Deskriptivní geometrie

Deskriptivní geometrie

Stavebnictví

RNDr. Milan Vacka

2013 České Budějovice 1

Tento učební materiál vznikl v rámci projektu "Integrace a podpora studentů se specifickými vzdělávacími potřebami na Vysoké škole technické a ekonomické v Českých Budějovicích" s registračním číslem CZ.1.07./2.2.00/29.0019. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.

1. vydání ISBN © Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 2013 Vydala: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, Okružní 10, 370 01 České Budějovice

Za obsahovou a jazykovou správnost odpovídají autoři a garanti příslušných předmětů.

2

OBSAH 1. Úvod ........................................................................................................................ 8 Klíčové pojmy .............................................................................................................. 8 Cíle kapitoly ................................................................................................................. 8 Čas potřebný ke studiu kapitoly ................................................................................... 8 Výklad .......................................................................................................................... 8 1.1 Průměty bodů ........................................................................................................................................ 10 1.1.1 V Mongeově projekci ................................................................................................................... 10 1.1.2 V kosoúhlém promítání.............................................................................................................. 13 1.1.3 V pravoúhlé axonometrii........................................................................................................... 16 Studijní materiály ....................................................................................................... 18 Otázky a úkoly ........................................................................................................... 19 Klíč k řešení otázek ................................................................................................... 19 2. Průměty přímek a úseček ...................................................................................... 20 Klíčové pojmy ............................................................................................................ 20 Cíle kapitoly ............................................................................................................... 20 Čas potřebný ke studiu kapitoly ................................................................................. 20 Výklad ........................................................................................................................ 20 2.1 Stopník přímky ...................................................................................................................................... 23 2.1 Úsečka v Mongeově projekci, skutečná velikost úsečky...................................................... 26 2.2 Vzájemná poloha přímek .................................................................................................................. 29 Studijní materiály ....................................................................................................... 32 Otázky a úkoly ........................................................................................................... 33 Klíč k řešení otázek ................................................................................................... 33 3. Rovina ................................................................................................................... 34 Klíčové pojmy ............................................................................................................ 34 Cíle kapitoly ............................................................................................................... 34 Čas potřebný ke studiu kapitoly ................................................................................. 34 Výklad ........................................................................................................................ 34 3.1 Rovina zadaná pomocí úseků na osách....................................................................................... 35 3.2 Určenost roviny ..................................................................................................................................... 37 3.3 Hlavní přímky roviny v Mongeově projekci ............................................................................. 40

3

3.4 Vzájemná poloha rovin ...................................................................................................................... 41 Studijní materiály ....................................................................................................... 43 Otázky a úkoly ........................................................................................................... 44 Klíč k řešení otázek ................................................................................................... 44 4. Vzájemná poloha přímky a roviny .......................................................................... 45 Klíčové pojmy ............................................................................................................ 45 Cíle kapitoly ............................................................................................................... 45 Čas potřebný ke studiu kapitoly ................................................................................. 45 Výklad ........................................................................................................................ 45 4.1 Průsečík přímky s rovinou ............................................................................................................... 46 4.2 Přímka kolmá k rovině v Mongeově projekci........................................................................... 48 4.3 Vzdálenost bodu od roviny v Mongeově projekci .................................................................. 49 Studijní materiály ....................................................................................................... 49 Otázky a úkoly ........................................................................................................... 50 Klíč k řešení otázek ................................................................................................... 50 5. Kuželosečky .......................................................................................................... 51 Klíčové pojmy ............................................................................................................ 51 Cíle kapitoly ............................................................................................................... 51 Čas potřebný ke studiu kapitoly ................................................................................. 51 Výklad ........................................................................................................................ 51 5.1 Elipsa ......................................................................................................................................................... 52 5.2 Hyperbola ................................................................................................................................................ 56 5.3 Parabola.................................................................................................................................................... 58 Studijní materiály ....................................................................................................... 60 Otázky a úkoly ........................................................................................................... 60 Klíč k řešení otázek ................................................................................................... 61 6. Průměty rovinných obrazců v Mongeově projekci ................................................. 62 Klíčové pojmy ............................................................................................................ 62 Cíle kapitoly ............................................................................................................... 62 Čas potřebný ke studiu kapitoly ................................................................................. 62 Výklad ........................................................................................................................ 62 6.1 Průměty n-úhelníků v Mongeově projekci ................................................................................ 62 6.1.1 Obrazce ležící v některé z průměten .................................................................................... 62

4

6.1.2 Obrazce ležící v rovině kolmé k některé z průměten .................................................... 63 6.1.3 Otáčení roviny v obecné poloze.............................................................................................. 64 6.1.4 Osová afinita ................................................................................................................................... 66 6.1.5 Průměty obrazců ležících v rovině v obecné poloze ..................................................... 67 6.2 Průměty kružnice v Mongeově projekci ..................................................................................... 69 6.2.1 Kružnice ležící v některé z průměten .................................................................................. 69 6.2.2 Kružnice ležící v rovině kolmé k některé z průměten .................................................. 69 6.2.3 Kružnice ležící v rovině v obecné poloze ........................................................................... 71 Studijní materiály ....................................................................................................... 72 Otázky a úkoly ........................................................................................................... 73 Klíč k řešení otázek ................................................................................................... 73 7. Průměty rovinných obrazců ležících v půdorysně a průměty jednoduchých těles s podstavou v půdorysně v pravoúhlé axonometrii .................................................... 74 Klíčové pojmy ............................................................................................................ 74 Cíle kapitoly ............................................................................................................... 74 Čas potřebný ke studiu kapitoly ................................................................................. 74 Výklad ........................................................................................................................ 74 7.1 n-úhelníky ležící v půdorysně ......................................................................................................... 74 7.2 Kružnice ležící v půdorysně ............................................................................................................. 76 Studijní materiály ....................................................................................................... 79 Otázky a úkoly ........................................................................................................... 80 Klíč k řešení otázek ................................................................................................... 80 8. Rozdělení ploch, rotační plochy a jejich tečná rovina. Přímkové plochy rozvinutelné a nerozvinutelné ........................................................................................................ 81 Klíčové pojmy ............................................................................................................ 81 Cíle kapitoly ............................................................................................................... 81 Čas potřebný ke studiu kapitoly ................................................................................. 81 Výklad ........................................................................................................................ 81 8.1 Analytické plochy ................................................................................................................................. 81 8.2 Tečná rovina ........................................................................................................................................... 82 8.3 Plochy rotační ........................................................................................................................................ 82 8.3 Plochy nerotační ................................................................................................................................... 83 8.3.1 Přímkové plochy ........................................................................................................................... 83 Studijní materiály ....................................................................................................... 84

5

Otázky a úkoly ........................................................................................................... 84 Klíč k řešení otázek ................................................................................................... 85 9. Jednodílný hyperboloid, hyperbolický paraboloid, šroubová plocha a konoid........ 86 Klíčové pojmy ............................................................................................................ 86 Cíle kapitoly ............................................................................................................... 86 Čas potřebný ke studiu kapitoly ................................................................................. 86 Výklad ........................................................................................................................ 86 9.1 Nerozvinutelné přímkové plochy .................................................................................................. 86 9.1.1 Nerozvinutelné přímkové plochy rotační .......................................................................... 86 9.1.2 Nerozvinutelné přímkové plochy nerotační ..................................................................... 89 Studijní materiály ....................................................................................................... 94 Otázky a úkoly ........................................................................................................... 94 Klíč k řešení otázek ................................................................................................... 94 10. Základy kótovaného promítání ............................................................................ 96 Klíčové pojmy ............................................................................................................ 96 Cíle kapitoly ............................................................................................................... 96 Čas potřebný ke studiu kapitoly ................................................................................. 96 Výklad ........................................................................................................................ 96 10.1 Skutečná velikost úsečky................................................................................................................ 98 10.2 Stupňování přímky, stopník přímky.......................................................................................... 98 10.3 Stopa roviny, vrstevnice, spádová přímka, spádové měřítko...................................... 100 10.4 Průsečnice různoběžných rovin ............................................................................................... 101 10.5 Spád přímky, spád roviny, interval roviny .......................................................................... 102 10.6 Řešení násypů a výkopů v rovinném terénu....................................................................... 103 Studijní materiály ..................................................................................................... 109 Otázky a úkoly ......................................................................................................... 109 Klíč k řešení otázek ................................................................................................. 109 11. Topografie ......................................................................................................... 110 Klíčové pojmy .......................................................................................................... 110 Cíle kapitoly ............................................................................................................. 110 Čas potřebný ke studiu kapitoly ............................................................................... 110 Výklad ...................................................................................................................... 110 11.1 Vrstevnicový plán ........................................................................................................................... 110

6

11.1.1 Interkalární vrstevnice ......................................................................................................... 111 11.1.2 Rovinný řez topografickou plochou................................................................................ 112 11.2 Řešení výkopů a násypů vodorovné komunikace ............................................................ 113 11.3 Řešení výkopů a násypů stoupající komunikace .............................................................. 115 Studijní materiály ..................................................................................................... 117 Otázky a úkoly ......................................................................................................... 117 Klíč k řešení otázek ................................................................................................. 117 12. Teoretické řešení střech .................................................................................... 118 Klíčové pojmy .......................................................................................................... 118 Cíle kapitoly ............................................................................................................. 118 Čas potřebný ke studiu kapitoly ............................................................................... 118 Výklad ...................................................................................................................... 118 12.1 Typy střech ........................................................................................................................................ 118 12.2 Střechy s volnými okapy (bez zastavěných částí) ............................................................ 120 12.2.1 Řešení střech se dvory .......................................................................................................... 124 Studijní materiály ..................................................................................................... 125 Otázky a úkoly ......................................................................................................... 125 Klíč k řešení otázek ................................................................................................. 125 13. Teoretické řešení střech se zastavěnými částmi ............................................... 127 Klíčové pojmy .......................................................................................................... 127 Cíle kapitoly ............................................................................................................. 127 Čas potřebný ke studiu kapitoly ............................................................................... 127 Výklad ...................................................................................................................... 127 13.1 Střechy s rovnými zastavěnými částmi ................................................................................. 127 13.2 Střechy se zastavěnými rohy ..................................................................................................... 129 Studijní materiály ..................................................................................................... 131 Otázky a úkoly ......................................................................................................... 132 Klíč k řešení otázek ................................................................................................. 132 Použitá literatura...................................................................................................... 133

7

1. Úvod

KLÍČOVÉ POJMY promítání středové promítání, rovnoběžné promítání, kosoúhlé promítání, šikmé promítání, promítání, Mongeovo promítání, půdorysna, nárysna, půdorys bodu, nárys bodu, bokorysna, pravoúhlá axonometrie, axonometrie, izometrie

CÍLE KAPITOLY Získat úvodní informace o promítání. Seznámit se s druhy rovnoběžného promítání. Seznámit se s průměty bodů v Mongeově promítání. Seznámit se s průměty bodů v kosoúhlém promítání. Seznámit se s průměty bodů v pravoúhlé axonometrii.

ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU STUDIU KAPITOLY 8 hodiny

VÝKLAD Deskriptivní geometrie zobrazuje prostorové předměty útvary rovinnými. Pomocí těchto rovinných útvarů pak řeší úlohy prostorové. Zmíněné zobrazení prostorových útvarů do roviny provádí pomocí promítání. promítání. Princip promítání třech různých bodů A , B a C je znázorněn na následujícím obrázku brázku č. 1.

8

Obrázek č. 1

π - průmětna S ( S ∉ π ) – střed promítání A 1 - průmět bodu A

↔ SA - promítací paprsek V obrázku č. 1 je střed promítání vlastní (v konečnu), hovoříme o středovém promítání. Je-li střed promítání nevlastní (bod v nekonečnu – v následujících obrázcích č. 2 a 3 je jeho poloha naznačena šipkou), jsou promítací paprsky jednotlivých bodů rovnoběžné a hovoříme o promítání rovnoběžném.

9

Obrázek č. 2

Obrázek č. 3

Je-li směr promítacích paprsků rovnoběžného promítání kosý k průmětně π , potom hovoříme o kosoúhlém nebo šikmém promítání, je-li tento směr kolmý k průmětně

π , jedná se o pravoúhlé nebo kolmé promítání.

Promítání středové není náplní tohoto textu. Nejznámějšími druhy rovnoběžných promítání jsou: -

Mongeovo promítání

-

kosoúhlé promítání

-

pravoúhlá axonometrie

-

kótované promítání.

1.1 Průměty bodů 1.1.1 V Mongeově projekci Mongeovo promítání je pravoúhlé promítání na dvě k sobě kolmé průmětny – vodorovnou, kterou značíme π a nazýváme půdorysna a svislou, značenou ν s názvem

10

nárysna. Kolmý průmět bodu A do půdorysny značíme A 1 a nazýváme jej půdorys bodu A , kolmý průmět bodu A do nárysny A 2 nazýváme nárys bodu A .

Obrázek č. 4

Soustava třírozměrných Kartézských souřadnic je zvolena tak, že průsečnice průměten π a ν tvoří osu x , počátkem O na této ose jsou pak proloženy kolmo osa y ležící v půdorysně a osa z ležící v nárysně. V obrázku č. 4 je zobrazena i orientace os – kladné části jsou označeny x+, y + a z +, záporné x - , y - a z -. Z obrázku č. 4 je také patrné, že zobrazený bod A má souřadnice x, y a z kladné. Zobrazený bod B má záporné souřadnice x a z, kladnou souřadnici y. Bod C ležící v π má zápornou souřadnici x, kladnou y a souřadnici z=0.

11

Nárysna nechť nyní tvoří naši nákresnu, půdorysnu otočme tak, že její přední část se otočí podle osy x do spodní části nárysny a zadní část do horní části nárysny (otočení je v obrázku č. 4 naznačeno šipkami). Po tomto otočení zřejmě splynou osy y a z , jejich orientace ale bude opačná. Situaci z obrázku pak představuje následný obrázek č. 5, půdorys a nárys konkrétního bodu se nazývají sdružené průměty.

Obrázek č. 5

Příklad č. 1: Sestrojte sdružené průměty bodů: A =[2;3;4], B =[-5;2;-3], C =[-2;5;0], D =[0;-3;2], E =[4;0;3]. Řešení: V Mongeově promítání nebývá zvykem zakreslovat osy y a z ani orientaci osy x .

Obrázek č. 6

12

1.1.2 V kosoúhlém promítání Kosoúhlé promítání je kosé (šikmé) rovnoběžné promítání na některou průmětnu. V tomto textu bude touto průmětnou výhradně průmětna určená osami y a z , kterou značíme µ a nazýváme ji bokorysna - viz obrázek č. 7.

Obrázek č. 7

13

Průměty útvarů ležících v bokorysně budou tedy při tomto promítání totožné samy se sebou. Podle směru promítacích paprsků rozlišujeme rozlišujeme 4 základní druhy kosoúhlého promítání – viz následné čtyři obrázky č. 8.

Obrázek č. 8 nadhled zprava

nadhled zleva

podhled zleva

podhled zprava

14

Obrázek č. 9 nadhled zprava

nadhled zleva

podhled zleva

podhled zprava

Vee směru osy x se délky mohou zkracovat, zkracovat zachovávat případně prodluž prodlužovat. Kosoúhlé promítání je tedy zadáváno dvěma prvky: úhlem ω a koeficientem q, který je poměrem délky průmětu a skutečné délky úsečky ve směru osy x (koeficient koeficient zkrácení – prodloužení). prodloužení Zobrazení bodu je dáno průmětem bodu a jeho půdorysu.

Příklad č. 2: V kosoúhlém promítání ω =1350, q=2/3 zobrazte průměty bodů A =[3;0;4], B =[6;5;4], C =[5;8;0], D =[-5;-2;2]. 2;2]. Řešení: Jak již bylo řečeno, souřadnice y a z se zobrazují nezkrácené, x-ové ové souřadnice je nutno zkracovat poměrem 2/3. V obrázku č. 10 byl na prodlouženou osu z vynesen trojnásobek jmenovatele koeficientu q a na průmět osy x trojnásobek čitatele koeficientu 2 3 .2 q (q= = - koeficient zkrácení byl pro přesnější konstrukci rozšířen číslem 3). 3 3 .3

Spojnice takto získaných bodů určuje směr zkrácení. Nezkrácené souřadnice jsou v obrázku brázku č. 10 1 naznačeny pouze u bodů A a B ( A =[xA;yA;zA], B =[xB; yB;zB]).

Obrázek č. 10

15

1.1.3 V pravoúhlé axonometrii Pravoúhlá neboli kolmá axonometrie je pravoúhlé promítání do axonometrické průmětny θ , která je v obecné poloze vzhledem k půdorysně, nárysně nárysně i bokorysně – viz obrázek č. 11.

Obrázek č. 11

Axonometrická

průmětna průmětna

protíná

půdorysnu,

nárysnu

a

bokorysnu

v axonometrickém trojúhelníku XYZ . Pravoúhlé průměty os x , y a z do axonometrické průmětny pak leží ve výškách tohoto trojúhelníku. trojúhelníku

16

Chceme-li získat velikost jednotek na osách, provedeme otočení podle následujícího obrázku č. 12. Úhly XOY , YOZ a ZOX jsou ve skutečnosti pravé.

Obrázek č. 12

Pokud je axonometrický trojúhelník XYZ rovnostranný, tento druh nazýváme

izometrie, je zkrácení na všech osách stejné a jednotky 0,81649 … .

Ve většině příkladů tohoto textu budu používat jednotky zaokrouhlené, což na obecnosti nijak neubere.

Příklad č. 3: Zobrazte v izomerii (jx=jy=jz=0,8) průměty bodů a určete polohu těchto bodů vzhledem k průmětnám: A = [5;4;3], B = [− 6;1;5], C = [3;−4;1], D = [4;2;−2], E = [0;5;2], F = [2;4;0], G = [6;0;3]. Řešení:

17

Obrázek č. 13

STUDIJNÍ MATERIÁLY ČERNÝ, J. a M. KOČANDRLOVÁ, 2005. Konstruktivní geometrie. geometrie. Praha: Česká technika – nakladatelství ČVUT, 161 s. ISBN 80-01 80 01-03296-5. KORCH, J. a K. MÉSZÁROSOVÁ, 1987. Deskriptivní geometrie pro 1. ročník středních průmyslových škol stavebních. stavebních. Praha: SNTL, 228 s.

18

SETZER, O. a K. KŮLA, 1976. Deskriptivní geometrie pro 1. a 2. ročník středních průmyslových škol stavebních. stavebních. Praha: SNTL, 327 s. VACKA, M.,., 2014. Deskriptivní geometrie: Mongeova projekce, kosoúhlé promítání a pravoúhlá axonometrie: studijní skripta. skripta. 1. vyd. České Budějovice: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 70 s. ISBN 978-80-7468 7468-064-9.

OTÁZKY A ÚKOLY 1. Co znamená znamená středové promítání, rovnoběžné promítání, kosoúhlé promítání. 2. Jaký je rozdíl mezi půdorysem bodu a nárysem bodu? 3. Co označujeme pravoúhlou axonomitrií? 4. Co je to izometrie?

KLÍČ K ŘEŠENÍ OTÁZEK 1. viz. výklad 2. viz. výklad 3. viz. výklad 4. viz. výklad

19

2. Průměty růměty přímek a úseček

KLÍČOVÉ POJMY stopník přímky, půdorysný stopník přímky, nárysný stopník přímky, bokorysný stopník přímky, sklopené body, přímky rovnoběžné, přímky různoběžné, přímky mimoběžné přímky,

CÍLE KAPITOLY Získat informace o průmětech přímek a úseček. úseček Znát pojem stopník přímky. Seznámit se s průmětem úseček v Mongeově projekci. projekci Seznámit se se se vzájemnými polohami přímek. přímek

ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU STUDIU KAPITOLY 8 hodin

VÝKLAD Průmětem přímky je přímka, ve zvláštním případě (je-li (je li tato přímka rovnoběžná se směrem promítání) je jím bod. Pro všechna rovnoběžná promítání dále platí: Průmětem dvou různých rovnoběžných přímek jsou dvě rovnoběžky (různé nebo totožné) nebo dva body. Vzhledem k průmětnám může být přímka p v obecné poloze, rovnoběžná s některou průmětnou nebo kolmá k některé z průměten.

20

V axonometrickém promítání je zobrazena přímka průmětnám v obecné poloze.

p = AB , která je vůči

Obrázek č. 14

V dalším obrázku č. 15 jsou zakresleny v kosoúhlém promítání průměty přímek

a // π , b // µ a c //ν .

Obrázek č. 15

21

V Mongeově

projekci

jsou

zobrazeny

sdružené

průměty

přímky

p = AB , A = [0;3;5], B = [− 5;7;4] .

Obrázek č. 16

22

Na obrázku č. 17 jsou v Mongeově projekci zobrazeny průměty přímek a // π , c //ν , q ⊥π .

Obrázek č. 17

2.1 Stopník přímky Stopníkem přímky nazýváme průsečík této přímky s průmětnou. Průsečík přímky s půdorysnou nazýváme půdorysný stopník přímky a obvykle jej značíme P, průsečík přímky s nárysnou nazýváme nárysný stopník přímky a obvykle jej značíme N, případně průsečík přímky s bokorysnou nazýváme bokorysný stopník přímky, který obvykle značíme M. Pokud se v daném příkladu vyskytuje více půdorysných nebo nárysných případně bokorysných stopníků, přidáváme na rozlišení k jejich označení jméno přímky – např. Pa, Pb, Np, ……. .

23

V obrázku č. 18 v izomerii, který obsahuje přímky p a q , jsou vyznačeny půdorysné stopníky P p a P q , nárysný stopník N q (nárysný stopník přímky p neexistuje) a bokorysné stopníky M p a M q .

Obrázek č. 18

Obdobně v Mongeově projekci, která kter zobrazuje přímky p a q , jsou vyznačeny půdorysné stopníky P p a P q a nárysný stopník N q .

Obrázek č. 19

24

Příklad č. 4: V izomerii (jx=jy=jz=0,8) sestrojte p = AB , q = AC , A = [1;4;2], B = [5;4;6], C = [5;0;2] . Určete k průmětnám a určete jejich stopníky.

průměty jejich polohu

přímek vzhledem

Řešení: Obrázek č. 20

25

2.1 Úsečka v Mongeově projekci, skutečná velikost úsečky Průmětem úsečky v Mongeově projekci je buď úsečka s délkou kratší (viz obr.).

Obrázek č. 21

26

Průmětem úsečky v Mongeově projekci může také být úsečka s délkou stejnou (viz obr.) – v uvedeném případě je úsečka rovnoběžná s průmětnou π .

Obrázek č. 22

Nebo je jejím průmětem bod (viz obr.) – v uvedeném případě je úsečka kolmá k průmětně π .

Obrázek č. 23

27

Skutečnou velikost úsečky AB v prvém případě můžeme určovat sklápěním do půdorysny – viz obr., body (A) a (B) nazýváme sklopené body A a B.

Obrázek č. 24

Pokud jsou z-ové souřadnice bodů A a B rozdílného znaménka, sklopení bodů se provádí na opačné strany – viz obr.

Obrázek č. 25

28

2.2 Vzájemná poloha přímek Rozeznáváme tři vzájemné polohy přímek. 1) Přímky rovnoběžné

Obrázek č. 26

Obrázek č. 27

29

2) Přímky římky různoběžné

Obrázek č. 28

Obrázek č. 29

30

3) Přímky mimoběžné Obrázek č. 30

Obrázek č. 31

31

STUDIJNÍ MATERIÁLY ČERNÝ, J. a M. KOČANDRLOVÁ, 2005. Konstruktivní geometrie. geometrie. Praha: Česká technika – nakladatelství ČVUT, 161 s. ISBN 80-01 80 01-03296-5. KORCH, J. a K. MÉSZÁROSOVÁ, 1987. Deskriptivní geometrie pro 1. ročník středních průmyslových škol stavebních. stavebních. Praha: SNTL, 228 s. SETZER, O. a K. KŮLA, 1976. Deskriptivní geometrie pro 1. a 2. ročník středních průmyslových škol stavebních. stavebních. Praha: SNTL, 327 s. VACKA, M., M., 2014. Deskriptivní geometrie: Mongeova projekce, kosoúhlé promítání a pravoúhlá axonometrie: studijní skripta. skripta. 1. vyd. České Budějovice: Vysoká škol školaa technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 70 s. ISBN 978-80-7468 7468-064-9.

32

OTÁZKY A ÚKOLY 1. Co je to stopník přímky? 2. Co může být průmětem úsečky v Mongeově projekci? 3. Jak určit skutečnou velikost úsečky? 4. V jaké vzájemné poloze mohou být přímky?


33

3. Rovina

KLÍČOVÉ POJMY průmětna stopy roviny, průsečnice průmětna,

CÍLE KAPITOLY Seznámit se s rovinou zadanou pomocí úseků na osách. osách Získat informace o tom, jak se určuje rovina. Seznámit se se vzájemnými polohami rovin.


VÝKLAD Průmětem roviny je celá průmětna, průmětna, ve zvláštním případě (je (je-li li rovina rovnoběžná se směrem promítacích paprsků) pak je jím přímka. Stopami roviny nazýváme průsečnice roviny s průmětnami. Průsečnici roviny ρ s půdorysnou nazýváme půdorysná stopa roviny a obvykle ji značíme p , kde ρ je

označení dané roviny. Průsečnici ρ s nárysnou nazýváme nárysná stopa roviny a značíme ji n ρ , případně průsečnici roviny ρ s bokorysnou nazýváme bokorysná stopa a značíme ji m ρ .

Obrázek č. 32

34

3.1 Rovina zadaná pomocí úseků na osách V předchozím obrázku č 32 jsou úseky, které daná rovina vytíná na osách x, y, z označeny x ρ , y ρ , z ρ . Tyto úseky pak jsou jedním ze způsobů zadání roviny

-

ρ = [x ρ ; y ρ ; z ρ ] .

Příklad č. 5: Sestrojte stopy rovin α = [− 3;3;2] a β = [4;−3;2] a) v kosoúhlém promítání 135 ,

Obrázek č. 33

35

b) v Mongeově projekci Obrázek č. 34

Je zřejmé, že roviny α a β mají vzhledem k průmětnám obecnou polohu.

Příklad č. 6: Sestrojte stopy rovin γ = [3;4; ∞ ], δ = [∞;2;3], ε = [∞; ∞;1] a) v kosoúhlém promítání 135 ,

Obrázek č. 35

36


Polohy rovin γ , δ , ε jsou γ ⊥ π , δ ⊥ µ , ε // π .

3.2 Určenost roviny Rovina je obvykle určena jedním ze čtyř následujících způsobů: a) Třemi body, které neleží v přímce

37

b) Přímkou a bodem, který na ní neleží c) Dvěma různoběžkami d) Dvěma různými rovnoběžkami.

Pro práci s rovinou používáme velmi důležitou následující větu: Leží-li přímka v rovině, potom její půdorysný stopník leží na půdorysné stopě roviny, nárysný stopník leží na nárysné stopě roviny, případně bokorysný stopník leží na bokorysné stopě roviny.

Obrázek č. 37

Příklad č. 7: Sestrojte stopy roviny ρ = ABC . A = [− 1;−2;4], B = [2;4;1], C = [− 4;5;3] a) v kosoúhlém promítání Řešení: Byly zvoleny přímky c = AB a a = CB a určeny stopníky. Obrázek č. 38

38


39

3.3 Hlavní přímky roviny v Mongeově projekci Úkol, kdy k danému půdorysu bodu máme určit jeho nárys, obvykle řešíme pomocí zvláštních přímek roviny, tzv. hlavních přímek 1. případně 2. osnovy. Hlavní přímky 1. osnovy jsou rovnoběžné s půdorysnou, hlavní přímky 2. osnovy jsou rovnoběžné s nárysnou.

Obrázek č. 40 1. osnovy

2. osnovy

Příklad č. 8: V Mongeově projekci sestrojte chybějící průměty bodů A = [1;2; z A ], B = [− 1;−0,8; z B ] pomocí hlavních přímek 1. osnovy tak, aby A, B ∈ ρ = [− 4;3;5] . Řešení: Obrázek č. 41

40

3.4 Vzájemná poloha rovin Dvě různé roviny v prostoru mohou být rovnoběžné nebo různoběžné. Rovnoběžné roviny nemají žádný společný bod, různoběžné roviny mají společnou přímku – průsečnici.

Rovnoběžné roviny Vzhledem k tomu, že nemají žádný společný bod, jsou jejich odpovídající stopy, které existují, rovnoběžné.

Obrázek č. 42

41

Různoběžné roviny Vzhledem k tomu, že tyto roviny mají společnou přímku, hledáme při řešení průsečnice q dva různé společné body těchto rovin. V obrázku č. 43 je v Mongeově projekci užito průsečíku P půdorysných stop rovin a průsečíku N nárysných stop rovin.

Obrázek č. 43

42

V obrázku č. 44 v kosoúhlém promítání užito průsečíku P půdorysných stop rovin a průsečíku M bokorysných bokorys stop rovin.

Obrázek č. 44 4

STUDIJNÍ MATERIÁLY ČERNÝ, J. a M. KOČANDRLOVÁ, 2005. Konstruktivní geometrie. geometrie. Praha: Česká technika – nakladatelství ČVUT, 161 s. ISBN 80-01 80 01-03296-5. KORCH, J. a K. MÉSZÁROSOVÁ, 1987. Deskriptivní geometrie pro 1. ročník středních průmyslových škol stavebních. stavebních. Praha: SNTL, 228 s. SETZER, O. a K. KŮLA, 1976. Deskriptivní geometrie pro 1. a 2. ročník středních průmyslových škol stavebních. stavebních. Praha: SNTL, 327 s.

43

VACKA, M., M., 2014. Deskriptivní geometrie: Mongeova projekce, kosoúhlé promítání a pravoúhlá axonometrie: studijní skripta. skripta 1. vyd. d. České Budějovice: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 70 s. ISBN 978-80-7468 7468-064-9.

OTÁZKY A ÚKOLY 1. Co je průmětna? 2. Co nazýváme stopami roviny a jaké známe stopy roviny? 3. Jakými způsoby může být určena rovina? 4. V jaké vzájemné poloze mohou být roviny?


44

4. Vzájemná poloha přímky a roviny

KLÍČOVÉ POJMY průsečík ůsečík

CÍLE KAPITOLY Seznámit se s průsečíkem přímky s rovinou. rovinou Seznámit se s průmětem přímky k rovině. Určit vzdálenost bodu k rovině.


VÝKLAD Přímka, která v rovině neleží, může být s rovinou rovnoběžná nebo různoběžná. Přímka rovnoběžná s rovinou s ní nemá žádný společný bod, přímka různoběžná má s rovinou jeden společný bod – průsečík. průsečík. Určení, kdy přímka je s rovinou rovnoběžná bez společného bodu, bodu je složitější. Proto budeme řešit případ hledání průsečíku přímky s rovinou, pokud pak zjistíme, že žádný neexistuje, jedná se o přímku s rovinou rovnoběžnou. běžnou.

45

4.1 Průsečík přímky s rovinou Při určování průsečíku přímky p s rovinou ρ volíme následující postup znázorněný v obrázku č. 45 v Mongeově projekci. Danou přímkou p proložíme libovolnou rovinu δ (její půdorysná stopa musí procházet půdorysným stopníkem P p a nárysná stopa nárysným stopníkem N p ), sestrojíme průsečnici q rovin ρ , přímka q pak na přímce p vytíná hledaný bod Q .

Obrázek č. 45

46

Pro jednodušší řešení tohoto problému bývá ve většině případů vhodné volit rovinu δ

kolmou k některé průmětně. V obrázku č. 46 je se stejným zadáním

předchozího příkladu volena rovina δ kolmá k půdorysně.

Obrázek č. 46

V obrázku č. 47 je řešen v kosoúhlém promítání průsečík přímky p s rovinou ρ . Rovina δ je opět volena kolmá k půdorysně.

Obrázek č. 47

47

4.2 Přímka kolmá k rovině v Mongeově projekci Průmětem přímky kolmé k rovině ρ v Mongeově projekci je v půdoryse přímka k1 kolmá k půdorysné stopě roviny ρ a v nárysně přímka k 2 kolmá k nárysné stopě

roviny ρ . V obrázku č. 48 jsou průměty přímky k kolmé k rovině ρ proloženy daným bodem A .

Obrázek č. 48

48

4.3 Vzdálenost bodu od roviny v Mongeově projekci Při určování vzdálenosti bodu A od roviny ρ postupujeme následovně: 1. Bodem A proložíme přímku k kolmou k rovině ρ . 2. Sestrojíme průsečík přímky k s rovinou ρ - Q. 3. Určíme skutečnou velikost úsečky AQ.

STUDIJNÍ MATERIÁLY ČERNÝ, J. a M. KOČANDRLOVÁ, 2005. Konstruktivní geometrie. geometrie. Praha: Česká technika – nakladatelství ČVUT, 161 s. ISBN 80-01 80 01-03296-5. KORCH, J. a K. MÉSZÁROSOVÁ, 1987. Deskriptivní geometrie pro 1. ročník středních průmyslových škol stavebních. stavebních. Praha: SNTL, 228 228 s.

49

SETZER, O. a K. KŮLA, 1976. Deskriptivní geometrie pro 1. a 2. ročník středních průmyslových škol stavebních. stavebních. Praha: SNTL, 327 s. VACKA, M., M., 2014. Deskriptivní geometrie: Mongeova projekce, kosoúhlé kosoúhlé promítání a pravoúhlá axonometrie: studijní skripta. skripta. 1. vyd. České Budějovice: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 70 s. ISBN 978-80-7468 7468-064-9.

OTÁZKY A ÚKOLY 1. Co je to průsečík? 2. Jak postupujeme při určování vzdálenosti bodu od roviny?

KLÍČ K ŘEŠENÍ OTÁZEK 1. viz. výklad 2. viz. výklad

50

5. Kuželosečky

KLÍČOVÉ POJMY elipsa, ohnisko, oskulační kružnice elipsy, tečna elipsy, vrcholová kružnice, řídící kružnice, hyperbola, asymptoty, oskulační kružnice, parabola

CÍLE KAPITOLY Seznámit se s elipsou. Seznámit se s hyperbolou. Seznámit se s parabolou.


VÝKLAD Jednoduché kuželosečky kuželosečky jsou rovinné křivky vzniklé řezem na kuželové ploše, ploše přičemž rovina řezu neprochází vrcholem kuželové plochy. plochy. Pokud rovina řezu protíná všechny povrchové přímky kuželové plochy, získáme elipsu, je je-li li rovina řezu rovnoběžná s jednou povrchovou přímkou, přímkou získáme parabolu. Je-li li rovina řezu rovnoběžná se dvěma věma povrchovými přímkami, jedná se o hyperbolu.

51

5.1 Elipsa Elipsa je množina bodů v rovině, které mají od dvou pevných bodů, zvaných ohniska, stálý součet vzdáleností.

Obrázek č. 49

A, B – hlavní vrcholy elipsy

C, D – vedlejší vrcholy elipsy

- hlavní osa elipsy

- vedlejší osa elipsy

S – střed elipsy

,

- ohniska elipsy

- hlavní poloosy elipsy

! - vedlejší poloosy elipsy

=e – excentricita (výstřednost) elipsy ", " - průvodiče bodu M

" # "=2a

52

Bodová konstrukce elipsy

Obrázek č. 50

Body 1, 2, 3 jsou libovolně zvoleny na hlavní ose mezi středem a ohniskem, bod

" má od

vzdálenost |1| a od

vzdálenost |1|. Další body jsou souměrné

k sestrojeným podle hlavní případně vedlejší osy.

Oskulační kružnice elipsy Oskulační kružnice přibližně nahrazují křivost v určitém bodě. V následujícím obrázku č. 51 je znázorněna konstrukce těchto kružnic pro hlavní a vedlejší vrcholy.

Obrázek č. 51

53

Tečna elipsy Tečna elipsy půlí úhel průvodičů bodu dotyku.

Obrázek č. 52

54

V předchozím obrázku č. 52 jsou zakresleny i dvě další vlastnosti: 1. Množina pat kolmic spuštěných z ohnisek na tečnu elipsy leží na kružnici se středem S a poloměrem a - vrcholová kružnice. 2. Množina bodů osově souměrných k ohnisku podle tečen elipsy leží na kružnici se středem v druhém ohnisku a poloměrem 2a - řídící kružnice.

Proužková konstrukce elipsy

Obrázek č. 53

55

5.2 Hyperbola Hyperbola je množina bodů v rovině, které mají od dvou pevných bodů, zvaných ohniska, stálý rozdíl vzdáleností.

Obrázek č. 54

A, B – hlavní vrcholy hyperboly

C, D – vedlejší vrcholy hyperboly

56

- hlavní osa hyperboly

- vedlejší osa hyperboly

S – střed hyperboly

,

- ohniska hyperboly

! - vedlejší poloosy hyperboly - hlavní poloosy hyperboly

=e – excentricita (výstřednost) hyperboly ", " - průvodiče bodu M

" % "=2a

Bodová konstrukce, asymptoty, oskulační kružnice a tečna hyperboly Bodová konstrukce – bod 1 libovolně zvolený na prodloužení hlavní osy ve vzdálenosti větší než e od bodu S, bod M má od vzdálenost |1| a od vzdálenost |1|. Další body jsou souměrné k sestrojeným podle hlavní případně vedlejší osy.

Asymptoty – tečny, ke kterým se hyperbola nekonečně přibližuje. V obrázku č. 55 jsou označeny

a

a sestrojíme je jako úhlopříčky obdélníka, jehož strany

procházejí hlavními a vedlejšími vrcholy rovnoběžně s osami. Oskulační kružnice – v obrázku č. 55 je zobrazena konstrukce oskulační kružnice pro vrchol B. Její střed

vytíná na hlavní ose kolmice k asymptotě

sestrojené ve vrcholu výše zmíněného obdélníka. Oskulační kružnice v A má stejný poloměr. Tečna hyperboly – půlí úhel průvodičů bodu dotyku.

Obrázek č. 55

57

V předchozím obrázku č. 55 jsou zakresleny i dvě další vlastnosti: 1. Množina pat kolmic spuštěných z ohnisek na tečnu hyperboly leží na kružnici se středem S a poloměrem a – vrcholová kružnice. 2. Množina bodů osově souměrných k ohnisku podle tečen hyperboly leží na kružnici se středem v druhém ohnisku a poloměrem 2a - řídící kružnice.

5.3 Parabola Parabola je množina bodů v rovině, které mají od přímky zvané řídící přímka a od pevného bodu - ohniska, stejnou vzdálenost. d - řídící přímka paraboly

o - osa paraboly

F – ohnisko paraboly

V – vrchol paraboly

58

& - parametr paraboly

- průvodiče bodu M ", ("

' '

" ("

Bodová konstrukce, oskulační kružnice a tečna paraboly Bodová konstrukce - bod 1 libovolně zvolený na polopřímce )))))* ' , bodem 1 sestrojíme přímku rovnoběžnou s řídící přímkou a její průsečík s kružnicí se středem v bodě F a poloměrem |1| je bodem paraboly ". Další body sestrojíme podobně užitím bodů 2.3,…... Oskulační kružnice - v bodě V má poloměr p. Tečna paraboly - půlí úhel průvodičů bodu dotyku.

Obrázek č. 56

59

V předchozím obrázku č. 56 jsou zakresleny i dvě další vlastnosti: 1. Množina pat kolmic spuštěných z ohniska na tečnu paraboly leží na tečně sestrojené ve vrcholu V - vrcholová tečna. tečna 2. Množina bodů bodů osově souměrných k ohnisku podle tečen teč paraboly leží na řídící přímce přímce.

STUDIJNÍ MATERIÁLY ČERNÝ, J. a M. KOČANDRLOVÁ, 2005. Konstruktivní geometrie. geometrie. Praha: Česká technika – nakladatelství ČVUT, 161 s. ISBN 80-01 80 01-03296-5. KORCH, J. a K. MÉSZÁROSOVÁ, 1987. Deskriptivní geometrie pro 1. ročník středních průmyslových škol stavebních. stavebních. Praha: SNTL, 228 s. SETZER, O. a K. KŮLA, 1976. Deskriptivní geometrie pro 1. a 2. ročník středních průmyslových škol stavebních. stavebních. Praha: SNTL, 327 327 s. VACKA, M., M., 2014. Deskriptivní geometrie: Mongeova projekce, kosoúhlé promítání a pravoúhlá axonometrie: studijní skripta. skripta. 1. vyd. České Budějovice: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 70 s. ISBN 978-80-7468 7468-064-9.

OTÁZKY A ÚKOLY 1. Jaké jednoduché kuželosečky (rovinné křivky) vzniknou řezem na kuželové ploše, přičemž rovina řezu neprochází vrcholem kuželové plochy? 2. Co to je ohnisko? 3. Charakterizujte elipsu.

60

4. Charakterizujte Charakterizujte hyperbolu. 5. Co představují asymptoty? 6. Charakterizujte parabolu.

KLÍČ K ŘEŠENÍ OTÁZEK 1. viz. výklad 2. viz. výklad 3. viz. výklad 4. viz. výklad 5. viz. výklad 6. viz. výklad

61

6. Průměty rovinných obrazců v Mongeově projekci

KLÍČOVÉ POJMY osová afinita

CÍLE KAPITOLY Seznámit se s průměty n-úhelníků n úhelníků v Mongeově projekci. Znát pojem osová afinita. Seznámit se s průměty kružnic v Mongeově projekci.


VÝKLAD 6.1 Průměty n-úhelníků n úhelníků v Mongeově projekci 6.1.1 Obrazce ležící v některé z průměten O Obrázek č 57 znázorňuje č. znázor průmět čtverce ležícího v půdorysně π . Jeho půdorys vidíme ve skutečné podobě, nárysem je úsečka.

Obrázek č. 57 5

62

Čtenář jistě usoudí na průměty obrazce ležícího v nárysně υ .

6.1.2 Obrazce ležící v rovině kolmé k některé z průměten V obrázku č. 58 je řešen následující Příklad č. 9.

Příklad č. 9: Sestrojte průměty čtverce ABCD ležícího v rovině ρ = [2; ∞;1], A = [1;1,3; z A ], C = [− 1;5; z C ]

Řešení: Byly sestrojeny nárysy bodů A a C , které v této rovině leží. Protože se jedná o rovinu ρ kolmou k nárysně, leží A2 a C 2 na n 2 = ρ 2 . Rovina ρ byla otočena podle půdorysné stopy do půdorysny. Při otáčení se body A a C ρ

pohybují po kružnici, roviny těchto kružnic jsou kolmé ke stopě p . V půdoryse jsou ρ

otočené body A0 a C0 na přímkách procházejících body A1 a C1 , kolmých k p 1 . Nárysem kružnic otáčení jsou kružnice (v obrázku č. 58 zakresleny čárkovanou čarou). V otočení je čtverec ve skutečné velikosti, A0 a C0 bylo doplněno na čtverec A0 B0 C 0 D0 a provedeno zpětné otočení do nárysu a půdorysu. Obrázek č. 58

63

Student jistě sám objeví princip otáčení roviny kolmé k půdorysně podle nárysné stopy do nárysny.

6.1.3 Otáčení roviny v obecné poloze V obrázku č. 59 je znázorněno otáčení roviny ρ v obecné poloze podle půdorysné stopy do půdorysny. Poloměr otáčení bodu A lze získat z pravoúhlého trojúhelníka, jehož odvěsny tvoří vzdálenost půdorysu A1 od p

ρ

a z-ová souřadnice z A bodu A .

Obrázek č. 59

64

Příklad č. 10: Je dána rovina ρ = [− 7;7,8;6,5] a body A, S ∈ ρ , A = [5;9; z A ], S = [2,5;4,5; z S ] . Proveďte otočení těchto bodů podle půdorysné stopy roviny ρ do půdorysny.

Řešení: Viz obrázek č. 60. K půdorysům bodů A, S byly pomocí hlavních přímek určeny jejich ρ

nárysy A2 a S 2 . Roviny otáčení bodů A, S jsou kolmé k p , poloměr otáčení byl určen sklopením bodů A, S .

Obrázek č. 60

65

Opět vyzývám studenta, aby si promyslel případné otáčení roviny podle nárysné stopy do nárysny.

6.1.4 Osová afinita Osová afinita je geometrická příbuznost mezi dvěma obrazci v rovině, pro kterou platí: a) Spojnice odpovídajících bodů jsou rovnoběžné se směrem afinity. b) Přímky, které si odpovídají, se protínají na ose afinity.

Na obrázku č. 61 byla zadána osa afinity o a dvojice odpovídajících bodů A a A / . Úkolem je k daným bodům B a C / nalézt jejich odpovídající obrazy. Z vlastnosti a) vyplývá, že dvojice A a A / zadává směr afinity, pro body B / a C tedy musí platit BB / // CC / // AA / . Přímce AB v afinitě odpovídá přímka A / B / a tyto se podle b) musí

protínat na ose afinity o . Obdobně přímce A / C / odpovídá AC . Na obrázku č. 61 je znázorněna i přímka B / C / , jíž odpovídá přímka BC .

66

Obrázek č. 61

6.1.5 Průměty obrazců ležících v rovině v obecné poloze Uveďme si velmi důležitou vlastnost platící pro průmět rovinného obrazce a jeho otočenou polohu do průmětny: Pro půdorys (nárys) rovinného obrazce a jeho otočenou polohu podle půdorysné (nárysné) stopy do půdorysny (nárysny) platí vztah osové afinity. Osou afinity je stopa, podle které je rovina otáčena.

Příklad č. 11: Sestrojte průměty pravidelného šestiúhelníku ABCDEF se středem v bodě S , ležícího v rovině ρ ( ρ = [− 7;7,8;6,5] , A = [5;9; z A ], S = [2,5;4,5; z S ] )

Řešení: Viz obrázek č. 62. Zadání roviny ρ a bodů A, S je shodné se zadáním předchozího příkladu. 1. K bodům A, S byly určeny nárysy A2 a S 2 hlavními přímkami. 2. Otočen bod S . ρ 3. Otočený bod A0 sestrojen pomocí osové afinity. Osou afinity je p 1 , dvojici odpovídajících bodů tvoří S1 a S 0 .

67

4. V otočení sestrojen pravidelný šestiúhelník A0 B0 C 0 D0 E 0 F0 . 5. Pomocí osové afinity sestrojeny body B1 , C1 , D1 , E1 , F1 . 6. Pomocí hlavních přímek sestrojeny body B2 , C 2 , D2 , E 2 , F2 Obrázek č. 62

.

68

6.2 Průměty kružnice v Mongeově projekci V rovnoběžném promítání je průmětem kružnice elipsa (sem patří i kružnice) nebo úsečka.

6.2.1 Kružnice ležící v některé z průměten

V následujícím obrázku č. 63 je znázorněn průmět kružnice k ležící v půdorysně π .

Obrázek č. 63

6.2.2 Kružnice ležící v rovině kolmé k některé z průměten Využijeme znalostí o skutečné velikosti úsečky v Mongeově projekci. Průmětem úsečky je úsečka (ve zvláštním případě bod). Délka průmětu je menší nebo rovná skutečné délce úsečky. K rovnosti dochází v případě, že úsečka je rovnoběžná s průmětnou. Ze všech průměrů kružnice se tedy promítá jako nejdelší ten, který je rovnoběžný s průmětnou. Je-li tedy průmětem kružnice elipsa, potom její hlavní osa

69

v půdoryse leží na hlavní přímce 1. osnovy procházející středem kružnice a má délku rovnou průměru kružnice, v náryse leží na hlavní přímce 2. osnovy procházející středem kružnice a má opět délku rovnou průměru kružnice.

Příklad č. 12: Sestrojte průměty kružnice k = (S ;3), S = [0;5; z S ] ležící v rovině ρ = [− 3; ∞;4].

Řešení: Sestrojeno zadání příkladu. Vzhledem k tomu, že se jedná o rovinu kolmou k nárysně, je nárysem roviny přímka totožná s nárysnou stopou a nárys bodu S tedy na ní leží. 1. V půdoryse sestrojena hlavní přímka 1. osnovy rovnoběžně se stopou p ρ 1 a na ní od bodu S1 nanesen na obě strany poloměr r = 3 (hlavní osa elipsy v půdorysu). 2. Nárysem je úsečka 2.r = 6 , která v půdoryse vymezuje vedlejší osu elipsy. Obrázek č. 64

70

6.2.3 Kružnice ležící v rovině v obecné poloze Půdorysem i nárysem je elipsa.

Příklad . 13: Sestrojte průměty kružnice k = (S ;3), S = [3;2; z S ] ležící v rovině ρ = [− 2;3;4] .

Řešení: Viz obrázek č. 64. 1. Sestrojeno zadání příkladu. Pomocí hlavní přímky 1. osnovy sestrojen nárys bodu S. 2. V půdoryse sestrojena hlavní přímka 1. osnovy rovnoběžně se stopou p ρ 1 a na ní od bodu S1 nanesen na obě strany poloměr r = 3 (hlavní osa elipsy v půdorysu). 3. Na rovnoběžce s nárysnou stopou v bodě S 2 nanesen na obě strany poloměr r = 3 (hlavní osa elipsy v nárysu). 4. Jeden z hlavních vrcholů elipsy v půdorysu označen jako G a určen jeho nárys. Tento bod je obecným bodem nárysné elipsy a tuto je možno dodělat pomocí proužkové konstrukce. 5. Jeden z hlavních vrcholů elipsy v nárysu označen jako H a určen jeho půdorys. Tento bod je obecným bodem půdorysné elipsy a tuto je stejně možno dodělat pomocí proužkové konstrukce. Obrázek č. 65

71

STUDIJNÍ MATERIÁLY ČERNÝ, J. a M. KOČANDRLOVÁ, 2005. Konstruktivní geometrie. geometrie. Praha: Česká technika – nakladatelství ČVUT, 161 s. ISBN 80-01 80 01-03296-5. KORCH, J. a K. MÉSZÁROSOVÁ, 1987. Deskriptivní geometrie pro 1. ročník středních průmyslových škol stavebních. stavebních. Praha: SNTL, 228 228 s. SETZER, O. a K. KŮLA, 1976. Deskriptivní geometrie pro 1. a 2. ročník středních průmyslových škol stavebních. stavebních. Praha: SNTL, 327 s.

72

VACKA, M., M., 2014. Deskriptivní geometrie: Mongeova projekce, kosoúhlé kosoúhlé promítání a pravoúhlá axonometrie: studijní skripta. skripta. 1. vyd. České Budějovice: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 70 s. ISBN 978-80-7468 7468-064-9.

OTÁZKY A ÚKOLY 1. Co je to osová afinita? 2. Definujte vlastnost platící pro průmět průmět rovinného obrazce a jeho otočenou polohu do průmětny. průmětny 3. Co může být průmětem kružnice?

KLÍČ K ŘEŠENÍ OTÁZEK 1. viz. výklad 2. viz. výklad 3. viz. výklad

73

7. Průměty rovinných obrazců ležících v půdorysně a průměty jednoduchých těles s podstavou v půdorysně v pravoúhlé axonometrii

KLÍČOVÉ POJMY

CÍLE KAPITOLY Seznámit se s n-úhelníky úhelníky ležícími v půdorysně. Seznámit se s kružnicemi ležícími v půdorysně.


VÝKLAD 7.1 n-úhelníky úhelníky ležící v půdorysně Provedeme otočení půdorysny

π

podle strany

XY

axonometrického

trojúhelníka tak, jak bylo popsáno v 1. kapitole. kapitole. Pro otočené body a jejich průměty opět platí vztah osové afinity, přičemž osou afinity je strana XY

axonometrického

trojúhelníka, směr afinity je kolmý k ose afinity (dvojicí odpovídajících si bodů je např. O0 O ).

74

Příklad č. 14: Sestrojte průměty čtverce ABCD se středem S ležícího v půdorysně A = [2;1;0], S = [4;4;0] v pravoúhlé axonometrii, XY = XZ = 10 a YZ = 12 .

π,

Řešení: 1. Sestrojen axonometrický trojúhelník XYZ podle zadání a průměty os xyz ležící ve výškách tohoto trojúhelníku. 2. Otočen trojúhelník XYO , sestrojeny osy x0 a y 0 . 3. Byly sestrojeny body A0 a S 0 vynesením skutečných souřadnic v osách x 0 a y 0 . 4. V otočení sestrojen čtverec A0 B0 C 0 D0 . 5. Afinitou, jejíž osou je přímka XY , dvojicí odpovídajících bodů O0 , O byly sestrojeny body A = A1 , B = B1 , C = C1 , D = D1 , S = S1 . Obrázek č. 66

Příklad č. 15: V izometrii sestrojte průmět pravidelného čtyřbokého jehlanu s podstavou v π . A = [2;6;0], C = [5;1;0], v = 8.

75

Řešení: 1. Jako axonometrický trojúhelník XYZ zvolíme libovolný rovnostranný trojúhelník a sestrojíme podstavu podle předchozího. 2. Ve středu podstavy vztyčíme kolmici k podstavě (rovnoběžka s osou z) a vyneseme zkrácenou výšku (protože zkrácení na všech osách je stejné, můžeme ji zkrátit např. na ose x). Obrázek č. 67

7.2 Kružnice ležící v půdorysně Průmětem kružnice ležící v půdorysně je elipsa. Její hlavní osa leží na rovnoběžce se stranou XY axonometrického trojúhelníku a má délku rovnou průměru kružnice.

76

Vedeme-li takto sestrojenými hlavními vrcholy elipsy rovnoběžky s osami x a y , protnou se (podle Thaletovy věty) v bodě, náležejícímu průmětu bodu na kružnici.

Příklad č. 16: V pravoúhlé axonometrii k = (S ;5), S = [6;5;0] .

XY = 12, XZ = 11, YZ = 10

sestrojte průměty kružnice

Řešení: Viz obrázek č. 68. 1. Sestrojen průmět bodu S . 2. Bodem S sestrojena hlavní osa označená 1,2 , rovnoběžná se stranou XY délky 2 * 5 = 10 . 3. Body 1,2 vedeny rovnoběžky s osami x a y s průsečíkem 3 . 4. Proužkovou konstrukcí byla určena velikost vedlejší osy elipsy a následně celá elipsa. Obrázek č. 68

77

V následujícím učivu se u příkladů řešených v axonometrii omezím na izometrii. Jednotku na všech osách pak zaokrouhlíme na 0,8j (správná hodnota je 0,81649…j).

Příklad č. 17: V izometrii (jx=jy=jz=0,8) sestrojte průmět rotačního válce s podstavou v π o středu S = [6;7;0], r = 5, v = 8. Řešení: 1. Postupem předchozího příkladu sestrojíme podstavu rotačního válce (vzhledem k tomu, že se jedná o izometrii, je bod 3 vedlejším vrcholem elipsy). 2. Ve středu podstavy vztyčíme kolmici k podstavě (rovnoběžka s osou z) a vyneseme zkrácenou výšku. Získáme střed horní podstavy. 3. Do získaného středu horní podstavy posuneme elipsu shodnou s dolní podstavou.

78

Obrázek č. 69 6

STUDIJNÍ MATERIÁLY ČERNÝ, J. a M. KOČANDRLOVÁ, 2005. Konstruktivní geometrie. geometrie. Praha: Česká technika – nakladatelství ČVUT, 161 s. ISBN 80-01 80 01-03296-5. KORCH, J. a K. MÉSZÁROSOVÁ, 1987. Deskriptivní geometrie pro 1. ročník středních průmyslových škol stavebních. stavebních. Praha: SNTL, 228 228 s. SETZER, O. a K. KŮLA, 1976. Deskriptivní geometrie pro 1. a 2. ročník středních průmyslových škol stavebních. stavebních. Praha: SNTL, 327 s.

79

VACKA, M., M., 2014. Deskriptivní geometrie: Mongeova projekce, kosoúhlé kosoúhlé promítání a pravoúhlá axonometrie: studijní skripta. skripta. 1. vyd. České Budějovice: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 70 s. ISBN 978-80-7468 7468-064-9.

OTÁZKY A ÚKOLY 1. Co je průmětem kružnice ležící v půdorysně? 2. V jakém případě platí vztah osové afinity?


80

8. Rozdělení ploch, rotační plochy a jejich tečná rovina. Přímkové plochy rozvinutelné a nerozvinutelné

KLÍČOVÉ POJMY analytická plocha, empirická plocha, stupeň plochy, tečná rovina, rovina osa rotace, rotační plocha, meridián, nerotační plochy

CÍLE KAPITOLY Znát rozdělení ploch. Seznámit se s tečnou rovinou. rovinou


VÝKLAD

Rozlišujeme plochy: Analytické – vytvořené podle určitého zákona (rovina, kulová plocha,….) Empirické – žádná zákonitost (topografická plocha)

8.1 Analytické plochy Stupeň plochy – maximální počet průsečíků obecné přímky s plochou (rovina – stupeň 1, válcová plocha – stupeň 2).

81

Plochy přímkové – na jejich povrchu leží nekonečně přímek (rovina, válcová plocha,…). Plochy nepřímkové – na jejich povrchu leží konečně přímek nebo žádná (kulová plocha,…).

8.2 Tečná rovina Vedeme-li určitým bodem T na ploše různé roviny 7, 7, 7, …. a sestrojíme-li

v bodě T ke vzniklým řezům 9, 9, 9, …. tečny :, :, :, …. , pak všechny tyto tečny

leží v tečné rovině ; této plochy.

Obrázek č. 70

8.3 Plochy rotační Rotační plochy vznikají rotací křivky podél osy o (válcová plocha, kulová plocha,….).

82

Obrázek č. 71

Pojmy: o – osa rotace rovnoběžka – kružnice, vzniklá rotací konkrétního bodu rotující křivky rovník – rovnoběžka, jejíž poloměr je v blízkém okolí největší hrdlo – rovnoběžka, jejíž poloměr je v blízkém okolí nejmenší k – meridián (poledník), rotující křivka v jednotlivých fázích rotace hlavní meridián – meridián, rovnoběžný s průmětnou, která je rovnoběžná s osou o

8.3 Plochy nerotační 8.3.1 Přímkové plochy •

Rozvinutelné – lze je bez deformace rozvinout do roviny (válcová plocha, kuželová plocha). Pro všechny body povrchové přímky plochy jsou tečné roviny totožné.

•

Nerozvinutelné neboli zborcené – nelze je bez deformace rozvinout do roviny (plochy, které budou náplní následného učiva – hyperbolický paraboloid,

83

jednodílný hyperboloid, konoid, šroubová plocha). plocha). Tečné roviny se podél povrchové přímky plochy mění.

STUDIJNÍ MATERIÁLY ČERNÝ, J. a M. KOČANDRLOVÁ, 2005. Konstruktivní geometrie. geometrie. Praha: Česká technika – nakladatelství ČVUT, 161 s. ISBN 80-01 80 01-03296-5. KORCH, J. a K. MÉSZÁROSOVÁ, 1987. Deskriptivní geometrie pro 1. ročník středních průmyslových škol stavebních. stavebních. Praha: SNTL, 228 s. SETZER, O. a K. KŮLA, 1976. Deskriptivní geometrie pro 1. a 2. ročník středních průmyslových škol stavebních. stavebních. Praha: SNTL, 327 s. VACKA, M., M., 2014. Deskriptivní geometrie: Mongeova projekce, kosoúhlé promítání a pravoúhlá axonometrie: studijní skripta. skripta. 1. vyd. České Budějovice: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 70 s. ISBN 978-80-7468 7468-064-9.

OTÁZKY A ÚKOLY 1. Jaké rozlišujeme plochy? 2. Jak rozdělujeme analytické plochy? 3. Co znamená stupeň plochy? 4. Co je tečná rovina? 5. Pojmenujte rotační a nerotační plochy.

84

KLÍČ K ŘEŠENÍ OTÁZEK 1. viz. výklad 2. viz. výklad 3. viz. výklad 4. viz. výklad 5. viz. výklad

85

9.

Jednodílný

hyperboloid,

hyperbolický

paraboloid paraboloid,

šroubová plocha a konoid

KLÍČOVÉ POJMY jednodílný hyperboloid, hyperbolický paraboloid, šroubová plocha, konoid

CÍLE KAPITOLY Seznámit se s plochami přímkovými nerozvinutelnými.

ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU KAPITOLY KAPITOLY 8 hodin

VÝKLAD

9.1 Nerozvinutelné Nerozvinutelné přímkové plochy Nerozvinutelné přímkové plochy můžeme můžeme definovat pomocí 3 prostorových křivek (řídící křivky plochy), které kter každá tvořící přímka plochy tyto tři křivky protíná.

9.1.1 Nerozvinutelné přímkové plochy rotační Rotační jednodílný hyperboloid U této plochy máme několik způsobů vzniku: vzniku 1. Pomocí výše zmíněných 3 křivek. Pro jednoznačné určení zborceného hyperboloidu postačují 3 kružnice s různými poloměry, ležící ve vzájemně

86

různých rovnoběžných rovinách, jejichž středy leží na téže přímce, která je kolmá k těmto rovinám. Podmínkou je, aby tyto kružnice neležely na jedné kuželové ploše. 2. Vyplývá z názvu. Tato plocha vzniká rotací hyperboly kolem své vedlejší osy. 3. Další možností je rotací přímky kolem osy s ní mimoběžné.

Příklad č. 18: V Mongeově projekci sestrojte obrys jednodílného hyperboloidu vytvořeného rotací přímky p = PQ , P = [− 4;2;0], Q = [4;2;8] kolem osy o ⊥ π (o1 = [0;5;0]) . Plochu omezte rovinami π a π / - π / , je souměrná k π podle středu plochy S . Řešení: Zadání plochy je třetí z výše uvedených možností, tj. roací přímky kolem osy s ní mimoběžné. 1. Vzhledem k tomu, že rotující přímka je rovnoběžná s nárysnou, je její nejbližší bod k ose o (střed hrdla S) průsečíkem nárysu p a o. 2. Půdorys hrdla < je kružnice dotýkající se & . Nárysem hrdla < je úsečka rovnoběžná s x délky průměru hrdla. 3. = / je souměrná k = podle S.

4. Půdorysem průsečnice plochy s = a = / je kružnice procházející stopníkem P přímky p. Nárysem jsou úsečky rovnoběžné s x. 5. Necháme-li bodem S rotovat přímku rovnoběžnou s p, obdržíme tzv. asymptotický kužel plochy. Jeho obrys tvoří v náryse přímky (a) a ? / @, které jsou současně asymptotami nárysného obrysu plochy. 6. Pro nakreslení nárysu už byly sestrojeny pouze oskulační kružnice ve vrcholech hyperboly.

Obrázek č. 72

87

88

9.1.2 Nerozvinutelné přímkové plochy nerotační Hyperbolický paraboloid Řídícími křivkami, které definují tuto plochu, budou v tomto případě dvě vlastní mimoběžky a jedna nevlastní přímka. Touto nevlastní přímkou rozumíme rovinu, v níž tato přímka v pomyslném nekonečnu leží. Plochu tvoří přímky, které protínají dané mimoběžky a jsou rovnoběžné s danou rovinou. Nejjednodušší zadání bývá pomocí tzv. zborceného čtyřúhelníku. Na ploše existují dva systémy přímek – reguly, kdy každá přímka jednoho regulu je různoběžná se všemi přímkami druhého regulu.

Příklad č. 19: V izomerii (jx=jy=jz=0,8) je dán hyperbolický paraboloid zborceným čtyřúhelníkem ABCD , A = [3;9;5], B = [0;1;1], C = [5;−2;7], D = [8;6;2] . Sestrojte po třech přímkách 1. a 2. regulu. Řešení: 1. Sestrojen zborcený čtyřúhelník ABCD, jehož půdorysem je rovnoběžník. 2. K průsečíkům rovnoběžek s se stranami a jsou nalezeny jim odpovídající průměty na stranách BC a AD. Tímto způsobem získáváme tvořící přímky jednoho regulu. 3. Přímky druhého regulu se získávají obdobným způsobem. Obrázek č. 73

89

Konoid Konoidy jsou určené jednou vlastní přímkou, jednou nevlastní přímkou (rovinou) a vlastní křivkou. Podlé této křivky získávají jednotlivé konoidy svůj název. Body křivky spojujeme s body vlastní přímky přímkami rovnoběžnými s řídící rovinou.

Příklad č. 20: V izomerii (jx=jy=jz=0,8) zobrazte kruhový konoid a 4 jeho tvořící přímky s řídící půlkružnicí ležící v µ se středem S = O , r = 5 . Řídící rovinou je nárysna, řídící přímkou y / // y , M ∈ y / , M = [8;0;0] .

Řešení: 1. Sestrojen průmět půlkružnice ležící v µ nad půdorysnou. Tato konstrukce je obdobou konstrukce kružnice ležící v půdorysně – viz kapitola 7. tohoto textu. Její

90

hlavní osa je kolmá k ose x a má délku 2r, rovnoběžkami s osou y případně z je získán bod elipsy. 2. Tvořící přímky mají být rovnoběžné s nárysnou, tzn. dvě tvoří přímo rovnoběžky s osou x krajními body půlkružnice. 3. Další obdržíme sestrojením libovolné rovnoběžky s osou x, přičemž tvořící přímku sestrojíme jako spojnici průsečíku této přímky s y / a bodu na kružnici, který odpovídá průsečíku zmíněné rovnoběžky s osou x. Obrázek č. 74

Šroubová plocha Řídícími křivkami jsou jedna vlastní přímka, jedna nevlastní přímka a šroubovice, kde vlastní přímka je osou šroubovice a rovina nevlastní přímky je kolmá na tuto osu. Poté spojujeme body osy s body šroubovice a to rovnoběžně s rovinou nevlastní přímky.

91

Pod pojmem šroubovice si představujeme prostorovou křivku obdobnou konci závitu šroubu. Rozlišujeme pravotočivé a levotočivé šroubovice. Pravotočivá šroubovice je ta, u které při pohybu shora dolů zatáčíme vůči ose doprava – viz obrázek č. 75.

Obrázek č. 75

Příklad č. 21: V Mongeově projekci zobrazte průmět jednoho závitu pravotočivé šroubové plochy s osou o ⊥ π , o1 = [− 1;3;0] , výška závitu v = 12 , počáteční bod je A = [− 1;5;0]. Řešení: 1. Nejprve je sestrojována šroubovice. Jejím půdorysem je kružnice se středem v A , procházející bodem . Kružnice je rozdělena na 12 dílů, body 1 , 2 , … . 12 jako půdorysy dvanácti bodů šroubovice. Při pootočení šroubovice z bodu n do bodu n+1 vystoupá šroubovice o jednu dvanáctinu výšky závitu, tj. o jednu jednotku. Takto sestrojíme nárysy 1 , 2 , … . 12 a jejich spojením s bodem A získáme nárys šroubovice. 2. Půdorysem šroubové plochy pak jsou spojnice bodů , 1 , 2 , … . 12 s bodem A . 3. Nárysem šroubové plochy jsou rovnoběžky s osou x body , 1 , 2 , … . 12 .

Obrázek č. 76

92

93

STUDIJNÍ MATERIÁLY ČERNÝ, J. a M. KOČANDRLOVÁ, 2005. Konstruktivní geometrie. geometrie. Praha: Česká technika – nakladatelství ČVUT, 161 s. ISBN 80-01 80 01-03296-5. KORCH, J. a K. MÉSZÁROSOVÁ, 1987. Deskriptivní geometrie pro 1. ročník středních průmyslových škol stavebních. stavebních. Praha: SNTL, 228 228 s. SETZER, O. a K. KŮLA, 1976. Deskriptivní geometrie pro 1. a 2. ročník středních průmyslových škol stavebních. stavebních. Praha: SNTL, 327 s. VACKA, M., M., 2014. Deskriptivní geometrie: Mongeova projekce, kosoúhlé kosoúhlé promítání a pravoúhlá axonometrie: studijní skripta. skripta. 1. vyd. České Budějovice: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 70 s. ISBN 978-80-7468 7468-064-9.

OTÁZKY A ÚKOLY 1. Pomocí čeho definujeme nerozvinuté přímkové plochy? 2. Jak rozdělujeme nerozvinuté přímkové plochy? 3. Charakterizujte šroubovou plochu. 4. Co je to konoid? 5. Co znamená slovo regul?

KLÍČ K ŘEŠENÍ OTÁZEK 1. viz. výklad 2. viz. výklad 3. viz. výklad

94

4. viz. výklad 5. viz. výklad

95

10. Základy kótovaného promítání

KLÍČOVÉ POJMY kótované promítání, kóta, stopník přímky, stupňovaní přímky, interval přímky, vrstevnice, spádová přímka, spádové měřítko, měřítko, průsečnice, spád přímky, spád roviny, interval roviny

CÍLE KAPITOLY Seznámit se s kótovaným promítáním. promítáním Seznámit se se stupňováním stupňováním přímky. Znát pojmy vrstevnice, spádová přímka, spádové měřítko Seznámit s řešením výkopů a násypů v rovinném terénu.


VÝKLAD

Kótované promítání je pravoúhlé promítání na jednu průmětnu průmětnu.. Tuto průmětnu si představujeme jako vodorovnou – obdoba půdorysny z Mongeovy projekce. Pro jednoznačné určení bodu je k jeho průmětu přidávána vzdálenost od průmětny – kóta, přičemž body nad průmětnou mají kótu kladnou, pod průmětnou mají kótu zápornou.

Obrázek č. 77 7

96

Příklad č. 22: Zobrazte průměty bodů C5; 3; %4E, F C%5; 0; 6E.

C%3,5; 1; 4E, C2; %3,5; 0E, C%1; %2; 5E,

Řešení: Sestrojení průmětů stejné jako sestrojení půdorysů v Mongeově projekci, z-ová souřadnice je kótou bodu. Obrázek č. 78

97

10.1 Skutečná velikost úsečky Podobně jako v Mongeově projekci se provádí sklápěním.

Obrázek č. 79

10.2 Stupňování přímky, stopník přímky Stupňovat přímku znamená nalézt na této přímce body, jejichž kóty jsou celá čísla. Takto nalezené body neznačíme písmeny, ale připisujeme k nim jejich kótu.

98

V následujícím obrázku č. 80 je zadána přímka a body A a B a ze sklopení je zřejmé, že vzdálenosti |G| |2| |23| ⋯ IJ jsou stejné a nazýváme je interval přímky a.

Bod GJ K0L je zřejmě nám už známý stopník.

Obrázek č. 80

Rychlejším řešením stupňování je tedy obvykle rozdělení úsečky na požadovaný počet dílů. V následujícím obrázku č. 81 je tímto způsobem vystupňována přímka k=KL.

Obrázek č. 81

99

10.3 Stopa roviny, vrstevnice, spádová přímka, spádové měřítko •

Stopa roviny – průsečnice roviny s průmětnou (již dříve zavedený pojem).

•

Vrstevnice – přímka roviny, která je rovnoběžná s průmětnou (obdoba hlavní přímky roviny).

•

Spádová přímka – přímka roviny s největší odchylkou od průmětny. Je kolmá k vrstevnicím a i její průmět je kolmý k průmětům vrstevnic.

•

Spádové měřítko – vystupňovaná spádová přímka.

Příklad č. 23:

Je dána rovina 7 , C6; 3; 4E, C4; %10; 5E, C%7; %1; %1E. Sestrojte stopu a spádové měřítko roviny ρ.

Řešení: 1. Sestrojena přímka p roviny ρ a vystupňována. 2. Vrstevnice v s kótou 4 je určena bodem A a bodem s kótou 4 na přímce p. 3. Stopa &\ je rovnoběžná s vrstevnicí v a prochází bodem s kótou 0 na přímce p.

4. Spádová přímka ] \ je kolmá k stopě &\ . V kótovaném promítání se značí zdvojenou čarou, jedna slabší a jedna silnější. 5. Spádová přímka ] \ byla vystupňována pomocí bodů na přímce p. 6. Ke spádovému měřítku se přidává šipka, která značí směr stoupání roviny

Obrázek č. 82

100

10.4 Průsečnice různoběžných rovin V obrázku č. 83 je sestrojena průsečnice rovin ρ a ^, které jsou zadány spádovými

měřítky ] \ a ] _ . Obrázek č. 83

101

10.5 Spád přímky, spád roviny, interval roviny Spád přímky je definován jako tangens odchylky přímky od průmětny. Spád roviny je definován jako spád spádové přímky roviny. Interval roviny je definován jako interval spádové přímky roviny.

Z následujícího obrázku č. 84, který je pohledem rovnoběžným se stopou roviny ρ vyplývá vztah:

:à

případně I\ bc

def

Obrázek č. 84

102

10.6 Řešení násypů a výkopů v rovinném terénu Příklad č. 24: V daném vrstevnicovém plánu navrhněte násypy a zářezy vodorovné cesty v úrovni 204 dané osou o=AB, šířky 2 m, spád zářezů je tan α = 1 , spád násypů je tan β = 65 . Měřítko M=1:200. Obrázek č. 85

103

Řešení: šířka 2m → 10 mm spád zářezů tan α = 1 → Ih 1i → 5 iii k spád násypů je tan β = 65 → Ij 1,2 i → 6 ii vrstevnice 204 → nulová čára značená N.Č → čára, kde terén zůstane nezměněn Obrázek č. 86

104

105

Příklad č. 25: V daném vrstevnicovém plánu navrhněte násypy a zářezy dané osou o=AB, šířky 2 m, spád zářezů je tan α = 1 , spád násypů je tan β =

5 6

. Měřítko M=1:200.

Obrázek č. 87

Řešení: šířka 2m → 10 mm

106

spád zářezů tan α = 1 → Ih 1i → 5 iii k spád násypů je tan β = 65 → Ij 1,2 i → 6 ii nulová čára značená N.Č průsečnice terénu a komunikace

Obrázek č. 88

107

108

STUDIJNÍ MATERIÁLY ČERNÝ, J. a M. KOČANDRLOVÁ, 2005. Konstruktivní geometrie. geometrie. Praha: Česká technika – nakladatelství ČVUT, 161 s. ISBN 80-01 80 01-03296-5. KORCH, J. a K. MÉSZÁROSOVÁ, 1987. Deskriptivní geometrie pro 1. ročník středních průmyslových škol stavebních. stavebních. Praha: SNTL, 228 s. SETZER, O. a K. KŮLA, 1976. Deskriptivní geometrie pro 1. a 2. ročník středních průmyslových škol stavebních. stavebních. Praha: SNTL, 327 s. VACKA, M., M., 2014. Deskriptivní geometrie: Mongeova projekce, kosoúhlé promítání a pravoúhlá axonometrie: studijní skripta. skripta. 1. vyd. České Budějovice: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 70 s. ISBN 978-80-7468 7468-064-9.

OTÁZKY A ÚKOLY 1. Co je to kótované promítání? 2. Co znamená stupňovat přímku? 3. Co je to vrstevnice? 4. Jak je definován spád přímky, spád roviny a interval roviny?


109

11. Topografie

KLÍČOVÉ POJMY vrstevnice, vrstevnicový plán, ekvidistance

CÍLE KAPITOLY Seznámit se se zobrazením zemského povrchu. Seznámit se s řešením výkopů a násypů komunikací.


VÝKLAD

11.1 Vrstevnicový plán Zobrazení zemského povrchu pomocí vrstevnic. Zobrazení vrstevnic

Obrázek č. 89 8

110

e – ekvidistance – vzdálenost dvou sousedních vrstevních rovin – čísla dělitelná 1, 2, 5, 10, 25, tzn. 1 ,2, 5, 10, 20, 25, 50, 100, 200

11.1.1 Interkalární vrstevnice Vrstevnice s kótou mimo vrstevnicový plán. Obvykle je sestrojujeme půlením – viz obrázek č. 90, kde je sestrojena vrstevnice s kótou 25.

Obrázek č. 90

111

11.1.2 Rovinný řez topografickou plochou Obrázek č. 91

112

11.2 Řešení výkopů a násypů vodorovné komunikace Příklad č. 26: V daném vrstevnicovém plánu navrhněte vodorovnou komunikaci šířky 2 m v úrovni 205. Spád zářezů :à 1: 1 , spád násypů :`m 1: 1,5. Obrázek č. 92


113

114

11.3 Řešení výkopů a násypů stoupající komunikace Příklad č. 27: V daném vrstevnicovém plánu navrhněte stoupající komunikaci šířky 3 m. Spád zářezů :à 1: 1 , spád násypů :`m 2: 3. Obrázek č. 94


115

116

STUDIJNÍ MATERIÁLY ČERNÝ, J. a M. KOČANDRLOVÁ, 2005. Konstruktivní geometrie. geometrie. Praha: Česká technika – nakladatelství ČVUT, 161 s. ISBN 80-01 80 01-03296-5. KORCH, J. a K. MÉSZÁROSOVÁ, 1987. Deskriptivní geometrie pro 1. ročník středních průmyslových škol stavebních. stavebních. Praha: SNTL, 228 s. SETZER, O. a K. KŮLA, 1976. Deskriptivní geometrie pro 1. a 2. ročník středních průmyslových škol stavebních. stavebních. Praha: SNTL, 327 s. VACKA, M., M., 2014. Deskriptivní geometrie: Mongeova projekce, kosoúhlé promítání a pravoúhlá axonometrie: studijní skripta. skripta 1. vyd. d. České Budějovice: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 70 s. ISBN 978-80-7468 7468-064-9.

OTÁZKY A ÚKOLY 1. Co je to vrstevnicový plán? 2. Co je to interkalární vrstevnice?


117

12. Teoretické řešení střech

KLÍČOVÉ POJMY střecha valbová, střecha sedlová, střecha pultová, pultová, styčník, roh, kout, hřeben, nároží, úžlabí

CÍLE KAPITOLY Seznámit se s typy střech. Seznámit se s řešením střech se dvory.


VÝKLAD

Při teoretickém řešení střech se omezíme pouze na případy, kdy všechny střešní roviny mají stejný spád. To znamená, že průsečnice dvou střešních rovin půlí úhel stop (okapů) těchto rovin.

12.1 Typy střech

Obrázek č. 96 9 a) Střecha valbová

118

b) Střecha sedlová

c) Střecha pultová

U střechy sedlové a pultové značí zdvojená čára místo, kde nesmí být okap, tzv. zastavěná část.

119

12.2 Střechy s volnými okapy (bez zastavěných částí) Při řešení střech s volnými okapy na počátku očíslujeme okapy (stopy) a sestrojíme průsečnice sousedních rovin (osy úhlů), také je označíme čísly těchto rovin. Dvě/tři/… průsečnice se protínají v tzv. styčníku tří/čtyř/… rovin, ze kterého vychází průsečnice rovin uzavírající kruh označených průsečnic. V následujícím obrázku č. 97 jsou nakresleny okapy označené čísly 5,2,8, průsečnice 5,2 a 2,8. Tyto průsečnice se protínají ve styčníku S, ze kterého vychází průsečnice 5,8 (zakreslena čárkovanou čarou). Průsečnice 5,8 směřuje do průsečíku okapů 5 a 8.

Obrázek č. 97

V dalším obrázku č. 98 už nejsou zakresleny okapy rovin 3,5,1, ve styčníku S se protínají průsečnice 3,5, 5,7 a 7,1. Z něho pak vychází 3,1.

Obrázek č. 98

120

V obrázku č. 99 je vyřešená střecha nad daným půdorysem. Šipky naznačují spád vody – jsou kolmé k okapům.

Obrázek č. 99

121

Pojmy: •

Body A, B, D, E, F nazýváme roh – vnitřní úhel je n 180 .

•

Bod D se nazývá kout – vnitřní úhel je o 180 .

•

Průsečnice 1,3; 4,6 nazýváme hřeben

•

Průsečnice 1,2; 2,3; 4,5; 5,6; 6,1; 4,1 nazýváme nároží

•

Průsečnici 4,3 nazýváme úžlabí

V následujícím obrázku č. 100 budou půdorysy všech střech výhradně s pravými úhly. Důvodem je urychlení konstrukcí, neboť všechny osy půlených úhlů svírají s okapy 45 . Není to v žádném případě na úkor obecnosti.

Obrázek č. 100

122

Poznámky: •

Je výhodné, pokud některá střešní rovina je přerušená, značit ji stejným číslem. V obrázku č. 100 jsou to roviny 2 a 9.

•

Ve styčníku rovin 9;10;12 se „kruh“ uzavřel a do zbytku střechy nezasahuje.

•

Zásada pro řešení střech s volnými okapy zní: Řešení začínáme na nejkratším okapu, který nekončí v koutě. Velmi často se však stává, že v určité fázi řešení neumíme pokračovat. V tomto případě pokračujeme na dalším nejkratším okapu, který nekončí v koutě atd.

123

12.2.1 Řešení střech se dvory Za dvůr považujeme část, která je po celém svém obvodu obestavěná půdorysem budovy.

Poznámka: Při řešení střech se dvory musíme odhadnout aspoň jednu průsečnici mezi rovinami, které se svažují vně střechy (v následujícím obrázku č. 101 1-4) a do dvora (v následujícím obrázku č. 101 5-8). Byl sestrojen hřeben 1,5, dále lze pokračovat podle předchozí části.

Obrázek č. 101

124

STUDIJNÍ MATERIÁLY ČERNÝ, J. a M. KOČANDRLOVÁ, 2005. Konstruktivní geometrie. geometrie. Praha: Česká technika – nakladatelství ČVUT, 161 s. ISBN 80-01 80 01-03296-5. KORCH, J. a K. MÉSZÁROSOVÁ, 1987. Deskriptivní geometrie pro 1. ročník středních průmyslových škol stavebních. stavebních. Praha: SNTL, 228 228 s. SETZER, O. a K. KŮLA, 1976. Deskriptivní geometrie pro 1. a 2. ročník středních průmyslových škol stavebních. stavebních. Praha: SNTL, 327 s. VACKA, M., M., 2014. Deskriptivní geometrie: Mongeova projekce, kosoúhlé kosoúhlé promítání a pravoúhlá axonometrie: studijní skripta. skripta. 1. vyd. České Budějovice: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 70 s. ISBN 978-80-7468 7468-064-9.

OTÁZKY A ÚKOLY 1. Jaké rozeznáváme typy střech? 2. Co znamená styčník? 3. Definujte pojem dvůr. 4. Co je to úžlabí? 5. Jak zní zásada pro řešení střech s volnými okapy? okapy

KLÍČ K ŘEŠENÍ OTÁZEK 1. viz. výklad

125

2. viz. výklad 3. viz. výklad 4. viz. výklad 5. viz. výklad

126

13. Teoretické řešení střech se zastavěnými částmi

KLÍČOVÉ POJMY

CÍLE KAPITOLY Seznámit se se střechami se zastavěnými částmi.


VÝKLAD

Při řešení těchto střech je nutné koncovými body zastavěné části proložit pomocné roviny, jejichž stopy jsou kolmé k zastavěné části. Na počátku řešení je pak nutné sestrojit průsečnice pomocných rovin, které se vztahují k téže zastavěné části.

13.1 Střechy s rovnými zastavěnými částmi Obrázek č. 102 10

127

V tomto obrázku č. 102 jsou zakresleny 4 zastavěné části, jejichž řešení se liší. Vlastností zastavěné části na levé straně půdorysu je, že začíná a končí v rohu. Pomocné roviny jsou zde zastoupeny rovinami 1 a 3. Vlastností zastavěné části na pravé straně půdorysu je, že začíná v rohu. Jedna pomocná rovina je zde zastoupena rovinou 1 , druhá pomocná rovina je označena číslem 6 a její stopa je zakreslena čárkovanou čarou. Zastavěné části na horní a spodní straně se liší délkou, horní je delší než šířka celé budovy, dolní je kratší. Byly sestrojeny průsečnice pomocných rovin, vlevo 1;3, vpravo 1;6, nahoře 4;5 a dole 7;8. V další části textu se ukáže, že je vhodné zakreslovat tyto průsečnice od vnějšku střechy.

128

13.2 Střechy se zastavěnými rohy Obrázek č. 103

U těchto střech nastávají opět 4 možnosti. Označím-li délku kratší části m a delší části n, potom: a) i p b) 2p o i c) 2p i d) 2p n i

V následujícím obrázku č. 104 je řešen případ d). Průsečnice pomocných rovin 5;6 směřuje do průsečíku jejich stop. Je zde také patrná výhoda jejího zakreslení mimo řešenou střechu.

Obrázek č. 104

129

130

STUDIJNÍ MATERIÁLY ČERNÝ, J. a M. KOČANDRLOVÁ, 2005. Konstruktivní geometrie. geometrie. Praha: Česká technika – nakladatelství ČVUT, 161 s. ISBN 80-01 80 01-03296-5. KORCH, J. a K. MÉSZÁROSOVÁ, 1987. Deskriptivní geometrie pro 1. ročník středních průmyslových škol stavebních. stavebních. Praha: SNTL, 228 s.

131

SETZER, O. a K. KŮLA, 1976. Deskriptivní geometrie pro 1. a 2. ročník středních průmyslových škol stavebních. stavebních. Praha: SNTL, 327 s. VACKA, M., M., 2014. Deskriptivní geometrie: Mongeova projekce, kosoúhlé promítání a pravoúhlá axonometrie: studijní skripta. skripta. 1. vyd. České Budějovice: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 70 s. ISBN 978-80-7468 7468-064-9.

OTÁZKY A ÚKOLY 1. Jak rozlišujeme střechy se zastavěnými zastavěnými částmi? 2. Vyjmenujte možnosti (druhy) střech se zastavěnými rohy?


132

Použitá literatura ČERNÝ, J. a M. KOČANDRLOVÁ, 2005. Konstruktivní geometrie. Praha: Česká technika – nakladatelství ČVUT, 161 s. ISBN 80-01-03296-5. KORCH, J. a K. MÉSZÁROSOVÁ, 1987. Deskriptivní geometrie pro 1. ročník středních průmyslových škol stavebních. Praha: SNTL, 228 s. SETZER, O. a K. KŮLA, 1976. Deskriptivní geometrie pro 1. a 2. ročník středních průmyslových škol stavebních. Praha: SNTL, 327 s. VACKA, M., 2014. Deskriptivní geometrie: Mongeova projekce, kosoúhlé promítání a pravoúhlá axonometrie: studijní skripta. 1. vyd. České Budějovice: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 70 s. ISBN 978-80-7468-064-9.

133

Deskriptivní geometrie

Recommend Documents