Syntetická geometrie I Podobnost Michal Zamboj Pedagogická fakulta
2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/
Michal Zamboj
Syntetická geometrie I
Úhel ˇ ji na dveˇ polopˇrímky. Zvolíme-li na pˇrímce bod, rozdelí Definice (Úhel) Ý Ñ ÝÑ Systém dvou polopˇrímek VA, VB se spoleˇcným poˇcáteˇcním Ý Ñ ÝÑ bodem V nazýváme úhel >AVB. Polopˇrímky VA, VB nazýváme ˇ ramena úhlu a bod V vrchol úhlu. Úhel rozdeluje rovinu na dveˇ množiny ohraniˇcené rameny: Každé dva body množiny je možno spojit úseˇckou, která leží v dané množineˇ - množina vnitˇrních bodu˚ úhlu ˇ Nelze Ò - množina vnejších bodu˚ úhlu Pozn. konvexní (nekonvexní) úhel lze taky definovat pomocí pruniku ˚ (sjednocení opaˇcných) polorovin AVB a BVA.
Michal Zamboj
Syntetická geometrie I
Velikost úhlu Definice (Klasifikace úhlu˚ podle velikosti) Úhel je nulový, když se jeho ramena pˇrekrývají a množina vnitˇrních bodu˚ je prázdna . 0o {0 plný, když se jeho ramena pˇrekrývají a množina vnitˇrních bodu˚ je celá rovina, kromeˇ ramena. 360o {2π pˇrímý, když jeho ramena tvorí pˇrímku. 180o {π pravý, když jeho zdvojení vytvoˇrí pˇrímý úhel (pozn. neˇríkali jsme co je to zdvojení úhlu). 90o { π2 ˇ než nulový. ostrý, když je menší než pravý a vetší p0o ; 90o q{p0; π2 q ˇ než pravý a menší než pˇrímý. tupý, když je vetší π o o p90 ; 180 q{p 2 ; πq ˇ než pˇrímý a menší než plný. dutý, když je vetší p180o ; 360o q{pπ; 2πq Michal Zamboj
Syntetická geometrie I
Úhel Definice (Klasifikace dvojic úhlu) ˚ Dva úhly jsou vrcholové, jsou-li jejich ramena opaˇcné polopˇrímky (α, β). vedlejší, když mají jedno rameno spoleˇcné a druhé ramena jsou opaˇcné polopˇrímky (α, γ). souhlasné, leží-li jedny ramena v pˇrímce a druhé jsou ˇ rovnobežné a souhlasneˇ orientované (α, δ). stˇrídavé, leží-li jedny ramena v pˇrímce a druhé jsou ˇ rovnobežné a opaˇcneˇ orientované (α, ).
Michal Zamboj
Syntetická geometrie I
Úhly v 4
ˇ Veta Souˇcet vnitˇrních úhlu˚ v 4 je π. Dukaz ˚ „Dukaz“ ˚ 1- stˇríhání papíru Dukaz ˚ 2 - Eukleides Dukaz ˚ 3 - Obtáˇcení
Michal Zamboj
Syntetická geometrie I
Úhly v 4 - O. Byrne, 1847 ,
BOOK
F
PROP. XXXII.
I.
any fide
(-
THEOR.
33
•)
of a triangle be produced,
^figl^
to the
^^^)
fum of the two
oppofte angles
and
(
the
external
the
aiid
(
'-^
^qual
internal
and
^^^
)
three internal angles of
every triangle taken together are
equal to two right angles.
Through
the point
/
draw (pr. 3i-)-
II
Then
(pr. 29.),
and therefore
(pr. 13.).
J -dy Q. E. D.
Michal Zamboj
Syntetická geometrie I
Úhly v 4
ˇ Veta ˇ Souˇcet vnejších úhlu˚ v 4 je 2π. Dukaz ˚ ˇ dusledek ˚ pˇredešlé vety
Michal Zamboj
Syntetická geometrie I
Úhly v 4
Definice (Klasifikace 4 podle úhlu) ˚ ostroúhlý, všechny vnitˇrní úhly jsou ostré. pravoúhlý, jeden vnitˇrní úhel je pravý. tupoúhlý, jeden vnitˇrní úhel je tupý.
Michal Zamboj
Syntetická geometrie I
Goniometrické funkce Goniometrické funkce definujeme pro α P p0, π2 q synteticky ˇ pomocí pravoúhlého 4 následovne: sin α “
protilehlá pˇrepona
cos α “
pˇrilehlá pˇrepona
tg α “
protilehlá pˇrilehlá
cotg α “
pˇrilehlá protilehlá
Michal Zamboj
Syntetická geometrie I
Goniometrické funkce - intermezzo s kružnicí Goniometrické funkce definujeme pro α P R synteticky pomocí ˇ jednotkové kružnice následovne: 2 sin α ` cos2 α “ 1 1 sin α tg α “ cos α ; cotg α “ tg α
Michal Zamboj
Syntetická geometrie I
Goniometrické funkce - intermezzo s kružnicí
sinpπ ´ αq “ sin α cospπ ´ αq “ ´ cos α sinp π2 ´ αq “ cos α cosp π2 ´ αq “ sin α tgp π2 ´ αq “ cotg α cotgp π2 ´ αq “ tg α
Michal Zamboj
Syntetická geometrie I
Výšky v 4
Definice (Výška) Výška v trojúhelníku je úseˇcka, jejíž krajními body jsou vrchol a pata kolmice vedené z daného vrcholu k pˇrímce urˇcené ˇ ostatními dvema vrcholy trojúhelníku.
Michal Zamboj
Syntetická geometrie I
ˇ Sinova veta ˇ (Sinova) Veta V libovolném 4ABC se stranami a, b, c a vnitˇrnímí úhly α, β, γ platí: a b c “ “ sin α sin β sin γ Dukaz ˚ sin α “
vc b
sin β “
vc a
sin α a “ sin β b
Michal Zamboj
Syntetická geometrie I
Osa úhlu v 4 ˇ (Osa úhlu) Veta ˇ protilehlou stranu 4 v pomeru ˇ stran pˇrilehlých. Osa úhlu delí Dukaz ˚ b m “ sin ϕ sin ϕ2 a n “ sin ϕ sin ϕ2 a n “ b m
Michal Zamboj
Syntetická geometrie I
Podobná zobrazení Definice (Podobná zobrazení) Zobrazení f : ρ Ñ ρ se nazýva podobné zobrazení neboli podobnost, práveˇ když existuje kladné cˇ íslo k tak, že pro libovolné dva ruzné ˚ body A, B P ρ a jejich obrazy A1 , B 1 platí A1 B 1 “ k ¨ AB. ˇ Císlo k nazývame koeficient podobnosti. k “ 1 nevlastní podobnost (shodnost) k ‰ 1 vlastní podobnost pˇrímá podobnost zachovává orientaci prostoru œÑœ nepˇrímá podobnost nezachovává orientaci prostoru œÑö
Michal Zamboj
Syntetická geometrie I
Podobná zobrazení Pˇríklad (Pˇrímá podobnost, k “ 12 )
Michal Zamboj
Syntetická geometrie I
Vlastnosti podobnosti
ˇ (Vlastnosti podobnosti) Veta Podobnost 1
zachovává incidenci.
2
zachovává uspoˇrádání.
3
ˇ zachovává dvojpomer.
4
ˇ ˇ zachovává stˇredy úseˇcek (a delicí pomer).
5
ˇ úseˇcek a velikosti úhlu. zachovává pomery ˚
6
NEzachovává délky úseˇcek (a obsahy).
Velikosti úhlu˚ se zachovávají: sin α “
Michal Zamboj
b1 vc1
“
kb kvc
Syntetická geometrie I
“
b vc .
ˇ o podobných 4 Vety
Definice (Podobné útvary) Dva útvary P1 a P2 jsou si podobné P1 „ P2 práveˇ tehdy, když existuje podobnost, která zobrazí P1 na P2 . ˇ (Podobné 4) Veta Dva trojúhelníky jsou si podobné, shodují-li se ˇ sss v pomerech odpovídajících si stran. ˇ sus v pomerech dvou stran a úhlu jimi sevˇreném. uu ve dvou vnitˇrných úhlech. ˇ dvou stran a úhlu proti delší z nich. Ssu v pomeru
Michal Zamboj
Syntetická geometrie I
Výšky v 4 ˇ (O výškách) Veta ˇ který nazýváme Výšky v 4 se protínají v práveˇ jednom bode, ortocentrum 4. Dukaz ˚ 4CB1 B „ CA1 A ñ 4AC1 C „ AB1 B ñ
CB1 CA1 AC1 AB1 BA1 BC1
“ “
4BA1 A „ BC1 C ñ “ ˇ užijeme Cevovu vetu.
Michal Zamboj
Syntetická geometrie I
CB CA AC AB BA BC
Skupiny podobných 4u˚
4AC1 C „ 4AB1 B „ 4VC1 B „ 4VB1 C ˇ uu pα, π2 q podle vety vc vb “ b c 1 1 t.j. b : c “ : vb vc 1 1 1 a:b:c“ : : va vb vc Dále platí:
Michal Zamboj
Syntetická geometrie I
Skupiny podobných 4u˚
Ortický 4 A1 B1 C1
4ABC „ 4AB1 C1 „ 4A1 B1 C „ 4A1 BC1 4BCC1 „ 4BAA1 ñ BC BC1 “ BA BA1 podle sus 4ABC „ 4A1 BC1
Michal Zamboj
Syntetická geometrie I
Podobná zobrazení ˇ (Grupa podobností) Veta Všechna podobná zobrazení v rovineˇ tvoˇrí grupu vzhledem ke skládání zobrazení. Dukaz ˚ (Náznak) Uzavˇrenost: f1 je podobnost s koeficientem k1 , f2 je podobnost s koeficientem k2 . f1 : AB Ñ A1 B 1 , f2 : A1 B 1 Ñ A2 B 2 . A1 B 1 “ k1 AB, A2 B 2 “ k2 A1 B 1 a tedy A2 B 2 “ k1 k2 AB. Složené zobrazení f2 ˝ f1 je podobnost s koeficientem k1 k2 . Asociativita: pf3 ˝ f2 q ˝ f1 “ f3 ˝ pf2 ˝ f1 q. Neutrální prvek: Identita. Inverzní prvek: Podobnost s opaˇcným koeficientem k ´1 .
Michal Zamboj
Syntetická geometrie I
Stejnolehlost Definice (Stejnolehlost, homotetie) Stejnolehlost se stˇredem S a koeficientem 0 ‰ λ P R je ˇ které pˇriˇradí každému bodu X ‰ S jeho zobrazení v rovine, obraz X 1 ležíci na pˇrímce SX tak, že: ÝÝÑ1 ÝÑ SX “ λ ¨ SX Bod S je samodružným bodem stejnolehlosti. Zn. HpS; λq. λ “ 1, Identita ˇ λ “ ´1, Stˇredová soumernost ÝÝÑ1 λ ă 0, SX má opaˇcnou orientaci Stejnolehlost je podobnost s koeficientem k “ |λ|.
Michal Zamboj
Syntetická geometrie I
ˇ Veta Všechny stejnolehlosti se stejným stˇredem tvoˇrí grupu vzhledem ke skládání zobrazení. Dukaz ˚ Podobneˇ jak u podobnosti.
Michal Zamboj
Syntetická geometrie I
Skupiny podobných 4u˚
ˇ Pˇríckový 4Sa Sb Sc
4ABC „ 4Sb Sa C HpC, 21 q : C Ñ C, A Ñ Sb , B Ñ Sa (napˇr. podle sus) 4ABC „ 4Sa Sb Sc HpT , ´ 21 q : A Ñ Sa , B Ñ Sb , C Ñ Sc (napˇr. podle uu)
Michal Zamboj
Syntetická geometrie I
Skupiny podobných 4u˚
ˇ Pˇríckový 4Sa Sb Sc
4ABC „ 4Sb Sa C HpC, 21 q : C Ñ C, A Ñ Sb , B Ñ Sa (napˇr. podle sus) 4ABC „ 4Sa Sb Sc HpT , ´ 21 q : A Ñ Sa , B Ñ Sb , C Ñ Sc (napˇr. podle uu)
Michal Zamboj
Syntetická geometrie I
