Geometrie v rovině 1

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ PEDAGOGICKÁ FAKULTA

Geometrie v rovině 1 Distanční text pro učitelství 1. stupně základní školy

Renáta Vávrová

OSTRAVA 2006

Obsah Úvod 1 Přímka a její části Klíčová slova . . . Úsečka . . . . . . . Polopřímka . . . . Řešené příklady . . Neřešené příklady . Výsledky . . . . . .

5 . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

7 7 7 10 14 22 25

2 Polorovina, konvexní množina bodů, úhel Klíčová slova . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polorovina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konvexní množina bodů . . . . . . . . . . . . Úhel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Řešené příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . Neřešené příklady . . . . . . . . . . . . . . . . Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

27 27 27 30 32 36 39 41

3 Grafické porovnávání, sčítání, odčítání a násobení úseček a úhlů Klíčová slova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grafické porovnávání, sčítání, odčítání a násobení úseček . . . . . . . Grafické porovnávání, sčítání, odčítání a násobení úhlů . . . . . . . . Řešené příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Neřešené příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45 45 45 49 53 55 57

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

4 Vzájemná poloha přímek v rovině 59 Klíčová slova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5 Závěr

61

Literatura

63

3

Geometrie v rovině 1

5

Úvod Tento distanční text je prioritně určený pro studium matematiky se zaměřením na primární vzdělávání. Pokrývá první část problematiky geometrie v rovině, tedy planimetrie - zahrnuje teorii a její aplikace v rámci tematických celků přímka a její části (úsečka, polopřímka), polorovina, konvexní množina bodů a úhel, a to včetně stručného přehledu polohových vlastností daných geometrických útvarů. Specifickou kapitolou v rámci této struktury je kapitola zabývající se porovnáváním, sčítáním, odčítáním a násobením úseček a úhlů. Na tento distanční text volně navazuje distanční text Geometrie v rovině 2, který s ním tvoří ucelený přehled geometrie v rovině. Zabývá se problematikou související s pojmy trojúhelník, lomená čára, n-úhelník (mnohoúhelník), kružnice a kruh. Spolu s didaktikou geometrie příslušného stupně pokrývají tyto dva texty potřebné znalosti a dovednosti, které v profilují budoucího učitele geometrie pro primární vzdělávání. V celém textu jsem se snažila vyhýbat problematice míry geometrických útvarů (délka úsečky, obsah obrazce, objem tělesa), pokud to nebylo nutné nebo se mi to nejevilo efektivní pro další studium. Nebudete tedy pracovat s čísly (velikostmi geometrických útvarů), ale téměř výhradně s množinami bodů. Všechny kapitoly textu mají jednotnou strukturu: stručný průvodce kapitolou vás uvede do její teoretické problematiky a seznámí s jejím obsahem, klíčová slova vám budou nápomocna při vytváření logické osnovy teorie v kapitole obsažené. Poté následují jednotlivé podkapitoly, které definují spolu související pojmy a vyslovují k nim příslušné věty a tvrzení. Tyto podkapitoly obsahují komentář, který vám podle mých několikaletých zkušeností s výukou daného tématu v daném studijním oboru pomůže konkrétní definici, větu nebo tvrzení pochopit ve všech jeho aspektech. Pro vaši kontrolu je každá podkapitola uzavřena souborem otázek. Doporučuji vám pečlivě se těmito otázkami zabývat - může se stát, že vlastní nalezení odpovědi, byť s využitím předchozí teorie, bude časově náročné, ale jen tak získáte velmi důležitou zpětnou vazbu, zda můžete ve studiu textu pokračovat dále. Tyto otázky nahrazují dotazy, které při kontaktní výuce na nižším stupni vzdělání vyslovoval učitel, přičemž zabezpečoval, aby studenti v případě naznalostí většího rozsahu nepokračovali dále. Obdobným testem vlastních znalostí a dovedností, a zejména jejich aplikací,

6

Úvod

pro vás budou dva soubory příkladů, které jsou zařazeny jako poslední dvě podkapitoly každé kapitoly. Řešené příklady obsahují typové úlohy s návody řešení, neřešené příklady pak úlohy s výsledky. Znovu apeluji na vaši vůli příklady individuálně řešit, důkladně promýšlet alternativy postupu a snažit se najít řešení (nikoli listováním dozadu směrem k výsledkům, ale vždy dopředu směrem k teorii a jejímu vysvětlení). Výjimku v tomto smyslu tvoří kapitola Vzájemná poloha přímek v rovině; daná kapitola neobsahuje příklady - důvodem je skutečnost, že se podrobně touto problematikou zabýváme v rámci geometrie v prostoru (popisujeme vzájemnou polohu přímek v prostoru v kompletním přehledu). Celý text obsahuje relativně velké množství obrázků, které dokumentují popisované situace jak v teorii tak v zadání příkladů. Přesto velmi doporučuji, abyste i vy sami grafická znázornění (náčrty) tvořili. A to buď stejná, jejichž porovnání s obrázkem v textu vás ujistí o správnosti vašeho pochopení, nebo nová, která vám budou nápomocna při promýšlení různých aspektů teorie i při řešení úloh. Studujte geometrii vždy s tužkou a papírem, načrtávejte definice, věty, tvrzení, zadání úloh. Samozřejmostí jsou pak konstrukce úloh tam, kde k tomu bude přímo zadáním vyzvání (sestojte, narýsujte, . . . ). Pro tyto konstrukce používejte kvalitní rýsovací pomůcky (trojúhelník s ryskou, kružítko, tužka), neboť součástí vašeho studia je i prohloubení správných geometrických návyků (čistota práce, kultura projevu, . . . ). Předpokládám, že to nebude poprvé, kdy budete pracovat s distančním textem. Tedy předpokládám již vyšší úroveň vašich schopností individuálního studia tohoto charakteru i vyšší míru zodpovědnosti za dosažení kvalitních výsledků. Jakkoli se geometrie může jevit některým z vás složitá a těžce pochopitelná, uvědomte si její praktický význam v činnostech člověka od starověku počínaje a její relativně jasné a jednočnačné odpovědi na všechny otázky, které z přirozené praktické činnosti vycházejí. Eukleidovská geometrie vám prostřednictvím Hilbertovy axiomatické soustavy poskytuje pravidla pro úžasnou hru s prostorem ve všech jeho dimenzích. Přeji, a to vám i sobě, aby vás tato hra zaujala, bavila a poskytovala vám radost z dosahovaných výsledků. Každé „Ahaÿ se počítá. Renáta Vávrová


7

1 Přímka a její části Geometrie, se kterou se seznamujete již od první třídy základní školy, je geometrie eukleidovská. Tedy geometrie, která má jistou axiomatickou výstavbu (Hilbertova axiomatická soustava), zahrnující základní pojmy, relace a axiomy. Základními pojmy této eukleidovské geometrie v této výstavbě jsou pojmy přímka, rovina, prostor. Jejími relacemi jsou relace incidence (bod leží na přímce, přímka prochází bodem, přímky mají společný bod, . . . ), relace uspořádání (bod leží mezi dvěma body, . . . ), relace shodnosti, spojitosti a rovnoběžnosti. Axiomy jsou sdruženy do skupin podle jednotlivých relací, tedy můžeme vyslovit axiomy incidence, uspořádání, spojitosti, shodnosti a rovnoběžnosti. Detailně o problematice axiomatické výstavby eukleidovské geometrie pojednává jiný text. Geometrie, kterou se tento materiál zabývá, je rovněž geometrií eukleidovskou. Tedy nevybočíme ze známých představ modelů bodu a roviny; většina definovaných pojmů nám bude minimálně intuitivně známá z dob předchozího studia. V této kapitole zavedeme pojmy úsečka, krajní body úsečky, polopřímka, počátek polopřímky a opačné polopřímky; naučíme se tyto geometrické útvary zobrazovat a popisovat; budeme s nimi pracovat jako s množinami bodů budeme hledat jejich průniky, sjednocení a rozdíly. Tuto teorii známe z doby předchozích studií, dokonce většinou ze základní školy. Proto našim úkolem bude především vytvoření systému popisovaných znalostí a rozšíření jejich aplikací. Klíčová slova: přímka, úsečka, krajní body úsečky, polopřímka, počátek polopřímky, opačné polopřímky 1.1 Úsečka. Pojem úsečka budeme definovat pomocí relace uspořádání, tedy budeme používat pojem bod leží mezi dvěma body. Definice 1.1. (Úsečka) Nechť jsou v rovině E2 dány dva různé body A, B. Úsečkou AB nazveme množinu všech bodů roviny E2 , která obsahuje právě

8

Přímka a její části

body A, B a všechny body, které leží mezi nimi.

Body A, B se nazývají krajní body úsečky AB.

Obrázek 1.1 Úsečka je tedy v rovině jednoznačně určena libovolnou dvojici navzájem různých bodů. Opravdu jednoznačně, protože nikde v definici úsečky není řeč o tom, že by některý z bodů A, B měl být první (počáteční) a další druhý (koncový), a tedy že by dva navzájem různé body určovaly dvě navzájem různé úsečky. Toto pravidlo možné zavést je, pracovali bychom pak s orientovanou úsečkou, ale pro tento text ho zavádět nebudeme. Všechny úsečky budeme považovat za neorientované úsečky. Symbolický zápis: Slovní vyjádření úsečka AB budeme symbolicky zapisovat AB. Tedy naopak každou dvojici velkých tiskacích písmen XY neoddělených čárkou musíme přečíst úsečka XY . Protože oba krajní body úsečky nejsou uspořádány, vyjadřují symbolické zápisy BA a AB jednu a tutéž úsečku a záleží jen na nás, který z nich použijeme. Snad jen (nepovinně) pro pořádek je vhodnější zápis, ve kterém jsou krajní body úsečky v abecedním pořadí. Tedy: AB lépe než BA, XY lépe než Y X, EF lépe než F E, atd. Grafické znázornění úsečky AB vidíme na obrázku 1.1. Nejčastější chyby, které se při grafickém znázornění úsečky vyskytují, jsou tyto: 1. krátké čárky vyznačující krajní body úsečky nejsou kolmé k dlouhé čáře úsečky, viz obr. 1.2,

Obrázek 1.2 2. písmena popisující krajní body úsečky nejsou kolmá k dolnímu okraji, viz obr. 1.3.


9

Obrázek 1.3 Na obrázku 1.4 vidíme správná grafická znázornění úseček.

Obrázek 1.4 Naučili jsme se definovat pojem úsečka a umíme vysvětlit pojem krajní bod úsečky. Víme, že úsečka je jednoznačně dána libovolnými dvěma různými body roviny E2 , tedy, že každé dva různé body roviny E2 určují právě jednu úsečku. Dokážeme každou úsečku zadat třemi způsoby: slovně, symbolicky a graficky. Nyní vyzkoušíme, zda jsme opravdu vše správně pochopili - odpovíme na následující otázky. Kdykoli si nebudeme úplně jisti odpovědí, situaci z otázky si přehledně načrtneme. Vyzkoušejme, zda jsme opravdu dobře porozumněli textu. 1. Určují každé dva body roviny E2 alespoň jednu úsečku? Neboli existují v rovině E2 nějaké dva body, které by úsečku neurčily? Pokud ano, jaké? 2. Určují každé dva navzájem různé body roviny E2 právě jednu úsečku? 3. Kolika nejvíce způsoby lze symbolicky zapsat jednu a tutéž úsečku (určenou dvěma danými krajními body)?

10

Přímka a její části 4. Označuje symbolický zápis KL tutéž úsečku jako symbolický zápis LK? 5. Kolika způsoby lze slovně zadat jednu a tutéž úsečku (určenou dvěma danými krajními body)? 6. Označuje slovní zadání úsečka M N totéž jako slovní zadání úsečka N M ? 7. Jak přečteme a symbolicky zapíšeme všechny úsečky graficky znázorněné na obrázku 1.4?

Měli bychom odpovědět: 1 - NE (dva totožné body neurčí úsečku, body musí být různé), 2 - ANO, 3 dvěma, 4 - ANO, 5 - dvěma, 6 - ANO, 7 - symbolicky: Y X nebo XY (slovně: úsečka Y X nebo úsečka XY ), symbolicky BA nebo AB (slovně: úsečka BA nebo úsečka AB), symbolicky: EF nebo F E (slovně: úsečka EF nebo úsečka F E), symbolicky: U V nebo V U (slovně: úsečka U V nebo úsečka V U ), symbolicky: KL nebo LK (slovně: úsečka KL nebo úsečka LK). Pokud jsme neudělali žádnou chybu, pak jsme základní teorii podkapitoly Úsečka úspěšně zvládli a bez obav se můžeme pustit do teorie k podkapitole Polopřímka. Příklady zkusíme až později (na závěr celé kapitoly). Pokud jsme naopak někde zaváhali, znovu si přečteme, načrtneme a promyslíme příslušnou část teorie. Bez úplného pochopení nebudeme pokračovat dále. 1.2 Polopřímka. Pojem polopřímka budeme definovat pomocí již zavedeného pojmu úsečka a relace uspořádání (bod leží mezi dvěma body). Definice 1.2. (Polopřímka) Nechť je v rovině E2 dána úsečka AB. Polopřímkou AB nazveme množinu všech bodů roviny E2 , která obsahuje všechny body úsečky AB a dále všechny takové body X, pro které platí, že bod B leží mezi body A, X.

Bod A se nazývá počáteční bod polopřímky AB , resp. počátek polopřímky AB. Grafické znázornění úsečky AB vidíme na obrázku 1.5.

Obrázek 1.5


11

Polopřímka je tedy v rovině určena libovolnou dvojici navzájem různých bodů. Na rozdíl od úsečky ale záleží na jejich pořadí. Jeden z nich musíme prohlásit za počátek polopřímky. Dva různé body tedy určují dvě různé polopřímky, viz obr. 1.6.

Obrázek 1.6 Polopřímky AX, AY se nazývají

Definice 1.3. (Opačné polopřímky)

polopřímky navzájem opačné , právě když bod A leží mezi body X, Y .

Viz obr. 1.7.

Obrázek 1.7 Symbolický zápis: Slovní vyjádření polopřímka AB budeme symbolicky zapi→

sovat AB. Tedy naopak každou dvojici velkých tiskacích písmen XY neod→

dělených čárkou s nadepsanou šipkou, takto XY , musíme přečíst polopřímka XY . První bod uvedený v symbolickém zápise je vždy počátkem polopřímky, →

→

to znamená, že symbolické zápisy AB a BA vyjadřují dvě navzájem různé polopřímky. Šipka v symbolickém zápisu polopřímky musí být znázorněna vždy ←

zleva doprava, symbol AB pro označení polopřímky BA (počáteční bod B) opravdu použít nelze. Nejčastější chyby, které se při grafickém vyznačení polopřímky vyskytují, jsou podobné chybám z kategorie grafického znázornění úseček: 1. krátké čárky vyznačující krajní body polopřímky nejsou kolmé k dlouhé čáře polopřímky, viz obr. 1.8,

Obrázek 1.8

12

Přímka a její části 2. písmena popisující krajní body polopřímky nejsou kolmá k dolnímu okraji, viz. obr. 1.9.

Obrázek 1.9

Na obrázku 1.10 vidíme správná grafická znázornění polopřímek.

Obrázek 1.10 Naučili jsme se definovat pojem polopřímka a umíme vysvětlit pojmy počáteční bod (počátek) polopřímky a polopřímky navzájem opačné. Víme, že každou polopřímku můžeme zadat třemi způsoby: slovně, symbolicky a graficky. Nyní vyzkoušíme, zda jsme opravdu vše správně pochopili - odpovíme na následující otázky. Kdykoli si nebudeme úplně jisti odpovědí, situaci z otázky si přehledně načrtneme. Vyzkoušejme, zda jsme opravdu dobře porozuměli textu. 1. Určují každé dva body roviny E2 alespoň jednu polopřímku? Neboli existují v rovině E2 nějaké dva body, které by úsečku neurčily?


13

2. Určují každé dva navzájem různé body roviny E2 právě jednu polopřímku? 3. Kolika nejvíce způsoby lze symbolicky zapsat jednu a tutéž polopřímku (určenou dvěma danými různými body)? →

4. Označuje symbolický zápis KL tutéž polopřímku jako symbolický zápis →

LK? 5. Kolika způsoby lze slovně zadat jednu a tutéž polopřímku (určenou dvěma danými různými body)? 6. Označuje slovní zadání polopřímka M N totéž jako slovní zadání polopřímka N M ? 7. Jak přečteme a symbolicky zapíšeme všechny polopřímky graficky znázorněné na obrázku 1.10? 8. Je první písmeno v symbolickém zápisu polopřímky vždy jejím počátkem? 9. Nechť jsou v E2 dány dva různé body U , V . Označují symbolické zápisy →

→

U V a V U navzájem opačné polopřímky? Měli bychom odpovědět: 1 - NE (dva totožné body neurčí polopřímku, body musí být různé), 2 - NE (určují dvě různé polopřímky - polopřímky s různými počátky), 3 - jedním, 4 →

- NE, 5 - jedním, 6 - NE, 7 - symbolicky: XY (slovně: polopřímka XY ), sym→

→

bolicky BA (slovně: polopřímka BA ), symbolicky: EF (slovně: polopřímka →

→

EF ), symbolicky: U V (slovně: polopřímka U V ), symbolicky: LK (slovně: polopřímka LK). Pokud jsme neudělali žádnou chybu, pak jsme základní teorii podkapitoly Polopřímka úspěšně zvládli a můžeme začít řešit příklady k celé kapitole Přímka a její části. Pokud jsme však někde zaváhali, znovu si přečteme, načrtneme a promyslíme příslušnou část teorie. Bez úplného pochopení nebudeme pokračovat dále.

14


Ovládáme tedy již celou teorii kapitoly Přímka a její části, tedy teorii související s pojmy úsečka a polopřímka. Umíme definovat pojmy úsečka, krajní body úsečky, polopřímka, počátek polopřímky a polopřímky navzájem opačné. Jsme připraveni začít řešit příklady. Zde si prověříme, že jsme teorii pochopili správně a umíme ji aplikovat v konkrétní sitaci.Nejdříve zkusíme pracovat s nápovědou (nemusíme ji používat), a to v podkapitole Řešené příklady, později bez ní (jen s kontrolním výsledkem) v podkapitole Neřešené příklady. Všechny příklady, nebude-li výslovně uvedeno jinak, budeme řešit v rovině E2 . 1.3 Řešené příklady. Příklad 1.1. Nechť bod A leží mezi body B, C. Symbolicky zapište všechny dvojice polopřímek určených uvedenými body, pro které platí: (a) polopřímky splývají (jsou totožné), (b) polopřímky jsou navzájem opačné, (c) jedna polopřímka je vlastní podmnožinou druhé polopřímky, (d) průnikem polopřímek je úsečka, (e) průnikem polopřímek je právě jeden bod. Řešení:

Obrázek 1.11 →

→

→

→

→

→

(a) BA=BC, CA=CB. →

→

(b) AB, AC. →

→

→

→

→

→

(c) AC⊂BC, AC⊂BA, AB⊂CB, AB⊂CA. →

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

(d) AB ∩ BA= AB, AB ∩ BC= AB, AC ∩ CA= AC, AC ∩ CB= AC, →

→

→

→

→

→

BC ∩ CB= BC, BC ∩ CA= BC, BA ∩ CB= BC, BA ∩ CA= BC. (e) AB ∩ AC= {A}.


15 →

→

Příklad 1.2. Nechť jsou dány dvě polopřímky AB, CD ležící v téže přímce. Určete jaké geometrické útvary mohou být jejich průnikem. Jednotlivé případy symbolicky zapište a zobrazte. Řešení: (a) Průnikem je prázdná množina. →

→

AB ∩ CD= ∅

Obrázek 1.12 (b) Průnikem je jednoprvková množina. →

→

→

→

AB ∩ CD= {A}, resp. AB ∩ CD= {C}

Obrázek 1.13 (c) Průnikem je úsečka AC. →

→

AB ∩ CD= AC

Obrázek 1.14 →

(d) Průnikem je polopřímka CD. →

→

→

AB ∩ CD=CD

Obrázek 1.15

Příklad 1.3. Nechť jsou dány čtyři po dvou navzájem různé body K, L, M , N . Zjistěte, kolik úseček je těmito body určeno. Zjistěte, kolik různých úseček je těmito body určeno. Dříve, než začneme úlohu řešit, vysvětlíme si pojem po dvou navzájem různé body. Na obrázku 1.16 vidíme příklady umístění čtyř bodů K, L, M , N tak, že a) nejsou různé, b) jsou různé (ale ne po dvou navzájem), c) jsou po dvou

16


navzájem různé. Vyjádření po dvou navzájem různé tedy znamená, že mezi zadanými body nelze najít žádné tři (natož více) bodů totožných. Kdybychom vynechali slova po dvou navzájem různé a zadali bychom: nechť je dáno n různých bodů, znamenalo by to pouze, že všechny nejsou totožné, že nesplynou v jeden bod. Ale to pro naše požadavky nestačí. Chceme, aby žádné dva nesplynuly. S tímto obratem se budeme setkávat vždy, když budeme chtít tuto situaci zadat (což v tomto textu bude relativně často).

Obrázek 1.16 Řešení: 1. Víme, že úsečka je určena dvěma různými body. 2. Situaci bychom mohli graficky znázornit a úsečky prostě spočítat. Tím začneme. Ze znázornění na obrázku 1.17 vidíme, že čtyřmi body je určeno celkem 12 úseček: KL, KM, KN, LK, LM, LN, M K, M L, M N, N K, N L, N M (obr. 1.17a) a 6 různých úseček: KL, KM, KN, LM, LN, M K (obr. 1.17b).

Obrázek 1.17 Problémy začneme mít v případě, že dané body nebudou čtyři, ale bude jich mnohem více. Spočítat, kolik úseček je určeno např. 56 body za pomocí grafického znázornění by bylo velmi neefektivní. Tedy pokusíme se najít pravidlo, které by nám umožnilo počítat s vysokými čísly. Použijeme původní zadání, tedy čtyři navzájem různé body K, L, M, N .


17

3. Zjistíme nejprve, kolik úseček je určeno tak, že jedním jejich krajním bodem je jeden ze zadaných bodů, např. bod K. Situaci graficky znázorníme. Ptáme se: s kolika body mohu spojit bod K? Odpovídáme: sám se sebou ne, takže se zbývajícími body L, M , N . Tedy celkem se třemi body. Bodem K jsou určeny tři úsečky. Viz obr. 1.17b. 4. Dále zjistíme, kolik úseček je určeno tak, že jedním jejich krajním bodem je další ze zadaných bodů, např. bod L. Neboli ptáme se: s kolika body mohu spojit bod L? Odpovídáme: sám se sebou ne, takže se zbývajícími body K, M , N . Tedy celkem se třemi body. Bodem L jsou určeny tři úsečky. Je pravda, že úsečku LK jsme již započítali v předchozím případě jako úsečku KL (víme, že KL = LK), ale toto vyřešíme na konci úlohy pro všechny úsečky najednou. 5. Takto bychom mohli postupovat u každého ze zadaných bodů. Každý z nich můžeme spojit se třemi ostatními body, každým z nich jsou určeny tři úsečky. Ptáme se: kolik úseček celkem je určeno čtyřmi body, když každým z nich jsou určeny tři? Jednoduchá slovní úloha. Stačí provést 4 · 3 = 12. 6. Odpovídáme na první otázku ze zadání: Čtyřmi po dvou navzájem různými body je určeno 12 úseček (nikoli 12 různých úseček, protože jsme užitím výše uvedeného postupu započítali každou úsečku dvakrát). Různých úseček je tedy určena polovina, tedy 6. Odpovídáme na druhou otázku ze zadání: Čtyřmi po dvou navzájem různými body je určeno 6 různých úseček.

Příklad 1.4. Nechť je dáno 56 po dvou navzájem různých bodů A1 , A2 , A3 , . . . A56 . Zjistěte, kolik úseček je těmito body určeno. Zjistěte, kolik různých úseček je těmito body určeno. Řešení: 1. Víme, že úsečka je určena dvěma různými body. 2. Naštěstí jsme se už v předchozí úloze nespokojili s prostým spočítáním úseček pomocí grafického znázornění, nyní bychom určitě měli problém,

18

Přímka a její části ale našli jsme algoritmus výpočtu, který můžeme použít pro libovolný počet zadaných bodů. Použijeme jej i nyní. 3. Zjistíme nejprve, kolik úseček je určeno tak, že jedním jejich krajním bodem je bod A1 . Situaci graficky znázorníme. Ptáme se: s kolika body mohu spojit bod A1 ? Odpovídáme: sám se sebou ne, takže se zbývajícími 55 body A2 , A3 , . . . A56 . Bodem A1 je určeno 55 úseček. Viz obr. 1.18a.

Obrázek 1.18 4. Dále zjistíme, kolik úseček je určeno tak, že jedním jejich krajním bodem je bod A2 . Neboli ptáme se: s kolika body mohu spojit bod A2 ? Odpovídáme: sám se sebou ne, takže se zbývajícími body A1 , A3 , A4 . . . A56 . Tedy celkem s 55 body. Bodem A2 je určeno 55 úseček. Je pravda, že úsečku A2 A1 jsme již započítali v předchozím případě jako úsečku A1 A2 (víme, že A1 A2 = A2 A1 ), ale toto vyřešíme na konci úlohy pro všechny úsečky najednou. Viz obr. 1.18b. 5. Takto bychom mohli postupovat u každého ze zadaných bodů. Každý z nich můžeme spojit s 55 ostatními body, každým z nich je určeno 55 úseček. Ptáme se: kolik úseček celkem je určeno 56 body, když každým z nich jich je určeno 55? Stejná jednoduchá slovní úloha, stačí provést 56 · 55 = 2080. 6. Odpovídáme na první otázku ze zadání: 56 po dvou navzájem různými body je určeno 3080 úseček (nikoli 3080 různých úseček, protože jsme užitím výše uvedeného postupu započítali každou úsečku dvakrát). Různých úseček je tedy určena polovina, tedy 1540. Odpovídáme na druhou


19

otázku ze zadání: 56 po dvou navzájem různými body je určeno 1540 různých úseček.

Příklad 1.5. Nechť je dáno n po dvou navzájem různých bodů A1 , A2 , A3 , . . . An . Zjistěte, kolik úseček je těmito body určeno. Zjistěte, kolik různých úseček je těmito body určeno. Řešení: 1. Víme, že úsečka je určena dvěma různými body. 2. Zjistíme nejprve, kolik úseček je určeno tak, že jedním jejich krajním bodem je bod A1 , neboli ptáme se: s kolika body mohu spojit bod A1 ? Odpověď: sám se sebou ne, takže zbývá celkem n − 1 bodů, se kterými bod A1 můžeme spojit. Bod A1 můžeme spojit s n − 1 body. Bodem A1 je určeno n − 1 úseček. Viz obr. 1.19a.

Obrázek 1.19 3. Dále určíme, kolik úseček je určeno tak, že jedním jejich krajním bodem je bod A2 , neboli ptáme se: s kolika body mohu spojit bod A2 ? Odpověď: sám se sebou ne, takže zbývá celkem n−1 bodů, se kterými bod A2 mohu spojit. Bod A2 mohu spojit s n−1 body. Bodem A2 je určeno n−1 úseček. Viz obr. 1.19b. 4. Takto bychom mohli postupovat u každého z daných n bodů. Každý z nich můžeme spojit s n − 1 dalšími body. Každým z nich je určeno n − 1 úseček. Protože těchto bodů je celkem n a protože každým z nich je určeno n − 1 úseček, ptáme se: kolik úseček je určeno n body, když každým z nich je jich určeno n − 1? Stačí provést n · (n − 1).

20

Přímka a její části 5. Odpovídáme na první otázku ze zadání: n po dvou navzájem různými body je určeno n · (n − 1) úseček (nikoli různých úseček, protože jsme užitím výše uvedeného postupu započítali každou úsečku dvakrát). Různých úseček je tedy určena polovina, tedy

n·(n−1) . 2

Odpovídáme na druhou

otázku ze zadání: n po dvou navzájem různými body je určeno

n·(n−1) 2

různých úseček.

Příklad 1.6. Na přímce je dáno n po dvou navzájem různých bodů A1 , A2 , A3 , . . . An . Určete, kolik různých úseček je těmito body určeno. Určete, kolik různých přímek je těmito body určeno. Řešení:

Obrázek 1.20 1. Víme, že úsečka i přímka jsou určeny dvěma různými body. 2. Z obrázku 1.20 vidíme, že pro zjištění počtu úseček zadaných n body můžeme postupovat úplně stejně jako v předchozí úloze. Počet úseček určených n různými body nezávisí na tom, zda tyto body (všechny, resp. více než dva) leží v téže přímce. Odpovídáme tedy: Počet úseček určených n po dvou navzájem různými body ležících na téže přímce je

n·(n−1) . 2

3. Jinak tomu bude v případě zjištění počtu přímek. Z obrázku vidíme, že všech n bodů určuje stále jednu a tutéž přímku. Počet přímek určených n různými body závisí na tom, zda tyto body (všechny, resp. více než dva) leží v téže přímce. Odpovídáme tedy: n po dvou navzájem různými body, které leží v jedné přímce, je určena jediná přímka.

Příklad 1.7. Nechť je dáno n po dvou navzájem různých bodů A1 , A2 , A3 , . . . An , z nichž právě tři leží v téže přímce. Zjistěte, kolik různých přímek je těmito body určeno.


21

Řešení:

Obrázek 1.21 1. Víme, že přímka je určena dvěma různými body. 2. Úlohu budeme řešit velmi podobně jako úlohu předchozí. Rozdíl bude v tom, že zatímco počet úseček určený danými body nezávisel na tom, zda více než dva z nich leží v téže přímce, počet přímek určený danými body na této skutečnosti záviset bude. 3. Úlohu rozdělíme na dvě části. Nejdříve zjistíme, kolik různých přímek by bylo určeno n po dvou různými body, z nichž by žádné tři neležely v téže přímce. Tady řešíme stejně jako případ úseček (přímka je stejně jako úsečka určena dvěma různými body). Odpovídáme: n po dvou různými body, z nichž by žádné tři neležely v přímce, by bylo určeno

n·(n−1) 2

různých přímek. 4. Ale v souladu se zadáním právě tři z těchto n bodů v přímce leží. Zjistíme tedy, kolik přímek by bylo určeno těmito třemi body, kdyby v přímce neležely. To umíme, odpovídáme: třemi body, které by neležely v přímce, by bylo určeno

3·2 2

= 3 různé přímky. Namísto tří přímek určí zadané

body pouze jednu. 5. Nyní je potřeba od počtu přímek určených všemi n body za předpokladu, že žádné tři z nich neleží v přímce, odečíst počet přímek určených třemi body, které v přímce leží a přičíst jednu přímku (namísto tří budeme mít jednu). Tedy odpovídáme: n po dvou navzájem různými body, z nichž právě tři leží v téže přímce, je určeno

n·(n−1) 2

− 3 + 1 přímka.

Příklad 1.8. Nechť je dáno n po dvou navzájem různých bodů A1 , A2 , A3 ,

22


. . . An , z nichž právě m leží v téže přímce. Zjistěte, kolik různých přímek je těmito body určeno. Řešení:

Obrázek 1.22 1. Úlohu budeme řešit velmi podobně jako úlohu předchozí s tím rozdílem, že počet bodů ležících v téže přímce je dán obecně (m ∈ N ; 2 ≤ m ≤ n). Tedy nejprve zjistíme počet přímek určených n body, z nichž žádné tři neleží v přímce. Od tohoto počtu odečteme počet přímek určených m body, z nichž žádné tři neleží v přímce. K výsledku přičteme číslo 1. 2. Počet přímek určených n body, z nichž žádné tři neleží v téže přímce, je n·(n−1) . Počet přímek určených m, z nichž žádné tři neleží v téže 2 . Odpovídáme na otázku: počet přímek určených n je m·(m−1) 2 nichž právě m leží v téže přímce, je n·(n−1) − m·(m−1) + 1. 2 2

přímce, body, z

1.4 Neřešené příklady. Příklad 1.1. Určete, na kolik částí rozdělí přímku: a) Šest různých bodů, které na ní leží. Jednotlivé části přímky pojmenujte. b) n různých bodů, které na ní leží. Jednotlivé části přímky pojmenujte. Příklad 1.2. Podle situace znázorněné na obrázku 1.23 rozhodněte, které z následujících výroků jsou pravdivé:

Obrázek 1.23


23 ↔

a) LM ∪ M N = LN ,

e) KN ⊂ KN ,

b) M N ⊂ KN ,

f) KL ∈ KM ,

c) KM ∩ LN = LM ,

g) KM ∪ LN = KN ,

d) LM ∩ M N = ∅,

h) KN ⊂ LM .

↔

↔

Příklad 1.3. Na přímce jsou dány dány čtyři po dvou navzájem různé body A, B, C, D v daném pořadí. Určete: →

→

→

→

→

→

→

→

a) AB ∩ BA, b) BC ∩ DA, c) BA ∩ BC,

f) CA ∩ BC, g) AB ∩ CD, →

h) AC ∩ BD, →

→

d) BA ∩ CD,

i) AD ∩ BC,

e) AC ∩ CD,

j) AB ∩ CD.

→

Příklad 1.4. Na přímce jsou dány tři po dvou navzájem různé body R, S, T v daném pořadí. a) Kolik různých úseček je těmito body určeno? Symbolicky je vypište. Kolik z nich lze pojmenovat více způsoby? b) Kolik různých polopřímek je těmito body určeno? Symbolicky je vypište. Kolik z nich lze pojmenovat více způsoby? Příklad 1.5. Na přímce je dáno 56 po dvou navzájem různých bodů A1 , A2 , . . . ,A56 . a) Kolik různých úseček je těmito body určeno? Symbolicky vypište některé z nich. Kolik z nich lze pojmenovat více způsoby? b) Kolik různých polopřímek je těmito body určeno? Symbolicky vypište některé z nich. Kolik z nich lze pojmenovat více způsoby? Příklad 1.6. Na přímce je dáno n po dvou navzájem různých bodů A1 , A2 , . . . , An . a) Kolik různých úseček je těmito body určeno? Symbolicky vypište některé z nich. Kolik z nich lze pojmenovat více způsoby?

24

Přímka a její části b) Kolik různých polopřímek je těmito body určeno? Symbolicky vypište některé z nich. Kolik z nich lze pojmenovat více způsoby?

Příklad 1.7. Graficky znázorněte body A, B, C, D, E tak, aby platily současně všechny následující vztahy. Vztahy symbolicky zapište. a) Bod B leží na polopřímce AC. b) Úsečka AC je částí polopřímky BE. c) Úsečky AC a BD mají právě jeden společný bod. Příklad 1.8. Na přímce je dáno pět po dvou navzájem různých bodů A, B, C, D, E. a) Zjistěte, kolik různých úseček je těmito body určeno. Úsečky symbolicky zapište. b) Zjistěte, kolik různých polopřímek je těmito body určeno. Polopřímky symbolicky zapište. Příklad 1.9. Na přímce je dáno dvacet pět po dvou navzájem různých bodů A1 , A2 ,. . . , A25 . a) Zjistěte, kolik různých úseček je těmito body určeno. Kolik z těchto úseček lze symbolicky zapsat dvěma způsoby? b) Zjistěte, kolik různých polopřímek je těmito body určeno. Kolik z těchto polopřímek lze symbolicky zapsat více způsoby? Příklad 1.10. Určete, kolika různými přímkami lze spojit deset po dvou navzájem různých bodů, z nichž: a) žádné tři neleží v téže přímce, b) právě čtyři leží v téže přímce. Příklad 1.11. Zjistěte, kolik různých úseček je určeno dvanácti po dvou navzájem různými body, z nichž:


25

a) žádné tři neleží v téže přímce, b) právě pět leží v téže přímce. Příklad 1.12. Určete, v kolika různých bodech se protíná n po dvou navzájem různoběžných přímek, z nichž: a) žádné tři neprocházejí stejným bodem, b) právě m prochází stejným bodem.

1.5 Výsledky. 1a) Dané body rozdělí přímku na 7 částí: 2 polopřímky a 5 úseček. 1b) Dané body rozdělí přímku na n + 1 částí: 2 polopřímky a n − 1 úseček. 2a) Pravda, 2b) pravda, 2c) pravda, 2d) nepravda, 2e) pravda, 2f) nepravda, 2g) pravda, 2h) pravda. →

3a) AB, 3b) DB, 3c) {B}, 3d) ∅, 3e) {C}, 3f) BC, 3g) ∅, 3h) BC, 3i) BC, 3j) CD. 4a) Danými body jsou určeny tři různé úsečky: RS, ST , RT . Všechny tři úsečky lze pojmenovat dvěma způsoby: SR = RS, T S = ST , T R = RT . 4b) →

→

→

→

→

→

→

Danými body jsou určeny čtyři různé polopřímky: RT , ST , T R, T S. Dvě z →

těchto polopřímek lze pojmenovat dvěma zpsůsoby: RT =RS, T R=T S. 5a) Danými body je určeno

56·55 2

= 1540 různých úseček: např. A1 A2 , A1 A3 ,

A1 A4 , . . . , A2 A3 , A2 A4 , . . . , A3 A4 , . . . , A54 A55 , A54 A56 , A55 A56 . Z nich každou je možné pojmenovat dvěma způsoby, tedy 1540 úseček lze pojmenovat dvěma způsoby: např. A1 A2 = A2 A1 , A54 A55 = A55 A54 . 5b) Danými body je určeno 2·55 = 110 různých polopřímek. Z nich lze 2·54 = 108 pojmenovat více způsoby (dvě dvěma, dvě třemi, dvě čtyřmi atd.): např. A1 A2 = A1 A3 = A1 A4 = A1 A55 = A1 A56 (celkem 55 různých označení), A37 A49 = A37 A50 = A37 A56 , (celkem 56 − 37 = 19 různých označení), A50 A55 = A50 A56 (celkem dvě různá označení). 6a) Danými body je určeno

n·(n−1) 2

různých úseček. Např. A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 ,

. . . , A2 A3 , A2 A4 , . . . , A3 A4 , . . . , An−2 An−1 , An−2 An , An−1 An . Z nich každou je

26


možné pojmenovat dvěma způsoby, tedy

n·(n−1) 2

úseček lze pojmenovat dvěma

způsoby: např. A1 A2 = A2 A1 , An−3 An−1 = An−1 An−3 , An−2 An−1 = An−1 An−2 . 6b) Danými body je určeno 2 · (n − 1) různých polopřímek. Z nich lze 2 · (n − 2) pojmenovat více způsoby (dvě dvěma, dvě třemi, dvě čtyřmi atd.): např. A1 A2 = A1 A3 = A1 A4 = A1 An−1 = A1 An celkem (n − 1 různých označení), An−2 An−1 = An−2 An (celkem dvě různá označení).

7) Např.

Obrázek 1.24 8a) Dané body určují 10 různých úseček: AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, →

→

→

CD, CE, DE. 8b) Dané body určují 8 různých polopřímek: AE, BE, CE, →

→

→

→

→

DE, EA, DA, CA, BA. 9a) Danými body je určeno 300 různých úseček. Každou z nich lze symbolicky zapsat dvěma způsoby. 9b) Dané body určují 48 různých polopřímek. 46 z nich lze zapsat více způsoby. 10a) Dané body lze spojit 45 různými přímkami. 10b) Dané body lze spojit 40 různými přímkami. 11a) Danými body je určeno 66 různých úseček. 11b) Danými body je určeno 66 různých úseček. 12a) Dané přímky se protínají v protínají v

n·(n−1) 2

−

m·(m−1) 2

n·(n−1) 2

různých bodech. 12b) Dané přímky se

+ 1 různých bodech.


27

2 Polorovina, konvexní množina bodů, úhel V této kapitole zvedeme pojmy polorovina a úhel. Polorovinu se naučíme graficky znázornit a symbolicky zapsat. Budeme definovat pojmy hraniční přímka poloroviny a poloroviny navzájem opačné. Dále budeme zavádět pojem úhel, a to užitím pojmu polorovina; protože však budeme zavádět konvexní úhel jinak než úhel nekonvexní, předřadíme definici pojmu úhel ještě problematiku konvexních množin. Naučíme se tedy rozpoznat, kdy je množina bodů konvexní a kdy nikoli. Kapitolu ukončíme definicemi pojmů přímý, nulový a plný úhel (tyto úhly nelze definovat pomocí polorovin) a popisem významných dvojic úhlů (úhly styčné, vedlejší, střídavé, souhlasné). Tuto teorii známe z doby předchozích studií, dokonce většinou ze základní školy. Proto našim úkolem bude především vytvoření systému popisovaných znalostí a rozšíření jejich aplikací. Klíčová slova: polorovina, hraniční přímka poloroviny, opačné poloroviny, konvexní množina bodů, konvexní úhel, nekonvexní úhel, klasifikace úhlů 2.1 Polorovina. Pojem polorovina budeme definovat pomocí relace uspořádání, tedy budeme používat pojem bod leží mezi dvěma body. Definice 2.1. (Polorovina) Nechť jsou v rovině E2 dány přímka p a bod A, který na ní neleží. Polorovinou pA nazveme množinu všech bodů X roviny pA, pro které platí, že mezi body A, X neleží žádný bod přímky p.

Přímka p se nazývá hraniční přímka poloroviny . (Obr. 2.1.)

Obrázek 2.1 Polorovina je tedy v rovině jednoznačně určena libovolnou přímkou a libovolným bodem, který na ní neleží.

28

Polorovina, konvexní množina bodů, úhel

Symbolický zápis: Slovní vyjádření polorovina pA budeme symbolicky zapiso→

↔

vat pA. Pokud je přímka p určena dvěma různými body B, C, tedy p =BC, →

→

pak můžeme polorovinu pA též symbolicky zapsat BCA nebo CBA. Naopak, každou trojici velkých tiskacích písmen neoddělených čárkou s nadepsanou šip→

→

kou, takto BCA, resp. CBA, musíme přečíst polorovina BCA, resp. polorovina CBA - jedná se o jednu a tutéž polorovinu určenou hraniční přímkou BC, resp. CB, a bodem A. Definice 2.2. (Opačné poloroviny) Nechť jsou v rovině E2 dány poloroviny pX, pY . Tyto poloroviny se nazývají navzájem opačné poloroviny , právě když mezi body X, Y leží bod přímky p. (Obr. 2.2.)

Obrázek 2.2 Naučili jsme se definovat pojem polorovina, umíme vysvětlit pojmy hraniční polopřímka poloroviny a poloroviny navzájem opačné. Umíme každou polorovinu zadat třemi způsoby: slovně, symbolicky a graficky. Nyní vyzkoušíme, zda jsme opravdu vše správně pochopili - odpovíme na následující otázky. Kdykoli si nebudeme úplně jisti odpovědí, situaci z otázky si přehledně načrtneme. Vyzkoušejme, zda jsme opravdu dobře porozuměli textu. 1. Určují každá přímka a každý bod roviny E2 alespoň jednu polorovinu? Neboli existují v rovině E2 nějaká přímka a bod, které by polorovinu neurčily? Pokud ano, jaké? 2. Určují každé tři body roviny E2 alespoň jednu polorovinu? Neboli existují v rovině E2 nějaké tři body, které by polorovinu neurčily? Pokud ano, jaké? 3. Určují každá přímka a každý bod, který na ní neleží, roviny E2 alespoň jednu polorovinu? 4. Určují každé tři po dvou navzájem různé body roviny E2 aspoň jednu polorovinu?


29

5. Určují každá přímka a každý bod, který na ní neleží, roviny E2 právě jednu polorovinu? 6. Určují každé tři po dvou navzájem různé body roviny E2 právě jednu polorovinu? 7. Kolika nejvíce způsoby lze symbolicky zapsat jednu a tutéž polorovinu určenou bodem P a přímkou s, která jím neprochází? Zapišme. 8. Kolika nejvíce způsoby lze symbolicky zapsat polorovinu XYZ? Zapišme. 9. Které z následujících symbolických zápisů označují jednu a tutéž polo→

→

→

→

→

→

rovinu? KLM , KM L, LM K, LKM , M KL, M LK. 10. V rovině je dána přímka a, bod A (A ∈ a). Tato přímka je hraniční přímkou opačných polorovin, které označíme π1 , π2 . Rozhodněte, které z následujících výroků jsou pravdivé: a) a ⊂ π1 ∧ a ⊂ π2 , b) a ⊂ π1 ∨ a ⊂ π2 , c) a ⊂ π1 ∇a ⊂ π2 , d) B ∈ π1 ∧ D ∈ π2 ⇒ BDka, e) Kterákoli přímka různá od přímky a, která prochází bodem A, obsahuje body obou polorovin π1 , π2 . f) Kterákoli polopřímka s počátkem A patří buď polorovině π1 a nebo polorovině π1 . g) Je-li bod D kterýkoli bod poloroviny π2 , pak úsečka DA obsahuje aspoň jeden bod poloroviny π1 . Měli bychom odpovědět: 1 - NE (pokud by bod ležel na dané přímce, polorovina by určena nebyla), 2 - NE (pokud by všechny tři body ležely v téže přímce, polorovina by určena nebyla), 3 - ANO, 4 - ANO, 5 - ANO, 6 - NE (dané →

→

→

body určují 3 různé poloroviny), 7 - jedním: sP , 8 - dvěma: XY Z=Y XZ, 9 →

→

→

→

→

→

KLM =LKM , KM L=M KL, LM K=M LK, 10 - a) ANO, b) ANO, c) NE, d) NE, e) ANO, f) NE (existuje přímka, která patří oběma polorovinám - přímka a), g) ANO (právě jeden bod poloroviny - bod A).

30


Pokud jsme neudělali žádnou chybu, pak jsme základní teorii podkapitoly Polorovina úspěšně zvládli a bez obav se můžeme pustit do teorie k podkapitole Konvexní množina bodů. Příklady zkusíme až později, na konci celé kapitoly. Pokud jsme někde zaváhali, znovu si přečteme, načrtneme a promyslíme příslušnou část teorie. Bez úplného pochopení nebudeme pokračovat dále. 2.2 Konvexní množina bodů. Definice 2.3. (Konvexní množina bodů) Množina bodů se nazývá konvexní množina , právě když pro každé dva její různé body X, Y platí, že úsečka XY je její podmnožinou.

Tedy množina, která obsahuje alespoň dva různé body U, V takové, že úsečka U V není její podmnožinou, není konvexní množina. To znamená, že pro rozhodnutí, zda daná množina bodů je či není konvexní, je potřeba hledat alespoň jednu dvojici navzájem různých bodů této množiny takových, že úsečka U V není její podmnožinou. Pokud najdeme, pak množina konvexní není. Pokud žádná taková dvojice bodů neexistuje, pak množina konvexní je. Na obrázku 2.3a je graficky znázorněná konvexní množina bodů K. Proč je konvexní? Protože: ať zvolíme v množině K dva navzájem různé body X, Y jakkoli, vždy je úsečka XY podmnožinou množiny K. Resp. nepodaří se nám najít žádnou dvojici navzájem různých bodů X, Y množiny K tak, aby alespoň jeden bod úsečky XY nebyl bodem množiny K. Na obrázku 2.3b je graficky znázorněná nekonvexní množina bodů N . Proč je nekonvexní? Protože: bez problému najdeme v množině N dva navzájem různé body X, Y tak, aby alespoň jeden bod úsečky XY nebyl bodem množiny N . Přestože takových dvojic bodů existuje nekonečně mnoho, pro určení konvexnosti postačí najít jedinou z nich.

Obrázek 2.3


31

Podle této definice konvexní množiny není možné rozhodovat o konvexnosti jednoprvkové nebo prázdné množiny (obsahují méně než dva body), obě tyto množiny budeme považovat za konvexní. Věta 2.1. Průnik dvou konvexních množin bodů je konvexní množina bodů. Nyní bychom měli chápat pojem konvexní množina bodů, umět bezpečně rozhodnout o konvexnosti libovolné zadané množiny a umět uvádět vlastní příklady různých konvexních a nekonvexních množin bodů. Jedná se o pojem, se kterým se budeme v tomto textu relativně často setkávat, proto je jeho důkladná znalost a schopnost aplikace velmi důležitá. Vyzkoušíme, zda jsme opravdu vše dostatečně zvládli - odpovíme na následující otázky. Kdykoli si nebudeme úplně jisti odpovědí, situaci z otázky si přehledně načrtneme. Vyzkoušejme, zda jsme opravdu dobře porozuměli textu. 1. Nechť je v rovině E2 dána množina bodů M . Lze rozhodnout, zda je tato množina konvexní, jestliže platí, že úsečka U V je její podmnožinou pro: a) každou dvojici navzájem různých bodů U, V množiny M , b) alespoň jednu dvojici navzájem různých bodů U, V množiny M , c) právě jednu dvojici navzájem různých bodů U, V množiny M ? 2. Nechť je v rovině E2 dána množina bodů M . Lze rozhodnout, zda je daná množina konvexní, jestliže platí, že úsečka U V není její podmnožinou pro: a) každou dvojici navzájem různých bodů U, V dané množiny M , b) alespoň jednu dvojici navzájem různých bodů U, V dané množiny M, c) právě jednu dvojici navzájem různých bodů U, V množiny M ? 3. Které z následujících množin bodů jsou konvexní? Přímka, úsečka, polopřímka, rovina, polorovina, trojúhelník, obdélník, kruh, krychle, koule. 4. Které z množin bodů na obrázku jsou konvexní?

32


Obrázek 2.4

Měli bychom odpovídat: 1 - a) lze rozhodnout, konvexní, b) nelze rozhodnout, c) nelze rozhodnout, byla by konvexní pouze v případě, že by kromě daných bodů U, V neobsahovala žádné jiné, ve všech ostatních případech by byla nekonvexní, 2 - a) lze rozhodnout, nekonvexní, b) lze rozhodnout, nekonvexní, c) lze rozhodnout, nekonvexní, 3 - všechny, 4 - jen trojúhelník. Pokud jsme neudělali chybu, pak jsme základní teorii podkapitoly Konvexní množina bodů úspěšně zvládli a bez obav se můžeme pustit do teorie k podkapitole Úhel. Příklady zkusíme až později na konci celé kapitoly. Pokud jsme ovšem někde zaváhali, znovu si přečteme, načrtneme a promyslíme příslušnou část teorie. Bez úplného pochopení nebudeme pokračovat dále. 2.3 Úhel. Budeme definovat zvlášť úhel konvexní a zvlášť úhel nekonvexní. Konvexní úhel je možné definovat dvěma způsoby, pokaždé použijeme trojici nekolineárních bodů. Připomeňme si, že body se nazývají nekolineární, právě když neleží na téže přímce. Definice 2.4. (Konvexní úhel) Nechť jsou v rovině E2 dány tři nekolineární body A, V, B. Konvexním úhlem nazveme průnik polorovin AV B, BV A.

Definice 2.5. (Konvexní úhel) Nechť jsou v rovině E2 dány tři nekolineární body A, V, B. Konvexním úhlem nazveme sjednocení polopřímek V X, kde X je libovolný bod úsečky AB (bod X probíhá úsečku AB).


33

Symbolický zápis: < ) AV B, resp. < ) BV A. Definice 2.6. (Nekonvexní úhel) Nechť jsou v rovině E2 dány tři nekolineární body A, V, B. Nekonvexním úhlem nazveme sjednocení polorovin opačných k polorovinám AV B, BV A.

Na obrázku 2.5a je graficky znázorněn konvexní úhel AV B, na obrázku 2.5b nekonvexní úhel AV B. Samozřejmě obě tyto množiny bodů vyhovují definici konvexní, resp. nekonvexní množiny. Určitě v případě konvexního úhlu neexistuje žádná dvojice jeho různých bodů U, V tak, že by úsečka U V nebyla jeho podmnožinou. V případě nekonvexního úhlu bychom dokázali najít alespoň jednu dvojici jeho různých bodů U, V tak, že úsečka U V není jeho podmnožinou

Obrázek 2.5 Dále budeme definovat úhly přímé, nulové a plné (průnik ani sjednocení polorovin daných třemi nekolineárními body zde nelze použít, tedy definice těchto úhlů nejsou zahrnuty v definicích předchozích). Definice 2.7. (Přímý úhel) Nechť jsou v rovině E2 dány tři po dvou navzájem různé body A, V, B takové, že bod V leží mezi body A, B. Přímým úhlem ↔

nazveme každou z polorovin s hraniční přímkou AB. (Obr. 2.6a.) Definice 2.8. (Nulový úhel)

Nechť jsou v rovině E2 dány tři po dvou

navzájem různé body A, V, B takové, že bod A leží mezi body V, B nebo bod B leží mezi body V, A. Nulovým úhlem nazveme polopřímku V A. (Obr. 2.6b.) Definice 2.9. (Plný úhel) Nechť jsou v rovině E2 dány tři po dvou navzájem různé body A, V, B takové, že bod A leží mezi body V, B nebo bod B leží mezi

34

Polorovina, konvexní množina bodů, úhel ↔

body V, A. Plným úhlem nazveme rovinu AV B. (Obr. 2.6c.)

Obrázek 2.6

Ve všech předchozích definicích (konvexní a nekonvexní úhel; přímý, nulový →

→

a plný úhel) se bod V nazývá vrchol úhlu, polopřímky V A, V B se nazývají ramena úhlu. Ramena přímého úhlu jsou navzájem opačné polopřímky. Ramena nulového úhlu jsou navzájem totožné polopřímky a tento úhel neobsahuje žádné další body roviny. Ramena plného úhlu jsou navzájem totožné polopřímky a tento úhel obsahuje všechny další body roviny. Stejně jako v případě krajních bodů úsečky platí i zde, že na pořadí ramen úhlu, polopřímek V A, V B, nezáleží, tedy: < ) AV B =< ) BV A. Pravidlo, které bere v úvahu pořadí ramen, zavést možné je, pracovali bychom pak s orientovaným úhlem , ale pro tento text ho zavádět nebudeme. Všechny úhly budeme považovat za neorientované úhly. Nyní budeme definovat dvojice úhlů styčných a vedlejších: Definice 2.10. (Styčné úhly) Nechť jsou v rovině E2 dány dva konvexní úhly < ) KLM, <) P QR. Tyto úhly se nazývají styčné úhly , právě když je jejich průnikem právě rameno každého z nich a zbývající ramena leží v navzájem opačných polorovinách s hraniční přímkou, v níž leží společné rameno. (Obr. 2.7a.)

Definice 2.11. (Vedlejší úhly) Nechť jsou v rovině E2 dány dva styčné úhly < ) KLM, <) P QR. Tyto úhly se nazývají vedlejší úhly , právě když je jejich sjednocením právě úhel přímý. (Obr. 2.7b.)


35

Obrázek 2.7 Nyní bychom měli chápat pojmy konvexní úhel, nekonvexní úhel, přímý úhel, nulový úhel, plný úhel, dvojice úhlů styčných, dvojice úhlů vedlejších. Vyzkoušíme, zda jsme opravdu vše dostatečně zvládli - odpovíme na následující otázky. Kdykoli si nebudeme úplně jisti odpovědí, situaci z otázky si přehledně načrtneme. Vyzkoušejme, zda jsme opravdu dobře porozuměli textu. 1. Určuje každá trojice bodů v rovině E2 alespoň jeden konvexní úhel za předpokladu, že body jsou: a) kolineární, b) nekolineární? 2. Určuje každá trojice po dvou navzájem různých bodů v rovině E2 alespoň jeden konvexní úhel za předpokladu, že body jsou: a) kolineární, b) nekolineární? 3. Kolika nejvíce způsoby lze symbolicky zapsat jeden a tentýž úhel určený body X, Y, Z, kde: a) bod Y je vrchol úhlu, b) polopřímky XY , XZ jsou ramena úhlu? 4. Kolik různých úhlů určuje trojice po dvou navzájem různých bodů A, B, C v rovině E2 ? Zapišme symbolicky všechny případy. 5. Které z následujících symbolických zápisů označují jeden a tentýž úhel? < ) KLM , < ) KM L, < ) LM K, < ) LKM , < ) M KL, < ) M LK.

36

Polorovina, konvexní množina bodů, úhel 6. Jsou každé dva vedlejší úhly současně úhly střídavé? 7. Jsou každé dva střídavé úhly současně úhly vedlejší?

Měli bychom odpovídat: 1 - a) NE (body musí být po dvou navzájem různé), b) NE (body musí mýt po dvou navzájem různé), 2 - a) ANO (přímý, nulový, plný úhel), b) ANO (konvexní, nekonvexní úhel), 3 - a) dvěma způsoby: < ) XY Z =< ) ZY X, b) dvěma způsoby: < ) Y XZ =< ) ZXY , 4 - tři různé úhly: < ) ACB =< ) BCA, < ) CAB =< ) BAC, < ) ABC =< ) CBA, 5 < ) KLM =< ) M LK, < ) KM L =< ) LM K, < ) LKM =< ) M KL, 6 - ANO, 7 NE. Pokud jsme neudělali chybu, pak jsme základní teorii podkapitoly Úhel úspěšně zvládli. Pokud jsme někde zaváhali, znovu si přečteme, načrtneme a promyslíme příslušnou část teorie. Bez úplného pochopení nebudeme pokračovat dále. Ovládáme tedy již celou teorii kapitoly Polorovina, konvexní množina bodů, úhel. Jsme připraveni začít řešit příklady. Zde si prověříme, že jsme teorii pochopili správně a umíme ji aplikovat v konkrétní sitaci. Nejdříve zkusíme pracovat s nápovědou (nemusíme ji používat), a to v podkapitole Řešené příklady, později bez ní (jen s kontrolním výsledkem) v podkapitole Neřešené příklady. Všechny příklady, nebude-li výslovně uvedeno jinak, budeme řešit v rovině E2 . 2.4 Řešené příklady. Příklad 2.1. V rovině E2 jsou dány přímky p, q, r, s a body A, B, C, D, E, F, G (viz obrázek 2.8).

Obrázek 2.8 Určete a symbolicky zapište:


37

a) průnik polorovin ACD, DBC, b) sjednocení polorovin DBA, ACG, c) průnik polorovin ABD, BCE, d) průnik polorovin ACF , BCG. Řešení: →

→

→

→

→

→

→

→

a) ACD ∩ DBC=< ) CBD, viz obr. 2.9a, b) DBA ∪ ACG= ∇DBC, viz obr. 2.9b, →

c) ABD ∩ BCE=ABD, viz obr. 2.9c, d) ACF ∩ BCG= p, viz obr. 2.9d.

Obrázek 2.9

Příklad 2.2. Jaký geometrický útvar může být průnikem poloroviny a polo-

38


přímky, které leží v téže rovině? Řešení: Viz obr. 2.10. →

→

a) prázdná množina: ABC ∩ KL= ∅, →

→

b) právě jeden bod: ABC ∩ M N = {M }, →

→

c) úsečka: ABC ∩ OP = OQ, →

→

→

d) polopřímka: ABC ∩ T U =V U .

Obrázek 2.10

Příklad 2.3. Zjistěte, zda následující množiny bodů jsou konvexní: a) polorovina ABC bez přímky AB, b) polorovina ABC bez bodu bodu C, c) množina bodů {A, B, C}. Řešení: →

↔

a) Máme rozhodnout o množině M , kde M =ABC − AB. V množině M se snažíme najít alespoň jednu dvojici různých bodů X, Y takových, že úsečka XY není podmnožinou množiny M (stačí, aby alespoň jeden bod této úsečky nebyl bodem množiny M . Ale protože žádná taková dvojice bodů neexistuje, tedy pro každé dva různé body X, Y množiny M platí, že úsečka XY je její podmnožinou, musíme rozhodnout, že množina M JE KONVEXNÍ. Viz obr. 2.11a.


39 →

b) Máme rozhodnout o množině M , kde M =ABC −{C}. V množině M se snažíme najít alespoň jednu dvojici různých bodů X, Y takových, že úsečka XY není podmnožinou množiny M (stačí, aby alespoň jeden bod této úsečky nebyl bodem množiny M ). Protože taková dvojice bodů existuje, musíme rozhodnout, že množina M NENÍ KONVEXNÍ. Pozn.: takových dvojic existuje nekonečně mnoho, jsou to všechny úsečky, jejichž krajními body jsou libovolné body množiny M , které procházejí bodem {C}. Viz obr. 2.11b.

c) Máme rozhodnout o množině M , kde M = {A, B, C}. V množině M se snažíme najít alespoň jednu dvojici různých bodů X, Y takových, že úsečka XY není podmnožinou množiny M (stačí, aby alespoň jeden bod této úsečky nebyl bodem množiny M ). Protože taková dvojice bodů existuje, musíme rozhodnout, že množina M NENÍ KONVEXNÍ. Pozn.: takové dvojice existují právě tři A, B; A, C; B, C - pro každou z nich platí, že úsečka, která body dvojice spojuje, není podmnožinou množiny M . Viz obr. 2.11c.

Obrázek 2.11

2.5 Neřešené příklady. Příklad 2.1. V situaci znázorněné na obrázku 2.12a rozhodněte, zda platí: →

a) ED ⊂ < ) F AB,

d) AD ⊂ < ) EAB,

b) E ∈ < ) DCB,

e) AF ⊂ < ) ABF ,

c) < ) ECB = < ) ACD,

f) < ) BDE ∪ < ) EDB = ∅.

↔

40


Obrázek 2.12

Příklad 2.2. Jaký geometrický útvar může být průnikem konvexního úhlu a polopřímky ležících v téže rovině? Graficky zobrazte jednotlivé případy. Příklad 2.3. Symbolicky zapište všechny různé konvexní úhly vyznačené na obrázku 2.12b a určete: a) < ) V RU ∪ < ) U RT ,

d) < ) U RS ∩ < ) T RS,

b) < ) V RT ∩ < ) U RS,

e) < ) V RT ∩ < ) T RS,

c) < ) V RT ∪ < ) T RS,

f) < ) U RS ∪ < ) U RT .

Příklad 2.4. Určete a graficky znázorněte, jaký geometrický útvar může být průnikem dvou polorovin, které jsou podmnožinami téže roviny. Příklad 2.5. Určete a graficky znázorněte, jaký geometrický útvar může být průnikem poloroviny a rovinného pásu ležících v téže rovině. Příklad 2.6. Rozhodněte, zda jsou uvedené množiny konvexní: a) < ) AV B bez svého ramene, b) < ) AV B bez svého vrcholu, c) < ) AV B bez své osy. Příklad 2.7. Rozdělte rovinu na dvě části tak, že: a) obě části roviny jsou konvexní,


41

b) jedna část roviny je konvexní, druhá část roviny nekonvexní, c) obě části roviny jsou nekovexní.

Příklad 2.8. Zvolte v rovině dvě různé nekonvexní množiny bodů U1 , U2 tak, že jejich sjednocením je: a) konvexní množina bodů, b) nekonvexní množina bodů.

Příklad 2.9. Zvolte v rovině tři různé konvexní množiny bodů A, B, C tak, aby množina M byla nekonvexní pro: a) M = (A ∩ B) ∪ C, b) M = (A ∪ B) ∩ C.

2.6 Výsledky. 1a) ANO, 1b) ANO, 1c) ANO, 1d) ANO, 1e) NE, 1f) NE. →

→

→

→

→

2a) Polopřímka: např. V O1 ∩ < ) AV B =V O1 , R1 O1 ∩ < ) AV B =Q1 O1 , V A →

→

∩< ) AV B =V A, viz obr. 2.13a. 2b) Úsečka: např. P1 R1 ∩ < ) AV B = P1 Q1 , →

→

viz obr. 2.13b. O2 R2 ∩ < ) AV B = P2 Q2 , O3 R3 ∩ < ) AV B = O3 Q3 , viz obr. →

→

2.14a. 2c) Bod: např. P V ∩ < ) AV B = {V }, QR ∩ < ) AV B = {Q}. 2d) →

→

Prázdná množina: např. OP ∩ < ) AV B = ∅, QR ∩ < ) AV B = ∅, viz obr. 2.14b.

Obrázek 2.13

42


Obrázek 2.14 3 - Vyznačeno je celkem šest různých konvexních úhlů: < ) V RU =< ) U RV , < ) V RT =< ) T RV , < ) V RS =< ) SRV , < ) U RT =< ) T RU , < ) U RS =< ) SRU , →

< ) SRT =< ) T RS; platí a) < ) V RT , b) < ) U RT , c) < ) V RS, d) < ) T RS, e) RT , f) < ) U RS. 4 - Celkem pět různých geometrických útvarů: prázdná množina, přímka, konvexní úhel, polorovina, rovinný pás. 5 - Celkem čtyři různé geometrické útvary: prázdná množina, přímka, rovinný pás, část roviny (hraniční přímka poloroviny různoběžná s hraničními přímkami rovinného pásu). 6a) ANO, 6b) ANO, 6c) NE. 7a) Např. polorovina a její doplněk v rovině. 7b) Např. obdélník a jeho doplněk v rovině, konvexní úhel a jeho doplněk v rovině. 7c) Např. kružnice a její doplněk v rovině. 8) Např. viz obrázek 2.15.

Obrázek 2.15


43

9) Např. viz obrázek 2.16.

Obrázek 2.16


45

3 Grafické porovnávání, sčítání, odčítání a násobení úseček a úhlů Již v úvodu tohoto textu jsme si vysvětlili, že pokud to nebude nutné, nebudeme pracovat s pojmem míra geometrického útvaru (tedy ani s jejich velikostmi - délkami úseček, obsahy obrazců ani objemy těles). Pokud budeme potřebovat úsečky a úhly porovnávat, sčítat, odčítat nebo násobit, budeme to provádět graficky. Jak konkrétně budeme postupovat si ukážeme v této kapitole. Praktická aplikace této teorie je vyučována již na prvním stupni základní školy, tedy kapitola by nám měla přinést především obohacení současných dovedností teoretickým základem. Klíčová slova: přenesení úsečky, grafické porovnávání úseček, grafický součet úseček, grafický rozdíl úseček, grafický násobek úsečky, střed úsečky, osa úsečky, shodnost úhlů, přenesení úhlu, grafické porovnávání úhlů, grafický součet úhlů, grafický rozdíl úhlů, grafický násobek úhlu, osa úhlu, pravý úhel 3.1 Grafické porovnávání, sčítání, odčítání a násobení úseček. Pokud v této kapitole nemáme používat pojem pojem délka úsečky, nemůžeme úsečky porovnávat podle jejich délek stejně jako nemůžeme jejich délky sčítat, odčítat ani násobit (tedy nebudeme pracovat s čísly). Budeme úsečky porovnávat, sčítat, odčítat a násobit GRAFICKY. Pro všechny tyto dovednosti musíme nejprve umět přenést úsečku na danou polopřímku. Definice 3.1. (Přenášení úsečky na danou polopřímku) Přenést úsečku AB na polopřímku CD znamená sestrojit na polopřímce CD úsečku CE shodnou s úsečkou AB. (Viz obr. 3.1.)

Obrázek 3.1

46

Grafické porovnávání, sčítání, odčítání a násobení úseček a úhlů

Definice 3.2. (Grafické porovnávání úseček) Úsečka AB je menší než úsečka CD , právě když při přenesení úsečky AB na polopřímku CD leží bod E mezi body C, D (viz obr. 3.2a). Úsečka AB je menší než úsečka CD, právě když při přenesení úsečky AB na polopřímku CD leží bod D mezi body C, E (viz obr. 3.2c).

Pozn.: Jestliže po přenesení úsečky AB na polopřímku CD body D, E splynou, pak je úsečka AB shodná s úsečkou CD (viz obr. 3.2b).

Obrázek 3.2 Symbolický zápis AB < CD čteme úsečka AB je menší než úsečka CD, symbolický zápis AB > CD čteme úsečka AB je větší než úsečka CD. Mějme na paměti, že symboly < a > zde mají zcela jiný význam než symboly relací je menší, je větší, které používáme pro porovnávání čísel a které pro množiny (tedy ani úsečky jako množiny bodů) nejsou definovány. Definice 3.3. (Grafické sčítání úseček) Nechť jsou dány úsečky AB, CD. Grafickým součtem úseček AB, CD nazveme úsečku GF , kterou jsme sestrojili tak, že jsme na zvolenou polopřímku GH přenesli úsečku AB (sestrojili jsme bod E tak, že AB ∼ = GE) a na polopřímku opačnou k polopřímce EG jsme přenesli úsečku CD (setrojili jsme bod F tak, že EF ∼ = CD). (Viz obr. 3.3.)

Obrázek 3.3 Symbolický zápis GF = AB + CD čteme úsečka GF je grafickým součtem úseček AB a CD. Vidíme, že stejně tak je úsečka GF grafickým součtem


47

úseček GE a EF nebo úseček AB a EF nebo úseček GE a CD. Grafický součet totiž pracuje s množinami tříd navzájem shodných úseček, tedy v symbolickém zápise GF = AB+CD úsečky GF, AB, CD reprezentují všechny úsečky roviny, které jsou s nimi shodné (tedy třídy rozkladu množiny všech úseček v rovině podle relace shodnost). Definice 3.4. (Grafické odčítání úseček) Nechť jsou dány úsečky GF , AB. Grafickým rozdílem úseček GF , AB (v tomto pořadí) nazveme úsečku CD, jestliže platí, že úsečka GF je grafickým součtem úseček AB, CD. Symbolický zápis CD = GF − AB čteme úsečka CD je grafickým rozdílem úseček GF a AB (v tomto pořadí). Stejně jako v případě grafického součtu i nyní platí, že úsečka EF je grafickým rozdílem úseček GF a GE, a to ze stejného důvodu (úsečky jako reprezentati tříd rozkladu). Nutno opět zdůraznit, že symboly + a − v symbolických zápisech gafického součtu, resp. rozdílu, úseček mají zcela jiný význam než symboly operací mezi čísly, které pro množiny (tedy ani úsečky jako množiny bodů) nejsou definovány. Definice 3.5. (Grafické násobení úseček) Nechť je dána úsečka AB a přirozené číslo n. Grafickým n-násobkem úsečky AB nazveme grafický součet n úseček shodných s úsečkou AB. Definice 3.6. (Střed úsečky) Nechť je dána úsečka AB. Středem S úsečky AB nazveme takový bod S, pro který platí, že úsečky AS a BS jsou navzájem shodné. Definice 3.7. (Osa úsečky) Nechť je dána úsečka AB. Osou o úsečky AB nazveme takovou přímku o, která je kolmá k přímce AB a prochází středem úsečky AB. V tuto chvíli bychom měli měli dokázat přenést úsečku k dané polopřímce, graficky porovnávat úsečky, graficky sčítat úsečky, graficky odčítat úsečky a graficky násobit úsečku přirozeným číslem. Dále bychom měli umět definovat pojmy střed úsečky a osa úsečky. Zkusme se zamyslet a odpovědět na dvě otázky:

48

Grafické porovnávání, sčítání, odčítání a násobení úseček a úhlů 1. Které axiomy hilbertovy axiomatické soustavy se s pojmem shodnost úseček pojí? 2. Je relace shodnost na množině všech úseček roviny ekvivalentní? Pokud ano, ukažme, že je reflexivní, symetrická a tranzitivní a popišme třídy rozkladu množiny všech úseček roviny podle této ekvivalence.

Řešení: 1. Jedná se o axiomy shodnosti: S1 : Pro každé dva různé body A, B platí: AB ∼ = BA. S2 : Pro každou úsečku AB a pro každou polopřímku CD platí: Existuje právě jeden bod E polopřímky CD takový, že AB ∼ = CE. S3 : Pro každé tři úsečky AB, CD, EF platí: AB ∼ = CD ∧ CD ∼ = EF ⇒ AB ∼ = EF . S4 : Pro každé dvě trojice bodů A, B, C a A′ , B ′ , C ′ platí: Je-li C mezi A, B a C ′ mezi A′ , B ′ a je-li AC ∼ = A′ C ′ a BC ∼ = B ′ C ′ , pak AB ∼ = A′ B ′ . S5 : Pro každé dvě trojice nekolineárních bodů A, B, C a A′ , B ′ , O platí: Je-li AB ∼ = A′ B ′ , pak existuje právě jeden bod C ′ poloroviny A′ B ′ O takový, že BC ∼ = B ′ C ′ a AC ∼ = A′ C ′ . S6 : Pro každé dvě trojice nekolinárních bodů A, B, C a A′ , B ′ , C ′ a každé dva body P, P ′ platí: Je-li bod P mezi body A, B a bod P ′ mezi body A′ , B ′ a je-li AP ∼ = A′ P ′ , pak je CP ∼ = C ′P ′. 2. Aby relace byla na dané množině ekvivalentní, musí být současně na dané množině reflexivní, symetrická a tranzitivní. Ověříme nejprve tyto tři vlastnosti relace shodnost na množině všech úseček rovniny. a) Aby relace shodnost byla na množině všech úseček roviny E2 reflexivní, pak by pro každou úsečku dané roviny muselo platit, že je shodná sama se sebou. Symbolicky takto: ∀AB ⊂ E2 : AB ∼ = AB. Jedná se o jeden z axiomů hilbertovy axiomatické soustavy (S1 , viz řešení otázky 1), vztah tedy platí (bez důkazu). Realace shodnost je proto na množině všech úseček reflexivní.


49

b) Aby relace shodnost byla na množině všech úseček roviny E2 symetrická, pak by pro každé dvě úsečky dané roviny muselo platit, že pokud je první úsečka shodná s druhou, pak je i druhá shodná s první. Symbolicky takto: ∀AB, CD ⊂ E2 : AB ∼ = CD ⇒ CD ∼ = AB. Vztah platí. Realace shodnost je proto na množině všech úseček symetrická. c) Aby relace shodnost byla na množině všech úseček roviny E2 tranzitivní, pak by pro každé tři úsečky dané roviny muselo platit, že pokud je první úsečka shodná s druhou a současně druhá s třetí, pak je první úsečka shodná s třetí. Symbolicky takto: ∀AB, CD, EF ⊂ E2 : AB ∼ = CD ∧ CD ∼ = EF ⇒ AB ∼ = EF . Jedná se o jeden z axiomů hilbertovy axiomatické soustavy (S3 , viz řešení otázky 1), vztah tedy platí. Realace shodnost je proto na množině všech úseček tranzitivní. Nyní můžeme učinit závěr: protože je relace shodnost na množině všech úseček roviny současně reflexivní, symetrická a tranzitivní, je tato relace na dané množině ekvivalentní. Tvoří tedy rozklad dané množiny na třídy. V každé třídě tohoto rozkladu jsou navzájem shodné úsečky. Pokud jsme vše do detailu promysleli a rozumíme, pak jsme základní teorii podkapitoly Grafické porovnávání, sčítání, odčítání a násobení úseček úspěšně zvládli a bez obav se můžeme pustit do teorie k podkapitole Grafické porovnávání, sčítání, odčítání a násobení úhlů. Příklady zkusíme až později na konci celé kapitoly. Pokud jsme ovšem někde zaváhali, znovu si přečteme, načrtneme a promyslíme příslušnou část teorie. Bez úplného pochopení nebudeme pokračovat dále. 3.2 Grafické porovnávání, sčítání, odčítání a násobení úhlů. Pokud v této kapitole nemáme používat pojem pojem velikost úhlu, nemůžeme úhly porovnávat podle jejich velikostí stejně jako nemůžeme jejich velikosti sčítat, odčítat ani násobit (tedy nebudeme pracovat s čísly). Budeme úhly porovnávat, sčítat, odčítat a násobit GRAFICKY. Pro všechny tyto dovednosti musíme nejprve zavést pojem shodnost úhlů. Definice 3.8. (Shodnost úhlů) Konvexní úhel AVB je shodný s konvexním

50


úhlem CUD , právě když na polopřímkách U C, U D existují takové body A′ , B ′ , že platí: U A′ ∼ = V A ∧ U B′ ∼ = V B ∧ A′ B ′ ∼ = AB. (Viz obr. 3.4.)

Obrázek 3.4 Stejně jako v případě úseček musíme i nyní umět přenést daný konvexní úhel k dané polopřímce do dané poloroviny, abychom mohli konvexní úhly graficky porovnávat, sčítat, odčítat a násobit. Definice 3.9. (Přenášení konvexního úhlu k dané polopřímce do dané poloroviny) Přenést konvexní úhel AV B k polopřímce U C do poloroviny U CD znamená sestrojit v polorovině U CD úhel CU F shodný s úhlem AV B. (Viz obr. 3.5.)

Obrázek 3.5 Definice 3.10. (Grafické porovnávání úhlů) Úhel AV B je menší než úhel CU D , právě když při přenesení úhlu AV B k polopřímce U C do poloroviny U CD je polopřímka U F podmnožinou úhlu CU D a bod F nenáleží polopřímce U D. (Viz obr. 3.6a.) Úhel AV B je větší než úhel CU D, právě když při přenesení úhlu AV B k polopřímce U C do poloroviny U CD je polopřímka U D podmnožinou úhlu CU F a bod F nenáleží polopřímce U D. (Viz obr. 3.6b.) Pozn.: Jestliže po přenesení úhlu AV B k polopřímce U C do poloroviny U CD polopřímky U F a U D splynou, pak je úhel AV B shodný s úhelem CU D. (Viz obr. 3.6c.)


51

Obrázek 3.6

Symbolický zápis < ) AV B < < ) CU D čteme úhel AV B je menší než úhel CU D, symbolický zápis < ) AV B > < ) CU D čteme úhel AV B je větší než úhel CU D. Mějme na paměti, že symboly < a > zde mají zcela jiný význam než symboly relací je menší, je větší, které pro množiny (tedy ani úhly jako množiny bodů) nejsou definovány.

Definice 3.11. (Grafické sčítání úhlů) Nechť jsou dány úhly AV B, CU D. Grafickým součtem úhlů AV B, CU D nazveme úhel ZW D′ , který jsme sestrojili tak, že jsme k zvolené polopřímce W Z do jedné z polorovin, na které přímka W Z rovinu dělí, přenesli úhel AV B (sestrojili jsme bod B ′ tak, že < ) AV B ∼ = < ) ZW B ′ ) a k polopřímce W B ′ do poloroviny opačné k polorovině W B ′ Z jsme přenesli úhel CUD (setrojili jsme bod D′ tak, že < ) CU D ∼ ) B ′ W D′ ). (Viz =< obr. 3.7.)

52


Obrázek 3.7 Symbolický zápis < ) ZW D′ = < ) AV B + < ) CU D čteme úhel ZW D′ je grafickým součtem úhlů AV B a CU D. Vidíme, že stejně tak je úhel ZW D′ grafickým součtem úhlů ZW B ′ a B ′ W D′ nebo úhlů AV B a B ′ W D′ nebo úhlů ZW B ′ a CU D. Grafický součet totiž pracuje s množinami tříd navzájem shodných úhlů, tedy v symbolickém zápise < ) ZW D′ = < ) AV B + < ) CU D úhly ZW D′ , AV B, CU D reprezentují všechny úhly roviny, které jsou s nimi shodné (tedy třídy rozkladu množiny všech úhlů v rovině podle relace shodnost). Definice 3.12. (Grafické odčítání úhlů) Nechť jsou dány úhly ZW D, AV B. Grafickým rozdílem úhlů ZW D, AV B (v tomto pořadí) nazveme úhel CU D, jestliže platí, že úhel ZW D je grafickým součtem úhlů AV B, CU D. Symbolický zápis < ) CU D = < ) ZW D′ − < ) AV B čteme úhel CU D je grafickým rozdílem úhlů ZW D′ a AV B (v tomto pořadí). Stejně jako v případě grafického součtu i nyní platí, že úhel B ′ W D′ je grafickým rozdílem úhlů ZW D′ a ZW B ′ , a to ze stejného důvodu (úhly jako reprezentanti tříd rozkladu). Nutno opět zdůraznit, že symboly + a − v symbolických zápisech gafického součtu, resp. rozdílu, úhlů mají zcela jiný význam než symboly operací mezi čísly, které pro množiny (tedy ani úhly jako množiny bodů) nejsou definovány. Definice 3.13. (Grafické násobení úhlů) Nechť je dán úhel AV B a přirozené číslo n. Grafickým n-násobkem úhlu AV B nazveme grafický součet n úhlů shodných s úhlem AV B.

Definice 3.14. (Osa úhlu) Nechť je dán úhel AV B, který není plný ani nulový. Osou úhlu AV B nazveme přímku V X právě tehdy, když pro bod X platí, že úhly AV X a BV X jsou navzájem shodné.

Věta 3.1. Osou plného nebo nulového úhlu AVB rozumíme přímku VA, resp. VB.

Definice 3.15. (Pravý úhel) Pravým úhem nazveme každý úhel, který je


53

shodný s úhlem k němu vedlejším.

Nyní ovládáme již celou teorii kapitoly Grafické porovnávání, sčítání, odčítání a násobení úseček a úhlů. Dokážeme úsečky i úhly graficky porovnat, dokážeme sestrojit jejich grafický součet, rozdíl i součin. Jsme připraveni začít řešit příklady. Zde si prověříme, že jsme teorii pochopili správně a umíme ji aplikovat v konkrétní sitaci. Nejdříve zkusíme pracovat s nápovědou (nemusíme ji používat), a to v podkapitole Řešené příklady, později bez ní (jen s kontrolním výsledkem) v podkapitole Neřešené příklady. Všechny příklady, nebude-li výslovně uvedeno jinak, budeme řešit v rovině E2 . 3.3 Řešené příklady. Příklad 3.1. Bod S je středem úsečky AB, bod P leží na polopřímce AB za bodem B (viz obr. 3.8). Dokažte, že platí vztah 2|P S| = |AP | + |BP |. Ověřte graficky.

Obrázek 3.8 Řešení: 2 |P S| = 2(|SB|+|BP |) = 2 |SB|+2 |BP | = |AB|+|BP |+|BP | = |AP |+|BP | 2 |P S| = |AP | + |BP | Máme-li ověřit vztah graficky, pak musíme sestrojit a porovnat dvě úsečky: úsečku 2P S a úsečku AP + BP . Sestojíme úsečku P ′ S ′′ = 2P S a úsečku A′ B ′ = AP + BP . Obě úsečky porovnáme (viz obr. 3.9). Platí, že jsou navzájem shodné. Tedy ověřili jsme (na jednom příkladu) graficky platnost vztahu 2P S = AP + BP . Samozřejmě nelze grafické ověření považovat za důkaz (ten je proveden v analytickém řešení).

Obrázek 3.9

54


Příklad 3.2. V trojúhelníku ABC daném na obrázku 3.10 grafcky porovnejte úhly CAB, ABC a sestrojte jejich grafický součet.

Obrázek 3.10 Řešení: Pro grafické porovnání úhlů sestrojíme libovolnou polopřímku KL (viz obr. 3.11a). Úhly CAB, ABC přeneseme k polopřímce KL do stejné ze dvou polorovin, na které přímka KL dělí rovinu: pro přenesení úhlu BAC sestrojíme úhel LKC ′ tak, že jsou tyto úhly navzájem shodné (< ) BAC ∼ ) LKC ′ ); = < pro přenesení úhlu ABC sestrojíme úhel LKC ′′ tak, že jsou tyto úhly navzájem shodné (< ) ABC ∼ ) LKC ′′ ). Poté úhly porovnáme: protože polopřímka =< KC ′′ je podmnožinou úhlu LKC ′ , platí, že úhel ABC je menší než úhel BAC. Zapíšeme symbolicky: < ) ABC < < ) BAC. Pro konstrukci grafického součtu úhlů sestrojíme libovolnou polopřímku KL (viz obr. 3.11b). Úhel CAB přeneseme k polopřímce KL do jedné ze dvou dvou polorovin, na které přímka KL dělí rovinu: sestrojíme úhel LKC ′ tak, že je shodný s úhlem CAB (< ) LKC ′ ∼ ) CAB). Úhel CAB přeneseme k po=< lopřímce KC ′ do poloroviny opačné k polorovině KC ′ L. Součtem úhlů CAB, ABC je úhel LKC ′′ . Zapíšeme symbolicky: < ) CAB + < ) ABC = < ) LKC ′′ .

Obrázek 3.11


55

Příklad 3.3. Jsou-li bodem M , který leží mezi vrcholy A, B rovnoramenného trojúhelníka ABC, vedeny kolmice k ramenům AC, BC tohoto trojúhelníka a jsou-li body E, F paty těchto kolmic, pak grafickým součtem úseček M E, M F je výška trojúhelníka (viz obr. 3.12a). Dokažte. Ověřte graficky.

Obrázek 3.12 Řešení: Nechť BD je výška trojúhelníka ABC příslušná k rameni AC. Označme G patu kolmice vedené z bodu M k přímce BD. Pak platí: △M F B ∼ = △BGM (M B ∼ = BM, <) M BF ∼ ) BM G, <) M F B ∼ ) BGM ). Proto je M F ∼ =< =< = BG. Je tedy BD = BG + GD, přitom platí EM ∼ = GD. Proto BD = M F + M E. Máme-li ověřit vztah graficky, pak musíme sestrojit úsečku M F + M E a graficky ji porovnat s úsečkou BD (viz obr. 3.12b). 3.4 Neřešené příklady. Příklad 3.1. Je dán konvexní čyřúhelník ABCD a bod E, který leží mezi body C, D. Sestrojte úsečku, která je a) grafickým součtem úseček AB, AD, ED, b) trojnásobkem úsečky CE. Příklad 3.2. V trojúhelníku ABC je dán bod D, který leží mezi body C, A. a) Sestrojte grafický součet a grafický rozdíl úseček AB, BD.

56

Grafické porovnávání, sčítání, odčítání a násobení úseček a úhlů b) Graficky porovnejte úsečky BC, CA, BD. c) Graficky porovnejte obvody trojúhelníků ABD, BCD.

Příklad 3.3. Graficky určete obvod čtverce, jehož úhlopříčka má velikost 4 cm. Příklad 3.4. V trojúhelníku ABC sestrojte jeho těžiště T . a) Graficky porovnejte úhly ABC, AT B. b) Sestrojte grafický rozdíl úhlů ABC, AT B. c) Sestrojte úhel, který je trojnásobkem úhlu T AB. Příklad 3.5. Je dána lomená čára A0 A1 A2 A3 A4 ; úsečka B0 B1 , která je shodná s úsečkou A0 A1 a polorovina B0 B1 C. V polorovině B0 B1 C sestrojte lomenou čáru B0 B1 B2 B3 B4 , která je shodná s lomenou čárou A0 A1 A2 A3 A4 tak, že obrazem bodu A0 je bod B0 a obrazem bodu A1 je bod B1 . Příklad 3.6. Je dán konvexní pětiúhelník ABCDE, úsečka A′ B ′ shodná s úsečkou AB. Ve zvolené polorovině s hraniční přímkou A′ B ′ sestrojte konvexní pětiúhelník A′ B ′ C ′ D′ E ′ , který je shodný s konvexním pětiúhelníkem ABCDE. Příklad 3.7. Sestrojte libovolný trojúhelník ABC. Ověřte graficky tvrzení o velikosti vnějšího úhlu trojúhelníka: velikost vnějšího úhlu trojúhelníka je rovna součtu velikostí vnitřních úhlů u zbývajících dvou vrcholů daného trojúhelníka. Příklad 3.8. Dokažte a graficky ověřte, že v každém rovnoramenném trojúhelníku platí: a) těžnice vedená z hlavního vrcholu trojúhelníka je kolmá k jeho základně, b) těžnice vedené z vrcholů při základně trojúhelníka jsou navzájem shodné. Příklad 3.9. Nad stranami ostroúhlého trojúhelníka ABC jsou vně tohoto trojúhelníka sestrojeny rovnostranné trojúhelníky ABH, ACK. Dokažte a graficky ověřte shodnost úseček CH, BK. Příklad 3.10. Pomocí kružítka a pravítka sestrojte úhel o velikosti 30◦ , 60◦ ,


57

90◦ , 105◦ , 120◦ . Popište konstrukci. Příklad 3.11. Vysvětlete rozdíl v symbolických zápisech: a) AB = CD, AB ∼ = CD, |AB| = |CD|, b) < ) ABC = < ) KLM , <) ABC ∼ ) KLM , |< ) ABC| = |< ) KLM |. =< 3.5 Výsledky. 1) A′ E = AB + AD + ED, C X = 3CE (viz obr. 3.13). ′′′

′

Obrázek 3.13 2a) AB + BD = AD , AB − BD = A D ′′

′′′

′′′

(viz obr. 3.14a), 2b) BC <

BD < CA (viz obr. 3.14b), 2c) o△ABD = AB + BD + DA = A A , o△BCD = ′

′′′

BC + CD + DB = B B , B B < A A ⇒ o△BCD < o△ABD (viz obr. 3.14c). ′

′′′

′

′′′

′

′′′

Obrázek 3.14 3) Sestrojíme úsečku AC, |AC| = 4 cm. Zbývající dva vrcholy čtverce ABCD sestrojte užitím Thaletovy kružnice. o = A′ X = 4AB (viz obr. 3.15).

58


Obrázek 3.15 5) Uplatníme přenášení úhlů a úseček. 6) Pětiúhelník rozdělíme na trojúhelníky. Uplatníme přenášení úhlů a úseček. 7) Uplatníme přenášení úhlů, grafický součet úhlů, porovnávání úhlů. 8) Použijeme věty o shodnosti trojúhelníků: 8a) (sss), 8b) sus. 9) Použijeme větu o shodnosti trojúhelníků (sus). 11a) Budeme uvažovat o totožných (sobě rovných) úsečkách, shodných úsečkách a úsečkách téže velikosti. 11b) Budeme uvažovat o totožných (sobě rovných) úhlech, shodných úhlech a úhlech téže velikosti.


59

4 Vzájemná poloha přímek v rovině Tato stručná kapitola vymezuje, v jakých vzájemných polohách mohou ležet přímky v rovině. Zavedeme pojmy totožné, rovnoběžné a různoběžné přímky; v případě různoběžných přímek budeme definovat pojmy průsečík přímek a kolmé přímky. Detailnější analýzou se doporučuji zabývat v rámci geometrie v prostoru. Klíčová slova: totožné přímky, rovnoběžné přímky, různoběžné přímky, průsečík přímek, kolmé přímky O vzájemné poloze přímek v rovině budeme rozhodovat podle počtu jejich společných bodů. Každé dvě přímky v rovině mohou mít buď všechny body společné nebo právě jeden společný bod nebo žádný společný bod. Definice 4.1. (Totožné přímky) Jestliže dvě přímky v rovině mají všechny body společné, pak se nazývají totožné přímky .

Symbolický zápis: Slovní vyjádření přímka p je totožná s přímkou q budeme symbolicky zapisovat p = q. Definice 4.2. (Rovnoběžné přímky) Jestliže dvě přímky v rovině nemají žádný společný bod, pak se nazývají rovnoběžné přímky .

Symbolický zápis: Slovní vyjádření přímka p je rovnoběžná s přímkou q budeme symbolicky zapisovat p k q. Věta 4.1. V rovině E2 mějme dánu přímku p a bod A, který na ní neleží. Potom v rovině E2 existuje právě jedna přímka q, která prochází bodem A a je rovnoběžná s přímkou p.

Definice 4.3. (Různoběžné přímky) Jestliže dvě přímky v rovině mají společný právě jeden bod, pak se nazývají různoběžné přímky . Společný bod se nazývá průsečík přímek.

Symbolický zápis: Slovní vyjádření přímka p je různoběžná s přímkou q budeme symbolicky zapisovat p k/ q. Definice 4.4. (Kolmé přímky) Jestliže dvě různoběžné přímky obsahují ramena pravého úhlu, pak se nazývají kolmé přímky .

60

Vzájemná poloha přímek v rovině

Symbolický zápis: Slovní vyjádření přímka p je kolmá k přímce q budeme zapisovat p ⊥ q. Věta 4.2. V rovině E2 mějme dánu přímku p a bod A. Potom v rovině E2 existuje právě jedna přímka q, která prochází bodem A a je kolmá k přímce p.


61

5 Závěr Dospěli jsme společně k poslední kapitole distančního textu, který zpracovává první část problematiky geometrie v rovině. Znamená to, že jsme s větším či menším úsilím (jak kdo a jak co) pochopili teorii, vyzkoušeli si její aplikaci, získali schopnosti a dovednosti s ní související. Blahopřeji všem, a to přímo úměrně míře úsilí, které jste při studiu museli vynaložit. Věřím, že se vám tato investice vrátí, a to nejen v podobě úspěchu u zkoušky, ale zejména ve vaší učitelské praxi. Po krátkém vydechnutí, ale nikoli tak dlouhém, abychom zapomněli, co jsme se nyní naučili, se můžeme pustit do studia textu Geometrie v rovině 2, který problematiku planimetrie uzavře. Přeji hodně trpělivosti a těším se, že spolu i tento text zvládneme. Renáta Vávrová


63

Literatura [1] KOUŘIM, J. a kol. Základy elementární geometrie pro učitelství 1. stupně ZŠ. Praha : SPN, 1985. [2] POMYKALOVÁ, E. Matematika pro gymnázia - planimetrie. Praha : Prometheus, 1994. [3] ZEHNALOVÁ, J. Cvičení z elementární aritmetiky a elementární geometrie, část II. Ostrava : Ostravská univerzita, 1997.

Geometrie v rovině 1

Recommend Documents