C (z m) = C + C (z m) + C (z m) +

MATEMATIKA LANJUT

DERET

4.2. DERET PANGKAT Deret pangkat dari (x-m) merupakan deret tak hingga yang bentuk umumnya adalah : ∞

i 2 C (z − m) = C + C (z − m) + C (z − m) + ..... ∑ i 0 1 2 i=0

( 4-1 )

C1, C2,... = konstanta disebut koefisien deret m = konstanta disebut titik pusat (center) deret z = Variabel i = Bilangan integer positip Bila m = 0, terbentuk deret pangkat khusus (particular) dari z ∞

i 2 2 C z = C + C z + C z + C z + ....... ∑ i 0 1 2 3 i=0 ( 4-2 )

AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA

1

MATEMATIKA LANJUT

DERET

4.2.1. Konvergensi Deret Teorema 1 Jika deret pangkat ( pers 4-1) konvergen pada titik z = a, maka deret itu akan konvergen untuk setiap z bila : |z-a| < |zo–a|

Ini menunujukkan bahwa setiap z berada di dalam lingkaran yang melewati zo di sekitar a. Misal deret pangkat ( pers 4-1) konvergen untuk zo, berlaku : Cn(zo – a)n → 0 untuk n → ∞

Bila diimplemantasikan untuk z =zo, maka deret jadi dibatasi, misal : |Cn(zo – a)n |< M untuk setiap n = 0,1, 2.....

Sehingga dapat dibentuk

C n (z-a) n

n ⎛ z-a ⎞ = C n (z 0 -a) ⎜ ⎟ z -a ⎝ 0 ⎠

n

z-a < M z 0 -a


n

2

MATEMATIKA LANJUT

DERET

Karena itu : ∞

∑ n=0

C n ( z - a )n

∞

z-a = ∑ M z0 - a n=0

n

∞

=M∑ n=0

z-a z0 - a

n

( 4-3 ) Jika diasumsikan |z-a| < |zo – a|, maka dapat dibentuk pertidaksamaan (inequality) :

z -a < 1 z0 - a Dengan pertidaksamaan di atas terbukti bahwa deret (pers. 4-1 ) akan konvergen jika :

|z-a| < |zo–a| Ruas kanan pers (4-3) adalah deret geometris yang konvergen. Ruas kiri pers. (4-3) juga merupakan deret yang konvergen.


3

MATEMATIKA LANJUT

DERET

Dari teorema 1: Untuk seluruh z di dalam lingkaran, dengan radius R dan pusat a, berlaku : Deret akan konvergen bila | z-a | < R

( 4-4 )

Deret akan divergen bila | z-a | > R Disebut Lingkaran Konvergensi bila | z-a | = R R disebut Radius Konvergensi y R a x

a-R

a+R

x

A. B. Gbr. 4.1. Lingkaran dan interval konvergensi AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA

4

MATEMATIKA LANJUT

DERET

Teorema 2 (Radius Konvergensi) Bila terdapat urutan (squence) n

cn

, n= 1, 2, .......

Akan kovergence dengan limit L dan radius R pun akan konvergen pula, jika :

R=

1 L

( 4-5a )

Termasuk di dalamnya L = 0 ketika R = ∞ Bila sequencenya tidak konvergen tapi nilainya terbatas, berlaku rumus Cauchy - Hadamard

R=

A

1 A

( 4-5b )

adalah titik limit terbesar dari sequence.

Bila sequence tak terbatas, maka R = 0 dan deret hanya akan konvergen pada z = a. AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA

5

MATEMATIKA LANJUT

DERET

Teorema 3 (Produk Cauchy dari Deret Pangkat) Produk Cauchy (Cauchy Product) dari 2 buah deret pangkat merupakan konvergensi mutlak setiap z di dalam lingkaran konvergen dari masing-masing deret konvergen. Bila jumlah masing-masing deret tersebut g(z) dan h(z), maka Produk Cauchy berjumlah : s(z) = g(z)h(z)

( 4-6 )

Contoh Soal : 1. Konvergensi pada sebuah pringan. Deret geometri ∞ m ∑ z = 1 + z + z 2 + z 3 ........... m

Konvergen mutlak ketika |z| < 1 dan divergen ketika |z| > 1. 2. Konvergensi pada seluruh bidang terbatas. Deret Pangkat ∞

zn z 2 z3 ∑n n! = 1 + z + 2! + 3! ........... AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA

6

MATEMATIKA LANJUT

DERET

Persamaan tersebut akan konvergen mutlak untuk setiap bidang (terbatas) z , z n +1

∞

∑ n

( n + 1 )!

z

n

=

n!

z n+1

→ 0

;

n→ ∞

3. Konvergen hanya pada titik pusat ∞

n 2 3 n !.z = 1 + z + 2z + 6z + ........... ∑ n

konvergen hanya pada titik z = 0, tetapi divergen untuk setiap z ≠ 0, karena : ∞

∑ m

(n + 1)! . z n +1 n ! . zn

= (n + 1) z → ∞ ; n → ∞

z ≠ 0 (fixed) 4. Produk Cauchy Deret geometris 1 + z + z2 + z3 + ..... berjumlah 1/(1-z) ketika |z| < 1 2 ∞ ∞ ⎛ 1 ⎞ k m 2 2 z z 1 z z .... 1 z z .... = = + + + + ∑ ∑ ⎜ 1− z ⎟ ⎝ ⎠ k =0 m=0 ∞ n = 1 + 2z + 3z2 + ...= ∑( n + 1) .z ; ( z < 1)

(

n =0

)(


)

7

MATEMATIKA LANJUT

DERET

4.2.2 REPRESENTASI FUNGSI DENGAN DERET PANGKAT ∞

∑ Misalkan

cnzn

adalah deret pangkat tak tentu dengan radius R ≠ 0, konvergen. Jumlah fungsi ini merupakan fungsi z ; f(z) n=0

∞

f(z) = ∑cn .zn = c0 + c1 + c2z2 + c3z3 +...... ( z < R) n=0

( 4-7 )

Teorema 1 (Kontinyuitas) Fungsi f(z) dengan R > 0 akan kontinyu pada z=0 ( 4-8 ) lim f(z) = f(0) = c0 z →0

Teorema 2 (Teorema identitas deret pangkat) Misalkan terdapat 2 buah deret : ∞

∑an . zn

n→0

∞

dan

n b . z ∑ n

n →0


8

MATEMATIKA LANJUT

DERET

Bila kedua deret identik, maka : an = b n untuk seluruh

( 4-9 )

n = 0,1,2...........

a0 + a1z + a2z2 + ...= b0 + b1z + b2z2 + ... ( 4-10 ) Untuk

∞

|z| < R

∑n.c . z

n−1

n

= c1 + 2 c2 z + 3 c3 z2 +......

( 4-11 )

n

Disebut sebagai deret pengembangan dari deret pangkat tersedia. Teorema 3 (Differensiasi) Deret pengembangan dari deret pangkat memiliki radius konvergensi yang sama dengan deret asli (original) nya. AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA

9

MATEMATIKA LANJUT

DERET

Teorema 4 (Integrasi) Misalkan sebuah deret pangkat ∞

cn n+1 c1 2 c2 3 .z = c0z + z + z + ∑ 2 3 n=0 n +1 Deret pangkat tersebut dibentuk oleh pengintegrasian deret c + c1z + c2z2 + .... tahap demi tahap, memiliki radius konvergensi yang sama dengan deret originaknya. Teorema 5 (Fungsi Analitis. Penurunan) Deret pangkat dengan radius konvergensi R ≠ 0 merepresentasikan fungsi analitis pada setiap titik di dalamnya hingga membentuk lingkaran konvergensi. Penurunan fungsi ini akan dibentuk oleh diferensiasi deret original tahap demi tahap ; Seluruh deret yang dibentuk memiliki radius konvergensi yang sama dengan deret originalnya.

bn − a n − na n −1 = (b − a)A n b−a

( 4-12a )


10

MATEMATIKA LANJUT

DERET

dan

An = bn - 2 + 2 abn - 3 + 3 a 2 bn - 4 +.....+ (n-1) a n - 2 ( 4-12b )

∆z

∞

∑ c n ( n-1) R n =2

n

n-2 0

( 4-13 )

n-1 = koefisien terbesar 1, 2, 3 ..., n-1. n = jumlah tahapan (term). Deret dalam pers. (4-13) berhubungan erat dengan penurunan kedua deret yang memperhitungkan titik pada R0. Penurunan ke m fungsi f(m)(z) direpresentasikan oleh : ∞

f (z) = ∑n( n-1 ) .....( n - m + 1 ) cn zn−m ( 4-14 ) (m)

n=m


11

MATEMATIKA LANJUT

DERET

4.2.3. SOLUSI PD DENGAN DERET PANGKAT Menyelesaikan PD dengan mencari harga-harga koefisien yang tak diketahui setelah fungsi PD berubah bentuk menjadi deret pangkat. Langkah-langkah peneyelesaian PD : 1. Representasikan fungsi persamaan dalam bentuk deret pangkat x atau (x-m).

y = c0 + c1x + c 2 x + c3 x + ...... = 2

3

∞

m c x ∑ m

m =0

2. Diferensialkan (tingkat pertama) fungsi y di atas, sehingga berbentuk : ∞

y' = c1 + 2c2 x + 3c3x + ...... = ∑ mcm x m−1 2

m=0

3. Diferensilkan kembali (tingkat kedua dst) fungsi y tersebut. ∞

y'' = 2c2 + 6c3x + ...... = ∑ m(m − 1)cm xm−2 m=0

4. Samakan dengan nol (Nolkan) semua koefisien yang tak diketahui setelah dalam bentuk deret pangkat. Selesaikan PD. AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA

12

MATEMATIKA LANJUT

DERET

Contoh Soal dan Penyelesaian 1. Carilah solusi dari PD berikut ini : y’ – y = 0 Jawab : Penyelesaian dengan pendekatan deret pangkat. (c1 + 2c2x + 3c3x2 + ...) – (c0+ c1x + c2x2 + c3x3 +.....) = 0 (c1-c0) + (2c2-c1) x + (3c3-c2) x2 + ..... = 0 Samakan koefisien-koefisien persamaan dengan nol c1 - c 0 = 0 ; 2c2 - c1 = 0 ; 3c3 - c2 = 0 c1 = c0 ; c2 = c1/2 = c0/2! ; c3 = c2/3 = c0/3!

c0 2 z0 3 y = c0 + c0 x + x + x + .......... 2! 3! y = c0 (1+ x +

1 2 1 3 x + x + .......... = x0ez 2! 3!


13

MATEMATIKA LANJUT

DERET

2. Carilah solusi dari PD berikut ini y” + y = 0 Jawab : Penyelesaian dengan pendekatan deret pangkat. (2c2 + 3.2c3x + 4.3c4x2 + ...) + (c0+ c1x + c2x2 + c3x3 +.....) = 0 (2c2 + c0)+(3.2c3 + c1)x +(4.3c4 + c2)x2 + ...= 0 2c2 + c0 = 0 ; 3.2c3 + c1 = 0 ; 4.3c4 + c2= 0 c2 = -( c0 /2! )

;

c3 = -(c1/3!)

c4 = -[c2/(4.3)] = -(c0 /4!)

c 0 2 c1 3 c 0 4 y = c 0 + c1 x − x − x + x + ....... 2! 3! 4!


14

MATEMATIKA LANJUT

DERET

1 2 1 3 1 4 y = c 0 (1 − x + x + x − ... + ....) + 2! 3! 4! 1 1 c1 (x- x 3 + x 5 -...+......) 3! 5! Solusi Umum :

y = cos x + sin x

3. Carilah solusi dari PD berikut ini (x+1)y’ – (x+2)y = 0 Jawab : Penyelesaian dng pendekatan deret pangkat. (x+1)(c1 + 2c2x + 3c3x2 +…..) -(x+2)(c0 + c1x + c2x2 + ….. ) = 0 c1 x + 2c2x2 + 3c3x3 + 4c4x4 + 5c5x5 +..+ mcmxm + c1+ 2c2x + 3c3x2 + 4c4x3+ 5c5x4 + 6c5x5 + (m+1)cm+1xm + ….c0 x - c1x2 - c2x3 - c3x4 - c4x5 – ... - cm-1xm - …2c0 -2c1x - 2c2x2 - 2c3x3 -2c4x4 ...-2cmxm -… = 0 AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA

15

MATEMATIKA LANJUT

DERET

c1 - 2c0=0 ; 2c2 – c1 – c0=0 ………dst mcm+ + (m+1)cm+1 – cm-1xm - 2cm = 0 ( 4-15 ) c1 = 2c0 ;

cm+1 = c0x +

( 4-16a )

1 [cm+1 + (2 − m)cm ] ( 4-16b ) m +1

m = konstanta integer = 1,2……………


16

MATEMATIKA LANJUT

DERET

Rumus (4-16b) disebut Rumus Rekursi. Dengan rumus ini dapat dihitung c2, c3, …dst., dapat pula menggunakan tabel di bawah ini :

m C m-1

1

C0

2

C1

(2-m)Cm

Jumlah

S+1

Jumlah CS+1 = S +1 C0 C + 1 2 2

C1

C0+C1

2

0

C1

3

4

C3 C2 − 4 4

……

…………

3

C2

-C3

C2-C3

…

….

…………

…………

C1 3

Cm+1 sebagai fungsi C0 C1= 2 C0

C2 =

3 C0 2

C3 =

2 C0 3

C4 =

5 C0 24


…………

17

MATEMATIKA LANJUT

DERET

Solusi umum, lihat persamaan umum soal no. 1 dan tabel rekursi

y = c0 (1 + 2x +

3 2 2 3 5 4 x + x + x + ....) 2 3 2

atau y= c0 ( 1 + x ) ex

SOAL-SOAL LATIHAN (DERET PANGKAT) Carilah solusi PD di bawah ini dengan pendekatan deret pangkat 1. y’ = 3y 6. ( 1-x2 ) y’= y 2. y’ + 2y = 0 7. y”- y = 0 3. y’ – 2xy = 0 8. y”- y’ = 0 4. y’ – xy = 0 9. y”+ 9y = 0 5. (1-x)y’=y 10. y”+ 2y’= 0


18

MATEMATIKA LANJUT

DERET

4.3. DERET TAYLOR 4.3.1 Konsep Dasar y

z* z

•a

C

x Bila f(z) berada di dalam domain D dan z = a pada setiap titik di dalam lingkatran C, dan sebuah lingkaran denan pusat a, maka menurut Cauchy:

f (z) =

1 f (z*) d(z) ∫ 2πi c z * − z

(4.3-1)

Z = sembarang titik di dalam lingkaran C Z* = variabel kompleksintegrasi


19

MATEMATIKA LANJUT

DERET

Jika pada pers.(4.3-1) dikembangkan 1/(z*-z) sebagai fungsi z-a, maka didapatkan :

1 1 = = z * − z z * −a − (z − a)

1

( z * −a ) ⎛⎜1 − ⎝

z−a ⎞ ⎟ z * −a ⎠ (4.3-2)

Selanjutnya diasumasikan z* pada lignkaran dan z di dalam lingkaran C. Sehingga

z−a <1 z * −a

(4.3-3)

Dari persamaan deret geometris n +1 1 − q 1 + q + q2 + ..... + qn = 1− q

; q≠1

Sehingga dapat dibuat hubungan

1 q n +1 n = 1 + q + ...... + q + 1− q 1− q AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA

20

MATEMATIKA LANJUT

DERET

Jika didefinisikan q =(z-a)/(z*-a), maka : 1 = 1 − [ (z − a) /(z * −a) ] 2

n

z−a ⎛ z−a ⎞ ⎛ z−a ⎞ 1 + ..... + ⎜ + + ⎟ ⎜ ⎟ + z * −a ⎝ z * −a ⎠ ⎝ z * −a ⎠

[(z − a) /(z * −a)]

n +1

( z * − z ) /(z * −a)

Substitusikan ke dalam pers.(4.3-1) dan keluarkan (z-a) dari tanda integral, sehingga :

f (z) =

1 f (z*) z−a + dz * 2 π i C∫ z * − a 2 πi z − a) ( + 2 πi

n

f (z*)

∫ ( z * − a )2 dz * + ....

C

f (z*)

∫ ( z * − a )n +1 dz * + R n (z)

C

(4.3-4)

Bagian akhir dari funsi di atas adalah :

(z − a)n+1 f (z*) Rn (z) = dz* ∫ n+1 2πi C ( z − a ) ( z* −z )

(4.3-5)


21

MATEMATIKA LANJUT

DERET

Dengan penurunan dan analitis, maka fungsi di atas berkembang menjadi :

f (z) = f (a) +

z −a f '(a) + 1! +

(z − a)

2

f ''(a) + ........

2!

( z − a)

n

n!

f (n) (a) ( 4.3-6)

Persamaan (4.3-6) adalah rumus Taylor atau Deret Taylor dengan pusat a. Bentuk umum Deret Taylor adalah sebagai berikut :

f(z) =

∞

∑

m=0

f (m) (a) m − z a ( ) m!

( 4.3-7)

Bila a = 0, maka deret (pers. 4.3-7) disebut dengan Deret Maclaurin. AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA

22

MATEMATIKA LANJUT

DERET

Dari persamaan-persamaan di atas diketahui bahwa pada Deret Taylor fungsi f(z) dapat di-turunkan berdasarkan variabel bebasnya sampai pada tingkat tak hingga. Teorema Taylor 1. Bila f(z) terletak di dalam domain D dan z=a adalah sembarang titik di dalam domain D tersebut, maka f(z) sebenarnya merupaka bentuk deret pangkat. 2. Setiap deret pangkat dengan radius konvergen tidak nol (Rc = 0), maka deret pangkat tersebut adalah deret Taylor. 4.3.2. Fungsi-fungsi Elementer Deret Taylor a. Deret Geometris ∞ 1 = ∑ zn = 1+ z + z2 + ....... 1− z n=0

; |z|<1 (4.3-8)


23

MATEMATIKA LANJUT

DERET

b. Fungsi Eksponensial ∞

zn z2 e = ∑ = 1 + z + + ....... 2! n=0 n! z

(4.3-9)

c. Fungsi Trigonometri dan Hiperbolik ∞

z2n z2 z4 cos z = ∑ (1) = 1− + − + ....... (2n)! 2! 4! n=0 n

∞

z2n+1 z3 z5 sin z = ∑ (-1) =z+ - + ...... (2n+1)! 3! 5! n=0 n

(4.3-10) ∞

∑

cosh z =

n=0

sinh z =

∞

∑ n=0

z 2n z2 z4 =1+ + + ...... (2n)! 2! 4!

z2n + 1 z3 z5 = z+ + + ...... ( 2n + 1 ) ! 3! 5! (4.3-11)


24

MATEMATIKA LANJUT

DERET

d. Fungsi Logaritmik

z2 z3 zn ln(1+ z) = z − + − + .... + 2 3 n

(4.3-12)

1 z2 z3 zn − ln(1 − z) = ln = z + + + ...... + 1− z 2 3 n (4.3-13)

⎛ (1 + z) z3 z5 zn ⎞ ln = 2⎜ z + + + ..... + ⎟ (1 − z) 3 5 n ⎝ ⎠ (4.3-14) Untuk seluruh persamaan di atas

|z|< 1


25

MATEMATIKA LANJUT

DERET

Contoh Soal dan Penyelesaian 1. f(x) = ex , uraikan menurut deret Maclaurin pada titik x=0 Jawab : f(x) = ex f(0) = 1 f’(x) = ex f’(0) = 1 f’’(x) = ex f’’(0) = 1

ex = f(0) +

f '(0) f ''(0) x+ + ..... 1! 2!

x2 x3 e =1+x+ + + ............. 2! 3! x

2. f(x) = sin x, uraikan dengan deret Taylor pada x = (π/4) ! Jawab : f(x) = sin x f(π/4) = ½ √2 f’(x) = cos x f’(π/4) = ½ √2 f’’(x) = -sin x f’’(π/4) = -½ √2 f’’’(x) = sin x f’’’(π/4) = -½ √2 AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA

26

MATEMATIKA LANJUT

DERET

sin x = f(x - π/4)

π π f '( ) f "( ) π π π 2 4 4 sin x = f( ) + (x- ) + (x- ) +.... 4 1! 4 2! 4 1 1 2 2 1 π π sin x = 2 + 2 (x - ) - 2 (x - ) 2 2 1! 4 2! 4 1 1 2 2 π π n 3 2 2 (x - ) + ............+ (x - ) 3! 4 n! 4 SOAL-SOAL LATIHAN ( DERET TAYLOR ) Uraikan dengan deret Taylor atu Maclaurin , a=1 1. cos 2x , a = 1 7. ex 2. sin x2 , a = 0 8. ex , a=0 3. cos x , a = - π/4 9. 1/(a-x) , a=1 4. sin x , a = π/2 10. 1/(a-x) , a = ½ 5. cos2 x , a = 0 11. 1/z ,a=-1 6. sin2 x , a = 0 12. ex , a= π AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA

27

MATEMATIKA LANJUT

DERET

4.4. DERET FOURIER Bila terdefinisikan suatu fungsi (t) yang periodik dengan harga real pada sumbu x dan periode T serta kontinyu pada interval : ( 0,T ) dan (-T/2, T/2) Maka fungsi tersebut dapat dituliskan dengan :

Ao ∞ f (t) = + ∑ [ A n cos n.ωo t + Bn sin n.ωo t ] 2 n =1

(4.4-1)

dengan :

2 Ao = T

2 An = T

T

∫

f (t) dt

(4.4-2)

∫ f (t) cos n.ω0 t dt

(4.4-3)

0

T

0 T

2 B n = ∫ f (t) sin n.ω 0 t dt T0

(4.4-4)

n = 1, 2, 3, ............ AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA

28

MATEMATIKA LANJUT

DERET

Contoh : 8

-8

-4

Interval :

0

4

8

( -4 , 4 ) ⎫ ⎧ 8; 0
Periode T ditentukan ; T = 8 T

2 A 0 = ∫ f (t) dt T 0 4 0 ⎤ 2⎡ = ⎢ ∫ 8 dt + ∫ −8 dt ⎥ T ⎢⎣ 0 ⎥⎦ −4

2 = ( ) .8⎡⎣(t)04 − t0−4 ⎤⎦ = 2[ 4 - ( 0+4 )] = 0 8 AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA

29

MATEMATIKA LANJUT

2 An = 8

DERET

0 ⎡4 ⎤ 2π 2π t dt − ∫ 8 cos n t dt ⎥ = 0 ⎢ ∫ 8 cos n 8 8 ⎢⎣ 0 ⎥⎦ −4

⎡4 2π 8 sin n.t dt − ⎢∫ 8 ⎢⎣ 0 16 = [1 − cos πn ] πn

2 Bn = 8

0

∫

−4

⎤ 2π 8 sin n.t dt ⎥ 8 ⎥⎦

Ao ∞ f (t) = + ∑ [ A n cos n.ωo t + Bn sin n.ωo t ] 2 n =1 ∞

16 ⎡ π ⎤ (1 cos n. ) sin n t − π ⎢ ⎥⎦ 4 n =1 n.π ⎣ 16 ⎡ 2 3π 2 5π π ⎤ 2 sin t sin t sin t .... = + + + ⎥⎦ 4 3 4 5 4 π ⎢⎣

f (t) = ∑


30

MATEMATIKA LANJUT

DERET

4.4.1. FUNGSI DENAP DAN FUNGSI GANJIL A. Fungsi Genap Fungsi genap f(t) dalam Deret Fourier merupakan fungsi cosinus, lihat pers. 4.4.-1 T

2 Bn = ∫ f (t) sin n.ω n t dt T0

( 4.4-5 )

B. Fungsi Ganjil Fungsi ganjil f(t) dalam Deret Fourier merupakan fungsi sinus, lihat pers. 4.4.-1 T

2 An = ∫ f (t) cos n.ωn t dt T0

( 4.4-6 )

4.4.2. DIFERENSIAL DAN INTEGRAL A. Diferensial Bila : ∞

f (t) =

Ao + ∑[ An cosn.ωo t + Bn sin n.ωo t ] 2 n=1 ∞

d f '(t) = ∑ [ An cos n.ωo t + Bn sin n.ωo t ] n =1 dt

( 4.4-7 )


31

MATEMATIKA LANJUT

DERET

B. Integral t2

∫ f (t) =

Ao ( t 2 − t1 ) 2

t1

∞ t2

+ ∑ ∫ [ An cos n.ωo t + Bn sin n.ωo t ] dt n =1 t1

(4.4-8) SOAL-SOAL LATIHAN Uraikan dengan deret Fourier : 1. f(t) = 1 (-1
f(t) = ⎨ ⎩t

4. 5. 6. 7. 8.

0<x<π

⎧t-π 0 < t < 0 f(t) = ⎨ ⎩ -t π < t < 2π

f(t) f(t) f(t) f(t)

= |sin t| (-π < t < π) = e-|t| (-π < t < π) = |sin t| (-π < t < π) = t3 (-π < t < π)


32

C (z m) = C + C (z m) + C (z m) +

Recommend Documents