9. Stereometrie
9.6. Odchylky přímek a rovin
Odchylku dvou přímek, dvou rovin a přímky od roviny převádíme na určení velikosti úhlu dvou různoběžek.
Odchylka dvou přímek
•
Odchylka dvou přímek splývajících nebo rovnoběžných je rovna nule.
•
Odchylka dvou různoběžek je rovna velikosti úhlu ϕ , ϕ ∈ 0°,90° , který svírají.
•
Odchylku dvou mimoběžek a, b určíme tak, že libovolným bodem M vedeme přímky a a ′ ,
b b ′ a určíme úhel různoběžek a ′, b′ . (Bod M může ležet na některé z mimoběžek.) Řešený příklad •
Kvádr ABCDEFGH přímek: a)
AF , AB
b)
AF , CH
c)
AF , DH
d)
BC , CG
má délky hran a = AB, b = BC , c = AE . Určete odchylky dvojic
Řešení a) Odchylka přímek
tan α =
AF , AB je velikost úhlu α =
FAB , který vypočteme ze vztahu
c . a.
b) Přímky AF , CH jsou mimoběžné. Sestrojíme střed S úsečky AF . Přímka BE procházející bodem S je s přímkou CH rovnoběžná ; odchylka mimoběžek AF, CH je rovna velikosti úhlu β = FSB , pro který platí β = 2α . c) Odchylku mimoběžek AF , DH určíme jako úhel γ = EAF , protože přímka AE je rovnoběžná s přímkou DH . Velikost úhlu γ určíme ze vztahu α + γ = 90° . d) Přímky BC, CG jsou navzájem kolmé, jejich odchylka δ = 90° .
394
9. Stereometrie
•
Je dán pravidelný čtyřboký hranol ABCDEFGH výšky v se středem horní podstavy S , jehož podstavná hrana má velikost a . Určete odchylku dvojic přímek: a) CG, AS b)
BS, AC
Řešení a) Odchylka mimoběžek CG, AS je rovna velikosti úhlu α =
tan α =
a
EAS , který určíme ze vztahu
2 2 . v
b) Odchylka mimoběžek BS, AC je rovna velikosti úhlu β = GSB . Trojúhelník EBG je rovnoramenný, BS je jeho osa, přímky BS , EG jsou navzájem kolmé.
395
9. Stereometrie
Odchylka dvou rovin
•
Odchylka dvou rovin splývajících nebo rovnoběžných je rovna nule.
•
Odchylku dvou různoběžných rovin α , β určíme takto: na průsečnici r těchto rovin zvolíme bod a vedeme tímto bodem přímky a⊥r , a ∈ α , b⊥r , b ∈ β . Velikost úhlu různoběžek a, b je odchylka obou rovin.
Řešený příklad •
V pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV o hraně podstavy a a výšce v určete odchylku : a) roviny boční stěny od roviny podstavy, b) rovin dvou protějších stěn, c) rovin dvou sousedních stěn.
Řešení a) Sestrojíme střed podstavy S a středy P, Q hran BC , AD . Přímka je průsečnice roviny podstavy ABCD a roviny boční stěny BCV . Přímka PQ leží v rovině podstavy, přímka PV leží v rovině boční stěny BCV , obě jsou kolmé k přímce BC . Odchylka obou rovin je určena úhlem
α =
SPV , pro jehož velikost platí: tan α =
v . a 2
396
9. Stereometrie
b) Odchylka protějších stěn jehlanu je určena úhlem β =
α+
β 2
PVQ , který vypočteme ze vztahu
= 90° .
c) Přímka CV je průsečnice rovin sousedních stěn BCV a CDV . Bod R je pata kolmic vedených v obou stěnách body B, D kolmo k přímce CV . Odchylka obou rovin je dána úhlem γ = BRD v rovnoramenném trojúhelníku BRD . Pro určení jeho velikosti zjistíme velikost úsečky BR jako výšky trojúhelníka BCV . Obsah tohoto trojúhelníka můžeme vyjádřit dvěma způsoby:
BC.PV CV .BR a2 a2 , kde PV = v 2 + , CV = v 2 + . Pak pro úhel γ platí: = 2 2 4 2
sin γ =
2v 2 + a 2 . 4v 2 + a 2
Odchylka přímky od roviny
•
Přímka, která v dané rovině leží nebo je s ní rovnoběžná má od této roviny odchylku rovnu nule.
•
Odchylka přímky různoběžné s rovinou je velikost úhlu, který svírá daná přímka se svým kolmým průmětem do dané roviny.
•
Kolmý průmět přímky m do roviny ρ je průsečnice m ′ roviny ρ s rovinou procházející přímkou m kolmo k rovině ρ .
•
Kolmý průmět přímky kolmé k rovině je bod.
397
9. Stereometrie
Řešený příklad •
V krychli ABCDEFGH o hraně podstavy a určete odchylku přímky AM od roviny podstavy ABCD , kde bod M je střed hrany GH .
Řešení Kolmý průmět přímky AM do roviny ABCD je přímka AP , kde P ∈ CD, MP⊥CD . Odchylka přímky AM od roviny ABCD je určena úhlem α = MAP , pro který platí:
a
tan α =
a
5 2
=
2 5 . 5
398
9. Stereometrie
Úlohy k řešení Úloha 9.29. V pravidelném čtyřbokém hranolu ABCDEFGH o hraně podstavy a a výšce v určete odchylku dvojic přímek: a)
AG, CE
b)
BC , FH
c)
AE , CD
♦
Úloha 9.30. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV , jehož boční stěny jsou rovnostranné trojúhelníky. Určete odchylky dvojic přímek: a)
AB, VC
b)
AV , VC
♦ Úloha 9.31. V krychli ABCDEFGH určete odchylku rovin α = ABC , β = BDG . ♦ Úloha 9.32. V pravidelném čtyřbokém hranolu ABCDEFGH o hraně podstavy a a výšce v určete odchylku rovin ρ = ACG , σ = ABF . ♦ Úloha 9.33. V kvádru ABCDEFGH , jehož hrany mají velikost a = AB, b = AD, c = AE , určete odchylku přímky HM od roviny ρ = ABF , kde bod M je střed hrany FG . ♦ Úloha 9.34. V pravidelném čtyřstěnu ABCD určete odchylku hrany AD od roviny α = ABC . ♦
399
9. Stereometrie
Výsledky 9.29. a) Přímky AG, CE jsou různoběžné a protínají se v bodě S . Jejich odchylka je velikost úhlu
α =
ASE , pro který platí: tan
α 2
=
v a 2
.
b) Přímky BC , EH jsou mimoběžné a jejich odchylka je β = c) Odchylka přímek AE , CD je dána úhlem γ =
EHF = 45° , protože BC EH .
DCG = 90° , protože AE CG .
9.30. a) Přímky AB , VC jsou mimoběžné, jejich odchylka je dána úhlem α =
b) Odchylka přímek AV , VC je velikost úhlu β , pro který platí: sin přímky AV , VC jsou navzájem kolmé.
400
β 2
DCV = 60° .
=
a
2 2 = 2 , β = 90° , 2 a
9. Stereometrie
9.31. Průsečnice obou rovin je přímka BD . Přímky SC ∈ α , SG ∈ β jsou kolmé k přímce BD , jejich úhel ϕ =
GSC , kde tan ϕ =
a 2 a 2
=
2 , ϕ = 54°44′8′′ je odchylka obou rovin.
401
9. Stereometrie
9.32. Odchylka rovin ρ , σ je dána úhlem ϕ =
ASB = 90° .
9.33. Přímka HM leží v horní stěně kvádru a protíná přímku EF v bodě P . Kolmý průmět přímky HM do roviny α = ABF je přímka EF a její odchylka od této roviny je úhel ϕ = EPH , pro jehož velikost platí: tan ϕ =
b . 2a
9.34. Sestrojíme střed P hrany BC a těžiště T trojúhelníka ABC . Spojnice VT je kolmá na rovinu ABC a přímka AP je průmět přímky AV do roviny ABC . V pravoúhlém trojúhelníku ATV je 2
2 a 3 a 3 = . , 3 2 3 ϕ = 54°44′8′′ je odchylka přímky AV od roviny ABC . AP =
a2 −
a 3 a = , 2 4
AT =
402
a 3 3 cos ϕ = = 3 = , AV a 3 AT
úhel
9. Stereometrie
403
