Geometrie ve starém Egyptě

Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

Geometrie ve starém Egyptě Jindřich Bečvář Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzikální fakulta UK, Praha

38. Kalsem, 24. května 2016

[email protected]ff.cuni.cz [email protected] Jindřich Bečvář Geometrie ve starém Egyptě

Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzikální fakulta UK, Praha

Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

Osnova

1 Starý Egypt 2 Písmo 3 Matematické texty 4 Geometrie

Jindřich Bečvář Geometrie ve starém Egyptě


Starý Egypt


Písmo

Matematické texty

Geometrie


Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

Starý Egypt Předdynastická doba (asi 4500 až 3150 př. Kr.) Archaická doba (3150–2700) – I. a II. dynastie – sjednocení Egypta (vítězství Horního Egypta nad „Deltouÿ) – vznik státu, hlavní město Mennofer (Memfis) Stará říše (2700–2180) – III. až VI. dynastie – první rozmach Egypta – pohřebiště, chrámy, pyramidy (Sakkára, Gíza, Abúsír) – Džoser, Chufu, Rachef, Menkaure – hieroglyfy, hieratika Jindřich Bečvář Geometrie ve starém Egyptě


Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

První přechodná doba (2180–1994) – VII. až XI. dynastie – rozpad říše, hlavní města Hérakleopolis, Mennofer Střední říše (1994–1797) – XII. dynastie – sjednocení říše, hlavní město Veset (Théby) – druhý velký rozmach staroegyptského státu – „klasické období Egyptaÿ – velké administrativní reformy – zavlažovací kanály, budování chrámů – pronikání semitských kmenů do Egypta – rozvoj písemnictví – Káhúnské papyry, Dřevěné tabulky, Moskevský papyrus, Berlínský papyrus, předloha Rhindova papyru Jindřich Bečvář Geometrie ve starém Egyptě


Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

Druhá přechodná doba (1797–1543) – XIII. až XVII. dynastie – nadvláda Hyksósů – Rhindův papyrus, Kožený svitek



Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

Druhá přechodná doba (1797–1543) – XIII. až XVII. dynastie – nadvláda Hyksósů – Rhindův papyrus, Kožený svitek Nová říše (1543–1078) – XVIII. až XX. dynastie – nový rozvoj říše, největší územní rozmach – velká vojenská tažení za hranice Egypta – války s Lybijci a mořskými národy – hrobky v Údolí králů, chrámy v Karnaku, Luxoru – Thutmose III., Achnaton, Ramesse II. Třetí přechodná doba (1078–715) – XXI. až XXIV. dynastie – rozpad říše, sever ovládán Lybijci Jindřich Bečvář Geometrie ve starém Egyptě


Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

Pozdní doba (715–332) – XXV. až XXXI. dynastie – krátký rozvoj říse za XXVI. dynastie – okupace Asýrií a Perskou říší – démotické písmo – Thalés, Hérodotos, Démokritos v Egyptě



Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

Pozdní doba (715–332) – XXV. až XXXI. dynastie – krátký rozvoj říse za XXVI. dynastie – okupace Asýrií a Perskou říší – démotické písmo – Thalés, Hérodotos, Démokritos v Egyptě Ptolemaiovská doba (332–30 př. Kr.) – XXXII. až XXXIII. dynastie, helénské období – založení Alexandrie (331), smrt Alexandra Velikého (323) – smrt Kleopatry (30) – koptské písmo Římská doba (30 př. Kr. – 395) Arabská doba (od 640) – dobytí Alexandrie Araby (642) Jindřich Bečvář Geometrie ve starém Egyptě


Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

Písmo Vznik písma (konec 4. tisíciletí př. Kr.) – zhruba ve stejné době jako u Sumerů, nezávisle • hieroglyfy řecky: hieros – posvátný, glyfein – tesat, rýt psalo se tak 3500 let (až do 4. stol. n. l.) • hieratika řecky: hieratikos – kněžský zjednodušená verze, nesloužila k monumentálním nápisům, ale k psaní na papyrus a keramiku jen o málo mladší než hieroglyfy • démotika

řecky: démos – lid

Jindřich Bečvář

didaktiky matematiky, Matematicko-fyzikální fakulta UK, Praha velmi zjednodušenéKatedra písmo, vzniká kolem 7. stol. př. Kr.

Geometrie ve starém Egyptě

Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

Písaři mocná kasta s výjimečným postavením byli oslavováni v literatuře a výtvarném umění výchova písařů: čtení, psaní, počítání, výcvik paměti tělesné tresty



Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

Písaři mocná kasta s výjimečným postavením byli oslavováni v literatuře a výtvarném umění výchova písařů: čtení, psaní, počítání, výcvik paměti tělesné tresty Chlapec má uši na zádech. Poslouchá, jen když je bit.



Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

Písaři mocná kasta s výjimečným postavením byli oslavováni v literatuře a výtvarném umění výchova písařů: čtení, psaní, počítání, výcvik paměti tělesné tresty Chlapec má uši na zádech. Poslouchá, jen když je bit. Papyrus (cyperus papyros) znak Dolního Egypta (znakem Horního Egypta byl lotos) univerzální materiál: stavby, stavby lodí, palivo, . . . Řekové označovali papyros slovem býblos (. . . bíblos, biblion) slovo pápyros začal užívat až Theofrastos (asi 370 až 286) Jindřich Bečvář Geometrie ve starém Egyptě


Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

Písařská dílna Následují ukázky a) hieratického písma z doby XII. dynastie b) hieratického písma z doby XX. dynastie c) démotického písma ze 3. stol. př. Kr. a hieroglyfických přepisů (první dvě ukázky jsou dále též zvětšené) Jindřich Bečvář Geometrie ve starém Egyptě


Starý Egypt


Písmo

Matematické texty

Geometrie


Starý Egypt


Písmo

Matematické texty

Geometrie


Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

Matematické texty Rhindův (Londýnský) papyrus – Britské muzeum v Londýně – roku 1858 zakoupen v Luxoru (A. H. Rhind) – opsán písařem Ahmósem v době XV. dynastie ze staršího textu z doby XII. dynastie – uchováván ještě v době XVIII. dynastie – 319×33 cm + 206×33 cm = 525×33 cm (ze 14 listů) obsah: tabulka n2 , úlohy R1 až R87 – tematicky členěná sbírka úloh s návody a řešeními



Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

Úvodní slova Rhindova papyru: Začátek výpočtů pro proniknutí do věcí, pro poznání všeho toho, co je zastřené [. . .], všeho skrytého. Věru, tento svitek z 33. roku 4. měsíce doby záplav [z doby krále Horního] a Dolního Egypta Auserrea obdařeného životem, je kopií staré knihy sepsané v době [krále Horního a Dolního Egypta Nimaatrea]; písař Ahmose to byl, kdo opsal tento soupis. Následuje – První část Rhindova papyru s úvodem – Část Rhindova papyru — R49, R50, R51, R52, R53, R54



Starý Egypt


Písmo

Matematické texty

Geometrie


Starý Egypt


Písmo

Matematické texty

Geometrie


Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

Moskevský (Goleniščevův) papyrus – Puškinovo muzeum v Moskvě – sepsán asi v době XIII. dynastie – patrně opis textu z XII. dynastie – palimpsest (původní text je nečitelný) – 544×8 cm (z 11 listů) – obsah: úlohy M1 až M25 – tematicky neuspořádaná učební pomůcka? – test znalostí?



Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

Káhúnské papyry – Britské muzeum v Londýně – nalezeny r. 1889 – patrně palimpsesty – pocházejí z XII. dynastie – pět zlomků, největší 41×14 cm, další jsou menší – obsah: tabulka n2 , výpočty



Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

Káhúnské papyry – Britské muzeum v Londýně – nalezeny r. 1889 – patrně palimpsesty – pocházejí z XII. dynastie – pět zlomků, největší 41×14 cm, další jsou menší – obsah: tabulka n2 , výpočty Dřevěné tabulky – Egyptské muzeum v Káhiře – pocházejí asi z XII. dynastie – 46,5×26 cm, 47,5×25 cm – obsah: seznamy osob, výpočty (egyptské míry) 1 1 1 2, 4, 8, Jindřich Bečvář Geometrie ve starém Egyptě

...,

1 64 Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzikální fakulta UK, Praha

Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

Horovo oko Zlomky vzniklé postupným půlením jednotky.



Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

Berlínský papyrus – Egyptská sbírka Pruské akademie v Berlíně (Neues Museum) – dva zlomky, větší 14,5×14,2 cm – popsány z obou stran – obsah: řešené úlohy – viz další obrázek



Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

Berlínský papyrus – Egyptská sbírka Pruské akademie v Berlíně (Neues Museum) – dva zlomky, větší 14,5×14,2 cm – popsány z obou stran – obsah: řešené úlohy – viz další obrázek Kožený svitek – Britské muzeum v Londýně – nalezen údajně s Rhindovým papyrem – zakoupen roku 1864 – 41,1×26 cm – obsah: ve čtyřech sloupcích tabulka sčítání zlomků, tabulka opsána dvakrát a s chybami – viz další obrázek Jindřich Bečvář Geometrie ve starém Egyptě


Starý Egypt


Písmo

Matematické texty

Geometrie


Starý Egypt


Písmo

Matematické texty

Geometrie


Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

Geometrie Obsahy rovinných útvarů Objemy těles Sklony rovin Praktická geometrie (vyměřování, vytyčování staveb) R41 až R60 M4, M6, M7, M17, M18, M14, M10 K2, K5 Zdá se, že ještě neproběhla abstrakce. Jindřich Bečvář Geometrie ve starém Egyptě


Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

R49. Metoda výpočtu (obsahu) plochy. Řekne-li se ti: čtyřúhelníkové pole o (rozměrech) 10 k 2. Jaký je (obsah) jeho plochy? Postup: 10 chet

............................................................................................................... ... ... .. .. ... ... .... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..... ... .............................................................................................................

2 chet

Chyba: výpočet pracuje se stranami délek 10 a 1. 1

1 000

10

10 000

100

100 000

1 10 1 10

z 100 000, je to 10 000 z

1 10

z toho, je to 1 000

To je plocha.

Přepočty jednotek: 1 chet = 100 loktů Jindřich Bečvář Geometrie ve starém Egyptě


Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

„Obrácená úlohaÿ: M6. Metoda výpočtu pravoúhelníka. Řekne-li se ti: pravoúhelník o (obsahu) plochy 12, kde

11 24

z délky přísluší šířce.

Počítej s

11 2 4,

až najdeš 1, vyjde 1 13 .

Počítej s těmito 12, což je (obsah) plochy, 1 13 krát, vyjde 16. Vypočti odmocninu (z toho), vyjde 4 pro délku, 11 2 4,

je to 3, pro šířku.



Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

R51. Metoda výpočtu (obsahu) trojúhelníkové plochy. Řekne-li se ti: trojúhelník, jenž má 10 chet na výšku a jeho základna 4 chet. Jaký je (obsah) jeho plochy? Postup:

10 chet

. .................... ................ ... ................. ................. ... ................. . . . . . . . . . . . . . . . ... ............. . . . . . . . . . . . . . ... ................. ................. ... ................. .... ................. ................. .. ................. ................. .... ............


4 chet

Vypočti 12 ze 4, je to 2, pro udání jeho obdélníka. Počítej s 10 2-krát, to je (obsah) jeho plochy.


Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

„Obrácená úlohaÿ: M7. Metoda výpočtu trojúhelníka. Řekne-li se ti: trojúhelník o (obsahu) plochy 20, s poměrem stran 2 12 . Zdvojnásob (obsah) plochy, vyjde 40. Počítej (s tím) 2 12 -krát, vyjde 100. Vypočti (z toho) odmocninu, vyjde 10. Proveď 1 : 2 21 , to, co vyjde, je

1 1 3 15 .

Vypočti to z 10, vyjde 4. Je to 10 na délku, 4 na šířku. Poznámka: v příkladech R51, M4, M7 je stejný trojúhelník. Poznámka: jde opravdu o výšku? Jindřich Bečvář Geometrie ve starém Egyptě


Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

Příklad M17



Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

R52. Metoda výpočtu lichoběžníkového pole. Řekne-li se ti: lichoběžníkové pole, jež má 20 chet na výšku, jeho (dolní) základna je 6 a 4 chet má (horní) základna. Jaký je (obsah) jeho plochy? Sečti (dolní) a (horní) základnu, vyjde 10. Spočti 21 z 10, je to 5, pro udání jeho obdélníka. Počítej s 20 5-krát, vyjde 100, to je (obsah) jeho plochy. Postup: 20 .chet ........ ....................................................... ... ........................................................ . 4 chet 1 1000 1 500 2

\ 1 2000 2 4000 \ 4 8000

... . ... .... ... ... ... ... ... ... ... .. ........................................................ ........................................................ .... .......

6 chet

Celkem 10 000, převeď na plochu: 20sic

To je obsah jeho plochy. Jindřich Bečvář Geometrie ve starém Egyptě


Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

R50. Metoda výpočtu (obsahu) kruhové plochy o průměru 9 chet. Jaký je obsah její plochy? Odečti 91 z toho, je to 1, zbytek je 8. Počítej s 8 8-krát, vyjde 64. Toto je její obsah v ploše: 64 secat. 1

9

1 9

1

Odečíst od toho, zbytek 8. 1

........................... ....... ..... .... ..... ... ... .. ... . ... ..... .. ... .. ... .. ... . . ... .. . . ..... ..... ...... ................................

9

Obsah plochy 64 secat

8

4 32

2 16

\ 8 64

Vztah jednotek: 1 secat = 1 (chet)2 Jindřich Bečvář Geometrie ve starém Egyptě


Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

Příklad R48



Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

R48. Bez textu, jen výpočet a obrázek 1

8 secat

2 16 secat

\1

9 secat

2 18 secat

4 32 secat

4 36 secat

\ 8 64 secat

\ 8 72 secat

................................................................................. ...... ... ........ ..... .... ... ....... .... .. ... ... ... ... ..... ..... ...... ...... ... ... . ... .. ........ .... ...... ....... . . ... ... ... . . .... .. .... ......... ..... ..... ...... .. ...... ..................................................................................

9

celkem 81 secat

Porovnání obsahu čtverce a obsahu kruhu? Poznámka: v příkladech R41, R42, R43 se počítá objem válce, průměry podstavy jsou 9, 10, 9. Následují tři úvahy o egyptské metodě výpočtu obsahu kruhu. Jindřich Bečvář Geometrie ve starém Egyptě


Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

.............................................................................................................................................................. ............ ......... ... ... ... ....... .. ... .... ................... ... ........... .... .......... ........... ... ... .. ... .......... .............. . . . . .. . . ... . . . ......... .. . ........ .... .... .... ... .............. ....... .. ... ... ... ........... ...... .. ..... .. ... ... ... ...... ..................................................................................................................................................... ..... ... ... ...... ...... ... ... ...... .... ... ... .... ... ... ... ... . .. ... ... ... ... ... ... .... ........ ... ... ....... ... ... ...... ...... ............................................................................................................................................... ... .. .... .... .... ........... .... .. ... ... ... ........... ....... .. ........ ... ... ... ... ........... ........... . . . .......... . . .... . . ... . .......... .... .... ... .... ... ... .......... .......... .......... .... ... ... .................... ... .......... .. . . . . .. . ... . ... . .... ...............................................................................................................................................................................

d 3 d 3 d 3

7 9

Geometrie

d2 . . .

8 9

d

2

S = (d − 91 d)2 63 81

64 2 d 2 . . . 81 d

d . 1 4 π = 0, 7854 63 7 . 81 = 9 = 0, 7777 64 . 81 = 0, 7901

S = πr 2 = 14 πd 2

Ze všech zlomků Jindřich Bečvář Geometrie ve starém Egyptě

1 n

je

1 9

nejlepší. Egyptské π =

+0, 0077 −0, 0047 256 81

. = 3, 160 493 ....


Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

Obsah kruhu „nahradímeÿ obsahem „vhodnéhoÿ čtverce: a 4 ............................... . .............. ..................................................................................................................................................... . . .... .. .... .... .... ..... .......... ..... ... . ..... ... ......... .. ... ... ... ..... .... ... ..... ... ... ... ... ... .. .. ... . . ... .... ... ... . ...... .. ... . ...... ... ... .... . . .......................................................................................................................................... ... ... ... .. ...... ..... .... .... ... ... ... d .... ... .... .. ... ... ... ... .. ... ... ... ... .... 2 .... ... .... .... ... ... ...... ... .. . ... ... ... .................................................................................................................................... .... . . . ... .. . . . ... ... ... ... .. .. .. . . . ... ... ... ... .... .... .... ... ... ... .. . . . . . . . ... ... ..... . . . . . . . . . . .... .... ............................................................................................................................................ . . . ... .... ... ... ... .. .... . ... ..... ... ... ... . . ... ....... ... ... ... ..... .... . . . ......... ..... ... . . . ... ...... .. ... ... ... ....... .. .. . ................................................................................................................................................. ............. . . . . . . . . . . . . . .....................

2 a 2

+

2 a 4

=

2 d 2

d 2 = 3, 2 r 2

a2 =

4 5

a=

√2 5

d=

√8 80

d

a

8 . 8 a= √ d= d 9 81 Jindřich Bečvář Geometrie ve starém Egyptě


Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................... ................ ... ... ... ... ... ................ ................................................................... .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ....................................................................... ... ... ... ... ... ... ... ......................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ........................................ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ............................................ ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ............................... ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .............................. .................................................................................................................................................................................................................................................................................. ... ......... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .......... ... .. .. ....................................................................................................................................................................................................................................................................... .. .. .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... ... .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . ............................................................................................................................................................................................................................................................................ .... .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... ..... ..................................................................................................................................................................................................................................................................... .. .. ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ................................................................................................................................................................................................................................................... . ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... .................................................................................................................................................................................................................................................... ...... ...... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... ...... .......................................................................................................................................................................................................................................................................... ... .... ........ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ....... ... ... ..................................................................................................................................................................................................................................................... ... ......... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ......... ... ................................................................................................................................................................................................................................................ ................................................ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ................................................. ....................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .............................................. .......................................................................................................................................................................................................................................................................................... ........................................................................... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ......................................................................... .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ... . . . . . . . . . . .. . . .. . .. ........................................................................................................................................................................... .... .... .... .... .... .... .... ......................................................................................................................................................................... . . . . .. . . . . . . . ........................................................................................................................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................ ........................ ... ... ... ......................... ........................................................................................................................................................................ .................................................................................................................................................................................................................................

Geometrie

18 × 18 = 324

Velký čtverec: 182 = 324 Odebereme 4 · 32 + 8 · 22 = 68, zůstane 324 − 68 = 256 = 162 . Ze čtverce 162 odebráno 4 · 8 = 32, přidáno 4 · 8 = 32.



Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

R44. Metoda počítání čtverhranné sýpky, jejíž délka je 10, šířka 10 a výška 10. Co to je, co do ní vejde v obilí? Počítej s 10 10-krát, vyjde 100. Počítej se 100 10-krát, vyjde 1 000. Připočti 12 z 1000, je to 500, vyjde 1500. 1 z 1500, vyjde 75. To je její objem v pytlích. Vypočti 20 To je to, co do ní vejde ve stovkách čtyřnásobných měřic. 75 stovek čtyřnásobných měřic obilí. Metoda řešení tohoto: 1

10

10

100

1

100

1 1000 1 2

500

1

1500

1 10 1 20

150 75

10 1000 Jindřich Bečvář Geometrie ve starém Egyptě


Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

1

75

1 10

10

750

1 10

\ 20

1500

2 3

Geometrie

150 z z

15

1 10 1 10

z

1 10

10

R45. Objem je 75, vypočte se výška 10. R46. Objem je 25, vypočte se výška 3 31 . Jedná se o stejnou obilnici (sýpku).



Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

R41. Metoda výpočtu kruhové sýpky (o rozměrech) 9, 10. Odečti 91 z 9. Je to 1, zbytek 8. Počítej s 8 8-krát, vyjde 64. Počítej se 64 10-krát, vyjde 640. Přidej k tomu 21 z toho, vyjde 960. To je jeho objem v pytlích. 1 z 960. Je to 48. Vypočti 20 To je to, co do ní vejde ve stovkách čtyřnásobných měřic: 48 stovek čtyřnásobných měřic obilí. Tvar řešení tohoto: 1

8

2 16 4 32

\8


celkem 960

64

1 10

96

\ 10 640

1 20

48

1

\ Jindřich Bečvář

64

1 2

320


Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

R42. Kruhová sýpka (o rozměrech) 10, 10. Odečti –

1 9

1 z 10, je to 1 19 , zbytek je 8 23 16 18 . . . . atd.

numericky poměrně náročné

Následuje příklad M14 – hieroglyfický přepis – kopie originálu



Starý Egypt


Písmo

Matematické texty

Geometrie


Starý Egypt


Písmo

Matematické texty

Geometrie


Starý Egypt


Písmo

Matematické texty

Geometrie


Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

M14. Metoda výpočtu komolé pyramidy. Řekne-li se ti: komolá pyramida o výšce 6, dolní základně 4 a horní základně 2. Vypočti tyto 4 v mocnině, vyjde 16. Zdvojnásob 4, vyjde 8. Vypočti tyto 2 v mocnině, vyjde 4. Sečti těch 16 s těmi 8 a těmi 4, vyjde 28. Vypočti

1 3

z 6, vyjde 2.

Počítej s 28 2-krát, vyjde 56. Hle, je to 56. Nalezl jsi správně.

[zlomky výpočtu] Jindřich Bečvář Geometrie ve starém Egyptě

V =

h · a2 + ab + b 2 3


Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

První možné vysvětlení: uvažujme rozdíl dvou krychlí a3 − b 3 a−b

b

........................................................................................................................................ ...... ... .. ... .. ..... . ..... .. ..... .. ..... ..... ... ..... .... ..... .... . ..... ..... . .. ... . . ..... ... . ......... . . . . . . . .... . . ... .. ........ ..... ..... ... ....... ..... ..... . . . . . ... . . . . . ....................................... ... . . . ... . . . . . . . . . . ...... ... ....... . . . . ... . . . . . . . . . . . ... ... ... ... .. ... .... . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... .. .. ..... ... .. ... .... .... . .. ... ... ... .. ... . ... ... ... ... ... ... .... .. . .... ................................ ... .... ... . . . . . . . ... . ... . . . . . . ... ............. ... ... ......... .. ... ... .. ....................................... ... . ... . . ... .. ... ... ... ... . ... . . ... ... ... . .. .. ... ... . . .. . .. ... . ... ..... ..... ... . . ... . .. . .. ... ... ... . ... .. . ... . ... . . . ... . . . . . .. .... ..... ... ..... .... ... ... . ... ... ... ... ... ... .. .. . .. ... . ... . . . ... ......... ....... ....... ....... .......... ......... .......... .......... .......... ....... ........... ... . . .. .. ...... .. . . . . . . . . . . ... . .. .. ....... .. .... . . . . . . ... . . . . ..... ... ..... ..... ... .. .. ... ..... .... ..... .. ... ... ... ..... ..... ..... .... ........ ... ... ... ..... .... . . . . . . . . . . . . . . ... . . .. .. . . . .. .... .................................... ... .... ... .... ... ... ... ....... . .. .. .. . ... .............................................................................................................................................

a2 (a − b), 3


2

ab(a − b)

a − b = (a − b)(a + ab + b 2 )

Jindřich Bečvář

3

b 2 (a − b),

a


Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

..................................................................................................................................... ....... ... .. ..... .. ..... .. ..... ..... .... ..... .... . ... ..... . . . . ..... ... . . ... . . . . . . . . ..... ..... .... .... ..... ..... . . . . ... . . ... ... . . . . ... . . . . . ... ... ... . . ... . . . . . . ... ... ... . . . . . . . . ..................................................................................................................................... ... .. .. . ..... ..... ... ... . ... ... .. ....................... . ... . . . ... ... .. .. .. ... . . . . . .... ... . . . .... .... ... ... ............................. ... . . ... .. . . . . ... . ... ... ... .. .. ... . . . ... . . . .. ... . . . . ... . . ... ... ....................... ... .. . .. . ... . . . ... ..... ... ..... . ..... ..... ... .... ..... ... . . ... ................... ..... ... .... ... .... .... ... ... ... ... ... . . . ... ......... ....... ....... ....... ....... ....... .......... ....... ....... ....... ............ . . . ... . . . ... . . . . ... . . . . ... . . ..... . ..... ... . ... .. ... ... ..... ..... ..... ... ... .. ..... ... ... ..... ..... ... ......... ... .... ... ...... ... ... . .... .. .. ..........................................................................................................................................



Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

...................................................................................................................................... . .... .. ...... . .. ...... ... .... .... ...... ... .... ...... .... . . ... ...... .... . ... ...... .... ... ... ...................... .. . ..... ... . .. . ... . ... ... ... ... ... . .. . .... ... ... ... ... ... ... ....................... ... ... . ... . ... ... .... ... . ... . . . . . ... . ... ..... ... . .... ... . ... ... . . . ... . ... . . . .... ... . ... .... ... ... . . . . . ... . ... .... . . ... . . ... .... ... . ... . ... ... ..... ....... ........ ................................................................................................................................



Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

......................................................................................................................................... ...... .... .. . ..... ... ..... ..... ..... .... .... . . . .... .... ..... . .. ... ... ... ..... ... ..... ... ... ..... ... . ... ... . . . ... ... . ... ... . . . ... ... ... ... . . . . . ... ... . . . ... ..... ..... . ... . . ... ... ... . . ... ... . . ... ... . . ... ... . . . .... .... . ...................................... ... ... ... ... .... .... ... ... ... . . ... ... ... .. . ... ... ... . . . ..... ..... ........................................ . . . . . ... ... . . . . ....... ... . . . ... ... . . . . . . ....... ... . . . . . . . . .... .... ....... .. ....... ... ... ........ ....... . ... ...... . ....... ....... ..... ... ...... .......................................................................................................................................

Šest shodných komolých jehlanů. Objem jednoho je 1 1 a−b 2 h (a−b)(a2 +ab +b 2 ) = · ·(a +ab +b 2 ) = ·(a2 +ab +b 2 ) 6 3 2 3



Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

Druhé možné vysvětlení: komolý jehlan rozdělíme na devět těles: – hranol b2 h = 13 h · 3b 2

– čtyři poloviny hranolu 4 ·

– čtyři jehlany 4 dohromady

1 3h ·

1 a−b 1 2 · 2 · b · h = 3 h · 3(a − b)b a−b 1 2 · 31 · a−b 2 · 2 · h = 3 h · (a − b) 3b2 + 3(a − b)b + (a − b)2 = 13 h · (a2 + ab + b 2 )

........................................................................................................................................................................................ ............ ... . ..... ....... ........... .. .. ..... .. ........ .......... ................. ... ..... . ..... ... .............. ................. . . . . . ......... ..... .............. ... . . . . . . . . . ... .... ......... . ......... . . . . . ... ........... ......... ... ...... ... ........................................................................................................................................................................................ ......... ... ....... ... ......... ................... .. ... ..... ..................... ... ..... ............................... . . . . . . . . . . . . ............................................................................................................................................................................................................................................... . . . . . ..... . . . ... . ... .... ........ .. ................. . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . ..... . ..... . . .. . .. ... ......... ................... . .. . . . . . . . . . . . . . . ..... . . . . ..... .. . . ... ......... ... ..... .. .. .. .. ..... ................... ... ...... ... ... ......... ..... .. .... .. .... ..... . ............................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... .. .. ..... ..... ..... .... . .. . .. ..... ........ .................................................................................................................................................................................................................................. . . .. .. . ................ ..... ... ... ... .. .. ..... ..... ............... .. .. ..... ... .... ... .. .. ..... ...................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... ... . . . . ... ................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ..... .... . . .......... .. .. .. .. .......................................................................................................................................................................................................................... . . . .......... ... ... ... .. .. ..... ........... ... ..... ............ .. ...... .. ...... . . . . . . . . . . . . . . . . ... . ... . ... .... ......... . . . . . . . . . . . . . . . ... ...... ..... ..... ..... .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

h

a

a−b 2 Jindřich Bečvář Geometrie ve starém Egyptě

b

a−b 2 Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzikální fakulta UK, Praha

Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

Jak sečíst (bez symboliky) objem uvažovaných těles? 1 b2 h + b(a − b)h + (a − b)2 h 3 b

b2 h

a−b

................................................................................................................................................................................... ...... .... . .... ..... .... ..... ...... ...... .. ..... ..... ... . ...... .. ...... ....................................................................................................................................................................................... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . .. . . . ... .... .... .... .... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ........................................................................................................................ . . . . . . ... ... . . .... .... ... . . . . . . ... ... . . ... ... ... . . . . . . . . . . . ... . . . . .... .... .... . . . . . . . . . . . . . . ... ... . .... .... . . . . . . . . . . . . . . . ... .. ... ... ...... .... ........ ... ...... ...... ....................... ...... ...... .. ...... ...... ..... ...... . . . ............................................................................................................................... . ..... ... ... ..... ... ... ...... ..... ... ... ...... ... ... .......... ... . .... ...............................................................................................................................

b ......................

h b(a − b)h

a−b

1 3 (a Jindřich Bečvář Geometrie ve starém Egyptě

− b)2 h Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzikální fakulta UK, Praha

Starý Egypt

Písmo

Rozdělíme na vrstvy vysoké

b

Geometrie

1 3h

a−b

...................................................................................................................................................................................... ....... .... . .... .. ..... .... ..... .. .. ...... ...... . ..... ..... ... ... .. . ..... ..... .. ... ......................................................................................................................................................................................... ... .. ... ... ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . .. . .. ... .. . ..... . . . . . . . . . . . . ... . . . . . .. . .... ....... ... .... ....... ... .... ....... ... .. ... .. ... ..... .. ..... ... ..... ... ....................................................................................................................................... .. ... ... ... ... ... . . . . . . . ... ..................................................... ............................................................. .......................... . . . ... . . ... .. ... ... ... ... . . . . . . . . . . . ... . . . .. .. . ... .... ....... ... ........ .... ....... . .... ................................................................................................................................................................................ ... .. ... ... .... .......... ......... . . . . . . . .. . . ... . . .................................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . ... . . ... ....... . ... .... ... . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . .. .. .. ... ...... ...... .... .......... ... ....... .......... ..... .. ..... .... ...... ........ .. ..... ..... ........................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. ... .... .................................................................................................................................... ...... ...... ... ... ... .... ...... ... ... .... ..... . . . . . . . ... . . . ... ..... ... ....... .... ..... ... ..... ... .......... . .. ...........................................................................................................................

b ...................... .......

b2 h

Matematické texty

h b(a − b)h

a−b

1 3 (a Jindřich Bečvář Geometrie ve starém Egyptě

− b)2 h Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzikální fakulta UK, Praha

Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

Jeden z kvádrů přesuneme na jiné místo. b

a−b

.................................................................... ...... .. ... .. ...... ... ...... ... ..... . . . ...... . ... ... . .... ...... . . . . ... . . . . . ........................................................... ... .. .... .. . . . . ... ............................................................................................................................................................................ . . . ... . ... .. ... .. . . . . ...... .. . . . . . ... . . . . .. ...... .... .. .. .... .......... ... ........ ..... . ... . . . ...... .... . ................................................................................................................................................................................ ... . .. .... .... ... .. ...................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . ... .... ... ... ... .. . . . . . . . . . . . . ... . . .. .. . .... ....... .. ... ........ ... .... ....... .... .. ... ...... ... ...... ... ...... ... ... . .. .. ... . ... ............................................................................................................................................................................................................. . . . . ... . .. ... .. ... ... . . .... .. . . . . . . . . . . . . . . . ................. ........................................................................................... ......... ......................... ... . . . . . . . . . . . . . . . ... ....... . .. .. ... .... .... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .... .. ..... ...... . ........ ... . .... . . . . . . . . . . . . . . .. .... .. .... ..... .... .. ..... ..... ...... .................................................................................................................................................... . ...... . . .... ..... .... .... ...... ...... ...... ...... ..... ..................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . .... .... .... .... ..... .... ..... .... .... ...... ... ... ... .... .... ...... .... .... ... ... ... ..... .... .... ... .......... ... ...... ... ...... . ..... . ..... . ..... .........................................................................................................................................................................................

b

h

a−b



Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

Bez neviditelných hran b

a−b

............................................................................................................................................................................................ ...... ... .. ... ...... ...... ... ...... ..... . ..... . . ...... . ... . ...... . .... ...... . . . . . . . . . ... . . . ............................................................................................................................................................................ ... .. .... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... .... ...... . . . . . . ... . . ... .... .... ... . . . . . . . ... . . . ... ... .... . . . . . . . . . . . . . ... . . . . ... .... .... . . . . . . . . . . . . ... . . . . ........ .... .... . . . . . . . . ... . . .. .... .. ...... ......................... ...... ...... .... ...... ...... ...... ...... ...... ............................................................................................................................. ..... . . . . . . .... .... .... ..... ...... ... ... ...... ... ... ..... ... .......... ... . ..... ... .........................................................................................................................

b

h

a−b



Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

Jeden z kvádrů přesuneme na jiné místo. b

a−b

.................................................................... ...... ... .. ...... ...... ... ..... . . ..... . . ... . ...... .... . . . . . . . ... . . .......................................................... ... .. .... . ... ... ........................................................................................................................... . . . . ... ... . ... . . . ...... ... . ... ... . .. ...... ... ... .......... ... ..... .... ..................................................................................................................................... ... ... ... .. ... ... ... ... .... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ...... .... . . . . . . . . . . . . ... .... .... ... .... . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... .... .... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ .... .... .... . . . . . . . . . . . . . . .... .... .... .. ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ........................................................................................................................................................................................... ..... . . . . . . .... .... ..... .... ..... ...... ... ... ... ...... ... ... ... ..... ... .......... ... ... . ..... ... . .....................................................................................................................................................................................

b

h

a−b



Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

Třetí možné vysvětlení: uvažujeme tři komolé jehlany, které rozložíme na části a přeskládáme. .......................................................................................... .... .... .... .... ... ... ... ... .. .. .. .. ..................................................................................................... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ............................................................................................... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. .. .. .....................................................................................................

............................................................................................................ .... .... .... .... .... .................................................................. .... .... .... .... .... ... ... ... ... ... ................................... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. ................................. .. .. .. .. .. .............................................................................................................. .................... ................................... .................. ................... .................... .................... .................. .................. .................... ...................... ..................... .................... .................... .................. .................................. .................. . ...................................................................................................... .. .. .. .. .. ................................. .. .. .. .. .. ... ... ... ... ... .................................... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ................................... ... ... ... ... ... . . . . . ............................... . . . . . ................................................................................................................

............................................................................................................................................ ... ... ... ... ... ......... ....... ....... ..... .... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ......... ....... ....... ..... ... ... ... ... ... ... .. .. .. .. ......... ....... ....... ..... .. .. .. .. .... ................................................................................................ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ................................................................................................. ... ... ... ... ... ......... ....... ....... ..... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .......... ....... ....... ...... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ......... ....... ....... ..... ... ... ... ... ... ..................................................................................................................................................

a2 h

b2 h

abh

3V = a2 h + b 2 h + abh Praktické prověření: objemy sýpek, nádrží, výkopů, stavba pyramid (vrstvy) Jindřich Bečvář Geometrie ve starém Egyptě


Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

Sklony rovin – příklady o pyramidách seked – vodorovná vzdálenost, na které se výška zvětší o jednotku délky ........ ..... .. ..... ..... .. ..... ..... .... ......... . . . . ..... ..... ..... .... ..... ..... ... ..... ..... ..... ..... ... .... . .... . . . . . . ... . . . . ................. . . . ... . . . . ...... ....... . . . ... . ..... . . . ...... . . ..... . ... . . . . ...... . . ..... . .... . . ..... . ...... . . . ..... ... . . . . . . . . . . ..... .... . ... . . . . ..... . . . . .... . ... ..... . . . . . . . . ..... .... . ... . . . . . . . .... . .... . ... . . . . . . . .... ..... . .... . .... . . . ... ......... . . . . .... . ..... .. ... . . . . . . . . . . ..... .. ..... ..... ........ .... .. ..... . ...................................................................................................................................................................................................................................

v

1

α

z 2

seked

z, v – v loktech seked s = seked s =

z 2v 7z 2v


– v loktech

(s = cotg α)

– v dlaních Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzikální fakulta UK, Praha

Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

R56. z = 360,

v = 250

1 ) (s = 5 25

R57. z = 140,

s = 5 14

(v = 93 13 )

R58. z = 140,

v = 93 31

(s = 5 14 , tj. 5 dlaní a jeden prst)

R59. z = 12,

v =8

(s = 5 41 )

R59b. z = 12,

s = 5 41

(v = 8)

R60. z = 15,

v = 30

(s = 4)

s=

2v z

Naopak??!!

Pozn. R57 a R58 – jeden objekt R59 a R59b – jeden objekt Jindřich Bečvář Geometrie ve starém Egyptě


Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

Záhadný příklad M10



Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

Záhadný příklad M10. Metoda výpočtu koše. Řekne-li se ti: koš o 4 12 . . . ku 4 21 . . . Nu, udej mi jeho plochu. Vypočti

1 9

z 9, neboť koš, to je

1 2

. . . Vyjde 1.

Vypočti zbytek, je to 8. Vypočti

1 9

z 8, vyjde

21 1 3 6 18 .

Vypočti zbytek z těch 8 za těmi

21 1 3 6 18 ,

vyjde 7 19 .

Počítej se 7 91 4 12 -krát, vyjde 32. Hle, toto je jeho plocha. Nalezl jsi správně.

9− Jindřich Bečvář Geometrie ve starém Egyptě

1 1 1 8 8 1 ·4 = 9· · · 4 = 32 ·9 · 1− 9 9 2 9 9 2 Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzikální fakulta UK, Praha

Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

Pokusy o objasnění příkladu M10, tj. výpočtu 9−

1 1 8 8 1 1 ·4 = 9· · · 4 = 32 ·9 · 1− 9 9 2 9 9 2

1. Obsah polokruhu (d = 9) 8 2 1 8 8 1 d · =9· · ·4 9 2 9 9 2 2 – proč tak složitě? 9 − 91 · 9 · 21 S=

2. Povrch polokoule (d = 4 21 ) S=

8 2 1 4πr 2 πd 2 π ·4 = = 2d · · d = 9 · 2 2 4 9 2

– příliš odvážné? – přibližný výpočet povrchu kupole obilnice (polokoule) Jindřich Bečvář Geometrie ve starém Egyptě


Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

3. Povrch poloviny pláště válce (d = 4 12 , v = 4 12 ) P=

o 2

·v

kruh:

o 2

·

d 2

P = 2d ·

= S, tedy

o 2

=2·

S d

8 8 8 8 1 · ·v =9· · ·4 9 9 9 9 2

– pravděpodobné vysvětlení? 4. Povrch čtvrtiny pláště válce (d = 9, v = 4 12 ) P=

o 4

·v

kruh:

o 4

=

S d

8 8 8 8 1 · ·v =9· · ·4 9 9 9 9 2 – malá modifikace předchozího P=d·



Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

Vyměřování, vytyčování půdorysů staveb atd. – extrémně přesná orientace pyramid (severo-jižní směr) – patrně podle hvězd odchylky: často jen několik minut – extrémně přesná příprava vodorovné roviny – základny – extrémně přesné rozměry Chufuova pyramida (největší): hrana 230,4 m, diference délek hran 6 cm výšková odchylka vrcholů základny necelé 3 cm odchylky hran od směrů S-J a V-Z nejvýše 6′



Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

Vytyčování půdorysu – náboženský ceremoniál, slavnostní obřad „zatloukání kolíkůÿ, „napínání provazuÿ (např. v Karnaku, Dendeře, Abú Ghúrábu, Abúsíru, Edfu) – skutečné exaktní vyměřování Z Horova chrámu v Edfu: Uchopil jsem kolíky a rukojeť palice, držíme spolu s bohyní Safchet lano. Můj zrak sleduje chod hvězd; až můj pohled dojde k sedmihvězdí a naplní se mně stanovený oddíl čísla hodin, postavím kolíky do rohů božího domu. Obřad zatloukání kolíků (následující dvě vyobrazení) – chrám v Karnaku – chrám bohyně Hathory v Dendeře (1, 5 × 3 metry) Jindřich Bečvář Geometrie ve starém Egyptě


Starý Egypt


Písmo

Matematické texty

Geometrie


Starý Egypt


Písmo

Matematické texty

Geometrie


Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

Mytologie Bohyně nebeské klenby Nút a bůh země Geb – sourozenci a současně manželé – od sebe je „oddalujeÿ jejich otec Šov Dochovalo se několik znázornění této situace.

Geometrie polohy ve starém Egyptě



Starý Egypt


Písmo

Matematické texty

Geometrie


Starý Egypt

Písmo

Matematické texty

Geometrie

DĚKUJI ZA POZORNOST A ZA KVĚTINOVÉ DARY !



Geometrie ve starém Egyptě

Recommend Documents