van het wegkenmerk spoorvorming wordt gegeven in figuur 1.1. De parameterwaarde is dus een maatstaf voor de kwaliteit. Een hogere parameterwaarde geeft een betere kwaliteit weer van een verharding. Met het voortschrijden van de tijd neemt, door diverse oorzaken, de kwaliteit, dus ook de parameterwaarde af. Ervaring en berekeningen hebben uitgewezen wat de minimum parameterwaarde mag zijn, wil de verharding nog een aanvaardbare kwaliteit hebben. Deze minimum waarde is als norm (of richtlijn) vastgelegd. Wanneer de parameterwaarde deze richtlijn onderschrijdt dient er onderhoud uitgevoerd te worden dat de parameterwaarde weer boven de norm brengt. 1.3
Kwaliteitsverbetering.
Ter verbetering van de kwaliteit staan een aantal onderhoudsmaatregelen tot onze beschikking. Deze lopen uiteen van simpele opperviaktebehandelingen, tot verwijderen van de asfaltlaag door bakfrezen of opzagen en vullen met nieuw asfalt [5]. Elke onderhouds maatregel heeft een invloed op een of meer wegkenmerken en zo dus ook op een of meer kwaliteitsaspecten. Bijvoorbeeld een oppervlakte behandeling. Hierbij wordt op het oppervlak van het wegdek een bituumlaag gespoten, waarna er een laag fijn grind overheen wordt gestrooid. Het is duidelijk, dat deze behandeling geen effekt heeft op de draagkracht. Evenzo op de vlakheid omdat de laag te dun is om oneffenheden weg te werken. De meeste invloed heeft deze maatregel op de textuur omdat de nieuwe laag een verandering is van het directe oppervlak van het wegdek. De stroefheid van het wegdek wordt verhoogd en zo dus de veiligheid, een kwaliteitsaspect. Een maatregel verhoogt dus voor één of meer wegkenmerken de parameterwaarde. Het effect van een maatregel op een wegkenmerk wordt weergegeven in het gedragsmodel in figuur-1.2. Dit effect komt uiteindelijk neer op het verlengen van de levensduur van de verharding ten aanzien van dat kenmerk.
8
pararoe t e r waarde
figuur-1.1 Gedragmodel van het wegkenmerk spoorvorming waarbij het effect is weergegeven op de parameterwaarde als de maatregel Sanimat wordt uit gevoerd. Deze maatregel wordt uitgevoerd op het moment dat de parameterwaarde onder de normwaarde komt. De parameterwaarde is de resultante van meetwaarden uit schadebeelden. [3]
1.4
Rendementsberekeningen.
Het zal duidelijk zijn dat onderhoudswerkzaamheden moeten afhangen van rendementen. Dat wil zeggen dat de kosten van een bepaalde onderhoudsmaatregel worden geplaatst tegenover het te bereiken effectOm de kwaliteit van een verharding te verbeteren worden kosten gemaakt. Deze kosten worden niet alleen nu maar ook in de toekomst gemaakt. Hierdoor treedt een waarde verandering op onder invloed van de rente. Daarom dienen deze kosten bij rendementsberekeningen herleid te worden naar een vaste waarde. Een veel gebruikte maatstaf hierbij is de netto contante waarde. Dit is het verschil tussen de contante waarde van de baten en de contante waarden van de kosten. De contante waarde is de waarde van een bedrag op tijdstip i herleid naar nu. Oftewel het bedrag dat we nu moeten uitzetten tegen een vast rente percentage, om op dat tijdstip i een bepaald bedrag te kunnen uitgeven.
10
Hoofdstuk 2
2.1
PROBLEEM- EN MODELVORMING.
Probleembeschrijving.
De verharding van wegen is onderhoudsbehoevend. Een verharding waaraan geen onderhoud gepleegd wordt, neemt geleidelijk in kwaliteit af. De kwaliteit van de verharding wordt beschreven door een aantal kwantificeerbare kenmerken. Voor ieder kenmerk zijn minimale kwaliteitsniveau's vastgesteld. Ter voorkoming van een inferieure kwaliteit, zijn onderhoudsmaatregelen beschikbaar, waarmee één of meer kwaliteitskenmerken kunnen worden verbeterd. De kwaliteit van een verharding kan op verschillende manieren tot uitdrukking worden gebracht, in schadeklasses of in de vorm van restlevensduren. Een globale relatie tussen deze twee is te zien in tabel-2.1 en tabel-2.2 voor twee verschillende wegkenmerken. Bij de Dienst Weg- en waterbouwkunde wordt de kwaliteit van een wegdek uitgedrukt in restlevensduren per wegkenmerk. Omdat restlevensduren op dezelfde schaal uitgedrukt wordt als de tijd en deze voor ieder wegkenmerk gelijk zijn. Dit in tegenstelling tot schadeklassen die voor ieder wegkenmerk verschillend zijn. Er wordt dan in dit verslag gekozen voor een waardering van de kwaliteitskenmerken in restlevensduren.
2.2
Toestand en tijd.
De restlevensduren worden naar gehele tijdseenheden afgerond. Negatieve restlevensduren komen niet voor. Door nu een bovengrens aan de restlevensduren te stellen, wordt bereikt dat een verharding slechts in een eindig aantal toestanden kan verkeren. Een toestand i wordt genoteerd als i =
(tjjtj,...,^)
waarin t;- de restlevensduur is van kenmerk j (tja*
l,...,Ti;
tj»
l,...,!^; ...; tn= l,...,T n )
Een discretisatie van de tijd wordt verkregen door de verharding slechts op vaste tijdstippen, die één tijdseenheid uit elkaar liggen, te bekijken. Een discretisatie van de effecten wordt verkregen door afronding van de restlevensduren op gehele tijdseenheden. De toestand (ti,...,^) wordt wel het telefoonnummer van de wegeenheid genoemd. In het hiernavolgende wordt een
figuur-2.1 G/ o baal verband tussen restlevensduren en schadeklassen met betrekking tot het wegkennerk rafeling. Het gebied tussen twee horizonttle lijnen is een schadeklasse, de schadeklasse O ts "geen schade", de schadeklasse 2 is "matigt schade", de schadeklasse 5 betekent "ernstige schide". De norm ligt bij "matige schade" [15].
figaur-2.2 Globaal verband tussen restlevensduren en schad eklassen met betrekking tot het wegkennerk spoor diepte. Het gebied tussen twee horizontale lijnen is een schadeklasse, de schadeklasse O is "geen schade", de schadeklasse 2 is "matige schade", schadeklasse 5 betekent "ermtige schade". De norm ligt bij "matige schade" [15].
12
toestand verder aangeduid met i: i * (t{,...,tj)
Nu wil t ; zeggen: de restlevensduur van wegkenmeri j voor toestand i.
2.3
Onderhoudsstrategie.
De tijdseenheid is voldoende klein (n.1. één jaar) om per tijdseenheid te volstaan met ten hoogste één maatregel. Door nu de pseudomaatregel "niets doen" of "klein onderhoud" te introduceren, kan nu uit de aldus verkregen set beschikbare maatregelen, aan iedere toestand i éér onderhoudsmaatregel dwingend worden voorgeschreven. Zo'n verzameling van voorgeschreven maatregelen op alle toestanden S = (mi,...,m^) heet eer onderhoudsstrategie.
2.4
Onderhoudseffecten.
Bij een gekozen strategie S wordt voor eenzelfde toesand i altijd eenzelfde maatregel mt uitgevoerd, onafhankelijk van het tijdstip. Het uitvoeren van een onderhoudsmaatregel leidt tot een verandering van de restlevensduur van één of meer wegkenmerken. Deze verandering kan stochastisch voorgesteld worden. De toestandsovergang van i naar j veroorzaakt door een maatregel m* wordt gekarakteriseerd door de kansfunctie:
Py( S ) = P [ x„= j | x„_i= i; mj (2.1) waarbij: S nij
: de onderhoudsstrategie : de onderhoudsmaatregel uit strategie S voor de toestand i x„ : de toestand op t i j d s t i p n Pij( S ) : de kans van de overgang van toestand i naar toestand j bij strategie S.
N
Nu is £ py( S ) = 1, voor elke i = 1,...,N Verondersteld wordt verder dat een verandering van toestand i naar toestand j onafhankelijk is van de voorafgaande toestanden. Dus:
13
P [ *n= J* I *n-l= i , X„_2« i„_2v..,X0= ^ S ] = - P [ x„= j | xn_!= i; S ] Hiermee is een Markov-proces beschreven over een eindige toestandsruimte 1,...,N en in een discrete tijdsruimte. Indien een Markov-proces zeer lang genoeg duurt, mag verondersteld worden dat de kans op het voorkomen van een bepaalde toestand onafhankelijk van de tijd is. Het proces is dan in een stationaire toestand. Gaat men uit van de gemiddelde effecten van iedere onderhoudsmaatregel dan kan men de overgangen deterministisch beschouwen. Overgangen heten deterministisch als bij een toestand i en een strategie S er één £, l e 1,...,N is z.d.d py( S ) = 1 P,;( S ) - 0
als j = l j* l
(2.2)
Dit kan gebruikt worden als de spreiding van de effecten niet te groot is.
2.5
Beperkingen oude model aanpak.
Met de hiervoor beschreven modelvorming heeft Tolman [13] in 1983 een model ontwikkeld om het minimale budget nodig voor het onderhoud van een asfaltverharding, te bepalen. Dit minimale budget wordt bepaald in een deterministisch model waarin de rente niet is opgenomen. Dit omdat er een stationair proces wordt beschouwt. Voor gebruik op project-niveau heeft dit model hierdoor zijn beperkingen. -Door een stationair proces (dit is een proces dat reeds zéér lange tijd gaande is) te beschouwen wordt de tijdsfactor niet in ogenschouw genomen. Het budget wordt berekend over een cyclus die in het model optreedt. Ook al duurt het nog tientallen jaren voordat deze cyclus bereikt wordt. Voor de aktuele toestand, dus op korte termijn, biedt dit model dus geen oplossing voor het bepalen van de optimale strategiën die de totaal te maken kosten minimaliseren.
14
-Meerdere cycli mogen in dit model niet voorkomen. Doordat het budget berekend wordt als de gemiddelde kosten die in een cyclus gemaakt worden, mag het niet voorkomen dat er een tweede cyclus optreedt. Het zou eventueel voor kunnen komen, dat voor een gedeelte van de toestandsruimte de optimale cyclus niet te bereiken valt omdat de hiervoor benodigde maatregelen niet in het modelinvoer zijn verwerkt. Indien deze tweede cyclus een ander budget tot gevolg heeft, levert dit een tegenstrijdigheid op in zijn oplossingsmethodiek. -Alternatieven voor maatregelen in de aanlooproutes kunnen met dit model niet gegeven worden doordat met dit model de financiële concequenties niet berekend kunnen worden. Hooguit kan een alternatief budget en een alternatieve cyclus berekend worden door willekeurig in de optimale cyclus een optimale maatregel expliciet te verwijderen en het model opnieuw door te rekenen om daarmee een nieuwe cyclus en een nieuw budget te bepalen. Op projectniveau dient men echter rekening te houden met aspecten als de aktuele toestand, waardoor een tijdsfactor aanwezig is, en de mogelijkheid van alternatieve maatregelen.
2.6
Nieuwe probleemstelling
Kort: beschouw het budgetteringsprobleem voor een optimaal onderhoud van het landelijk wegennet niet meer op netwerkniveau maar op projectniveau. Op netwerkniveau worden de doelstellingen t.a.v. het onderhoud geanalyseerd door inventarisatie van administratieve gegevens afkomstig van het projectniveau en van globale visuele inspecties en metingen. Hier wordt ook de budgettering voor de planning op lange termijn vastgesteld. Het model van Tolman is hierbij een hulpmiddel. Voor een kwantitatieve analyse met behulp van dit model zijn getallen nodig zoals de gemiddelde kosten en de gemiddelde effecten van de onderhoudsmaatregelen. Deze gemiddelden zijn verkregen door bewerking van gegevens op projectniveau. Op het projectniveau wordt het feitelijk onderhoud uitgevoerd. Het tijdstip en soort van onderhoud wordt hier vastgelegd. Er wordt op dit niveau zorggedragen voor de uitvoering van het onderhoud en de effecten van het onderhoud worden hier gecontroleerd. In het model van Tolman is men uitgegaan dat voor alle projecten binnen het beschouwde wegennet, het groot onderhoud samen met het bijbehorend klein
15
onderhoud, reeds lange tijd optimaal uitgevoerd worden. Dit is niet het geval. Daarom wil men een complementair model op projecxniveau.
16
Hoofdstuk 3
3.1
NIEUWE MODEL BENADERING.
Projectniveau
Het onderhoud op projectniveau is gebaseerd op richtlrnen afkomstig van het netwerkniveau, maar tevens op aspekten zoals *
a) Het stochastisch verloop van de effecten van onderhoudsmaatregelen. b) De kostenanalyse waarin de rente betrokken wordt. c) De keuze die gemaakt moet kunnen worden uit alternatieve maatregelen, als de gevonden optimale oplossing niet toepasbaar (b)lrit.
3.2
Stochastisch verloop
Een maatregel heeft niet altijd het verwachte efrect. Bijvoorbeeld de maatregel "dubbele oppervlak behandeling" kan mislukisn door invloeden van buitenaf. Bijvoorbeeld omdat de ondergrond niet goed droog is geweest toen deze maatregel werd uitgevoerd. Hierdoor is de hechting op de ondergrond van de nieuwe toplaag nadelig beinvloed. De aanname (2.2), dat de effecten deterministisch zijr. is op netwerkniveau geoorloofd, daar hierbij een groot aantal wegeenheden fc beschouwing genomen wordt. Echter op projectniveau heeft men te maken me; een kleine groep van wegeenheden, waarvoor het stochastisch aspect niet gebeel te verwaarlozen is. Vanwege het ontbreken van voldoende gegevens kan bet stochastische model alleen in theorie beschreven worden maar moeten n de voorbeelden de overgangen deterministisch beschouwen.
3.3
Rente
Op projectniveau heeft men te maken met een korteternnjp planning. Ook is het uitgavepatroon op projectniveau dusdanig, dat het benutten van de tijdsfactor relevant is. Het uitgavepatroon op netwerkniveau is, wederom door het grote aantal beschouwde wegeenheden, konstant te noemen. Op projectniveau krijgt men echter te maken met piekuitgaven. Door het opnemen van een rente factor in het model, kan dit dit redelijk ondervangen worden.
Ook is het van belang de rente op te nemen om de betalingen op de netto contante waarde terug te kunnen brengen.
3.4
Alternatieve maatregelen.
Een wegbeheerder wil uit alternatieve maatregelen kunnen kiezen, als de gevonden optimale oplossing niet toepasbaar (b)lijkt. Dit kan veroorzaakt worden doordat bijvoorbeeld 1) Een (of meer) maatregel(en) op dit moment niet toepasbaar zijn doordat de capaciteit van de wegenbouwer door projecten elders niet beschikbaar is. 2) Door meerdere aansluitende wegeenheden met onderling verschillende toestanden, tot één onderhoudsproject te combineren kan de wegbeheerder een lagere prijs bedingen, omdat het onderhoudsproject groter wordt, dus ook aantrekkelijker voor de wegenbouwer wordt. De vraag dient zich aan bij welk prijsniveau een niet-optimale maatregel optimaal wordt. Een gevoeligheids analyse op kosten coëfficiënten van de maatregelen wordt daarom wenselijk geacht. 3) Een wegbeheerder er belang bij heeft, dat hem een werkbare optimale oplossing wordt geboden. Een werkbare oplossing is voor hem o.a een oplossing die weinig fluctuaties vertoont bij geringe prijswijzigingen. Men wil dus liever minder gevoelige maatregelen gebruiken. D.w.z. maatregelen die misschien iets duurder zijn maar op een bredere basis een laag budget (of lage gemiddelde kosten) garanderen. Door een gevoeligheidsanalyse uit te voeren op de kosten van elke toegelaten maatregel afzonderlijk met betrekking tot een bepaalde toestand en zijn invloed op de totale kosten kan aan deze wensen worden voldaan.
3.5
Analyse van kosten.
Een veel gebruikte maatstaf bij kosten-/batenanalyse is de netto contante waarde. Dit is het verschil tussen de contante waarde van de baten en de contante waarden van de kosten. De contante waarde is de waarde van een bedrag op tijdstip i herleid naar nu. Oftewel het bedrag dat nu uitgezet moet
18
worden tegen een vast rentepercentage, om op da; tijdstip i een bepaald bedrag te kunnen uitgeven. Als nu de kosten K(0> gemaakt worden en in elk volgesd jaar t de kosten K(t) dan is de contante waarde van de kosten: W<0) = contante waarde nu « K<0)+ aK(1)+ ..+aV'V...=
£ aV0
(3.1)
t-o
waarbij r de rente in procenten is en a = (1 + r/100."1; a heet de discontofactor (0 < a < 1). Uit (3.1) leidt men af: W<0) = K<0)+ a( KM+ aK(2)+...+an-1K
worden van de contant waarde
Maakt men in elke periode dezelfde kosten K, dan is de contante waarde gelijk aan: W*0' = K + aK + a*K + ... . K( 1 + a + a 2 + ...) = K( 1 - a f1 Bekijkt men K als de onbekende dan wordt dit: K = W<0)( 1 - o ) K is een equivalent van de gemiddelde kosten. K is dus een equivalent van het budget B. Men noemt K een budget op annuïteitenbasis. Overeenkomstig de probleemstelling in het model van Tolman volgt hieruit onze nieuwe probleemstelling. De oude probleemstelling was namelijk minimaliseer het budget B. Vult men voor het budget de equivalent gemiddelde kosten in dan wordt dit min B « min K = min ( 1 - ajW^ = ( 1 - a ) min W(0) De nieuwe probleemstelling wordt dus:
19
Minimaliseer de contante waarde van de kosten. Of analoog omdat de netto contante waarde gelijk is aan
en dus is:
min W<0) = max Maximaliseer de netto contante waarde.
Nü en in de toekomst past men bij eenzelfde toestand i altijd dezelfde maatregel m toe en heeft men daardoor altijd dezelfde kansen Pij(m) om in een volgtoestand j uit te komen (m is een maatregel uit de set M van beschikbare maatregelen). De overgang van toestand i naar toestand j leidt altijd, onafhankelijk van het tijdstip waarop, tot de onderhoudskosten Ki;(m). Deze onderhoudskosten worden alleen bepaald door de kosten van de genomen maatregel m en is daarom onafhankelijk van de begintoestand i. Indien men nü in toestand i is, kan men voor de verwachting van de contante waarde van de kosten herleid naar nü schrijven:
W<0) = l p 0 { Kij+ o l pjk I Kjk+ a l pti { Kw+ ...}}}
(3.2)
Als men in het p-de jaar in toestand i is en dus dezelfde maatregel uitvoert dan is de verwachting van de contante waarde van de kosten herleid naar het p-de jaar:
W!P) = £ Pij { Ky+ o l
?jk
I K it+ a f] p w { K ^ ...}}}
(3.3)
Dus volgt uit (3.2) en (3.3) Wi0) = Wip) . Wi
(3.4)
De contante waarde van de kosten behorend bij een toestand herleid naar het tijdstip waarop men in die toestand verkeert is onafhankelijk van dat tijdstip. Bij een gegeven strategie S kan de volgende balansvergelijking opgesteld worden voor de overgang van toestand i naar toestand j (waarbij een maatregel wordt uitgevoerd direct na het bereiken van de toestand i): 20
W|0) - £ Py( S ).K0 • o . £ j-i
met:
Pj>(
(3.5)
S^
j.i
wi°>
: contante waarde van de kosten nu behorend bij begintoestand i . K^ : kosten behorend bij de overgang van i naar j . Wj : contante waarde van de kosten na de overgang behorend b i j de eindtoestand j . pij(S): de overgangskans van toestand i naar toestand j b i j toepassing van strategie 5.
De eerste sommatie in het rechterlid is de verwachting van de contante waarde van de kosten die men nu maakt bij het volgen van de strategie S herleid naar nü. De tweede sommatie is de verwachting van de contante waarde van de kosten na deze overgang doordat men de strategie S toepast herleid naar het tijdstip direct na de overgang. Doordat (3.4) geldt is (3.5) analoog met
% « Y p«>( s )-K«>+ ° X ?ij{ s )W' Omdat op een toestand slechts één maatregel toegepast wordt is dit analoog met N
w,, -
Y
N
Pijl m,- ).Kij + o £
J-l
Po< ** »'W>
(m
'
e S)
(36)
j«l
Pij(TT)i) is de overgangskans van toestand i naar toestand j bij de strategie S. m, is een maatregel m, uit de set M van beschikbare maatregelen, toegepast bij toestand i. De kosten van een maatregel zijn onafhankelijk van de volgtoestanden. Als een maatregel bij een toestand toegepast kan worden, heeft dat tot gevolg dat er zeker een volgtoestand is N
N
21
en N
£ p^ (m).K^ = K,(m)
(maasegel m op i mogelijk)
i«i
Hierdoor wordt (3.6) N
W, - Ki(m) + o V
p y ( m ).W,
(m € M)
(3.6a)
j-J
Voor de optimale strategie is W, minimaal en is natuurlijk ook het rechterlid van deze vergelijking minimaal, zodat (3.6a) dan equivalent is met de optimaliseringsvergel ijking W, -
min
Kj(m) t o V
m; maatregel ui t M op toe s t a n d i mogelijk
p y ( m ).W;
(3.7)
~'
Hierbij wordt geminimaliseerd over elke maatregel die tot onze beschikking staat en mogelijk is op toestand i. M is de verzameling van alle beschikbare maatregelen. Beschouwt men het Markov-proces deterministisch, dan volgt uit (3.7) . W, m
min
( K„ + oW, )
(3,8)
j ; overgang i-»j m o g e l i j k
Met Kj; = Kj(m) en j is de volgtoestand van i als men bij de toestand i de maatregel m toepast. Er wordt hier even ervan uitgegaan dat er slechts één m is die deze overgang kan veroorzaken. Stel dan dat de optimale oplossing bekend is. Dan kan men beginnend bij een willekeurige toestand, de optimale volgtoestand berekenen. Door dit te herhalen, vindt men een keten van optimale volgtoestanden. Omdat de toestandsruimte eindig is, zal deze keten uiteindelijk gesloten worden en vindt men een onderhoudscyclus. Beziet men zo'n optimale keten beginnend bij toestand i, dan is de balansvergelijking behorend bij toestand i 22
Wj = Kij + oW^
W, : de contante waarde van de kosten van de begintoestand i Wj : de contante waarde van de kosten van volgtoestand j die het gevolg is van de optimale maatregel op toestand i K,;: de kosten van de optimale maatregel *
Over twee overgangen in die optimale keten gezien W, = K,, +a(K>fc + Wfc) Over drie optimale overgangen wordt dit W, = K0- + o(Kifc + a(Kw +W,)) of %
. Ky + OÜjk + Q2(KU +W,)
Enz. Er ontstaat een reeks van volgtoestanden R;-={i,j,k,...}, zodat men over n optimale overgangen krijgt:
W,=£ a J " %
je+ a ' W , i-i i
j»i
waarbij
(3.9) "
R,, = i
Neemt men de limiet voor n • oo dan krijgt men W,-li|g
£o>V
*. + n m a n W * = E A .
*.
(Ro-i)
Doordat de toestandsruimte eindig is zal men op een gegeven moment in een cyclus belanden. Stel nu de begintoestand i is een element in een optimale cyclus. Er volgt uit (3.9) nu voor elke p £ 1:
23
p
W< = E a j %
+ («"W,
(3.10)
* -K^W,
(3.11)
R
Is p de cyclusduur, dan volgt uit (3.10)
W< = E « * %
Men is dus één keer de cyclus rond gegaan. Uit (3.11) volgt gelijk
W,- = — i - £ cï%
(Ro = R, = i)
R
(3.12)
Bovenstaande uitdrukking stelt de verdisconteerde kosten voor bij het (oneindig vaak) doorlopen van een cyclus. Dit kan ook gedaan worden als i geen cycluselement is. Als men het eerste cycluselement dat men in een optimale keten vanaf de begintoestand i tegen komt x noemt en n is het aantal stappen waarin dit gebeurt, dan volgt uit (3.9) de volgende vergelijking. W, « £ <*J_1K*
s
+anWx
(3.13)
waarbij Rn= x en RQ= i Is p de cyclusduur, dan volgt uit (3.12) en (3.13)
W«-£ j-i
cthlKR
je + a " - ^ >-» i
£
a,_,Ks
1-a* j - i
s
(314)
J'1 i
waarbij R i = { i , . . . , x } ; R 0 = i ; Rn= x. en Sj= <x,...,x}; S 0 = Sp= x. De linker sommatie in (3.14 ) zijn de verdisconteerde kosten, herleid naar het tijdstip waarop men in i is, als men van toestand i naar toestand x gaat (in n stappen). Het deel rechts van het plusteken zijn de verdisconteerde kosten voor het (oneindig) vaak doorlopen van de cyclus beginnend bij toestand x en herleid naar het tijdstip waarop men in toestand i was (n
24
stappen terug). Conclusie: Voor een gegeven begintoestand i zijn de totaal te maken kosten, nu en in de toekomst, voor het deterministische model simpel te berekenen door slechts een eindig aantal volgtoestanden in ogenschouw te nemen. De equivalent gemiddelde kosten voor toestand i zijn per definitie:
Bg - (1 - a)W<
(3.15)
In het deterministische model kan men in (3.15) de vergelijking (3.14) invullen waarna men krijgt:
B, = (1 - a ) l c r t *
R
+ an(l - a) —i- £ cf%
(3-16)
s
Als i een cycluselement is dan is n gelijk aan nul en is de linker sommatie in (3.16) ook gelijk aan nul. Uit (3.16) volgt
B, = (1 - a) Z o > V j-i
s
J-» i
+ an
i l+«+
— l aJ-xKs +oT'
j-i
s
(3.17)
J'1 }
Met R0= i. Stelt men nu a = 1 dan volgt uit (3.17)
B
<=4 - ï P jtfi
K
s s
(3-18)
J-i i
De equivalent gemiddelde kosten zijn dan onafhankelijk van de begintoestand. Men herkent hier het budget zoals het bepaald wordt in het model van Tolman (13]. In dit model wordt namelijk eerst de cyclus getraceerd en wordt dan de som van alle in de cyclus gemaakte kosten door de cyclusduur gedeeld. Dit budget kan men ook op een andere manier bepalen door het stochastische model te beschouwen. Uit steekproeven kan men de huidige kans van optreden schatten van alle toestanden. (Men neemt dan wegeenheden van een standaard grootte). Stel dat deze kansen bekend zijn en dat de kans van het optreden van toestand i nü, is pj 0) . Dan is de verwachting van de contante waarde van de kosten herleid naar nü voor een willekeurige wegeenheid
25
1-1
De verwachting van de equivalent gemiddelde kosten, berekend vanaf nu voor een willekeurige wegeenheid. zijn dan N
I
B(0)Ml-«)W<0)U£pi0)(l-a)V, i-1
B
is het huidige overall budget op anjnuïteitenbasis.
De kans van optreden van toestand i cip tijdstip t is p,". De verwachting van de contante waarde van de toekomstige kosten toor een willekeurige wegeenheid, herleid naar het tijdstip t is N
w«> = Il P i%, i-1
De verwachting van het overall budget berekend vanaf tijdstip t is dan B (t) « (1 - a ) ^ 0 = £N p j ^ l - c W ;
(3.19)
l l de limiei neemt voor t •* oo. De Het Markov-proces wordt stationair als menl «nu verwachting van het budget (3.19) wordt dan
B = lim B (t) = lim (1 - a)^t] t-»00
t-*O0
N
« lim £ p ^ d - o)Wj t-KX> 1 - 1
oftewel N
B= £
p,(l - a)W<
i -1
met p, = lim pj 1 '
(3.20)
t-»OC
Stelt men de overgangen deterministisch en neemt men aan dat er slechts één cyclus optreedt (met cyclusduur p), dan geldt
p- P ; als toestand i in de cyclus p, = lim pY> = «j PP 1 0 ; als toestand niet in de cyclus t*oo
=
•
(3.21)
Invullen van de kansfunctie (3.21) in (3.20) geeft de verwachting van het equivalent overall budget
26
(3.22) i-i
. . i in cyclus
v
Invullen v a n (3.12) in ( 3 . 2 2 ) g e e f t
B= V-i-d-o)-!- l cf%
R
< R , « R , = i)
i in cyclus
oftwel
_L (i_a) B = -L(i_a) _i^ -^- Y ) l i cJ-% o^V R * (Ro (Ro==RRp == i) i) v
(3.24)
l-or 1 in cyclus
De term achter het eerste sommatieteken is de contante vaarde van de kosten die gemaakt worden door een keer de cyclus rond te gaan beginnend bij toestand i (en herleid naar toestand i). Deze contante waarden worden dan gesommeerd over de hele cyclus. Nummert men de toestanden in de cyclus op de hieronder staande wijze en schrijft men de twee sommaties uit dan krijgt men XQ
XJ
XJ
X3
Xp.j
X0
R0=i
Ri
Rj
R3
Rj>-i
Rp=i
K, x +
<*KX x +
0 1
12
o P " 1 K*«+ x
+
+
oüxx+
12
23
c?~ 1KX x +
Kx x +
12
23
a Kx x +
a Kx x +
12
23
0 1 2
+
x
odKx x +
I
,
1
E a- Kxx+Ea- Kxx+Ea - Kxx+ ,-1
0 1
.«1
a p_1 K x
x
p-1 0
+
oT%
x
p-1 0
+
of-%
x
p-1 0
3
01 ,
+
23
Kxx +
0 1
c^K,
a%
i
2
—1
3 3
+
Kx x p-i o
+ £ a^K, «.1
x
P"1 °
Hierin is Xg een willekeurig gekozen toestand i in de cyclus xt de volgtoestand van XQ enz. De i d e regel boven de streep is de contante waarde van kosten die gemaakt worden door een keer de cyclus rond te gaan, beginnend vanuit toestand x^ en herleid naar toestand Xj. De regel onder de streep is de sommatie van deze contante waarden over de gehele cyclus. (3.24) is dus analoog met 27
p
B = JtSLL i
aH
pll-aP) j - i Hierin zijn Kx
s t-l i
Y f^
Kx ,
(x, = xo) (3.25)
«-1 •
de kosten van de overgang van de begintoestand Xj., naar
zijn volgtoestand xt (Xj_x en x< in de optimale cyclus). Hieruit volgt
B=
p
l
p
p
—rr E I *.,«.-4-Z K* *
~5 P l+a+
-K^"1 j-i
aH K ^
-1'
p
^
-1'
Met andere woorden: het overall budget in een stationaire Markov-keten met deterministische overgangen is onafhankelijk van de rente. Hieruit blijkt dat het niet opnemen van de rente in het budgetteringsmodel [13] gerechtvaardigd was voor het bepalen van het minimale budget op de lange termijn. Men ziet hier ook, dat in dat model ervan uit gegaan wordt dat het onderhoud reeds lange tijd optimaal uitgevoerd is (een situatie die misschien over vele jaren optreedt). Op project-niveau heeft men te maken met de aktuele toestand van de verharding zodat deze aanname hier niet bruikbaar is.
3.6
Oplossingsmethoden.
De optimaliseringsvergelijkingen (3.7) en bij deterministische overgangen (3.8), die in 3.5 gevonden zijn, kunnen net als bij het model van Tolman, opgelost worden met behulp van de twee-staps methode van Howard [7]. Echter bij deze dynamisch programmerings techniek is geen gevoeligheidsanalyse op deze schaal bekend. Gevoeligheidsonderzoek door variatie van parameters betekent met deze methode, dat het model steeds opnieuw moet worden doorgerekend. Het kan ook anders, als men het model als L.P. (Lineair Programmering) model formuleert. Lineaire programmering kent een gevoeligheidsonderzoek vanuit de optimale oplossing. Nadeel van deze formulering is de mogelijke grote omvang van het model en de lage iteratiesnelheid van de oplossingsmethoden in vergelijking tot bijvoorbeeld dynamisch programmeren.
28
3.7
L.P. formulering
De optimaliseringsvergelijking (zie vergelijking (3.8)) W, =
min
( Kij + oAV, )
(3.26)
j ; overgang i+j mogelijk
houdt in dat elke W moet voldoen aam de volgende lineaire beperkingen [14]: Wj £ ( aWj+ Ky)
(overgang i+j mogelijk)
oftewel W , - aWj < K^
(duale overgangsbeperkingen) i,j = 1....,N; overgang i*j mogelijk. (3.27)
-oo < W, < oo
Dit stelsel ongelijkheden karakteriseert echter de optimaliseringsvergelijking (3.26) niet volledig. De correcte optimale vaarden voor alle Wj worden verkregen door de volgende lineaire doelfunctie toe te voegen. N
max ^ r*Wfc
(duale doelfunctie) (3.28)
Waarbij rk> 0 maar verder willekeurig. Er wordt gekozen voor rfc= 1. Deze doelfunctie karakteriseert de kleinste bovengrens van de ruimte opgespannen door de duale overgangsbeperkingen, dus het minimum van de optimaliseringsvergelijkingen. Omdat het bovenstaande als het duale probleem geformuleerd is, wordt aldus het primale probleem
in mm
>
\
K^My
(primale doelfunctie)
o v e r gwa n g v a r ~^ mos
(3.29)
29
s.t.
£
Mkj -
overgang van f + r mogelijk
£
c<Mlfc= rt= 1
overgang van T-fk" mogelijk M_
'(pr imale toestands beperkingen) k = 1 , . . . ,N
Toor elke toegestane ••'" beperking (3.30) Hierin zijn de My's de maatregelen die zorg dragen voor de overgang van toestand i naar toestand j . My = 0 indien de maatregel niet genomen wordt op toestand i, M^ > 0 als de maatregel wel genomen wordt op de toestand. De Mjj's zijn stromen in het netwerk dat gekarakteriseerd wordt door de primale toestandsbeperkingen. Elke beperking stelt een knoop (of toestand) voor. Alle knopen hebben uitgaande stromen (aangeduid met de coëfficiënt +1 in de beperkingen) welke de op die toestand mogelijk te nemen maatregelen voorstellen. De coëfficiënt +1 bij de stroom My beteïent dat de maatregel M|; op die toestand genomen kan worden. Als gevok van het nemen van maatregel My, heeft de knoop j een ingaande stroom (aangeduid met de coëfficiënt - a bij MtJ in de beperking van knoop j). 0
De toestandsbeperkingen (3.30) stellen een stelsel van N lineaire vergelijkingen voor met P onbekenden. Een oplossing van dit stelsel heeft (P-N) vrijheidsgraden. De waarden van de variabelen die hierdoor vrij te kiezen zijn, stelt men allemaal nul. Er blijven dus N variabelen over waarvan de waarde niet vrij te kiezen valt. Door de keuze van r* > 0 dient elke knoop k minstens één uitgaande stroom Mjy te hebben waarvan óe waarde groter is dan nul. Elke beperking telt dus minstens één variabele waarvan de waarde ongelijk is aan nul. Tesamen tellen alle beperkingen dus minstens N variabelen waarvan de waarde ongelijk aan nul is. Dit kunnen er hoogstens N zijn omdat er maar N vrij te kiezen zijn. Een basisoplossing, dit is een toegelaten oplossing van stromen, in het primale model correspondeert met een mogelijke strategie in het duale model en bevat voor elke toestand k dus precies één MfcJ ongelijk aan nul. Het vinden van de L.P. formulering van het stochastische model gaat op analoge wijze [6,14]. Neemt men de optimaliseringsvergelijking (3.7)
30
W, -
min
K,(m) + a > Py(m).W, t
m; m a a t r e g e l u i t M op toe s tand i' mog el i jk
(3.31)
~'
Dit resulteert dan in de volgende duale overgangsbeperkingen en duale doelfunctie. N
W,— a \
p^mJ.Wj < Kj(m)
j-i
(duale overgangsbeperkingen) maatregel m op i mogelijk; i = 1,...,N. (3.32)
N
max
I)IfcVr W fc
fc
(duale doelfunctie)
k»l
(3.33) Met ook hier weer ik > 0. Uit deze duale formulering vindt men dan de onderstaande primale formulering
min
I I 1-1
s-t.
2^
(primale doelfunctie)
m; maatregel u i t M op toe s tand i m o g e 1 Ijk
Mt(m)-£
m; m a a t r e g e l ui t M o p toestand k moge l i j k
K*(m)Mt(m)
jT
(3.34)
o(pjfc(m)Mj(m)= r t = 1
• 1 m; n a a t regel • i t Mop toestand 1 Mogelijk
(primale toestands beperkingen) |k = 1,...,N
voor elke toegestane maatregel i m 1,. ..,N (3.35) Ook hier stelt elke beperking een knoop (toestand) voor. In de eerste sommatie is Mt(m) de som van de uitgaande stromen van knoop k veroorzaakt door maatregel m. In de dubbele sommatie is cvpjfc(m)Mj(ni) een ingaande stroom van k veroorzaakt door de maatregel m genomen op toestand i die kan M<(m) £ 0
31
resulteren in k als volgtoestand met kans p^m).
3.8
Een klein voorbeeld
Een denkbeeldige wegverharding heeft twee kwaliteitskenmerken, die resp. rafeling en krakelee genoemd zullen worden (uit [13]). De toestand van de verharding wordt vastgelegd door middel van een twee-dimensionale vector (t^tj). Deze vector stelt dus de restlevensduren voor van de twee kenmerken. Voor een begintoestand (t,,^) staan de maatregelen ter beschikking die genoemd zijn in tabel-3.1. De overgangen veroorzaakt door een maatregel zijn deterministisch. Beziet men deze tabel dan is het duidelijk dat een bovengrens aan de maximale restlevensduren van de kenmerken gegeven kan worden, zodanig dat de verharding slechts in 6 toestanden ( (t 1 ,t 2 ); tj=l,2; t 2 =l,2,3. ) kan verkeren. Als een maatregel zou leiden tot een andere toestand, dan wordt deze overgang uitgesloten. De L.P. formulering van dit probleem wordt als volgt gevonden: a) De duale restricties (zie (3.27)) krijgt men door voor elke maatregel de toegestane balans vergelijking op te stellen. Men krijgt dan Voor maatregel 0: 1 2
W22- a\Vn< 00.00 W M - a\Vu£ 00.00
3 4 5 6
W12W l3 W22Was-
7 8 9
W21- aW,j<; 30.00 WJJ- oWuS 30.00 WJB- aW„£ 30.00
Voor maatregel P: <*W2i< 10.00 aWjj< 10.00 oW a < 10.00 aWjj< 10.00
Voor maatregel Q:
32
maatregel
kosten
omschrijving
0.00
volgtoestand ( ti-l,t2-j )
O
n i e t s doen
P
s p e c i f i e k voor rafeling
10.00
(
Q
s p e c i f i e k voor krakelee
30.00
( tj-1,
R
a1 gemeen
20.00
(
2 ,t2-l ) 3
)
1 , 2 )
tabel-3.1 Maa t regel en, kosten en effecten. Bijvoorbeeld, is de verharding in toestand ( 2 , 3 ) , dan wordt volgend jaar de volgtoestand ( 2 , 3 - 1 ) = (2,2) als men de maatregel P uitvoert. Alleen re s tlevensduren groter dan nul mogen voorkomen. Dus bijvoorbee l d, is de verharding in toestand ( 1 , 2 ) zijn dan moe t men eengroot onder houd s maatregel uitvoeren daar anders volgend jaar de toestand ( 0 , 1 ) zal optreden. (0,1) is niet toelaatbaar.
(1.2)
(1,3)
(2,1)
(i.i)
(2,2)
R of O
(2,3)
Figuur-3.1/Vetteer* welke de mogelijke maatregelen laat zien zien op de toestanden. Elke verbinding tussen twee toestanden stelt een mogelijke maatregel voor. De richting wijst naar de volgtoestand.
33
Voor maatregel R: WnW12W13W2JW22Wja-
10 11 12 13 14 15
oW,^ aW,^ oW,j< aW'u< aW^ aW^s
20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00
(3.36)
b) De doelfunctie wordt dan:
£ Max
1.1,2
£
W0
(n.b. r 0 = l )
J-1,2,3
-oo < W t J < oo
voor i = 1,2; j = 1,2,3.
Deze formuleringen (3.36) kan men in een tableau representeren. Dit tableau voor het duale probleem ziet men in tabel-3.3. In tabel-3.3 ziet men dus niets anders, dan de matrixrepresentatie van het duale probleem. Namelijk:
T
maximaliseer met de beperkingen
r w Aw < c
waarbij r in het onderste rijvak staat; c in het rechter kolomvak; A in het middelste vak en w in het bovenste rijvak.
Daar (3.36) het duale probleem voorstelt, vindt men als primale probleem de toestands beperkingen (zie (3.28)):
Min
10.00 * M3 + 10.00 * + 30.00 * M7 + 30.00 + 20.00 * M ï0 + 20.00 + 20.00
M4 + 10.00 * * M8 + 30.00 * M n + 20.00 * M14+ 20.00
M5 + 10.00 * M6 + * M, + * M„+ 20.00 * M13+ * M15
Het verband tussen de maatregelen, toestanden en variabelen ziet men in tabel-3.2.
34
maatregel 0 P
toestand (1.1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)
-
M3
M4
Q
R
MJO
Mn
M12
effect maatregel
-
M,
M2
(tj-l.ta-1)
-
M5
M6
(
M7
M8
M9
(t,-l,
M13
M 14
MJ5
( 1 , 2 )
2 ,t2-l) 3 )
tabel-3.2 Verband tussen variabelen, toestan d en maatregel . In het middenveld staan de variabe I en die bij een maatregel (genoemd in de linker ko lom) en een beg intoes tand {genoemd in de bovenst e rij ) horen, Een streep geeft aan dat op de des betreffende toe stand de maatregel niet te nemen i s. Er 'bestaat dus geen variabele voor deze maatr egel op deze toestand. De vol gt o e stand kan bere kend worden ui t de rechter kolom. Het effect (2,t2 - 1 ) wil zeggen, dat volgend jaar de rest levensduur van het eerst e kenmerk 2 jaar is en de rest levens duur van het tweede kenmerk 1 jaar korter is ge worden.
35
overgang
Wil
W
W
12
13
W
21 W22
-Oi
(2,2)*(1,1)
»23
1
<
0.00
1
<
1.00
2
<
10.00
3
-a
<
10.00
4
1
£
10.00
S
<
10.00
6
<
30.00
7
<
30.00
8
<
30.00
9
-Oi
<
20.00
10
(1-tt)
<
20.00
1 1
<
20.00
12
<
20.00
13
<
20.00
14
<
20.00
15
(2,3)*(1,2)
-O:
(1,2)+(2,l)
1
1 -Oi
(1 , 3 ) - * ( 2 , 3 )
i
(2,2)+(2,l)
-O
(2,3)+(2,2)
-Ot
(2,1)*(1,3)
-Oi
(2,2)+(l,3)
-Oi
( 2 , 3 )-»-( 1 , 3 )
-Oi 1
(l,l)*(l,2) (1,2)*(1,2) (1,3)+(l,2)
-Oi
(2,1)*(1,2)
-Oi
(2,2)*(1,2)
-O;
( 2 , 3 )•»(!, 2)
-Oi 1
1 1 1
1 1 i 1
1
-oo < W ^
1
1
1
1
Diax l a » 1 i s e e r
1
< oo
tabel-3.3 Representatie van het duale L.P. probleem. De open plaatsen in dit tableau zijn nullen en daarom niet weergegeven.
toestand 1,1
Mj M2 M 3 M4 M 5 M6 M 7 M 8 M 9 Mio M n -Oi
1
-ai
1,2
-a
2,1
2,3
1 0
-Oi -Oi - Q
-a
-o;
ï
BS
1
-oii-a-a-Q-a-a 1
1,3
2,2
Mi3«uMHMl5
ï
ï -a
1
1
i ï
i
1
0 10 10 10 10 30 30 30 20
20
3B X
ï
•* 1
20 20 20 20
Min
Mi £ 0 voor i = 1,2,..,15 tabel-3.4 Representatie van het primale L.P. probleem. Nullen zijn niet weergegeven.
36
met de bepe r k ingen : -ctMj +
M10
=
-aM 2 +
M3 - aM,ó+ (l-c<)M n - ctM12- oM^- c<M14- ocMl5 =
M4 - c*M7 - oM 8 -ctM3 - QM 5 + Mi M2 +
aM 9 +
M7 +
Mu
+
M5 -
oM 6 +
M6 +
M9 +
M15
QM 4
Mi > O
M12
= =
M8 + Mi4
voor i = 1 , 2 , ..,15
=
(3.37;
Het tableau van het primale probleem ontstaat door van het matrix uit tabel-3.3 de getransponeerde te nemen. Men krijgt dan het tableau vermeld in tabel-3.4 wat gezien wordt als de representatie van:
T
minimaliseer met de beperkingen
c m ATm = r m > 0
De variabele Mj kan men zien als een maatregel die op een bepaalde toestand genomen kan worden. De index correspondeert met een specifieke toestand en maatregel. Het verband ziet men in (3.36) in de nummering van de overgangsbeperkingen. Elke overgangsbeperking wordt veroorzaakt door het kunnen nemen van een specifieke maatregel op een specifieke toestand. Om de optimale strategie te bepalen lost men het primale probleem (3.37) op. Onder andere omdat de primale formulering het in L.P. ingebedde netwerk representeert van de beslissingsruimte, en dat iedere variabele een mogelijke beslissing, behorend bij een bepaalde toestand, voorstelt. Met een rente percentage van 5% zodat a « 0.95, krijgt men door het toevoegen van "kunstmatige" variabelen het start tableau (tabel-3.5). Door toepassing van bijvoorbeeld de Fase I procedure gevolgd door het Simplex Algoritme berekent men het eind tableau (tabel-3.6). Hieruit vindt men de optimale maatregelen. De netto contante waarde per toestand vindt men als de coëfficiënten van de "kunstmatige" variabelen St. Op de grote mainframes zijn meestal standaard pakketten aanwezig om 37
..
!
-
- - - c _ - -
"I . . . .
m .
-
N
Z
= X z o
L
-
l
.
.
e
b
C
f s-
.-V
.
u2
S
.
. .
.
N
L
8 t
.
o
o,,,
5
o
m
. . . . . .
z -
1
? . . ? . . 8. rr)
zm g
I
s .
5'
g
u
I
..
.E:.
z+ 0
w..
.
="
8 l
s
.
2
.s
?
H
u
r
l
m w . - -
. .? .
9
O . i I
-
.
q
m
T I
.
s
.
.
8 .
.
a
u
rl
S
'
r (
.
.
.
.
.
I
.
H
m-
8
'
L . . . . C
=: s . .82.
rl
s .
0
m
I
. . .8 m
d
r*
8 rl
~
g6
0
~
0
0
*
0
0
0
-------
0 d H m d r r ) c D
I
= .m d g
.I
m r i o
m
.9
-
? . . .
m " . . .
m-
. . In.I . . .
,.
r
m O * . '
H
.. I .
w
8 8 .
a
-
. .
m w . . -
. m s .
m
a*
.
d
O
I
0
O
c
I
S . . , .
f-
O
1 6
w
zW 2 5'
.- .-m Lis
I
8 . .
f~ w Ca ,~
ro V, - r nn, mn vl r v,n m(
~
tabel-3.6 Start tableau V O O T Lineaire Progrcunnztring. De rente is 5% genomen dus a = .95. 38
?
N
y
-
-
*
« O
i» - « tr. <«• o
c; c « x
© O
K -
© N
o
t>- e
—' r«- o
o
^ 00
« »
T
O —
oo
«C
U5
© -
C5 I
«•• O
O
t"-
00
o o
»c
V CS
^*
©
•—(
P5
^
O o ao o n V-H
*—< e te *?
© O —m 0 0
© ©
CM <0
t~
* •
V
w
n
•V
© © r?
00
o
o es © ^r co t - * ^r <9- ^"
je *e o w> e -c «o — <e — t ~ W
© ©
cc
IA O)
©
r^ ©
•W «£ 00
»C
—
«
n
300
c«'
co e
V
© ©
*
Uï C4
CM
c< c n
O V
© ©
T-
CM
© ©
*~ v
-28
n ©
--
CC
•5
X
296
cc
©
© ©
20.00 -301
«
*« $
bO V e
>
os
•«•«
C4
w
i-
©
©
©
©
©
»-i c» n
v
as «e
e>» O «e 00 «•> *r n
© ©
c es © oc e « rt v ^T c»
o
^
•v
O •V •V
© ©
n
•«•
^
o> © o a> t - < 00 n "
SC
—
t~
©
es ^ i l
tt
9 V
o
CS
CJ 00
1
©
Ac
—m 4 ) 09 U —« flj «5 v
OS
^
l
« TT «O I I CC
O
s
c
-28
o o «o © I -*
CM
1
f
t«- ^r m te> n •v ei ' ' \ ' '
es r- •-< r- © o» n "H ws | rr «
O
*•*
^•t
l - J=
00
©
© ©
1
*£
-281
— © (S N
> x>
s s s s s s s
tabel-3.6 Eind tableau. Bij optimalisatie is het start tableau (tabel-3.5) door Gauss-eliminatie omgezet in het eind eind tableau. 39
begin toestand
maatregel
volg toestand
variabele
n e t t o contaate waarde
M10 M3 M4
-301.99
14.38
-296.09
14.10
-283.91
13.52
-300.39
14.30
-287.61
13.70
-281.99
13.43
(1,1)
R
(1,2)
(1,8)
P
(2,1)
(1,3)
P
(2,2)
(2,1)
(1,3)
(2,2)
Q 0
(1,1)
M7 Mt
(2,3)
0
(1,2)
M2
equival ent budget
tabel-3.7i?e optimale oplossing. De variabele Mi correspondeert met een specifiek e toestand en een specifie ke maatregel (2te(3.36) ). De netto contante waarde werd gevonden als de coëfficiënten van de "kunstmatige" variabele St behorend bij de beperking i die specifiek bij een toestand hoort. Het equival ent budget is het produkt van de netto contante waarde en {1 - a).
Q
2,1
f
1 P
i
1.3
1 o
2.2
i— 1.1
R
1,2 i
O
2,3
üguur-3.2 Oplossing getekend als netwerk. Elke verbinding geeft de optimale maatregel weer die erbij vermeld staat. De richting wijst naar de optimale volgtoestand.
40
begin toestand
maatregel
(l,D
R P P
(1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)
Q 0 0
a •= .99
r
rn
r
TL
r
zr
-1408.00
14 .08
-47 4 . 6 6
14 .24
-357.99
14 .32
-1403.00
14 .02
-46 8 . 7 2
14 .06
-352.08
14 .08
-138 9 . 9 8
13 .90
-45 6 . 6 1
13 .70
-33 9 . 9 3
13 .60
-1406.08
14.06
-47 2 . 9 1
14 .17
-35 6 . 3 3
14 .25
-139 3 . 9 2
13.94
-460.42
13.81
-34 3 . 6 7
13 .75
-1388.00
13 .88
-45 4 . 6 6
13 .64
-33 7 . 9 9
13 .52
a
(l,D (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)
O m . 96
a m .97
-
.94
Q -
Oi m .-90
-62
r
TL
r
TL
r
R P P
-24 1 . 3 2
14 .48
-182.97
14 .64
-14 7 . 9 6
14 . 8 0
-235.45
14 . 1 3
-17 7 . 1 4
14.17
-142.17
14 .22
-22 3 . 2 3
13 .39
-164 .87
13 .19
-129.85
12 .98
Q 0 0
-23 9 . 8 4
14 .39
-181.68
14 .53
-146.86
14 .69
-226.84
13 .61
-168.34
13 .47
-133 . 16
13 .32
-221.32
13 .28
-16 2 . 9 7
13 .04
-127.96
12 .80
IE
tabel-3.8Z?e optimale oplossingen bij verschillende v/aarden van a, In de vakken aangeduid met £ staat de netto contante waarde, in de vakken aangeduid met TL staat het budget op annuite'itenbasis (het equivalente budget).
41
L.P.-problemen op te lossen. Voor de Univac-1100, het mainframe bij de Dienst Informatie Verwerking, is hiervoor het FMPS-pakket aanwezig. Van dit pakket is hier dan ook gebruik gemaakt. In tabel-3.7 staan de optimale maatregelen vermeld, die met behulp van dit standaard pakket berekend zijn. Deze oplossing ziet men als netwerk getekend in figuur-3.2. Voor waarden van Q tussen 0.90 en 0.99 vindt men een strategie die gelijk is aan de gevonden strategie (Q = .95). De veranderingen voor de netto contante waarden zijn echter enorm. De waarde van het equivalente budget verschuift voor elke toestand in de richting van 14.00 (het budget voor a = 1) bij groter wordende o. In tabel-3.8 staan de netto contante waarden en het equivalente budget van elke toestand van de optimale oplossingen bij verschillende waarden van a. Het verband met het budgetteringsmodel [13] ziet men als men nu uitgaat van de kansen van optreden van een toestand. Stel dat de kansen van het optreden nü van de toestanden (1,1), (1,2) en (1,3) is <°> nP(l,l)
<°) _~ nPd,») (°) _- ll/ -_ nP(l,2) 4
en de kansen van optreden van de overige toestanden is P(2,l) -
P(2,2) -
P(2,3) ~
/
u
Dan is de verwachting van het huidige overall budget gelijk aan
B(O) - i i pfSi) w«.» - \ i w
+ \ i w<>.» -i3-95 Als men een zeer lange tijd de optimale strategie gevolgd heeft, komt men in de stationaire situatie. De kansen van optreden zijn dan 0 ; (ij) <* (2,3) PWJ) -
lim
Pf&> - '
t*oo
De verwachting van het budget is dan
42
(i-l,2:j-l,2,3) | ! (i,j) * (2,3)
B= ~
| 30.00 + 10.00 + 0.00 + 20.00 + 10.30 V = 14.00
Let wel dat deze laatste berekening alleen moelijk is omdat toestandsruimte ergodisch is. D.w.z. er treedt slechts ééz cyclus op.
de
Er zijn nu drie vormen van een budgetberekening geziec Hiervan kwam er één overeen met het budget zoals bepaald in het model Tan Tolman. Hieronder worden ze nog eens genoemd. Bj is het budget behorende bij een specifieke toestand. Het is het bedrag dat nodig is om die ene wegeenheid te kunnen büjven onderhouden. Dit budget geldt dus op het projectniveau. B is het huidige budget nodig voor het onderhoud vanaf nu van het totale wegennet of van een gedeelte hiervan. Het geldt dus zowel op netwerkniveau als op projectniveau. B is het budget op netwerkniveau voor op de lang* termijn wanneer het wegennet reeds zeer lange tijd optimaal wordt onderhouden.
43
Hoofdstuk 4
4.1
GEVOELIGHEIDSANALYSE.
Inleiding.
In de voorafgaande paragraven is besproken hoe men tot een optimale oplossing kan komen. Men wil echter ook nog onderzoeken hoe ver de invoerparameters kunnen worden verstoord zonder dat de optimale oplossing verandert en wat er gebeurt als deze verstoringen zo groot zijn, dat de optimale oplossing wel verandert. Zo'n onderzoek noemt men gevoeligheidsanalyse of post-optimalisatie. In de volgende paragraven worden de mogelijkheden van het model uitgelegd.
4.2
Gevoeligheidsanalyse door variatie van kosten.
Door meerdere aansluitende wegeenheden met onderling verschillende toestanden, tot één onderhoudsproject te combineren kan de wegbeheerder een lagere prijs bedingen, omdat het onderhoudsproject groter wordt, dus ook aantrekkelijker voor de wegenbouwer wordt. De kostencoëfficient, in het model gebruikt, zou voor die toestand niet juist zijn. Met een gevoeligheids analyse op deze kostencoëfficient kan men onderzoeken of die lagere prijs invloed heeft op de optimale oplossing. Bij gebruikmaking van L.P.programmering kan men, als de optimale oplossing bereikt is, gemakkelijk met behulp van het eindtableau onderzoeken, wat de invloed is van prijs veranderingen per maatregel per toestand op de optimale toestand met behulp van cost-ranging [9,14], Aan de hand van het voorbeeld uit paragraaf 3.8 wordt dit uitgelegd. Voor het verband tussen variabelen, toestanden en maatregelen zie tabel-4.1. Bekijkt men de optimale oplossingen en heeft men een wegdek dat in toestand (1,3) is, dan is P de optimale maatregel voor deze toestand met prijs fllO,per m2. In het model wordt dit voorgesteld door de variabele M4. Als er een verstoring op de prijs van deze maatregel op die toestand was, zeg 6, dan had in het eindtableau (tabel-3.4) in de doelfunctie 6 nog als coëfficiënt van M4 moeten staan. De genormaliseerde beperking nr. 3 in dit tableau is 6 maal te weinig van de doelfunctie afgetrokken. Dus zou dan de doelfuntie zijn:
maatregel 0 P Q R
toestand (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) M, M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M u M12 MJ3 M14 Mjs
effect maatregel (t,-l,t2-l) < 2 ,t2-l) (t,-l, 3 ) ( 1 , 2 )
tabel-4.1 Verband tussen variabelen, toestand en maatregel. In het middenveld staan de variabel en die bij een maatnegel {genoemd in de linker kol om) en een begintoestand (genoemd in de bovenste rij) horen, Een streep geeft aan dat op de desb etreffende toe stand de maatregel niet te nemen is . Er bestaat dus geen variabele voor deze maatre gel op deze toestand. De volgtoestand kan berek end worden ui t de rechter kolom. Het effect (2,t2- 1i wil zeggen, dat volgend jaar de rest levensduur r«n het eerst e kenmerk 2 jaar is en de rest levens d *%r van het tweede kenmerk 1 jaar korter is gev orden.
45
+<5M4+ 8.48M 5 +1.92M e + 12.78MB+ 18.40M9+ 5.90M n + + 18.08Mi 2 + 1.60M13+ 14.38Mn+ 20.00M 15 - U5 =-1751.99 (4.1) WS is hier de som van de produkten van de "kunstmatige" variabelen met hun coëfficiënten. Wil dezelfde optimale oplossing gehandhaafd blijven, dan moet M4 uit de doelfunctie verwijderd kunnen worden zonder dat de coëfficiënten van de niet-optimale maatregelen negatief worden. Door de derde vergelijking 6 maal van de doelfunctie
af
te trekken verdwijnt M4 uit de doelfunctie. De
doelfunctie wordt dan:
(8.48+.396)M 5 + (1.92-.37<5)M6+ (12.78+.606 )M 8 + +(18.40+.416)M 9 + (5.90-.20<5)Mjj+ (18.08-.636 )Mi 2 + +(1.6-.4l£)Mi3+ (14.38+.196)M 14 + 20.00M 3 S -W'S = = -1751.99 - 24.99<5
. . „, (4.2)
Wil dus nu een eindoplossing bereikt zijn voor het optimalisatie proces, dan dienen de coëfficiënten van de niet-optimale maatregelen in deze doelfuntie groter dan nul te zijn. Men kan dan de volgende ongelijkheden opschrijven. de coëfficiënt van M5 geeft:
8.48 + .396 > 0
n
n
tt
1.92 - .370 > 0
n
n
n
Y>
12.78 -t- .606 > 0
n
»
n
M6 M8 M9
n
»
tl
«
5.90 - .206 £ 0
«
»
«
M„ M„
•n Yl
18.08 - .636 £ 0
n
n
n
n
1.6 - .41(5
«
»
n
n
14.38 + .196 2 0
Mu MM
n
18.40 + .416 > 0
> 0
Dit resulteert dan in: -21.34 < 6 < 3.90 Dus als de prijs, die in het begin 10 gulden was, beneden 13.90 blijft (ondergrens is -11.30 en niet reëel), blijft
de reeds gevonden
strategie
optimaal. De ondergrens wordt bepaald door maatregel Q op toestand (2,2)
46
begintoestand
maatregel
variabele
laagste prijs ;6.62
P*
Mio M3
R 1,3 2,1
1,1 1,2
2,3
bepaald door
24.30
7.34
M6 Ml3
14.70
M13 M6
M„
14.10
Mj
geen
-
P*
M<
-11.34
M8
13.90
Mi3
R Q*
M, 2
1.92
M4
geen
-
M7
9.27
M5
33.72
M 13
M13 M,
18.40
geen
-
-3.21
MT M6
P
M5
1.52
M,
geen
-
Q R
M8
17.22
geen
-
MX4
5.62
geen
-
0*
M2
M, Mt _
P
M6
8.08
M2
geen
-
Q R
M9
11.60
M2
geen
-
Ml5
0.00
M2
geen
-
R*
R 2,2
bepaald ; hoogste door prijs
0*
geen
4.10
1.92
Mï3
M6
tabel-4.2Gevoe/igheidsanalyse van de maatrege l en. De maatregelen met een * zijn de optimale maatregelen voor de gegeven toestand. De variabe l en in de derde kolom zijn de variabelen die de maat r egel in d e tweede kolom met de bijbehorende toestand uit de eerste kolom, in de model formulering representeren. De variabelen inde vijfde en zevende kolom veroorzaken de prijsgrens, genoemd in de voorafgaande kolom. Indien de prijsgrens juist over- f onder schred t n wordt wordt deze variabele optimaal. Op de toestand die bij deze variabele hoort wordt dan een andere maatrege l optimaal. Zie voor het verband tussen de variabelen, toestand en maatregel tabel-A. 2.
47
(gerepresenteerd door variabele M8). De bovengrens wordt bepaald door de maatregel R op toestand (2,1) (gerepresenteerd door de variabele Mn). Men kan iets soortgelijks ook doen voor maatregelen die niet in de optimale strategie (d.i. de basis oplossing) zijn opgenomen. Met behulp van een standaardpakket kan men opvragen binnen welke grenzen de kosten van een maatregel op een toestand mogen variëren zonder dat de optimale oplossing anders is, dan de nu gevonden oplossing. Het FMPS-pakket verschaft snel al deze spelingen van de afzonderlijke prijzen. De gevonden waarden met dit pakket staan vermeld in tabel-4.2. Zolang de afzonderlijke prijzen binnen deze grenzen, genoemd in tabel-4.2, blijven, blijft de reeds gevonden strategie optimaal. Men mag die prijzen echter niet tegelijkertijd veranderen. Uit deze gevoeligheids analyse kan men ook zien wat er gebeurt zodra de prijs van een maatregel net iets lager wordt dan zijn laagste prijs uit de tabel of net iets hoger wordt dan zijn hoogste prijs. Men dient hier onderscheid te maken tussen optimale en niet-optimale maatregelen. Voor een optimale maatregel op een bepaalde toestand (voorgesteld door de variabele Mj) brengt een verandering van de prijs van die maatregel pas een verschuiving van de optimale strategie teweeg wanneer een van de prijsgrenzen overschreden wordt. Bij een geringe overschrijding van die grens komt de maatregel (voorgesteld door de variabele Mj) die deze grens bepaalt in de optimale strategie en de maatregel (voorgesteld door M;-') die optimaal was in de bij Mj behorende toestand, verdwijnt uit de optimale strategie. Bijvoorbeeld: De optimale maatregel P voor toestand (1,2) (weergegeven door de variabele M3), Als de prijs van deze maatregel P op (1,2) hoger wordt dan 14.70 dan komt de maatregel P op toestand (2,3) (voorgesteld door variabele M6) in de optimale strategie. Wanneer dit gebeurt verdwijnt dus de maatregel O toegepast op toestand (2,3) ( = M2) uit de optimale strategie. Dit alles gebeurt bij een zeer geringe overschrijding van de prijsgrens. Als de prijs veel meer verandert dienen een aantal extra iteratieslagen met het FMPS-pakket uitgevoerd te worden om alle veranderingen te kunnen berekenen. Het netwerk in figuur-4.1 laat de eerste verandering zien als de prijs van de maatregel P op toestand (1,2) ( = M ) net de 14.70 overschreden heeft
48
-318.26,. 2,1
•302.67^ M7
1.3
-307.30_
N4
2,2
w M, l
•
•317.80„
-322.6 ^
UI.
^
*
M6 -302.67 2,3
O (oor*p .
opl . )
Tiguur-A.lOpt imale oplossing indien de prijs van de (voorheen ook toegepaste) maatregel P op toestand ( 1 . 2 ) juist hoger wordt dan 14.70. De gestippe l de l ijn is de oude oplossing. Elke verbinding stelt een maatregel voor. Deze maatregel is samen met de bijbehorende variabele bij de pijl vermeld. De richting wijst naar de.volgtoestand. Boven de toestanden staan de netto contante waarden.
-300.39-
-283.91
-287.61
2,1
M7
1,3
M4
2,2
M,
t
I I ,S - 2 8 1 . )9
-301.99.,
-296.09,
2—•riï-5—*
r
^ - ^
M10
O (oor sp.
opl.)
1,2
I
2,3
figuur-4.2 Op ti ma Ie oplossing indien de prijs van de (voorheen niet toegepaste) maatregel P op toestand ( 2 , 3 ) juist lager wordt dan 8.08. De gestippelde lijn laat de oorspronkelijke oplossing zien. Elke verbinding stelt de maatregel voor die bij de pijl vermeld is samen met de bijbehorende variabele. De richting wijst naar de volgtoestand . Boven de toestanden staan de netto contante waarden.
49
De verklaring voor deze verandering is, dat de duurder geworden maatregel P op de toestand (1,2) die in de cyclus nog optimaal is. voor de toestand (2,3) naar de toekomst verschoven wordt zodat het effect op de verdisconteerde kosten geringer is. Voor een niet-optimale maatregel op een bepaalde toestand (voorgesteld door de variabele M,), veroorzaakt een verandering van de prijs van die maatregel pas een verschuiving in de optimale strategie bij overschrijding van de grens die door de optimale maatregel op die toestand ( = Mj) wordt bepaalt. De optimale maatregel ( = Mj) verdwijnt dan uit de oplossing en de eerst niet-optimale maatregel ( = M,) wordt nu in de optimale strategie opgenomen. Bijvoorbeeld: Voor toestand (2,3) is P een alternatieve maatregel ( = M6). Als de prijs van deze maatregel lager wordt dan 8.08 verdwijnt de maatregel O op toestand (2,3) ( = M2) uit de optimale strategie en wordt de maatregel P ( = M6) op die toestand de optimale maatregel. Ook hierbij dient vermeld te worden dat dit gebeurt bij geringe overschrijding van de prijsgrens en dat bij grote overschrijdingen weer een aantal iteratieslagen met het FMPS-pakket vanuit de optimale oplossing uitgevoerd dienen te worden. In het netwerk van figuur-4.2 ziet men de verandering weergegeven als de prijs van de maatregel P op toestand (2,3) net iets lager is geworden dan 8.08. Gevoeligheids analyse door variatie van kosten verloopt in het stochastische model op dezelfde manier.
4.3
Gevoelige maatregelen.
Een wegbeheerder heeft er belang bij, dat hem een werkbare optimale oplossing wordt geboden. Een werkbare oplossing is voor hem o.a een oplossing die weinig fluctuaties vertoont bij geringe prijswijzigingen. Men wil dus graag weinig gevoelige maatregelen gebruiken. Een maatregel noemt men gevoelig indien bij een geringe verandering van een
50
prijs de maatregel uit de optimale oplossing verdwijnt. Een maatregel is niet alleen gevoelig voor veranderingen van zijn eigen prijs maar ook voor de veranderingen van de prijzen van andere maatregelen. Zelfs van maatregelen die op een andere toestand genomen worden. Een reden hiervan is bijvoorbeeld, dat door het hoger worden van de prijs van een maatregel die op een van de volgtoestanden van de beschouwde toestand wordt genomen, het niet meer aantrekkelijk wordt om de reeds gevonden aanlooproute en/of cyclus vanuit de beschouwde toestand te volgen. Men kiest dan voor een andere aanlooproute door een vervangende maatregel te nemen op de beschouwde toestand. Men kan met behulp van de tabel-4.2 van de gevoeligheidsanalyse de gevoeligheid onderzoeken van een bepaalde optimale maatregel bij een toestand. Neemt men bijvoorbeeld toestand (2,2). De nu gevonden optimale maatregel is O ( voorgesteld door de variabele Mj). De alternatieve maatregelen voor deze toestand zijn P, Q en R (respectievelijk gerepresenteerd door de variabelen M , M en M ). Het is duidelijk dat de maatregel O gevoelig is voor de prijs 5
8
14
van deze alternatieven zoals men ook in tabel-4.2 kan zien. Een alternatieve maatregel wordt opgenomen in de optimale oplossing indien zijn prijs daalt beneden de, bij dat alternatief, opgegeven laagste prijs. De maatregel O op toestand (2,2) verdwijnt dan uit de optimale strategie. Een alternatief voor O op toestand (2,2) kan ook door de prijsverandering van een optimale maatregel op een andere toestand in de optimale strategie opgenomen worden. Hierdoor verdwijnt de maatregel O op toestand (2,2) ook uit de optimale strategie. Neemt men tabel-4.2 dan ziet men dat de alternatieve maatregel Q op toestand (2,2) { = M8 ) in de optimale strategie opgenomen wordt indien de prijs van de optimale maatregel P op toestand (1,3) lager wordt dan -11.34. Ook ziet men dat de alternatieve maatregel P op toestand (2,2) in de optimale strategie opgenomen gaat worden als de prijs van de optimale maatregel Q op toestand (2,1) lager wordt dan 9.27. Al deze prijsveranderingen kan men uitdrukken in een percentage. Dit wordt nu het gevoeligheidspercentage genoemd. Voor de prijs van de alternatieven is dit:
51
beg i ntoestand
maatregel
prijs
laagste prijs
bepaald door
boogste prijs
iepaald ioor
gevoeligbeid
(1,3)
P* -
i»4
10.00
-11.34
M8_
13.90
Ml 3
(2,1)
Q* - W7
30.00
9.27
Ms_
33.72
M
(2,2)
P
- M5
10.00
1.52
geen
84.8%
Q
- Mg
30.00
17.22
geen
42.6%
R
= M14
10.00
5.62
geen
71.9%
13
213.4% 69.1%
tabel-4.3De voor maatregel O op toestand (2,2i relevante gevoeligheden. De maatregelen op de toe s tanden (1,3) en ( 2 , 1 ) leveren een gevoe lightid op door de onderstreepte maatregel. Deze geroel igheid ontstaat doordat de onderstreepte variabele optimaal wordt bij de prijsondersckrijding. Deze variabele is een alternatief voor de optimale var iabele op toestand ( 2 , 2 ) die daardoor uit de optimale oplossing verdwijnt. De maatregelen op dt toestand (2,2) zijn de alternatieven voor O en dragen daardoor bij aan de gevoeligheid. De gevoeligheiispercentages staan genoemd in dê meest rechter kotom waarbij het kleinste gevoeligheids percentage (•ƒ de grootste gevoeligheid) onderstreept is. Ook ml is de laagste prijs van de optimale maatregel op fes tand ( 1 , 3 ) niet reëel, voor de vol ledigheid is die toch weergegeven.
52
gevoeligheidspercentage = — ^ — 100% Hierin is K de huidige prijs van de alternatieve maatregel en L de laagste prijs van de alternatieve maatregel uit de tabel. Voor de gevoeligheid met betrekking tot de prijs van een optimale maatregel wordt dit percentage gevoeligheids percentage = J—^—<- 10096 Hierin is K de prijs van de optimale maatregel die de gevoeligheid veroorzaakt en G de prijsgrens van deze maatregel waarbij door onder-/overschrijding, een alternatieve maatregel in de optimale oplossing wordt opgenomen. In het voorbeeld is dit voor elke G de laagste prijs maar dit had ook de hoogste prijs kunnen zijn. Al deze gevoeligheden worden samengevat in het kleinste gevoeligheids percentage (of de grootste gevoeligheid). Een maatregel is gevoelig voor prijsveranderingen indien dit percentage lager is dan een afgesproken percentage p (bv 5% of 10%). In tabel-4.3 staan de voor het optimaal zijn van de maatregel O op toestand (2,2) relevante gevoeligheden en de daaruit voortvloeiende gevoeligheidspercentages vermeld. Deze percentages zijn hoog zodat de optimale maatregel O op toestand (2,2) weinig gevoelig te noemen is voor prijsveranderingen.
4.4
Gevoeligheid t.a.v de rente.
Gevoeligheidsanalyse met betrekking tot de rente is met parametrisering zoals hiervoor beschreven niet mogelijk. Het model dient dus steeds met een andere discontofactor doorgerekend te worden. Indien de veranderingen dan niet te groot blijken te zijn, is het soms in het deterministische geval mogelijk analytisch de gevoeligheid verder te onderzoeken. Deze manier van gevoeligheidsonderzoek is beperkt toepasbaar en gaat als volgt. Van een toestand i waarop verschillende maatregelen genomen kunnen worden die afhankelijk van de waarde van de discontofactor optimaal zijn, kan men de waarde van de discontofactor berekenen waarop een maatregel uit de
53
optimale oplossing verdwijnt en een nieuwe maatregel optimaal wordt. Men kan dit doen door uit te gaan van de formule (3.14) die hier onder nog eens vermeld wordt.
<* J ~V
*i-Z j-i
J-i
/f.+ « n - i l-o*
}
l
oj'lKs
j-i
s
(3.14)
J"1 J
waarbij R,= { i , . . . , x } ; R0= i; R n - x . en S,» { x , . . . , x } ; S0= S,« x. Stel dat uit de berekeningen met verschillende waarden van a blijkt, dat de optimale strategie in de volgtoestanden van de verschillende maatregelen op toestand i niet verandert. De optimale maatregel op toestand i is gevoelig voor de rente. Dan kan men met deze formule de contante waarde van een maatregel m op die toestand i als een functie W,(a,m) van o schrijven. Doet men dit met alle mogelijke maatregelen die op de toestand i mogelijk zijn dan kan men door paarsgewijze vergelijking van deze W,(a,m) voor verschillende maatregelen het interval berekenen waarop een maatregel geprefereerd wordt boven een andere maatregel. Wordt dit voor alle mogelijke maatregelen op toestand i gedaan dan resulteert dit in intervallen waarop een maatregel geprefereerd wordt boven alle maatregelen. Voor een voorbeeld dient een groter probleem genomen te worden dan tot nu toe behandeld is. Het tot nu toe gebruikte voorbeeld kent geen gevoeligheid van de strategie voor de rente. Voor het nieuwe voorbeeld wordt een wegdek beschouwd met betrekking tot de twee kenmerken rafeling en krakelee. De kosten en effecten staan vermeld in tabel-4.4. De optimale oplossing van dit probleem voor verschillende rentepercentages vertoont slechts een gevoeligheid voor de maatregelen in de toestanden (1,3) en (1,4). Andere toestanden kennen van hun optimale maatregelen geen gevoeligheid voor de rente. De optimale oplossingen voor deze toestanden zijn: De maatregel "dubbele oppervlakbehandeling" (P) voor de toestanden (l,i) 1=5,..,8 De maatregel "sleeplaag + dubbele oppervlakbehandeling" (Q) voor de toestanden (i,l) i=l,..,12 en (1,2). Van alle toestanden waarvan de restlevensduur van geen enkel wegkenmerk gelijk aan een jaar is, is de optimale maatregel "niets doen". De enige onderhoudscyclus is loopt vanaf toestand (9,5). Door 4 jaar niets te doen komt men uit in toestand (5,12) waarna de maatregel Q toegepast moet worden zodat men weer in toestand (9,5) uitkomt.
54
maatregel
omschti j v l n g
kosten
volgtoestand
0.00
( tj-l,t2-l
)
d u b b . o p p v l . b e h a n d e l ing
3.50
(
9
)
Q
s 1 e ep1aag+dubb.opp.beh.
6.00
(
9
R
repave
9.00
( 12
0
niets
P
doen
,t2-l ,
5
)
,t2+4 )
tabel-4.4 A/oa t regelen, kosten en effecten. Bijvoorbeeld, is de verharding in toestand ( 2 , 3 ) , d a n wordt volgend jaar de volgtoestand ( 9 , 3 - 1 ) = ( 9 , 2 ) 0/5 men de maatregel P uitvoert. Alleen re s tlevensduren groter dan nul mogen voorkomen. Dus bi jvoorbee l d , is de verharding in toestand ( 1 , 2 ) zijn dan moet men eengroot onderhouds maatr egel uitvoeren daar anders volgend jaar de toestand ( 0 , 1) zal optreden. (0,1) is niet toelaatbaar. De maximale restl evensduren zijn (12,8).
55
Voor de gevoelige toestanden kan voor alle toegestane maatregelen de vergelijking 3.14 opgeschreven worden als functie van a. Wordt toestand (1,3; genomen dan worden de contante waarden van de kosten als functie van o. bij toepassing van bijvoorbeeld maatregel P: W/j 3){a,P) = 3.50 + a26.00 + a3—— a46.00 1-a5 De aktie Q toegepast op toestand (1,3) geeft w
(i,3)(o»0) = 6.00 + a —— a46.00 1-a Paarsgewijze vergelijking van deze twee functies levert met numerieke methoden het omslagpunt waarop de voorkeur van de twee maatregelen ten opzichte van elkaar verandert. Als maatregel Q goedkoper is dan maatregel P dan geldt W(1,,)(a,Q) < W(lt3)(a,P) Met bijvoorbeeld de Regula Falsi methode kan men de waarden voor o. berekenen waarbinnen dit geldt. Het omslagpunt ligt bij de waarde Q = .629. Dit komt overeen met een rente percentage van 59%. Als de rente beneden deze waarde blijft wordt maatregel Q geprefereerd boven maatregel P. Deze vergelijkingen kunnen ook opgezet worden met de andere maatregel R. Het eind resultaat levert de waarden op van a waarbinnen een maatregel geprefereerd wordt boven elke andere maatregel.
56
Hoofdstuk 5
5.1
ALTERNATIEVE MAATREGELEN EN STRATEGIEËN.
Inleiding.
Een wegbeheerder heeft er baat bij dat hij de keus heeft uit alternatieve maatregelen en voor de planning op de kortere termijn uit alternatieve strategieën. In de volgende paragraaf wordt de mogelijkheden voor het vinden van alternatieve maatregelen besproken. In de daaropvolgende paragraaf wordt met behulp van het gevoeligheidspercentage, gericht naar een alternatieve strategie voor de korte termijn gezocht.
5.2
Alternatieven voor een maatregel.
Een optimale maatregel kan men op twee manieren uitsluiten. a) De eerste manier treedt op wanneer de wegbeheerder slechts éénmalig wenst af te wijken van de optimale strategie. Bijvoorbeeld doordat voor een wegeenheid de optimale maatregel niet te combineren valt met een maatregel die genomen moet worden in een aangrenzende wegeenheid. b) De tweede manier treedt op als de gevonden maatregel zeer gevoelig blijkt te zijn voor prijsveranderingen en de wegbeheerder achteraf nooit voor die bepaalde toestand de gevonden optimale maatregel wenst te hanteren. ad a) In het eerste geval is het financiële effect van de maatregel m simpel te berekenen door voor elk mogelijke maatregel op die toestand i de kosten KI; van die maatregel te sommeren met het product van de discontofactor en de verwachting van de netto contante waarde van de volgtoestanden j . N
financiële effect maatregel m op i = K^m) + a £ pIJ(m)WJ J-i
In het deterministische geval wordt dit financiële effect maatregel m op i = Kj(m) + aW, Men krijgt hierdoor een lijst van alternatieve maatregelen en hun effecten op de netto contante waarde. Door een grens te stellen van p% op de mogelijke
maatregel
netto contante waarde
afwijking in proc.
P
-296.09
2.9
Q
-300.39
4.4
R
-301.99
5.0
0
-287.61
0.0
tabel-5.1 Effecten van de alternatieve maatregelen op toestand (2,2) bij éémalige toepass ing. In de tweede kolom staat de nieuwe netto contante waarde als men slechts een keer wil afwijken van de optimale oplossing. In de derde kolom staat de afwijking in procenten van de optimale waarde voor deze toestand. Voor de duidelijkheid is deze optimale waarde in de onderste rij weergegeven.
58
veranderingen en alleen die maatregelen in de lijst op te nemen waarvan het effect t.a.v de netto contante waarde die p% niet overschrijden, krijgt men een lijst van aanvaardbare alternatieven. Op deze wijze is een alternatief zeer snel te berekenen. Stel men wil in het voorbeeld van paragraaf 3.8 de alternatieve maatregelen berekenen van toestand (2,2). De optimale maatregel is "niets doen" met de netto contante waarde -287.61. Alle andere maatregelen zijn op deze toestand toe te passen en geven daardoor een mogelijk alternatief. Als men maatregel P toepast i.p.v. 0 wordt de netto contante waarde voor toestand (2,2): Wj2 = 10.00 +
OWJI
• 10.00 + .95 x 300.39
Zo ook voor de andere maatregelen. In tabel-5.1 staan de alternatieven opgenoemd met de daarbij behorende netto contante waarde en het percentage van de verandering daarvan t.a.v. de optimale oplossing. Wil men slechts een afwijking van maximaal 3% accepteren dan is maatregel P met een afwijking van 2.9%, de enige werkelijk alternatieve maatregel. ad b) Voor het tweede geval dient een andere methodiek toegepast te worden. Wilt men een maatregel achteraf altijd blijven uitsluiten voor een bepaalde toestand, dan dient men in het eind tableau de overgang vanuit die toestand voor de betreffende maatregel uit te sluiten. Dit gebeurt door de kolom die deze overgang beschrijft in het eind tableau te verwijderen. Het FMPS-pakket biedt bijvoorbeeld deze mogelijkheid. Door dan weer een aantal lineaire transformaties (volgens het L.P. algoritme vanuit de reeds eerder gevonden optimale oplossing) uit te voeren, vindt men een nieuwe maatregel, indien nog mogelijk, voor die toestand. Stel men heeft in het voorbeeld de begintoestand (1,2) en men wil de gevonden optimale maatregel M ( dit is maatregel P ) nooit toegepast zien. Bij lichte overschrijding van de kostengrenzen zou volgens de gevoeligheidstabel als alternatieve maatregel de maatregel M ( = maatregel R ) in de optimale strategie verschijnen. Echter als de kostencoefficiënt van M verhoogd wordt tot bijvoorbeeld 108 en het probleem wordt verder opgelost dan vindt men niet alleen een alternatieve maatregel voor (1,2) maar ook voor de toestanden (2,2) en (2,3). Daarom dient bij grote overschrijdingen opnieuw een aantal iteratieslagen gedaan te worden. De totale oplossing staat in tabel-5.2. De verandering van het equivalent
59
variabele
toestand
M10 Mn M, M7
1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,3
M5 M6
maatregel R R P Q P P
netto contante waarde -420.00 -420.00 -343.23 -356.88 -349.89 -343.23
equivalent budget Bt 20.00 20.00 16.34 16.99 16.66 16.34
tabel-5.2 Oplossing nadat P op (1,2) achteraf als mogelijke maatregel uitgesloten is. De maatregel P wordt nu nooit meer toegepast op (1,2).
'' 2 1
P
Q
1,3
P
2,2
'•
R
1.2 i
I>
2,3
1,1
flguur-5.1 Oplossing uit tabel-5.2 getekend als netwerk met P als mogelijke maatregel uitgesloten op toestand (1,2).
60
budget voor die toestand is hierdoor (20.00/14.10 - 1) x 100% = 42%. Deze oplossing getekend als netwerk dan krijgt men figuur-5.1. De verkregen oplossing bevat dus meerdere optimale cycli. Vanuit de begintoestanden (1,1) en (1,2) komt men in een "duurder" cyclus uit dan vanuit de andere toestanden. Het model van Tolman liet deze oplossing niet toe. Dit had zijn oorzaak in het feit dat hij alleen voor zijn optimale oplossing de gemiddelde kosten van een cyclus minimaliseerde en meerdere cycli de berekening van dit gemiddelde onmogelijk konden maken. In het strategiemodel wordt over alle toestanden geoptimaliseerd en is men daardoor wel in staat een budget op de lange termijn te bepalen. Neemt men in het strategiemodel dezelfde kansen van optreden van de toestanden nü als genoemd in het voorbeeld van hoofdstak 3 dus n<°> n(0) P(l,l) -_ P(l,2) --
n(0) -= */l P(l,3) A
(0) n<°> *_ n n<0) -P(2,l) P<2,2) -= P(2,3)
l
l/ 12
De verwachting van het huidige budget is dan B(0) =\{
20.00 + 20.00 + 16.34 } + J J { 16.99 + 16.66 + 16.34 } = 18.25
Komt men in de stationaire situatie van het Markov-proces, dus t •*• oo, dan zijn de kansen van optreden P(ij) r\ p(iJ)
? (U) = (1,2)
- lim pÜ;,-) « J 0 ; (ij) = (1,1), (2,3) L £ ; (ij) = (1,3), (2,1), (2,2)
De verwachting van het budget is dan B = ^c20.00 + J { 16.34 + 16.66 + 16.99 ]• • 18.33
61
5.3
Alternatieven voor een reeks van maatregelen (strategie).
Een wegbeheerder wil voor de korte termijn aanvaardbare alternatieve strategieën onderzoeken die vanuit een bepaalde toestand mogelijk zijn. Alternatieven voor strategiën, die een grote gevoeligheid vertonen ten aanzien van prijsver ander ingen. Men kan deze alternatieve strategieën gericht vinden door (een deel van) het pad gevormd door de optimale maatregelen vanuit de begintoestand af te lopen en het kleinste gevoeligheids percentage te hanteren als criterium om optimale maatregelen in de strategie te vervangen door een van zijn alternatieven. De gevoeligste maatregel, dit is de maatregel die bij de geringste prijsverandering verdwijnt, kan men dan verwijderen op een van de in de vorige paragraaf genoemde manieren. Voor bijvoorbeeld begintoestand (2,3) wil men nu op deze manier een suboptimale strategie vinden. Het optimale pad vanuit (2,3) staat vermeld in figuur-5.2. Met behulp van tabel-4.3 kan men de gevoeligheid van elke optimale maatregel voor elke toestand berekenen. In tabel-5.3 staan de gevoeligheids percentages voor elke optimale maatregel op de toestanden vermeld. De gevoeligste oplossing is dus in dit pad de maatregel Q op toestand (2,1). Door nu op een van de, in de vorige paragraaf beschreven, manieren deze maatregel uit de optimale oplossing te verwijderen, vindt men voor (2,3) een alternatieve strategie. Bij éénmalige verwijdering van deze maatregel krijgt men de strategie zoals vermeld in figuur-5.3. De veranderingen op de netto contante waarden is dan voor de toestanden in het pad tot en de gewijzigde toestand 0.5%. Daarna blijven de oude waarden hetzelfde omdat de oorspronkelijke optimale strategie gevolgd gaat worden. Wil men achteraf altijd het alternatief hanteren dan krijgt men de oplossing die in figuur-5.4 staat. De nettocontante waarden zijn hier voor elke toestand hoger dan de strategie uit figuur-5.3 omdat de, in totale kosten, duurdere maatregel R nu altijd genomen wordt op toestand (2.1). 5.4
Conclusies met betrekking tot alternatieven.
Het is mogelijk zowel alternatieve maatregelen als strategieën aan te geven. Dit zowel eenmalig als permanent. Permanente alternatieven op een toestand
62
2,3
O M2
P 1,2 Mj
Q , 2,1
M7
1,3
P M<
R 2,2
:1.1
M l O * 1,2
Flgmir-5.2Pad vanuit toestand (2,3) bij de optimale oplossing. Dit pad ontstaat als men op toestand (2,3) de optimale maatregel toepast. Op de toestand waar men dan in terecht komt weer de daarbij horend optimale maatregel toepassen, enz.
gevoeli ghei d ver oor zaak t door prijs van
ge voe1i gheid op t i m a 1 evar i abe1e in procenten M2
M7
M3
*4
Mj
M5
-
-
-
84.8
M6
19.2
-
-
-
ni et-
Mg
-
-
-
42.6
opt 1 -
Mg
-
-
-
ma 1 e
M
-
-
var i -
M12
-
-
be 1 en
Ml3
-
8 .0
-
-
M14
-
-
-
71.9
Ml5
10 0.0
-
-
-
Mi
00
00
-
-
opt i -
Mo
00
-
-
-
ma 1 e
M3
4 7.0
2 6.6
-
-
var i -
M<
-
3 9.0
-
213.4
beien
M7
-
12.4
-
69.1
67.6
2 1.5
-
-
98.4
42.6
6 1.3 29. 5
M
Wio kleinste gevoeligheidsper centage
19.2
29.5
8 .0
»0 . 4
Mj o
-
tabe\-5.3 Gevoel i ghe idsperc ent oges van de optimale var tab e len in het pad vanuit de toestand ( 2 , 3 ) . Voor he t verband tussen deze variabelen met ie maatregel en de toestand zie de tabel-4.1. De grootste gevoeligheid wordt bepaald door het kleinste gevoeligheidspercentage. De gevoeligste maatregel in dit pad is de maatregel Q op toestand ( 2 . 1 ) , in de tabel aangeduid met zijn variabele M-. 63
eenm&li ge * 1 t e r n a t ieve maatregel
I 0
P
R
P
Q
P
,
2,3
1,2
2,1
1,2
2,1
1.3
2,2
-283.44
•297.61
•301.99
-296.09
-300.39
-283.91
-287.61
fig\iur~&.2 Oplossing alternatieve strategie op het pad vanuit toestand ( 2 . 3 ) bij eenmalige verwijder ing van de gevoeligste maatregel. Onder de vakjes staan de nieuwe netto contante waarden. Nadat men voor de tweede maal in de toestand (2,1) is ui tgekomen, volgt men weer de oorspronkelijke optimale strategie uit figuur-S.2.
t
R 1,3 -298.04
2,2 -302.44
i,i - 3 1 7 . 56
'•
P
1,2 t > * v
R
2,1 -317.56 -312.44
() 2,3 -297.56
ftguur-5.3Oplossing alternatieve strategie op het pad van vit toestand (2.3) na uitsluiting van de gevoeligste maatregel zodat die nooit meer toegepast kan worden. Onder de vakjes staan de nieuwe ne t to contante waarden.
64
zijn duurder dan de eenmalige alternatieve maatregelen. Ook de berekening van de permanente alternatieven is omslachtig. Voor bet berekenen van één alternatief is één run nodig. Berekenen van permanente alternatieven kan daarom niet handzaam toegepast worden. Met behulp van de gevoeligheidsanalyse is in de meeste gevallen goed mogelijk een beeld te krijgen van de beslissingsstructuur van bet model. Gevoelige strategieën kunnen met gevoeligheidsonderzoek worden aangegeven en hun alternatieven worden berekend.
65
Hoofdstuk 6
6.1
EEN PRAKTIJKVOORBEELD.
Inleiding.
In dit praktijkvoorbeeld is een autosnelweg beschouwd met per rijrichting twee bereden stroken en een vluchtstrook. De weg kar gezien worden als een gemiddelde, druk bereden weg in het westen van Nederland. Zo'n weg kan men op de volgende vier wegkenmerken met hun respectievelijke maximale restlevensduur beoordelen. 1) 2) 3) 4)
Rafel ing: Krakelee: Spoor diep te: Langvlakheid:
met met met met
een een een een
max. max. max. max.
restlevensduur restlevensduur restlevensduur restlevensduur
van van van van
15 jaar. 16 jaar. 15 jaar. 15 jaar.
Het totaal aantal toestanden met dit gegeven is 54000. Een probleem van deze omvang is niet in het mainframe van Rijkswaterstaat ie verwerken. Men vond het aanvaardbaar het probleem op te splitsen in meerdere delen van elk drie wegkenmerken en in elk deelprobleem die maatregelen weglaten, die specifiek bedoeld zijn voor het ontbrekende wegkenmerk of een duurdere doublure vormen van een andere maatregel. Men kiest voor de besaouwde wegeenheid de oplossing van dat deelprobleem, waarvan het ontbrekende kenmerk, in de metingen, geen of nauwelijks schade vertoont. Da: wil zeggen, dat het ontbrekende kenmerk een hoge restlevensduur (bijvoorbeeld > 10 jaar) heeft. 6.2
Invoer.
Het probleem is nu in twee deelproblemen Pl en P2 gesplitst. In probleem Pj wordt de wegeenheid beoordeeld aan de hand van de kenmerken 1, 2 en 3. In probleem P2 wordt de wegeenheid beoordeeld aan de hand van de kenmerken 1, 2 en 4. Rafeling is een verouderingsverschijnsel van bet oppervlak en treedt bij ieder wegdek op. Krakelee is een maat voor de draagkracht van een verharding en is dus van belang als indicatie voor de levensduur van de totale verharding. Deze twee wegkenmerken dienen daarom altijd opgenomen te worden in de beoordeling. Er zijn wegen waarop nooit spoorvorming voorkomt (bijvoorbeeld de autosnelweg Gouda-Woerden) of nooit langsvlakheid voorkomt.
Hierdoor kan men alleen een van deze twee wegkenmerken weglaten [15]. In tabel-6.1 en tabel-6.2 staan de gegevens van effecten op de restlevensduur en de prijs per m van respectievelijk probleem Pj en probieem P2. De overgangen worden deterministisch verondersteld. Een aktie wordi ondernomen direct na het bereiken van een toestand. In beide gevallen is als pseudo-maatregel de aktie "klein onderhoud'' ingevoerd met effect t< - 1, dwz de restlevensduur van kenmerk i is volgend jaar één jaar verouderd, en variabele kostprijs volgens de volgende formule [15]. kosten klein onderhoud = .33(e
(voor t,>l)
De kosten van het klein onderhoud worden dus groter naarmate de restlevensduur van een van de kenmerken kleiner wordt. Om de hoeveelheid invoer en de rekentijd te beperken is een beperking ingevoerd voor de toestanden waarop een aktie, anders dan "klein onderhoud", ondernomen kan worden. De ervaring heeft namelijk uitgewezen dat andere akties pas aantrekkelijk worden zodra een of meer restlevensduren van de kenmerken nog maar enkele jaren bedraagt. Hier is aangenomen dat een andere maatregel slechts toegestaan is, als een of meer restlevensduren kleiner zijn dan 5 jaar. De overheid hanteert momenteel bij kosten/baten analyses een vaste discontovoet van 5% [11]. Het model is daarom met dit rentepercentage als gegeven uitgewerkt. Voor elk probleem Pj en P2 is een variant doorgerekend waarbij de maximale restlevensduur van het kenmerk krakelee verhoogd is naar 20 jaar (resp. probleem Pja en P2a). Dit om de gevoeligheid voor een hogere restlevensduur te onderzoeken. Voorts is voor probleem Pj bekeken of het vervangen van een maatregel door een andere, grote invloed heeft op een optimale oplossing (probleem Pi). De aktie "deklaag" is vervangen door de aktie "sleepfaag + deklaag" met kostprijs 16.00 gld./m2. Het effect volgend jaar van deze maatregel is bij toepassing (15,t2+5,t3+ll) in woorden: -voor het wegkenmerk rafeling wordt de restlevensduur volgend jaar 15 jaar. -voor het wegkenmerk krakelee wordt de restlevensduur. die voor de aktie t2 67
maatregel
oude r houdseffect rafel ing
krakelee
in jaren spoordiepte
eenheidspr ijs 2 in gld/m
1 Microdeklaag
8
t -
1
t -
1
6.50
2 S l e e p laag (koud) 3 Sanimat
8
t -
1
t + 9
7.50
10
t + 1
t + 9
10.00
4 Repave
12
t 4 2
t 4 S
10.00
5 Deklaag
15
t + 5
t 4 »
13.50
6 Bakf r e z e n + deklaag
15
t 4 11
t + 11
21.50
maximaal
15
16
15
tabel-6.11nvoer gegevens van probleem P j . Het onderhou dseffect 15 betekent dat volgend jaar de restlevensduur 15 jaar is. Het onderhoud sef f eet ( * + l l ) betekent dat als nu de rest levensduur t jaar is, de rest levensduur volgend jaar (t +11) jaar is , met in achtneming van de maximale rest levensd uur. Voor ieder kenmerk staat deze in de onderste rij.
maatregel
rafel ing 1 Microdeklaag
langsvlakh.
eenheidsprijs 2 in gld/m
1
t - 1
6.50
onde r houdseffect
8
krakelee t -
in jaren
2 Repave
12
t -f 2
t - 1
10.00
3 Deklaag
15
t + 5
t 4 4
13.50
4 Vlak f reeen + deklaag 5 Bakf rezen + deklaag 6 prof l e l l a a g 4 deklaag
15
t + 5
t 4 7
16.00
IS
t 4 11
t 4 »
21.50
15
t 4 11
15
23.50
15
16
15
maximaal
tabel-6.2Invoer gegevens van deelprobleem P 2 . Voor de be~ betekenis van de onderhoudseffecten zie tabel-6. 1.
68
jaar was, volgend jaar verhoogd met 5 jaar tot (ta+5) jaar. -voor het wegkenmerk spoordiepte wordt de restlevensoiur, die voor de aktie t3 jaar was, volgend jaar verhoogd met 11 naar tot (t,—11) jaar. Als laatste variant (probleem PjC) is gekozen voor de bet extra toevoegen in probleem P! van een maatregel, namelijk de aktie "sleeplaag •deklaag". 6.3
Resultaten optimale onderhoudsstrategie.
De omvang van het oorspronkelijke probleem was 54000 toestanden en zou moeten resulteren in een probleem van 54000 vergelijkingen met ±183000 variabelen. De dichtheid die het tableau zou hebben is ±0.006$. De gegevens van de omvang van de uiteindelijke deelproblemen staan verroeki in tabel-6.3. De deelproblemen zijn opgelost met het FMPS-pakkei. dit is het standaard L.P.-pakket dat op de Univac-1100 tot onze beschikking staat. Door de lange verwerkingstijd en de daaraan verbonden hoge kosten is gekozen voor batch-verwerking in de avonduren. De gegevens over de verwerkingstijden en dergelijke staan in tabel-6.4. In de oplossing van beide deelproblemen (Pj en P2) blijken alle maatregelen wel een keer toegepast te worden. Alleen in variant-lc gebeurt dit niet. Het opnemen van de extra aktie "sleepiaag + deklaag" heeft totaal geen effect op de oorspronkelijke oplossing. In de volgende sub-paragraven volgt een opsomming van de optimale oplossing van ieder deelprobleem en hun variaties. Voor de exacte oplossingen wordt verwezen naar de tabellenboeken, berekend met dit model, die aan de Dienst Weg- en Waterbouwkunde zijn overhandigd (zie ook de bijlage). 6.3.1
Optimaal onderhoudsontwerp voor probleem Pv
De oplossing van probleem Pt geeft 6 toestanden te zien waarop een maatregel toegepast wordt zonder dat de restlevensduur van een of meerdere wegkenmerken gelijk is aan 1 jaar. Deze toestanden zijn: -(2,3,2), (2,4,2), (2,5,2), (2,6,2) en (2,7,2) waarop de maatregel "deklaag" wordt uitgevoerd. -(2,8,2) waarop de maatregel "sanimat" wordt uitgevoerdDe toestanden waarop andere maatregelen dan de pseudo-maatregel "klein onderhoud" uitgesloten had kunnen worden om rekentijd en de hoeveelheid invoer te beperken, hadden dus ook de toestanden kunnen zijn waarvan de
69
aantal variabelen
dichtheid
6
15153
0.09%
15x16x15
6
15138
0.09%
la
15x20x15
6
18373
0.0796
2a
15x20x15
6
18298
0.07%
lb
15x16x15
6
15153
0.09%
1c
15x16x15
7
17301
0.09%
deel
omvang
1
15x16x15
2
aantal maatregelen
tabel-6.3£e omvang van de twee deelproblemen en hun varianten (zie tekst). Variant lb verschilt van het oor spronkel ijke probleem door het verwisselen van de aktie "deklaag* wiet de gecombineerde aktie " sleeplaag + deklaag'". De dichtheid is de verhouding tussen het aantal niet-nul elementen en het aantal elementen van de invoer matrix.
deel
optima 1isat i e eerste strategie optimale strategie gevonden n a : gevonden na; aantal aantal cpu-ti jd c p u - t i Jd 1teratie iteratie in min. in min. stappen stappen
tot. optimalisatie * postopt imal i s a t i e
cpu-tijd «in.:sec.
i n p u t en output t i j d id.
10:20.83
14:01.38
Pi
2.128
2677
6.200
6539
P2
1.848
2317
5.074
S264
P,a
3.074
3088
9.204
7772
15:34.42
22:20.66
P2a
3.056
2896
8.311
6729
14:25.69
22:03.38
P,b
2.158
2896
6.188
6627
10:16.37
13:44.41
PlC
2.116
2658
6.458
6730
?
?
?
tabél-BAVerwerkingstijden van de twee deelproblemen met hun varianten. De eerste strategie die gevonden wordt is een toegelaten strategie maar niet de optimale. Het aantal iteratiestappen waarin het pakket dit vindt staat ernaast vermeld. 70
?
restlevensduur voor alle kenmerken groter was dan 2 jaar. Op de andere toestanden wordt alleen een aktie toegepast indien de restlevensduur van een of meer wegkenmerken gelijk is aan 1 jaar. In het volgende staan de oplossingen beschreven als telkens van één wegkenmerk de restlevensduur 1 jaar is -Is nu de restlevensduur van het kenmerk krakelee gelijk aan 1 jaar dan wordt er altijd de aktie "bakfrezen + deklaag" uitgevoerd. -Is de restlevensduur van het kenmerk spoordiepte gelijk aan 1 jaar dan wordt een aktie ondernomen afhankelijk van der restlevensduur van het kenmerk krakelee. Als dan de restlevensduur van de krakelee groter is dan 11 jaar of gelijk is aan 10 jaar, dan wordt de aktie "sleeplaag (koud)" toegepast. Is de restlevensduur van het kenmerk krakelee 8, 9 of lljaar dan wordt de aktie "sanimat" toegepast. Is de restlevensduur van het kenmerk krakelee kleiner dan 8 jaar maar groter dan 1 jaar, dan wordt altijd de aktie "deklaag'" toegepast. -Voor de maatregelen die toegepast worden als de restlevensduur van kenmerk rafeling gelijk aan 1 jaar is, wordt verwezen naar figuur-6.1. 6.3.2
Optimaal onderhoudsontwerp voor probleem Pxa.
Is de maximale restlevensduur van het kenmerk krakelee 20 jaar in plaats van 16 jaar, door bijvoorbeeld een betere verhardingsconstructie, dan treden lichte verschuivingen in de optimale oplossing op (probleem Pja). De meest opmerkelijke veranderingen zijn te zien wanneer de restlevensduur van het kenmerk rafeling 1 jaar is. Zie hiervoor figuur-6.2. Men kan hieruit afleiden, dat de aktie "micro-deklaag" alleen aantrekkelijk is als de restlevensduren van de kenmerken krakelee en rafeling nagenoeg maximaal zijn en op deze kenmerken een maatregel zeer weinig effect kan sorteren. Voor de andere toestanden blijven dezelfde optimale akties gehandhaafd. 6.3.3
Optimaal onderhoudsontwerp voor probleem P,b.
Het vervangen van de maatregel "deklaag" door de maatregel "sleeplaag + deklaag" (probleem P^) heeft onverwachte veranderingen in de optimale oplossing tot gevolg. Deze nieuwe maatregel die als alternatief voor de aktie deklaag werd geïntroduceerd wordt nauwelijks toegepast Andere akties dan de
71
» est l e v e n (iiiiir kr&ke
i <•* * 1 i' v«• u s d a u i i |>Dn i t *•
figuur-ILJ Opl ïwitiIr oplosatngen van prohl r r.rn /', , uw/wc er «I c r e * ï f fi;r«A*d«tti' »«« dr taf r lint) I juiu v .*.. />« » fui f vias 5%. Foor dU: f//ci'lfii, A-«.u'Mi «'M i r WIÖV I ma/r rrst Irvensduren tte tabel -ii, I, f.Vn fr »*«!«•'« uktir noor e «ii toestand ( 1 , * , / 1 »»wwi<2 /«r» Aii't'KW «/oor ètil p«»/ ( i , ;) t» de ftgnui i^ nemen th" a r• crrtiifj tond dtt punt geeft de « H U I . - weer
72
"sleeplaag + deklaag" worden in de meeste gevallen als eerste alternatief gezien voor de aktie "deklaag". Verder worden in deze variant alleen op toestanden waarvan de restlevensduur van een of meer kenmerken 1 jaar is groot onderhoud gepleegd. Deze oplossingen worden in het nu volgende beschreven, zodanig dat telkens de restlevensduur van één wegkenmerk 1 jaar is. -Is de restlevensduur van het wegkenmerk krakelee 1 jaar, dan wordt wederom alleen de aktie "bakfrezen + deklaag" toegepast. »
-Als de restlevensduur van het kenmerk spoordiepte 1 jaar is, is ook nu de toe te passen aktie afhankelijk van de restlevensduur van het wegkenmerk krakelee en volledig onafhankelijk van de restlevensduur van het wegkenmerk rafeling. Bij deze restlevensduur van het kenmmerk spoordiepte wordt de aktie "sleeplaag + deklaag" toegepast als de restlevensduur van het kenmerk krakelee 10,11,12,13,14 of 16 jaar is. De aktie sanimat wordt toegepast als de restlevensduur van het kenmerk krakelee 7,8,9 of 15 jaar i. "Repave" is dan een optimale maatregel als de restlevensduur van het kenmerk krakelee 4 jaar is. De nieuwe aktie "Sleeplaag + deklaag" is een optimale aktie als de restlevensduur van het kenmerk krakelee 5 of 6 jaar is. "Bakfrezen +deklaag" is een optimale maatregel als de restlevensduur van het wegkenmerk krakelee kleiner dan 4 jaar is. -Voor de optimale akties als de restlevensduur van het wegkenmerk rafel ing juist 1 jaar is zie figuur-6.3. 6.3.4
Optimaal onderhoudsontwerp voor probleem PjC.
Het extra toevoegen van de maatregel "sleeplaag + deklaag" in het oorspronkelijke deelprobleem Pj heeft totaal geen gevolgen voor de oorspronkelijke optimale oplossing. De extra maatregel wordt te duur gevonden gezien de effecten die deze maatregel te weeg brengt vergeleken met de maatregel deklaag. Uit resultaten van de vorige variatie was dit al te verwachten omdat daarin deze aktie vaak niet gezien werd als eerste alternatief voor de aktie "deklaag". 6.3.5
Optimaal onderhoudsontwerp voor probleem P2.
De optimale oplossing van het tweede deelprobleem P s (zie tabel-6.2) is
73
Mi >i o
rest 1 r i ' c i r •
«I e k l * » n
«hou
'Ss/'',,>,'. z / / / , ' - , y ; , 'si's* ; c v <
*y.y.,
's'sV'sS',
y s ....
.
V / A V ,
rv X>v% V / V .
XvyNN. Cv-*
• >', •'.
„•»,
* „ <•*,.f-<*
y /
* > j>
\"«\Vs\^Mi
_ .
if>
l m l I rvrnHdiiiM M | t ( X > l <J 1 (f»p t *
figuur-ö.2 ('pf iMutlf opto&Aïngen miu pro h Ie rm #",«, tMi»ii.«:fr il r r*'A 1 Ieven.sdum van dr, ruffltiiy i }*m i.»>. Dr mi tf wa,1, b% Voor dr e, ƒ ƒ e f I rit, I «,>!«* en dr maxima I f rtibtlevcTi.stivrtin z i n tabrl (l, I i.rhtrr dr minimale rrst IvorriKduur van hrt k rnmtrï krakelen is hier ?ü jaat genomen. Een te ntmtn êktte. voor e c « tüiwtand ( l , i , / ) vindt men / I K U U 4m>r het ftmt. ( * , / ) in dt figuur ir nemen Dr nfrertu§ rund il i i punt lift'ft dr aktte werr
V4
l'.I ,ik i !>•!•
Il
il
lllllll
\ t )l
I i .11-1 II
10
i 1 f ( ' | i | .1 , l g i
I
I
I
(
15 !<••»» H pllO
1
f
1
I
1
10
I
1 8
f
I
1
.tg
I 1
! «• ¥ M l s t i l it U I I i l I f | ) f «'
figuur-§.3 Opt i ma Ir. op l oatinyen i)av pro i» teem fiêi wanner, i dt re H I i tveMsiwar van dr r a / f h t t t ; I )*<Ï »/.. Pr /ruit- wan 5%. I'oor
75
r e s t 1 evensduur krakelec15
- 10
prof iel laag + 'S
'S
Sr
'S
z
<s Ss
S'
s,' SS
IL i e » I I t v ril stilt o » la lig ik v 1 *kli e I
fïgimr-ll.4 üpi tmülc oplos&iHijen van pro b ieem i*.A, wannvvr dr rrt>t I eveiit>diim vav de rafrltny 1 jttat is, iJr tra, tv wats h%, Voor dr effecten, k
deklaag
simpel wanneer de restlevensduur van het kenmerk krakelee of het kenmerk spoordiepte 1 jaar is. Wanneer telkens de restlevensduur van één wegkenmerk 1 jaar is dan zijn de oplossingen als volgt te beschrijven. -Is de restlevensduur van het kenmerk spoordiepte 1 jaar, dan is de aktie "profiellaag + deklaag" altijd de optimale maatregel. -Is de restlevensduur van het kenmerk krakelee 1 jaar dan is de maatregel "bakfrezen +deklaag" altijd de optimale maatregel. Dit met uitzondering dan de toestanden waarin ook de restlevensduur van het kenmerk spoordiepte 1 jaar is (zie dan hiervoor). -Voor de optimale akties als de restlevensduur van het wegkenmerk rafeling juist 1 jaar is zie figuur-6.4. 6.3.6
Optimaal onderhoudsontwerp voor probleem P2a.
Verhoging van de maximale restlevensduur van het wegkenmerk krakelee (probleem P2a) geeft alleen een verschuiving te zien van de optimale maatregelen, als de restlevensduur van het wegkenmerk rafeling 1 jaar is. Voor de andere toestanden blijft dezelfde oplossing gehandhaafd als bij probleem P2. De oplossing voor een restlevensduur van 1 jaar van het wegkenmerk rafeling staat in figuur-6.5 weergegeven. 6.4
Gevoeligheidsanalyse en suboptimale strategieën.
Na het optimaliseren is bij ieder probleem een post-optimalisatie uitgevoerd. Voor de twee problemen Px en P2 zijn de uitkomsten van deze postoptimalisatie in een drietal voorbeelden uitgewerkt. Gekozen is voor de toestand (1,15,7) uit probleem Px (i), uit hetzelfde probleem de groep van toestanden (i,10,l) (ii) en uit probleem P2 de toestand (1,14,12) (iii). Deze punten zijn intuïtief gekozen gezien de optimale maatregelen in hun directe omgeving. i) Stel dat een wegbeheerder een wegeenheid heeft die in de toestand (1,15,7) verkeerd. Berekend is reeds dat de optimale maatregelen voor de omliggende wegeenheden de aktie "repave" is. Voor de beschouwde wegeenheid, in toestand (1,15,7), is echter de optimale maatregel de aktie "sanimat". Indien de maatregel "repave" op deze wegeenheid toegepast wordt gelijk met de omliggende wegeenheden, wordt een kwantum korting verkregen van 4%. In de gevoeligheidsanalyse voor de niet-optimale maatregelen (zie tabel-6.5) ziet
77
r e s t levensduur 20
1 O llt'k 1 » .
kr&kelee
(0
profiel dek laag
1h i «• «i ( I f v t n u it ii it
I » u R n v i » k li f I 4
figuur «§.& üpt tmul f' ofil ottbtuyen van pro I» h'tna J%tt, wamt f er de i tt, f I etir«A'ti'wtit van dr ruft l my i (mt * t>, [>r ic/i I r Bias f»%. tn>or de e / / f f ï c t i , tositu e» de itaixtma êt rt atttvrnadurtn zie tattv l • il.'i mei di i urrt;ehil dut de. ma*tinute restlevrn&duui van kei kernnet k k rake let; Ut er 20 jaar iftnomu- n *.'». t't'» ir onderin men aktif vvot e-en toe Mand f 1,«, t) vindt men door het punt ( » , / ) in de fiouui t >> ntinen {)
78
gevoeligheid veroorzaakt door p r i j s van
§evoei i g heids percentage
prijs
laagste prijs
' 6.50
4.139
36.3%
sleepl.(k)
7.50
7.406
1.2%
repave
10.00
9.730
2.7%
deklaag
13.50
11.578
14.2%
bakf.+dekl.
21.50
11.578
46.1%
toestand
maatregel
(1,15,7)
micdekl.
k l e i n s t e gevoeligheids percentage
1.2%
tabeI-6.5Z?e gevoeligheidsanalyse van de optimalt maatregel "aanmat" op toestand (1,15,7) van proïleem Px voor de prijzen van de niet-optimale maatregelen (alternatieven).
gevoeligheid veroorzaakt door p r i j s van toestand
maatregel
alternatief bij deze g e voeligheid
prijs
hoogste cq. laagste prijs
gevoel i g heids percentage
(3,9,1)
san i mat
mie.deklaag
10.00
6.84
31.6%
(1,15,7)
sanimat
sleep].(k)
10.00
10.09
0.9%
(2,6,3)
deklaag
repave
13.50
13.04
3.4%
k l e i n s t e gevoel igheids percentage
0.9%
tabel-6.6 Gevo e l igheids analyse uit probleem P, van de andere optimale maatregelen relevant voor ét optimale maatregel "sanimat" op de toestand ( 1 , 1 5 , 7 ) . Het Het alternatief is de maatregel die *ptimaal wordt op de toestand (1,15,7) zodra de prijsgrens net over- of onderschreden wordt. Gevoeligheden waarvan de prijsgrens negatief zijn, zij» niet relevant en daarom weggelaten.
79
men dat de maatregel "repave" een optimale maatregel *ordt zodra de prijs van deze maatregel met 2.7% verminderd. Gezien het kortine percentage is het dus juist om in plaats van de aktie "sanimat" de aktie "repave" uit te voeren. Uit de gevoeligheidsanalyse voor de optimale oplossingen (zie tabel-6.6) blijkt de maatregel daarvoor ook zeer gevoelig te zijn. Het kleinste gevoeligheids percentage is 0.9%. Dit wordt veroorzaak door de prijs van de maatregel "sanimat" op deze toestand zelf. De alternatieve maatregel die hierdoor voor deze toestand in aanmerking komt, is 'sleeplaag (koud)". De andere toestanden die bijdragen in de gevoeligheid van toestand (1,15,7) zijn volgtoestanden van de alternatieven voor de optimale maatregel. Gezien het gevoeligheidspercentage is alleen "repave", met een budget overschrijding van 0.8%, hierdoor een alternatief op toestand (1,15,7). ii) De gevoeligheid van de optimale maatregelen op toestanden (i,10.1) vertonen een zeer grote regelmaat. De enige toestand die hier enigzins van afwijkt is de toestand (1,10,1). Deze regelmaat wordt o*, veroorzaakt doordat een maatregel die op deze groep van toestanden toegepast wordt, altijd tot dezelfde volgtoestand leidt onafhankelijk van de restlevensduur van het wegkenmerk rafeling. In tabel-6.7 en 6.8 staan de gevoeligheden van deze toestanden vermeld. De afwijkende toestanden genoemd in tabel-6.8 die een gevoeligheid geven aan toestand (1,10,1), zijn allen volgtoestanden van de optimale maatregel op deze toestand. De conclusie die hieruit getrokken kan worden, is dat op deze groep van toestanden de optimale maatregel "sleeplaag (koud)r de aktie "sanimat" als goed alternatief heeft. Deze akties zijn voor deze toestanden uitwisselbaar. Er wordt tevens een beperking geconstateerd voor gevoelig- heidsonderzoek op de optimale maatregelen. Juist omdat elke toestand (i,10,l) in de optimale strategie dezelfde volgtoestand heeft, namelijk (8,9,10 >. zou men voor elke i een gelijke gevoeligheidsanalyse verwachten als bij toestand (1,10,1). Bij dit gevoeligheidsonderzoek roet het FMPS-pakket is het echter niet mogelijk meer dan één variabele te noemen waardoor een prijsgrens bepaald wordt. Indien meerdere variabelen de prijsgrens bepalen, wordt de als eerste ingevoerde variabele bepalend genoemd voor deze prijsgrens. iii) Uit probleem P2 wordt de gevoeligheid bekeken van de optimale maatregel "deklaag" op de toestand (1,14,12). Ook deze maatregel blijkt gevoelig te zijn met een kleinste gevoeligheids percentage van 1.0%. Het eerste
80
gevoeligheid veroorzaakt door pr i j s van
prijs
laagste prijs
gevoel i g -
heids percentage
toestand
maatregel
(i,10,1)
sanimat
10.00
9.864
1.4%
repave
10.00
7.582
24.2%
dek 1aag
13.50
12.090
10.4%
21.50
14.968
30.4%
l
bakf.+dekl.
tabel-6.7Gevoeligheidsanalyse van de optimale wtaatregel "sleeplaag (koud)" op de toestanden (i.10,1) uit probleem Pl voorde niet-optimale maatregelen (dit zijn de alternatieven op dezelfde toestand (»,10,1)). Hierbij is 1<» <15.
gevoeligheid veroorzaakt door p r i j s van toestand
maatregel
alternatief bij dese gevoel igheid
VOI >r
prijs
hoogste cq. laagste prijs
gevoelighelds percentage
de toestanii ( 1 , 1 0 , 1 )
(1,10,1)
sleept.(k)
sanimat
7.50
7.64
1.9%
(1,2,3)
bakf+dekl
san i mat
21.50
21.70
0.9%
(2,3,4)
kl.onderh.
sanimat
.50
.69
38.0%
(3,4,5)
kl.onderh.
sanimat
.18
.36
100.0%
(3,1,2)
bakf+dekl
sanimat
21.50
21 . 8 8
1.8%
(4,2,3)
kl.onderh.
sanimat
.50
.86
72.0%
1,10,1)
2
7.50
7.64
voor d<: toestanden (1,10,1)
sleepl.(k)
sanimat
1.9%
tabe\-fiAGevoeligheidsanalyse van optimale maatregelen relevant voor de optimale maatregel msleep laag (koud)* op de toestanden (», 10,1) uit probleem Px . Het alternatie f is de maatregel die optimaal wordt op een van de t o es tanden ( t , 10,1) zpdra de prijs grens net over- f onder schreden wordt. Gevoelighede n waarvan de pri j sgrens negatief is zijn niet relevant en zijn daarom weggelaten. Voor toestand (1,10,1) gaven de toestand (8,9,10) en zijn optimale volgtoestanden tot ( 3 , 4 , 5 ) een gevoeligheids percentage van meer dan 100%. Deze zijn weggelat e n. Eveneens de toe standen vanaf (15,13.14) tot ( 4 , 2 , 3) 81
gevoeligheid veroorzaakt door p r i j s van
prijs
laagste prijs
gevoel i g heids percentage
toestand
maatregel
(1.14,12)
mic.dekl.
6.50
6.369
2.0%
repave
10.00
9.770
2.3%
vl.f.+dekl.
16.00
13.500
15.6%
bakf.+dekl.
21.50
13.500
37.2%
profl.+dkl.
23.50
13.500
42.6%
k l e i n s t e gevoel igheids percentage
2.0%
tabel-6.9 Gevoeligheidsanalyse relevant voor de optimale maatregel "deklaag" op toestand (1,14,12) uit probleem P2 van de niet-optimale maatregelen (alternatieven)
gevoeli gheid veroorzaakt door pr i j s van
al ternatief bij deze g e voeligheid
prijs
hoogste cq. laagste prijs
gevoeligheids percentage
toestand
maatregel
(1,14,12)
deklaag
mie.deklaag
13.50
13.63
1.0%
(2,7,5)
kl.onderh.
mie.deklaag
-.35
-.17
51.4%
(1,6,4)
vl.1.+dekl.
mie.dek 1aag
16.00
15.81
1.2%
(6,2,2)
kl.onderh.
mie.deklaag
-.67
-.36
46.3%
(5,1,1)
profl.+dkl.
mie.deklaag
23.50
23.84
1.4%
(3,7,2)
kl.onderh.
repave
-.45
-.07
84.4%
(2.6,1)
profl.+dkl.
repave
23.50
23.11
1.7%
k l e i n s t e g e v o e l i g h e i d s percentage
1.0%
tabel-B.10 Gevoelig heidsanalyse van de optimale maatregel en die relevant zijn voor de optimale wuatregel "deklaag" op toestand (1,14,12) uit probleem P2. Het alternatief is de maatregel die optimaal wordt op toestand (1,14,12) zodra de prijsgrens net over-/onderschreden wordt. Gevoeligheden waarvan de prijsgrens negatief is zijn niet relevant en daarom weggelaten.
82
alternatief wat voor deze toestand in aanmerking komt is de maatregel "microdeklaag" het tweede alternatief is de maatregel "repave". Deze alternatieven geven bij eenmalige toepassing een budget overschrijding die kleiner is dan 2%. De volledige gevoeligheidsanalyse wordt weergegeven in tabel-6.9 en tabel-6.10.
Voor een onderzoek naar de gevoelige maatregelen in een strategie wordt gekozen voor een begintoestand uit probleem Pv Stel men heeft een wegeenheid die in de toestand (15,7,5) is. Welke alternatieve strategieën krijgt men als men de gevoelige maatregelen uit de optimale strategie voor de eerstkomende 5 jaar, verwijdert. Eerst wordt de gevoeligheid in elke volgtoestand van (15,7,5) onderzocht (zie tabel-6.11). De eerste alternatieve strategie krijgt men door de gevoeligste maatregel op een volgtoestand te vervangen door die alternatieve maatregel die de kleinste afwijking voor het budget veroorzaakt. De tweede alternatieve strategie door die gevoeligste maatregel te vervangen door de alternatieve maatregel die de daaropvolgende kleinste afwijking van het budget veroorzaakt. Dit alles zodanig, dat de budgettaire verandering niet groter is dan 2%. Daarna kiest men de volgende gevoelige maatregel en gaat zo door totdat er geen maatregelen meer zijn die een gevoeligheids percentage kleiner dan p%. Neemt men p = 10 dan resulteert dit in de alternatieve strategieën die men in figuur-6.6 ziet afgebeeld. 6.5
Conclusie.
Vergelijking van de twee deelproblemen Pj en P2 is alleen mogelijk bij een hoge restlevensduur van de kenmerken spoordiepte en langsvlakheid. De optimale oplossingen bij een restlevensduur van het kenmerk spoordiepte van 15 jaar in probleem Pi komen overeen met de optimale oplossingen van probleem P2 bij een restlevensduur van het kenmerk langsvlakheid. Het lijkt hierdoor inderdaad gerechtvaardigd het oorspronkelijke probleem in twee deelproblemen te splitsen. Met de uitkomsten van het model wordt de wegbeheerder een objectieve basis geboden om een onderhoudsbeslissing te nemen. Éénmalige alternatieven kunnen gegeven worden door de effecten snel door te rekenen (zie tabellenboek in bijlage 4). Met behulp van de gevoeligheidsanalyse is in de meeste gevallen goed mogelijk een beeld te krijgen van de beslissingsstructuur van het model. Gevoelige strategieën kunnen met gevoeligheidsonderzoek worden aangegeven en
83
gevoe1i gbe i d veroorzaak t door prijs van
(15,7,5)
(14,6,0
(13,5,3)
(12,4,2)
(11,3,1)
toes tand maatrege1
kl.ondh.
kl .ondh.
kl.ondh.
kl .ondh .
dek 1aag
deze 1 fde m.deklaag toestand als die s1eepl . k waarop san imat de repave gevoeligheid deklaag wordt bekeken bakf+dkl
gevoeligheid opti male maatregel
bij toes tand
-
99. 4
98 . 0
94 . 3
-
66 .8
65 .4
64 . 8
66. 6
-
38 . 9
36 . 2
34 . 3
34.6
-
24 . 6
21 .3
18.8
18.5
-
9.8
-
19.0 2660 .0
5 . 6 10.8
-
2 .0
-
6 . 7
3.7
-
-
-
-
(14,6,4)
kl.ondh.
-
(13,5,3)
kl.ondh .
-
-
(1 2 ,'4 , 2 ) kl.ondh.
-
-
-
73 . 0
-
deklaag
-
-
-
2 . 1
-
kleinste gevoeli ghe i dspercentage
-
9 .8
5 .6
2 . 0
3 . 7
( U >3,1)
I l 1,1
542 . 9
J_LL
r
tabel-6.11 Gevoe lighei ds onderzoek van de optimale strategie vanuit de begintoestand ( 1 5 , 7 , 5 ) . De gevoeligste maatregel is die welke het kleinste gevoeligheids percentage heeft. In dit geval is dat de maatregel klein onderhoud op de toestand (12,4,2) genummerd met £. De daarop volgend gevoeligste maatregel is genummerd met ^-enz.
84
ir
(15,T,5) K I . onderhoud 0.02
-39 . 6 1
(14,6,4)
KI. onderhoud o.os
Deklaag 13.50 • — - — -
Deklaag
13.50
-44.36
Deklaag
KL. o. (15,10,11)
-ai'S". Vö
m -4 0.30
13.50
-45.9Ï
KI . o . (15,9,10)
•34.03
r -40.03
-45. 6 3
Bakf r . +d e k l . (11,3,1) Deklaag 13.50
IE
-40.88
-43. 6 0
(12,4,2)
KI. onderhoud 0.37
™3O'.'"B7H
-41. 5 7
(13,5,3) K!. onder h o n d 0.14
KL. o . (15,11,12)
21.50
•48 . 33
KI . o . (15,14,12)
-28",ïï~
m -4 0 . 28
-47 . 5 3
(15,8,9) KI. onderhoud 0.00
-35. 7 3
figuur-6.6De al t ernatieve strategieën (gestippe ld) die ontstaan door het verwijderen van de gevoeligst e maatre gelen uit de optimale strategie (zie ook tabel - 6 . 1 1 ) vanuit toestand (15,7,5) tn probleem Px. De strategie die ontstaat door verwijdering van de gevoeligste maatregel is genummerd met £ . De daarop volgende met 131 enz. Bij elke overgang is de maatregel genoemd, zijn prijs en de netto contante waarde die door deze overgang wordt verkre gen. Van elke al t ernatieve strategie is de netto contante waarde weergegeven (bij de notatie) gerekend vanaf de begintoestand (15,7,5).
85
hun alternatieven worden getoond. De opdrachtgever heeft het model aan de hand van de uitkomsten van de praktijkproblemen als heel geloofwaardig beoordeeld. Het model bevestigt de huidige werkwijze van Rijkswaterstaat met betrekking tot het onderhoud van asfaltverhardigen. Het is met het model mogelijk sneller in te spelen op veranderde marktprijzen. De opdrachtgever ziet ook nog een toepassing van het model in de onderzoekssfeer. Bij het oplossen van "wat, als" vragen kunnen materiaaldeskundigen sneller de effecten bestuderen die optreden door bijvoorbeeld gebruik van meer bitumen in de asfaltsamenstelling. Het is mogelijk met het model de effecten van nieuwe technieken te berekenen waardoor sneller ingespeeld kan worden op technische veranderingen.
86
Hoofdstuk 7
7.1
i
EVALUATIE.
Conclusies.
De opdrachtgever heeft het model aan de hand van de uitkomsten van de praktijkproblemen als heel geloofwaardig beoordeeld. Het model bevestigt de huidige werkwijze van Rijkswaterstaat met betrekking tot het onderhoud van asfaltverhardigen. Het is met het model mogelijk sneller in te spelen op veranderde marktprijzen. De conclusie lijkt gerechtvaardigd dat de L.P. formulering voldoet aan de eisen om tot een beter onderbouwde onderhoudsstrategie te komen. In een redelijke tijd is het mogelijk om een optimale oplossing te vinden samen met een volledige gevoeligheidsanalyse van de kostencoëfficienten. Indien geïmplementeerd in een database biedt het gegevensbestand dat met het L.P.-pakket verkregen wordt, een voldoende basis om aan de wensen van wegbeheerders te voldoen. Uit dit gegevensbestand is als praktische toepassing het tabellenboek (zie bijlage 4) gerealiseerd. Het is behoorlijk goed geslaagd om te komen tot een in de praktijk zeer nuttig en kostenbesparend instrument ter ondersteuning van onderboudsbeslissingen. 7.2
Opmerkingen.
Het model biedt nog mogelijkheden op netwerkniveau. Bijvoorbeeld bij het toewijzen van budgetten naar de verschillende directies. Uit steekproeven kan men namelijk een verdelingsfunctie schatten van het voorkomen van toestanden in de groep van alle wegen die onder het beheer staan van een directie. Met de uitkomsten uit het model is met deze verdelingsfunctie een annuïteiten budget te berekenen (zie hoofdstuk 3.8). Dit buget zijn de gemiddelde contante waarden kosten per jaar die gemaakt worden om de groep van wegen te onderhouden. Het is dus mogelijk met de uitkomsten van het model onderhoudsbudgetten voor de verschillende directies te berekenen. De opdrachtgever ziet ook nog een toepassing van het model in de onderzoekssfeer. Bij het oplossen van "wat, als" vragen kunnen materiaaldeskundigen sneller de effecten bestuderen die optreden door bijvoorbeeld gebruik van meer bitumen in de asfaltsamenstelling. Het is
Literatuur [I] [2] [3]
[4] [5] [6] [7] [8]
[9] [10] [II] [12] [13]
[14] [15]
Bloem J., 'Onderhoud: planning en strategie'. Asfiit, tijdschrift van de Vereniging van Bitumineuze Werken, jrg. 13, nr. 2. imi 1986, p. 39-44. Evers A. et al., Rationeel wegbeheer, Mededelngen 60 A,B,C, Ede, Stichting Studie Centrum Wegenbouw, maart 1987. Geerts J., Tolman T. en v.Wieringen J., 'Beslismoiel voor verhardingsonderhoud'. Wegen, maandblad voor verkeer, grond-, water- en wegenbouw, jrg. 58, nr. 12, september 1984, p. 282-289. Heerkens J.C.P., 'Onderhoud: techniek'. Asfah., tijdschrift van de Vereniging van Bitumineuze Werken, jrg. 13, nr. 2. juni 1986, p. 45-52. Heerkens J.C.P., Asfalt onderhoudstechnieken, Uitgive nr. 14, Breukelen, Vereniging voor Bitumineuze Werken, okt 1987. Hillier F.S. en Liebennan G.J., Operations Remarch, San Francisco, Holden-Day, 1974. Howard R.A., Dynamic Prograrmning and Markov Processes, CambridgeMassachusetts, MIT-press, 1960. Klomp A.J.G. 'Onderhoudsadvies: Wat houdt het ii?', Asfalt, tijdschrift van de Vereniging van Bitumineuze Werken, jrg. 14- nr. 2, juni 1987, p. 57-61. Lootsma F.A., Deterministic Methods of Operasans Research, Delft, Onderafdeling der Wiskunde en Informatica T.H. Deït, 1978. Lootsma F.A., Extensions of Linear Prograrmning, Drift, Onderafdeling der Wiskunde en Informatica T.H. Delft,1986. Sorber A., 'Wijziging disconteringsvoet bij koster-baten analyses Rijk', Beleidsanalyse, jrg. 15, nr. 3, 1986. Sperry-Univac, Functional Mathematical Programmxug System, FMPS level 9/?l, Sperry Corporation, programma handleiding, 1S81. Tolman T.R.G., Een beslissingsmodel voor het optmale onderhoud van de verharding van een wegennet, Intern rapport Rijkswaterstaat, afstudeerverslag T.H. Delft, oktober 1983. Wagner H.M., Principles of Operations ReseardL, London, PrenticeHall,1975. v. Wieringen J.B.M., mondelinge mededelingen.
verslag gebeurt is. Met een model geformuleerd in een semi-markov keten wordt het aantal toestanden drastisch gereduceerd. Voor bet praktijk probleem in hoofdstuk 6 met vier kenmerken zou dit kunnen leiden tot een model van 625 toestanden in plaats van 54000. Nader onderzoek hierna zou de moeite waard kunnen blijken te zijn. Aandacht zou nog besteed kunnen worden aan het programma dat de invoer voor het FMPS-pakket aanmaakt. Veel maatregelen hebben faun effect onder zekere voorwaarden. Bijvoorbeeld de aktie "sporen uitvullen en deklaag". Deze aktie heeft alleen een gunstiger effect vergeleken met de aktie "deklaag" indien er inderdaad sporen uit te vullen zijn. Sporen uitvullen is pas mogelijk indien de restlevensduur van het wegkenmerk spoordiepte minder dan 6 jaar is [15]. het invoerprogramma voorziet niet in dit soort extra beperkingen. Verder zou er aandacht besteed kunnen worden aan de programmatuur voor de verwerking van de gegevens die met het L.P.-pakket verkregen worden. Efficiënte programmatuur zou de verwerkingstijd aanzienlijk kunnen bekorten. Een opmerking tot slot. In een vervolgopdracht is bet raadzaam uit te gaan van een minimale restlevensduur van nul jaar. Dus alleen niet-negatieve restlevensduren mogen voorkomen. Deze aanname is beter te hanteren zeker bij tijdstappen van twee jaar.
89
mogelijk met het model de effecten van nieuwe technieken te berekenen waardoor sneller ingespeeld kan worden op technische veranderingen. 7.3
Aanbevelingen.
De beperkingen met betrekking tot de modelgrootte die door het gebruikte L.P.-pakket worden opgelegd, resulteerden in het splitsen van het oorspronkelijke probleem van vier kenmerken in twee deelproblemen van elk drie kenmerken. De behoefte blijft bestaan om alle vier de kenmerken op te kunnen nemen in de berekeningen. Voor het deterministische model is dit te ondervangen door aanpassing van de stapgrootte. Deze stapgrootte is tot nu toe éên jaar verondersteld maar die zou .ook op twee jaar gesteld kunnen worden. Dit omdat twee reëele maatregelen nooit in opvolgende jaren uitgevoerd worden. Het effect in restlevensduren van een maatregel na 2 jaar is dan gelijk aan het effect van de maatregel na 1 jaar plus het effect van klein onderhoud na 1 jaar. Dit effect moet nu naar even jaren worden afgerond. Een aanpassing van de discontofactor naar a 2 is ook noodzakelijk. Hierdoor is men in staat het praktijkprobleem van vier kenmerken te verwerken. Dit probleem van 54000 toestanden wordt op deze manier gereduceerd tot een probleem van 2744 toestanden, als de maximale restlevensduren naar beneden worden afgerond, of een probleem van 4096 toestanden, als de maximale restlevensduren naar boven worden afgerond. Uit bijlage 2 blijkt dat er dan voldoende maatregelen ter beschikking kunnen staan. Het stochastische model laat deze mogelijkheid ook toe indien de overgangen voor de pseudoakties "niets doen" en "klein onderhoud" deterministisch verondersteld worden. Anders leidt een vergroting van de stapgrootte tot een veelvoud van het aantal variabelen in de kolommen van het start tableau waardoor het aantal toe te passen akties drastisch terug loopt. Zijn er namelijk per maatregel drie overgangen waarvan de overgangskans na een jaar groter dan nul is en is dit ook het geval bij de pseudo-maatregel, dan resulteert dit in negen overgangen waarvan de overgangskans na twee jaar groter is dan nul. In bijlage 2 kan in tabel-B.2.2 gezien worden hoeveel maatregelen dan nog in de berekening meegenomen kunnen worden. Een andere mogelijkheid die zou kunnen leiden tot verkleining van het model zou gevonden kunnen worden indien het onderhoudsproces beschouwd wordt binnen een semi-markov proces in plaats van een gewoon markov proces zoals in dit
88
BIJLAGE 1
BUDGETTERINGSMODEL (METHODE TOLMAN). Het door Tolman gebruikte model [13] om het minimum budget te bepalen vindt men uit het strategie model als volgt [14]: De optimaliseringsvergelijking die was gevonden in hoofdstuk 3 is W, m
min
(B.l.1)
( K0 + aW, )
j ; overgang i-»j m o g e l i j k
De equivalent gemiddelde kosten zijn per definitie (l-a)Wj s (l-a)Yj + B
(0 < a <1 )
(B.l.2)
oftewel W< s Y, +
B
(0 < a < 1)
(B.l.3)
Hierbij is B een constante. Yrf moet gezien worden als het verschil tussen W< (de totale verdisconteerde kosten die nu en in de toekomst gemaakt zal worden) en B / (1-a) (dit is de tegenwoordige waarde van een vast bedrag B dat elke periode ontvangen wordt). Y, is dus het bedrag dat men nu moet hebben om de kosten van het onderhouden van een verharding te kunnen betalen. Dit bij een vast budget B. Yrf is een saldo. Invullen van (B.l.3) in (B.l.1) geeft:
Y* +
B 1-a
se
min
j ;overgang i-»jmogeIi jk
K0 + a. Y,+
B
(B.l.4)
1-a
Dit is te herschrijven door van beide zijden van het gelijkteken aB / (1-a) af te trekken zodat uit (B.l.4) volgt:
Yj + B =
min
( K,, + a\} )
(B.l.5)
j ; overgang i*J m o g e l i j k
Stelt men de rente gelijk aan 0%, oftewel a = 1. dan volgt uit (B.l.5) Yj + B =
min
( Ky + Yj )
(B.l.6)
( K0 + Y, - Yj )
(B.1.7)
J ; overgang i-*j m o g e l i j k
wat equivalent is met:
B=
min j ; overgang i-»j m o g e l i j k
In (B.1.7) wordt de probleemstelling die voor dit model gold, duidelijk. Namelijk: Ontwerp een onderhoudsstrategie van toelaatbare volgtoestanden die het onderhoudsbudget minimaliseert.
Oplossingsalgoritme Het oplossen van de optimaliseringsvergelijkingen (B.1.7) gebeurt met dynamisch programmeren. Het gebruikte 2-staps algoritme van Howard verloopt als volgt: stap-0 Kies een . willekeurige strategie S door aan iedere toestand een toelaatbare maatregel toe te wijzen en stel n = 0. stap-1 Met behulp van de huidige strategie Sn is voor iedere toestand i de vergelijking op te stellen: Y? + Bn . Kij + Yj
92
waarbij: Y™ : saldo d a t in de n-de s t a p berekend wordt voorde beschouwde toestand. n B : budget dat in de n-de stap berekend wordt. K tJ : kosten maatregel M , M e Sn Yj : saldo van de bij i behorende volgtoestand j berekend in de n-de s t a p . Dit resulteert in een stelsel van N lineaire vergelijkingen met N+l onbekenden. Door een aannemelijke randvoorwaarde te nemen voor een zekere toestand (bijvoorbeeld Y$ = 0, N de toestand met de langste restlevensduren), kunnen uit dit stelsel het huidige budget Bn en de huidige saldi Y" berekend worden. stap-2 Zoek voor elke toestand i een betere maatregel volgens het criterium min
( Ky + Yj )
j ; overgang h»j mogelijk
waarbij: Kjj-: kosten van een maatregel toepasbaar op de beschouwde toestand i met volgtoestand j Y" : huidige saldo volgtoestand j Als er voor geen enkele toestand een verbetering gevonden kan worden is de optimale oplossing bereikt, anders dient de procedure vanaf stap-1 herhaald te worden en n := n+l.
Onderhoudscyclus De oplossingsmethode genereert bij elke toestand een maatregel die tot het optimale budget leidt. Is de optimale strategie bekend, dan kan men, beginnend bij een willekeurige toestand, de optimale volgtoestand berekenen. Door dit te herhalen, vindt men een keten van optimale volgtoestanden. Daar de toestandsruimte eindig is zal deze keten zich uiteindelijk sluiten en is een onderhoudscyclus opgetreden. Door deze onderhoudscyclus te traceren kan het budget berekend worden als de gemiddelde kosten in de cyclus.
93
BIJLAGE 2
WERKEN MET HET FMPS-PAKKET. Op de grote mainframes zijn meestal standaard pakketten aanwezig om L.P.-problemen op te lossen. In de Univac-1100, het mainframe bij de Dienst Informatie Verwerking, is hiervoor het FMPS-paklcet [12] aanwezig. Voor de oplossing van het model is hier dan ook gebruik van gemaakt.
Maximale omvang van het model met het FMPS-pakket. Het voor L.P. problemen beschikbare oplossingspakket voor de Univac-1100 is het FMPS-pakket. British Petroleum en Shell waren o.a betrokken bij de ontwikkeling van dit pakket. Het pakket heeft een tamelijk grote maar eindige capaciteit ( 1 miljoen words ). In de uitgevoerde testen om de maximale capaciteit te onderzoeken is gebleken dat deze capaciteit een maximale grootte van een L.P.-model van ongeveer 8000 toestanden omvat. Het aantal maatregelen dat men dan nog kan uitvoeren is 7. De grootte van een probleem voor het FMPS-pakket in words wordt berekend volgens de formule: 2.25 x ( 6 x T + 4 x M + nnz + 4
)
(B.2.1)
met T
= aantal t o e s t a n d e n model; T < 8000 ( aantal r i j e n in de m a t r i x ) M = aantal kolommen in de m a t r i x nnz = totaal a a n t a l n i e t - n u l elementen in de matrix
In deze formule zijn de niet relevante parameters voor het model uit de algemene formule weggelaten. In het model is het aantal kolommen in de matrix maximaal K met
K = T x ( het aantal maatregelen )
(B.2.2)
Een aantal maatregelen zijn echter niet op alle toesanden mogelijk. Zo is bijvoorbeeld de pseudo-maatregel "klein onderhoud" ingesloten op toestanden die voor één of meer kenmerken een restlevensduur aebben van 1 jaar. De ervaring heeft uitgewezen, dat in het deterministische probleem voor grote modellen slechts 94% van K werkelijk mogelijk is. Dn is minimaal voor het stochastische probleem ook het geval. Hierdoor volgt iri: (B.2.2): M « .94 x K = .94 x T x ( het aantal maatregelen )
(B.2.3)
Stel het gemiddeld aantal niet-nul elementen per kolom is q ( de kostencoefficiënt meegerekend ). Voor een stochastisch probleem is q gelijk aan het gemiddeld aantal overgangen vanuit een toestand waarvan de overgangskans groter is dan nul p plus twee (di. één voor de begintoestand en één voor het element in de object functie). Voor het deterministische geval geldt p = 1. Een verwaarloosbaar aantal kolommen telt minder niet-nul elementen. Men kan dus nemen voor het aantal niet-nul elementen
nnz w q x M « ( p + 2 ) x .94 x T x ( het aantal maatregelen )
(B.2.4)
Als men (B.2.3) en (B.2.4) invult in (B.2.1), dan volgt daaruit voor de omvang van het model: 2.25 x ( 6 x T + ( 6 + p ) x . 9 4 x T x (het aantal maatregelen) + 4 ) (B.2.5) Zoals gezegd kan deze omvang maximaal gelijk zijn aan één miljoen. Dus voor de maximale omvang van een probleem geldt 6 x T + ( 6 + p ) x . 9 4 x T x (het aantal maatregelen) + 4 = 444444.44 (B.2.6) Herschrijving levert op dat het maximale aantal maatregelen gelijk moet zijn aan „ , 472808.98 4 , max.aantalmaatregelen = /g • 0\j—
6.38 * T D\ t
Hieruit kan men het maximaal aantal mogelijke maatregelen
95
(B.2.7)
berekenen.
aantal kenmerken
maximale res tl evensduren
T - aantal toestanden
maximale aantal maatregelen
3
(14,12,15)
2520
25
3
(20,20,20)
8000
7
4
(11,8,11,8)
7744
7
5
(6,6,6,6,6)
7776
7
3
(15,16,15)
3600
17
3
(15,20,15)
4500
14
tabeI-B.2.1 Voorbee l den van maximaal te verwerken deterministische L.P. -model len met het FMPS - pakket . Dit berekend volgens formule ( 0 . 2 . 7 ) . T is het produkt van de maximale restlevensiuren, p - 1. Het maximaal aantal maatregelen is inclusief de pseudo-maatrege l.
maximale restlevensduren
T «• aantal toestanden
3
(14,18,15)
3
aantal kenmerken
maxima Ie aantal Maatregelen p - 2
p » 3
,-.
2520
22
20
17
11
(20,20,20)
8000
6
5
5
2
4
(11,8,11,8)
7744
6
5
5
3
5
(6,6,6,6,6)
7776
6
5
5
3
3
(15,16,15)
3600
15
13
12
7
3
(15,20,15)
4500
12
10
9
6
p - 9
tabel-B.2.2Koorfcee/den van maximaal te verwerken'stochastische L.P. -model len met het FMPS-pakket. Dit berekend volgens formule (B.2.7) voor verschillende waarden van p. T is het pro inkt van de maximale res tlevensduren. Het maximaal aantal maatregelen is inclusief de pseudo maatregel.
96
1
2
3-6
posities
2-3
5-12
15-61
inhoud
type beperking
rij naam
, niet gebruikt
veld
tabel-B.2.3Format van de rij-data. Met A/V of .VA wordt aangegeven, dat het type beperking niet-beperkend is (dit is de objectfunctie). Met A£ of £A geeft men aan, dat het type bep erking een gelijkheid is. De rijnaam is een vrij te kiezen naam van 8 posities. Met de rij-d*ta worden de object functie en de beperkingen gede c lareerd. veld posities inhoud
1
2
3
4
5-6
2-3
5-12
15-22
25-36
50-61
kolom naam
rij naam
waarde
niet gebruikt
niet gebruikt
tabel-B.2.4 Format van de kolom-data. Met de kolom-data wordt een kolomvari abele door veld 2 gedeclareerd. De coëfficiënt van deze variabele in de beperking of object functie, genoemd in veld 3, staat in veld 4. veld posities inhoud
1
2
3
4
5-6
2-3
5-12
15-22
25-36
50-61
RHS naam
rij naam
waarde
niet gebruikt
niet gebruikt
tabel-B.2.5Format van de rechterlid-data. Dit format is gelijk aan het format van de kolom-data. De waarde van het rechterlid van de beperking genoemd in veld 3, wordt hiermee opgegeven. Deze waarde staat in veld 4 vermeld.
98
dat van de rechterlid-data staat in tabel-B.2.5. Als rij-naam voor de object-functie is bij de modellen de volgende naam opgegeven: OBJFUNCT Als rijnaam is opgegeven: VNRccccc Hierin is ccccc een integer van vijf cijfers. Elke rij komt overeen met een bepaalde toestand. Bij gegeven maximale restlevensduren van de kenmerken is de toestand 1-1 duidig door ccccc vastgelegd. Dit door de volgende functie N
ccccc = 1 + £ v
+ M
{ A
max.rld.(N+2-j) ]•
Hierin is N het aantal wegkenmerken, max.rld.(i) de maximale restlevensduur van kenmerk i ( max.rld.(N+l) =1 ) en t,- de restlevensduur van het i-de kenmerk van de toestand. Als kolom-naam is opgegeven: CScccccc Hierin is cccccc een integer van zes cijfers. Elke kolom vertegenwoordigt een effect veroorzaakt door een maatregel M. De coëfficiënt van de kolomvariabele in de beperkingen die groter is dan nul duidt de begin toestand aan, de negatieve coëfficiënt de eindtoestand. Door cccccc wordt de begin toestand en het nummer van de maatregel 1-1 duidig in de kolomnaam vastgelegd volgens onderstaande formule: cccccc = M /
ff
max.rld.(N) } + 1 + Y^N+i-i { ,A
max.rld.(N+2-j) }
i «1
Hierin is M het rangnummer dat een maatregel krijgt door de volgorde van opvoeren ( voor de pseudo-maatregel is M = 0). N is het aantal wegkenmerken, max.rld.(i) de maximale restlevensduur van kenmerk i ( max.rld.(N+l) =1 ) en tt- de restlevensduur van het i-de kenmerk van de toestand. Voor de RHS-naam is gekozen voor: RHS Als voorbeeld voor de invoer voor het FMPS-pakket is het voorbeeld uit paragraaf-3.8 gekozen. Hiervan staat de matrix representatie nogmaals vermeld in tabel-B.2.6. De invoer jsoals het gerealiseerd is staat in figuur-B.2.1. Het programma dat gebruikt is voor de minimalisatie van het primale probleem, dat onstaat door L.P. formulering van het model, staat in figuur-B.2.1.
99
toestand l.l
CN i:S
6
8
11 1 2 16 17 18 19
20
21 22 23 24
1
-ex ï
1,2
-a
2.1
i
-a
1 0
1
-ex i-a -ex -a -a -a
m 1
2
i
** 1
3
•* 1
4
-
i
5
-
i
6
Min
objf
ï
-ex ï -ex
2,3
1
-
-ot - a - a
ï
1,3
2,2
9
-Of
1
ï
i
ï
1
ï
0 1 0 1 0 1 0 1 0 3 0 3 0 3 0 2 0
CN, > 0
voor
20
2020
20 20
i = 1,2,. .,15
tabel-B.2.6 Repres e nt a t i e van het primale L.P. probleem uit paragraaf - 3 . 8. Nullen zijn niet weergegeven. Voor de rent e k ie t men 5% zodat ex = .95. In de mees t rechter kolom staan de nummers van de rij. Een rijnaam krijgt men door VNR samen met dat rijnummer als een int eg er van 5 posities daar achter te plaatsen. In de bovenste rij staan de kolomnummers. De kolomnaam krijgt men door CN samen met dat rijnummer als een integer van 6 posities daar achter te plaats en.
maatregel
(1 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , 3 ) ( 2 , 1 ) ( 2 , 2 )
O P
CN 8
CN 9
Q R
effect maatregel
toestand
CNjg
CNJQ
CNJJ
(2,3)
-
CN 5
CN 6
(ti-l,t2-l)
-
CNn
CN12
(
CN16
CN17
CN 1 8
(tj-1,
CNj2
CN23
^^24
( 1 , 2 )
2 ,t2-l) 3 )
tabel-B.2.7Verband tussen variabelen, toestand en maatregel . In het middenveld staan de variabelen die bij een maatregel (genoemd in de linker kolom) en een begintoestand (genoemd inde bovenste rij) horen. Een streep geeft aan dat op de desbetreffende toestand de maatregel niet te nemen is. Er bestaat dus geen variabele voor deze maatregel op deze toestand. De volgtoestand kan berekend worden uit de rechter kolom. Het effect (2, t2-l) vil zeggen, dat volgend jaar de rest levensduur van het eerste kenmerk 2 jaar is en de rest levens duur van het tweede kenmerk 1 jaar korter is geworden. 100
NAME R0W5 N OBJFUNC E VNR 1 E VNR 2 E VNR 3 E VNR 4 E VNR 5 E VNR 6 COLUMNS
CN CN CN CN CN CN CN CN CN CN CN CN • CN
RHS
CN CN CN CN CN CN CN CN CN CN CN CN CN CN CN CN CN CN CN CM CN CH CN CN CN CN CN CN CN CN CN RH5 RHS RHS RHS RHS RHS
ENDATA
5 5 5 6 6 6 8 8 8 9 9 9 11 11 11 12 12 12 16 16 16 17 17 17 18 18 18 19 19 19 20 20 21 21 21 22 22 22 23 23 23 24 24 24
OPTWGOH1
VHR 5 VNR 1 OBJFUNC VNR 6 VNR 2 OBJFUNC VNR 2 VNR 4OBJFUNC VNR 3 VNR 5 OBJFUNC VNR 5 VNR 4 OBJFUNC VNR 6 VNR 5 OBJFUNC VNR 4 VNR 3 OBJFUNC VNR 5 VNR 3 OBJFUNC VNR 6 VNR 3 OBJFUNC VNR 1 VNR 2 OBJFUNC VNR 2 OBJFUNC VNR 3 VNR 2 OBJFUNC VNR 4 VNR 2 OBJFUNC VNR 5 VNR 2 OBJFUNC VNR 6 VNR 2 OBJFUNC
1.0000000 -.9523809 10.00 1.0000000 -.9523809 10.00 1.0000000 -.9523809 10.00 1.0000000 -.9523809 10.00 1.0000000 -.9523809 30.00 1.0000000 -.9523809 30.00 1.0000000 -.9523809 30.00 1.0000000 -.9523809 20.00 .0476191 20.00 1.0000000 -.9523809 20.00 1.0000000 -.9523809 20.00 1.0000000 -.9523809 20.00 1.0000000 -.9523809 20.00
VNR VNR VNR VNR VNR VNR
1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6
1.0000000 -.9523809
.00
1.0000000 -.9523809
.00
figuur-B.2.1 Koor beeld van de invoer voor het FMPS-pakket Deze invoer komt overeen met het probleem genoemd in tabel-B. 2.6. De rente is 5%. 101
^'ORTCl * STF.rrS(l). V E R S L A G ! O > 1 2RUN.B ZUAAG3,DIUA,WORT01,24D,/,D1700 2 ÏXST,B DIEXKFMPSLIB.FMPSABS 3 C 4 C FUNCTIONAL MATHEMATICAL PROGRAMMING SYSTEM 5 6 7
C
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2* 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 4
C C
PROGRAM
TITLE FMPS OPTIMAAL UEGONDERHOUD C
AANROEPEN LINEAR PROGRAMMING MODE CALL ENTER(LP)
C C C
VERGROTEN VAN HET CORE VAN HET PAKKET CALL CORECSPRINT,200000,FMPS,200000) IMAXFMPSslOOOOOO IMAXSPRNrlOOOOOO
C C C C C C C C
TO INITIALIZE K-INTERRUPTS: KMAJER - ILLEGALE COMBINATIE VAN PARAMETERS OF ILLEGALE WAARDE VAN EEN DOOR DE GEBRUIKER GESPECIFICEERDE PARAMETER. KMINER - SPRINT HEEFT NUMERIEKE PROBLEMEN ONTDEKT OM HET PROBLEEM OP TE LOSSEN EN KAN DAARDOOR GEEN VOORUITGANG BOEKEN. KIOER - ONOVERKOMELIJKE I/O ERROR OF FILE CAPACITEIT OVERSCHREDEN. ASSIGN 1000 TO KMAJER ASSIGN 1100 TO KMINER ASSIGN 1200 TO KIOER
C C C C C C C C C C C C C-
VOOR INITIALISEREN 'C'OMMUNICATIONS-'R'EGION VARIABELEN: F0BJWT=+1. - VOOR MINIMALIZATIE VAN DE OBJECT FUNCTIE. =-1. - VOOR MAXIMALIZATIE VAN DE OBJECT FUNCTIE. IDELAYrl - ONDERBREEKT DE EXECUTIE TIJDENS EEN 'WAITING ON FACILITIES'-STATUS GEDURENDE 1 MINUUT. ITIMES=N - H E T D U U R T N M I N U T E N VOOR E E N K T I M E - I N T E R R U P T GENOMEN WORDT. ITIMES = 0 - E E N K T I M E - I N T E R R U P T Z A L NIET GENOMEN W O R D E N . ITRIESrZ - 2 MAAL IS EEN POGING GEDAAN DCOR DE CSF-PROCEDURE OM EEN FILE IN EEN 'WAITING ON FACILITIES'-STATUS TE CREËREN. FOBJWT=*l. IDELAYrl ITIMESrO ITRIES = 2
C C C C C
INITIALISEREN STANDAARD A-CR VARIABELEN: ADATA - DATASETNAAM DSN, INDIEN NIET OPGEGEVEN WORDT DE EERSTVOLGENDE DATASET NAAM GENOMEN. ADATA='«DSN,t'
C C C C
55 56
AANROEPEN FMPS-INVOER FILE EN KOPPELEN AAN UNIT-10 HULPFILE CREËREN VOOR DE BASIS-FILE EN KOPPELEN AAN UNIT-11 CALL CSFC'aUSE 1 0 , t F L N . t ' , ' i A S G , A 1 0 . . / / / 4 0 9 6 ' ) CALL CSFCaUSE 1 1 , B A S I S ' , ' 3 A S G , T 1 1 . ' )
57 58 59 60 61 62
C C C C
63 64
C C
65
C
UNIT-NUMMERS KOPPELEN AAN INTERNAL-FILE NAMEN. CALL ATTACHCINFILESIO.CARD.INONLY) CALL ATTACHC'BASIS',11,CARD,NEW) INPUT -
SPECIFICEREN VAN EEN COËFFICIËNTEN MATRIX VOOR FMPS. LEEST DE DATA EN CONVERTEERT HET "IN EEN F I L E MATRIX.
figuur-B.2.2 PTogramma voor de minimalisatie van eengroot L.P, probleem met behulpvan het FMPS-pakket. 102
65 6? 6S 69 70 71 72 73 7<4 75 76 77 78 79 80 Al 82 83 8
99 100 101 102 103 101 105 :06 107 108 209 110 111 112 113 114
CALL C C C C C C C C C C C
INPUTCFILE.'INFUE')
INITIALISEREN VAN K-INTERRUPT5 (CR-VARIABELEN): KFREQA - I F R É C A - G E S P E C I F I C E E R D E ITERATIES ZIJN GEDAAN IN DE PROCEDURE SPRINT KIKV - INVEKSIE-INTERRRUPT DCOR PROCEDURE OPTIMIZE. KNFS - SPRINT HEEFT GEVONDEN DAT EEN TOEGELATEN 0PL0S5ING NIET BESTAAT. KUBS - SPRINT HEEFT EEN O N B E G R E N S D E VARIABELE ONTDEKT. D E NAAM VAN D E V A R I A B E L E IS IN LISTU GEPLAATST. ASSIGN ASSIGN ASSIGN ASSIGN
C C C C C
2000 2100 2200 2300
TO TO TO TO
KFREQA KINV KNFS KUBS
INITIALISEREN VAN DE ITERATIE-FREQUENTIE. IFRE0I=150 - NA ELKE 1 5 0 I T E R A T I E S T A P P E N HORDT EEN KINV-INTERRUPT GENOMEN. IFRE«I;150
C C C C
SPRINT IS EEN PROCEDURE OM EEN OPTIMALE, TOEGELATEN OPLOSSING TE VINDEN VOOR KET P R O B L E E M . CALL SPRINT(NOBASIS)
C C C
-
E X R A N G E IS E E N P R O C E D U R E O M P O S T - O P T I M A L I S A T I E U I T T E V O E R E N . TEVENS WORDT HIERMEE EEN OPLOSSING AFGEDRUKT.
C CALL CSFCSBRKPT PRINTS/FMPSHULP CALL EXRANGE
CALL CSFC'SBRKPT P R I N T $ ' ) C C C INTERRUPT VERWERKING. C 1000 ASSIGN 9500 TO KMAJER GO TO 9000 1100 ASSIGN 9500 TO KMINER GO TO 9000 1200 ASSIGN 9500 TO KIOER GO TO 9000 2000 W R I T E IFREQA EXIT 2 1 0 0 CALL INVERT EXIT C
115
C
116 117 118 119 120
C
121 122 123 12* 125
C
LAAT DE NIET-TOEGELATEN RIJEN Z I E N .
2200 CALL O U T P U T ( N O P R I N T , B Y R O W S , R O W S , L I S T I , F I L E , ' O U T F I L E ' ) GO TO 9000 C C
LAAT DE ONBEGRENSDE KOLOMMEN ZIEN.
2300 CALL OUTPUT(NOPRINT,BYCOLS,COLS,LISTU) 9000 CALL CSF('3BRKPT Ï O S ' S F R E E 1 0 . • . '3FREE,A 9500 STOP END
(vervolg minimalisatie programma) 103
11.')
BIJLAGE 3
BESLISSINGSREGELS VOOR EEN PRAKTIJKVOORBEELD. Uit de oplossingen van het praktijkvoorbeeld van hoofdstuk 6 kan men een aantal beslissingsregels opstellen voor elk deel afzonderlijk. Voor probleem Px wordt dit: la) Restlevensduur krakelee is 1 jaar. aktie is altijd:
Bakfrezen + deklaag.
lb) Restlevensduur spoordiepte is 1 jaar. Uit te voeren aktie in dit geval alleen afhankelijk restlevensduur (rld.) van het wegkenmerk krakelee.
van
de
Hd.'krakelee is ljaar zie la) 2 jaar < rld. krakelee <. 7 jaar aktie is altijd: Deklaag. 8 jaar < rld. krakelee <, 9 jaar aktie is altijd: Sanimat. 10 jaar = rld. krakelee aktie is altijd:
Sleeplaag (koud).
11 jaar = rld. krakelee aktie is altijd:
Sanimat.
12 jaar > rld. krakelee aktie is altijd:
Sleeplaag (koud).
lc) Restlevensduur rafeling is 1 jaar. Uit te voeren akties voornamelijk afhankelijk van de restlevensduur van krakelee. Pas als de restlevensduur van de krakelee hoger wordt dan 9 jaar wordt de restlevensduur van de spoordiepte sterk van invloed. In figuur-B.3.1 ziet men de exacte oplossing weergegeven. Een beschrijving van dit figuur geeft de volgende regels. 1 jaar £ rld. krakelee < 3 jaar
« I I ( i o cl > Ir i
'•. W ' / / / > > lei" '"del' S' '
. '-'** >' *• •, ' •"*'* '/'.''iüïii)'''
rest levensduur krakelee
15
'~-A-'••;«.I ( J><> % C . '
1 «• tt t I t> V K II M (1 II U t t t p C M M ' Cl 1 I - p t i '
figuur-H.3. f i')pt ITOw i c oplofif>%ngffi van prohier-m iP,, wanneer dr tr H f I t'.vfnsintiT van de rafrltng I ) a ai *.<., Dr r e m f r W>«A f>%. F#t»»
105
aktie: Bakfrezen - deklaag, (uitgezonderd de toestanden (1,2,1), (1,3,1 (1,3,2) en (1,3,3) waarop de aktie "Deklaag" volgt). 4 jaar < rld. krakelee < 9 jaar aktie: Deklaag. (uitgezonderd de toestanden (1,8,1), (1,8,2). (1,9,1) en (1,9,2) waarop de aktie "Sanimat" volgt). 10 jaar < rld. krakelee Zoals gezegd hier meerdere oplossingen optimaal. Globaal is dit: Bij zeer hoge rld. krak. en zeer hoge rld. spoord. aktie: Microdeklaag. Bij matige tot zeer hoge rld. spoord. aktie: Repave. Bij redelijke rld. krak, en matige rld. spoord. aktie: Deklaag. Bij redelijke rld. krak. en lage. rld. spoord. of bij hoge rld. krak. en matige rld. spoord. aktie: Sanimat. Bij hoge rld. krak. en lage rld.spoord. of bij zeer hoge rld.krak. en lage t/m redelijke rld. spoord. aktie: Sleeplaag (koud). ld) In alle andere gevallen wordt geen groot onderhouds maatregel toegepast, uitgezonderd: (2,3,2), (2,4,2), (2,5,2), (2,6,2), (2,7,2) waarop de aktie Deklaag volgt en (2,8,2) waarop de aktie Sanimat volgt.
Voor het tweede probleem (P2) komt men tot de volgende beslissingsregels. 2a) Restlevensduur langsvlakheid is 1 jaar. aktie altijd:
Profiellaag + deklaag:
2b) Restlevensduur krakelee is 1 jaar.
106
r e s t 1 evensduur krakelee l S
i«)
prof iel laag + deklaag
t e » i I e v f; ii •»
M
v I a l It t' I il
t'ïguiii--lï.«i.2Upl ima 11' optosatnyen van probleem l'Zl wanneer ir r e $ t i evensduur van dr rafel my 1 jaar i f Dr ren ir, was i'M. Voor dr rfftrtcn, koi.tru r.i> dr martmale restlttvcnsditrrn ,iie tabel t\,V. l'eu te nemen aktte. voor e.en ioe.siani ( l , t , j) vtn lic» we htr.rtn door he.t punt (», / ) ut de figant Ie nemen. de. ar e, e. ring rond dtt punt geeft dt aki t e we.n\
107
aktie altijd: Bakfrezen * deklaag, (uitzondering zie 2a) 2c) Restlevenduur rafeling is 1 jaar. Ook in dit vlak zijn weer meerdere optimale akties. Zie figuur-B.3.2 voor de exacte representatie. Een beschrijving van dit figuur kan de volgende regels geven. rld. langsvlakheid is 1 jaar: zie 2a rld. krakelee < 2 jaar aktie:
Bakfrezen - deklaag.
3 jaar < rld. krakelee < 9 jaar rld. langsvlakheid > 8 jaar aktie altijd: Deklaag. rld. langsvlakheid < 7 jaar Bij lage rld. krakelee aktie: Bakfrezen - deklaag. Bij hogere rld. langsvlakheid dan rld. krakelee aktie: Deklaag. Bij lagere rld. langsvlakheid dan rld. krakelee aktie: Vlakfrezen * deklaag 10 jaar £ rld krakelee rld. langsvlakheid < 7 jaar aktie: Vlakfrezen * deklaag. rld. langsvlakheid > 8 jaar aktie: Deklaag. (Uitgezonderd wanneer de rld. van beide kenmerken zeer hoog is. Dan wordt gekozen voor repave of micro-deklaag.) 2d) In alle andere gevallen wordt zonder uitzondering alleen klein onderhoud uitgevoerd.
108
BIJLAGE 4
TABELLENBOEK VAN EEN PRAKTIJKVOORBEELD. Aan de hand van het model is een tabellenboek aan de Dienst Weg- en Waterbouwkunde overhandigd. In dit tabellenboek staan de optimale oplossingen vermeld van de problemen Px, P2, Pja en P2a. Verder staan bij elke toestand de sub-optimale oplossingen vermeld wanneer éénmalig afgeweken wordt van deze optimale oplossingen. Dit bij een maximale budgetover- schrijding van 2%. Een voorbeeld van een pagina uit dit tabellenboek is weergegeven in figuur-B.4.1. Deze pagina is genomen uit het deel dat probleem Pj behandeld. Alle. toestanden staan gegroepeerd rond hun optimale maatregel. Eerst staan de toestanden vermeld waarop de pseudo-maatregel "klein onderhoud" optimaal is, gevolgd door de groep van toestanden waarop de maatregel "micro-deklaag" optimaal is, enzovoorts. Per groep van toestanden staan de toestanden gesorteerd naar oplopende restlevensduren per kenmerk. Per regel is in het tabellenboek vermeld (a) de toestand, (b) de daarbij behorende netto contante waarde, (c) de optimale maatregel in een cijfercode, (d) de prijs van de optimale maatregel, (e) de prijsgrenzen waarbinnen deze prijs mag varieëren zonder dat de optimale oplossing verstoord wordt gevolgd door (f) de getalcode van alternatieve maatregelen op de desbetreffende toestand. Zie voor de cijfercodes en effecten van de maatregelen tabel-B.4.1, Indien er geen hoogste prijsgrens is, is afgedrukt 10000000.00. Is er geen laagste prijsgrens dan is afgedrukt -1000000.00.
maatregel
cijfer code
Klein onderhoud Microdeklaag
0 1
Sleeplaag (koud) Sanimat
onderhoud» effect in j a r e n rafel ing
spoordiepte
t -
1
t -
1
8
t -
1
t -
1
2
8
t -
1
t + 9
3
10
t + 1
t + 9
Repave
4
12
t + 2
t + 5
Deklaag
5
15
t + 5
t + 8
Bakfrezen + deklaag
6
15
t + 11
t + 11
15
16
maxima;i l
t - 1
krakelee
15
tabel-B.1.1 Invoer gegevens van probleem Px. Het onderhou dseffect 15 betekent dat volgend jaar de restlevensduur 15 jaar is. Het onderhoudseff'eet (f+11) betekent dat als nu de rest levens duur t jaar t j , de rest levensduur volgend jaar (t + 11) jaar is , met in achtneming van de maximale rest levensd uur Voor ieder kenmerk staat deze in de onderste rij
110
tors tand
n e t t o cont. waarde
opt. ma. t rege I
hoogste prijs
prijs
laagste p r i j s
alternatieven met een budget-overschrijding tot 2%
Figuur-0.1.1 flit treksel nnn het tahetlenbnek. V m een ver k l r i r i t t ~ l . 7 i r Rr tck,ct.
