Geometrie v rovině 2

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ PEDAGOGICKÁ FAKULTA

Geometrie v rovině 2 Distanční text pro učitelství 1. stupně základní školy

Renáta Vávrová

OSTRAVA 2006

Obsah Úvod

5

1 Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník Klíčová slova . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trojúhelník . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lomená čára . . . . . . . . . . . . . . . . . . N -úhelník (mnohoúhelník) . . . . . . . . . . . Konvexní n-úhelník (mnohoúhelník) . . . Pravidelný n-úhelník . . . . . . . . . . . Čtyřúhelník . . . . . . . . . . . . . . . . Konvexní čtyřúhelník . . . . . . . . . . . Řešené příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . Neřešené příklady . . . . . . . . . . . . . . . . Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

7 7 7 15 18 20 24 25 26 33 35 37

2 Kružnice, kruh Klíčová slova . . . . . . . . . . . . . . . . Kružnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Úhly v kružnici . . . . . . . . . . . . Vzájemná poloha přímky a kružnice . Vzájemná poloha dvou kružnic . . . Kruh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Řešené příklady . . . . . . . . . . . . . . . Neřešené příklady . . . . . . . . . . . . . . Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

41 41 41 42 46 48 52 52 56 59

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

Závěr

63

Literatura

65

3

Geometrie v rovině 2

5

Úvod Tento distanční text volně navazuje na distanční text Geometrie v rovině 1, který zpracovával teorii a její aplikace v rámci tematických celků přímka a její části (úsečka, polopřímka), polorovina, konvexní množina bodů a úhel, a to včetně stručného přehledu polohových vlastností daných geometrických útvarů. Specifickou kapitolou v rámci této struktury byla kapitola zabývající se porovnáváním, sčítáním, odčítáním a násobením úseček a úhlů. V předloženém distančním textu zavedeme pojmy trojúhelník, lomená čára, núhelník (mnohoúhelník), kružnice, kruh a budeme zkoumat vzájemnou polohu těchto útvarů. Tento text spolu s textem Geometrie v rovině 1 tvoří ucelený přehled geometrie v rovině pokrývající potřeby budoucího učitele geometrie v dané tematické oblasti. Se zahrnutím didaktiky geometrie příslušného stupně pokrývají tyto dva texty potřebné znalosti a dovednosti, které v profilují budoucího učitele geometrie pro primární vzdělávání. V celém textu jsem se stejně jako v textu Geometrie 1 snažila vyhýbat problematice míry geometrických útvarů, pokud to nebylo nutné nebo se mi to nejevilo efektivní pro další studium (např. kružnici a kruh zavádím prioritně užitím středu a úsečky, nikoli velikosti poloměru). Všechny kapitoly textu mají stejnou strukturu, na kterou jste si zvykli během studia textu Geometrie v rovině 1, tedy připomínám: stručný průvodce kapitolou vás uvede do její teoretické problematiky a seznámí s jejím obsahem, klíčová slova vám budou nápomocna při vytváření logické osnovy teorie v kapitole obsažené. Poté následují jednotlivé podkapitoly, které definují spolu související pojmy a vyslovují k nim příslušné věty a tvrzení. Tyto podkapitoly obsahují komentář, který vám podle mých několikaletých zkušeností s výukou daného tématu v daném studijním oboru pomůže konkrétní definici, větu nebo tvrzení pochopit ve všech jeho aspektech. Pro vaši kontrolu je každá podkapitola uzavřena souborem otázek. Doporučuji vám pečlivě se těmito otázkami zabývat - může se stát, že vlastní nalezení odpovědi, byť s využitím předchozí teorie, bude časově náročné, ale jen tak získáte velmi důležitou zpětnou vazbu, zda můžete ve studiu textu pokračovat dále. Tyto otázky nahrazují dotazy, které při kontaktní výuce na nažším stupni vzdělání vyslovoval učitel, přičemž zabezpečoval, aby studenti v případě naznalostí většího rozsahu nepokračovali

6

Úvod

dále. Obdobným testem vlastních znalostí a dovedností, a zejména jejich aplikací, pro vás budou dva soubory příkladů, které jsou zařazeny jako poslední dvě podkapitoly každé kapitoly. Řešené příklady obsahují typové úlohy s návody řešení, neřešené příklady pak úlohy s výsledky. Znovu apeluji na vaši vůli příklady individuálně řešit, důkladně promýšlet alternativy postupu a snažit se najít řešení (nikoli listováním dozadu směrem k výsledkům, ale vždy dopředu směrem k teorii a jejímu vysvětlení). I nyní obsahuje celý text relativně velké množství obrázků, které dokumentují popisované situace jak v teorii tak v zadání příkladů. Ale i nyní doporučuji precizně pracovat s náčrty, neboť geometrie pracuje se znázorněním prostoru a jeho částí - schopnost zhotovit vhodný náčrt vám pomůže nejen správně pochopit zadání úloh a kontrolovat výsledek jejich výsledky, ale i získat dovednost připravovat vhodné náčrty tolik potřebné ve vaší budoucí pedagogické praxi. Renáta Vávrová


7

1 Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník Tato poměrně rozsáhlá kapitola je věnována n-úhelníkům (mnohoúhelníkům), jejichž znalost je významnou součástí geometrických znalostí, a to již od prvního stupně základní školy. Zřejmě nebudeme mít problém s vysvětlením pojmů trojúhelník nebo čtyřúhelník, ale vymezit přesně tyto pojmy by nám bez přípravy již mohlo činit potíže stejně, jako vymezení dalších n-úhelníků nebo popis jejich prvků, vlastností a jejich klasifikace. Navíc zavedeme pojem lomená čára, který budeme nutně potřebovat pro definici nekonvexního n-úhelníka. Klíčová slova: trojúhelník, základní prvky trojúhelníka (vrcholy, strany, vnitřní úhly), další prvky trojúhelníka (vnější úhly, těžnice, těžiště, výšky, ortocentrum, střední příčky), klasifikace trojúhelníků (podle stran, podle vnitřních úhlů), lomená čára, jednoduchá a nejednoduchá lomená čára, uzavřená a otevřená lomená čára, n-úhelník, základní prvky n-úhelníka (vrcholy, strany, vnitřní úhly, úhlopříčky), další prvky n-úhelníka (vnější úhly). 1.1 Trojúhelník. Pojem trojúhelník můžeme definovat více způsoby, např. jako průnik polorovin, sjednocení úseček, průnik konvexních úhlů, jako n-úhelník pro n = 3. Definice 1.1. (Trojúhelník) Nechť jsou dány nekolineární body A, B, C. Trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, CAB, BCA. (Viz obr. 5.1a.)

Definice 1.2. (Trojúhelník) Nechť jsou dány nekolineární body A, B, C. Trojúhelníkem ABC nazveme sjednocení úseček AX, kde X je libovolný bod úsečky BC (bod X probíhá úsečku BC). (Viz obr. 5.1b.)

Obrázek 1.1

8

Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník

Body A, B, C se nazývají vrcholy trojúhelníka, úsečky AB, BC, AC se nazývají strany trojúhelníka, konvexní úhly ABC, BCA, CAB se nazývají vnitřní úhly trojúhelníka, úhly vedlejší k vnitřním úhlům trojúhelníka se nazývají vnější úhly trojúhelníka. Symbolický zápis: Slovní vyjádření trojúhelník ABC zapisujeme symbolicky △ABC. Strany trojúhelníka ABC můžeme pojmenovat podle protilehlého vrcholu a, b, c (naproti vrcholu A strana a, naproti vrcholu B strana b atd.), vnitřní úhly trojúhelníka ABC většinou α, β, γ (naproti vrcholu A vnitřní úhel α, naproti vrcholu B vnitřní úhel β atd.), vnější úhly trojúhelníka ABC většinou α , β , γ (vedlejší k úhlu α úhel α , vedlejší k úhlu β úhel β atd.). (Viz ′

′

′

′

′

obr. 5.2.) V grafickém znázornění trojúhelníka popisujeme vrcholy v abecedním pořadí v kladném smyslu obíhání (proti směru hodinových ručiček).

Obrázek 1.2 Věta 1.1. (Trojúhelníková nerovnost) Grafický součet kterýchkoli dvou stran každého trojúhelníka je větší než strana třetí.

Věta 1.2. Grafický součet všech vnitřních úhlů každého trojúhelníka je úhel přímý.

Věta 1.3. Kterýkoli vnější úhel každého trojúhelníka je roven grafickému součtu protějších vnitřních úhlů.

Věta 1.4. V každém trojúhelníku leží proti větší straně větší vnitřní úhel. Proti většímu vnitřnímu úhlu větší strana.

Definice 1.3. (Těžnice trojúhelníka) Nechť je dán trojúhelník ABC. Těžnicí trojúhelníka nazveme úsečku, jejímiž krajními body jsou vrchol trojúhel-


9

níka a střed protější strany.

Symbolický zápis: ta , tb , tc (těžnice příslušná straně a, těžnice příslušná straně b atd.). Všechny tři těžnice trojúhelníka se protínají v jediném bodě, tzv. těžiště trojúhelníka. Značíme T . Těžiště dělí těžnici v poměru 2 : 1 (dva díly od vrcholu a jeden díl od středu strany). Na obrázku 5.3a jsou znázorněny těžnice a těžiště ostroúhlého trojúhelníka, na obrázku 5.3b tupoúhlého trojúhelníka.

Obrázek 1.3 Dokážeme sestrojit těžnice a těžiště pravoúhlého trojúhelníka? Jaká bude jejich poloha vzhledem k danému trojúhelníku? Je pravda, že těžiště libovolného (ostroúhlého, pravoúhlého i tupoúhlého trojúhelníka) je vždy bodem daného trojúhelníka? Definice 1.4. (Střední příčka trojúhelníka) Nechť je dán trojúhelník ABC. Střední příčkou trojúhelníka nazveme úsečku, jejímiž krajními body jsou středy jeho dvou stran.

Symbolický zápis: sa , sb , sc (střední příčka příslušná straně a, střední příčka příslušná straně b atd.). Každá střední příčka každého trojúhelníka je rovnoběžná s tou stranou trojúhelníka, jejíž střed není jejím krajním bodem. Tato strana je rovna dvojnásobku příslušné střední příčky. Na obrázku 5.4a jsou znázorněny střední příčky ostroúhlého trojúhelníka, na obrázku 5.4b tupoúhlého trojúhelníka.

10


Obrázek 1.4

Definice 1.5. (Výška trojúhelníka) Nechť je dán trojúhelník ABC. Výškou trojúhelníka nazveme úsečku, jejímiž krajními body jsou vrchol trojúhelníka a pata kolmice vedené tímto vrcholem k přímce určené zbývajícími dvěma vrcholy.

Symbolický zápis: va , vb , vc (výška příslušná straně a, výška příslušná straně b atd.). Všechny tři přímky, v nichž leží výšky trojúhelníka, se protínají v jediném bodě, tzv. ortocentrum trojúhelníka. Značíme O. Na obrázku 5.5a jsou znázorněny výšky a ortocentrum ostroúhlého trojúhelníka, na obrázku 5.5b tupoúhlého trojúhelníka.

Obrázek 1.5


11

Dokážeme sestrojit výšky a ortocentrum pravoúhlého trojúhelníka? Jaká bude jejich poloha vzhledem k danému trojúhelníku? Je pravda, že ortocentrum libovolného (ostroúhlého, pravoúhlého i tupoúhlého trojúhelníka) je vždy bodem daného trojúhelníka? Každému trojúhelníku lze vepsat i opsat kružnici. Budeme pracovat s pojmy osa úsečky a osa úhlu. Věta 1.5. (Kružnice trojúhelníku opsaná) Osy všech tří stran každého trojúhelníka se protínají v jediném bodě, a to ve středu kružnice tomuto trojúhelníku opsané.

Značíme k(SO ; r). Na obrázku 5.6a jsou znázorněna kružnice opsaná ostroúhlému trojúhelníku, na obrázku 5.6b tupoúhlému trojúhelníku.

Obrázek 1.6 Dokážeme sestrojit kružnici opsanou pravoúhlému trojúhelníku? Je pravda, že střed kružnice opsané libovolnému trojúhelníku (ostroúhlému, pravoúhlému i tupoúhlému trojúhelníku) je vždy bodem daného trojúhelníka? Věta 1.6. (Kružnice trojúhelníku vepsaná) Osy všech tří vnitřních úhlů každého trojúhelníka se protínají v jediném bodě, a to ve středu kružnice tomuto trojúhelníku vepsané. Značíme k(SV ; ρ).

12


Na obrázku 5.6a jsou znázorněna kružnice vepsaná ostroúhlému trojúhelníku, na obrázku 5.6b tupoúhlému trojúhelníku.

Obrázek 1.7 Dokážeme sestrojit kružnici vepsanou pravoúhlému trojúhelníku? Je pravda, že střed kružnice vepsané libovolnému trojúhelníku (ostroúhlému, pravoúhlému i tupoúhlému trojúhelníku) je vždy bodem daného trojúhelníka? Trojúhelníky dělíme na základě dvou kritérií, a to jednak podle jejich stran a jednak podle jejich vnitřních úhlů. 1. Klasifikace trojúhelníků podle stran: a) trojúhelníky rovnoramenné: alespoň dvě strany jsou shodné, trojúhelníky rovnostranné: všechny tři strany jsou shodné, trojúhelníky nerovnostranné: právě dvě strany jsou shodné, b) trojúhelníky nerovnoramenné: žádné dvě strany nejsou shodné. 2. Klasifikace trojúhelníků podle vnitřních úhlů: a) trojúhelníky pravoúhlé: právě jeden vnitřní úhel je pravý, b) trojúhelníky kosoúhlé: všechny vnitřní úhly jsou kosé (ostré nebo tupé), trojúhelníky ostroúhlé: všechny vnitřní úhly jsou ostré, trojúhelníky tupoúhlé: právě jeden vnitřní úhel je tupý. V tuto chvíli bychom měli umět zavést pojem trojúhelník, a to různými způsoby (jako průnik polorovin, jako sjednocení úseček), měli bychom dokázat popsat


13

základní prvky trojúhelníka (vrcholy, strany, vnitřní úhly) a popsat a sestrojit další jeho prvky (vnější úhly, výšky, těžnice a střední příčky daného trojúhelníka, těžiště a ortocentrum), danému trojúhelníku bychom měli umět vepsat i opsat kružnici. Množinu všech trojúhelníků bychom měli dokázat rozdělit podle stran a podle vnitřních úhlů. Pro jistotu, že jsme správně porozuměli problematice související s pojmem trojúhelník, odpovíme na následující otázky. Nápovědou nám mohou být grafická znázornění. 1. Platí pro každý trojúhelník, že podmnožinami tohoto trojúhelníka jsou všechny jeho: a) těžnice, b) střední příčky, c) výšky? 2. Platí pro každý trojúhelník, že body tohoto trojúhelníka jsou jeho: a) těžiště, b) ortocentrum? 3. Je dán trojúhelník ABC. Symbolicky zapište popis konstrukce jeho: a) těžnic, těžiště, b) středních příček, c) výšek, ortocentra. 4. Platí pro každý trojúhelník, že bodem tohoto trojúhelníka je střed kružnice tomuto trojúhelníku: a) opsané, b) vepsané? 5. Je dán trojúhelník ABC. Symbolicky zapište popis konstrukce kružnice tomuto trojúhelníku: a) vepsané, b) opsané. 6. Je každý rovnoramenný trojúhelník zároveň rovnostranný?

14

Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník 7. Je každý rovnostranný trojúhelník zároveň rovnoramenný? 8. Nechť R je množina všech rovnoramenných trojúhelníků, S množina všech rovnostranných trojúhelníků. Určete: a) R ∪ S, b) R ∩ S. 9. Nechť O je množina všech ostroúhlých trojúhelníků, T množina všech tupoúhlých trojúhelníků, P množina všech pravoúhlých trojúhelníků. Určete: a) (T ∪ O) ∩ P , b) (T ∩ O) ∪ P , c) (T − O) − P .

10. Umíme definovat trojúhelník jako průnik polorovin a jako sjednocení úseček. Pokusme se definovat trojúhelník jako průnik konvexních úhlů. Formulujte definici (opravdu se pokuste nejprve přemýšlet a svůj nápad zapište, výsledky poslouží jen ke kontrole). Měli bychom odpovědět: 1 - a) ANO, b) ANO, c) ANO (těžnice, střední příčky a výšky jsou vždy podmnožinami daného trojúhelníka), 2 - a) ANO, b) NE (ortocentrum tupoúhlého trojúhelníka není nikdy jeho bodem, ortocentrum ostroúhlého a pravoúhlého trojúhelníka je vždy jeho bodem - ortocentrum pravoúhlého trojúhelníka splývá s vrcholem jeho pravého úhlu), 4 - a) NE (střed kružnice opsané tupoúhlému trojúhelníku není nikdy jeho bodem, střed kružnice opsané ostroúhlému a pravoúhlému trojúhelníku je vždy jeho bodem - střed kružnice opsané pravoúhlému trojúhelníku splývá se středem jeho přepony), b) ANO, 6 - a) NE, b) ANO, 8 - a) R ∪ S = R, b) R ∩ S = S, 9 - a) (T ∪ O) ∩ P = ∅, b) (T ∩ O) ∪ P = P , (T − O) − P = T , 10 - „Nechť jsou dány nekolineární body A, B, C. Trojúhelníkem nazveme průnik konvexních úhlů ABC, BCA, BAC, tedy △ABC = < ) ABC ∩ < ) BCA ∩ < ) BACÿ. Pokud jsme neudělali žádnou chybu, pak jsme základní teorii podkapitoly Trojúhelník úspěšně zvládli a můžeme pokračovat ve studiu podkapitoly Lomená čára. Pokud jsme však někde zaváhali, znovu si přečteme, načrtneme a promyslíme příslušnou část teorie. Bez úplného pochopení pokračovat dále nebudeme.


15

1.2 Lomená čára. Pojem lomená čára budeme definovat jako sjednocení úseček, pro které platí určité vlastnosti. Definice 1.6. (Lomená čára)

Lomenou čárou A0 A1 A2 . . . An−1 An (pro

n ≥ 2) nazveme sjednocení úseček A0 A1 , A1 A2 , A2 A3 , . . . , An−2 An−1 , An−1 An , z nichž každé dvě sousední mají společný pouze krajní bod a neleží v téže přímce. (Viz obr. 5.8.)

Body A0 , A1 , A2 , . . . An−1 , An budeme nazývat vrcholy lomené čáry, úsečky A0 A1 , A1 A2 , A2 A3 , . . . , An−2 An−1 , An−1 An budeme nazývat strany lomené čáry. Slovní vyjádření lomená čára A0 A1 A2 . . . An−1 An budeme symbolicky zapisovat A0 A1 A2 . . . An−1 An . Tedy naopak každou n-tici velkých tiskacích písmen A0 A1 A2 . . . An−1 An neoddělených čárkou musíme přečíst lomená čára A0 A1 A2 . . . An−1 An . Definice 1.7. (Uzavřená lomená čára) Nechť je dána lomená čára A0 A1 A2 . . . An−1 An . Tato lomená čára se nazývá uzavřená lomená čára , právě když její vrcholy A0 a An splynou. (Viz obr. 5.8a.)

Lomená čára, která není uzavřená, se nazývá otevřená lomená čára. (Viz obr. 5.8b.)

Obrázek 1.8

Definice 1.8. (Jednoduchá lomená čára)

Nechť je dána lomená čára

A0 A1 A2 . . . An−1 An . Tato lomená čára se nazývá jednoduchá lomená čára ,

16


právě když žádné dvě její nesousední strany nemají společný bod. (Viz obr. 5.8.)

Nyní rozumíme pojmu lomená čára a umíme určit, kdy je lomená čára uzavřená a kdy otevřená, kdy je lomená čára jednoduchá a kdy jednoduchá není. Znalosti pojmů souvisejících s pojmem lomená čára budeme potřebovat při zavedení pojmu mnohoúhelník a dalších pojmů s ním souvisejících. Následujícími úkoly prověříme, zda jsme textu dostatečně porozuměli. 1) Načrtněte příklad lomené čáry A0 A1 A2 A3 A4 , která je: a) jednoduchá uzavřená, b) nejednoduchá uzavřená, c) jednoduchá otevřená, d) nejednoduchá otevřená. 2 Jsou pravdivé následující výroky? a) Každá lomená čára je v množině E2 konvexní. b) Existuje alespoň jedna lomená čára, která je v množině E2 konvexní. c) Žádná lomená čára není v množině E2 konvexní. d) Každá jednoduchá lomená čára je otevřená. e) Existuje alespoň jedna jednoduchá lomená čára, která je otevřená. f) Žádná jednoduchá lomená čára není otevřená. g) Každá lomená čára má alespoň 3 vrcholy. h) Dvě nesousední strany každé lomené čáry mají nejvýše jeden společný bod. 3) Jsou geometrické útvary zobrazené na obrázku 5.9 lomené čáry? Pokud ano, pak popište jejich vrcholy a určete, o jaké lomené čáry se jedná (otevřená x uzavřená, jednoduchá x nejednoduchá). Měli bychom odpovědět: 1 - Např. viz obrázek 5.10, 2 - a) NE, b) NE, c) ANO, d) NE, e) ANO, f) NE, g) ANO, h) ANO, 3 - a) ANO (uzavřená nejednoduchá), b) ANO (otevřená nejednoduchá, c) ANO (uzavřená jednoduchá), d) NE (popis vrcholů např. viz obrázek 5.11).


17

Obrázek 1.9

Obrázek 1.10

Obrázek 1.11

18


Pokud jsme nechybovali, pak jsme základní teorii podkapitoly Lomená čára úspěšně zvládli. Pokud jsme někde zaváhali, znovu si přečteme, načrtneme a promyslíme příslušnou část teorie. Bez úplného pochopení nebudeme pokračovat dále. 1.3 N -úhelník (mnohoúhelník). Pro zavedení pojmu n-úhelník budeme potřebovat dosud nedefinovaný pojem vnitřní oblast. Tento pojem zavedeme nyní pouze intuitivně (pomocí grafického názoru), detailně se s ním seznámíme v jiném textu, který se věnuje problematice míry geometrických útvarů. Definice 1.9. (N -úhelník (mnohoúhelník)) Nechť je dána jednoduchá uzavřená lomená čára A0 A1 A2 . . . An−1 An pro n ≥ 3. N -úhelníkem (mnohoúhelníkem) A1 A2 . . . An−1 An nazveme sjednocení této lomené čáry a její vnitřní oblasti. (Viz obr. 5.12.)

Vrcholy lomené čáry A0 , A1 , A2 , . . . An−1 , An se nazývají vrcholy n-úhelníka, strany lomené čáry A0 A1 , A1 A2 , A2 A3 , . . . , An−2 An−1 , An−1 An se nazývají strany n-úhelníka, konvexní úhly A0 A1 A2 , A1 A2 A3 , . . . , An−2 An−1 An se nazývají vnitřní úhly n-úhelníka, úhly vedlejší k vnitřním úhlům n-úhelníka se nazývají vnější úhly n-úhelníka. V grafickém znázornění n-úhelníka popisujeme vrcholy v abecedním pořadí, resp. číselném pořadí, v kladném smyslu obíhání (proti směru hodinových ručiček). (Viz obr. 5.12.)

Obrázek 1.12 Pojem trojúhelník, který jsme zaváděli v předchozí podkapitole, je tedy možné chápat i jako n-úhelník pro n = 3. K již známým třem definicím trojúhelníka (průnik polorovin, sjednocení úseček, průnik konvexních úhlů) tak přibývá


19

definice čtvrtá: „Nechť jsou dány nekolineární body A, B, C. Trojúhelníkem ABC nazveme sjednocení lomené čáry ABCA a její vnitřní oblastiÿ. Definice 1.10. (Úhlopříčka n-úhelníka) Nechť je dán n-úhelník A1 A2 . . . An−1 An . Úhlopříčkou n-úhelníka nazveme každou úsečku, jejímiž krajními body jsou nesousední vrcholy daného n-úhelníka.

Je zřejmé, že úhlopříčka n-úhelníka není vždy jeho podmnožinou. Dokázali bychom zobrazit několik n-úhelníků, jejichž všechny uhlopříčky podmnožinami daných n-úhelníků jsou a několik n-úhelníků, pro které to neplatí? Dokázali bychom formulovat závěr? Umíme zavést pojem n-úhelník, popsat jeho prvky (vrcholy, strany, vnitřní úhly, vnější úhly, úhlopříčky) a vše graficky znázornit. Chápeme souvislost mezi trojúhelníkem a obecným n-úhelníkem. Pro jistotu, že jsme pojmům dobře porozuměli, vyzkoušejme si vyřešit několik úloh. 1. Nechť je dán n-úhelník A1 A2 . . . An−1 An . Kolik má tento n-úhelník vrcholů, stran a úhlopříček? Řešení: Každý n-úhelník A1 A2 . . . An−1 An má n vrcholů, n stran a

n·(n−3) 2

úhlo-

příček. Proč? Počet vrcholů a stran přímo vyplývá z definice n-úhelníka. Počet úhlopříček určíme takto: Vezmeme vrchol A1 a ptáme se, kolik úhlopříček n-úhelníka má krajní bod právě v tomto vrcholu (resp. s kolika vrcholy n-úhelníka mohu vrchol A1 spojit tak, aby se jednalo o úhlopříčku). Určitě nemůžeme spojit vrchol sám se sebou (nebyla by to ani úsečka), a dále jej nemůžeme spojit se soudními dvěma vrcholy (jednalo by stranu n-úhelníka, nikoli o jeho úhlopříčku). Tedy celkem nemůžeme vrchol A1 spojit se třemi vrcholy n-úhelníka. Tedy naopak existuje celkem n − 3 vrcholů, se kterými můžeme vrchol A1 spojit, z bodu A1 vede celkem n − 3 úhlopříček. Vezmeme další bod A2 a ptáme se stejně. Zjistíme, že z bodu A2 opět vede celkem n − 3 úhlopříček (je pravda, že úhlopříčku A2 A1 jsme již započítali do počtu úhlopříček z bodu A1 , ale to vyřešíme na konci úlohy). Uvažujeme dále, z každého z n vrcholů n-úhelníka můžeme vést n − 3 úhlopříček. To je celkem n · (n − 3) úhlopříček. Každou z nich jsme zapo-

20

Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník čítali dvakrát (jednou jako Ak Al , podruhé jako Al Ak ). Proto je potřeba součin n · (n − 3) dělit dvěma. Odpovídáme: Každý n-úhelník má

n·(n−3) 2

úhlopříček.

2. Bylo by možné definovat každý n-úhelník jako průnik polorovin? Pokud ano, pak vyslovte definici. Řešení: Ne, jako průnik polorovin lze definovat pouze některé n-úhelníky. Které? A jak bude znít jejich definice? Nechť je dáno n bodů A1 , A2 , . . . , An−1 , An , z nichž žádné tři sousední neleží v přímce. Zobrazme graficky průnik polorovin A1 A2 A3 , A2 A3 A4 , . . . , An−2 An−1 An . Mohou nastat dva případy (viz obrázek 5.13). V prvním případě (viz obr. 5.13a) je průnikem polorovin opravdu n-úhelník, ve druhém (viz obr. 5.13b) nikoliv. Odpovídáme: Jako průnik polorovin je možné definovat pouze n-úhelník, který je konvexní (nekonvexní n-úhelníky takto definovat nelze). Znění definice n-úhelníka prozradíme níže.

Obrázek 1.13

1.3.1 Konvexní n-úhelník (mnohoúhelník). Definice 1.11. (Konvexní n-úhelník (mnohoúhelník)) Nechť je dáno n bodů A1 , A2 , . . ., An−1 , An , z nichž žádné tři sousední neleží v přímce. Konvexním n-úhelníkem (mnohoúhelníkem) A1 A2 . . . An−1 An nazveme průnik polorovin A1 A2 A3 , A2 A3 A4 , . . . , An−2 An−1 An , An−1 An A1 , An A1 A2 .


21

Poloroviny A1 A2 A3 , A2 A3 A4 , . . . , An−2 An−1 An se nazývají opěrné poloroviny konvexního n-úhelníka (mnohoúhelníka). Definice 1.12. (Opěrná polorovina konvexního n-úhelníka) Nechť je dán konvexní n-úhelník A1 A2 . . . An−1 An . Opěrnou polorovinou konvexního núhelníka nazveme každou polorovinu, v níž daný n-úhelník leží a která má s tímto n-úhelníkem společnou právě jednu jeho stranu.

Věta 1.7. (Kritérium konvexnosti n-úhelníka) N -úhelník je konvexní, právě když leží v jedné z polorovin určené kteroukoliv jeho stranou (opěrná polorovina).

Pomocí pojmu opěrná polorovina můžeme definovat pojem vnitřní úhel konvexního n-úhelníka. Definice 1.13. (Vnitřní úhel konvexního n-úhelníka)

Nechť je dán

konvexní n-úhelník A1 A2 . . . An−1 An . Vnitřním úhlem konvexního n-úhelníka nazveme průnik opěrných polorovin jeho sousedních stran.

Věta 1.8. (Kritérium konvexnosti n-úhelníka) N -úhelník je konvexní, právě když je každá jeho úhlopříčka jeho podmnožinou.

Takto jsme odpovídali na otázku, zda jsou úhlopříčky každého n-úhelníka vždy jeho podmnožinami. Měli jsme říci, že nikoli. Všechny úhlopříčky jsou podmnožinami pouze v případě n-úhelníků konvexních. Samozřejmě, že o konvexnosti daného n-úhelníka můžeme rozhodnout i podle obecného kritéria konvexnosti množiny bodů. Věta 1.9. (Kritérium konvexnosti n-úhelníka) N -úhelník je konvexní, právě když pro každé dva jeho body X, Y platí, že úsečka XY je jeho podmnožinou. Umíme vymezit pojmy konvexní n-úhelník (definujeme jej jako průnik polorovin), opěrná polorovina konvexního n-úhelníka a známe další definici vnitřního úhlu konvexního n-úhelníka. Umíme bezpečně poznat, zda je daný n-úhelník konvexní, a to na základě tří různých kritérií. Můžeme nyní prověřit naše znalosti následujícími kontrolními úkoly. 1. Na obrázku 5.14 jsou znázorněny n-úhelníky.

22

Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník a) U každého n-úhelníka zjistěte počet jeho úhlopříček a symbolicky je zapište. b) Určete, zda jsou zobrazené n-úhelníky konvexní. c) U každého konvexního n-úhelníka zjistěte počet jeho opěrných polorovin a daný n-úhelník zapište jako jejich průnik.

Obrázek 1.14 2. Rozhodněte o pravdivosti následujících výroků: a) Každý dvacetiúhelník má dvacet různých opěrných polorovin. b) Každý trojúhelník má tři různé opěrné poloroviny. c) Každý dvacetiúhelník je možné definovat jako průnik dvaceti konvexních úhlů. d) Každý trojúhelník je možné definovat jako průnik tří konvexních úhlů. e) Konvexní dvacetiúhelník má 170 úhlopříček. f) Nekonvexní dvacetiúhelník má 170 úhlopříček. g) Nekonvexní n-úhelník nemá žádné úhlopříčky. 3. Nechť je dán konvexní n-úhelník A1 A2 . . . An−1 An . Určete součet velikostí všech jeho vnitřních úhlů pro n = 3, n = 4, n = 5, n = 6, n = 20, n. Měli bychom odpovídat takto:


1.

23

a) A- žádná úhlopříčka; B - 2 úhlopříčky - A1 A3 , A2 A4 ; C - 2 úhlopříčky - A1 A3 , A2 A4 ; D - 5 úhlopříček - A1 A3 , A1 A4 , A2 A4 , A2 A5 , A3 A5 ; E 5 úhlopříček - A1 A3 , A1 A4 , A2 A4 , A2 A5 , A3 A5 ; F -

n·(n−1) 2

úhlopříček

- A1 A3 , A1 A4 , . . . , A1 An−1 , A2 A4 , A2 A5 , . . . , A2 An , . . . , An−2 An . b) A - ANO (každý trojúhelník je konvexní), B - NE, C - ANO, D NE, E - ANO, F - ANO. →

→

c) A - trojúhelník A1 A2 A3 - 3 opěrné poloroviny: A1 A2 A3 ∩ A2 A3 A1 ∩ →

→

A3 A1 A2 ; B - čtyřúhelník A1 A2 A3 A4 - 4 opěrné poloroviny: A1 A2 A3 ∩ →

→

→

A2 A3 A4 ∩ A3 A4 A1 ∩ A4 A1 A2 ; D - n-úhelník A1 A2 . . . An−1 An - n →

→

→

→

opěrných polorovin: A1 A2 A3 ∩ A2 A3 A4 ∩ A3 A4 A5 ∩. . .∩ An−1 An A1 ∩ →

An A1 A2 . 2. a) NE (jen konvexní, počet opěrných polorovin nekonvexního n-úhelníka je menší než n - viz definice opěrné poloroviny), b) ANO, c) NE (jako průnik konvexních úhlů je možné definovat jen konvexní n-úhelníky), d) ANO, e) ANO, f) ANO (počet úhlopříček nekonvexního n-úhelníka stejně jako konvexního n-úhelníka je možné počítáme ze vztahu

n·(n−3) ), 2

g) NE (viz předchozí úloha). 3. Úhlopříčky vycházející z jednoho vrcholu konvexního n-úhelníku rozdělí tento n-úhelník na n − 2 trojúhelníky (viz obr. 5.15). Součet velikostí vnitřních úhlů v trojúhelníku je úhel přímý (180◦ ). Součet vnitřních úhlů v konvexním n-úhelníku je tedy (n − 2) · 180◦ . Součet velikostí vnitřních úhlů konvexního čtyřúhelníka je (4 − 2) · 180◦ = 360◦ , konvexního pětiúhelníka (5−2)·180◦ = 540◦ , konvexního šestiúhelníka (6−2)·180◦ = 720◦ , konvexního dvacetiúhelníka (20 − 2) · 180◦ = 3240◦ . Pro nekonvexní n-úhelníky nelze tento vztah použít.

Obrázek 1.15

24


1.3.2 Pravidelný n-úhelník. Definice 1.14. (Pravidelný n-úhelník) Nechť je dán konvexní n-úhelník. Tento n-úhelník se nazývá pravidelný n-úhelník , právě když má shodné všechny strany a všechny vnitřní úhly.

Pravidelný trojúhelník se nazývá rovnostranný trojúhelník, pravidelný čtyřúhelník se nazývá čtverec. Pro ostatní pravidelné n-úhelníky (tj. pro n ≥ 5) žádné speciální označení neexistuje. (Viz obr. 5.16.)

Obrázek 1.16 Každému pravidelnému n-úhelníku lze opsat i vepsat kružnici. Popisujeme stejně jako v případě trojúhelníka SO - střed kružnice opsané, r - poloměr kružnice opsané, SV - střed kružnice vepsané, ρ - poloměr kružnice vepsané. Ve středu kružnice pravidelnému n-úhelníku opsané leží jeho těžiště.

Obrázek 1.17 Měli bychom umět do dané kružnice vepsat pravidelné n-úhelníky pro n = 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12. Tedy rovnostranný trojúhelník, čtverec, pravidelný pětiúhelník, pravidelný šestiúhelník, pravidelný osmiúhelník, pravidelný devítiúhelník, pravidelný desetiúhelník, pravidelný dvanáctiúhelník. Měli bychom zvládnout přibližnou konstrukci libovolného pravidelného n-úhelníka. Protože je přitom potřeba využít pojmů, s nimiž se detailně seznámíme až v následujících kapitolách, zařadíme tuto část do kapitoly Kružnice, kruh. V tuto chvíli již známe pojem pravidelný n-úhelník, umíme uvést příklady pravidelných n-úhelníků. Víme, že nás v rámci kapitoly Kružnice, kruh čeká


25

konstrukce pravidelných n-úhelníků (jejich vepsání do kružnice). Prověříme, zda rozumíme všemu a správně tak, že odpovíme na následující otázky. 1) Je každý konvexní n-úhelník pravidelný? 2) Je každý pravidelný n-úhelník konvexní? 3) Je každý vnitřní úhel pravidelného n-úhelníka konvexní? 4) Má každý pravidelný n-úhelník shodné vnitřní úhly? 5) Nechť je dán konvexní n-úhelník A1 A2 . . . An−1 An . Určete velikost jeho vnitřního úhlu pro n = 3, n = 4, n = 5, n = 6, n = 20, n.

Měli bychom odpovídat: 1 - NE, 2 - ANO, 3 - ANO, 4 - ANO, 5 - ukážeme výpočet vnitřího úhlu v každém pravidelném n-úhelníku: Víme, že součet všech vnitřních úhlů v konvexním n-úhelníku vypočítáme ze vztahu (n − 2) · 180 (n-úhelník jsme dělili jeho úhlopříčkami na n − 2 trojúhelníky a sečetli jejich vnitřní úhly). Protože pravidelný n-úhelník má všechny vnitřní úhly navzájem shodné, stačí součet vnitřních úhlů dělit jejich počtem. Počítáme tedy

(n−2)·180 . n

Pro konkrétní n-

úhelníky dostáváme následující výsledky: • Rovnostranný trojúhelník: součet vnitřních úhlů 180◦ , každý z nich 60◦ . • Čtverec: součet vnitřních úhlů 360◦ , každý z nich 90◦ . • Pravidelný pětiúhelník: součet vnitřních úhlů 540◦ , každý z nich 108◦ . • Pravidelný šestiúhelník: součet vnitřních úhlů 720◦ , každý z nich 120◦ . • Pravidelný dvacetiúhelník: součet vnitřních úhlů 3240◦ , každý z nich 162◦ . Pro nepravidelné n-úhelníky nelze tento vztah použít. 1.3.3 Čtyřúhelník. Definice čtyřúhelníka by nám neměla dělat potíže, budeme aplikovat definici n-úhelníka.

26


Definice 1.15. (Čtyřúhelník) Nechť je dána jednoduchá uzavřená lomená čára A0 A1 A2 A3 A4 (A4 = A0 ). Čtyřúhelníkem A1 A2 A3 A4 nazveme sjednocení této lomené čáry a její vnitřní oblasti.

Stejně tak můžeme aplikovat další části teorie o obecných n-úhelnících, tedy definice vrcholů, stran, vnitřních úhlů, vnějších úhlů a úhlopříček, grafické znázornění (popis vrcholů). Stejně jako obecné n-úhelníky můžeme i čtyřúhelníky rozdělit na konvexní a nekonvexní. V dalším textu se budeme zabývat konvexními čtyřúhelníky. 1.3.4 Konvexní čtyřúhelník. Definice konvexního čtyřúhelníka by nám neměla dělat potíže, budeme aplikovat definici konvexního n-úhelníka. Definice 1.16. (Konvexní čtyřúhelník) Nechť jsou dány body A1 , A2 , A3 , A4 , z nichž žádné tři sousední neleží v přímce. Konvexním čtyřúhelníkem A1 A2 A3 A4 nazveme průnik polorovin A1 A2 A3 , A2 A3 A4 , A3 A4 A1 , A4 A1 A2 .

Poloroviny A1 A2 A3 , A2 A3 A4 , A3 A4 A1 , A4 A1 A2 se nazývají opěrné poloroviny konvexního čtyřúhelníka. Zatímco každému trojúhelníku bylo možné opsat i vepsat kružnici, u čtyřúhelníků to neplatí. Podle toho, zda kružnici opsat resp. vepsat lze, zavádíme pojmy čtyřúhelníky tětivové, tečnové, dvojstředové. Definice 1.17. (Tětivový čtyřúhelník) Nechť je dán konvexní čtyřúhelník ABCD. Tento čtyřúhelník se nazývá tětivový čtyřúhelník , právě když mu lze opsat kružnici.

Název tětivový proto, že strany čtyřúhelníka jsou tětivami kružnice tomuto čtyřúhelníku opsané. Definice 1.18. (Tečnový čtyřúhelník) Nechť je dán konvexní čtyřúhelník ABCD. Tento čtyřúhelník se nazývá tečnový čtyřúhelník , právě když mu lze vepsat kružnici.

Název tečnový proto, že strany čtyřúhelníka leží v tečnách kružnice tomuto čtyřúhelníku vepsané. Definice 1.19. (Dvojstředový čtyřúhelník) Nechť je dán konvexní čtyř-


27

úhelník ABCD. Tento čtyřúhelník se nazývá dvojstředový čtyřúhelník , právě když mu lze opsat i vepsat kružnici.

Název dvojstředový proto, že existují dva středy kružnic (opsané a vepsané), trojúhelník je současně tětivový i tečnový. Konvexní čtyřúhelníky dělíme na tři skupiny: různoběžníky, lichoběžníky a rovnoběžníky. Definice 1.20. (Různoběžník) Nechť je dán konvexní čtyřúhelník ABCD. Tento čtyřúhelník se nazývá různoběžník , právě když žádné dvě jeho strany nejsou rovnoběžné.

Definice 1.21. (Lichoběžník) Nechť je dán konvexní čtyřúhelník ABCD. Tento čtyřúhelník se nazývá lichoběžník , právě když právě dvě jeho strany jsou rovnoběžné. (Viz obr. 5.18)

Rovnoběžné strany se nazývají základny lichoběžníka, nerovnoběžné strany se nazývají ramena lichoběžníka. Věta 1.10. Součet vnitřních úhlů při každém rameni lichoběžníka je úhel přímý.

Definice 1.22. (Střední příčka lichoběžníka) Nechť je dán lichoběžník ABCD. Střední příčkou lichoběžníka nazveme úsečku, jejímiž krajními body jsou středy jeho ramen.

Věta 1.11. Střední příčka lichoběžníka je rovnoběžná s jeho základnami a její délka je rovna polovině délky grafického součtu délek jeho základen (aritmetický průměr délek základen).

Základny lichoběžníka nemohou být nikdy shodné, ramena shodná být mohou (budeme definovat pojem rovnoramenný lichoběžník). K základně lichoběžníka může být kolmé nejvýše jedno rameno (budeme definovat pojem pravoúhlý lichoběžník). Definice 1.23. (Rovnoramenný lichoběžník) Nechť je dán lichoběžník ABCD. Tento lichoběžník se nazývá rovnoramenný lichoběžník , právě když jsou jeho ramena shodná. (Viz obr. 5.18b.)

Definice 1.24. (Pravoúhlý lichoběžník) Nechť je dán lichoběžník ABCD.

28


Tento lichoběžník se nazývá pravoúhlý lichoběžník, právě když je jeho rameno kolmé k základně. (Viz obr. 5.18c.)

Obrázek 1.18 Definice 1.25. (Rovnoběžník) Nechť je dán konvexní čtyřúhelník ABCD. Tento čtyřúhelník se nazývá rovnoběžník, právě když každé dvě jeho protější strany jsou rovnoběžné. (Viz obr. 5.19 - 5.20.)

Věta 1.12. Protější strany rovnoběžníka jsou navzájem shodné. Věta 1.13. Protější vnitřní úhly rovnoběžníka jsou navzájem shodné. Věta 1.14. Úhlopříčky lichoběžníka se navzájem půlí; jejich společný bod je středem lichoběžníka. Rovnoběžníky dělíme stejně jako trojúhelníky na základě dvou kritérií, a to jednak podle jejich stran a jednak podle jejich vnitřních úhlů. 1. Klasifikace rovnoběžníků podle stran: rovnoběžníky rovnostranné: všechny strany jsou navzájem shodné (čtverec, kosočtverec), viz obr. 5.19,

Obrázek 1.19 rovnoběžníky různostranné: právě dvě strany jsou navzájem shodné (obdélník, kosodélník), viz obr. 5.20,

Obrázek 1.20 2. Klasifikace rovnoběžníků podle vnitřních úhlů:


29

rovnoběžníky pravoúhlé: všechny vnitřní úhly jsou pravé (čtverec, obdélník), viz obr. 5.21,

Obrázek 1.21 rovnoběžníky kosoúhlé: žádný vnitřní úhel není pravý (kosočtverec, kosodélník), viz obr. 5.22.

Obrázek 1.22

Věta 1.15. Má-li rovnoběžník dva sousední úhly shodné, pak jsou všechny jeho úhly pravé (pravoúhlý rovnoběžník).

Věta 1.16. Má-li rovnoběžník dvě sousední strany shodné, pak jsou všechny jeho strany shodné (rovnostranný rovnoběžník).

Věta 1.17. Úhlopříčky pravoúhlých rovnoběžníků jsou navzájem shodné. Věta 1.18. Úhlopříčky rovnostranných rovnoběžníků půlí jejich vnitřní úhly a jsou k sobě kolmé.

Zvláštním případem čtyřúhelníka je deltoid. Definice 1.26. (Deltoid) Nechť je dán konvexní čtyřúhelník ABCD. Tento čtyřúhelník se nazývá deltiod , právě když jsou jeho úhlopříčky navzájem kolmé a delší z nich prochází středem kratší. (Viz obr. 5.23.)

Obrázek 1.23

30


Nyní bychom měli rozumět pojmu n-úhelník (mnohoúhelník), umět popsat jeho prvky (vrcholy, strany, vnitřní úhly, vnější úhly, úhlopříčky), vědět, kolik má n-úhelník vrcholů, stran a odvodit vztah pro výpočet počtu úhlopříček n-úhelníka. Dále bychom měli dokázat provést úplnou klasifikaci n-úhelníků. Měli bychom umět vysvětlit pojem konvexní n-úhelník a pojmy s ním související (opěrná polorovina, vnitřní a vnější úhel konvexního n-úhelníka), odvodit vztah pro výpočet součtu vnitřních úhlů v konvexním n-úhelníku. Určitě musíme dokázat definovat pojem pravidelný n-úhelník, odvodit vztah pro výpočet jeho vnitřního úhlu a po prostudování kapitoly Kružnice, kruh je umět vepsat do kružnice. Zvláštní pozornost musíme věnovat čtyřúhelníkům - musíme umět zavést pojmy různoběžník, lichoběžník (včetně definice střední příčky lichoběžníka, lichoběžníka pravoúhlého a rovnostranného) a rovnoběžník (včetně úplné klasifikace rovnoběžníků jak podle stran tak podle vnitřních úhlů - čtverec, kosočtverec, obdélník, kosodélník) a popsat jejich základní vlastnosti, definovat pojmy tětivový, tečnový a dvojstředový n-úhelník. Měli bychom popsat deltoid jako specifický případ čtyřúhelníka. Teorie věnovaná n-úhelníkům je ve srovnání s ostatními částmi tohoto textu velmi rozsáhlá, nicméně její bezpečná znalost a schopnost aplikace nám velmi usnadní pochopení dalšího obsahu geometrie. Určitě budeme studiu věnovat dostatek času, nepřímo úměrný našim dosavadním znalostem a dovednostem. Následující úkoly, resp. kvalita jejich provedení, bude měřítkem naší úspěšnosti při studiu části věnované n-úhelníkům. Rozhodně budeme pracovat důsledně, situaci si budeme vždy graficky znázorňovat a pokud nám nebude úplně zřejmá odpověď, vrátíme se k příslušné části teorie.


31

1. Jsou konvexní následující čtyřúhelníky: a) různoběžník, b) lichoběžník, c) rovnoběžník? 2. Popište vlastnosti stran a úhlů: a) čtverce, b) obdélníka, c) kosočtverce, d) kosodélníka. 3. Je dán čtyřúhelník ABCD. Určete jeho nejbližší specifikaci, když platí: a) je konvexní, žádné dvě strany nejsou rovnoběžné, b) rovnoběžné jsou pouze strany AB a CD, c) rovnoběžné jsou pouze strany AB a CD, strana AD je kolmá ke straně AB, d) rovnoběžné jsou pouze strany AB a CD, strany AD a BC jsou shodné, e) úhlopříčky AC a BD jsou navzájem kolmé, úhlopříčka AC půlí úhlopříčku BD, f) AB k CD ∧ AD k BC, g) AB k CD ∧ AD k BC ∧ AB ∼ ) ABC ∼ ) BCA, = BC ∧ < =< h) AB k CD ∧ AD k BC ∧ AB > BC ∧ < ) ABC ∼ ) BCA, =< i) AB k CD ∧ AD k BC ∧ AB ∼ ) ABC > < ) BCA, = BC ∧ < j) AB k CD ∧ AD k BC ∧ AB > BC ∧ < ) ABC > < ) BCA. 4. Definujte konvexní čtyřúhelník ABCD jako: a) průnik polorovin, b) průnik konvexních úhlů, c) sjednocení trojúhelníků. 5. Definujte lichoběžník pomocí:

32

Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník a) polorovin, b) konvexních úhlů, c) trojúhelníků. 6. Definujte rovnoběžník pomocí rovinných pásů.

Měli bychom odpovídat: 1 - a) ANO, b) ANO, c) ANO, 2 - a) čtverec (protější strany rovnoběžné, všechny strany shodné, všechny vnitřní úhly pravé), b) obdélník (protější strany rovnoběžné, shodné vždy jen dvě protější strany, všechny vnitřní úhly pravé), c) kosočtverec (protější strany rovnoběžné, všechny strany shodné, shodné vždy jen dva protější úhly - jedna dvojice úhly ostré a druhá dvojice úhly tupé), d) kosodélník (protější strany rovnoběžné, shodné vždy jen dvě protější strany, shodné vždy jen dva protější úhly - jedna dvojice úhly ostré a druhá dvojice úhly tupé), 3 - a) různoběžník, b) lichoběžník, c)pravoúhlý lichoběžník, d) rovnoramenný lichoběžník, e) deltoid, f) rovnoběžník, g) čtverec, h) obdélník, i) kosočtverec, j) kosodélník, 4 - a) Nechť jsou dány čtyři po dvou navzájem různé body A, B, C, D, z nichž žádné tři neleží v přímce. Konvexním čtyřúhelníkem ABCD nazveme průnik polorovin ABC, BCD, CDA, DAB. b) Nechť jsou dány čtyři po dvou navzájem různé body A, B, C, D, z nichž žádné tři neleží v přímce. Konvexním čtyřúhelníkem ABCD nazveme průnik konvexních úhlů ABC, ADC. c) Nechť jsou dány čtyři po dvou navzájem různé body A, B, C, D, z nichž žádné tři neleží v přímce. Konvexním čtyřúhelníkem ABCD nazveme sjednocení trojúhelníků ABC, ACD. 5 - a) Nechť jsou dány dvě různé rovnoběžné úsečky AB, CD, které nejsou nazájem shodné. Lichoběžníkem ABCD nezveme průnik polorovin ABC, BCD, CDA, DAB. b) Nechť jsou dány dvě různé rovnoběžné úsečky AB, CD, které nejsou nazájem shodné. Lichoběžníkem ABCD nezveme průnik konvexních úhlů ABC, ADC. c) Nechť jsou dány dvě různé rovnoběžné úsečky AB, CD, které nejsou nazájem shodné. Lichoběžníkem ABCD nezveme sjednocení trojúhelníků ABC, ACD. 6 - Nechť jsou dány dva rovinné pásy P1 , P2 , jejichž hraniční přímky nejsou navzájem rovnoběžné. Rovnoběžníkem ABCD nazveme průnik těchto rovinných pásů (body A, B, C, D jsou postupně průsečíky hraničních přímek rovinných pásů).


33

Pokud jsme odpověděli správně, jsme připraveni začít pracovat s příklady. Nejprve s těmi, které řešení obsahují, a to v podkapitole Řešené příklady, následně pak s těmi bez návodu řešení v podkapitole Neřešené příklady. 1.4 Řešené příklady. Příklad 1.1. Který n-úhelník má 5-krát více úhlopříček než stran? Řešení: Počet úhlopříček n-úhelníka je dán vztahem n(n−3) 2

n(n−3) . 2

Budeme tedy řešit rovnici

= 5n. n(n − 3) = 5n 2 n(n − 3) = 10n n2 − 3n = 10n n2 − 13n = 0 n(n − 13) = 0 n = 0 ∨ n = 13

5-krát více úhlopříček než stran má třináctiúhelník. Příklad 1.2. Kolik vrcholů má pravidelný n-úhelník, jehož každý vnitřní úhel má velikost 144◦ ? Řešení: Součet velikostí všech vnitřních úhlů konvexního n-úhelníka je dán vztahem (n − 2) · 180◦ . Velikost každého vnitřího úhlů pravidelného n-úhelníka je tedy dána vztahem

(n−2)·180◦ . n

Budeme tedy řešit rovnici

(n−2)·180◦ n

= 144◦ .

(n − 2) · 180 = 144 n (n − 2) · 180 = 144n 180n − 360 = 144n 180n − 144n = 360 36n = 360 n = 10 Velikost každého vnitřního úhlu 144◦ má pravidelný desetiúhelník.

34


Příklad 1.3. Jaký geometrický útvar může být průnikem trojúhelníka a poloroviny ležících v téže rovině? Načrtněte jednotlivé případy. Řešení: a) Bod, b) úsečka, c) trojúhelník, d) čtyřúhelník.

Obrázek 1.24 Příklad 1.4. Na prodloužení těžnice AA trojúhelníka ABC za bod A sestrojte ′ bod E tak, že platí |AE| = 2 · AA . Dokažte, že přímka AB prochází středem ′

úsečky CE. (Viz obr. 5.25.) Řešení: A E je těžnice trojúhelníka CEB, bod A je jeho těžiště. Přímka AB prochází ′

těžištěm A a protíná stranu EC trojúhelníka CEB v bodě B . Proto je BB ′

těžnice trojúhelníka CEB a bod B středem strany CE. ′

Obrázek 1.25

′


35

Příklad 1.5. Jaký úhel svírají osy vnitřních úhlů α, β daného trojúhelníka ABC? (Viz obr. 5.26.)

Obrázek 1.26 Řešení: Označme hledaný úhel ω, průsečík os D. Pro trojúhelník ABD platí vztah: − ( α2 + β2 ) = 2 · α+β+γ − α2 − β2 = ω = 180 − ( α2 + β2 ) = 2 · 90 − ( α2 + β2 ) = 2 · α+β+γ 2 2 2α+2β+2γ 2

−

α 2

−

β 2

=

α 2

+

β 2

+γ =

α+β+2γ 2

=

180+γ 2

= 90 +

γ 2

Hledaný úhel je 90◦ + γ2 . 1.5 Neřešené příklady. Příklad 1.1. Načrtněte příklad lomené čáry, která v dané rovině: a) je jednoduchá a zároveň je uzavřená, b) není jednoduchá a zároveň není uzavřená, c) není jednoduchá a zároveň je uzavřená, d) nesplňuje žádnou z výše uvedených vlastností a - c.

Příklad 1.2. Jaký geometrický útvar může být průnikem trojúhelníka a přímky ležících v téže rovině? Načrtněte jednotlivé případy. Příklad 1.3. Vyjmenujte všechny trojúhelníky zobrazené na obrázku 5.27. Vyberte z nich všechny takové dvojice, jejichž průnikem je: a) bod, b) úsečka, c) trojúhelník.

36


Obrázek 1.27 Příklad 1.4. Jsou pravdivá následující tvrzení? a) V trojúhelníku nemohou být dva vnitřní úhly pravé. b) V rovnoramenném trojúhelníku nemůže být vnitřní úhel při základně větší než pravý. Příklad 1.5. Narýsujte libovolný obdélník, jehož poměr sousedních stran je 5 : 2. Rozdělte ho na: a) tři pravoúhlé trojúhelníky, b) ostroúhlý, pravoúhlý a tupoúhlý trojúhelník, c) dva pravoúhlé a jeden tupoúhlý trojúhelník. Příklad 1.6. Jsou dány následující podmnožiny množiny všech trojúhelníků: R je množina všech rovnoramenných trojúhelníků, S je množina všech rovnostranných trojúhelníků, O je množina všech ostroúhlých trojúhelníků, P je množina všech pravoúhlých trojúhelníků, Určete: a) S ∩ O, b) O ∩ P , c) S ∩ P , d) P ∩ R, e) S ∩ R. Příklad 1.7. Vnitřní úhly v trojúhelníku jsou v poměru 2 : 3 : 5. V jakém poměru jsou jeho vnější úhly? Příklad 1.8. Mezi vnitřními úhly v trojúhelníku platí vztahy α = 2β, β = 3γ. Určete velikosti těchto úhlů.


37

Příklad 1.9. Jaký úhel svírají osy vnějších úhlů při vrcholech A, B pravoúhlého trojúhelníka ABC s pravým úhlem při vrcholu C? Příklad 1.10. Pravidelný šestiúhelník ABCDEF se středem v bodě S definujte jako: a) průnik polorovin, b) průnik nebo sjednocení úhlů, rovinných pásů, trojúhelníků.

Příklad 1.11. Jaký geometrický útvar může být průnikem dvou trojúhelníků ležících v téže rovině? Načrtněte jednotlivé případy. Příklad 1.12. Určete počet úhlopříček v n-úhelníku pro n = 5, 6, 8, 12. Příklad 1.13. Který konvexní n-úhelník má dvakrát více úhlopříček než stran? Příklad 1.14. Uveďte různé definice lichoběžníka pomocí polorovin, úhlů, trojúhelníků, rovinných pásů. Příklad 1.15. Jsou dány tři po dvou navzájem různé nekolineární body. Sestrojte všechny rovnoběžníky, které mají dané body jako tři své vrcholy. Příklad 1.16. Jaký geometrický útvar může být průnikem trojúhelníku a rovnoběžníku ležících v téže rovině? Načrtněte jednotlivé případy. Příklad 1.17. Jaký geometrický útvar může být průnikem dvou rovnoběžníků ležících v téže rovině? Načrtněte jednotlivé případy. Příklad 1.18. Jaký geometrický útvar vymezují osy vnitřích úhlů: a) kosodélníka, b) čtverce, c) kosočtverce, d) obdélníka? 1.6 Výsledky. 1) Na obrázku 5.28 uvádíme příklad možného řešení.

38


Obrázek 1.28 2a) (Prázdná množina) - není geometrický útvar, 2b) bod, 2c) úsečka. Viz obr. 5.29.

Obrázek 1.29 3) Na obrázku 5.27 jsou vyznačeny celkem čtyři různé trojúhelníky: △ABC, △F ED, △ACD, △BCE. 3a) △AF B ∩ △EF D = {F }, 3b) △ABF ∩ △BEC = BF, △CDA ∩ △F DE = F D, 3c) △ABF ∩ △ACD = △ABF, △BEC ∩ △F DE = △F DE. 4a) Ano. Součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je úhel přímý. Součet každých dvou vnitřních úhlů v trojúhelníku musí tedy být menší než úhel přímý. 4b) Ano. Součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je úhel přímý. Dvojnásobek


39

vnitřního úhlu při základně rovnoramenného trojúhelníka musí tedy být menší než úhel přímý. 5) Můžeme použít Thaletovu větu. Na obrázku 5.30 uvádíme příklady možných řešení.

Obrázek 1.30 6a) S ∩ O = S (všechny rovnostranné trohúhelníky jsou ostroúhlé), 6b) O ∩ P = {}, (žádný ostroúhlý trojúhelník není pravoúhlý), 6c) S ∩ P = {}, (žádný rovnostranný trojúhelník není pravoúhlý), 6d) P ∩ R = M , kde M je množina všech pravoúhlých rovnoramenných trojúhelníků, 6e) S ∩ R = S (všechny rovnostranné trojúhelníky jsou rovnoramenné. 7) 8 : 7 : 5 8) α = 108◦ , β = 54◦ , γ = 18◦ 9)

R 2

11) Trojúhelník, čtyřúhelník, pětiúhelník, šestiúhelník. 12) u5 = 5, u6 = 9, u8 = 20, u12 = 54 13) Konvexní sedmiúhelník. 16) Bod, úsečka, trojúhelník, čtyřúhelník, pětiúhelník, šestiúhelník, sedmiúhelník. 17) Bod, úsečka, trojúhelník, čtyřúhelník, pětiúhelník, šestiúhelník, sedmiúhelník, osmiúhelník. 18a) Obdélník, 18b) bod, 18c) bod, 18d) čtverec.


2 Kružnice, kruh

41 V této kapitole zavedeme pojmy kružnice,

kruh a pojmy s těmito geometrickými útvary související: střed, poloměr a průměr kružnice, resp. kruhu. Budeme definovat pojmy tětiva a oblouk kružnice. S pojmem oblouk kružnice souvisí problematika úhlů v kružnici (středový, obvodový a úsekový úhel příslušný danému oblouku). Ukážeme si, jak teorii apikovat na konkrétní úlohy. Klíčová slova: kružnice, střed kružnice, poloměr kružnice, průměr kružnice, tětiva kružnice, oblouk kružnice, středový úhel, obloukový úhel, úsekový úhel, vzájemná poloha přímky a kružnice, vzájemná poloha dvou kružnic, kruh, střed kruhu, poloměr kruhu, průměr kruhu. 2.1 Kružnice. Pojem kružnice budeme definovat pomocí relace shodnost úseček. Jistě bychom tento pojem mohli definovat i pomocí délky úsečky, ale protože jsme se v tomto textu věnovali grafickému porovnávání úseček (určení, kdy jsou dvě úsečky shodné, nikoli jejich míře), využijeme těchto znalostí. Definice 2.1. (Kružnice)

Nechť je v rovině E2 dán bod S a úsečka r.

Kružnicí nazveme množinu všech bodů X roviny E2 takových, že úsečka SX je shodná s úsečkou r.

Bod S se nazývá střed kružnice, úsečka r se nazývá poloměr kružnice. Slovní vyjádření kružnice k se středem v bodě S s poloměrem r budeme symbolicky zapisovat k(S; r). Definice 2.2. (Tětiva kružnice) Nechť je dána kružnice k. Tětivou kružnice k nazveme každou úsečku AB, jejíž krajní body A, B jsou body kružnice. Definice 2.3. (Průměr kružnice) Nechť je dána kružnice k. Průměrem kružnice k nazveme každou její tětivu, která prochází středem této kružnice. Definice 2.4. (Oblouk kružnice) Nechť je dána kružnice k a dva různé body této kružnice A, B. Obloukem AB kružnice k nazveme průnik kružnice a poloroviny s hraniční přímkou AB. (Viz obr. 6.1a)

42

Kružnice, kruh

Ke každým dvěma různým bodům A, B kružnice k existují právě dva různé oblouky. ⌢

Slovní vyjádření oblouk AB budeme symbolicky zapisovat AB. 2.1.1 Úhly v kružnici. V této části zavedeme pojmy středový, obvodový a úsekový úhel příslušný danému oblouku kružnice a vztahy mezi nimi. Definice 2.5. (Středový úhel) Nechť je dána kružnice k a její oblouk AB. Středovým úhlem kružnice k příslušným k oblouku AB nazveme každý úhel XSY , jehož vrcholem S je střed kružnice k a jehož ramena SX, SY procházejí krajními body oblouku AB, který v tomto úhlu leží. (Viz obr. 6.1b.)

Obrázek 2.1 Hned prověříme, zda jsme pojem středový úhel pochopili správně a ukážeme si důležité vlastnosti středových úhlů. Načrtni kružnici k se středem v bodě S a poloměrem r. Vyznač její dva různé body A, B. Vyznač oblouk AB (zvol jeden ze dvou možných). Podle definice středového úhlu vyznač (vyšrafuj) středový úhel příslušný k oblouku AB. Kolik navzájem různých středových úhlů příslušných k danému oblouku najdeš? Načrtni kružnici k se středem v bodě S a poloměrem r. Vyznač její dva různé body A, B. Vyznač oba oblouky AB. Ke každému z těchto dvou oblouků vyznač (vyšrafuj) příslušný středový úhel. Všimni si v souladu s definici, že opravdu příslušný oblouk leží v tom středovém úhlu, který k němu přísluší. Definice 2.6. (Obvodový úhel) Nechť je dána kružnice k a její oblouk AB. Obvodovým úhlem kružnice k příslušným k oblouku AB nazveme každý úhel


43

XV Y , jehož vrcholem V je libovolný bod kružnice k různý od bodů A, B a jehož ramena SX, SY procházejí krajními body oblouku AB, který v tomto úhlu leží. (Viz obr. 6.2.)

Obrázek 2.2

Hned prověříme, zda jsme pojem obvodový úhel pochopili správně a ukážeme si důležité vlastnosti obvodových úhlů. Načrtni kružnici k se středem v bodě S a poloměrem r. Vyznač její dva různé body A, B. Vyznač oblouk AB (zvol jeden ze dvou možných). Podle definice obvodového úhlu vyznač (vyšrafuj) obvodový úhel příslušný k oblouku AB. Kolik navzájem různých obvodových úhlů příslušných k danému oblouku najdeš? Načrtni kružnici k se středem v bodě S a poloměrem r. Vyznač její dva různé body A, B. Vyznač oba oblouky AB. Ke každému z těchto dvou oblouků vyznač (vyšrafuj) příslušný obvodový úhel. Všimni si v souladu s definici, že opravdu příslušný oblouk leží v tom obvodovém úhlu, který k němu přísluší. Definice 2.7. (Úsekový úhel) Nechť je dána kružnice k a její oblouk AB. Úsekovým úhlem kružnice k příslušným k oblouku AB nazveme každý úhel BAX, resp. ABY , jehož jedním ramenem je polopřímka AB, resp. BA a druhé rameno leží v tečně vedené ke kružnici k bodem A, resp. bodem B, přičemž oblouk AB v tomto úhlu leží. (Viz obr. 6.3.)

44

Kružnice, kruh

Obrázek 2.3 Hned prověříme, zda jsme pojem úsekový úhel pochopili správně a ukážeme si důležité vlastnosti úsekových úhlů. Načrtni kružnici k se středem v bodě S a poloměrem r. Vyznač její dva různé body A, B. Vyznač oblouk AB (zvol jeden ze dvou možných). Podle definice úsekového úhlu vyznač (vyšrafuj) středový úhel příslušný k oblouku AB. Kolik navzájem různých úsekových úhlů příslušných k danému oblouku najdeš? Načrtni kružnici k se středem v bodě S a poloměrem r. Vyznač její dva různé body A, B. Vyznač oba oblouky AB. Ke každému z těchto dvou oblouků vyznač (vyšrafuj) příslušný úsekový úhel. Všimni si v souladu s definici, že opravdu příslušný oblouk leží v tom úsekovém úhlu, který k němu přísluší.

Měli bychom umět definovat pojmy středový, obvodový a úsekový úhel příslušný danému oblouku kružnice, tyto úhly bychom měli dokázat pro konktétní oblouk sestrojit. Nyní se pokusíme odpovědět na další kontrolní otázky. Teprve všechny správné odpovědi a vědomí, proč jsme odpovídali daným způsobem, bude pro nás signálem, že můžeme pokračovat ve studiu textu dále. 1. Kolik různých středových úhlů existuje k danému oblouku kružnice? 2. Kolik různých obvodových úhlů existuje k danému oblouku kružnice? 3. Kolik různých úsekových úhlů existuje k danému oblouku kružnice? 4. Je středový úhel příslušný danému oblouku kružnice vždy shodný, větší nebo menší než obvodový úhel příslušný témuž oblouku?


45

5. Je středový úhel příslušný danému oblouku kružnice vždy shodný, větší nebo menší než úsekový úhel příslušný témuž oblouku? 6. Je obvodový úhel příslušný danému oblouku kružnice vždy shodný, větší nebo menší než úsekový úhel příslušný témuž oblouku? 7. Je každý středový (obvodový, úsekový) úhel vždy konvexní? Zkus v náčrtu najít nekonvexní. 8. Je každý středový (obvodový, úsekový) úhel vždy ostrý? Zkus v náčrtu najít pravé nebo tupé. 9. Sestroj kružnici k a popiš A, B krajní body jejího průměru. Vyznač oblouk A, B (zvol jeden ze dvou možných). Vyznač (vyšrafuj) středový (obvodový, úsekový) úhel příslušný k danému oblouku. Jaká je velikost tohoto středového (obvodového, úsekového) úhlu? Pokus se formulovat větu o velikostech všech obvodových úhlů sestrojených nad průměrem kružnice. Měli bychom odpovídat takto: 1 - právě jeden, 2 - nekonečně mnoho 3 - právě dva, 4 - středový úhel příslušný k danému oblouku kružnice je vždy větší než obvodový úhel příslušný k témuž oblouku, 5 - středový úhel příslušný k danému oblouku kružnice je vždy větší než úsekový úhel příslušný k témuž oblouku, 6 - obvodový úhel příslušný k danému oblouku kružnice je vždy shodný s úsekovým úhlem příslušným k témuž oblouku, 7 - středový NE, obvodový ANO, úsekový ANO, 8 - středový NE, obvodový NE, úsekový NE, 9 - středový úhel je přímý, všechny obvodové úhly jsou pravé, oba úsekové úhly jsou pravé, Thaletova věta: „Všechny obvodové úhly sestrojené nad průměrem kružnice jsou pravéÿ. Pokud jsme nechybovali ani nyní, pak jsme základní teorii části věnované úhlům v kružnici úspěšně zvládli. Pokud jsme někde zaváhali, znovu si přečteme, načrtneme a promyslíme příslušnou část teorie. Bez úplného pochopení nebudeme pokračovat dále. Věta 2.1. K jednomu oblouku kružnice existuje právě jeden středový úhel, nekonečně mnoho obvodových úhlů a právě dva úsekové úhly.

46

Kružnice, kruh

Věta 2.2. Všechny obvodové úhly příslušné k danému oblouku kružnice jsou navzájem shodné.

Věta 2.3. Oba úsekové úhly příslušné k danému oblouku kružnice jsou navzájem shodné.

Věta 2.4. Obvodové a úsekové úhly jsou vždy konvexní.

Věta 2.5. Velikost obvodového úhlu je vždy rovna polovině velikosti středového úhlu příslušného k témuž oblouku kružnice. Dokážeme splnit ještě jeden kontrolní úkol, který v sobě spojuje problematiku všech tří typů úhlů v kružnici (středového, vrcholového a úsekového)? Zapišme všechny vztahy mezi velikosti středového, obvodového a úsekového úhlu příslušných k témuž oblouku kružnice. Označíme-li středový úhel α, obvodový úhel β a úsekový úhel γ, pak platí: α = 2 · β = 2 · γ, β = γ = α2 . 2.1.2 Vzájemná poloha přímky a kružnice. V této části textu zopakujeme pojmy sečna, tečna a vnější přímka (nesečna) kružnice. Víme, že přímka a kružnice mohou mít společné právě dva body, právě jeden bod nebo žádný bod (žádný jiný případ nastat nemůže). Podle počtu společných bodů budeme pojmy sečna, tečna a vnější přímka (nesečna) definovat. Definice 2.8. (Sečna kružnice)

Nechť je v rovině E2 dána kružnice k

a přímka p. Přímku p nazveme sečnou kružnice , právě když má s kružnicí společné právě různé dva body. (Viz obr. 6.4a.)

Věta 2.6. Pata kolmice vedené ze středu kružnice na její sečnu je středem tětivy, jejímiž krajními body jsou průsečíky této sečny s danou kružnicí.

Dokážeme splnit další úkol? Znázorněme situaci, kterou věta 6.6 popisuje sestrojme kružnici k se středem v bodě S a libovolnou její sečnu, průsečíky této sečny s kružnicí označme A, B, bodem S veďme k sečně kolmici, patu kolmice označme P . Přesvědčme se, že platí AP = P B. Definice 2.9. (Tečna kružnice)

Nechť je v rovině E2 dána kružnice k

a přímka p. Přímku p nazveme tečnou kružnice , právě když má s kružnicí


47

společný právě jeden bod. (Viz obr. 6.4b.)

Společný bod kružnice a její tečny se nazývá bod dotyku. Věta 2.7. Tečna kružnice je kolmá k úsečce, jejimiž krajními body jsou bod dotyku a střed dané kružnice.

Dokážeme splnit další úkoly? Znázorněme situaci, kterou popisuje věta 6.7. - sestrojme kružnici k se středem v bodě S a bod T , který kružnici náleží. Bodem T veďme tečnu ke kružnici. Přesvědčme se, že tato tečna kružnice je kolmá k úsečce T S. Sestrojme kružnici k se středem v bodě S a poloměrem r a bod M , který leží ve vnější oblasti kružnice. Bodem M veďme tečny ke kružnici. Konstrukci symbolicky zapišme. Definice 2.10. (Vnější přímka kružnice (nesečna kružnice)) Nechť je v rovině E2 dána kružnice k a přímka p. Přímku p nazveme vnější přímkou kružnice (nesečnou kružnice) , právě když nemá s kružnicí společný žádný bod. (Viz obr. 6.4c.)

Pokusme se splnit ještě jeden úkol. Načrtněme kružnici k se středem v bodě S a poloměrem r. Načrtněme její sečnu, tečnu a vnější přímku a označme postupně p1 , p2 , p3 . Zapišme vztah mezi velikostí poloměru kružnice a vzdálenosti sečny, tečny a vnější přímky této kružnice od jejího středu (rozhodněme tedy, zda vždy platí některý ze vztahů: r > |pn S|, r = |pn S|, r < |pn S|, kde n nabývá postupně hodnot 1, 2, 3). (Viz obr. 6.4.)

Obrázek 2.4 Měli bychom odpovědět, že vždy platí vztahy r > |p1 S|, tedy r > v1 ; r = |p2 S|, tedy r = v2 ; r < |p3 S|, tedy r < v3 .

48

Kružnice, kruh

2.1.3 Vzájemná poloha dvou kružnic. V této části textu zopakujeme pojmy soustředné a nesoustředné kružnice a připomeneme si, v jakých vzájemných polohách mohou dvě kružnice ležet. Víme, že dvě kružnice mohou a nemusejí mít společné středy, podle toho budeme definovat pojmy soustředné a nesoustředné kružnice. Vzájemnou polohu nesoustředných kružnic budeme definovat podle vztahu mezi střednou těchto kružnic a součtu, resp. rozdílu, jejich poloměrů. Definice 2.11. (Soustředné kružnice) Nechť jsou v rovině E2 dány dvě kružnice k1 = (S1 ; r1 ), k2 = (S2 ; r2 ). Tyto kružnice se nazývají soustředné kružnice , právě když jsou jejich středy totožné (tj. platí S1 = S2 ). (Viz obr. 6.5.)

Soustředné kružnice mohou ležet v právě jedné ze dvou možných vzájemných poloh, rozlišujeme podle počtu společných bodů. Tyto kružnice mohou mít buď společné všechny body nebo žádný: 1. Jestliže soustředné kružnice mají všechny body společné, pak jsou totožné. Platí pro soustředné kružnice se shodnými poloměry. 2. Jestliže soustředné kružnice nemají žádný společný bod, pak říkáme, že jedna leží ve vnitřní oblasti druhé a tyto kružnice vytváří mezikruží, viz obr. 6.5a. Platí pro kružnice s různými poloměry. Výsečí mezikruží nazveme průnik mezikruží a úhlu, jehož vrcholem je střed kružnic, viz obr. 6.5b.

Obrázek 2.5 Definice 2.12. (Nesoustředné kružnice) Nechť jsou v rovině E2 dány dvě kružnice k1 = (S1 ; r1 ), k2 = (S2 ; r2 ). Tyto kružnice se nazývají nesoustředné


49

kružnice , právě když nejsou jejich středy totožné (tj. platí S1 6= S2 ). (Viz obr. 6.6 - 6.10.)

Definice 2.13. (Středná) Nechť jsou v rovině E2 dány dvě nesoustředné kružnice k1 , k2 . Střednou nazveme úsečku, jejímiž krajními body jsou středy daných kružnic. (Viz obr. 6.6 - 6.10.)

Nesoustředné kružnice mohou ležet v právě jedné z pěti možných vzájemných poloh, rozlišujeme podle počtu společných bodů a jejich charakteru. Bez újmy na obecnosti budeme předpokládat, že poloměr r2 je nejvýše roven poloměru r1 (tj. r2 ≤ r1 ). Nesoustředné kružnice mohou mít společné nejvýše dva body. Dokážeme načrtnout dvě nesoustředné kružnice ve všech možných pěti vzájemných polohách a vyznačit jejich společné body, pokud existují? Pokusme se nejprve bez nápovědy. Výsledek zkontrolujme s obrázky 6.6 - 6.10 (na všech zobrazeních je S1 S2 úsečka, která má společné body s vyznačenými poloměry r1 , r2 obou kružnic - jen pro názornost jsou tyto úsečky znázorněny „nad sebouÿ).

1. Jestliže nesoustředné kružnice nemají žádný společný bod, pak mohou ležet v právě jedné ze dvou možných vzájemných poloh: a) Kružnice k2 leží ve vnitřní oblasti kružnice k1 . Platí 0 ≤ |S1 S2 | < r1 − r2 . Viz obr. 6.6.

Obrázek 2.6 b) Kružnice k1 leží ve vnější oblasti kružnice k2 , resp. můžeme říct, že kružnice k2 leží ve vnější oblasti kružnice k1 . Platí |S1 S2 | > r1 + r2 . Viz obr. 6.7.

50

Kružnice, kruh

Obrázek 2.7 2. Jestliže nesoustředné kružnice mají právě jeden společný bod, pak mohou ležet v právě jedné ze dvou možných vzájemných poloh: a) Kružnice mají vnější bod dotyku. Platí |S1 S2 | = r1 + r2 . Viz obr. 6.8.

Obrázek 2.8 b) Kružnice mají vnitřní bod dotyku. Platí |S1 S2 | = r1 − r2 . Viz obr. 6.9.

Obrázek 2.9 3. Kružnice mají právě dva společné body. Platí r1 − r2 < |S1 S2 | < r1 + r2 . Viz obr. 6.10.


51

Obrázek 2.10 Pokud známe velikosti středné a poloměry obou kružnic (poloměry jako čísla), pak můžeme o jejich vzájemné poloze rozhodnout výpočtem, a to užitím vztahů mezi velikostí středné a součtu, resp. rozdílu, poloměrů. Nejprve porovnáme velikost středné a součet poloměrů (tedy zkoumáme vztah mezi |S1 S2 | a r1 +r2 ). Mohou nastat tři případy: 1) |S1 S2 | > r1 + r2 . Ihned můžeme učinit závěr, že kružnice k1 leží ve vnější oblasti kružnice k2 , resp. kružnice k2 leží ve vnější oblasti kružnice k1 (což je totéž). 2) |S1 S2 | = r1 + r2 . Ihned můžeme učinit závěr, že kružnice mají vnější bod dotyku. 3) |S1 S2 | < r1 + r2 . Nyní ještě rozhodnout nemůžeme, protože tento vztah platí pro tři různé vzájemné polohy dvou kružnic, a to pro případy, kdy se kružnice protínají právě ve dvou bodech, kdy mají vnitřní bod dotyku a kdy jedna leží ve vnitřní oblsati druhé. Musíme tedy velikost středné porovnat ještě s velikosti rozdílu poloměrů kružnic (tedy zkoumáme vztah mezi |S1 S2 | a r1 − r2 ). Rozlišíme tyto tři případy: 1) |S1 S2 | > r1 − r2 . Nyní můžeme učinit závěr, že se kružnice protínají právě ve dvou bodech. 2) |S1 S2 | = r1 −r2 . Nyní můžeme učinit závěr, že kružnice mají vnitřní bod dotyku. 3) |S1 S2 | < r1 − r2 . Nyní můžeme učinit závěr, že kružnice k2 leží ve vnitřní oblasti kružnice k1 .

52

Kružnice, kruh

2.2 Kruh. Pojem kruh budeme definovat pomocí operace sjednocení úseček. Jistě bychom tento pojem mohli definovat i pomocí délky úsečky, ale protože jsme se v tomto textu věnovali grafickému porovnávání úseček (určení, kdy jsou dvě úsečky shodné, nikoli jejich míře), využijeme těchto znalostí. Definice 2.14. (Kruh) Nechť je v rovině E2 dán bod S a úsečka r. Kruhem nazveme sjednocení všech úseček SX roviny E2 takových, že úsečka SX je shodná s úsečkou r.

Bod S se nazývá střed kruhu, úsečka r se nazývá poloměr kruhu. Slovní vyjádření kruh K se středem v bodě S s poloměrem r budeme symbolicky zapisovat K(S; r). 2.3 Řešené příklady. Příklad 2.1. Jaký geometrický útvar může být růnikem kruhu a poloroviny ležících v téže rovině? Graficky zobrazte jednotlivé případy. Řešení: a) (Prázdná množina) - není geometrický útvar, b) bod, c) kruhová úseč, d) kruh. (Viz obr. 6.11.)

Obrázek 2.11 Příklad 2.2. Do kružnice k je vepsán trojúhelník ABC tak, že jeho vrcholy dělí kružnici v poměru 2 : 3 : 7. Určete velikosti vnitřních úhlů trojúhelníka ABC. Řešení: Viz obr. 6.12.


53

Obrázek 2.12 < ) ACB: Úhel ACB je obvodový úhel kružnice k příslušný oblouku AB. Témuž oblouku přísluší středový úhel ASB. Velikost úhlu ASB umíme vypočítat ze vztahu

360◦ 2+3+7

· 2, kdy plný úhel (360◦ ) dělíme součtem dílů,

na něž je kružnice rozdělená (2 + 3 + 7) a tento podíl násobíme dvěma (2 díly). Pro velikost úhlu ASB tedy platí: |< ) ASB| =

360◦ 2+3+7

· 2 = 30◦ · 2 = 60◦

Obvodový úhel má velikost poloviny středového úhlu příslušného témuž oblouku kružnice. Jeho velikost určíme ze vztahu: |< ) ACB| =

|< ) ASB| 2

=

60◦ 2

= 30◦ .

< ) ABC: Úhel ABC je obvodový úhel kružnice k příslušný oblouku AC. Témuž oblouku přísluší středový úhel ASC. Velikost úhlu ASC umíme vypočítat ze vztahu

360◦ 2+3+7

· 7, kdy plný úhel (360◦ ) dělíme součtem dílů,

na něž je kružnice rozdělená (2 + 3 + 7) a tento podíl násobíme sedmi (7 dílů). Pro velikost úhlu ASC tedy platí: |< ) ASC| =

360◦ 2+3+7

· 7 = 30◦ · 7 = 210◦

Obvodový úhel má velikost poloviny středového úhlu příslušného témuž oblouku kružnice. Jeho velikost určíme ze vztahu: |< ) ABC| =

|< ) ASB| 2

=

210◦ 2

= 105◦ .

< ) BAC: Velikost úhlu BAC nejrychleji spočítáme jako velikost třetího vnitřního úhlu v trojúhelníku, kdy známe velikosti zbývajících dvou vnitřních úhlů, tedy ze vztahu: |< ) BAC| = 180◦ − (|< ) ACB| + |< ) ASB|) = 180◦ − (30◦ + 105◦ ) = 180◦ − 135◦ = 45◦

54

Kružnice, kruh Samozřejmě bychom mohli řešit využitím vztahu mezi středovým a obvodovým úhlem, stejně, jako při výpočtu předchozích dvou úhlů trojúhelníka ABC: |< ) BAC| =

|< ) BSC| 2

=

360◦ ·3 2+3+7

2

=

90◦ 2

= 45◦

Příklad 2.3. Rozhodněte výpočtem o vzájemné poloze kružnic k1 (S1 ; r1 ), k2 (S2 ; r2 ), jestliže platí: a) |S1 S2 | = 2 cm, r1 = 5 cm, r2 = 3 cm, b) |S1 S2 | = 6,5 cm, r1 = 3 cm, r2 = 1,8 cm, c) |S1 S2 | = 2 cm, r1 = 4 cm, r2 = 3 cm, d) |S1 S2 | = 5 cm, r1 = 3,5 cm, r2 = 1,5 cm, e) |S1 S2 | = 2,5 cm, r1 = 5 cm, r2 = 2 cm. Správnost výpočtu ověřte konstrukcí. Řešení: a) |S1 S2 | < r1 + r2 ⇒ kružnice se mohou protínat ve dvou bodech, mít vnitřní bod dotyku nebo jedna ležet ve vnitřní oblasti druhé, |S1 S2 | = |r1 − r2 | ⇒ kružnice mají vnitřní bod dotyku, b) |S1 S2 | > r1 + r2 ⇒ jedna kružnice leží ve vnější oblasti druhé, c) |S1 S2 | < r1 + r2 ⇒ kružnice se mohou protínat ve dvou bodech, mít vnitřní bod dotyku nebo jedna ležet ve vnitřní oblasti druhé, |S1 S2 | > |r1 − r2 | ⇒ kružnice se protínají ve dvou bodech, d) |S1 S2 | = r1 + r2 ⇒ kružnice mají vnější bod dotyku, e) |S1 S2 | < r1 + r2 ⇒ kružnice se mohou protínat ve dvou bodech, mít vnitřní bod dotyku nebo jedna ležet ve vnitřní oblasti druhé, |S1 S2 | < |r1 − r2 | ⇒ jedna kružnice leží ve vnitřní oblasti druhé.


55

Příklad 2.4. Je dána kružnice k(S; r). Vepište do ní pravidelný n-úhelník pro n = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12. Řešení: V dané kružnici k(S; r) sestrojíme dva k sobě kolmé průměry (sdružené průměry) AB, CD. Střed úsečky AS označíme O. Průsečík kružnice se středem v bodě O a poloměrem OD označíme E. V pravoúhlém trojúhelníku SED je DE = a5 , SE = a10 , DS = a6 , kde a5 , a6 , a10 jsou strany pravidelného pětiúhelníku, šestiúhelníku, desetiúhelníku vepsaných kružnici. OX je přibližně rovna straně pravidelného sedmiúhelníku vepsaného kružnici. (Viz obr. 6.13.)

Obrázek 2.13 Příklad 2.5. Je dána kružnice k(S; r). Vepište do ní pravidelný n-úhelník pro n = 9.

56

Kružnice, kruh

Řešení: Zvolme libovolný poloměr SM kružnice k(S; r). Jeho osa o protne kružnici k v →

bodech A1 a A4 , úsečku SM v bodě O. Nad úsečkou OP (P ∈ OA1 , OP = r) sestrojíme v polorovině P OM rovnostranný trojúhelník P OQ. Úsečka A1 A2 (A2 ∈ k ∩ SQ) je přibližně délka strany pravidelného devitíúhelníka vepsaného kružnici. (Viz obr. 6.14.)

Obrázek 2.14 2.4 Neřešené příklady. Příklad 2.1. Jaký geometrický útvar může být průnikem a) kruhu a rovinného pásu, b) kružnice a poloroviny, ležících v téže rovině. Načrtněte jednotlivé případy. Příklad 2.2. Je dána kružnice k(S; r). V rovině kružnice k zvolte takový bod X, aby jím ke kružnici: a) neprocházela žádná tečna, b) procházela právě jedna tečna, tuto tečnu sestrojte, c) procházely právě dvě tečny, tyto tečny sestrojte. Příklad 2.3. Rozhodněte výpočtem o vzájemné poloze kružnic k1 (S1 ; r1 ), k2 (S2 ; r2 ), jestliže platí:


57

a) |S1 S2 | = 10 cm, r1 = 7 cm, r2 = 2 cm, b) |S1 S2 | = 10 cm, r1 = 7 cm, r2 = 3 cm, c) |S1 S2 | = 10 cm, r1 = 7 cm, r2 = 5 cm, d) |S1 S2 | = 4 cm, r1 = 7 cm, r2 = 3 cm, e) |S1 S2 | = 2 cm, r1 = 7 cm, r2 = 3 cm, f) |S1 S2 | = 0 cm, r1 = 7 cm, r2 = 3 cm. Správnost výpočtu ověřte konstrukcí. Příklad 2.4. Rozhodněte, zda jsou kolmé ty přímky, které na ciferníku hodin spojují body 4, 7 a 1, 6. Zdůvodněte výpočtem. Příklad 2.5. Výpočtem určete velikosti vnitřních úhlů těch trojúhelníků, jejichž vrcholy vyznačují na ciferníku hodin body: a) 2, 7, 12, b) 3, 8, 11, c) 1, 4, 5. Příklad 2.6. Rohodněte o vzájemné poloze bodu M a kružnice k(S; r), je-li dáno: a) |SM | = 5 cm, r = 3 cm, b) |SM | = 4 cm, r = 4 cm, c) |SM | = 5 cm, r = 6 cm. Příklad 2.7. Je dána kružnice k(S; r) a bod M , který leží ve vnitřní oblasti kružnice k. Sestrojte tětivu kružnice, která je bodem M půlena. Příklad 2.8. Je dána kružnice k(S; 2,8 cm) a přímky a, b, c, d, jejichž vzdálenosti od středu S kružnice k jsou va = 3, 6 cm, vb = 1,6 cm, vc = 2,8 cm, vd = 2,7 cm. Rozhodněte o vzájemné poloze kružnice a přímek a, b, c, d. Příklad 2.9. Je dána kružnice k(S; 3 cm) a přímka p, kde |Sp| = 5 cm. Sestrojte tečny kružnice k:

58

Kružnice, kruh a) rovnoběžné s přímkou p, b) kolmé k přímce p.

Příklad 2.10. Je dána kružnice k(S; r) a přímka p. Sestrojte ke kružnici k tečnu, která s přímkou p svírá úhel velikosti a) 60◦ , b) 75◦ . Příklad 2.11. Kružnice je rozdělena na dva oblouky tak, že obvodový úhel příslušný k většímu oblouku je roven středovému úhlu příslušnému k oblouku menší délky. Určete velikost obvodových úhlů příslušných k oběma obloukům. Příklad 2.12. Určete velikost obvodového úhlu příslušného k oblouku, jehož délka je: a)

3 5

délky kružnice,

b)

5 8

délky kružnice.

Příklad 2.13. V pravidelném osmiúhelníku ABCDEF GH vypočítejte velikosti vnitřních úhlů v trojúhelnících: a) ABG, b) ACE, c) BEH. Příklad 2.14. Vypočítejte velikosti vnitřních úhlů v trojúhelníku, který dostanete, spojíte-li na ciferníku hodin body vyznačující 1, 5, 8. Příklad 2.15. Ve čtyřúhelníku ABCD, jehož vrcholy leží na dané kružnici, je |< ) DAB| = 58◦ , |< ) ABC| = 134◦ . Vypočítejte velikosti zbývajících vnitřních úhlů. Příklad 2.16. Do kružnice je vepsán čtyřúhelník ABCD tak, že jeho vrcholy dělí kružnici v poměru 1 : 2 : 3 : 4. Vypočítejte velikosti jeho vnitřních úhlů.


59

2.5 Výsledky. 1a) aa - (Prázdná množina) - není geometrický útvar, ab - bod, ac - kruhová úseč, ad - část roviny, ae - kruh, (viz obr. 6.15),

Obrázek 2.15 1b) ba - (prázdná množina) - není geometrický útvar, bb - bod, bc - oblouk kružnice, bd - kružnice (viz obr. 6.16).

Obrázek 2.16

2a) Bod X leží ve vnitřní oblasti kružnice, 2b) bod X leží na kružnici, tečnu sestrojíme jako kolmici v bodě X k úsečce SX, 2c) bod X leží ve vnější oblasti kružnice, tečny sestrojíme užitím Thaletovy kružnice nad úsečkou SX. 3a) Jedna kružnice leží ve vnější oblasti druhé, 3b) kružnice mají vnější bod dotyku, 3c) kružnice se protínají ve dvou bodech, 3d) kružnice mají vnitřní bod dotyku, 3e) jedna kružnice leží ve vnitřní oblasti druhé, 3f) kružnice jsou soustředné. 4) Přímky kolmé nejsou. Zdůvodníme výpočtem velikosti úhlu (užitím vztahu mezi velikostí středového a obvodového úhlu): Jestliže označíme bodem A číslici 6, B číslici 4, C číslici 1, D číslici 7, P průsečík přímek AC a BD, pak platí: |< ) CBD| =

|< ) CSD| 2 ◦

=

180◦ 2

= 90◦ , |< ) BCA| =

|< ) BP C| = 180◦ − (90 + 30◦ ) = 180◦ − 120◦ = 60◦ .

|< ) BSA| 2

=

60◦ 2

= 30◦ ,

60

Kružnice, kruh

Obrázek 2.17

5a) Jestliže označíme bodem A číslici 7, B číslici 2, C číslici 12, pak platí: |< ) CAB| =

◦ |< ) CSB| = 602 2 ◦ ◦

= 30◦ , |< ) ABC| =

|< ) ASC| 2

=

150◦ 2

= 75◦ , |< ) ACB|

= 180◦ − (30 + 75 ) = 180◦ − 105◦ = 75◦ . 5b) Jestliže označíme bodem A číslici 8, B číslici 3, C číslici 11, pak platí: |< ) CAB| = |< ) ABC| =

|< ) ASC| 2

=

90◦ 2

|< ) CSB| 2 ◦

=

120◦ 2

= 60◦ ,

= 45◦ , |< ) ACB| = 180◦ − (60 + 45◦ ) = 180◦ −

105◦ = 75◦ . 5c) Jestliže označíme bodem A číslici 5, B číslici 4, C číslici 1, pak platí: |< ) CAB| =

|< ) CSB| 2 ◦ ◦

=

90◦ 2

= 45◦ , |< ) ABC| =

|< ) ASC| 2

=

30◦ 2

= 15◦ ,

|< ) ACB| = 180◦ − (45 + 15 ) = 180◦ − 60◦ = 120◦ . 6a) Bod M leží ve vnější oblasti kružnice, 6b) bod M leží na kružnici, 6c) bod M leží ve vnitřní oblasti kružnice. 7) Kolmice bodem M k úsečce SM . 8) Přímka a je vnější přímka kružnice k, přímka b je sečna kružnice k, přímka c je tečna kružnice k, přímka d je sečna kružnice k. 9a) Kolmice bodem S k přímce p protíná kružnici k v bodech dotyku T1 , T2 tečen t1 , t2 , 9b) rovnoběžka bodem S s přímkou p protíná kružnici k v bodech dotyku T3 , T4 tečen t3 , t4 . 10a) Libovolná přímka r1 , která s přímkou p svírá úhel 60◦ ; kolmice bodem S k přímce r1 protíná kružnici k v bodech dotyku T1 , T2 tečen t1 , t2 , 10b) libovolná přímka r2 , která s přímkou p svírá úhel 60◦ ; kolmice bodem S k přímce r2 protíná kružnici k v bodech dotyku T3 , T4 tečen t3 , t4 . 11) 60◦ , 20◦ .


61

12a) 108◦ , 12b) 112◦ 30 . ′

13a) 112◦ 30 , 45◦ , 22◦ 30 , 13b) 45◦ , 45◦ , 90◦ , 13c) 45◦ , 67◦ 30 , 67◦ 30 . ′

14) 45◦ , 75◦ , 60◦ . 15) 122◦ , 46◦ . 16) 54◦ , 90◦ , 126◦ , 90◦ .

′

′

′


63

Závěr Naše setkání zde, na konci textu, by mohlo být důkazem, že jsme dokázali úspěšně zvládlout nejen problematiku související s pojmy trojúhelník, lomená čára, n-úhelník (mnohoúhelník), kružnice a kruh; ale i s pojmy přímka a její části (úsečka, polopřímka), polorovina, konvexní množina a úhel, které zpracovával předchozí text Geometrie 1. Tedy že jsme dokončili studium geometrie v rovině. Po doplnění příslušné didaktiky budeme připraveni nejen ke zkoušce, ale zejména k profesní praxi. Uvědomme si však, že vysokoškolské studium nás vybaví především teoretickým základem, a že dobrým učitelem se můžeme stát až s léty praxe. Neznám nikoho, kdo by dokázal předat kromě teorie i zkušenosti tak, aby je příjemce přijal a používal jako své vlastní. Tímto vás připravuji na dlouhou cestu vašeho profesního růstu a věřím, že naše uplynulá společná setkání vám budou dobrým základem. Renáta Vávrová


65

Literatura [1] KOUŘIM, J. a kol. Základy elementární geometrie pro učitelství 1. stupně ZŠ. Praha : SPN, 1985. [2] POMYKALOVÁ, E. Matematika pro gymnázia - planimetrie. Praha : Prometheus, 1994. [3] ZEHNALOVÁ, J. Cvičení z elementární aritmetiky a elementární geometrie, část II. Ostrava : Ostravská univerzita, 1997.

Geometrie v rovině 2

Recommend Documents