KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE Přednáška
Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021) za přispění finančních prostředků EU a státního rozpočtu České republiky.
Kótované promítání I Mgr. Petr Liška
Kótované promítání Kótované promítání je pravoúhlé promítání na jednu průmětnu, při kterém každému bodu přiřazujeme kótu. Kóta je orientovaná vzdálenost bodu od průmětny.
Souřadnice bodu
[Ax. Ay, Az] - kartézské souřadnice bodu A
Zobrazení přímky
P – průsečík přímky a průmětny – stopník
Zobrazení přímky
Hledání dalších bodů o celočíselných kótách – stupňování přímky
Zobrazení přímky
P – průsečík přímky a průmětny – stopník Interval – vzdálenost dvou sousedních průmětů bodů o celočíselných kótách
Sklápění přímky
Sklopíme přímku a kolem jejího průmětu do průmětny.
Sklápění přímky
α – odchylka přímky od průmětny |(A)(B)| - skutečná velikost úsečky AB
Vzájemná poloha dvou přímek Rovnoběžky
Vzájemná poloha dvou přímek Různoběžky
Vzájemná poloha dvou přímek Mimoběžky
Hlavní roviny Vrstevní roviny – roviny rovnoběžné s průmětnou Ekvidistance – stejná vzdálenost (dle okolností, 1cm, 1m, 10m) Hlavní roviny – vrstevní roviny ve výšce (o kótách), které jsou násobky ekvidistance
Spád přímky
Spád přímky – s e s tg i Jestliže je ekvidistance rovna jedné, platí: s
1 i
Zobrazení roviny
p….. stopa roviny – průsečnice roviny a průmětny h….. hlavní přímka roviny – průsečnice roviny s hlavními rovinami s….. spádová přímka – přímka roviny kolmá na hlavní přímky, spád roviny je roven spádu spádové přímky
x1
O1
L1 (2) K1 (6)
M1 (−1)
x1
O1 P1 L1 (2) K1 (6) (L)
M1 (−1)
(K)
x1
O1 P1 L1 (2) K1 (6) (L)
(K) (M ) M1 (−1)
P1′ (K)
x1
O1 P1 L1 (2) K1 (6) (L)
(K) (M )
P1′
M1 (−1)
(K) pσ1
x1
O1 P1 L1 (2) K1 (6) (L)
hσ1 (6) (K) (M )
P1′
M1 (−1)
(K) pσ1
x1
O1 P1 L1 (2) K1 (6) (L)
hσ1 (6) (K) (M )
P1′
M1 (−1)
(K) pσ1
hσ1 (2)
x1
O1 P1 L1 (2) K1 (6) (L)
hσ1 (6) (K) P1′
(M ) M1 (−1)
hσ1 (−1)
(K) pσ1
hσ1 (2)
x1
O1 P1 L1 (2) K1 (6) (L)
hσ1 (6) (K) P1′
(M ) M1 (−1)
hσ1 (−1)
(K) pσ1
hσ1 (2)
Průsečík přímky a roviny
Metoda krycí přímky
α – promítací rovina přímky a r – krycí přímka
Poslední polohová úloha
Zobrazte průsečnici dvou rovin α a β, rovina α je určena stopou a bodem A(5) a rovina β je určena svou stopou a bodem B(2).
x1
O1 =A1 (5)=B1 (2)
pβ1
pα 1
x1
O1 =A1 (5)=B1 (2)
P1 (0) pβ1
pα 1
x1
O1 =A1 (5)=B1 (2)
hβ1 (2)
P1 (0) pβ1
pα 1
x1
O1 =A1 (5)=B1 (2)
21 hβ1 (2)
P1 (0) Y1 (0) pβ1
pα 1
x1
O1 =A1 (5)=B1 (2) H1 (2)
21 hβ1 (2)
P1 (0) Y1 (0) pβ1
pα 1
hα 1 (2)
x1
O1 =A1 (5)=B1 (2) H1 (2)
21 hβ1 (2)
P1 (0) Y1 (0) pβ1
r1
pα 1
hα 1 (2)
x1
O1 =A1 (5)=B1 (2) H1 (2)
21 hβ1 (2)
P1 (0) Y1 (0) pβ1
r1
pα 1
hα 1 (2)
Polohové finále
Zobrazte průnik trojúhelníků ABC a MNP.
x1
N1 (5)
O1
A1 (1)
B1 (2)
C1 (5)
P1 (0)
M1 (4)
N1 (5)
x1
A1 (1)
B1 (2)
c1
P1c (0)
O1
C1 (5)
P1 (0)
M1 (4)
N1 (5)
x1
P1c (0)
O1
P1a (0) A1 (1)
B1 (2)
c1
C1 (5)
(B)
P1 (0)
(C) (a)
M1 (4)
a1
N1 (5)
x1 pα 1
P1c (0)
O1
P1a (0) A1 (1)
B1 (2)
c1
C1 (5)
(B)
P1 (0)
(C) (a)
M1 (4)
a1
N1 (5)
x1 pα 1
P1c (0)
O1
P1a (0) A1 (1)
B1 (2)
c1
C1 (5)
(B)
M1 (4)
hα 1 (5) P1 (0)
(C) (a)
a1
N1 (5)
x1 pα 1
P1c (0)
O1
P1a (0) A1 (1)
B1 (2)
c1
C1 (5)
(B)
n1
M1 (4)
hα 1 (5) P1 (0)
(C) (a)
a1 (M )
(n)
N1 (5)
x1 pα 1
P1c (0)
O1
P1a (0) A1 (1)
B1 (2)
c1
C1 (5)
(B)
n1
M1 (4)
hα 1 (5) P1 (0)
(C) (a)
a1 (M )
(n) (Q)
N1 (5)
x1 pα 1
P1c (0)
O1
P1a (0) A1 (1)
B1 (2)
n1
Q1 (5) c1
C1 (5)
(B)
M1 (4)
hα 1 (5) P1 (0)
(C) (a)
a1 (M )
(n) (Q)
N1 (5)
x1 pα 1
P1c (0)
O1
P1a (0) A1 (1)
B1 (2)
n1
Q1 (5) c1
C1 (5)
(B)
M1 (4)
hα 1 (5)
hβ1 (5) P1 (0)
(C) (a)
a1 (M )
(n) (Q)
N1 (5)
x1 pα 1
P1c (0)
O1
P1a (0) A1 (1)
B1 (2)
n1
Q1 (5) c1
C1 (5)
(B)
M1 (4)
hα 1 (5)
hβ1 (5) P1 (0)
a1 (M ) pβ1
(C) (a)
(n) (Q)
N1 (5)
x1 P1r (0)
pα 1
P1c (0)
O1
P1a (0) A1 (1)
B1 (2)
n1
Q1 (5) c1
C1 (5)
(B)
M1 (4)
hα 1 (5)
hβ1 (5) P1 (0)
a1 (M ) pβ1
(C) (a)
(n) (Q)
N1 (5)
x1 P1r (0)
pα 1
P1c (0)
O1
P1a (0) A1 (1)
B1 (2)
n1
Q1 (5) c1
C1 (5)
(B)
H1 (5)
M1 (4)
hα 1 (5)
hβ1 (5) P1 (0)
a1 (M ) pβ1
(C) (a)
(n) (Q)
N1 (5)
x1 P1r (0)
pα 1
P1c (0)
O1
P1a (0) A1 (1)
B1 (2)
n1
Q1 (5) c1
C1 (5)
(B)
H1 (5)
M1 (4)
r1
hα 1 (5)
hβ1 (5) P1 (0)
a1 (M ) pβ1
(C) (a)
(n) (Q)
N1 (5)
x1 P1r (0)
pα 1
P1c (0)
O1
P1a (0) A1 (1)
B1 (2)
Q1 (5)
X1 c1
C1 (5)
(B)
n1
Y1
H1 (5)
M1 (4)
r1
hα 1 (5)
hβ1 (5) P1 (0)
a1 (M ) pβ1
(C) (a)
(n) (Q)
N1 (5)
x1 P1r (0)
pα 1
P1c (0)
O1
P1a (0) B1 (2)
A1 (1)
Q1 (5)
X1 c1
C1 (5)
(B)
n1
U1 =V1 Y1
H1 (5)
M1 (4)
r1
hα 1 (5)
hβ1 (5) P1 (0)
a1 (M ) pβ1
(C) (a)
(n) (Q)
N1 (5)
x1 P1r (0)
pα 1
P1c (0)
O1
P1a (0) B1 (2)
A1 (1)
Q1 (5)
X1 c1
C1 (5)
(B)
n1
U1 =V1 Y1
H1 (5)
M1 (4)
r1
hα 1 (5)
hβ1 (5) P1 (0)
a1 (M ) pβ1
(C) (a)
(n) (Q)
N1 (5)
x1 P1r (0)
pα 1
P1c (0)
O1
P1a (0) B1 (2)
A1 (1)
Q1 (5)
X1 c1
C1 (5)
(B)
n1
U1 =V1 Y1
H1 (5)
M1 (4)
r1
hα 1 (5)
hβ1 (5) P1 (0)
a1 (M ) pβ1
(C) (a)
(n) (Q)
KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE Přednáška
Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021) za přispění finančních prostředků EU a státního rozpočtu České republiky.
Kótované promítání II Mgr. Petr Liška
Polohové finále
Zobrazte průnik trojúhelníků ABC a MNP.
x1
N1 (5)
O1
A1 (1)
B1 (2)
C1 (5)
P1 (0)
M1 (4)
N1 (5)
x1
A1 (1)
B1 (2)
c1
P1c (0)
O1
C1 (5)
P1 (0)
M1 (4)
N1 (5)
x1
P1c (0)
O1
P1a (0) A1 (1)
B1 (2)
c1
C1 (5)
(B)
P1 (0)
(C) (a)
M1 (4)
a1
N1 (5)
x1 pα 1
P1c (0)
O1
P1a (0) A1 (1)
B1 (2)
c1
C1 (5)
(B)
P1 (0)
(C) (a)
M1 (4)
a1
N1 (5)
x1 pα 1
P1c (0)
O1
P1a (0) A1 (1)
B1 (2)
c1
C1 (5)
(B)
M1 (4)
hα 1 (5) P1 (0)
(C) (a)
a1
N1 (5)
x1 pα 1
P1c (0)
O1
P1a (0) A1 (1)
B1 (2)
c1
C1 (5)
(B)
n1
M1 (4)
hα 1 (5) P1 (0)
(C) (a)
a1 (M )
(n)
N1 (5)
x1 pα 1
P1c (0)
O1
P1a (0) A1 (1)
B1 (2)
c1
C1 (5)
(B)
n1
M1 (4)
hα 1 (5) P1 (0)
(C) (a)
a1 (M )
(n) (Q)
N1 (5)
x1 pα 1
P1c (0)
O1
P1a (0) A1 (1)
B1 (2)
n1
Q1 (5) c1
C1 (5)
(B)
M1 (4)
hα 1 (5) P1 (0)
(C) (a)
a1 (M )
(n) (Q)
N1 (5)
x1 pα 1
P1c (0)
O1
P1a (0) A1 (1)
B1 (2)
n1
Q1 (5) c1
C1 (5)
(B)
M1 (4)
hα 1 (5)
hβ1 (5) P1 (0)
(C) (a)
a1 (M )
(n) (Q)
N1 (5)
x1 pα 1
P1c (0)
O1
P1a (0) A1 (1)
B1 (2)
n1
Q1 (5) c1
C1 (5)
(B)
M1 (4)
hα 1 (5)
hβ1 (5) P1 (0)
a1 (M ) pβ1
(C) (a)
(n) (Q)
N1 (5)
x1 P1r (0)
pα 1
P1c (0)
O1
P1a (0) A1 (1)
B1 (2)
n1
Q1 (5) c1
C1 (5)
(B)
M1 (4)
hα 1 (5)
hβ1 (5) P1 (0)
a1 (M ) pβ1
(C) (a)
(n) (Q)
N1 (5)
x1 P1r (0)
pα 1
P1c (0)
O1
P1a (0) A1 (1)
B1 (2)
n1
Q1 (5) c1
C1 (5)
(B)
H1 (5)
M1 (4)
hα 1 (5)
hβ1 (5) P1 (0)
a1 (M ) pβ1
(C) (a)
(n) (Q)
N1 (5)
x1 P1r (0)
pα 1
P1c (0)
O1
P1a (0) A1 (1)
B1 (2)
n1
Q1 (5) c1
C1 (5)
(B)
H1 (5)
M1 (4)
r1
hα 1 (5)
hβ1 (5) P1 (0)
a1 (M ) pβ1
(C) (a)
(n) (Q)
N1 (5)
x1 P1r (0)
pα 1
P1c (0)
O1
P1a (0) A1 (1)
B1 (2)
Q1 (5)
X1 c1
C1 (5)
(B)
n1
Y1
H1 (5)
M1 (4)
r1
hα 1 (5)
hβ1 (5) P1 (0)
a1 (M ) pβ1
(C) (a)
(n) (Q)
N1 (5)
x1 P1r (0)
pα 1
P1c (0)
O1
P1a (0) B1 (2)
A1 (1)
Q1 (5)
X1 c1
C1 (5)
(B)
n1
U1 =V1 Y1
H1 (5)
M1 (4)
r1
hα 1 (5)
hβ1 (5) P1 (0)
a1 (M ) pβ1
(C) (a)
(n) (Q)
N1 (5)
x1 P1r (0)
pα 1
P1c (0)
O1
P1a (0) B1 (2)
A1 (1)
Q1 (5)
X1 c1
C1 (5)
(B)
n1
U1 =V1 Y1
H1 (5)
M1 (4)
r1
hα 1 (5)
hβ1 (5) P1 (0)
a1 (M ) pβ1
(C) (a)
(n) (Q)
N1 (5)
x1 P1r (0)
pα 1
P1c (0)
O1
P1a (0) B1 (2)
A1 (1)
Q1 (5)
X1 c1
C1 (5)
(B)
n1
U1 =V1 Y1
H1 (5)
M1 (4)
r1
hα 1 (5)
hβ1 (5) P1 (0)
a1 (M ) pβ1
(C) (a)
(n) (Q)
Kolmost přímek a rovin Připomeňme:
Kolmost přímek a rovin Připomeňme: Dvě vzájemné kolmé přímky, z nichž žádná není promítací, se promítají jako kolmé právě tehdy, když alespoň jedna z nich je rovnoběžná s průmětnou.
Kolmost přímek a rovin Připomeňme: Dvě vzájemné kolmé přímky, z nichž žádná není promítací, se promítají jako kolmé právě tehdy, když alespoň jedna z nich je rovnoběžná s průmětnou. Přímka je kolmá k rovině, jestliže je kolmá ke všem přímkám roviny. Tedy:
Kolmost přímek a rovin Připomeňme: Dvě vzájemné kolmé přímky, z nichž žádná není promítací, se promítají jako kolmé právě tehdy, když alespoň jedna z nich je rovnoběžná s průmětnou. Přímka je kolmá k rovině, jestliže je kolmá ke všem přímkám roviny. Tedy: Kolmice k rovině je kolmá k hlavním přímkám a jelikož hlavní přímky jsou rovnoběžné s průmětnou dostáváme, že průmět kolmice je kolmý k průmětům hlavních přímek (a tedy splývá s průmětem spádové přímky).
Kolmost přímek a rovin Dvě základní úlohy:
Kolmost přímek a rovin Dvě základní úlohy:
Je dána rovina, zobrazte kolmici k rovině procházející jejím bodem.
Kolmost přímek a rovin Dvě základní úlohy:
Je dána rovina, zobrazte kolmici k rovině procházející jejím bodem.
Zobrazte stopu roviny, která prochází bodem a je kolmá k přímce.
P1 (0)
R1 (2)=O1
x1 p̺1
Q1 (0)
P1 (0)
R1 (2)=O1
x1 p̺1
k1
Q1 (0)
P1 (0)
R1 (2)=O1
x1 p̺1
s1 = k1
Q1 (0)
P1 (0)
R1 (2)=O1
x1 (s)
p̺1
(R)
(P s )=P1s (0)
s1 = k1
Q1 (0)
P1k (0)=(P k ) P1 (0)
R1 (2)=O1
x1 p̺1
(s) (R)
(P s )=P1s (0) (k) s1 = k1
Q1 (0)
P1k (0)=(P k ) P1 (0)
R1 (2)=O1
x1 p̺1
(s) (R)
(P s )=P1s (0) (k) s1 = k1
Q1 (0)
Kolmost přímek a rovin Aplikace: Určení vzdálenosti bodu od roviny. Sestrojení podstav těles atd.
Kolmost přímek a rovin Aplikace: Určení vzdálenosti bodu od roviny. Sestrojení podstav těles atd.
Základní úloha: Určete vzdálenost bodu A od roviny ρ.
R1 (4)=O1
x1
A1 (5)
p̺1
R1 (4)=O1
x1
A1 (5)
h̺1 (4)
p̺1
R1 (4)=O1
x1
A1 (5)
h̺1 (4)
p̺1
k1
R1 (4)=O1
x1
A1 (5)
h̺1 (4)
p̺1
k1 =λ1 =s1
R1 (4)=O1
x1
H1 (4)
(s)
(H)
P1s (0)=(P s )
A1 (5)
h̺1 (4)
p̺1
k1 =λ1 =s1
R1 (4)=O1
x1
H1 (4)
(s)
P1s (0)=(P s )
(H)
A1 (5)
h̺1 (4)
p̺1
k1 =λ1 =s1 (A) (k)
R1 (4)=O1
x1
H1 (4) A′1
(s)
(H)
(A′ )
P1s (0)=(P s )
A1 (5)
h̺1 (4)
p̺1
k1 =λ1 =s1 (A) (k)
R1 (4)=O1
x1
H1 (4) A′1
(s)
(H)
(A′ )
P1s (0)=(P s )
A1 (5)
h̺1 (4)
|AA′ |=|A̺| p̺1
k1 =λ1 =s1 (A) (k)
R1 (4)=O1
x1
H1 (4) A′1
(s)
(H)
(A′ )
P1s (0)=(P s )
A1 (5)
h̺1 (4)
|AA′ |=|A̺| p̺1
k1 =λ1 =s1 (A) (k)
Speciální úlohy kótovaného promítání Přímka daného spádu procházející daným bodem
Speciální úlohy kótovaného promítání Přímka daného spádu procházející daným bodem
» Nekonečně mnoho přímek – povrchové přímky kuželové plochy, tzv. spádová kuželová plocha » Průnik spádové kuželové plochy a průmětny – kružnice – množina stopníků všech požadovaných přímek, tzv. stopa spádového kužele. » Poloměr této kružnice se dá sestrojit nebo spočítat
Speciální úlohy kótovaného promítání Přímka daného spádu procházející daným bodem Sestrojte poloměr stopy spádového kužele pro α=60° a pro tg α = 1,2.
Speciální úlohy kótovaného promítání Přímka daného spádu procházející daným bodem
zA zA tg r r tg Je-li e=1, pak
r z A .ia
Speciální úlohy kótovaného promítání Přímka daného spádu procházející daným bodem a ležící v dané rovině
Speciální úlohy kótovaného promítání Přímka daného spádu procházející daným bodem a ležící v dané rovině » Stopník hledané přímky leží na stopě roviny
Speciální úlohy kótovaného promítání Přímka daného spádu procházející daným bodem a ležící v dané rovině » Stopník hledané přímky leží na stopě roviny » Stopník hledané přímky leží na stopě spádového kužele
Speciální úlohy kótovaného promítání Přímka daného spádu procházející daným bodem a ležící v dané rovině » Stopník hledané přímky leží na stopě roviny » Stopník hledané přímky leží na stopě spádového kužele Počet řešení?
Speciální úlohy kótovaného promítání Přímka daného spádu procházející daným bodem a ležící v dané rovině » Stopník hledané přímky leží na stopě roviny » Stopník hledané přímky leží na stopě spádového kužele Počet řešení? 0, 1 nebo 2 (podle počtu průsečíku stopy roviny a stopy spádového kužele)
Speciální úlohy kótovaného promítání Rovina daného spádu procházející daným bodem
» Nekonečně mnoho rovin » Spádové přímky jsou povrchové přímky spádového kužele » Roviny jsou tečné roviny spádového kužele » Stopy roviny jsou tečny stopy spádového kužele
Speciální úlohy kótovaného promítání Rovina daného spádu procházející daným bodem » Pro poloměr stopy spádového kužele platí: zA r tg » Pro poloměr kružnic, ve kterých protínají spádový kužel vrstevní roviny, platí r
zA h tg
Speciální úlohy kótovaného promítání Rovina daného spádu proložená přímkou, která není rovnoběžná s průmětnou » Každý bod dané přímky – vrchol spádového kužele, jehož tečné roviny vyhovují předchozí úloze » Hledaná rovina – tečná rovina všech spádových kuželů, její stopa je společná tečna všech spádových kuželů » Jelikož je přímka určena dvěma různými body, stopa hledané roviny je tečnou stop dvou odpovídajících spádových kuželů
Speciální úlohy kótovaného promítání Rovina daného spádu proložená přímkou, která není rovnoběžná s průmětnou Příklad: Přímkou AB proložte rovinu, jejíž spád je tgω=5/4.
Speciální úlohy kótovaného promítání Rovina daného spádu proložená přímkou, která není rovnoběžná s průmětnou Příklad: Přímkou AB proložte rovinu, jejíž spád je tgω=5/4. Má-li být spád tgω=5/4, pak interval je převrácená hodnota (e=1), tedy i=4/5.
Speciální úlohy kótovaného promítání Rovina daného spádu proložená přímkou, která není rovnoběžná s průmětnou Příklad: Přímkou AB proložte rovinu, jejíž spád je tgω=5/4. Má-li být spád tgω=5/4, pak interval je převrácená hodnota (e=1), tedy i=4/5. Vrstevní rovina vedená bodem A (tzn. na kótě 3) protne spádový kužel v kružnici, pro jejíž poloměr r platí:
r ( zB z A )i 2 0,8 1,6
Speciální úlohy kótovaného promítání Rovina daného spádu proložená přímkou, která není rovnoběžná s průmětnou Příklad: Přímkou AB proložte rovinu, jejíž spád je tgω=5/4.
Speciální úlohy kótovaného promítání Rovina daného spádu proložená přímkou, která není rovnoběžná s průmětnou Příklad: Přímkou AB proložte rovinu, jejíž spád je tgω=5/4.
Speciální úlohy kótovaného promítání Rovina daného spádu proložená přímkou, která není rovnoběžná s průmětnou Příklad: Přímkou AB proložte rovinu, jejíž spád je tgω=5/4.
