Z´apadoˇcesk´a univerzita v Plzni Fakulta aplikovan´ ych vˇed Katedra matematiky
Deskriptivn´ı geometrie 2 Pomocn´y uˇcebn´ı text - d´ıl II
Svˇetlana Tomiczkov´a
Plzeˇn – 4. kvˇetna 2011 – verze 1.0
Obsah 1 Stˇ redov´ e prom´ıt´ an´ı 1.1 Z´akladn´ı pojmy . . . . 1.1.1 Obraz bodu . . 1.1.2 Obraz pˇr´ımky . 1.1.3 Obraz roviny . 1.1.4 Polohov´e u ´lohy 1.1.5 Metrick´e u ´lohy
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
2
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
3 3 3 5 6 8 11
Kapitola 1 Stˇ redov´ e prom´ıt´ an´ı 1.1
Z´ akladn´ı pojmy
V prostoru zvol´ıme rovinu ν, na kterou budeme prom´ıtat - ˇr´ık´ame j´ı pr˚ umˇ etna a vlastn´ı bod S, kter´ y neleˇz´ı v rovinˇe ν, naz´ yv´ame ho stˇ red prom´ıt´ an´ı, jeho pravo´ uhl´ y pr˚ umˇet do pr˚ umˇetny je hlavn´ı bod (pr˚ umˇetnu jsme zde ztotoˇznili s n´arysnou proto pravo´ uhl´ y pr˚ umˇet znaˇc´ıme S2 ). Vzd´alenost stˇredu prom´ıt´an´ı od pr˚ umˇetny naz´ yv´ame distance a znaˇc´ıme d, rovinu proch´azej´ıc´ı stˇredem prom´ıt´an´ı a rovnobˇeˇznou s pr˚ umˇetnou naz´ yv´ame stˇ redov´ a nebo distanˇ cn´ı rovina. Ke konstrukc´ım ˇcasto pouˇz´ıv´ame tzv. distanˇcn´ı kruˇznici k d (S2 , d), kter´a leˇz´ı v pr˚ umˇetnˇe ν.
Obr´azek 1.1:
1.1.1
Obraz bodu
Libovoln´ y bod A prom´ıtneme (zobraz´ıme) do roviny ν n´asleduj´ıc´ım zp˚ usobem (viz obr. 1.1): Body S a A vedeme pˇr´ımku p. Pˇr´ımka p se naz´ yv´a prom´ıtac´ı pˇ r´ımka. Pr˚ useˇc´ık As pˇr´ımky p s rovinou ν je stˇredov´ ym pr˚ umˇetem bodu A do roviny ν.
3
1.1. Z´ akladn´ I pojmy
4
Sv´ ym stˇredov´ ym pr˚ umˇetem nen´ı bod A v prostoru jednoznaˇcnˇe urˇcen. Jako pomocn´ y pr˚ umˇet pouˇz´ıv´ame pravo´ uhl´ y pr˚ umˇet A2 bodu A do pr˚ umˇetny ν neboli n´arys tohoto bodu. Na obr´azku 1.2 je vidˇet polohu bod˚ u B, C, D v˚ uˇci pr˚ umˇetnˇe a distanˇcn´ı rovinˇe, jejich stˇredov´e pr˚ umˇety a pravo´ uhl´e pr˚ umˇetu do roviny ν. Vˇsimnˇete si, ˇze spojnice stˇ redov´ eho pr˚ umˇ etu bodu a pravo´ uhl´ eho pr˚ umˇ etu bodu do pr˚ umˇ etny proch´ az´ı hlavn´ım bodem.
Obr´azek 1.2:
Pˇ r´ıklad 1.1 Sestrojte stˇredov´ y pr˚ umˇet bod˚ u X[−5; 1; 2] a Y [3; −1; 4], stˇred prom´ıt´an´ı m´a souˇradnice S[0; 3; 0]. - obr. 1.3. ˇ sen´ı: (obr. 1.4) Reˇ 1. Sestroj´ıme n´arys X2 bodu X (pouˇzijeme prvn´ı a tˇret´ı souˇradnici, protoˇze pr˚ umˇetnou je rovina xz (tedy n´arysna). 2. Sklop´ıme prom´ıtac´ı rovinu bodu X do pr˚ umˇetny - body X2 a S2 vedeme kolmice ke spojnici X2 X2 a naneseme na nˇe druh´e souˇradnice bod˚ u X a S, z´ıskan´e body oznaˇc´ıme X0 , S0 (body X0 , S0 jsou sklopeny v jedn´e polorovinˇe ohraniˇcen´e pˇr´ımkou X2 S2 , protoˇze y-ov´e souˇradnice bod˚ u X a S maj´ı stejn´e znam´enko). 3. Spojnice bod˚ u X0 , S0 prot´ın´a pˇr´ımku X2 S2 v bodˇe XS - stˇredov´em pr˚ umˇetu bodu X. 4. Bod YS z´ısk´ame podobn´ ym zp˚ usobem, ale body Y00 , S00 jsou sklopeny v opaˇcn´ ych polorovin´ach ohraniˇcen´e pˇr´ımkou Y2 S2 , protoˇze y-ov´e souˇradnice bod˚ u Y a S maj´ı opaˇcn´e znam´enko). 5. Zelenˇe je naznaˇcena jin´a konstrukce bodu YS . Pˇ r´ıklad 1.2 Urˇcete (graficky) souˇradnice xF , yF , zF bodu F , stˇred prom´ıt´an´ı m´a souˇradnice S[0; 3; 0]. - obr. 1.5. ˇ sen´ı: (obr. 1.6) Reˇ 1. Souˇradnice xF a zF odeˇcteme rovnou z n´arysu F2 bodu F . 2. Souˇradnici yF z´ısk´ame sklopen´ım prom´ıtac´ı roviny bodu F .
1.1. Z´ akladn´ I pojmy
1.1.2
5
Obr´azek 1.3:
Obr´azek 1.4:
Obr´azek 1.5:
Obr´azek 1.6:
Obraz pˇ r´ımky
Stˇredov´ ym pr˚ umˇetem pˇr´ımky, kter´a neproch´az´ı stˇredem prom´ıt´an´ı je opˇet pˇr´ımka - obr. 1.7. Stˇredov´ y pr˚ umˇet pˇr´ımky je urˇcen stˇredov´ ymi pr˚ umˇety dvou bod˚ u (ˇcasto pouˇz´ıv´ame stopn´ık a u ´bˇeˇzn´ık). ´ eˇ Stopn´ık Ns pˇr´ımky a je pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky a s pr˚ umˇetnou ν (plat´ı Ns = N2a ). Ubˇ zn´ık Us 0 pˇr´ımky a je stˇredov´ y pr˚ umˇet nevlastn´ıho bodu pˇr´ımky a (Us je pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky a proch´azej´ıc´ı ´bˇeˇzn´ıku Us s hlavn´ım stˇredem S a rovnobˇeˇzn´e s pˇr´ımkou a s pr˚ umˇetnou ν). Spojnice a02 u bodem S2 je rovnobˇeˇzn´a s n´arysem a2 pˇr´ımky a. Stopn´ık a u ´bˇeˇzn´ık budeme oznaˇcovat bez doln´ıho indexu tedy N (U ) popˇr. N a (U a ), pokud bude nutn´e rozliˇsit stopn´ıky popˇr. u ´bˇeˇzn´ıky nˇekolika pˇr´ımek. Na obr´azku 1.8 vid´ıte speci´aln´ı polohy pˇr´ımky vzhledem k pr˚ umˇetnˇe a ke stˇredu prom´ıt´an´ı. Zleva doprava je na obr´azku pˇr´ımka kolm´a k pr˚ umˇetnˇe, pˇr´ımka rovnobˇeˇzn´a s pr˚ umˇetnou a pˇr´ımka proch´azej´ıc´ı stˇredem prom´ıt´an´ı. V horn´ı ˇradˇe je situace v pr˚ umˇetnˇe, ve druh´e ˇradˇe prostorov´ y n´aˇcrtek.
1.1. Z´ akladn´ I pojmy
6
Obr´azek 1.7:
Pˇ r´ıklad 1.3 Sestrojte stˇredov´ y pr˚ umˇet a pravo´ uhl´ y pr˚ umˇet pˇr´ımky a a jej´ı u ´bˇeˇzn´ık U , jeli urˇcena stopn´ıkem N a bodem A. - obr. 1.9. ˇ sen´ı: (obr. 1.10) Reˇ 1. 2. 3. 4.
Spojnice A2 N je n´arysem a2 pˇr´ımky a. Pˇr´ımka a0 proch´az´ı bodem S2 a plat´ı a0 k a2 . Spojnice As N je stˇredov´ ym pr˚ umˇetem as pˇr´ımky a. ´ eˇzn´ık U pˇr´ımky a leˇz´ı v pr˚ Ubˇ useˇc´ıku pˇr´ımek as a a0 .
1.1.3
Obraz roviny
Stopa nα roviny α je pr˚ useˇcnice roviny α s pr˚ umˇetnou. Stˇredov´ y pr˚ umˇet nevlastn´ı pˇr´ımky roviny se naz´ yv´a u ´ bˇ eˇ znice a znaˇc´ıme ji uα . Rovinu α0 , kter´a je rovnobˇeˇzn´a s rovinou α a proch´az´ı stˇredem S naz´ yv´ame u ´ bˇ eˇ znicov´ a rovina , tato rovina prot´ın´a pr˚ umˇetnu v u ´bˇeˇznici α u . Stopa a u ´bˇeˇznice roviny jsou vˇzdy rovnobˇeˇzn´e nebo spl´ yvaj´ı. Rovina je urˇcena stopou a u ´bˇeˇznic´ı (pr˚ umˇety dvou pˇr´ımek). Pˇr´ımka leˇz´ı v rovinˇe pr´avˇe kdyˇz jej´ı stopn´ık leˇz´ı na stopˇe roviny a u ´bˇeˇzn´ık na u ´bˇeˇznici roviny. Rovina rovnobˇeˇzn´a s pr˚ umˇetnou m´a u ´bˇeˇznici (i stopu) v nevlastn´ı pˇr´ımce roviny. Pˇ r´ıklad 1.4 Sestrojte stopu a u ´bˇeˇznici roviny β urˇcen´e pˇr´ımkou q = N q U q a bodem B. - obr. 1.12.
1.1. Z´ akladn´ I pojmy
7
Obr´azek 1.8:
ˇ sen´ı: (obr. 1.13) Stopn´ık pˇr´ımky leˇz´ıc´ı v rovinˇe leˇz´ı na stopˇe roviny, u Reˇ ´bˇeˇzn´ık pˇr´ımky leˇz´ıc´ı v rovinˇe leˇz´ı na jej´ı u ´bˇeˇznici. 1. Urˇc´ıme dalˇs´ı pˇr´ımku p roviny β: (a) Na pˇr´ımce q zvol´ıme bod Q, plat´ı Qs ∈ qs . (b) Sestroj´ıme q20 = S2 U q a q2 (q2 k q20 a N2 ∈ q2 ). (c) Urˇc´ıme n´arys Q2 bodu Q (Q2 = Qs S2 ∩ q2 ). (d) Pˇr´ımka p je urˇcena body Q a B (ps = Qs Bs , p2 = Q2 B2 ). 2. Sestroj´ıme stopn´ık N p pˇr´ımky p (N p = ps ∩ p2 ).
Obr´azek 1.9:
Obr´azek 1.10:
1.1. Z´ akladn´ I pojmy
8
Obr´azek 1.11:
3. Stopa nβ roviny β je spojnic´ı stopn´ık˚ u N p a N q. ´ eˇznice uβ roviny β proch´az´ı u 4. Ubˇ ´bˇeˇzn´ıkem U q a je rovnobˇeˇzn´a se stopou nβ roviny β. (Nemus´ıme tedy sestrojovat druh´ yu ´bˇeˇzn´ık).
Obr´azek 1.12:
Obr´azek 1.13:
Pˇ r´ıklad 1.5 Sestrojte stopu a u ´bˇeˇznici roviny γ urˇcen´e body A, B, C. - obr. 1.14. ˇ sen´ı: (obr. 1.15) Reˇ 1. 2. 3. 4. 5.
Pˇr´ımka p je urˇcena body B, C (ps = Bs Cs , p2 = B2 C2 ). Pˇr´ımka q je urˇcena body A, B (qs = As Bs , q2 = A2 B2 ). Sestroj´ıme stopn´ıky pˇr´ımek p, q (N p = ps ∩ p2 , N q = qs ∩ q2 ). Sestroj´ıme u ´bˇeˇzn´ık pˇr´ımky q (q20 k q2 a S2 ∈ q20 , U q = q20 ∩ qs ). Stopa nγ roviny γ je spojnic´ı stopn´ık˚ u N p a N q.
1.1. Z´ akladn´ I pojmy
Obr´azek 1.14:
9
Obr´azek 1.15:
´ eˇznice uγ roviny γ proch´az´ı u 6. Ubˇ ´bˇeˇzn´ıkem U q a je rovnobˇeˇzn´a se stopou nγ roviny γ. (Nemus´ıme tedy sestrojovat druh´ yu ´bˇeˇzn´ık).
1.1.4
Polohov´ eu ´ lohy
Obr´azek 1.16:
Obr´azek 1.17:
Pro ˇreˇsen´ı polohov´ ych u ´loh je vhodn´e pˇripomenout a rozmyslet si nˇekter´e skuteˇcnosti: • Rovnobˇeˇzn´e pˇr´ımky maj´ı spoleˇcn´ yu ´bˇeˇzn´ık. • Pˇr´ımka je rovnobˇeˇzn´a s rovinou, pr´avˇe kdyˇz u ´bˇeˇzn´ık pˇr´ımky leˇz´ı na u ´bˇeˇznici roviny. • Dvˇe pˇr´ımky jsou r˚ uznobˇeˇzn´e, pr´avˇe kdyˇz spojnice stopn´ık˚ u je rovnobˇeˇzn´a se spojnic´ı u ´bˇeˇzn´ık˚ u. (Stopa roviny urˇcen´a r˚ uznobˇeˇzkami je rovnobˇeˇzn´a s u ´bˇeˇznic´ı t´eto roviny.) • Rovnobˇeˇzn´e roviny maj´ı spoleˇcnou u ´bˇeˇznici.
1.1. Z´ akladn´ I pojmy
10
• Pr˚ useˇcnice rovin m´a stopn´ık v pr˚ useˇc´ıku stop a u ´bˇeˇzn´ık v pr˚ useˇc´ıku u ´bˇeˇznic tˇechto rovin. Pˇ r´ıklad 1.6 Ve stˇredov´em prom´ıt´an´ı se stˇredem S sestrojte pr˚ useˇcnici rovin α(nα , uα ) a β(nβ , uβ ). - obr. 1.18. ˇ sen´ı: (obr. 1.19) Reˇ ´ eˇzn´ık U p pr˚ 1. Ubˇ useˇcnice p je pr˚ useˇc´ıkem u ´bˇeˇznic uα a uβ obou rovin. 2. Stopn´ık N p pr˚ useˇcnice p je pr˚ useˇc´ıkem stop nα a nβ obou rovin. 3. Stˇredov´ y pr˚ umˇet pˇr´ımky p je urˇcen stopn´ıkem N p a u ´bˇeˇzn´ıkem U p .
Obr´azek 1.18:
Obr´azek 1.19:
Pˇ r´ıklad 1.7 Ve stˇredov´em prom´ıt´an´ı se stˇredem S sestrojte pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky q(U q , N q ) s rovinou ρ(nρ , urho ). - obr. 1.20. ˇ sen´ı: (obr. 1.21) Reˇ 1. Pˇr´ımkou q vedeme libovolnou rovinu α (N q ∈ nα , U q ∈ uα , nα k uα ). 2. Sestroj´ıme pr˚ useˇcnici r rovin α a ρ. Stˇredov´ y pr˚ umˇet pˇr´ımky r je urˇcen stopn´ıkem N r a u ´bˇeˇzn´ıkem U r . 3. Pr˚ useˇc´ık R pˇr´ımek r, q je z´aroveˇ n pr˚ useˇc´ıkem pˇr´ımky q s rovinou ρ (Rs = rs ∩ qs ). Pˇ r´ıklad 1.8 Ve stˇredov´em prom´ıt´an´ı se stˇredem S ved’te bodem B rovinu σ(nσ , uσ ) rovnobˇeˇznou s rovinou ρ(nρ , uρ ). - obr. 1.22. ˇ sen´ı: (obr. 1.23) Reˇ 1. Rovina σ je rovnobˇeˇzn´a s rovinou ρ, proto jejich u ´bˇeˇznice spl´ yvaj´ı (uσ = uρ ). 2. Sestroj´ıme (libovolnou) pˇr´ımku p proch´azej´ıc´ı bodem B a rovnobˇeˇznou s rovinou ρ (Bs ∈ ps ). ´ eˇzn´ık pˇr´ımky p leˇz´ı na u 3. Ubˇ ´bˇeˇznici roviny σ (U p = ps ∩ uσ ). 0 4. Sestroj´ıme pˇr´ımku p2 = S2 U p a pˇr´ımku p2 (p2 k p02 a B2 ∈ p2 ). 5. Urˇc´ıme stopn´ık pˇr´ımky p (N p = ps ∩ p2 ). 6. Stopa nσ hledan´e roviny σ proch´az´ı stopn´ıkem N p a je rovnobˇeˇzn´a se stopou nρ roviny ρ.
1.1. Z´ akladn´ I pojmy
1.1.5
11
Obr´azek 1.20:
Obr´azek 1.21:
Obr´azek 1.22:
Obr´azek 1.23:
Metrick´ eu ´ lohy
Pˇ r´ımka kolm´ a k rovinˇ e Vˇsechny pˇr´ımky kolm´e k dan´e α rovinˇe maj´ı spoleˇcn´ y u ´bˇeˇzn´ık (jsou navz´ajem rovnobˇeˇzn´e). Pro kaˇzdou rovinu tedy m˚ uˇzeme sestrojit tzv. u ´bˇeˇzn´ık kolmic U k . Tento u ´bˇeˇzn´ık je pr˚ useˇc´ık 0 0 0 pˇr´ımky k (k k k, S ∈ k ) s pr˚ umˇetnou. Pˇr´ımka k 0 je kolm´a tak´e k u ´bˇeˇznicov´e rovinˇe α0 a tedy ke jej´ı sp´adov´e pˇr´ımce s0 proch´azej´ıc´ı stˇredem prom´ıt´an´ı (s0 ∈ S). Pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky s0 s pr˚ umˇetnou oznaˇc´ıme U s (je to z´aroveˇ n u ´bˇeˇzn´ık t´eto pˇr´ımky a leˇz´ı na u ´bˇeˇznici roviny α). Pravo´ uhl´e pr˚ umˇety s02 , k20 (n´arysy) pˇr´ımek s0 , k 0 jsou kolm´e ke stopˇe roviny a proch´az´ı bodem ´ eˇzn´ık U s pˇr´ımky s0 leˇz´ı v pr˚ S2 . Ubˇ useˇc´ıku pˇr´ımek s02 a uα . Najdeme pravo´ uhl´ y troj´ uheln´ık s k 0 U SU ve sklopen´ı. Sklop´ıme bod S, sestroj´ıme sklopenou pˇr´ımku (s ) a sklopen´a pˇr´ımka (k 0 ) je k n´ı kolm´a. Pˇr´ımka (k 0 ) prot´ın´a pˇr´ımku k20 v u ´bˇeˇzn´ıku kolmic Uk . Pˇ r´ıklad 1.9 Ve stˇredov´em prom´ıt´an´ı se stˇredem S sestrojte kolmici bodem B k rovinˇe ρ(nρ , uρ ). - obr. 1.25. ˇ sen´ı: (obr. 1.26) Reˇ 1. Bodem S2 vedeme n´arys s02 sp´adov´e pˇr´ımky s0 , kter´a proch´az´ı stˇredem prom´ıt´an´ı a leˇz´ı ´bˇeˇznici uρ . v rovinˇe ρ0 (ρ0 k ρ, S ∈ ρ0 ). Pˇr´ımka s02 proch´az´ı bodem S2 a je kolm´a k u
1.1. Z´ akladn´ I pojmy
12
Obr´azek 1.24: ´ eˇzn´ık sp´adov´ 2. Ubˇ ych pˇr´ımek U s leˇz´ı v pr˚ useˇc´ıku u ´bˇeˇznice uρ a pˇr´ımky s02 . 0 3. Sklop´ıme prom´ıtac´ı rovinu pˇr´ımky s2 (bod (S) leˇz´ı na kolmici k s02 proch´azej´ıc´ı bodem S2 a na distanˇcn´ı kruˇznici k d , U s = (U s ). 4. Sklopen´a pˇr´ımka (s0 ) proch´az´ı body (S), U s . 5. Sklopen´a kolmice (k 0 ) proch´az´ı bodem (S) a je kolm´a k (s0 ). ´ eˇzn´ık kolmic U k je pr˚ 6. Ubˇ useˇc´ıkem pˇr´ımek (k 0 ) a s02 = k20 . 7. Stˇredov´ y pr˚ umˇet ks kolmice k proch´az´ı u ´bˇeˇzn´ıkem kolmic U k a bodem Bs . 8. Pravo´ uhl´ y pr˚ umˇet k2 kolmice k je kolm´ y na stopu roviny nρ a proch´az´ı bodem B2 .
Obr´azek 1.25:
Obr´azek 1.26:
Pˇ r´ıklad 1.10 Ve stˇredov´em prom´ıt´an´ı se stˇredem S sestrojte bodem M rovinu kolmou k pˇr´ımce p. - obr. 1.27. ´ ˇ sen´ı: (obr. 1.28) Uloha Reˇ je obr´acen´a k u ´loze 1.1.5, u ´bˇeˇzn´ıkem kolmic je zde u ´bˇeˇzn´ık pˇr´ımky p a hled´ame u ´bˇeˇzn´ık sp´adov´ ych pˇr´ımek roviny, kter´ ym proch´az´ı u ´bˇeˇznice hledan´e roviny.
1.1. Z´ akladn´ I pojmy
13
1. Pˇr´ımka p02 proch´az´ı body S2 a U p . Pˇr´ımka s02 (pravo´ uhl´ y pr˚ umˇet sp´adov´e pˇr´ımky s0 ∈ ρ0 ) 0 spl´ yv´a s pˇr´ımkou p2 . 2. Sestroj´ıme bod S ve sklopen´ı((S) ∈ k d ) a pˇr´ımku p0 ve sklopen´ı ((p0 ) = (S)U p ). 3. Sklopen´a pˇr´ımka (s0 ) proch´az´ı bodem (S) a je kolm´a k (p0 ). 4. Pr˚ useˇc´ık U s pˇr´ımek s02 a (s0 ) je u ´bˇeˇzn´ıkem sp´adov´ ych pˇr´ımek roviny ρ. ρ ρ ´ 5. Ubˇeˇznice u proch´az´ı u ´bˇeˇzn´ıkem U a je kolm´a k p02 = s02 . 6. Mus´ıme naj´ıt jeden stopn´ık libovoln´e pˇr´ımky leˇz´ıc´ı v rovinˇe ρ a proch´azej´ıc´ı bodem M . Zvol´ıme libovolnou pˇr´ımku r (r ∈ ρ, Ms ∈ rs , U r ∈ uρ ). Pˇr´ımka r20 = S2 U r a r2 k r20 a M2 ∈ r2 . 7. Stopn´ık N r pˇr´ımky r je pr˚ useˇc´ıkem pˇr´ımek r2 a rs . ρ 8. Stopa n hledan´e roviny ρ proch´az´ı stopn´ıkem N r a je rovnobˇeˇzn´a s u ´bˇeˇznic´ı uρ roviny ρ.
Obr´azek 1.27:
Obr´azek 1.28:
Skuteˇ cn´ a velikost u ´ seˇ cky Hled´ame skuteˇcnou velikost u ´seˇcky leˇz´ıc´ı na pˇr´ımce a. Pˇr´ımkou proloˇz´ıme libovolnou rovinu ´ cku otoˇc´ıme do stopy nα roviny α. Otoˇcen´ı odpov´ıd´a rovnobˇeˇzn´emu prom´ıtnut´ı, proto α. Useˇ najdeme u ´bˇeˇzn´ık U u prom´ıtac´ıho paprsku u. Pouˇzit´ım u ´bˇeˇzn´ıku sestroj´ıme stˇredov´ y pr˚ umˇet u prom´ıtac´ıho paprsku As U , na kter´em leˇz´ı bod (A), tj. otoˇcen´ y bod A do stopy roviny α. Pˇ r´ıklad 1.11 Ve stˇredov´em prom´ıt´an´ı se stˇredem S urˇcete skuteˇcnou d´elku u ´seˇcky AB ∈ p. obr. 1.30. ˇ sen´ı: (obr. 1.31) Reˇ 1. Zvol´ıme rovinu α tak, aby p ∈ α ( U p ∈ uα a N p ∈ nα ). 2. Sestroj´ıme u ´bˇeˇzn´ık prom´ıtac´ıch paprsk˚ u U u ∈ uα : • Sklop´ıme troj´ uheln´ık SS2 U p , ve sklopen´ı mu odpov´ıd´a troj´ uheln´ık (S)S2 U p s prav´ ym u ´hlem pˇri vrcholu S2 , velikost strany S2 (S) = d. • Vzd´alenost ∆ = (S)U p je rovna skuteˇcn´e vzd´alenosti u ´bˇeˇzn´ık˚ u U p a U u.
1.1. Z´ akladn´ I pojmy
14
Obr´azek 1.29:
3. Z u ´bˇeˇzn´ıku svˇeteln´ ych paprsk˚ u U u prom´ıtneme body As , Bs na stopu nα , z´ısk´ame body [A], [B] ∈ nα . 4. Vzd´alenost bod˚ u [A], [B] je skuteˇcnou velikost´ı u ´seˇcky AB. Pˇ r´ıklad 1.12 Ve stˇredov´em prom´ıt´an´ı se stˇredem S naneste na pˇr´ımku p od bodu V d´elku a - obr. 1.32. ´ ˇ sen´ı: (obr. 1.33) Uloha Reˇ je obr´acen´a k u ´loze pˇredchoz´ı, sestroj´ıme u ´bˇeˇzn´ık svˇeteln´ ych paprsk˚ u u U , prom´ıtneme bod V na stopu roviny, naneseme u ´seˇcku d´elky a a prom´ıtneme z´ıskan´ y bod zpˇet na pˇr´ımku p. 1. Zvol´ıme rovinu α tak, aby p ∈ α (U p ∈ uα a N p ∈ nα ). 2. Sestroj´ıme u ´bˇeˇzn´ık prom´ıtac´ıch paprsk˚ u U u ∈ uα : (a) Sklop´ıme troj´ uheln´ık SS2 U p , ve sklopen´ı mu odpov´ıd´a troj´ uheln´ık (S)S2 U p s prav´ ym u ´hlem pˇri vrcholu S2 , velikost strany S2 (S) = d. (b) Vzd´alenost ∆ = (S)U p je rovna skuteˇcn´e vzd´alenosti u ´bˇeˇzn´ık˚ u U p a U u. 3. Z u ´bˇeˇzn´ıku svˇeteln´ ych paprsk˚ u U u prom´ıtneme bod Vs na stopu nα , z´ısk´ame bod [V ] ∈ nα . α 4. Na stopu n naneseme zadanou vzd´alenost a, z´ıskan´ y bod oznaˇc´ıme [W ] a prom´ıtneme u jej z bodu U zpˇet na pˇr´ımku ps .
1.1. Z´ akladn´ I pojmy
Obr´azek 1.30:
15
Obr´azek 1.31:
5. Prom´ıtnut´ım jsme z´ıskali bod Ws , kter´ y je stˇredov´ ym pr˚ umˇetem bodu W leˇz´ıc´ıho na pˇr´ımce p a velikost u ´seˇcky V W je a.
Obr´azek 1.32:
Obr´azek 1.33:
Ot´ aˇ cen´ı Stejnˇe jako v dalˇs´ıch projekc´ıch i zde ˇreˇs´ıme nˇekter´e rovinn´e u ´lohy otoˇcen´ım pˇr´ısluˇsn´e roviny do pr˚ umˇetny (viz obr´azek 1.34). Otoˇc´ıme rovinu ρ kolem stopy do pr˚ umˇetny. Otoˇcen´ı m˚ uˇzeme nahradit rovnobˇeˇzn´ ym prom´ıtnut´ım (bodu bod˚ u roviny ρ do pr˚ umˇetny). Prom´ıtnut´ı bodu S odpov´ıd´a otoˇcen´ı u ´bˇeˇznicov´e roviny kolem u ´bˇeˇznice do pr˚ umˇetny. Otoˇc´ıme bod S (v u ´bˇeˇznicov´e rovinˇe kolem u ´bˇeˇznice), rovina ot´aˇcen´ı je kolm´a k u ´bˇeˇznici, stˇred ot´aˇcen´ı je u ´bˇeˇzn´ık sp´adov´ ych pˇr´ımek a polomˇer ot´aˇcen´ı je pˇrepona pravo´ uhl´eho troj´ uheln´ıka s jehoˇz odvˇesnami jsou u ´seˇcky S2 U a S2 S (pˇreponu sestroj´ıme sklopen´ım tohoto troj´ uheln´ıka do pr˚ umˇetny, bodu S odpov´ıd´a ve sklopen´ı bod (S)), otoˇcen´ y bod oznaˇc´ıme S0 - viz obr´azek 1.34. Otoˇcen´ y bod A (A0 ) nalezneme takto: Bodem A vedeme sp´adovou pˇr´ımku (proch´az´ı As s a U ), jej´ı stopn´ık leˇz´ı na stopˇe roviny, otoˇcen´a sp´adov´a pˇr´ımka proch´az´ı stopn´ıkem a je kolm´a
1.1. Z´ akladn´ I pojmy
16
Obr´azek 1.34:
ke stopˇe. Bod A0 leˇz´ı na otoˇcen´e sp´adov´e pˇr´ımce a na pˇr´ımce proch´azej´ıc´ı bodem S0 (otoˇcen´ y bod S) a bodem As . Mezi stˇredov´ ym pr˚ umˇetem a otoˇcen´ ym objektem plat´ı vztah stˇredov´e kolineace jej´ıˇz osou ρ je stopa n roviny ρ, stˇredem je otoˇcen´ y stˇred S0 a p´arem odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚ u body As a A0 . Pˇ r´ıklad 1.13 Ve stˇredov´em prom´ıt´an´ı se stˇredem S urˇcete skuteˇcnou velikost troj´ uheln´ıka α α ABC leˇz´ıc´ıho v rovinˇe α(n , u ). - obr. 1.35. ˇ sen´ı: (obr. 1.36) Rovinu troj´ Reˇ uheln´ıka otoˇc´ıme do pr˚ umˇetny. 1. Sestroj´ıme bod S v otoˇcen´ı: (a) Urˇc´ıme u ´bˇeˇzn´ık sp´adov´ ych pˇr´ımek U s (leˇz´ı v pr˚ useˇc´ıku kolmice veden´e bodem S2 ke α stopˇe a u ´bˇeˇznice u ). (b) Sestroj´ıme bod S v otoˇcen´ı (stˇredem ot´aˇcen´ı je bod U s , polomˇerem je velikost u ´seˇcky s α U (S)), otoˇcen´ y bod S0 leˇz´ı na kolmici veden´e bodem S2 k u (pr˚ umˇet roviny ot´aˇcen´ı). 2. Bod A v otoˇcen´ı najdeme takto: (a) Bodem A vedeme sp´adovou pˇr´ımku sA az´ı As a U s ). s (proch´ (b) Stopn´ık sp´adov´e pˇr´ımky leˇz´ı na stopˇe roviny, otoˇcen´a sp´adov´a pˇr´ımka sA az´ı 0 proch´ α stopn´ıkem a je kolm´a ke stopˇe n .
1.1. Z´ akladn´ I pojmy
17
(c) Bod A0 leˇz´ı na otoˇcen´e sp´adov´e pˇr´ımce sA r´ımce proch´azej´ıc´ı bodem S0 0 a na pˇ (otoˇcen´ y bod S) a bodem As . 3. Mezi otoˇcen´ ym objektem a jeho stˇredov´ ym pr˚ umˇetem plat´ı vztah stˇredov´e kolineace jej´ıˇz ρ osou je stopa n roviny ρ, stˇredem je otoˇcen´ y stˇred S0 a p´arem odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚ u body As a A0 . 4. Pomoc´ı t´eto kolineace sestroj´ıme body B, C v otoˇcen´ı (otoˇcen´e body oznaˇc´ıme B0 , C0 ). 5. Troj´ uheln´ık A0 , B0 , C0 je otoˇcen´ y obraz troj´ uheln´ıka ABC tj. troj´ uheln´ık ABC ve skuteˇcn´e velikosti.
Obr´azek 1.35:
Obr´azek 1.36:
Pˇ r´ıklad 1.14 Ve stˇredov´em prom´ıt´an´ı se stˇredem S sestrojte ˇctverec ABCD, leˇz´ıc´ı v rovinˇe α jestliˇze zn´ate stˇredov´ y pr˚ umˇet u ´hlopˇr´ıˇcky AC. - obr. 1.37. ˇ sen´ı: (obr. 1.38) Otoˇc´ıme rovinu α do pr˚ Reˇ umˇetny, v otoˇcen´ı sestroj´ıme ˇctverec ve skuteˇcn´e velikosti a jeho vrcholy otoˇc´ıme pomoc´ı kolineace zpˇet. 1. Sestroj´ıme bod S v otoˇcen´ı (viz. pˇr´ıklad 1.13), otoˇcen´ y bod oznaˇc´ıme S0 . 2. Sestroj´ıme bod A v otoˇcen´ı (viz. pˇr´ıklad 1.13), otoˇcen´ y bod oznaˇc´ıme A0 . ρ 3. Pomoc´ı t´eto kolineace (jej´ıˇz osou je stopa roviny n , stˇredem je otoˇcen´ y stˇred S0 a p´arem odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚ u body As a A0 ) sestroj´ıme bod C v otoˇcen´ı (otoˇcen´ y bod oznaˇc´ıme C0 ). 4. V otoˇcen´ı sestroj´ıme ˇctverec A0 B0 C0 D0 s u ´hlopˇr´ıˇckou A0 C0 .
1.1. Z´ akladn´ I pojmy
18
5. Pomoc´ı kolineace tento ˇctverec otoˇc´ıme zpˇet, z´ısk´ame ˇctverec ABCD ve stˇredov´em prom´ıt´an´ı. 6. Obrazem ˇctverce je ˇctyˇru ´heln´ık As Bs Cs Ds , jehoˇz protˇejˇs´ı strany se prot´ınaj´ı na u ´bˇeˇznici roviny α.
Obr´azek 1.37:
Obr´azek 1.38:
Pˇ r´ıklad 1.15 Ve stˇredov´em prom´ıt´an´ı se stˇredem S sestrojte krychli s podstavou v rovinˇe α a na n´ı um´ıstˇete pravideln´ y ˇctyˇrbok´ y jehlan tak, aby vrcholy podstavy spl´ yvaly s vrcholy horn´ı podstavy krychle. Zn´ate stˇredov´ y pr˚ umˇet u ´hlopˇr´ıˇcky AC, velikost v´ yˇsky jehlanu je shodn´a s velikost´ı strany krychle. - obr. 1.39. ´ ˇ sen´ı: Ulohu Reˇ pˇrekreslete na vˇetˇs´ı form´at (A4) a vypracujte jako dom´ac´ı cviˇcen´ı. N´avod: pˇri ˇreˇsen´ı vyuˇzijte poznatky z u ´loh (podstava krychle), (kolm´e hrany) a (nanesen´ı v´ yˇsky). Obraz kruˇ znice Stˇredov´ ym pr˚ umˇetem kruˇznice je kuˇzeloseˇcka, v n´ıˇz pr˚ umˇetna prot´ın´a prom´ıtac´ı kuˇzelovou plochu kruˇznice (kuˇzelov´a plocha jej´ımˇz vrcholem je stˇred prom´ıt´an´ı a ˇr´ıd´ıc´ı kˇrivkou zobrazovan´a kruˇznice). Typ kuˇzeloseˇcky z´avis´ı na poloze kruˇznice vzhledem k distanˇcn´ı rovinˇe: pokud kruˇznice neprot´ın´a distanˇcn´ı rovinu (nem´a s n´ı ˇza´dn´ y spoleˇcn´ y bod), pak je obrazem elipsa, jestliˇze kruˇznice prot´ın´a distanˇcn´ı rovinu, pak je obrazem hyperbola a jestliˇze se kruˇznice dot´ yk´a distanˇcn´ı roviny (m´a s n´ı jeden spoleˇcn´ y bod), pak je obrazem kruˇznice parabola. Postup pˇri sestrojov´an´ı obrazu kruˇznice vid´ıme na obr´azku 1.41: sestroj´ıme otoˇcen´ y stˇred prom´ıt´an´ı a otoˇcen´ y stˇred kruˇznice (viz pˇr´ıklad 1.13), v otoˇcen´ı sestroj´ıme kruˇznici a v kolineaci najdeme jej´ı obraz (viz pˇredmˇet Deg1). Podrobnˇeji je tento postup pops´an v n´asleduj´ıc´ı u ´loze, kde sestrojujeme rotaˇcn´ı kuˇzel a kruˇznice je jeho podstavou.
1.1. Z´ akladn´ I pojmy
Obr´azek 1.39:
19
Obr´azek 1.40:
Pˇ r´ıklad 1.16 Ve stˇredov´em prom´ıt´an´ı se stˇredem S sestrojte rotaˇcn´ı kuˇzel s podstavou v rovinˇe ρ. Je d´an stˇred podstavy O v rovinˇe ρ, polomˇer podstavy je r a v´ yˇska kuˇzele a. - obr. 1.40. ˇ sen´ı: (obr. 1.42) Sestroj´ıme podstavu kuˇzele (obraz kruˇznice ve stˇredov´em prom´ıt´an´ı), Reˇ bodem O vedeme kolmici k rovinˇe ρ a na kolmici naneseme od bodu O v´ yˇsku a. 1. 2. 3. 4.
Sestroj´ıme bod S v otoˇcen´ı (viz. pˇr´ıklad 1.13), otoˇcen´ y bod oznaˇc´ıme S0 . Sestroj´ıme bod O v otoˇcen´ı (viz. pˇr´ıklad 1.13), otoˇcen´ y bod oznaˇc´ıme O0 . V otoˇcen´ı sestroj´ıme kruˇznici m0 se stˇredem O0 a polomˇerem r. Sestroj´ıme obraz kruˇznice m v kolineaci urˇcen´e stˇredem kolineace S0 , osou nρ a p´arem odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚ u Os , O0 : (a) ...
5. Sestroj´ıme u ´bˇeˇzn´ık kolmic U k (postup je stejn´ y jako v pˇr´ıkladˇe 1.1.5, pro lepˇs´ı pˇrehlednost nejsou na obr´azku oznaˇceny vˇsechny pouˇzit´e pˇr´ımky): (a) Bodem S2 vedeme n´arys s02 sp´adov´e pˇr´ımky s0 , kter´a proch´az´ı stˇredem prom´ıt´an´ı a leˇz´ı v rovinˇe (ρ0 k ρ, S ∈ ρ0 ). Pˇr´ımka s02 proch´az´ı bodem S2 a je kolm´a k u ´bˇeˇznici uρ . ´ eˇzn´ık sp´adov´ (b) Ubˇ ych pˇr´ımek U s leˇz´ı v pr˚ useˇc´ıku u ´bˇeˇznice uρ a pˇr´ımky s02 . (c) Sklop´ıme prom´ıtac´ı rovinu pˇr´ımky s02 (bod (S) leˇz´ı na kolmici k s02 proch´azej´ıc´ı bodem S2 a na distanˇcn´ı kruˇznici k d , U s = (U s ).
1.1. Z´ akladn´ I pojmy
20
Obr´azek 1.41:
(d) Sklopen´a pˇr´ımka (s0 ) proch´az´ı body (S), U s . (e) Sklopen´a kolmice (k 0 ) proch´az´ı bodem (S) a a je kolm´a k (s0 ). ´ eˇzn´ık kolmic U k je pr˚ (f) Ubˇ useˇc´ıkem pˇr´ımek (k 0 ) a s0 = k 0 . 2
2
6. Obraz pˇr´ımky k, kter´a proch´az´ı bodem O a je kolm´a k rovinˇe ρ proch´az´ı bodem Os a u ´bˇeˇzn´ıkem kolmic U k . Pˇr´ımka k2 proch´az´ı stopn´ıkem N ∈ nα a je kolm´a k nα . 7. Urˇc´ıme stopn´ık N k pˇr´ımky k (pr˚ useˇc´ık pˇr´ımek k2 , ks ). 8. Na pˇr´ımku k naneseme od bodu O vzd´alenost a (postup je stejn´ y jako v pˇr´ıkladˇe 1.1.5, pro lepˇs´ı pˇrehlednost nejsou na obr´azku oznaˇceny vˇsechny pouˇzit´e pˇr´ımky): (a) Zvol´ıme rovinu α tak, aby k ∈ α (U k ∈ uα a N k ∈ nα ) - vol´ıme nα ⊥ nρ . (b) Sestroj´ıme u ´bˇeˇzn´ık prom´ıtac´ıch paprsk˚ u U u ∈ uα : i. Sklop´ıme troj´ uheln´ık SS2 U k , ve sklopen´ı mu odpov´ıd´a troj´ uheln´ık (S)S2 U k s prav´ ym u ´hlem pˇri vrcholu S2 , velikost strany S2 (S) = d. ii. Vzd´alenost ∆ = (S)U k je rovna skuteˇcn´e vzd´alenosti u ´bˇeˇzn´ık˚ u U k a U u. (c) Z u ´bˇeˇzn´ıku svˇeteln´ ych paprsk˚ u U u prom´ıtneme bod O na stopu nα , z´ısk´ame bod [O] ∈ nα . (d) Na stopu nα naneseme zadanou vzd´alenost a, z´ıskan´ y bod oznaˇc´ıme [V ], kter´ y prom´ıtneme z bodu U u zpˇet na pˇr´ımku ks . (e) Prom´ıtnut´ım jsme z´ıskali bod Vs , kter´ y je stˇredov´ ym pr˚ umˇetem bodu V leˇz´ıc´ıho na pˇr´ımce k a velikost u ´seˇcky V W je a.
1.1. Z´ akladn´ I pojmy
21
9. Obrysov´e povrˇsky kuˇzele sestroj´ıme tak, ˇze z bodu Vs vedeme k obrazu podstavy teˇcny.
1.1. Z´ akladn´ I pojmy
22
Obr´azek 1.42:
Literatura [1] Bohne, E. – Klix, W.D.: Geometrie – Grundlagen f¨ ur Anwendungen. Leipzig, Fachbuchverlag 1995. ˇ 2003. [2] Jeˇzek, F. – M´ıkov´a, M.: Maticov´a algebra a analytick´a geometrie. Plzeˇ n, ZCU [3] Rogers, D.F. – Adams, J.A.: Mathematical Elements for Computer Graphics. New York, Mc Graw–Hill 1990. [4] Urban, A.: Deskriptivn´ı geometrie I. Praha, SNTL 1965. [5] Urban, A.: Deskriptivn´ı geometrie II. Praha, SNTL 1967.
23
