Úvod do financí
I. Základní pojmy.......................................................................................................................... 2 1. Peníze a kapitál ....................................................................................................................... 2 2. Inflace ..................................................................................................................................... 3 3. Kvantitativní teorie peněz ....................................................................................................... 4 4. Investice .................................................................................................................................. 4 5. Finanční systém ...................................................................................................................... 5 II. Cenné papíry ............................................................................................................................ 6 1. Charakteristiky CP .................................................................................................................. 6 2. CP s pevným výnosem (fixed income/yield securities).......................................................... 7 3. Cenné papíry s pohyblivým výnosem (floating rate securities).............................................. 9 III. Finanční deriváty (financial derivatives) ........................................................................... 12 1. Úvod...................................................................................................................................... 12 2. Nepodmíněné deriváty (pevné)............................................................................................. 12 3. Podmíněné deriváty (opční).................................................................................................. 16 IV. Základy finanční matematiky ............................................................................................. 22 1. Indexní čísla .......................................................................................................................... 22 2. Úročení a úrokové míry ........................................................................................................ 24 3. Finanční (peněžní) toky ........................................................................................................ 26 INFO KE ZKOUŠCE: písemná, 60 minut, styl a) b) c), něco se bude muset počítat – kalkulačku s sebou, informace dá na web (http://www.karlin.mff.cuni.cz/~zichova/), termíny jsou v SISu, výsledky by měly být vždy večer po zkoušce v SISu, do indexu je zapíše např. při dalším termínu
Pozn. 1: IMHO dobrá kniha k přednášce: Tomáš Cipra – Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou Pozn. 2: Největší koncentraci chyb v tomto dokumentu předpokládám v kapitole IV Zdroje: business.center.cz, wikipedia.org, slovnik-cizich-slov.abz.cz, přednášky
1
I. Základní pojmy 1. Peníze a kapitál peníze - prostředek směny (platidlo) – lze za ně směnit statky, služby, práci, … - prostředek ocenění – lze pomocí nich ocenit majetek, závazky, směňované statky, … - prostředek pro dočasné uchování hodnoty (jsou nám okamžitě k dispozici) historie peněz - 1. forma – různé komodity (obilí, mušličky, …) - u nás kolem r. 1000 šátečky - později drahé kovy, ze kterých se razí mince - u nás od 16. století stříbrné tolary - potom levné kovy, papíry - Čína – papírové peníze již v 7. století, v Evropě od 17. století - papírové – 2 typy: státovky (emitoval stát/panovník, nebyly kryté zlatem, způsob použití nařizoval panovník), bankovky (vydávají je banky, původně byly kryté zlatem, hodnota byla dána množstvím zlata, které reprezentovala, banka musela na vyžádání vydat zlato, neexistovala centrální banka, mající monopol na vydávání bankovek) - v době 1. sv. války přestal existovat zlatý standard (krytí peněz zlatem), zvyšovalo se množství peněz v oběhu – objevuje se inflace, po 1. sv. válce extrémní (1011 – moc peněz, klesá jejich hodnota) - ve 20. století začínají vznikat centrální banky, které mají monopol na emitování bankovek - až do 20. století také existuje barterový (směnný) obchod – zboží za zboží – např. mezi státy RVHP formy peněz - materializovaná forma – mince, bankovky - dematerializovaná forma – bezhotovostní peníze (vklady (depozita) u bank nebo jiných finančních institucí, elektronické (platby přes internet, platební karty – např. Visa, Mastercard, American Express)) - platební karty dělíme na debetní (majitel čerpá prostředky, které má na účtu, někdy je může i přečerpat – řekneme, že banka poskytuje tzv. kontokorentní úvěr), kreditní (majitel čerpá prostředky formou úvěru), elektronická peněženka (majitel čerpá jen peníze vložené na kartě) vklady a úvěry - ekonomický subjekt může přebytečné peníze využít jako vklad nebo jako poskytnutý úvěr - úvěr – věřitel půjčí dlužníkovi – věřitel má vůči dlužníkovi pohledávku, dlužník má vůči věřiteli závazek, dlužník je povinen po stanovené době nebo postupně po splátkách vrátit věřiteli danou částku plus úrok (poplatek za zapůjčení peněz), dělíme je na bankovní (poskytuje je banka – je věřitelem) a obchodní (odběratel platí dodavateli fakturovanou částku se zpožděním) - vklad – zapůjčení peněz bance, banka vyplácí klientům úroky z vkladu a vložené peníze používá na poskytování úvěru jiným klientům (úrok z úvěru > úrok z vkladu) - clearing – vzájemné započtení pohledávek a závazků mezi dvěma a více subjekty (často mezi bankami), rozsáhlejší clearingové obchody jdou přes zúčtovací středisko (clearing house), např. klient K1 dá své bance B1 příkaz k úhradě částky 500 Kč klientovi K2 banky B2. Jiný klient K3 banky B2 dá své bance příkaz k úhradě 1500 Kč klientovi K4 banky B1. V rámci clearingu dojde k vzájemnému započtení 500 Kč mezi bankou B1 a B2 a banka B2 uhradí bance B1 pouze zbylou částku 1000 Kč. Klienti nestojí vůči sobě přímo jako dlužníci a věřitelé a přesto byly v rámci kompenzovány jejich závazky.
2
- když se v obchodních vztazích jeden z partnerů dostane do problémů, vzniká platební neschopnost – prvotní (odběratel není schopen platit dodavateli, nemá na to finanční prostředky) nebo druhotná (odběratel není schopen platit dodavateli, protože má jen dosud neuhrazené pohledávky) kapitál - prostředky, které se okamžitě nespotřebují, ale slouží k vytváření dalšího zisku - mohou to být hmotné statky, výrobní prostředky, peníze, cenné papíry (securities, dále jen CP), … - dělíme na vlastní a cizí (přijaté úvěry a závazky) kapitál 2. Inflace - je to ekonomický jev – růst cenové hladiny a snižování kupní síly peněz, jejím opakem je deflace inflace tažená poptávkou (demand-pull inflation) - růst množství peněz v oběhu, peníze nejsou dostatečně kryté nabídkou statků ke směně - růst množství bezhotovostních peněz v důsledku zvyšování úrokových sazeb - růst poptávky spotřebitelů v důsledku jejich příznivých očekávání nebo neochoty spořit inflace tlačená náklady (cost-push inflation) - růst cen energií a surovin stupně inflace - mírná (< 10 % ročně) - pádivá (10 až 1000 % ročně) - hyperinflace (> 1000 % ročně – Německo po 1. světové válce, Argentina, Zimbabwe, …) - zdravá inflace je mezi 2 a 4 % ročně, o její udržení by se měla starat centrální banka důsledky - růst cen, mezd, neochota ke spoření a investování – reálné úrokové míry mohou být i záporné - např. spořící účet 2 % ročně, míra inflace 3 % ročně – reálná úroková míra je cca -1 % - inflace také komplikuje porovnávání hodnot různých statků v čase a tím například oceňování majetku v účetnictví měření inflace - inflaci měří Český statistický úřad, zpravidla za rok - měří se pomocí cenových indexů např. index spotřebitelských cen (CPI – consumer price index, vyjadřuje cenovou hladinu jako průměrnou úroveň cen souboru (spotřebního koše) výrobků a služeb, spotřebovávaných průměrnou domácností. Srovnává tedy náklady na nákup určitého neměnného souboru statků. Soubor statků je tvořen několika sty položek, které vystupují jako reprezentanti. Každý reprezentant má v uvedeném koši svou váhu. Váha je určena podílem výdajů na daný statek na celkových výdajích domácnosti. Tyto váhy jsou po určitou dobu fixní (cca 5 let), protože jejich statistické zjišťování je velice náročné.) - vyjádření míry inflace pro časový interval (t, t + 1) pomocí CPI: CPI (t + 1) − CPI (t ) I (t ) = CPI (t )
3
3. Kvantitativní teorie peněz Fisherova transakční rovnice (rovnice směny): M *V = P * Q - M (money) – množství peněz v oběhu v daném období (rok), jednotka např. [Kč] - V (velocity) – rychlost obratu peněžní jednotky (tzn. kolikrát peněžní jednotka za dané období projde trhem – zpravidla se tato veličina dopočítává), [1/rok] - P (price) – průměrná cena jedné transakce, [Kč/ks] - Q (quantity) – počet transakcí, [ks/rok] - levá strana představuje objem peněžních výdajů za dané období - pravá strana – peněžní hodnota transakcí za dané období - rovnost vyjadřuje makroekonomickou podmínku rovnováhy na trhu - Fisher zkoumal vztahy M, V, P, Q statistickou analýzou – zjistil, že P závisí těsně na M (korelace – vzájemný vztah), zatímco V a Q na M nezávisí měření M - dělíme dle likvidity (snadná, rychlá možnost zpeněžení) do skupin (měnových agregátů) - M0 = M01 (hotovostní oběživo – bankovky a mince v oběhu) + M02 (hotovost v komerčních bankách s okamžitou likviditou) + M03 (operativní zůstatky komerčních bank v centrální bance – velmi krátkodobé vklady, např. jednodenní) - M1 = M0 + M11 (vklady na viděnou (na požádání) – na běžných účtech v komerčních bankách) - M2 = M1 + M21 (termínované vklady – vklad na určitou dobu, peníze nejsou k dispozici předčasně) + M22 (úsporné vklady v bankách – dlouhodobé vklady, u nichž se může měnit zůstatek, mohou být s výpovědní lhůtou nebo bez ní) - M3 = M2 + vklady v zahraničních měnách v domácích bankách - M4 = M3 + M41(vklady v nebankovních institucích v domácí měně) + M42 (krátkodobé CP) - M5 = M4 + dlouhodobé CP v domácí měně - M1 se také nazývají úzké peníze (narrow money) - M3 obdobně – široké peníze (broad money) - P – lze brát CPI - P*Q vyjadřuje HDP (GDP – gross domestic product) – celková hodnota statků a služeb vyprodukovaná na daném území v daném čase - V se dopočítává - příklad: Velká Británie, rok 1989, GDP = P*Q = 513 242 000 GBP, M2 = 236 615 000 GBP => V = 2,167 4. Investice - část příjmu (přebytečných finančních prostředků), která je vložena do kapitálu za účelem přinést namísto okamžitého prospěchu zisk v budoucnu - dělíme na reálné (movité – drahé kovy, umění, … a nemovité – byty, pozemky, …) a finanční (vklady u bank nebo jiných finančních institucí, poskytování úvěrů, nákupy CP – představují závazek jiného ekonomického subjektu vůči investorovi) - investor řeší kam investovat a kolik investovat - diverzifikace – rozdělení investic do více produktů za účelem snížení rizika ztráty - dělení investic dle rizika – konzervativní (averze k riziku, např. do státních CP) a rizikové (vyhledávání rizika, např. do cestovního ruchu)
4
5. Finanční systém - účastníci finančního systému – tvůrci trhu, finanční zprostředkovatelé, koncový uživatel - např. investor koupí dům; investor vloží peníze do banky, banka poskytne úvěr stavebníkovi, stavebník postaví dům; věřitel vloží peníze do banky, banka poskytne úvěr dlužníkovi; dlužník emituje CP, které koupí banka (primární trh); věřitel koupí CP emitované bankou; věřitel koupí CP, které banka koupila od dlužníka (sekundární trh) koncový uživatel - věřitel (lender) – subjekt s přebytkem finančních prostředků, investuje (vklady, úvěry, nákupy CP, …) - dlužník (borrower) – subjekt s nedostatkem peněžních prostředků – půjčí si peníze, nebo emituje CP (např. stát v roce 1997 emituje obligace kvůli povodním) finanční zprostředkovatelé (financial intermediaries) - jsou to různé finanční instituce – banky, pojišťovny, investiční fondy, stavební spořitelny, … - přijímají vklady, poskytují úvěry, mohou nakupovat, prodávat, emitovat CP tvůrci trhu (market makers) - ovlivňují trh tím, že nakupují a prodávají CP (pro svůj prospěch) - využívají rozdíl mezi poptávanými cenami (bid price) a nabízenými cenami (offer price) – tedy pokud bid < offer, pak nakupují (za bid) a prodávají (za offer) - využívají očekávání vývoje na trhu (nakupují, očekávají-li růst; prodávají, očekávají-li pokles) požadavky koncových uživatelů na finanční zprostředkovatele - věřitelé požadují likviditu, bezpečnost, možnost investovat malé částky - dlužníci požadují dlouhodobé úvěry a půjčky, ochotu protistrany podstoupit riziko, možnost půjčit si velké částky finanční trh = peněžní trh + kapitálový trh - peněžní trh – trh s krátkodobými finančními aktivy (splatnost < rok), např. směnky, depozitní certifikáty, pokladniční poukázky - kapitálový trh – s dlouhodobými finančními aktivy (splatnost > rok), např. komodity (zlato), dluhopisy, akcie, hypotéční zástavní listy financování ekonomických aktivit - zdroje ekonomického subjektu mohou být cizí (úvěry a půjčky) nebo vlastní (zisk, základní kapitál – to jsou peněžní nebo nepeněžní aktiva podniku, se kterými je založen, u akciové společnosti jsou to akcie, u společnosti s omezeným ručením jsou to vklady zakladatelů (např. jeden vloží auto, druhý budovu, třetí peníze, …) - vlastní + cizí zdroje = pasíva (liabilities) - aktiva (assets) – CP, budovy, auta, software, licence, … rating - hodnocení ekonomických subjektů z hlediska schopnosti splácet úvěry
5
II. Cenné papíry 1. Charakteristiky CP - jsou to obchodovatelné úřední listiny představující peněžní hodnotu, slouží jako prostředek investování na peněžních a kapitálových trzích - jejich podoba může být fyzická (papírové) nebo elektronická (záznam na účtu cenných papírů) - základní typy CP – akcie a obligace (dluhopisy) akcie - nominální hodnota vydaných akcií udává výši základního kapitálu akciové společnosti - majitelé akcií jsou vlastníky příslušné části společnosti s právem podílet se na řízení (majitel akcií může mít rozhodující vliv (> 50 % akcií), podstatný vliv (20 – 50 % akcií) obligace - nominální hodnota vydaných obligací představuje pro emitenta úvěr, peníze získané jejich prodejem musí po uplynutí doby splatnosti vrátit majitelům obligací s úroky, které se nazývají kuponové platby, majitelé dluhopisů jsou věřiteli emitenta - dělíme na krátkodobé a dlouhodobé; individuální (emitován 1 kus – směnka, depozitní certifikát) a hromadné (emitovány v sériích – obligace, akcie) osoby spojené s CP – emitent, majitel emitent - vydá CP, představuje pro něj závazek - u obligací musí emitent vyplatit nominální hodnotu a kuponové platby - u směnky musí vyplatit danou sumu - emitent stanovuje způsob zacházení s CP – buď emise na majitele (CP volně prodávány, změny majitele se emitentovi nehlásí), nebo emise na jméno (na CP je zapsáno jméno majitele a změny majitele se hlásí emitentovi, příp. podléhají jeho souhlasu) - říkáme, že majitel je v krátké pozici (short position) majitel - CP jsou jeho finanční aktiva a přinášejí mu různá práva - akcie – čerpat dividendy, vlastnické právo, právo na rozhodování - obligace majiteli přináší právo na vrácení vložených peněz, právo na zaručenou odměnu (kuponové platby) - směnka – emitent má povinnost proplatit hodnotu směnky - věřitel je v dlouhé pozici (long position) trh s CP - dělíme na peněžní a kapitálový; primární (CP jsou na něm obchodovány poprvé, cenu určuje emitent – cena pevná nebo stanovená v aukci, obchody se realizují prostřednictvím bank, které zavádějí nové CP na trh) a sekundární (CP, které byly na primárním, cenu určují tvůrci trhu prostřednictvím burzy) hodnota CP - nominální hodnota (nominal value) – vyznačena na CP, udává se v peněžních jednotkách - tržní hodnota (market value) – cena, za kterou je obchodována - kurz CP – u akcií = tržní hodnota, u obligací je to (tržní hodnota)/(nominální hodnota) (* 100 %)
6
2. CP s pevným výnosem (fixed income/yield securities) - známe, jaké platby a jakým způsobem bude majitel inkasovat – výplata úroků a jistiny (např. u kuponové obligace to jsou kuponové platby + nominální hodnota) vklad v bance ((demand) deposit) - peněžní částka zapůjčená bance či jiné instituci - emitent je např. banka – vydá potvrzení o vkladu, majitelem je vkladatel - např. bankovní účet, vkladní knížka, lze z nich kdykoli vybírat (=> malý výnos) termínovaný vklad (time deposit) - vklad na určitou dobu, před dovršením nelze vybírat bez sankcí - přináší větší výnos (než obyčejný vklad) depozitní certifikát (certificate of deposit) - poukázka banky, fyzický listinný CP - banka se zavazuje k uvedenému datu majiteli vyplatit vloženou jistinu a úroky - zpravidla krátkodobý (splatnost < rok) - bývají emitovány a prodávány s diskontem (předlhůtní úrok, např. depozitní certifikát je vydán s nominální hodnotou 1 000 000 Kč, prodá se za 900 000 Kč, ale po uplynutí doby splatnosti majitel inkasuje 1 000 000 Kč) Termínovaný vklad vložená částka bývá omezená zdola předčasný výběr možný za sankční poplatek neobchodovatelný
nominální hodnota prodej k datu emise za výplata k datu splatnosti
Depozitní certifikát jistina určená bankou nelze vůbec vybrat předčasně obchodovatelný
Předlhůtní úrok 1 000 000 Kč 900 000 Kč 1 000 000 Kč úrokový výnos 10 % (realizován k datu emise, prodán za sníženou cenu)
Polhůtní úrok 1 000 000 Kč 1 000 000 Kč 1 100 000 Kč úrokový výnos 10 % (realizován k datu splatnosti)
pokladniční poukázka (treasury bill, T-bill) - dlužní krátkodobý CP (závazek emitenta) - často emituje stát (ministerstvo financí, na krytí krátkodobých schodků státního rozpočtu), ČNB, KB - primární prodej zajišťuje ČNB (ať už je emitent kdokoli) – prodává se formou holandské aukce (ČNB vyhlásí maximální úrokovou sazbu, zájemci mohou nabídnout nižší úrok, zájemci se uspokojují od nejnižších úroků) - např.: Emise pokladničních poukázek v objemu 5 mld. Kč Investor Objednávka Dohodnutá úroková sazba Uspokojení objednávky A 2,5 mld. Kč 3% plně B 2 mld. Kč 4% plně C 3 mld. Kč 5% 0,5 mld. Kč D 5 mld. Kč 6% --- nakupovat mohou jen instituce (banky, investiční fondy, penzijní fondy), ne fyzické osoby - doba splatnosti bývá 3 (6, 9, 12) měsíců - nominální hodnota např. 1 000 000 Kč 7
bezkupónová obligace (s nulovým kupónem, zero-coupon bond) - dlouhodobý dlužní CP emitovaný státem nebo jiným subjektem za účelem dostat prostředky na delší dobu (k financování rozsáhlých investičních záměrů – doprava, odstranění škod (povodně)) - primární prodej zpravidla s diskontem - doba splatnosti 5 (10, 15) let - po uplynutí doby splatnosti vyplácí emitent majiteli umořovací hodnotu (často = nominální hodnotě) kupónová obligace (coupon bond) - dlouhodobý dlužní CP, emituje je často stát, města (komunální obligace), banky - jsou obchodovatelné, až na výjimky nejsou pro fyzické osoby parametry: - doba splatnosti (maturity) – m [rok] - nominální hodnota (nominal(/face/par) value) – N - umořovací hodnota (redemption value) – R - kupónová sazba (coupon rate) – r, [%] N *r - kuponové platby (coupons) – C = , (vypláceny emitentem p-krát ročně) p - cena (price) – P – počítá se různými způsoby, k různým časovým okamžikům mezi datem emise a splatnosti (spravedlivá cena (vnitřní hodnota) – kdykoli stanovitelná; lineární interpolací se určuje kotovaná cena – k datu mezi dvěma kupónovými platbami; tržní cena – řídí se nabídkou a poptávkou) - alikvotní úrokový výnos – poměrná část příští kuponové platby, o kterou se upravuje cena obligace; prodej před datem ex-kupon – následující kuponovou platbu inkasuje kupující, ale poměrnou část vrací, cena je navýšena o AUV = N * r (t − k ) , (za předpokladu, že p = 1, t je čas prodeje, k je čas vyplácení předchozího kupónu; prodej po datu ex-kupon – následující kuponovou platbu inkasuje prodávající, kupující platí cenu sníženou o AUV = N * r (k + 1 − t ) - běžný výnos = C/P - výnos do splatnosti (yield-to-maturity, redemption yield) – vnitřní míra výnosnosti z investice do obligace, odvozuje se od spravedlivé ceny vyměnitelná (konvertibilní) obligace (convertible bond) - lze směnit např. za akcie společnosti, za cenu určenou v době emise obligací vypověditelná obligace (callable bond) - emitent může vyplatit umořovací hodnotu před datem splatnosti - majitel musí být kompenzován prémií nebo vyšší kupónovou sazbou obligace s právem na prodej - zaručuje majiteli právo prodat ji k určitému datu za určitou cenu věčná obligace (konzola, perpetuity) - není udána doba splatnosti hypoteční zástavní list (mortgage bond) - dlouhodobý dlužní CP emitovaný bankou, krytý zástavním právem na nemovitost, výtěžek z prodeje používá banka na poskytování hypotečních úvěrů (stavební a bytové investice) - doba splatnosti 15 (20, 25, 30) let
8
směnka (promissory note) - krátkodobý CP - používá se v dodavatelsko-odběratelských vztazích - představuje písemný slib zaplatit po stanovené době stanovenou částku v penězích - může být úročitelná/neúročitelná, na jméno (platbu čerpá určená osoba)/na doručitele (platbu čerpá ten, kdo ji předloží), vlastní (závazek emitenta realizovat platbu, např. odběratel se zavazuje zaplatit dodavateli)/cizí (příkaz emitenta 3. osobě realizovat platbu) - eskont směnky: např. dodavatel – dodávka – odběratel, odběratel – platba směnkou – dodavatel, dodavatel – eskont směnky – banka, banka – eskontní úvěr – dodavatel, odběratel – splacení úvěru – banka - eskontní úvěr – krátkodobý úvěr, kdy banka odkoupí směnku před dobou splatnosti, majiteli směnky poskytne úvěr, snížený o úrok (diskont) za dobu od eskontu do dne splatnosti směnky 3. Cenné papíry s pohyblivým výnosem (floating rate securities) - platby, které přináší majiteli, nejsou předem určené, odvozují se např. od referenční úrokové sazby (úrokové míry), indexů (např. CPI), od výnosů z jiných CP referenční úrokové sazby LIBOR (London Interbank Offered Rate) - aritmetický průměr úrokových sazeb z půjček nabízených v 11:00 na londýnském mezibankovním trhu, průměr je useknutý (tzn. největší a nejmenší sazby se do něj nezapočítávají) - průměruje se přes skupiny 8 (12, 16) bank a to v každé skupině pro konkrétní měnu (EUR, USD, GPB, JPY) a dobu splatnosti (1 den, 1 týden, 2 týdny, 1 měsíc, 3 měsíce, 6 měsíců, rok) - počítá se denně, od roku 1986, uveřejňuje ho British Banker’s Association PRIBOR (Prague Interbank Offered Rate) - analogie LIBORu pro pražský mezibankovní trh - definován věstníkem ČNB z roku 2006 (www.cnb.cz) - počítá a zveřejňuje Czech Forex Club – denně v 11:00, také useknutý průměr (z nejméně 5 bank), měna Kč - PRIBOR je průměrná nabídková sazba (průměrná sazba, za kterou banky poskytují úvěr) - žádost o to být referenční bankou schvaluje ČNB a CFC PRIBID (Prague Interbank Bid Rate) - průměrná poptávková sazba (průměrná sazba, za kterou banky přijímají vklady) - PRIBID < PRIBOR (úroky z vkladu < úroky z úvěru) 2T repo sazba ČNB - 2T znamená dvoutýdenní - repo operace – ČNB od ostatních bank přijímá peníze a poskytuje jim jako protihodnotu CP, po dvou týdnech se to přehodí zpět - repo sazba - úroková sazba, za kterou odkupuje centrální banka od komerčních bank jimi eskontované směnky obligace s pohyblivým kupónem (floating rate bond, floater) - kupón se odvíjí např. od PRIBORu: pololetní kuponové platby, kuponová sazba = šestiměsíční PRIBOR + kreditní přirážka 0,1 %
9
obligace vázané na index (index linked bonds) - kuponové platby jsou odvozovány od indexu (např. CPI) - např. povodňový dluhopis z roku 1997 – nominální hodnota 1000 Kč, doba splatnosti 5 let, kuponová sazba pro první rok 12,5 %, pro 2.–5. rok = nárůst CPI navýšený o 2,5 %, nárůst CPI z roku 1997 na rok 1998 byl 12 % => kuponová platba vyplácená v říjnu 1999 byla 145 Kč, po zdanění (25 %) 109 Kč akcie (share, stock) - obchodovatelný CP - majitel má právo podílet se na řízení akciové společnosti (má-li aspoň 20 % akcií), podílet se na zisku společnosti (formou dividend), podílet se na likvidačním zůstatku při zániku společnosti - nákupem akcií se realizuje majetkový vklad a tvoří se základní kapitál - emise nových akcií při tvorbě nebo navyšování základního kapitálu je spojena s procesem upisování (zájemci o koupi akcií se zapíší na upisovací listinu a tím se zaváží do určité doby odebrat a uhradit určité množství akcií) parametry: - nominální hodnota (souhrn nominálních hodnot akcií = základní kapitál) - emisní ážio – rozdíl mezi prodejní cenou a nominální hodnotou (pokud se prodává nad nominální hodnotou) - kurz = tržní cena - dividenda – podíl na zisku akciové společnosti, který čerpají akcionáři, pokud je společnost vyplácí (neexistuje automatický nárok), mohou být peněžní (nejčastěji), majetkové (výrobky apod.), odběrní právo na akcie za zvýhodněnou cenu - u akcií není definována doba splatnosti - stanovení tržní ceny je složitější než u obligací – akcie obecně mají vyšší výnos než obligace a vklady, ale také vyšší riziko - likvidita – na vyspělých trzích akcie velkých společností ok, obecně tomu tak být nemusí typy akcií: - kmenové akcie (common stocks/shares) – viz výše uvedené - prioritní akcie (preferred stocks) – přinášejí nadstandardní práva, např. právo na přednostní čerpání dividend, právo směny za kmenové akcie, právo zpětného odkupu, jsou rozšířené v USA - zaměstnanecké akcie – na jméno konkrétního zaměstnance (za peníze, nebo zdarma) - požitkové akcie – přinášejí majetková, nikoli rozhodovací práva - zakladatelská (zlatá) akcie – bývá jen jedna, zaručuje větší podíl na rozhodování než akcie kmenové (drží ji třeba stát za účelem udržení vlivu) - akcie (hlavně kmenové) jsou obchodovány na burze, např. Burza CP Praha - akcie největších společností se obchodují na hlavním trhu, ostatní na volném, existuje u nás i mimoburzovní trh – obchodují se i ostatní CP (hlavně obligace) – RM systém - zahraniční např. New York Stock Exchange, Tokyo Stock Exchange, … poměrové ukazatele - dividenda na akcii (dividend per share): dividendy/počet akcií - zisk na akcii (earnings per share): zisk společnosti/počet akcií - dividendový výnos (dividend yield): dividenda na akcii/kurz akcie (tj. tržní cena) - akciový výnos (earnings yield): zisk na akcii/kurz akcie
10
pojistka (insurance (contract)) - v širším smyslu ji lze také považovat za finanční investici - investice za účelem ochrany před specifikovaným rizikem - klient platí pojišťovně pojistné – poplatek za převzetí rizika pojišťovnou (jednorázově, nebo ve splátkách) - pokud nastane pojistná událost, čerpá klient pojistné plnění jednorázově, nebo ve splátkách - nastání pojistné události je náhodné - pro stanovení výše pojistného a pojistného plnění se používají metody finanční a pojistné matematiky, statistiky a pravděpodobnosti - pojištění dělíme na neživotní (domácnosti, automobilu, živelným pohromám, …) a na životní (pro případ smrti, pro případ dožití (pojišťovna vyplatí částku, jakmile se pojištěný dožije daného věku), smíšené (kombinace předchozích), důchodové, pojištění vážných chorob, investiční životní pojištění (pojišťovna investuje peníze, klient může ovlivňovat))
11
III. Finanční deriváty (financial derivatives) 1. Úvod - jsou to finanční nástroje, jejichž hodnota je odvozena od podkladového aktiva - některé z nich představují podmíněné nároky na určité plnění - mohou být ve formě CP – pak se nazývají odvozené CP - první deriváty vznikají v 19. století – komoditní deriváty na plodinových a surovinových burzách - rozvoj finančních derivátů nastává v 70. – 80. letech 20. století – kvůli nejistotě kolem vývoje v oblasti měnových kurzů a úrokových sazeb - finančními deriváty jsou termínové kontrakty – smlouvy o obchodech s časovou prodlevou mezi uzavřením a plněním, v okamžiku uzavření (sjednání) jsou stanoveny podmínky – definují, zda znamená právo či povinnost koupit/prodat určité množství podkladového aktiva k určitému datu za určitou cenu - finanční deriváty jsou obchodovatelné - obchodují se na burzách nebo na mimoburzovním trhu (přepážkový trh – over-the-counter (OTC), účastníci obchodu vyjednávají přímo mezi sebou) dělení podle podkladového aktiva - komodity – komoditní derivát (zlato, káva, obilí, …) - finanční, např. akcie – akciový derivát - peníze (v určité měně) - úrokové deriváty (budoucí výměny úrokových plateb) - úvěrové deriváty (obchodování s obligacemi apod.) - deriváty na akciový index – smlouvy o budoucích platbách, které se odvodí od hodnot nějakého akciového indexu (což je vážený průměr kurzů akcií určité množiny společností) motivy ke sjednání nebo nákupu - zajištění (hedging) – snaha o redukci rizika při obchodování s podkladovým aktivem fixací jeho ceny (cena se dohodne předem) - spekulace (trading) – snaha o dosažení zisku v důsledku cenového vývoje podkladového aktiva 2. Nepodmíněné deriváty (pevné) - představují termínový kontrakt, kdy oba účastníci jsou povinni k datu splatnosti uskutečnit obchod s podkladovým aktivem za předem sjednaných podmínek, bez ohledu na to, jaká je v době splatnosti cena podkladového aktiva - sjednání kontraktu je pro obě strany bezplatné – kupec podkladového aktiva je v tzv. dlouhé pozici, prodávající je v tzv. krátké pozici forwardy - individuálně sjednané termínové kontrakty na budoucí dodávku podkladového aktiva - lze je uzavřít na libovolné množství, cenu, datum dodání - obchodují se na OTC trzích - výhody: vhodný nástroj pro zajištění (omezují riziko z budoucího vývoje cen) - nevýhody: nelze je zrušit bez dohody obou stran, málo likvidní, těžko obchodovatelné parametry - datum splatnosti (T) - cena dodávky (K) 12
- promptní cena (spotová, aktuální; St; 0 ≤ t ≤ T ) – skutečná cena tj. je-li S t − K < 0 kupce má ztrátu (a tedy prodávající zisk, u opačné nerovnosti je tomu naopak) - hodnota dlouhé pozice (ft; 0 ≤ t ≤ T ) – zisk nebo ztráta subjektu v dlouhé pozici (-ft je hodnota krátké pozice), definujeme f 0 = 0 , zřejmě f t = S t − K - cena forwardu (Ft) – cena dodávky v případě, že by byl forward sjednán v čase t, počítá se např. podle vztahu F t = S t * e c (T −t ) , (c závisí na typu podkladového aktiva, má význam úrokové sazby) příklady forwardů: komoditní forward – např. pěstitel obilí se chce zajistit proti poklesu ceny, uzavře se zpracovatelem forward na dodávku sjednaného množství obilí v čase T za cenu K, pěstitel je v krátké pozici, zpracovatel v dlouhé pozici; měnový forward – např. podnikatel vyvezl výrobky a fakturuje zahraničnímu odběrateli 100 000 € se splatností za 3 měsíce, zároveň ze zahraničí obdržel dodávku materiálu za 50 000 € s dobou splatnosti 1 měsíc, kurs je 30 Kč/€, chce si zajistit stávající kurs, uzavře s bankou dva forwardy: Forward č. 1 Forward č. 2 doba splatnosti 3 měsíce 1 měsíc částka 100 000 € (prodej) 50 000 € (nákup) pozice (podnikatele) krátká dlouhá kurs 30 Kč/€ 30 Kč/€ zajištění proti poklesu (např. na 28 Kč/€) růstu (např. na 32 Kč/€) má zajištěno příjem 3 mil. Kč úhradu dluhu 1,5 mil Kč futures - jsou to standardizované forwardy – lze je uzavřít pouze na určitá podkladová aktiva, v určitých množstvích a k určitým datům - obchodovány na termínových burzách - při burze funguje clearingové středisko, kde účastníci obchodů s futures mají své účty – na začátku složí počáteční záruku (initial margin), na konci každého dne se na základě nabídky a poptávky určí cena futures a porovná se s cenou na konci minulého dne, zisk/ztráta se připíše na účet, pokud stav účtu klesne pod udržovací záruku (maintenance margin), musí obchodník doplnit na účet doplňující záruku (variation margin) - obchodník v krátké nebo dlouhé pozici se může chovat dvěma způsoby – počkat do doby splatnosti a uskutečnit obchod s podkladovým aktivem (příp. peněžní vyrovnání), nebo provést vyrovnávací transakci (offset) – prodat svou pozici, nebo otevřít zrcadlovou - příklad: Účet obchodníka s futures. Obchodník zakoupil dne 1. 3. tři futures na koupi 100 uncí zlata za 280 USD/unce, splatnost 1. 12. téhož roku, předepsaná udržovací záruka je 3 000 USD, počáteční záruka 4 000 USD, cena futures = cena 1 unce. Vývoj na účtu: doplňující hodnota datum zisk ztráta záruka stav účtu futures záruka 1. 3. 282,10 630 4 000 4 630 2. 3. 281,30 -240 4 390 … 8. 3. 276,50 -180 2 950 1 050 9. 3. 276,20 -90 3 910 10. 3. 277,80 480 4 390 10. 3. prodej 3 futures za 300 * 277,80 = 83 340
13
swapy - představují dohodu o budoucí periodické výměně peněžní částky - sjednávají/obchodují se OTC - je to nejmladší typ finančních derivátů (od 80. let 20. století) - používají se podle pravidel ISDA (International Swap Dealers Association/International Swaps and Derivatives Association) úrokové swapy - směňují se úrokové platby, vztahující se ke stejnému základu, ale počítané s různou úrokovou sazbou, např. jedna strana platí úroky dané pevnou sazbou, druhá pohyblivou (party, counterparty) - např.: Emitent dluhopisu s pohyblivým ročním kupónem, daným referenční sazbou PRIBOR navýšenou o kreditní přirážku 0,8 % očekává růst úrokových měr, uzavře proto s bankou kupónový úrokový swap: 6,5 % Emitent dluhopisu
swapové platby
kuponové platby PRIBOR + 0,8 %
Banka
PRIBOR
Majitel dluhopisu
nominální hodnota dluhopisu je N každý rok se realizují platby: emitent bance: – 6,5 % N banka emitentovi: + N*PRIBOR emitent majiteli: – (PRIBOR + 0,008)N tedy emitent platí každý rok – 0,073*N
- příklad: Firmy A,B si chtějí půjčit stejné částky na stejnou dobu, firma A si může půjčit za pevnou 8 % nebo LIBOR + 2 %, firma B s horším ratingem si může půjčit za 10,5 % nebo LIBOR + 3 %, firma A chce platit proměnlivý úrok, B chce pevný. Firmy A a B uzavřou úrokový swap: LIBOR + 1,5 % Firma A
splátky úvěrů 8% Banka
swapové platby
Firma B
8,5 % LIBOR + 3 %
Firma A: LIBOR + 1,5 % + 8 % – 8,5 % = LIBOR + 1 % (banka nabízela LIBOR + 2 %) Firma B: LIBOR + 3 % + 8,5 % – (LIBOR + 1,5 %) = 10 % (banka nabízela 10,5 %)
Banka
- vhodná kombinace úrokového swapu s jinými finančními instrumenty může vést k tzv. arbitráži (realizace zisku s nulovou počáteční investicí)
14
- např.: Banka provede následující operace na finančním trhu: čas důvod platby příjem přijatá půjčka (10 let) N 0 nákup obligace (10 let)
kuponová platba swapové platby
N LIBOR *
úrok z půjčky každý půlrok
výdaj
N * r , (r je kup. sazba) 2 N * LIBOR 2
N 2
N * i , (i je swap. sazba) 2 N
vrácení zapůjčené jistiny nom. hodnota obligace N N Zisk banky každý půlrok: * (r − i ) , arbitráž nastane, pokud r>i, v praxi je ale r=i 2 10 let
měnové swapy - směňuje se jistina v různych měnách, mohou se směňovat taky úrokové platby - důvody – zajištění proti nepříznivému vývoji měnového kurzu, spekulace na odlišný vývoj úrokových sazeb v různých měnách, možnost získat úvěr nebo investovat výhodněji v zahraniční než v domácí měně - příklad: měnový swap bez úrokových plateb – město dostalo od zahraniční banky investiční úvěr 1 mil. €. Investice, na které ho chce použít, hradí v Kč, úvěr je splatný za 10 let. Město si chce na hodnotu zaručit kurz 30 Kč/€, platný v době přidělení úvěru. Uzavře měnový swap s tuzemskou bankou s počáteční a konečnou výměnou v pevném kurzu 30 Kč/€. Tj. v čase 0 město dá bance 1 mil. € a dostane 30 mil. Kč, po deseti letech město bance dá 30 mil. Kč a dostane 1 mil. €. - příklad: měnový swap s úrokovými platbami – český emitent vydal obligaci v USD v hodnotě 10 mil. USD s ročními kupónovými platbami danými 7 % a s dobou splatnosti 10 let. Chce se zajistit proti nepříznivému vývoji dolaru vůči koruně. Uzavře tedy s bankou měnový swap na výměnu 10 mil. USD za Kč v současném kurzu 20 Kč/USD a při roční dolarové úrokové sazbě 7 % a roční korunové 9 %: čas akce popis 0 počáteční výměna emitent bance 10 mil. USD, obdrží 200 mil. Kč emitent bance 0,09*200 mil. Kč swapové platby každý rok banka emitentovi 0,07*10 mil. USD kupónové platby emitent majiteli dluhopisu 0,07*10 mil. USD zpětná směna emitent bance 200 mil. Kč, obdrží 10 mil. USD 10 let obligace emitent majiteli 10 mil. USD
15
3. Podmíněné deriváty (opční) - představují termínový kontrakt, při němž jeden z účastníků získává právo (nikoli povinnost) uskutečnit obchod s podkladovým aktivem - účastníci – aktivní (kupující/buyer, držitel/holder, dlouhá pozice/long), pasivní (prodávající/seller, upisovatel/writer, krátká pozice/short) - držitel za své právo rozhodnout se platí opční prémii opce - účastník v dlouhé pozici má právo koupit/prodat určité množství podkladového aktiva za předem sjednanou cenu v určité datum, nebo kdykoli do určitého data - dělení – opce na koupi (call opce – právo koupit) a opce na prodej (put opce – právo prodat); evropské (obchod k datu splatnosti T) a americké (obchod v čase t, t ≤ T); kryté (účastník obchodu vlastní podkladové aktivum) a nekryté (účastník obchodu podkladové aktivum nevlastní, ale shání na trhu, když protistrana zažádá) - uplatnění/realizace – využití práva v dlouhé pozici - většina opcí se sjednává a obchoduje na burze, obchodují se zaokrouhlená množství podkladového aktiva se zaokrouhlenou dobou splatnosti, většinou je doba splatnosti < 1 rok - i OTC (nejsou obchodovatelné) parametry - datum splatnosti (T, maturity date), u amerických opcí se někdy používá datum vypršení (expiration date) - datum realizace (t; t ≤ T, exercise date) - realizační cena (K, exercise/strike price) – cena, za kterou může držitel opce koupit/prodat podkladové aktivum - promptní/spotová cena (St) - vnitřní hodnota (VH, intrinsic value) – nezáporný zisk při realizaci opce v čase t, pro call opci VH tc = max(0, S t − K ) , pro put opci VH tp = max(0, K − S t ) VH tc
VH tp
S t roste roste klesá K roste klesá roste - časová hodnota ( CH t , time value) – odměna, kterou by byl ochoten zaplatit držitel upisovateli za možnost, že v časovém intervalu (t, T] vzroste vnitřní hodnota opce; časová hodnota klesá s rostoucím t až k nule; je ovlivňována mnoha faktory, vypočítává se aproximativně pomocí Blackova-Scholesova vzorce – používá pravděpodobnostní modelování a náhodné procesy - opční prémie ( OPt , price, cena opce) – cena, za kterou je opce sjednána na mimoburzovním trhu nebo obchodována na burzovním trhu, OPt = VH t + CH t , OPT = VH T Pro call opci (v pevném čase)
OPt
t 2 < t1 < T
OPt1
OPt 2
OPT K
St 16
- značení – evropská call (c), evropská put (p), americká call (C), americká put (P) chování držitelů a upisovatelů opcí - vychází ze vztahu mezi cenami S t a K - opce je v čase t „na penězích“ (at-the-money), pokud S t = K - opce je v čase t „v penězích“ (in-the-money), pokud má držitel zisk (tj. S t > K u call, S t < K u put) - opce je v čase t „mimo peníze“ (out-of-the-money), pokud má držitel ztrátu (tj. S t < K u call, S t > K u put) - držitel může – realizovat opci (koupit/prodat podkladové aktivum), prodat opci (vyrovnat svou dlouhou pozici), nechat opci propadnout - upisovatel – musí prodat/koupit podkladové aktivum za realizační cenu K, může koupit prodávanou opci (vyrovnat svou krátkou pozici) - příklad: Evropská opce na akcii K = 60 €, kurz akcie k datu splatnosti opce S T = 70,72 €, předpokládejme 1) opce typu call, c = 10, 59 €, v době sjednání S T > K , držitel realizuje opci (koupí podkladové aktivum – akcii za K = 60 €), hrubý zisk: S T − K = 10,72 €, čistý zisk: S T − K − c = 0,13 €, 2) put opce, p = 0,27 €, S T > K , držitel nerealizuje, hrubý zisk: 0, čistý zisk = – p (ztráta 0,27 €) - evropská opce: čistý zisk (Z), cena při sjednání (c, resp. p) Z
long
držitel (long) Z = −c + max(0, S T − K )
c -c
K
ST short
Z
upisovatel (short) Z = c − max(0, S T − K )
put:
K–p
short
p
-p
call:
K
ST
držitel (long) Z = − p + max(0, K − S T ) upisovatel (short) Z = p − max(0, K − S T )
long
p–K
call držitel
max. zisk ∞
upisovatel
c
put
max. ztráta c ∞ (nejrizikovější pozice)
17
max. zisk < K − p , (ST není 0)
max. ztráta p
p
- podkladovým aktivem je nejčastěji měna, akcie, akciový index, úroková sazba, příp. nějaký další finanční derivát - příklad: Měnová opce – spekulant očekává v horizontu dvou měsíců oslabení koruny vůči dolaru. K 1. 2. je kurz 20 CZK/USD, koupí call opci na 1 000 000 USD za opční prémii 600 000 Kč (= c/C) s dobou splatnosti 2 měsíce, realizační cena je dána kurzem 20,50 CZK/USD => 20 500 000 Kč. a) opce je americká, k 1. 3. je kurz 22,50 CZK/USD, St > K, opce se realizuje, Z = S t − K − C = 22 500 000 – 20 500 000 – 600 000 = 1,4 mil. Kč - pákový efekt – investice spekulanta je řádově nižší než možný zisk/ztráta - S t − K je hrubý zisk, po odečtení C dostaneme čistý zisk b) opce je evropská, k 1. 4. je kurz 21 CZK/USD, ST > K, Z = - 100 000 Kč - příklad: Opce na akcie – investor chce své akcie chránit proti poklesu cen, na každou akcii koupí put opci, jejíž realizační cena (K) přibližně odpovídá současné ceně akcie, pokud dojde k poklesu ceny, put opci realizuje – prodá akcie za K - příklad: Opce na akciový index – PX 50 (dřívější index Burzy cenných papírů Praha) lednový průměr 825,5, call opce splatná 1. 4., objem podkladového aktiva je 1 000 Kč, realizační cena K je dána lednovým průměrem PX 50, hodnota PX 50 je 840,8, K = 1 000 * 825,5, St = 1000*840,8, opce se realizuje, držitel dostane od upisovatele (840,8 – 825,5) * 1 000 = = 15 300 Kč (hrubý zisk) - příklad: Úroková call opce – objem podkladového aktiva 1 mil. USD, realizační cena je dána sazbou 94,75 %, opční prémie sazbou 0,005 %, K = 947 500 USD, c = 50 USD, v době splatnosti držitel dostane od upisovatele úvěr 1 mil. USD s úrokovou sazbou 5,25 %. Dostane 947 500 USD a splácet bude 1 mil. USD (předlhůtní úročení), kdyby se jednalo o put opci, tak by poskytoval úvěr v té výši kombinace opcí - investoři obchodující s opcemi jsou buď býci (bulls), nebo medvědi (bears) - býci spekulují na růst ceny podkladového aktiva, medvědi na pokles příklady kombinací (uvažujeme evropské opce): - pozn.: u zkoušky není potřeba znát je zpaměti, stačí tomu rozumět a např. určit z obrázku, jaký investor by použil danou kombinaci straddle (V kombinace) - long (z pohledu držitele, + označuje nákup opce) + call (K) + put (K), obě na stejnou realizační cenu, Z = −c − p + max(0, S T − K ) + max(0, K − S T ) - short (z hlediska upisovatele) stačí všude změnit znaménka, tj. – call (K) – put (K), Z = +c + p − max(0, S T − K ) − max(0, K − S T ) - straddle long volí investor, spekulující na velký pohyb, straddle short očekává cenovou stabilitu Z
straddle
K–p–c
long
+p+c
–p–c –K+c+p
K
ST short
18
strangle (U kombinace) - long (short má – i u dalších kombinací – pouze opačná znaménka) + call (K1) + put (K2), K1 > K2, Z = −c − p + max(0, S T − K 1 ) + max(0, K 2 − S T ) - mohou nastat tři případy: ST < K2: Z = −c − p + K 2 − S T K2 < ST < K1: Z = −c − p K1 < ST: Z = −c − p + S T − K 1 Z
strangle
K2 – p – c
long
+p+c K1
K2
ST short
synthetic stock (syntetická akcie) - long + call (K) – put (K), Z = −c + p + max(0, S T − K ) − max(0, K − S T ) ST < K: Z = −c + p + S T − K ST > K: Z = −c + p + S T − K - long synthetic stock – býci, short medvědi Z
synthetic stock long
K+c–p
ST short
risk reversal - long + call (K1) – put (K2), K1 > K2, Z = −c + p + max(0, S T − K 1 ) − max(0, K 2 − S T ) - long – býci (navyšuje zisk o p), short medvědi (oproti put K2 navyšuje zisk o c) Z
risk reversal long
+p–c K2 – K2 + p – c
K1
ST short
19
bull call spread (rozpětí call) - long + call (K1) – call (K2), K1 < K2, Z = −c1 + c 2 + max(0, S T − K 1 ) − max(0, S T − K 2 ) - investor očekává mírný růst (bull) - obdobně put spread (bull + put (K1) – put (K2), K1 < K2, Z = − p1 + p 2 + max(0, K 1 − S T ) − max(0, K 2 − S T ) ) Z
call spread bull
K2 – K1 + c2 – c1
K2
K1
– c1 + c2
ST bear
butterfly spread (motýlí rozpětí) - + call (K1) + call (K2) – 2 call (K3), K1 < K2, K3 často aritmetický průměr (K1 a K2) - investor očekává vývoj někde kolem K3 Z
butterfly spread
– c1 – c2 + 2c3
K1
K3
ST
K2
speciální typy opcí binární opce - k datu splatnosti T dochází k výplatě částky X (předem dohodnutá částka, nesouvisí s ST nebo K) Z
vývoj zisku (držitele)
X–c
–c
K
ST
bariérové opce - získává nebo ztrácí realizovatelnost, pokud cena ST překročí určitou bariéru složené opce - opce na opce
20
swaptions (opce na swap) volitelné opce - k určitému datu se držitel může rozhodnout, jestli opce bude call nebo put asijské opce - realizační cena podkladového aktiva se stanovuje průměrováním cen za určité období stropy (caps) - zaručují držiteli právo na průběžné plnění ve formě úrokového rozdílu, pokud úroková sazba vystoupí nad určitou mez - analogicky fungují dna (floors), pokud úroková sazba klesne pod sjednanou mez obojky (collars) - kombinace caps a floors, pokud úroková sazba stoupne nad stanovenou mez, tak dostává finanční plnění držitel od upisovatele, když klesne pod stanovenou mez, držitel poskytuje upisovateli finanční plnění opční listy (warranty) - dávají právo na nákup akcií upisovatele - bývají dlouhodobé (na rozdíl od klasických opcí)
21
IV. Základy finanční matematiky 1. Indexní čísla značení {vektory se budou na přednášce označovat vlnkou pod písmenkem, já je budu psát tučně nebo vlnkou/vlnkami nad; na přednášce se toho říkalo více, ale za zmínku stojí snad jen následující}: p – sloupcový vektor (p1, …, pn)´ (´ značí transpozici) 1 = (1, …, 1)´ (může mít dolní index označující rozměr) p´q – skalární součin (případně p.q) p*q – Hadamardův součin (p1q1, …, pnqn)´ (obdobně podíl, mocnění; násobení konstantou z R, přičítání konstanty z R, mocnění na konstantu z R) - slouží k porovnávání určitých jevů – buď na různých místech, nebo v různých časech - komplexní jev A (např. cena akcie, zboží), dílčí jevy A1, …, AN, reprezentanti Ai1, …, Ain, n
indexní číslo Is,t pro porovnání základního období s a srovnávacího období t - požadavky na indexní čísla (podle teorie Fishera; jinak nemusí být splněny): 1) It,t = 1 2) Is,t*It,s = 1 t
3?)
∏ (I
i = s +1
i −1,i
) = I s ,t
příklady indexních čísel n
I s ,t
~ ~ 1 .p = ~ ~t = 1 .p s
∑p
i t
∑p
i s
i =1 n
i =1
I s ,t = n
n
p
∏p i =1
- splňuje 1), 2), 3), nevýhoda – neodráží se váhy
i t i s
- vhodnější Is,t jako vážený průměr podílů ~ pσ * q~τ ~ - volíme w = ~ ~ = pσ .qτ
1 n
∑ pσ qτ i
n pti p ti ~ ~ p s vahami w , tedy: I = w = w. ~ t i ∑ s ,t i i i ps ps ps i =1
.( pσ1 qτ1 ,..., pσn qτn )´ , volbou σ a τ dostáváme různá konkrétní
i
i =1
indexní čísla Laspeyresovo indexní číslo - σ, τ = s (základní období) ~ p * q~ ~ p I sL,t = ~s ~ s . ~ t dá se dovést do = p s .q s q s
~ pt .q~s ~ p .q~ s
s
Paascheho indexní číslo - σ = s, τ = t ~ ~ p * q~ ~ p p .q~ I sP,t = ~s ~ t . ~ t = ~ t ~t , lze ukázat, že splňují 1), ale ne 2) a 3) p s .qt q s p s .qt
22
Marshall-Edgeworthovo indexní číslo ~ pt .(q~t + q~s ) I sEM = ,t ~ p s .(q~t + q~s ) Fisherovo indexní číslo I sF,t = I sL,t .I sP,t - pozn.: ke zkoušce znát hlavně Laspeyresovo a Paascheho - váhy q se někdy konstruují uměle Löweův index ~ pt .q~ I sLW = ,t ~ p s .q~ - rozšiřující pozn.{tj. nebude u zkoušky?}: pro indexní čísla I01, I12 a I02 se počítá zkreslení I .I (vychýlení/bias) B02 = 01 12 , B02 = 1 pokud splňuje 3), lze ukázat: B02L > 1, B02P < 1 v případě, I 02 q p že platí 1 roste => 1 roste q0 p0 indexní čísla v praxi burzovní indexy (stock exchange indices/indicators) - dělíme na výběrové (zahrnují pouze vzorek akcií nejvýznamnějších společností – třeba DJIA (Dow Jones Industrial Average – jeden z indexů newyorské burzy)) a souhrnné (zahrnují akcie všech společností na daném trhu – třeba NASDAQ Composite (NASDAQ je elektronický burzovní trh v USA)) - dělíme na průřezové (akcie společností různých odvětví PX(50), DAX (německý), S&P 500 (Standard and Poor’s)) a odvětvové (např. BI12 – energetika na Burze Cenných Papírů Praha) - cenově vážené (vážené podle tržní kapitalizace – tj. kromě cen i množství, příkladem jsou všechny uvedené kromě DJIA) inflace - CPI – u nás se počítá Laspeyresovým indexním číslem, počítá ho ČSÚ (Český statistický úřad) - základní období je prosinec 2005, počítá se po měsících, na základě spotřebního koše - potraviny a nealkoholické nápoje – 164 položek, kultura a rekreace 113 položek, dohromady 729 položek, čas od času se koš aktualizuje ~ p .q~ - bazické CPI: CPI t = ~ t ~0 (s = 0, tj. 12/2005), míra inflace se určí jako přírůstek průměrného p0 .q0 CPI t + ... + CPI t −11 ročního CPI, tedy Infl t = .100% (pro měsíc číslo t) CPI t −12 + ... + CPI t −23 CPI t - k předchozímu měsíci t − 1 : .100% CPI t −1 CPI t - ke stejnému měsíci předchozího roku .100% CPI t −12 CPI t .100% , kde jmenovatel je průměr hodnot za měsíce roku 2005 - k průměru roku 2005 CPI 2005
23
2. Úročení a úrokové míry - úrok – poplatek za zapůjčení peněz, stanovuje se na určité období pomocí tzv. úrokové míry (též sazby, interest rate, značíme i) - základ (jistina) – částka zapůjčená věřitelem dlužníkovi (značíme K0), věřitelem může být banka (a dlužníkem investor, který si bere úvěr), nebo investor (a dlužníkem je banka – např. uložení peněz na termínovaný vklad) - splatná částka – hodnota jistiny po n obdobích (pro nás zpravidla letech, značíme Kn) jednoduché úročení (simple interest) - nejčastěji, pokud doba půjčky není delší než rok - K n = K 0 (1 + in) = K 0 + K 0 in , úrok je K 0 in složené úročení (compound interest) - K n = K 0 (1 + i ) n , části (1 + i ) říkáme úrokovací faktor - při složeném úročení se připsané úroky také úročí (základ exponenciálně roste) Kn
složené jednoduché
K0 (1 + i) K0 n
1
smíšené úročení - rozdělíme n: n = [n] + {n}, kde [n] je celé číslo, {n} zbytek (z intervalu (0,1)) - K n = K 0 (1 + i{n}) * (1 + i ) [ n ] - příklad: Investor realizoval 1/12/2008 vklad 1 000 000 (= K0) na 2,5 roku (= n) s roční úrokovou mírou 1 %. V jednoduchém úročení K2,5 = 1 025 000. Ve složeném úročení K 2,5 =& 1 025 188. Ve smíšeném úročení K 2,5 = 10 6 (1 + 0,01 * 0,5) * (1,01) 2 =& 1 025 200,5.
1 5 ) * (1 + 0,01) 2 * (1 + 0,01 * ) = 1 025 204, stav k 31/12/2008 je ten po 12 12 konec první závorky, stav k 31/12/2010 po konec druhé. * K 2,5 = 10 6 (1 + 0,01 *
nominální úroková míra - roční úroková míra i(p) - úročíme p-krát do roka, vždy po
i( p)
, p – frekvence úročení p - {příklad: čtvrtletní úročení s nominální úrokovou mírou 4 % p.a. (per annum – ročně) se tedy úročí každé čtvrtletí 1 %} i( p) 1 2 je 1 + je - splatná částka při složeném úročení vkladu K0 = 1 v čase , v čase p p p i( p ) 2 i( p ) p (1 + ) … v čase 1 rok (1 + ) = K1 = 1 + i p p - i v předchozí rovnosti nazveme efektivní úroková míra
24
efektivní úroková míra - vždy se vztahuje k období jednoho roku - při jednorázovém připsání úroku na konci roku poskytne stejnou splatnou částku jako nominální úroková míra při připsání p-krát za rok i( p ) p - máme vztah (1 + ) = 1 + i , půjdeme-li s p do nekonečna, pak využitím známé limity p 1 i { lim p →∞ (1 + ) p = e } dostáváme: e ( p ) = 1 + i => i( p ) = log(1 + i ) = δ - intenzita úroku (force of p interest) {na přednášce bylo jiné odvození} - lze tedy psát K t = K 0 (1 + i ) t = K 0 e δt , t > 0 – spojité úročení 1 - taky lze vyjádřit K 0 = K t = K t e −δt t (1 + i ) 1 = e −δ = v diskontní (discount) faktor, pak K 0 = K t v t - diskontování {přepočet - označme (1 + i ) budoucí hodnoty na současnou hodnotu} i( p ) p - příklad: i(p) = δ = 0,05, s využitím (1 + ) = 1 + i (a limitní verze) můžeme spočítat: p úročení p i roční 1 0,05 půlroční 2 0,05063 čtvrtletní 4 0,05095 měsíční 12 0,05116 týdenní 52 0,05125 denní 365 0,05127 spojité ∞ 0,05127 kalendářní konvence - úročíme K0 přes časový interval datum1 do datum2, zlomek (počet dní v intervalu)/(počet dní v roce) se ve skutečnosti určuje podle standardů (actual/actual (ACT/ACT) odpovídá, další jsou ACT/365, ACT/360, 30/360) vliv inflace a zdanění na úrokovou míru K 1 = K 0 (1 + i ) = K 0 (1 + iinf l )(1 + ireal ) , kde i je deklarovaná úroková míra, iinfl – míra inflace, ireal – reálná úroková míra i − iinf l ireal = , pokud iinf l ≈ 0 , tak ireal = i − iinf l 1 + iinf l - předpokládejme dále, že výnosy z investic (jen výnosy) jsou zdaněné (itax = daňová sazba), pak 1 + i (1 − itax ) = (1 + iinf l )(1 + i real )
25
3. Finanční (peněžní) toky - finanční tok (cash-flow) je posloupnost plateb CF0, …, CFn, n může být až nekonečno (např. u věčných obligací), obecněji CFt1 ,..., CFtn , 0 ≤ t 0 ≤ ... ≤ t n - důchod (annuity) – konstantní platby v pravidelných časových intervalech – polhůtní (tj. platba se odehrává na konci období CF1 = ... = CFn −1 = c ) nebo předlhůtní (tj. platba se odehrává na začátku období CF0 = ... = CFn = c ) současná hodnota finančního toku - hodnota finančního toku v čase 0 (obecněji na začátku sledovaného časového horizontu) - všechny platby musíme posunout do času 0 Kn 1 {ze složeného úročení víme: K 0 = K n v n = , = e −δ = v } n (1 + i ) (1 + i ) n
- současná hodnota (PV – present value) =
∑ CF v
t
t
t =0
1− vn 1− vn =c 1− v i t =1 n n −1 1− v - předlhůtní důchod: PV = c * ∑ v t = c 1− v t =0 n
- polhůtní důchod: PV = c * ∑ v t = c * v
n
- pro platby CFt0 ,..., CFtn , t 0 = 0 : PV = ∑ CFt j v
tj
j =0
1 - s úrokovou mírou ik v časovém intervalu [t k −1 , t k ) : PV = CF0 + ∑ CFt j ∏ j =1 k =1 1 + i k n
j
t k − t k −1
tj
1 , rk je spotová úroková míra - jiný způsob pro investici na tk let: PV = CF0 + ∑ CFt j 1+ r j =1 j (roční) pro investici na t k let, lze si představit úrokovou míru v okamžité půjčce na t k let n
t
t n* p 1 p n* p 1 - platby p-krát do roka po dobu n let: PV = ∑ CFt , i je efektivní míra = ∑ CFt ip 1+ i t =0 t =0 1 + p - interpretace současné hodnoty – částka, kterou musí nyní mít k dispozici např. pojišťovna, aby mohla v časech t j vyplácet částky CFt j n
- spravedlivá cena obligace PV = r * N * ∑ v t + N * v n , v = t =1
1 , i – výnos do splatnosti 1+ i
budoucí hodnota (FV, future value) n
- hodnota finančního toku v čase n (na konci sledovaného časového horizontu) =
~~ ~~ {značení: C F = (CF0 ,..., CFn )' , PV = NPV (CF , i ) – net present value (čistá)} - vlastnosti současné hodnoty: linearita α , β ∈ ℜ : ~~ ~~ ~~ ~~ NPV (αCFA + β C FB , i ) = αNPV (C FA , i ) + β NPV (CFB , i ) 26
∑ CF (1 + i) t =0
t
n −t
výnosová (hodnotová) rovnice ~~ - NPV (C F , i ) = 0 , pokud má kořen i0 > -1, tak ho nazveme vnitřní míra výnosnosti (IRR – internal rate return) {aby byla definována intenzita}, slouží k rozhodování, jestli jít do investičního projektu - první výdaje, pak příjmy {typ I} - první příjmy, pak výdaje {typ II} NPV NPV
i0
i
i0
i
hodnocení investičních projektů - nějaký finanční tok – příjmy a výdaje ~~ - projekt je výhodný při úrokové míře i, když NPV (C F , i ) > 0 (+ diskontované příjmy – diskontované výdaje) - pro projekty typu I i < i0 je výhodný - pro projekty typu II i > i0 je výhodný, i je hodnotící úroková míra {úroková míra z investic podobného typu} míry citlivosti současné hodnoty (NPV) na změny úrokových sazeb durace (střední doba splatnosti) n
~~ D(C F , i ) =
∑ t * CF (1 + i) t =0
t
~~ NPV (CF , i )
−t
~~ (−1 + i ) NPV ' (C F , i ) ~~ = { NPV ' (C F , i ) je derivace podle proměnné i} ~~ NPV (CF , i )
konvexita n
~~ C (C F , i ) =
∑ t (t + 1) * CF (1 + i) t =0
t
−t
~~ (1 + i ) 2 NPV ' ' (C F , i ) = ~~ NPV (C F , i )
~~ NPV (C F , i ) - pokud vezmu relativní změnu, tj. ~~ ~~ ~~ ~~ NPV (CF , i + ∆i ) − NPV (C F , i ) NPV ' (C F , i ) 1 NPV ' ' (C F , i ) 2 ≈ ~~ ~ ~ ∆i + ~ ~ (∆i ) {Taylor} 2 NPV (CF , i ) NPV (CF , i ) NPV (CF , i ) ~~ NPV ' (C F , i ) - zlomku se někdy říká modifikovaná durace (podobně modifikovaná konvexita) ~~ NPV (CF , i ) ~~ NPV ' ' (CF , i ) 1 ~~ { = C (C F , i ) } ~~ 2 NPV (C F , i ) (1 + i )
■
27
