Úvod do studia matematiky I GEOMETRIE I Milan Hejný, Darina Jirotková, Jana Slezáková
Úvod Texty, které předkládáme čtenáři, jsou určeny praktikujícím i budoucím učitelům 1. stupně ZŠ a jsou věnovány geometrii. Budou využity ve všech kurzech, které se dotýkají geometrie, tj. v úvodu o studia matematiky, v kurzu geometrie, metod řešení matematických problémů i didaktiky matematiky. Texty jsou členěny do čtyř kapitol. První kapitola je věnována objektům geometrického světa a příslušné terminologii. Již zde se veliká pozornost věnuje otázkám didaktickým. Například celá podkapitola 1.3 je zaměřena na způsob, jak hravou formou upozorňovat žáky na mnohá úskalí geometrické terminologie a jak tuto ve společné diskusi třídy postupně kultivovat. Ústředním objektem druhé kapitoly je krychlová stavba – objekt, s nímž má mnohé zkušenosti již dítě předškolního věku. Právě tyto intuitivní zkušenosti je možné ve škole postupně měnit na poznání, a to propojením tří aktivit: řešením manipulativních úloh, slovním popisem uskutečňované činnosti a zavedením znakového jazyka, který jednoduše a srozumitelně popíše i složitější krychlové stavby. Jestliže ve druhé kapitole šlo o objekty složené z krychlí, ve třetí kapitole jde naopak o objekty, které jsou částmi krychle, a o jejich vzájemnou vazbu a jejich strukturu. Hlavní aktivitou zde je, metaforicky řečeno, „šití obleku na pana Krychli“, jinými slovy tvorba sítě krychle. Tato aktivita je motivačně směřovány na dívky, které obvykle mají menší zkušenosti než hoši se stavbami z kostek. Můžeme tedy říct, že motivace kapitoly druhé orientovaná na hochy je v kapitole třetí vystřídána orientací motivace na dívky. Čtvrtá kapitola přivádí do středu naší pozornosti další důležité objekty, a to hranoly a jehlany. Kapitola slouží i jako prostor pro aplikaci toho, co jsme se naučili v předcházejících kapitolách. Proto je soubor úloh, které jsou čtenáři předkládány, zvláště bohatý. Kostru textu tvoří úlohy. Jsme přesvědčeni, že matematiku nelze naučit jiného člověka tím, že mu vlastní poznatky odevzdáme v hotové, dobře promyšlené formě. Víme, že základem skutečného poznání (nejen matematického) je lidská zkušenost a ta je nepřenosná. Učitel -1-
může svému žákovi pouze ukázat cestu, která jej dovede k nabytí zkušeností, k jejich upřesňování a organizaci. Právě o to se v textech snažíme. Hlavním nedostatkem textu budou ta místa, kde dochází v náročnosti úloh ke skokům a kde tedy bude třeba doplnit další úlohy a skoky vyplnit přiměřeným zvládnutelným stoupáním. Úlohy jsou částečně řešeny. Některé podrobněji, jiné v náznacích, některé vůbec ne. I zde budeme očekávat spolupráci čtenáře, jeho kritické připomínky k rozsahu vyřešených úloh i jeho náměty na další úlohy.
Praha, Únor 2007
Autoři
-2-
1. Objekty geometrického světa První kapitola uvádí čtenáře do geometrického světa žáka prvního stupně ZŠ. Učitel, který tento svět žákovi otevírá, bude ve své práci úspěšnější, jestliže ví, jak na jeho práci bude navazovat jeho kolega na 2. stupni ZŠ, případně i ve vyšších třídách střední školy. Je tedy žádoucí, aby geometrické znalosti učitele přesahovaly znalosti učiva prvního stupně. Proto se snažíme jít za intuitivní znalosti pojmů a pojmy přesněji vymezovat. První kapitola má pět podkapitol. V první osvětlíme, že do světa geometrie vstupujeme nejprve rukama, manipulací a pak slovy. Ve druhé představujeme některé „osobnosti“ geometrického světa, zejména mnohoúhelník. Další tři podkapitoly nabízejí učiteli různé hry, které přispívají k rozvoji žákových geometrických představ. Poslední podkapitola diskutuje didaktickou nevhodnost koncepce geometrie, která doporučuje otevírat geometrický svět pojmy bod a přímka.
1.1. Od poznávání v činnosti k poznávání ve slovech Zavázat si tkaničku jistě umíte, aniž byste o tom museli nějak přemýšlet. Pokuste se ale tuto svoji činnost i její výsledek popsat slovy. Uvidíte, že je to úkol nesmírně obtížný. Zjistíte, že se vám nedostává slov, jimiž byste mohli jasně a stručně tuto činnost i její produkt popsat. Matematik to udělat umí, ale potřebuje k tomu vysoce sofistikovanou teoretickou výbavu, která se nazývá teorie uzlů. Když byste se rozhodli s touto teorií se seznámit, museli byste proniknout hluboce do toho, jak se různé uzly zavazují. To, co jsme ilustrovali na zavazování tkaničky, má obecnou platnost. Mnoho činností umíme docela dobře udělat, ale podstatně náročnější je popsat je přesně, stručně a jasně slovy. Šestileté dítě dokáže podle obrázku postavit z krychlí stavby nakreslené například na obrázku 2.1, ale nedokáže stavby popsat slovy a nedokáže ani popsat činnost stavění. Rodič, který sleduje počínání dítěte a slovy přiměřeně jeho činnost komentuje, pomáhá dítěti zvyšovat jeho geometrické zkušenosti a znalosti. To, co dříve dítě umělo pouze v činnosti, začíná postupně znát i ve slovech. Dovídá se slova jako „krychle“, „přesně na sobě“, „druhé patro“, „stěna“, „hrana“, „vrchol“. Rodič pomáhá dítěti poznávat geometrický svět stejně, jako mu pomáhal poznávat třeba svět zvířat, když si spolu v obrázkové knížce ukazovali „toto je pejsek, haf, haf; tady má ouško, tady očko,…“ Učitel, podobně jako rodič v uvedeném příkladě, vede své žáky na cestě od poznání v činnosti k poznání ve slovech. Vede je tak v podstatě od první až do páté třídy. Přitom ale na něj číhají -3-
dvě nebezpečí. První, že svůj postup urychlí a žákům nabídne slova, ke kterým ještě tito nemají dostatek zkušeností. Druhé, že bude od žáků žádat verbální popisy geometrických objektů a správně odříkané vymezení (například čtverce) bude považovat za skutečnou geometrickou znalost. Obě tato nebezpečí potkáme v následující ilustraci. Ilustrace 1.1. Žáci pátého ročníku dostali za úkol nakreslit na čtverečkovaném papíře čtverec ABCD, když je dána jeho strana AB. Řešení Milady vidíme na obr. 1.1. Učitelka se zeptala Milady, zda umí říct, co je to čtverec. Dívka hbitě odříkala „má všechny čtyři strany stejně dlouhé a všechny úhly pravé a obvod má čtyři a a obsah má a krát a.“ Učitelka se zeptala, zda čtverec ABCD na obrázku má vnitřní úhly pravé. Milada ukázala na pravé úhly čtverečkové sítě Obr. 1.1.
a řekla, že „to jsou tady pravé úhly“. Tedy dívka měla
naučenu definici čtverce (dokonce toho řekla víc, než učitelka žádala), ale tato slova nebyla postavena na zkušenosti. To, co dívka řekla, nebylo poznání ve slovech, ale slova bez poznání. Nejhorší na tom je pomýlená představa dívky o tom, co znamená „umět čtverec“. Dívka se domnívá, že to znamená umět odříkat definici čtverce. Uvedená ilustrace dává nám, učitelům, důležitou radu: když chceme žáka naučit nějaký geometrický pojem (například čtverec, lichoběžník, jehlan, nebo obvod) musíme žáka pomocí vhodných úloh vést k tomu, aby o objektu nejdříve nabyl dostatek zkušeností, aby objekt poznal v činnosti, pak aby o objektu diskutoval se spolužáky, pak aby se sám pokusil pojem vymezit a teprve pak aby mu učitel pomohl jeho vymezení dovést k přesné definici. Uvedený postup se nevztahuje pouze na geometrické pojmy, týká se všech matematických pojmů. Uvedená rada bude vedoucí myšlenkou i pro naši práci. Budeme se snažit nejprve získat dostatek zkušeností v činnosti (manipulací) a až pak přistoupíme k vymezování pojmů pomocí slov. Tento způsob práce žádá, aby čtenář vyřešil pokud možno všechny úlohy, které zde uvádíme. Dodejme, že na rozdíl od žáka má čtenář již mnohé zkušenosti s objekty, které zkoumáme, proto se naše úlohy zaměří na doplnění čtenářových zkušeností o ty, které mu mohou zatím scházet. Závěrem ještě jedna poznámka. Úlohy, které v dalším textu čtenáři předkládáme, jsou někdy vyřešeny úplně, jindy jen částečně. Přitom někdy řešení je a jindy není provázeno obrázkem. Ty případy, kde obrázek schází a kdy si jej čtenář musí podle našeho popisu sám sestrojit,
-4-
jsou náročnější. I to ukazuje, že geometrie ve slovech je složitější než geometrie v činnostech a obrázcích. Dlužno ale dodat, že v mnoha případech obrázek nedokáže být dostatečně přesný, ale slova to dokáží. Například slovo „trojúhelník“ nelze portrétovat jediným obrázkem. Portrétovat lze pojem „rovnostranný trojúhelník“ a do jisté míry i „pravoúhlý nerovnoramenný trojúhelník“, ale obecnější termín „trojúhelník“ portrétovat nelze.
1.2. Geometrický svět Geometrický svět, do něhož vstupuje žák 1. stupně ZŠ, lze rozdělit na svět dvourozměrný (2D) a trojrozměrný (3D). Světu 2D vládnou dva rody: Trojúhelníky a Čtyřúhelníky. Rod Trojúhelníků lze uspořádat dvěma způsoby: podle poměru délek stran (na trojúhelníky rovnostranné, rovnoramenné a ostatní) a podle velikostí úhlů (na trojúhelníky ostroúhlé, pravoúhlé a tupoúhlé). Rod Čtyřúhelníků má složitější organizaci. Především v něm nacházíme skupinu šibalů, kterým říkáme čtyřúhelníky nekonvexní. Dále je zde vážená třída rovnoběžníků, do které náleží obyvatelé nejváženější: čtverce a obdélníky. Trochu stranou nacházíme kosočtverce, lichoběžníky a deltoidy. Oba uvedené rody patří do rozsáhlého společenství mnohoúhelníků, kam patří všechny pětiúhelníky, šestiúhelníky, …. , obecně n-úhelníky. Tyto pojmy čtenář jistě zná, ale s jejich slovním vymezením bude mít asi problémy. Možná i proto, že se zde mohou vyskytnout útvary, u nichž nebude ihned jasné, zda to jsou nebo nejsou mnohoúhelníky. Úloha 1.1. Rozhodněte, které z pěti útvarů na obrázku 1.2a–e jsou a které nejsou šestiúhelníky. Své rozhodní zdůvodněte. Pak se pokuste přesněji vymezit pojem šestiúhelník.
-5-
[Řešení Ú1.1: Útvary na obrázku 1.2a a 1.2e jsou šestiúhelníky, útvary na obrázku 1.2c a 1.2d nejsou. Zdůvodnění vyplývá z vymezení 1.1. Podle tohoto vymezení ani útvar na obrázku 1.2b není šestiúhelník. K tomuto zajímavému případu se ještě v budoucnu vrátíme.] Vymezení 1.1 V rovině je dáno 6 různých bodů A, B, C, D, E a F tak, že žádné dvě z úseček AB, BC, CD, DE, EF a FA nemají kromě svých krajních bodů žádný jiný společný bod. Navíc žádné dvě sousední úsečky neleží v jedné přímce. Pak uzavřenou lomenou čáru složenou z uvedených 6 úseček i část roviny, kterou tato čára ohraničuje, nazýváme šestiúhelník ABCDEF. Lomenou čáru ABCDEFA nazveme hranicí daného šestiúhelníka, body A, …, F nazveme jeho vrcholy, úsečky AB, BC, CD, DE, EF a FA nazveme jeho strany a každou úsečku, jejíž oba krajní body jsou vrcholy a ona sama není stranou, nazveme úhlopříčkou. Výzva 1.1. Napište vymezení pětiúhelníka, čtyřúhelníka, trojúhelníka, sedmiúhelníka a n-úhelníka. Výzva 1.2. Ve 2D světě žáka ZŠ existuje ještě další nevelká skupina osobností (kružnice, kruh a jejich části). Popište její členy. Každý mnohoúhelník provází další geometrické pojmy jako vrchol, strana, úhel (vnitřní i vnější) a úhlopříčka. Jsou to jevy průvodní (termín zavedl P. Vopěnka). Náš šestiúhelník má 6 vrcholů: A, B, C, D, E a F; má 6 stran: AB, BC, CD, DE, EF a FA, 6 (vnitřních) úhlů: FAB, ABC, BCD, CDE, DEF a EFA a 9 úhlopříček: AC, AD, AE, BD, BE, BF, CE, CF a DF. Úloha 1.2. Žáci šestého ročníku při hledání definice pojmu mnohoúhelník přišli nejprve s nápadem mluvit raději o n-vrcholníku nebo n-stranníku, protože vrchol a strana jsou pro mnohoúhelník důležitější než úhel. Tato terminologie přivedla žáky k myšlence, zda náhodou neexistuje útvar, který je například 5-vrcholník a 6-stranník. Tedy útvar, který má 6 stran a 5 vrcholů. Žáci takový útvar našli. Pokuste se jej najít. [Řešení Ú1.2. Obr. Ř1.1 ] Obr. Ř1.1 Světu 3D vládne jeden král – je to krychle. Mnoho jiných obyvatel světa 3D je vytvořeno vhodným lepením několika krychlí; těm budeme říkat krychlová tělesa. Těmto tělesům budeme věnovat nejvíce pozornosti. Další obyvatele tohoto světa budeme potkávat méně často. Jsou to kvádr, 4-boký pravidelný hranol, koule, válec a kužel. Sporadicky potkáme i
-6-
n-boký pravidelný hranol nebo jehlan pro jiné n než 4. Důležitost všech těchto těles se výrazně zvýší na druhém stupni ZŠ. Podobně jako útvary ve 2D mají i tělesa ve 3D své jevy průvodní. U mnohostěnů jsou to: vrcholy, hrany, stěny, úhlopříčky stěnové a úhlopříčky tělesové. Krychle, koule, kvádr i některá další tělesa mají i střed souměrnosti. Konečně jsou zde i pojmy bod, úsečka, přímka a rovina. V množinové koncepci geometrie se těmito pojmy do geometrie vstupuje, protože, jak tvrdí obhájci dané koncepce, jsou to základní stavební prvky rovinné geometrie. Podle našeho názoru ve výuce není rozhodující vědecká stavba dané disciplíny, ale životní zkušenosti dítěte. Proto do světa geometrie nutno vstupovat pomocí pojmů krychle a čtverec, neboť s těmito objekty má dítě přicházející do školy nejvíce zkušeností. S pojmy bod a přímka nemá dítě skoro žádné zkušenosti. Jeho představy v této oblasti jsou vágní. Navíc, a to je rozhodující, neexistují rozumné činnosti, vhodné pro žáka 1. stupně, jimiž by soustavně nabýval o těchto pojmech lepší představu. Nicméně máme zkušenosti, že se občas objeví již ve třetí třídě žák, který jeví značný zájem o náročné abstraktní pojmy jako nekonečno, nekonečný bod na přímce, nebo 4-dimenzní prostor. Podle našeho názoru není rozumné žáka odbýt poznámkou, že o tom se bude učit později. On již teď chce o těchto abstraktech uvažovat a učitel mu může dělat zvídavého posluchače, který se spíše ptá než vysvětluje. Učitel sám může svoje představy o těchto náročných pojmech kultivovat. Podněty k tomu najde v doplňující podkapitole 1.5. Výzva 1.3 V učebnicích pro 1. až 5. třídu najděte geometrické pojmy, které jsme zde zatím neuváděli. Udělejte si jejich seznam a občas se pokuste hlouběji si je promyslet.
1.3. Slovní přenos obrázku Dva lidé, vysílač a přijímač, na sebe vzájemně nevidí, ale mohou spolu rozmlouvat (jako při telefonování). Vysílač vidí obrázek O. Slovy instruuje přijímače. Ten podle toho kreslí reprodukci R obrázku O. Úlohou dvojice je vytvořit co nejvěrnější reprodukci R obrázku O. Přitom nejde o velikost obrázku, pouze o tvar. Podobné obrázky považujeme za stejné. Když přijímač ohlásí „konec“, podívá se vysílač na obrázek R. Je-li spokojen, hra končí. V opačném případě mohou oba ve hře pokračovat. Úloha 1.3. Nakreslete reprodukci R obrázku O, který je popsán takto: Dvě vzájemně kolmé úsečky mající jeden koncový bod společný; jedna úsečka je dlouhá 1 cm, druhá 3 cm.
-7-
Úloha 1.4. Nakreslete reprodukci R obrázku O, který je popsán takto: Dvě kružnice; poloměr první je 4 cm, poloměr druhé je 5 cm; vzdálenost jejich středů je 9 cm. Úloha 1.5. Nakreslete reprodukci R obrázku O, který je popsán
takto:
Rovnoramenný
pravoúhlý
trojúhelník
s opsanou i vepsanou kružnicí. [Řešení Ú1.3. Písmeno L, bez ohledu na polohu. Ú1.4. Číslice 8, bez ohledu na polohu. Ú1.5. Obr Ř1.2 ]
Obr. Ř.1.2
Výzva 1.4. Pouze pomocí jazyka geometrie popište (písemně) obrázek O a dejte svůj popis kolegovi s prosbou, aby podle něj nakreslil reprodukci R daného obrázku. Obrázkem O je (a) písmeno E, (b) písmeno D, (c) písmeno P, (d) číslice 5, (e) dopravní značka „hlavní silnice“, (f) ikonka ♥, (g) ikonka ☼, h) ikonka ♂.
1.4. Hra SOVA Dán je očíslovaný soubor objektů – galerie. Jeden hráč, budeme mu říkat sova, si jeden z objektů galerie zvolí a jeho číslo napíše na lístek. Druhý hráč, nebo celá skupina hráčů, klade otázky, pomocí nichž chce zjistit, na který objekt sova myslí. Sova na tyto otázky odpovídá pouze Ano, Ne, nebo Nelze odpovědět. Úlohou tazatele je zjistit, který objekt si sova zvolila. Ilustrace 1.2. Následující hru hráli žáci 6. ročníku v hodině biologie. Galerii tvořilo 8 zvířat: žirafa, krokodýl, kuře, kůň, orel, zmije, koza, lev. Žáci, kteří měli již s hrou SOVA hodně zkušeností, se k řešení dobrali po třech odpovědích: 1. Je to savec? (Ano). 2. Má to slovo 3 písmena? (Ne). 3. Má to zvíře dlouhý krk? (Ne). Po této odpovědi žák řekl „Myslíš si kozu“. Uhodnul. Komentáře. Jsou tři komentáře A, B a C. A. Všimněte si, že po každé odpovědi se počet objektů, které přichází v úvahu, snížil o polovinu. Po první odpovědi zůstaly z původních 8 objektů jen 4: žirafa, kůň, koza a lev. Po druhé odpovědi se počet 4 snížil na 2 – odpadly kůň a lev a zůstaly ve hře již jen žirafa a koza. Po poslední odpovědi bylo jasné, že hledaný objekt je koza.
-8-
B. Skutečnost, že hrou Ano-Ne je možné z galerie 8 objektů trojím hádáním určit zvolený objekt, je hluboká matematická myšlenka, která zasahuje jak do teorie her, tak zejména do informatiky. C. Doporučujeme tuto hru nejprve hrát s jednoduchými číselnými galeriemi. Například s galerií čísel 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Zde rychle žáci odhalí, že rozumné je zeptat se „je to číslo menší než 5?“ Po odpovědi budeme vědět, zda máme hledat mezi čísly 1 – 4, nebo čísly 5 – 8. Druhou otázkou snížíme počet podezřelých čísel na 2 a třetí otázkou číslo určíme. Vraťme se k naší galerii zvířat a pokusme se na najít seznam vhodných otázek, z nichž pomocí tří otázek jsme schopni určit každé jedno zvířat z dané galerie. Způsob kladení otázek
N
Je to pták?
Je to savec?
A
Má to slovo 3 písmena?
je přehledně uveden v tabulce 1.1. Je to návod, jak se má tazatel ptát. A N A N
Je to dravec? Má dlouhý krk? Je to dravec? Má nohy?
A
lev
N
kůň
A
žirafa
N
koza
A
orel
N
kuře
A
krokodýl
N
zmije Tab 1.1
Tabulku, která k dané galerii dává návod jak se ptát, nazveme řešení dané galerie. Úloha 1.6. Najděte takové řešení pro galerii z ilustrace 1.2, které použije pouze otázky typu JE V SLOVĚ, NÁZVU ZVÍŘETE PÍSMENO ___ ?.
N
Je tam písmeno „o“?
A
Je tam písmeno „l“?
Je tam písmeno „k“?
[Řešení. Ú1.6. Jedno možné řešení dává následující tabulka Ř1.1. A N A N
Je tam písmeno „a“?
A
koza
N
krokodýl
Je tam písmeno „ů“?
A
kůň
N
kuře
Je tam písmeno „v“?
A
lev
N
orel
Je tam písmeno „f“?
A
žirafa
N
zmije Tab. Ř 1.1]
-9-
Úloha 1.7. Najděte řešení pro galerii: rovnostranný Δ, obdélník, pravoúhlý Δ, rovnoramenný tupoúhlý Δ, čtverec, rovnoramenný lichoběžník, pravoúhlý lichoběžník, rovnoramenný ostroúhlý Δ.
N
Je to lichoběžník?
Je to trojúhelník?
A
Je rovnoramenný?
[Řešení Ú1.7. A
Má aspoň jeden vnitřní úhel tupý?
A
rovnoramenný tupoúhlý Δ
N
rovnoramenný ostroúhlý Δ
Má aspoň jeden vnitřní úhel pravý?
A
pravoúhlý Δ
N
N
rovnostranný Δ
A
pravoúhlý lichoběžník
A
Má aspoň jeden vnitřní úhel pravý?
N
rovnoramenný lichoběžník
N
Má všechny strany shodné?
A
čtverec
N
obdélník Tab Ř 1.2.]
Úloha 1.8. Najděte řešení pro galerii: (1) krychle, (2) 4-boký pravidelný jehlan, (3) kvádr ( = „cihla“, šestistěn, jehož všechny stěny jsou obdélníky), (4) tetraedr (= pravidelný čtyřstěn), (5) 5-boký pravidelný jehlan, (6) 3-boký pravidelný hranol, (7) 4-boký pravidelný hranol a (8) „domeček“ ( = těleso, které vznikne přilepením podstavy pravidelného 4-bokého jehlanu na stěnu krychle. Vznikne tak mnohostěn s 5 čtvercovými a 4 trojúhelníkovými stěnami.)
Je aspoň 1 jeho stěna čtverec?
[Řešení Ú1.8. Tab Ř 1.3. ]
A
Je aspoň 1 jeho stěna trojúhelník?
A
N
A N
Má právě 6 vrcholů? N
- 10 -
Má více než 5 vrcholů?
A
(8)
N
(2)
Má všechny hrany shodné?
A
(1)
N
(7)
Je aspoň 1 jeho stěna pětiúhelník?
A
(5)
N
(6)
Je aspoň 1 jeho stěna trojúhelník?
A
(4)
N
(3)
Úloha 1.9. Najděte galerii osmi mnohoúhelníků (1), (2), …, (8) tak, aby odpovídala řešení, které je dáno tabulkou 1.2. A
Je to trojúhelník?
A
Je pravoúhlý? N
A N
Má obsah 1 cm2
2
Má obsah ½ cm
2
Má obsah 1 cm
Má aspoň 1 pravý úhel? N
Má obsah 1 cm2
A
(1)
N
(2)
A
(3)
N
(4)
A
(5)
N
(6)
A
(7)
N
(8)
Tab 1.2. Rada: najděte objekt (1); je to pravoúhlý trojúhelník s obsahem 1 cm2. Pak najděte objekt (2); je to pravoúhlý trojúhelník s obsahem různým od 1 cm2. Tak pokračujte až nakonec najdete objekt (8); je to mnohoúhelník mající více než 3 vrcholy, žádný jeho úhel není pravý a jeho obsah je různý od 1 cm2. Vše se dobře
hledá
na
čtverečkovaném
(1)
(2)
(3)
(4)
papíře. [Řešení Ú1.9. Obr. Ř1.3 ] Komentář. U hry Sova jsou dvě záludná místa, na která jsme zatím nenarazili a o nichž se zmíníme teď.
(5)
(6)
(7)
(8)
Obr. Ř1.3
Představte si, že se hraje s galerií
z úlohy 1.7, vy děláte sovu a myslíte si na pravoúhlý Δ. Dostanete otázku A: „Má ten útvar aspoň jeden úhel 60°?“ Nebo dostanete otázku B: „Jsou úhlopříčky toho útvaru na sebe kolmé?“ Nebo dostanete otázku C: „Má daný útvar aspoň dvě úhlopříčky, které jsou na sebe kolmé?“ Jak odpovíte? Podívejme se nejprve na otázku A. Vy víte, že existuje pravoúhlý trojúhelník, který má 60°úhel. Ale existuje i takový Δ, který žádný 60°úhel nemá. Proto odpovíme NE. Odpověď ANO řekneme pouze tam, kde všechny konkrétní útvary spadající pod náš termín danou vlastnost splňují.
- 11 -
Podívejme se dále na otázku B. Otázka předpokládá, že váš útvar má úhlopříčky. Ale trojúhelník žádné úhlopříčky nemá. Nemůžete odpovědět ani NE ani ANO. Odpovíte tedy NELZE ODPOVĚDĚT. Konečně se podívejme na otázku C, která se při povrchním čtení zdá být stejná jako otázka B. Pečlivé čtení ale odhalí podstatný rozdíl. Otázka C se nejprve ptá, zda útvar má aspoň dvě úhlopříčky. Trojúhelník je nemá, tedy odpovíme NE a nemusíme číst, co se otázka dále ptá. Výzva 1.5. Udělejte si seznam geometrických pojmů a situací, které vám nejsou zcela jasné. Svůj seznam si budete v dalším doplňovat o nové poznatky i nové otázky.
1.5. Hra Možné - Nemožné Známá je Švejkova úvaha o tom, že „uvnitř naší Zeměkoule je jiná, mnohem větší Zeměkoule“. Když takový nesmysl řeknete dítěti, některé údivem zírá, jiné pochopí, že je to hloupost a začne se smát. Ne vždy lze lehce odkrýt, že nesmysl je nesmyslem. Jako například v této debatě Honzy a Hanky. Ilustrace 1.3. Honza tvrdí, že zná muže, který je švagrem svého syna. Hanka míní, že Honza si vymýšlí. Honza vysvětluje: „Pan Novák si vzal vdovu, paní Janu Modrou. Tím se stal otcem její dceři Marii Modré a synu Ludvíkovi Modrému. Po úmrtí manželky Marie si pan Novák vzal svoji dceru Marii a tím se stal švagrem Ludvíkovi.“ Hanka namítá: „Užíváš nepřesných slov. Pan Novák se nestal otcem Marii a Ludvíkovi, ale nevlastním otcem. Pak taky není manželem své dcery (to by byl incest), ale manželem své nevlastní dcery a Ludvík není jeho švagrem, ale nevlastním švagrem.“ Komentář. Uvedená ilustrace ukazuje nejen to, jak se Možné – Nemožné hraje, ale i to, jaký je její smysl. Hra nám pomáhá upřesňovat pojmy, které používáme, přesněji chápat jejich význam i smysl. Náš zájem bude směřovat především k pojmům geometrickým. Zde, kromě upřesňování pojmů narazíme i na další překážku – hledání argumentace, že daný objekt neexistuje. Tomu je určena následující ilustrace. Ilustrace1.4. Rozhodněte, zda existuje lichoběžník, který lze jednou úsečkou rozdělit na dva trojúhelníky stejného obvodu. Řešení. Takový lichoběžník neexistuje. To dokážeme sporem. Předpokládejme, že se nám povedlo najít požadovaný lichoběžník ABCD. Existují pouze dvě úsečky, které jej dělí na dva trojúhelníky. Jsou to úhlopříčky AC a BD. Předpokládejme, že základna AB je delší než základna DC a předpokládejme dále, že úhlopříčka AC dělí lichoběžník na dva trojúhelníky - 12 -
stejného obvodu. Ukážeme, že to není možné. Ukážeme, že obvod Δ ABC je větší než obvod Δ ACD. Sestrojíme nejprve na základně AB bod E tak, aby bylo AD ║ CE. Čtyřúhelník AECD je tedy rovnoběžník. Proto jsou trojúhelníky ACD a ACE shodné a tedy mají stejné obvody. Ale Δ ACE má obvod menší, než Δ ABC, neboť podle trojúhelníkové nerovnosti pro Δ EBC je │EC│ < │EB│+│BC│,
Obr. 1.3
tedy │AE│+│EC│ < │AE│+│EB│+│BC│ = │AB│+│BC│. Tím je dokázáno, že pro každý lichoběžník platí: úhlopříčka lichoběžníka jej dělí na dva trojúhelníky, z nichž obvod toho, který obsahuje delší základnu, je větší. Proto zadáním požadovaný lichoběžník neexistuje. Případy odpovědi „neexistuje“, kde důkaz považujeme za příliš náročný, označíme NN. Úloha 1.10. Rozhodněte, zda existuje trojúhelník, který lze rozdělit úsečkou na (a) 2 rovnoramenné trojúhelníky, (b) 2 rovnostranné trojúhelníky, (c) rovnoramenný a rovnostranný trojúhelník. [Řešení Ú1.10. (a) A, (b) N, (c) A.] Úloha 1.11. Rozhodněte, zda existuje trojúhelník, který lze rozdělit úsečkou na 2 trojúhelníky, které jsou (a) oba ostroúhlé, (b) oba pravoúhlé, (c) oba tupoúhlé, (d) ostroúhlý a pravoúhlý, (e) tupoúhlý a pravoúhlý, (f) ostroúhlý a tupoúhlý. [Řešení Ú1.11.(a) N, (b) A, (c) A, (d) N, (e) A, (f) A. ] Úloha 1.12. Rozhodněte, zda existuje trojúhelník, který lze rozdělit na (a) dva, (b) tři, (c) čtyři shodné trojúhelníky. [Řešení Ú1.12. (a) Ano, rovnoramenný trojúhelník je výškou na základnu dělen na dva shodné trojúhelníky. (b) Rovnostranný Δ ABC se středem S kružnice opsané je rozdělen na 3 shodné trojúhelníky AVS, BCS a CAS. (c) Každý trojúhelník je třemi středními příčkami tak dělen.] Úloha 1.13. Rozhodněte, zda existuje trojúhelník, který lze rozdělit na navzájem podobné trojúhelníky, jejichž počet je (a) dva, (d) pět, (e) deset, (f) sto.
- 13 -
(b) tři,
(c) čtyři,
[Řešení Ú1.13. Rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník je výškou na přeponu dělen na dva rovnoramenné pravoúhlé trojúhelníky. Z nich každý můžeme dělit stejně. V dělení lze neomezeně pokračovat. Všechny obdržené trojúhelníky budou rovnoramenné pravoúhlé, tedy navzájem podobné. Odpověď na všechny položené otázky je tedy kladná.] Úloha 1.14. Rozhodněte, zda existuje trojúhelník, který lze rozdělit na (a) 2 lichoběžníky, (b) 3 lichoběžníky, (c) 4 lichoběžníky, (d) 3 shodné lichoběžníky. [Řešení Ú1.14. (a) Ne, protože ze dvou čtyřúhelníků nelze sestavit trojúhelník. (b) Ano, každý trojúhelník ABC můžeme rozdělit na 3 lichoběžníky. V Δ ABC zvolíme vnitřní bod S a jím vedeme přímky rovnoběžné s jednotlivými stranami. Přímka vedená bodem S rovnoběžně s AB protne stranu BC v bodě D. Přímka vedená bodem S rovnoběžně s BC protne stranu AC v bodě E. Přímka vedená bodem S rovnoběžně s AC protne stranu AB v bodě F. Trojúhelník ABC je teď rozložen na lichoběžníky AFSE, BDSF a CESD. (c) Ano, stačí v předchozím řešení jeden z lichoběžníků rozdělit na dva lichoběžníky. (d) Ano, v rovnostranném trojúhelníku zvolíme S jako střed kružnice opsané a použijeme dělení popsané v případě (b).] Úloha 1.15. Rozhodněte, zda existuje lichoběžník, jehož (a) 2 sousední strany jsou na sebe kolmé, (b) ramena jsou na sebe kolmá, (c) úhlopříčky jsou na sebe kolmé, (d) jedna úhlopříčka je kolmá na jedno rameno, (e) jedna úhlopříčka je kolmá na základnu. [Řešení Ú1.15. (a) A, (b) A, (c) A, (d) A, (e) A. ] Úloha 1.16. Rozhodněte, zda existuje lichoběžník, který lze rozdělit úsečkou na 2 trojúhelníky, které jsou (a) oba pravoúhlé, (b) oba tupoúhlé, (c) ostroúhlý a pravoúhlý, (d) tupoúhlý a pravoúhlý, (e) ostroúhlý a tupoúhlý. [Řešení Ú1.16. Všech pět lichoběžníků existuje. Dva z nich popíšeme. (a) Například obdélník AECF rozdělte úsečkou BD na dva obdélníky ABDF a BECD tak, že │AB│<│EB│. Pak ABCD je hledaný lichoběžník. (c) K pravoúhlému trojúhelníku ABC o stranách │AB│= 5, │BC│= 3, │AC│= 4 „přilepíme“ Δ ACD tak, aby ABCD byl lichoběžník, kde │CD│= 4. Tento lichoběžník je úsečkou AC rozdělen na pravoúhlý Δ ABC a ostroúhlý Δ ACD.] Úloha 1.17. Rozhodněte, zda existuje lichoběžník, který lze rozdělit úsečkou na (a) tři, (b) pět, (c) sedm, (d) patnáct shodných trojúhelníků. [Řešení Ú1.17. Z libovolného lichého počtu navzájem shodných trojúhelníků lze vždy sestavit lichoběžník. Nejprve dva takové trojúhelníky AA1D a D1DA1 slepíme podél společné strany
- 14 -
A1D do rovnoběžníku AA1D1D. Na polopřímce AA1 vyznačíme body A2, A3, A4, A5, A6, A7 a A8. …tak, že vzdálenost každých dvou sousedních je │AA1│. Podobně na polopřímce DD1 vyznačíme body D2, D3, D4, D5, D6, a D7. Označme A8 = B, D7 = C. Pak lichoběžník ABCD = AA8D7D je lomenou čárou DA1D1A2D2A3D3A4D4A5D5A6D6A7D7A8 dělen na 15 shodných trojúhelníků. Je jasné, že stejnou metodou jej lze rozdělit na libovolný lichý počet shodných trojúhelníků.] Úloha 1.18. Rozhodněte, zda existuje lichoběžník, který lze rozdělit na 4 shodné lichoběžníky. [Řešení Ú1.18. Existuje. Sestrojte pravidelný šestiúhelník ABCDEF se středem S. Středy úseček AS, BS, CS a DS označte v pořadí K, L, M a N. Lichoběžník ABCD je rozdělen na 4 shodné lichoběžníky ABLK, BCML, CDNM a KLMN.] Dohoda. Dále jednotku délky, nebo obsahu, nebo objemu často neuvádíme. Čtenář si může volit například cm, cm2 nebo cm3. Úloha 1.19. Rozhodněte, zda existuje trojúhelník, pro jehož obvod o měřený v cm a obsah S měřený v cm2 platí: (a) o = 12, S = 6; (b) o = 3, S = 1; (c) o = 10, S < 1; (d) o > 100, S = 1. [Řešení Ú1.19. (a) A. (b) Neexistuje. Trojúhelník, jehož obvod je 3, má největší obsah, když je to trojúhelník rovnostranný, tj. každá jeho strana má délku 1. Jeho obsah je ale evidentně menší než 1, protože se celý vejde do jednotkového čtverce. (c) A. (d) Existuje. Například trojúhelník ABC o souřadnicích A(0;0), B(1;0), C(50,1).] Úloha 1.20. Rozhodněte, zda existuje kosočtverec, který lze jednou úsečkou rozdělit na dva útvary, z nichž lze slepit obdélník o rozměrech (a) 1 × 2, (b) 1 × 3, (c) 1 × 5, (d) 3 × 4. [Řešení Ú1.20. Všechny kosočtverce existují. Popíšeme je délkou strany d a výškou v. (a) d = 2, v = 1, (b) d = 3, v = 1, (c) d = 5, v = 1, (b) d = 4, v = 3.] Úloha 1.21. Rozhodněte, zda existuje lichoběžník, který lze jednou úsečkou rozdělit na (a) dva trojúhelníky stejného obsahu, (b) dva pravoúhlé trojúhelníky, z nichž obsah většího je pětinásobek obsahu menšího. [Řešení Ú1.21. (a) N, (b) Existuje. Jeho vrcholy jsou body (0;0), (1;0), (6;2); (1;2).]
- 15 -
Úloha 1.22. Rozhodněte, zda existuje šestiúhelník, který nelze rozložit na dva konvexní mnohoúhelníky. Svoje rozhodnutí zdůvodněte. [Řešení Ú1.22. Existuje. Je na obrázku 1.2e. Dokážeme, že jej nelze rozdělit na dva konvexní mnohoúhelníky. K tomu si zvolíme body B*, D* a F*, které leží těsně vedle bodů B, D a F v pořadí. Když jakkoli rozdělíme šestiúhelník ABCDEF na dvě části, vždy do některé padnou dva z bodů B*, D* a F*. Když tyto dva body spojíme úsečkou, ta určitě neleží celá v daném útvaru.] Úloha 1.23. Rozhodněte, zda existují v rovině 4 různé body, které jsou vrcholy aspoň dvou různých čtyřúhelníků. [Řešení Ú1.23. Existují, viz obr. Ř 1.4. Čtyřúhelníky ABCD, ABDC a ADBC jsou navzájem různé.] 4 Obr. Ř1.4 Úloha 1.24. Rozhodněte, zda existuje v rovině 20 bodů tak, že každé tři z nich tvoří vrcholy tupoúhlého trojúhelníku. [Řešení Ú1.24. Existuje. Uvnitř půlkružnicového oblouku zvolme libovolný počet bodů. Každé tři z nich tvoří vrcholy tupoúhlého trojúhelníka.] Úloha 1.25. Rozhodněte, zda existuje šestiúhelník, jehož
aspoň
jedna
strana
je
částí
jedné
jeho
úhlopříčky. [Řešení Ú1.25. Existuje, viz obr. Ř 1.5. Strana EF je částí úhlopříčky CF, strana DE je částí úhlopříčky BE a strana DC je částí úhlopříčky AC. ]
Obr. Ř1.5
Úloha 1.26. Rozhodněte, zda existuje šestiúhelník, jehož jedna úhlopříčka je částí jedné jeho strany. [Řešení Ú1.26. Neexistuje. To dokážeme sporem. Předpokládejme, že by úhlopříčka KL byla částí strany AB. Pak aspoň jeden z bodů K a L nutně leží uvnitř strany AB. To ale odporuje vymezení pojmu šestiúhelník (viz Vymezení 1.1). Spor.] Úloha 1.27. Rozhodněte, zda existuje šestiúhelník, jehož jedna úhlopříčka je částí jiné jeho úhlopříčky.
- 16 -
[Řešení Ú1.27. Existuje, viz obr. Ř1.5. Úhlopříčka BD je částí úhlopříčky BE, úhlopříčka CE je částí úhlopříčky CF, úhlopříčka AD je částí úhlopříčky AC.] Úloha 1.28. Rozhodněte, zda existuje mnohoúhelník, jehož každá strana je částí některé jeho úhlopříčky. [Řešení Ú1.28. Existuje, například pěticípá hvězda ABCDEFGHIJ (ACEGI i BDFHJ jsou pravidelné pětiúhelníky). Každá strana, např. AB je částí dokonce dvou úhlopříček – AD a AE.]
Obr. Ř1.6
Úloha 1.29. Rozhodněte, zda existuje obdélník, který lze jednou úsečkou rozdělit na dva útvary, z nichž pak lze slepit (a) čtverec, (b) kosočtverec, (c) rovnostranný trojúhelník, (d) rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník, (e) lichoběžník, který má tři strany shodné. [Řešení Ú1.29. (a) A. Existuje, obdélník 1 × 4 rozdělíme na dva obdélníky 1 × 2, z nichž pak složíme čtverec 2 × 2. (b) A. Každý obdélník. Na straně CD obdélníku ABCD vyznačíme bod E tak, že AE ≅ AB. Podél úsečky AE obdélník rozdělíme a pak slepíme tak, že úsečky BC a AD splynou. Tak vznikne kosočtverec. Viz obr. Ř 1.7. (c) A. Existuje, obdélník ABCD o rozměrech 1 × √3 rozdělíme úhlopříčkou AC na dva trojúhelníky a ty slepíme úsečkami AD a CB. Viz obr. Ř 1.8. (d) A. Existuje, obdélník ABCD o rozměrech 1 × 2 rozdělíme příčkou AE (bod E je střed strany CD) a trojúhelník AED přilepíme k lichoběžníku ABCE tak, že slepíme úsečky ED a EC. (e) A. Existuje. V tomto případě postupujeme od lichoběžníku k obdélníku. Nechť ABCDEF je pravidelný šestiúhelník, pak lichoběžník ABCD má tři strany shodné. Z bodu C spustíme kolmici na stranu AD a její patu označme G. Lichoběžník rozstřihneme podél úsečky CG a trojúhelník DCG přilepíme k lichoběžníku AGCB tak, že slepíme úsečky DC a AB.]
Obr. Ř1.7
Obr. Ř1.8
- 17 -
Úloha 1.30. Rozhodněte, zda existuje pravoúhelník s obvodem o, který lze jednou úsečkou rozdělit na dva útvary, z nichž lze slepit obdélník s obvodem (a) 5o/4, (b) 3o/2, (c) 7o/4, (d) 2o. [Řešení Ú1.30. (a) A. Existuje, je to čtverec. (b) A. Existuje, je to obdélník s rozměry 1 × 2. c) A. Existuje, je to obdélník s rozměry 1 × 6. (d) N. Neexistuje.] Úloha 1.31. Rozhodněte, zda existuje lichoběžník, který lze úsečkou rozdělit na trojúhelník a pětiúhelník, z nichž lze slepit čtverec. [Řešení Ú1.31. A. Existuje. Například nechť ABCD je pravoúhlý lichoběžník se základnami AB délky 3, CD délky 1 a ramenem BC délky 2, kolmým na základny. Střed ramene AD označme E. Rovnoběžka s BC vedená bodem E protne přímky AB a CD v bodech F a G v pořadí. Viz obr. Ř 1.9. Pak FBCG je čtverec. Teď je již řešení vidět. Tyto úlohy lze řešit úspěšně též metodou odzadu. Nakreslete si nejprve výsledný čtverec. Ten pak rozdělte na trojúhelník a pětiúhelník čarou, která spojuje středy sousedních stran. Z těchto dílů pak lze snadno slepit výchozí Obr. Ř1.9
lichoběžník.]
Úloha 1.32. Rozhodněte, zda existuje rovnoběžník s obvodem 22, který lze jednou úsečkou rozdělit na dva útvary, z nichž lze slepit buď obdélník s obvodem 20, nebo pravoúhlý trojúhelník s obvodem 24. [Řešení Ú1.32. Rovnoběžník existuje. Jeho delší strana má délku 6, kratší má délku 5 a výška na delší stanu má délku 4.] Úloha 1.33. Rozhodněte, zda existuje lichoběžník, který nelze úsečkou rozdělit na pravoúhlý trojúhelník a lichoběžník. [Řešení Ú1.33. Existuje, je to například lichoběžník ABCD, který leží uvnitř obdélníku AECF tak, že ABDF i BECD jsou neshodné obdélníky.] Úloha 1.34. Rozhodněte, zda existuje trojúhelník, který nelze úsečkou rozdělit na (a) 2 rovnoramenné trojúhelníky, (b) 2 pravoúhlé trojúhelníky, (c) 2 tupoúhlé trojúhelníky, (d) tupoúhlý trojúhelník a rovnostranný trojúhelník, (e) 2 trojúhelníky stejného obsahu, (f) 2 trojúhelníky stejného obvodu.
- 18 -
[Řešení Ú1.34. (a) A. Existuje, například rovnostranný trojúhelník. (b) N. Neexistuje. Každý trojúhelník je možné výškou spuštěnou na jeho nejdelší stranu rozdělit na dva pravoúhlé trojúhelníky. (c) A. Existuje, například rovnostranný trojúhelník. (d) A. Existuje, například rovnostranný trojúhelník. (e) N. Neexistuje, protože každý trojúhelník je kteroukoli svojí těžnicí rozdělen na dva trojúhelníky stejného obsahu. (f) N. Neexistuje. Každý trojúhelník ABC můžeme úsečkou rozdělit AD na dva trojúhelníky ABD a ADC stejného obvodu. Bod D na straně BC sestrojíme takto: na přímce BC sestrojíme body U a V tak, aby bylo │AB│=│UB│ │AC│=│VC│. Délka úsečky UV je rovná obvodu Δ ABC. Bod D je střed úsečky UV. Za těchto okolností je obvod Δ ABD roven obvodu Δ ACD, neboť: obvod Δ ABD = │AB│+│BD│+│AD│=│UB│+│BD│+│AD│=│UD│+│AD│=│VD│+│AD│= │VC│+│CD│+│AD│=│AC│+│CD│+│AD│= obvod ACD.] Úloha 1.35. Rozhodněte, zda existuje útvar, který má aspoň dva různé středy souměrnosti. [Řešení Ú1.35. Existuje, například přímka, nebo dvojice rovnoběžných přímek, nebo rovnoběžkový pás. Jestliže čtenář tento útvar neviděl, znamená to, že uvažuje pouze v konečné části roviny – to je zcela přirozené vidění geometrie 2D. Tato vlastní zkušenost pomůže učiteli porozumět didaktické náročnosti pojmu přímka. ]
1.6.Úvahy nad pojmy bod a přímka V experimentálním vyučování jsme měli možnost zaznamenat velice zajímavé debaty žáků převážně druhého stupně, které vzrušovaly náročné pojmy jako bod přímky v nekonečnu, hustota bodů na úsečce, body sousední apod. Naše zkušenosti zde prezentujeme hypotetickými rozhovory dvou, věkově nespecifikovaných žáků. Myšlenky žáků, často získané z knih nebo od sourozenců, zde prezentujeme v „dospěláckém“ jazyce, abychom nemuseli dlouze vysvětlovat, co svými často nejasnými výroky žáci mysleli. Výzva 1.6. Dva žáci, Alenka a Boris mají různé názory na jistou geometrickou situaci. Rozhodněte, který ze žáků má pravdu, a své rozhodnutí zdůvodněte. a) Situace: Na přímce jsou dány tři různé body A, B, C tak, že B leží mezi A a C. Obr. 1.4 Alenka: Polopřímka BC je částí polopřímky AC, a je tedy kratší. Boris: Polopřímky AC a CA jsou stejně veliké; stejně i BC a CA; proto i AC a BC jsou stejně veliké. - 19 -
b) Situace: V Δ ABC je dána střední příčka DE; bod D je střed strany AC a E je střed strany BC. Alenka: Na úsečce AB je stejně bodů jako na úsečce DE. Když si totiž vezmu na úsečce AB kterýkoli bod X a spojím jej s bodem C, tak tato úsečka protne úsečku DE v jistém bodě Y. Tak body X úsečky AB páruji s body Y úsečky DE. Proto je těch bodů X stejně jako bodů Y. Boris: To je nesmysl, protože úsečka AB je dvojnásobně delší jako úsečka DE. c) Situace: Rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník ABC s přeponou AB. Půlkružnice k s průměrem AB procházející bodem C. Na půlkružnici k máme najít takový bod X, aby obsah Δ ABX byl nejmenší možný (obr. 1.5). Alenka: To musím najít takový bod X, aby úsečka AX nebo úsečka BX byla co nejmenší. Tedy bod X bude sousední bod s bodem A nebo B.
Obr. 1.5
Boris: Takový žádný bod není. Vždycky můžeš úsečku AX rozpůlit. Takže žádný bod s bodem A nesousedí. d) Situace: Kružnice se dotýká přímky p v bodě T. Středem S této kružnice vedeme přímku q rovnoběžně s přímkou p. Průsečíky kružnice s přímkou q označíme A, B. Půlkružnici, která leží v pásu mezi rovnoběžkami p a q, označme k. Alenka: Na půlkružnici k je stejně bodů jako na přímce p. Když totiž vezmu jakýkoli bod X na přímce p a spojím jej se středem S, protne tato úsečka půlkružnici k v jednom bodě Y. Každému bodu X přímky tedy odpovídá jeden bod Y půlkružnice k. Z toho plyne, že bodů na přímce je stejně jako bodů na půlkružnici. Boris: Jednak body na kružnici jsou více natěsno než na přímce, jednak by podle tvého
obrázku
měla
přímka
dva
nekonečné body, jeden co odpovídá bodu
Obr. 1.6
A, druhý co odpovídá bodu B a to je chybně, protože přímka má jen jeden nekonečný bod. e) Situace: Dvě rovnoběžné přímky p a q. Alenka: Ty přímky se nikdy neprotnou. Boris: Protnou se v nekonečnu.
- 20 -
Alenka: Takový bod neexistuje. Boris: Vezmi si polopřímku AB a bodem B posunuj dál a dál od bodu A. Úsečka AB se bude prodlužovat, ale bod B tam stále bude. Až když se úsečka prodlouží do nekonečna, bude bod B nekonečný bod.
- 21 -
2. Krychlové stavby a krychlová tělesa Hošík, který si z kostek staví věže a jiné stavby, dívenka, která obléká panenku, dítě které na pískovišti staví hrady nebo „peče bábovičky“, získává cenné zkušenosti o prostorových objektech. Předlohy pro svoje stavby nachází dítě v okolním světě, obrázkových knížkách, televizi, ale též ve vlastní fantazii. Tyto zkušenosti budou východiskem pro otevírání 3D světa žákům prvního stupně ZŠ. Přirozeným vstupem do 3D světa pro žáka první třídy je oblast, ve které má nejvíce zkušeností – to jsou zřejmě kostky. Proto prvním před-pojmem tělesa, s nímž se žák setkává, je pojem „krychlová stavba“ – specifický objekt vytvořený ze souboru krychlí. Tento pojem zavedeme v podkapitole 2.1 společně s pěti různými reprezentacemi (zápisy) tohoto objektu. Podkapitola 2.2 nabízí různé aktivity, které dávají možnosti dalšího rozvoje prostorové představivosti žáka. Pojem „krychlová stavba“ se opírá o pojmy „svislý“ a „vodorovný“, které do čisté geometrie nepatří, ale jsou hluboce vkořeněny v naší prostorové zkušenosti. Potlačením těchto pojmů a snahou vnímat objekt 3D bez jeho polohy k okolí se začíná v podkapitole 2.3. budovat čistě geometrický pojem „krychlové těleso“.
2.1. Krychlové stavby Krychlovou stavbou rozumíme prostorový objekt postavený podle jistých pravidel z konečného počtu shodných krychlí. Pravidla pro stavbu krychlové stavby jsou jednoduchá: 1) začínáme položením jedné krychle na „podlahu“; 2) k ní přiložíme druhou krychli přesně stěnou na stěnu krychle druhé; 3) tak pokračujeme přikládáním další a další krychle, vždy na jednu nebo více krychlí již rozestavěné stavby, až vyčerpáme všechny připravené krychle. K tomuto procesnímu popisu stavby dejme i vymezení statické. Vymezení 2.1. Prostorový útvar vytvořený z konečného počtu shodných krychlí nazveme krychlovou stavbou jestliže: 1) každé dvě krychle mají společnou buď jednu stěnu, nebo jednu hranu, nebo jeden vrchol, nebo nemají nic společného; 2) žádná krychle „nevisí ve vzduchu“; 3) stavba je z „jednoho kusu“ tj. středy libovolných dvou krychlí stavby lze spojit čárou, která celá leží uvnitř stavby. Stavbu můžeme reprezentovat mnoha různými způsoby. Zde uvedeme pět z nich: 1. Fyzický model. Stavba postavená z kostek.
- 22 -
2. Portrét. Buď je kreslený rukou, nebo počítačem, nebo je to fotografie fyzického modelu. Na obrázku 2.1 jsou dvě krychlové stavby A a B. Každá je složena ze 4 krychlí. 3. Plán. Do půdorysu stavby, který se skládá z jednoho nebo více čtverců, napíšeme tečky: Počet teček ve čtverci ukazuje, jak vysoká „krychlová věž“ na tomto čtverci stojí. Místo teček budeme používat i čísla. V první třídě je asi lepší používat tečky. To nám umožní pracovat s plánem již před nácvikem psaní číslic.
A
B
Obr. 2.1 A 4. Tři průměty. Stavbu B zachytíme ze tří navzájem kolmých pohledů (viz obr. 2.2). Když se podíváme na stavbu B shora vidíme trimino Bp, které je půdorysem stavby B; podíváme-li se zepředu vidíme trimino Bn (termíny trimino a tetramino jsou vysvětleny v podkapitole 3.2), které je nárysem stavby, a podíváme-li se z boku, vidíme trimino Bb, které je bokorysem stavby B. Bp
Bb Bp
Bn
Bb
Bn
Obr. 2.2
Stejně Ap, An a Ab na obr. 2.3 jsou půdorys, nárys a bokorys stavby A. Ap An Obr. 2.3
- 23 -
Ab
5. Popis konstrukce. Postup tvorby stavby zapisujeme krok po kroku. Například stavbu A konstruujeme v sedmi krocích: Akce
Zápis konstrukce
1.
polož krychli
□
2.
udělej krok na východ
□→
3.
polož krychli
□→□
4.
vystup o 1 podlaží nahoru
□→□≡
5.
polož krychli
□→□≡□
6.
vystup o 1 podlaží nahoru
□→□≡□≡
7.
polož krychli
□→□≡□≡□
Zápis plánem 1. .1│1 .
1│2 .
1│3 .
Tab. 2.1 Stavba A je tedy zapsána takto: □ → □ ≡ □ ≡ □. Stavba B je zapsána takto: □ ↑ □ ← □ ≡ □.. Popis konstrukce používá šesti ikonických znaků: □ - polož krychli
← - jdi na západ
≡ - jdi o 1 podlaží nahoru
↑
- jdi na sever
→ - jdi na východ
↓
- jdi na jih.
Již v prvním ročníku mluvíme o dvou číselných údajích staveb: 1) o objemu (termín nepoužíváme, mluvíme o počtu krychlí potřebných na stavbu) a 2) o počtu podlaží. Slovo „patro“, které žák slyší častěji než slovo „podlaží“, nepoužíváme, protože skutečnost, že přízemí je nulté patro, bývá pro žáky matoucí. Například vícepatrovou budovou někteří žáci rozumí budovu mající aspoň první patro, ale jiní budovu, která má více než jedno patro. (Výrok žákyně třetí třídy: „Když řeknu, že zde je více jablek, tak to je více než jedno, no ne?“) Podobně matoucí je skutečnost, že věž postavená ze 4 kostek má pouze 3 patra. Proto budeme používat méně běžnou terminologii podlaží. Stavbu nazveme: 1-podlažní, když nemá žádnou krychli ve 2. podlaží, 2-podlažní, když má aspoň jednu krychli ve 2. podlaží a žádnou krychli ve 3. podlaží, 3-podlažní, když má aspoň jednu krychli ve 3. podlaží a žádnou krychli ve 4. podlaží atd. Dodejme, že i terminologie pomocí podlaží má své slabé místo. Když výtahem jedeme do sklepa, jedeme do nultého, nebo do méně prvního podlaží? Tyto situace při práci s krychlovými stavbami však nenastanou a nemusíme se jimi znepokojovat.
- 24 -
Úloha 2.1. Stavba A je nakreslena v pravém nadhledu. Nakreslete ji v levém nadhledu.. Stavba B je nakreslena v levém nadhledu. Nakreslete ji v pravém podhledu. Úloha 2.2. Stavbu C, D i E, která je popsána portrétem, reprezentujte: fyzickým modelem, plánem, třemi průměty i popisem konstrukce.
D
C
E
Obr. 2.4
[Řešení Ú2.2. Všechny tři krychlové stavby jsou plánem znázorněny na obr. Ř 2.1a a třemi průměty na obrázku Ř 2.1b. 2
2
C
Cn
1
E
2
1
1
1
1
1
D
Obr. Ř2.1a
Dn Db Ep = En = Eb
Cp = Cb
Obr. Ř2.1b
Dp
Jejich popis konstrukce je například C: □ → □ ≡ □ ← □ ; D: □ → □ ↑ □ → □ ; E: □ ← □ ↑ □ ↓ ≡ □. ] Komentář. Půdorys a bokorys stavby C je stejný. Všechny tři průměty stavby E jsou shodné. Popis konstrukcí není dán jednoznačně. Konstrukci například stavby C lze zapsat také takto: C: □ ← □ ≡ □ → □] Výzva 2.1. Připravte a realizujte experiment, jehož cílem bude dát náznak odpovědi na některou z následujících otázek: 1) Jsou žáci v prvním/druhém ročníku schopni porozumět plánu stavby? 2) Co je pro žáky snazší – postavit stavbu podle plánu, nebo k dané stavbě vytvořit plán?
- 25 -
3) Jsou žáci v prvním/druhém ročníku schopni porozumět zápisu stavby pomocí tří průmětů? 4) Co je pro žáky snazší – postavit stavbu podle tří průmětů, nebo k dané stavbě vytvořit tři průměty? 5) Jsou žáci v prvním/druhém ročníku schopni porozumět popisu konstrukce stavby? 6) Co je pro žáky snazší – postavit stavbu podle popisu konstrukce, nebo k dané stavbě vytvořit popis její konstrukce? Základem takového experimentu je přesný scénář, ve kterém jsou jasně formulovány úlohy, pomocí nichž budeme hledat odpovědi na naše otázky. Dříve než zahájíte experimenty, napište své očekávání o jeho výsledku. Úloha 2.3. Každou ze staveb F, G i H, které jsou na obrázku 2.5 popsány plánem, reprezentujte: fyzickým modelem, portrétem, pomocí tří průmětů i popisem konstrukce. 2
1
2
1 F
2
1
1
3
1
G
H
1
1
1
2 1 Obr. 2. 5
[Řešení Ú2.3. Na obrázku Ř 2.2 jsou stavby znázorněny třemi průměty. Gn
Fb
Hn
Fn
Hb Gb
Fp
Gp
Hp Obr. Ř2.2
Jejich popis konstrukce je například F: □ → □ ↓ □ ↑→□ ≡ □ ← ←□; G: □ → □ ↑ □ ← □ ↓ ≡ □ ↑→ □ ≡ □; H: □ → □ ↑ □ → □ ↓ □ ↓ □ ↑≡ □.] Úloha 2.4. Stavbu I i J, která je na obrázku 2.6 znázorněna třemi průměty, reprezentujte fyzickým modelem, portrétem, plánem i popisem konstrukce.
- 26 -
Půdorys obou staveb je stejný, tedy Ip = Jp. Nárys a bokorys stavby I jsou stejné, tedy In = Ib.
In = Ib Ip = Jp
Jn
Jb Obr. 2.6
Úloha 2.5. Jedna ze staveb F, G, H, I a J není popsána jednoznačně. Zjistěte která a najděte všechny stavby, které uvedenému popisu odpovídají. Pokuste se sami vytvořit nejednoznačný popis stavby některým z uvedených výše způsobů popisu. [Řešení Ú2.5. Je to stavba J, přesněji stavby J. Jsou dvě. Označíme je J1 a J2. Stavby jsou popsány plánem na následujícím obrázku: 2
2
1 J1
1
2
1
1
2
2
2
Objem stavby J1 je 9 (krychlí), objem stavby
1
J2 je 10 (krychlí). ]
J2 2 Obr. Ř2.3
Úloha 2.6. Stavbu K i L, která je dána popisem konstrukce, reprezentujte fyzickým modelem, portrétem, popište ji pomocí tří průmětů i plánem. K: □ ↑ □ → □ ↑ □ ≡ ↓ □ ← □
L: □ ↑ □ → □ ←← □ → ≡ □.→ □ ≡← □
K 1 2
2
Obr. Ř2.4
1
Kp
L
Lp
1
2
Kn Ln
Kb Lb
2
1
Obr. Ř2.5
- 27 -
Úloha 2.7. Vytvořte všechny 1-podlažní stavby s objemem 4 a každou zapište plánem, popisem konstrukce i třemi průměty. [Řešení Ú2.7. Jedná se o 5 staveb. Jejich půdorysy jsou tetramina 4A, 4B, 4C, 4D a 4E (viz obr. 3.12). Příslušné popisy konstrukcí mají následující tvar. 4A: □ → □ → □ → □ ; 4B: □ ↑ □ → □ → □ ; 4C: □ → □ ↑ □ ↓ → □ ; 4D: □ → □ ↓ □ → □ ; 4E: □ ↓ □ → □ ↑ □ ] Úloha 2.8. Vytvořte všechny 2-podlažní stavby s objemem 4 a každou zapište plánem, popisem konstrukce i pomocí tří průmětů. [Řešení Ú2.8. Uvažujeme pouze o stavbách s objemem 4. Jediná stavba, jejíž půdorys je monomino, má 4 podlaží, a tedy do našeho seznamu nepatří. Jediná stavba, jejíž půdorys je bimino a která má jen 2 podlaží, je stavba C (obr. 2.4). Existují právě dvě různé 2-podlažní stavby, jejichž půdorys je trimino 3A (obr. 3.12), a právě dvě různé 2-podlažní stavby, jejichž půdorys je trimino 3B (obr. 3.12). Popis konstrukce první dvojice staveb je: □ → □ → □ ≡ □ a
□ → □ → □ ≡ ← □ ; druhou dvojicí jsou stavby B (obr. 2.1) a E (obr. 2.4). Popis
konstrukce těchto staveb je: □ → □ ↑ □ ≡ □ a □ → □ ↑ □ ↓≡ □ .] Úloha 2.9. (a) Vytvořte všechny 3-podlažní a 4-podlažní stavby s objemem 4 a každou zapište plánem, popisem konstrukce i pomocí tří průmětů. (b) Vytvořte všechny 9-podlažní a 10-podlažní stavby s objemem 10 a každou zapište plánem, popisem konstrukce i pomocí tří průmětů. Výzva 2.2. Připravte a realizujte experiment, jehož cílem bude zjistit, co dělá žákům druhého/třetího ročníku nejvíce potíží, když mají stavbu zapsánu jedním jazykem, napsat pomocí jiného jazyka. Konkrétně: 1) stavbu, která je zapsána plánem, zapsat trojicí průmětů, 2) stavbu, která je zapsána plánem, zapsat popisem konstrukce, 3) stavbu, která je zapsána trojicí průmětů, zapsat plánem, 4) stavbu, která je zapsána trojicí průmětů, zapsat popisem konstrukce, 5) stavbu, která je zapsána popisem konstrukce, zapsat plánem, 6) stavbu, která je zapsána popisem konstrukce, zapsat trojicí průmětů. Dříve než experiment spustíte, napište své očekávání o jeho výsledku.
- 28 -
2.2. Chirurgie staveb Když k existující stavbě „přilepíme“ další krychli, nebo dokonce jinou stavbu, nebo když z ní jednu, nebo více krychlí odebereme, případně pak tuto „amputovanou“ část „přilepíme“ na jiné místo stavby, děláme se stavbou chirurgickou operaci. Osvětlíme to ilustracemi. Příklad 2.1. Dána je stavba M plánem:
2│1 . Přidejte ke stavbě M jednu další krychli a
vytvořte novou stavbu a popište ji plánem. Najděte všechny možnosti. Kolik jich je? Řešení. Nejprve „lepíme“ novou krychli k dané stavbě v prvním podlaží. Zde máme celkem 6 možností; označíme je M1 – M6. Pak lepíme novou krychli ve druhém podlaží. Zde máme jedinou možnost, kterou označíme M7. Konečně lepíme novou krychli ve třetím podlaží. I zde máme jedinou možnost, kterou označíme M8. Viz obrázek 2.7.
2
1
M1
1
2
1
1
1
2
M2
2 1
M3
1
2
1
M4
1
1
M5
2
1 1
M6
2
2
M7
3
1
M8 Obr. 2.7
Vytvořili jsme tedy 8 staveb, ale jen 6 z nich je různých, neboť M2 = M6 a M3 = M5. Někdo může říct, že pro něj je M3 ≠ M5, protože když si k domu přistavím další pokoj na severní straně, je to jiné, než když jej přistavím na straně jižní. Jeho oponent bude argumentovat, že ve stavebnictví to tak může být, ale v geometrii se mezi shodnými útvary nerozlišuje. Nakonec se objeví i názor třetí, že totiž stavby M3 a M5 jsou shodné, ale stavby M2 a M6 shodné nejsou, protože ani pravá a levá bota nejsou stejné. Oděv, který ušijeme na stavbu M2, si stavba M6 obléct nemůže. Na druhé straně ale, podívá-li se stavba M2 do zrcadla, vidí stavbu M6. Dodejme, že taková dvě tělesa, která sice nejsou zcela stejná, ale jedno je zrcadlový obraz druhého, nazýváme nepřímo shodná. Podobně nepřímo shodné jsou rovinné útvary, které jsou vzájemně osově souměrné, ale které nelze přesunout jeden do druhého, aniž bychom ten útvar zvedli z roviny do prostoru. Například šlápoty pravé a levé boty jsou nepřímo shodné. Dodejme, že v diskusi popsané výše je jedna sporná myšlenka, ke které se vrátíme ve výzvě 4.3. Je možné, že diskuse o tom, zda je různých staveb 6, nebo 7, nebo 8 vznikne mezi žáky ve třídě spontánně. V tom případě učitel diskusi pouze moderuje a sám se k žádnému názoru nepřikloní. Diskusi ukončí konstatováním, že podle stavbařského názoru je hledaných staveb 8, podle geometrického názoru jich je 6 a podle přísně geometrického názoru jich je 7. Žákům
- 29 -
ponechá možnost zvolit si to hledisko, které se komu nejvíce zamlouvá. Pak ale každý žák musí svoje hledisko důsledně uplatňovat i u dalších úloh. Různost názorů nebude mít dlouhého trvání, protože se brzy dopracujeme k pojmu tělesa a tam již stavbařské vidění zanikne. Když taková diskuse mezi žáky ve třídě nevznikne, není nutné ji navozovat, protože se problém shodnosti a různosti těles brzy opět objeví. Úloha 2.10. Řekneme, že dvě stavby jsou navzájem příbuzné, když můžeme přesunutím jediné krychle z jedné získat druhou. Najděte všechny dvojice navzájem příbuzných staveb mezi stavbami A až E. Každá ze staveb A až E je složena ze 4 krychlí. Zjistěte, zda je relace příbuznosti relací transitivní; tj. zjistěte, zda z toho, že stavby X a Y jsou navzájem příbuzné a též Y a Z jsou navzájem příbuzné, nutně vyplývá, že i stavby X a Z jsou navzájem příbuzné. [Řešení Ú2.10. Stavba D není příbuzná se stavbami A a C. Každé dvě ze staveb A, B, C a E jsou navzájem příbuzné. Relace příbuznosti tranzitivní není, protože C a B jsou navzájem příbuzné i B a D jsou navzájem příbuzné, ale C a D nejsou navzájem příbuzné.] Úloha 2.11. Najděte všechny stavby, které lze získat ze stavby A tím, že jednu krychli ze stavby odebereme („amputujeme“) a přiložíme ji na jiné místo. [Řešení Ú2.11. Odebrat můžeme pouze horní krychli, nebo dolní boční krychli. Odebereme-li dolní krychli, existuje jediné místo, kam ji můžeme přiložit, abychom vytvořili novou stavbu – nahoře. Tím vznikne 4-podlažní věž
4 . Odebereme-li horní krychli, vzniká situace
vyřešená v příkladu 2.1. ] Výzva 2.3. Vytvořte pro žáky gradovanou sérii úloh podobných jako je úloha 2.11. Zaznamenejte různé řešitelské strategie žáků. Například to, jak se žák přesvědčí, že opravdu našel všechny hledané stavby.
2.3. Krychlová tělesa Jak jsme již v úvodu k této kapitole uvedli, krychlová stavba není geometrický, ale stavitelský pojem. Krychlovou stavbu vnímáme ve vztahu s pojmy vodorovný a svislý, které patří do stavebnictví, nikoli ale do geometrie. Když odhlédneme od těchto směrů, dostáváme objekt světa 3D, který nazveme krychlové těleso. Když 4-podlažní věž, kterou můžeme zapsat
- 30 -
plánem 4., položíme do vodorovné polohy, dostaneme 1-podlažní stavbu 1│1│1│1 , která se od předešlé výrazně liší. Díváme-li se na tyto objekty jako na krychlová tělesa, pak jsou tato tělesa stejná, přesněji shodná. Každá stavba může být tělesem. Těleso se však stavbou stává, až když jej postavíme na „podlahu“ a žádná krychle nezůstane „viset“ ve vzduchu. Přitom ne každé těleso se tak postavit dá. Tedy ne každé krychlové těleso může být i stavbou. Úloha 2.12. Najděte krychlové těleso, které nemůže být stavbou. [Řešení Ú2.12. Viz obr. Ř 2.6]
Obr. Ř2.6 Úloha 2.13. Díváme-li se na 11 krychlových staveb A, B,… I, K, L (stavbu J zatím neuvažujeme) jako na krychlová tělesa, zjistíme, že je jich pouze 10. Proč? [Řešení Ú2.13. Stavby H a L představují stejné těleso v různých polohách.] Úloha 2.14. Které z krychlových těles A, B, …, I popisuje tato konstrukce: (a) □ ≡ □ ≡ □ → □ ; (b) □←□ ≡ □↓□ ↑≡ □ → □ ; (c) □↑□→ □→ □↓□↓□ ≡ □↑↑□ ←□ ←□ ? [Řešení Ú2.14. Je to krychlové těleso (a) A, (b) F, (c) J2.] Úloha 2.15. Když z popisu konstrukce (c) v předcházející úloze vypustíme jeden znak „□“, dostaneme popis konstrukce tělesa J1. Který znak máme vypustit? [Řešení Ú2.15. Je to osmý znak □, který leží mezi znakem ↑↑a znakem ←. ] Výzva 2.4. Vytvořte pro žáky gradovanou sérii úloh podobných jako je úloha 2.15. Zaznamenejte různé řešitelské strategie žáků. Například to, jak se žák přesvědčí, že opravdu našel všechny hledané stavby. V předešlé úloze jsme viděli, že krychlové těleso je možné zapsat popisem konstrukce. Jak ale takové těleso zapsat plánem? Nad touto otázkou se zamýšlí následující ilustrace.
- 31 -
Příklad 2.2. Na obrázku 2.8 jsou zapsány plány těles B, D a F. Vysvětlete, čím se plán tělesa liší od plánu stavby. 1,2
2
1
B
D
1,2
1-3
1,3
2,3
2
F
Řešení. Na plánu stavby do každého okna půdorysu píšeme, kolik zde stojí krychlí. Na plánu tělesa
zapíšeme Obr. 2.8 každou krychli tělesa číslem, které ukazuje, ve kterém podlaží je daná krychle umístěna. Úloha 2.16. Najděte z těles A – M dvě taková (ne nutně různá), že jejich slepením vznikne další těleso z této skupiny. [Řešení Ú2.14. M ⊕ M = K, M ⊕ D = L = H, A ⊕ M = G ] Úloha 2.17. Které z těles A – M lze vytvořit slepením (a) dvou (b) tří shodných krychlových těles? [Řešení Ú2.17. (a) V úvahu přicházejí pouze tělesa se sudým objemem, tedy tělesa s objemem 4 (A, B, C, D, E), s objemem 6 (F, I, K) a objemem 10 (J2). Slepením dvou těles typu .1│1. lze vytvořit tělesa A, B, C i D. Slepením dvou těles typu M lze vytvořit těleso K. To je vše. (b) V úvahu přicházejí pouze tělesa s objemem 6 (F, I, K). Z nich každé lze slepit ze tří těles typu .1│1 .]
2.4. Svislý směr Konflikt mezi stavitelským a ryze geometrickým vnímáním prostorových tvarů je velice hluboký. Prostor, ve kterém žijeme, obsahuje svislost jako základní geometrický jev. Dokázat se od této vazby odpoutat je náročné i pro gymnazistu, natož pro žáka 1. stupně. Následující ilustrace jsou fragmenty z experimentálního vyučování autorů. Ilustrace 2.1. Žáci 4. ročníku hrají hru Slovní přenos obrázku (viz 1.2). Klára je vysílač a Lenka přijímač. Přenášený obrázek je nakreslen na obr. 2.9. Klára (K1): Nakresli si kosočtverec. Lenka (L1): Velký? Jaký velký? K2: Tak aby se ti… tak,… ale vedle něj bude druhý. L2: Dva kosočtverce vedle sebe? K3: Jo jako u sebe. Tak aby,… Ony se jako pusinkují. Po této instrukci Lenka správně nakreslila dva čtverce tak, jak je na obr. 2.9.
- 32 -
Obr. 2.9
Komentář. Klára místo čtverec použije termín kosočtverec a Lenka jí dobře rozumí. Obě vnímají toto slovo nikoli jako zkosený čtverec, ale jako čtverec postavený na koso. Dodejme, že dva hoši z 5. ročníku pro označení této polohy čtverce použili výstižně dopravní značku hlavní silnice. V obou případech ale vidíme, že slovem čtverec chápou žáci čtverec, jehož strany jsou rovnoběžné s okrajem papíru. Ilustrace 2.2. Žáci 4. ročníku hrají hru SOVA. Na stole leží galerie 8 těles a mezi nimi i pravidelný 5-boký hranol postavený na podstavě a 4-boký jehlan, který nestojí na podstavě ale na boční stěně. Sovu dělá hoch Xaver. Jako třetí se ptá Zuzka: „Má to těleso přesně 5 vrcholů?“ Xaver odpoví „Ano.“ Po páté odpovědi spolužáci uhodnou, že Xaver si myslel 4-boký jehlan. Zuzka ale na Xavera zaútočí, že ji odpověděl chybně, protože toto těleso má jen dva vrcholy. Xaver vezme těleso do ruky a ukazuje na jednotlivé vrcholy. Zuzka protestuje, jen co Xaver těleso zvedne. Řekne: „Nech to ležet! Když to leží takto, povalené na bok, tak to má jen 2 vrcholy.“ Komentář. Především je jasné, že pro Zuzku je těleso závislé na tom, jak leží na podložce. Dále pro ni vrcholem je jen ten vrchol, který je „na vrcholu“. Nešťastný jazykový konflikt mezi geometrickým pojmem vrchol mnohostěnu a běžným pojmem na vrcholu je častou příčinou nedorozumění učitele se žákem. Výzva 2.5. Udělejte s žáky experiment popsaný v ilustraci 2.1. Nahrávejte na magnetofon vše, co vysílač řekne, a pak se pokuste nahrávku analyzovat. Pozornost analýzy zaměřte na nestandardní slova a idiomy, které žáci používají a kterým vzájemně rozumí.
- 33 -
3. Sítě krychlových těles Kapitola vznikla úpravou a redukcí materiálu, který autoři vytvořili v rámci grantového projektu FRVŠ v r. 2006. Nejprve řešením několika úloh získáme potřebný vhled a pak popíšeme jeden náš experiment, jak dvě 8-leté dívky vytvořily několik sítí krychle.
3.1. Krychle a soubor šesti jejich stěn V
celé
kapitole
budeme
uvažovat
standardní
krychli
ABCDEFGH (Obr. 3.1) s 8 vrcholy, 6 stěnami (spodní ABCD, vrchní EFGH, přední ABFE, zadní DCGH, levou ADHE a pravou stěnou BCGF) a 12 hranami (AB, CD, EF, GH, AE, BF, Obr. 3.1
CG, DH, AD, BC, FG a EH).
Úloha 3.1. Je dán model krychle. Na každé stěně je nějaký obrázek. Obrázky jsou různé (viz obr. 3.2a). Dále je dáno 6 čtverců se stejnými obrázky jako
Obr. 3.2a jsou na stěnách krychle. Úlohou je přilepit každý čtverec na odpovídající stěnu krychle, tj. na stěnu se stejným obrázkem. Úloha 3.2. Je dán model krychle ABCDEFGH. Její „rohy“ (vrcholy) jsou obarveny následovně: A – modrý (m), B – hnědý (h), C – zelený (z), D – oranžový (o), E – růžový (r), F – červený (č), G – fialový (f), H – žlutý (ž), viz obrázek 3.2b. Dále je dáno šest čtverců s obarvenými vrcholy jako je na obrázku 3.3. Úlohou je přilepit každý čtverec na stěnu krychle tak, aby se zachovala barva vrcholů.
- 34 -
Obr. 3.2b
m o h z
r ž m o
ž f o z
h č m r
z f h č
r č ž f
Obr. 3.3 Úloha 3.3. Všechny „rohy“ (vrcholy) krychle ABCDEFGH jsou obarveny obdobně jako v úloze 3.2. Odpovídajícím způsobem jsou obarveny vrcholy šesti stěn, jak je na obrázku 3.4: Najděte nějaké vhodné obarvení vrcholů krychle tak, aby vrchol A byl žlutý. Najděte, kolik různých obarvení krychle existuje.
r ž ž o
č ž ž r
f ž ž č
o ž ž f
č ž ž o
(žožr)
(žržč)
(žčžv)
(žvžo)
(žožč)
r ž ž f (žvžr)
Obr. 3.4
[Řešení Ú 3.3. Vrcholy A, C, F, H jsou obarveny žlutě, vrcholy B, D, E, G jsou obarveny oranžovou, růžovou, červenou, fialovou v tomto pořadí. Z toho vyplývá, že existuje 24 možností, jak by mohla být krychle ABCDEFGH obarvena, aby byly splněny dané podmínky.] Komentáře. Jsou čtyři: A, B, C a D. A. Úlohy jsou zaměřeny na korespondenci krychle a souboru šesti čtverců, z nichž se položením na krychli stávají stěny krychle. Cílem úlohy 3.1 je, aby dítě získalo zkušenosti s přiřazováním šesti čtverců k šesti stěnám tím, že čtverce bude lepit přesně na stěny. V úloze 3.2 je přiřazování poněkud složitější, protože je určeno čtveřicí barev vrcholů. Tato úloha rozvíjí schopnost navzájem přiřadit dvě množiny, je-li dáno více než jedno kriterium. B. Manipulací s modelem krychle a šesti čtverci budujeme žákovu schopnost poznat, že nejdříve je jeden objekt čtverec a po tom, co se přilepí na krychli, se z něj stane stěna. Žákovu schopnost porozumět tomu, že čtverec se stane po přilepení na krychli stěnou, můžeme podpořit doprovodným komentářem: „Nyní přilepíme čtverec na krychli, dobře, … A teď se ten čtverec stal stěnou krychle.“ Dodejme, že dítě má již zkušenosti s tím, že týž objekt může
- 35 -
nést jiné jméno v závislosti na kontextu, v němž se objekt nachází. Tak například jedna osoba může být otcem ve vztahu k jiné osobě, synem ve vztahu k jiné osobě, manželem ve vztahu k nějaké další osobě, atp. C. Úlohy 3.2 a 3.3 zaměřují žákovu pozornost na pojem vrchol. Ten se vyskytuje ve dvou kontextech: jako „roh“ krychle a jako vrchol čtverce. Manipulací žák získává zkušenost, že tři vrcholy tří různých čtverců se po položení na krychli stanou jediným vrcholem a obráceně, jediný vrchol krychle se po rozbalení obleku (sítě) krychle do roviny stane trojicí vrcholů. D. Úloha 3.2 byla testována učitelkou Klárou Nejedlou a ukázala se jako silně motivující, a to i pro pomalejší žáky. Výzva 3.1. V úloze 3.2 je každý vrchol obarven jinou barvou. V úloze 3.2 jsou čtyři vrcholy obarveny stejnou barvou, žlutou (ž). Vytvořte gradovanou sérii úloh, v nichž bude použito méně než 8 barev. (Rada. Velmi jednoduchá úloha je tato: sedm vrcholů krychle je modrých a jen jeden je červený. Tuto úlohu dobře vyřešily i děti předškolního věku.) Výzva 3.2. Vytvořte seznam chyb, jichž se žáci dopustili při řešení úlohy 3.2. Dále popište aspoň tři různé způsoby, jak žáci přilepují čtverce, když řeší úlohu 3.2. Žák, který umí vyřešit úlohu 3.1 (ne nutně ale i úlohu 3.2), je připraven k hlavní činnosti této podkapitoly, k tvorbě sítě krychle, přesněji k tvorbě co největšího počtu různých sítí krychle. Úlohu uvedeme motivační metaforickou situací. Učitel řekne žákům, že si zahrajeme na módní salon, ve kterém se šije pro různá geometrická tělesa. Dnes nás bude zajímat krychle. Úloha 3.4. Do našeho salonu přišel pan Krychle se žádostí o ušití obleku. První co musíme udělat, je střih na tyto šaty. Bude výborné, když se nám povede najít několik různých střihů, aby si zákazník mohl vybrat. Každý žák má dispozici: model krychle, šest čtverců shodných se stěnami krychle, přelepky, velký arch papíru a tužky. Komentář. V tradičním způsobu vyučování se žák seznamuje se sítí krychle takto: V pracovním sešitě je nakreslena jedna nebo několik sítí krychle. Úlohou žáka je síť vystřihnout a slepit z ní krychli. Pozitivní věcí v tomto přístupu je, že žák získá manipulativní zkušenosti, negativní je, že síť je dána žáku zvenku a nemusí sám nic objevovat. Naše metoda je založena na konstrukci sítě postupným přilepováním čtvercových stěn. Používáme metaforu, která vychází z dívčí zkušenosti oblékání panenek a šití šatiček na ně. Situace je zasazena do příběhu, ve kterém krychle není jen jako jedna krychle z mnoha ve stavebnici,
- 36 -
tzn. jako anonymní člen nějakého společenství těles, ale jako individuum, jako geometrická osobnost jménem pan, paní a slečna Krychle. Úloha byla zkoušena jednak experimentálně s několika žáky, jednak frontálně s celou třídou a to nejen v několika našich třídách, ale i v Anglii, Německu a Řecku. Následující podkapitola je věnována prvnímu takovému experimentu, který byl uskutečněn v ČR v březnu a květnu 2004. Dříve ale předložíme dvě výzvy, které by měly čtenáře obohatit o zkušenosti dovolující kritický pohled na experiment níže popsaný. Výzva 3.3. Připravte a realizujte experiment se dvěma žáky druhého nebo třetího ročníku. Cílem experimentu je zjistit, jak žáci řeší úlohu 3.4. V průběhu experimentu do práce žáků nezasahujte, pouze v případě potřeby jim pomožte s lepením čtverců. Výzva 3.4. Popište, jak žáci při řešení úlohy 3.4 postupovali a promyslete, jak by bylo možné doplňující otázkou je navést na objevení dalších sítí krychle.
3.2 Experiment Experiment byl uskutečněn na Základní škole Školní 900, Neratovice, v březnu 2004. Scénář navrhli autoři a detailně jej rozpracovaly a realizovaly učitelky Irena Kročáková a Jitka Michnová. Příprava experimentu. Nejprve obě učitelky, Irena a Jitka, vyřešily mnoho úloh o sítích krychle uvedených níže. Po nabytí zkušeností se sestrojováním sítí se rozhodly, že ve druhém ročníku udělají pokus se dvěma žáky s úlohou 3.4, která byla původně určena žákům třetího ročníku. Mnoho času učitelky věnovaly hledání vhodných materiálů. Nakonec pro pokus se dvěma žáky zvolily dvě dřevěné krychle, 12 plastikových čtverců, a žluté nálepky (viz obr. 3.5); dále žáci dostali nůžky, tužku, pastelky a čisté listy papíru formátu A3. Realizace experimentu: Experiment se uskutečnil odpoledne ve družině. Irena (ta experiment realizovala) nabídla přítomným žákům druhého ročníku, že si s ní mohou hrát na švadleny a řešit zajímavý problém. Přihlásily se dvě dívky, kamarádky, Kamila a Kristýna, 2. ročník. Po úvodním rozhovoru učitelka uvedla dívky do situace. Obr. 3.5
- 37 -
Učitelka: „Rády oblékáte panenky? Vaše panenka má několik šatů a všechny jsou různé. My budeme oblékat krychli“. Dala každé dívce dřevěnou krychli, 6 plastikových čtverců shodných se stěnami krychle, přelepky, velký arch papíru a pastelky. Pak dívkám ukázala, jak mají slepováním plastikových čtverců udělat střih na šaty pro krychli. Dívky pracovaly individuálně, ale vzájemně na svoji práci viděly. Když byly „šaty“ úspěšně hotové (viz obr. 3.5), rozbalily je dívky zpět do roviny, aby získaly střih, tj. síť krychle (viz obr. 3.6 i další níže). Obr. 3.6
Pak dívky nakreslily vytvořený střih na čistý papír a prověřovaly, zda tento střih krychli
padne (obr. 3.7a, b). Když to bylo dobře, zařadily dívky střih do katalogu střihů. V opačném případě chybný střih škrtly (obr. 3.8a, b). Na obrázcích 3.7a,b vidíme, jak Kristýnka dodělává poslední střih a Kamilka, která je již hotova, ji sleduje.
Obr. 3.7a Obr. 3.7b Dívky pracovaly se zaujetím. Ze začátku jim učitelka pomáhala s technickými problémy – slepování čtverců. Do hledání střihů jim učitelka nezasahovala. Náhodou se stalo, že první návrh obou dívek byl chybný. Učitelka je povzbudila. Řekla, že i dobrý krejčí dělá chyby. Dívky neúspěch neodradil a pokračovaly v práci. Nakonec obě dívky našly 7 různých střihů, z nichž Kristýnka našla čtyři a Kamilka tři (obr. 3.9). Nesprávné střihy byly škrtnuty zajímavým způsobem třemi rovnoběžnými čárami všech tří barev, které měly dívky k dispozici (obr. 3.8a, b). Hotové střihy pak dívky vymalovaly a určily účel šatů (obr. 3.8a, b). Stojí za zmínku, že dívky věnovaly dekoraci šatů stejnou péči s jakou střihy hledaly.
- 38 -
Obr. 3.8a, b Dekorace se skládala ze dvou činností. Nejprve bylo nutno rozhodnout, k jakému účelu budou šaty používány (na nákupy, na uklízení,…), a pak bylo třeba je vymalovat. Na obrázku 3.9 jsou uvedena všechna řešení, která dívky objevily. Chybná řešení jsou ve žluté barvě (světle šedé v černobílé kopii), správná v šedivé (tmavě šedé v černobílé kopii). U šedivých střihů je uveden i účel šatů. Kristýnka
župan
noční košile na nákupy na uklízení
chybná řešení
Kamilka
pižamo
na nákupy
na uklízení
chybná řešení Obr. 3.9
Experiment byl pro Irenu (učitelka 2. ročníku) její první zkušeností tohoto typu. Nutno ocenit pět věcí: 1. její odvahu zkusit úlohu určenou žákům 3. ročníku se žáky 2. ročníku, 2. úsilí, které bylo vynaloženo na přípravné práce, 3. schopnost udržet pozornost dívek v odpoledním čase po celých 50 minut, 4. výsledný úspěch dívek, k němuž je učitelka dovedla, 5. vyváženost činností geometrických a výtvarných, které dívky dělaly.
- 39 -
Na druhé straně se v práci učitelky projevily vžité učitelské zvyky pomáhat žákům, když si neví rady. Z pořízeného videozáznamu je patrno, že zejména na začátku pokusu byla učitelka hodně instruktivní a snižovala tápání dívek na minium. Též se snažila nepřipustit, aby dívky chybovaly. Naštěstí první pokus dívek byl neúspěšný a učitelka je vedla k poznání příčiny své chyby. Konečný výsledek práce dívek byl nečekaně pozitivní. Z pohledu profesionálního matematika se druhá část práce dívek, tj. vymalovávání střihů a hledání účelu, k němuž budou šaty určeny, jeví jako ztráta času. Matematik může argumentovat, že místo malování mohly dívky odhalit aspoň jednu další síť. Takový názor nerespektuje význam motivace u osmiletého dítěte. Systematická práce zaměřená na jediný cíl vyčerpá dítě po dvaceti – třiceti minutách a je-li intelektuálně naléhavá, pak i dříve. Když je ale činnost změněna, zůstane motivační síla získaná předchozí úspěšnou činností dítěte zachována do budoucna. Navíc druhá aktivita, malovaní šatů, která je typická pro dívky, umocní motivační sílu aktivity první, geometrické. V tomto směru cit učitelky pro vyváženost obou aktivit výrazně pomohl celému pokusu. Domníváme se, že experiment, byť uskutečněn jen jednou a jen se dvěma děvčaty, jasně ukázal, že 1) metaforická situace „střih a šaty“je pro dívky silně motivační (ony pracovaly 50 minut), 2) použité pomůcky navržené učiteli jsou dobře dostupné a didakticky vhodné, 3) dívky z 2. ročníku svedou vytvořit pomyslné střihy a manipulací prověřit jejich správnost, 4) metodou pokusu a omylu žáci nabývají značné zkušenosti o pojmu krychle. Nebylo ale jasné, zda i hoši, pro něž metaforická
situace
nemusí
být
tak
motivující, budou stejně úspěšní jako dívky. Učitelka tedy zkusila hru na oblékání pana Krychle a paní Krychle v celé třídě (v květnu 2004). Všichni žáci, tedy nejen dívky, ale i hoši, pracovali se
Obr. 3.10
zápalem a společně odhalili všech 11 sítí.
Na obrázku 3.10 vidíme jeden střih, který žáci vytvořili. Dodejme, že na základě tohoto experimentu byly pak zavedeny pojmy šev – pro spojení dvou stran čtverců v síti a zip – pro ty dvě strany čtverců, které jsou v síti odděleny (rozzipovány), ale při oblékání na krychli se slepí (zazipují).
- 40 -
3.3. Seznam všech sítí krychle Hlavním cílem této podkapitoly je řešení následující úlohy. Úloha 3.5. Vytvořte kolekci všech různých (tj. neshodných) sítí krychle. Najít seznam všech sítí krychle znamená udělat tři věci: l) všechny sítě najít, 2) ukázat, že žádné dvě sítě seznamu nejsou stejné, a 3) dokázat, že žádná jiná síť neexistuje, že jsme na nic nezapomněli. Dříve než se pustíme do hledání musíme vyjasnit, které sítě jsou stejné a které různé. Výzva 3.5. Dva žáci mají spor a žádají vás o jeho řešení. Aleš tvrdí, že dvě sítě na obrázku 3.11 jsou různé, protože jsou jako pravá a levá bota a ty jsou určitě různé. Nelze si obouvat dvě pravé boty. Ben tvrdí, že sítě jsou shodné, protože když je vystřihnu, mohu jednu přesně položit na druhou. Jaká bude vaše reakce?
Obr. 3.11
Komentář. Naše doporučení jak spor Aleše a Bena řešit: Především hochy pochválíme, že přichází s velice zajímavým problémem a pak je požádáme, aby jej předložili třídě. Diskusi třídy řídíme, ale do myšlenek žáků nezasahujeme, pouze někdy pomáháme s artikulací myšlenek. Na konci se buď třída přikloní k některému z názorů, nebo, co je více pravděpodobné, rozdělí se na „Alešovce“ a „Benovce“. Řekneme, že toto rozdělení bereme na vědomí a že i ve vědecké geometrii jsou oba uvedené názory používány. (Názor, který zastává Aleš, je v geometrii formulován slovy „nepřímo shodné útvary nepovažujeme za shodné“. Názor, který zastává Ben, je v geometrii formulován slovy „nepřímo shodné útvary považujeme za shodné“.) [Řešení Ú3.5. Jestliže nepřímo shodné útvary považujeme za shodné (názor Bena), pak existuje přesně 11 sítí, jako na obrázku 3.12. Jestliže nepřímo shodné útvary nepovažujeme za shodné (názor Aleše), pak dostaneme navíc i 9 sítí na obrázku 3.13. My se v dalším přikloníme k názoru Bena a budeme považovat dvě osově souměrné sítě za shodné. Komentář. Úlohu 3.5 řešili v rámci mezinárodního projektu Comenius 2.1 i studenti primární pedagogiky na univerzitě v Kasselu (hlavní město Spolkové republiky Hessensko). Rozhodli se považovat dvě osově symetrické sítě za různé. Pozorovali, že tyto dvě sítě spolu souvisí, a pro vyjádření vztahu mezi nimi použili objevnou myšlenku: dali jim taková jména, které se odlišovala pouze tím, že jedno bylo ženské a druhé mužské. (např. Michael, Michaela).
- 41 -
Obr. 3.12 Existují přesně dvě sítě – 6A a 6F, které jsou samy o sobě symetrické, a tudíž 6A = 6A´, 6F = 6F´. Pro tyto sítě studenti z Kasselu použili jména Otto a Anna. Malým stínem na tomto metaforickém pojmenovávání je fakt, že dvě odlišné zásady jsou použity pro vyjádření myšlenky symetrických párů: pro symetrický pár = mužské-ženské jméno, pro symetrické individuum = palindromické jméno. Kdyby tito studenti místo jmen použili pouze třípísmenná slova, mohli mít například takovéto pojmenování: 6A = OKO, 6B = BRK, 6B´ = KRB, 6C = CEP, 6C´ = PEC, 6D = TAK, 6D´ = KAT, 6E = LAK, 6E´ = KAL, 6F = KRK, 6G = MAT, 6G´ = TAM, 6H = RAK, 6H´ = KAR, 6I = TOP, 6I´ = POT, 6J = ???, 6J´ = ???, 6K = ??? a 6K´. Poslední dvě dvojice se nám nepodařilo najít. Pomoc čtenáře uvítáme.]
Obr. 3.13
- 42 -
3.4. Skládání sítě z polymin Nejprve řekneme, co termínem polymino rozumíme. Polymino je útvar, který je vytvořen slepováním shodných čtverců tak, že se slepují vždy celé strany k sobě a čtverce se nepřekrývají. Slepením n čtverců vytvoříme n-mino.
Obr. 3.14 Jak vidíme na obrázku 3.14, existuje jedno monomino (1A), jedno bimino = domino (2A), dvě trimina (3A, 3B), pět tetramin (4A, 4B, 4C, 4D, a 4E), a dvanáct pentamin (5A,…, 5L). V úloze 3.4. byl střih na oblek pro krychli vytvořen ze čtverců. Nyní jej budeme tvořit z větších dílů, z polymin Úloha 3.6. Máme k dispozici model krychle i příslušná polymina. Utvořte střih na oblek pro krychli, jestliže jej máte udělat z následující sady polymin: (a) 2 dvě trimina 3A, (b) dvě trimina 3B, (c) trimino 3A a 3B, (d) tři bimina 2A, (e) polymina 3A, 2A a 1A, (f) polymina 2A, 4B a 4E. Pokuste se najít všechny střihy, které lze sestavit v každém z uvedených případů. [Řešení Ú3.6. (a) 6A a 6J (tj. ze dvou trimin 3A lze vytvořit pouze dvě sítě 6A a 6J); (b) 6C, 6D, 6E, 6G, 6H, 6I; (c) žádná; (d) 6B, 6D, 6G, 6I, 6J, 6K; (e) 6A, 6B, 6C, 6D, 6G, 6H, 6J, 6K; (f) 6B, 6D, 6G, 6J, 6K – nic ze 4E.] Komentář. Jsou dvě různé řešitelské strategie této úlohy: 1. přímo a 2. použitím souboru sítí krychle. Žáci, kteří použijí první strategii, přímou, položí daná polymina na krychli. Druhá strategie je více abstraktní. Žák nepotřebuje model krychle a snaží se sestrojit některou ze sítí krychle. Jestliže má seznam sítí před sebou, pak je tato úloha poměrně jednoduchá.
- 43 -
Například, je-li případ (a) řešen použitím přímé strategie, řešitel položí jedno trimino 3A na Krychli a pak se dívá, jak k tomu k tomu bude pasovat další kus. K tomu, abychom dostali střih, je nutné ty dva kusy 3A+3A sešít. To může být uděláno dvěma různými způsoby, které vedou ke dvěma různým sítím 6A a 6J. Je-li případ (a) řešen druhou strategií, řešitel bere každou z jedenácti sítí na obrázku 3.12 po řadě a zkouší, zda by ta daná síť mohla být vytvořena z daných dvou trimin 3A. Tak je možné udělat sítě 6A a 6J. V duchu druhé strategie je formulována úloha 3.7. Úloha 3.7. Najdi všechna pentamina, která mohou být vytvořena slepením jednoho monomina 1A a jednoho tetramina (a) 4A, (b) 4B, (c) 4C, (d) 4D, (e) 4E. [Řešení Ú3.7. (a) 5A, 5B, 5C; (b) 5B, 5C, 5D, 5E, 5F, 5G, 5H, 5I, 5J; (c) viz Komentář B k úloze S05; (d) 5D, 5F, 5I, 5L; (e) 5I.] Komentáře. Jsou tři: A, B, a C. A. Tato úloha rozvíjí žákovu dovednost organizovat nepřehledný soubor objektů do dobře uspořádaného přehledu. Když druhák řeší případ (a), vytváří pentamino náhodně, a tak je pro něj obtížné nakreslit všechna tři pentamina 5A, 5B, a 5C jako výsledek. Obvykle žák uvede více pentamin, některá se opakují. Náročnější je případ (b), ve kterém seznam výsledných pentamin obsahuje 9 variant. Zde žáci obvykle nějaké řešení zapomínají. Někdy má žák na papíře několik tetramin a pentamin v takovém nepořádku, že nakonec jako výsledek nakreslí hexamino. B. Strategii „jdi dokola“ považujeme za nejefektivnější řešitelskou strategii. Příkladem je případ (c), ve kterém se hledají všechna pentamina, která lze vytvořit přilepení monomina 1A k tetraminu 4C. Tento postup má čtyři kroky (viz obrázek 3.15): 1. Tetramino 4C je umístěno do mříže. 8
2. Jdeme okolo hranice tetramina 4C a očíslujeme všech osm buněk, které sousedí s nějakým čtvercem tetramina. 3. Každé očíslované buňce odpovídá jedno pentamin: 1 – 5C, 2 – 5I, 3 – 5E, 4 – 5I, 5 – 5C, 6 – 5F, 7 – 5K, 8 – 5F. 4. Tímto způsobem obdržíme úplný seznam všech pěti pentamin,
1
7
6 5
4C 2
4 3 Obr. 3.15
které lze vytvořit slepením 1A a 4C. Jsou to: 5C (z buněk 1 nebo 5), 5E (z buňky 3), 5F (z buňky 6 nebo 8), 5I (z buňky 2 nebo 4), 5K (z buňky 7).
- 44 -
C. Ze zkušenosti víme, že žák 3. ročníku je schopen sám objevit strategii „jdi okolo“, jestliže mu necháme dostatek času. V našem experimentálním vyučování tuto strategii vynalezli žáci zcela samostatně, když organizovali sadu všech pentamin typu 1A+4B. Žáci měli uspořádat soubor takovým způsobem, aby jej bylo možné popsat slovy. Krátce na to žáci dokázali, že existuje právě 11 sítí krychle. Výzva 3.5. Vytvořte úlohu, která bude kombinovat myšlenku dílů střihu z úlohy 3.4. s myšlenkou obarvování z úlohy 3.1 nebo 3.2. Úloha 3.8. Dokaž, že seznam sítí krychle na obrázku 3.12 je úplný v interpretaci Bena. [Řešení Ú3.8. Důkaz toho, že jsme našli všechny sítě, může být udělán tímto způsobem: vezměte všechna tetramina a zjistěte, která z nich lze/nelze položit na krychli. Zjistíme, že položit na krychli je možné pouze tetramina 4A, 4B, 4C, (obrázek 3.14) a tetramino 4D nelze. Použitím strategie popsané v Komentáři B k úloze 3.7 najděte všechna možná pentamina, která lze položit na krychli. Jsou to pentamina 5B, 5C, 5D, 5E, 5F, 5G, 5K a 5L. Proces přikládání monomina opakujte a z 8 vybraných pentamin získáte celkem 31 různých hexamin, z nichž ale pouze těch 11, které vidíme na obrázku 3.12, je sítí krychle. Tato metoda umožňuje vyčerpat všechny možnosti. ] Výzva 3.6. Připravte scénář experimentu pro 4 žáky vaší třídy. Cílem experimentu je motivovat žáky, aby vytvořili bez vaší pomoci síť krychle (střih na šaty pro krychli). Napište váš předpoklad, jak žáci budou reagovat na zvolenou metaforu, zejména, jaký bude rozdíl mezi hochy a dívkami. Výzva 3.7. Realizujete připravený scénář a analyzujte vaše předpovědi. Zkoumejte zejména: reakce žáků, které jste neočekávali, a příčiny chyb ve vaší předpovědi. Výzva 3.8. Předpokládejme, že žáci druhého ročníku nalezli všechny sítě krychle kromě dvou: 6J a 6I. Vytvořte úlohu (nebo několik úloh), které žákům pomohou najít dvě zbylé sítě.
3.5. Vztah příbuznosti mezi sítěmi krychle V teorii čísel existuje mnoho tvrzení o tom, jak lze některá čísla vyjádřit jako součty jiných. Tak každé prvočíslo, které po dělení 4 dá zbytek 1 (tj. prvočíslo tvaru 4n + 1) lze napsat jako součet dvou čtverců (tj. ve tvaru m2 + n2); např. 5 = 22 + 12, 13 = 32 + 22, 17 = 42 + 12. Tuto
- 45 -
myšlenku přeneseme do našeho prostředí sítí a polymin. Zvolíme dvě polymina a budeme zkoumat, které sítě krychle z nich lze složit. Označení. Soubor všech sítí krychle, které dostaneme slepením polymin 1A a 5B, je označen jako 1A+5B. Stejný zápis je použit pro ostatní polymina. Úloha 3.9. Najděte sítě, které náleží do souboru (a) 1A+5A; (b) 1A+5B, (c) 1A+5C, (d) 1A+5D; (e) 1A+5E, (f) 1A+5F, (g) 1A+5G; h) 1A+5H, (i) 1A+5I, (j) 1A+5J; (k) 1A+5K, (l) 1A+5L. [Řešení Ú3.9 (a) žádná, (b) {A, B, C, D}, (c) {B, C, E, F}, (d) {G, H, J, K}, (e) {A, F, K}, f) {B, E, H, K}, (g) {C, G}, h) žádná, (i) žádná, (j) žádná, (k) {F}, (l) {H, I}. Zde všude místo 6A, 6B, 6C,… píšeme pouze A, B, C,… Stejné zjednodušení značení je i v řešení dalších úloh.] Úloha 3.10. Najděte sítě, které náleží do souboru (a) 2A+4A; (b) 2A+4B, (c) 2A+4C, (d) 2A+4D; (e) 2A+4E. [Řešení Ú3.10 (a) žádná, (b) {B, D, G, J, K}, (c) {A, C, F, H}, (d) {B, G, I}, (e) žádná.] Úloha 3.11. Najděte sítě, které náleží do souboru (a) 3A+3A; (b) 3B+3B, (c) 3A+3B. [Řešení Ú3.11 (a) {A, J}, (b) {C, D, E, G, H, I}, (c) žádná.] Po přípravných úlohách zavedeme pojem příbuznosti sítí. Dvě sítě krychle nazýváme 5+1příbuzné, jestliže jedna z nich může být rozstřižena na jedno monomino (1-mino) a na jedno pentamino (5-mino) a z těchto útvarů může být složena síť druhá. Například sítě 6A a 6B jsou 5+1-příbuzné. Podobně můžeme zavést termín 4+2-příbuzné sítě a 3+3-příbuzné sítě. Úloha 3.12. Pomocí tabulky popište (a) 5+1-příbuznost, (b) 4+2-příbuznost, (c) 3+3-příbuznost. [Řešení Ú3.12. Především je jasné, že každá síť je sama se sebou jak 5+1-příbuzná, tak 4+2příbuzná i 3+3-příbuzná. Dále případy popisujeme tabulkou. (a) 5+1-příbuznost popisuje tabulka Ř3.1; (b) 4+2-příbuznost popisuje pravá horní část tabulky 3.2; konečně (c) 3+3příbuznost popisuje levá dolní část tabulky Ř3.2.]
- 46 -
sítě A B C D E F G H I J K
A □
B 5B □
C 5B 5B, 5C □
D 5B 5B 5B □
E
F 5E 5C, 5F 5C 5C 5C □
G
H
I
J
5F
K 5E 5F
5G
5C □
5F □
5D □
5D 5L 5D □ □
5F 5E 5D 5D, 5F 5D □
Tab Ř 3.1 Legenda k tabulce 3.1. V řádku ‘A’ a sloupci ‘D’ je pentamino 5B. To znamená, že obě sítě 6A a 6D patří do souboru 1A+5B a tudíž jsou 5+1-příbuzné. V řádku ‘B’ a sloupci ‘E’ jsou dvě pentamina 5C a 5F. To znamená, že sítě 6B a 6E patří do souboru 1A+5C a také do souboru 1A+5F. Proto jsou sítě 6B a 6E také 5+1-příbuzné (dokonce dvěma různými způsoby). Sítě 6D a 6I nejsou 5+1příbuzné, protože neexistuje žádné 5-mino, které by bylou částí obou těchto sítí. To je vyznačeno prázdným políčkem v řádku ‘D’ a sloupci‘I’. Tabulka Ř 3.2 již legendu nepotřebuje. A A B C D E F G H I J 3A K
B
C 4C
D
E
F 4C
G
4B
4B,4D 4C
3B 3B
3B
3B 3B 3B
3B 3B 3B
H 4C
I
J
K
4D
4B
4B
4B
4B
4B
4B
4C 4B 4C
3B 3B 3B
4D 3B 3B
3B 4B
Tab Ř 3.2 Shrnutí. Existuje 11 sítí krychle, a tudíž existuje 55 dvojic různých sítí. 26 z těchto párů jsou 5+1-příbuzné, 18 párů jsou 4+2- příbuzné a 16 jsou 3+3- příbuzné. ]
- 47 -
Tématika lepení a stříhání polymin a zvláště pak sítí krychle je velice vděčná na tvorbu různorodých úloh různé náročnosti. Následující soubor úloh je určen čtenáři jednak k zvýšení jeho matematické připravenosti, jednak jako inspirace k tvorbě podobných úloh pro žáky. Úloha
3.13.
Najděte
všechna
pentamina,
která
lze
doplnit
jedním
monominem čtyřmi způsoby na čtyři různé sítě. [Řešení Ú3.13. 5B, 5C, 5D, 5F] Úloha 3.14. Najděte pentamino, které nemůže být doplněno jedním monominem na síť krychle. [Řešení Ú3.14. 5A, 5H, 5I, 5J] Úloha 3.15. Najděte pentamino, které může být doplněno monominem pouze jedním způsobem na síť krychle. [Řešení Ú3.15. 6K] Úloha 3.16. Najděte dvě sítě, které jsou 5+1-příbuzné dvěma různými způsoby. Jinými slovy, najděte dvě sítě a dvě různá pentamina tak, že z každého z nich může být utvořena každá z daných dvou sítí doplněním jednoho monomina. [Řešení Ú3.16. Takové páry sítí krychle jsou tři: {6B, 6C}, {6B, 6E}, {6K, 6H}] Úloha 3.17. Je relace 5+1-příbuznost α) reflexivní, β) symetrická, γ) transitivní? [Řešení Ú3.17. α) ano, β) ano, γ) ne] Úloha 3.18. Mirek tvrdí, že když X, Y jsou dvě sítě, které nejsou 5+1příbuzné, nezbytně existuje síť Z tak, že jak sítě X, Z , tak sítě Z, Y jsou 5+1příbuzné. Má Mirek pravdu? [Řešení Ú3.18. Nemá, pro X = I a Y = A žádná síť Z neexistuje.] Úloha 3.19.Ukažte, že bimino 2A může být slepeno s tetraminem 4D dvěma různými způsoby tak, že vzniknou sítě α) 6B, β) 6G, γ) 6I. Jak toto tvrzení souvisí s faktem, že tetramino 4D je středově souměrné? [Řešení Ú3.19. Jestliže přilepíme bimino ke dvěma stranám tetramina 4D, které si odpovídají ve středové souměrnosti, pak dostaneme shodné sítě.]
- 48 -
Úloha 3.20. Ukažte, že bimino 2A může být přilepené k tetraminu 4C dvěma různými způsoby tak, že dostaneme síť α) 6C, β) 6H. Jak toto tvrzení souvisí s faktem, že teramino 4C je osově souměrné? [Řešení Ú3.20. Stejný argument jako výše.] Úloha 3.21. Ukažte, že bimino 2A může být přilepeno k tetraminu 4C pouze jedním způsobem, abychom dostali síť α) 6A, β) 6F. Jak toto tvrzení souvisí s faktem, že tetramino 4C je osově souměrné? [Řešení Ú3.21. Strana tetramina 4C, ke které může být bimino 2A přilepeno, je sama osově souměrná podle osy souměrnosti tetramina, tudíž bimino může být přilepeno pouze jedním způsobem.]
3.6. Hrana krychle a její obraz v síti krychle Celá podkapitola je věnována důvěrnějšímu poznání pojmu hrana krychle. První úloha je zaměřena na žáka prvního ročníku, nebo dokonce předškoláka. Druhá úloha je již náročnější. Úloha 3.22. Je dán model krychle a šest čtverců. Jedenáct ze dvanácti hran krychle je obarveno barvou a a jedna hrana je obarvena barvou b. (Obr. 3.16a). Všech 24 stran daných čtverců je obarveno. Z nich 22 stran je obarveno barvou a a 2 strany (v různých čtvercích) jsou obarveny barvou b (Obr. 3.16b). Přilepte šest daných čtverců na krychli tak, abyste zachovali obarvení hran.
Obr. 3.16b Obr. 3.16a Úloha 3.23. Je dán model krychle a šest čtverců, jak je uvedeno na obrázku 3.17. Každá ze dvanácti hran krychle ABCDEFGH je obarvena jednou ze tří barev označených a, b, c. Všechny čtyři hrany stěny ABCD jsou obarveny barvou a. Všechny čtyři hrany stěny EFGH jsou obarveny barvou b. Hrany AE a BF jsou obarveny barvou a, hrana CG je obarvena barvou b a hrana DH barvou c. Všech 24 stran daných čtverců je také obarveno, jak je uvedeno na
- 49 -
obrázku 3.18. Obarvení těchto hran je popsáno pomocí čtyř písmen v závorce nad příslušným čtvercem – viz obrázek 3.18. Toto značení budeme i dále používat.1
Úkolem je přilepit
čtverce na stěny krychle tak, aby se zachovalo obarvení hran. Obr. 3.17
(a,a,a,a) a a a a
(a,a,a,b) a b a a
(b,a,a,b) a b a b
(b,b,b,b) b b b b
(a,c,b,a) b a c a
(a,c,b,b) b b c a
Obr. 3.18 Komentáře. Jsou tři: A, B a C. A. V úloze 3.3 byla barva použita k identifikaci vrcholů krychle. Zde budeme používat barvu k identifikaci hran krychle. První poznání, které dítě při řešení těchto úloh odhalí, je to, že každá hrana se vytvoří ze dvou stran přilepovaných čtverců. Ve shodě s metaforou obleku můžeme mluvit o zipu. Hrana je zip zavřený, strany čtverců jsou dvě části zipu otevřeného. Kognitivní kompetence, která je úlohami typu 3.3, 3.22 a 3.23 rozvíjena, je schopnost přiřadit dvě množiny na základě kritéria, které je dáno více než jednou informací. B. Existují dvě systematické strategie jak řešit úlohu 3.22. Buď začít dvěma čtverci se stranou obarvenou barvou b, nebo začít čtvercem se všemi stranami obarvenými barvou a. Úloha je ale tak lehká, že žák první třídy tyto strategie používá zřídka. Prostě lepí čtverce na stěny tak „jak mu padnou do ruky“. C. Úloha 3.23 je mnohem náročnější. Je zajímavé pozorovat žáky při řešení této úlohy. Obvykle vezmou čtverec a hledají stěnu krychle, na kterou by se hodil. Často řešitel uvažuje pouze o barvách jedné nebo dvou stran čtverce, nikoliv o všech najednou. Našli jste podobné žákovské chyby týkající se vrcholů i v úloze 3.3? Podívejte se na seznam chyb, který jste si pořídili v rámci výzvy 3.2. Úlohy jako tyto posilují meta-kognitivní kompetenci žáků upřednostňovat systematickou strategii řešení.
1
Přesněji, symbol (a,b,c,d) znamená, že strany čtverce jsou obarveny barvami a, b, c, d tak, že
dvojice stran obarvených a, c a b, d jsou rovnoběžné. - 50 -
Výzva 3.9. Mezi jednoduchou úlohou 3.22 a obtížnější úlohou 3.23 je značná propast. Vytvořte sérii úloh, které tuto propast přemostí. Výzva 3.10. Vytvořte seznam žákovských chyb a tápání při řešení úlohy 3.23. Porovnejte tento seznam s tím, který jste vytvořili v rámci výzvy 3.2. Ještě vyšší stupeň náročnosti mají následující úlohy. Úloha 3.24. Je dána krychle a 6 čtverců:
jeden s obarvením (a,a,a,a), 4
s obarvením (a,a,a,b) a jeden s obarvením (b,b,b,b) (viz obr. 3.19). Tuto sadu obarvených čtverců budeme stručně značit: (a,a,a,a), 4× (a,a,a,b), (b,b,b,b). Obarvěte všech 12 hran krychle tak, že bude možné čtverce přilepit na stěny a přitom si barvy hran a stěn budou odpovídat.
Obr. 3.19 Úloha 3.25.
Stejnou
úlohu
řešte
pro
sadu
čtverců:
(a) 4× (a,a,a,b),
2× (a,b,a,b), obr. 3.17b; (b) (c,b,a,d), (d,b,a,c,), (b,c,a,d), (d,c,a,b,), (b,d,a,c,), (c,d,a,b), obr. 3.17c.
Obr. 3.20
Obr. 3.21 [Řešení Ú3.24 – obr. Ř 3.1. Řešení Ú3.25(a) obr. Ř 3.2, Řešení Ú3.25(b) – obr. Ř 3.3.]
- 51 -
Obr. Ř3.1
Obr. Ř3.2
Obr. Ř3.3
U dalšího typu úloh již model krychle není dán a pracujeme pouze v jazyce sítí. Úloha 3.26. Je dáno šest čtverců s obarvenými stranami. Z těchto čtverců sestrojte střih na oblek pro Krychli (síť krychle) tak, abyste sešívali pouze ty strany čtverců, které jsou obarvené barvou b. Jinými slovy, švy na obleku musí být barvy b (na obrázku červené) a zipy musí být barvy a (na obrázku černé). (a) (a,b,a,b), 4× (a,a,a,b), (b,b,b,b);
Obr. 3.22 (b) 3× (a,a,a,b), 2× (b,a,a,b), (b,b,a,b);
Obr. 3.23 [Řešení Ú3.26. Případ (a) je jednoduchý, jestliže řešitel začne čtvercem (b,b,b,b). Ke každé straně tohoto čtverce musí být „přišít“ další čtverec. První pokus může vést k vytvoření pentamina 5K, ale již druhý pokus vyústí jistě ve správné řešení, střih 6F na obrázku Ř3.4a. Druhý případ (b) je mnohem náročnější. Řešení je na obrázku Ř3.4b.] a) střih 6F
b) střih 6H
Obr. Ř3.4a
Obr. Ř3.4b - 52 -
Úloha 3.27. Je dáno pět čtverců s obarvenými stranami: 2× (b,a,a,b), 2× (a,a,a,b), (a,b,a,b). Najděte šestý čtverec tak, že z těch šesti čtverců mohou být vytvořeny dva, různé střihy na oblek pro krychli. Stejně jako v úloze 3.26 švy na obleku musí být barvy b (červené) a zipy barvy a (černé).
Obr. 3.24 [Řešení Ú3.27: Sadu pěti čtverců doplníme čtvercem (a,b,a,b) a pak ze sady 2× (b,a,a,b), 2× (a,a,a,b), 2× (a,b,a,b) (obr. Ř3.5a) vytvoříme sítě 6D (obr. Ř3.5b) a 6J (obr. Ř3.5c).] Obr. Ř3.5a
Obr. Ř3.5c Obr. Ř3.5b Úloha 3.28. Je dáno pět čtverců s obarvenými stranami: 3× (a,a,a,b), (b,a,a,b), (b,b,a,b). Najděte šestý čtverec tak, že z těch šesti čtverců mohou být vytvořeny tři různé střihy na oblek pro krychli. Stejně jako v úloze 3.26 švy na obleku musí být barvy b a zipy barvy a.
Obr. 3.24 [Řešení Ú3.28. Sadu pěti čtverců doplníme čtvercem (a,b,a,b) a pak ze sady3× (a,a,a,b), (b,a,a,b), (a,b,a,b), (b,b,a,b) (obr. Ř3.6a) vytvoříme 3 sítě 6B (obr. Ř3.6b), 6C (obr. Ř3.6c), 6K (obr. Ř3.6d).]
- 53 -
Obr. Ř3.6a
Obr. Ř3.6b
Obr. Ř3.6c
Obr. Ř3.6d
- 54 -
4. Sítě těles a jejich číselné charakteristiky V předcházející kapitole jsme věnovali mnoho pozornosti sítím krychle. Teď se zaměříme na sítě jiných krychlových těles a na některé další jejich vlastnosti. Jestliže jsme sítě krychle budovali ze šesti volně ležících čtverců slepováním, budeme teď postupovat obráceně. Dané krychlové těleso rozložíme na soubor jeho stěn. Budeme používat popisů krychlového tělesa, které jsme zavedli v kapitole 2: portrétem, plánem a postupem konstrukce.
4.1. Soubor vrcholů, stěn a hran krychlového tělesa Začneme ilustrací, kterou představíme základní pojmy a postupy, s nimiž budeme pracovat. Příklad 4.1. Plánem je dáno je krychlové těleso 1,2│ 1 , tj. těleso M z příkladu 2.1. Popište jeho vrcholy. Nakreslete soubor všech jeho stěn a vytvořte síť daného tělesa. Síť popište. Zjistěte, kolik má těleso vrcholů, kolik hran a kolik stěn a vyjmenujte tyto objekty. Řešení. Nejprve popíšeme všechny vrcholy tělesa M. Kdyby těleso leželo před námi na stole, nebyl by to žádný problém. Prostě ukážeme na každý vrchol a řekneme jeho jméno. Máme-li to udělat bez modelu a dokonce i bez portrétu, je to úkol složitý. Portrétu se nezříkáme dobrovolně, ale víme, že i když u tohoto jednoduchého tělesa by bylo možné vrcholy popsat pomocí portrétu, u složitějších těles by to možné nebylo (např. těleso F na obr. 2.5). Na těleso M se podíváme jako na stavbu a tuto „nakrájíme“ na jednotlivá podlaží. V prvním podlaží stavby leží dvě krychle a jejich dolní stěny (podlahy) tvoří obdélník – označíme jej ABCD. Úroveň podlahy označíme číslem 0. Tuto úroveň popisuje obr. 4.1a. Úroveň, ve které leží strop krychle prvního podlaží a zároveň podlaha krychle druhého podlaží, bude označena 1. V této úrovni leží čtvercová stěna EFGH tělesa M. Tuto úroveň popisuje obr. 4.1b. Horní stěna druhého podlaží (strop) je čtverec IJKL. Úroveň čtverce označíme číslem 2. Tuto úroveň popisuje obr. 4.1c. Tak je popsáno všech 12 vrcholů tělesa M. Popis je trochu těžkopádný, protože vyžaduje více obrázků. Na popis 2-podlažní stavby potřebujeme 3 obrázky, na popis 3-podlažní stavby je třeba 4 obrázků a obecně na popis n-podlažní stavby je třeba n+1 obrázků. úroveň C.
1,2
D Obr. 4.1a
0
úroveň 1
B
A
1
úroveň F
G
1,2
K
1 H
Obr. 4.1b
- 55 -
2 J
1,2 E
L Obr. 4.1c
1 I
Všechny tři obrázky 4.1a, b, c lze vtěsnat do jediného obrázku 4.2. Čtenář, který s tímto zápisem nemá žádné zkušenosti, musí zejména na začátku vynaložit větší úsilí, aby obrázku porozuměl. Když si čtenář toto značení osvojí, shledá, že je velice účinné. C(0) ≡ K(2)
G(1) ≡ J(2)
1, 2
D(0) ≡ L(2)
B(0) ≡ F(1)
1
H(1) ≡ I(2)
A(0) ≡ E(1) Obr. 4.2
Číslo připsané v závorce za písmenem určuje úroveň (vrstvu), ve které se daný bod nachází. Tak A(0) znamená že bod A leží „na podlaze“ neboli na úrovni 0 (viz obr. 4.1a), E(1) znamená, že bod E leží na úrovni 1 a I(2) znamená, že bod I leží „na stropě“, tedy na úrovni 2. Rovnost D(0) ≡ L(2) říká, že body D a L leží nad sebou a při pohledu shora je dolní bod D překryt horním bodem L. Čísla v závorce určující výšku daného bodu nad „podlahou“, budeme nazývat kóty. Proto se tento způsob zobrazování prostoru do roviny nazývá kótované. Na obrázku 4.2 je kótovaný plán tělesa M. Přesně řečeno, je to jeden z možných takových plánů. Další kótované plány tělesa M si může čtenář vytvořit sám (například tak, že položíte těleso na stěnu ABFE a nakreslíte kótovaný plán tělesa M v této poloze). První část úkolu je splněna – vrcholy tělesa M jsou popsány. Druhá část úkolu – nakreslit soubor stěn tělesa M – je udělána na obrázku 4.3. H G I
L
K
E H
J G
F
G H
L K
E
I
F
J
A
D
C
B
K
C
C
B
E F
I
L
D
D
A
A B
G H
I E
J
Obr. 4.3
I
J
L
K
H
H
E
A
D
G
F
B
C
J G
F
C
B
Obr. 4.4
Třetí a čtvrtá část úkolu – vytvořit a popsat síť tělesa M – je na obrázku 4.4. Síť jsme vytvořili postupným sešíváním jednotlivých stěn nakreslených na obrázku 4.3. Nejprve jsme sešili stěny EFGH a ABFE podél hrany EF. Pak k této části jsme podél hrany AB přišili stěnu
- 56 -
ABCD. Pak jsme k tomuto útvaru podél hrany AD přišili šestiúhelník ADLIHE, atd. Samozřejmě, že tvarů sítí tohoto tělesa existuje více. Dokonce mnohem více než u krychle. Poslední část úkolu – vyjmenovat a spočítat všechny stěny, vrcholy a hrany tělesa M – je již úkol lehký. Dané těleso má 12 vrcholů (A, B, …, K, L), 8 stěn (4 čtverce ABFE, EFGH, GHIJ a IJKL; 2 obdélníky ABCD a CDLK; 2 šestiúhelníky ADLIHE a BCKJGF) a 18 hran (AB, EF, GH, IJ, KL, CD, AD, BC, EH, FG, IL, JK, AE, BF, HI, GJ, DL, CK). Dodejme, že soubor stěn můžeme popsat i v jazyce polymin (viz obr. 3.12). Těleso M má 8 stěn, z nichž jsou čtyři monomina 1A, dvě bimina 2A a dvě trimina 3B. Úloha 4.1. Krychlové těleso je dáno svým plánem: (a) 1,2│1,2 , (b) 1-3│ 1 , (c) 1-2│2-3. Popište jeho vrcholy. Nakreslete soubor všech jeho stěn a vytvořte síť daného tělesa a síť popište. Vytvořte kótovaný plán tělesa. Zjistěte, kolik má těleso vrcholů, kolik hran a kolik stěn. Vyjmenujte vrcholy i hrany pomocí jmen vrcholů a stěny pomocí jazyka polymin. Dodejme, že se jedná o krychlová tělesa C, A a D, jejichž portréty jsou na obrázcích 2.1 a 2.3. Komentáře. Jsou čtyři: A, B, C a D. A. Model tělesa dobře poslouží řešiteli, když nastanou potíže. Na druhé straně řešitel, který je schopen úlohu vyřešit bez modelu, má dobrou prostorovou představivost. B. Těleso C výrazně připomíná krychli. Je to vlastně krychle, jejíž jeden rozměr je zkrácen na polovinu. Z toho plyne příjemný důsledek: soubor stěn, soubor hran a soubor vrcholů tělesa C je v podstatě stejný jako u krychle. Nemusíme tedy tyto objekty vypisovat, protože jsou vyjmenovány na začátku podkapitoly 3.1. Jediné, co se zde mnění, je tvar stěn a délky hran. U krychle jsou všechny stěny čtverce, ale těleso C má jen 2 čtvercové stěny, 4 jeho stěny jsou obdélníky. Základní charakteristika stěn je zachována – jsou to pravoúhelníky. U krychle jsou všechny hrany stejně dlouhé, u tělesa C je 8 hran shodných a zbylé 4 hrany mají poloviční délku těchto. C. Řekneme, že dvě krychlová tělesa K1 a K2 jsou kombinatoricky stejná (mají stejnou kombinatorickou strukturu), když můžeme vrcholy K1 vzájemně jednoznačně zobrazit na vrcholy K2, přičemž v tomto zobrazení platí, že když soubor vrcholů A1, … An z K1 leží v jedné stěně tělesa K1, tak soubor odpovídajících vrcholů A1´, … A´n leží v jedné stěně tělesa K2.
- 57 -
D. Tělesa A a M z příkladu 4.1 jsou kombinatoricky stejná. To usnadní řešení úlohy 4.1. [Řešení Ú4.1(a) Dvě stěny tělesa C jsou tetramina 4E – čtverce a čtyři jeho stěny jsou bimina 2A – obdélníky. Označme čtvercové stěny ABCD a EFGH tak, že úsečky AE, BF, CG a DH jsou hrany tělesa. Tím jsou vrcholy tělesa určeny. Síť tělesa (jedna z mnoha možných) je na obrázku Ř 4.1a. Všimněte si, že tato síť je kombinatoricky stejná, jako je síť 6J z obrázku 3.12. Kdybychom v obrázku Ř 4.1a změnili všechny obdélníky na čtverce, tedy kdybychom zdvojnásobili délku úseček AE, BF, CG a DH, dostali bychom síť krychle 6J. Tato příbuznost není náhodná. Každou síť tělesa C můžeme vytvořit z některé z 11 (nebo 20) sítí krychle. Stačí na síti krychle zvolit dva čtverce, které padnou na rovnoběžné stěny krychle, tyto čtverce ponechat a všechny další čtverce sítě krychle změnit na obdélníky s rozměry 1×½. Protože na každé síti existují tři páry takových „rovnoběžných stěn“, je možné z každé sítě krychle vytvořit 3 sítě tělesa C. Celkem tedy existuje 33 (nebo 60) různých sítí tělesa C. Kótovaný plán tělesa je na obrázku Ř 4.1b. V něm délka úsečky AB rovna 2.
D(0)≡H(1)
C(0)≡G(1)
D
D
C
G
H
D
A
B
F
E
A
B
A
Obr. Ř4.1a
A(0)≡E(1)
C
B(0)≡F(1)
E A I
Obr. Ř4.1b
H
A
E
H
I
L
D
A
B
F
G
J
K
C
B
J
G
Obr. Ř4.2
F
B
[Řešení Ú4.1(b). Těleso A má 8 stěn, tři monomina 1A, dvě bimina 2B, jedno trimino 3A a dvě tetramina 4B. Těleso A je kombinatoricky stejné jako těleso M (příklad 2.1). Proto bude k řešení možné využít výsledků z příkladu 4.1. Především označení vrcholů písmeny A,…,L volíme stejně jako u tělesa M. Pak soubor vrcholů a hran je týž jako u tělesa M. Těleso má 12
- 58 -
vrcholů (A, B, …, K, L) a 18 hran (AB, EF, GH, IJ, KL, CD, AD, BC, EH, FG, IL, JK, AE, BF, HI, GJ, DL, CK). ] Dodejme, že stěny v jazyce písmen jsou popsány takto: 3 monomina ABFE, EFGH a IJKL, 2 bimina ABCD a HGJI, jedno trimino typu 3A DCKL a 2 tetramina typu 4B – ADLIHE a BCKJGF. Dále kótovaný plán tělesa A získáme z kótovaného plánu tělesa M (obr. 4.2), když všechny čtyři kóty u vrcholů I, J, K a L změníme z „2“ na „3“. Síť tělesa je na obrázku Ř 4.2. [Řešení Ú4.1(c). Těleso D má 16 vrcholů.
N
Opíšeme je pomocí sítě tělesa – viz obr. Q
P
Ř4.3a. Tím je popsáno i 10 stěn tělesa: I 2 osmiúhelníky (tetramina typu 4D) ABCDEFGH a IJKLMNPQ, 2 obdélníky (bimina) ABJI a EFNM a 6 čtverců
A
H G
K
L
J
K
L
M
N
P
Q
I
B
C
D
E
F
G
H
A
C F
(monomin) BCKJ, CDLK, DEML,
M
D E
Obr. Ř4.3a
FGPN, GHQP a HAIQ. Konečně je zde 24 hran: AI, BJ, CK, DL, EM, FN, GP, HQ, AB, GH, CD, EF, IJ, PQ, KL, MN, AH, BC, JK, IQ, FG, DE, LM a NP. Poslední část úlohy, sestrojit kótovaný plán tělesa D, je řešena obrázkem Ř 4.3b. Podotkněme, že těleso D je zde proti zadání otočené. Několik následujících doplňujících úloh může čtenáři pomoci lépe se seznámit s kótovaným plánem tělesa. Úlohy se snažte řešit jen pomocí obrázku Ř4.3b, pouze když to nejde, nakreslete si obrázek tělesa D, případně si postavte jeho model. I(0) ≡ Q(1)
P(1) ≡ N(2)
1 A(0) ≡ H(1)
J(0) ≡ K(1)
1, 2
G(1) ≡ F(2)
L(1) ≡ M(2)
2
B(0) ≡ C(1)
D(1) ≡ E(2) Obr. Ř4.3b
Doplňující úlohy: 1. Které hrany tělesa D leží v úrovni 0? které v úrovni 1? a které v úrovni 2? 2. Které stěny tělesa D obsahují vrchol A? a které vrchol G? 3. Který vrchol tělesa D náleží právě (a) 3 hranám? (b) 4 hranám? 4. Jak dlouhá je nejdelší úsečka, která celá leží uvnitř tělesa?
- 59 -
5. Uspořádejte úsečky PF, FQ, BC, FM od nejkratší po nejdelší. 6. Ve kterém bodě protíná přímka AF stěnu HGPQ a ve kterém bodě ji protne přímka FI? 7. Najděte vrchol, kterým prochází rovnoběžka s přímkou AJ vedená bodem (a) G, (b) F. 8. Najděte další vrchol, který leží v rovině (a) ABK, (b) GEM. 9. Má toto těleso (a) rovinu souměrnosti?, (b) střed souměrnosti?, (c) osu souměrnosti?
4.2. Kombinatorická struktura tělesa B
O L
Pojmy vrchol, hrana a stěna, s nimiž jsme pracovali v předchozí podkapitole, nevyvolávaly v naší mysli žádná překvapení. Nicméně již u tělesa B, jehož portrét sem přenášíme z obr. 2.1, zažijeme velké
N M
I
K D
G E
překvapení.
F
A
H B
B
Příklad 4.2. Je dáno je krychlové těleso B svým portrétem.
Obr. 4.5
Popište jeho vrcholy. Nakreslete soubor všech jeho stěn a vytvořte síť
daného tělesa. Síť popište. Zjistěte, kolik má těleso vrcholů, kolik hran a kolik stěn. Vyjmenujte vrcholy i hrany pomocí jmen vrcholů a stěny pomocí jazyka polymin. Řešení. Nebudeme kreslit kótovaný plán tělesa, protože ten by nebyl dostatečně přehledný. Rozkreslíme vrcholy tělesa po úrovních, jako jsme to dělali na obrázku 4.1. úroveň D
E
0
1,2
úroveň 1
F
A Obr. 4.5a
C
1
úroveň
J
1,2
I
O
1
N 1
1,2
K
1
2
L
M
1 B
G Obr. 4.5b
1
H Obr. 4.5c
Z obrázků 4.5a, b, c vidíme, že těleso B má 15 vrcholů: 6 na úrovni 0 (A, B, C, D, E, F), 5 na úrovni 1 (G, H, I, J, K) a 4 na úrovni 2 (L, M, N, O). Vrcholy na úrovni 0 tvoří šestiúhelník ABCDEF, který je triminem 3B. Vrcholy na úrovni 2 tvoří čtverec LMNO, který je monominem. Velice zajímavá je ale situace na úrovni 1. Tato stěna je bimino 2A, tedy obdélník GHIJK, který je pětiúhelníkem. Bod K je vrcholem tělesa a leží v úrovni 1. Tudíž musí být i vrcholem obdélníka GHIJ. Tedy tato stěna není čtyřúhelník GHIJ , ale pětiúhelník GHIJK. To je paradoxní situace. Může být obdélník pětiúhelníkem? Podle toho, jak jsme zavedli pojem mnohoúhelník ve vymezení 1.1, není možné, aby dvě sousední strany
- 60 -
mnohoúhelníku ležely v přímce. Zde ale tento případ nastal. Co s tím? Snažte se uvedený paradox promyslit v poloze didaktické. Výzva 4.1. Představte si, že za vámi přijde hloubavý žák a ptá se, zda bod K, který je vrcholem tělesa B, je i vrcholem stěny GHIJ. A co úsečka KJ? To přece je hrana tělesa B a tedy musí být i strana stěny GHIJK? Jak na žáka budete reagovat? Otázky, které zazněly ve výzvě, zatím nechme otevřené a pokusme se vytvořit síť tělesa. Nejprve nakreslíme všechny stěny a ty pak budeme postupně slepovat. E D
D
O
E
N
F
L
L
O
B
H
M
M
N
A
G
M
N
A
G
K
J
F
K
F A
J
B
C
C
B
C
E
L
G
H
I
D
O
H
K
I K
J I
Obr. 4.6a
Všech 10 stěn tělesa B je na obrázku 4.6a. Z nich postupně slepíme síť tělesa. Nejprve oba šestiúhelníky slepíme podél hrany CD. Pak k tomuto základu přilepíme obdélní BHIC podél hrany BC a obdélník DOLE podél hrany DO. Dále přilepíme čtverec ONML podél hrany NO a čtverec JKMN podél hrany MN. Stejně přilepíme čtverec ABHG podél AB a čtverec AGKF podél AG. Konečně musíme přilepit dva problematické útvary. Útvar GHIJK můžeme přilepit podél hrany JK a útvar MLFEK podél hrany FK. Výsledek naší práce je na obrázku 4.6b. L
M
E
E
K
F
E
G
A
F
H
B
C
H
I
L
D
O
L
J
N
M
I
J
K
I
G H
Obr. 4.6b
Z uvedeného popisu vidíme, že úsečka FK je hranou tělesa B. Proto pro každou stěnu, která úsečku FK obsahuje, je tato úsečka stranou. Hrany FE, EL, LM, MK a KF ohraničují jednu
- 61 -
stěnu tělesa. Protože je těch úseček 5, je ohraničený útvar pětiúhelník. Podle vymezení 1.1 to ale vůbec není mnohoúhelník, protože dvě jeho sousední strany (MK a KF) leží v přímce. Východisko ze zamotané situace najdeme v rozdělení pojmu mnohoúhelník na dva nové pojmy: tvarový mnohoúhelník a kombinatorický mnohoúhelník. Pak je útvar MLFEK kombinatorický pětiúhelník, ale útvar MLFE je tvarový čtyřúhelník, přesněji obdélník. Vymezení 4.1. Vrátíme se k vymezení 1.1, kde jsme zavedli pojem šestiúhelník. Z tohoto vymezení vypustíme podmínku: „Navíc žádné dvě sousední úsečky neleží v jedné přímce.“ Útvar, který takto dostaneme, nazveme kombinatorický šestiúhelník. Výzva 4.2. Napište vymezení kombinatorického pětiúhelníka, kombinatorického 4úhelníka, kombinatorického trojúhelníka, kombinatorického sedmiúhelníka a kombinatorického núhelníka. Domluva. Slovo mnohoúhelník používáme v dalším ve smyslu tvarový mnohoúhelník. Výzva 4.3. V příkladě 2.1 v hypotetické diskusi třídy o různosti těles M2 a M6 (pravá a levá bota) zazněla věta: Oděv, který ušijeme na stavbu M2, si stavba M6 obléct nemůže. Stavba M6 je tělesem B a stavba M2 je zrcadlový obraz stavby B. Vystřihněte síť tělesa B a zjistěte, zda tato síť není náhodou i sítí tělesa M2. Komentář. Tvrzení, které jsme uvedli v příkladě 2.1 a o jehož neplatnosti jste se přesvědčili v předcházející výzvě, je častý omyl nejen žáků. Dodejme, že když jsme tuto zajímavost vztahu roviny a prostoru zkoumali se žáky 5. ročníku, mnozí si svoji síť natřeli z jedné strany na červeno a z druhé na modro. Viděli, že z jedné sítě lze sestrojit dvě různá tělesa – červené a modré, která jsou zrcadlovým obrazem jeden druhého. Způsob, kterým jsme tuto pěknou překvapivou skutečnost prezentovali čtenáři, lze označit jako „šoková terapie“. Čtenář je textem zaveden k přijetí chybné teze a pak po jisté době je na tuto chybu poukázáno. Ve vyučování ať již na základní, střední, nebo i vysoké škole se nám tato didaktická metoda osvědčila, protože vyvolává, zejména u matematicky vyspělých žáků/studentů pocit „nechal jsem se podvést“, který pak svého majitele chrání před stejným „napálením“ v budoucnu. Úloha 4.2. Nakreslete útvar, který je současně (a) tvarový čtyřúhelník a kombinatorický šestiúhelník, (b) tvarový trojúhelník a kombinatorický šestiúhelník. [Řešení Ú4.2. (a) V obdélníku ACDF označíme střed strany AC jako bod B a střed strany DF jako bod E. Pak kombinatorický šestiúhelník ABCDEF je současně i tvarový čtyřúhelník
- 62 -
ACDF.
(b) V trojúhelníku ACE označíme střed strany AC jako bod B a střed strany CE jako
bod D, a střed strany AE jako bod F. Pak kombinatorický šestiúhelník ABCDEF je současně i tvarový trojúhelník ACE.] Úloha 4.3. Jedno z těles A – M z 2. kapitoly má 9 stěn, z nichž 3 jsou trimina 3B a 6 je monomin. Najděte to těleso, vytvořte jeho síť, zjistěte počet jeho vrcholů i hran. [Řešení Ú4.3. Je to těleso E. Má 17 vrcholů, 12 stěn a 27 hran.] Úloha 4.4. Jedno z těles A – M z 2. kapitoly má 14 stěn, z nichž jedna je pentamino 5H, jedna tetramino 4C, pět bimin 2A a sedm monomin 1A. Najděte to těleso, vytvořte jeho síť, zjistěte počet jeho vrcholů i hran. [Řešení Ú4.4. Je to těleso F. Má 22 vrcholů, 14 stěn a 34 hran.] Úloha 4.5. Jedno z těles A – M z 2. kapitoly má více než 10 stěn. Čtyři jeho stěny jsou trimina 3B, jedna jeho stěna je tetramino 4D, jedna jeho stěna je bimino 2A a zbylé stěny jsou monomina 1A. Najděte to těleso, vytvořte jeho síť, zjistěte počet jeho vrcholů, stěn i hran. [Řešení Ú4.5. Je to těleso K. Má 20 vrcholů, 12 stěn a 30 hran.] Úloha 4.6. Sestrojte krychlové těleso P, které má 8 stěn, z nichž 2 jsou trimina 3B a 6 je bimin 2A. Vytvořte plán tělesa i jeho síť a zjistěte počet jeho vrcholů i hran. [Řešení Ú4.6. Plán tělesa P je na obr. Ř4.4. Těleso má stejnou kombinatorickou 1,2 strukturu jako těleso M i těleso A. Má tedy 12 vrcholů a 18 hran.]
1
1,2 1
Obr. Ř4.4.
4.3. Hranoly a jehlany Kombinatorická struktura tělesa B. Připomeneme vymezení základních pojmů nejprve u hranolu, pak u jehlanu. Vymezení 4.2. Mnohostěn nazveme n-bokým hranolem (n > 2), právě když počet jeho stěn je n + 2 a platí: 1) dvě stěny jsou shodné n-úhelníky které leží v navzájem rovnoběžných rovinách; tyto stěny nazýváme podstavy hranolu; 2) zbylých n stěn jsou rovnoběžníky; tyto nazýváme boční stěny. - 63 -
Hranol nazveme kolmý, právě když všechny jeho boční stěny jsou pravoúhelníky (tj. obdélníky nebo čtverce). Kolmý hranol nazveme pravidelný, právě když jsou jeho podstavy pravidelné n-úhelníky. Soubor všech bočních stěn tvoří plášť hranolu. Úloha 4.7. Jedno z těles A – M z 2. kapitoly je pravidelný hranol. Najděte toto těleso. [Řešení Ú4.7. Je to těleso C. Je to pravidelný 4-boký hranol, jehož podstavy jsou čtverce.] Úloha 4.8. Která z těles A – M z 2. kapitoly jsou hranoly. Najděte všechna a u každého hranolu určete jeho podstavu. [Řešení Ú4.8. Je to celkem pět těles: těleso A s podstavou 4A (tetramino), šestiboký nekonvexní hranol, těleso C, u něhož každá stěna může být vzata za podstavu, těleso D s podstavou 4D (tetramino), které je osmiboký nekonvexní hranol, těleso I, jehož podstavou je hexamino nakreslené na obrázku 2.6 jako půdorys Ip a těleso M, jehož podstavou je trimino 3B.] Úloha 4.9. Popište všechny pravidelné hranoly, které jsou krychlovými tělesy. [Řešení Ú4.9. Je to každý pravidelný 4-boký hranol o rozměrech a×a×b, kde a, b jsou přirozená čísla ne nutně různá.] Úloha 4.10. Určete počet stěn (s), hran (h) i vrcholů (v) n-bokého hranolu. [Řešení Ú4.10. s = n + 2, h = 3n, v = 2n.] Úloha 4.11. Nakreslete síť pravidelného (a) 3-bokého, (b) 6-bokého, (c) 8-bokého, (d) 5-bokého hranolu. Rozměry zvolte sami. Sestrojte model jednoho z uvedených těles. Dodatek 4.1. Konstrukce pravidelného pětiúhelníku (pentagonu) ABCDE, vepsaného do kružnice k. 1) Z bodu S poloměrem r opište kružnici k. 2) Do k vepište čtverec AUVW. 3) Sestrojte střed K úsečky SW. 4) Z bodu K poloměrem │KV│opište pomocnou kružnici. 5) Průsečík pomocné kružnice s úsečkou SU označme L. 6) Kružnice opsaná ze středu A poloměrem │AL│protne původní kružnici k ve vrcholech B a E hledaného pentagonu. Body C a D sestrojíme již lehce.
- 64 -
Dodejme, že úsečku SL můžeme na kružnici k nanést přesně 10krát. Tedy délka úsečky SL je délkou strany pravidelného 10-úhelníku vepsaného do k.
Obr. 4.5 Vymezení 4.3. Mnohostěn nazveme n-bokým jehlanem (n > 2) právě když platí: těleso má 1) n + 1 vrcholů A1, A2, …,An, V , z nichž prvních n leží v rovině a tvoří n-úhelník A1A2…An a poslední vrchol V, zvaný hlavní vrchol jehlanu, neleží v rovině podstavy; 2) n + 1 stěn, z nichž jedna je n-úhelník A1 A2 …An zvaný podstava jehlanu, a zbylých n stěn, zvaných boční stěny, jsou trojúhelníky, A1A2V, A2A3V, … , An-1AnV, AnA1V. Jehlan nazveme pravidelný, právě když všechny jeho boční stěny jsou rovnoramenné (nebo rovnostranné) trojúhelníky. Úloha 4.12. Nakreslete síť pravidelného (a) 3-bokého (b) 4-bokého jehlanu, jehož všechny hrany mají délku 4 cm. Vytvořte papírový model obou těles. Úloha 4.13. Nakreslete síť pravidelného (a) 6-bokého (b) 5-bokého jehlanu, jehož všechny hrany mají délku 35 mm. Vytvořte papírový model obou těles. Úloha 4.14. Sestrojte síť čtyřstěnu jehož tři stěny jsou rovnoramenné pravoúhlé trojúhelníky s přeponou délky 3 cm a čtvrtá stěna je rovnostranný trojúhelník se stranou délky 3 cm. Úloha 4.15. Narýsujte rovnostranný trojúhelník ABC o straně 4 cm a čtverec BCDE tak, že bod A leží vně čtverce. Střed čtverce označte F. Šestiúhelník ABEFDC tvoří síť jehlanu. Sestrojte tento jehlan a zjistěte, které z bodů A,…, F při vytvoření tělesa splynou. [Řešení Ú4.14 a Ú4.15. Obě tělesa jsou shodná. Jsou to pravidelné 3-boké jehlany, které lze získat i tak, že na krychli zvolíme jeden vrchol a k němu všechny tři s ním sousední. Tyto 4
- 65 -
body tvoří vrcholy jehlanu, který jsme sestrojili. Při konstrukci jehlanu v úloze 4.15 splynou vrcholy sítě A, E a D a vytvoří jeden vrchol jehlanu.] Zajímavé jehlany lze najít uvnitř krychle. Ve standardní krychli ABCDEFGH z obrázku 3.1 zvolme například čtyřstěn ABDE. Toto těleso jsme modelovali v úlohách 4.14 a 4.15. Volbou jiných vrcholů krychle dostáváme jiné jehlany. Tomu jsou věnovány následující úlohy 4.16až 4.21. V nich budeme potřebovat určovat délky úseček. Proto zvolíme hranu standardní krychle jako jednotku 1. Pak každá z 12 stěnových úhlopříček AC, AF, AH, BE, BG,… má délku √2 a každá tělesová úhlopříčka AG, BH, CE, DF má délku √3. Úloha 4.16. Narýsujte síť čtyřstěnu ACFH. Popište všechny jeho stěny. [Řešení Ú4.16. Jedná se o pravidelný čtyřstěn, tedy tetraedr. Je nakreslen na obrázku 4.6 i s krychlí, která mu dělá lešení. Každá stěna tetraedru je rovnostranný trojúhelník.Toto těleso má dvě zajímavé sítě. První je rovnostranný trojúhelník, který je středními příčkami rozdělen na čtyři menší rovnostranné trojúhelníky a ty jsou stěny tetraedru. Druhá síť je rovnoběžník složený ze 4 shodných rovnostranných
Obr. 4.6
trojúhelníků.] Úloha 4.17. Narýsujte síť čtyřstěnu ABEH. Popište všechny jeho stěny. [Řešení Ú4.17. Dvě stěny jsou pravoúhlé rovnoramenné trojúhelníky ABE a AEH s přeponami BE a AH. Další dvě stěny jsou pravoúhlé trojúhelníky ABH a BEH. Mají společnou přeponu BE délky √3. Jejich kratší odvěsny AB a EH mají délku 1 a jejich delší odvěsny AH a BE mají délku √2. ] Úloha 4.18. Narýsujte síť čtyřstěnu ABFG. Popište všechny jeho stěny. [Řešení Ú4.18. Situace je izometrická s předchozí. Když totiž v předchozím řešení uděláme záměnu A→B, B→A, E→F, H→G, dostaneme řešení této úlohy. Dodejme, že obě tělesa jsou nepřímo shodná, tak jako pravá a levá bota. ] Úloha 4.19. Narýsujte síť čtyřstěnu ABFH. Popište všechny jeho stěny. [Řešení Ú4.19. Dvě stěny jsou pravoúhlé rovnoramenné trojúhelníky ABH a BFH se společnou přeponou BH délky √3. Jejich kratší odvěsny AB a BF mají délku 1 a jejich delší odvěsny AH a FH mají délku √2. Třetí stěna je rovnostranný trojúhelník AFH s délkou strany √2. Poslední stěna je pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník ABF s přeponou AB délky √2 a odvěsnami AF a BF délky 1.]
- 66 -
Úloha 4.20. Sestrojte model 4bokého jehlanu ABCDE. Úloha 4.21. Sestrojte ještě dva stejné jehlany jako je ten z předcházející úlohy a z těchto tří těles sestavte krychli.
4.4. Náměty pro samostatnou práci čtenáře Poslední podkapitola přináší sérii důležitých pojmů a myšlenek o 3D geometrii. Je určena pro hlubší samostatnou práci čtenáře, popřípadě mu dává náměty na seminární práci. Zavedení nového pojmu 1. Když n-boký jehlan rozřízneme rovinou rovnoběžnou s rovinou podstavy na dvě tělesa, bude jedno z nich n-boký jehlan a druhé nazýváme n-boký komolý jehlan. Výzva. 4.4. Napište vymezení pojmů n-boký komolý jehlan i pravidelný n-boký komolý jehlan. Určete, kolik má toto těleso vrcholů, stěn i hran. Popište konstrukci sítě tohoto tělesa. Ukažte, že kombinatorická struktura tohoto tělesa je stejná jako u jiného, již dříve zkoumaného tělesa. Vytvořte gradovanou sérii úloh o tomto tělese pro žáky 5. ročníku. Zavedení nového pojmu 2. Dán je pravidelný 8-boký hranol s podstavami A1A2A3A4A5A6A7A8 a B1B2B3B4A5B6B7B8 a hranami A1B1, A2B2, …, A8B8. Z tohoto tělesa odřízneme osm jehlanů rovinami A1B2A3, A3B4A5, A5B6A7, A7B8A1, B2A3B4 , B4A5B6, B6A7B8, B8A1B2. Těleso, které zůstane se nazývá 4-boký antihranol. Výzva 4.5. Napište vymezení pojmu n-boký antihranol. Určete, kolik má toto těleso vrcholů, stěn i hran. Popište konstrukci sítě tohoto tělesa. Vytvořte gradovanou sérii úloh o tomto tělese pro žáky 5. ročníku. Zavedení nového pojmu 3. Velký astronom Johan Kepler, který pracoval i u dvora Rudolfa II. v Praze, za nejkrásnější tělesa považoval tělesa pravidelná – těch je 5. V první polovině 17. století bylo známo pouze 5 planet a Kepler oba tyto jevy považoval za propojené harmonií univerza. Naše pozornost se zaměří na těchto 5 pravidelných těles, které vidíme na obrázku 4.7. Jsou to tetraedr (pravidelný 4-stěn), hexaedr (pravidelný 6-stěn, tj. krychle), oktaedr (pravidelný 8-stěn), dodekaedr(pravidelný 12-stěn) a ikosaedr (pravidelný 20-stěn). Výzva. 4.6. Napište vymezení pojmu pravidelné těleso. Vymezení můžete založit na těchto jevech: všechny stěny jsou shodné pravidelné n-úhelníky. Z každého vrcholu vychází stejný počet hran. Tělesu lze opsat i vepsat kulová plocha.
- 67 -
Výzva. 4.7. Vytvořte síť každého z pravidelných těles. Vytvořte gradovanou sérii úloh o každém pravidelném tělese. Výzva. 4.8. Některé dvojice pravidelných těles spolu souvisejí zajímavým způsobem. Na obrázku 4.6 vidíme, jak je tetraedr vložen do krychle. Podobně lze například krychli vložit do dodekaedru. Zkoumejte taká vložení. Výzva. 4.9. Když v pravidelném tělese vyznačíte středy všech jeho stěn a tyto body prohlásíte za vrcholy nového tělesa, bude i toto těleso pravidelné. Řekneme o něm, že je duální k původnímu. Výzva. 4.10. Pro každé pravidelné těleso zjistěte počet jeho stěn (s), vrcholů (v) i hran (h). Najděte jednoduchou formuli pro s, h, a v, kterou splňují všechna pravidelná tělesa. Hledejte, pro která z dalších těles (hranoly, jehlany, komolé jehlany, antihranoly) tato formule platí.
Obr. 4.7
- 68 -
