KINEMATICKÁ GEOMETRIE V ROVIN

KINEMATICKÁ GEOMETRIE V ROVIN K ivka je jednoparametrická množina bod X(t), jejíž sou adnice jsou dány funkcemi: x = x(t), y = y(t), t ∈ I ⊂ R. Te na k ivky je ur ena bodem dotyku X a te ným vektorem o sou adnicích (dx/dt, dy/dt). Normála k ivky je kolmice k te n v bod X. K ivka jako trajektorie pohybujícího se bodu – parametr t m žeme chápat jako as. (kinematické pojetí k ivek) K ivka jako obálka jednoparametrické soustavy k ivek k(p), p je parametr. Obálku zna íme (k). Obálka (k) má s každou polohou k ivky spole nou te nu v bod dotyku. K ivky dané jednotlivými body – grafické, empirické, tvarov složité k ivky, interpola ní k ivky. Body k ivek: - Regulární (v bod existuje práv jedna te na) - Singulární (všechny 1. derivace = 0) - bod uzlový (násobný bod) – v bod existuje více než jedna te na - bod obratu (inflexní bod) – 2. derivace = 0 (te na protíná k ivku) - bod vratu – dv splývající, ale opa n orientované te ny Technické k ivky: - Ekvidistanta (paralelní k ivka) – na normálu k ivky v každém bod naneseme stejnou vzdálenost. - Evoluta – obálka normál (n) k ivky = množina všech st ed oskula ních kružnic, tj. množina všech st ed k ivostí. - Evolventa – vznikne odvalováním te ny po k ivce.

Kinematická geometrie v rovin Studuje vlastnosti trajektorií bodu p i daném pohybu. Její p vod je v mechanice, kde zkoumá zákonitosti pohybu sou ástí stroje, ale všímá si pouze geometrických vlastností (neuvažuje as, hmotnost…). Neprom nná rovinná soustava (NRS) je množina všech geometrických útvar roviny, která se jako neprom nný celek pohybuje. Trajektorie pohybu jsou k ivky, které opisuje pohybující se NRS. Obálka k ivky je geometrický útvar v rovin , jehož se k ivka ve všech svých polohách dotýká. Pohyb NRS je ur en: 1. trajektoriemi dvou r zných bod , 2. obálkami dvou r zných k ivek, 3. obálkou k ivky a trajektorií bodu, 4. pevnou a hybnou polodií. V ta: V každé poloze pohybující se NRS procházejí normály trajektorií pevným (vlastním nebo nevlastním) bodem S = okamžitý st ed otá ení (OSO) = pól pohybu. Pevná polodie p je množina všech OSO pohybující se NRS. Hybná polodie h je množina všech bod NRS, které se p i jejím pohybu stanou OSO. V ta: Hybná poldie h se odvaluje po pevné polodii p, polodie se dotýkají v OSO. 1. základní v ta kinematické geometrie v rovin : Jsou-li dány dv polohy NRS p i daném pohybu,pak existuje bu oto ení nebo posunutí, které p emis uje danou NRS z jedné polohy do druhé. 2. základní v ta kinematické geometrie v rovin : Každý pohyb NRS krom rotace a translace lze p evést na valení (kotálení) hybné polodie h po pevné polodii p. Vratný pohyb je ten, který vznikne z daného pohybu zám nou polodií. V ta: Jestliže bod A se pohybuje po trajektorii, pak p i vratném pohybu je bod A obálkou této trajektorie. Jestliže p i daném pohybu k ivka k vytvá í obálku, pak p i vratném pohybu tato obálka je obálkou k ivky k.

Klasifikace pohyb : 1. Cyklické - polodiemi jsou 2 kružnice nebo kružnice a p ímka - Cykloidální h

p

- Epicykloidální p

h

- Hypocykloidální h

p

- Pericykloidální h p

- Evolventní

p

h

2. Eliptický je ur en dv ma p ímkovými trajektoriemi Jsou to navzájem vratné pohyby.

Kardioidický je ur en dv ma bodovými obálkami.

τA

(k)

(k´)

τB 3. Konchoidální - je ur en obálkou bodu a trajektorií

(k)

τA 4. Kloubový ty úhelník

D A

C B

Cykloida Cykloida je cyklická k ivka, kterou vytvo í bod pevn spojený s kružnicí, která se valí (kotálí) po p ímce. Prostá cykloida Pokud bod pevn spojený s kružnicí leží na jejím obvodu, pak p i valení této kružnice po p ímce opisuje tento bod prostou (obecnou, oby ejnou) cykloidu. Prostou cykloidu lze vyjád it parametrickými rovnicemi x = a (t − sint) y = a (1 − cost) kde a je polom r kružnice a parametr t odpovídá délce oblouku kotálející se kružnice. Evolutou cykloidy je shodná cykloida, která je ve sm ru osy x posunuta o a souhlasn s p vodní cykloidou a ve sm ru osy y je posunuta o 2a nesouhlasn s orientací p vodní cykloidy. Evolventou cykloidy je op t posunutá shodná cykloida. Zkrácená a prodloužená cykloida Zkrácená cykloida.

Prodloužená cykloida.

Pokud bod pevn spojený s kotálející se kružnicí neleží na obvodu této kružnice, ale jeho vzdálenost od st edu kružnice o polom ru a je d, pak pro d < a získáme cykloidu zkrácenou a pro d > a cykloidu prodlouženou. Parametrické rovnice zkrácené, resp. prodloužené cykloidy lze zapsat ve tvaru x = a.t − d.sint y = a − d.cost Oblouk cykloidy snese ze všech oblouk nejv tší zatížení, proto mnoho oblouk most má práv její tvar. ást cykloidy je ešením úlohy o brahystochron

Brachystochrona Brachystochrona (ozna ovaná také jako k ivka nejkratšího spádu) je k ivka spojující dva body, po které se hmotný bod dostane z jednoho bodu do druhého p sobením homogenního gravita ního pole za nejkratší as. Brachystochrona p edstavuje vždy ást oblouku cykloidy. Tento pojem zavedl poprvé Johann Bernoulli roku 1696 v asopise Acta Eruditorium. Úloha o brachystochron Úkolem je najít tvar spojnice místa A a B, po které by se t leso pohybující se vlivem gravita ní síly, dostalo z místa A do místa B v nejkratším ase. P edpokládá se pohyb v homogenním gravita ním poli a odporové síly se zanedbávají. Schéma k úloze o brachystochron . Úlohu lze p eformulovat tak, že hledáme takovou hladkou k ivku spojující body A[xA,yA],B[xB,yB], p i emž p edpokládáme yA > yB a xA < xB, po níž se hmotný bod o hmotnosti m pohybuje v tíhovém poli od bodu A do bodu B za nejkratší as. Volba sou adnicového systému je zobrazena na obrázku. Podle zákona o zachování energie platí

Úpravou tohoto vztahy dostaneme výraz pro rychlost

v2 = 2g(yA − y)

Rychlost je však možné podle vyjád it také jako , kde bylo užito vztahu pro délku oblouku rovinné k ivky, p i emž s p edstavuje oblouk k ivky. P edpokládáme, že platí y < yA. Pokud by totiž v n kterém bod platilo y = yA, byla by v tomto bod podle p edchozích vztah rychlost v nulová a k dalšímu pohybu by bylo nutné dodat hmotnému bodu další energii. Pokud tedy p edpokládáme y < yA pro , dostaneme z p edchozích výraz vztah

Celkovou dobu pot ebnou k prob hnutí podél k ivky z bodu A do B lze tedy zapsat jako

Fyzikální problém se tedy redukuje na ešení varia ního problému s funkcionálem . V tomto p ípad se jedná o jeden ze speciálních p ípad Eulerovy rovnice. Dosazením uvedeného funkcionálu získáme první integrál Eulerovy rovnice

, kde C je konstanta. Úpravou posledního vztahu dostaneme

a umocn ním

Za p edpokladu

lze provést substituci

, ímž získáme

Položíme-li nyní , dostaneme ešením p edchozí diferenciální rovnice parametrické vyjád ení hledané k ivky ve tvaru

kde jsou integra ní konstanty, které se ur í z podmínky, že extremální k ivka prochází body A a B. Z parametrického vyjád ení získané k ivky je z ejmé, že se jedná o ást cykloidy.

Epicykloida Epicykloida je cyklická k ivka, kterou vytvo í bod pevn spojený s kružnicí, která se valí (kotálí) po vn jší stran nehybné kružnice. Epicykloida je speciálním p ípadem epitrochoidy. Znalost epicykloid využil Ptolemaios p i popisu pohybu planet ve své soustav , kdy pohybující se kružnice je ozna ována jako epicyklus (epicykl) a pevná kružnice jako deferent. Prostá epicykloida Každý bod kružnice, která se kotálí (valí) po nehybné kružnici v její vn jší oblasti, opisuje rovinnou k ivku, která se nazývá prostá (obecná, oby ejná) epicykloida. Použijeme-li jako parametr úhel odvalení t, pak lze parametrické rovnice prosté epicykloidy zapsat ve tvaru

kde a je polom r nehybné kružnice a b je polom r kružnice hybné. Je-li jako parametr použit úhel oto ení , pak dostaneme

kde a je polom r nehybné kružnice a b je polom r kružnice hybné. Vlastnosti D ležitou charakteristikou prosté epicykloidy je pom r a/b. Je-li a/b = m celé íslo, pak je prostá epicykloida uzav ená k ivka s m v tvemi, které vzniknou p i jednom ob hu hybné kružnice kolem nehybné kružnice. Je-li a/b racionální íslo p/q, pak je prostá epicykloida uzav ená k ivka s p v tvemi, které vzniknou p i q ob zích hybné kružnice kolem nehybné kružnice. Je-li a/b iracionální íslo, pak prostá epicykloida není uzav enou k ivkou a má nekone n mnoho v tví.

Zkrácená a prodloužená epicykloida Jestliže tvo ící bod epicykloidy neleží na hybné kružnici, ale ve vzdálenosti d od st edu této (hybné) kružnice, pak leží-li uvnit hybné kružnice, tzn. d < b, opisuje k ivku ozna ovanou jako zkrácená epicykloida (k ivka k1 na obrázku), leží-li vn hybné kružnice, tzn. d > b, opisuje k ivku ozna ovanou jako prodloužená epicykloida (k ivka k2 na obrázku). Zkrácenou a prodlouženou epicykloidu lze vyjád it parametrickými rovnicemi

kde t je úhel odvalení, a je polom r nehybné kružnice a b je polom r hybné kružnice. Použijeme-li jako parametr úhel oto ení , lze parametrické rovnice zapsat jako

Speciální p ípady Kardioida Zvláštní p ípad prosté epicykloidy získáme pro a = b, tzn. hybná kružnice má stejný polom r jako nehybná kružnice. Tato epicykloida se nazývá kardioida (srdcovka). Parametrické rovnice srdcovky jsou

Je-li po átek soustavy sou adnic ve st edu k ivky a hrot na ose x, pak lze srdcovku vyjád it rovnicí Je-li po átek sou adnicové osy ve dvojném bod a osa x je osou soum rnosti k ivky, lze použít rovnici V polárních sou adnicích lze rovnici kardioidy zapsat jako

Nefrioda Prostá epicykloida s b = a/2 je ozna ována jako nefroida.

Epitrochoida Epitrochoida je k ivka, která vzniká pohybem bodu spojeného s kružnicí, která se odvaluje okolo kružnice o menším polom ru Menší pevná kružnice je p itom uvnit v tší pohyblivé kružnice. Pokud polom r menší (stojící) kružnice je a, polom r v tší kružnice b a pohybující se bod je ve vzdálenosti h od st edu v tší kružnice, lze k ivku vyjád it v parametrickém tvaru jako:

kde je úhel otá ení. Pokud h = b (bod se nachází p ímo na v tší kružnici) nazývá se k ivka epicykloida. Použití: Epitrochoidní tvar má nap íklad komora Wankelova motoru.

Hypocykloida Hypocykloida je cyklická k ivka, kterou vytvo í bod pevn spojený s kružnicí, která se valí (kotálí) po vnit ní stran nehybné kružnici. Hypocykloida je speciálním p ípadem hypotrochoidy. Prostá hypocykloida Každý bod kružnice, která se kotálí (valí) po nehybné kružnici v její vnit ní oblasti, opisuje rovinnou k ivku, která se nazývá prostá (obecná, oby ejná) hypocykloida. Použijeme-li jako parametr úhel odvalení t, pak lze parametrické rovnice prosté hypocykloidy zapsat ve tvaru

kde a je polom r nehybné kružnice a b je polom r kružnice hybné. Je-li jako parametr použit úhel oto ení , pak dostaneme

kde a je polom r nehybné kružnice a b je polom r kružnice hybné. Vlastnosti D ležitou charakteristikou prosté epicykloidy je pom r a/b. Je-li a/b = m celé íslo, pak je prostá hypocykloida uzav ená k ivka s m v tvemi, které vzniknou p i jednom ob hu hybné kružnice kolem nehybné kružnice. Je-li a/b racionální íslo p/q, pak je prostá hypocykloida uzav ená k ivka s p v tvemi, které vzniknou p i q ob zích hybné kružnice kolem nehybné kružnice. Je-li a/b iracionální íslo, pak prostá epicykloida není uzav enou k ivkou a má nekone n mnoho v tví.

Zkrácená a prodloužená hypocykloida Jestliže tvo ící bod hypocykloidy neleží na hybné kružnici, ale ve vzdálenosti d od st edu této (hybné) kružnice, pak leží-li uvnit hybné kružnice, tzn. d < b, opisuje k ivku ozna ovanou jako zkrácená hypocykloida (k ivka k1 na obrázek), leží-li vn hybné kružnice, tzn. d > b, opisuje k ivku ozna ovanou jako prodloužená hypocykloida (k ivka k2 na obrázek). Zkrácenou a prodlouženou hypocykloidu lze vyjád it parametrickými rovnicemi

kde t je úhel odvalení, a je polom r nehybné kružnice a b je polom r hybné kružnice. Použijeme-li jako parametr úhel oto ení , lze parametrické rovnice zapsat jako

Speciální p ípady Asteroida Zvláštní p ípad prosté hypocykloidy získáme pro b = a/4. Tato hypocykloida se nazývá asteroida. Parametrické rovnice asteroidy jsou

Úse ka a elipsa Pro b = a/2 p echází prostá hypocykloida na úse ku, ehož se využívá k p em n otá ivého pohybu na pohyb kmitavý (p ímo arý). Prodloužená a zkrácená hypocykloida p echází pro = a/2 v elipsu s rovnicemi: Využívá se v technické praxi pro p evod otá ivého pohybu na pohyb eliptický.

b

KINEMATICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU K ivka je jednoparametrická množina bod X(t), jejíž sou adnice jsou dány funkcemi: x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ I ⊂ R. (bod + pohyb) Šroubovice: x = r . cos t y = r . sin t z = v0 . t

v ∆

v

α r

t.r

v0 r

t

v0

∆

2πr

v0

r

Šroubový pohyb: rotace (osa o), posunutí ve sm ru osy o (v0, ev.v ), orientace (pravo a levoto ivá) Plocha (tvo ící k ivka + pohyb) - Transla ní plochy - Rota ní plochy - Šroubové plochy - Obalové plochy (tvo ící plocha + pohyb) Charakteristika c obalové plochy Ω je k ivka, podél níž se tvo ící plocha α dotýká obalové plochy Ω. Charakteristika = tvo ící k ivka obalové plochy.

Literatura: Urban Alois – Deskriptivní geometrie II, SNTL, Praha 1967 Kargerová Marie - Deskriptivní geometrie pro technické školy, vysoké, vyšší a st ední, Montanex a.s., Ostrava 1997 http://cs.wikipedia.org/wiki/Kinematika http://cs.wikipedia.org/wiki/Cykloida http://mathonline.fme.vutbr.cz/1kg/11_Kinematika/Kinematika.htm http://mathonline.fme.vutbr.cz/Cyklicke-krivky/sc-85-sr-1-a-82/default.aspx http://mathonline.fme.vutbr.cz/1kg/12_Sroubovice/sroubovice.htm http://geometrie.kma.zcu.cz – p edm t GS2 – u ební text http://www.gymun.cz/projekt-kinematika.php